Date post: | 18-Jul-2016 |
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Lesson 3 –Network Descrip2on Using Graph Theory
Semester 3 – Power Systems for Electrical Transporta2on
Lecturer: Pablo Arboleya Arboleya
Sustainable Transporta2on and Electrical Power
Systems
Universidad de Oviedo
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
G
G
a
b
c
2
Describing a trac2on network using graphs
AC subsystem
DC subsystem
Link subsystem
Each subsystem will be defined as a subgraph of the whole system.
The three subgraphs will be complementary graphs of the whole system graph
T h e v e r 2 c e s o f e a c h subgraph will be: DC Subsystem: Trains, DC substa2ons and bifurca2on points.
AC Subsystem: AC substa2ons and nodes and the secondary of power transformers (link nodes).
€
The total number of nodes nN = nNDC + nN
AC →nNDC = nt + nS
DC (trains + DC substations)nNAC = nN
L + nSAC (links + AC substations)
⎧ ⎨ ⎩
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
G
G
a
b
c
3
Describing a trac2on network using graphs
AC subsystem
DC subsystem
Link subsystem
The (nN,nN) adjacency matrix representing this system, can be calculated as:
The dimensions of all previous matrices are (nN,nN).
Each subgraph will have its particular adjacency matrix with its own dimension:
€
The total number of nodes nN = nNDC + nN
AC →nNDC = nt + nS
DC (trains + DC substations)nNAC = nN
L + nSAC (links + AC substations)
⎧ ⎨ ⎩
€
ΛTOT = ΛDC +ΛL +ΛAC
€
ΛAC* → nNAC ,nS
AC( )ΛDC* → nN
DC ,nNDC( )
ΛL* → nSAC ,nN
L( )
Node enumera2on criteria: The criteria used to list nodes
begins with the trains and get on with the rest of nodes in DC, then link nodes, and finally the AC network nodes. Thus the vector with all nodes in the system will be as follows:
4
28 2. Descripción gráfica del problema. Teoría de grafos
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
G
G
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
7link8link 9link
10AC
11AC
12AC 13AC14AC
15AC
Figura 2.6: Sistema AC/DC con los nodos numerados.
de dimensiones (nLN ,nL
N ) también será nulo, puesto que un nodo link nunca seráadyacente a otro nodo link. Quedan por tanto sólo los bloques mostrados en lafigura 2.7 correspondientes a las adyacencias entres trenes, trenes y nodos de latopología de DC, entre nodos de la topología de DC, entre estos últimos y losnodo link, y finalmente entre nodo link y nodos de AC, así como las adyacenciasentre ellos propias de la topología de AC. Cada uno de estos bloques, así como laformación de la !TOT se verá en los siguientes apartados.
({ { { {
{ {
(nt nDC
S nLN
nACS
nDCN
nACN
AC
DC
links
Figura 2.7: Formación de la matriz de adyacencia del sistema AC/DC completo.
€
vN = vNDC ,vN
AC[ ] →vNDC = t,sDC[ ]vNAC = l,sAC[ ]
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
The adjacency matrix described with the proposed enumera2on criteria is a block matrix
Describing a trac2on network using graphs
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
G
G
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
7link 8link 9link
10AC
11AC
12AC 13AC14AC
15AC
e1 e2
e3e4e5
e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
e13 e14
e15
e16 e17
e18
Figure 5: Edge and node enumeration criteria.
nition shown in (2) , the ! describing the RPSS will be a block matrix (see
Fig. 6) where lined zones correspond to non zero values.
({ { { {
{ {
({{{{
{{ nt
nt nDCS
nLN
nLN
nACS
nACS
nACS
nDCN
nDCN
nACN
nACN
AC
DC
link
Figure 6: Whole system block adjancecy matrix.
The (nDCN ,nDC
N ) dimension matrix !DC!will be defined as:
!DC!=
!
""#!tt
(nt,nt)!ts
(nt,nDCS )
0 !ss(nDC
S ,nDCS )
$
%%& (9)
14
€
ΛTOT = €
DC
DC subsystem adjacency matrix:
5
€
Λtt : Adjacency between trainsΛts : Adjacency between trains and DC substationsΛss : Adjacency between substations
Describing a trac2on network using graphs
2.4. Grafo asociado a una red ferroviaria 29
2.4.1.1. Subsitema DC
El subsitema DC estará formado básicamente por la red ferroviaria, sin te-ner en cuenta la alimentación del sistema. Es decir, las catenarias y vías con suspuntos de unión o cambio de características (sección, material etc), los trenes, ylos terminales de DC de las subestaciones alimentadoras AC/DC. En la figura 2.8se observan los elementos propios del subsistema, dos trenes etiquetados como1DC y 2DC , las subestaciones rectificadoras 3DC , 5DC y 6DC y un punto 4DC deintersección de vías.
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
Figura 2.8: Subsistema DC.
La !DC! del subgrafo será por tanto de dimensiones (nDCN ,nDC
N ) y podrá for-marse según la ecuación (2.11):
!DC!=
!
" !tt(nt,nt) !ts
(nt,nDCS )
0 !ss(nDC
S ,nDCS )
#
$ (2.11)
Donde !tt,!ts y !ss son las matrices de adyacencia entre trenes, trenes ynodos DC, y entre nodos DC respectivamente de dimensiones (nDC
N ,nDCN ). Estas
tres matrices definirían a su vez subgrafos del grafo que describe el sistema DC.Fijándose en la figura 2.6, en este caso la !tt sería nula también puesto que noexiste adyancencia entre los dos trenes, pero podría darse el caso en que ambostrenes estuviesen en la misma vía, dando lugar a una adyacencia entre ellos.
Según lo anteriormente explicado y con el fin de formular la !TOT tal comodescribe la ecuación (2.6), se ha de tratar con !DC de dimensiones totales:
!DC =
!
" !DC!0(nDC
N ,nACN )
0(nDCN ,nAC
N ) 0(nACN ,nAC
N )
#
$ (2.12)
2.4.1.2. Subsistema Links
El siguiente subsistema es el que se denomina de links, estará formado por losconversores AC/DC, luego tendrá unos edges propios que corresponderán a esosconversores, los edges serán incidentes en nodos de DC y nodos link. En cuanto
2.4. Grafo asociado a una red ferroviaria 29
2.4.1.1. Subsitema DC
El subsitema DC estará formado básicamente por la red ferroviaria, sin te-ner en cuenta la alimentación del sistema. Es decir, las catenarias y vías con suspuntos de unión o cambio de características (sección, material etc), los trenes, ylos terminales de DC de las subestaciones alimentadoras AC/DC. En la figura 2.8se observan los elementos propios del subsistema, dos trenes etiquetados como1DC y 2DC , las subestaciones rectificadoras 3DC , 5DC y 6DC y un punto 4DC deintersección de vías.
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
Figura 2.8: Subsistema DC.
La !DC! del subgrafo será por tanto de dimensiones (nDCN ,nDC
N ) y podrá for-marse según la ecuación (2.11):
!DC!=
!
" !tt(nt,nt) !ts
(nt,nDCS )
0 !ss(nDC
S ,nDCS )
#
$ (2.11)
Donde !tt,!ts y !ss son las matrices de adyacencia entre trenes, trenes ynodos DC, y entre nodos DC respectivamente de dimensiones (nDC
N ,nDCN ). Estas
tres matrices definirían a su vez subgrafos del grafo que describe el sistema DC.Fijándose en la figura 2.6, en este caso la !tt sería nula también puesto que noexiste adyancencia entre los dos trenes, pero podría darse el caso en que ambostrenes estuviesen en la misma vía, dando lugar a una adyacencia entre ellos.
Según lo anteriormente explicado y con el fin de formular la !TOT tal comodescribe la ecuación (2.6), se ha de tratar con !DC de dimensiones totales:
!DC =
!
" !DC!0(nDC
N ,nACN )
0(nDCN ,nAC
N ) 0(nACN ,nAC
N )
#
$ (2.12)
2.4.1.2. Subsistema Links
El siguiente subsistema es el que se denomina de links, estará formado por losconversores AC/DC, luego tendrá unos edges propios que corresponderán a esosconversores, los edges serán incidentes en nodos de DC y nodos link. En cuanto
2.4. Grafo asociado a una red ferroviaria 29
2.4.1.1. Subsitema DC
El subsitema DC estará formado básicamente por la red ferroviaria, sin te-ner en cuenta la alimentación del sistema. Es decir, las catenarias y vías con suspuntos de unión o cambio de características (sección, material etc), los trenes, ylos terminales de DC de las subestaciones alimentadoras AC/DC. En la figura 2.8se observan los elementos propios del subsistema, dos trenes etiquetados como1DC y 2DC , las subestaciones rectificadoras 3DC , 5DC y 6DC y un punto 4DC deintersección de vías.
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
Figura 2.8: Subsistema DC.
La !DC! del subgrafo será por tanto de dimensiones (nDCN ,nDC
N ) y podrá for-marse según la ecuación (2.11):
!DC!=
!
" !tt(nt,nt) !ts
(nt,nDCS )
0 !ss(nDC
S ,nDCS )
#
$ (2.11)
Donde !tt,!ts y !ss son las matrices de adyacencia entre trenes, trenes ynodos DC, y entre nodos DC respectivamente de dimensiones (nDC
N ,nDCN ). Estas
tres matrices definirían a su vez subgrafos del grafo que describe el sistema DC.Fijándose en la figura 2.6, en este caso la !tt sería nula también puesto que noexiste adyancencia entre los dos trenes, pero podría darse el caso en que ambostrenes estuviesen en la misma vía, dando lugar a una adyacencia entre ellos.
Según lo anteriormente explicado y con el fin de formular la !TOT tal comodescribe la ecuación (2.6), se ha de tratar con !DC de dimensiones totales:
!DC =
!
" !DC!0(nDC
N ,nACN )
0(nDCN ,nAC
N ) 0(nACN ,nAC
N )
#
$ (2.12)
2.4.1.2. Subsistema Links
El siguiente subsistema es el que se denomina de links, estará formado por losconversores AC/DC, luego tendrá unos edges propios que corresponderán a esosconversores, los edges serán incidentes en nodos de DC y nodos link. En cuanto
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
G
G
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
7link 8link 9link
10AC
11AC
12AC 13AC14AC
15AC
e1 e2
e3e4e5
e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
e13 e14
e15
e16 e17
e18
Figure 5: Edge and node enumeration criteria.
nition shown in (2) , the ! describing the RPSS will be a block matrix (see
Fig. 6) where lined zones correspond to non zero values.
({ { { {
{ {
({{{{
{{ nt
nt nDCS
nLN
nLN
nACS
nACS
nACS
nDCN
nDCN
nACN
nACN
AC
DC
link
Figure 6: Whole system block adjancecy matrix.
The (nDCN ,nDC
N ) dimension matrix !DC!will be defined as:
!DC!=
!
""#!tt
(nt,nt)!ts
(nt,nDCS )
0 !ss(nDC
S ,nDCS )
$
%%& (9)
14
€
ΛTOT = €
DC
Links subsystem adjacency matrix: The link subsystem do not have own nodes, but the dimensions of its adjacency matrix depends on the link nodes (belonging to the AC subsystem) and the DC nodes no-‐train type (belonging to the DC subsystem)
6
Describing a trac2on network using graphs
30 2. Descripción gráfica del problema. Teoría de grafos
a los nodos, no tiene nodos propios, puesto que en realidad los nodos link sonpropios del subsistema AC, figura 2.9.
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
3DC 5DC 6DC
7link 8link 9link
Figura 2.9: Subsistema links.
En la ecuación (2.13) se puede ver la formación de!L para cualquier sistema,esta como se observa solo tendrá términos no nulos en las posiciones correspon-dientes a los nodos de la topología de DC que no son trenes (nDC
S ) y los nodo link,luego la !L! será de dimensiones (nDC
S , nLN).
!L =
!
""""""#
0(nDCN ,nDC
N )
0 0
!L!0
0(nACN ,nDC
N ) 0(nACN ,nAC
N )
$
%%%%%%&(2.13)
2.4.1.3. Subsistema AC
Por ultimo el subsistema de AC, es la propia red de distribución desde la que sealimentan las subestaciones rectificadoras. Estará formado por unos edges propiosque corresponderán a las líneas de la red. Los edges incidentes en nodos link secorresponderán con los transformadores del sistema. En cuanto a los nodos (nAC
N )serán todos los de la red de AC mas los nodos link, figura 2.10.
La !AC! del subgrafo será por tanto de dimensiones (nACN ,nAC
N ) y podrá for-marse según la ecuación (2.14):
!AC!=
!
# 0 !trafo
0 !sAC
$
& (2.14)
30 2. Descripción gráfica del problema. Teoría de grafos
a los nodos, no tiene nodos propios, puesto que en realidad los nodos link sonpropios del subsistema AC, figura 2.9.
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
3DC 5DC 6DC
7link 8link 9link
Figura 2.9: Subsistema links.
En la ecuación (2.13) se puede ver la formación de!L para cualquier sistema,esta como se observa solo tendrá términos no nulos en las posiciones correspon-dientes a los nodos de la topología de DC que no son trenes (nDC
S ) y los nodo link,luego la !L! será de dimensiones (nDC
S , nLN).
!L =
!
""""""#
0(nDCN ,nDC
N )
0 0
!L!0
0(nACN ,nDC
N ) 0(nACN ,nAC
N )
$
%%%%%%&(2.13)
2.4.1.3. Subsistema AC
Por ultimo el subsistema de AC, es la propia red de distribución desde la que sealimentan las subestaciones rectificadoras. Estará formado por unos edges propiosque corresponderán a las líneas de la red. Los edges incidentes en nodos link secorresponderán con los transformadores del sistema. En cuanto a los nodos (nAC
N )serán todos los de la red de AC mas los nodos link, figura 2.10.
La !AC! del subgrafo será por tanto de dimensiones (nACN ,nAC
N ) y podrá for-marse según la ecuación (2.14):
!AC!=
!
# 0 !trafo
0 !sAC
$
& (2.14)
€
ΛL* → nSAC ,nN
L( )
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
G
G
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
7link 8link 9link
10AC
11AC
12AC 13AC14AC
15AC
e1 e2
e3e4e5
e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
e13 e14
e15
e16 e17
e18
Figure 5: Edge and node enumeration criteria.
nition shown in (2) , the ! describing the RPSS will be a block matrix (see
Fig. 6) where lined zones correspond to non zero values.
({ { { {
{ {
({{{{
{{ nt
nt nDCS
nLN
nLN
nACS
nACS
nACS
nDCN
nDCN
nACN
nACN
AC
DC
link
Figure 6: Whole system block adjancecy matrix.
The (nDCN ,nDC
N ) dimension matrix !DC!will be defined as:
!DC!=
!
""#!tt
(nt,nt)!ts
(nt,nDCS )
0 !ss(nDC
S ,nDCS )
$
%%& (9)
14
€
ΛTOT = €
DC
AC subsystem adjacency matrix:
7
€
Λtrafo : Adjacency between link nodes and AC substations nNL ,nS
AC( )ΛsAC : Adjacency between AC substations nS
AC ,nSAC( )
Describing a trac2on network using graphs
30 2. Descripción gráfica del problema. Teoría de grafos
a los nodos, no tiene nodos propios, puesto que en realidad los nodos link sonpropios del subsistema AC, figura 2.9.
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
3DC 5DC 6DC
7link 8link 9link
Figura 2.9: Subsistema links.
En la ecuación (2.13) se puede ver la formación de!L para cualquier sistema,esta como se observa solo tendrá términos no nulos en las posiciones correspon-dientes a los nodos de la topología de DC que no son trenes (nDC
S ) y los nodo link,luego la !L! será de dimensiones (nDC
S , nLN).
!L =
!
""""""#
0(nDCN ,nDC
N )
0 0
!L!0
0(nACN ,nDC
N ) 0(nACN ,nAC
N )
$
%%%%%%&(2.13)
2.4.1.3. Subsistema AC
Por ultimo el subsistema de AC, es la propia red de distribución desde la que sealimentan las subestaciones rectificadoras. Estará formado por unos edges propiosque corresponderán a las líneas de la red. Los edges incidentes en nodos link secorresponderán con los transformadores del sistema. En cuanto a los nodos (nAC
N )serán todos los de la red de AC mas los nodos link, figura 2.10.
La !AC! del subgrafo será por tanto de dimensiones (nACN ,nAC
N ) y podrá for-marse según la ecuación (2.14):
!AC!=
!
# 0 !trafo
0 !sAC
$
& (2.14)
2.4. Grafo asociado a una red ferroviaria 31
G
G
7link8link 9link
10AC
11AC
12AC 13AC14AC
15AC
Figura 2.10: Subsistema AC.
Donde !trafo es la matriz de adyacencia que describe los transformadores dedimensiones (nL
N , nACS ), y!sAC es la matriz de adyacencia entre subestaciones de
AC, es decir las líneas de distribución de la red AC, de dimensiones (nACS , nAC
S ).La matriz !AC de dimensiones totales que describe todo el subgrafo corres-
pondiente al subsitema AC será:
!AC =
!
" 0(nDCN ,nDC
N ) 0(nDCN ,nAC
N )
0(nDCN ,nAC
N ) !AC!
#
$ (2.15)
Una vez estudiadas cada una de las matrices de adyacencia de los distintossubsistemas se puede completar la ecuación (2.6) de la siguiente forma:
!TOT = !DC +!L +!AC
=
!
%%%%%%"
!DC!0 0
!L!0
0 0 0!AC!
0 0 0
#
&&&&&&$(2.16)
2.4.2. Criterio de enumeración de edges y configuración de lamatriz de incidencia
A partir del criterio de enumeración de nodos y la formación de las matricesde adyacencia se establece un criterio de numeración de edges. Al igual que lanumeración de nodos, primero irán los edges del subsistema DC, luego los delsubsistema de links y por último los edges de la parte AC. Así comenzando por elsubgrafo de DC, la numeración de edges se inicia numerando todos los salientesdel nodo 1 siguiendo un criterio ascendente según el nodo final del edge, luego
2.4. Grafo asociado a una red ferroviaria 31
G
G
7link8link 9link
10AC
11AC
12AC 13AC14AC
15AC
Figura 2.10: Subsistema AC.
Donde !trafo es la matriz de adyacencia que describe los transformadores dedimensiones (nL
N , nACS ), y!sAC es la matriz de adyacencia entre subestaciones de
AC, es decir las líneas de distribución de la red AC, de dimensiones (nACS , nAC
S ).La matriz !AC de dimensiones totales que describe todo el subgrafo corres-
pondiente al subsitema AC será:
!AC =
!
" 0(nDCN ,nDC
N ) 0(nDCN ,nAC
N )
0(nDCN ,nAC
N ) !AC!
#
$ (2.15)
Una vez estudiadas cada una de las matrices de adyacencia de los distintossubsistemas se puede completar la ecuación (2.6) de la siguiente forma:
!TOT = !DC +!L +!AC
=
!
%%%%%%"
!DC!0 0
!L!0
0 0 0!AC!
0 0 0
#
&&&&&&$(2.16)
2.4.2. Criterio de enumeración de edges y configuración de lamatriz de incidencia
A partir del criterio de enumeración de nodos y la formación de las matricesde adyacencia se establece un criterio de numeración de edges. Al igual que lanumeración de nodos, primero irán los edges del subsistema DC, luego los delsubsistema de links y por último los edges de la parte AC. Así comenzando por elsubgrafo de DC, la numeración de edges se inicia numerando todos los salientesdel nodo 1 siguiendo un criterio ascendente según el nodo final del edge, luego
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
G
G
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
7link 8link 9link
10AC
11AC
12AC 13AC14AC
15AC
e1 e2
e3e4e5
e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
e13 e14
e15
e16 e17
e18
Figure 5: Edge and node enumeration criteria.
nition shown in (2) , the ! describing the RPSS will be a block matrix (see
Fig. 6) where lined zones correspond to non zero values.
({ { { {
{ {
({{{{
{{ nt
nt nDCS
nLN
nLN
nACS
nACS
nACS
nDCN
nDCN
nACN
nACN
AC
DC
link
Figure 6: Whole system block adjancecy matrix.
The (nDCN ,nDC
N ) dimension matrix !DC!will be defined as:
!DC!=
!
""#!tt
(nt,nt)!ts
(nt,nDCS )
0 !ss(nDC
S ,nDCS )
$
%%& (9)
14
€
ΛTOT = €
DC
Edge enumera2on criteria: With the same criteria used for nodes, the edges will be e nume ra ted . F i r s t DC subsystem edges, then links subsystem ones and finally the AC sub-‐ system edges. Thus star2ng with the DC s u b g r a p h , t h e e d g e enumera2on criteria starts numbering all outgoing node 1 ed ge s fo l l ow i n g a n ascending order based on the end node, then all the outgoing node 2 edges and so on. ThereaXer, with same criteria, link edges and AC edges will be numerated.
8
Describing a trac2on network using graphs
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
G
G
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
7link 8link 9link
10AC
11AC
12AC 13AC14AC
15AC
e1 e2
e3e4e5
e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
e13 e14
e15
e16 e17
e18
Figure 5: Edge and node enumeration criteria.
nition shown in (2) , the ! describing the RPSS will be a block matrix (see
Fig. 6) where lined zones correspond to non zero values.
({ { { {
{ {
({{{{
{{ nt
nt nDCS
nLN
nLN
nACS
nACS
nACS
nDCN
nDCN
nACN
nACN
AC
DC
link
Figure 6: Whole system block adjancecy matrix.
The (nDCN ,nDC
N ) dimension matrix !DC!will be defined as:
!DC!=
!
""#!tt
(nt,nt)!ts
(nt,nDCS )
0 !ss(nDC
S ,nDCS )
$
%%& (9)
14
€
ve = eDC ,eL ,eAC[ ]
ne = neDC + ne
L + neAC →
neDC = ne
tt + nets + ne
ss
neL = nN
L
neAC = ne
trafo + nelineAC
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
Node Incidence Matrix calcula2on: ΓTOT could be obtained from ΛTOT
directly, each no null posi2on represents an edge, so, going through the rows of the ΛTOT we could ad a new edge to the ΓTOT each 2me we find a not-‐null element in ΛTOT , however by doing this, a link edge could be enumerated before a DC edge.
With the proposed edge enumera2on criteria, we first enumerate edges outgoing node 1, then node 2 and then node 3, but 3 shows an adjacency with a link node, this means that an edge from the link subsystem would be enumerated before the rest of DC edges.
That’s why we obtain:
9
Describing a trac2on network using graphs
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
G
G
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
7link 8link 9link
10AC
11AC
12AC 13AC14AC
15AC
e1 e2
e3e4e5
e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
e13 e14
e15
e16 e17
e18
Figure 5: Edge and node enumeration criteria.
nition shown in (2) , the ! describing the RPSS will be a block matrix (see
Fig. 6) where lined zones correspond to non zero values.
({ { { {
{ {
({{{{
{{ nt
nt nDCS
nLN
nLN
nACS
nACS
nACS
nDCN
nDCN
nACN
nACN
AC
DC
link
Figure 6: Whole system block adjancecy matrix.
The (nDCN ,nDC
N ) dimension matrix !DC!will be defined as:
!DC!=
!
""#!tt
(nt,nt)!ts
(nt,nDCS )
0 !ss(nDC
S ,nDCS )
$
%%& (9)
14
transformers (ntrafoe ).
nACe = ntrafo
e + nlineACe (19)
From each subgraph, the incidence matrix is obtained from its adjacency
matrix. Then the !TOT with dimension (ne, nN ), is computed:
!TOT =
!
""""""#
!DC!0
0 !L!0
0 !AC!
$
%%%%%%&(20)
Being !DC!of dimension (nDC
e , nDCN ), !L!
of dimension (nLe , n
DCS +nL
N) and
!AC!of dimension (nAC
e , nACN ).
!TOT could be obtained from "TOT directly, however by doing this, a
link edge could be numerated before a DC edge. Based on Fig. 5, if the
incidence matrix is directly computed from "TOT , all edges outgoing 1 will
be first numerated, then all outgoing 2 and so on, but node 3 shows an adja-
cency with a link node, so an edge from link subsystem would be numerated
before the rest of the DC edges outgoing nodes 4 and 5. Consequently in
Fig. 5, e5 corresponding to adjacency (4, 5) would be (3, 7), changing the
!TOT structure substantially.
In Fig. 7 the graph representing whole system with the trains positioned
as in the example in Fig. 5 is depicted, in Fig. 8 the subgraphs representing
the three subsystems are shown.
19
€
ΓDC* from ΛDC*
ΓL* from ΛL*
ΓAC* from ΛAC*
10
Graph of the whole system
AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC
G
G
1DC
2DC3DC
4DC
5DC 6DC
7link 8link 9link
10AC
11AC
12AC 13AC14AC
15AC
e1 e2
e3e4e5
e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
e13 e14
e15
e16 e17
e18
Figure 5: Edge and node enumeration criteria.
nition shown in (2) , the ! describing the RPSS will be a block matrix (see
Fig. 6) where lined zones correspond to non zero values.
({ { { {
{ {
({{{{
{{ nt
nt nDCS
nLN
nLN
nACS
nACS
nACS
nDCN
nDCN
nACN
nACN
AC
DC
link
Figure 6: Whole system block adjancecy matrix.
The (nDCN ,nDC
N ) dimension matrix !DC!will be defined as:
!DC!=
!
""#!tt
(nt,nt)!ts
(nt,nDCS )
0 !ss(nDC
S ,nDCS )
$
%%& (9)
14
12
3
4
7
5
68
9
10
11
12
1314
15
1617
18
1
2 3
45
6
78
9
10
11
12
13
14
15
Figure 7: AC/DC system graph.
1
2
3
4
5
6
1
3
45
62
(a) DC subsystem sub-graph.
10
11
12
13
14
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17
18
7
8
9
10
11
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13
14
15
(b) AC subsystem sub-graph.
7 8 9
3 5 6
7 8 9
(c) links subsystem sub-graph.
Figure 8: System subgraphs.
4 Train movement and its influence in system di-
mension and topology
Until now, it was explained how RPSS can be represented with a graph, and
how this graph is completely defined through a set of matrices. However the
20
12
3
4
7
5
68
9
10
11
12
1314
15
1617
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1
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6
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Figure 7: AC/DC system graph.
1
2
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(a) DC subsystem sub-graph.
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(b) AC subsystem sub-graph.
7 8 9
3 5 6
7 8 9
(c) links subsystem sub-graph.
Figure 8: System subgraphs.
4 Train movement and its influence in system di-
mension and topology
Until now, it was explained how RPSS can be represented with a graph, and
how this graph is completely defined through a set of matrices. However the
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Figure 7: AC/DC system graph.
1
2
3
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1
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(a) DC subsystem sub-graph.
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(b) AC subsystem sub-graph.
7 8 9
3 5 6
7 8 9
(c) links subsystem sub-graph.
Figure 8: System subgraphs.
4 Train movement and its influence in system di-
mension and topology
Until now, it was explained how RPSS can be represented with a graph, and
how this graph is completely defined through a set of matrices. However the
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Figure 7: AC/DC system graph.
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(a) DC subsystem sub-graph.
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(b) AC subsystem sub-graph.
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(c) links subsystem sub-graph.
Figure 8: System subgraphs.
4 Train movement and its influence in system di-
mension and topology
Until now, it was explained how RPSS can be represented with a graph, and
how this graph is completely defined through a set of matrices. However the
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Whole system graph
DC subsystem graph
AC subsystem graph
Link subsystem graph