PEMODELAN MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR)PADA DATA TIME SERIES
(Skripsi)
OlehAulianda Prasyanti
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG
2017
ABSTRACT
MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR) MODELING ONTIME SERIES DATA
By
AULIANDA PRASYANTI
Markov Switching Autoregressive (MSAR) model is used to analyzes changes offluctuation conditions in time series data. The time series data used in this studyare the US dollar exchange rate with respect to rupiah from May 15, 2016 toFebruary 20, 2017. The exchange rate values are fluctuative toward appreciationand depreciation. The condition of appreciation and depreciation is an unobservedvariable which called state. In this research the method of estimation is MaximumLikelihood Estimation (MLE). However, in the MSAR model there are statevariables and transition probability ( ) is not known and estimated by filteringand smoothing. The best MSAR model is MS(2)AR(2) with the chance of statedisplacement presented in the transition matrix. In the MSAR model it wascalculated the expected duration of the state of appreciation is 15 days and theexpected duration of the depreciation state is 22 days.
Keywords: MSAR, fluctuations, filtering, smoothing, probability
ABSTRAK
PEMODELAN MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR)PADA DATA TIME SERIES
Oleh
AULIANDA PRASYANTI
Model Markov Switching Autoregressive (MSAR) adalah suatu model yangmenganalisis perubahan kondisi fluktuasi pada data time series. Data time seriesyang digunakan pada penelitian ini adalah kurs dollar AS terhadap rupiah padatanggal 15 Mei 2016 sampai 20 Februari 2017. Data kurs mempunyai pergerakanperubahan kondisi fluktuasi yakni apresiasi dan depresiasi. Kondisi apresiasi dandepresiasi dianggap suatu variabel yang tidak teramati yang disebut dengan state.Pada penelitian ini estimasi parameter dilakukan dengan metode MaximumLikelihood Estimation (MLE). Namun, pada model MSAR terdapat variabel statedan nilai peluang ( ) yang tidak dapat diketahui nilainya dengan metode MLEsehingga dilakukan proses filtering dan smoothing terlebih dahulu untuk mencarinilai peluang tersebut. Model MSAR terbaik yang diperoleh adalah MS(2)AR(2)dengan peluang perpindahan state disajikan dalam matriks transisi. Dalam modelMSAR dihitung rata-rata durasi lama state apresiasi bertahan sebesar 15 hari danrata-rata durasi state depresiasi bertahan sebesar 22 hari.
Kata kunci : MSAR, fluktuasi, filtering, smoothing, peluang
PEMODELAN MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR)PADA DATA TIME SERIES
Oleh
AULIANDA PRASYANTI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Aulianda Prasyanti, anak pertama dari dua bersaudara,
yang dilahirkan di Ponorogo (Jawa Timur) pada 25 Juli 1995 dari pasangan Bapak
Suryadi dan Ibu Boyati.
Penulis menempuh pendidikan Taman Kanak-Kanak (TK) Al-ikhwan yang
diselesaikan pada tahun 2001, Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SDN Cigadog
II yang bertempat di Kabupaten Subang, Provinsi Jawa Barat pada tahun 2007,
Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Jalancagak, Kabupaten Subang
Provinsi Jawa Barat yang diselesaikan pada tahun 2010, dan Sekolah Menengah
Atas (SMA) Negeri 1 Abung Selatan yang bertempat di Lampung Utara Provinsi
Lampung diselesaikan pada tahun 2013.
Tahun 2013, penulis terdaftar sebagai mahasiswi S1 Jurusan Matematika Fakultas
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Selama
menjadi mahasiswi, penulis aktif menjadi anggota organisasi kemahasiswaan
tingkat jurusan. Penulis pernah mendapatkan beasiswa Bantuan Biaya Pendidikan
Peningkatan Prestasi Akademik (BBP-PPA) pada tahun ajaran 2014/2015. Pada
tahun 2016, penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata di desa Bumi Dipasena
Agung, Kecamatan Rawajitu Timur, Kabupaten Tulang Bawang, Provinsi
Lampung, pada tahun yang sama penulis melaksanakan Kerja Praktik di Badan
Pusat Statistik (BPS) Provinsi Lampung.
KATA INSPIRASI
Lebih baik hidup diisi dengan banyak gagal dan banyak belajar daripadahidup yang tidak pernah melakukan apapun.
if we absolutely believe in the existence of Allah’s Kun Fayakuun then it willhappen accordingly
Jangan sesali sesuatu yang sudah ditentukan takdir, karena tanpakesulitan, kita tidak akan benar-benar menghargai kebahagiaan.
Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.Maka apabila kamu telah selesai (dari sesuatu urusan), kerjakanlah dengan
sungguh-sungguh (urusan) yang lain,dan hanya kepada Tuhanmulah hendaknya kamu berharap.
(Al-Insyirah: 6-8)
Hai orang-orang yang beriman, bersabarlah kamu dan kuatkanlahkesabaranmu dan tetaplah bersiap siaga dan bertaqwalah kepada ALLAH
supaya kamu Menang .(Ali Imraan : 10)
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa Syukur Alhamdulillah kepada Allah SWT penulis
persembahkan karya kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan cinta
kepada semua orang yang senantiasa mendukung dan tulus mendo’akan
kelancaran terciptanya karya ini
Ayah dan Ibu Tercinta yang selalu mendo’akan, menjadi motivator terbesar
selama ini
Adik tercinta yang selalu menjadi penyemangat penulis untuk menjadi kakak
yang dibanggakan
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dan selalu memberikan
pengarahan, nasehat serta motivasi kepada penulis
Teman-teman yang selalu ada dikala suka maupun duka
Almamater Universitas Lampung
SANWACANA
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat
dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pemodelan
Markov Switching Autoregressive (MSAR) Pada Data Time Series”. Shalawat
serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita Nabi
Muhammad SAW.
Dalam penyusunan skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan berupa saran,
bimbingan, maupun motivasi dari berbagai pihak yang tentunya sangat
bermanfaat dan berharga sehingga skripsi ini dapat diselesaikan oleh penulis.
Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang setulus-tulusnya kepada :
1. Bapak Prof. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D. selaku Dosen Pembimbing
Pertama dan Pembimbing Akademik, terima kasih untuk perhatian, ilmu yang
berharga, bimbingan, arahan, nasehat, dukungan dan kesediaan waktunya
selama perkuliahan dan penyusunan skripsi.
2. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Kedua, terima kasih
atas perhatian, motivasi, bimbingan, wawasan yang bermanfaat serta kesediaan
waktunya dalam penyusunan skripsi.
3. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku Dosen Penguji, terima kasih atas kesediaan
waktunya untuk memberikan masukan, arahan, kritik dan saran yang
membangun dalam penyelesaian skripsi.
4. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Seluruh Dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan yang berharga dan bantuan
kepada penulis.
7. Bapak, mama, dan adik tercinta yang selalu memberikan do’a, nasehat,
semangat, kasih sayang, pengorbanan, kepercayaan, kebutuhan materi, tawa
canda, kekuatan serta pelajaran hidup kepada penulis sehingga penulis menjadi
kuat untuk menjalani setiap rintangan dalam hidup.
8. Teman satu bimbingan skripsi, yaitu Nurul, Mai, Citra, Ijal, Suyit, Hamid, dan
Haris, yang memberikan semangat dan do’a dan ilmu dalam menyelesaikan
skripsi ini.
9. Dita, Rifa, Galuh, Shela, Desna, Nina, Tara, Rini, Nafis, Lia, Hani, Mifta,
Tyas, Dafri, Hendi, dan keluarga KKN yang memberikan do’a dan dukungan.
10. Keluarga Matematika 2013 atas kebersamaan, tawa canda, dan arti hidup.
11. Almamater Universitas Lampung.
12. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Akhir kata penulis mengharapkan kritik dan saran pada penelitian ini, dan semoga
penelitian ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Bandar Lampung, Desember 2017Penulis
Aulianda Prasyanti
xii
DAFTAR ISI
halaman
DAFTAR GAMBAR...................................................................................... xiv
DAFTAR TABEL .......................................................................................... xv
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan masalah ...................................................................... 11.2 Tujuan Penelitian ....................................................................................... 31.3 Manfaat Penelitian ..................................................................................... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Runtun waktu (Time Series)......................................................... 52.2 Autoregressive (AR)................................................................................... 52.3 Stasioneritas ............................................................................................... 62.4 Autocorrelation Function dan Parsial Autocorrelation Function ............ 7
2.4.1 Autocorrelation Function (ACF) ..................................................... 72.4.2 Parsial Autocorrelation Function (PACF) ...................................... 9
2.5 Augmented Dickey-Fuller (ADF)............................................................... 142.6 Return ......................................................................................................... 142.7 State............................................................................................................ 152.8 Markov Switching ...................................................................................... 152.9 Model Markov Switching Autoregressive (MSAR)................................... 16
2.9.1 Peluang Perpindahan State ................................................................ 162.9.2 Rata-rata Jangka Waktu Pada Masing-masing State......................... 17
2.10 Peluang (Probability) ............................................................................... 172.11 Matriks (Matrix)....................................................................................... 182.12 Matriks Transisi (Transition Matrix) ....................................................... 192.13 Estimasi Parameter Model Markov Switching Autoregressive ................ 20
2.13.1 Filtering .......................................................................................... 212.13.2 Smoothing........................................................................................ 22
2.14 AIC (Akaike Info Criterion) ..................................................................... 242.15 Uji Jarque-Berra ....................................................................................... 242.16 Kurs, Depresiasi, dan Appresisasi............................................................ 25
xiii
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................................... 273.2 Data Penelitian ........................................................................................... 273.3 Metode Penelitian ...................................................................................... 27
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Uji Stasioneritas ......................................................................................... 304.2 Penentuan State .......................................................................................... 424.3 Estimasi Parameter..................................................................................... 424.4 Uji Diagnostik Model ................................................................................ 37
4.4.1 Uji Signifikansi Parameter Model .................................................... 374.4.2 Uji Jarque-Berra................................................................................ 38
4.5 Hasil dari Proses Filtering dan Smoothing pada Estimasi Model MSAR. 39
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar halaman
1. Plot time series data kurs beli (dollar AS terhadap rupiah) .......................... 30
2. Grafik kolerogram data kurs beli (dollar AS terhadap rupiah) ..................... 31
3. Plot return data kurs dollar AS terhadap rupiah ........................................... 33
4. Grafik kolerogram ACF return data kurs beli (dollar AS terhadap rupiah).. 33
5. Plot filtering dan smoothing data return kurs dollar AS ............................... 39
xv
DAFTAR TABEL
Tabel halaman
1. Uji akar unit Augmented Dickey-Fuller (ADF) dari kurs dollar ASterhadap rupiah.............................................................................................. 32
2. Uji akar unit Augmented Dickey-Fuller (ADF) dari data returnkurs dollar AS terhadap rupiah ..................................................................... 34
3. Estimasi parameter Markov Switching Autoregressive (MSAR)................. 36
4. Uji Normalitas Residual................................................................................ 38
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Globalisasi di dalam bidang ekonomi menyebabkan berkembangnya sistem
perekonomian dan perdagangan ke arah yang lebih terbuka antar negara. Hal ini
membawa suatu dampak ekonomis terjadinya perdagangan internasional antar
negara-negara di dunia. Perbedaan mata uang yang digunakan oleh negara-negara
yang bersangkutan baik negara pengekspor maupun pengimpor menimbulkan
suatu perbedaan nilai tukar mata uang (kurs). Di setiap negara, kurs berperan
penting terhadap pembayaran saat kini atau di kemudian hari. Selain itu, kurs juga
dapat dijadikan alat untuk mengukur kondisi perekonomian suatu negara. Salah
satu mata uang yang mudah untuk diperdagangkan dan mempengaruhi
perekonomian di dunia adalah dollar AS. Dollar AS dapat diterima secara luas di
negara-negara maju maupun berkembang termasuk di Indonesia.
Data kurs dollar AS terhadap rupiah disajikan dalam bentuk data runtun waktu
(time series). Analisis time series pada umumnya dilakukan dengan model klasik
yang terkenal yakni Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) yang
dikembangkan oleh George EP Box dan Gwilym M. Jenkins, sehingga model
ARIMA ini sering disebut juga sebagai metode runtun waktu Box-Jenkins. Pada
2
model ARIMA, asumsi yang harus dipenuhi adalah stasioneritas dan
homoskedastisitas.
Namun dalam penerapannya, banyak data yang asumsi homoskedastisitasnya
tidak terpenuhi. Untuk mengatasi hal ini diperlukan analisis yang sesuai yakni
model ARCH, yang diperkenalkan oleh Robert F. Engle dan perluasan model
ARCH yakni model GARCH yang dikenalkan oleh T. Bollerslev. Akan tetapi,
model ARIMA, ARCH, dan GARCH adalah model yang tidak memperhatikan
kondisi fluktuasi (naik turunnya nilai suatu data).
Data kurs mengalami fluktuasi yang menyebabkan adanya perubahan kondisi naik
turunnya nilai kurs yang dapat disebabkan oleh krisis ekonomi, perang, maupun
hal lain yang dapat menyebabkan nilai data berubah. Pada umumnya, perubahan
kondisi fluktuasi pada data kurs ada 2 macam yakni apresiasi (peningkatan nilai
rupiah) dan depresiasi (penurunan nilai rupiah). Perubahan kondisi fluktuasi
sering tidak dihiraukan bahkan sering diabaikan. Sehingga diperlukan metode
yang sesuai untuk menganalisis data time series dengan memperhatikan fluktuasi
yang terjadi.
Metode yang dapat digunakan untuk menganalisis data time series pada peubah
ekonomi dengan memperhatikan kondisi fluktuasi adalah Markov switching. Pada
model Markov switching, kondisi fluktuasi pada data dianggap suatu variabel
yang tidak teramati, variabel ini sering disebut dengan state.
Hamilton (1989) mengenalkan model Markov Switching Autoregressive (MSAR)
sebagai model time series yang dapat menjelaskan perubahan kondisi fluktuasi
3
yang terjadi pada data. Selain itu, model Markov Switching Autoregressive
(MSAR) dapat menghitung peluang transisi (peluang perpindahan state) dan
menghitung rata-rata lama durasi untuk masing-masing state.
Berdasarkan uraian tersebut, pada penelitian ini akan dibahas model Markov
Switching Autoregressive (MSAR) yang diterapkan pada salah satu variabel
ekonomi yakni kurs dollar AS terhadap rupiah karena dianggap bahwa pergerakan
kurs dollar AS terhadap rupiah memiliki perubahan kondisi fluktuasi. Perubahan
kondisi fluktuasi tersebut yakni apresiasi dan depresiasi, sehingga pada penelitian
ini diasumsikan ada dua state. Penelitian ini akan mencari model terbaik bagi data
kurs dollar AS terhadap rupiah, menentukan peluang transisi (peluang berpindah
atau bertahan suatu state), serta menentukan rata-rata lama durasi bertahan untuk
masing-masing state.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Menentukan model yang terbaik untuk data kurs dollar AS terhadap rupiah.
2. Menentukan peluang kurs dollar AS terhadap rupiah bertahan pada kondisi
apresiasi atau bertahan pada kondisi depresiasi, kondisi apresiasi berpindah ke
depresiasi maupun depresiasi berpindah ke apresiasi.
3. Menghitung rata-rata lama durasi kondisi apresiasi bertahan maupun kondisi
depresiasi bertahan dari kurs dollar AS terhadap rupiah.
4
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengetahui lebih mendalam tentang penerapan model Markov Switching
Autoregressive (MSAR) sebagai salah satu model alternatif dalam runtun
waktu finansial.
2. Mendapatkan informasi tentang peluang kondisi fluktuasi (naik turunya nilai
data kurs) yang terjadi.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Runtun waktu (Time Series)
Menurut Wei (2006), Time series merupakan serangkaian observasi terhadap
suatu variabel yang diambil secara beruntun berdasarkan interval waktu yang
tetap. Rangkaian data pengamatan time series dinyatakan dengan variabel
dimana t adalah indeks waktu urutan pengamatan.
2.2 Autoregressive (AR)
Misalkan bahwa pengamatan time series bergantung pada , dengan adalah
waktu terakhir, yaitu distribusi bersyarat dari dapat ditulis
( | ) = , … ,Jika diasumsikan bahwa ketergantungan itu sedemikian rupa sehingga rata-rata
bersyarat dari adalah fungsi linear dari , … , sedangkan varian dari
bersyarat adalah konstan maka dapat digambarkan dengan model linear orde
atau yang lebih kita kenal dengan model autoregressive orde (AR( )). Model
autoregressive adalah representasi random proses yang bergantung secara linear
pada nilai sebelumnya.
6
Berikut ini adalah model Autoregressive orde :
= + + … + + (2.1)
dengan
, , … , : parameter autoregressive
: residual yang white noise
White noise maksudnya adalah memenuhi tiga asumsi yakni :
1. [ ] = 0 = 1,2, … ,2. [ ] = = 1,2, … ,3. [ ] = 0 , = 1,2, … , ≠Selain itu, tidak diamati dan harus diperkirakan dari data, berdasarkan model
yang di asumsikan untuk (Franses, et all, 2014).
2.3 Stasioneritas
Stasioner berarti bahwa tidak terdapat perubahan drastis pada data. Stasioner
dibagi menjadi dua yakni :
1. Stasioner dalam rata-rata
Stasioner dalam rata-rata adalah fluktuasi data berada disekitar suatu nilai rata-
rata yang konstan, tidak bergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi
7
tersebut. Dari bentuk plot data sering kali dapat diketahui bahwa data tersebut
stasioner atau tidak stasioner.
2. Stasioner dalam variansi
Sebuah data deret waktu dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur dari
waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak
berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan
menggunakan plot deret waktu, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari waktu ke
waktu (Wei, 2006).
2.4 Autocorrelation Function dan Parsial Autocorrelation Function
Dalam metode time series, alat utama untuk mengidentifikasi model dari data
adalah dengan menggunakan fungsi autokorelasi / Autocorrelation Function
(ACF) dan fungsi autokorelasi parsial / Partial Autocorrelation Function (PACF).
2.4.1 Autocorrelation Function (ACF)
Proses stasioner suatu data time series ( ) diperoleh ( ) = dan variansi( ) = ( − ) = yang konstan dan kovarian ( , ). yang
fungsinya hanya pada perbedaan waktu | − ( − )|. Maka dari itu hasil tersebut
dapat ditulis sebagai kovariansi antara dan sebagai berikut :
= ( , ) = ( − )( − )
8
Dan korelasi antara dan didefinisikan sebagai
= ( , )( ) ( ) =Dimana notasi ( ) dan ( ) = . Sebagai fungsi dari k. adalah
fungsi autokovarian dan adalah fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function /
ACF). Dalam analisis time series dan menggambarkan kovarian dan korelasi
antara dan dari proses yang sama hanya dipisahkan oleh lag ke-k.
Fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi memiliki sifat-sifat sebagai
berikut :
1. = ( ); = 1Bukti :
Dengan menggunakan definisi korelasi antara dan akan dibuktikan
Bahwa = ( ); = 1= ( , )( ) ( ) =
Diberikan k = 0, maka
= ( , )( ) ( ) == ( , )( ) ( ) == ( )( ) =
9
= ( )( ) = = 1 (Terbukti).
2. | | ≤ ; | | ≤ 1Bukti :
Sifat kedua merupakan akibat dari persamaan autokorelasi kurang dari atau
sama dengan 1 dalam nilai mutlak.
3. = ( ) dan = ( ) untuk semua k. dan adalah fungsi yang sama
dan simetri lag k = 0.
Bukti :
Sifat tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara dan . Oleh sebab
itu, fungsi autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag positif. Plot fungsi
autokorelasi sering disebut korelogram (Wei, 2006).
2.4.2 Parsial Autocorrelation Function (PACF)
Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara dan
, apabila pengaruh dari time lag 1, 2, 3, . . . , dan seterusnya sampai k-1
dianggap terpisah . Fungsi Autokorelasi parsial dapat dinotasikan dengan :
( , , , , … , )Misalkan adalah proses stasioner dengan ( ) = 0, selanjutnya dapat
dinyatakan sebagai model linear
= + +⋯+ + (2.2)
10
Dengan adalah parameter regresi ke-i dan adalah nilai kesalahan yang
tidak berkorelasi dengan dengan = 1,2, … , . Untuk mendapatkan nilai
PACF, langkah pertama yang dilakukan adalah mengalikan persamaan (2.2)
dengan pada kedua ruas sehingga diperoleh :
= + +⋯+Lalu nilai ekspetasinya adalah
( = ( + +⋯++ )dimisalkan nilai
= , = 0,1, … ,dan karena = 0. Maka diperoleh
= + +⋯+ (2.3)
Persamaan (2.3) dibagi dengan
= + +⋯+diperoleh
= + +⋯+ = 1,2, …Untuk = 1,2, … , didapatkan sistem persamaan
= + +⋯+
11
= + +⋯+⋮ (2.4)= + +⋯+Sistem persamaan (2.4) untuk j = 1, 2, 3, …, k digunakan untuk mencari nilai-
nilai fungsi autokorelasi parsial lag k yaitu , , … , ..a. Untuk lag pertama (k=1) dan (j=1) diperoleh sistem sebagai berikut :
= karena = 1 sehingga = yang berarti bahwa fungsi
autokorelasi parsial pada lag pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi
pada lag pertama.
b. Untuk lag kedua (k=2) dan (j=2) diperoleh sistem persamaan
= += + (2.5)
Persamaan (2.5) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi
== 1 1 , = 1
, dan dengan menggunakan aturan Cramer
diperoleh
= det( )det( ) = 11 1c. Untuk lag ke-3 (k=3) dan (j=1,2,3) diperoleh sistem persamaan
= + +
12
= + += + + (2.6)
Persamaan (2.6) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi
== 1 1 1 , = 1 1
dan dengan aturan Cramer diperoleh
= det( )det( ) =1 1 11 1 12 1 31 1 21 1 12 1 1
d. untuk lag ke-j=1,2,3,...,k didapat sistem persamaanya adalah
= + + +⋯+= + + +⋯+= + + +⋯+
⋮ (2.7)
= + + +⋯+
13
Persamaan (2.7) dinyatakan dalam bentuk matriks
⎣⎢⎢⎢⎡ 1 …1 …1 …⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮… ⎦⎥⎥
⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥⎥⎤ = ⎣⎢⎢⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥⎥⎤
dengan aturan Cramer didapat
= ⎣⎢⎢⎢⎡ 1 …1 …1 …⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮… ⎦⎥⎥
⎥⎤
Nilai autokorelasi parsial lag k hasilnya adalah
= det( )det( ) =1 …1 …1 …⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮…1 …1 …1 …⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮… 1
disebut PACF antara dan atau dapat juga dituliskan
= 1 = 00 ≠ 0Dengan demikian diperoleh autokorelasi parsial dari pada lag k. Himpunan dari{ ; = 1,2, … } disebut sebagai Partial Autocorrelation Function (PACF).
Fungsi menjadi notasi standar untuk autokorelasi parsial antara observasi
dan dalam analisis time series. Fungsi akan bernilai nol untuk k > p.
14
Sifat ini dapat digunakan untuk identifikasi model AR yaitu pada model
Autoregressive berlaku ACF akan menurun secara bertahap menuju nol
dan nilai PACF model AR yaitu = 0, k > p (Wei, 2006).
2.5 Augmented Dickey-Fuller (ADF)
Selain dengan melihat plot dari ACF dan PACF, untuk melihat kestasioneran data
dapat juga dengan menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF).
Misalkan persamaan regresi :∆ = + ∑ ∗Δ + (2.8)
Dimana = − (1) dan ∗ = −( +⋯+ )Uji ADF dilakukan dengan menghitung nilai statistik dengan rumus:
= ( )Pada model ini hipotesis yang diuji adalah :
0 ∶ = 0 (data time series tidak stationer)
1 ∶ < 0 (data time series stationer)
dengan kriteria tolak 0 jika | | > , (Brockwell dan Davis, 2002).
2.6 Return
Sebagian besar studi mengenai ekonomi dan finansial lebih menitikberatkan pada
return daripada nilai sebenarnya. Hal ini disebabkan karena untuk data finansial,
yang menjadi pusat perhatian adalah fluktuasi harga yang terjadi. Return mudah
dipakai dibandingkan nilai sebenarnya karena bentuknya memiliki sifat statistik
yang baik. Pendekatan fluktuasi harga adalah perubahan relatif atau return yang
15
sering didefinisikan sebagai log natural return. Log natural return dirumuskan
sebagai :
Xt = ln
dengan yt adalah observasi pada waktu t (Tsay, 2002).
2.7 State
State adalah kondisi yang merupakan peubah acak , dimana jika suatu peubah
acak berada pada state tersebut maka dapat berpindah ke state lainnya (Cox and
Miller, 1965).
Menurut Hamilton (1994) untuk menentukan suatu state adalah appresiasi atau
depresiasi dengan mempertimbangkan melalui nilai dengan ketentuan bahwa< . Dengan adalah rataan pada state 0 dan adalah rataan pada state 1.
2.8 Markov Switching
Perubahan (switching) dapat terjadi pada rataan, maupun rataan dan varian. Model
dengan switching pada nilai rataan dan varian dapat dituliskan := + (2.9)
dengan ~ (0, )sedangkan adalah state atau regime dimana ∈ {0,1,…M} yang dipengaruhi
oleh waktu t dan M adalah banyaknya state (Hamilton, 1994).
16
2.9 Model Markov Switching Autoregressive (MSAR)
Model Markov Switching Autoregressive (MSAR) adalah kombinasi sederhana
antara Markov Switching dengan model time series (Autoregressive). Kim dan
Nelson (1999) menuliskan model MSAR :
− = Φ − +atau dapat ditulis sebagai berikut :− = Φ − +⋯+ Φ − + (2.10)
dengan ~ (0, ).
Keterangan:, , … , : data pengamatanΦ , Φ , … , Φ : koefisien Autoregressive, , … , : rataan pada saat t yang dipengaruhi perubahan state
: varian pada saat t yang dipengaruhi perubahan state
: residual pada saat t
2.9.1 Peluang Perpindahan State
Pada Model Markov Switching Autoregressive (MSAR), state tidak teramati. Pada
model ini dihitung nilai peluang dengan proses filtering dan smoothing. Peluang
perpindahan state dibentuk dalam matriks transisi karena rantai markov pada
matriks transisi menyatakan nilai sekarang dipengaruhi nilai masa lalu dengan
jumlah entri pada baris matriks transisi bernilai 1 (Kim and Nelson, 1999).
17
2.9.2 Rata-rata Jangka Waktu pada Masing-masing State
Menurut Kim dan Nelson (1999) Model MSAR juga dapat menghitung lama
durasi rata-rata dari masing-masing state. Elemen diagonal dari matriks peluang
transisi mengandung informasi penting mengenai durasi rata-rata yang diharapkan
dari suatu state akan bertahan. Durasi rata-rata state dihitung dengan persamaan
E(D) = .
2.10 Peluang (Probability)
Salah satu cara untuk menentukan peluang suatu kejadian adalah dalam
menentukan frekuensi relatifnya. Definisi ini maksudnya bahwa untuk menduga
percobaan yang ruang sampelnya adalah S berulang kali dilakukan dalam kondisi
yang persis sama.
Untuk setiap kejadian E dari ruang sampel S, didefinisikan n (E) menjadi berapa
kali di n pertama pengulangan percobaan bahwa kejadian E terjadi.
Kemudian , peluang dari kejadian E, didefinisikan sebagai :( ) =( )( )
Artinya, ( ) didefinisikan sebagai proporsi (batas) waktu E yang terjadi.
Demikianlah frekuensi yang membatasi E. Pendekatan yang terakhir adalah yang
modern pendekatan aksiomatis terhadap teori. Diasumsikan bahwa, untuk setiap
kejadian E di ruang sampel S, ada nilai ( ), disebut sebagai probabilitas E.
Kemudian akan diasumsikan bahwa semua probabilitas ini memenuhi serangkaian
aksioma tertentu. Pertimbangkan percobaan yang ruang sampelnya adalah S.
18
Untuk setiap kejadian E dari sampel Ruang S, diasumsikan bahwa bilangan ( )didefinisikan dan memenuhi tiga aksioma berikut:
Aksioma 1 : 0 ≤ ( ) ≤ 1Aksioma 2 : ( ) = 1Aksioma 3 :
Untuk barisan dari kejadian saling lepas , ,… (Kejadian yang = ∅ ketika≠ .
= ( )dengan ( ) adalah peluang kejadian E (Ross, 2010).
2.11 Matriks (Matrix)
Suatu matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan -
bilangan. Bilangan - bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks.
Ukuran (size) suatu matriks dinyatakan dalam jumlah baris (arah horizontal) dan
jumlah kolom (arah vertikal). Huruf yang digunakan untuk menyatakan matriks
dicetak dengan huruf kapital. Entri yang terletak pada baris dan kolom di
dalam matriks A akan dinyatakan sebagai . Secara umum matriks × dapat
ditulis sebagai berikut :
A =
……⋮ ⋮ … ⋮
19
Jika menginginkan notasi yang singkat, maka matriks di atas dapat ditulis sebagai
× jika ukuran matriks sangat penting untuk diketahui atau jika
ukuran tidak terlalu dipentingkan. Entri pada baris dan kolom pada matriks A
juga dapat ditulis (A) (Anton dan Rorres, 2004).
2.12 Matriks Transisi (Transition Matrix)
Evolusi acak suatu rantai Markov ( ) ∈ ditentukan oleh data yang menyatakan
bahwa nilai sekarang dipengaruhi oleh nilai masa lalu
, = ( = | = ), , ∈yang bertepatan dengan peluang ( = | = ) yang independen∈ . Data ini bisa dibuat matriks yang disebut dengan matriks transisi yakni
, , ∈ = ( = | = )dapat juga ditulis untuk keadaan yang memiliki 2 kondisi (state)
, , ∈ = , ,, ,Perhatikan urutan inversi indeks ( , ) dari ( = | = ) dan , . Secara
khusus, keadaan awal adalah bilangan baris dalam matriks, sedangkan keadaan
akhir menyatakan bilangan kolom. Sehingga hubungannya adalah :∑ ∈ ( = | = ) = 1, ∈Baris pada matriks transisi memiliki kondisi
, = 1∈untuk setiap ∈ (Privault, 2013).
20
2.13 Estimasi Parameter Model Markov Switching Autoregressive
Estimasi parameter dilakukan untuk menduga nilai dari masing-masing parameter
pada model. Estimasi parameter model Markov Switching Autoregressive
(MSAR) menggunakan metode Pendugaan kemungkinan Maksimum (Maximum
Likelihood Estimation). Langkah yang dilakukan adalah dengan menentukan
fungsi densitas kemudian dibentuk menjadi fungsi log likelihood.
Menurut Hamilton (1989)Model MSAR memiliki fungsi densitas :
, , … , , Ω ; θ= 1√2 − ( − − Φ − − Φ − −. . . −Φ − )2
dengan keterangan :
Ω = ( , , … , ) : data pengamatan pada masa lalu
= ( , , Φ , ) : parameter model MSAR
Menghitung fungsi densitas dari yang diberikan informasi masalalu Ω dan
membutuhkan nilai , ,… yang merupakan variabel tidak teramati
(state), untuk menyelesaikan masalah ini, hal yang harus dilakukan adalah
mempertimbangkan fungsi densitas bersama dari dan , ,… :
1. Memperoleh fungsi densitas bersama dari dan , ,… bersyarat
informasi masalalu.
( , , ,… |Ω ; θ) = , , … , , Ω ; θ P[ , , … , , Ω ; θ]
21
2. Untuk mendapatkan ( |Ω ; θ) , maka menggabungkan densitas bersama dari
, ,… dengan menjumlahkan semua kemungkinan densitas bersama
dari , ,… :
( |Ω ; ) = … ( , , , … , | Ω ; θ)= ∑ ∑ … ∑ ( | , , … , , Ω ; θ)P[s , s , … , s |Ω ]
Nilai peluang P[s , s , … , s |Ω ] dihitung dengan menggunakan proses filtering
dan smoothing.
2.13.1 Filtering
Filtering adalah suatu proses yang digunakan untuk mendapatkan nilai peluang
suatu state pada saat t berdasarkan data pengamatan. Hasil dari proses filtering
adalah nilai filtered state probability.
Langkah-langkah proses filtering adalah sebagai berikut :
1. Dimulai = , = , … , = |Ωdengan[ = 1|Ω ] =
[ = 2|Ω ] = 1 −2 − −selanjutnya, menghitung := = , = , … , = = |Ω=
( , ,…, | )( | )
22
=, ,…, , × , ,…, |∑ ∑ … ∑ , , ,…,
dan hasil dari proses filtering := = , = , … , = = |Ω= ∑ = , = , … , = |Ω
2.13.2 Smoothing
Proses smoothing merupakan lanjutan dari proses filtering. Hasil peluang dari
proses filtering adalah = = , = , … , = = |Ω dimulai dari
t=T-1, T-2, …,1 dengan T > t maka diperoleh hasil smoothed state probability
adalah = = , = , … , = = |Ω .
Kemudian didapat :( |Ω ; ) = ∑ ∑ … ∑ ( | , , … , , Ω ; θ)P[s , s , … , s |Ω ]fungsi likelihoodnya adalah :
L( ) = ∏ ( |Ω ; θ)dan didapat fungsi log likelihood
ln L( ) = ∑ ln ( |Ω ; θ)metode alternatif untuk memaksimalkan fungsi likelihood untuk model dengan
variabel yang tidak teramati dengan mengasumsikan bahwa adalah vektor dari
parameter yang tidak diketahui model adalah dengan EM algorithm.
Kemudian, dengan metode EM algoritm didapatkan penaksiran yang mendekati
nilai maksimum sebagai estimator. Fungsi log likelihood diturunkan terhadap
masing-masing parameter dan disama dengankan nol (Hamilton, 1996).
23
1) diturunkan terhadap
( | ; )= 0
… ( ) − = 0( ) − ( = | ; ) = 0
sehingga didapat :
= ∑ × ( | ; )∑ ( | ; ) (2.11)
dengan = 0 , 12) diturunkan terhadap
( | ; )= 0
… 12 − 12 − − = 0(12 − 12 − − ) ( = | ; ) = 0
akibatnya didapatkan :
= ∑ ( | ; )∑ ( | ; ) (2.12)
3) diturunkan terhadap dan didapat :
= ∑ , ,…, ;∑ ( | ; ) (2.13)
4) diturunkan terhadap parameter autoregressive didapatkan
Φ = ∑ ∑ × ( | ; )∑ ∑ ( | ; ) (2.14)
24
2.14 AIC (Akaike Info Criterion)
Kriteria informasi digunakan untuk pemilihan model terbaik yang dipilih
berdasarkan Akaike Info Criterion (AIC) karena kriteria ini konsisten dalam
menduga parameter model. Tujuan AIC adalah menemukan prediksi yang terbaik.
Menurut Azam (2007), kriteria tersebut dirumuskan sebagai
= −2 + 2( )dengan adalah fungsi log-likelihood, k adalah jumlah parameter yang diestimasi,
T adalah jumlah observasi. Semakin besar nilai log-likelihood yang dimiliki suatu
model, maka model tersebut akan semakin baik. Kriteria AIC memuat fungsi log-
likelihood, sehingga model yang dipilih untuk meramalkan data adalah model
dengan nilai AIC terkecil karena lebih konsisten dalam menduga parameter
model.
2.15 Uji Jarque-Berra
Uji normalitas residual adalah uji yang digunakan untuk mengetahui kenormalan
residual pada suatu model univariat. Tujuan dilakukannya uji ini adalah untuk
mengetahui apakah residual pada model tersebut berdistribusi normal atau tidak.
Uji normalitas dilakukan dengan menggunakan Jarque-Bera (JB) Test of
Normality. Uji ini menggunakan ukuran skewness dan kurtosis. Perhitungan JB
adalah sebagai berikut:
= 6 + ( − 3)4
25
dengan :
n = jumlah sampel
S = Skewness =∑ ( )( ∑ ( ) )
K = Kurtosis =∑ ( )( ∑ ( ) )
Dimana Jarque-Bera (JB) Test of Normality berdistribusi chi-square ( ) dengan
derajat kebebasan 2 (Jarque and Berra, 1980).
2.16 Kurs, Depresiasi, dan Appresisasi
Semua telah begitu akrab dengan perdagangan yang berlangsung di dalam negeri.
Jika membeli jeruk dari Garut dan membeli mobil dari Jakarta tentunya akan
membayar dalam rupiah. Namun, kalau orang Indonesia ingin membeli sepeda
dari Inggris, maka masalahnya akan menjadi rumit. Pedagang sepeda di Inggris
tentunya hanya ingin dibayar dengan uang negaranya yakni pound, bukan dengan
rupiah. Demikian pula orang Inggris ingin membeli kopi di Indonesia mereka
harus membayar dengan rupiah. Masalah ini memberikan elemen baru bagi
perdagangan internasional. Untuk memecahkan masalah ini sistem perdagangan
internasional menerapkan sistem nilai tukar mata uang atau yang sering disebut
kurs (Samuelson, 1992).
Menurut Faizal (2001), kurs adalah harga satu mata uang (yang diekspresikan)
terhadap mata uang lainnya. Lalu menurut Mishkin (2008), kurs adalah harga dari
satu mata uang dalam mata uang lain atau dapat juga didefinisikan sebagai jumlah
uang domestik yang dibutuhkan. Nilai tukar atau kurs biasanya berubah-ubah,
26
perubahan kurs dapat berupa depresiasi dan appresiasi. Depresiasi mata uang
rupiah terhadap dollar AS artinya suatu penurunan harga rupiah terhadap dollar
AS yang menyebabkan harga barang-barang domestik menjadi lebih murah bagi
pihak luar negeri. Sedangkan appresiasi rupiah terhadap dollar AS adalah
kenaikan harga rupiah terhadap dollar AS yang menyebabkan harga barang-
barang domestik menjadi lebih mahal bagi pihak luar negeri.
27
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2016/2017,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data runtun waktu (time series)
kurs beli dollar AS terhadap rupiah dalam frekuensi harian dari 15 Mei 2016
sampai dengan 20 Februari 2017 yang didapat dari website resmi Bank Indonesia
yakni www.bi.go.id sebanyak 282 data.
3.3 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis
yang diperoleh dari buku-buku maupun media lain untuk mendapatkan informasi
sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Analisis data
dilakukan dengan menggunakan software Eviews 9 dan Python 3.6.
28
Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai
berikut :
1. Menguji stasioneritas data kurs dollar AS terhadap rupiah.
a. Membuat plot time series dari data kurs beli dollar AS terhadap rupiah
dengan bantuan software E-views 9.
b. Melihat pola korelogram ACF.
c. Melakukan uji akar unit dengan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF). Hal ini
dilakukan dengan melihat nilai p-value dari uji ADF.
2. Jika data tidak stasioner, maka dihitung nilai returnnya dengan cara
transformasi data menggunakan logaritma (supaya data stasioner terhadap
ragam) dan differensiasi data (supaya data stasioner terhadap rata-ratanya).
3. Menguji stasioneritas kembali dengan melihat plot data return, kolerogram
ACF data return, serta melakukan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF). Pada
umumnya, differensiasi dan transformasi pada data dilakukan maksimal dua
kali sudah stasioner terhadap ragam maupun mean.
4. Penentuan state yakni state 0 dan state 1. Penentuan state ini dilakukan dengan
mempertimbangkan nilai . Dengan adalah rata-rata yang dipengaruhi
oleh state. Karena pada penelitian ini hanya ada dua state yakni state apresiasi
(peningkatan nilai rupiah) dan state depresiasi (penurunan nilai rupiah) maka
ada dua yakni dan .
5. Melakukan estimasi parameter untuk memperoleh orde yang sesuai. Estimasi
model MSAR dengan software Python 3.6. Metode yang digunakan untuk
estimasi parameter adalah Maximum Likelihood Estimation (MLE)
dikombinasikan dengan filtering dan smoothing karena pada Markov Switching
29
Autoregressive terdapat parameter yang merupakan nilai peluang dari
masing-masing state.
6. Melakukan uji diagnostik model.
Uji diagnostik model meliputi signifikansi parameter, yang diketahui melalui
nilai p-value dari parameter pada model Markov Switching Autoregressive
sedangkan pengujian normalitas residual digunakan uji Jarque-Bera.
7. Pemilihan model terbaik, didapat dari nilai AIC yang minimum.
42
V. KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang penulis lakukan maka diperoleh kesimpulan sebagai
berikut :
1. Data kurs dollar AS terhadap rupiah tidak stasioner dalam ragam maupun
mean. Sehingga, untuk memperoleh data yang stasioner pada ragam dan mean
digunakan data return (data kurs dollar AS terhadap rupiah yang telah di
transformasi dan diferensiasi).
Model Markov Switching Autoregressive (MSAR) yang terbaik adalah
MS(2)AR(2), yakni :− = −0.1952 − + (−0.1006) − +− = −0.1952 − − 0.1006 − +~ (0, 2 )dengan rata-rata dari masing-masing state adalah sebagai berikut := 0.0004= −0.0078dan ragam dari masing-masing state adalah :
= (−6.2886) = 2.6472 × 10= (−5.2321) = 3.4339 × 10untuk = 0 (appresiasi)
untuk = 1 (depresiasi)
43
2. Saat − 1 return kurs dollar AS terhadap rupiah mengalami appresiasi maka
peluang return kurs dollar AS terhadap rupiah pada saat t mengalami
appresiasi ( ) adalah sebesar 0.936210 dan peluang return kurs dollar AS
terhadap rupiah pada saat t mengalami depresiasi ( ) adalah 0.063790.
Pada saat t-1 return kurs dollar AS terhadap rupiah mengalami depresiasi
maka peluang return kurs dollar terhadap rupiah pada saat t mengalami
depresiasi ( ) adalah 0.954964 dan peluang return kurs dollar terhadap
rupiah mengalami appresiasi ( ) adalah 0.045036.3. Rata-rata lama durasi kondisi return kurs dollar AS terhadap rupiah
mengalami apresiasi adalah 15 hari dan rata-rata lamanya kondisi return kurs
dollar AS terhadap rupiah yang mengalami depresiasi adalah 22 hari
44
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H., and Rorres, C. 2004. Elementary Linear Algebra: Application Version8th edition. Alih bahasa:Refina dan Irzam. Erlangga: Jakarta
Azam, I. 2007. The Effect of Model-Selection Uncertainty on AutoregressiveModels Estimates. International Research Journal of Finance and Economics,issue. 11, hal 80-93.
Brockwell, P.J., and Davis, R.A. 2002. Introduction to Time Series andForecasting. Springer : New York.
Cox, D.R., and Miller, H.D., 1965. The Theory of Stochastic Process. Chapmanand Hall : London.
Faizal, Muhammad. 2001. Manajemen Keuangan internasional. Salemba empat :Jakarta
Franses, P.H., Dijk, D.V., and Opschoor, A. 2014. Time Series Model : forBussiness and Economic Forecasting 2nd edition. Cambridge, UniversityPress.
Hamilton, J.D. 1989. A New Approach to the Economic Analysis of NonstionaryTime Series and the Business Cycle. Econometrica 57: 357-384.
Hamilton, J.D. 1994. Time Series Analysis. Princeton University Press.
Hamilton, J.D. 1996. Specification Testing in Markov-Switching Time SeriesModel. Journal of Econometrics, Vol 70: 127-157.
Jarque, C. M. and Berra, A.K. 1980. Efficient Tests For Normality,Homoskedasticity, and Serial Independence of Regression Residuals.Economic Lettters. 6: 255-259.
Kim, C.J and Nelson C.R, 1999. State Space Models with Regime Switching,Classical and Gibs Sampling Approaches with Applications. Cambridge,MA: MIT Press.
45
Mishkin, frederic S. 2008. Ekonomi, uang, perbankan, dan pasar keuangan edisi8. Salemba empat : Jakarta.
Privault, N. 2013. Understanding Markov chain : Examples and Applications.Springer : Singapore.
Ross, S. 2010. A First Course in Probability 8th edition. Pearson Education, Inc.,USA.
Samuelson, P.A. 1992. Economics : microeconomics 3rd. Mc.Graw-hill, Sydney.
Tsay, R.S. 2002. Analysis of Financial Time Series. John Wiley & Sonc, Inc.,Canada.
Wei, W.W. 2006. Time Series Analysis : Univariate and Multivariate Methods(2nd ed). Pearson, New York.