Pedagogía eficaz en matemáticas

7/28/2019 Pedagoga eficaz en matemticas

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INERNAIONAL ACADEMY OFEDUCAION

SERIESPR

CT

ICAS

EDU

CATI

VAS-

19

INERNAIONAL BUREAUOF EDUCAION

Pedagogaecaz en

matemtica

por Glenda Anthony

and Margaret Walshaw

International Bureau

of Education

United Nations

Educational, Scientific and

Cultural Organization


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IAcademia Internacional de Educacin

La Academia Internacional de Educacin (IAE) es una asociacin cientca

sin nes de lucro que promueve la investigacin educativa, su diusin y la

implementacin de sus contenidos. Fundada en 1986, la Academia se dedica

a ortalecer las contribuciones de la investigacin cientca, resolviendo

problemas crticos de la educacin en todo el mundo, y a orecer unamejor comunicacin entre los responsables de polticas, investigadores y

proesionales.

Su sede se halla en la Real Academia de Ciencias, Literatura y Artes en

Bruselas, Blgica, y su centro de coordinacin se encuentra en la Universidad

Curtin de ecnologa en Perth, Australia.

El objetivo general de la IAE es omentar la excelencia acadmicaen los campos de la educacin. Con este n, la Academia proporciona

sntesis oportunas de evidencia basadas en investigacin de importancia

internacional. La Academia tambin provee crticas de investigacin y de la

base aprobatoria, y su aplicacin a las polticas.

Los miembros actuales de la Junta Directiva de la Academia son:

Monique Boekaerts, University o Leiden, Holanda (Presidente);

Erik De Corte, University o Leuven, Belgica (Ex Presidente);

Barry Fraser, Curtin University o echnology, Australia

(Director Ejecutivo);

Jere Brophy, Michigan State University, Estados Unidos;

Erik Hanushek, Hoover Institute, Stanord University, Estados Unidos;

Mara de Ibarrola, National Polytechnical Institute, Mxico;

Denis Phillips, Stanord University, Estados Unidos.

Para obtener ms inormacin, consulte el sitio web de IAE, en:

http://www.iaoed.org


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PrefacioEste texto sobre la enseanza eectiva de matemtica se prepar para

incluirlo en la serie Prcticas Educativas desarrollada por la Academia

Internacional de Educacin y distribuida por la Ocina Internacional

de Educacin y la Academia. Como parte de su misin, la Academia

proporciona sntesis oportunas de investigaciones en temas educativos

de importancia internacional. Este es el dcimo noveno de una serie deascculos sobre prcticas educativas que mejoran el aprendizaje en general y

es un complemento al libro anterior, Mejorar el Rendimiento Acadmico en

Matemtica, escrito por Douglas A. Grouws y Kristin J. Cebulla.

La presente publicacin se basa en un trabajo cientco producido por

Glenda Anthony y Margaret Walshaw para el Programa para la Sntesis

de la Mejor Evidencia Iterativa, del Ministerio de Educacin de Nueva

Zelanda (BES). Esta sntesis, al igual que las dems de la serie, est destinadaa ser un catalizador en procura de una mejor sistmica educativa y su

desarrollo sostenible. El mencionado documento est disponible en ormato

electrnico en la direccin www.educationcounts.govt.nz/goto/BES.

odos los BES ueron escritos utilizando un enoque de colaboracin

que involucra a los escritores, los sindicatos de docentes, grupos de directores,

educadores, acadmicos, investigadores, asesores de polticas y otros gruposinteresados. Para garantizar su rigor y utilidad, cada BES ha seguido las

directrices nacionales desarrolladas por el Ministerio de Educacin de

Nueva Zelanda. El proesor Paul Cobb ha proporcionado la garanta de

calidad para la sntesis original.

Glenda y Margaret son proesoras asociadas de la Universidad de

Massey. Como directoras del Centro de Excelencia para la Investigacin en

Educacin Matemtica, estn involucradas en una amplia gama de proyectosde investigacin relacionados al aula y a la ormacin docente. Actualmente,

intervienen en la investigacin enocada hacia las prcticas de participacin

equitativa en el aula, prcticas de comunicacin y prcticas de clculo, tanto

en los proesores como en los estudiantes. Su trabajo ha sido ampliamente

diundido en revistas comoMathematics Education Research Journal, Review

o Educational Research, Pedagogies: An International Journal, y Contemporary

Issues in Early Childhood.

Las sugerencias o indicaciones de uso de este texto deben ser sensibles al

contexto educativo y cultural, y abiertos a la evaluacin continua. El ascculo

No. 19 de la serie Prcticas Educativas es un modelo de investigacin que

proesores y ormadores del proesorado pueden utilizar como herramienta

para la adaptacin y construccin, en base a hallazgos, de esta sntesis en sus

contextos particulares.

JERE BROPHY

Editor, Michigan State University

Estados Unidos


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Ttulos anteriores de la serie Prcticas educativas

1. eaching by Jere Brophy. 36 p.

2. Parents and learning by Sam Redding. 36 p.

3. Eective educational practices by Herbert J. Walberg and Su san J. Paik.

24 p.

4. Improving student achievement in mathematics by Douglas A. Grouws

and Kristin J. Cebulla. 48 p.

5. utoring by Keith opping. 36 p.

6. eaching additional languages by Elliot L. Judd, Lihua an and Herbert

J. Walberg. 24 p.

7. How children learn by Stella Vosniadou. 32 p.

8. Preventing behaviour problems: what works by Sharon L. Foster, Patricia

Brennan, Anthony Biglan, Linna Wang and Suad al-Ghaith. 30 p.

9. Preventing HIV/AIDS in schools by Inon I. Schenker and Jenny M.

Nyirenda. 32 p.10. Motivation to learn by Monique Boekaerts. 28 p.

11. Academic and social emotional learning by Maurice J. Elias. 31 p.

12 eaching reading by Elizabeth S. Pang, Angaluki Muaka, Elizabeth B.

Bernhardt and Michael L. Kamil. 23 p.

13. Promoting pre-school language by John Lybolt and Catherine Gottred.

27 p.

14. eaching speaking, listening and writing by rudy Wallace, Winired E.Stariha and Herbert J. Walberg. 19 p.

15. Using new media by Clara Chung-wai Shih and David E. Weekly. 23 p.

16 Creating a sae and welcoming school by John E. Mayer. 27 p.

17. eaching science by John R. Staver. 26 p.

18. eacher proessional learning and development by Helen imperley. 31 p.

Estos ttulos se pueden descargar en los sitios web de IEA (http://

www.iaoed.org) o IBE (http://www.ibe.unesco.org/ publications.

htm). Copias impresas pueden solicitarse a: IBE, Publications Unit,P.O. Box 199, 1211 Ginebra 20, Suiza. Por avor, tenga en cuenta

que varios ttulos ahora estn uera de impresin pero pueden ser

descargados de los sitios de IEA y IBE.

IBE/2009/ST/EP19


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Tabla de Contenidos

La Academia Internacional de Educacin,pgina 2

Preacio de la serie,pgina 3

Introduccin,pgina 6

1. Una tica del cuidado, pgina 7

2. Disposicin para el aprendizaje,pgina 9

3. Construyendo sobre la base de pensamiento de los estudiantes,pgina 11

4. areas matemticas que valen la pena hacer,pgina 13

5. Haciendo conexiones,pgina 15

6. Evaluacin para el aprendizaje,pgina 17

7. Comunicacin matemtica,pgina 19

8. Lenguaje matemtico,pgina 21

9. Herramientas y representaciones,pgina 23

10. Conocimientos de los docente,pgina 25Conclusin,pgina 27

Reerencias,pgina 28

Esta publicacin ue producida en 2009 por la Academia

Internacional de la Educacin (IAE), Palais des Acadmies, 1,

calle Ducale, 1000 Bruselas, Blgica, y la Ocina Internacional de

la Educacin (IBE), P.O. Box 199, 1211 Ginebra 20, Suiza. Estdisponible de orma gratuita y puede ser libremente reproducida y

traducida a otros idiomas. Por avor, enve una copia de cualquier

produccin que reproduzca este texto en su totalidad o en parte

a IAE y a IBE. Esta publicacin tambin est disponible en la

internet. Visite las pginas de las secciones Publicaciones y Series

Prcticas Educativas en:

http://www.ibe.unesco.org

Los autores son responsables de la eleccin y presentacin de

los hechos contenidos en esta publicacin y de las opiniones

expresadas, que no son necesariamente las de UNESCO/IBE y no

comprometen a la organizacin. Las denominaciones empleadas

y la presentacin del material en esta publicacin no implican laexpresin de ninguna opinin por parte de UNESCO/IBE sobre

la condicin jurdica de cualquier pas, territorio, ciudad o rea, o

de sus autoridades, ni respecto a la delimitacin de sus ronteras

o lmites.

Impreso en 2013 por Mantis Comunicacin, Quito, Ecuador.Versin en espaol realizada por VVOB, Quito, Ecuador


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IntroduccinEste olleto aborda la enseanza eectiva de matemtica. Sobre labase de una amplia gama de investigaciones, se describen los tipos deenoques pedaggicos que involucran a los estudiantes y dan lugara resultados deseables. El objetivo de este trabajo es proundizarel conocimiento de proesionales, ormadores de educacin yresponsables de polticas, y ayudarles a optimizar las oportunidadespara los estudiantes de matemtica.

La matemtica es la ms internacional de todas las materiascurriculares y la comprensin matemtica infuye de una u otramanera en la toma de decisiones en todos los mbitos de la vida,

ya sean estos privado, social o civil. La educacin matemtica esclave para aumentar las oportunidades despus de la escuela y en laciudadana de los jvenes, pero hoy en da, al igual que en el pasado,

muchos estudiantes luchan con la matemtica y llegan al desaectopues continuamente encuentran obstculos a la participacin. Esimperativo, por lo tanto, que entendamos lo que los proesorespueden hacer para romper este patrn y cmo luce la enseanzaeectiva de matemtica.Los principios descritos en esta publicacinno son indicadores independientes de buenas prcticas, dado quetoda prctica debe ser entendida dentro de una red ms amplia queincluye la escuela, el hogar, la comunidad y un ms vasto sistema

educativo. Los docentes hallarn que algunas prcticas son msaplicables a sus circunstancias locales que otras.

En conjunto, los principios que contiene este texto se basan enla certidumbre de que la pedagoga matemtica debe:

basarse en la premisa general de que todos los estudiantes tienenderecho a acceder a la educacin y la premisa especca de que

todos tienen el derecho de acceder a la cultura matemtica; reconocer que todos los estudiantes, independientemente de

su edad, pueden desarrollar identidades matemtica positivas yconvertirse en poderosos estudiantes matemticos;

basarse en el respeto y la sensibilidad interpersonal y respondera la multiplicidad de herencias culturales, procesos depensamiento y realidades que se encuentran tpicamente en los

salones de clase; centrarse en la optimizacin de una serie de resultados

acadmicos deseados que incluyan la comprensin conceptual,fuidez procedimental, competencia estratgica y razonamientoadaptativo;

y comprometerse a mejorar una serie de resultados sociales enel aula que contribuyan al desarrollo integral de los estudiantes

para construir una ciudadana productiva.Lectura sugerida: Anthony & Walshaw, 2007; Martin, 2007;National Research Council, 2001.


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1. Una tica de cuidado

Cuidar en el aula las comunidades que secentran en objetivos matemticos, ayudaa desarrollar la identidad y competenciamatemtica de los estudiantes.

Resultados de la investigacin

Los docentes que realmente se preocupan por sus estudiantestrabajan duro en el desarrollo de comunidades de conanza enel aula. Con la misma importancia, se aseguran de que sus clases

tengan un enoque matemtico uerte y que tengan expectativasaltas pero realistas, acerca de lo que sus estudiantes pueden lograr.En ese ambiente, los estudiantes descubren que son capaces depensar, razonar, comunicar, refexionar y criticar a la matemtica queencuentran. Sus relaciones en el aula se convierten en un recursopara el desarrollo de sus competencias e identidades matemticas.

La preocupacin por el desarrollo de la competencia matemticade los estudiantes.

Los estudiantes quieren aprender en un ambiente armonioso. Losproesores pueden ayudar a crear ese entorno, respetando y valorandola matemtica y las culturas que los estudiantes traen al aula. Algarantizar la seguridad, los docentes acilitan la participacin detodos los estudiantes. Es importante, sin embargo, evitar el tipode relaciones que omentan la dependencia. En su lugar, debenpromover las relaciones en el aula que permiten a los estudiantespensar por s mismos, hacer preguntas y asumir riesgos intelectuales.

Las rutinas en el aula juegan un papel importante en el desarrollodel pensamiento matemtico y el razonamiento del estudiante. Porejemplo, la prctica diaria de invitar a sus estudiantes a responder

preguntas o resolver problemas matemticos, podra hacer poco msque promover la cooperacin. Los proesores necesitan ir ms all

y aclarar expectativas sobre cmo los estudiantes pueden y debencontribuir, cundo y en qu orma, y cmo otros pueden responder.Los docentes que realmente se preocupan por el desarrollo delrendimiento matemtico de sus estudiantes muestran inters en lasideas que ellos construyen y expresan, sin importar cun inesperadaso poco ortodoxas sean. Al modelar la prctica de evaluacin de ideas,ellos animan a sus estudiantes a hacer juicios inteligentes sobre lasolidez matemtica de las ideas expresadas por sus compaeros


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de clase. Ideas que muestran ser una contribucin sana para la

ormacin de nuevas instrucciones.

La preocupacin por el desarrollo de la identidadmatemtica de los estudiantes

En el desarrollo de las identidades matemticas de los estudiantes,los docentes son el recurso ms importante. Al asistir a lasdistintas necesidades que derivan del hogar, lenguaje, capacidades y

perspectivas, los docentes permiten a los estudiantes desarrollar unaactitud positiva hacia la matemtica. Una actitud positiva eleva losniveles de bienestar y orece a los estudiantes una mayor conanzaen su capacidad de aprender y entender la matemtica.

En la siguiente transcripcin, los estudiantes hablan de su maestray la relacin que ella ha desarrollado con el grupo en el aula, en donde

se sienten responsables de s mismos y de su propio aprendizaje.

Ella te trata como si ueras no slo un nio. Si dices mira,esto est mal, ella te escuchar. Si la desaas, ella tratar de

verlo a tu manera.

Ella no se considera superior.

Ella no se molesta cuando le demuestro lo contrario. Lamayora de los docentes odia estar equivocado, cuando losestudiantes le demuestran que est equivocado.

Es ms como una discusin. Puedes dar respuestas y decirlo que piensas.

Nos sentimos como una amilia en matemtica. Eso tienesentido? An si no estbamos enviando vibraciones dehermano/hermana. Bueno, nos acostumbramos los unos alos otros. Era un grupo grande ms como un barrio conun montn de dierentes casas.

Angier & Povey (1999, pp. 153, 157)

A travs de sus prcticas de inclusin, esta maestra en particularinfuy la orma en que los estudiantes se vean a s mismos.Conados en su propia comprensin, estaban dispuestos a entretener

y evaluar la validez de nuevas ideas y enoques, incluyendo aquellosormulados por sus compaeros. Haban desarrollado una creenciaen s mismos como aprendices de matemtica y, en consecuencia,

eran ms propensos a perseverar en los desaos matemticos.

Lectura sugerida:Angier & Povey, 1999; Watson, 2002.


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2. Disposicin para el aprendizaje

Los docentes ecaces proporcionan a susestudiantes la oportunidad de trabajarindependientemente y en colaboracin

para dar sentido a las ideas.


Al hallar sentido a las ideas, los estudiantes necesitan oportunidadespara trabajar independientemente y en colaboracin. A veces

necesitan ser capaces de pensar y trabajar en silencio, lejos de lasexigencias de toda la clase. A veces necesitan ormar parejas ogrupos pequeos para compartir ideas y aprender de los dems ycon los dems. Otras veces necesitan ser participantes activos endiscusiones con el propsito de involucrar a toda la clase y propiciarla oportunidad de aclarar su comprensin y estar expuestos ainterpretaciones ms amplias de las ideas matemticas que son el

oco actual.

Tiempo de refexin independiente

Puede ser dicil captar un nuevo concepto o resolver un problemacuando se est distrado por las opiniones de los dems. Por estarazn, los docentes deben asegurarse de que todos los estudiantestengan la oportunidad de pensar y trabajar por ellos mismos en

silencio y en un momento en el que no se requiere que procesenperspectivas diversas, y a veces contradictorias, de los dems.

Discusin de toda la clase

Los docentes son el recurso principal para alimentar los patronesdel razonamiento matemtico durante una discusin en la queparticipa toda la clase. Ellos administran, acilitan y monitorean laparticipacin de los estudiantes y registran las soluciones propuestaspor los estudiantes, recurriendo a los recursos ms ecientes paralograr aquello. Mientras garantizan que las discusiones conservensu enoque, los docentes piden a los estudiantes que expliquen sussoluciones a los otros; tambin animan a los estudiantes a escuchar

y respetar a los otros, a aceptar y evaluar dierentes puntos de vista ya participar en un intercambio de ideas y perspectivas.

Socios y pequeos grupos

rabajar con socios y grupos pequeos puede ayudar a los estudiantes


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a verse a s mismos como aprendices matemticos. ales acuerdos,

a menudo, pueden proporcionar el apoyo emocional y prctico quelos estudiantes necesitan para aclarar la naturaleza de la tarea eidenticar posibles ormas de avanzar. Parejas y grupos pequeosno solo son tiles para aumentar la participacin; tambin acilitanel intercambio y el anlisis de ideas y omentan un pensamiento dealto nivel. En grupos de apoyo pequeos, los estudiantes aprendena hacer conjeturas y a participar en la argumentacin y validacinmatemtica.

Como participantes en el grupo, los estudiantes requieren estarexentos de distracciones y disponer de un espacio para establecerinteracciones ciles. Necesitan estar razonablemente amiliarizadoscon el enoque de la actividad y ser responsables por el trabajo delgrupo. El docente es responsable de garantizar que los estudiantesentiendan y se adhieran al rol de los participantes que incluye

escuchar, escribir, responder, preguntar y evaluar crticamente.En la siguiente transcripcin, ntese cmo el docente aclara lasexpectativas:

Quiero explicar a las personas que participan en el grupo,cmo creen que lograrn hallar un resultado. Luego, quiero

que se pregunten si entienden de qu se trata y permitirleshacer una pregunta. Finalmente, recordarles que al nal unodebe ser capaz de explicar cmo trabajo su grupo, as quetienen que pensar en preguntas que el resto les pueda hacer

y probarlas.

Ahora, este grupo va a explicar y van a ver cmo se lesocurri esta regla para ese patrn. Luego, mientras avanzan,

por avor pregunten si tienen dudas. Si no pueden entenderel sentido de cada paso, recuerden hacer preguntas.

Hunter (2005, pp. 454455)

Para mxima ecacia, los grupos deben ser pequeos, no ms de

cuatro o cinco miembros. Cuando los grupos incluyen estudiantesque poseen dierente logro matemtico, las ideas vienen de dierentesniveles y tienden a mejorar la comprensin general.

Lectura recomendada: Hunter, 2005; Sard & Kieran, 2001; Wood,2002.


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3. Construyendo sobre la base depensamiento de los estudiantes

Docentes ecaces planean experienciasde aprendizaje de matemtica que

permitan a los estudiantes desarrollar suscompetencias, intereses y experienciasexistentes.


En la planicacin para el aprendizaje, los docentes ecientesponen el conocimiento actual y los intereses de sus estudiantes enel centro de las decisiones e instrucciones. En lugar de intentarsolucionar debilidades y llenar vacos, ellos construyen sobrecompetencias existentes, ajustando sus instrucciones para satisacerlas necesidades de aprendizaje de los estudiantes. Debido a queconsideran el pensamiento como comprensin en progreso, soncapaces de utilizar el pensamiento de los estudiantes como unrecurso para el aprendizaje posterior. Estos docentes son sensiblestanto a las expectativas de sus estudiantes como a la disciplina de lamatemtica.

Conectando el aprendizaje al pensamiento de los estudiantes

El docente eciente asume las competencias de los estudiantescomo punto de partida para su planicacin y la toma de decisiones

de momento a momento. La reerencia de competencias existentes,incluye aquellas como habilidades de lectura y escucha, la capacidadde hacer rente a la complejidad y el razonamiento matemtico, quese convierten en recursos sobre los cuales se puede construir. Lastareas de experiencias reales tambin son valiosas para el avance dela comprensin. Cuando los estudiantes logran prever situacioneso eventos en los cuales est inmerso el problema, pueden utilizarsus propias experiencias y conocimiento como base para desarrollar

estrategias relacionadas al contexto, que posteriormente suelendevenir en estrategias generalizadas. Por ejemplo, nios pequeostratando de encontrar la manera de compartir tres pasteles entrecuatro miembros de la amilia. A menudo utilizarn mtodosinormales que se adelantan a los procedimientos de divisinormales.

Debido a que se enocan en el pensamiento que surge cuando susestudiantes estn participando en las tareas, los docentes ecientes

son capaces de plantear nuevas preguntas o de disear nuevas tareasque pondrn a prueba a sus estudiantes y ampliarn el pensamiento.Consideren este problema: a una liblula le toma aproximadamente2 segundos volar 18 metros. Cunto tiempo le tomar volar 110


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metros? Al darse cuenta de que un estudiante resolvi el problema

utilizando el pensamiento aditivo, el docente podra adaptar latarea de modo que sea probable que invite al uso del razonamientomultiplicativo: cunto tiempo debera tomarle a la liblula volar 1100metros?, o cunto tiempo debera tomarle a la liblula volar 110metros, si vuela aproximadamente 9 metros en 1 segundo?

Utilizando los conceptos errneos y errores de losestudiantes como bloques de construccin

Por muchas razones, incluyendo la alta de tiempo o cuidado, losestudiantes cometen errores, pero stos tambin surgen de lasinterpretaciones consistentes y alternativas de ideas matemticas,que representan los intentos de los estudiantes para crear unsignicado. Los docentes eectivos, en lugar de desechar tales ideascomo pensamientos errneos, las ven como una etapa natural y,a menudo, necesaria para el desarrollo conceptual del estudiante.Por ejemplo, algunos nios pequeos en sus primeros intentos de

comprender las racciones decimales, interiorizan la creencia de queel dividir algo lo hace ms pequeo. El docente ecaz utiliza esosconceptos errneos como bloques de construccin para el desarrollode una comprensin ms prounda.

Existen muchas prcticas que los docentes pueden aplicarpara proveer oportunidades a los estudiantes, de modo que stosaprendan de sus errores. Una de ellas es organizar un debate quecentre la atencin de los educandos en dicultades que han surgido.Otra es pedir a los estudiantes que compartan sus interpretacioneso estrategias de solucin, de manera que puedan comparar yreevaluar su pensamiento. Sin embargo, hay otra ms que propone elplanteamiento de preguntas generadoras de tensiones que necesitanser resueltas. Por ejemplo, rente a la idea alsa de la divisin a laque hacamos mencin, un docente debe pedir a sus estudiantesque investiguen la dierencia entre 10/2, 2/10 y 10/0.2 utilizandodiagramas, imgenes e historias con nmeros.

Desao adecuado

Al plantear el desao adecuado, los docentes eectivos marcanaltas pero realistas expectativas. Esto implica construir sobreel pensamiento ya existente de los estudiantes y, ms que todo,modicar tareas para proporcionar vas alternativas hacia lacomprensin. Para estudiantes de bajo rendimiento, los docentes

hallan maneras de reducir la complejidad de las tareas y el trabajoarduo, sin caer en la repeticin ni comprometer la integridadmatemtica de la actividad. Las modicaciones incluyen el uso deindicaciones, reducir el nmero de pasos de las variables, simplicarla orma en que los resultados deben ser presentados, reducir elmonto de registros escritos, y utilizar herramientas de pensamientoadicionales. Del mismo modo, al colocar obstculos en el caminode las soluciones tales como la remocin de inormacin, elrequerimiento de un uso particular de representaciones, o pidiendogeneralizaciones, los docentes pueden incrementar el reto para losestudiantes acadmicamente avanzados.

Lectura sugerida: Carpenter, Fennema, & Franke, 1996; Houssart,

2002; Sullivan, Mousley, & Zevenbergen, 2006.


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4. Tareas matemticas que valen la pena

Los docentes ecientes comprendenque las tareas y los ejemplos que eligen,inuyen en cmo los estudiantes ven,

desarrollan, utilizan y dan sentido a lamatemtica.


Mediante la participacin en tareas, los estudiantes desarrollanideas sobre la naturaleza de la matemtica y descubren que tienenla capacidad para encontrarle sentido. Las tareas y experiencias deaprendizaje que permiten el pensamiento original de conceptos

y relaciones importantes, alientan a los estudiantes a convertirseen hacedores y aprendices de la matemtica. Las tareas no debentener un enoque decidido en respuestas correctas; deben proveeroportunidades para que los estudiantes luchen con ideas ydesarrollen y utilicen una gama cada vez ms sosticada de procesosmatemticos como por ejemplo la justicacin, abstraccin ygeneralizacin.

Enoque Matemtico

Los docentes ecaces disean experiencias y tareas que estn basadas

en matemtica slida y signicativa. Se aseguran que todos losestudiantes reciban tareas que ayuden a mejorar su comprensin enel dominio que se enoque. Los estudiantes no deben esperar que lastareas involucren la prctica de algoritmos que acaban de aprender;sino ms bien que estimulen el pensar con ideas matemticasimportantes. El pensamiento matemtico de alto nivel involucrael uso de rmulas, algoritmos y procedimientos que se conecten

con los conceptos, interpretaciones y signicados. Las tareas querequieren que los estudiantes piensen proundamente sobre ideasmatemticas y conexiones, los animan a pensar por s mismos enlugar de conar siempre en su docente para abrir el camino. Altomar en cuenta estas oportunidades, los estudiantes encuentranque la matemtica se tornan ms agradables y relevantes.

Tareas problemticas

A travs de las tareas planteadas, los docentes envan mensajesimportantes acerca de lo que implica hacer matemtica. El docente


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ecaz establece tareas que requieren que los estudiantes hagan

conjeturas, planteen problemas, busquen patrones y exploren vasalternativas de solucin. areas abiertas y modeladas, en particular,requieren que los estudiantes interpreten un contexto y luegoden sentido a la matemtica integrada. Por ejemplo, si se les pideque diseen un cronograma para la produccin de una comidaamiliar, los estudiantes necesitan interpretar la inormacin,especular y presentar argumentos, aplicar conocimientos previos

y hacer conexiones dentro y entre la matemtica y otras uentesde conocimiento. Cuando se trabaja con la vida real y sistemascomplejos, los estudiantes aprenden que la matemtica consiste enmucho ms que producir las respuestas correctas.

Las tareas abiertas son ideales para omentar el pensamientocrtico y la experimentacin que caracterizan el juego matemtico.Por ejemplo, si se les pide explorar dierentes ormas de mostrar

2/3, los estudiantes deben participar en prcticas matemticasundamentales tales como la investigacin, creacin, razonamiento

y comunicacin.

Actividad Prctica

Los estudiantes necesitan oportunidades para practicar lo queestn aprendiendo, ya sea para mejorar su fuidez computacional,habilidades para la resolucin de problemas o la comprensinconceptual. El desarrollo de habilidades, a menudo puede serincorporado en hacer matemtica. Aprender, por ejemplo,sobre el permetro y rea orece oportunidades para que losestudiantes practiquen la multiplicacin de racciones. Los juegostambin pueden ser un medio para el desarrollo de la fuidez yla automaticidad. En lugar de utilizarlos para llenar el tiempo,los docentes eectivos eligen recurrir a juegos pues cumplen condeterminados nes matemticos y porque proporcionan unaretroalimentacin adecuada y retos para todos los participantes.

Lectura sugerida: Henningsen & Stein, 1997; Watson & De Geest,

2005.


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5. Haciendo conexiones

Los docentes ecaces apoyan a losestudiantes en la creacin de conexionesentre diferentes formas de resolver

problemas, entre representacionesmatemticas y temas, y entre la matemticay las experiencias cotidianas.


Para dar sentido a un nuevo concepto o habilidad, los estudiantesdeben ser capaces de conectarlo a entendimientos matemticos enun contexto de temas que les ayudan a apreciar la interrelacin entredierentes ideas matemticas y la vida real. Cuando los estudiantestienen la oportunidad de aplicar la matemtica a realidades diarias,aprenden sobre su valor para la sociedad y su contribucin en otras

reas de aprendizaje, y llegan a verlas como parte de sus propiashistorias y vidas.

Apoyar en la realizacin de conexiones

Los docentes eectivos ponen nasis en los vnculos entre dierentesideas matemticas. Hacen que nuevas ideas sean accesibles al

introducir progresivamente modicaciones que construyan lacomprensin de los estudiantes. Un docente podr, por ejemplo,introducir el doble de 6 como una estrategia alternativa para sumar6 ms 6. Dierentes patrones y principios matemticos pueden serdestacados al cambiar detalles en un conjunto de problemas. Porejemplo, una secuencia de ecuaciones comoy= 2x+ 3,y= 2x+ 2,y=2xy y = x + 3, animarn a los estudiantes a hacer y probar conjeturas

sobre la posicin y la inclinacin de las lneas relacionadas.

La capacidad de hacer conexiones entre ideas matemticasaparentemente separadas es crucial para una comprensin conceptual.Mientras racciones, decimales, porcentajes y proporciones puedenser consideradas como temas separados, es importante animar alos estudiantes a verlos conectados mediante la exploracin de

dierentes representaciones (por ejemplo, 1/2 = 50%) o solucionandoproblemas que estn situados en contextos cotidianos (por ejemplo,el costo de combustible para un viaje en automvil).


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Mltiples soluciones y representaciones

Proveer a los estudiantes de mltiples representaciones ayuda adesarrollar tanto su comprensin conceptual como su fexibilidadcomputacional.

Los docentes eectivos proporcionan a sus estudiantesoportunidades de utilizar una gama cada vez mayor de lasrepresentaciones, as como la posibilidad de traducir entre ellas. Por

ejemplo, un estudiante que trabaja con dierentes representacionesde unciones (escenarios de la vida real, grcos, tablas y ecuaciones)tiene dierentes ormas de ver y pensar las relaciones entre las

variables.

Las tareas que tienen ms de una estrategia de solucin posible,pueden ser utilizadas para impulsar a los estudiantes a plantear

estrategias. Los docentes ecaces aprovechan las discusiones detoda la clase como una oportunidad de elegir y secuenciar dierentesenoques de los estudiantes con el objetivo de establecer vnculosentre las representaciones. Por ejemplo, los estudiantes puedenilustrar la solucin para 10328 utilizando una recta numrica

vaca, un modelo de base diez, o una representacin de notacin.Al compartir una estrategia de soluciones, los estudiantes pueden

desarrollar un pensamiento matemtico ms potente, fuido ypreciso.

Conexin con la vida cotidiana

Cuando los estudiantes descubren que pueden utilizar la matemticacomo una herramienta para la solucin de problemas signicativos

en su vida cotidiana, comienzan a ver que es relevante e interesante.Eso s, el docente ecaz debe tener cuidado de que los contextos queeligen no distraigan a los estudiantes de los propsitos de las tareasmatemticas. El proesor hace conexiones matemticas y planteametas explcitas para apoyar a aquellos estudiantes que tiendena enocarse en temas de contexto a expensas de la matemtica.

ambin apoyan a los estudiantes que se inclinan a compartimentar

problemas y a perder las ideas que los conectan.

Lectura sugerida:Anghileri, 2006; Watson & Mason, 2006.


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6. Evaluacin para el aprendizaje

Los docentes ecientes utilizan una seriede prcticas para la evaluacin, de modoque se haga visible el pensamiento de los

estudiantes y apoyar as su aprendizaje.


El docente ecaz hace uso de una amplia gama de evaluacionesormales e inormales para diagnosticar problemas de aprendizaje,

monitorear su progreso y determinar qu necesitan hacer losestudiantes de ahora en adelante para continuar aprendiendo. En elcurso de la actividad regular del aula, recogen inormacin acerca decmo aprenden sus estudiantes, lo que parecen saber y son capaces dehacer, y lo que les interesa. De esta manera, saben lo que unciona ylo que no, y son capaces de proporcionar una enseanza inormada ytomar decisiones en cuanto al aprendizaje.

Explorando el razonamiento de los estudiantes y sondeando sucomprensin

Durante las clases de todos los das, los docentes toman un sinnmerode decisiones sobre la instruccin. Evaluaciones aplicadas al progresode los estudiantes momento a momento, ayudan a decidir qupreguntas hacer, cundo intervenir y cmo responder a las preguntas.El docente gana mucho al observar a sus estudiantes mientras trabajan

y al hablar con ellos: puede evaluar la comprensin de los estudiantes,ver qu estrategias preeren y amiliarizarse con el lenguaje queutilizan. Los docentes ecaces utilizan esta inormacin como basepara decidir qu ejemplos y explicaciones enocarn durante la clase.

Las entrevistas uno-a-uno tambin pueden proporcionar aportesimportantes: una entrevista de resolucin de problemas en voz alta,a menudo revelar ms sobre lo que est pasando por la mente de

un estudiante, que una prueba escrita. Los docentes que utilizanentrevistas por primera vez, suelen sorprenderse al descubrir loque los estudiantes conocen y desconocen. Debido a que desaansus expectativas y suposiciones, las entrevistas pueden hacer que losdocentes respondan mejor a las diversas necesidades de aprendizajede los estudiantes.

Preguntas de los docentes

Al hacer preguntas, los docentes ecientes requieren que losestudiantes participen en pensamiento matemtico y resolucin deproblemas. Al proporcionar suciente tiempo para que los estudiantes


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exploren las respuestas en proundidad y presionarlos para obtener

una explicacin y comprensin, los docentes pueden asegurar que losestudiantes estn involucrados de manera productiva. Las preguntastambin son medios poderosos para evaluar el conocimiento delos estudiantes y explorar sus pensamientos. Un indicador clave decuestionamiento es cmo los docentes escuchan las respuestas de susestudiantes.

Los docentes ecientes prestan atencin, no solo a la respuesta

correcta sino tambin al pensamiento matemtico de los estudiantes.Ellos saben que una respuesta equivocada podra indicar unpensamiento inesperado, ms que la alta de entendimiento.Igualmente, una respuesta correcta puede llegar a travs de unpensamiento deectuoso.

Para explorar el pensamiento de los estudiantes y animarlos aparticipar en un nivel superior, los docentes pueden utilizar preguntas

que comienzan con una solucin. Por ejemplo, si el rea de unrectngulo es de 24 cm2y el permetro es de 22 cm, cules sonsus dimensiones? Preguntas que tienen una variedad de solucioneso pueden ser resueltas en ms de una orma, tienen el potencial deproporcionar una inormacin valiosa al pensamiento y razonamientodel estudiante.

Retroalimentacin

Este recurso es til cuando se centra en la tarea, no en puntajes ocalicaciones, y describe por qu algo est bien o mal. Describeadems qu hacer a continuacin o sugiere estrategias para mejorar.Los docentes ecientes apoyan a sus estudiantes cuando estnatascados, no dando soluciones completas sino alentndolos a buscarms inormacin, intentar otro mtodo o discutir el problema con

sus compaeros de clase. En respuesta a un estudiante que dice queno entiende, un docente podra decir: bueno, la primera parte esigual al anterior problema; luego sumamos una variable. Ve si puedesaveriguar cul es. Yo regresar en unos minutos. Este docente desaaal estudiante a intentar una refexin ms prounda antes de regresar

y comprobar su progreso.

Evaluacin personal y de los compaeros

Los docentes ecientes brindad oportunidades a sus estudiantes paraevaluar su propio trabajo. Ello puede incluir el que los estudiantesdiseen sus propias preguntas para una prueba, compartir ciertoscriterios, escribir diarios matemticos o presentar una carpeta conevidencia de su creciente comprensin. Cuando la retroalimentacines utilizada para alentar el dilogo de estudiante a estudiante y deestudiante a docente, la auto-evaluacin se torna en una parte regular

del proceso de aprendizaje y los estudiantes desarrollan una mayorconciencia de s mismos.

Lectura sugerida: Steinberg, Empson, & Carpenter, 2004; Wiliam, 2007.


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7. Comunicacin matemtica

Los docentes efectivos son capacesde facilitar el dilogo enfocado a laargumentacin matemtica en clase.


Los docentes ecaces alientan a sus estudiantes a explicar y justicarsus soluciones. Piden que tomen una posicin y la deendan antedemandas matemticas contrarias, expuestas por otros estudiantes.

Ellos supervisan los intentos de los estudiantes para examinarconjeturas, desacuerdos y contraargumentos. Con su orientacin,los estudiantes aprenden cmo utilizar ideas matemticas, lenguaje

y mtodos. Cuando la atencin cambia de normas de procedimientopara dar sentido a la matemtica, los estudiantes se preocupanmenos de hallar respuestas y ms de pensar en qu los conduce aesas respuestas.

Intentos de supervisin de modos matemticos del habla ypensamiento

Los estudiantes deben aprender a comunicarse matemticamente,dar explicaciones matemticas concretas y justicar sus soluciones.Los docentes ecientes animan a sus estudiantes a comunicarsus ideas de orma oral, escrita y utilizando una variedad de

representaciones.Rearmar es un modo de guiar a los estudiantes en el uso

de convenciones matemticas. La rearmacin implica repetir,reormular o expandir el habla del estudiante. Los docentes puedenutilizarla para:

1. Resaltar ideas que vienen directamente de los estudiantes.

2. Ayudar a desarrollar la comprensin de los estudiantes que estimplcita en esas ideas.

3. Agregar nuevas ideas o llevar la discusin en otra direccin.

Desarrollar habilidades de argumentacin matemtica

Para guiar a los estudiantes en las ormas de argumentacin

matemtica, los docentes ecientes los animan a tomar y deenderposiciones en contra de ideas alternativas; sus estudiantes seacostumbran a escuchar las ideas de otros y utilizan el debate pararesolver confictos y llegar a acuerdos comunes.


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En el siguiente episodio, una clase estuvo discutiendo la idea

de que las racciones pueden ser convertidas en decimales. Brunoy Gina han estado desarrollando habilidades de argumentacinmatemtica durante esta discusin. La maestra entonces se dirigea la clase:

Bien, ahora espero que estn escuchando porque lo que

dijeron Gina y Bruno ue muy importante. Bruno hizo unaconjetura y Gina la prob por l, y en base a sus pruebasl revisa sus conjeturas porque para eso son las conjeturas.Eso signica que uno piensa que ve un patrn, de modoque llegar a una declaracin que cree es cierta, pero an noest convencido. Basado en una evidencia adicional, Brunorevis su conjetura y luego podra revisar nuevamente loque declar en un principio o algo totalmente nuevo. Peroestn haciendo algo importante. Estn buscando patrones ytratando de llegar a generalizaciones.

OConnor (2001, pp. 155156)

Esta maestra sostuvo el fujo de ideas de sus estudiantes y supo cundo

intervenir o no en la discusin, cundo presionar su comprensin,cundo resolver la competencia de reclamos de los estudiantes

y cundo abordar malentendidos o conusiones. Mientras losestudiantes aprendan sobre la argumentacin matemtica ydescubran qu hace que un argumento sea convincente, ellaescuchaba atentamente a las ideas e inormacin de los estudiantes.Es importante destacar que ella se abstuvo de emitir sus propias

explicaciones hasta que ueron necesarias.

Lectura sugerida: Lobato, Clarke, & Ellis, 2005; OConnor, 2001;Yackel, Cobb, & Wood, 1998.


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8. Lenguaje matemtico

Docentes ecientes dan forma allenguaje matemtico mediante el modelode trminos apropiados que permite

comunicar su signicado de manera quelos estudiantes entiendan.


Los docentes ecaces omentan en sus estudiantes el uso y

comprensin de la terminologa que est avalada por la comunidadmatemtica. Esto lo hacen mediante el establecimiento de vnculosentre el lenguaje matemtico, la comprensin intuitiva de losestudiantes y la lengua materna. Los conceptos y trminos tcnicosdeben ser explicados y presentados de orma que tengan sentidopara los estudiantes y a la vez se apeguen al signicado subyacente.

Mediante una cuidadosa distincin entre los trminos, los docentesayudan a los estudiantes a ser conscientes de las variaciones ysutilezas que se encuentran en el lenguaje matemtico.

Enseanza de la lengua explcita

Los estudiantes aprenden el signicado del lenguaje matemtico atravs de avisos explcitos y modelos. A veces, se puede ayudar a

comprender el signicado de un concepto a travs del uso de palabraso smbolos que tienen el mismo signicado matemtico, como porejemplo x, multiplicar y por. Una atencin particular es necesariaal utilizar palabras como menos que, ms, tal vez y mitad, quepueden tener signicados ligeramente dierentes en el hogar. En lasiguiente transcripcin, un docente sostiene dos paquetes de cereal,

uno grande y otro pequeo, y pide a los estudiantes que describan ladierencia entre ellos en trminos matemticos.

M: Diran que estos dos tienen dierentes ormas?

E: Son similares.

M: Qu signica similares?

E: Con la misma orma, dierentes tamaos.M: Con la misma orma pero dierentes tamaos.

Eso est dando vueltas no? An no sabemos


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qu signica orma. Qu entienden ustedes pororma?

[Entonces, el docente rene tres objetos: los dos paquetesde cereales y una regla de metro. Coloca la regla junto alpaquete de cereal pequeo.]

M: Estos tienen ormas dierentes, pero ambos soncuboides. [Ahora coloca los paquetes de cereal

lado a lado].M: Estos dos tienen la misma orma pero tienentamaos dierentes. Qu hace que tengan lamisma orma?

[Una muchacha hace reerencia a una versin de escalareducida. Otra mide los lados para ver si estn en el mismoradio. Claire recoge palabras y hace hincapi en ellas].

M: Correcto. Se trata de relacin y escala.Runesson (2005, pp. 7576)

Contextos multilinges y la lengua materna

El docente debe presentar y utilizar una lengua maternaespecializada de modo que los estudiantes puedan comprendercilmente. rminos como valor absoluto, desviacin estndar ymuy probable, por lo general no tienen equivalentes en el lenguajeque utiliza un nio en casa. Donde el medio de instruccin esdierente de la lengua materna, los nios pueden tener dicultadesconsiderables con preposiciones, orden de las palabras, estructuraslgicas y condicionales, y los contextos no amiliares en los cualesestn situados los problemas. Los docentes de matemtica amenudo no estn conscientes de las barreras de comprensin quedeben sobrellevar los estudiantes de dierentes culturas e idiomas.El lenguaje (o cdigo) de conmutacin en el que los docentessustituyen una palabra, rase u oracin en la lengua materna paradescribir un concepto matemtico, puede ser una estrategia til paraque los estudiantes entiendan el signicado subyacente.

Lectura sugerida: Runesson, 2005; Setati & Adler, 2001.


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9. Herramientas y representaciones

Los docentes ecientes seleccionancuidadosamente las herramientas yrepresentaciones para el apoyo al

pensamiento de los estudiantes.


Las representaciones y herramientas que apoyan el desarrollomatemtico de los estudiantes incluyen el nmero en s, el simbolismo

algebraico, grcos, diagramas, modelos, ecuaciones, notaciones,imgenes, analogas, metoras, historias, textos y tecnologa. Estasherramientas son vehculos para la representacin, comunicacin,refexin y argumentacin. Son ms eectivas cuando dejan de serayuda externa para convertirse en parte integral del razonamientomatemtico de los estudiantes. El signicado creciente de estasherramientas se invierte, de manera que se tornan en elementos

cada vez ms tiles para promover el aprendizaje uturo.Pensar con herramientas

Si las herramientas procuran orecer a los estudiantes espacios depensamiento, ayudarles a organizar su razonamiento matemtico

y apoyar su sentido de decisiones, los docentes deben asegurarseque las herramientas elegidas sean utilizadas de manera eectiva.

Con la ayuda de una herramienta adecuada, los estudiantes puedenrefexionar sobre un problema o probar una idea que ue presentadapor su docente. Por ejemplo, actividades de uso de cuadros de diezpueden ser utilizados para ayudar a los estudiantes a visualizarrelaciones de nmeros de modo que puedan ver cun lejos est unnmero respecto del 10 o cmo un nmero puede dividirse.

Los docentes ecientes tienen cuidado al utilizar ciertas

herramientas, particularmente aquellos materiales concretos pre-diseados, como rectas numricas o uso de cuadros de diez, paraasegurarse que los estudiantes logren hallar su sentido matemtico.Hacen esto al explicar cmo el modelo est siendo utilizado,cmo representa ideas bajo discusin y cmo est vinculado a lasoperaciones, conceptos y representaciones simblicas.

Comunicndose con herramientasLas herramientas, refejadas tanto en objetos manipulables como

virtuales, son tiles para la comunicacin de ideas y pensamientos que


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son diciles de describirlos de orma oral o escrita. Las herramientas

a utilizar no necesariamente deben ser aquellas preabricadas.Los docentes ecientes reconocen el valor de los estudiantes quegeneran sus propias representaciones, ya sea mediante la invencinde notaciones o representaciones grcas, pictricas, tabulares,o geomtricas. Por ejemplo, los estudiantes pueden utilizar datosestadsticos y crear su propia representacin pictrica para contarhistorias, antes de adquirir herramientas grcas ormales. Mientras

utilizan herramientas para comunicar sus ideas, los estudiantesdesarrollan y aclaran su propio pensamiento y, al mismo tiempo,proporcionan a sus proesores una visin de su pensamiento.

Nuevas tecnologas

Un conjunto cada vez mayor de herramientas tecnolgicasest disponible para su uso en las aulas de matemtica. Estas

incluyen aplicaciones en calculadora o computadora, tecnologasde presentacin como la pizarra, tecnologas mviles comoclickers y registradores de datos, y por ltimo la internet. Estasaplicaciones dinmicas, grcas, numricas y visuales proporcionannuevas oportunidades para docentes y estudiantes que exploran yrepresentan conceptos matemticos.

Con la gua de los docentes, la tecnologa puede apoyar la

investigacin independiente y la construccin de conocimientoscompartidos. Cuando son utilizadas para actividades de modelo,las herramientas tecnolgicas pueden vincular al estudiante con elmundo real, haciendo que la matemtica sea ms accesible y msrelevante.

Los docentes toman decisiones inormadas sobre cundo y cmo

utilizar la tecnologa para apoyar el aprendizaje. El docente ecientese toma el tiempo necesario para compartir con sus estudiantesel razonamiento tras estas decisiones; tambin requiere que susestudiantes monitoreen su propio uso, incluyendo el uso excesivo ola inrautilizacin de tecnologa. Dado el ritmo de los cambios, losdocentes necesitan desarrollo proesional continuo para que puedanutilizar tecnologas nuevas aplicadas a mtodos que promuevan elpensamiento matemtico de los estudiantes.

Lectura sugerida: Tomas & Chinnappan, 2008; Zevenbergen &Lerman, 2008.


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10. Conocimientos de los docentes

Los docentes ecaces desarrollan yutilizan conocimientos slidos como basepara iniciar el aprendizaje y responder a

las necesidades matemticas de todos susestudiantes.


La orma en que los docentes organizan la enseanza en las

clases depende mucho de lo que saben y creen de la matemtica,y de lo que comprenden sobre la enseanza y aprendizaje desta. Ellos necesitan conocimientos que los ayuden a reconocer yactuar en consecuencia, rente a las oportunidades de enseanzaque se presentan sin previo aviso. Si los docentes entienden lasgrandes ideas de la matemtica pueden representar la matemticacomo un sistema coherente y conectado, y pueden dar sentido ymanejar puntos de vista mltiples de los estudiantes. Slo con el

conocimiento de contenido sustancial y contenidos pedaggicos, esque los docentes pueden ayudar a sus estudiantes a desarrollar unacomprensin matemtica undamentada.

Los docentes y el conocimiento de contenidos

Los docentes ecientes tienen un buen conocimiento del contenidorelevante y saben cmo ensearlo. Conocen cules son las grandesideas y cmo explicarlas. Pueden pensar en un modelo y utilizarejemplos y metoras del modo en que refexionan los estudiantesavanzados. Los docentes ecientes pueden evaluar de manera crticalos procesos y soluciones del estudiante, y comprenderlos medianteuna retroalimentacin adecuada. Ellos pueden ver el potencial enlas tareas propuestas y esto contribuye a una buena e instruida tomade decisiones.

Conocimiento de contenido pedaggico para docentes

El conocimiento con contenido pedaggico es crucial en todos losniveles de matemtica y con todos los grupos de estudiantes. Losdocentes con conocimientos proundos tienen ideas claras sobrecmo construir un conocimiento procedimental y cmo ampliar ydesaar las ideas del estudiante. Utilizan sus conocimientos paratomar varias decisiones en cuanto a tareas, recursos en el aula,conversaciones y acciones que alimenten o se deriven del proceso

de aprendizaje. Los docentes con conocimientos limitados tiendena estructurar el aprendizaje y la enseanza alrededor de conceptosdiscretos, en lugar de crear conexiones ms amplias entre los hechos,conceptos, estructuras y prcticas.


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Para ensear contenidos matemticos eectivamente, los

docentes necesitan una comprensin undamentada de losestudiantes como aprendices.

Con esa comprensin, los docentes estn conscientes de lasconcepciones y conceptos errneos, y usan este conocimiento paratomar decisiones pedaggicas que ortalezcan la comprensinconceptual.

El conocimiento de los docentes en accin

Como ilustra la siguiente transcripcin, un slido conocimientopermite al docente escuchar y preguntar ms aguda y eectivamente,para obtener inormacin que le permita tomar decisionesinmediatas en el aula.

El docente ret a su clase del ao 1-2 para investigarnmeros enteros negativos.

E: Cinco negativo ms cinco negativo debe ser cinconegativo.

M: No, porque ests sumando cinco negativo y cinconegativo.

M: Entonces empiezas con cinco negativo y cuntossaltos debes tomar?

E: Cinco.

M: Bueno, no vas a terminar en cinco negativo[puntos a cinco negativo en la recta numrica].Entonces, cinco negativo. Cuntos saltos debestomar?

E: Cinco.

M: Entonces, dnde teminars?

Fraivillig, Murphy & Fuson (1999, p. 161)

Al igual que este docente, aquellos con un conocimiento undadoson ms aptos para notar momentos crticos cuando las opcionesu oportunidades se presentan. Es importante destacar que, dada lacomprensin de las ideas matemticas y cmo ensear, los docentespueden adaptarse y modicar sus rutinas para acomodarse a las

necesidades.Mejorando el conocimiento de los proesores

El desarrollo del conocimiento de los proesores es ampliado por losesuerzos dentro de una amplia comunidad educativa. Los docentesnecesitan apoyo de otros, particularmente en material, sistemas yapoyo humano y emocional. Mientras los docentes pueden aprendermucho al trabajar junto a un grupo de apoyo de colegas matemticos,

las iniciativas de desarrollo personal a menudo son un catalizadornecesario para un cambio importante.

Lectura sugerida: Askew, Brown, Rhodes, Johnson, & Wiliam,1997; Hill, Rowan, & Ball, 2005; Schiter, 2001


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Conclusin

Los resultados actuales de la investigacin muestran que la naturalezade la enseanza de la matemtica aecta signicativamente la calidad

y los resultados del aprendizaje de los estudiantes. Esto resalta la

enorme responsabilidad que tienen los docentes por el bienestarmatemtico de sus estudiantes. En esta publicacin exponemos diezprincipios como punto de partida para discutir cambios, innovacin

y reormas. Estos principios deben ser mirados en su conjunto yno de manera aislada: la enseanza es compleja y muchos actoresrelacionados tienen un impacto en el aprendizaje del estudiante.Este texto orece ormas de abordar esta complejidad y hacer ms

ecaz la enseanza de la matemtica.

Una innovacin mayor y una verdadera reorma requiere laalineacin de esuerzos de todos los involucrados en el desarrollomatemtico de los estudiantes: los docentes, directores, educadores,investigadores, padres, servicios de apoyo especializado, juntasescolares, responsables de polticas y los propios estudiantes. Los

cambios deben ser negociados y llevados a la prctica en las aulas,equipos, departamentos, acultades y en programas de educacinde proesores. La innovacin y la reorma deben venir con losrecursos adecuados. Escuelas, comunidades y naciones necesitanasegurarse que sus docentes tengan los conocimientos, habilidades,recursos e incentivos para proporcionar a sus estudiantes las mejoresoportunidades de aprendizaje. De este modo, todos los estudiantes

tendrn la oportunidad de verse a s mismos como poderososaprendices de matemtica.


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La Ofcina

Internacional de

EducacinIBE

SERIES

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IVAS

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La IBE ue undada en Ginebra, Suiza, como unaorganizacin privada no gubernamental en 1925.Bajo nuevos estatutos se convirti en la primeraorganizacin inter-gubernamental en el campo de laeducacin. Desde 1969, el Instituto ha sido una parteintegral de la UNESCO manteniendo una amplia

autonoma intelectual y uncional.La misin de IBE es uncionar como un centrointernacional para el desarrollo de contenidos ymtodos de educacin. Construye redes para compartirconocimientos especializados y omentar capacidadesnacionales para el cambio curricular y el desarrollo entodas las regiones del mundo. Su objetivo es introducirenoques modernos en el diseo e implementacin del

currculo, mejorar las habilidades prcticas y omentarel dilogo internacional sobre polticas educativas.

IBE contribuye al logro de la Educacin de Calidadpara odos (EFA) principalmente a travs de: (a)desarrollar y acilitar una red mundial y una Comunidadde Prctica de especialistas en currculo; (b) laprestacin de servicios de asesoramiento y asistenciatcnica en respuesta a demandas especcas para lareorma curricular o desarrollo; (c) recolectar, producir

y otorgar acceso a una amplia gama de recursos deinormacin y materiales sobre los sistemas educativos,currculos y los procesos de desarrollo de currculoalrededor del mundo, incluyendo bases de datos enlnea (tal como Datos Mundiales de Educacin),estudios temticos, publicaciones (como Perspectivas,revista trimestral de educacin), reportes nacionales,

al igual que materiales curriculares y enoques para laeducacin sobre VIH y SIDA en los niveles primario ysecundario a travs del Centro de Inormacin de VIH

y SIDA; y (d) la acilitacin y el omento al dilogointernacional sobre polticas educativas, estrategias yreormas entre quienes estn encargados de la toma dedecisiones y otros interesados, en particular a travs dela Conerencia Internacional de Educacin organizada

por IBE desde 1934, que puede ser consideradauno de los oros para el desarrollo de polticas a nivelmundial y el dilogo entre el Ministerio de Educacin.

IBE es gobernado por un concejo compuesto derepresentantes de veintiocho estados miembros,electos por la Conerencia General de la UNESCO.IBE tiene el orgullo de estar asociada con el trabajode la Academia Internacional de la Educacin y

publica este material como un Centro de Intercambioque promueve la transerencia de inormacin sobre

ti d ti

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