Physics on Manifolds

MATHEMATICA L PHYSICS STUDIES

Series Editor:

M . FLATO, Universite de Bourgogne, Dijon, France

VOLUM E 15

Physics on Manifolds Proceedings of the International Colloquium in honour of Yvonne Choquet-Bruhat, Parisy June 3-5, 1992

edited by

M . Flato Physique Mathematique, Universite de Bourgogne, Dijon, France

R. Keiner Laboratoire de Gravitation et Cosmologie Relativistes, UPMC, Paris, France

and

A. Lichnerowicz College de France, Paris, France

SPRINGER SCIENCE+BUSINESS MEDIA , B.V.

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

Physics on manifold s : proceeding s o f th e Internationa l colloquiu m i n honour o f Yvonne Choquet-Bruhat , Par is , June 3-5 , 1992 / edite d by M. F la to , R. Kerner , and A. Uchnerowicz.

p. cm. — (Mathematica l physic s studie s ; v . 15) Eng 1is h and French . Include s bibl iographica l references .

1. Man1folds(Mathematics ) 2 . Mathematical physics . I . Choquet -Bruhat , Yvonne. I I . F la to , M. (Moshe), 1937- . I I I . Kerner , R. IV. Lichnerowicz , Andre, 1915- . V. Ser ies . QC20.7.M24P48 1993 530. V 515~dc20 93-31133

Printed on acid-free paper

Al l Rights Reserved © 1994 Springer Science+Business Media Dordrecht Originally published by Kluwer Academic Publishers in 1994 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1994 No part of the material protected by this copyright notice may be reproduced or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without written permission from the copyright owner.

ISBN 978-94-010-4857-6 ISBN 978-94-011-1938-2 (eBook)DOI 10.1007/978-94-011-1938-2

Avant-Propos

Foreword

T ABLE DES MA TIERES

vii

IX

I.C. LEGRAND, Discours d'ouverture ................................................................. xv

Conferences plenieres

A.M. ANILE, G. ALi, V. ROMANO, Relativistic dissipative fluids

H. BREZIS, Mathematical problems related to liquid crystals, superconductors and superfluidr ............................................................................................ II

J.D. BROWN, J.W.YORK Jr., Microcanonical action and the entropy ofa rotating black hole 23

F. CAGNAC, M. DOSSA, Probteme de Cauchy sur un canoide caracteristique. Applications a certains systemes non lineaires d'origine physique ............................................... 35

D. CHRISTODOULOU, Recent progress on the Cauchy problem in general relativity ......... 49

T. DAMOUR, On some links between mathematical physics and physics in the context of general relativity ..................................................................................... 59

C. DEWITT-MORETIE, Functional integration. A multipurpose tool ............................ 67

G. FERRARESE, C. CATIANI, Generalizedframes of references and intrinsic Cauchy problem in general relativity ........................................................................ 93

A.E. FISCHER, V. MONCRIEF, Reducing Einstein's equations to an unconstrained Hamiltonian system on the cotangent bundle of Teichmiiller space .. .......... .......... ...... III

C.H. au, Darboux transformations for a class of integrable systems in n variables ............. 153

N.H. IBRAGIMOV, Group theoretical treatment of fundamental solutions ........................ 161

S. KLAINERMAN, M. MACHEDON, On the regularity properties of the wave equation. ...... 177

J. LERA Y, Le probleme de Cauchy lineaire et analytique pour un opirateur holomorphe et un second membre ram (fie [Resume) ................................................................. 193

P.L. LIONS, On Boltzmann equation .................................................................. 195

C. MORENO, L. VALERO, Star products and quantum groups ................................... 203

O. A. OLEINIK, On asymptotic of solutions of a nonlinear elliptic equation in a cylindrical domai:J ........................................................ . 235

I. SEGAL, Fundamental physics in universal space-time ............................................ 253

A.H. TAUB, Interaction of gravitational and electromagnetic waves in general relativity ........ 265

C. TAUBES, Anti-self dual conformal structures on4-m((nifolds [Resume) ....................... 289

vi TABLE DES MATIERES

Tables ron des

Equations differentielles aux derivees partielles (presidie par J. VAILLANT)

E. CALZETfA, Chaotic behavior in relativistic motion ............................................... 291

J. ISENB~RG~ V. MO~CRIEF, .Some results on non constant mean curvature solutions of the Einstein constraint equatIOns .................................................................... 295

W. MATSUMOTO, Levi condition for general systems .............................................. 303

J. VAILLANT, Conditions invariantes pour un systeme, du type conditions de Levi ............. 309

Physique MatMmatique (presidee par G. PICHON)

P.C. AICHELBURG, Black holes in supergravity ................ ..... ............. ........ ....... ... 315

E.A. CHRISTENSEN, J.N. SORENSEN, M. BRONS, P.L. CHRISTIANSEN, Low-dimensional behaviour in the rotating driven cavity problem ............... .............. 321

M. EPSTEIN, G. A. MAUGIN, Some geometrical aspects of inhomogeneous elasticity ........ 331

T. BRUGARINO, A. M. GRECO, Integrating the Kadomtsev-Petviashvili equation in the 1 + 3 dimensions via the generalised Monge-Ampere equation: an example of conditioned P ainleve test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

V.S. MANKO, N.R. SIBGATULLIN, Spinning mass endowed with electric charge and magnetic dipole moment .. .............................. .................. ....... ....... ............. 347

G. PICHON, Equations de Vlasoven tMorie discrete ................................................ 353

T. RUGGERI, Convexity and symmetrization in classical and relativistic balance laws systelns 357

AVANT·PROPOS

Ce volume contient les actes du Colloque "Analyse, Varietes et Physique", organise en I'honneur

d'Yvonne Choquet-Bruhat, les 3, 4 et 5 juin 1992 a Paris, par ses amis, collaborateurs et anciens eleves.

Son titre reflete assez bien les domaines d'activite dans lesquels Yvonne Choquet-Bruhat apporta des

contributions essentielles.

Depuis I'avenement de la Relativite Generale, la geometrie des varietes est devenue une partie non

triviale de la physique de I'espace-temps. L'analyse fonctionnelle a trouve en meme temps une

application essentielle en mecanique quantique, puis en theorie quantique des champs. Son apport

devient decisif au moment ou I'on considere Ie comportement global des solutions des systemes

differentiels sur les varietes. La Relativite Generale est dans ce sens une theorie exceptionnelle, dans

laquelle les solutions d'un systeme hautement non lineaire d'equations aux derivees partielles definissent

elles-memes la variete sur laquelle elles sont supposees exister. C'est pOUl'quoi aucune des solutions des

equations d'Einstein ne peut etre interpl-etee physiquement avant que son comportement global, c'est-a-

dire sur I'ensemble de la variete hypothetique, ne soit connu.

C'est a ce domaine, se situ ant au carrefour entre la physique et les mathematiques, que Yvonne

Choquet-Bruhat a contribue, de maniere spectaculaire dans sa jeunesse, en donnant la preuve de

l'existence des solutions des equations d'Einstein sur des varietes differentiables assez generales. Les

methodes qu'elle avait creees ont ete elaborees par l'ecole fran<;aise, principalement par Jean Leray. Cette

premiere preuve de I'existence et de I'unicite locale pour les equations d'Einstein a ete Ie moteur de la

theorie des systemes hyperboliques generaux de Jean Leray.

Yvonne Choquet-Bruhat a repandu dans la communaute scientifique l'idee de la necessite de

l'etude des problemes globaux imposes par la physique de systemes couples a la gravitation. En ce qui

concerne Ie systeme d'equations d'Einstein, Ie but a ete atteint tres recemment par les travaux de

S. Klainerman et de D. ChIistodoulou, ancien collaborateur d'Yvonne Choquet-Bruhat.

Face au developpement de la physique contemporaine, Yvonne Choquet-Bruhat a toujours joue un

rOle de pionnier dans l'etude de problemes globaux, notamment dans la themie des champs de jauge et la

supergravite. Parallelement, elle a construit une theorie des ondes asymptotiques gravitationnelles et

electromagnetiques. Son influence s'est aussi fait sentir par l'elaboration de livres de base, devenus

classiques, consacres a l'analyse fonctionnelle sur les vaIietes et a ses applications dans differents

domaines de la physique.

Yvonne Choquet-Bruhat s'est aussi devouee a la formation de nombreux jeunes chercheurs

fran<;ais et etrangers, dont certains sont devenus des maitres.

Sa modestie n'a jamais occuIte ses qualites humaines exceptionnelles et son sens profond de

l'amitie ",nvers ses collaborateurs, eleves et amis.

Nous dedions ce livre, qui donne la mesure de son rayonnement dans la communaute scientifique,

a Yvonne Choquet-Bruhat, en souhaitant qu'il soit digne de sa personne et de son oeuvre.

M. Flato, R. Kerner, A. Lichnerowicz

vii

FOREWORD

This volume contains the proceedings of the Colloquium "Analysis, Manifolds and Physics"

organized in honour of Yvonne Choquet-Bruhat by her friends, collaborators and former students, on

June 3, 4 and 5, 1992 in Paris. Its title accurately reflects the domains to which Yvonne Choquet-Bruhat

has made essential contributions.

Since the rise of General Relativity, the geometry of Manifolds has become a non-trivial part of

space-time physics. At the same time, Functional Analysis has been of enormous importance in

Quantum Mechanics, and Quantum Field Theory. Its role becomes decisive when one considers the

global behaviour of solutions of differential systems on manifolds. In this sense, General Relativity is an

exceptional theory in which the solutions of a highly non-linear system of partial differential equations

define by themselves the very manifold on which they are supposed to exist. This is why a solution of

Einstein's equations cannot be physically interpreted before its global behaviour is known, taking into

account the entire hypothetical underlying manifold.

In her youth, Yvonne Choquet-Bruhat contributed in a spectacular way to this domain stretching

between physics and mathematics, when she gave the proof of the existence of solutions to Einstein's

equations on differential manifolds of a quite general type. The methods she created have been worked

out by the French school of mathematics, principally by Jean Leray. Her first proof of the local existence

and uniqueness of solutions of Einstein's equations inspired Jean Leray's theory of general hyperbolic

systems.

Yvonne Choquet-Bruhat has promoted in the scientific community the idea of the necessity of

studying the global problems posed by the physics of systems coupled with gravity. A complete study

of global properties of solutions to Einstein's equations has been achieved recently by S. Klainerman

and by her former collaborator D. Chlistodoulou.

With regard to recent development of contemporary physics, Yvonne Choquet-Bruhat has played a

pioneeling r6\e in the study of global problems, especially in gauge field theory and supergravity. At the

same time, she has elaborated a theory of asymptotic gravitational and electromagnetic waves. Her

influence has also been felt through new basic books, which have since become classics, concerning

functional analysis on manifolds and its applications in various domains of physics. Yvonne Choquet-

Bruhat has also devoted herself to the development of many young research students in France and

abroad, some of whom have become masters.

Her modesty has never eclipsed her truly exceptional human qualities and her profound sense of

fliendship towards her collaborators, students and fIiends.

We dedicate this book, which illustrates the full measure of her influence in the scientific

community, to Yvonne Choquet-Bruhat, and we hope that it will be worthy of her and her work.

M. Flato, R. Kerner, A. Lichnerowicz

ix

COMITE D'HONNEUR

Bryce DEWm (Austin, USA)

Israel GELFAND (Piscataway, USA)

Paul GERMAIN (Paris, France)

Jean LERA Y (Paris, France)

Andre LICHNEROWICZ (Paris, France)

Jacques-Louis LIONS (Paris, France)

Irving E. SEGAL (Cambridge, USA)

Abraham H. TAUB (Berkeley, USA)

COMITE D'ORGANISA nON

Daniel BANCEL (Lyon, France)

Moshe FLATO (Dijon, France)

Krzysztof GA WEDZKI (B ures S/Yvette, France)

Richard KERNER (Paris, France)

Lise LAMOUREUX-BROUSSE (Paris, France)

Andre LICHNEROWICZ (Paris, France)

Charles-Michel MARLE (Paris, France)

Guy PICHON (Villetaneuse, France)

Jean VAILLANT (Paris, France)

LISTE DES CONFERENCIERS

(conferences plenieres et tables rondes)

Peter C. AICHELBURG (Vienne, Autriche)

Angelo M. ANILE (Catane, Italie)

Haim BREZIS (Paris, France)

Francis CAGNAC (Yaounde, Cameroun)

Esteban CALZETIA (Buenos Aires, Argentine)

Erik A. CHRISTENSEN (Lyngby, Danemark)

Demetrios CHRISTODOULOU (Princeton, USA)

Thibault DAMOUR (Bures-sur-Yvette, France)

Cecile DEWTIT-MORETTE (Austin, USA)

Giorgio FERRARESE (Rome, Italie)

Antonio GRECO (Palerme, Italie)

ChaoHao GU (Hefei, Rep. Pop. de Chine)

Nail H. IBRAGIMOV (Moscou, Russie)

Jim ISENBERG (Eugene, USA)

Sergiu KLAINERMAN (Princeton, USA)

Jean LERA Y (Paris, France)

Pierre-Louis LIONS (Paris, France)

Waichiro MATSUMOTO (Ohtsu, Japon)

Gerard A. MAUGIN (Paris, France)

Vincent MONCRIEF (New Haven, USA)

Carlos MORENO (Madrid, Espagne)

Olga A. OLEINIK (Moscou, Russie)

Guy PICHON (Villetaneuse, France)

Tommaso RUGGERI (Bologne, Italie)

Irving E. SEGAL (Cambridge, USA)

Nail R. SIBGATULLIN (Moscou, Russie)

Abraham H. TAUB (Berkeley, USA)

Clifford TAUBES (Cambridge, USA)

Jean VAILLANT (Paris, France)

James W. YORK Jr. (Chapel Hill, USA)

Le Colloque a ete parraine et subventionne par les organismes suivants :

- l' Universite Pierre et Marie Curie - Ie Centre National de la Recherche Scientifique

- Ie Minisrere des Affaires Etrangeres - Ie Ministere de I'Education Nationale

- Ie Ministere de la Recherche et de I'Espace - Ie College de France

- la Federation des Compagnies d'Assurance -Ie G.A.N.

- la Societe MatMmatique de France

que Ie Comite d'Organisation remercie chaleureusement , ainsi que pour leur contribution a I'organisation

de ce colloque :

- Ie Centre International de MatMmatiques Pures et Appliquees

- les Editions Gauthier-Villars

- les Editions Kluwer

- la Librairie Offilib

- la Societe Generale

-I'Universite Paris-Nord

La preparation et l'organisation materielle de ce colloque eut ete impossible sans Ie concours precieux

des secretaires du Laboratoire de Gravitation et Cosmologie Relativistes (Universite Pierre et Marie Curie,

Unite de Recherche Associee au CNRS) : Mmes F. Allix, D. Goudemand, B. Guibal et C. Trecul, qui par

leur disponibilite et leur presence constante aupres des organisateurs ont contribue de maniere decisive au bon deroulement du colloque.

LISTE DES PARTICIPANTS

Kossivi ADJAMAGBO (Paris, France)

Lars ANDERSSON (Stockholm, Suede)

Martin AXELRAD (Paris, France)

Alain BACHELOT (Talence, France)

Robin BALEAN (Bonn, Allemagne)

Claude BARRABES (Tours, France)

Robert BARTNIK (Kensington, Australie)

Henri BASART (Reims, France)

Melvyn BERGER (Northampton, USA)

Luc BLANCHET (Meudon, France)

Marco BRUNI (Londres, Royaume-Uni)

Edmond BONAN (Paris, France)

Henri CAB ANNES (Paris, France)

Emanuele CALLEGARI (pise, Italie)

Piotr CHR USCIEL ('{ arsovie, Pologne)

Bartolome COLL (Paris, France)

Pierre DAZORD (,{illeurbanne, France)

Jacques DELACOUR (Paris, France)

Pierre DOLBEAU (Paris, France)

Jean-Paul DURUlSSEAU (Paris, France)

Mouaouia FlRDAOUSS (Orsay, France)

Jean-Pierre FRANCOISE (Paris, France)

Piotr GARBACZEWSKI (Wroclaw, Pologne)

Renee GA TIGNOL (Paris, France)

Paul GAUDUCHON (Paris, France)

Andre G UlNIER (Paris, France)

Jean-Pierre GUlRAUD (Paris, France)

Madeleine HUYNH-SERVET (,{illetaneuse, France)

Andreadis IOANNIS (Chamoory, France)

Jean-Bertrand KAMMERER (Paris, France)

Helene KERBRAT ('{illeurbanne, France)

Yvan KERBRAT (,{illeurbanne, France)

S. KICHENASSAMY (Paris, France)

Joseph KLEIN (Grenoble, France)

Yvette KOSMANN-SCHWARZBACH (Lille, France)

Marie-Helene KRMNE (Paris, France)

Simon LABRUNIE (Palaiseau, France)

Michele LARCHEVEQUE (Paris, France)

Claude LATREMOLIERE (Angers, France)

Eric LEHMAN (Paris, France)

Paulette LIBERMANN (Paris, France)

Jean-Claude LUCQUlAUD (Montgeron, France)

Raymond McLENAGHAN (Waterloo, Canada)

John MADORE (Orsay, France)

Anne MAGNON (Aubiere, France)

Bechir MAHJOUB (Paris, France)

Paul MALLIA VIN (Paris, France)

Renato MANFRIN (Pise, Italie)

Danielle MATTHYS (Orvault, France)

Meinhard E. MAYER (Irvine, USA)

Salvatore MIGNEMI (Paris, France)

Irene MORET-BAILLY (Angers, France)

Niall 0' MURCHADHA (Cork, Ireland)

Lora NIKOLOVA (Sofia, Bulgarie)

Norbert NOUTCHEGUEME (Yaounde, Cameroun)

Pawel NUROWSKI (Trieste, Italie)

Abderrabmane OUAQQA (Amiens, France)

Achille PAPAPETROU (Paris, France)

Jose Antonio PEREIRA DA SILVA (Colmbra, Portugal)

Antonio PEREZ-RENDON (Salamanca, Espagne)

PHAM TAN HOANG (Montrouge, France)

Jean-Fran",is POMMARET (Noisy-Ie-Grand, France)

Antoine RAUZY (Paris, France)

Cesare REINA (Trieste, Italie)

Alan RENDALL (Garching, Allemagne)

Antonio RIBEIRO GOMES (CoYmbra, Portugal)

Suemi RODRIGUEZ-ROMO (Louvain-Ia-Neuve, Belgique)

Maurice ROSEAU (Paris, France)

Evariste SANCHEZ-PALENCIA (Paris, France)

Jacqueline SANCHEZ-HUBERT (Caen, France)

Pedro Paulo SCHIRMER (Bonn, Allemagne)

Haydeh SIROUSSE ZIA (Paris, France)

Nick STEWART (Paris, France)

Aline SURIN (Paris, France)

Erik TAFLIN (Courbevoie, France)

Pierre TEYSSANDIER (Paris, France)

Nobuyuki TOSE (Sapporo, Japon)

Yves TIllRY (Paris, France)

Fabrizio TINEBRA (Bologne, Italie)

Philip A. TUCKEY (Lancaster, Royaume-Uni)

Liane V ALERE BOUCHE (Chamoory, France)

Murthy M.K. VENKATESHA (pise, Italie)

Mark WILLIAMS (Chapel Hill, USA)

DISCOURS D'OUVERTURE

Ie. LEGRAN

Paris, Ie 21 Mai 1992

N e pas vouloir ouvrir un congres en l'honneur d'un

Collegue sans y mettre un peu de son ame, afin d'eviter les

inevitables cliches, est une discipline qui m'a paru brusquement

perilleuse lorsque Monsieur KERNER m'a demande d'ouvrir ces

journees ...

Certes, j'ai tout d'abord accepte tres spontanement car

je voulais m'associer au plaisir des amis de Madame CHOgUET

BRUHAT, de lui dedier ce colloque de tres haut niveau et je

souhaitais que notre Universite, dans Iaquelle elle fut enseignante

depuis 1968, lui dise par ma voix, sa reconnaissance ...

Puis, en decouvrant une notice biographique sur vous,

Madame, j'ai He pris d'un vertige : Ie medecin que je suis, plus

enclin a rechercher les symptomes d'une maladie, a ecouter ses

patients et soumis a des problemes quotidiens, eta it confronte a votre brillante carriere dediee a la physique mathematique, a

l'abstraction.

Appartenant a la meme Universite, je n'avais pas eu la

chance de vous connaitre.

Manque de communication? Certainement, accentue

par nos vies passionnantes et multiples, nos routes paralleles et

aggrave par nos structures cloisonnees. xv

xvi DISCOURS D'OUVERTURE

Incompatibilite entre les mathematiques et la

medecine? Je ne Ie pense pas et les mathematiques viennent

aussi au secours des medecins en proposant des modeles

permettant de mieux aborder des processus physiologiques

complexes. Les medecins se bornent a recevoir les

mathematiciens, mais comme clientsl

Mesdames, Messieurs, vous l'avez compris je vais

profiter honteusement de la grande modestie de Madame

CHOgUET BRUHAT pour ne pas vous parler de son oeuvre mais

seulement vous dire ce que j'ai pe~u a travers les confidences de

quelques-uns de ses nombreux amis.

Trois mots resument assez bien les sentiments de

notre communaute :

Admiration - respect et ami tie.

Admiration tout d'abord car vous avez su, Madame,

tirer parti de l'heritage familia~ du milieu scientifique, culturel

dans lequel vous vous trouviez, de l'exemple de votre pere tout en

developpant votre propre personnalite.

Admiration pour l'oeuvre pedagogique que vous avez

entreprise, mais bien entendu, surtout par votre oeuvre

scientifique avec un theme difficile entre to us : les problemes

mathematiques poses par la theorie de la relativite generale.

Vous avez su creer des outils mathematiques nouveaux

oil Ie sens physique n'apparait qu'en dernier ressort.

J.e. LEGRAND xvii

Admiration, aussi, pour avoir maintenu les grands

equilibres entre votre vie professionnelle, vos enfants, sans vous

desinteresser egalement des problemes que po sent aux femmes la

societe.

Pour moi, je retiendrai surtout, en e1eve peu doue, Ie

mystere qui entoure ces grandes decouvertes, partageant

seulement avec Einstein deux de ses reflexions.

La plus belle chose que nous puissions eprouver c'est Ie

mystere des choses, ou encore que l'imagination est plus

importante que Ie savoir! et nous savons to us Ie role de cette petite

etincelle qui transforme Ie chercheur en decouvreur ...

A l'admiration de to us vos collegues, inities ou profanes,

j'ai trouve egalement un sentiment de respect dl1 au chef d'Ecole

remarque tres tot par les plus grands Einstein et Pauli.

Mais j'ai trouve surtout un sentiment profond d'amitie

parmi vos nombreux eleves. Quelques semaines apres rna prise de

fonctions, il y a un an, j'avais rencontre une collegue qui m'avait

annonce cette reunion en des termes qui temoignaient de l'estime

et beaucoup d'amite. La preuve aujourd'hui nous est apportee par

l'organisation meme de ce colloque international qui va

maintenant pouvoir s'ouvrir pour laisser enfin parler ceux qui

savent et qui savent que vous apprecierez ce geste d'amitie.