Matematica Lecturas

UNEFA – Lic. Administración de Desastres Selección de Lecturas Matemática

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALPOLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA

VICERRECTORADO ACADÉMICO

LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN DE DESASTRES

MATEMÁTICA

Código: _____________

SELECCIÓN DE LECTURAS

Marzo, 2008

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SISTEMA DE APRENDIZAJE AUTOGESTIONADO ASISTIDO

EL PRESENTE MATERIAL SE ENCUENTRA EN PROCESO DE EVALUACIÓN FORMATIVA, AGRADECEMOS COMENTARIOS U OBSERVACIONES QUE PERMITAN LA OPTIMIZACIÓN DEL MISMO

Todos los derechos reservados.Sólo se admitirá la reproducción total o parcial de este material didáctico con fines exclusivamente

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2008 – Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana (UNEFA)Av. La Estancia con Av. Caracas y Calle Holanda, frente al Edificio Banaven (Cubo Negro), Chuao.

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MATERIALES DE LECTURA Pág.

UNIDAD Nº 1: EXPRESIONES ALGEBRAICASLectura Nº 1: Cambio de paradigmaLectura Nº 2: ¿Qué es el número?Lectura Nº 3: Los números cuadradosLectura Nº 4: Los PolinomiosLectura Nº 5: Productos NotablesLectura Nº 6: La factorización como herramienta de simplificaciónLectura Nº 7: ¿Cómo completar cuadrados?Lectura Nº 8: Métodos de factorización

UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOSLectura Nº 9: Conceptos Básicos.Lectura Nº 10: Tipos de Conjuntos.Lectura Nº 11: Más sobre Conjuntos Especiales.Lectura Nº 12: Representación Gráfica de Conjuntos.Lectura Nº 13: Relación entre Conjuntos.Lectura Nº 14: Otras Relaciones entre Conjuntos.Lectura Nº 15 Operaciones entre Conjuntos.Lectura Nº 16: Aplicaciones de la Operaciones entre Conjuntos.Lectura Nº 17: Número de Elementos de un Conjunto.Lectura Nº 18: El Mundo de las ProporcionesLectura Nº 19: Proporciones y Porcentajes

UNIDAD Nº 3: VALOR ABSOLUTO E INECUACIONESLectura Nº 20: Numeración antigua egipciaLectura Nº 21: El valor absoluto y los números RealesLectura Nº 22: Los intervalos y el calendarioLectura Nº 23: Inecuación contra ecuaciónLectura Nº 24: Conociendo las InecuacionesLectura Nº 25: Inecuaciones en la recta

UNIDAD Nº 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONESLectura Nº 26: El plano cartesianoLectura Nº 27: Coordenadas y tecnologíaLectura Nº 28: Funciones que tienen historiaLectura Nº 29: La función linealLectura Nº 30: Distancia entre dos puntos en el planoLectura Nº 31: Clasificación de funciones

4567

202930

329

39424448 49505265687173

818284848590

9495969798

100

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UNIDAD 1EXPRESIONES ALGEBRAICAS

LECTURA Nº 1: CAMBIO DE PARADIGMA

Un grupo de científicos colocó cinco monos en una jaula, en cuyo centro había una escalera y, sobre ella, un racimo de cambures. Cuando un mono subía por la escalera para agarrar los cambures, los científicos lanzaban un chorro de agua fría sobre los que quedaban en el suelo. Después de algún tiempo, cuando un mono iba a subir la escalera los otros lo agarraban a golpes evitando así el castigo con el agua fría.

Ya transcurrido un tiempo más, ningún mono subía la escalera, a pesar de la tentación de los cambures. Entonces, los científicos decidieron sustituir uno de los monos. La primera cosa que hizo fue subir por la escalera, siendo rápidamente bajado a golpes por los demás monos, quienes le pegaron sin contemplación alguna. Después, de algunas palizas, el nuevo integrante del grupo ya no subió más la escalera.

Luego, un segundo mono fue sustituido, y ocurrió el mismo espectáculo que la vez anterior. EL primer sustituto participó con entusiasmo en la paliza al recién llegado. Un tercero, de los más antiguos, fue cambiado y volvió a repetirse el mismo suceso. Y así pasó cuando cambiaron al cuarto de los primeros cinco monos, y finalmente el último de los veteranos que también fue reemplazado. Los científicos quedaron, entonces, con un grupo de cinco monos que, aun cuando nunca recibieron un baño con agua fría, continuaban, sin ninguna explicación, golpeando a aquel que intentase llegar a los cambures.

Si fuese posible preguntar a alguno de los miembros del grupo por qué pegaban a quien intentase subir por la escalera, con certeza la respuesta sería: “No sé, las cosas aquí siempre se han hecho de esa manera…”. ¿Te parece familiar la respuesta?

Vamos a reflexionar un poco, nos hemos preguntado alguna vez el por qué estamos golpeando… y… por qué estamos haciendo las cosas de una manera, si a lo mejor las podemos hacer de otra.

En muchas ocasiones, por no decir siempre, vemos como se asume un rechazo total al estudio de las matemáticas por parte de los estudiantes, quizá parte de esa actitud es producto de la concepción negativa y experiencias ajenas que han pasado de unos a otros, sin detenerse a pensar y a averiguar que tan cierto es y que tan malo puede ser, apartando radicalmente la posibilidad de poseer una herramienta que nos puede guiar al éxito en cualquier ámbito de nuestra cotidianidad, ya sea en las clases, el hogar, el trabajo, de compras, entre otros.

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Tomado con fines instruccionales de:Ascanio, R. y González, P. (2004). “Cambio de Paradigma”,Homotecia: Paradigmas. Publicación periódica Nº 6. Año 2. Valencia.


LECTURA Nº 2: ¿QUE ES EL NÚMERO?

A lo largo de nuestra vida escolar, nos hemos enfrentado a toda clase de operaciones con los números; los multiplicamos, los sumamos, los potenciamos, nos ayudan a ordenar, clasificar y muchas otras operaciones que faltan mencionar. Para muchos de nosotros, es sencillo y elemental contar con ellos; pero cabe preguntar: ¿podemos definirlos?..., allí es donde está la dificultad, cuando tenemos que dar una definición formal de Número. ¿Te lo has preguntado alguna vez?}

Desde muy niños, nos enseñan a contar con los dedos; luego, con objetos; posteriormente, los aprendemos a escribir y ordenar. En nuestra prosecución académica, los utilizamos en las primeras operaciones fundamentales, unidades, decimales, propiedades, en fin, un mundo complejo en función a ellos; pero insisto… ¿Quién en algún momento te enseñó a definirlos? La creación del número es una de las más grandes hazañas de la mente humana y desde tiempos inmemoriales a la matemática se le atribuye el reinado de las ciencias puras y exactas; sin embargo, qué tan difícil sería aprender a definir “Número”.

Algunos autores aseguran que “número es todo aquello que es el número de una clase” y la definición de Russell (1988 ) se centra en que “número es todo aquello que es el número de un conjunto”… sea cual sea la definición pareciera redundar pero, si nos detenemos a reflexionar, ellas nos aproximan a una realidad que aparenta estar sólo en nuestra mente, aunque cada uno de nosotros podemos vivir a diario y relacionarlo con el entorno. Veamos otro ejemplo: Si poseemos un conjunto o clase de elementos llamados balones, podemos afirmar que la clase es el nombre del objeto y/o sujeto y que el número es la cantidad de balones que existan en esa clase. Ejemplo:

Figura 1 Número: 8Clase: Balones

En conclusión, “ balones” refiere al número de elementos que se encuentran en el conjunto o clase de balones. Este ejemplo y futuras comparaciones nos pudiesen resultar muy obvias, pero ¿sabes algo? en la matemática, nada es obvio… a partir de este momento conociste una de las definiciones de la matemática que mucho se utiliza, pero poco se reflexiona sobre ella. Esta abstracción, debe surgir de las necesidades primarias que tenemos cada uno de nosotros de ordenar, clasificar, seriar y establecer relaciones con el medio.

Referencia: Russell, B. (1988). Introducción a la filosofía matemática. Paidós Estudio Básica. (p.25) Barcelona, España.

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Tomado con fines instruccionales de: Gómez, J. (2006). ¿Qué es el número? Artículo no publicado (pp.12). Tinaquillo, Estado Cojedes.


LECTURA Nº 3: LOS NÚMEROS CUADRADOS

Los números cuadrados o cuadrados perfectos (1, 4, 9, 16…) fueron llamados así por primera vez por los pitagóricos, una orden comunal fundada por Pitágoras (siglo VI A.C. en la costa suroeste de Italia), donde la matemática regía los principios de convivencia entre los miembros.

Estos números indican cantidades o clases de objetos que pueden agruparse formando un cuadrado (ver figura). Además de los números cuadrados, los pitagóricos definieron otros “números figurados”, como los triangulares o pentagonales.

Observa el esquema de los números cuadrados perfectos:

Figura 2

Fíjate que cada cuadrado perfecto es igual a la suma de cierta cantidad de números impares consecutivos:

12 = 1 (un número impar)22 = 1 + 3 (dos números impares)32 = 1 + 3 + 5 (tres números impares)42 = 1 + 3 + 5 + 7 (cuatro números impares)

Así como en la ciencia matemática existen entes de características perfectas, también nosotros, mediante el esfuerzo, la dedicación, la práctica constante y la pasión por lo que hacemos, debemos ir perfeccionando nuestras competencias y habilidades en pro de una mayor satisfacción tanto intelectual como personal.

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Tomado con fines instruccionales de:Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticapara Educación Básica. Editorial Santillana,S.A. (p. 68). Caracas, Venezuela.


LECTURA Nº 4: LOS POLINOMIOS

En estudios anteriores has trabajado con operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números naturales, enteros, racionales e irracionales. Este estudio se enmarca dentro de la aritmética, rama de la matemática que se encarga de situaciones específicas, donde las operaciones sólo se hacen con números.

Si profundizamos un poco más en nuestra experiencia, ya sea la que obtuvimos en el bachillerato o en cualquier otra actividad escolar, es posible que recordemos algún conocimiento sobre las operaciones con polinomios, donde de manera similar aplicabas la suma, resta, multiplicación y división, pero ya no sólo intervenían números sino que también se involucraban letras. El estudio de la matemática se tornaba un poco más abstracto, pues aquellas situaciones específicas que se trabajaban en aritmética ahora tomaban un carácter de generalización, es decir, podían representar situaciones diversas en un mismo campo. Ahora la matemática se enfoca desde Álgebra.

A pesar de tener más o menos claras las distintas operaciones con polinomios, es necesario retomar y practicar esos conocimientos hasta dominarlos por completo, pues de ello depende alcanzar las competencias en contenidos pertinentes a la asignatura, como lo son: las inecuaciones y las funciones; además de otras actividades que guardan relación con este tema.

Empecemos definiendo lo que es un polinomio; este término es de origen griego “poli” que significa muchos y “nomio” expresión algebraica. Un polinomio, matemáticamente hablando es una suma algebraica de varias expresiones algebraicas, que representan cantidades desconocidas. Cuando decimos suma algebraica nos referimos a una operación combinada, donde intervienen la suma y la resta, y al hablar de expresiones algebraicas significa los términos que componen la suma. Cada término que compone un polinomio es una estructura matemática que consta de una parte numérica y una parte literal.

Ejemplo de la Estructura de un término:

Exponente de la variable

−3x5

Parte numérica o coeficiente de la variable Parte literal o variable

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Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, J. (2006). Los polinomios.Artículo no publicado (pp.120). Tinaquillo, Estado Cojedes.


Características de un polinomio: Sea el polinomio:

Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:

*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable

Clasificación de los Polinomios

Los polinomios, según el número de términos, se clasifican en:

Monomio: Es aquella expresión algebraica que consta de un solo término.

Ejemplos:

Binomio: Es aquella expresión algebraica que tiene dos términos:

Ejemplos:

Trinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene tres términos:

Ejemplos:

Polinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene más de tres términos:

Ejemplo:

8

Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el signo positivo (+) o el negativo ().


Operaciones con polinomios

Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de ellas.

Adición de polinomios: La adición consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos, en una sola que se le llama suma.

En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un concepto más general por lo que puede significar aumento o disminución.

En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes. Incluso, hasta un polinomio puede tener inmerso términos semejantes.

Hay semejanza entre términos cuando:

➢ Tienen la misma variable o variables.➢ Tienen igual exponente en la variable o variables.

Entonces, se puede hacer una agrupación con estos términos y reducirlos a una sola expresión aplicando una suma.

Ejemplo Nº 1:

Eliminando los paréntesis queda:

Tomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo multiplicamos por la variable con su respectivo exponente, así:

Efectuamos la suma algebraica entre las cantidades que están dentro del paréntesis:

9


Son términos no semejantes los siguientes: 6x3, 6x2, 6y2

Los términos 6x3 y 6x2 , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar que tienen el mismo coeficiente no son términos semejantes. El término 6y2 no es semejante a ninguno de los otros dos términos, pues su variable es distinta.

Veamos algunos ejemplos de adición de polinomios:

Cuando es una suma de monomios

Ejemplo Nº 2:

Sumar:Solución:

Cuando es una suma de binomios

Ejemplo:

Solución:

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Recordar:Para sumar fracciones de diferente denominador: (Analizando el caso del ejemplo)

1. Se calcula el m.c.m entre los denominadores m.c.m de los números 4 y 8 = 8

2. Esta cantidad es el denominador del resultado

3. Se divide el m.c.m. con el denominado de cada fracción fracción y se multiplica por el numerador y se va colocando como numerador en el resultado, conservando el signo.(Esta acción es similar a multiplicar el m.c.m. por cada fracción y su resultado colocarlo sucesivamente en el numerador del resultado)

4. Se efectúa la operación indicada y obtenemos la fracción resultado

Luego el polinomio resultante es:

En la adición de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores, solo debes estar pendiente de la agrupación de términos semejantes. Es importante señalar que la sustracción de polinomios es un caso particular de la adición. Esto lo podemos explicar de la siguiente manera:

Ejemplo Nº 3:

Sea

y nos piden determinar: A – B =

Es decir, al polinomio le restamos el polinomio

Estructuremos la operación:

Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre paréntesis.

11

8 entre 4 = 2

2 por 3 = 6

y el resultado (6) lo colocamos .....

6 + 7


Luego, la operación quedaría así:

Si eliminamos el paréntesis:

Agrupamos los términos semejantes:

Extraemos la variable de cada paréntesis con su respectivo exponente, dejándola como factor común

Observa que dentro de cada paréntesis hay una suma de fracciones con diferente denominador.

Vamos a realizar cada adición por separado:

Observa que es una suma de fracciones con igual denominador. La fracción resultante tendrá el mismo denominador común y el numerador será la suma de los numeradores parciales

Tenemos una suma de fracciones con diferente denominador, calculamos el m.c.m de los denominadores; es decir, m.c.m (1,2) = 2, este m.c.m= 2 representa el denominador común a todas las fracciones; ahora, los numeradores también cambian multiplicando el m.c.m= 2 por las fracciones parciales

Calculamos el m.c.m entre los denominadores mcm (4, 6) = 12, este es el denominador del resultado y esa misma cantidad se multiplica por cada fracción para calcular los nuevos numeradores

Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes, tenemos:

Practica la Adición de polinomios con los siguientes ejercicios: Sean los polinomios

Calcula:

1) A + B + C = ; 2) D + C + A = ; 3) (D + A) – C = ; 4) B – (D + A) = ; 5) D + B = ; 6) C – A =

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-


Multiplicación de Polinomios:

La multiplicación de polinomios, es una operación que consiste en multiplicar dos o más polinomios llamados factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para multiplicar polinomios es necesario tener claro la regla de los signos, las leyes de la potenciación y la agrupación de términos semejantes.

Veamos algunos casos de multiplicación:

Multiplicación de Monomios

Multiplicar:

(3x2 ) . (−2 x ) . (− 5) =

(3) . (− 2) . (− 5) . (x 2 ) . (x ) =

(+ 3) . (− 2) . (− 5) . (+ x 2 ) . (+ x ) = +

(3).(− 2).(− 5).(x2).(x) = +30.( x2).(x)

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Si multiplicamos los signos de cada uno de los factores: + . . . + . + = +

obtenemos el signo del producto. En estecaso es positivo

En esta multiplicación tenemos varios factores consus respectivos signos, hay factores numéricos y

factores literales o variables.

Observa que los coeficientes numéricos de cadamonomio, son también factores y se puedenmanipular independientemente de la variable,

siempre y cuando estén como factores dentro de lamisma multiplicación. En la organización es

conveniente que los factores numéricos sean losprimeros en expresarse.

Ahora calculamos el producto de los factoresnuméricos: 3 . 2 . 5 = 30

Observa que cada producto parcial es una multiplicación de dos monomios. Recuerde el procedimiento para este caso. En cada multiplicación parcial, realiza primero la multiplicación de los signos, luego, multiplica los coeficientes de cada monomio y por último realiza la multiplicación de las variables o potencias literales.


(3).(− 2).(− 5).(x2 ).(x ) = +30.x3

Este es el resultado de multiplicar los monomios

(3x2) . (−2x ) . (−5) = 30 x3

Multiplicación de Monomios por polinomios

Multiplicar:

Vamos a calcular los productos por separado:

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Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica una propiedad distributiva del producto con respecto a la adición, de esta manera obtenemos una suma algebraica con los productos parciales.

Para multiplicar las variables (la parte literal),que son potencias, tienes que estar claro con la

ley de la potenciación que dice que “en lamultiplicación de potencias de igual base se

obtiene otra potencia con la misma base, cuyoexponente resulta de sumar los exponentesparciales de cada potencia” x2. x = x2+1 = x3

Ya debes tener claro la regla de los signos (+. = ) ; los coeficientes o parte numérica son números racionales; es decir, fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de forma lineal, numerador por numerador y denominador por denominador.

El polinomio resultante no tiene términos semejantes por lo tanto es un polinomio irreducible.


1° producto:

x 2 . x 2 = x 2 + 2 = x 4

2° producto:

3° producto:

Observa que el producto de los coeficientes, resultó una fracción que se simplificó, debido a que al descomponer tanto el numerador como el denominador, resultó un factor común (el 5), el cual se canceló por ley de la potenciación, quedando una fracción irreducible. Luego, reuniendo los productos parciales resultantes conformamos el producto total de la multiplicación inicial:

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Se procede igual al caso anterior:

La multiplicación de las potencias literales se realiza aplicando la ley de potenciación “cuando se multiplican potencias de igual base, el producto que resulta es otra potencia con la misma base y el exponente es la suma de los exponentes parciales”.

PotenciasLaterales

Coeficientes

Producto

Se procede igual al caso anterior: Coeficientes

x 2. x = x 2+1 = x 3 Potencias Literales

Observa que el primer factor es un polinomio de dos términos, por lo tanto hay que aplicar la propiedad distributiva dos veces. El primer término del binomio multiplica a todos los términos del trinomio, luego el segundo término del binomio multiplica a todos los términos del segundo factor, es decir, del trinomio.


Multiplicación de un polinomio por otro polinomio

Multiplicar: y

Solución:

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Si observas cada par de líneas notarás como se efectuaron los productos

Después de aplicar la propiedad distributiva hemos obtenido muchos productos parciales, para ser más exactos, seis productos. Vamos a resolverlos uno a uno:


Luego:

Tomamos los productos parciales resultantes y estructuramos el polinomio total.

Revisamos si el polinomio resultante tiene términos semejantes; si los tiene hacemos agrupaciones con ellos:

Como en los casos anteriores, en agrupaciones de términos semejantes extraemos la variable con su respectivo exponente como factor fuera del paréntesis.

Realizamos la adición dentro de cada paréntesis paso a paso:

1º Adición:

2° Adición:

Luego, resueltas las adiciones, volvemos al polinomio.

De esta manera, hemos llegado al producto final de la multiplicación de dos polinomios. Para que practiques los procedimientos en la multiplicación de polinomios te proponemos los siguientes ejercicios:

Dadas las expresiones algebraicas:

Calcula:

1) V.P.Q = 2) Q.R = 3) T.Q = 4) V.T = 5) P.R =

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División de polinomios

Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo:

Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el “dividendo”.

Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:

Se ordenan los dos polinomios tomando en cuenta los exponentes de la variable (x) en orden decreciente y completando con coeficiente cero (0) la potencia faltante.

4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3x 2 − x + 6 x 2 − 2x + 1

Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del divisor 4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3x 2 − x + 6 x 2 − 2x + 1

Para efectuar esto, se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y con la variable se aplica la regla de potencia de un cociente de igual base.

4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3x 2 − x + 6 x 2 − 2x + 1 4 x 3

Este es el primer término del cociente

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, a estos productos se les cambia el signo y se ordenan debajo del dividendo según el exponente de la variable.

4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3x 2 − x + 6 x 2 − 2x + 1− 4 x5 + 8 x 4 − 4 x3 4 x 3

Estos productos se restan del dividendo 4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3x 2 − x + 6 x 2 − 2x + 1− 4 x5 + 8 x 4 − 4 x3 4 x 3

8 x 4 − 14 x 3 + 3x 2 − x + 6

Se repite todo el procedimiento considerando que ahora el primer término del nuevo dividendo es 8x4

4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3x 2 − x + 6 x 2 − 2x + 1− 4 x5 + 8 x 4 − 4 x3 4 x 3 + 8x 2 8 x 4 − 14 x 3 + 3x 2 − x + 6 − 8 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2

2 x3 − 5x 2 − x + 6

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Continuamos ahora dividiendo los demás términos

4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3x 2 − x + 6 x 2 − 2x + 1− 4 x5 + 8 x 4 − 4 x3 4 x 3 + 8x 2 + 2x 1 8 x 4 − 14 x 3 + 3x 2 − x + 6 − 8 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2

2 x3 − 5x 2 − x + 6 − 2 x3 + 4x 2− 2x − x 2 − 3x + 6 x2 − 2x + 1 − 5x + 7

El cociente de la división es : 4 x 3 + 8 x 2 + 2 x − 1Y el residuo: − 5 x + 7 (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar dividiendo por lo que la división es inexacta)

Ejercicios propuestos:

¿Cuál debe ser el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad?

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LECTURA Nº 5: PRODUCTOS NOTABLES

Al iniciarnos en nuestra aventura por el conocimiento de las matemáticas, lo primero a lo que se hace referencia es al número, como clase, según lo plantean algunos, o como conjunto, según otros. La cuestión es que el hombre y su inmensa necesidad de organizarse en sociedades, poco a poco, fue implementando un lenguaje simbólico que le sirvió de instrumento en las actividades cotidianas, tanto para comunicarse como para demarcar y establecer normas de convivencia. Primero, se da cuenta que el medio natural le ofrece una serie de herramientas para tal organización; comienza a utilizar las piedras como mecanismo de conteo; luego, descubre que puede hacer marcas en los árboles, en el suelo, en las paredes de las cavernas… y así llega, sin saber, a la intuición de número.

El estudio de los números, o mejor dicho la fase de estructuración de los números y su aplicación en otras ramas de la matemática, como la geometría, la aritmética y el álgebra, no ha sido fácil. Desde mucho antes de Cristo, con Pitágoras de Samos, pasando por Euclides, AlJwārizmī, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros; todos ellos fueron dándole forma y sentido a todo ese conocimiento vago que desde tiempos remotos, babilonios y egipcios aplicaban en su cotidianidad.

Por ejemplo, en la aritmética, que es la parte de la matemática que trata del arte o habilidad para contar, sólo se utilizan números o cantidades conocidas que mediante operaciones de adición, multiplicación y potenciación, de acuerdo con ciertas propiedades ya existentes, es posible realizar todos los cálculos habidos y por haber. En el álgebra, rama de la matemática que permite generalizar las aplicaciones aritméticas, mediante el uso de cantidades desconocidas representadas por letras, también se vale de las operaciones de adición, multiplicación y potenciación para tales aplicaciones. Y en la geometría (del griego geō que significa 'tierra' y metrein 'medir'), rama de las matemáticas que se encarga de las relaciones métricas del espacio y sus propiedades, en su forma más elemental y no tan elemental; se vale del álgebra y la aritmética para formalizar y sistematizar sus aplicaciones.

Dentro de todas estas operaciones elementales, como la adición, la multiplicación, la potenciación, entre otras, aplicables en todas las ramas de las matemáticas anteriormente mencionadas, a través de propiedades de composición bien definidas, se derivan procedimientos que permiten simplificar con mayor facilidad las operaciones indicadas. Procedimientos como el producto notable y la factorización son herramientas muy prácticas para la agilización en la búsqueda de un resultado concreto.

Cuando se realiza un producto notable se está aplicando una multiplicación, pero se hace de una forma directa reduciendo la operación a un mínimo de pasos posibles, por ejemplo en aritmética no es muy

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Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, J. (2006). Productos notables.Artículo no publicado (pp.18). Tinaquillo, Estado Cojedes.


frecuente encontrarse con un producto notable pero se puede ejemplificar un ejercicio para hacer sencillas demostraciones, de la siguiente manera:

(5 + 3) 2 = 5 2 + 2 (5 3) + 3⋅ ⋅ 2 = 25 + 30 + 9

Si se realiza la multiplicación aplicando la propiedad distributiva, que es el proceso normal, el procedimiento se hace más largo; observa:

(5 + 3) 2 = (5 + 3) (5 + 3) = 5 5 + 5 3 + 3 5 + 3 3 = 25 + 15 + 15 + 9⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ahora bien, si trabajamos dentro del álgebra, el mismo producto notable pudiese aplicarse de la siguiente manera:

Al llevar este mismo procedimiento al campo de la geometría le daríamos el siguiente enfoque:

Suponga un terreno de forma cuadrada, donde cada lado mide ”y 4”, calcula el área del terreno:

Para hallar el área de un cuadrado se multiplica lo que mide de ancho por lo que mide de largo; así:

y 4( y − 4) ( y − 4) = ( y − 4) ⋅ 2 = y 2 + 2 ( y ) (−4) + (−4)⋅ ⋅ 2 = y 2 − 8 y + 16

y 4 que es el área del terreno

El producto notable es aquella multiplicación que se efectúa con expresiones algebraicas de forma directa, aplicando una fórmula o procedimiento, de acuerdo a una situación específica.

Veamos algunos casos específicos de productos notables.

El cuadrado de una suma de dos términos

Ejemplo Nº 1

Supóngase que tenemos una región de forma cuadrada, cuyas dimensiones son las siguientes: de largo y de ancho mide " x + 7" unidades.

Necesitamos conocer el área del cuadrado.

Sabemos que para calcular el área de un cuadrado, sólo tenemos que multiplicar lo que mide de ancho por lo que mide de largo, Es decir: Área del Cuadrado = Largo ⋅ Ancho Área del Cuadrado = (Lado) 2

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x + 7

x + 7

El resultado es un polinomio de tres términos: “El primer término al cuadrado, más el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”


Entonces; Apliquemos la Fórmula:

Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedaría:

Luego: Área = ( x + 7 )2

Desarrollemos esta potencia de la siguiente manera:

Simplificando el resultado, tenemos que: ( x + 7 )2 = x2 + 14 x + 49

De esta manera obtenemos el área de la región cuadrada:

Área = x2 + 14 x + 49

Ejemplo Nº 2:

Desarrollemos el Producto Notable: (5 + y) 2

(5 + y ) 2 = (5 ) 2 + 2 (5 ) y + ( y ) ⋅ ⋅ 2

Simplificando queda:

(5 + y ) 2 = 25 + 10y + y 2

22



5.1 (x + 7)2 5.2 (3X/2 + 4/9) 2 5.3 ( a/5 + 5) 2

5.4 (x2 + 3) 2 5.5 (xy + xz) 2 5.6 (Xa+1 + 1) 2

5.7 (a2b + ac) 2 5.8 (2xy + y2 ) 2

5.9 En un club se desea crear una cancha para la práctica individual de tenis y se dispone de una pared cuadrada de lado x. Los especialistas en ese deporte solicitan que sea más grande, por lo que se le añadieron 3m a cada lado. ¿Cuál es el área de la nueva pared?

Cuadrado de una diferencia de dos términos

Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de dos términos; sólo que para desarrollar este caso hay que tomar en cuenta el signo de los términos.

Ejemplo Nº 3:

Simplificando:

( x − 3) 2 = x 2 − 6x + 9


5.10: (X 5)2 5.11: (2X/3 1/5) 2 5.12: (a/3 3) 2

5.13: (X2 2) 2 5.14: (Xa1 1) 2 5.15: (2xy x2 ) 2

5.16: Si a2 + b2 = 13 y a . b = 6 ¿cuánto vale (a – b) 2?

5.17: Calcula los productos: a) (–x – a) 2

b) (x + a) 2 ¿Qué relación existe entre ellos? ¿Por qué?

5.18: Se necesita revestir un piso con cerámica, el cual tiene forma cuadrada de lado x, pero la cantidad de cerámica sólo cubre una superficie también cuadrada que tiene ¾ de metro menos por cada lado del área total. ¿Cuántos m2 de cerámica se compraron?

5.19: ¿Qué diferencia observas en estos ejercicios? : a) (x – a) 2

b) x2 a2

después de resolverlos, ¿qué apreciación tienes al respecto?

23

El cuadrado de una diferencia es igual a:El cuadrado del primer término, menos el doble producto del

primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

El resultado de este producto notable es un trinomio: “El término común al cuadrado más el producto del

término común con la suma algebraica de los términos no comunes más el producto de los términos no

comunes”.


El producto de dos binomios con un término común

Ejemplo Nº 4:

Tenemos una región de forma rectangular cuyas dimensiones ya conocemos:

Se necesita conocer el área de la región.Sabemos que el área de un rectángulo se calcula multiplicando lo que mide de largo por el ancho.

Entonces:

Desarrollarnos este producto de la siguiente manera:

Simplificando el resultado, queda:

De esta manera se obtiene el área de la región rectangular: Área = x 2 + 2 x − 35

Ejemplo Nº 5:

Desarrolla el producto: (3x − 9) (3x + 2)⋅

24

x 5

x + 7


Simplificando cada término:

(3 x ) 2 = (3 x ) (3 x ) = 9 x ⋅ 2

(3x) (−9 + 2) = (3 x) (−7) = −21x⋅ ⋅

(−9) 2 = −18⋅

Luego:

Ejercicios propuestos:5.19: (x2 + 6) . (x2 – 2) 5.20: (a3 + 1/5) . (a3 + 2/3) 5.21: (y – 3/5) . (y + 4) 5.22: (2x 7) . (2x +2)5.23: Si se cumple que (x + a) . (x + b) = x2 2x + 8 entonces ¿cuánto vale a + b?

5.24: ¿Para qué valores de la x se cumple que el producto de: (x + 3) por (x 1) es igual a cero?

5.25: Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 9 cm y en el otro se le resta 2cm, ¿cuál será el área de la nueva figura?2.26 Calcule el área del siguiente rectángulo: x b

La suma de dos términos por su diferencia:

Ejemplo Nº 6:

Se conocen las dimensiones de una región rectangular:

Largo = x + 6 y Ancho = x − 6

Tenemos que calcular el área respectiva:Para hallar el área de un rectángulo aplicamos laFórmula: Área = Largo x Ancho.o Área = base x AlturaEntonces, Área = (x + 6) ⋅ (x − 6)

Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma:

25

x

a

x 6

x + 6

El resultado de este producto notable es un binomio:“El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”


Simplificando el resultado: x2 36Luego:El área de la región rectangular es: x2 36


5.27: (y – 3/5) . (y + 3/5) 5.28: (x2 + 6) . (x2 – 6) 5.29: (a3 + 1/5) . (a3 – 1/5)5.30: (x/3 + 2/7) . (x/3 – 2/7) 5.31: (2x 7) . (2x +7)

5.32 Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 5 m y en el otro se le resta 5 m ¿cuál será el área de la figura que se originó?

5.33 Calcula el área de la figura sombreada: x a

El cubo de una suma de dos términos:

Ejemplo Nº 6:

Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo, conociendo sus dimensiones:

Largo = x + 5, Ancho = x + 5 y Alto = x + 5

Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la fórmula: Volumen = Largo x Ancho x Alto

Como las tres medidas son iguales entonces

Volumen = (Lado)3

26

x

a

El resultado de este producto notable es un polinomio: “El cubo del primer término, más el triple del producto del primer término al cuadrado, por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término”.


Entonces: Volumen = (x + 5) (⋅ x + 5) ⋅ (x + 5)

Por Ley de Potenciación: (x + 5) (⋅ x + 5) ⋅ (x + 5) = (x + 5)3

Luego:

Volumen = (x + 5)3

Para desarrollar esta potencia procedemos así:

(x + 5)3 = (x + 5)2 . (x + 5) esto por ley de potenciación y como sabemos calcular el cuadrado de una suma

(x + 5)3 = (x2 + 10.x + 25) . (x + 5)(x + 5)3 = x3 + 5.x2 + 10.x2 + 50.x + 25.x + 125 esto por multiplicación de polinomios(x + 5)3 = x3 + 15.x2 + 75.x + 125 por agrupación de términos semejantes(x + 5)3 = x3 + 3 . 5. x2 + 3. 52.x + 53

Luego; simplificando cada término:

(x)3 = x3 , 3 ⋅ (x)2 ⋅ (5) = 15 ⋅ x 2

(5)3 = 5⋅5⋅5 = 125 , 3 ⋅ (x) ⋅ (5)2 = 3 ⋅ x ⋅ 25 = 75x

De esta manera tenemos que: ( x + 5) 3 = x 3 + 15 x 2 + 75 x + 125

Ejemplo Nº 7:

Desarrollar el producto notable: (2x +1)3

Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos:

El cubo del primer término (2x) 3 El triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término 3 . (2x) 2 . 1

El triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo 3 . 2x . 13 El cubo del segundo término 13

27

Simplificando cada término en el resultado:* ( y)3 = y3

* 3 ( y )⋅ 2 ( 2) = −6 y⋅ 2

* 3 ( y ) ( −2)⋅ ⋅ 2 = 3y ( 4) = 12 y⋅

* ( −2)3 = ( −2) ( −2) ( −2) = −8⋅ ⋅


Sumando estos términos:

( 2 x + 1) 3 = ( 2 x ) 3 + 3 ⋅ ( 2 x ) 2 ⋅ (1) + 3 ⋅ ( 2 x ) ⋅ (1) 2 + (1) 3

Simplificando cada término del resultado:

* (2x )3 = (2x ) (2x ) (2x ) ⋅ ⋅ = 8x 3

* 3 ( 2 x )⋅ 2 (1) = 3 4 x⋅ ⋅ 2 1 ⋅ = 12 x 2* 3 ( 2 x ) (1)⋅ ⋅ 2 = 3 2 x 1 ⋅ ⋅ = 6x* (1)3 = 1 1 1 ⋅ ⋅ = 1

Luego, el polinomio se reduce a: (2x +1)3 = 8x3 +12x + 6x +1


5.34: (x + 3)3 5.35: (3X/2 + 4/5) 3 5.36 ( y/3 + 3) 3 5.37 (x2 + 5) 3 5.38 (xy + xz) 3 5.39 (a2 b + ac) 3 5.40 (2xy + y2 ) 3

5.41 Si el volumen de un cubo es 27 cm3 ¿Cuál será el nuevo volumen si se aumenta su arista en x unidades?

El cubo de la diferencia de dos términos.

Se desarrolla aplicando el mismo procedimiento de “el cubo de la suma de dos términos”, sólo que en este caso se debe tomar en cuenta el signo de los términos.

Veamos esto en un ejemplo:

Ejemplo Nº 8:

Desarrolla el producto notable: (y − 2)3

Luego; Simplificado cada término elpolinomio resultante es:

( y − 2) 3 = y 3 − 6 y 2 + 12 y − 8

28


En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer término, menos el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.


5.42: (X – 1/2)3 5.43: (2X/3 1/5) 3 5.44: (a/3 3) 3

5.45: (X2 5) 3 5.46: (xy xz) 3 5.47: (2xy x2 ) 2

5.48: Compara los siguientes cubos a) (x p) 3

b) (p x) 3 ¿Son iguales? ¿Por qué?

5.49: Las cajas para embalaje de mercancía de una empresa tienen forma cúbica con volumen de 125 cm3, con la finalidad de disminuir costos, la empresa decide reducir el tamaño del envase restando x unidades (con x < 5) a la arista del cubo original. ¿Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo envase?

5.50: Si a = b + 3 ¿cuánto vale (a – b) 3 ?

5.51: Simplifica las siguientes operaciones:

a) 3 ( 2 x + 1) ⋅ 2 − ( 4 x + 1) ( 4 x − 1) =⋅

b) 2 [(7 x + 3) (7 x − 11) − 4 ( x − 9) ⋅ ⋅ ⋅ 2 ] = c) 2 (3x + 1) ⋅ 3 − ( x − 6) 3 =

5.52: Halla la suma de: el doble del cuadrado de la diferencia entre X y 2, con el triple del producto de la suma de X y 1 por su diferencia.

LECTURA Nº 6: LA FACTORIACIÓN COMO HERRAMIENTA DE SIMPLIFICACIÓN

El procedimiento contrario al producto notable es la factorización, el cual es un proceso que consiste en transformar una expresión algebraica en un producto o multiplicación. Cuando un número o cualquier otra expresión no pueden descomponerse en factores, se dice que es un número primo.

29

Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, J. (2006). La Factorización como herramienta de simplificación. Artículo no publicado (pp.18). Tinaquillo, Estado Cojedes.

Observa que hay una suma de fracciones;tanto en el numerador como en el denominador de cada fracción se hizo una descomposición en factores con aquellos números que no son primos, ejemplo: 12 = 3 ∙ 4, 15 = 3 ∙ 5 y 9 = 3 ∙ 3Luego se cancelaron aquellos factores iguales en el numerador y denominador de cada fracción, simplificándose cada término.

Aquí tenemos otra suma de fracciones, pero no es aritmética como la anterior.Se hizo una descomposición en factores en el numerador y denominador de cada fracción. La expresión " x + 2" no se pudodescomponer por ser un polinomio primo. Luego, se simplificó cada fracción cancelando factores iguales en el numerador y denominador.


En las operaciones aritméticas y algebraicas se utiliza mucho el procedimiento de la factorización como herramienta, para simplificar y resolver los ejercicios con menor dificultad y mayor rapidez.Por ejemplo, Aritméticamente:

En el álgebra:

Cada fracción algebraica está compuesta por expresiones llamadas polinomios, que para factorizarlos se debe tener en cuenta algunas reglas, un ejemplo de ello es la expresión " x 2 + 4 x + 4" , que representa un trinomio de cuadrado perfecto. Para factorizar este tipo de expresión primero se debe estar familiarizado con ella, pues existen muchos casos de factorización para ciertos tipos de polinomios.

LECTURA Nº 7: ¿COMO COMPLETAR CUADRADOS?

Fueron primero los griegos, y luego los árabes, los que utilizaron métodos geométricos para dar con la solución de muchos de los problemas que hoy en día se resuelven mediante la simbología algebraica. Por ejemplo, Mohammed alKhowarizmi propuso, hacia el año 825, un método geométrico para obtener una solución positiva de una ecuación cuadrática.

De acuerdo con lo que él proponía, para resolver la ecuación x 2 + 8 x = 33 , se siguen los siguientes pasos:

30

Tomado con fines instruccionales de:Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemática deEducación Básica. Editorial Santillana, S.A. (p.149). Caracas, Venezuela:

El cuadrado tiene lados de medidas x unidades, para hallar su área multiplicamos lo que mide de ancho por lo que mide de largo. Así:

Largo . ancho = x . x = x2

Observa que se ha construido rectángulos a cada lado del cuadrado,cuyos lados miden “x” y “2” unidades, respectivamente (esta medida “2” se obtiene de dividir “8”, que es el coeficiente del

término lineal 8x, entre el número de rectángulos).Al calcular el área de uno de estos rectángulos resulta:

Largo . Ancho = 2 . x

Ahora, se construyen cuadrados pequeños en cada esquina de lafigura para completar el cuadrado mayor.

Como podrás darte cuenta cada cuadrito tiene lado igual a 2 unidades, siendo el área 2 ∙ 2 = 4 unidades cuadradas.

Tenemos un cuadrado cuyos lados miden (2 + x + 2) = x + 4por lo que el área sería: Largo . ancho = (x + 4).(x + 4) = (x + 4)2

Pero ya se conoce el área total que es 49 unidades cuadradasEntonces:

(x + 4)2 = 49 donde despejando el cuadrado nos queda: x + 4 = 49 x+ 4 = 7 x = 7– 4 x = 3


Suponemos que x2 + 8x es una suma de áreas, la cual nos da 33 unidades cuadradas, observemos el gráfico:

Entonces, al construir cuatro rectángulos, se forma un área entre todos ellos que está representada por:

2x + 2x + 2x + 2x = 8x

El área total de los rectángulos, más el área del cuadrado resulta: x 2 + 8 x = 33

Entonces, entre los cuatro cuadritos se tiene un área igual a 4 ∙ 4 = 16 unidades cuadradas, lo que indica que el cuadrado mayor tiene un área de: 33 + 16 = 49 Luego,

Entonces, volviendo al problema original, el área del cuadrado de lado x es igual a:3 . 3 = 9 unidades cuadradas

31

x

x

xx

xx

2

22

2

xx

xx

2

22

2

x

x

2

222

x

x

Descomponemos el número 12 en dos factores y observamos que el 3 es común en los dos términos.

Multiplicamos y dividimos toda la expresión por el factor comúnEfectuamos el cociente de cada término entre en factor común

Esta es la expresión ya factorizada


LECTURA Nº 8: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

La operación de descomponer en factores los productos notables, también se llama Factorización”. Es el proceso inverso al desarrollo de los productos notables.

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

Factor común

Consiste en transformar la expresión dada en un producto, donde uno de los factores es común entre los términos y el otro se obtiene al dividir cada término de la expresión original entre el factor común.

Ejemplo Nº 1: 12x + 3

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes.

Ejemplo Nº 2: factorizar el polinomio 36 x 2 − 12 x 3 + 18 x

− 12 x 3 + 36 x 2 + 18 x Ordenamos y calculamos el máximo común divisor entre los coeficientes de cada término, m.c.d. (36,12,18) = 6

− 12 x 3 + 36 x 2 + 18 x Como la variable x es común en los tres términos, multiplicamos el mcd por la x elevada a la menor potencia que aparezca. En este caso es elevada a la 1 (6x) Multiplicamos y dividimos toda la expresión por este factor común

32

Tomado con fines instruccionales de:Ochoa, A. (2007). Métodos de Factorización.Unefa. Artículo no publicado (pp.16). Caracas. Venezuela.

Expresamos todos los términos en cuadrados Tomando en cuenta que la factorización es el

procedimiento inverso a producto notable y como(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2

.


Efectuamos el cociente de cada término entre el factor común

6 x .(− 2 x 2 + 6 x + 3)

Resolviendo cada cociente: Se dividen los coeficientes, y Se aplica la ley de cociente de potencias de igual base (se copia la base y se restan los exponentes) y así se obtiene la expresión factorizada por factor común

Ahora extraeremos factores comunes diferentes por agrupación de términos.

Ejemplo Nº 3: Factorizar 3 x 2 − 6 xy + 4 x − 8 y

(3x 2 − 6 xy) + (4 x − 8 y ) Formamos dos grupos considerando que los dos primeros términos son divisibles entre 3x y los dos últimos entre 4

Multiplicamos y dividimos las dos expresiones por estos factores comunes

Simplificando

3 x.( x − 2 y ) + 4( x − 2 y ) Observa que surgió un nuevo factor común entre los dos términos.

Se procede a multiplicar y dividir por el nuevo factor común

Simplificando

(x − 2y )(3x + 4) Obtenemos la expresión ya factorizada

Diferencia de cuadrados

Este caso se basa en la fórmula: a2 – b2 = (a + b) . (a – b)

Ejemplo Nº 4: Factorizar x2 – 9

x 2 − 9 = x 2 − 32

x 2 − 9 = (x + 3).( x − 3)

Ejemplo Nº 5: Factorizar x4 – 16

x 4 − 16 = (x 2 ) 2 − 42

33

Expresamos todos los términos en cuadradosTomando en cuenta que la factorización es el procedimiento inverso a producto notable y como: (a + b ).(a − b ) = a 2 − b 2

Como el segundo factor también es una diferencia de cuadrados, se procede a factorizarlo: x 2 − 4 = x 2 − 22


x 4 − 16 = (x 2 + 4) . (x 2 − 4 )

x 4 − 16 = (x 2 + 4) .( x + 2 )( x − 2)

Trinomio

Se pueden conseguir tres casos:

Trinomio de la forma x 2 + ax + b:

La fórmula general viene dada por: x 2 + ax + b y al factorizarlo queda expresada como (x + n).(x + m) donde n.m = b y n + m = a

Ejemplo Nº 6: x 2 − 7 x + 12

3 4 = 7(3).(4) = 12

Buscamos dos cantidades, tales que su producto sea 12, estás deben tener el mismo signo para que el producto sea positivo, y para que su suma sea 7, deben ser los dos negativos.

x 2 − 7 x + 12 = x 2 + (− 3 − 4)x + (− 3).(−4) Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación.

x 2 − 7 x + 12 = (x − 3).(x − 4) Aplicando la fórmula general

Ejemplo Nº 7: x 2 + 10 x + 24

6 + 4 = 106 . 4 = 24

Buscamos dos cantidades, tales que su suma sea 10 y su producto sea 24

x 2 + 10 x + 24 = x 2 + (6 + 4 )x + (6.4) Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación.

x 2 + 10 x + 24 = (x + 6).(x + 4) Aplicando la fórmula general

Ejemplo Nº 8: x 2 + 15 x − 100

20 + (5) = 1520 . (5) = 100

Buscamos dos cantidades tales que su suma sea 15 y suproducto sea 100. Para que el producto sea negativodeben ser de signos diferentes.

x 2 + 15 x 100 = x 2 + (20 + (− 5))x + (20.(− 5)) Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación.

x 2 + 15 x − 100 = (x + 20).( x − 5) Aplicando la fórmula general

34


Trinomio cuadrado perfecto

Se basa en las siguientes fórmulas: (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 y (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2

Analizamos el procedimiento mediante el ejemplo Nº 9: x 2 + 25 + 10 x

x 2 + 10 x + 25X 2 ya está en forma de cuadrado

25 = 52

Verificamos si dos de los términos se pueden expresar en forma de cuadrado.

10 x = 2( x.5) También verificamos si el término restante se puede expresar como el doble producto de las bases de los cuadrados.

x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5) 2 Aplicando la fórmula general

Ejemplo Nº 10: 4x 2 − 12 x + 9 =

4x 2 − 12 x + 9 =4x 2 = (2 x ) 2

9 = (− 3) 2

Verificamos si dos de los términos se pueden expresar en forma de cuadrado.

− 12 x = 2.(2 x ).(− 3) También verificamos si el término restante se puede expresar como el doble producto de las bases de los cuadrados.

4x 2 − 12x + 9 = (2x ) + 2.(2x.(− 3)) + 32 Expresamos el trinomio en cuadrados y productos.

4x 2 − 12x + 9 = (2 x − 3) 2 Factorizamos aplicando la fórmula.

Trinomio de segundo grado ( ax 2 + bx + c )

Cuando no se cumplen las condiciones de los dos casos anteriores.Para la factorización de este caso se procede de la siguiente manera:

ax 2 + bx + c = 0 Se iguala toda la expresión a cero (0).

Se calculan los dos valores de x, utilizando la ecuación cuadrática.

ax 2 + bx + c = a( x − x1 ).( x − x2 ) Se aplica la fórmula general.

Ejemplo Nº 11: Factorizar el polinomio 2x 2 + 5 x − 3

2x 2 + 5x − 3 = 0a = 2 b = 5 c = 3 Igualamos a cero y determinamos los valores de a, b y c.

Sustituimos los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática

35


Resolviendo lo que está dentro de la raíz:

52 = 254 . 2 . (3) = 8 . (3) = + 24

Extraemos la cantidad subradical por ser un cuadrado perfecto.

Obtenemos dos valores de la x uno sumando 7 y el otro restándolo.Así obtenemos:

Reemplazamos los valores en la fórmula general.Recuerda que x(3) = x + 3

Regla de Ruffini

Se aplica para cualquier polinomio que tiene raíces enteras; es decir, encontrar valores de x (números enteros) que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Por ejemplo, si un polinomio de cuarto grado ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e , tiene cuatro raíces enteras, x1 , x 2 , x3

y x 4 se factoriza así:ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = a( x − x1 )( x − x 2 )( x − x3 )( x − x 4 )

Pero ¿cómo se aplica la regla de Ruffini para obtener las raíces?

Ejemplo Nº 12: Factorizar x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12, o sea que se prueba con 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 12 y –12, primeramente probemos con uno (1):

36


Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado debemos intentar seguir factorizándolo.

Probando ahora por 2 y aplicando otra vez la regla queda:

Así hemos conseguido la segunda raíz, por lo que el polinomio va quedando factorizado de la siguiente manera: (x − 1).(x − 2).(x 2 − x − 6)

Ahora seguimos aplicando la regla para encontrar las otras raíces.

37


La nueva raíz en 2 y el último cociente se toma con la raíz 3

La factorización final es:

x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = (x − 1)( x − 2)( x + 2)( x − 3)

Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.

RESUMIENDO:

Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, es decir, en primer lugar se puede extraer el factor común, y luego se pueden seguir aplicando otros de los métodos.

Ejercicios Propuestos:Factoriza:

8.1: x2 + 2x + 3 8.2: x2 − a2 + x − a2 x

8.3: 3x 5 − 48 x 8.4: 4 x12 + 12 x 6 + 9

8.5: x 3 − 12 x 2 + 41x − 30 8.6: 3xm 2 −x + 3m 2 − 1

8.7: 3x 2 + 15x + 18 8.8: 3x3 + 3x 2 + 3x + 3

8.9: 8.10:

Calcula el valor de k en:

8.11:

8.12:

8.13: Si el volumen de un paralelogramo viene dado por la fórmula: V = x3 + 5x 2 + 6 x . ¿Cuáles podrían ser las medidas de las aristas (largo, ancho y altura)?

8.14: ¿Para qué valor de n se cumple que xn − x = x (x 2 − 1) ? 8.15 ¿De cuántas maneras podemos factorizar el número 64?

38


UNIDAD 2TEORÍA DE CONJUNTOS

LECTURA Nº 9: CONCEPTOS BÁSICOS

La teoría que nos ocupa en este capítulo, está construida sobre la base de conceptos, los cuales, por ser intuitivos y comprensibles, no es necesario definirlos formalmente.

Sabemos que en la realidad existen “cosas”, “objetos”, “entes”, “elementos”, que constituyen unidades completamente identificables, que pueden ser tangibles o no. A la vez, esos, elementos, son agrupables, de acuerdo a cualquier tipo de criterio, conformando lo que conocemos como “conjunto”. Por lo tanto, decimos que los elementos pertenecen a conjuntos. Es a partir de estos tres conceptos: elemento, pertenencia y conjunto, que se desarrolla la teoría que estudiaremos a continuación.

Es importante destacar que, aun cuando no demos definiciones formales para los conceptos antes mencionados, ellos deben ser plenamente identificables, con el objeto de lograr un desarrollo teórico formal. En este sentido, se hace necesario disponer de un adecuado sistema de representación o identificación.

Notación

Los conjuntos serán identificados con letras mayúsculas, tales como: A, B, C, D, etc.

Mientras que los elementos se identificarán con letras minúsculas, a menos que ellos sean, a su vez, conjuntos, como por ejemplo:

a, b, c, d, etc.Vale la pena señalar que lo usual es utilizar las primeras letras del abecedario (a, b, c,…) para denotar elementos que estén perfectamente determinados y reservar las últimas (…,x, y, z) para elementos genéricos o indeterminados. Además, en el caso de la notación para conjuntos, se reservan las letras mayúsculas: N,Z, Q, R y C, para los llamados conjuntos de los números: Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente. Tales conjuntos son tratados de manera específica más adelante en la sesión: “Conjuntos Numéricos”, sin embargo, nos permitiremos utilizarlos, en diversos ejemplos, asumiendo que los estudiantes están familiarizados con ellos debido a sus estudios previos. Sólo debemos destacar aquí una diferencia de notación que usaremos, desde este momento, en relación al conjunto de los números naturales. Ella se refiere a que cuando usemos la letra N nos estaremos refiriendo a los números naturales incluido el cero, mientras que cuando usamos la notación N* nos referiremos a los naturales a partir del uno, es decir sin el cero.

39

Tomada con fines instruccionalesGallo, C. (1996). Matemáticas para Estudiantes deAdministración y Economía. U.C.V. Ediciones de laBiblioteca. Tercera Edición. (p. 8791). Caracas.


Los conjuntos deben expresarse escribiendo los elementos que los constituyen encerrados entre llaves. Por ejemplo, para expresar al conjunto formados por las cinco primeras letras del alfabeto, al cual, denotaremos con la letra A, podemos escribir:

A = {a, b, c, d , e}

Relación de pertenencia

La relación que se establece entre elementos y conjuntos es la llamada relación de pertenencia. Hemos dicho antes que los elementos pertenecen a conjuntos, por lo tanto, enunciaremos con frecuencia proposiciones tales como: “el elemento a pertenece al conjunto A” la cual expresaremos mediante

a A∈

que se lee “a pertenece a A”. Su negación la escribiremosa A∉

la cual, leeremos “a no pertenece a A”.

Así, de acuerdo al ejemplo anterior tenemos que c A , mientras que n A .∈ ∉

Es importante, para mayor claridad y precisión de nuestras expresiones tener presente lo siguiente:

1) Cada conjunto debe determinarse claramente, sin ambigüedad. De forma tal, que pueda establecerse, sin lugar a dudas, si un elemento específico pertenece o no a un conjunto determinado.

2) Los elementos de un conjunto deben ser distintos entre si. Ningún elemento debe estar repetido y en caso de que esto ocurra, se le considera una sola vez.

3) No importa el orden en que se escriben los elementos de un conjunto. Cambiar el orden de colocación de los elementos dentro de un conjunto no significa que dicho conjunto ha cambiado.

Determinación de conjuntos

En general, todos los conjuntos pueden determinarse de dos formas diferentes por extensión o por comprensión.

Por Extensión

Diremos que un conjunto está determinado por extensión si detallamos o enumeramos todos y cada uno de los elementos que pertenecen a dicho conjunto.

Por ejemplo: A = { 15, 30, 45}

Por Comprensión

Diremos que un conjunto está determinado por comprensión si damos una propiedad, o propiedades, que caracterizan a sus elementos, y solo a ellos, tal que nos permita establecer, inequívocamente, si cierto elemento pertenece, o no, a dicho conjunto. Por ejemplo:

A = { números naturales menores que 50 y múltiplos de 3 y de 5 }

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Un conjunto que posea un número finito de elementos, en general, puede ser expresado de las dos formas. El conjunto A, de los ejemplos anteriores, es el mismo en ambos casos, determinado primero por extensión y luego por comprensión.

Sin embargo, los conjuntos que poseen infinitos elementos, sólo pueden ser determinados por comprensión.En la determinación de conjuntos por comprensión se usan con frecuencia símbolos que simplifican las expresiones. Así, el conjunto A, que venimos utilizando como ejemplo, puede escribirse

A = {x : x N x < 50 3 | x 5 | x}∈ ∧ ∧ ∧

Donde el símbolo “:” se lee “tal que”.

En las definiciones de los conceptos que siguen a continuación, así como en el enunciado de propiedades, teoremas y sus respectivas demostraciones, se utilizará una forma general de determinación de los conjuntos por comprensión, en la cual, se escribirá el símbolo

P(x)que representa una propiedad relativa a un elemento indeterminado x.

Así, por ejemplo, si queremos referirnos a los números pares, entonces esp(x): x es par

Ahora bien, es importante destacar que el enunciado “x es par” no es una proposición. Tal enunciado se convierte en una proposición cuando se especifica el elemento x, ya que sólo así podremos calificarla de verdadera o falsa. De esa manera, para cada asignación de un valor a x, obtenemos una proposición. En el caso del ejemplo presentado tenemos que:

p(4): 4 es par (V)p(7): 7 es par (F)

Entonces, cuando queremos expresar de manera general a un cierto conjunto, digamos A, determinado por comprensión, como el conjunto de elementos x que satisfacen una cierta propiedad, digamos P(x), escribimos

A = {x : P ( x)}

En consecuencia, para un elemento dado a , dado, diremos que:a A P(a) es V∈ ⇔

a A P(a) es F∉ ⇔

Nuevamente tomando el caso del conjunto A de los ejemplos anteriores, tenemos que esP ( x) : x N x < 50 3 | x 5 | x∈ ∧ ∧ ∧

En consecuencia, 30 A, ya que, P(30) es verdadera, mientras que 10 A, por ser P(10) falsa.∈ ∉

En general, todos los conjuntos pueden ser determinados por comprensión. Es decir, para cualquier conjunto pueden enunciarse propiedades que caracterizan a los elementos que los conforman, de tal forma que tales enunciados al ser aplicados o referirse a elementos específicos, según hemos visto, constituyen proposiciones que cuando son verdaderas nos establecen que el elemento en cuestión pertenece al conjunto de que se trate y cuando son falsas nos establecen lo contrario. Vemos así, que las proposiciones

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juegan un papel básico en la definición de los conjuntos y por, lo tanto, la Lógica Proposicional constituye un apoyo fundamental en el desarrollo de la Teoría de Conjuntos.

LECTURA Nº 10: TIPOS DE CONJUNTOS

Conjuntos especiales

Conjunto universal

En el análisis de una situación particular, hay un conjunto o colección fija de elementos que se denomina conjunto universal y se denota por la letra griega (omega). Dicho conjunto , consta de todos losΩ Ω elementos a los que se pueda referir esa situación. Es algo así como la fuente de todos los elementos que forman parte de los conjuntos sobre los que vamos a trabajar.

Hay dos circunstancias que se deben tener en cuenta cuando se trata de elegir el conjunto universal:

1. El conjunto universal no es único; depende del problema que se esté considerando y puede cambiar según la situación particular de que trate;

2. Aún para un mismo problema el conjunto universal no está definido en forma única; podemos elegirlo a nuestra conveniencia con relativa libertad.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: si los conjuntos a considerar son los urólogos, dermatólogos, pediatras y cirujanos, el universo más adecuado es el conjunto de los médicos.

Ejemplo 2: para un problema determinado nos interesa pensar en el conjunto de todos los libros de “Sistemas y Procedimientos”. Este conjunto puede estar referido a algún conjunto universal, que seleccionaremos de acuerdo con nuestras necesidades. Por ejemplo, puede ser el conjunto de los librosΩ de la biblioteca de esta Facultad, o el conjunto de los libros de esta Universidad, o el conjunto de los libros del tema “Sistemas y Procedimientos”, editados en cualquier idioma o el conjunto de todos los libros que existen en esta ciudad, etc. Note que tenemos libertad para fijar , y únicamente debemos tomar en cuentaΩ nuestra conveniencia específica.

Ejemplo 3: sea el conjunto de los alumnos con calificación promedio de ocho o más puntos. El conjunto universal puede ser, según el estudio o situación que se esté considerando: i) los alumnos del “grupo 106”;

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Tomada con fines instruccionalesKleiman, A. y de Kleiman, E. (1972). Conjuntos.Aplicaciones Matemáticas a la Administración.Editorial Limusa Wiley. Primera edición. (p. 8791).Caracas.


ii) el conjunto de los alumnos de esta Facultad; iii) el conjunto de alumnos de la Universidad; iv) el conjunto de todos los alumnos de escuelas de esta ciudad, etcétera.

Esa relativa libertad de elección a que hemos hecho referencia no debe interpretarse en el sentido de que Ω es un conjunto impreciso o de naturaleza variables. Al analizar una situación determinada una vez que se ha decidido cuál es el conjunto universal , ese conjunto permanece fijo y todos los demás conjuntosΩ mencionados en la misma discusión se forman con elementos de ese .Ω

Conjunto vacío

Aunque a primera vista parezca extraño, resulta conveniente hablar acerca de conjuntos sin elementos. Un conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vacío o conjunto nulo, y se lo designa por el símbolo ø o por { }.

Por ejemplo, los siguientes son conjuntos vacíos:

A = {x : x es una persona de más de 200 años de edad} B = {y : y es un océano de agua dulce} C = {z : z es el conjunto de los números naturales mayores que 5 y , menores que 6} D = {w : w2 = 1, w es un número entero}.

Es importante advertir que ø es distinto de 0 y de {0} . En efecto:

i) ø es un conjunto sin elementos; ii) {0} es un conjunto con un solo elemento, el número 0; iii) 0 es un número y no un conjunto

Muchas veces se define un conjunto vacío recurriendo a un par de condiciones mutuamente contradictorias, tales como:

M = {m : m es un burro con alas} N = {n : n es un ser viviente con 6 narices}.

Conjuntos Finitos e Infinitos

El número de elementos de un conjunto no vacío, puede ser finito o infinito. Es finito cuando se puede listar exhaustivamente sus elementos en algún orden, y en consecuencia contarlos uno a uno hasta alcanzar el último. En caso contrario, si el conjunto no posee un último elemento se dice que es un conjunto infinito.

Ejemplos de conjuntos finitos son: los empleados de una empresa, los periódicos de un país, los proveedores de la industria de la construcción, etc.

Ejemplos de conjuntos infinitos: el conjunto de los enteros positivos, el número de rectas que pasan por un punto, etcétera.

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Estos conjuntos son infinitos porque no es posible listar todos sus elementos y enumerar explícitamente la totalidad de ellos. El proceso de conteo de los elementos nunca termina para un conjunto infinito.

La notación para el conjunto de los números naturales (enteros positivos) es la siguiente:

N = { 1,2, 3, 4, 5, 6, ...}, es decir que se listan algunos de los elementos del conjunto seguidos de puntos suspensivos (que equivalen al etc), y que reemplazan a los elementos no listados. Esta forma de notación se emplea a menudo, pero no es muy satisfactoria desde el punto de vista lógico. En sentido estricto el método de listado o de enumeración, es inaplicable a conjuntos infinitos. Para especificar correctamente un conjunto infinito se debe citar alguna propiedad definitoria, es decir especificarlo por comprensión.

Los conjuntos infinitos se presentan en muy diversos problemas concretos. Por ejemplo, en el control estadístico de calidad, los analistas del proceso de producción pueden considerar que la máquina bajo observación genera un flujo continuo e infinito de productos.Un ejemplo usual en el desarrollo de este tema es el del conjunto de los granos de arena de la playa de Acapulco. No obstante que el número de elemento de ese es inmenso, no deja de ser un conjunto finito.

LECTURA Nº 11: MAS SOBRE CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto universal

Llamamos Conjunto Universal o Conjunto Referencial aquel conjunto, al cual, pertenecen todos los elementos de una situación dada o de interés.

Partiendo de este concepto, está claro que el conjunto universal o referencial no es único, sino que depende de la situación en particular que se esté tratando.

Para denotar al conjunto universal se utiliza la letra mayúscula U, o bien el símbolo (letra griegaΩ mayúscula “omega”).

El conjunto universal establece una referencia (también se le dice universo), delimita las áreas de trabajo, es decir, establece las fronteras. Por ejemplo, si nos planteamos una investigación estadística sobre la educación, no es lo mismo que el universo sea el conjunto de todos los estudiantes de la Universidad Central de Venezuela en un año determinado, que el de los estudiantes de todas las universidades venezolanas o que el de todas las universidades latinoamericanas. Tal delimitación depende del objetivo específico que se persiga con la investigación.

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Tomada con fines instruccionalesGallo, C. (1996). Matemáticas para Estudiantes deAdministración y Economía. U.C.V. Ediciones de laBiblioteca. Tercera Edición. (p. 9499). Caracas.


Siendo consecuentes con nuestra intención de evidenciar la equivalencia existente entre el lenguaje utilizado en Teoría de conjuntos y el utilizado en Lógica Proposicional, veamos como se manifiesta dicha equivalencia en el caso de la definición dada para el conjunto Universal. Supongamos que A sea un conjunto dado, tal que:

A = {x : P ( x)}

De acuerdo con la definición dada, al conjunto universal, o referencial, U, pertenecen todos los elementos de la situación de que se trate. Esto es, a U lo conforma tanto los elementos de A , como los que no pertenecen a A . Estando A definida a través de P(x) , entonces a U pertenecen aquellos elementos que hacen verdadera a P(x) y también pertenecen los que la hacen falsa. Esto quiere decir que al conjunto universal U lo podemos definir por comprensión de la siguiente manera:

U = {x : P ( x) ~ P ( x)}∨

Podemos observar que cualquier x, de la situación de que se trate, hará verdadera a P( x) ~ P( x) . En∨ otras palabras, la disyunción inclusiva P( x) ~ P( x) es siempre verdadera. Vemos así, que el conjunto∨ universal se define a través de una tautología.

Conjunto vació

Llamamos Conjunto Vacío a aquel conjunto que no tiene elementos. Para denotar al conjunto vacío utilizamos el símbolo ø (letra griega mayúscula “phi”).

Al conjunto vacío también lo podemos definir a través de proposiciones. Dado que a él no pertenece ningún elemento, entonces cualquier enunciado que no pueda ser verdadero para ningún elemento, definirá al vacío. En el caso que ningún x hace verdadera a

P ( x) ~ P ( x)∧

Por lo tantoø = {x : P ( x) ~ P( x)}∧

Vemos así, que el conjunto vacío puede ser definido a través del enunciado de cualquier contradicción.El conjunto vacío es único, esto es, no existen conjuntos vacíos diferentes entre sí. Para todas las situaciones de que se trate, los conjuntos que no tengan elementos, son iguales entre sí, y tienen en el llamado conjunto vacío a su representante. Esta importante afirmación, sobre la unicidad del vacío, será formalmente demostrada mas adelante, una vez que hayamos estudiado la relación de inclusión y la propiedad antisimétrica de dicha relación, la cual, constituye el instrumento de demostración.

Ejemplo

Sea el conjuntoA = {x : (x Z ) (7 x − 3 = 0 )}∈ ∧

Podemos observar que ningún número entero hace verdadera a 7 x − 3 = 0

Esto es x Z : 7x − 3 = 0∃ ∈

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Por lo tanto, el conjunto A no tiene elementos y decimos que es vacío. Es decir, A = ø

Conjunto unitario

Llamaremos Conjunto Unitario a aquel conjunto, al cual pertenece un solo elemento.

Ejemplo

Sea el conjuntoA = {x : (x Z ) ( x > 3) ( x < 5)}∈ ∧ ∧

De acuerdo a como ha sido definido A, a él pertenecen los números enteros que son, simultáneamente mayores que 3 y menores que 5, lo cual, es sólo satisfecho por el entero 4 y de ahí que digamos que A es un conjunto unitario.

Aprovechamos este ejemplo para plantear que, en general, cuando tengamos expresiones tales como

(x > a ) (x < b )∧

Donde a y b son números tales que a < b , suele escribirse de una forma más sencilla como la siguiente:

a<x<b

La cual, leemos “x es mayor que a y menor b” y nos indica, igual a la de arriba, los números x que satisfacen, a la vez, que sean mayores que a y menores que b. Expresado de otra forma, se refiere a los números comprendidos entre a y b.

Así, el conjunto A , del ejemplo, también puede escribirse como sigue:A = {x : ( x Z ) (3 < x < 5)}∈ ∧

Podemos observar que el único valor de x entero que hace verdadera a la proposición es 4. Luego, decimos que A es

A = {4}

Habiendo dado la definición para conjunto unitario, es importante destacar, ahora, la diferencia entre las siguientes notaciones:

a, {a}, {{a}}

La primera se refiere al elemento a. La segunda se refiere al conjunto unitario cuyo único elemento es a y la tercera se refiere al conjunto de conjuntos, también unitario, cuyo único elemento es el conjunto {a}.

Ejercicios:

1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos: A = {x : ( x = 2n − 1) (n N * ) ( x ≤ 5)}∧ ∈ ∧

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B = {x : ( x = 2n ) (n N * ) ( x ≤ 10)}∧ ∈ ∧

C = {x : ( x Z ) (− 25 ≤ x 3 ≤ 50)}∈ ∧

D = {x : ( x = 2n + 1) (n N * ) ( x ≤ 9)}∧ ∈ ∧

E = {x : ( x N ) (x 2 − 2 x + 8 = 0)}∈ ∧

F = {x : (x N * ) ( x + 2 ≤ 11)}∈ ∧

2. Diga cuales de las siguientes expresiones son verdaderas, justificando sus respuestas:a) a {{a}} b) {a, b} {a, {a, b}} c) {a, {a}} = {a}∈ ∈

d) {a, b, c} = {a, c, a, b} e) {a, a, b, c} ≠ {a, b, b, c} f) {a, b, c} = {b, a, c}

3. Traducir en palabras lo que significan las expresiones siguientes: a) A = {x : (x N ) ( x ≤ 6 )}∈ ∧

b) B =

c) C = {x : ( x N ) (5 ≤ 4 x − 6 ≤ 30 )}∈ ∧

d) Siendo a una recta del plano: H = {r : r es una recta r a }∧

e) Siendo a una recta del plano: M = {r : r es una recta r a}∧ ⊥

f) E = {x : ( x N ) (2 ≤ 2 x − 3 ≤ 11)}∈ ∧

g) F = {x : ( x N ) ( x Z )}∈ ∧ ∈

4. Expresar simbólicamente los siguientes conjuntos: a) El conjunto de los números naturales pares b) El conjunto de las soluciones reales de la ecuación: x 3 − 2 x 2 − x + 2 = 0 c) El conjunto de números naturales que satisfacen la relación: − 16 < 10 x − 78 ≤ 3

5. Expresar por comprensión los conjuntos siguientes: A = { 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15} B = { 1, 4, 9,16, 25, 36} C = { 1, 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23} D = { 1, 2, 4, 8,16, 32, 64}

6. Si a es un elemento del conjunto B y B es un elemento del conjunto C , ¿se puede concluir que a es un elemento de C ?

7. Diga cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos: A = {x : x es impar y divisible por 2} B = {x : x Z x + 3 = 3}∈ ∧

C = {x : ( x R ) (x 2 = 10 ) (2 x = 10)}∈ ∧ ∧

D = {ø }

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LECTURA Nº 12: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS

Diagrama de venn.

Con objeto de hacer más intuitivas las cuestiones relativas a conjuntos es aconsejable usar unos esquemas llamados diagramas de Venn; en ellos, los elementos del conjunto universal U se representan gráficamente por puntos de un cuadrado (o rectángulo) y los subconjuntos por puntos de círculos contenidos en el cuadrado.

Es de observar que tanto U como los subconjuntos pueden ser finitos o infinitos en este último caso puede incluso ser U el conjunto de todos los puntos del cuadrado y los subconjuntos estar integrados por todos los puntos de los círculos. Interesa señalar también que, mientras no se advierta lo contrario, los elementos no los representaremos por puntos de los diferentes contornos (circunferencias y perímetro del cuadrado).

Ejemplo:

En la figura adjunta se ha representado en un diagrama de Venn, el conjunto universal.

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, }

y los subconjuntos:A = { 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 5, 6, 7, 8 } C = { 10, 11 }

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Tomada con fines instruccionalesBurgos, A. (1971). Iniciación a la MatemáticaModerna. Selecciones Científicas. TerceraEdición. (p. 26). Madrid.


LECTURA Nº 13: RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Dos conjuntos A y B son iguales si cumplen dos condiciones esenciales: que todo elemento de A pertenece a B, e inversamente, que todo elemento de B pertenece a A.

Cuando los conjuntos A y B son iguales escribiremos A = B y si no son iguales se escribe A ≠ B . Veamos algunos ejemplos:

a) Los conjuntos: A = {− 4, 5, 7, 12} y B = son iguales ya contiene los mismos elementos.

Recuerde que:

b) Los conjuntos:{x : x es un número entero negativo mayor que − 8} y {− 7,−6,−5,−4,−3,−2,−1} son iguales, ya que aún cuando están expresados en forma diferente, el primero por comprensión y el segundo por extensión, contienen los mismos elementos.

c) Los conjuntos:{5, − 4, 7, 5, 7 12} y {− 4, 5, 7, 12} son iguales. El primer conjunto tiene los mismos elementos del segundo, ya que los elementos que se repiten se toman en cuenta una sola vez.

d) Los conjuntos {12 , 5, − 4, 7,} y {− 4, 5, 7, 12} son iguales, no importa el orden en el cual se escriben los elementos.

e) Los conjuntos:{− 4, 5, 7, 12} y {− 4, 5, 6, 7, 12} no son iguales porque no poseen los mismos elementos. El segundo conjunto contiene a 6, mientras que el primero no.

Relación de inclusión

Esta relación se denota por el signo “ “se lee “incluido o contenido en” y se dice que un conjunto A está⊆ incluido en el conjunto B cuando todos los elementos de A pertenecen a B, esta definición se puede escribir formalmente utilizando la simbología que se conoce hasta ahora, de la siguiente forma:

( A B ) (x A x B )⊆ ⇔ ∈ ⇒ ∈

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Tomada con fines instruccionalesGómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007).Igualdad e Inclusión entre Conjuntos. Artículo no publicado (p.1). Caracas.


otra forma de leer A B es “A es subconjunto de B”. Por el contrario, A B cuando existe por lo menos un⊆ ⊄ elemento de A que no pertenece a B.

Es importante señalar que si todos los elementos de un conjunto A pertenecen también a un conjunto B, pero no todos los elementos del conjunto B pertenecen a A, es decir, A ≠ B , entonces se dice que A es un subconjunto propio de B y que la inclusión es estricta, esto se denota de la siguiente forma: A B⊂

Propiedades de la Inclusión:

1. Para cualquier conjunto B, se tiene que: ø B .⊆

2. Propiedad Reflexiva. Todo conjunto es subconjunto de si mismo, es decir:A A , en efecto, ( x) A , se tiene, por supuesto, que x A⊆ ∀ ∈ ∈

3. Propiedad Antisimétrica. Si un conjunto esta incluido en otro y viceversa entonces los conjuntos son iguales, es decir:

(A B B A) A = B .⊆ ∧ ⊆ ⇒

observe que: A B ( x A x B ) y B A ( x B x A) entonces todos los elementos de A⊆ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⊆ ⇒ ∈ ⇒ ∈ están en B y todos los elementos de B están en A.

4. Propiedad Transitiva. Considere tres conjuntos A, B y C uno contenido dentro del otro, es decir:A B y B C⊆ ⊆

Esto implica:A C por lo tanto la propiedad queda enunciada así: (A B y B C) A C⊆ ⊆ ⊆ ⇒ ⊆

LECTURA Nº 14: OTRAS RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Conjuntos disyuntos.

Se dice que dos conjuntos A y B son disyuntos si no tienen elementos comunes.En cambio, llamaremos solapados a los conjuntos que, sin estar uno incluido en el otro, tienen elementos comunes.

Ejemplos: a) Si A = { 1, 3, 5, 7 } y B = { 2, 4, 6 } , A y B son disyuntos. b) Si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } y B = { 5, 6, 7, 8 } , A y B son solapados. c) Si A es el conjunto de los números pares y B el de los impares, A y B son disyuntos.

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Tomada con fines instruccionalesBurgos, A. (1971). Iniciación a la MatemáticaModerna. Selecciones Científicas. TerceraEdición. (p. 2324). Madrid.


Observe los siguientes pares de conjuntos:

d) A y B son disyuntos en las figuras 1 y 2e) A y B son solapados en las figuras 3 y 4

Observando la figura 5, donde I es el conjunto de puntos del circulo O, C el conjunto de puntos de la circunferencia del circulo O y E es el conjunto de puntos exteriores a la circunferencia;

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LECTURA Nº 15: OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Las operaciones entre conjuntos son formas específicas de combinar conjuntos para formar otros conjuntos. Estas operaciones junto con sus propiedades constituyen un sistema lógico de construcción y conducen a la teoría de conjunto como un álgebra, o sea como un sistema matemático.

En particular, se tratan las operaciones de intersección, unión, diferencia y complementación, las cuales pueden ser representadas a través de los diagramas de Venn. A menudo se piensa que las operaciones entre conjuntos son útiles estrictamente en el campo formal de las matemáticas, sin embargo, estas combinaciones se utilizan de forma casi inconsciente en la vida real para tomar decisiones en determinadas situaciones, una muestra de esto es el siguiente ejemplo:

Una estudiante de la UNEFA está decidiendo cual de dos libros va a comprar para el curso de Razonamiento Lógico, para ello revisa la tabla de contenido y la compara con su programa.

El programa de Razonamiento Lógico es el siguiente:

Unidad 1: LÓGICA PROPOSICIONAL (a) Proposiciones, (b) Conectivos Lógicos, (c) Tablas de Verdad, (d) Tautologías y contradicciones

Unidad 2: LEYES DE LA LÓGICA : (e) Leyes de Inferencia, (f) Leyes de Equivalencia, (n) Falacias

Unidad 3: DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS (g) Métodos Deductivos, (h) Métodos Inductivos

Unidad 4: TEORÍA DE CONJUNTOS (i) Conceptos básicos, (j) Diagramas de Venn, (k) Operaciones entre conjuntos, (m) Relaciones entre conjuntos En cada uno de los libros identificaremos con la letra correspondiente a cada tema. La tabla de contenidos de los libros es la siguiente:

LIBRO 1 LIBRO 2 ( a ) Proposiciones ( a ) Proposiciones ( b ) Conectivos lógicos ( b ) Conectivos lógicos ( c ) Tablas de Verdad ( c ) Tablas de Verdad

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Tomada con fines instruccionalesGómez, T., González, N., Lorenzo, J. (2007).Igualdad e Inclusión entre Conjuntos. Artículo no publicado (p.1). Caracas.


( d ) Tautologías y contradicciones ( g ) Método Deductivo ( e) Leyes de Equivalencia ( h ) Método Inductivo ( f ) Leyes de Inferencia ( i ) Conjuntos: Conceptos Básicos ( i ) Conjuntos: Conceptos Básicos ( k ) Operaciones entre conjuntos ( k ) Operaciones entre conjuntos ( j ) Diagramas de Venn ( m ) Relación entre conjuntos

Ahora, para tomar una decisión, la estudiante se hace las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles son los contenidos que tienen en común los libros? 2. ¿Cuáles son los contenidos no comunes entre los libros? 3. ¿Cuáles contenidos del programa no se encuentran en ninguno de los libros? 4. ¿Sería necesario comprar ambos libros?

Para tomar una decisión sobre cuál sería el mejor libro, para comprarlo, vamos tratar de responder estas preguntas usando las operaciones entre conjuntos, que serán definidas a continuación:

1) Definimos el conjunto universal: Para este caso, el universo al cual nos queremos referir es el contenido programático de la materia Razonamiento Lógico. El conjunto universal loΩ representaremos por las letras de cada uno de los temas y lo representamos en el siguiente rectángulo:

Intersección

En el ejemplo anterior suponga que tomamos el contenido de cada libro como un conjunto. Los contenidos del libro 1 forman el conjunto A = {a, b, c, d , e, f , i, k , m} , los contenidos del libro 2 forman el conjunto B = {a, b, c, g , h, i, j , k } y el programa de la cátedra el conjunto universal = {a, b, c, d , e, f , n, g , h, i, j , k ,Ω m}, entonces observe que, los contenidos que coinciden entre los libros son " a" , " b" , " c" , " i" , y " k " , este es un nuevo conjunto y se llama conjunto intersección, gráficamente se visualiza de la forma siguiente:

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Observe que gráficamente cada conjunto recibe un rayado o marca particular que los diferencia y que la intersección es la zona doblemente rayada o marcada.

La intersección se simboliza por , en este caso la operación A interceptado con B queda escrita de la∩ siguiente forma:

A B = {a, b, c, i, k }∩

En general la intersección de conjuntos se define como:

Propiedades de la intersección.

1) Propiedad Conmutativa, es decir: A B = B A∩ ∩

En efecto: A B = {x / x A x B}∩ ∈ ∧ ∈

= {x / x B x A} = B A∈ ∧ ∈ ∩

2) Propiedad Asociativa, es decir: ( A B ) C = A (B C )∩ ∩ ∩ ∩

En efecto: ( A B ) C = {x / x ( A B ) x C}∩ ∩ ∈ ∩ ∧ ∈

= {x / x A y x B x C}∈ ∈ ∧ ∈

= {x / x A x (B C )} = A (B C )∈ ∧ ∈ ∩ ∩ ∩

Propiedades de la intersección y de la inclusión.

1) Un conjunto esta contenido en otros dos si, y solo si, esta contenido en la intersección de ambos, es decir:X A y X B X A B⊆ ⊆ ⇔ ⊆ ∩

Directo. Comenzaremos por probar que: X A y X B X A B⊆ ⊆ ⇔ ⊆ ∩

En efecto, todo x X x A y x B x A B∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∩

Luego: X A B.⊆ ∩

Recíproco. Vamos a probar ahora que X A B X A y X B⊆ ∩ ⇒ ⊆ ⊆

En efecto, todo: x X x A B x A y x B∈ ⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈ ∈

Luego: X A y X B⊆ ⊆

2) Un conjunto está con contenido en otro si, y sólo si, la intersección de ambos es igual al primero de los conjuntos, es decir:

A B A B = A. Esta se conoce como ⊆ ⇔ ∩ Propiedad de Conformidad.

Directo. Comenzaremos por probar que: A B A B = A.⊆ ⇔ ∩

En efecto, todo: x A B x A .∈ ∩ ⇒ ∈

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Sean A y B subconjuntos del conjunto universal, llamaremos intersección de A con B al conjunto de todos los elementos comunes a ambos

conjuntos, y se específica por comprensión como sigue: A B = { x / x A x B}∩ ∀ ∈ Ω ∈ ∧ ∈


Inversamente, como A B, todo x A x A B⊆ ∈ ⇒ ∈ ∩

Luego: A B = A∩

Reciproco. Probaremos ahora que: A B = A A B∩ ⇒ ⊆

En efecto, como la hipótesis se sigue que A = A B, todo x A x A B .∩ ∈ ⇒ ∈ ∩

Ahora bien, si x A B x B∈ ∩ ⇒ ∈

Luego: A B⊆

Consecuencias. Puesto que para todo conjunto A se tiene:ø A, A A y A⊆ ⊆ ⊆Ω

En virtud de la segunda propiedad, se tendrán las siguientes nuevas propiedades conocidas como Ídem potencia

3) ø A = ø 4) A A = A 5) A = A∩ ∩ ∩ Ω

Dejamos como ejercicio al lector la demostración de la siguiente propiedad:

6) A B = A = B = ∩ Ω ⇔ Ω

Unión

La unión de conjuntos se simboliza por se define como:∪

En el ejemplo que tratamos al inicio de esta lectura podemos encontrar que para los conjuntos:A = {a, b, c, d , e, f , i, k , m} y B = {a, b, c, g , h, i, j , k }

A B = {a, b, c, d , e, f , g , h, i, j , k , m}∪

gráficamente;

Para la unión la solución mostrada en el diagrama de Venn siempre será toda la zona que se encuentre rayada o marcada.

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Sean A y B subconjuntos del conjunto universal, llamaremos unión de Acon B al conjunto de los elementos del conjunto universal que pertenecen

por lo menos a uno de los subconjuntos A y B, y se específica porcomprensión como sigue:

A B = { x / x A x B}∪ ∀ ∈ Ω ∈ ∨ ∈


Propiedades de la Unión:

1). Propiedad conmutativa: A B = B A∪ ∪

En efecto: A B {x / x A x B} ∪ ≡ ∈ ∨ ∈ ≡

{x / x B x A} B A≡ ∈ ∨ ∈ ≡ ∪

2). Propiedad asociativa: ( A B ) C = A (B C )∪ ∪ ∪ ∪

En efecto: ( A B ) C {x / x ( A B ) x C} ∪ ∪ ≡ ∈ ∪ ∨ ∈ ≡

{x / x A x B x C} ≡ ∈ ∨ ∈ ∨ ∈ ≡

{x / x A x (B C )} A (B C )≡ ∈ ∨ ∈ ∪ ≡ ∪ ∪

Propiedades de la Unión y de la Inclusión:

1). Dos conjuntos están incluidos en otro si, y sólo si, la unión de aquellos está contenida en éste:A X y B X A B X⊆ ⊆ ⇔ ∪ ⊆

Directo. Comenzaremos por probar que: A X y B X A B X⊆ ⊆ ⇔ ∪ ⊆

En efecto, por estar: A X y B X,⊆ ⊆

Se tiene entonces,

a) Si x A x X , si x A , también x A B , por lo tanto para todo x A X , entonces∈ ⇒ ∈ ∈ ∈ ∪ ∈ ⊆

x A B y x X .∈ ∪ ∈

Luego A B X .∪ ⊆

(b) Si x B x X , si x B , también x A B , por lo tanto para todo x B X , entonces∈ ⇒ ∈ ∈ ∈ ∪ ∈ ⊆

x A B y x X .∈ ∪ ∈

Luego A B X .∪ ⊆

La demostración del Reciproco A B X A X y B X queda a cargo del lector.∪ ⊆ ⇒ ⊆ ⊆

2). Un conjunto está con cotenido en otro si, y sólo si, la unión de ambos es igual al segundo de los conjuntos:

A B A B = B . Se conoce como la ⊆ ⇔ ∪ Propiedad de Conformidad

Directo. Comenzaremos por probar que: A B A B = B⊆ ⇔ ∪

En efecto, todo x A B x A ó x B ( por definición)∈ ∪ ⇒ ∈ ∈

Pero como A B, para todo x A se tiene x B ,⊆ ∈ ∈

por lo tanto A B B (i)∪ ⊆

Por otro lado, para todo x B x A B y, por tanto, B A B (ii)∈ ⇒ ∈ ∪ ⊆ ∪

Por lo tanto, por (i) y (ii) que: A B = B∪

56


La demostración del reciproco A B = B A B queda a cargo del lector.∪ ⇒ ⊆

Visto las propiedades anteriores se concluye que para todo conjunto A se tiene:ø A, A A y A⊆ ⊆ ⊆Ω

En virtud de esta propiedad 2 se tendrán las siguientes nuevas propiedades conocidas como Ídem potencia:3) ø A= A∪

4) A A = A .∪

5) A = ∪Ω Ω

Dejamos a cargo al lector la deducción de la siguiente propiedad6) A B =ø A = B =ø∪ ⇔

Propiedad de la Intersección y de la Unión:

1). Propiedad Distributiva: a. A (B C ) = ( A B ) ( A C )∩ ∪ ∩ ∪ ∩

b. A (B C ) = ( A B ) ( A C )∪ ∩ ∪ ∩ ∪

2). Propiedad de Absorción: a. A (A B) = A∩ ∪

b. A (A B) = A∪ ∩

Demostrar la propiedad (2.a): A ( A B ) = A∩ ∪

Directo.Todo x A ( A B x A y x A B x A)∈ ∩ ∪ ⇒ ∈ ∈ ∪ ⇒ ∈

Se deja al lector la demostración del Recíproco: Si x A x A B. Las relaciones de (1.a) y (2.a) nos∈ ⇒ ∈ ∪ permiten probar fácilmente la certeza de la relación (2.b), pues, en efecto:

A ( A B ) = ( A A) ( A B ) = A ( A B ) = A∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪

Complementación

La palabra complementación nos trae la idea de completar algo, es decir, es aquella otra parte que tiene lo que le hace falta a una parte ya dada o existente. Para definir el complemento de un conjunto, es necesario primeramente establecer el conjunto respecto al cual se determinará la operación de complementación, es decir, el conjunto de referencia, el cual es variable.

Una vez más centremos la atención en el ejemplo dado al inicio de la lectura, y observemos las diferentes situaciones para establecer el conjunto de referencia y el complemento:1 Cuando el conjunto de referencia es el Universo

Siendo el conjunto de referencia = {a, b, c, d , e, f , n, g , h, i, j , k , m} , suponga que se desea encontrar elΩ complemento de A ( A ) :⊆ Ω

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1. El complemento de A es {n, g , h, j} (son los elementos que le faltan a A para ser )Ω

2. El complemento de A B es {n}∪

3. El complemento de A B es {d , e, f , g , h, j , m, n}∩

2. Cuando el conjunto de referencia es otro conjunto u operación entre dos o más subconjuntos del Universo.

Suponga que se desea encontrar el complemento de A, si los conjuntos de referencia son: a) A B = {a, b, c, d , e, f , g , h, i, j , k , m}, el complemento de A es {g , h, j}∪

b) A B = {a, b, c, i, k }, el complemento de A es {ø}∩

La complementación de un conjunto, supongamos A, se simboliza por A' , Ac y A , también se utiliza CΩ(A) , está última notación es funcional debido a que indica el conjunto de referencia y el conjunto al cual se le determinará el complemento, en este caso se lee complemento de A respecto al conjunto universo. Recuerde que no siempre el conjunto de referencia es el conjunto universal.

En esta lectura tomaremos la notación CΩ(A) y para cada uno de los casos señalados arriba la operación complemento queda simbolizada de la siguiente forma:

Cuando el conjunto de referencia es el Universo Cuando el conjunto de referencia es otro conjunto u operación entre dos o más subconjuntos del

Universo

CΩ(A) C(AUB)(A)

CΩ(A B)∪ C(A B)∩ (A)

CΩ(A∩B)

En general la complementación de conjuntos se define respecto al conjunto universal y lo haremos como sigue:

Es importante notar que la notación P ' utilizada para simbolizar complementación es muy parecida a la notación p ' para simbolizar la negación de una proposición, sin embargo, recuerde que un caso se aplica para conjunto y en otros para proposiciones, tenga cuidado de confundirlas.Propiedades de la complementación:

1). El conjunto A interceptado con su complemento es el conjunto vacío: A C∩ Ω( A) = ø En efecto, si: x ( A C∈ ∩ Ω( A) x A y x C⇒ ∈ ∈ Ω( A),

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Si A es un subconjunto del conjunto universal , llamaremosΩ

complemento de A al conjunto formado por los elementos de Ωque no pertenece a A; y se específica por comprensión como sigue:

CΩ(A) = { x / x A}∀ ∈ Ω ∉


es decir: x A y x A,∈ ∉

lo cual es absurdo. Luego, ningún x pertenece al conjunto A C∩ Ω(A) y, por tanto A C∩ Ω(A) = ø

(2). La unión de A con su complemento es el conjunto universal: A C∪ Ω(A) = Ω La deducción de esta propiedad es bastante similar a la anterior, por lo cual la dejamos a cargo del lector.

3). El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal : CΩ(ø ) ≡ Ω

En efecto: CΩ(ø) = {x / x x ø }= ∈ Ω ∧ ∉ Ω

4). El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío : CΩ( ) = øΩ

La deducción de esta propiedad es bastante similar a la anterior, por lo cual la dejamos a cargo del lector

5). El complemento del complemento de un conjunto es el conjunto : CΩ(CΩ(A)) = ø Esta propiedad se conoce como involución o doble complementación

En efecto:

6). A está incluido en B si y solo si el complemento de B está incluido en el complemento de A : A B C⊆ ⇔ Ω(B ) C⊆ Ω( A)

Directo. Comenzaremos por probar que: A B C⊆ ⇒ Ω( B ) C⊆ Ω( A) En efecto, todo x C∈ Ω( B ) x B,⇒ ∉

Pero como A B, x B x A x C⊆ ∉ ⇒ ∉ ⇒ ∈ Ω( A), Luego CΩ( B ) C⊆ Ω( A)

Se deja la comprobación del recíproco CΩ(B ) C⊆ Ω( A) A B a cargo del lector⇒ ⊆

Leyes de Morgan

7). El complemento de la intersección es la unión de los complementos:

59


8). El complemento de la unión es la intersección de los complementos CΩ( A B ) = C∪ Ω( A) C∩ Ω( B )

La deducción de esta propiedad es bastante similar a la anterior, por lo cual la dejamos a cargo del lector

Diferencia

La diferencia entre conjunto se denota por “A – B” y en el ejemplo inicial de la lectura se puede observar que A − B = {d , e, f , m}, como habrá visto esta operación se refiere al conjunto formado por aquellos elementos que están en A pero no en B, gráficamente representa la zona rayada como se muestra en el siguiente diagrama de Venn.

Si quisiéramos obtener B – A esto serían los elementos de B que no están en A , es decir, B − A = {g , h, j}, es importante observar en este punto que la diferencia de conjuntos no cumple con la propiedad conmutativa, es decir A − B ≠ B − A . Gráficamente representa la zona rayada como se muestra en el siguiente diagrama de Venn:

En general la diferencia de conjuntos se puede definir como:

60

Sean A y B subconjuntos del conjunto universal, llamaremos diferencia de A con B al conjunto de todos los elementos que se encuentran en A

(sustraendo) y no en B (minuendo) , y se específica por comprensión como sigue: A − B = { x / x A x B}∀ ∈ Ω ∈ ∧ ∉


Propiedades de la diferencia

1). La diferencia de A – B es igual a la intersección de A con el complemento de B: A − B = A C∩ Ω(B )

En efecto: A − B = {x / x A x B}∈ ∧ ∉

= {x / x A x C∈ ∧ ∈ Ω(B )} = A C∩ Ω(B )

La igualdad (1) nos pone de manifiesto la relación de dependencia que existe entre la operación diferencia y las de intersección y complementación (ver la próxima operación), señalándonos de paso la posibilidad de adoptar dicha igualdad (1) como definición de diferencia.

2). La diferencia de A – A es igual al conjunto vacío: A− A =ø

En efecto: A − A = A C∩ Ω( A) = ø

3). La diferencia entre un conjunto dado y el conjunto vacío es igual al conjunto dado: A −ø = A

En efecto: A − ø = A C∩ Ω(ø ) = A = A∩ Ω

4). La diferencia entre el conjunto vacío y un conjunto dado es igual al conjunto vacío: ø − A=ø

En efecto: ø − A = ø C∩ Ω( A) = ø (ver propiedad 1)

5). La diferencia entre el conjunto universal y un conjunto dado es igual a complemento del conjunto dado: − A = CΩ Ω( A) En efecto: − A = CΩ Ω ∩ Ω( A) = CΩ( A)

6). La diferencia entre un conjunto dado y el conjunto universal es igual al conjunto vacío: A− =øΩ

En efecto: A − = A CΩ ∩ Ω( ) = A ø = øΩ ∩

7). El complemento de la diferencia es igual a la unión del complemento de A con B: CΩ( A − B ) = CΩ( A) B∪

En efecto:

8). Leyes de Morgan: (a) A − (B D ) = ( A − B ) ( A − D )∪ ∩

En efecto: A − (B D ) = A C∪ ∩ Ω(B D ) = A (C∪ ∩ Ω(B) C∩ Ω(D)) = = {x / x A x C∈ ∧ ∈ Ω(B ) x C∧ ∈ Ω( D )} = {x / x A x B x D}∈ ∧ ∉ ∧ ∉

= {x / x A x B}∈ ∧ ∉

y {x / x A x D} = ( A − B ) ( A − D )∈ ∧ ∉ ∩

61


(b) A − (B D ) = ( A − B ) ( A − D )∩ ∪

En efecto: A − ( B D ) = A C∩ ∩ Ω( B D ) = A (C∩ ∩ Ω( B ) C∪ Ω( D )) = (A C∩ Ω( B )) (A C∪ ∩ Ω(D )) = (A − B) (A − D)∪

(9) La diferencia de A – B es igual al complemento de B menos el complemento de A: A − B = CΩ(B) − CΩ(A) En efecto: A − B = {x / x A x B}∈ ∧ ∉

= { x / x C∉ Ω( A) x C∧ ∈ Ω(B )} = {x / x C∈ Ω(B ) x C∧ ∉ Ω( A)} = CΩ( B ) − CΩ( A)

(10) ( A − B ) − D = A − (B D )∪

En efecto: ( A − B ) − D = {x / x ( A − B ) x D}∈ ∧ ∉

= {x / x A x B x D} =∈ ∧ ∉ ∧ ∉

A − (B − D ) = ( A − B ) ( A D )∪ ∩

(11) A − (B − D ) = ( A − B ) ( A D )∪ ∩

En efecto: A − ( B − D ) = A C∩ Ω( B − D ) = A (C∩ Ω(B ) D) =∪

= (A C∩ Ω(B )) ( A D ) = ( A − B ) ( A D ).∪ ∩ ∪ ∩

(12) A − (A − B) = A B∩

En efecto: A − ( A − B ) = ( A − A) ( A B ) = O ( A B ) = A B∪ ∩ ∪ ∩ ∩

(13) A (B − D ) = ( A B ) − ( D − A)∪ ∪

En efecto: A (B − D ) = A (B C∪ ∪ ∩ Ω(D )) = ( A B ) (A C∪ ∩ ∪ Ω( D )) = ( A B ) (C∪ ∩ Ω(D ) A) = ( A B ) C∪ ∪ ∩ Ω( D − A) = ( A B ) − (D − A).∪

(14) Propiedad Distributiva: A (B − D ) = ( A B ) − ( A D )∩ ∩ ∩

(15) A B A− B = ø⊆ ⇔

Suma booleana o diferencia simetrica

La Suma Booleana o también llamada diferencia simétrica de dos conjuntos cualesquiera A y B, se simboliza por el signo “+ y ” y la suma booleana de A con B queda escrita de la forma siguiente: Δ A B.Δ

En general la suma booleana se define como:

62


De acuerdo a la definición anterior tenemos la igualdadA B = ( A B ) − ( A B ) = ( A − B ) (B − A)Δ ∪ ∩ ∪

Recordando el ejemplo inicial de esta lectura, en el cualA = {a, b, c, d , e, f , i, k , m} y B = {a, b, c, g , h, i, j , k } , entonces

A B = {d , e, f , g , h, j , m}Δ

Ejemplos: a) Si A = { 1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8} , A B = ( A − B ) (B − A) = { 1, 2, 3} {6, 7, 8} = {1 , 2, 3, 6, 7, 8}Δ ∪ ∪

b) Si A = { 1, 2, 3, 4} y B = {6, 7, 8}, A B = ( A − B ) (B − A) = { 1, 2, 3, 4} {6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}Δ ∪ ∪

c) Si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {3, 4, 5} , A B = ( A − B ) (B − A) = { 1, 2, 6,} { } = {1, 2, 6}Δ ∪ ∪

Propiedades de la Suma Booleana o Diferencia Simétrica:

1). A B = A B − A BΔ ∪ ∩

En efecto: A B = ( A − B ) (B − A) = ( A − B ) B − [A − ( A − B )]Δ ∪ ∪

= B ( A − B ) − [A − ( A − B )]∪

= B A − (B − B ) − A B = A B − A B.∪ ∩ ∪ ∩

2). A A = øΔ

3). A ø = AΔ

4). A = CΔ Ω ΩA

En efecto: A = A − A = − A = CΔ Ω ∪Ω ∩Ω Ω ΩA

5). CΩ( A B ) = ( A B ) (CΔ ∩ ∪ Ω(A) C∩ Ω(B))

6). Propiedad Conmutativa: A B = B AΔ Δ

7). Propiedad Asociativa: ( A B ) C = A (B C )Δ Δ Δ Δ

8). Propiedad Distributiva: A (B C ) = ( A B ) ( A C )∩ Δ ∩ Δ ∩

9). A (B D ) = ( A B D ) − [C∪ Δ ∪ ∪ Ω( A) B C]∩ ∩

63

Sean A y B subcojuntos del conjunto universal, llamaremos suma booleana o diferencia simétrica de A con B al conjunto de todos los elementos que se encuentran en la unión de A con B a excepción de los que están en la intersección de A con B, y se especifica por comprensión como sigue:

A B = { x / x ( A B ) x ( A B )}Δ ∀ ∈ Ω ∈ ∪ ∧ ∉ ∩


10). ( A B ) − C = (A CΔ ∩ Ω(D)) (B CΔ ∩ Ω(D)) 11). A − (B D ) = ( A B D ) (A CΔ ∩ ∩ ∪ ∩ Ω(B ) C∩ Ω(D ))

Ejercicios: 1. Si = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {0,1,2,3,4,9} , B = {2,3,4,5,6} y D = {3,4,5,7,9} , se pide: determinar lasΩ operaciones siguientes y representar en un día digrama de Venn los conjuntos y dicha operaciones: (a) A (B D ) (b) A (B − D ) (c) C∩ Δ ∪ A B ∩ (D ) C∪ D( A) 2. Utilizando diagramas de Venn verificar la relación: A (B D ) = ( A B ) ( A D )∩ ∪ ∩ ∪ ∩

3. Utilizando las definiciones y propiedades verifique la igualdad A (B − A) = ø∩

4. Si es el conjunto de los empleados de un ministerio, en el que supondremos no hay viudosas niΩ divorciadosas, A, B, D, E y F respectivamente, son los conjuntos de hombres casados, hombres solteros, empleados (hombres o mujeres) con título universitario, mujeres casadas y mujeres solteras. Se pide:

(a) Completa la siguiente representación gráfica de cada uno de estos conjuntos:

(b) Expresar como una operación los siguientes enunciados: b. 1. Todos los hombres sin título b. 2. Todos los empleados solteros, casadas y casados sin título b. 3. El conjunto vacío

(c) Expresar con palabras la operación entre conjunto:

c.1. A – C c.2. ( A B ) c.3. A B c.4. C∪ ∩ D( A B ) .∪

64


LECTURA Nº 16: APLICACIONES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

En los siguientes ejercicios se evidencia la utilidad que tienen las operaciones de conjuntos para resolver situaciones de la vida cotidiana, proporcionando a cada individuo que la utiliza el ejercicio mental que se requiere para obtener la habilidad en la resolución de problemas, ejercitando de esta forma la observación, la cual nos permite extraer información necesaria y más aún relacionarlas de forma coherente para llegar a la solución de las situaciones que se plantean como problemas o mas bien como retos.

Problema 1:A un grupo de estudiantes de la UNEFA, quienes tienen por actividad complementaria visitar diferentes lugares del país, se les pregunta acerca de su gusto para visitar los siguientes parques nacionales: Sierra de San Luís (Edo. Falcón), Sierra Nevada (Edo. Mérida) y Mochima (En Sucre), a cada grupo de respuesta lo identificaremos con una letra al lado, la información obtenida es la siguiente:

a) A 33 estudiantes sólo les gusta El Parque Nacional Sierra de San Luís

b) A 32 estudiantes sólo les gusta El Parque Nacional Sierra Nevada

c) A 14 estudiantes les gusta los Parques Nacionales Sierra Nevada y Mochima

d) A 5 estudiantes les gusta por igual los Tres

e) A 7 estudiantes no les gusta ninguno de estos Parques Nacionales

f) A 28 estudiantes sólo les gusta El Parque Nacional Mochima

g) A 15 estudiantes les gusta los Parques Nacionales Sierra de San Luís y Mochima

h) A 11 estudiantes les gusta los Parques Nacionales Sierra de San Luís y Sierra Nevada

Utilizando esta información sobre las preferencias de los estudiantes por los Parques Nacionales, responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el número total de estudiantes encuestados?b) ¿A cuántos estudiantes le gustaría El Parque Nacional Mochima?c) ¿A cuántos estudiantes les gustaría dos de estos Parques?

Respuestas:A simple vista parece fácil responder a la primera pregunta sumando las ocho cifras dadas para cada grupo de respuesta, pero no es cierto, este procedimiento no basta, pues algunas respuestas están solapadas, obsérvelo en la siguiente figura:

65

Tomada con fines instruccionalesGómez, T., González, N., Lorenzo, J. (2007).Aplicaciones de las Operaciones entre Conjuntos. Artículo no publicado (p.13). Caracas.


Los solapamientos (intersecciones) entre unos gustos y otros están representados por las siguientes letras: d, e, f y g .

Entonces, consideremos que los 33 estudiantes a quienes les gusta El Parque Sierra de San Luis no deben ser colocados dentro de la región identificada con a, pero si deben ser distribuidos en las regiones a, d, e y g, de tal forma que sea consistente con la información dada. Como en un principio, no sabemos como distribuir a los 33 estudiantes a quienes les gusta El Parque Sierra de San Luís, buscamos la información más fácil de manejar.

En este caso tomaremos el número más pequeño en la lista “5 estudiantes a quienes les gustan los tres lugares” este grupo de alumnos deben ser colocados en la región g (intersección de los tres conjuntos) y los 7 a los que no les gusta ninguno se ubican en la región h, como muestra el diagrama al lado derecho de este párrafo.

Por lo tanto los 11 a quienes les gusta Sierra de San Luís y Sierra Nevada deben ir en las regiones d y g. Como la región g ya contiene 5 estudiantes es fácil conocer que en d hay 6, restando 11 – 5 = 6. Como hay 15 estudiantes a quienes les gusta Sierra de San Luís y Mochima (regiones e y g) y conocemos cuantos hay en g, obtenemos e restando 15 5 = 10, hay 10 estudiantes en la región g. Mediante razonamientos similares, a cada región se le asignan de forma correcta los números correspondientes, como se muestra en el siguiente diagrama de Venn:

f (Sierra Nevada y Mochima) = 14 – g = 14 – 5 = 9a (únicamente Sierra de San Luís)= 33 d – g e = 12b (únicamente Sierra Nevada)= 32 d – g f = 12c (únicamente Mochima)= 28 g e f= 4

66


Ahora podemos responder a cada una de las preguntas planteadas originalmente:

a) ¿Cuál es el número total de estudiantes encuestados?Puesto cada estudiante en la encuesta fue colocado en exactamente en una región de la figura 19, el número total de estudiantes encuestados es la suma de los números en cada región: a + b + c + d + e + f + g + h = 12 + 11 + 7 + 6 + 10 + 9 + 5 + 7 = 65 Se encuestaron a 65 estudiantes.

b) ¿A cuántos estudiantes le gustaría únicamente El Parque Nacional Mochima?Un estudiante a quien sólo le gusta Mochima, no le gusta Sierra Nevada ni Sierra de San luís, este tipo de estudiante se encuentra en la región c, donde se observa que sólo a 4 estudiantes les El Parque Nacional Mochima.

c) ¿A cuántos estudiantes les gustaría dos de estos Parques?A los estudiantes de las regiones d, e y f les gusta exactamente dos parques, si sumamos los números en cada región obtenemos: 10 + 6 + 9 = 25 estudiantes.

Comentario sobre las respuestas: En el problema que se acaba de resolver se observa que para la respuesta de cada una de las preguntas se utilizaron las operaciones entre conjuntos, lo cual muestra la importancia de manejar las definiciones y conceptos de dichas operaciones. Para la primera pregunta se aplicó la unión como una operación de conjunto como sigue {Sierra de San Luís } {Sierra Nevada} ∪ ∪ {Mochima}. Para la segunda pregunta se evidencia la operación de diferencia de conjuntos quedando de la forma {Mochima} − [{Sierra Nevada} {Sierra de San Luís}] . Y en para la tercera pregunta la operación∪ utilizada fue la intersección y unión de conjuntos, como sigue: [{Sierra de San Luís } {Sierra Nevada}] ∩ ∪ [{Sierra Nevada} {Mochima}] [{Sierra de San Luís} {Mochima}]∩ ∪ ∪

Problema 2:El Coordinador del ciclo básico de ingeniería de la UNEFA aplicó una encuesta en el primer y segundo semestre para conocer el avance de sus alumnos en el área numérica: Fundamentos de Matemática, Razonamiento Lógico y Geometría Analítica. Los resultados fueron los siguientes:

a) 4300 estudiantes sólo han aprobado matemáticas I

b) 2500 matemáticas I y geometría analítica

c) 5800 estudiantes sólo han aprobado Razonamiento lógico

d) 2800 razonamiento y geometría analítica

e) 6500 estudiantes sólo han aprobado Geometría Analítica

f) 2010 alumnos aprobaron las tres

g) 1900 Matemáticas y Razonamiento lógico

h) 956 alumnos no aprobaron ninguna de las materias

Utilizando esta información, responda las siguientes preguntas:

67


a) ¿Cuál es el número total de estudiantes encuestados?b) ¿Cuántos estudiantes aprobaron Fundamentos de Matemática?c) ¿Cuántos estudiantes aprobaron dos de estas materias?d) ¿Qué tipo de decisiones puedes tomar con esta información.

LECTURA Nº 17: NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

En lecturas anteriores se han resuelto ejercicios del quehacer diario, mostrando la aplicabilidad de las operaciones entre conjuntos, y cuya resolución se realiza por simple inspección de la información dada, por supuesto, con el apoyo de diagramas de Venn y en otros casos con tablas y otros, pero sin disponer de una fórmula que permita, en todo caso, determinar número de elementos de un conjunto o de varios conjuntos y de los conjuntos resultantes de las operaciones establecidas entre los mismos.

La notación para número de elementos de un conjunto es la siguiente: n (conjunto).

Por ejemplo: n(B), n( A B ) , ∩ n( A B ) y se lee número de elementos del conjunto A, número de∪ elementos del conjunto A interceptado con el conjunto B, y número de elementos del conjunto A unido con el conjunto B, respectivamente. Para determinar el número de elementos de la unión de dos conjuntos se usa la siguiente fórmula:

n( A B ) = ∪ n( A) + n(B ) − n( A B ) ∩ (I)

Es importante señalar que al calcular el número de elementos de la unión de dos conjuntos A y B, cuando contamos el número de elementos en A, n(A) y el número de elementos en B, n(B), y los sumamos, el número de elementos de la intersección, n( A B ) , se ha contado dos veces, una vez cuando contamos∩ n(A)y otra vez cuando contamos el n(B), ya que esos elementos pertenecen a ambos conjuntos, por lo que en la fórmula se restan una vez. Con el número de elementos de la unión de A con B, nos estamos refiriendo al número de elementos que están en A o en B.

En caso de que los dos conjuntos sean disjuntos la fórmula quedaría:

n( A B ) = ∪ n( A ) + n( B )

Ya que la A B = ø , luego ∩ n( A B ) = 0 .∩

68

Tomada con fines instruccionalesGómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007).Número de Elementos de un Conjunto.Artículo no publicado (p.3). Caracas. Caracas.


Ejemplo N° 1:

Sea el conjunto universal = {a, b, c, d , e, f , n, g , h, i, j , k , m} y sean los conjuntos A = {a, b, c, d , e, f , i,Ω k , m} , B = {a, b, c, g , h, i, j , k } y C = {n} , entonces observa que: n( A) + n(B ) = 9 + 8 = 17, estamos contando dos veces los elementos comunes que son n( A B ) = 5, luego hay que restarlos para tener el∩ número de elementos real de la unión de A con B. que serían 12.

n( A B ) = ∪ n( A) + n(B ) − n( A B ) = 9 + 8 5= 12∩

Vamos a calcular ahora el número de elementos de A unión C,n( A C ) = ∪ n( A) + n(C ) − n( A C ) = 9 + 1 + 0 =10∩

el n( A C ) = ∪ n( A) + n(C ) , debido a que A y C son conjuntos disjuntos. La fórmula dada para dos conjuntos puede ser generalizada para tres conjuntos de la siguiente manera:

n( A B C ) = ∪ ∪ n( A) + n(B ) + n(C ) − n( A B ) − ∩ n( A C ) − ∩ n(B C ) + ∩ n( A B C ) ∩ ∩ (II)

Cuando hablamos de n( A B C ) nos referimos al número de elementos que están en A o en B, o en C.∪ ∪

Procedemos a realizar el cálculo del número de elementos de la unión de tres conjuntos, de manera análoga al realizado para el número de elementos de la unión entre dos conjuntos, a saber: primero contamos los elementos de cada conjunto, y luego los sumamos ( n( A) + n(B ) + n(C ) ). Restamos a la suma anterior el número de elementos que se han contado dos veces, los cuales son:

n( A B ) , ∩ n( A C ) , y ∩ n(B C ) , es decir − [∩ n( A B ) + ∩ n( A C ) + ∩ n(B C )] ,∩

sin embargo debemos incorporar la intersección de los tres conjuntos A, B y B, ya que esos elementos se incorporaron tres veces cuando se realizó la suma de: n( A) + n(B ) + n(C ) y posteriormente se descontaron tres veces cuando efectuamos − [n( A B ) + ∩ n( A C ) + ∩ n(B C )] , por lo que debemos sumar A B C∩ ∩ ∩ una vez.

Ejemplo N°2:

Sean los conjuntos:A = {− 3,− 2,− 1, 1,5,7}, B = {− 4, − 1, 2, 3, 5, 7,9 } y C = {− 6,− 3,− 1,1,3,7} .

De manera directa se obtienen los siguientes conjuntos: A B = {− 1,5,7}, A C = {− 3,− 1,1,7 }, B C = {− 1,3,7 },∩ ∩ ∩

A B C = {− 1,7} y A B C = {− 6,− 4,− 3,− 2,− 1,1,2,3,5,7,9}∩ ∩ ∪ ∪

De lo anterior tenemos:n(A)=6, n(B)=7, n(C)=6, n( A B ) = 3 , n( A C ) = 4 , n(B C ) = 3 , n( A B C ) = 2 ,∩ ∩ ∩ ∩ ∩

reemplazaremos estos valores en la ecuación II y tenemos: n( A B C ) = 6 + 7 + 6 − 3 − 4 − 3 + 2 = 11 , este valor puede ser comprobado si contamos los elementos∪ ∪ de A B C = {− 6,− 4,− 3,− 2,− 1,1,2,3,5,7,9}, que son 11.∪ ∪

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Ejercicios:1. En una encuesta realizada a 2.000 personas para saber sus preferencias por tres teatros de Caracas, se obtuvieron los siguientes resultados:

580 personas asistían al Teatro Nacional 840 personas asistían al Teatro Municipal 920 personas asistían al Teatro Teresa Carreño 260 personas asistían al Teatro Nacional y al Teatro Municipal 220 personas asistían al Teatro Nacional y al Teatro Teresa Carreño 300 personas asistían al Teatro Municipal y al Teatro Teresa Carreño 100 personas asistían al Teatro Nacional, Teatro Municipal y al Teatro Teresa Carreño

Se pregunta:a) ¿Cuántas personas asisten al Teatro Nacional o al Teatro Municipal, o al Teatro Teresa Carreño?b) ¿Cuántas personas no van a ninguno de los tres teatros?

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LECTURA Nº 18: EL MUNDO DE LAS PROPORCIONES

LA DIVINA PROPORCIÓN: EL RECTÁNGULO DE ORO

En 1876, el filósofo alemán Gustav Theodor Fechner (18011887) hizo un estudio sobre los rectángulos con proporciones especiales entre sus lados. Cerca del 75% de los encuestados seleccionaron los Rectángulos de Oro como más estéticos y placenteros a la vista y al gusto, entre un grupo de formas rectangulares. La selección de los rectángulos cuya razón entre las longitudes de sus lados es: (1 + 5 ) ÷ 2 aproximadamente 1,618: la Razón de Oro o Divina Proporción.

Observa la construcción del rectángulo de oro

Los griegos y las proporciones

Estos rectángulos especiales son llamados Rectángulos de Oro. Las cartas de barajas, muchas puertas, ventanas y portadas de libros, son ejemplos de Rectángulos de Oro. Los griegos utilizaron la Razón de Oro para casi todas sus esculturas y construcciones. El Partenón tiene muchos Rectángulos de Oro.

El investigador norteamericano Jay Hambidge estableció que la razón de oro está presente en las proporciones del ser humano. La razón de la altura (b) del ser humano a la altura (h) del ombligo es muy próxima a la Razón de Oro. La razón en el brazo y la razón en la cabeza son también razones próximas a la Razón de Oro.Las escaleras de casas, edificios o calles guardan una relación entre la altura de los escalones y el ancho del escalón. Además, se construyen de forma tal que la altura delescalón sea proporcional a la altura promedio de las personas. Cuando una escalera mecánica está parada se hace mayor esfuerzo para subir por ella. La altura de los escalones no son proporcionales a la altura promedio de las personas.

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Tomado con fines instruccionales de:Fundación Polar: Matemática para todos. Fascículo 10. (pp. 153155 y 145151). [Consulta en Línea]. Octubre 2007. Caracas.


Proporcionalidad y Belleza

Alguna vez hemos escuchado una expresión como esta: ¡qué bien proporcionada está esa chica!, sus medidas son 906090. Esto significa que la medida de su busto y de su cadera es de 90 cm. y la de su cintura 60 cm. si además de esto, su cuerpo está distribuido según el estudio de las proporciones humanas (que Le Corbusier ha hecho de las relaciones que den cumplir las diferentes partes del cuerpo humano para ser considerado perfecto), y su cara está demarcada por los “rectángulos de oro” (rectángulo cuya proporción entre sus lados es aproximadamente 1,618) consideremos que una persona que cumpla con todas estas condiciones es bella matemáticamente.

Entonces podríamos preguntarnos: ¿Qué es la belleza?. Cabe definir la belleza como el conjunto de cualidades cuya manifestación sensible produce un deleite espiritual, un sentimiento de admiración. La belleza resulta de armonías y contrastes de líneas, colores, formas, tono y palabras, que sugieren o presentan atractivos de la naturaleza, situaciones humanas, logros, anticipaciones o sueños.

En el siglo XIII Santo Tomás de Aquino formuló lo siguiente: “los sentidos se deleitan en la cosas debidamente proporcionadas” (Matemáticas, Colección Científica de ime Life, 1971, México).

Santo Tomás se refería a la relación directa y frecuentemente manifiesta que existe entre la belleza y la matemática, la cual se encuentra presente a lo largo de la historia con el denominado número de oro, también conocido como la “divina proporción” Este es un número que tiene un valor aproximado de 1.618 y que aparece en la relación que se establece entre los lados que están en proporción de oro en un rectángulo.

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LECTURA Nº 19: PROPORCIONES Y PORCENTAJES

Proporciones

Cuando hablamos de Proporción queremos significar que existe algún tipo de correspondencia entre dos procesos. Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que involucran una relación constante entre dos o más variables. Estas pueden ser:

Proporcionalidad directa

La proporcionalidad directa entre dos variables supone que cuando una de las variables aumenta, la otra también lo hace. Este concepto implica la idea de “crecimiento conjunto”, donde la contribución de una de las variables ( x ) afecta siempre de la misma manera a la otra ( y ). Si esto se cumple podemos escribir que:

y = kxDonde k > 0 y representa dicha contribución, también es la llamada constante de proporcionalidad.

Es importante destacar que existen otras maneras de expresar relaciones de proporcionalidad directa entre variables como sigue:

a) 1 : 2 como A : B

Se lee “1 es a 2 como A es a B”, lo cual quiere decir que A es proporcional a B de la misma manera que 1 es proporcional a 2 y significa que:

por lo tanto, este valor está indicando la constante de proporcionalidad.

Ejemplo (1): la compra de alimentos, por regla general, es un clásico ejemplo de proporcionalidad directa. Si 1 Kg de carne cuesta BsF. 11,2 y realizo una compra de 4,25 Kg ¿Cuánto debo cancelar?

Mientras mayor cantidad de carne (c) compre mayor será el monto a cancelar (d) por lo tanto, la correspondencia es directamente proporcional. En consecuencia, podemos escribir: d = k × cBuscamos el valor de k

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Tomado con fines instruccionales de:Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas, M., (2006). Proporciones y Porcentajes , Caracas: UNEFA.


Una vez encontrado el valor de la constante sustituimos en la primera ecuación

Ahora bien, “ y ” puede ser proporcional no sólo a “ x ”. Pueden darse casos donde la proporcionalidad viene dada por el cuadrado de “ x ”, es decir y = k . x 2 o por la raíz cuadrada de ” x ”, lo cual quedaría expresado como

y = k x

Por ejemplo (2): la velocidad de aterrizaje de un aeroplano es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa. Si un aeroplano que tiene una masa de 1.600 Kg aterriza a 80 Km/h. ¿Con qué velocidad aterrizaría si pesara 2.500 Kg?

Mientras mayor masa (m) tenga el aeroplano, aterrizará con mayor velocidad (v) por lo que en este caso la correspondencia es directamente proporcional, pero a la raíz cuadrada de la masa, como lo indica el enunciado del problema. Por lo tanto, podemos plantear:

v = k m

Buscamos el valor de k

Una vez encontrado el valor de la constante sustituimos en la primera ecuaciónPara una masa de 2.500 Kg sería:

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Proporcionalidad inversa

La proporcionalidad inversa entre dos variables supone que cuando al crecer una de las variables la otra decrece. En este caso la relación entre las variables “ x ” e “ y ” viene dada por la expresión:

Por ejemplo (3), 8 jóvenes piensan salir de campamento con víveres para 24 días; llegado el momento, 2 de ellos deciden no ir. ¿Para cuántos días alcanzarán los víveres?

Si 8 jóvenes podían vivir 24 días, al disminuir la cantidad de jóvenes ( j ) los alimentos durarán más días (d); la correspondencia es inversamente proporcional, por lo tanto podemos escribir:

Buscamos el valor de k k = d . j ==> k = 24 días × 8 jóvenes ==> k = 192 días . jóvenes

Una vez encontrado el valor de esta constante sustituimos en la primera ecuación

==> d = 32 días .

Esto significa que los víveres alcanzarán ahora para 32 días.

Regla de tres

Una de las aplicaciones más importantes de las proporciones se encuentra en la resolución de problemas de regla de tres simple y compuesta. La regla de tres es una operación aritmética que consiste en calcular el cuarto término de una proporción, conocidos los otros tres.

En este tipo de problemas, la parte conocida del planteamiento de las proporciones se conoce con el nombre de supuesto, mientras que los datos de la parte que contiene la incógnita, recibe el nombre de pregunta. La regla de tres puede ser:

a) Regla de tres simple directa es cuando solamente intervienen en ella dos variables que se relacionan con proporcionalidad directa.

Ejemplo (4): Si 4 pelotas cuestan Bs.F. 34,6 ¿Cuánto costarán 16 pelotas?

Aquí el supuesto es: “Si 4 pelotas cuestan Bs.F. 34,6” y la pregunta puede escribirse como: “¿16 pelotas cuánto costarán?”

El planteamiento de la Regla de Tres sería:

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4 pelotas > Bs.F . 34.6 16 pelotas > Bs.F . x Esto es equivalente a :

Lo cual quiere decir que 16 pelotas costarán Bs.F. 138,4.

b) Regla de tres simple inversa es cuando solamente intervienen en ella dos variables que se relacionan con proporcionalidad inversa.

Ejemplo (5): Cuatro obreros hacen una obra en 12 días ¿En cuántos días la harían 7 obreros?

Aquí el supuesto es: “Si 4 obreros realizan la obra en 12 días” y la pregunta puede escribirse como: “¿7 obreros en cuántos días la realizarán?”

El planteamiento de la Regla de Tres sería: 4 obreros >12 días 7 obreros > x días

A mayor cantidad de obreros menos días para terminar la obra, es decir, la correspondencia es inversamente proporcional.

Es decir, los 7 obreros necesitarán aproximadamente 7 días.

c) Regla de tres compuesta: es cuando intervienen tres o más variables. El método de resolución consiste en descomponer la Regla de Tres Compuesta en Reglas de Tres Simples y luego multiplicar ordenadamente las proporciones formadas. Al formar cada Regla de Tres Simple se considera que las demás magnitudes no varían.

Ejemplo (6): Si 3 hombres trabajan 8 horas diarias y terminan 80 metros de una obra en 10 días, ¿cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros?

Aquí el supuesto es: “Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias y terminan 80 metros de la obra en 10 días”, lo cual también se puede escribir: 3 hombres 8 horas diarias 80 metros 10 días→ → →

y la pregunta puede escribirse como: “¿5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros en cuántos días lo harán?” y puede escribirse como:

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5 hombres 6 horas diarias 60 metros x días?→ → →

En este caso tenemos 3 proporciones:

i. Hombres vs días para completar la obra 3 hombres realizan la obra en 10 días 5 hombres realizan la obra en x días

A mayor cantidad de hombres menos días para terminar la obra, es decir, la correspondencia es inversamente proporcional:

ii. Horas diarias trabajadas vs días para completar la obra con 8 horas diarias se completa la obra en x días con 6 horas diarias se completa la obra en y días

A mayor cantidad de horas diarias la obra se completa más rápido, es decir, en menor cantidad de días, por lo que la relación es inversamente proporcional.

iii. Días empleados para terminar la obra vs cantidad de metros completados 80 metros se realizan en y días 60 metros se realizan en z días

Si multiplicamos término a término las proporciones resulta:

Es decir, se necesitarán 6 días, trabajando 5 hombres, 6 horas diarias para hacer 60 metros de la obra.

Porcentajes

El porcentaje de un número o tanto por ciento significa “cierta parte de 100”. Las formas más usuales de expresar un porcentaje son la forma fraccionaria y la forma decimal. El 4% de 80 se puede escribir en forma de fracción como 4/100 de 80, es decir, las cuatro centésimas partes de 80. Ochenta se divide en cien partes iguales y se toman cuatro y visto como un decimal, es decir, 4/100 = 0,04 de 80. En esta temática se pueden observar ejercicios que contemplan cuatro casos:

1. Encontrar el tanto por ciento de un número:

Hallar el 20% de 30 El 100% es 30; por tanto el 20% de 30 será x

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100% > 30 20% > x

Directamente se puede calcular el porcentaje multiplicando el porcentaje escrito en forma decimal por el número. Así, en el ejemplo anterior se haría el cálculo de la siguiente manera: Como 20% = 20/100 = 0.20 , tenemos que el 20% de 30 es igual a: 0.20 .30 = 6

2. Encontrar el número cuando se conoce un tanto por ciento del mismo.

¿De qué número es 46 el 23%?

El 23% del número que se busca es 46 y el 100%, es decir, el número buscado será x :

23% > 46 100% > x

3. Encontrar qué porcentaje es un número de otro

¿Qué tanto por ciento es 840 de 2.940? 2.940 > 100% 840 > x %

Aumentos y disminuciones porcentuales: Las situaciones que indican el aumento del valor de un objeto o el descuento de otro pueden expresarse como porcentajes.

4. Ejemplo de aumento porcentual: Si un metro de tela cuesta Bs.F.15 ¿En cuánto debe venderse para ganar el 15% del costo?

Primero buscamos el porcentaje que se desea aumentar 100% > Bs.F. 15 15% > Bs.F. x

El aumento es de Bs.F. 2.25 por lo tanto el precio en que la tela debe venderse corresponde a la suma del precio costo más el aumento porcentual o ganancia, es decir:

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Bs.F.15 + Bs.F. 2.25 = Bs.F. 17.25

5. Ejemplo de disminución porcentual: Arturo debe BsF. .900. Si le rebajan el 5% de su deuda ¿Cuánto pagará? 100% > Bs.F. 900 5% > Bs.F. x

El descuento que le realizaron a la deuda de Arturo es de Bs.F. 45. Para conocer cuánto debe pagar efectuamos una resta:

Bs.F. 900 Bs.F. 45 = Bs.F. 855

Ejemplo de Interés

Por medio de la Regla de Tres se puede encontrar la ganancia o interés que produce una determinada suma de dinero o capital, prestado o ahorrado, a un tanto por ciento conocido, durante un tiempo determinado.

Si por ejemplo (9): un empleado tome un préstamo de Bs.F. 480 al 5% anual. Si tarda 3 años en cancelarlo. ¿Cuánto debe pagar de interés?

Para resolver el problema se realiza el cálculo del interés anual y luego se multiplica por el número de años que tardó en pagarlo

En un año: 100% > Bs.F. 480 5% > Bs.F. x

Como tardó cuatro años: 24 Bs.F. /año × 4 año = Bs.F. 96 El total a pagar será:

Bs.F. 480 + Bs.F. 96 = Bs.F. 576

EJERCICIOS

1. En una evaluación de 40 preguntas con un puntaje total de 100 (cada pregunta tiene el mismo valor), un alumno obtiene 75 puntos. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente?

2. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números, sabiendo que la suma de ellos es 49.

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3. En un almacén habían 40 paquetes de queso. Si 14 ratones dejaron 5 paquetes sin roer. ¿Cuántos paquetes hubieran quedado si sólo hubiesen dos ratones?

4. Si dos obreros construyen una casa en 12 días. ¿Cuánto tardarán seis obreros?5. Un grupo de excursionistas van a acampar con provisiones para 30 días, pero en el viaje se les une un

grupo de 4 personas que no llevan alimento. ¿Cuántos días podrían acampar ahora?6. Si dos obreros hacen 4 muebles en 2 días. ¿Cuántos obreros son necesarios para hacer dos muebles en

un día?7. Si 4 ascensores consumen 40 Kw. de corriente para transportar 600 Kg cada uno a 8 m de altura.

¿Cuántos Kw. de corriente se necesitarán para que 6 ascensores puedan elevar 200 Kg. de peso cada uno a 5 m de altura?

8. Un frutero compró 300 manzanas a razón de 4 por Bolívar Fuerte y 200 a razón de 5 por Bolívar Fuerte. Si las vendió todas a razón de 5 por 2 Bolívares Fuertes. ¿Cuánto ganó?

9. Los organizadores de un concierto necesitan carpinteros para construir las tarimas. Ellos saben que 15 carpinteros pueden construir dos tarimas en 10 días. Faltando dos semanas para el concierto, los organizadores lograron contratar sólo 5 carpinteros para construir la tarima. ¿Cuándo terminarán de construir la tarima?

10. Se emplean 10 hombres durante 5 días, trabajando 4 horas diarias para cavar una zanja de 10 metros de largo, 6 metros de ancho y 4 metros de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres para cavar otra zanja de 15 metros de largo, 3 metros de ancho y 8 metros de profundidad, en un terreno de triple dificultad?

11. Un vendedor gana un sueldo fijo de Bs.F. 820 mensuales. Además gana una comisión del 2% de la venta. El mes pasado ganó en total Bs.F. 1600,00. ¿Cuánto vendió en ese mes?

12. Una mueblería da el 12% de rebaja en una silla que normalmente cuesta Bs.F. 82,50. ¿Cuánto hay que pagar por la silla?

13. Karen compró lápices que costaban originalmente Bs.F. 1,00 cada uno, con un descuento del 10%. Luego los vendió en su colegio 10% más caros de lo que ella los compró. ¿A cuánto vendió los lápices Karen?

14. Un tubo de pasta de dientes cuesta en el abasto Bs.F. 3,90. En el supermercado, el mismo tubo cuesta Bs.F. 3,25. ¿Qué tanto por ciento es la diferencia de precios?

15. Se incendia un carro asegurado en el 86% de su valor y se cobran Bs.F. 45300 por el seguro. ¿Cuál era el valor del auto?

16. Alfredo compró un carro que originalmente valía 42000 Bolívares Fuertes, con un descuento del 5%. Al cabo de un mes, Alfredo decide venderle su carro a Pedro, pero con un 5% de descuento sobre el precio al que él lo compró. ¿En cuánto compró Pedro el carro?

17. Un comerciante compra un televisor en Bs.F. 625 con un 25% de descuento. Arrepentido de la compra, y pensando en recuperar la inversión, decide vender dicho televisor en el mismo precio que lo compró más un 25%. ¿Cuál fue el precio de esta última venta?

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UNIDAD 3VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES

LECTURA Nº 20: NUMERACIÓN ANTIGUA EGIPCIA

La numeración egipcia es una de las más antiguas, data aproximadamente de hace 7000 años, más de tres mil antes de nuestra era. En el transcurso de los tres primeros milenios estos símbolos sufrieron cambios insignificantes, fijemos nuestra atención en la forma que los egipcios representaban los signos numéricos y cómo los escribían. En la numeración egipcia, existían signos especiales (jeroglíficos) para los números: uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil, un millón, cada uno de ellos está representado en las figuras que observamos a continuación:

Estos signos especiales (jeroglíficos) eran utilizados por los antiguos egipcios para la notación de los números. Para representar, por ejemplo, el número entero 23145, era suficiente escribir en serie dos jeroglíficos de diez mil luego tres jeroglíficos de mil, uno de cien, cuatro de diez y cinco jeroglíficos para las unidades.

Estos símbolos en la escritura, no podían aparecer más de nueve veces en cada número. Este ejemplo es suficiente para aprender a escribir los números tal y como los representaban los antiguos egipcios. El sistema egipcio de numeración es muy simple y primitivo, no hay signo alguno para el cero, es un sistema decimal puro puesto que en la representación de los números enteros, se emplea el principio decimal conforme al orden clase. Se puede notar que cada signo numérico representa solamente un número. Así, por ejemplo, el signo para las decenas denota solamente diez unidades y no diez decenas o diez centenas, lo que evidencia por qué el sistema de numeración egipcio no era posicional.

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Tomado con fines instruccionales de:Perelman, Y. (2002). Aritmética recreativa.Traducida por Barros P. Editorial URSS.Antofagasta URSS.


LECTURA Nº 21: EL VALOR ABSOLUTO Y LOS NÚMEROS REALES

El valor absoluto de un número real, se puede definir como la distancia que existe entre dos posiciones simétricamente iguales, partiendo de un mismo punto de referencia; esto se puede ilustrar como sigue, tomemos una recta y la enumeramos tanto con valores enteros negativos como positivos, y luego tomando el cero como punto de referencia, establecemos una distancia tanto a la izquierda como a la derecha:

Vamos a suponer, que un individuo se encuentra en una parada de autobús y decide hacer una llamada telefónica de urgencia desde un teléfono público. El teléfono más cercano se encuentra a cierta distancia a la derecha de donde él está, pero hacia la izquierda esté otro teléfono exactamente a la misma distancia. La pregunta es: ¿a cuál teléfono se dirigirá? ¿cuál le queda más cerca?

Según el gráfico anterior, podemos deducir que el individuo se puede dirigir a cualquiera de los dos teléfonos, pues ambos están a igual distancia de donde él se encuentra. Es decir, el valor absoluto de los “+4” y “4”, nos da el mismo resultado “4”. Esto se puede representar de la siguiente forma:

|+4| = 4 y |− 4| = −(− 4) = 4 entonces |+ 4| = |− 4|⇒

El valor absoluto de una expresión numérica se suele representar entre barras. De esta situación podemos deducir que el valor absoluto de un número real cualquiera (positivo o negativo) es el número siempre positivo. Ahora bien, definamos esto en términos matemáticos:

siendo “ x ” cualquier número real.

1. El valor absoluto de una adición de dos números reales cualesquiera, es menor o igual a la suma de los valores absolutos de cada número real. En lenguaje matemático esto es:

|x+ y| ≤ |x| + |y|

siendo “ x ” e “ y ” dos números reales cualesquiera ( x, y R )∈

Ejemplo Nº 1: |−9+5| ≤ |−9| + |5|

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Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, J. (2007). El Valor Absoluto ylos Números Reales. Artículo no publicado(pp.12). Tinaquillo, Estado Cojedes.


|−4| ≤9+5⇒

4 ≤ 14 se comprueba la desigualdad.⇒

2. El valor absoluto de una multiplicación de dos o más números reales, es igual a la multiplicación de los valores absolutos de cada número real. En lenguaje matemático sería: x y = x y , x, y R⋅ ⋅ ∈

Ejemplo Nº 2: |(−9) 5| = |− 9| |5|⋅ ⋅

|− 45| = 9 5⋅ 45 = 45 Probemos ahora con dos números enteros negativos:

Ejemplo Nº 3: |(−1) (−7)| = |− 1| |− 7|⋅ ⋅

|7| = 1. 7 7=7

3. El valor absoluto de una división de dos números reales, es igual a la división de los valores absolutos de cada número real. En lenguaje matemático es: siendo x, y R con y ≠ 0∈

Ejemplo Nº 4:


21.1) ¿A qué es igual ? 21.2) Calcula |1 − | + |− 3|π

21.3) ¿A qué es igual ? 21.4) ¿Cuánto vale x si |x + 2| = |1 − x| ?

21.5) Si |− 2 x + 5| = 0 entonces x = 21.6) Si = 3 entonces x =

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LECTURA Nº 22: LOS INTERVALOS Y EL CALENDARIO

Los intervalos se han utilizado prácticamente desde los comienzos de nuestra civilización, el hombre mediante la observación de los fenómenos naturales, comenzó a registrar el tiempo a través de marcas en los árboles o en sus cuevas. Con el tiempo, se estableció el año de 360 días, dividido en 12 meses y 4 estaciones; pero las civilizaciones que usaban el calendario señalado se percataron de que este cálculo no era exacto y tenían que agregar días para predecir el período de siembra y cosecha. Fue en el año 45 AC.cuando el emperador romano Julio César fijó la duración del año en 365 días y ordenó se acumularan 6 horas por año, y que cada cuatrienio (4 años) se aplicará un día más, lo cual debía llevarse a cabo en el mes de febrero; así surgió el año bisiesto.

Aunque el cálculo de Julio César fue muy aproximado, cometió un error, pues al año solar no le sobraban 6 horas, sino 5 horas, 48 minutos y 46 segundos. Esta pequeña diferencia no fue grave al principio, pero hacia el siglo XVI (casi 600 años después) ya se había producido una diferencia tan grande y un desplazamiento de las estaciones, que a causa de ello, el Papa astrónomo Gregorio XIII, en el año de 1582 determinó adelantar al calendario 19 días para actualizarlo; éste fue más preciso, apenas tiene un error de 1 día, 4 horas y 48 minutos en 4000 mil años.

El calendario se origina, por la necesidad de registrar el tiempo en función de los intereses de aquella época. Cabe destacar que el término intervalo, utilizado con frecuencia en matemática, es aplicable para fijar parámetros en los registros del tiempo, cuando se hace referencia a ciertos períodos o momentos que ocurrieron, ocurren o están por ocurrir, por ejemplo: milenios, siglos, décadas, años, meses, días, horas,minutos, segundos, entre otros.

LECTURA Nº 23: INECUACIÓN CONTRA ECUACIÓN

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Tomado con fines instruccionales de:Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticasde Educación Básica. Editorial Santillana, S.A. (p.110). Caracas, Venezuela.

Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, J. (2007). Inecuación contra ecuación. Artículo no publicado (pp.12). Tinaquillo, Estado Cojedes.


Inecuación Ecuación

Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas, en la cual aparecen constantes y una o varias variables desconocidas llamadas incógnitas.

Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en la cual aparecen constantes y una o varias variables desconocidas llamadas incógnitas.

Ejemplos: x − 2 ≤ 5 ; x 2 + y 2 ≥ −1 ; x< y ; log(2 x + a ) > 0

Ejemplos: x − 2 = 5 ; x 2 − 1/2 = 1; sen( x) = ½ ; x − y = −6

Si a ambos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación no se altera.

Si a ambos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número, la ecuación no se altera.

Si se multiplican o dividen ambos miembros de una inecuación por un mismo número no nulo, resulta que la inecuación:• No se altera, si el número es positivo.• Cambia el signo de desigualdad, si el número es negativo.

Si se multiplican o dividen ambos miembros de una ecuación por un mismo número positivo o negativo no nulo, la ecuación no se altera.

Un punto (de la recta, plano,...) es una solución de una inecuación, si al sustituir las variables por los correspondientes valores de las coordenadas del punto, la desigualdad numérica resultante es verdadera.

Un punto (de la recta, plano,...) es una solución de una ecuación, si al sustituir las variables por los correspondientes valores de las coordenadas del punto, la igualdad numérica resultante es verdadera.

LECTURA Nº 24: CONOCIENDO LAS INECUACIONES

Las inecuaciones forman desigualdades entre dos o más expresiones algebraicas, donde cada una de estas expresiones pertenecen a miembros de la desigualdad, una inecuación encuentra solución en el conjunto de todos los valores de las incógnitas que verifican la desigualdad, dicho conjunto recibe el nombre de “Conjunto Solución” y se representa generalmente con la letra “S”. Para realizar cualquier operación relacionada con inecuaciones, es necesario conocer las propiedades que rigen las desigualdades.

Veamos cada caso:1) Si sumamos o restamos un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido de la primera.

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Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, J. (2007). Conociendo lasinecuaciones. Artículo no publicado (pp.12).Tinaquillo, Estado Cojedes.


Si a > b a + c > b + c ⇒ Si a < b a − c < b − c⇒

Ejemplo Nº 1: 16 > 8 ahora le sumamos 2 a cada término 16 + 2 > 8 + 2 se mantiene la desigualdad con el resultado 18 > 10

Ejemplo Nº 2: 5 < 8 ahora le sumamos 3 a cada término 5 + (3) < 8 + (3) se mantiene la desigualdad con el resultado 8 < 5

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número positivo, la desigualdad no cambia de sentido.

Los intervalos denotan el conjunto solución de una inecuación. Es recomendable y casi necesario graficar dichos intervalos para visualizar el conjunto solución.

A continuación podemos observar una tabla que muestra los diferentes intervalos unidimensionales:

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Al resolver inecuaciones de 1º grado en una variable, se debe tener presente todos los procesos antes vistos.

Resuelve las siguientes inecuaciones:

Ejemplo Nº 1: 3 x − 7 < 5

Solución:

Ejemplo Nº 2: − 9 ≤ 2 x − 5 ≤ 9

Solución:a) − 9 + 5 ≤ 2 x − 5 + 5 ≤ 9 + 5b) − 4 ≤ 2 x ≤ 14

c)

d) − 2 ≤ x ≤ 7

S= [− 2,7]

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Ejemplo Nº 3: 3( X − 2 ) ≤ 5 X + 8Solución:

3( X − 2 ) ≤ 5 X + 8 3X − 6 ≤ 5X + 8 3X − 6 + 6 ≤ 5 X + 8 + 6 3 X ≤ 5 X + 14 3 X − 5 X ≤ 5 X − 5 X + 14 − 2 X ≤ 14

S= [− 7,+∞ ) X ≤ 7

Sistemas de inecuaciones:

Son conjuntos de inecuaciones lineales con una incógnita que deben verificarse simultáneamente; es decir, sea cual sea el número de conjuntos soluciones, todos deben intersectarse para determinar el conjunto solución de dicho sistema, en conclusión son todos los valores de x que satisfacen todas las inecuaciones. A continuación podemos observar algunos ejemplos:

Ejemplo Nº 4:

Solución:Se debe resolver de manera independiente cada una de las inecuaciones del sistema planteado.

Primera Inecuación S1

3x − 6 < 6 3x − 6 + 6 < 6 + 6 3 x < 12 3x . 1/3 < 12. 1/3 x < 4

Segunda Inecuación S2

− x+3 ≤ 0 − x +3−3 ≤ 0−3 − x ≤ −3 (− 1) − x ≤ (− 1) − 3 x ≥ 3

El intervalo solución está dado por la intersección de las dos soluciones; es decir, si la solución a la inecuación Nº 1 son todos los valores menores que 4 (− ∞,4 ) y la solución de la inecuación Nº 2 son todos los valores mayores o iguales a 3 [3,+∞ ) , entonces la solución al sistema de las dos inecuaciones son todos los valores mayores o iguales a 3 pero menores de 4.

88


Ejemplo Nº 5:

Solución: Se debe resolver de manera independiente cada una de las inecuaciones del sistema planteado

Primera Inecuación S1

2 x − 7 > 13 2 x − 7 + 7 > 13 + 7 2 x > 20 2x. ½ > 20. ½ x > 10S1= (10,+ ∞)

Segunda Inecuación S2

3x + 2 ≤ 4 3x + 2 − 2 ≤ 4 − 2 3x ≤ 2 3 x. 1/3 ≤ 4. 1/3

x ≤ 4/3 S2 = ( ∞, 4/3]

Como la intersección es vacía, no hay solución para el sistema.


Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y realiza la representación gráfica:

24.1) 3 x ≥ 13 24.2) 4 x + 5 > 2( x − 3)

24.3) 24.4)

Determina el conjunto solución de los siguientes sistemas de inecuaciones y represéntalo gráficamente:

24.5) 24.6)

24.7) 24.8)

Expresa en forma de ecuación los siguientes problemas, resuélvelos y representa gráficamente:

24.9) ¿Cuál es el entero positivo mayor que 80, cuyo tercio aumentado en 15 es mayor que la mitad aumentado en 1?

24.10) La altura de un triángulo mide 10 metros. ¿Cuánto medirá la base de ese triángulo, si su área no puede exceder de 50 metros?

89


24.11) La agencia de alquiler de automóviles A cobra Bs. 200.000 por día, más Bs. 1.000 por cada Km. La agencia B cobra Bs. 175.000 por día, más Bs. 1.750 por Km. ¿A partir de qué kilometraje es más ventajoso el plan de cada agencia?

24.12) Las aspas de un ventilador dan una vuelta en 1/20 de segundo. ¿Cuál es el tiempo necesario para que las aspas den más de 1000 vueltas?

LECTURA Nº 25: INECUACIONES EN LA RECTA

Un fabricante de tornillos recibe un pedido de un cliente, el cual estipula que los tornillos deben tener una longitud de 7,62cm y son aceptables siempre y cuando el error no exceda al 5%. El error ocurre tanto si el tornillo es más largo, como si es más corto que lo deseado. Como el 5% de 7,62cm es 0,381cm, entonces los tornillos son aceptados por el cliente cuando su longitud no es menor que 7,239cm. Asimismo, la longitud de los tornillos no debe ser mayor que 8,001 cm.

La menor longitud aceptable: (7,62 0,381) cm = 7,239 cm.La mayor longitud aceptable: (7,62 + 0,381) cm = 8,001 cm.

Si representamos mediante la variable L la longitud (en centímetros) de los tornillos, lo anterior se expresa simbólicamente así: L1 7,239 cm L 2 8,001 cm

Gráficamente estas inecuaciones se representan de la siguiente manera: Rango de variación permitido ± 5% 0,381 +0,381

Tamaño exigido 7,62 cm

El margen de error aceptable en la fabricación del tornillo, es un intervalo cerrado que va desde:La medida exigida menos el 5% (7,62 0,381)cm = 7,239 cm. yLa medida exigida más el 5% (7,62 + 0,381) cm = 8,001 cm.

90

TomTomado con fines instruccionales de:Fundación Polar. Inecuaciones en la recta. [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática.Extraído: enero 12, 2007


Esta expresión representa la combinación de las dos inecuaciones anteriores y determina el intervalo cerrado (7,239 ; 8,001); (7,239 , ∞ ) ; (∞ , 8,001). Es intervalo cerrado porque hasta ese valor se acepta la medida.

Las inecuaciones cuadráticas

Ya hemos realizado estudios de las inecuaciones lineales, cómo se resuelven y algunas aplicaciones. Ahora nos tocará estudiar las inecuaciones cuadráticas no sin antes recordarles que una inecuación se caracteriza por tener como marco de referencia las relaciones de orden o desigualdades, junto con sus propiedades, además de poseer como posible solución, un conjunto infinito de números reales o intervalos.

Las inecuaciones cuadráticas, al igual que las lineales o de primer grado, son expresiones polinómicas cuya solución va a depender de los valores numéricos o raíces que anulen al polinomio que las define. Se diferencian en que el polinomio de la inecuación lineal es de primer grado y el de la inecuación cuadrática es de segundo grado.

Veamos algunos ejemplos de inecuaciones cuadráticas:3x 2 ≥ 27 , x 2 − 2 > 23 , ( x + 3)( x − 1) < 0 , 5 x 2 − 2 x + 11 ≤ 0

Resolver una inecuación cuadrática, es un proceso que se puede hacer por muchos métodos, desde un simple despeje, pasando por sencillos procedimientos de factorización, hasta por aplicar la fórmula que la resuelve. Vamos a explicar algunos de ellos de manera detallada:

Cuando se trate de un simple despeje:

Se tiene la inecuación 3 x 2 + 2 ≤ 29

3x 2 = 29 – 2

x 2 = 27/3

x 2 = 9

x 2 = 9

x = ±3 , esto es; x = +3 o x = −3⇒

Ahora bien, si analizas el gráfico podrás observar que hemos tomado como solución el intervalo de la recta que está entre los parámetros “3” y “+3”, pues la

91

Lo primero es hacer de la inecuación una ecuación; es decir, cambiamos el signo de la desigualdad por una igualdad, para encontrar las raíces o parámetros de los intervalos.Luego, despejamos la variable “ x ” siguiendo los procedimientos de acuerdo a propiedades de la adición, la multiplicación y la potenciación.Ya encontradas las raíces o parámetros de los intervalos, procedemos a hacer un gráfico de referencia con una parábola y una recta numérica donde se registren los valores de las raíces.


inecuación mantuvo constantemente el signo de la desigualdad “menor o igual que” ( ≤ ), lo cual indica que los valores que satisfacen la inecuación se encuentran por debajo de la recta internos a la parábola.

Luego; la solución se expresa de la siguiente manera:

Sol = [− 3,+3]

Cuando se trate de una factorización: Se tiene la inecuación x2 + 6x + 5 > 0

Entonces; x 2 + 6 x + 5 = 0

Es una ecuación de segundo grado,

Se tiene el polinomio

Luego,

(x + 5) (x + 1) = 0⋅

( x + 5) = 0 (x + 1) = 0∨

Luego, despejando la variable en cada igualdad, se obtiene: x = −5 x = −1∨

92

La solución es un intervalo cerrado en ambos extremos, porque así lo indica el signo de la desigualdad “ ≤ ”

Lo primero es hacer de la inecuación una ecuación; es decir, cambiamos el signo de la desigualdad por una igualdad, para encontrar las raíces o parámetros de los intervalos.

Para resolver una ecuación de segundo grado es posible factorizar el trinomio, para ello tenemos que recordar los procedimientos aplicados en la unidad Nº 1, de la selección de lecturas en el contenido de factorización de trinomios.Observemos resumidamente cómo se hace:

Las expresiones internas a los rectángulos redondeados se toman formando una adición con sus respectivos signos. Luego, estos binomios se multiplican para establecer nuevamente la igualdad, de la siguiente manera:

Tenemos una multiplicación de dos factores desconocidos igualados a cero (0). Para que esta igualdad resulte cero (0) puede pasar que uno de los factores sea cero (0) o ambos lo sean. Es decir; en a b = 0 , a = 0 o b = 0 , de acuerdo a esto ⋅

se tiene que:

De esta manera hemos obtenido los valores de las raíces o parámetros de los intervalos. Ahora con estos valores hacemos una representación mediante la parábola y la recta numérica.

En el gráfico se puede observar que se ha tomado como solución la parte superior de la recta; es decir, los intervalos externos a los parámetros “5” y “1”, pues, así lo indica el signo de la desigualdad “mayor que” ( > ) que se ha mantenido en la inecuación hasta el final.Lo que indica que la multiplicación de los dos factores: (x + 5) y (x + 1) es siempre positiva.


Luego, la solución se expresa de la siguiente manera:Sol = (− ∞,−5) (− 1,+∞)∪

Te proponemos resolver algunos ejercicios, para que pongas en práctica los conocimientos adquiridos hasta ahora sobre las inecuaciones cuadráticas:

25.1 x 2 − x − 20 ≥ 0 25.2 t 2 + 7 ≥ 8t25.3 9x 2 − 6x + 1 ≤ 0 25.4 d 2 + 21 > 10d25.5 x 2 + x +1 < 0 25.6 m 2 + 5m ≤ 0

93


UNIDAD 4PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES

LECTURA Nº 26: EL PLANO CARTESIANO

La utilidad del plano cartesiano, puede ilustrarse de la siguiente manera: Dos personas acuerdan encontrarse a las 4:00pm, en cierta esquina de una ciudad cuyo sistema vial está constituido por calles paralelas y avenidas perpendiculares a las calles, como en el dibujo.

Entonces, la ubicación del sitio de encuentro es en la avenida 4 con calle 3.

Si las calles y avenidas no estuvieran numeradas, sino que se identificaran por nombres, aunque las personas del encuentro no recordaran, sería posible identificar con precisión el punto de encuentro, si se toma como punto de referencia la catedral, un hospital y una escuela, por ejemplo:

La ubicación sería: dos cuadras arriba de la iglesia y tres cuadras a la derecha.

En este último caso, se usó un sistema para identificar el punto de encuentro, que es equivalente al sistema de coordenadas cartesianas. Asignando el punto (0,0) a la esquina de la iglesia; en ese caso, el punto de encuentro tendría coordenadas (3,2), lo que sería equivalente a decir; tres cuadras a la derecha y dos cuadras hacia arriba.

Ahora veamos cómo se representan estos puntos de referencia matemáticamente en un Plano Cartesiano.

94

Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, M. (2006). El plano cartesiano.Artículo no publicado. (pp.12).Tinaquillo, Estado Cojedes.


Las rectas, al cortarse dividen al punto en cuatro partes exactamente iguales. Todo punto (x,y) lo podemos representar en el plano, mediante un par ordenado de números, donde la primera componente corresponde a la coordenada “X” y la segunda componente a la coordenada “Y”

Ejemplo:Se representa gráficamente el punto “A”, que tiene por coordenadas A (2 ,4)

El par ordenado está en el Primer (I) cuadrante

LECTURA Nº 27: COORDENADAS Y TECNOLOGÍA

Actualmente, la posición de un punto sobre la tierra o un objeto en vuelo en la atmósfera terrestre, se puede localizar de forma muy precisa mediante el Sistema de Posicionamiento Global: GPS, por sus siglas en inglés (Global Positioning System), creado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos en 1978.

A partir de 1996 se permitió su uso comercial y civil. Este es un sofisticado sistema de localización de posiciones, basado en la recepción y procesamiento de las informaciones emitidas, permanentemente, por una red de 24 satélites que giran en 6 órbitas circulares de 4 satélites cada una, a una altitud aproximada de

95

4

2 x

y

Tomado con fines instruccionales de:Fundación Polar. Coordenadas y tecnología [Artículo enlínea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática/.[Consulta: enero 4, 2007]


20.200km por encima de la superficie terrestre. Un pequeño instrumento electrónico de mano, denominado GPS, recibe y procesa la combinación de señales de al menos tres satélites, y muestra la posición en laque se encuentra respecto a un sistema de coordenadas geográficas que incluyen la latitud, la longitud y la altura sobre el nivel del mar.

¿Cómo se obtiene la posición de un objeto con el GPS?

Supongamos que uno de los satélites está a una distancia de 15.000km.

Geométricamente, esto indica que el objeto en cuestión, debe estar situado en algún lugar de la superficie de una esfera, cuyo centro es ese satélite y cuyo radio es de 15.000km. Imaginemos un segundo satélite a 16.000km del objeto que se desea localizar. Ahora el objeto considerado está, en algún lugar de la superficie de la esfera con centro en el nuevo satélite y radio 16.000km. En consecuencia, el objeto se encuentra en la circunferencia intersección de las dos esferas (figura oscura en el gráfico). Pensemos en un tercer satélite, cuya distancia al objeto en consideración es de 14.000km. La nueva esfera con centro en ese satélite y radio 14.000km, intersecta a las otras dos esferas en dos puntos A y B que pertenecen a la figura negra y que señalan la posible ubicación del GPS. Para saber cuál de los dos puntos señala nuestra verdaderaposición, deberíamos recibir la señal de un cuarto satélite.

Pero en la práctica uno de los puntos indica una posición posiblemente fuera de la Tierra o bien que no cumple con las condiciones requeridas y por tanto se descarta sin tener que analizar otra nueva señal. El procesador del GPS realiza instantáneamente los cálculos trigonométricos necesarios para medir la distancia desde cada satélite y calcular su posición geográfica.

LECTURA Nº 28: FUNCIONES QUE TIENEN HISTORIA

En una oportunidad el rey Hierón encargó a un orfebre la elaboración de una corona de oro y plata. Lista la corona, el rey le pidió a Arquímedes que comprobara si las cantidades de oro y plata eran iguales a las que él le entregó al orfebre.

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Tomado con fines instruccionales de:Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticasde Educación Básica. Editorial Santillana,S.A. (p.140). Caracas, Venezuela.


Así llegamos al célebre baño de Arquímedes: al meterse Arquímedes en una bañera llena de agua, el nivel del agua naturalmente subía, pues cuanto mayor era la parte sumergida en el líquido, tanto más alto era el nivel de éste. Esto le dio a Arquímedes una gran idea, llenó completamente un recipiente de agua, sumergió la corona, y recogió el agua que rebasó el recipiente, ya que él sabía que el exceso de agua debía tener el mismo volumen que la corona. Lo que quedaba por hacer era sencillo: conseguir una cantidad similar de oro y comparar su volumen con el de la corona. Así, Arquímedes demostró que la corona contenía menos oro del acordado.

Actualmente, se pueden comprobar esas relaciones mediante ecuaciones que expresan funciones: oro: P=19*V; plata: P=(10,5)*V; mercurio: P = (13,6)*V; donde P es el peso y V es el volumen.

LECTURA Nº 29: LA FUNCIÓN LINEAL

¿Sabías que la notación que se usa actualmente para expresar las ideas relacionadas al concepto matemático de “función” fue introducida por Leonhard Euler, uno de los más brillantes genios de la historia de la ciencia?

El concepto de función, ha sido utilizado desde entonces prácticamente en todas las ramas de la matemática, dicho concepto matemático permite organizar información que se obtiene a través de datos numéricos tomados de algún fenómeno, y estudiar la manera en que esos datos se relacionan entre sí. Por ejemplo, se tienen los siguientes datos acerca de los kilómetros recorridos por un ciclista en entrenamiento, en intervalos de tiempo de 15 minutos:

Minutos 0 15 30 45 60

Kilómetros 0 6 12 18 24

Un observador cuidadoso notará que, en cada intervalo de 15 minutos, el número de kilómetros avanzados es siempre el mismo, 6km. Si se representan estos datos en el plano cartesiano, ubicando el tiempo en minutos en el eje de las abscisas (x) y la distancia recorrida en el eje de las ordenadas (y), se obtiene algo así:

97

Tomado con fines instruccionales de:Porras. O. (2004). Tercera Etapa: una propuesta.Escuela Venezolana para la Enseñanza de laMatemática. (p.63). Mérida, Venezuela.


Esto indica que el ciclista va a una velocidad constante, y que una línea recta representa su recorrido en kilómetros a través del tiempo.

El tiempo y la distancia se denominan variables. El tiempo es, en este caso la variable independiente y la distancia recorrida es la variable dependiente, porque depende del tiempo: para cada instante dado, hay una distancia recorrida.

Una función, es una manera de asociar cada elemento de un conjunto de variables con un elemento de otro conjunto de variables (como en este caso) y se escribe f (x) para representar el número que se le asocia a la variable independiente x.

f (0) = 0 ; f (15) = 6 ; f (30) = 12 ; f (45) = 18 ; f (60) = 24

Y en general: f (x) = (2/5) . x

Es decir, cada vez que la x (variable independiente) aumenta en 15 minutos, la variable dependiente (F(x) o y) aumenta en 6 kilómetros.

LECTURA Nº 30: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

La distancia entre dos puntos en el plano, se puede calcular aplicando el Teorema de Pitágoras en función de las coordenadas de esos puntos.En la figura se ha formado el triángulo ABC rectángulo en C, donde la medida de la hipotenusa AB corresponde a la distancia entre los puntos A( x1 , y1 ) y B( x2 , y2 ), que se designa como d (AB) .

(AB) 2 = ( AC ) 2 + ( BC ) 2

d ( AB) 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

Por lo tanto d ( AB ) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

De forma tal que: dados dos puntos con sus respectivas coordenadas, se puede encontrar la distancia entre ellos sólo con aplicar la fórmula correspondiente.

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Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, M. (2007). Distancia entre dospuntos en el plano. Artículo no publicado. (pp.1 2). Tinaquillo, Estado Cojedes.


ACTIVIDADES: Hallar la distancia entre los puntos:

30.1 A(2,3) y B(2,1) 30.2 C(4,4) y D(7,9) 30.3 E(8,1) y F(6,5)

30.4 G(5,3) y H(6,6) 30.5 I(4,3) y J(2,9) 30.6 K(1,1) y U(9,4)

30.7 Representa gráficamente cada par de puntos.

30.8) En la siguiente gráfica obtener: a) Todos los pares ordenados. b) Todas las combinaciones posibles entre dos puntos. c) Hallar la distancia entre dos puntos de las

combinaciones obtenidas.

30.9 Si un triángulo tiene como vértices los puntos: A(2,3); B(1, 1) y C(0,4). Calcula el perímetro del mismo.

30.10 Del ejercicio anterior, calcula los puntos medios de cada lado y entre estos puntos traza un nuevo triángulo. Calcula el perímetro del nuevo triángulo.

30.11 ¿Qué relación existe entre los perímetros calculados en los ejercicios 30.8 y 30.9?

30.12 Si las coordenadas del punto A son (3,4) y la distancia de A hasta B es 5. Indica dos de las posibles coordenadas de B.

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LECTURA Nº 31: CLASIFICACIÓN DE LA FUNCIONES

Se llama Función Lineal f definida por la ecuación de primer grado f( x) = ax + b, donde a y b son constantes.La gráfica de la Función Lineal es una línea recta.

La Ecuación de la recta puede explicarse en forma implícita o en forma explícita

Representación gráfica de la función lineal

Para representar gráficamente una Función Lineal se requiere conocer, por lo menos, dos puntos de ella. Estos puntos se llevan al plano de coordenadas y se unen a través de una línea recta. La recta trazada será la gráfica de la función lineal dada.

Ejemplo:

Representar gráficamente la función Y = 2 x − 1 , le damos valores arbitrarios a la variable “X” en la tabla.

Ejercicios:

Completa las siguientes tablas según las funciones reales dadas. Luego, grafícalas y dale el nombre a cada una.

31.1) f(x) = 31.2) g(x) = 6x − 3

Representa gráficamente la Función

31.3) (2/3)X + (1/2)Y−(2/3) = 0 31.4) Y = (7/3) X − (5/3)

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Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, M. (2007). Clasificación de lasfunciones. Artículo no publicado. (pp.12).Tinaquillo, Estado Cojedes.

Ax + By + C = 0Donde A ≠ 0

Y = ax + bDonde a ≠ 0

x y0 11 12 33 54 7

0 1 2 3 421

012

34

56

78

x

y

x 1 0 1 2f(x)

x 3 1 1 3f(x)

La tangente trigonométrica del ángulo que forma dicha recta con el eje horizontal del sistema. Se denota con la letra (m), haciendo referencia a la pendiente de la recta.La tangente de un ángulo es igual al cateto opuesto (CO) sobre cateto adyacente (CA):

Tag = m = α


Pendiente de la recta

Ejemplo:

Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2,4) y B(4,6)

Determina la pendiente de la recta y = 3 x + 2 que pasa por los puntos A(2,8) y B (−3,−7)

Ejercicios:Despeja la “Y”, e indica la pendiente de cada recta.

31.5) 3x + y = 5 31.6) 2 x − 3 y = 6 31.7) − 2 y = x

Calcula la pendiente de las siguientes rectas dadas por dos puntos. 31.7) Si A(3,4) y B(5,7) 31.8) Si C(−1,6) y D(−3,5) 31.9) Si A(−2,−2) y B(2,2)

Despeja la “Y”, e indica la pendiente de cada recta.

31.10) 31.11) 4 x + 2 y − 7 = 0 31.12) 4 − y = 0

Calcula la pendiente de las siguientes rectas dadas por dos puntos.31.13) Si M (0,1) N (4,−2) 31.14) Si T (2,1) U (2,−3)∧ ∧

Resuelve los siguientes problemas:

101

y2 44 6

x

COCA

COCA

y2 83 7

x NOTA: No era necesario aplicar la fórmula ya que en la función lineal f(x) = mx + b el coeficiente de la variable x es la pendiente.


31.15) Sabiendo que una persona acorta su vida en 8 minutos cada vez que se fuma un cigarrillo. Expresa en forma de función, el cálculo de la cantidad de horas que una persona acorta su vida en un mes si se fuma x cantidad de cigarrillos al día.

31.16) Elabora la gráfica para la función del ejercicio 31.15 y calcula la pendiente.

31.17) Dibuja la gráfica del paralelogramo cuyos vértices están representados por los puntos: A(3,1); B(0,4); C(6,4) y D(3,7). Utilizando el criterio del cálculo de la pendiente de los lados, determina que figura se forma al unir los puntos medios de los cuatro lados.

Función cuadrática

Ya has estudiado la función lineal, la cual se puede definir como una relación entre dos conjuntos numéricos, un conjunto dominio (valores que puede tomar la x) y un conjunto rango (valores de la y). La relación entre estos conjuntos, está dada de forma que cada elemento del dominio le corresponde una imagen o elemento siempre distinto en el rango. Es decir, la función lineal pertenece al grupo de las funciones biyectivas. Se caracteriza por tener como ecuación la forma y = mx + b y su gráfica es una recta en el plano cartesiano.

Ahora bien, la función cuadrática también es una relación entre dos conjuntos numéricos, pero aquí la correspondencia entre los elementos, es un poco diferente a la que se presenta en la función lineal; debido a que pares de elementos distintos en el conjunto dominio se relacionan con una misma imagen o elemento en el conjunto rango. La función cuadrática podría ser un típico caso de las funciones sobreyectivas. Se

caracteriza por tener como ecuación la forma y = Ax 2 + Bx + C ; siendo los coeficientes A, B y C números reales cualesquiera y A ≠ 0 , y además su gráfica representa una parábola o curva abierta en forma de campana, simétrica respecto a un eje.

Veamos la comparación entre la función lineal y la cuadrática.

Función Lineal Función Cuadrática

Ecuación y = f ( x ) = mx + b y = f ( x) = Ax 2 + Bx + C

Variable La variable “X” tiene exponente 1 La variable “X” tiene exponente 1

Gráfica Es una línea recta Es una parábola

Tipo de función Es Inyectiva y sobreyectiva Puede ser sobreyectiva

Funciones reales

FUNCIÓN: Cuando una cantidad variable depende de otra se dice que está en función de esta última.En una definición moderna de función, Cauchy, explica que “Y” es función de “X” cuando el valor de la variable X le corresponden uno o varios valores determinados de la variable “Y”. La notación para expresar que Y es función de X es:

102


y = f (x)

Ejercicios:

Determina cuáles de las siguientes funciones son cuadráticas:

31.18: y = 2x 2 + 5 31.19: y = 3x 2 − 5 x + 6

31.20: y = 2x − 1 31.21: y = ( x + 2 ).( x − 2 )

31.22: 31.23: y = x + 5x − 1

31.24 ¿Cuáles son los coeficientes de las funciones cuadráticas de los ejercicios 36.18 al 36.23 ?

31.25 Realiza la gráfica de las funciones del ejercicio 34.24

Desde la azotea de un edificio de 30m. de altura, es lanzado hacia arriba, un cohetón (fuegos artificiales). El recorrido del artefacto se expresa mediante la función: f (t ) = −2t 2 + 32t (siendo t el tiempo).31.26: Determina la altura del cohetón al transcurrir 1seg, 2seg, 3seg, 4seg y 5 seg.31.27: Elabora una gráfica de la función.31.28: ¿Cuál es la mayor altura que alcanza el artefacto y a cuántos segundos?31.29: ¿A cuántos segundos pasa en caída frente al mismo lugar de donde fue lanzado?31.30: ¿Cuántos segundos demora en caer al nivel de la carretera?

Función exponencial

Una Función Exponencial, es una función de la forma y = f ( x) = a x , donde a es un número real positivo distinto de 1. De acuerdo a esto, podemos escribir en símbolos lo siguiente:

Ejemplo:

NOTA: Debemos hacer notar que si a =1, entonces a x se transforma en 1 =1 y se tendría una función constante. Es ésta, la razón por la cual se impone en la definición que a ≠ 1 .

103

Una función de la forma y = f(x) = a x, donde a > 0 y a ≠ 1 , es una función exponencial, siendo “a” la base de la función exponencial.


Ejemplo: Gráfica de f (x) = 2 x

Tabla de Datos

Propiedades de las funciones exponenciales

• El dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. • El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos (R+). • La gráfica de Y = a x muestra un crecimiento exponencial si a > 1 Función Creciente. • La gráfica de Y = a x muestra un decrecimiento exponencial si 0 < a < 1 Función Decreciente. • La intersección con el eje Y es 1, no existiendo intersección con el eje X. • El eje X es una Asíntota Horizontal. • A mayor valor de a , mayor será la rapidez con que crece la función. • La gráfica de cualquier función exponencial pasa por el punto (0,1) porque a0 =1. • Por ser a1 = a, la gráfica pasará siempre por el punto (1,a). • Es inyectiva y sobreyectiva, razón por la cual es biyectiva.

Ejercicios:

Calcula los valores que toman las siguientes funciones para X = 2,1, 0, 1, 2.

31.31: f ( x) = 5 x 31.32: f ( x) = 5− x

31.33: 31.34:

31.35: En la definición de función exponencial la base a fue restringida (a > 0) (a ≠ 1) .∧

31.36: Si aceptamos la condición a =1 ¿Qué le sucede a la función Y = a x ? 31.37 Si el precio de un producto crece de acuerdo a las funciones Y = 3x y Y = 3x ¿Cuál de las funciones nos conviene si somos compradores? Razona tu respuesta

104

x y4 0,0633 0,1252 0,2501 0,5000 1,0001 2,0002 4,0003 8,0004 16,000

4 3 2 1 0 1 2 3 40,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

x

y

De la gráfica podemos observar varios aspectos:Cuando X aumenta (x +∞) los →

valores de Y aumentan con rapidez, mientras que cuando los valores de X disminuyen (x −∞) →

los valores de Y se acercan cada vez más a “0”. En este caso se dice que el eje X es una Asíntota Horizontal. La función es creciente.Por otro lado, no existen intersecciones con el eje X porque b x ≠ 0 para cualquier valor de X.La intersección con el eje Y es el punto (0,1) ya que b0=1.


La Función Logarítmica

Hemos estudiado que la función exponencial Y = a x (a > 0 y a ≠ 1) es biyectiva y como consecuencia tiene una función inversa. Como por ejemplo Y = 3 x, su inversa X = 3 y imposible despejar a “Y”. La expresión X = 3 y significa que “Y” es el exponente al que es necesario elevar la base 3 para obtener “X”.

Entonces se dice que:

Para a > 0 y a ≠ 1 el logaritmo de base “a” de un número X > 0 es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

log a X = Y Es equivalente a: aX = a y

Y = log a X Se lee: “Y es igual a logaritmo de X en la base a” o “Y es igual al logaritmo base a de X”

La siguiente tabla ilustra la equivalencia de las formas exponenciales y logarítmicas.

Forma Exponencial Forma Logarítmica

32 = 9 log 3 9 = 2

33 = 9 log 2 8 = 3

30 = 1 log 3 1 = 0

Ejercicios:

Indica en forma de función logarítmica lassiguientes expresiones:

Indica en forma de función exponencial las siguientes funciones logarítmicas

31.38: hk =p 31.45: loghp = k

31.39: 72 = 49 31.46: logph = k

31.40: (1/3)4 = 1/81 31.47: log249 = 7

31.41: 27 1/3 = 1/3 31.48: log749 = 2

31.42: ( 2 )x = 1024 31.49: log 2 1024 = x

31.43: ( 2)x = 16 31.50: log x 2 = 1024

31.44:

31.51: log −3 = −3

105

Consecuencias inmediatas de la definición de logaritmo:1. X = a y si y sólo si Y = logax

2. alogaX = X3. logaay = Y

4. loganam = m/n


Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas, de la forma siguiente:

• El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2 radianesπ

• Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un ángulo. Sus razones trigonométricas se relacionan con las razones de los ángulos comprendidos en el intervalo [0,2 ) del siguiente modo:π

Si xx1 = k 2 , con k número entero, entoncesπ

sen(x) = sen(x)1 cos(x) = cos(x)1 tg(x) = tg(x)1

es decir, si dos números difieren en un número entero de veces 2 , entonces tienen los números razonesπ trigonométricas.

De este modo se obtienen las funciones trigonométricas, llamadas también circulares:Y = sen(x), Y = cos(x) Y =t g(x),

Gráfica de la función seno

Formamos una tabla de valores

Análisis de la gráfica

• A medida que el ángulo crece de 0 a /2, los valores del seno crecen de 0 a 1; por lo tanto la curva esπ creciente en este intervalo y sus valores son positivos. El máximo ocurre cuando X= /2 .π

• A medida que el ángulo crece de /2 a , los valores del seno varían de 1 a 0. en este intervalo la curvaπ π es decreciente y sus valores son (+).• A medida que el ángulo crece entre y 3 /2 los valores del seno varían de 0 a 1 en este intervalo laπ π curva es decreciente y sus valores se obtienen cuando X=3 /2.π

• A medida que el ángulo crece entre 3 /2 y 2 los valores del seno varían 1 y 0; por lo tanto, la curva esπ π creciente y sus valores son negativos.• La función sen(x) es contraría para el intervalo 0 a 2 . Esto nos indica que no tiene roturas en su gráfica.π

106

Radianes Sen(x)π 0

/2π 10 0/2π 1π 0

10

3 /2π

2ππ /2π 0 /2π π 3 /2π 2π

1,5

1

0,5

0

0,5

1

1,5

x

y


Gráfica de la Función Coseno

La función coseno es una función real de variable real, tal que a cada ángulo & medido en radianes se le hace corresponder un número real denominado como cos&.

Formamos una tabla de valores.

La función tangente:

La función tangente es una función de variable real definida como el cociente:

Siendo cos(x) diferente de cero (0), denotado por f (x) = tagx , de forma tal que a cada ángulo expresado en radianes, le haga corresponder el valor de su tangente.

Gráfica de la función tangente

Formamos una tabla de valores.

107

π /2π 0 /2π π 3 /2π 2π1,5

1

0,5

0

0,5

1

1,5

x

y

Radianes cos(x)π 1

/2π 00 1/2π 0π 1

01

3 /2π

2π

Radianes tan(x)0 0/4π 1π 0

3 /4π 1π 0

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