1Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Neben den gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeiten lassen sich mit Hilfe der bivariaten standardisierten Normalverteilung auch gemeinsame Übergangswahrscheinlichkeiten in beliebige Ratingklassen berechnen.
Die Integrationsgrenzen über die bivariate Verteilungsfunktion ergeben sich bei einem Initialrating von BBB für Schuldner 1 und A für Schuldner 2 bei Zugrundelegung der Übergangswahrscheinlichkeiten aus dem vorletzten Beispiel aus folgendem Schema:
Portfolioverlustverteilung Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen
BBBBBBCCCD A AA AAA
BBBBB
CCC
D
B
A
AAAAA
1,98
-1,51
Schuldner 1 bleibt in BBB
und Schuldner 2
in A Aktienrendite Schuldner 2
Aktienrendite Schuldner 1
2Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Ein Risikomaß ist eine Kennzahl, die aus der Verlustverteilung eines Portfolios abgeleitet wird und das „Risiko“ des Portfolios beschreiben soll.
Es existieren viele verschiedene Risikomaße.
Die wichtigsten sind:
Erwartungswert (erwarteter Verlust)
Varianz bzw. Standardabweichung (unerwarteter Verlust ULP)
Value-at-Risk (sowie unerwarteter Verlust bezogen auf Konfidenzniveau, UL())
Expected Shortfall
Der Value-at-Risk sowie der Expected Shortfall sind Maße für das sog. „tail risk“, d.h. sie beschreiben unter Berücksichtigung eines Konfidenzniveaus extreme Verlustereignisse im Ausläufer der Verlustverteilung, der hohen Verlustbeträgen entspricht.
RisikomaßeAllgemeines
)(L
3Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Der erwartete Verlust ist formal definiert als
Der unerwartete Verlust auf Portfolioebene ist definiert über die Varianz der Portfolioverlustverteilung:
Kritik: Die Varianz bzw. Standardabweichung erfasst Abweichungen nach oben und nach unten => Widerspruch zum Begriff des „Risikos“; schlecht bei asymmetrischen Verteilungen
RisikomaßeErwartungswert und Standardabweichung
max
min
)()(L
L
dfE LLLL
max
min
L
L
22P )df())E(- ()var(UL LLLLL
Verlust
P=ULP
ErwarteterVerlust
4Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Implizite Definition:
Sei ein Konfidenzniveau (0 < < 1) fixiert.
Dann ist der Value-at-Risk einer Verlustverteilung implizit definiert als
Der Value-at-Risk ist gerade das .100%-Quantil der Verteilung der Verlustvariablen .
Explizite Definition:
Sei ein Konfidenzniveau (0 < < 1) fixiert.
Dann ist der Value-at-Risk einer Verlustverteilung explizit definiert als
Bei einer Normalverteilung besteht eine 1:1-Beziehung zwischen ULP und VaR: So gilt z.B. für = 95%: 1,65 = VaR(95%)
RisikomaßeRisikomaße für das Tail Risk: Value-at-Risk
))(LL VaRP(
L
L
)()( -1VaR LL F
5Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Bestimmung VaR() für diskrete Verteilungen:
1. Konstruktion der kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Portfolioverlustverteilung (Verluste seien positiv)
2. Bestimmung des kleinsten Verlustbetrags, zu dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit größer oder gleich ist. Dieser Verlustbetrag ist der gesuchte VaR().
Beispiel: Ein Portfolio besteht aus zwei Krediten an zwei Schuldner A und B in Höhe von jeweils 1 Mio EUR. Die PD der Schuldner betrage jeweils 3%, der LGD jeweils 100% und die Ausfallkorrelation 50%. Berechnen Sie den VaR des Portfolios zum Konfidenzniveau 98%.
Lösung:
Zur Bestimmung der Portfolioverlustverteilung sind folgende Ereignisse zu betrachten:
Fall 1: Schuldner A und Schuldner B fallen aus
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über den Erwartungswert
E(1A 1B) = AB A B + PDA PDB = AB ( PDA (1-PDA) PDB (1-PDB) )0,5 + PDA PDB
= 50% x (3% x 97% x 3% x 97%)0,5 + 3% x 3% = 1,545%
RisikomaßeRisikomaße für das Tail Risk: Value-at-Risk
6Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Fall 2: Schuldner A fällt aus und Schuldner B fällt nicht aus
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über den Erwartungswert
E(1A (1-1B)) = E(1A) – E(1A 1B) = 3% - 1,545% = 1,455%
Fall 3: Schuldner A fällt nicht aus und Schuldner B fällt aus
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über den Erwartungswert
E((1-1A) 1B) = E(1B) – E(1A 1B) = 3% - 1,545% = 1,455%
Fall 4: Schuldner A fällt nicht aus und Schuldner B fällt nicht aus
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über den Erwartungswert
E((1-1A) (1-1B)) = 1 - E(1A) - E(1B) + E(1A 1B) = 1 – 3% - 3% + 1,545% = 95,545%
Portfolioverlustverteilung:
RisikomaßeRisikomaße für das Tail Risk: Value-at-Risk
Eintrittswahr-scheinlichkeit
kumulierte Eintrittswahr-scheinlichkeit Verlusthöhe
95,545% 95,545% 02,910% 98,455% 11,545% 100,000% 2
VaR(98%) = kleinster Verlustbetrag mit kumulierter Eintrittswahrscheinlichkeit größer gleich 98%
7Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Der Value-at-Risk wird für Zwecke des Risikomanagements häufig zerlegt in den erwarteten und unerwarteten Verlust.
Der in Zusammenhang mit dem Value-at-Risk definierte unerwartete Verlust hängt vom Konfidenzniveau ab und ist wie folgt definiert:
Achtung: In Literatur und Praxis wird der Begriff des unerwarteten Verlusts für verschiedene Sachverhalte verwendet:
ULi: unerwarteter Verlust für den Einzelschuldner
ULP: unerwarteter Verlust auf Portfolioebene (definiert über Varianz)
UL(): unerwarteter Verlust als Teil des VaR zum Konfidenzniveau
RisikomaßeRisikomaße für das Tail Risk: Value-at-Risk und seine Zerlegung
VerlustVaR (99%)
ErwarteterVerlust
UnerwarteterVerlust zum Konfidenzniveau 99%
P=ULP
Tail risk
)()( ULELVaR
8Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Wahl des Konfidenzniveaus:
Höheres Konfidenzniveau höherer Value-at-Risk
Höheres Konfidenzniveau impliziert insbesondere bei Simulationsmodellen weniger Beobachtungen und damit größere Fehler bei der Quantifizierung
Höheres Konfidenzniveau impliziert größere Unsicherheiten beim Backtesting.
Die Wahl des Konfidenzniveaus hängt von der mit der VaR-Betrachtung verfolgten Zielsetzung ab. Dabei können verschiedene Zielsetzungen im Unternehmen verfolgt werden, die zu einer Verwendung des VaR bei verschiedenen Konfidenzniveaus führen.
Häufig Verwendung als Vergleich (Benchmark) innerhalb des Unternehmens im Rahmen der operativen Steuerung => Konsistenz zwischen Bereichen ist wichtig, typischerweise eher moderate Konfidenzniveaus, z.B. 90%
Bestimmung des benötigten ökonomischen Kapitals, um den Konkurs zu vermeiden => Abhängigkeit vom eigenen Zielrating, strategische Steuerung, typischerweise sehr hohe Konfidenzniveaus
RisikomaßeValue-at-Risk in der Unternehmenssteuerung
9Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
RisikomaßeValue-at-Risk in der Unternehmenssteuerung
Verlust
AA: VaR(99,99%)
P=ULP
ErwarteterVerlust
Beispielhaft: Verwendung der 1-Jahres-PDs von S&P
A: VaR(99,95%)
BBB: VaR(99,63%)
10Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Verhalten der Verlustverteilung oberhalb des VaR wird nicht berücksichtigt
Extremszenarien fehlen
Beispiel: VaR(99%)
Welche Verluste können bei Überschreitung des Value-at-Risk auftreten?
Verschiedene Verteilungen geben verschiedene Antworten
Die für die Bank gefährlichen Extremszenarien werden mit dem VaR nicht ausreichend quantifiziert
VaR ist durch Stress-Tests zu ergänzen!
RisikomaßeValue-at-Risk: Kritik
1% 1% 1%
11Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Der Value-at-Risk ist kein „subadditives“ Risikomaß.
Ein Risikomaß ist dann subadditiv, wenn für zwei Portfolien P1 und P2 gilt:
Intuitiv spiegeln sich in der Subadditivität Diversifikationseffekte wider.
Beispiel für das nicht subadditive Verhalten des Risikomaßes VaR:
Zwei Kreditpositionen, die unabhängig voneinander ausfallen können:Kreditposition 1: EUR 1 Mio, LGD = 100% Kreditposition 2: EUR 1 Mio, LGD = 100%
Ausfallwahrscheinlichkeit 3% Ausfallwahrscheinlichkeit 3%
=> VaR(95%) = 0 => VaR(95%) = 0
RisikomaßeValue-at-Risk: Kritik
Portfolio aus den Kreditpositionen 1 und 2:
kein Ausfall: Wahrscheinlichkeit 94,1%
Mindestens ein Ausfall: Wahrscheinlichkeit 5,9%
=> VaR(95%) = EUR 1 Mio > 0 => keine Subadditivität
Wie wäre die Situation bei vollständiger Abhängigkeit (z.B. identische Schuldner)?
)()()(2121 PPPP LLL
12Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Der Expected Shortfall ES() zu einem gegebenen Konfidenzniveau ist der Erwartungswert, der unter der Bedingung gebildet wird, dass der Value-at-Risk bei diesem Konfidenzniveau überschritten ist.
RisikomaßeExpected Shortfall (Tail Conditional Expectation)
VerlustVaR (99%)
ErwarteterVerlust
UnerwarteterVerlust
ES (99%)
)(
)(
)(
)(
))(|()(
VaR
VaR
df
df
VaREES
LL
LLL
LL
Der Expected Shortfall ist ein subadditives Risikomaß.
Im diskreten Fall enthält der Nenner die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten für Verluste, die größer als der VaR sind.
13Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Nachweis der Subadditivität für das Beispiel:
Schuldner 1:
ES(95%) = (3% x 1 ) Mio Euro / (3%) = 1 Mio Euro.
Schuldner 2:
ES(95%) = 1 Mio Euro
Der Expected Shortfall für das Portfolio aus beiden Exposures beträgt
(0,0009 x 2) Mio EUR / (0,0009) = 2 Mio EUR <= (1 + 1) Mio ÉUR => Subadditivität ist erfüllt
RisikomaßeExpected Shortfall (Tail Conditional Expectation)
ES(95%) für Schuldner 1 ES(95%) für Schuldner 2
14Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
In einem Portfolio befinden sich zwei Exposures gegenüber Schuldnern, die unabhängig voneinander ausfallen.
Exposure von Schuldner 1: EUR 10.500
Ausfallwahrscheinlichkeit 2,5%
Der LGD beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% einen Wert von 75% und mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% einen Wert von 30%.
Exposure von Schuldner 2: EUR 10.000
Ausfallwahrscheinlichkeit 2,0%
Der LGD beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% einen Wert von 80% und mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% einen Wert von 31,5%.
Berechnen Sie die Portfolioverlustverteilung, den erwarteten Verlust des Portfolios sowie Value-at-Risk, unerwarteten Verlust und Expected Shortfall für die Konfidenzniveaus 99,0% und 99,95%.
RisikomaßeBeispielhafte Berechnung aus der Verlustverteilung
15Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
RisikomaßeBeispielhafte Berechnung aus der Verlustverteilung
Eintrittswahr-scheinlichkeit Verlust
2,5% 40,0% 2,0% 40,0% 0,008% 10.500 x 0,75 + 10.000 x 0,8 = 15.8752,5% 40,0% 2,0% 60,0% 0,012% 10.500 x 0,75 + 10.000 x 0,315 = 11.0252,5% 60,0% 2,0% 40,0% 0,012% 10.500 x 0,3 + 10.000 x 0,8 = 11.1502,5% 60,0% 2,0% 60,0% 0,018% 10.500 x 0,3 + 10.000 x 0,315 = 6.3002,5% 40,0% 0,980% 10.500 x 0,75 = 7.8752,5% 60,0% 1,470% 10.500 x 0,3 = 3.150
2,0% 40,0% 0,780% 10.000 x 0,8 = 8.0002,0% 60,0% 1,170% 10.000 x 0,315 = 3.150
95,550% 0Summe: 100,000%
97,5%97,5%
98,0%98,0%
98,0%
Wahrscheinlichkeit 2
97,5%
Wahrscheinlichkeit 1
Eintrittswahr-scheinlichkeit
kumulierte Eintrittswahr-scheinlichkeit Verlusthöhe
erwarteter Verlust
95,550% 95,550% 0 0,002,640% 98,190% 3.150 83,160,018% 98,208% 6.300 1,130,980% 99,188% 7.875 77,180,780% 99,968% 8.000 62,400,012% 99,980% 11.025 1,320,012% 99,992% 11.150 1,340,008% 100,000% 15.875 1,27
Summe: 227,8
16Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Der erwartete Verlust des Portfolios beträgt 227,8 Euro.
Unerwarteter Portfolioverlust:
Schuldner 1: Der mittlere LGD beträgt
0,40 x 0,75 + 0,60 x 0,30 = 48%
Die Varianz des LGD beträgt
L2 = 40% x 0,272 + 60% x 0,182 = 0,0486
Der unerwartete Verlust beträgt damit
Schuldner 2: Der mittlere LGD beträgt
0,40 x 0,80 + 0,60 x 0,315 = 50,9%
Die Varianz des LGD beträgt
L2 = 40% x 0,2912 + 60% x 0,1942 = 0,056454
Der unerwartete Verlust beträgt damit
RisikomaßeBeispielhafte Berechnung aus der Verlustverteilung
867,80,9750,0250,480,04860,02510.500UL 21
787,80,980,020,5090,0564540,0210.000UL 22
17Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
VaR(99%) = 7875 Euro.
UL(99%) = (7875 – 227,8) Euro = 7647,8 Euro.
ES (99%) = (62,4 + 1,32 + 1,34 + 1,27) / (0,78%+0,012%+0,012%+0,008%) Euro = 8168,7 Euro
VaR(99,95%) = 8000 Euro.
UL(99,95%) = (8000 – 227,8) Euro = 7772,2 Euro.
ES(99,95%) = (1,32 + 1,34 + 1,27) /(0,012%+0,012%+0,008%) Euro = 12281,25 Euro
RisikomaßeBeispielhafte Berechnung aus der Verlustverteilung
18Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Modellieren die ökonomische Ursache des Kreditausfalls über den Firmenwert (vgl. Kap. Ratings)
Ausfallkorrelationen werden durch das mikroökonomische Modell bestimmt
Generell anfälliger auf unplausible Modellannahmen
Beispiele:
CreditMetrics (JP Morgan)
RiskFrontier (Moody‘s KMV)
KreditrisikomodelleKausalmodell oder statistisches Modell?
Strukturelle Modelle
Modellieren den Ausfall statistisch (ggfs. unter Anknüpfung an die Makroökonomie)
Ausfallkorrelationen kommen über gemeinsame (makroökonomische oder latente) Einflussfaktoren zustande
Generell anfälliger auf schlechte Inputdaten
Beispiele:
CreditRisk+ (Credit Suisse)
CreditPortfolioView (McKinsey)
Reduzierte Modelle
19Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Risiko des Ausfalls der Gegenpartei
Betrachtetes Verlustereignis: Realisierter Verlust
Verlustereignis ist immer relevant
Immer Modellieren die ökonomische Ursache des Kreditausfalls über den Firmenwert (vgl. Kap. Ratings)
Buchverlust als tatsächlicher Verlust
KreditrisikomodelleWelche Ereignisse berücksichtigt das Kreditrisikomodell
Default-Mode
Risiko einer Bonitätsverschlechterung (Ratingverschlechterung) der Gegenpartei
Betrachtetes Verlustereignis: Buchverlust bei Marktbewertung
Bei Marktbewertung ist Verlustereignis immer relevant; bei Verwendung des Buchwerts für die GuV (z.B. gemäßigtes Niederstwertprinzip, Buy-and-Hold) ist Verlustereignis nur relevant bei Veräußerung vor Laufzeitende
Übergang in den Default als eine mögliche Ratingverschlechterung
Mark-to-Market
20Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
KreditrisikomodelleCreditMetrics: Risiko einer Einzelposition
PD-Rating Rang Credit Spread
Migrations-wahrscheinlichkeit
Recovery Ratebei Ausfall
BarwertNeubewertung
Standardabweichung des Wertes der Einzelposition (abhängig von den Wertveränderungen aufgrund möglicher Bonitätsverschlechterungen)
21Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
KreditrisikomodelleCreditMetrics: historische Übergangsmatrix als Input
Initialrating AAA AA A BBB BB B CCC DefaultAAA 90,81 8,33 0,68 0,06 0,12 0,00 0,00 0,00AA 0,70 90,65 7,79 0,64 0,06 0,14 0,02 0,00A 0,09 2,27 91,05 5,52 0,74 0,26 0,01 0,06BBB 0,02 0,33 5,95 86,93 5,30 1,17 0,12 0,18BB 0,03 0,14 0,67 7,73 80,53 8,84 1,00 1,06B 0,00 0,11 0,24 0,43 6,48 83,46 4,07 5,20CCC 0,22 0,00 0,22 1,30 2,38 11,24 64,86 19,79Default 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100,00
Rating in einem Jahr (Übergangswahrscheinlichkeiten in %)
22Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
KreditrisikomodelleCreditMetrics: Mögliche Ratingveränderungen eines Bonds
Beispiel: 5-Jahres-Kuponbond
Kupon: 6%
Rating: BBB (Senior Unsecured)
Nominalbetrag: 100
Mögliche Ratings des Bonds in einem Jahr:
AAA 0,02%
AA 0,33%
A 5,95%
BBB BBB 86,93%
BB 5,30%
B 1,17%
CCC 0,12%
Default 0,18%
23Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
KreditrisikomodelleCreditMetrics: Historische Recovery Rates als Input
Seniority Class Erwartungswert (%) Standardabweichung (%)Senior Secured 53,80 26,86Senior Unsecured 51,13 25,45Senior Subordinated 38,52 23,81Subordinated 32,74 20,18Junior Subordinated 17,09 10,90
24Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
KreditrisikomodelleCreditMetrics: Wertverteilung einer einzigen Position nach einem Jahr
Aktuelles Rating
8 mögliche Zustände
in einem Jahr
Wahrschein-
Lichkeiten
Bondwert
(aufgrund
Forward Rate)
BBB
AAA AA A BBB BB B CCC Default
0,02% 0,33% 5,95% 86,93% 5,30% 1,17% 0,12% 0,18%
109,35 109,17 108,64 107,53 102,01 98,09 83,63 51,13
E = 107,09 = 2,99
25Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
KreditrisikomodelleCreditMetrics: Berücksichtigung von Korrelationen
Für die Ermittlung der Ausfallkorrelationen werden Korrelationen von Aktienrenditen herangezogen.
Die Veränderungen des Aktienrenditen werden als normalverteilt angenommen.
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit zweier Schuldner
ZD ZCCC ZB ZBBZBBB ZA ZAA
Stochastische Aktienrendite
-2,91 -2,75 -2,18 -1,49-1,53 2,70 3,54
BABABA
Z Z
BABA dxdx);x;f(xdxdx)η;x;f(x)1E(1Default(A) Default(B)
91,2 91,2
26Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
KreditrisikomodelleCreditMetrics: Berücksichtigung von Korrelationen
Wirkung der Korrelation auf die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
= 0: 0,0018 x 0,0018 = 0,00000324
= 1: 0,0018
= 0,5: 0,000122 = 0,066 x 0,18% x 99,82% + 0,18% x 0,18%
Ausfallkorrelation:
= 0,5 => AB = 0,066
= 0,915 => AB = 0,5
27Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
KreditrisikomodelleCreditMetrics: Modellübersicht
PD-Rating Rang Credit Spread
Migrations -wahrscheinlichkeit
Recovery Ratebei Ausfall
BarwertNeubewertung
Standardabweichung des Wertes der Einzelposition (abhängig von den Wertveränderungen aufgrund möglicherBonitätsverschlechterungen)
Benutzerportfolio
Marktvolatilitäten
Exposure-Verteilung
Ratingdaten, Aktienkurse, Indizes
Modelle
Gemeinsame Verteilung-
Value-at-Risk des Portfolios aufgrund von Kreditrisiken
28Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
1. Simulation von N multivariat standardnormalverteilten Zufallsvariablen mit der richtigen Korrelation
2. Für jedes der N Instrumente im Portfolio:
1. Ablesen des Ratings gemäß Z-Werten
2. Einsetzen der Forward-Bewertung gemäß Rating
3. Wenn Default: Simulation der Recovery Rate gemäß Seniority aus einer Beta-Verteilung mit dem historischen Erwartungswert und der historischen Standardabweichung
3. Wiederholung der obigen Schritte (z.B. 10000mal)
4. Sortieren und Ablesen des Value-at-Risk
KreditrisikomodelleCreditMetrics: Berechnung des Credit Value-at-Risk mit Monte-Carlo-Simulation
29Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Annahme: Korrelation der Aktienrenditen ist gleich Korrelation der Firmenwertveränderungen (=> Kap. Rating: Firmenwertmodell)
Behandlung des Exposures:
Expected Exposure
Angenommen als extern berechnet
Aufwändige Berechnung
Geeignet vor allem für gehandelte Positionen (Bonds), weniger für Buchkredite (insbes. Retail)
KreditrisikomodelleCreditMetrics: Bemerkungen
30Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
KreditrisikomodelleCreditRisk+: Modellübersicht
PD-Rating Rang Exposure
Ausfall -wahrscheinlichkeit
Recovery Ratebei Ausfall
Nettoexposure
Erwarteter Verlust des Portfolios
Volatilität der Ausfall--wahrscheinlichkeit
SektorenaufteilungFür Korrelationen
Value-at-Risk des Portfolios
31Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Default-Mode Modell
Versicherungsmathematisch (ohne mikroökonomische Moldellierung)
Anzahl der Ausfälle ~ Poisson()
Problem der Overdispersion
Poisson: Erwartungswert = Wurzel aus der Varianz
Empirisch: Erwartungswert < Wurzel aus der Varianz
Poisson unterschätzt deshalb den Value-at-Risk
Erweiterung:
ist selbst stochastisch: ~ Gamma
Daraus folgt: Anzahl der Ausfälle ~ Negativ Binomial
Erwartete Recovery wird vom Exposure abgezogen
KreditrisikomodelleCreditRisk+: Modellannahmen
0,1,2n;n!
λ)exp(λP(n)
n
32Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Analytische Berechnung der Wahrscheinlichkeit, keinen Verlust zu erleiden
Rekursionsbeziehung für n Verluste (Panjer-Rekursion)
Leichte, performante Implementierung möglich
Sektorstruktur für Modellierung systematischer Hintergrundfaktoren
Jeder Kredit wird auf orthogonale Sektoren aufgeteilt gemäß den wirtschaftlichen Hintergrundfaktoren, die seine Bonität beeinflussen
Sektoren sind systematische Hintergrundfaktoren
1 idiosynkratischer Sektor für das nicht systematische Risiko
Auswirkungen der Sektorkonzentrationen auf Value-at-Risk und Ausfallkorrelationen
KreditrisikomodelleCreditRisk+: Berechnung des Value-at-Risk
33Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
KreditrisikomodelleCreditRisk+: Beispiel für Sektoraufteilung
Kredit X
Kredit Y
Europa Asien Energie ErnährungIdiosynkratischer
Sektor...
20% 35%45%
30%
10% 30%
30%
34Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Beispiel: Portfolio von 25 identischen Krediten, 3 Sektoren mit systematischem Risiko
a) Alle Kredite in einem Sektor
b) 3 Sektoren, alle Kredite sind zu 100% in genau einem Sektor
c) 3 Sektoren, alle Kredite sind in alle drei Sektoren aufgeteilt
a) b) c)
Erwartungswert 14,2 Mio 14,2 Mio 14,2 Mio
VaR(99%) 55,3 Mio 49,9 Mio 47,4 Mio
KreditrisikomodelleCreditRisk+: Auswirkung der Sektoraufteilung
35Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS2010, Dr. G. Knöchlein
Keine Annahmen bezüglich Ausfallursache
Einbezug der Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeit
Gut skalierbar
Effiziente analytische Berechnung auf dem Computer
Geringe Datenanforderungen
Modellerweiterung auf stochastische Recovery Rates möglich
KreditrisikomodelleCreditRisk+: Anmerkungen