Problemario Matematica Financiera 734

5/24/2018 Problemario Matematica Financiera 734

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PROBLEMARIODE

MATEMTICA III734


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PROBLEMARIO

DE

MATEMTICA III

734Universidad Nacional Abierta

Autor: Prof. Frankie GutirrezDiseadora Acadmica: Prof. Nancy Ojeda


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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIN ............................................................................................................. 5

MDULO I ....................................................................................................................... 6REGMENESDECAPITALIZACIN..... ............. ............. ............. ............. .............. ............. ............. ... 6

UNIDAD 1.......................................................................................................................................... 7

CAPITALIZACIN SIMPLE.........................................................................................................................7

APLICAR LOS CONCEPTOS Y FRMULAS DERIVADOS DEL RGIMEN DECAPITALIZACIN SIMPLE, EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS....................... 7

INTRODUCCIN ...................................................................................................................................8CAPITAL, INTERS, TASA DE INTERS, MONTO O VALORFUTURO Y TIEMPO................................................................................... 9

DESCUENTO SIMPLE: RACIONAL Y BANCARIO............................. 18Descuento Simple Racional.......................................................................................................... 19Descuento Comercial ................................................................................................................... 20

RELACIN ENTRE LA TASA DE INTERS SIMPLE Y LA TASA DEDESCUENTO BANCARIO ....................................................................... 23

UNIDAD 2........................................................................................................................................ 26

CAPITALIZACIN COMPUESTA ............................................................................................................. 26APLICAR LOS CONCEPTOS Y FRMULAS FUNDAMENTALES DERIVADAS DEL RGIMEN DE CAPITALIZACINCOMPUESTA EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS. ..................................................................................... 26

INTRODUCCIN................................................................................................................................... 27

QUEREMOS CALCULAR EL MONTO M PRODUCIDO POR UNA CAPITAL INICIALDE BS 10 000 000. COMO SE PUEDE NOTAR DEL ENUNCIADO, ESTE PROBLEMACONSTA DE DOS PARTES, EN LA PRIMERA DE ELLAS TENEMOS QUE LACAPITALIZACIN ES CADA 91 DAS POR UN LAPSO DE DOS AOS, Y EN LASEGUNDA, TENEMOS QUE LA CAPITALIZACIN ES MENSUALMENTE............ 38

DESCUENTO COMPUESTO ................................................................... 39TASAS EQUIVALENTES ......................................................................... 41ECUACIONES DE VALOR ...................................................................... 44

MDULO II .................................................................................................................... 55ANUALIDADES............. .............. ............. ............. ............. ............. .............. ............. ............. ............ 55Y ........................................................................................................................................................... 55

SISTEMASDEAMORTIZACIN................. ............. .............. ............. ............. ............. ............. ........ 55

UNIDAD 3........................................................................................................................................ 56

ANUALIDADES ......................................................................................................................................... 56INTRODUCCIN................................................................................................................................... 57

ANUALIDAD, TRMINO, MONTO, VALOR ACTUAL, PLAZO OTASA........................................................................................................... 58

Monto y Valor Actual para una anualidad con capitales iguales ................................................ 58Trmino con capitales iguales...................................................................................................... 61Monto y Valor Actual para una anualidad con capitales diferentes ........................................... 62


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UNIDAD 4........................................................................................................................................ 66

SISTEMAS DE AMORTIZACIN..............................................................................................................66INTRODUCCIN................................................................................................................................... 67

AMORTIZACIN ..................................................................................... 68

PERIODO......................................................................................................................................... 69

F R M U L A S F U N D A M E N T A L F R M U L A S F U N D A M E N T A L F R M U L A S F U N D A M E N T A L F R M U L A S F U N D A M E N T A L E S E SE SE S......................................................................... 76

BIBLIOGRAFABIBLIOGRAFABIBLIOGRAFABIBLIOGRAFA............................................................................................................... 78


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INTRODUCCINEl presente problemario ha sido escrito con el propsito de: servir de complemento al

medio maestro (entindase libro UNA) y ayudar a aquellos estudiantes cursantes de laasignatura Matemtica III (Cd 734), pertenecientes al nuevo pensum de las carrerasAdministracin de Empresas, Mencin: Riesgos y Seguros,yContaduraPblica, dela Universidad Nacional Abierta, quienes debido a circunstancias ajenas a su voluntad notienen la posibilidad de consultar otros textos o no cuentan con la ayuda de un asesor en suCentro Local o Unidad de Apoyo.

Los ejemplos y ejercicios propuestos van de menor a mayor grado de complejidad, enlo que respecta a los ejemplos, stos han sido resueltos con el mayor detalle posible,mientras que los ejercicios podrn ser o no objeto de evaluacin en los momentos de pruebae incluso es posible que en alguna de ellas slo aparezcan preguntas del problemario.

El problemario est estructurado de tal forma que el estudiante no tenga problemaalguno para establecer una correspondencia entre ste, el Plan de Evaluacin y el Plan deCurso. El mismo consta de dos mdulos, cada uno de los cuales consta a su vez de dosunidades, el primer mdulo denominado REGMENES DE CAPITALIZACIN, en elcual se estudian todos los conceptos e ideas fundamentales de los regmenes decapitalizacin simple y compuesta; y el segundo mdulo es el de ANUALIDADES YSISTEMAS DE AMORTIZACIN, dedicado al estudio de los diferentes tipos de rentasy los diferentes tipos de sistemas de amortizacin.

Es recomendable, para un mayor aprovechamiento y mejor comprensin de losejercicios de este problemario, auxiliarse tanto con el texto de Matemtica III (Cd 734)como con la bibliografa recomendada en el Plan de Curso.

A menos que se diga explcitamente lo contrario, los ejercicios debern ser resueltosusando cuatro o cinco cifras decimales, muy especialmente los ejercicios relacionados conamortizacin.

Al final del problemario se anexa una tabla de las frmulas necesarias para laresolucin de los ejercicios, as como tambin una lista de direcciones de Internet, que porsu contenido pueden ser de inters.


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MDULO IREGMENES DE

CAPITALIZACIN

OBJETIVO GENERAL

Aplicar los regmenes de capitalizacin simple y compuesto a situaciones de tipofinanciero donde se identifique el crecimiento de un capital en el tiempo


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UNIDAD 1CAPITALIZACIN SIMPLE

OBJETIVO GENERAL

Aplicar los conceptos y frmulas derivados del rgimen de capitalizacinsimple, en la resolucin de problemas.


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INTRODUCCIN

Capitalizacin Simple, es la primera de las dos unidades que conforman el MduloI, y es tambin el primero y mas sencillo de los dos regmenes de capitalizacin queestudiaremos, en sta unidad daremos algunas de las definiciones e ideas bsicas necesariassobre las que descansan las Matemticas Financieras, definiciones e ideas que por suimportancia sern fundamentales para el desarrollo y pleno entendimiento del resto de lasunidades.

Entre estas definiciones estn las de: capital, inters, tasa de inters, monto o valorfuturo y tiempo. Estas definiciones son y sern usadas constantemente tanto en sta comoen el resto de las unidades.

Tambin se usarn los diagramas de tiempo como una herramienta de gran utilidadpara el anlisis y la solucin de problemas.

Los ejercicios se pueden considerar divididos en dos grandes grupos; uno en el cuallos problemas han sido desarrollados con el mayor detalle posible y otros en los que

solamente aparecen las respuestas o simplemente el enunciado del ejercicio; con stosltimos se pretende que el estudiante adquiera confianza y seguridad en si mismo.

Se ha implementado el uso de la hoja de clculo electrnica Excel para resolver unoque otro problema.

Algunos ejercicios tienen un asterisco, esto no es porque sean ms difciles que losdems, sino porque me parecen interesantes.

Es posible que al comienzo, por ms que lo intente no le salgan algunos de losejercicios, no se desaliente por esto, siga avanzando, ya le saldrn.


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CAPITAL, INTERS, TASA DE INTERS, MONTO O VALOR FUTURO YTIEMPO

Cuando una persona natural o jurdica pide dinero prestado, paga una renta por eluso de ese dinero que no le pertenece. Dicho dinero es llamado CAPITAL o

PRINCIPAL, en lo particular haremos uso del trmino capital.La renta pagada por el uso del dinero se denomina INTERS y representa unafraccin del capital tomado en prstamo, tal fraccin viene expresada como unporcentaje y es llamada TASA DE INTERS.El MONTO o VALOR FUTURO no es ms que la suma del capital y los intereses.TIEMPO es el lapso comprendido entre el momento en que se toma el dinero enprstamo y el vencimiento, es decir; es el momento en el que se paga el monto.

RECUERDE SIEMPRE: LA TASA DE INTERS SE DEBE UTILIZAR EN FORMA DECIMAL LA TASA DE INTERS Y EL TIEMPO DEBEN ESTAR SIEMPRE

EXPRESADOS EN LAS MISMAS UNIDADES DE TIEMPO

1. * Una persona firma el da de hoy dos documentos de descuento. El primero de ellos porBs 10 000 y el segundo por Bs 15 000, con inters simple del 18%, a 6 y 10 meses,respectivamente.a. Calcular el monto del descuento sabiendo que para el primer documento se utiliz

descuento bancario y para el segundo descuento racional.b. Determinar el monto del dinero recibido por la persona en el da de hoy.

2. Una persona quiere cambiar tres ttulos, con valores finales de Bs 5 000, 80 000 y

10 000, cuyos vencimientos sern dentro de 2, 4 y 6 meses respectivamente, por dospagos iguales cuyos vencimientos sern dentro de 3 y 6 meses.Si la tasa de inters simple es del 21%, cul ser el valor de los pagos a realizar?[Tips Elabore un diagrama de tiempo]

3. Una persona compra un equipo de sonido cuya oferta al contado es de Bs 432 000. Sinembargo, por no disponer de esa cantidad, acepta adquirirlo a crdito, pagando uninters simple del 24% anual sobre el saldo pendiente y cancelando un pago inicial del25% del precio de contado; adems decide cancelar Bs 90 000 tres meses despus deaceptar el negocio y Bs 78 000 luego de nueve meses de iniciada la compra del equipode sonido. Utilizando como fecha de comparacin la correspondiente a seis mesesdespus del pago inicial y el descuento racional, calcular el monto del pago que debe

hacer, al cabo de un ao de iniciada la compra, para cancelar la deuda.Solucin:

Consideremos el siguiente diagrama de tiempo:

108 000 90 000 78 000

3 96

x

120Meses

432 000


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donde x representa el monto del pago que debe hacer la persona al cabo de un ao ( 12meses ) de iniciada la compra.Luego, en virtud del diagrama, tenemos que:

Por lo tanto:x = 217 162,5.

4. Una persona solicita un prstamo de Bs 60 000 y firma documentos de descuento simple

al 18% anual a 4, 5 y 6 meses y con un valor nominal de Bs 2 000 cada uno. Si lapersona acuerda con la entidad, que le otorg el prstamo, utilizar descuento bancario,cul es la cantidad de dinero que debe recibir?

5. Una persona compra un vehculo usado que vale Bs 8 500 000 al contado. Sin embargo,lo cancela aceptando las siguientes condiciones de crdito:a) Un pago inicial del 30% del valor de contado.b) Un pago final de Bs 20 000 dentro de seis meses.c) Cinco cuotas consecutivas, comenzando al final del primer mes, hechas de tal forma

que estn en progresin aritmtica de razn Bs 2 000.d) Aceptar una tasa de inters simple anual del 18%.e) Fijar como fecha focal el final del tercer mes.Determinar el monto de cada una de las cuotas.

6. Una persona obtiene un prstamo de Bs 2 000 000 y acuerda saldarlo en seis cuotasmensuales. Si acepta pagar un inters simple del 12% y cada cuota es el doble de laanterior, cul es el monto de cada una de las cuotas?

7. Una persona compr un documento con vencimiento en 11 meses al 18% de interssimple y con un valor inicial de Bs 1 200 000, descontndolo al 21% tres meses antesdel vencimiento. Si en la transaccin se utiliz descuento racional, cunto debi pagarla persona por el documento?

8. Una persona quiere cambiar dos ttulos con valores finales de Bs 500 000 y Bs 800 000,

y vencimientos de 3 y 5 meses respectivamente por seis ttulos de Bs 21 760 pagaderosal final de los meses 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Qu tasa de inters simple se debe utilizar en latransaccin?

9. Un comerciante obtiene un prstamo a una tasa del 35% de inters simple anual;transcurridos 2,4 meses el comerciante paga la deuda y contrae un nuevo prstamo igualal doble del anterior, pero pagando intereses del 33%. 6 meses despus del segundoprstamo el comerciante cancela el valor del segundo prstamo. Sabiendo que pagBs 241 200 de intereses, determine el valor del primer prstamo.

432 000

+

12

60,241 x = 108 000

+

12

60,241 x +90 000

+

12

30,241 x +

+

123

0,241

00078

x

+

+

126

0,241

x

x

483 840 289 944,91 =1,12

x.


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10.Un comerciante obtiene un prstamo a la tasa del 42% de inters simple anual;transcurridos 3,6 meses el comerciante paga la deuda y contrae un nuevo prstamo igualal doble del anterior pero pagando intereses del 39%. 8,5 meses despus del primerprstamo el comerciante cancela el valor del segundo prstamo. Sabiendo que elcomerciante pag en intereses el equivalente al 9/20 del primer prstamo ms Bs

100 000, determine el monto de cada uno de los prstamos y de los intereses cancelados.11.Una persona solicit un crdito de Bs 3 390 000 el da de hoy, acordando pagar

Bs 1 130 000 cuatro meses despus y Bs 1 130 000 cuatro meses despus de ese primerpago. Si la tasa de inters fue del 48%, determinar la cantidad que pag cuatro mesesdespus de ese segundo pago para saldar la deuda. Considere como fecha focal lacorrespondiente al ltimo pago.Resp. Bs 2 215 600

12.Se tiene un documento de inters simple de 36% a 1 ao, cuyo valor nominal es deBs 5 650 000. Suponga que 6 meses antes de la fecha de vencimiento necesita algndinero para realizar una inversin y decide vender el documento a otro inversionista con44% de descuento. Cunto recibir por el documento?Resp. Bs 5 993 520

13.Una persona que tiene Bs 27 000 000 emplea una parte de esta suma en la compra deuna casa. Coloca la tercera parte del resto al 33% anual y las otras dos terceras partes al30% anual, de esta manera su renta anual es de Bs 745 000. Se desea conocer el preciode la casa y cada una de las sumas colocadas.Resp. 2 403 225,81

14.Hace 8 meses deposit Bs C en un banco al 36% anual de inters simple; hoy retir Bs180.000 del capital inicial y el capital restante lo dej depositado en el banco durante 10meses ms y obtuve un monto de Bs 1.773.000. Calcule C.Resp. 1.303.246,75

15.* Un pagar de Bs 50 000 al 15% de inters simple que vence dentro de 9 meses esdescontado por una entidad de ahorro y prestado al 7% de descuento simple 60 dasantes de su vencimiento. Un mes despus de haber realizado ese primer descuento, laentidad lo descuenta nuevamente a otra entidad que carga una tasa de inters racionaldel 8% anual. Cunto gan la primera entidad en esas dos operaciones?Resp. 95,63

16.Un empresario debe a su banco dos pagars; uno por Bs 2 800 000 con vencimiento el20 de agosto y otro por Bs 4 200 000 con vencimiento el 20 de octubre. El 25 de agosto,vencido el primer pagar, conviene con su banco recoger los dos pagars y remplazarlospor otro, con vencimiento para el 30 de noviembre. Si la tasa de descuento es del 24% y

los intereses de mora del 30%, cul es el valor del nuevo pagar?Solucin:

Calculemos primero el valor actual de los dos pagars para el 25 de agosto. Pagar vencido el 20 de agosto. Se calcula su monto M, con los intereses de mora

del 30% para 5 das

M = C( 1 + rt )


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12

= 2 800 000

+

360

50,31 x

= 2 800 000 (1 + 0,00417) = 2 811 676

Pagar de Bs 4 200 000 con vencimiento para el 20 de octubre. Se calcula su valor

actual para el 25 de agosto

A= C(1 + dt ) = 4 200 000

+

360

560,241 x

= 4 200 000 (1 + 0,03733) = 4 043 214El valor actual de los pagars para el 25 de agosto es:

A = M + A= 6 854 890Por lo tanto, el valor del nuevo pagar para el 30 de noviembre es:

M =td1

A

0,064671

8908546

36097

0,241

8908546

=

= 846,5033732870,93533

8908546== .

17. Calcule el monto al final del sexto ao de un capital de Bs 500 000 colocado a la tasadel 0,5% mensual de inters simple durante los primeros tres aos y del 1% mensualdurante los siguientes aos, si al final del sexto mes retira Bs 100 000 de capital, al finaldel segundo ao retira los intereses devengados en el ltimo semestre, al final del tercerao retira Bs 100 000 de capital y los intereses devengados durante el ltimo ao.

Solucin:

Hagamos una representacin grfica de la situacin:

Calculemos primero los intereses producidos durante los primeros seis meses.I1= 500 000(0,005)6 = 15 000 [1]

Calculemos ahora los intereses producidos por un capital de Bs 400 000 durante unperodo de tres semestres.

I2= 400 000(0,005)18 = 36 000 [2]Calculemos el monto producido por un capital de Bs 400 000 a una tasa del 0,5%mensual por un perodo de un ao, esto es:

M= 400 000 (1 +0,005x12) = 424 000Si de M = 424000 retiramos Bs 100 000 de capital y Bs 24 000 por concepto deintereses, nos queda que nuestro capital para los restantes tres aos es de Bs 300 000.Calculemos ahora el monto M que produce un capital de Bs 300 000 colocadosdurante un periodo de tres aos y a una tasa del 1% mensual.

M= 300 000 (1 +0,001x36) = 408 000 [3]

AOS

500 000

6

0,5% Mensual 1% Mensual M

432 10 5


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13

Por lo tanto, para obtener el monto M sumamos [1], [2] y [3], esto es:M = 15 000 + 24 000 + 408 000 = 447 000 bolvares.

18.Una persona tiene las siguientes obligaciones: Una letra de Bs 100 000 que vence dentro de tres meses. Dos letras de Bs 200 000 cada una que vencen dentro de 6 meses y devengan un

inters mensual del 1%. Una letra de Bs 50 000 que venci hace dos meses.Hoy abona Bs 200 000 ms el 25% del valor actual de la deuda, y pide al acreedor quese emita una letra con vencimiento a cuatro meses por el saldo deudor. Calcule el valornominal de la letra a la tasa de descuento d = 1% mensual. La tasa de inters de laoperacin es del 1,5% mensual.

Solucin:

Consideremos el siguiente diagrama

Donde A representa el valor actual de la deuda y x el monto de la nueva letra convencimiento a cuatro meses.Comencemos por calcular el valor actual de la deuda.

A = 50 000(1+0,015x2) +100 000(1 0,01x3) +200 000(1 +0,01x6)(1 0,01x6)+200 000(1 +0,01x6)(1 0,01x6) = 51 500 + 97 000 +199 280 +199 280

= 547 060.Una vez conocido el valor actual de la deuda, estamos listos para calcular el valor de x,para esto establezcamos la siguiente ecuacin de valor:

547 060 = 200 000 +25% (547 060) +(1 0,01x4)= 200 000 +0,25 (547 060) +0,96x

347 060 = 136 765 +0,96xPor lo tanto:

x = 219 057,29

19.Un deudor debe pagar Bs 4 500 000 conjuntamente con sus intereses calculados a la tasadel 24% anual al final de 30 meses. Con el fin de disponer de tal cantidad en ese perododesea conocer la cuota mensual que ser necesaria depositar al comienzo de cada mes sidevenga un inters del 12% anual.

Solucin:

Consideremos el siguiente diagrama:

100 000

+

+

6)0,01000(1200

6)0,01000(1200

x

x

MESES

500 000

6

25 000 +25% x

4302

302928273210

CCCC C C C C


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Donde C representa el valor de la cuota mensual que ser necesario depositar alcomienzo de cada mes.Determinemos el monto M que debe pagar el deudor al final de los 30 meses y a la tasadel 24% anual o 2% mensual.

M = 4 500 000( 1 +0,02x 30 ) = 7 200 000.

Durante 30 meses, el deudor realiza 31 depsitos de Bs C cada uno, as que deposita entotal 31C.Consideremos:Ii= el inters del depsito hecho al inicio del mes i.Entonces:

Ii= Cix12%/12 = Ci1% = 0,01Ci.Luego el inters total obtenido al finalizar los 30 meses es:

4,65C2

)130(30)0,01(Ci0,01C0,01CiII

30

1i

30

1i

30

1ii =

+====

= ==

Determinemos el valor de C.

Por lo tanto: 7 200 000 = 31C + 4,65C = 35,65C.de donde resulta que:

963,5320135,65

0002007C =

[Comentario Esta forma de resolucin es como la que se da en el texto deMatemtica III (Cd. 734), pgina 32, ejercicio N13. Este ejercicio tambin pudo habersido resuelto, plantendolo como una ecuacin de valor]

20.Qu capital colocado durante 2 aos, 3 meses y 10 das, forma un monto deBs 6 000 000 si la tasa de inters es del 0,5% mensual durante los primeros 9 meses y

2% bimestral durante el resto del perodo?Solucin:

Grafiquemos la situacin:

Donde C representa el capital.Para determinar C usaremos que:

M = C + I1+ I2= C + Cr1t1+ Cr1t2= C

++

360

550

60

0,0290,0051 x .

Luego:6 000 000 = C(1 + 0,045 + 5,093) = 6,138C

6 000 000

MESESC 18 MESES Y 10 DAS

0,020,005

9


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15

Por lo tanto:

517,1079776,138

0000006C =

21.Una persona deposita Bs 50 000 al final de cada mes durante un ao, siendo la tasa de laoperacin del 3% semestral. Determine el monto al cabo de un ao y el intersproducido desde el quinto mes hasta el noveno mes ambos inclusive.

Solucin:

Hagamos una representacin grfica de la situacin:

Consideremos C = 50 000, t = 1 ao y r = 3% semestral = 0,5% mensual.[Tips No olvide que estamos trabajando bajo el rgimen de capitalizacin simple]Durante un ao, la persona realiza 12 depsitos de Bs 50 000 cada uno, as que depositaen total la cantidad de Bs 600 000.Consideremos:Ii= inters del depsito hecho al final del mes i - simo.Entonces:

Ii= 50 000 i( 0,005) = 250iLuego, el inters total obtenido al finalizar el ao es:

500162

)11111(250i250II

11

1i

11

1ii =

+==== ==

Por lo tanto, el monto al cabo de un ao es:M = 600 000 + 16 500 = 616 500.

Para calcular el inters producido desde el quinto mes hasta el noveno mes ambosinclusive, calculamos la diferencia:

I9 I4donde I9e I4se definen de manera anloga a como se hizo con I i.Por tanto:

I9 I4= 250(9) 250(4) = 1250.

22. Un padre al morir, deja dispuesto en su testamento que su capital de Bs 18 000 000 sea

repartido entre sus 4 hijos, de modo que colocando cada uno su parte al 10% anual,todos tengan la misma cantidad de dinero al cumplir 21 aos. Qu cantidad recibicada hijo al morir su padre, si en ese momento sus hijos tenan 10, 12, 14 y 18 aosrespectivamente?

Solucin:

Hagamos un diagrama de tiempo:

50000

50000

50000

50000

50000

50000

50000

50000

50000

10 1141 32 65 87 90 12

AOS

x

18 000 000

11973

xx


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16

En el diagrama de tiempo x representa la cantidad que recibir cada uno de los 4hermanos; 3, 7, 9 y 11 el tiempo que falta por transcurrir para que los hermanoscumplan los 21 aos.Por lo tanto:

x8,8179

20,81

,12

x

,91

x

,71

x

,31

x

(0,1)111

x

(0,1)91

x

(0,1)71

x

(0,1)31

x00000018

=+++=

+

+

+

+

+

+

+

=

de lo anterior resulta quex = 7 627 208,073.

23. El seor Prez posee dos letras que suman Bs 800 000, una de las cuales vence dentrode 5 meses y se descuenta en forma comercial al 3% mensual, la otra vence dentro de10 meses y se descuenta en forma comercial al 3,5% mensual. Si hoy le ofrecen porellas la suma de Bs 620 000, cul ser el valor nominal de cada una de las letras?Considere como fecha focal correspondiente la de hoy.

[Pregunta Cmo afecta la respuesta el hecho de considerar otra fecha focal?]Solucin:

Hagamos un diagrama de tiempo:

en dicho diagrama de tiempo L1y L2 representan el valor nominal de cada una de lasletras respectivamente.Sabemos

L1+L2= 800 000Planteando ahora nuestra ecuacin de valor y tomando como fecha focal la de hoy, nosqueda:

620 000 = L1(1 0,03x5) +L2(1 0,035x10)= L1(1 0,15) + (800 000 - L1)(1 0,35)= 0,85L1 + (800 000 - L1)(0,65)= 0,85L1 + 520 000 - 0,65L1

L1 = 500 000 y L2 = 300 000

24. Si ciertos depsitos suman Bs 7 000 000 al final de 3 aos, cunto debi depositarsemensualmente en una corporacin que reconoca el 2,5% mensual de inters simple?Los depsitos se realizan al final de cada mes.

Solucin:


MESES0 36

CC C C C C C C

MESES

L1+ L2= 620 000

1050

L1 L2


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17

C representa el valor de la cuota mensual que ser necesario depositar al final de cadames durante un perodo de 3 aos para tener al final de los mismos Bs 7 000 000.Consideremos:Ii= el inters del depsito hecho al final del mes i.Entonces:

Ii= Ci 2,5%/100 = 0,025CiLuego, el inters total, obtenido al final de 3 aos es:

C.51,752

1)35(35C0,025i0,025C0,025CiII

35

1i

35

1i

35

1ii =

+====

===

Puesto que:M = C + I,

tenemos:7 000 000 = 36C +51,75CC 135 265,70.

[Comentario El capital es la suma de todos los depsitos hechos, en este caso,tenemos que fueron 36]

25. Se depositan Bs 50 000 cada bimestre en una corporacin que reconoce el 4,5%bimestral de inters simple, cunto se acumular al final de dos aos?[TipsCuando no se especifique, se sobrentender que los depsitos son alvencimiento]

Solucin:


Por lo tanto:M = 50 000[1+0,045(11)] +50 000[1+0,045(10)] +...+50 000[1 +0,045(1)] +50 000

= 50 000[(1 +0,045(11) +(1 +0,045(10)) +... +(1 +0,045(1) +1]= 50 000[12 +0,045(11 +10 +9 +8 +... +3 +2 +1)]

= 50 000

++

2

1)(11110,045x12 = 748 500.

M representa el monto al final de los dos aos.[Pregunta Segn el texto de Matemtica III ( Cd. 734 ), qu tipo de renta es esta?]

26.Calcule el monto que obtendr una persona dentro de 18 meses si efectu hace 3 mesesun deposito de Bs 300 000, deposita hoy Bs 1 000 000 y dentro de 6 meses depositarBs 500 000 ms una cantidad igual al 75% de los intereses devengados hasta esa fecha.El banco abona el 1% mensual de inters simple, pero 6 meses antes del vencimientocorrespondiente al mes 18 aplicar el 2% de inters simple.

Solucin:

Sea M el monto que obtendr la persona al cabo de los 18 meses.

BIMESTRES

50000

10 1141 32 65 87 9 120

50000. . .

M


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18

Recordemos que bajo el rgimen de capitalizacin simple los intereses no gananintereses y que:

M = C + I.Tenemos que:

M = M1 + M2 + M3

donde: M1 = [ 300 000 +300 000( 0,01 )15 +300 000( 0,02 )6 ]M2 = [ 1 000 000 +1 000 000( 0,01 )12 +1 000 000( 0,02 )6 ]M3 = [ 565 250 +565 250( 0,01 )6 +565 250( 0,02 )6 ].

Por lo tanto:M = [ 300 000 +45 000 +36 000 ] +[ 1 000 000 +120 000 +120 000 ]

+[ 565 250 +33 915 +67 830 ] = 2 287 995.[Comentario565 250 = 500 000 +75%( 300 000X9X0,01 +1 000 000X6X0,01 )]

27.Se obtiene un prstamo de Bs 1 000 000 a 9 meses, con intereses al 12% anual. Qucantidad tendremos que pagar para cancelar el prstamo 5 meses despus de efectuado,

suponiendo una tasa de descuento comercial del 6% anual?

Solucin:

Lo que queremos es cancelar el prstamo 4 meses antes de su vencimiento, esto es, elvalor actual, por lo tanto en virtud de la seccin 5 de la pgina 33 del texto deMatemtica III ( 734 ), tenemos que calcular primero el valor final de la deuda, paraluego poder calcular el valor actual A.El valor final C viene dado por:

C = 1 000 000[ 1 +( 0,01 )9 ] = 1 090 000,luego:

A = 1 090 000[ 1 ( 0,005 )4 ] = 1 068 200.

DESCUENTO SIMPLE: RACIONAL Y BANCARIO

Entendemos por DESCUENTO, encontrar el valor presente o actual de algunaoperacin financiera antes de su vencimiento.Existen dos clases de descuento simple: El descuento racional (matemtico, justo o real) y, El descuento bancario (o comercial).

DESCUENTO RACIONAL

Es equivalente al inters sobre el valor actual del prstamo a la TASA DE INTERSdada, durante el plazo que existe desde su adquisicin (la del prstamo) a la fecha desu vencimiento, lo denotaremos por DR.

DESCUENTO BANCARIOEs equivalente al inters cobrado sobre el valor final del prstamo a la TASA DEDESCUENTO dada, durante el plazo que existe desde su adquisicin (la delprstamo) a la fecha de su vencimiento, ser denotado DB.


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19

CUANDO NO SE ESPECIFIQUE QUE TIPO DE DESCUENTO SE ESTAPLICANDO SE ENTENDER QUE ES DESCUENTO RACIONAL.

CUANDO EL DESCUENTO ES EFECTUADO POR UN BANCO, ELDESCUENTO APLICADO ES BANCARIO O COMERCIAL.

[TipsPara mas detalles ver pginas 33 y 34, seccin 5 del texto de Matemticas III(Cdigo 734)]

Descuento Simple Racional

28.Qu tasa de descuento real se aplic a un documento con valor nominal (monto) deBs 1 505 000, si se descont 60 das antes de su vencimiento y se recibieronBs 1 433 333,33?

Solucin:

Para dar respuesta a esta pregunta usaremos la frmula:

M = C(1 +rt).Sustituyendo:

1 505 000 = 1 433 333,33(1 + r60),luego de efectuar operaciones, resulta que r = 0,08333% diario, o lo que es lo mismo,r = 29,9988% anual.[Nota 29,9952% = 0,08332%x360 das]

29.Calcular el descuento por anticipar un capital de Bs 5 000 000 4 meses a un tipo dedescuento racional del 12%.Resp. D = 192 307,69

30.Se ha descontado racionalmente un documento de Bs 1 000 000, valor ste que incluye

los intereses por 3 meses, el descuento asciende a Bs 40 000. Calcular el tipo de intersaplicado.Resp. r = 16,66% anual

31.Se descuenta racionalmente un documento con valor nominal es de Bs 10 012 006 al12% y el descuento asciende a Bs 750 900,45. Calcular el plazo del descuento.

Solucin:

Recordemos como se defini el descuento racional, por lo tanto:

D = Crt t =( )rM

D

rC

D

D= ,

Sustituyendo y operando queda:t =

( ) 12,55,1052619 0900,45750

=67,3321111

900,45750= 0,675675 aos.

Luego:t = 8,1081 meses = 8 meses 3 das.

[Nota 0,675675 aos x12 meses = 8,1081 meses]

32.El descuento racional de anticipar un valor futuro 8 meses, al 10%, asciende aBs 120 000. Calcular el importe del capital.


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20

Resp. C = 1 800 000

33.El da 09/03/2 005 se descont racionalmente una letra de valor nominal deBs 18 000 000, si la tasa que se utiliz fue 30% anual y la fecha de vencimiento de laletra es el 15/06/2 001. Determinar el descuento.

34.El da 07/03/2005 se descont racionalmente una letra de valor nominal Bs 2 000 000, siel descuento correspondiente fue de Bs 580 000 y la tasa utilizada fue del 1,5% mensual,hallar la fecha de vencimiento de la letra.

35.El da 14/08/2 005 se descont un pagar de valor nominal Bs 30 000 000. Si la tasautilizada y el descuento correspondiente fueron 3% mensual y Bs 1 620 000respectivamente, determinar la fecha de vencimiento.

36.El da 14/08/2 005 se descont una letra de valor nominal Bs 30 000 000. Si la tasautilizada y el descuento correspondiente fueron 3% mensual y Bs 1 620 000respectivamente, determinar la fecha de vencimiento.

37.Pedro le debe a Juan Bs 505 250 y ste acepta como pago un documento a 7 meses y 15

das. Si Juan descuenta de inmediato el documento en un banco que aplica una tasa deinters simple anual del 30%, cul es el valor nominal del documento para que Juanreciba del banco Bs 505 250?

Descuento Comercial

38.Se obtiene un prstamo de Bs 1 000 000 a 9 meses, con intereses al 12% anual. Qucantidad tendremos que pagar para cancelar el prstamo 5 meses despus de efectuado,suponiendo una tasa de descuento comercial del 6% anual?

Solucin:

Lo que queremos es cancelar el prstamo 4 meses antes de su vencimiento, por lo tantoen virtud de la seccin 5 de la pgina 33 del texto de Matemtica III ( 734 ), tenemosque calcular primero el valor final de la deuda, para luego poder calcular el valor actualA, con el cual cancelaremos la deuda.El valor final C viene dado por:

C = 1 000 000[ 1 +( 0,01 )9 ] = 1 090 000,luego:

A = 1 090 000[ 1 ( 0,005 )4 ] = 1 068 200.

39.El Banco Ganadero descuenta un pagar por Bs 80 000 000 al 10%, 90 das antes de lafecha de su vencimiento, 15 das despus lo redescuenta (cuando la operacin dedescuento se efecta entre bancos) en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad

del Banco Ganadero.Resp. La utilidad del Banco Ganadero fue de Bs 500 000

40.Los valores nominales de dos pagars suman Bs 2 500 000. El primero de los dos sedescont 120 das antes de su vencimiento a una tasa d = 12% y el segundo fuedescontado 90 das antes de su vencimiento y a una tasa d = 10%. La suma de losefectivos asciende a Bs 2 422 500. Calcular los nominales.Resp. M1= 1 000 000 y M2= 1 500 000


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41.Concertamos con un proveedor la sustitucin de un pago de Bs 500 000 a 120 das portres pagos iguales a 30, 60 y 90 das. Si el tipo de descuento aplicado es el 6% anual,calcular el importe de los pagos.Resp. El importe de cada uno de los pagos es de Bs 168 350,16835

42.Calcular el tanto de descuento anual aplicado a un capital de Bs 1 500 000 que vence

dentro de 4 meses si el descuento comercial asciende a Bs 50 000.43.Calcular el vencimiento de un capital de Bs 150 000 que sustituye a dos capitales de

Bs 55 000 y Bs 95 000 a 60 y 90 das respectivamente. Tasa de descuento empleada enla operacin 5% anual.Resp. 79 das

44.Se descuentan Bs 200 000 6 meses y Bs 900 000 5 meses, a una tasa de descuento del15%. Calcular el capital actual total de las dos operaciones.Resp. El capital total actual de las dos operaciones asciende a Bs 1 020 000

45.Un empresario debe a su banco dos pagars; uno por Bs 2 800 000 con vencimiento el20 de agosto y otro por Bs 4 200 000 con vencimiento el 20 de octubre. El 25 de agosto,vencido el primer pagar, conviene con su banco recoger los dos pagars y remplazarlospor otro, con vencimiento para el 30 de noviembre. Si la tasa de descuento es del 24% ylos intereses de mora del 30%, cul es el valor del nuevo pagar?

Solucin:

Calculemos primero el valor actual de los dos pagars para el 25 de agosto. Pagar vencido el 20 de agosto. Se calcula su monto M, con los intereses de mora

del 30% para 5 das

M = C( 1 + rt) = 2 800 000

+

360

50,31 x

= 2 800 000 (1 + 0,00417) = 2 811 676 Pagar de Bs 4 200 000 con vencimiento para el 20 de octubre. Se calcula su valoractual para el 25 de agosto

A= C(1 + dt) = 4 200 000

+

360

560,241 x = 4 200 000 (1 + 0,03733) = 4 043 214

El valor actual de los pagars para el 25 de agosto es:A = M + A= 6 854 890

Por lo tanto, el valor del nuevo pagar para el 30 de noviembre es:

M =dt1

A

0,064671 8908546

36097

0,2418908546

=

=

846,5033732870,93533

8908546== .


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22

46.Un banco ofrece pagar el 96,823% del precio de un bono de la deuda pblica de valornominal (valor facial) Bs 100 000 000 a 91 das. Si se acepta la oferta, qurendimiento obtendr el banco, con una base de descuento bancario?

Solucin:

Que el banco ofrezca pagar el 96,823% del precio facial del bono quiere decir, que estdispuesto a pagar Bs 96 823 000 del precio del bono con vencimiento a 91 das. Y loque deseamos saber cul ser la tasa de descuento d que el banco gana.Por lo tanto, recordando que:

Dc= Mdt ,obtenemos:

d =tM

AM

tM

D

xx

c = =

36091000000100

00082396000000100

x

= 0,12568 = 12,568%.

47.Un banco cobra 24% de inters adelantado (descuento) sobre prstamos a corto plazo.Un prestatario solicita Bs 1 935 000 a 90 das, calcular la suma que recibe.

[TipsPrestatario:Persona que solicita el prstamo]Solucin:

Lo que queremos es calcular el valor actual de Bs 1 935 000 a 90 das y a una tasa dedescuento bancario (o racional) del 24%, para esto usaremos la frmula:

A = C( 1 dxt ),Sustituyendo obtenemos:

A = 1 935 000( 1 0,24x360

90)= 1 935 000( 1 0,06 ) = 1 935 000( 0,94 )

= 1 818 900.

48.Un banco cobra 24% de descuento en prstamos a corto plazo. Un prestatario necesitaBs 4 300 000 en efectivo para pagarlos con intereses en 9 meses. Cunto debesolicitar?

Solucin:

Lo que nos estn pidiendo calcular es el valor futuro de una deuda de Bs 4 300 000 a 9meses, para esto usaremos que:

C =td1

A

x.

Por lo tanto:

C =

1290,241

0003004

x

=0,181

0003004

=0,82

0003004= 5 243 902,439.

El prestatario debe solicitar en prstamo la cantidad de Bs 5 243 902,439.

49.El 15 de noviembre Juguetes, S.A. vende mercanca a crdito por Bs 8 000 000, conuna tasa de inters simple de 52% anual. El compromiso se formaliza mediante undocumento que vence el 7 de enero del ao siguiente, pero el 20 de noviembre sedescuenta el documento en un banco, recibiendo la empresa Bs 8 400 000. Cul es elvalor nominal del documento? y cul es la tasa de descuento que se aplic?


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50.Una obligacin de Bs 1 397 500 tiene por vencimiento el 10 de agosto. Cul ser suvalor el 6 de abril del mismo ao, si se actualiza a una tasa de descuento del 12%?Resp. 1 458 768,26722

51.Una persona necesita Bs 1 720 000 el 10 de febrero, a liquidar el 30 de junio. Qucantidad debe solicitar al banco si la tasa de descuento que ste aplica es del 11%?

52.Un banco cobra una tasa anticipada del 24% sobre el valor del prstamo en prstamos aun plazo mximo de 4 meses. Determinar el valor del documento que queda en poderdel banco, si el prestatario recibe Bs 3 655 000, por un prstamo a 60 das.

53.Se tienen dos documentos por Bs 500 000 y Bs 600 000 con vencimiento a 6 meses y 5meses respectivamente. Con el fin de expedir un solo documento por Bs 1 100 000 se hapracticado una tasa de descuento de 2,5% mensual, a qu plazo debe expedirse elnuevo documento?

Solucin:

Consideremos la siguiente ecuacin de valores donde t representa el plazo al cual debe

expedirse el nuevo documento.1 100 000( 1 0,025xt ) = 500 000( 1 0,025x6 ) +600 000( 1 0,025xt )= 525 000 +425 000 = 950 000.

Por lo tanto:t = 5,456 meses = 5 meses y 13,68 das.

RELACIN ENTRE LA TASA DE INTERS SIMPLE Y LA TASA DEDESCUENTO BANCARIO

A veces es necesario cambiar una tasa de inters i, con la cual el pago de los

intereses se efecta al final del perodo, por una tasa de descuento d, con la cual elpago de los intereses se efecta al inicio del perodo, o sea, anticipadamente.

Para que exista una equivalencia entre las tasas anteriormente citadas, es necesarioque ambas produzcan el mismo valor presente para un mismo periodo t, es decir, sedebe verificar que:

td1tr1

1=

+,

para r tasa de inters, d tasa de descuento bancario (o simplemente tasa dedescuento) y t tiempo.

Por lo tanto, despejando r de la igualdad anterior obtenemos:

r =td1

d

,

igualdad esta que nos permite obtener la tasa de inters, conocida la tasa dedescuento.


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24

Por un razonamiento anlogo al anterior, obtenemos:

d =tr1

r

+,

igualdad que nos permite obtener la tasa de descuento a partir de la tasa de inters.

54.Calcular el descuento bancario en cada uno de los siguientes casos: Bs 4 300 000 a 20 das y una tasa del 24%. Bs 2 150 000 a 91 das y una tasa del 19,66%. Bs 10 750 000 del 21 de abril al 17 de mayo y una tasa 25%.

55.Un banco carga una tasa de descuento del 13,5% sobre una letra de valor nominalBs 1 290 000 y con vencimiento en 2 meses. Cul es la tasa de inters equivalente?

56.Se obtiene un prstamo de Bs 1 000 000 a 9 meses, con intereses al 12% anual. Qu

cantidad tendremos que pagar para cancelar el prstamo 5 meses despus de efectuado,suponiendo una tasa de descuento comercial del 6% anual?

Solucin:

Lo que queremos es cancelar el prstamo 4 meses antes de su vencimiento, para lo quenecesitamos el valor actual, por lo tanto en virtud de la seccin 5 de la pgina 33 deltexto de Matemtica III ( 734 ), tenemos que calcular primero el valor final de la deuda,para luego poder calcular el valor actual A.El valor final C viene dado por:

C = 1 000 000[ 1 +( 0,01 )9 ] = 1 090 000 ,luego:

A = 1 090 000[ 1 ( 0,005 )4 ] = 1 068 200.

57.El seor Prez tiene en su poder una letra de Bs 1 000 000 que vence dentro de 5 mesesy reconoce intereses del 30% anual, y quiere negociarla con su banco en formacomercial, el banco acepta la letra pero la descuenta al 3% mensual. Cul es el preciode la letra?Resp. El precio de la letra es de Bs 956 250

58.Si la diferencia entre el descuento comercial y racional es de Bs 13,2924 calcular eldescuento racional si la operacin dura 60 das con un tanto de descuento del 10% anual.

Solucin:

En virtud del enunciado tenemos:DB DR= 13,2924.

Pero adems:

DB DR = Mdt Cdt = Mdt td1

tdM

+ = M

+

td1

tdtd ,

por lo tanto, sustituyendo los valores de DB DR, d y t, obtenemos:


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25

13,2924 = M

+

36060

0,11

36060

0,1

360

600,1 = M

+

0,01671

0,01670,0167

= M [ ]0,01640,0167 = M [ ]0,0003 ,

de lo anterior resulta que:M = 44 308.

Calculemos ahora el descuento comercial, para luego por un simple despeje obtener elvalor del descuento racional, que es en definitiva lo que nos piden.

DB= Mdt = 44 308(0,1)(0,0167) = 73,9944,as:

DR= DB 13,2924 = 73,9944 13,2924 = 60,7004.

59.Un banco cobra 27% de inters por adelantado, en prstamos a corto plazo. Calcular lacantidad que recibe un prestatario que solicita Bs 3 225 000 a 180 das.

60.Si un banco cobra 24% de inters por adelantado, en prstamos a corto plazo, calcular latasa de inters simple que pagan los prestatarios que solicitan prstamos en este banco.


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UNIDAD 2

CAPITALIZACIN COMPUESTA

OBJETIVO GENERAL

Aplicar los conceptos y frmulas fundamentales derivadas del rgimen decapitalizacin compuesta en la resolucin de problemas.


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INTRODUCCIN

Capitalizacin Compuesta, es la segunda y ltima de las dos unidades que

conforman el Mdulo I, y es tambin el segundo de los dos regmenes de capitalizacin queestudiaremos, en sta unidad haremos uso, como ya se mencion, de las definiciones eideas dadas con anterioridad, por lo cual deberemos tenerlas claras.

Se resolvern problemas de tasas equivalentes y de equivalencia de capitales, paraestos ltimos se seguirn usando los diagramas de tiempo como herramienta que nospermitir el planteamiento de ecuaciones de valor. Tambin se resolvern y plantearnproblemas de vencimiento comn y vencimiento medio. Es posible que algunos de losproblemas que se resuelvan se dejen a medio camino, para que usted los complete.

A diferencia de los ejercicios de la unidad anterior, se pueden considerar divididos endos grandes grupos; uno en el cual los problemas han sido desarrollados con el mayordetalle posible y otros en los que solamente aparecen las respuestas o simplemente elenunciado del ejercicio; con estos ltimos se pretende que el estudiante adquiera confianzay seguridad en si mismo.

Al igual que antes, algunos ejercicios tienen un asterisco, y al igual que antes tambinesto no es porque sean ms difciles o complejos que los dems, sino porque me pareceninteresantes.


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1. Un capital de Bs X fue colocado en una institucin bancaria que paga a sus cuentas deahorro un inters del i% anual, durante dos aos; luego capital e intereses fuerontransferidos a una cuenta a plazo fijo durante 5 aos con un inters del 12% anual.Si el dinero al trmino de los 7 aos se duplic, utilice las tablas que aparecen al final desu texto para determinar:

a) El inters al cual se coloc el capital inicialmente.b) El monto transferido a la cuenta a plazo fijo, si el capital X es de Bs 10 000.

2. Si se coloca en una cuenta de ahorros un capital de Bs 250 000 a una tasa de inters del6% anual con capitalizacin semestral y al final del primer ao es retirado el 80% de losintereses devengados, cul es el capital acumulado al final del tercer ao?

3. Calcule el monto compuesto de Bs 600 000 en 4 aos 8 meses al 6% con capitalizacinanual.

4. Un acreedor de una sociedad en liquidacin acepta que se le pague al contado el 75%del valor de dos pagars a cargo de la sociedad; un de Bs 100 000 est vencido desdehace un ao y el otro, con valor nominal de Bs 250 000, vence dentro de dos aos; si el

rendimiento convenido es del 30% con capitalizacin trimestral, halle la suma querecibe el acreedor.

5. * En el cuerpo dedicado a economa de un diario de circulacin nacional, fue insertadoel siguiente comentario:

La tasa de inters para las prestacionessociales subi al cierre de junio 4,57 puntospara ubicarse en 51,22%, apunta el boletn deindicadores del BCV.

Suponga que la tasa de inters sealada es la efectiva anual y que el alza registrada escon respecto a la tasa para el mes de mayo. Calcule las tasas nominal y efectiva para el

bimestre mayo - junio.6. Si depositamos en un banco que paga el 18% efectivo anual una cantidad C durante 10

aos, al final de los cuales retiramos la mitad de lo depositado dejando la diferencia por5 aos, despus de los cuales retiramos la mitad de lo que tenemos para esa fecha,dejando el resto por 5 aos ms, tendremos al final 1 238 805,84 bolvares.Qu cantidad depositamos inicialmente?

7. Cul ser el valor actual de un pagar, si su valor nominal es de Bs 250 000, la tasa dedescuento es del 5% trimestral y vence en 5 aos?

8. Una persona contrajo con un banco el 1de julio de 1981 una deuda de Bs 300 000, lacual debera cancelar en 8 aos pagando intereses del 18% anual con capitalizacionestrimestrales. El da 1de julio de 1985 la deuda es transferida a una entidad financiera,con intereses del 7% anual y capitalizaciones trimestrales. Cul es el monto deltraspaso a la entidad financiera?

9. En cunto tiempo un capital igual a Bs 250 000 dar un monto igual a Bs 3 500 000 sila tasa de inters es del 12% convertible trimestral?


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10. * Una persona compra un autobs que cuesta Bs 61 900 881, pagando el 30% de cuotainicial y amortizando el resto en 42 meses a la tasa del 18% anual mediante pagosmensuales iguales.a) Calcular a cunto asciende el monto de cada pago.b) Calcule cunto tiene que pagar de intereses y cul es el valor que pagar en

definitiva por la compra del autobs.[Tips Utilice la tabla VI que aparece en su texto UNA]

11. Una empresa contrae una deuda de Bs 250 000 con un banco que cobra un interscompuesto del 14% anual con capitalizaciones semestrales. Transcurridos 3 semestres laempresa cancela Bs 100 000 y conviene liquidar el saldo restante al trmino de los 2,5aos siguientes. Calcular el monto de este pago final utilizando como fecha decomparacin la correspondiente al pago final.

12. Una fbrica contrae, en un momento dado, deudas de Bs 100 000 para pagar en 6semestres con un inters compuesto capitalizado al 6% semestral y de Bs 250 000 paraser cancelada en 9 semestres con una tasa de inters compuesto del 7% semestral.Posteriormente, la fbrica acuerda cancelar ambas deudas mediante la realizacin dedos pagos iguales a efectuar al finalizar el 4 y 7 semestre respectivamente despus dela fecha del contrato inicial.Usando como fecha de comparacin el final del segundo ao, determinar cul es elmonto de estos pagos, sabiendo que, en la nueva forma de pago, se acepta una tasa deinters compuesto del 8% semestral.

13. Una empresa adquiere una maquinaria para ser cancelada en 6 cuotas anuales yconsecutivas de Bs 20 000, pero luego de haber hecho los 2 primeros pagos decide, enun acuerdo con la compaa otorgadora del crdito, cancelar el resto de la deuda en 2cuotas iguales. La primera al finalizar el tercer ao y la segunda al comenzar el sextoao. Sabiendo que la tasa de inters utilizada en la primera forma de pago es del 10% y

en la segunda del 10,5%, calcular, utilizando como fecha focal la correspondiente alltimo de los pagos realizados, el monto de las cuotas en la nueva forma de pago.[Tips Utilice las tablas que aparecen en su texto UNA]

14. Una persona contrae una deuda y conviene pagarla en 3 cuotas anuales X consecutivase iguales durante los 3 siguientes aos, contados a partir de la fecha del convenio y alfinal de cada uno de ellos.Ocho meses despus de haber contrado la deuda acuerda con la empresa que le otorgel prstamo pagar en 2 cuotas iguales. La primera dos aos despus del convenio inicialy la segunda al final del tercer ao. Sabiendo que una cuota en la nueva forma de pagoequivale a 13/8 de una cuota en la forma de pago inicial, calcular la tasa de inters iutilizada en la nueva forma de pago.

[TipsConsidere 13,6185 = ]

15. Una persona desea cambiar tres documentos con valores nominales de Bs 3 000, 4 000y 8 000 pagaderos en 3, 4 y 5 aos respectivamente, por otro documento con valornominal de Bs 15 000. Sabiendo que la tasa de inters compuesto utilizada es del 14%,determinar la fecha de vencimiento del nuevo documento, usando como fecha decomparacin la correspondiente al quinto ao.[Tips Considere en sus clculos log(0,897253) = 0,047 y log(1,14) = 0,057]


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30

16. Una persona adquiri una deuda que pens pagara en 3 cuotas de Bs 100 000 cada una,dentro de 4 y 6 aos, respectivamente, con un inters variable estimado en 12% para losdos primeros aos. 13% para los siguientes tres aos y 14% para el ltimo ao. Sinembargo, el inters que se utiliz en la transaccin fue el 12% en los tres primeros aosy 15% en los ltimos tres aos. Cul ser el monto de cada uno de los pagos realizados

si la persona cancel la deuda con dos cuotas iguales al final del tercero y sexto aos yno se cargaron intereses de mora?[Tips Se sugiere utilizar como fecha de comparacin el inicio del primer ao o elfinal del ltimo ao]

17. Cul es el tiempo equivalente para el pago de deudas de Bs 15 000 con vencimiento en4/3 de ao y Bs 25 000 con vencimiento en 5/3 de ao, si el inters utilizado es del 18%con capitalizaciones bimestrales?[Tips Para responder utilice la ecuacin de equivalencia]

18. Una firma obtiene dos prstamos con una diferencia de dos aos entre s, el primero porun monto de Bs 500 000 y el segundo por un monto de Bs 1 000 000,comprometindose a pagarlos en cuatro cuotas semestrales y consecutivas a partir delfinal del tercer ao despus del primer prstamo.Sabiendo que la tasa de inters utilizada en la transaccin fue del 24% anual para losdos primeros aos y 30% anual a partir del otorgamiento del segundo prstamo ( ambascapitalizaciones semestrales ), determine el monto de cada una de las cuotas.[Tips Utilice en sus clculos las tablas que aparecen al final de su texto]

19. Una pareja que posee H hectreas de tierras cultivables decidi alquilarlas a unacompaa productora de alimentos concentrados. El objetivo primordial de la pareja, eraobtener un ingreso de inversin a mediano plazo y dinero suficiente para financiar laeducacin de sus dos hijos. Dado que los hijos tenan 15 y 11 aos de edad en elmomento en que ellos estaban negociando el contrato, saban que los nios estaran en

la universidad en un plazo de 3 a 7 aos a partir del momento actual. Por lo tantopropusieron a la compaa que les pagara 400 000 bolvares anuales durante 5 aosempezando de aqu a un ao, ms 200 000 bolvares dentro de tres aos y 300 000bolvares dentro de 7 aos. Si la compaa deseara pagar su alquiler en dos partesiguales dentro de 2 y 4 aos, cul sera el monto de cada pago si la tasa de inters esdel 30% anual?

20. Un capital de Bs 10 000 000 fue colocado durante cinco aos, ha aumentado en 5/6 suvalor. Determinar la tasa de colocacin si los intereses se acumularan mensualmente.

Solucin:

Puesto que el capital ha aumentado en 5/6 su valor, tenemos:

M = C +65 C =

611 C.

Por otra parte:M = C ( 1 +i )n,

para i =i '

12( Por qu? ) y n = 12x5 = 60 meses.

Sustituyendo, queda:


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31

6

11C = C

60

12

'i1

+ ,

de aqu que:

6

11 =

60

12

'i1

+ 1,83333

60

12

'i1

+ ( 1,83333 )1/60

12

'i1+

i 0,12186.Por lo tanto, la tasa de inters a la cual fue colocado el capital de Bs 10 000 000fue i = 12,186% anual.

21. Pedro Prez firma un documento comprometindose a pagar Bs 1 000 000 en 5 aos,ms intereses al 44% nominal anual con capitalizacin trimestral.Transcurridos 2 aos el acreedor vende el documento a una Financiadora. Cunto pagla Financiadora por el documento si la tasa de inters era del 48% anual concapitalizacin mensual?

Solucin:

Calculemos el monto M que tendr que pagar Pedro Prez en 5 aos, para lo cualusaremos la frmula ( )M C 1 i n= + , C = 1 000 000 intereses del 44% anual concapitalizacin trimestral y n = 5x4 = 20 trimestres.Sustituyendo:

( ) 311,5361306281,110000001=M 20 .Ahora bien, queremos el valor actual de este monto dos aos despus de la firma, esdecir, tres aos antes de su vencimiento.

EL valor actual viene dado por: ( ) ni+1M=C , donde 311,536130628=M ;

0,044%

12

48%i === y 36=123=n x ; luego

( ) 543,4520196411,04311,536310628C 36 ,que es la cantidad que la financiadora pag por el documento.

22.Me otorgan un prstamo de Bs 41 250 000 a una tasa nominal de 24% capitalizablemensualmente y a pagar a los 8 meses. Si mi acreedor va a un banco 40 das antes de suvencimiento y descuenta el pagar a una tasa simple de descuento del 27,84%, cuntodinero recibe?

Solucin:

Comencemos por calcular el monto M que debo cancelar para pagar mi deuda de Bs41 250 000 dentro de 8 meses.

M = 41 250 000 ( 1 +0,02 )8= 41 250 000 ( 1,02 )8= 41 250 000 ( 1,17166 ) = 48 330 975.

Calculemos ahora la cantidad de dinero que recibe mi acreedor luego de ir al banco ydescontar ste el pagar.Sea C la cantidad de dinero que recibe mi acreedor, por lo tanto, en virtud de la frmula:

A = C( 1 rt )( ver pgina 33, seccin 5, Descuento Simple, frmula ( 12 ) del texto de MatemticaIII - 734 ), tenemos:


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32

A = 48 330 975

360

400,27841 x = 48 330 975 ( )0,030931 = 46 836 097,9432.

23.Depositamos en un banco que paga el 6% anual con capitalizacin anual una ciertacantidad durante 10 aos. Al finalizar los 10 aos, retiramos la mitad de la cantidaddepositada inicialmente y volvemos a colocar la diferencia por otros 10 aos,obteniendo un monto de Bs 26 480 000. Determine el capital inicial.

Solucin:

Por una parte tenemos:M = C( 1 +0,06 )10 = C( 1,06 )10 [1]

y por otra

2

CM ( 1 +0,06 )10 = 26 480 000 [2]

Sustituyendo [1]en [2]queda:

( )

2

C

1,06C

10

( 1 +0,06 )

10

= 26 480 000( C( 1,7908 ) 0,5C )( 1,7908 ) = 26 480 000

2,3116C = 26 480 000C = 11 455 467,3035.

24.Una persona deposit hoy en un Banco Bs 100 000, al cabo de 4 aos despus depositaBs 50 000, y 5 aos despus deposita Bs 100 000. Determine el monto acumulado alcabo de 20 aos, a partir de hoy, si durante los primeros 7 aos los intereses seacumulan anualmente a la tasa del 20%, durante los prximos 7 aos los intereses secapitalizan bimestralmente al 4% bimestral, y de ah en adelante se capitalizanmensualmente al 3% mensual.

25.Las tasas de inters para las prestaciones sociales para el primer semestre del ao 1 999dadas por el BCV segn un artculo de un diario capitalino, publicado en el mes deagosto son:

Enero: 24,14% Febrero: 20,76% Marzo: 18,12%Abril: 18% Mayo: 18,72% Junio: 20,55%

Suponga que las tasas dadas son las efectivas anuales y que se espera un rendimientodel 12% efectivo anual para el segundo semestre del ao.Calcule la tasa efectiva eesperada para el ao.

Solucin:

Tenemos que:( e+1)12= (e1 + 1)(e2 + 1)(e3 + 1)(e4 + 1)(e5 + 1)(e6 + 1)(e7 + 1)6

donde:(e1 +1) = 1,2414 ; (e2 + 1) = 1,2076 ; (e3 + 1) = 1,1812 , ... , (e7 + 1) = 1,12.

Por lo tanto:( e+1)12= (1,2414 )(1,2076 )(1,1812 )(1,18 )(1,1872 )(1,2055 )(1,12 )6

( e+1)12= 5,9026 e+1 1,15945As, la tasa efectiva eesperada para el ao 1.999 es:


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33

e0,15945 = 15,945%.

26.Una persona coloca a inters compuesto Bs 1 000 000 al 0,5% mensual durante losprimeros 3 aos y al 1% mensual los siguientes 2 aos. En los primeros 59 meses retira4/5 de los intereses. Se quiere saber cuanto tendr al vencimiento.

Solucin:Representemos la situacin mediante un diagrama de tiempo.

El monto al final del mes 59 viene dado por:M = 1 000 000( 1 +0,005 )36( 1 +0,01 )23

= 1 000 000( 1,19668 )( 1,25716 )= 1 504 418,2288.

Calculemos los intereses ganados al cabo de 59 meses:I = M C

= 1 504 418,2288 1 000 000= 504 418,2288.

Puesto que al final de los primeros 59 meses son retirados 4/5 de los intereses, esto es lomismo que decir, que quedan Bs 100 883,64579 ( 504 418,2288 / 5 ).Por lo tanto, para calcular cuanto habr al vencimiento, usaremos como capital lacantidad de Bs 1 100 883,64578.Luego:

M = 1 100 883,64578( 1 +0,01 ) = 1 111 892,482238.

27.Un inversionista efecta un depsito a plazo fijo de un ao. Transcurrido el plazo, retira

el monto de Bs 1 350 000 y vuelve a colocar todo el dinero durante dos aos a una tasa10% mayor que la primera vez. Sabiendo que el monto final es de Bs 2 322 000. Cules el valor del depsito inicial y cules fueron las tasas aplicadas?[Tips Utilice dos cifras decimales en sus clculos]

Solucin:

Sea C el valor del depsito inicial, tenemos que al r1% anual durante un ao, el montoretirado es de Bs 1 350 000, luego

1 350 000 = C( 1 +r1). [ * ]Ahora, durante otros dos aos el inversionista coloca Bs 1 350 000 a la tasa de intersr2= r1+0,1r1= 1,1r1, obteniendo el monto final de Bs 2 322 000, luego

2 322 000 = 1350 000( 1 +2( 1,1r1) ) = 1 350 000( 1 +2,2r1),as

1r2,2=10003501

0003222 r132,73% y r236%.

Sustituyendo r1 = 32,73% en [ * ], obtenemos que el valor del depsito inicial esC = Bs 1 017 102,39.[Sugerencia Piense en otra forma de resolverlo]

0 1 2 3 4 5

1 000 000 1 000 000 ( 1 + 0,005 )36 1 000 000 ( 1 + 0,005 )36(1 + 0,01 )23

AOS


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34

28.El 3 de septiembre de 1984, el seor Octavio Batta adquiere unos artculos en ciertoestablecimiento comercial, firmando un pagar con valor inicial de Bs 180 000 quevence en 18 meses y devenga un inters del 24% capitalizable semestralmente. El 3 dediciembre de 1984 el establecimiento vende el pagar del seor Batta a una empresafinanciera que lo descuenta al 32% convertible trimestralmente. En cunto se vendi el

pagar?Por lo tanto, la tasa de inters a la cual fu colocado el capital de Bs 10 000 000fu i = 12,186% anual.

29.Qu cantidad de dinero se habr acumulado al cabo de 5 aos si se inviertenBs 8 000 000 al 2,06% mensual con intereses capitalizables bimestralmente?[TipsUse todos los decimales dados por su calculadora]Solucin:

Lo que se pide es calcular el monto, pero antes de hacer eso, debemos transformar latasa dada mensualmente en una tasa bimestral, que es la forma en la que capitalizan losintereses.

Para calcular la tasa bimestral usaremos la frmula:e = ( 1 +i )p 1,con i la tasa dada y p = 2 por ser la capitalizacin bimestral.Sustituyendo, nos queda:

e = ( 1 +0,0206 )2 1 = ( 1,0206 ) 2 1 = 0,04162436 = 4,162436% bimestral.Calculemos ahora el monto.

M = 8 000 000( 1 + 0,04162436 )30= 8 000 000( 1.04162436 )30= 27 190 915,2825.

[Comentario Para calcular la tasa bimestral se pudo haber razonado as:El monto producido por los Bs 8 000 000 a una tasa i ( a determinar ) durante unbimestre, debe ser igual al monto producido por esos mismos Bs 8 000 000 a la tasa

dada del 2,06% mensual durante 2 meses, esto es:8 000 000( 1 +i ) = 8 000 000( 1 +0,0206 )2,

de esta igualdad resulta que i = 4,162436% bimestral]

30.Un capital de Bs 10 000 000 se coloca durante cierto nmero de aos a capitalizacincompuesta a una tasa de inters del 12% anual, obtenindose un monto de Bs17 623 000.Calcule el nmero de aos que dur esta operacin.

Solucin:

Puesto que M = C( 1 +i )n, despejando n tenemos:

n =( )i1Ln

CM

Ln

+

Sustituyendo

n =( )0,121Ln

0000001000062317

Ln

+

=( )

( )1,12Ln1,7623Ln

=( )( )0,11330,5666

5,0009 5.


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35

Por lo tanto el nmero de aos que dur la operacin fue de 5 aos.

31.Una seora deposit 2 500 dlares en un Banco que otorga un 6% de interscapitalizable trimestralmente, con la intencin de mantenerlo en depsito 6 aos ydespus retirarlo para realizar con l un viaje. Sin embargo, al cabo de 2 aos necesitretirar 500 dlares. Cul es el monto de su cuenta al finalizar el periodo programado de

6 aos?Solucin:

Dividamos el problema en dos partes (por qu?), en la primera de ellas calcularemosun monto M1del cual retiraremos 500 dlares. La cantidad que queda ser usada en lasegunda parte como el nuevo capital a invertir por el resto del perodo, y con el cualobtendremos el monto al finalizar el perodo programado de 6 aos.Por lo tanto:

M1= 2 5008

4

0,061

+ = 2 500( 1,12649 ) = 2 816,225.

M = 2 316,22516

40,061

+ = 2 316,225( 1,26899 ) = 2 939,26636

32.Se desea invertir cierta cantidad de dinero a plazo fijo ganando 10% de interscompuesto anualmente por un periodo de cuatro aos. Al trmino de este tiempo losintereses provenientes de la inversin se usarn para pagar una deuda de Bs x xxx xxxque deber saldar. Cunto deber invertir, de modo que tenga lo suficiente, para pagarla deuda?[Tipsx xxx xxx representa su nmero de cdula, desde 6 dgitos en adelante]

Solucin:

Sea C la cantidad de dinero que se desea invertir a plazo fijo y que queremos calcular.Tenemos que:

C( 1 +i )n = M = C +I.Por lo tanto sustituyendo obtenemos que:

C( 1 +0,1 )4 = C + x xxx xxxC( 1,1 )4 = C + x xxx xxx

C( 1,1 )4 C = x xxx xxxC[( 1,1 )4 1 ] = x xxx xxxC( 1,4641 1 ) = x xxx xxx

C( 0,4641 ) = x xxx xxx

C =

0,4641

x xxx xxx = ?

33.Una deuda por un monto de Bs 2 500 000 es sometida a descuento compuesto, durantecierto tiempo, al 7,5% de descuento trimestral, produciendo un descuento de Bs 250 000.Calcular durante cunto tiempo fue descontado.[Tips Considere en sus clculos log(0,925) - 0,033858]

Solucin:

Sabemos que: M = 2 500 000, d = 0,075 trimestral y Dc= 250 000.


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Entonces, puesto que C = M - Dc= 2 250 000 y como C = M( 1 d )n, resulta:

2 250 000 = 2 500 000( 1 0,075 ) n

0005002

0002502= (0,925)n 0,9 = (0,925)n.

De donde:

Log( 0,9 ) = nlog(0,925),con lo cual resulta que:

n =(0,925)log

(0,9)log1,35 trimestral.

34.Dos personas colocan un capital en un negocio, la primera persona coloc Bs 1 000 000 yla otra Bs 2 000 000, conviniendo en las siguientes condiciones. Al capital se le reconocerel 14% semestral con capitalizacin semestral, el exceso de las utilidades se repartir en lassiguientes proporciones, 30% a la primera persona y el resto a la segunda. El beneficiototal fue de Bs 10 000 000, despus de 5 aos. Cul fue la tasa de cada capital?

35.Si se coloca en una cuenta de ahorros un capital de Bs 2 000 000 a la tasa de inters del12% anual con capitalizacin bimestral y al final del primer ao es retirado el 80% delos intereses devengados, cul es el capital acumulado al final del tercer ao?

Solucin:

Determinemos primero el monto M1 al cual se le va a restar el 80% de los interesesdevengados, luego el 20% que resta de los intereses se lo sumamos al capital inicial, yas obtenemos un nuevo capital C1 , el cual nos servir para calcular el monto el restodel periodo, esto es, los dos aos que faltan.Por lo tanto:

M1= 2 000 000(1 + 0,02)6= 2 252 324,83852.

Luego:I = M1C = 2 252 324,83852 2 000 000 = 252 324,83852.

Calculemos el 80% de I, esto es:Ix80% = 252 324,83852x0,8 = 210 859,870816.

El nuevo capital que nos va a servir para calcular el monto es:C1= 2 000 000 + 50 464,967704 = 2 050 464,967704,

donde:50 464,967704 = 252 324,83852 201 859,870816.

As:M = 2 050,967704(1 + 0,02)12 = 2 600 485,37032.

[Comentario El inters I se pudo haber calculado usando que: I = C[(1 + i)n1]].

36.Una persona dispone de un capital de Bs 12 000 000 y quiere dividirlo en dos partesdiferentes CA y CBde manera que al colocarlos en dos entidades bancarias A y B lascuales ofrecen las siguientes tasas de inters compuesto anual 6,5% y 8%respectivamente le produzcan al cabo de 9 aos y 11 aos respectivamente los mismosmontos.Calcular cada uno de estos capitales CA y CB y calcular cul es el monto M queproducirn cada uno de ellos.[TipsUtilice slo 5 decimales de los valores que proporciona su calculadora]


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Solucin:

Tenemos que:CA + CB = 12 000 000 CB = 12 000 000 CA,

tambin tenemos:rA = 6,5%yrB = 8%

tA = 9 aos ytB = 11 aos.Calculemos los montos asociados a cada uno de estos capitales:

MA = CA( 1 +0,065 )9

MB = CB( 1 +0,08 )11 = ( 12 000 000 CA)( 1 +0,08 )

11MB = 12 000 000( 1 +0,08 )

11 CA( 1 +0,08 )11.

En virtud del enunciado tenemos que:CA( 1 +0,065 )

9 = 12 000 000( 1 +0,08 )11 CA( 1 +0,08 )11

CA( 1 +0,065 )9 +CA( 1 +0,08 )

11 = 12 000 000( 1 +0,08 )11CA( 1,065 )

9 + CA( 1,08 )11 = 12 000 000( 1,08 )11

1,76257CA + 2,33164CA = 27 979 680

4,09421CA = 27 979 680CA =

4,09421

68097927 6 833 963,08445.

CB 5 166 036,91555.Y el monto que producirn cada uno de estos capitales es:

MA = 6 833 963,08445( 1,065 )9 12 045 338,31376

MB = 5 166 036,91555( 1,08 )11 12 045 338,31377

37.Una persona coloca dos capitales en dos bancos. La suma de ambos capitales es de Bs

10 000 000. En el 1ebanco se coloc al 6% anual con capitalizacin semestral, y en el2 banco al 10% anual con capitalizacin anual. Al cabo de 15 aos el monto de la

segunda colocacin es de Bs 1 500 000 mayor que el primero.Hallar los dos capitales.

Solucin:

Tenemos:CA+CB= 10 000 000CB= 10 000 000 CA [ 1 ]

rA= 6% anual capitalizable semestralmenterB= 10% anual capitalizable anualmenten = 15 aos o 30 semestres

MB= MA 1 500 000 [ 2 ]Sabemos:

MB= CB( 1 +0,1 )15

[ 3 ]MA= CA( 1 +0,03 )30 [ 4 ]

Sustituyendo [ 1 ] y [ 2 ] en [ 3 ], obtenemos:MA + 1 500 000 = (10 000 000 CA)( 1 +0,1 )

15 [ 5 ]sustituyendo ahora [ 4 ] en [ 5 ] queda:

CA( 1 +0,03 )30+1 500 000 = (10 000 000 CA)( 1 +0,1 )

15CA( 1,03 )

30+1 500 000 = (10 000 000 CA)( 1,1 )15

CA( 1,03 )30+1 500 000 = 10 000 000( 1,1 )15 CA( 1,1 )

15


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38

CA( 1,03 )30+CA( 1,1 )

15 = 10 000 000( 1,1 )15 1 500 000( 2,427 )CA+( 4,177 )CA = 41 772 481,69 1 500 000

( 6,604 )CA = 40 272 481,69

CA =6,604

481,6927240 6 098 195,289.

38.Se depositan Bs 10 000 000 en una cuenta que paga el 23% capitalizable cada 91 das.La tasa se mantiene constante durante 2 aos. Al cabo de ese tiempo, la tasa cambia al20% capitalizable cada mes. Obtenga el monto despus de 2 aos ms. Utilice aocomercial.

Solucin:

Queremos calcular el monto M producido por una capital inicial de Bs 10 000 000.Como se puede notar del enunciado, este problema consta de dos partes, en la primerade ellas tenemos que la capitalizacin es cada 91 das por un lapso de dos aos, y en lasegunda, tenemos que la capitalizacin es mensualmente.Es de hacer notar que el capital que se usar para la segunda parte del problema es elmonto obtenido en la primera.1.Primera parte:

C1= 10 000 000i1= 23% cap. cada 91 das 5,8058% cada 91 dast1= 2 aos 7,9120 perodos de 91 dasM = ?Por lo tanto:M = 10 000 000( 1 +0,0581 )7 ,912= 10 000 000( 1,5633 ) = 15 633 000.

2.Segunda Parte:C2= M

I2= 20% cap. mensualmente 1,6666% mensualt2= 2 aos = 24 mesesM = ?Por lo tanto:M = 15 633 000( 1 +0,0166 )2415 633 000( 1,4846 ) = 23 208 751,8.

39.Un capital de Bs 10 000 000 fue colocada al iniciar el ao, determinar cunto se tieneacumulado a fin de ao si la tasa de inters empleada en la operacin fue del 36%nominal capitalizable trimestralmente.

Solucin:

Empleando la hoja de clculo electrnica Excel.

Pasos a seguir: Hacer clic en el men insertar Una vez dentro del men insertar, hacer clic en funcin Dentro del men insertar funcin, seleccionar la categora Financieras Seleccionar funcin VF y hacer clic en aceptar En el cuadro de dilogo que aparece, denominado Argumentos de la

funcin, insertar donde dice: Tasa: 0,09; Nper: 4 (el ao tiene cuatrotrimestres); Va: -10 000 000 (el signo menos indica que lo que se est


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39

efectuando es un egreso, una inversin); Tipo: en este caso el programa tomapor defecto 0 (dicho valor es omitido) para indicar que el pago es al final delperodo

Hacer clic en Aceptar para terminarLa frmula en Excel queda de la siguiente forma:

=VF(0,09;4;;10000000).[Sugerencia Resolver el ejercicio usando frmulas]

40.Si por una inversin nos pagan el 1% mensual efectivo, cul ser la tasa efectivatrimestral que debern pagarnos si cambia de este modo el rgimen de capitalizacin deintereses?

Solucin:

Para dar respuesta a esta pregunta emplearemos la frmula:

e = 1p

i1

p

+ .

Primero calcularemos la tasa efectiva anual, sta la usaremos como tasa intermedia.e = ( 1 +0,01 )12 1 = 1,126825 1 = 0,126825= 12,6825% efectivo anual.

Luego por aplicacin nuevamente de la frmula antes mencionada, calcularemoshaciendo uso de esa tasa intermedia la tasa efectiva trimestral.

0,126825 = 14

i1

4

+ i = ( )

+ 10,12682514 4

1

i = ( )[ ]11,0303014 i = [ ]0,0303014 = 0,121204 i = 0,121204 = 12,1204%

i = 12,1204% convertible trimestral.Por lo tanto, la tasa efectiva trimestral es:

i =4

12,1204% = 3,0301.

[Vale la pena mencionar que no es la nica forma de calcular la tasa]

41.Tres capitales de Bs 1 000 000, cada uno se coloca al 6% anual con capitalizacin anual,el primero durante n aos, el segundo durante ( n +1 ) aos y el tercero durante ( n +2 ).Entre los tres capitales se obtuvo un inters de Bs 4 008 735. Calcular el tiempo queestuvo colocado el primer capital.

DESCUENTO COMPUESTO

Previamente en la pgina 17 de la Unidad 1 se defini el descuento como: encontrarel valor presente o actual (A) de alguna operacin financiera antes de suvencimiento, esta definicin sigue siendo vlida para el caso de inters compuesto,en este caso lo denotaremos DC.Para calcular el valor actual A usaremos la frmula:


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40

A = M[ (1 + i ) n] = M( )

+ni1

1,

y para calcular el DESCUENTO COMPUESTO:

DC = M[ 1 (1 + i )

n

] = M

+

n

i1

1

1 .

DESCUENTO BANCARIO COMPUESTOEs cobrado sobre el valor final del prstamo a la TASA DE DESCUENTO dada d.

ESTA FORMA DE DESCUENTO ES POCO FRECUENTE Y NO TIENEAPLICACIONES PRCTICAS

Para calcular el valor actual A con tasa de descuento d, usaremos la frmula:A = M(1 d) n .

Para calcular el DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO, empleamos la frmula:

DB = M[1 (1 d)

n

) ].RELACIN ENTRE LA TASA DE INTERS COMPUESTO Y LA TASA DEDESCUENTO COMPUESTOFrmula que permite pasar de una tasa de inters compuesto a una tasa de descuentocompuesto y viceversa:

d =i1

i

+.

42.Hallar la tasa mensual ordinaria (tasa vencida) equivalente al 3% mensual anticipado.

Solucin:

Despejando i de la frmula que la relaciona con d, obtenemos

i =d1

d

,

sustituyendo d por su valor expresado en forma decimal

i =0,031

0,03

=

0,97

0,03= 0,03092783505 3,09%.

Por lo tanto, la tasa de inters efectiva mensual equivalente al 3% efectivo mensualanticipado es 3,09%.

43.Dado el 3,09% efectivo mensual anticipado, hallar la tasa de inters efectiva mensualequivalente.

Solucin:

Sustituyendo i = 0,039 en la frmula

d =i1

i

+,

queda


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41

d =0,03091

0,0309

+=

1,0309

0,0309= 0,02997380929 2,997% 3%.

Por lo tanto, la tasa de inters efectiva mensual equivalente al 3,09% efectivo mensualanticipado es 3% aproximadamente.Decimos aproximadamente, debido al error cometido al aproximar la parte decimal;

puesto que si hubiramos utilizado todos los decimales habramos obtenido el valorexacto de i, en este caso de 3%.

44.Una deuda de Bs 3 225 000 es descontada a una tasa de descuento desconocida, peroequivalente a una tasa de inters compuesto del 4,1667% anual. Cul ser el valoractual 3 aos antes de su vencimiento?

Solucin:

Como la tasa de descuento d es desconocida, pero equivalente a una tasa de interscompuesto, podemos usar esta ltima para calcularla, por lo tanto:

d =

0,0416671

0,041667

+=

1,041667

0,041667= 0,04 = 4% anual anticipada.

Por lo tanto, el valor actual es:A = 3 225 000( 1 0,04 )3= 3 225 000( 0,96 )3= 3 225 000( 0,884736 ) = 2 853 273,6.

[Se pudo resolver, usando directamente la tasa de inters dada, intntelo!]

45.Cul es el descuento compuesto a una tasa de inters nominal anual capitalizabletrimestralmente del 8% , sobre un monto de Bs 10 750 000 con vencimiento en 5 aos?

TASAS EQUIVALENTES

Recuerde que dos tasas de inters son equivalentes si producen el mismo resultado

cuando operan bajo diferentes perodos de capitalizacin pero durante el mismoplazo.

LAS TASAS DADAS EN LA SECCIN ANTERIOR TAMBIN SON TASASEQUIVALENTES

46.Si por una inversin nos pagan el 24% convertible bimestralmente, cul ser la tasaefectiva quincenal que debern pagarnos si cambia de este modo el rgimen decapitalizacin de intereses?

Solucin:

Para dar respuesta a esta pregunta emplearemos la frmula:

e = 1p

i1

p

+ ,

vlida para tasas nominales.Primero calcularemos la tasa efectiva anual, sta la usaremos como tasa intermedia.

e = ( 1 +0,04 )6 1 = 1,265319 1 = 0,265319


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42

= 26,5319% efectivo anual.Luego por aplicacin nuevamente de la frmula antes mencionada, calcularemoshaciendo uso de esa tasa intermedia la tasa efectiva quincenal.

0,265319 = 124

i1

24

+ i = 2 ( )

+ 10,26531914 24

1

i = ( )[ ]11,00985324 i = [ ]0,00985324 = 0,236472 i = 0,236472 = 23,6472% i = 23,6472% conv. quincenalmente.

Por lo tanto, la tasa efectiva quincenal es:

i =24

23,6472% = 0,9853%.

[Comentario Vale la pena mencionar que usando la potencia 1/4 en la ecuacine = ( 1 +0,04 )1/4 1 se obtiene el resultado directamente]

47.Dado el 10% semestre anticipado, hallar la tasa equivalente nominal convertibletrimestralmente.

Solucin:

Antes de comenzar a realizar clculos a la ligera, notemos que las frmulas empleadasen la resolucin de algunos de los ejercicios de la seccin anterior, nos permiten obtenertasas con el mismo perodo de conversin, por lo cual antes de proceder a hallar la tasanominal convertible trimestralmente, debemos pasar por tasas intermedias.

Primer paso: ( De anticipada a vencida )Clculo de la tasa efectiva semental:

iS= d1

d

= 1,01

0,1

= 0,9

0,1

= 0,1111 = 11,11% efectiva semestral. Segundo paso: ( De efectiva semestral a efectiva trimestral )

Clculo de la tasa efectiva trimestral:0,1111 = ( 1 +iT)

2 1 iT= 0,054087 = 5,4087% efectivo trimestral. Tercer y ltimo paso: ( De efectiva trimestral a nominal conv. trimestralmente )

Clculo de la tasa nominal convertible trimestralmente:Para esto, solo multiplicamos la tasa efectiva trimestral por 4.

i = 4( 5,4087% ) = 21,6348% nominal convertible trimestralmente.

La anterior es una de las dos formas en las cuales se puede resolver este ejercicio,consideremos ahora la segunda forma, en la cual el segundo y tercer pasos son

combinados en uno solo que da directamente la tasa nominal convertibletrimestralmente.

El primer paso NO se puede omitir en ninguna de las dos formas. Segundo paso: ( De efectiva semestral a nominal convertible trimestralmente )

0,1111 = 14

i1

2

+ i = 21,6348% nom. conv. trimestralmente.


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43

48.Dado el 38% nominal convertible trimestralmente, hallar la tasa equivalente nominalmensual anticipada.

49.Cul ser la tasa efectiva cuatrimestral equivalente a una tasa nominal convertiblemensualmente de 12%?[Tips Tenga en mente la definicin de tasas equivalentes]

Solucin:

Este problema es anlogo al anterior, por lo cual esta vez lo resolveremos de la formaabreviada, es decir, la tasa efectiva trimestral buscada es:

e = ( 1 +0,01 )4 1 = ( 1,01 )4 1 = 0,040604 = 4,0604%.

50.Calcule la tasa efectiva mensual equivalente al 24% anual. Resp. 1,808758%

51.Calcule la tasa efectiva mensual equivalente al 31% nominal mensual. Resp. 2,583%

52.Calcule la tasa efectiva mensual equivalente al 10,2 trimestral. Resp. 3,2905%

53.Calcule la tasa nominal mensual equivalente al 3% mensual.

54.Calcule la tasa nominal mensual equivalente al 36% nominal semestral.55.Calcule la tasa de inters efectiva que se recibe de un depsito bancario si la tasa

nominal es de 18% capitalizable anualmente.

56.Calcule la tasa de inters efectiva que se recibe de un depsito bancario si la tasanominal es de 18% capitalizable bimestralmente.

57.Calcule la tasa de inters efectiva que se recibe de un depsito bancario si la tasanominal es de 18% capitalizable quincenalmente.

58.Calcule la tasa nominal que produce un rendimiento de 30% anual efectivo, si el intersse capitaliza cuatrimestralmente.

59.Calcule la tasa nominal que produce un rendimiento de 30% anual efectivo, si el intersse capitaliza trimestralmente.

60.Calcule la tasa nominal que produce un rendimiento de 30% anual efectivo, si el intersse capitaliza mensualmente.

61.Calcule la tasa nominal capitalizable trimestralmente que resulte equivalente a una tasade 29% capitalizable semestralmente.

62.Calcule la tasa semestral equivalente a una tasa de inters del 1,5% capitalizablemensualmente.

63.Determine la tasa semestral equivalente a una tasa nominal capitalizable mensualmente

del 50%. Resp. 27,7534396% semestralSolucin:

Empleando la hoja de clculo electrnica Excel.Teclee TEXTUALMENTE lo siguiente:=TASA.NOMINAL(INT.EFECTIVO(0,5;12);2)/2

64.Determinar la tasa promedio efectiva de las tasa efectivas 1005 y 200%.Resp. 144,9489743%


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44

ECUACIONES DE VALOR

Los ejercicios que siguen son para ser resueltos mediante el uso de ECUACIONESDE VALOR, entendindose por estas: una igualdad en la que de un lado figura una

deuda o conjunto de deudas y del otro un pago o conjunto de pagos; o tambin de unlado una forma de pago y en el otro, otra. El estudiante debe tener presente quedicha igualdad solo es vlida ( tiene sentido ) en la FECHA FOCAL, recuerde que elvalor del dinero cambia con el tiempo; no valen lo mismo en trminos de poderadquisitivo, Bs 1 000 000 hoy que dentro de un ao.

[Sugerencia Es recomendable, ms no obligatorio que antes de plantear la ecuacin devalores elabore un diagrama de tiempo]

65.Una empresa textilera contrae una deuda de Bs 5 000 000 con vencimiento al trmino de6 aos, conjuntamente con el inters compuesto del 14% anual. Tres aos despus de

contrada la deuda la textilera decide cambiar la forma de pago, proponiendo pagar Bs2500000 de inmediato y el resto mediante un nico pago a realizar 2 aos despus.Calcular el valor de ese pago nico, si la textilera acepta un cambio en una tasa deinters al 16% anual

66.El da de hoy se cumplen 5 meses de que un comerciante consigui un crdito de Bs12 000 000 firmando un documento a 7 meses de plazo. Hace 3 meses le concedieronotro crdito y firm nuevamente un documento con valor nominal de Bs 21 600 000,valor este que incluye los intereses de los 6 meses de plazo. Hoy abona Bs 24 000 000 asus deudas y acuerda con su acreedor cancelar el resto con un pago nico en 4 meses,contados a partir de ahora. Por qu cantidad es este pago si la tasa de inters aplicadaen la operacin es del 36% anual convertible mensualmente?

Se recomienda elaborar un diagrama de tiempo.Solucin:

Sea x la cantidad que cancela ese pago nico, y tomemos como fecha focal lacorrespondiente al da de hoy, por lo tanto

12 000 0005

12

0,361

+ + 21 000 000

3

12

0,361

+ = 24 000 000 +

4

12

0,361

+

12 000 000 ( )51,03 +21 000 000 ( ) 31,03 = 24 000 000 +x ( ) 41,03 12 000 000( 1,1593 ) +21 000 000( 0,9151 ) = 24 000 000 +x( 0,8885 )

13 911 600 +19 217 100 = 24 000 000 +x( 0,8885 )

9 128 700 = x( 0,8885 ) x =0,8885

7001289 = 10 274 282,4986.

67.Se tienen tres giros: el primero venci hace ao y medio, el segundo de Bs 100 000vence en ao y medio y el tercero de Bs 50 000 vence en 40 meses.Se acuerda reemplazar estos tres giros por otros dos de Bs 150 000 cada uno, el primerode ellos con vencimiento en dos aos y el segundo con vencimiento en 30 meses. Si la


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tasa de inters utilizada es del 36% anual con capitalizacin trimestral, determinar elimporte del giro vencido hace ao y medio.[SugerenciaTome como fecha focal la correspondiente al da de hoy]

Solucin:

La situacin es la siguiente:

Podemos escribir la ecuacin de equivalencia con 0,099%4

36%i === y fecha focal la

correspondiente al da de hoy, de la manera siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 442441,541,5 x1230xx12

40xx 1,090001501,090001501,09000501,090001001,09x +=++

de donde resolviendo obtenemos que:37664,85x .

68.Una persona realiz las siguientes compras: Hace 5 meses: Bs 4 500 000 a una tasa efectiva de 26,82418% para pagar hoy. Hace 3 meses: Bs 1 500 000 a una tasa nominal capitalizable mensualmente de 24%

para pagar hoy. Hace 1 mes: Bs 1 125 000 a una tasa anual simple de 30% para pagar hoy.El vendedor acepta convertir estas deudas en dos nuevos pagars a 6 y 8 meses a partirdel da de hoy bajo condiciones de inters nominal capitalizable trimestralmente de 36%.Qu importe debe pagar en el ltimo pagar, si el primero, a pagar en 6 meses, debe

ser por la mitad que el segundo pagar?Solucin:

Comencemos por calcular primero el monto correspondiente a cada una de las deudas,para esto debemos hallar la tasa efectiva aplicada a cada una de las mismas ( Por qudebemos hallar la tasa efectiva aplicada a cada una de las deudas? ).Para hallar la tasa efectiva asociada con la primera deuda, usaremos la frmula:

e = 1 1+

i

p

p

,

con e = 26,82418% y p = 12.

Asi pues:0, 2682418 = 1

12

i1

12

+ i = 0,24000 = 24% ,

por lo tanto, la tasa nominal capitalizable mensualmente es 24%, y la tasa efectivamensual es del 2%.Para la segunda deuda, la tasa efectiva mensual es del 2% y para la tercera deuda es del2,5% mensual, ntese que en este caso el inters es simple.Luego el monto correspondiente a cada una de las tres deudas viene dado por:

x

150 000

100 000

150 000

50 000

1,5 0 2 40/12AOS

1,5 30/12


46/78

46

M1= 4 500 000( 1 +0,02 )5 = 4 500 000( 1,02 )5 = 4 968 360.

M2= 1 500 000( 1 +0,02 )3 = 4 500 000( 1,02 )3 = 1 591 815.

M3= 1 125 000( 1 +0,025 ) = 1 125 000( 1,025 ) = 1 153 125.Elaboremos ahora el diagrama de tiempo de la situacin antes descrita.

En este diagrama x representa el importe que debe pagar l

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Problemario Matematica Financiera 734

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