Portfolioverlustverteilung

1Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein

Neben den gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeiten lassen sich mit Hilfe der bivariaten standardisierten Normalverteilung auch gemeinsame Übergangswahrscheinlichkeiten in beliebige Ratingklassen berechnen.

Die Integrationsgrenzen über die bivariate Verteilungsfunktion ergeben sich bei einem Initialrating von BBB für Schuldner 1 und A für Schuldner 2 bei Zugrundelegung der Übergangswahrscheinlichkeiten aus dem vorletzten Beispiel aus folgendem Schema:

Portfolioverlustverteilung Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen

BBBBBBCCCD A AA AAA

BBBBB

CCC

D

B

A

AAAAA

1,98

-1,51

Schuldner 1 bleibt in BBB

und Schuldner 2

in A Aktienrendite Schuldner 2

Aktienrendite Schuldner 1


Ein Risikomaß ist eine Kennzahl, die aus der Verlustverteilung eines Portfolios abgeleitet wird und das „Risiko“ des Portfolios beschreiben soll.

Es existieren viele verschiedene Risikomaße.

Die wichtigsten sind:

Erwartungswert (erwarteter Verlust)

Varianz bzw. Standardabweichung (unerwarteter Verlust ULP)

Value-at-Risk (sowie unerwarteter Verlust bezogen auf Konfidenzniveau, UL())

Expected Shortfall

Der Value-at-Risk sowie der Expected Shortfall sind Maße für das sog. „tail risk“, d.h. sie beschreiben unter Berücksichtigung eines Konfidenzniveaus extreme Verlustereignisse im Ausläufer der Verlustverteilung, der hohen Verlustbeträgen entspricht.

RisikomaßeAllgemeines

)(L


Der erwartete Verlust ist formal definiert als

Der unerwartete Verlust auf Portfolioebene ist definiert über die Varianz der Portfolioverlustverteilung:

Kritik: Die Varianz bzw. Standardabweichung erfasst Abweichungen nach oben und nach unten => Widerspruch zum Begriff des „Risikos“; schlecht bei asymmetrischen Verteilungen

RisikomaßeErwartungswert und Standardabweichung

max

min

)()(L

L

dfE LLLL

max

min

L

L

22P )df())E(- ()var(UL LLLLL

Verlust

P=ULP

ErwarteterVerlust


Implizite Definition:

Sei ein Konfidenzniveau (0 < < 1) fixiert.

Dann ist der Value-at-Risk einer Verlustverteilung implizit definiert als

Der Value-at-Risk ist gerade das .100%-Quantil der Verteilung der Verlustvariablen .

Explizite Definition:

Sei ein Konfidenzniveau (0 < < 1) fixiert.

Dann ist der Value-at-Risk einer Verlustverteilung explizit definiert als

Bei einer Normalverteilung besteht eine 1:1-Beziehung zwischen ULP und VaR: So gilt z.B. für = 95%: 1,65 = VaR(95%)

RisikomaßeRisikomaße für das Tail Risk: Value-at-Risk

))(LL VaRP(

L

L

)()( -1VaR LL F


Bestimmung VaR() für diskrete Verteilungen:

1. Konstruktion der kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Portfolioverlustverteilung (Verluste seien positiv)

2. Bestimmung des kleinsten Verlustbetrags, zu dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit größer oder gleich ist. Dieser Verlustbetrag ist der gesuchte VaR().

Beispiel: Ein Portfolio besteht aus zwei Krediten an zwei Schuldner A und B in Höhe von jeweils 1 Mio EUR. Die PD der Schuldner betrage jeweils 3%, der LGD jeweils 100% und die Ausfallkorrelation 50%. Berechnen Sie den VaR des Portfolios zum Konfidenzniveau 98%.

Lösung:

Zur Bestimmung der Portfolioverlustverteilung sind folgende Ereignisse zu betrachten:

Fall 1: Schuldner A und Schuldner B fallen aus

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über den Erwartungswert

E(1A 1B) = AB A B + PDA PDB = AB ( PDA (1-PDA) PDB (1-PDB) )0,5 + PDA PDB

= 50% x (3% x 97% x 3% x 97%)0,5 + 3% x 3% = 1,545%



Fall 2: Schuldner A fällt aus und Schuldner B fällt nicht aus


E(1A (1-1B)) = E(1A) – E(1A 1B) = 3% - 1,545% = 1,455%

Fall 3: Schuldner A fällt nicht aus und Schuldner B fällt aus


E((1-1A) 1B) = E(1B) – E(1A 1B) = 3% - 1,545% = 1,455%

Fall 4: Schuldner A fällt nicht aus und Schuldner B fällt nicht aus


E((1-1A) (1-1B)) = 1 - E(1A) - E(1B) + E(1A 1B) = 1 – 3% - 3% + 1,545% = 95,545%

Portfolioverlustverteilung:


Eintrittswahr-scheinlichkeit

kumulierte Eintrittswahr-scheinlichkeit Verlusthöhe

95,545% 95,545% 02,910% 98,455% 11,545% 100,000% 2

VaR(98%) = kleinster Verlustbetrag mit kumulierter Eintrittswahrscheinlichkeit größer gleich 98%


Der Value-at-Risk wird für Zwecke des Risikomanagements häufig zerlegt in den erwarteten und unerwarteten Verlust.

Der in Zusammenhang mit dem Value-at-Risk definierte unerwartete Verlust hängt vom Konfidenzniveau ab und ist wie folgt definiert:

Achtung: In Literatur und Praxis wird der Begriff des unerwarteten Verlusts für verschiedene Sachverhalte verwendet:

ULi: unerwarteter Verlust für den Einzelschuldner

ULP: unerwarteter Verlust auf Portfolioebene (definiert über Varianz)

UL(): unerwarteter Verlust als Teil des VaR zum Konfidenzniveau

RisikomaßeRisikomaße für das Tail Risk: Value-at-Risk und seine Zerlegung

VerlustVaR (99%)

ErwarteterVerlust

UnerwarteterVerlust zum Konfidenzniveau 99%

P=ULP

Tail risk

)()( ULELVaR


Wahl des Konfidenzniveaus:

Höheres Konfidenzniveau höherer Value-at-Risk

Höheres Konfidenzniveau impliziert insbesondere bei Simulationsmodellen weniger Beobachtungen und damit größere Fehler bei der Quantifizierung

Höheres Konfidenzniveau impliziert größere Unsicherheiten beim Backtesting.

Die Wahl des Konfidenzniveaus hängt von der mit der VaR-Betrachtung verfolgten Zielsetzung ab. Dabei können verschiedene Zielsetzungen im Unternehmen verfolgt werden, die zu einer Verwendung des VaR bei verschiedenen Konfidenzniveaus führen.

Häufig Verwendung als Vergleich (Benchmark) innerhalb des Unternehmens im Rahmen der operativen Steuerung => Konsistenz zwischen Bereichen ist wichtig, typischerweise eher moderate Konfidenzniveaus, z.B. 90%

Bestimmung des benötigten ökonomischen Kapitals, um den Konkurs zu vermeiden => Abhängigkeit vom eigenen Zielrating, strategische Steuerung, typischerweise sehr hohe Konfidenzniveaus

RisikomaßeValue-at-Risk in der Unternehmenssteuerung


RisikomaßeValue-at-Risk in der Unternehmenssteuerung

Verlust

AA: VaR(99,99%)

P=ULP

ErwarteterVerlust

Beispielhaft: Verwendung der 1-Jahres-PDs von S&P

A: VaR(99,95%)

BBB: VaR(99,63%)


Verhalten der Verlustverteilung oberhalb des VaR wird nicht berücksichtigt

Extremszenarien fehlen

Beispiel: VaR(99%)

Welche Verluste können bei Überschreitung des Value-at-Risk auftreten?

Verschiedene Verteilungen geben verschiedene Antworten

Die für die Bank gefährlichen Extremszenarien werden mit dem VaR nicht ausreichend quantifiziert

VaR ist durch Stress-Tests zu ergänzen!

RisikomaßeValue-at-Risk: Kritik

1% 1% 1%


Der Value-at-Risk ist kein „subadditives“ Risikomaß.

Ein Risikomaß ist dann subadditiv, wenn für zwei Portfolien P1 und P2 gilt:

Intuitiv spiegeln sich in der Subadditivität Diversifikationseffekte wider.

Beispiel für das nicht subadditive Verhalten des Risikomaßes VaR:

Zwei Kreditpositionen, die unabhängig voneinander ausfallen können:Kreditposition 1: EUR 1 Mio, LGD = 100% Kreditposition 2: EUR 1 Mio, LGD = 100%

Ausfallwahrscheinlichkeit 3% Ausfallwahrscheinlichkeit 3%

=> VaR(95%) = 0 => VaR(95%) = 0

RisikomaßeValue-at-Risk: Kritik

Portfolio aus den Kreditpositionen 1 und 2:

kein Ausfall: Wahrscheinlichkeit 94,1%

Mindestens ein Ausfall: Wahrscheinlichkeit 5,9%

=> VaR(95%) = EUR 1 Mio > 0 => keine Subadditivität

Wie wäre die Situation bei vollständiger Abhängigkeit (z.B. identische Schuldner)?

)()()(2121 PPPP LLL


Der Expected Shortfall ES() zu einem gegebenen Konfidenzniveau ist der Erwartungswert, der unter der Bedingung gebildet wird, dass der Value-at-Risk bei diesem Konfidenzniveau überschritten ist.

RisikomaßeExpected Shortfall (Tail Conditional Expectation)

VerlustVaR (99%)

ErwarteterVerlust

UnerwarteterVerlust

ES (99%)

)(

)(

)(

)(

))(|()(

VaR

VaR

df

df

VaREES

LL

LLL

LL

Der Expected Shortfall ist ein subadditives Risikomaß.

Im diskreten Fall enthält der Nenner die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten für Verluste, die größer als der VaR sind.


Nachweis der Subadditivität für das Beispiel:

Schuldner 1:

ES(95%) = (3% x 1 ) Mio Euro / (3%) = 1 Mio Euro.

Schuldner 2:

ES(95%) = 1 Mio Euro

Der Expected Shortfall für das Portfolio aus beiden Exposures beträgt

(0,0009 x 2) Mio EUR / (0,0009) = 2 Mio EUR <= (1 + 1) Mio ÉUR => Subadditivität ist erfüllt

RisikomaßeExpected Shortfall (Tail Conditional Expectation)

ES(95%) für Schuldner 1 ES(95%) für Schuldner 2


In einem Portfolio befinden sich zwei Exposures gegenüber Schuldnern, die unabhängig voneinander ausfallen.

Exposure von Schuldner 1: EUR 10.500

Ausfallwahrscheinlichkeit 2,5%

Der LGD beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% einen Wert von 75% und mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% einen Wert von 30%.

Exposure von Schuldner 2: EUR 10.000

Ausfallwahrscheinlichkeit 2,0%

Der LGD beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% einen Wert von 80% und mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% einen Wert von 31,5%.

Berechnen Sie die Portfolioverlustverteilung, den erwarteten Verlust des Portfolios sowie Value-at-Risk, unerwarteten Verlust und Expected Shortfall für die Konfidenzniveaus 99,0% und 99,95%.

RisikomaßeBeispielhafte Berechnung aus der Verlustverteilung



Eintrittswahr-scheinlichkeit Verlust

2,5% 40,0% 2,0% 40,0% 0,008% 10.500 x 0,75 + 10.000 x 0,8 = 15.8752,5% 40,0% 2,0% 60,0% 0,012% 10.500 x 0,75 + 10.000 x 0,315 = 11.0252,5% 60,0% 2,0% 40,0% 0,012% 10.500 x 0,3 + 10.000 x 0,8 = 11.1502,5% 60,0% 2,0% 60,0% 0,018% 10.500 x 0,3 + 10.000 x 0,315 = 6.3002,5% 40,0% 0,980% 10.500 x 0,75 = 7.8752,5% 60,0% 1,470% 10.500 x 0,3 = 3.150

2,0% 40,0% 0,780% 10.000 x 0,8 = 8.0002,0% 60,0% 1,170% 10.000 x 0,315 = 3.150

95,550% 0Summe: 100,000%

97,5%97,5%

98,0%98,0%

98,0%

Wahrscheinlichkeit 2

97,5%

Wahrscheinlichkeit 1

Eintrittswahr-scheinlichkeit

kumulierte Eintrittswahr-scheinlichkeit Verlusthöhe

erwarteter Verlust

95,550% 95,550% 0 0,002,640% 98,190% 3.150 83,160,018% 98,208% 6.300 1,130,980% 99,188% 7.875 77,180,780% 99,968% 8.000 62,400,012% 99,980% 11.025 1,320,012% 99,992% 11.150 1,340,008% 100,000% 15.875 1,27

Summe: 227,8


Der erwartete Verlust des Portfolios beträgt 227,8 Euro.

Unerwarteter Portfolioverlust:

Schuldner 1: Der mittlere LGD beträgt

0,40 x 0,75 + 0,60 x 0,30 = 48%

Die Varianz des LGD beträgt

L2 = 40% x 0,272 + 60% x 0,182 = 0,0486

Der unerwartete Verlust beträgt damit

Schuldner 2: Der mittlere LGD beträgt

0,40 x 0,80 + 0,60 x 0,315 = 50,9%

Die Varianz des LGD beträgt

L2 = 40% x 0,2912 + 60% x 0,1942 = 0,056454

Der unerwartete Verlust beträgt damit


867,80,9750,0250,480,04860,02510.500UL 21

787,80,980,020,5090,0564540,0210.000UL 22


VaR(99%) = 7875 Euro.

UL(99%) = (7875 – 227,8) Euro = 7647,8 Euro.

ES (99%) = (62,4 + 1,32 + 1,34 + 1,27) / (0,78%+0,012%+0,012%+0,008%) Euro = 8168,7 Euro

VaR(99,95%) = 8000 Euro.

UL(99,95%) = (8000 – 227,8) Euro = 7772,2 Euro.

ES(99,95%) = (1,32 + 1,34 + 1,27) /(0,012%+0,012%+0,008%) Euro = 12281,25 Euro



Modellieren die ökonomische Ursache des Kreditausfalls über den Firmenwert (vgl. Kap. Ratings)

Ausfallkorrelationen werden durch das mikroökonomische Modell bestimmt

Generell anfälliger auf unplausible Modellannahmen

Beispiele:

CreditMetrics (JP Morgan)

RiskFrontier (Moody‘s KMV)

KreditrisikomodelleKausalmodell oder statistisches Modell?

Strukturelle Modelle

Modellieren den Ausfall statistisch (ggfs. unter Anknüpfung an die Makroökonomie)

Ausfallkorrelationen kommen über gemeinsame (makroökonomische oder latente) Einflussfaktoren zustande

Generell anfälliger auf schlechte Inputdaten

Beispiele:

CreditRisk+ (Credit Suisse)

CreditPortfolioView (McKinsey)

Reduzierte Modelle


Risiko des Ausfalls der Gegenpartei

Betrachtetes Verlustereignis: Realisierter Verlust

Verlustereignis ist immer relevant

Immer Modellieren die ökonomische Ursache des Kreditausfalls über den Firmenwert (vgl. Kap. Ratings)

Buchverlust als tatsächlicher Verlust

KreditrisikomodelleWelche Ereignisse berücksichtigt das Kreditrisikomodell

Default-Mode

Risiko einer Bonitätsverschlechterung (Ratingverschlechterung) der Gegenpartei

Betrachtetes Verlustereignis: Buchverlust bei Marktbewertung

Bei Marktbewertung ist Verlustereignis immer relevant; bei Verwendung des Buchwerts für die GuV (z.B. gemäßigtes Niederstwertprinzip, Buy-and-Hold) ist Verlustereignis nur relevant bei Veräußerung vor Laufzeitende

Übergang in den Default als eine mögliche Ratingverschlechterung

Mark-to-Market


KreditrisikomodelleCreditMetrics: Risiko einer Einzelposition

PD-Rating Rang Credit Spread

Migrations-wahrscheinlichkeit

Recovery Ratebei Ausfall

BarwertNeubewertung

Standardabweichung des Wertes der Einzelposition (abhängig von den Wertveränderungen aufgrund möglicher Bonitätsverschlechterungen)


KreditrisikomodelleCreditMetrics: historische Übergangsmatrix als Input

Initialrating AAA AA A BBB BB B CCC DefaultAAA 90,81 8,33 0,68 0,06 0,12 0,00 0,00 0,00AA 0,70 90,65 7,79 0,64 0,06 0,14 0,02 0,00A 0,09 2,27 91,05 5,52 0,74 0,26 0,01 0,06BBB 0,02 0,33 5,95 86,93 5,30 1,17 0,12 0,18BB 0,03 0,14 0,67 7,73 80,53 8,84 1,00 1,06B 0,00 0,11 0,24 0,43 6,48 83,46 4,07 5,20CCC 0,22 0,00 0,22 1,30 2,38 11,24 64,86 19,79Default 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100,00

Rating in einem Jahr (Übergangswahrscheinlichkeiten in %)


KreditrisikomodelleCreditMetrics: Mögliche Ratingveränderungen eines Bonds

Beispiel: 5-Jahres-Kuponbond

Kupon: 6%

Rating: BBB (Senior Unsecured)

Nominalbetrag: 100

Mögliche Ratings des Bonds in einem Jahr:

AAA 0,02%

AA 0,33%

A 5,95%

BBB BBB 86,93%

BB 5,30%

B 1,17%

CCC 0,12%

Default 0,18%


KreditrisikomodelleCreditMetrics: Historische Recovery Rates als Input

Seniority Class Erwartungswert (%) Standardabweichung (%)Senior Secured 53,80 26,86Senior Unsecured 51,13 25,45Senior Subordinated 38,52 23,81Subordinated 32,74 20,18Junior Subordinated 17,09 10,90


KreditrisikomodelleCreditMetrics: Wertverteilung einer einzigen Position nach einem Jahr

Aktuelles Rating

8 mögliche Zustände

in einem Jahr

Wahrschein-

Lichkeiten

Bondwert

(aufgrund

Forward Rate)

BBB

AAA AA A BBB BB B CCC Default

0,02% 0,33% 5,95% 86,93% 5,30% 1,17% 0,12% 0,18%

109,35 109,17 108,64 107,53 102,01 98,09 83,63 51,13

E = 107,09 = 2,99


KreditrisikomodelleCreditMetrics: Berücksichtigung von Korrelationen

Für die Ermittlung der Ausfallkorrelationen werden Korrelationen von Aktienrenditen herangezogen.

Die Veränderungen des Aktienrenditen werden als normalverteilt angenommen.

Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit zweier Schuldner

ZD ZCCC ZB ZBBZBBB ZA ZAA

Stochastische Aktienrendite

-2,91 -2,75 -2,18 -1,49-1,53 2,70 3,54

BABABA

Z Z

BABA dxdx);x;f(xdxdx)η;x;f(x)1E(1Default(A) Default(B)

91,2 91,2


KreditrisikomodelleCreditMetrics: Berücksichtigung von Korrelationen

Wirkung der Korrelation auf die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit

= 0: 0,0018 x 0,0018 = 0,00000324

= 1: 0,0018

= 0,5: 0,000122 = 0,066 x 0,18% x 99,82% + 0,18% x 0,18%

Ausfallkorrelation:

= 0,5 => AB = 0,066

= 0,915 => AB = 0,5


KreditrisikomodelleCreditMetrics: Modellübersicht

PD-Rating Rang Credit Spread

Migrations -wahrscheinlichkeit


BarwertNeubewertung

Standardabweichung des Wertes der Einzelposition (abhängig von den Wertveränderungen aufgrund möglicherBonitätsverschlechterungen)

Benutzerportfolio

Marktvolatilitäten

Exposure-Verteilung

Ratingdaten, Aktienkurse, Indizes

Modelle

Gemeinsame Verteilung-

Value-at-Risk des Portfolios aufgrund von Kreditrisiken


1. Simulation von N multivariat standardnormalverteilten Zufallsvariablen mit der richtigen Korrelation

2. Für jedes der N Instrumente im Portfolio:

1. Ablesen des Ratings gemäß Z-Werten

2. Einsetzen der Forward-Bewertung gemäß Rating

3. Wenn Default: Simulation der Recovery Rate gemäß Seniority aus einer Beta-Verteilung mit dem historischen Erwartungswert und der historischen Standardabweichung

3. Wiederholung der obigen Schritte (z.B. 10000mal)

4. Sortieren und Ablesen des Value-at-Risk

KreditrisikomodelleCreditMetrics: Berechnung des Credit Value-at-Risk mit Monte-Carlo-Simulation


Annahme: Korrelation der Aktienrenditen ist gleich Korrelation der Firmenwertveränderungen (=> Kap. Rating: Firmenwertmodell)

Behandlung des Exposures:

Expected Exposure

Angenommen als extern berechnet

Aufwändige Berechnung

Geeignet vor allem für gehandelte Positionen (Bonds), weniger für Buchkredite (insbes. Retail)

KreditrisikomodelleCreditMetrics: Bemerkungen


KreditrisikomodelleCreditRisk+: Modellübersicht

PD-Rating Rang Exposure

Ausfall -wahrscheinlichkeit


Nettoexposure

Erwarteter Verlust des Portfolios

Volatilität der Ausfall--wahrscheinlichkeit

SektorenaufteilungFür Korrelationen

Value-at-Risk des Portfolios


Default-Mode Modell

Versicherungsmathematisch (ohne mikroökonomische Moldellierung)

Anzahl der Ausfälle ~ Poisson()

Problem der Overdispersion

Poisson: Erwartungswert = Wurzel aus der Varianz

Empirisch: Erwartungswert < Wurzel aus der Varianz

Poisson unterschätzt deshalb den Value-at-Risk

Erweiterung:

ist selbst stochastisch: ~ Gamma

Daraus folgt: Anzahl der Ausfälle ~ Negativ Binomial

Erwartete Recovery wird vom Exposure abgezogen

KreditrisikomodelleCreditRisk+: Modellannahmen

0,1,2n;n!

λ)exp(λP(n)

n


Analytische Berechnung der Wahrscheinlichkeit, keinen Verlust zu erleiden

Rekursionsbeziehung für n Verluste (Panjer-Rekursion)

Leichte, performante Implementierung möglich

Sektorstruktur für Modellierung systematischer Hintergrundfaktoren

Jeder Kredit wird auf orthogonale Sektoren aufgeteilt gemäß den wirtschaftlichen Hintergrundfaktoren, die seine Bonität beeinflussen

Sektoren sind systematische Hintergrundfaktoren

1 idiosynkratischer Sektor für das nicht systematische Risiko

Auswirkungen der Sektorkonzentrationen auf Value-at-Risk und Ausfallkorrelationen

KreditrisikomodelleCreditRisk+: Berechnung des Value-at-Risk


KreditrisikomodelleCreditRisk+: Beispiel für Sektoraufteilung

Kredit X

Kredit Y

Europa Asien Energie ErnährungIdiosynkratischer

Sektor...

20% 35%45%

30%

10% 30%

30%


Beispiel: Portfolio von 25 identischen Krediten, 3 Sektoren mit systematischem Risiko

a) Alle Kredite in einem Sektor

b) 3 Sektoren, alle Kredite sind zu 100% in genau einem Sektor

c) 3 Sektoren, alle Kredite sind in alle drei Sektoren aufgeteilt

a) b) c)

Erwartungswert 14,2 Mio 14,2 Mio 14,2 Mio

VaR(99%) 55,3 Mio 49,9 Mio 47,4 Mio

KreditrisikomodelleCreditRisk+: Auswirkung der Sektoraufteilung


Keine Annahmen bezüglich Ausfallursache

Einbezug der Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeit

Gut skalierbar

Effiziente analytische Berechnung auf dem Computer

Geringe Datenanforderungen

Modellerweiterung auf stochastische Recovery Rates möglich

KreditrisikomodelleCreditRisk+: Anmerkungen

Date post:	30-Dec-2015
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