117
National Library Bibliothque nationale du Canada
Acquisitions and Acquisitions et BiMiographic Services senfices bibliographiques 395 Wellington Street 395, nie Wellington OttawaON K 1 A W OttawaON K l A O N 4 Canada Canada
The author has granted a non- L'auteur a accord une licence non exclusive licence allowing the exclusive permettant la National Library of Canada to Bibliothque nationale du Canada de reproduce, loan, distribute or sell reproduire, prter, distribuer ou copies of this thesis in microfonn, vendre des copies de cette thse sous paper or electronic formats. la forme de rnicrofiche/film, de
reproduction sur papier ou sur format lectronique.
The author retains ownership of the L'auteur conserve la proprit du copyright in this thesis. Neither the droit d'auteur qui protge cette thse. thesis nor substantial extracts fiom it Ni la thse ni des extraits substantiels may be printed or otherwise de celle-ci ne doivent tre imprims reproduced without the author's ou autrement reproduits sans son permission. autorisation.
Rsum
Les pylnes sont des supports mtalliques rservs surtout aux lignes de transport, alors que les poteaux en bois ou en bton servent plutt aux lignes de distribution. En raison de la diminution des rserves de bois d'oeuvre, les constructeurs canadiens songent srieusement remplacer les poteaw de bois par des poteaux d'acier. Des marchs pour l'exportation de poteaux et pylnes en acier existent dj.
Les poteaux en acier de sedon polygonale sont aussi considrs comme des lments stmcturawr prometteurs pour les tours d'clairage, les tours de transmission, les piles pour les autoroutes, les haubans des pylnes des ponts, du point de vue arodynamique et esthtique.
L'objectif de ce projet est d'tudier la stabilit de poteaux en acier parois minces forms fioid. Pour ce faire, on a opt pour des poteaux d'acier de fome octogonale. Deux types de poteaux seront considrs pour cette tude savoir, un octogone rgulier et un autre irrgulier, chacune de ces structures prsentera deux types d'assemblage longitudinal : un assemblage avec une soudure et un autre avec deux soudures, ce dernier permettra un transport ais des structures en imbriquant les deux parties du poteau.
Le rapport compofle essentiellement trois volets: une tude bibliographique des travaux antrieurs entrepris dans le mme contexte, un calcul par le biais du logiciel d'lments finis COSMOSM et une srie de tests en laboratoire sur huit poteaux d'acier i parois minces forms eoid de forme octogonale.
Remerciements Avant de prsenter ce travail, je tiens exprimer ma gratitude ainsi que ma
profonde reconnaissance mon directeur de recherche, Monsieur Kenneth C. Johns, pour toute la confiance qu'il m'a tmoigne. Ses conseils m'ont t particulirement prcieux pour l'laboration de ce travail sous sa bienveillante direction.
Je voudrais galement remercier Messieurs Michel Blanger, ingnieur conseil, et Andr Rioux, fabricant, pour toute l'aide qu'ils m'ont prodigue et pour m'avoir permis d'assurer le &t exprimental en me fournissant des chantillons pour les essais au laboratoire.
Je dsire aussi exprimer ma reconnaissance Messieurs Laurent Thiiodeau et Clment Reynolds, pour leur aide indispensable pour le bon droulement de la partie exprimentale de ce travail.
Il m'est particulirement agrable de remercier tout le personnel du Dpartement de gnie civil : le directeur, les professeurs, les techniciens, le personnel du secrtariat ainsi que les tudiants gradus.
Je tiens aussi remercier mes amis pour l'aide morale et technique qu'ils m'ont prodigue tout au long de la priode de mes tudes, ainsi que toutes les personnes qui ont contribu de prs ou de loin a la ralisation de cette tude.
Et enfin, je voudrais remercier mes parents, mes Erres et ma soeur qui m'ont encourag poursuivre mes tudes et mes travaw je leur ddie ce mmoire.
1 LYTRODUCTION ...............o....o~o...o.....o.o~.oo..o.....o.~.o.o.~.o~...~o.ooo.o..~o~.o..o...o..o.o.....o ......... .. . 1 ....................................................... I . t Introduction .................................. .. .... .... 1
............................................................................................. 1 -2 Situation du problme -2 I 1.3 Travaux anteneurs .................................................................................................... -3
1.3.1 Flambement local et global d'lments forms froid ................................... -3 1.3.2 Flambement local de colonnes a parois minces ............................................... 4 1.3.3 Rsistance au flambement local de colonnes d'acier de section
.................................................................................................. polygonale -5
1 -4 Objectif de ce travail et organisation du projet ....................................... ... ............ -5
................................................................................ 2 STRUCTURES A PAROIS MNCES .7 2.1 Introduction ............................................................................................................. -7
. . 2.2 Mthodes de fabrication ........................................................................................... - 8 ................................................................................................................... 2.3 Matriau -9
7 . 2.3.1 Nuances d acier .............. ., ............................................................................. -9 .......................................................... 2.3 -2 Imperfections des profils forms a froid 10 ......................................................... .......... 2.3 -3 Protection contre la corrosion .,,. -10
......................... 2.3.4 Influence de la temprature sur les caractristiques de l'acier 11
2.4 Problmes particuliers dans le comportement des profils a parois minces 8
..................................... ...*..*....... ................................ formes a froid ... ...... 12 ........................................................................... 2.4.1 Imperfections gomtriques -12
..................................................................................................... 2.4.2 Ecrouissage 13 .................................................................................... 2.4.3 Effet BAUSCHINGER 14
......................... ..................... 2.4.4 Contraintes rsiduelles .................... ....-.... 15
2.5 Influence des imperfections des profils forms a froid sur le comportement . #
.............................................................................................................. des elements 15 . .
................................................................................... 2.5.1 Influence sur la stab~lit 15
2.5.2 Influence sur la tenue en fatigue ...................................................................... 16 2.6 influence de ia minceur de paroi sur la rsistance et la stabilit des lments ........ -16
2.6.1 Comportement des profils mtalliques en compression .................................. 16 2.6.2 Interaction des instabilits globales et locales .............................................. -22 2 - 6 3 Flambement des tubes souds par rsistance lectrique .................................... 23
........................................................................................................... 3.1 Introduction - 2 5 3.2 Etapes de base de l'analyse par lments finis .................................................... - 2 5 3.3 Flambement linaire lastique dans COSMOSM .................................................. -26 3 -4 Mthodes de calcul des valeurs propres ................................................................. -27
................................................................................................... 3.4.1 Introduction -27 3 .4.2 Mthodes de calcul des valeurs propres ........................~............................... -27
3 -5 tapes d'analyse da une structure avec le module "Buckhg "de COSM0S.M ..... -36 . . . 3
................................................................................................... 3.6 Modles a etudter -40 3- 6.1 Poteaux soumis une charge concentrique .................................................... -41 3.6.2 Poteaux soumis une charge excentrique ...................................................... -42
3 ................................................................................................ 3.7 Rsultats de calcul -43
.............................................. 4 PROGRALWIE EXPRIMENTAL ........... .,., il6 ............................................................................................................ 4.1 Introduction 46
....................................................................... 4.2 Objectifs de l'tude exprimentale -46 . .
............................................................................................. 4.3 Description des essais 47 . . 4.3.1 Specimens tester ...................................................................................... 47
4.3 -2 Fabrication des chantillons ......................................................................... -47 4.3.3 Montage exprimental ............................................................... -49
........................................................................................ 4.4 Rsultats exprimentaux -50
5 ANALYSE ET INTERPRETATION DES R S U L T A T ~ ; . . . . . . 57 5.1 Introduction ........................................................................................................... -57
. . 5.2 Calculs theonques ................................................................................................. -57 5.2. 1 Contrainte critique de voilement lastique ................................................. 57 5.2.2 Dtermination de la contrainte critique ..................................................... 3 9 5 -2-3 Prdictions de la norme Canadieme ....................................................... 61
5.3 Analyse des rsultats de la modlisation numrique ..........................................-. -63 5.4 Analyse des rsultats de l'tude exprimentale ................................................ -64
6 CONCLUSIONS ET RE=COMMANDATIONS.---Y--Y------.-ww.-.w.--. a-68 6.1 Conclusions ................................................................................. -68 6.2 Recommandations pour des recherches fritures.. ..................................... -70
BIBLIOGRAPHIE ANNEXE A
Liste des symboles section de l'lment largeur de la paroi largeur efficace constante
rigidit de la plaque pour une largeur b unitaire diamtre extrieur diamtre intrieur excentrici t module d'lasticit de l'acier contrainte de l'lment en compression contrainte critique de flambement pour le flambement local des plaques et tubes limite lastique du matriau module de cisaili ement moment d'inertie de ia section transversale du tube coefficient de voilement
coefficient de voilement, fonction des conditions d'appui aux bords longueur de l'lment nombre de demi-ondes dans le sens x nombre de demisndes dans le sens y charge critique lastique globale de la bme charge critique de voilement lastique charge critique d'Euler charge critique lastique locale de la paroi
effort normal par unit de longueur ( Nx = a, t ) charge critique de flambement rayon moyen du tube rayon de giration paisseur de la plaque ou paroi
flche largeur de surface plate dformation de la plaque, perpendiculairement son plan moyen rapport largeur de surface platepaisseur (W = w/t) amplitude maximale distance de la paroi critique par rapport l'axe centroicial paramtre dterminant le comportement des lments tubulaires
mdtiplificateun aux charges appliques pouvant engendrer un flambement (h= Pe,/Pawi) amplitude de la charge critique
lancement rduit de la barre
lancement rduit de la plaque
CI coefficient de contraction latrale ou coeficient de Poisson
P coefficient de rduction a, contrainte de compression uniforme
O contrainte critique lastique de voilement de la plaque a,, contrainte majore a contrainte critique de flambement base sur la mthode du module tangent
Liste des tableaux
.................................................................................... 3.1 Entits gomtriques et leun symboles 37 ......... 3.2 Charge critique et temps d'excution pour les diffrents types de poteaux considrs A 4
................................... 4.1 Charge ultime en fonction de la forme de l'octogone et des soudures 5 1 ....................... 5.1 Comparaison des trois approches: exprimentale, thorique et numrique -65
Chapitre 1
INTRODUCTION
1.1 Introduction
De nos jours plus que jamais le Canada recomdt les avantages dcoulant des tles d'acier. L'industrie de fbrication du Canada, en incorporant de nouvelles technologies dans la production ainsi que dans la finition des tles d'acier, tend continuellement ses capacits et technologies d'excution.
Des quipements de formage sophistiqus et hautement automatiss rendent actuellement possible la fabrication des sections de tles d'acier qu'on n'imaginait gure auparavant. Les techniques de calcul informatises ainsi que la standardisation des composants permettent actuellement la fabrication, l'assemblage et le montage des structures en acier en quelques semaines plutt que des mois.
Il y a plus de vingt cinq ans'" The Amencan Iron and Steel Institute " a reconnu la ncessit d'tablir des spcifications de calcul pour les lments stmcturaux forms noid. Aprs un programme intense de recherches l'Universit Comell, les premires spcifications de calcul pour les aciers forms froid ont t tablies partout dans le monde.
La croissance rapide de l'utilisation des structures a parois minces dans l'industrie de construction a amen les ingnieurs a faire face des problmes de calcul complexes, ainsi que de nouvelles possibilits de conception.
1.2 Situation du probleme
Les problmes associs aux constnictions avec des lments parois minces dcoulent essentiellement du phnomne d'instabilit. Au cours de ces dernires annes, les exigences de plus en plus pressantes de I'industrie ont donn l'essor toute une srie de recherches et d'tudes thoriques et pratiques sur les conditions qui gouvernent la stabilit d'lments tels les barres, les tles et les corps creux.
Les premiers problmes d'instabilit lastique se rapportant au flambement latral des pices comprimes, ont t rsolus il y a environ deux cents ans par Euler. A cette poque les principaux matriaux de construction taient le bois et la pierre. Leur rsistance relativement faible ncessitait des pices trapues pour lesquelles la question de la stabilit lastique ne jouait pas un rle de premier plan. C'est pourquoi la thorie d'Euler, relative d u pices de forme lance, demeura longtemps sans application pratique. Ce ne fut qu'au dbut de la construction des ponts en acier pour les chemins de fer, que la question du flambement prit une importance pratique. L'emploi de l'acier conduisit naturellement a des types de constructions comportant des pices lances soumises la compression, des tles minces et des corps creux minces. L'exprience a prouv que des constructions de ce genre peuvent dans certains cas subir des dommages allant jusqu' la rupture, non pas comme on pourrait le croire, en raison de tensions excessives dpassant la rsistance du mtal, mais cause de l'insuffisance de la stabilit lastique de pices trop lances, ou de corps creux dont les parois sont trop minces.
Sous la pression d'exigences toujours plus grandes de la part des constructeurs, le problme du flambement latral des colonnes. tudi l'origine par Euler, a t repris et examin fond tant thoriquement que pratiquement, et l'on a fix les limites entre lesquelles les formules thoriques peuvent tre appliques. Le flambement latral des pices comprimes n'est pourtant qu'un cas particulier de l'instabilit lastique. Dans les projets modernes, on se trouve en prsence de toute une varit de problmes de stabilit; on y rencontre non seulement des pices pleines. mais des combinaisons de colonnes en
treillis, d'organes tubulaires offiant la possibilit de flambement local, ou mme le flambement de toute la stmcture.
1.3 Travaux antrieurs
La vrincation de la stabilit d'une ossature mtaique constitue dans de nombreux cas, un problme dlicat traiter. Conscient de cette difficult, plusieurs chercheurs se sont penchs sur ce problme, et de nombreux travaux thoriques et exprimentaux relatifs la stabilit des consmictions utilisant des profils creux ont t raliss.
Le prsent chapitre exposera le compte rendu de quelques articles disponibles traitant du problme de stabilit de profils forms froid.
1.3.1 Flambement local et dobal d'lments forms fioid
Dewolf, Peokoz et Winter (1974)' ont tudi le comportement de colonnes formes tioid soumises au flambement local. Une section comprime concentriquement qui n'est sujette ni un flambement torsion - flexion ni un flambement en torsion et pour laquelle le flambement local de la paroi se passe antrieurement 4 la limite lastique du matriau subit une rupture dans l'une des situations suivantes :
1. Pour des rapports d'lancement faibles, le flambement local de la paroi se produit suivi du dveloppement de la rsistance au post-flambage avec l'augmentation de la charge. La mpture se produit quand la rsistance en compression des plaques composantes est atteinte.
2. Pour des rapports d'lancement modrs, le flambement local de la paroi a lieu suivi du le dveloppement de la rsistance au post-flambage avec une rupture prmature due au flambement global en flexion de la colonne.
3. Et pour des rapports d'lancement levs, la rupture se produit par flambement global sans montrer aucun flambement local antrieur de la plaque.
Les rsultats ont t prsents pour 34 w l o ~ e s testes, pour lesquelles les charges de flambement local et celles du flambement global varient systmatiquement, illustrant les effets d'interaction. A partir de ces rsultats, une approche analytique simple est drive, qui prdit la rsistance ultime des colonnes subissant le flambement local.
L'approche analytique qui a t considre tient compte des effets combins du flambement local, du flarnbement des colonnes et les proprits non uniformes des matriaux des lments en compression. Elle est tablie sur la base du concept du module tangent et utilise I'expression de la largeur effective dveloppe par Wmter, prsente la fin du chapitre 2.
Les capacits de colonnes calcules analytiquement rejoignent les rsultats des 34 essais sur deux types de colonnes formes froid, un pour lequel le flambement se produit dans les lments supports tout au long de deux bords longitudinaux et un autre pour lequel le flambement local a lieu dans les lments supports seulement le long d'un bord longitudinal.
1.3.2 Flambement local de colonnes ~arois minces
Mulligan et Pekoz (1984), ont utilis la mthode de la section e f f i v e pour analyser les effets du flarnbement local des colonnes parois minces sur l'ensemble des modes de comportement des colonnes a simple symtrie, des colonnes parois minces et des poutres-colonnes. La rsistance au post-flambement local des lments constituant la paroi a t dtermine partir du concept de la largeur effective.
Une approche de la largeur effective a t propose pour prdire la rponse d'lments raidis comprims excentriquement. En effet une tude exprimentale a t entreprise en considrant des colonnes d'acier de section en U avec rebords formes froid avec des chargements concentrique et excentrique. Les prdictions par l'approche
analytique rejoignent les dflexions ultimes et la rsistance ultime obtenues exprimentalement. A I'oppos, les mthodes de design courantes se sont avres inadquates pour prdire les rsultats exprimentaux.
Aoki, Migita et Fukurnoto (199 9, ont tudi le comportement en flambement l o d de courtes colonnes d'acier de sections polygonales, fabriques par soudage de deux demies sections de plaques d'acier. Les sections polygonales sont composes de cinq profils diffrents constitus de quatre huit cts. Quatre rapports largeur - paisseur ont t considrs pour chaque profil.
Un total de 15 spcimens ont t tests en compression, en maintenant des contraintes de compression uniformes dans des conditions d'extrmit fixes. Des mesures prcises des contraintes rsiduelles induites par soudage et par formage froid ainsi que des imperfections gomtriques sont prises en compte avant de procder aux essais.
Le rapport largeur - paisseur des plaques constituantes du profil a une iduence significative sur la rsistance ultime que sur les sections transversales des profils. Les lments courts polygonaux parois minces semblent mieux se comporter que les lments de section tubulaire, en terme de rsistance ultime quand ceux-ci sont affects directement par le flambement local des plaques constituantes sous des conditions de compression uniforme.
1.4 Objectif de ce travail et organisation du mernoire Le comportement en flambement des profils creux est d'autant meilleur que la
matire est plus loigne de l'axe neutre de la section Pour une aire constante de la section droite, on en vient considrer que l'conomie conduit des profils de grande largeur et hauteur pour les profils carres et rectangulaires, ou de grand diamtre, pour des profils circulaires, associs une petite paisseur de la paroi.
La minceur des parois qui en rsulte peut toutefois conduire un autre phnomne d'instabilit, le voilement des parois. De plus dans les profils creux, il y a interaction entre le voilement local et le flambement global car les imperfbzions inhrentes a toute fiibncation industrielle entranent un couplage des deux phnomnes d'instabilit, pris isolment.
L'objectif de ce mmoire est l'tude du comportement en flambement ou encore de la stabilit de poteaux parois minces, forms froid de section octogonale. Des tudes numrique, exprimentale et thorique sont ralises sur des poteaux d'acier forms a froid de section octogonale soumis a une compression centre et excentre. Huit spcimens sont tests la rupture dont quatre soumis une compression centre et quatre une compression excentre. Les spcimens consistent en des sections octogonales rgulires et irrgulires avec une ou deux soudures. Une comparaison entre la modlisation numrique, l'tude exprimentale et le calcul thorique est prsente.
Ce mmoire est structur en quatre chapitres principaux comme suit: Le chapitre un comprend un bref aperu sur les stmctures parois minces :
mthodes de fabrications, matriau, influence des imperfections des profils forms froid sur le comportement des lments, intluence de la minceur des parois sur la rsistance et la stabilit des lments et enfin les moyens d'assemblage;
Le chapitre deux prsente le calcul des deux types de poteaux octogonaux considrs, savoir le rgulier et ['irrgulier par le biais du logiciel d'lments finis COSMOSM, ainsi que les diffrents rsultats obtenus;
Le chapitre trois prsente les expriences ralises en laboratoire sur les diffrents poteaux ainsi que les rsultats obtenus;
Le chapitre quatre comprend une analyse et une interprtation des rsultats ainsi qu'une tude comparative de ces derniers.
Chapitre 2
STRUCTURES A PAROIS MINCES
2.1 Introduction
Les profils utiliss en construction mtallique peuvent tre classs en trois catgories principales :
- les lments raliss par laminage chaud, qui constituent les gammes traditionnelles de profils. Ces lments peuvent tre assembls entre eux, par soudage ou boulonnage, pour constituer des profils composs permettant de rsister des efforts plus importants ; - les lments constitus par assemblage de plaques, l'aide de rivets, de boulons ou par soudage ; - les lments forms froid, par pliage ou par profilage, dont l'apparition est plus rcente, qui sont en pleine expansion, mais qui occupent dj, l'heure actuelle, une large place en construction mtallique.
Par rapport aux profils lamins chaud, les lments forms fkoid prsentent divers avantages comme, par exemple :
- facilit de produire des formes complexes et d'atteindre ainsi une parfaite adquation de la forme du profil sa fonction ;
- cause de leur poids rduit, la manutention, le transport et le montage des pronls froid sont plus fides et, ils sont donc, plus conomiques ;
- diverses oprations secondaires telles que le perage, le gnigeage, le marquage ou la mise en peinture peuvent tre ralises en mme temps que le formage .
Les lments forms a fioid peuvent tre diviss en deux fiimilles: - les panneaux, d'une part, qui inte~ennent comme lments de faades, toitures,
planchers, diaphragmes ou encore coffrages permanents;
- les lments de structure, d'autre part, qui servent non seulement de poutres et poteaux dans le btiment mais sont galement utiliss dans la construction des chssis a ossatures de voitures, de camions, de wagons de chemin de fer ou encore, interviennent dans la construction de systmes de stockage et de tours de transmission etc ...
Le but de ce chapitre est de permettre au Iecteur de se familiariser avec ce type de structures.
2.2 Mbthodes de fabrication
Les mthodes de fabrication ont, videmment, une influence importante sur les caractristiques des produits. Non seulement les caractristiques gomtriques et mcaniques des produits a chaud different nettement de celles des produits froid mais, pour ces demiers, des diffrences sensibles existent entre les lments raliss la presse ou la plieuse, d'une part, et ceux raliss par profilage, d'autre part. Les principales caractristiques des profils qui jouent un rle structural important sont les imperfections gomtriques, I'crouissage et le vieillissement de l'acier et les contraintes rsiduelles dues la fabrication.
Deux mthodes principales de fabrication peuvent tre utilises pour raliser des protils fioid :
- procd continu : pour des sries importantes, les profils peuvent tre raliss en continu par profilage, l'aide d'une srie de galets, d'une bande d'acier fournie sous forme de bobine pralablement refendue la largeur ncessaire. En bout de Ligne les profils sont coups la longueur voulue. - procds discontinus : pour de petites sries, les profils peuvent tre raliss l'aide d'une plieuse ou d'une presse.
2.3.1 Nuances d'acier
Les profils et les tles profiles fioid sont fhriqus de bandes d'acier relamines froid, partir de larges bandes lamines chaud d'une paisseur minimale de 0.5 mm, et livres sous forme de tles, bobines ou feuillards, aprs avoir ventuellement t recouverts d'une couche de protection contre la corrosion (peinture, film plastique, gaivankation, lctro-zingap, etc...). Des tles et de larges bandes lamines chaud d'paisseur jusqu' 8 mm peuvent galement tre utilises.
Du point de vue " comportement structural ", les proprits de l'acier les plus importantes sont les suivantes [YU, 19851 :
- la limite d'lasticit ( Q ) ; - la rsistance ultime en traction ( f ) ; - la courbe caractristique contrainte - dformation (a - E ) ; - le module d'lasticit ( E ) et le module tangent ( Et ); - la ductilit ; - la soudabilit ; - la rsistance a la fatigue ; - la tnacit.
On peut y ajouter, pour les profils froid, la capacit de mise en forme ( froid ) et la durabilit.
En ce qui concerne la capacit de mise en forme Goid la ductilit joue un rle capital. On dfinit gnralement la ductilit par la facult de supporter de grandes dformations plastiques avant rupture. Cette proprit conduit un accroissement de la limite lastique de l'acier par crouissage, c'est-idire par un traitement mcanique de mise en forme qui engendre des dformations plastiques dues au dpassement de la limite lastique de l'acier lors du laminage ou du pliage fioid des profils. Ii fut noter toutefois, que l'accroissement de la limite lastique par crouissage, s'accompagne toujours d'une certaine rduction de la ductilit. Les aciers utiliss pour la fabrication des profils fioid doivent donc tre des aciers prsentant une bonne ductilit.
2.3.2 hmerfections des ~rofils fom& a fioid
Les profils forms B tioid prsentent, comme tout produit industriel, diverses imperfions dont les principales, c'est dire ceIles qui jouent un rle dans le comportement structural du prof3 sont les suivantes :
- variation de la limite lastique, dans le produit fini, le long du primtre du profil, cette variation est due a I'crouissage lors de la formation des arrondis par fi exion plastique ; - contraintes rsiduelles dues, galement, la mise en forme de la section par flexion plastique ; - imperfections gom6triques globales telles que flches et Millages initiaux ; - imperfiions gomtriques locales. L'imperfection des outils de profilage conduit des dimensions et formes de la section droite qui peuvent diffrer des valeurs thoriques.
2 -3.3 Protection contre la corrosion
La durabilit des ouvrages mtalliques est fortement influence par la sensibilit de l'acier a la corrosion. L'acier se corrode en effet rapidement dans l'air humide. Un environnement agressif ( fumes, eau de mer, vapeurs acides ou alcalines) acclre le processus. En rgion industrielle, on peut estimer la perte d'paisseur par corrosion 0.075 mm I anne, davantage en prsence d'agents particulirement dfavorables, tel le dioxyde de soufre par exemple. De par leur minceur, les profils fioid sont videmment particulirement sensibles aux effets de la corrosion. Pour prvenir ou, tout le moins retarder la corrosion, on utilise I'une des techniques suivantes :
- les peintures : le revtement protecteur comporte une ou plusieurs couches (chromate de zinc, etc ...) de 30 80 Pm d'paisseur et une ou plusieurs couches de finition. L'paisseur totale de la peinture peut aller de 100 300 pm ; - les matires plastiques : on plastifie les surfaces protger par projection d'une couche de matires plastiques I'tat liquide ( ou fondu ) ou par immersion dans des poudres en suspension ; - la galvanisation et I'lectro-zingage : la galvanisation consiste dposer une mince pellicule de zinc sur la surface apparente de l'acier en immergeant l'acier pralablement
dcap dans un bain de zinc fondu. L'lectro-zingage recourt a l'lectrolyse pour effectuer le dpt de zinc protecteur.
2.3.4 Influence de la temprature sur les caractnsti~ues de l'acier
Le comportement d'une structure mtallique sous temprature croissante dpend essentiellement de l'volution de la rsistance en traction, de [a limite d'lasticit et de l'allongement jusqu' la mpture de I'acier. Ces trois caractristiques se modifient avec la temprature selon les lois assez complexes dont la figure 2.1 waquo i et Rondal. 19931 donne une reprsentation schmatique pour le cas d'un acier doux.
u
O 100 100 300 t 500 6WC
Figure 2.1. - Influence de la temprature sur les proprits d'un acier doux
Ces effets de la temprature sur le proprits de l'acier sont primordiaux Iorsqu'il s'agit d'valuer la rsistance d'une structure au feu. De par la minceur de leurs parois, les profils forms froid sont particulirement sensibles ce phnomne.
2.4 Problmes particuliers dans le comportement des profils A parois minces formes B froid
Par comparaison avec les profils lamins chaud, les profils forms a fioid prsentent des particularits lies :
- aux effets du processus de fabrication sur les caractristiques gomtriques et mcaniques des profils ; - aux effkts de la minceur des parois sur la rsistance et la stabilit des profils.
2.4.1 Im~erfections gomtriques
Les irnpedections de forme des profils forms froid sont rgies par des nomes (par exemple la norme allemande DIN 594 13 ou I'EURONORM 162-8 1) qui tablissent des tolrances admissibles pour ces profils :
- tolrance sur l'paisseur : de 0.19 0.33 mm, en fonction de l'paisseur de ia tle (1.5 8 mm) ; - tolrance sur les dimensions de la section : de 0.6 1.75 mm, en fonction des dimensions ; - tolrance sur le vrillage : l'angle de vrillage de l'extrmit libre par rapport au plan de rfrence ne doit pas excder un degr par mtre ; - tolrance sur la longueur : de 1 a 3 mm, en fonction de la longueur ; - tolrance sur les angles : de 1 ZO, en fonction des dimensions des parois ; - tolrance sur les rayons internes de pliage : de 0.75 2 mm, en fonction du rayon ; - tolrance sur la rectitude : la flche ne doit pas excder 0.25 % de la longueur du produit.
2 -4.2 crouissaae Les mthodes de formage a fioid entranent, dans le profil fini, des modifications des
caractristiques mcaniques de l'acier par rapport au produit de base. En gnral, le formage froid produit une augmentation de la limite lastique et de la limite de mpture et une diminution de la ductilit. Ces changements dpendent de la composition chimique et du mode d'laboration de l'acier de base, d'une part, et de la grandeur et de la localisation des dformations plastiques dues
au formage froid, d'autre part [KARREN, 19671.
Par rapport au matriau de base, le profilage Froid conduit une augmentation de la limite lastique et, parfois, de la limite de mpture qui est importante dans les arrondis et assez apprciable dans les faces planes. Par contre, si le pliage la presse conduit, dans les arrondis. des phnomnes similaires ceux dus au profilage a froid, il n'en est pas de mme pour les faces
planes dont les proprits mcaniques ne sont gure affectes par le pliage [RONDAL, 19861.
E " d u c f 1 1 , t a p r s crouns sage I
s s emen i
1 d u c t ~ ~ i t e de ;a bande mere I
@ c o u r b e hab;:uel le @ d c h a r g e m e n t @ r e c h a r g e m e n i ,mmed la t @ r e c h a r g e m e n t a p r s v i e t I 1 1 s s e m e n t
Figure 2.2. - Influences de I'crouissage et du vieillissement sur la courbe contrainte - dformation d'un acier
L'augmentation de la limite lastique est due I'crouissage, d'une part, et au vieillissement, qui s'accompagne d'une rduction de la ductit a dpend des caractristiques mtallurgiques de l'acier ( figure 2.2 ) [CHAJES, BRITVEC et WINTER, 1963). JI faut toutefois signaler que les aciers produits i l'heure actuelle, de type calms, ne prsentent pratiquement pas de vieilIissement.
En consquence, pour les profils forms froid, on considre uniquement l'effet de I'crouissage et on nglige gnralement le phnomne de vieillissement.
2 -4 -3 Effet BAUSCHINGER
Si on soumet une prouvette &rouie par traction a un essai de compression, on peut constater une diminution de la limite d'lasticit en compression. Cette particularit porte le nom d'effet BAUSCHINGER Par contre, si un lment en acier, crouit par traction dans le sens longitudinal, est ensuite sollicite en compression dans le sens transversal, on constate une augmentation de la limite lastique en compression, pour le sens transversal. A l'inverse, en cas de traction dans le sens transversal, on n'observe pratiquement pas de modification de la limite d'lasticit en traction, pour le sens transversal. Ce second effet est appel par CHAIES,
BRXTVEC et WINTER [1963] , l'effet BAUSCHINGER inverse.
Lon de la formation d'un arrondi par profilage ou par pliage, les fibres extrieures sont tires plastiquement dans le sens circonfrentiel et comprimes radialement. Par contre les fibres intrieures sont, elles, comprimes dans le sens circonfrentiel et tires radialement. La superposition de ces sollicitations circonfrentielles et radiales, qui agissent dans une direction transversale par rapport l'axe du profil, conduit pratiquement annuler l'iduence de l'effet BAUSCHiNGER inverse sur le comportement de l'acier dans le sens longitudinal et en consquence, justifier que cet effet ne soit pas pris en compte dans l'tude du formage fioid d'un profil.
2 -4.4 Contraintes rsiduelles
La plupart d u lments de construction en acier sont le sige de contraintes rsiduelles, c'est due de contraintes qui erciktent dans la pice lorsque celle-ci n'est soumise aucune action extrieure. L'origine de ces contraintes rsiduelles est rechercher dans le procd de fibrication du profil : laminage chaud, soudage, dcoupage au chalumeau, d'une part, ou formage froid par dformations plastiques, d'autre part.
Pour les profils utiliss en construction mtallique, la cause principale entranant la naissance de contraintes rsiduelles varie selon Ie type de profil considr.
Les mthodes numriques modernes, telle par exemple la mthode des lments finis, permettent de simuler les processus de mise forme des lments en acier. Ces simulations peuvent fournir des informations intressantes sur les contraintes rsiduelles de fabrication et galement sur divers points particuliers importants pour les profileurs ( dformation maximale du matriau, retour lastique aprs profilage, etc . . . ).
2.5 Influence des imperfections des profils forms B froid sur le comportement des Mments
2 S. 1 Influence sur la stabilit
Depuis Euler, l'tude de la stabilit des constructions est base sur le concept de charge critique, c'est--dire de la charge maximale que peut supporter un lment idalement parfait avant de se rompre par instabilit. Toutefois durant les dernires dcennies, l'attention des spcialistes s'est de plus en plus porte sur l'effet des imperfections, inhrentes tout profil industriel sur sa capacit portante. Deux types d'imperfections jouent un rle important en stabilit : les imperfections de type gomtrique ( flche initiale et dfitut de centrage des charges ), d'une part, et les contraintes rsiduelles, d'autre part, qui venant se superposer aux contraintes de service affectent le comportement de l'lment considr [COMO et MAZZOLANI, 197 11.
Compte tenu de l'uitluence fhvorable de l'crouissage, du fit que les contraintes rsiduelles affkctent d'une manire plus rduite les caractristiques mcaniques des profils forms fioid que celies des profils lamins a chaud, les seules imperfbctions significatives pour leur comportement sont les impdections gomtriques.
2.5.2 Influence sur la tenue en fatigue
Dans les constructions soudes, les ruptures par Eitigue apparaissent le plus souvent dans les assemblages ou dans les discontinuits (sous des charges concentres). Certes, les contraintes rsiduelles peuvent y jouer un certain rle en venant aggraver la situation mais alors il s'agit plutt de contraintes rsiduelles provenant de la ralisation de l'assemblage ( par soudage par exemple ) lui mme que de celles lies la fabrication des profils utiliss. Pour les profils froid, la rduction de la ductilit lors du formage peut aussi jouer un rle sur le comportement en fatigue.
2.6 Influence de la minceur de paroi sur la rsistance et la stabilit des lments
2.6.1 Conmortement des ~rofils mtalliaues en cornmession
Le comportement d'une colonne mtallique industrielle doit e tudi partir de la solution thorique d'une colonne dite parfaite. A la figure 2.3, les courbes OAB et OAC illustrent le comportement d'une colonne parfaite, pour laquelle on adopte les hypothses suivantes :
a- le matriau est linairement lastique ; b- la section est constante tout au long de la colonne ; c- les dplacements considrs sont ceux dus d'une part, la flexion de la colonne dans le
plan d'inertie Faible de la section transversale et, d'autre part, son raccourcissement ; d- il n'y a pas de contraintes rsiduelles ; e- il n'y a pas de dforme initiale et la pice est donc parfaitement rectiligne ; f- les charges de compression sont parfaitement centres sur les centres de gravit des
sections extrmes ; g- les appuis sont des rotules parfaites.
Dans ce cas l'tude des conditions d'quilibre montre que, pour des charges appliques dpassant la valeur de la charge critique de bifurcation ( charge critique d'Euler Ni, ), soit la colonne prsente des flches w nulles et se trouve alors dans un tat d'quilibre instable, reprsent par le chemin AB dans la figure 2.3, soit elle se dforme et suit le chemin d'quilibre stable indiqu par AC dans la mme figure. Dans ce demier cas, des accroissements trs petits de la charge sont accompagns de grandes amplifications de la flche W. On n'aura donc une augmentation sensible de la rigidit de la pice que pour des valeurs de flches grandes. En fait, la dfinition de la courbe AC ne peut se faire qu' la lumire d'une analyse qui tient compte de la prsence de grands dplacements de la colonne tandis que la simplification consistant admettre seulement de petits dplacements ne peut fournir qu'un palier de charge, lequel reprsente la charge critique Ni = N, comme le montre la figure 2.3
Figure 2.3 comportement des c o l o ~ e s mtalliques
S'il s'agit de colonnes avec dforme initiale de forme sinusodale avec une amplitude maximum wo, le comportement correspond la courbe D. Dans ce cas, on voit que cette courbe s'approche de celle de la colonne dite parfaite, lorsque la flche w augmente.
Si on considre par contre le cas d'un matriau lasto-plastique, la combinaison des sollicitations de compression et de flexion conduit un dbut de plastification de la section ( point P de la courbe D ). A partir de ce point, la colonne perd une partie de sa rigidit, jusqu' I'atteinte de l'tat limite ultime, dfini par le point L.
Dans le cas o la colonne est constitue par un profil mtallique parois minces, le phnomne d'instabilit par voilement des parois se prsente avant le dbut de ia pladfication. La figure 2.4 met en vidence ce phnomne de voilement qui peut tre considr comme une instabilit locale des lments en compression.
Section A-A
Figure 2.4 - a) Voilement des parois des colonnes en compression b) Voilement des semelles comprimes de poutres
Le voilement des parois produit une perte prmature de rigidit de la colonne, comme le montre la figure 2.5, ou le point V indique le dbut du phnomne. Dans ce cas, la charge ultime
est infrieure celle d'un lment sans voilement. faut souligner que le voilement seul ne produit pas en gnral, la mine de la colonne. L'aff'aiblissement de la rigidit de la colonne peut tre modlis en considrant une section rduite du profil au lieu de sa section pleine. Cette section rduite est nomme section "efficace" et elle est obtenue en considrant les "largeurs efficaces" des parois.
parfaite, grands dphcemcnts \
Figure
Pour dfinir
( figure 2.6 ).
5- Comportement des colonnes mtalliques constitues par des profils parois minces
cette largeur efficace, on peut considrer la semelle comprime d'une poutre
Figure 2.6- Voilement d'une paroi en compression
Cette paroi se comporte comme une plaque rectangulaire longue, initialement parfaitement plane, articule le long des deux cts longitudinaux du profil et soumise une contrainte de compression uniforme o~ ( figure 2.7.a ). Lorsque cette compression uniforme dpasse la contrainte critique lastique de voilement a, de la plaque, des ondes de voilement s'amorcent et prennent d'autant plus d'importance que la contrainte augmente. Les fibres longitudinales qui traversent les ondes de voilement opposent, du fait de leur courbure, une rigidit moindre la compression qui se reporte ainsi vers les zones les plus rigides, proches des appuis. Tl en rsulte un diagramme de contraintes creus en partie centrale et prsentant prs des appuis une contrainte majore qui, finalement, peut atteindre la valeur de la limite lastique f, du matriau ( figure 2.7. b et c ).
Figure 2.7- tats de contrainte successifs dans une paroi en compression
Le pas est don vite franchi de remplacer, dans le domaine post-critique, la plaque par deux bandes longitudinales, chacune de largeur b d 2 , reprsentant la partie "efficace" de la section et
donnant ainsi direztement la contrainte majore a, suppose dors uniforme dans cette section "efficace", comme on le montre dans la figure2.8. [GALEA et LEQUIEN, 199 11
amui 1
appui
Section brute
Figure 2.8- Section efficace d'une
Section cffec
paroi en compression
tive
II est alors admis que la rsistance ultime de la plaque est obtenue lorsque O,, atteint la limite
d'lasticit f,. Pour dterminer la largeur eficace ber de la plaque l'tat ultime, on utilise l'hypothse de von KARMAN, I'auteur du concept de largeur efficace, que la contrainte o, , dans le domaine post-critique, est gale la contrainte critique lastique rapporte la largeur
efficace, c'est--dire : [MAQUOI et RONDAL, 19931
est la contrainte critique de la plaque entire, avec :
ka : le coefficient de voilement, fonction des conditions d'appui a u s bords
E : le module d'lasticit
v : le coefficient de Poisson.
On exprime
d
(0- -
ensuite qu' l'tat ultime on a :
soit :
Donc,
P I 1,
on obtient la largeur efficace bCB, en multipliant la largeur b par un coefficient de rduction
bqly =pbr o Treprsente l'lancement rduit de la plaque.
II faut souligner que le coefficient de voilement k, prend des valeurs diffrentes pour les
divers types de parois soit celles avec ou sans raidisseurs efficaces le long des bords.
2.6.2 Interaction des instabilits globales et locales dans les profils parois minces en com~ression
On a vu plus haut qu'une barre parois minces
comportement en instabilit, se caractrise par des lancements
comprimes, du point de vue
rduits de barre A et de paroi (de section) G, d'une part, et par une charge critique correspondant au flambement de la barre (instabilit globale) et une charge critique correspondant au voilement des parois (instabilit locale), d'autre part.
En fonction des valeurs de A et q e t du rapport de la charge critique lastique globale de la barre la charge critique lastique locale de la paroi N a L , on peut mettre en vidence trois catgories de barres :
a- barres courtes, pour lesquelles l'instabilit locale est prpondrante ; b- barres longues, pour lesquelles l'instabilit globale domine ; c- barres de longueur moyenne, pour lesquelles les deux modes d'instabilit jouent
un rle et entrent en interaction.
2.6.3 Flambement des tubes souds Dar rsistance lectrique
Pour l'tude du flambement de tubes souds par rsistance lectrique ayant une limite de proportionnalit relativement niible, Wolford et Rebholt (1958), recomandent les formules suivantes en se basant sur des essais effectus sur des tubes d'acier ayant des limites lastiques de 3 10 et 379 MPa :
Pour KUr 5 J3x2 E/F, ,
Pour KUr> J3z2 E/F, ,
Le rayon de giration r des tubes cylindriques peut tre calcul par :
Avec Do : diamtre extrieur. Di : diamtre intrieur. R : Rayon moyen du tube.
Pour un tube cylindrique donn le comportement en flambement varie en fonction de la longueur de l'lment . Pour cete raison du point de vue stabilit structurale, Gerard et Becker (1957), ont considr les trois catgories suivantes :
1. Tubes courts, Z 2.85. 2. Tubes de longueur moyenne, 2.85 < Z < 50. 3. Tubes longs, Z > 50.
Pour des tubes trs courts ( rayon du tube extrmement grand par rapport la longueur ), la contrainte critique de flambement est :
Pour des tubes extrmement longs le tube va flamba comme une colonne. La charge critique de flambement est :
oir I est le moment d'inertie de la section transversale du tube. Cependant pour les tubes longs la contrainte critique de flambement est :
Pour les tubes de longueur moyenne la contrainte de flambement local est : t f, = CE- R
D'aprs la thorie classique ( Thorie des petites dflexions ) du flambement local, la valeur de C peut tre calcule par :
Chapitre 3
MODLISATTON NUMRIQUE PAR COSMOSIM
3.1 Introduction
Le succs de la mthode d'lments finis pour la modlisation et l'analyse d'une structure ou autres systmes d'ingnierie est bas largement sur les procdures de base utilises. Indiffrente au type d'application ( structurale, thermique, etc ... ), la simulation numrique par la mthode des lments finis ncessite une information complte du domaine considr.
Ce chapitre introduit les techniques et procdures utilises dans le module "Buckling " de COSMOS/M utilis pour l'tude de la stabilit des poteaux considrs pour cette tude. les caractristiques et les proprits des poteaux ainsi que les rsultats obtenus pour le calcul effctu par le logiciel COSMOS/M.
3.2 tapes de base de l'analyse par elkments finis Les tapes principales de l'analyse par lments finis telles que montres dans la figure 3.1
peuvent tre prsentes comme suit :
- Cration de la gomtrie du problme ; - Maillage de la gomtrie dfinie par le type d'lments appropris ; - Application des conditions aux limites sur le modle d'lments finis ; - Dfinition des charges appliques sur le modle ; - Dfinition des proprits du matriau ; - Soumission du modle d'lments finis complt l'analyse ; - Interprtation et analyse des rsultats.
Toutes les oprations considres avant de soumettre le modle gnr a l'analyse sont rfres au prprocessing. Le postprocessing manipule l'analyse des rsultats pour leur comprhension et leur interpr6tation.
Figure 3 .1 tapes d'analyse par lments finis Dans ce qui suivra, on s'intressera essentieilement au module "Buckling " du logiciel
COSMOS/M qui a t utilis pour le calcul des structures considres dans cette tude.
F
Dcisions d'analyse et de calcd
Dfinition du problme
A
3.3 Flambement linaire elastique dans COSMOS/M
A
Le flambement suMent quand la matrice de rigidit globale devient simgdire; soit lorsque : [COSMOS/M, 19941
det K + R K a = O [- - 1 )I = Pcritique I Papplique h tant le multiplificateur de toutes les charges appliques pouvant engendrer un
flambement, avec
ah >1 : la structure n'a pas encore flamb d 2 b O : lastruchireaflarnb
h < O : Effet de la rigidit d la contrainte de tension globale. (r) est le mode de flambement.
3.4 Mthodes de calcul des valeurs propres ~ H A T T et TOUZOT, 19811
3 -4.1 Introduction
Rsoudre un problme de valeurs propres consiste trouver des couples 4, {x,) qui rendent le dterminant det nul, soient qui satisfont la relation suivante :
[KI{x~) = ~i[~I{xi) ( 3-1 La dtermination de la charge critique P de flambement linaire d'une structure conduit
l'quation ( 3. l ) o : [ K I est la matrice de rigidit de la structure , [ M I = [KG] est la matrice gomtrique ( ou des contraintes initiales ) de la structure, (xi 1 est le vecteur des dplacements de la structure dfinissant le i-me mode de
flambement,
4 dfinit I'amplitude de la charge critique.
3.4.2 Mthodes de calcul des valeurs Drowes
1- Mthode de l'itration inverse :
La mthode de l'itration inverse permet de calculer la plus petite valeur propre Il du
systme UK] - A [ M ] ) ( x ) = O, ainsi que le vecteur propre correspondant {x,). Ii faut que [ K I soit dfinie positive. Sinon il est possible d'utiliser un dcalage [z] = [ K I - U [ M ] tel que [KI soit dfinie positive, avec a le dcalage des valeun propres 1 par rapport aux valeurs propres h. L'algorithme de cette mthode se prsente comme suit :
27
Trianguiariser [KI = [L] [DI L] . Choisir un vecteur initiai {v' } , non M-orthogonal au vecteur proche recherch. Calailer la sollicitation (F ) = [M]{v' } . Pour chaque itration i= 1,2,. . .
Rsoudre [L]~[DIL]{v"') = ( F } . Calculer la sollicitation : { F ) = [M] {Y "' ) . ~ v d u e r d = (vi+' ){FI . Calculer I'approxirnation de Ic par le quotient de Rayleigh
vrifier la convergence de R;+' :LA;+' - 4 1 < E. Calculer ie vecteur propre M-nonnalis :
2- Mthode de Jacobi :
La mthode de Jacobi pennet de calculer les n valeurs et vecteurs propres d'un systme de dimensions limites (n infrieur cent) dont les matrices sont symtriques et dfinies positives.
Elle consiste a transforma les matrices [ ~ ] e t [ M ] en des matrices diagonales en utilisant des transformations successives :
Les matrices [K~" ]et[Adk+' ] tendent vers des matrices diagonales dia et[^^] lorsque k tend vers l'infini. Les vaieun et vecteurs propres sont alon :
[A] = [ K ~ I M ~ ] - ' o u A , = K ~ / M :
Matrices de transformation :
Chaque matrice [Q'] est choisie de manire ce qu'un terme (i, j) non diagonal et non nul de [K']( et [M'] ) soit nul aprs la transfomation (3.2). La matrice [ek] a la structure suivante :
Les coefficients a et b sont calculs en crivant que Kg'' = MC,:" = O soit, en supprimant par simplicit l'indice k+l sur les termes de chaque matrice :
a K,+(l +ab) K,+bK,=O
Dans le cas particulier o : K, K - K, -- L I - -- Ma Md Mv
les valeurs de a et b sont :
Dans le cas gnral notons :
C, = Ki, M, - M,, K,
Alors :
Lorsque [ M ] est dfinie positive, le coefficient (:)' te,- est positif Lorsque d = O, a et b sont donns par (3.6). L'algorithme correspondant la mthode gnrale ci-dessus se prsente comme suit :
Dfinir la prcision de convergence requise E. Pour chaque cycle S.
Dfinir la tolrance dynamique 6, = IO-> .
Pour chaque ligne i = I ,2, .. .,n. Pour chaque colonne j = i+ 1 ,..., n.
Calculer les facteurs de couplage :
Si f, ou f, > E S :
Calder a a b par (3 -7) Transformer les matrices [KI et [ M]
colonne i = colonne i + b. colonne j colonne j = a. colonne i + colonne j
puis j ligne i = ligne i + b. ligne ligne j = a ligne i + ligne
Modifier les vecteurs propres [XI colonne i = colonne i + b. colonne j colonne j = a. colonne i + colonne j.
Calculer les vecteurs propres
K i et F, = Max IT - 4'-' l & = M , , I T I .
Calculer les facteurs de couplage :
Test de convergence : FKC E et FM < E et FA C E.
3- Mthode de Ritz :
La mthode de Ritz permet de transformer un problme de valeurs propres de grande dimension en un problme de dimension plus rduite. Nous pouvons alon calculer toutes les valeurs et vecteurs propres du systme rduit par la mthode de Jacobi .
NOUS contraignons chaque vecteur propre du systme ( K I - A[M]){x) = O s'exprimer sous la fonne d'une combinaison linaire de p vecteurs indpendants qi dits vecteurs de R b :
Cherchons les coefficients (a}. tels que le vecteur( X) soit aussi proche que possible d'un vecteur propre de (K] - ~ M ] ) { x ) = O . Pour cela cherchons a rendre stationnaire le quotient de
[z] = [Q~[KI[Q] [a] = [ Q ] ~ [ MI[Q]
La condition de stationnarit W = O pour tout (a) s'crit : [K] - R[MDM = O (3. 1 1)
Cette expression dfinit un problme de valeurs propres de dimension p, dont les p vecteurs
propres {A, ) et valeurs propres 7 vrifient : [El A] = [MI A@]
-
Les valeurs propres 4 constituent des approximations des valeurs propres du systme original Q K] - 3 M]) (x ) = O . Ces approximations sont d'autant meilleures que les vecteun de Ritz gnrent un sous-espace qui contient les vecteurs propres cherchs. De plus, les valeurs
propres approches et exactes A, vrifient la relation suivante:
De manire obtenir rapidement les plus petite valeurs propres, nous pouvons choisir comme vecteurs de Ritz les solutions de
O { F ; ) sont des vecteurs units qui sollicitent les degrs de libert 1 correspondant aux K, plus petites valeurs de - : Mii
Les vecteurs propres approchs de (K] - A [ M ] ) ( x ) = O sont obtenus partir des vecteurs {A, ) grce (3.9)
4- Mthode du sous-espace:
Cette mthode est trs largement utilise pour calculer les p premires valeurs propres d'un systme de grande dimension. Elle consiste appliquer plusieurs fois la mthode de Ritz en amliorant les vecteurs de Ritz par itration inverse. La mthode de Ritz force les vecteurs f X) rester orthogonaux entre eux, dors que l'itration inverse ajuste la base vectorielle de Ri@ de
33
manire assucer la convergence vers les vecteurs propres correspondant aux plus petites valeurs propres.
La mthode du sous-espace enchane les oprations suivantes : a - Choisir p vecteurs initiaux :
b - Excuter une itration inverse pour calculer simultanment les p vecteurs de Ritz
c - Appliquer la mthode de Ritz pour chercher les vecteurs propres dans le sous-espace de Ritz :
d - Tester la convergence de 7 a rpter si ncessaire les oprations b, c, d.
La mthode converge vers les p plus petites valeurs propres, condition que les p vecteurs initiaux {x, ) ne soient pas M-orthogonaux l'un des p vecteurs propres cherchs.
5- Mthode Lanaos :
Cette mthode est celle qui a t utilise pour la dtermination des valeurs propres dans le Iogiciel COSMOS/M.
La mthode Lanczos tait I'origine propose pour la tridiagonaiisation des matrices. Une fois que les d c i e n t s des matrices des valeurs propres gnralises ont t tridiagonaliss, les valeurs propres a les vecteurs propres peuvent tre calails en utilisant les techniques telles que : mthodes d'itration des vecteurs, itration inverse, itration par le quotient de Rayleigh . . .
Soit x un vecteur arbitraire, normalisons ce vecteur en respectant la matrice M pour obtenir
Soit pl = O. Dans l'algorithme Lanczos, on calcule alors les vecteun XZ, . .., xq en utilisant les quations suivantes pour i = 2, .. ., q :
Thoriquement, la squence des vecteurs xi, i = 1, ..., q, gnre en utilisant les relations
ci-dessus sont M-orthogond et la matrice X = [? , . . . , x,] satisfait la relation suivante : xT( MK'M ) = T,
O T, est tidiagonale et d'ordre q.
En utilisant l'quation (3.23)' on peut rapporter les valeurs propres et vecteurs propres de T, quand q = n cew du problme K @ = A M 9, qui peut aussi tre crit comme suit :
Sachant la transformation :
et 1 'quation (3.23) on obtient partir de l'quation (3.26) - 1 -
T n # = n ( (3 -27) D'oii, les valeun propres de Tn sont les rciproques des valeurs propres de Km = 7c M Q et
les vecteurs propres des deux problmes sont rapports tels que donns dans l'quation (3.26).
L'utilisation pratique de l'algorithme Lanczos, s'tend dans le fait que si q est plus petit que n, les valeurs propres de Tq peuvent d o ~ e r de bonnes approximations pour les plus petites valeurs propres du problme K = h M 0 .
3.5 tapes d'analyse d'une structure avec le module "Buckling" de COSMOSIM
Dans ce paragraphe, sera prsente une ide trs brve des diffrentes commandes utilises par le module en question, tout en s'attardant un peu plus sur les commandes utilises pour cette tude . Pour avoir plus de dlails sur les diffrentes commandes, se rfrer aux manuels de COSMOS/M ( Cornmand Reference )
Les tapes respectives pour l'tude d'une sucture par le biais du logiciel COSMOSM, se prsentent comme suit :
Gomtrie ; Egroup, Mprop, Rconst ;
Maillage ;
Conditions Iimites ; Charges ; A-Buckling ;
R-Buckling.
Ce menu inclut les commandes permettant de gnrer des entits gomtriques. Les entits gomtriques fournissent un moyen convenable et puissant pour gnrer le maillage par l m ~ s finis et spcifier le chargement ainsi que les conditions limites. Les entits gomtriques dans COSMOShA , sont prsentes d e s s o u s .
Tableau 3.1- Entits gomtriques et leurs symboles
Entit Symbole
Points Courbes Surfaces Volumes
Contours Rgions Polydre Parties
1 Systmes-coord
PT
CR SF VIL
CT RG PH
PART
CS
La hirarchie de ces entits est de la plus grande la plus petite, les entits grandes doivent contenir des lments des plus petites.
Dans cette tude, pour la cration de la gomtrie du problme, on utilise la commande CRPCORD, qui est issue de l'entit courbe (CR), et qui permet de crer une srie de points et les
connecter par des lignes droites, on peut crer plus de vingt points et dix neuf wwbes avec cette commande. Les points sont spcifis par leurs coordonnes, et la commande CRFILLET, qui est aussi issue de l'entit courbe (CR), permet de crer un coin circulaire avec un rayon spcifi entre deux courbes.
D'autres commandes ayant permis la cration de la gomtrie et qui sont issues de l'entit surfce (SF) sont SFEXTR qui dfinit des surfaces en extradant des courbes pralablement dennies le long d'un axe de coordonnes spcifi du systme de coordonnes actif, d'une longueur spcifie, et SF4CORD qui dfinit une surface quatre cts, en joignant quatre points, definis par leurs coordonnes.
Ces trois commandes font partie du menu PROPSETS qui contient les commandes permettant de dfinir, lister et e-r les attributs des lments tels que le groupe d'lment (EG), les proprits des matriaux w), la constante relle (RC) et le systme de coordonnes de l'lment (ECS).
La commande EGROUP dfinit un groupe d'lment et spcifie les options se rapportant ce dernier. Un maximum de vingt groupes d'lments peuvent tre dfinis dans un modle. Dans la prsente tude l'lment qui a t considr est l'lment S H n L 4 qui est un lment coque mince avec quatre noeuds.
La commande MPROP dfinit les proprits du matriau utilis. Les types de proprits pouvant tre dfinies sont fournies par la commande, mais une autre faon plus aise de dfinir les proprits du matriau est d'utiliser la commande PICK-MAT qui dfinit les proprits du matriau utilis en le prenant directement de la librairie des matriaux fournie par COSMOSM. Cette dernire a t exploite pour cette tude.
Enfin la commande RCONST dfinit toutes les proprits de la section et les proprits physiques pour le groupe d'lment considr, par exemple pour l'lment SHELLA elle perrnet de dfinir I'paisseur. Plus de 5 0 0 0 constantes relles peuvent tre utilises.
Maillane :
Le menu MESHING' contient les commandes se rapportant la cration du maillage par lments finis. Les noeuds a les lments peuvent tre cres par dfinition directe, ou en ralisant le maillage d'entits gomtriques. On s'intressera essentiellement au maillage li l'entit gomtrique SF. Deux commandes ont t utilises lors de la prsente tude savoir M-SF et MA-SF.
La premire cre un maillage par lments finis pour toutes les surfaces spcifies. Le maillage consiste en des lments triangulaires trois noeuds, des lments quadrilatres quatre, huit ou neuf noeuds. Cette commande peut aussi tre utilise pour gnrer des lments tels que SHELL3, SHELL4, SHELL4L, PLANE2D et FLOW2D.
La seconde cre un maillage par lments finis consistant en des lments triangulaires trois noeuds pour chaque surface spcifie. L'utilisateur a l'option de baser le processus de maillage sur la taille moyenne de l'lment.
Conditions limites :
Les commandes spcifiant les diffrents types de conditions limites, figurent dans le menu LOADS-BC en fonction du type d'analyse considr ( Structurale, thermique, magntique ... ). La commande qui a t utilise pour cette tude est DCR qui spcifie la valeur de la condition limite de dplacement pour tous les noeuds associs des courbes donnes.
Les commandes spcifiant les diffrents types de charges appiiquer figurent aussi dans le menu LOADS-BC en fonction du type d'analyse considr. Daa types de commandes ont t utilises pour cette tude savoir PCR et FND.
La premire applique une pression ( force par unit de surface) aux faces des lments associs aux courbes considres. La direction de la pression peut tre dans la direction x, y ou z du systme de coordonnes activ, ou nonnale aux faces de l'lment.
La seconde applique des forces ( ou un moment ) aux noeuds considrs, la valeur de la force spcifie ( ou moment ) est interprte dans le systme de coordomes activ.
A BUCKLING :
La commande A-BUCKLING spcifie les dtails de l'analyse de flambement qui sera active par la commande R-BUCKLING savoir le nombre de valeurs propres, la mithode d'analyse ( itration inverse, Jacobi, Ritz, sous-espace, Lanczos ), le nombre maximum d'itrations et la tolrance de convergence des valeurs propres. Pour cette tude, il a t question de dterminer cinq valeurs propres dont on retiendra la premire. La mthode utilise a t la mthode de Lanuos pour un nombre d'itration de 16 et une tolrance de 1 .O E-5.
R BUCKLING :
Cette commande active I'analyse de flambement en utilisant le programme "STAR" qui consiste dterminer les charges critiques de la structure partir des valeurs propres du problme, en utilisant la mthode de dtermination des valeurs propres choisie dans la commande prcdante.
3.6 Modles ih etudier Deux types de poteaux ont t considrs pour cette tude savoir un octogone rgulier d
un autre irreguiier, d'une paisseur de 0.94 mm, d'une largeur de paroi de 95 mm et d'une hauteur de 665 mm, soit sept fois la largeur des parois ( figure 3.2). Pour chacun des poteaux, on a appliqu d e w types de chargement, soit une charge concentrique et une charge excentrique. Afin
JO
de reprsenter les conditions ventueUes de l'tude exprimentale, les conditions limites prises en considration pour cette tude, ont t que l'extrmit en bas du poteau est encastre et que sur celle d'en haut, on empche toutes les rotations et les dplacement suivant x et y, et donc Peul le dplacement suivant z est pemiis.
Figure 3 -2 - Dimensions des poteaux octogonaux rgulier et irrgulier
3.6.1 Poteaux soumis une charge concentriaue
Six poteaux chargs concentriquement ont t analyss par le biais du module "Buckling" de COSMOS/M. Trois groupes de deux poteaux ont t considrs pour ce faire.
Premier groupe : Deux poteaux octogonaux rgulier et irrgulier avec coins anguleux . Deuxime groupe : Deux poteaux octogonaux rgulier et irrgulier avec petites sections courbes aux coins. Troisime groupe : Deux poteaux octogonaux rgulier et irrgulier avec plaque.
L'analyse et la comparaison des deux premiers groupes nous a permis de se limiter au premier groupe, pour la suite de notre tude, c'est--dire aux poteaux coins anguleux. Ceci tient compte des rsultats obtenus, tels que prsents plus loin.
Le troisime groupe differe des deux premiers par l'ajout d'une plaque l'extrmit suprieure du poteau. Cette initiative a t essentiellement prise dans le but de pouvoir appliquer une charge excentre sur le poteau. La ncessit de faire l'analyse des poteaux soumis une charge concentrique nous a sembl importante afin d'tre en mesure d'tablir l'influence de l'excentricit sur les rsultats obtenus. Les travaux exprimentaux reprennent cette proccupation.
3.6.2 Poteaux soumis une charge excentrique
Pour cette analyse, seulement deux types de poteaux ont t pris en considration savoir l'octogone rgulier et irrgulier avec plaque
3.7 RCsultats de calcul Les notations adoptes Ion du calai des poteaux octogonaux par le biais du logiciel
COSMOS/M sont les suivantes :
Octrcc : Octogone rgulier avec charge concentrique. Octirrcc : Octogone irrgulier avec charge concentrique. Octrccc : Octogone rgulier avec charge concentrique et coins courbs. Octirrccc : Octogone irrgulier avec charge concentrique et coins courbs. Octrpcc : Octogone rgulier avec plaque et charge concentrique. Oairrpcc : Octogone irrgulier avec plaque et charge concentrique. Octrpce : Octogone rgulier avec plaque et charge excentrique. Octinpce : Octogone irrgulier avec plaque et charge excentrique.
Avant de prsenter les rsultats obtenus par la modlisation numrique par le biais de COSMOS/M, une brve description rsurnant la dmarche entreprise pour l'tude en question englobant les diverses tapes voques dans le paragraphe trois' serait ncessaire.
Une fois la gomtrie du problme cre, on a dfinit les proprits de l'acier, ensuite on a dfinit le groupe d'lments utilis pour cette tude savou un lment coque mince, l'paisseur des parois a t fixe en dfinissant les proprits de la seaion ainsi que celles du groupe d'lments. Le maillage a t pris assez &ne, en fonction des dimensions du poteau, de sorte k ce que l'on puisse discerner le phnomne d'instabilit de forme, un choix de 20 x 5 lments a t considr tel que prsent un peu plus loin en annexe. Dans le but de reprsenter les conditions ventuelles de l'tude exprimentale, on a considr le poteau encastr en bas et l'on a empch toutes les rotations et les dplacements suivant x et y en haut, seul le dplacement suivant z a t permis, par la suite on a choisi la mthode approprie pour la dtermination des valeun propres du systme, et enfin on a soumis le modle finalis l'analyse.
L'tude de poteaux avec petites sections courbes aux coins (figure 3.3 ), a t juge ncessaire, en raison du fait que c'est ce niveau que seraient localiss les contraintes rsiduelles et une rigidit certaine de l'lment coque connue comme tant trs efficace.
Dtail A
7
Figure 3.3 - Sections courbes aux coins
Les rsultats obtenus pour chaque type de poteaux sont reprsents dans le tableau cidessous :
Tableau 3.2- Charge critique et temps d'excution pour les diffrems types de poteaux considrs
1 Type d'octogone 1 Charge critique ( en kN ) 1 Temps ncessaire ( en sec )
Les rsultats obtenus pour les poteaux octogonaux avec coins courbs, que ce soit pour l'octogone rgulier ou irrgulier sont presque les mmes que ceux obtenus sans Les coins courbs. La seule diffrence significative rside dans le fait que le temps ncessaire pour le calcul est assez important pour les premiers. C'est ce temps de calcul qui a conduit ne pas considrer les petites sections courbes aux coins dans la suite des calculs.
octrp~
Octirrpcc
La charge critique pour les quatre premiers octogones a t obtenue en multipliant la valeur foumie par COSMOS/M par la section du poteau soit A = 714.4 mm2, en raison du fait qu'on a utilis la commande PCK qui applique une pression (force par unit de surface). Par contre pour les quatre demiers octogones, la charge critique est fournie directement par COSMOSM, en raison du fait que l'on a utilis la commande FND, qui consiste appliquer une force directement sur le noeud dsir.
53.81 1
53.182
24 1
267
Les rsultats en dtails obtenus par le logiciel COSMOS/M seront prsents pour quatre types de poteaux savoir Octrcc, Octirrux, Oarpcc et O c t m , qui donnent une ide sur les diffrentes considrations de calail ainsi que les diffrents rsultats obtenus pour toute l'tude.
Les fichiers d'entres a de sortie ainsi que les graphiques reprsentant la structure tudie, l'allure de la dforme et la rpartition des dplacements le long du poteau sont prsents a la fin du rapport en annexe.
Chapitre 4 PROGRAMME EXPRIMENTAL 4.1 INTRODUCTION
Le recours l'exprimentation joue un rle plus important dans les constructions en lments B parois minces que dans les constructions classiques, en raison de la complexit des phnomnes entrant en jeu. Ds que se manifestent des phnomnes d'instabilit de forme, les mthodes de calcul employes rsultent gnralement d'ailleurs d'tudes thoriques comges par des d c i e n t s exprimentaux.
Dans le but d'tudier le comportement en flambement des poteaux octogonaux en acier a parois minces, ces derniers ottt t pris assez long a h d'attnuer les dets d'extrmits et assez courts pour se limiter au flambement local et viter le flambememt global de la structure ou flambement d'Euler.
Dans ce chapitre seront prsentes les caractetistiques et proprits des chantillons tester. Le montage exprimentai, les diffrents essais raiiss et enfin les rsultats obtenus.
4.2 Objectifs de I'etude experimentale Les essais effctus dans le cadre de cette tude sur huit poteaux de sections octogonales
rgulires et irrgulires en acier form a fioid ont pour objectifs : de traiter deux cas de chargements savoir les cas concenirique et excentrique ; de faire une tude comparative entre les rsultats obtenus exprimentalement, ceux obtenus par la modlisation avec le logiciel COSMOSM n les calculs thoriques d'aprs la nonne Canadienne CAN3-S l36M89 ; de donner une ide sur le type de comportement qualitatif
4.3 Description des essais 43.1 Specirnens tests Huit poteaux de section octogonale en acier f m fioid, de jauge 16, soit une paisseur
de 0.94 mm, d'une largeur de paroi de 95 mm et d'une hauteur de 665 mm soit 7 fois la largeur des parois, ont t tests jusqu' la rupture sous deux types de chargements : concentrique et excentrique.
Deux types d'assemblage longitudinal ont et6 consid&& un assemblage avec une soudure et un autre avez deux soudures (figure 4.2).
Quatre poteaux de sections octogonales ont t tests la rupture sous une charge concentrique, dont deux rgulire et irrgulire avec une soudure et deux rgulire et irrgulire avec deux soudures. Et les quatres autres, dont deux rgulire et irrgulire avec une soudure et deux rgulire et irrgulire avec deux soudures ont t tests la rupture sous une charge excentrique.
43.2 Fabrication des chantillons La classe d'acier est A-36. Le procd de soudage qui a t utilis est le procd TIG. Les
joints longitudinaux sont fusionns sans ajout d'apport de mtal extrieur. Les tles de fermeture chaque bout, ont t souds avec le mme procd TIG, mais
l'aide d'une baguette d'apport d'acier. Le pliage a t fait a froid, avec un rayon de courbure de 1.5 t. La configuration du joint est reprsente sur la figure 4.1.
Figure 4.1 Configuration du joint
- \ Plaque d'extrmit de jauge 14
Coupe A - A Emplacement des Dtail A soudures
* - - - * * - * - * - - - - - . /-
43.3 Montage exprimental Les spcimens tests ont t chargs sur la presse universelle Baldwin avec possibilit de
contrle du taux de chargement, ayant une capacit maximale de 60000 lbs et une prcision de 0.5 %. Les dformations des spcimens ont t enregistres avec trois LVDT (Lineur Variable DifjerentiuZ T r ~ o n n e r s ) situs trois coins de chaque chantillon. Les LVDT taient attachs entre deux colliers mtalliques dont chaque extrmit est fixe deux plaques pralablement perfores en trois positions, situes respectivement a hctremit suprieure et infrieure, laissant une longueur de lecture.
Figure4.3- Montage exprimental d'un poteau octogonal soumis une charge concentrique
Les valeurs de dformation mesures. provenant des trois LVDT ainsi que les valeurs de la force provenant de la presse hydrauhque, ont t diriges vers un systme d'acquisition de donnes et enregistres sur disque rigide. Les lectures aquises par l'ordinateur ont t lues intervalles de force rguliers, jusqu' la charge maximale. Pendant la partie post-pic de la rponse du spcimen, des lectures frquentes ont t enregistres jusqu'a la rupture du spcimen. L'essai a t arrt lorsque la charge critique de rupture du poteau a t atteinte Les figures 4.3 et 4.4 montrent respectivement les montages exprimentaux pour les spcimens tests soumis une compression centr
Figure 4.4- Montage exprimental d'un poteau octogonal soumis une charge excentrique
4.4 Rsultats exprimentaux Les charges critiques obtenues pour les tests de compression centre et excentre, sont
prsents dans le tableau 4.1 en fonction de la forme de I'octogone ainsi que des soudures. Des courbes exprimentales reprsentant la variation de la force en fonction des dplacements sont prsentes pour les huit poteaux tests aux figures 4.7 a 4.14
La rupture du poteau pour un chargement excentrique et le voilement des parois sont prsents aux les figures 4.5 et 4.6.
Tableau 4.1- Charge ultime en fonction de la forme de l'octogone et des soudures
1 Une soudure 1 Une soudure 1 Deux &dures 1 Deux soudures 1
1 Octogone reguiier 1 65.165 kN 1 47.327 kN 1 57.1 123 kN 1 37.0074 kN 1
Figure 4.5- Rupture du poteau de section octogonale
f Octogone irrgulier 56.220 kN 44.600 kN 57.7670 kJ?J 45.1920 kN
Figure 4.6- Voilement local des parois du poteau
Deplacement (mm)
Figure 4.7- Octogone rgulier avec une soudure e t charge concentrique
Figure 4.8- Octogone rgulier avec deux soudures et charge concentrique
Dhplacement (mm)
Figure 4.9- Octogone irrgulier avec une soudure e t charge concentrique
Figure 4.10- Octogone irrgulier avec deux soudures et charge concentrique
Dplacement (mm)
Figure 4.11- Octogone rgulier avec une soudure et charge excentrique
-
D6piacuncnt (mm)
Figure 4.12- Octogone rgulier avec deux soudures et charge excentrique
D6placement (mm)
Figure 4.13- Octogone irr lier avec une soudure e t c r= arge excentrique
10.00 7:
Dplacement (mm)
Figure 4.14- Octogone irrgulier avec deux soudures e t charge excentrique
Chapitre 5 ANALYSE ET INTERPRTATION DES RSULTATS 5.1 Introduction
Dans ce chapitre sera prsent un calcul analytique afin de comparer les prdictions thoriques aux rsultats obtenus dans le cadre de cette tude, ainsi qu'une analyse des rsultats de la modlisation numrique et de l'tude exprimentale.
5.2 Calculs theoriques
5 -2.1 Conhainte critique de voilement lastique WANFXED et ROLF, 19941
Soit une plaque rectangulaire, articule sur ses quatre bords. En considrant le voilement comme un phnomne d'instabilit par bifurcation de l'quilibre, on peut calculer la
valeur de la contrainte critique de voilement lastique ad en se basant sur les hypothses suivantes :
la plaque est initialement parfaitement plane,
les dformations hors du plan du voilement sont faibles,
la plaque est sollicite par des charges agissant dans son plan moyen,
le matriau est infiniment lastique linaire. En considrant l'tat d'quilibre de la plaque dforme, on peut crire l'quation
diffrentielle suivante:
w : dfornation de la plaque, perpendiculairement son plan effort normal par unit de longueur ( Nx = ox t )
rigidit de la plaque pour une largeur b unitaire ( D = t3E 12(1- v2) 1
t : paisseur de la plaque v : coefficient de contraction latrale ( Poisson )
En supposant que la plaque se dforme selon une surfae de forme sinusoidale reprsente par l'quation
a m m m n.y w = CCa, s in - sin -
-1 n = ~ u b m : nombre de demiandes ( cloques ) dans le sens x n : nombre de demi-ondes ( cloques ) dans le sens y. On peut calculer la charge critique de voilement lastique Nd en substituant la valeur
de w (5.2) dans (5.1). En tenant compte des conditions de bord de la plaque, on obtient par intgration le rsultat suivant :
La valeur Nd cherche correspond au minimum de la fonction de Nx donne par (5.3). Celui-ci est obtenu pour une valeur n = 1, ce qui veut dire qu'il n'y aura qu'une seule demi- onde dans le sens y, mais qu'il peut y avoir plusieurs dans le sens x.
En remplaant la rigidit de la plaque D par sa valeur en posant a = a/b , on obtient
D'OU l'on tire la contrainte critique de voilement lastique :
En dfinissant le coefficient de voilement k par
Et la contrainte de rfrence minimale par la relation suivante, qui dpend de la limite
d'lasticit du matriau et de la gomtrie ( lancement b ) de la plaque,
La contrainte critique de voilement lastique d o ~ e par (5.5) part s'exprimer ainsi : a& = k QE. (5-8)
5.2.2 Dtermination de Ia contrainte critiaue
Les valeurs des proprits physiques utilises aux fins de calcul sont les suivantes :
Module de Young de l'acier (E) 203000 MPa Module de cisaillement (G) 78000 MPa Coefficient de poisson (v) 0.3 Masse volumique de l'acier 7850 ~ ~ / m ~ Coefficient d'expansion thermique 11.7 lo4/~c Acclration de la pesanteur 9.81 m/s2
a ) charge concentrique
En s'inspirant du cas de la plaque rectangulaire prsent ci-dessus, on dtermine la contrainte critique pour le poteau de section octogonale soumis une charge concentrique ( rgulier et irrgulier ).
L'paisseur t = 0.94 mm. La largeur b = 95 mm. Et le coefficient de voilement k = 4, supposant der bords rotuls.
Soit O, = 71.85 ~/ttun~. La section de l'octogme est A = 714.4 mm2.
D'OU Pa = a, A soit P, = 5 1.33 kN.
En comparant ce rsultat celui fournit par la modlisation numrique (page 45) o P, est de l'ordre de 53 IEN, on en dduit que les valairs sont assez comparables. Et donc on peut se fier au modle de calcul par la modlisation numrique pour des cas plus complexes, tel a t le cas pour le poteau octogonal soumis une charge excentrique.
Un calcul rebours peut tre entrepris afin de dterminer la largeur de flambage ou encore le coefficient de voilement k, en considrant les rsultats de la charge critique obtenus par le biais de la modlisation numrique.
Pm= 53.8 kN A = 714.4 d
Soit b = 92-8 mm Cette valeur reprsente la largeur de flambage des parois pour les rsultats foumis par la
modlisation numrique. On CO nstat erait ainsi 1' effet des arrtes courbes incuves qui agissent comme raidisseurs et lments rsistants la torsion.
Un calcul similaire pourrait tre ralis pour la dtermination du coefficient de voilement, soit une mesure du degr d'encastrement.
b ) charge excentrique
La charge critique pour un poteau soumis une charge excentrique est dom& par la relation suivante, correspondant = a, sur la paroi la plus sollicite :
OG A tant la -ion de l'octogone gale & 714.4 mm2. e est l'excentricit e = 60 mm. 1 est le moment d'inertie. y est la distance de la paroi critique par rapport l'axe centroidal.
Octo~one rmrlier : O, = 71.85 ~/ rn rn* . Le moment d'inertie 1 = 1, = 1, = 4990 163.25 mm4. D'o la charge critique est dtermine partir de l'quation (5. 10)' soit P, = 25.983
i Octogone irrmlier : a, = 71-85 N/IIUTI~.
Le moment d'inertie 1, = 6 1 18746.10 mm4. D'o la charge critique est dtermine partir de l'quation ( 5 . IO), soit P, = 26.98 W.
5.2.3 Prdiction de la Norme Canadienne
5.2.4 Largeur effective de calcul
Dans les lments en compression, lorsque W dpasse Wb, la largeur de suface plate w doit tre remplace par une largeur effective ( b = B t ). Pour les lments en compression raidis, la partie de la largeur qui doit tre supprime pour obtenir la largeur effective doit tre symtrique par rapport au centre de masse de l'lment. Pour les lments en compression non raidis la partie de la largeur qui doit tre supprime pour obtenir la largeur effective doit tre seulement du ct du bord non raidi de l'lment.
5.2.3.2 l~ments en compression
Dans les calculs le rapport de la largeur de surfce plate l'paisseur des lments en compression est W. sauf si W dpasse W i , il faut utiliser le rapport largeur effeaive rduit B. Dans les calcuis de rsistance, ce sont les charges pondres qui sont utilises; tandis que dans les calculs de flche ou vibrations, ce sont les charges prescrites qui servent au calcul de B.
Les lments en compression sont entirement effectifs ( B= W ) jusqu' la valeur Iimite:
Pour les lments en compression avec W plus grand que Wik
o k = 4.0 pour les lments en compression raidis k = 0.5 pour les lments en compression non raidis
W = w/t = rapport largeur de surface plate - paisseur f = contrainte dans l'lment en compression calcule sur la base de la largeur
e f f d v e R est dom& par :
a) R = O alors que W < 60; et b) R = 0.1 W - 6 alors que W 2 60.
Lorsque l'lment ou la partie d'lment est raidi sur chaque bord au moyen d'une me ou d'une semelle, R peut tre pris gal zro quelle que soit la valeur de W.
5.23.3 Cdcul des poteaux de section octogonaie
Pour f = = 243 MPa. L'quation (5.10) permet de dterminer Wih , soit WIi = 37.2 1.
W = w/t = 101.064 > Wr,.
PourW260 R=O. l W-6=4.1064. D'o partir de l'quation (5.12)' on d t h e B, soit B = 44.3 mm. b=Bt=41,63 mm. W=b - 2 ( l . S t)soit W =92.18. Et donc un " trou ", soit une partie non-effaive de 50.55 mm . La nouvelle section est alors S = 8 * B * t, soit S = 3 13-13 mm2 . D'o fQ= 76.09 W.
Dans le cas d'une plaque comprime une augmentation de la charge critique de voilement est possible en crant des appuis linaires au moyen de raidisseurs. Dans le cas des poteaux de section octogonale considrs dans le cadre de cette tude, on suppose que les plaques sont raidies et que les raidisseurs sont les fces adjacentes. L'efficacit de ces raidisseurs qui sont eux-mmes sujet au voilement, fut vrifie par la prsente tude numrique et exprimentale.
53 Analyse des rsultats de la modClisation numrique
Deux types de poteau rgulier et irrgulier ont t soumis une analyse par dments finis, pour deux types de chargement concentrique et excentrique.
Des poteaux avec petites sections courbes chaque coin ou arrte ont t considrs afin de se rapprocher des conditions plus relles en pratique dues au pliage avec arrtes. Ce type de gomtrie s'est avr non ncessaire dans l'analyse en raison du fait que les valeurs de la charge critique sont presque les mmes que celles des poteaux avec coins anguleux, la seule diffrence significative rsidait dans le fait que le temps ncessaire pour le calcul a t presque tripl pour les poteaux avec petites sections courbes au coins.
En outre, des poteaux de sections octogonales rgulier et irrgulier avec une plaque l'extrmit suprieure du poteau ont t considrs. Cette initiative a t essentiellement prise
dans le but de pouvoir appliquer une charge excentrique sur le poteau. La ncessit de fiUre l'analyse des poteaux avec plaque, nous a sembl importante afin de pouvoir simula les considrations prises en compte Ion d a essais o l'application de la charge que ce soit concentrique ou excentrique ncessitait la prsence de cette plaque.
L'ajout de la plaque ne devrait en aucun cas nuire aux rsultats de l'analyse, nanmoins elle permet d'appliquer une charge avec l'excentricit dsire. En effet pour le cas de la charge concentrique les rsultats numriques obtenus avec ou sans la plaque sont trs proches les uns des autres ce qui confirme ce qui a t formul.
Pour le cas de la charge excentrique, compte tenu des dimensions des poteaux considrs, un calcul simple et rapide utilisant la formule ci-dessous
nous limite a une excentricit maximale de 60 mm, en effet
Pour I'octogone rgulier on trouve que %, < 60.77 mm Pour l'octogone irrgulier on trouve que e- < 66.02 mm.
A partir des rsultats fournis par le logiciel COSMOS/M savoir l'allure de la dforme ainsi que la rpamtion des dplacements le long des parois du poteau tels qu'ils figurent un peu plus loin en annexe, on dduit que pour une charge concentrique, toutes les pamis du poteau de section octogonale prsentent un voilement, dors que pour une charge excentrique seules les parois proximit de l'emplacement de l'application de la charge prsentent un voilement.
5.4 Analyse des rsultats exprimentaux Les rsultats exprimentaux prsentent la valeur de la charge ultime, la charge
correspondant l'initiation au voilement tant lgrement infrieure.
Les rsultats reportes sur le tableau 4.1 ont t obtmus, lorsqu'on a observ que la courbe force en fonction du dplacement avait atteint le pic, donc ces valeurs correspondent la charge maximale. Le phnomne d'instabilit par voilement des parois se prsente avant le dbut de la plastification. En se rfrant la figure 2.5, une tle plus trapue suivrait la courbe indique dans la figure par lasto-plastique ; les parois considres le long de cette tude sont trs minces suivent une courbe trs proche de celle indique dans la figure comme tant lastique. Il est cependant difficile d'identifier, sur une telle courbe le point correspondant a la charge critique thorique du systme sans imperfection.
Pour interprter les courbes experimentales, nous avons essay de dtecter la premire dviation significative de la linarit sur les courbes. Ces valeurs donnent une b 0 ~ e indication de la charge critique lastique sur le poteau. Cette interprtation est visible sur la figure S. 1 pour le cas d'un octogone rgulier avec une soudure soumis une charge concentrique ; un
