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Perturbaciones en el efecto Casimir
Pedro Morales-Almazan
Department of MathematicsThe University of Texas at Austin
ECFM, USACGuatemala, 5 de agosto de 2016
Pedro Morales-Almazan Math Department
Perturbaciones
Pedro Morales-Almazan Math Department
Perturbaciones
Casimir
Hendrik Casimir
Pedro Morales-Almazan Math Department
Perturbaciones
Efecto Casimir, 1948
• Vacıo
• Placas conductoras perfectas
• Fluctuaciones de vacıo
• Presion de atraccion entreplacas
Pedro Morales-Almazan Math Department
Perturbaciones
70 anos despues
• De la teorıa a la experimentacion (1997)
• No solo atraccion sino tambien repulsion (1961)
• Dependiente de la geometrıa (forma y condiciones de frontera)
• Manejo de cantidades infinitas (regularizacion)
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Perturbaciones
Regularizacion: Funcion Zeta
ζ(s) =∞∑n=1
1
ns
Bernhard Riemann Leonhard Euler
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Perturbaciones
Regularizacion: Funcion Zeta
ζ(s) =∞∑n=1
1
ns,<(s) > 1
Continuacion anaıtica:
ζ(s) = 2sπs−1 sin(πs
2
)Γ(1− s)ζ(1− s)
ζ(s) , s ∈ C
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Perturbaciones
Regularizacion en el Efecto Casimir
Energıa Casimir
E =1
2
∑n
ωn
Problema: ¡Diverge!Solucion: Ver el significado, no el valor.
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Perturbaciones
Funciones Zeta
• Frecuencias fundamentales ωn
• Ecuacion de Klein-Gordon
�ψ = ω2ψ
• Funcion Zeta asociada
ζ(s) =∑ω
ω−2s
• Energıa de vacıo
E =1
2ζ
(−1
2
)Pedro Morales-Almazan Math Department
Perturbaciones
Superficies de Revolucion
f (x) > 0 , x ∈ [a, b]M: Superficie de revolucion
• Inmerso en R3
• Metrica inducida del espacioEuclideano
• Funcion Zeta asociada
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Perturbaciones
Funcion Zeta en M
Metrica inducida
g =
(1 + f ′(x)2 0
0 f 2(x)
)
Laplaciano
∆ψ =1
1 + f ′2
(∂2ψ
∂x2+
(f ′
f− f ′f ′′
1 + f ′2
)∂ψ
∂x+
1 + f ′2
f 2
∂ψ
∂θ
)
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Perturbaciones
Funcion Zeta en M
Problema de valores propios
∆ψ(x , θ) = ω2ψ(x , θ)
Con: x ∈ [a, b] , θ ∈ [0, 2π)Condiciones de Dirichlet: ψ(a, θ) = ψ(b, θ) = 0
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Perturbaciones
Funcion Zeta en M
ζ(s) =Z0(s) + A0(s)
Z6=(s) + A6=(s) .
donde las partes finitas Z0 y Z6= dependen de las soluciones delproblema de valores propios, y las partes sintoticas A0 y A6=dependen solamente de f (x).
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Perturbaciones
Perturbacion en la Energıa
FP ζ∆(−1/2) = −1
π
∫ 1
0dλλ
d
dλlog X0(b; ıλ)
−1
π
∫ ∞1
dλλd
dλ
log X0(b; ıλ) − log A+ −2∑
i=−1
λ−i∫ b
adt si (t)
−
1
8π
(f ′2(a) + f ′4(a) − 2f (a)f ′′(a)
f 2(a)(1 + f ′2(a))2+
f ′2(b) + f ′4(b) − 2f (b)f ′′(b)
f 2(b)(1 + f ′2(b))2
)
−2
π
∞∑k=1
k
∫ ∞0
du ud
du
log Xk (b; ıuk) − log B+ −2∑
i=−1
k−i∫ b
adt wi (t)
+
1
2π
∫ b
adt√
1 + f ′(t)2 −1
π+ζ′R (−2)
π
∫ b
adt f−2
√1 + f ′2
+1
24(f−1(a) + f−1(b)) +
1
16
∫ b
adt f−1 f ′f ′′
(1 + f ′2)4.
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Perturbaciones
Perturbacion en la Energıa
Original Perturbacionpositiva
Perturbacionnegativa
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Perturbaciones
Perturbacion en la Energıa
f (x) 7→ f (x) + εg(x)
Donde ε es pequeno y g(x) es
• No-negativa
• Suave
• Concentrada alrededor de un punto
• Cero en x = a y x = b
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Perturbaciones
Perturbacion en la Energıa
Plan:
• Calcular la funcion Zeta al hacer el cambio
f (x) 7→ f (x) + εg(x)
• Calcular el cambio en la Energıa calculando la derivada conrespecto de ε
• Obtener el cambio instantaneo al calcular la derivada en ε = 0
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Perturbaciones
Perturbacion en la Energıa
Cambio instantaneo en Zeta
d
dε
∣∣∣ε=0
ζε
(−1
2
)
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Perturbaciones
Perturbacion en la Energıa
Parte asintotica
A0 y A6= se calculan reemplazando formalmentef (x) 7→ f (x) + εg(x)
Parte finita
Z0 y Z 6= se calculan analizando el cambio en las funciones propiasenla ecuacion de valor propio al hacer f (x) 7→ f (x) + εg(x)
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Perturbaciones
Perturbacion: Terminos asintoticos
• Sustituir f (x) con f (x) + εg(x) en las expresiones asintoticas
• Expandir en serie de potencias en ε
• Tomar el coeficiente lineal
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Perturbaciones
Perturbacion en la Energıa
FP ζ∆(−1/2) = −1
π
∫ 1
0dλλ
d
dλlog X0(b; ıλ)
−1
π
∫ ∞1
dλλd
dλ
log X0(b; ıλ) − log A+ −2∑
i=−1
λ−i∫ b
adt si (t)
−
1
8π
(f ′2(a) + f ′4(a) − 2f (a)f ′′(a)
f 2(a)(1 + f ′2(a))2+
f ′2(b) + f ′4(b) − 2f (b)f ′′(b)
f 2(b)(1 + f ′2(b))2
)
−2
π
∞∑k=1
k
∫ ∞0
du ud
du
log Xk (b; ıuk) − log B+ −2∑
i=−1
k−i∫ b
adt wi (t)
+
1
2π
∫ b
adt√
1 + f ′(t)2 −1
π+ζ′R (−2)
π
∫ b
adt f−2
√1 + f ′2
+1
24(f−1(a) + f−1(b)) +
1
16
∫ b
adt f−1 f ′f ′′
(1 + f ′2)4.
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Perturbaciones
Perturbacion: Terminos finitos
X ′′ +
(f ′
f− f ′f ′′
1 + f ′2
)X ′ + (1 + f ′2)
(λ2 − k2
f 2
)X = 0
• Reemplazar f (x) por f (x) + εg(x)
• Expandir en serie de potencias en ε hasta O(ε2)
• Escribir la solucion del sistema perturbado como X = X + εX
• Encontrar X utilizando variacion de parametros
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Perturbaciones
Perturbacion en la Energıa
FP ζ∆(−1/2) = −1
π
∫ 1
0dλλ
d
dλlog X0(b; ıλ)
−1
π
∫ ∞1
dλλd
dλ
log X0(b; ıλ) − log A+ −2∑
i=−1
λ−i∫ b
adt si (t)
−
1
8π
(f ′2(a) + f ′4(a) − 2f (a)f ′′(a)
f 2(a)(1 + f ′2(a))2+
f ′2(b) + f ′4(b) − 2f (b)f ′′(b)
f 2(b)(1 + f ′2(b))2
)
−2
π
∞∑k=1
k
∫ ∞0
du ud
du
log Xk (b; ıuk) − log B+ −2∑
i=−1
k−i∫ b
adt wi (t)
+
1
2π
∫ b
adt√
1 + f ′(t)2 −1
π+ζ′R (−2)
π
∫ b
adt f−2
√1 + f ′2
+1
24(f−1(a) + f−1(b)) +
1
16
∫ b
adt f−1 f ′f ′′
(1 + f ′2)4.
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Perturbaciones
Perfil constante
Cilindro: f (x) = cIntervalo [0, 1]
Perturbacion en la Energıa
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Perturbaciones
Perfil constante
Cilindro: f (x) = cIntervalo [0, 10]
Perturbacion en la Energıa
Pedro Morales-Almazan Math Department
Perturbaciones
Perfil constante
Cilindro: f (x) = cIntervalo [0, 100]
Perturbacion en la Energıa
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Perturbaciones
Conclusiones
• Los bordes son la principal influencia en el efecto Casimir
• Perturbaciones alejadas de los bordes no se ven afectadas
• El Casimir busca que la curvatura del borde sea normal a lasuperficie
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Perturbaciones
Referencias
Morales-Almazan P., Zeta function for perturbed surfaces ofrevolution, arXiv:1412.8575
Jeffres, T. et al. Zeta Function on Surfaces of Revolution,arXiv:1211.4043
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Perturbaciones