R. M. M. - 26...GHEORGHE CĂINICEANU-ROMANIA D.M. EDITORIAL BOARD EMILIA RĂDUCAN BĂTINEȚU-GIURGIU...

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETYMehedinți Branch

AUTUMN EDITION 2020

R. M. M. - 26 ROMANIAN MATHEMATICAL

MAGAZINE

ISSN 2501-0099

Romanian Mathematical Society-Mehedinți Branch 2020

1 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE NR. 26

ROMANIAN MATHEMATICAL

SOCIETY

Mehedinți Branch

ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE

R.M.M.

Nr.26-AUTUMN EDITION 2020



ROMANIAN MATHEMATICAL

SOCIETY

Mehedinți Branch

DANIEL SITARU-ROMANIA EDITOR IN CHIEF

ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE-PAPER VARIANT ISSN 1584-4897

GHEORGHE CĂINICEANU-ROMANIA

EDITORIAL BOARD

D.M.BĂTINEȚU-GIURGIU-ROMANIA

CLAUDIA NĂNUȚI-ROMANIA

NECULAI STANCIU-ROMANIA

DAN NĂNUȚI-ROMANIA

IULIANA TRAȘCĂ-ROMANIA

EMILIA RĂDUCAN-ROMANIA

DRAGA TĂTUCU MARIANA-ROMANIA

DANA PAPONIU-ROMANIA

GIMOIU IULIANA-ROMANIA

DAN NEDEIANU-ROMANIA

OVIDIU TICUȘI-ROMANIA

MARIA UNGUREANU-ROMANIA

ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE-INTERACTIVE JOURNAL ISSN 2501-0099 WWW.SSMRMH.RO

DANIEL WISNIEWSKI-USA

EDITORIAL BOARD VALMIR KRASNICI-KOSOVO



CONTENT

ABOUT SOME ION IONESCU’S INEQUALITIES – D.M. Bătinețu-Giurgiu, Daniel Sitaru,Neculai

Stanciu ................................................................................................................................... 4

A GENERALIZATION OF FINSLER-HADWIGER’S INEQUALITY - D.M. Bătinețu-Giurgiu, Daniel

Sitaru, Claudia Nănuți ............................................................................................................. 9

A SIMPLE PROOF OF J.RADON’S INEQUALITY(1913) - Daniel Sitaru .................................... 11

ABOUT CALCULUS OF SOME LIMITS - Florică Anastase ........................................................ 12

ABOUT NAGEL AND GERGONNE’S CEVIANS – Bogdan Fuștei ................................................. 16

SOLVED PROBLEMS - Florentin Vișescu ................................................................................ 23

SOLVING SOME PROBLEMS WITH DETERMINANTS - Marian Ursărescu............................... 28

STRUCTURI ALGEBRICE (III) – Vasile Buruiană ...................................................................... 31

ABOUT SOME CLASSES OF SEQUENCES – Florică Anastase .................................................. 35

ABOUT PROBLEM JP.207 - RMM-SPRING EDITION 2020 - Marin Chirciu .............................. 42




ABOUT PROBLEM JP.247 - RMM-SUMMER EDITION 2020 - Marin Chirciu ........................... 57

PROPOSED PROBLEMS ......................................................................................................... 60

INDEX OF PROPOSERS AND SOLVERS RMM-26 PAPER MAGAZINE .................................... 103

REVIEW OF THE BOOK “CALCULUS MARATHON”………………………………………………………...104



ABOUT SOME ION IONESCU’S INEQUALITIES

By D.M. Bătinețu-Giurgiu, Daniel Sitaru,Neculai Stanciu

If ( ), then the following inequalities hold:

(N-I)

namely NESBITT-IONESCU inequality, and also:

(*)

Let be a triangle, with the usual notations and is the semi-perimeter, and its area.

In Mathematical Gazette, 1897, ION IONESCU has established that, in any triangle the

following inequality holds: √ (I-W) and this inequality has been rediscovered by ROLAND WEITZENBOCK, in 1919. Also, in Mathematical Gazette, vol., XLVIII, (1942-1943) at page 334, it is proved that, in any triangle the following inequalities hold: ( ) (**) (***).

Next, we will establish other inequalities (some known):

TSINTSIFAS’S INEQUALITY:

If , then in any triangle the following inequality holds:

√ (T)

Proof. We have:

∑

∑

∑

( )

∑

( )

∑(

*

( ) ( ) ∑

( )

( ) ( )

∑ ( ) ( )



( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( √ ) √ √

BĂTINEȚU-GIURGIU’S INEQUALITY:

If , then in triangle the following inequality holds:

√ (B-G)

Proof 1. We have:

∑

∑√

√∏√

√( )

√

√

Proof 2. We have:

∑

∑( )

∑

( )

√ √

Proof 3. We have:

∑

∑

∑

( )

∑(

*

( )

( ) ∑

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

√ √



THE SECOND INEQUALITY OF G. TSINTSIFAS


(G.T.)

Proof 1. We have:

∑

∑

∑( )

( )

∑ ( )

( )

( )

( )

( )

Proof 2. We have:

∑

∑(

*

( ) ( ) ∑

( )

( ) ( )

∑ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )

Theorem 1. If , then in any triangle the following inequality holds:

(i)

Proof. We have:

∑

∑

∑( )

( )

∑ ( )



( )

( )( )

( )

( )( )

If in (i) we take we obtain inequality (G.T.)

BĂTINEȚU-GIURGIU-SITARU INEQUALITY


(B-G-S)

Proof 1. We have:

∑

∑( )

∑

( )

Proof 2. We have:

∑

∑√

√∏√

√( )

.√( )

/

4 √

5

Proof 3. We have:

∑

∑(

*

( )

( )∑

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( √ )


(ii)

Proof. We have:



∑

∑( )

∑

( )


√ (iii)

Proof. We have:

∑

√ ∑√

√ √∏√

√ √( )

√ .√( )

/

√ 4 √

5

√

√

If relationship (ii) is transformed in relationship (B-G-S), and if relationship (iii), becomes relationship (B-G-S). If in (B-G-S) inequality we obtain inequality:

(F.G) namely inequality F. GOLDNER.


√ (j)

Proof 1. We have:

∑

∑( ) ( )

( ) ∑

( ) ( )∑

( )

( )( )

∑ ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )



( √ ) ( )

√ ( √ ) √ √

Proof 2. According to inequalities (T) and (B-G) we have:

∑

∑

∑ ( )

∑

√ √ √ . We conclude with some remarkable observations

1. If in inequalities (T), (B-G), (j) we take , we obtain Ion Ionescu’s inequality, namely inequality (I-W).

2. If triangle is equilateral then, from inequalities (T), (G.T) we obtain inequality (N-I), and from inequalities (B-G), (B-G-S), we obtain inequality (*).

3. If triangle is equivalent then from inequality (j) we obtain inequality:

namely

Bibliography

[1] Bătinețu-Giurgiu M.D., Boroica Gh., Mușuroia N., About some inequalities of Ion Ionescu, Argument Magazine, Year 20, 2018, pp 12-17.

[2] Stoica Gh., A generalization of Tsintsifas inequality, Mathematical Magazine from Valea Jiului, Nr. 2, September, 2018, pp. 25-27.

[3]Romanian Mathematical Magazine-Interactive Journal-www.ssmrmh.ro

A GENERALIZATION OF FINSLER-HADWIGER’S INEQUALITY

By D.M. Bătinețu-Giurgiu, Daniel Sitaru,Claudia Nănuți

ABSTRACT: Finsler-Hadwiger’s inequality:

In any triangle having the area , the following inequality holds:

√ ( ) ( ) ( ) (F-H)



Let’s suppose and generalize this inequality, but first, we state some important results.

IMPORTANT RESULTS:

In Mathematical Gazette vol. XLVIII (1942-1943) at page 334 it is proved that:- in any triangle the following inequality holds: ( ) (i)

and (ii)

where is the semiperimeter of the triangle. Also, we will take into account Doucet’s

inequality: √ (D) and D.S. Mitrinovic’s inequality: √ (M)

MAIN RESULT:

If ( ) 0

1, then in any triangle having the area has the

inequality: ( ) √ (( ) ( ) ( ) ) (*)

Proof. We have:

∑

∑( )

( )∑

∑

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( √ ) ( ) ( ) ( )

( )√ ( ) √ ( )√ √ Q.E.D.

If then inequality (*) becomes ( ) √ ∑ ( )

√ ( ) ( ) ( ) , namely inequality (F-H).

If

then inequality (*) becomes: ( ) √

∑ ( )

√

(( ) ( ) ( ) )

REFFERENCES:

Romanian Mathematical Magazine-Interactive Journal-www.ssmrmh.ro



A SIMPLE PROOF OF J.RADON’S INEQUALITY(1913)

If * + then:

( )

( )

By Daniel Sitaru-Romania

Proof: Let be ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ( ))

( )

( ) 4 ( )

5 4

( )

5

4 ( )

5

( )

( )

( )

(

*

(

*

(

*

(

*

Analogous: ( )

.

/

.

/

( ) ( ) ( )

( ) (

*

(

*

( )

( )

( ) ( )

(

*

(

*

(

*

(

*

( )

( ) (

*

(

*

( )

( )

Analogous for : * + then:

( )

( )

( )

( )



Equality holds for:

The reverse Radon’s inequality: If * + then:

( )

( )

Refferences: https://www.cut-the-knot.org/m/Algebra/RadonInequality.shtml

Romanian Mathematical Magazine-Interactive Journal-www.ssmrmh.ro

ABOUT CALCULUS OF SOME LIMITS

By Florică Anastase-Romania

Abstract: In this paper is given a method for calculus of some limits.

Main result:

If ( ) continuous and ( )

, it follows:

( ∑( 4

5+

+

Proof:

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ( ))

( )

( 4

5+

( )

( )∑

∑( 4

5+

( )∑

∑

∑(

*

∫

https://www.cut-the-knot.org/m/Algebra/RadonInequality.shtml



(∑( 4

5+

+

Application 1:

For find:

( ∑ √ 4

5

)

Solution: By ( )

such that:

4 .

/5

(

*∑

∑ √ 4

5

(

*∑

∑

∑(

*

∫

( ∑ √ 4

5

)

Application 2: For find: 4 ∑ √ .

/

5

Solution: By ( )

such that:

. .

//

(

*∑

∑ √ 4

5

(

*∑



∑

∑(

*

∫

( ∑ √ 4

5

)

Application 3: For find:

( ∑ √ 4

5

)

Solution: By ( ( ))

such that:

. .

//

(

*∑

∑ √ 4

5

(

*∑

∑

∑(

*

∫

( ∑ √ 4

5

)


( ∑ √(

*

)

Solution: By ( )

such that:



(

*

(

*∑

∑ √

(

*∑

∑

∑(

*

∫

( ∑ √

+

Application 5: For ( ) , find:

∑ 4

5

Solution:

∑ 4

5

∑( .

/

)

∑( .

/

)

such that: ( (

*

+

( )∑

( )∑

∑

∑(

*

∫

∑ 4

5




(

( ∑ √ 4

5

))

Solution: By ( )

such that:

(

*

√ 4

5

(

*

(

*∑

∑ √ 4

5

(

*∑

By ∑

∫

, we have:

4 ∑ √ .

/

5

, hence:

(

*

( ) (

*

.

/ .

/

Proposed problems:

)

∑(√

)

)

∑(√

)

Refferences: Romanian Mathematical Magazine-Interactive Journal - www.ssmrmh.ro

ABOUT NAGEL AND GERGONNE’S CEVIANS

By Bogdan Fuștei-Romania

ABSTRACT: In this Math Note we will establish a new geometric identity in triangle:

(and the analogs),

http://www.ssmrmh.ro/



where, Nagel’s cevian from Gergonne’s cevian from being the usual notations. This identity was proposed as a problem for RMM Magazine (IDENTITY IN TRIANGLE 122). In this note we will propose the way we’ve obtained this identity and some of its applications.

( )

(and the analogs)

( )

( )

( )

( )

=( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

(and the analogs) (

) ( ) (and the

analogs)

1. Let be (Nagel’s cevian from );

and using cosine theorem in we have:

( ) ( )

(and the analogs)

( ) 4

5 ( ) ( )

( )

( )4

5 ( )4

5

( )( )

4

( )( )

5

( ) 4 ( )( )

5

But ( )( ) ( ) (and the analogs) ( )

( )

(and the

analogs)

2. Using Stewart’s theorem, we obtain:

( ) ( ) ( )( )

(and the analogs)

( ) ( ) ( )( )

(and the analogs)



( )

( )

( )

( ) ( )

(

)

3. Using the inequality between the squared mean and the arithmetic mean:

√

√

(and the analogs)

Which is equivalent with: √ √ (and the analogs), but (and

the analogs) √ √ (and the analogs).

But we know that

(and the analogs)

√

√ (and the

analogs). So, we’ll obtain the inequality:

√

√ (and the analogs)

Summing we will obtain a new inequality, namely:

√ ∑

√

∑

But ∑

∑

√ ∑

√

∑

But

and the analogs

√ ∑

√

∑

(and the analogs) ∑

√ ∑

√

4. We know that ( ) ∑

(

) ∑

∑ ∑

∑ ( ) ∑

∑

But

(and the analogs), so we will obtain a new identity, namely:

∑

∑

∑

5.

(Tereshin Inequality)

( ) (and the analogs)

( ) ∑( )



.∑ ∑

/ ∑( ) √∑( )

∑ ∑

(and the analogs);

6. From the above expressions of and

we can easily observe that

(and the analogs)

So, we can write that:

∑

7. We know that

. So,

∑

∑

Taking into account the above we can write that:

. Summing we will

obtain the identity: ( ) ∑

( ) ∑

8. We know that ( )

√

(and the analogs)

( )

( )

( )

∑

∑ ∑

From the above we can write that: ∑(

) ∑ ∑( )

9. We know that

√

(and the analogs);

√

From the above we will have: √

(and the analogs) √



From the above we will have: √

(and the analogs) √

√

Summing we will obtain: ( ) √

∑

√

Summing we will have the following inequality:

( )√

( ) ∑

10. From inequality

∑

( )

(Tereshin’s inequality)

.

/ ∑

∑

√ ∑

√

∑

√ ∑

√

∑

∑

11.

(Laurențiu Panaitopol –Mathematical Gazzete)

∑

√ ∑

√

So, finally, we have as being true a new inequality, namely:

∑

√ ∑

√

So,

( )

(and analogs);

(and analogs)

(and the analogs);

( )



( )( ) (and the analogs)

12. We know that:

√

√

( ) (and the

analogs)

( ) ∑

( )

∑

∑

∑

, so, we have the following:

∑

(

*

From the above we have:

(and the analogs), but

So, we have the identity: ∑

( )

13. We proved that:

( ) (and the analogs).

But

(and the analogs) ( ) (and the analogs)

( ) (and the analogs)

(and the analogs)

Taking into account the above inequality we have:

∏( ) ∏( )

From the above we have: ∏(

)

But we will obtain the following: ∏(

)

∏(

)

we will obtain the following:

∏(

)

14. From

and

(and the analogs), we will obtain:

.

/ ( )

.

/

.

/

(and the analogs)



.

/

.

/

.

/

.

/

(and the analogs)

( ) (

* ∑

∑

∑

So, finally we have the identity: ∑

.

/

Taking into account the above we have the following inequality:

(

* ∑

∑

(

* ∑

(and the analogs),

√

(and the analogs)

Squaring and taking into account:

(and the analogs)

( )

(and the analgos)

So, finally we have:

(and the analogs). Summing we will obtain: ∑

∑

15. But ∑

∑

∑

, so we will obtain the following: ∑

∑

∑

∑

.

/

(and the analogs);

√

(and the analogs)

∑(

*

∑

But ∏

so, we will have the inequality: ∏

16. From Tereshin’s inequality presented above and the new identity we will obtain the

following:

.

/

(and the analogs)

But

(and the analogs) and from the above we can write the following:



(and the following)

we have the following:

(and the following)

Summing we will obtain a new inequality, namely: ∑

∑

.

/

(and the analogs)

(and the analogs)

√

(and the analogs). From the above we have:

(and the analogs)

Summing we will obtain: ∑

17. From

(and the analogs) we have ∑

∑

( ) ∑ ∑

∑

∑ ∑

These are just a little part of the relationships that can be obtained using the established relationship in this note. Any other new obtained relationships will be published in the form

of problems for RMM.

Refferences: Romanian Mathematical Magazine-Interactive Journal-www.ssmrmh.ro

SOLVED PROBLEMS

By Florentin Vișescu – Romania

1. Let ( ). We denote

We prove that:

a) If and then

b) If ( ) and

then

c) If √ and then

d) If ( √ ) and then



Demonstration.

a), b) We consider the function ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

a) If ( ) convexe and then .

/

( ) ( ) ( )

or

.

/

as and

. Then

b) If ( ) concave and then .

/

( ) ( ) ( )

or

as ( ) ( ) and

Then:

c), d) We consider the function ( )

( )

( )

( )



( ) ( ) ( ) ( )

( )

( √ )( √ )

( )

If √ ( ) convexe and then √ we have

.

/

( ) ( ) ( )

or taking into account that .

( )

namely

If ( √ ) ( ) concave and then ( √ ) we have:

.

/

( ) ( ) ( )

or, taking into account that

( )

namely

2. Let be ( ). We denote

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

Prove that:

a) If then

b) If ( ) with

then

c) If with then

d) If then

Demonstration.

b), c) We consider the function ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

b) If ( ) ( ) concave .

/ ( ) ( ) ( )

( ) or

.

/

Taking into account that

we obtain



.

/ or

namely

c) If ( ) convexe .

/ ( ) ( ) ( )

and taking into account that we obtain

.

/ or

namely .

a) We consider the function ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) concave. Then .

/ ( ) ( ) ( ) as we choose

and we obtain .

/ ( ) ( ) ( )

as ( ) ( ) ( ) ( ) or

( ) [ ( )( )( )]

( ) ( )( )( ) or

d) We consider the function ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

for . So, concave on ( ). Then we have:

.

/ ( ) ( ) ( ). But as ( ) ( ) ( ) ( )

or ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) namely

3. a) Let be ( ) ∫ ∫ ∫

√( )

and ( ) ( )

Prove that if then ( ) ( ) and if then ( ) ( )

b) Let be ( ) ∫ ∫ ∫

( )

and ( )

( )



Prove that if √ then ( ) ( ) and if √

( ) ( )

c) Let be ( ) ∫ ∫ ∫

(.

/ *

and ( ) .

/

Prove that if then ( ) ( ) and if then ( ) ( )

d) Prove that if then ∫ ∫ ∫

. √( )

/

.

/

Demonstration

a) According to the demonstration from example 1. a) and b), we have:

√( )

for and

√( )

for

( ).

Applying the triple integral, we obtain the desired inequality.

b) According to the demonstration from example 1) c) and d) we have:

.

/

.

/ for (√ ) and

.

/

.

/ for ( √ )

Applying the triple integral, we obtain the inequalities.

c) According to the demonstration from example 2. b) and e), we have:

(.

/ *

for ( ) and

(.

/ *

for .

Applying the triple integral, we obtain inequality d) according to the demonstration from 2)

a), we have

. √( )

/

for . Applying the triple integral, we

obtain the inequality.



SOLVING SOME PROBLEMS WITH DETERMINANTS

By Marian Ursărescu-Romania

Abstract: In this article, we will solve some problems with determinants. A lot of these problems had appeared in math magazines or were proposed to various mathematic contests. For start we will remember the next lemma:

Lemma: Let be ( ). Then, ( ) ( ) is a polynomial function having the grade , which has the form: ( )

Remarks:

1. If ( ), then , -; if ( ) then , -, and if ( ) then , -

2. If ( ) then:

( ) , where (

) or ( ) or

( )

Applications:

1.Let be ( ) such that and ( ) .

Prove that .

Proof: ( ) ( ) ( ) ( )

(we have used the fact that ) ( ) or ( ) (1)

Let be ( ) ( ) . From (1) ( ) or

( ) ( )

2. Let ( ) such that ( ) . Prove that ( )

(NMO-Romania)

Proof: Let be ( ) ( ( )) , -

( ) ( ) ( )

We have ( ) ( ) ( ( ))



( ) ( ) ( ( ))

But and from hypothesis ( ) and because

( ) ( ) ( )

3. Let be ( ) such that . Prove that the matrix √ is invertible. (Mathematical Gazette)

Proof: We must prove that ( √ ) . By absurdum suppose that (

√ ) . Let ( ) ( )

, with (√ ) √ √ √ ( )

√

, false, √

4. Let ( ) such that and ( ) are odds. Prove that the matrix is invertible . (Mathematical Gazette)

Proof:We must prove that ( ) . By absurdum suppose that such that ( ) . Let be ( )

, -. We have: ( ) odd. ( ) ( ) odd.

But ( ) (from Bézout) ( ) ( ) ( ) , -

( ) ( )

( ) ( ) ( ) } are odd numbers, false, because are

consecutives.

5. Let ( ) and

.

Prove that: ( ) ( ) ( ) ( )

(RMO-Romania)

Proof:Let be ( ) ( )

( )

( )

( ) (

) ( )

By summing ( ) ( ) ( )



( ) (

( ) )

( ( ) ) (1)

But is the root having the order of the unit (2)

But (1) (2) ( ) ( ) ( )

(( ) )

( )

In the ending, some proposed problems on R.M.M.:

1. Let ( ) with such that ( ) . Prove that:

( ) (RMO-Romania)

2. Let be ( ) such that ( ) ( ) . Prove that:

( ) ( ) (R.M.M.)

3. Let be ( ) such that ( ) . Prove that:

( ) ( ) (R.M.M.)

4. Let be ( ). Prove that:

( ) ( ) ( ) ( )

(R.M.M.)

5. Let be ( ) such that ( ) . Prove that:

( ) .

/ ( ) (R.M.M.)

6. Let be ( ) such that . Prove that:

( ) ( ) (R.M.M.)

7. Let ( ). Prove that: ( ) ( ) ( ( ))

8. Let be ( ). If odd, then the matrix is invertible,

(R.M.M.)

Refferences: Romanian Mathematical Magazine-Interactive Journal - www.ssmrmh.ro




STRUCTURI ALGEBRICE (III)

By Vasile Buruiană – Romania

Exemple si observații

1. este factorial, deoarece cu ( ) | | arată că ( ) este inel Krull cu toți divizorii principali.

2. Orice inel Krull pentru care are un număr finit de atomi este factorial.

Într-adevăr: fie

un divizor și descompunerea sa unică în atomi. Există

astfel că ( ) și ( ) cu

unitatea lui , deci ( ) și deci orice divizor este principal.

În particular corpurile comutative sunt inele factoriale.

3. Inelul , - nu este inel Krull (deci nici factorial) fiindcă nu îndeplinește condiția h) din teorema 1 pentru inelele Krull: inelului, dar inelului.

4. Orice inel principal este factorial.

Demonstrație. PAS 1. Pentru orice șir de ideale ( ) ( ) astfel încât

( ) ( )

Într-adevăr luăm ( ) care este principal, deci cu ( ) astfel ca

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

PAS 2. ( ) orice ireductibil este prim). Într-adevăr există astfel ca și evident ( )

PAS 3. inversabil există un divizor ireductibil al său. Într-adevăr dar este ireductibil, afirmația este adevărată. Dacă este ireductibil neunități și neasociate cu astfel ca . Dacă sau sunt ireductibile afirmația este dovedită. Astfel există

astfel ca , etc ( )

( )

( ) ceea ce nu este posibil la infinit

există un pas astfel ca | și este ireductibil.

PAS 4. Orice se descompune în produs finit de elemente ireductibile. Într-adevăr prin PAS 3, ex | ireductibil cu . Pentru , continuăm, ș.a.m.d. Prin pasul procesul se oprește într-un număr finit de pași.



PAS 5. Cu PAS 2 și PAS 4 folosind Teorema 2.e. rezultă afirmația. Cum orice inel euclidian este principal orice inel euclidian este și el factorial.

5. Teorema 3 (Gauss): Dacă este inel factorial atunci , - este inel factorial.

Demonstrația se face în mai mulți pași.

PAS 1. este inel integru , - este integru în care unitățile sunt cele din (deci în , - unitate cu și , - atunci | | coeficienții lui )

Într-adevăr

cu și

{

PAS 2. Dacă este prim din este prin în , -. Într-adevăr dacă | și și coeficienți ai astfel ca . Fie și minim cu proprietatea că

. Deoarece | ∑

∑

și |∑

| | sau | ceea ce este

absurd.

PAS 3. Pentru , - notăm (( ) ( ) și îl numim

conținutul lui cu (( ) se numește primitiv.

Avem (( ) (( ) ( ))

Într-adevăr fie ( ) ( ) ( ) ( ) deci ar fi suficient să arătăm că produsul a două polinoame primitive este primitiv. Dar acesta nu ar fi adevărat ci rezultă

că , prim, cu |

| sau |

sau nu este primitiv, ceea ce este absurd.

PAS 4. Pentru , - primitiv și | | (dacă și este primitiv și

cu )

Într-adevăr | , - cu ( ) ( ) ( )

( ) ( ) căci este primitiv |

PAS 5. Dacă grad pentru , -, atunci sunt echivalente

a) este ireductibil în , -



b) este primitiv și ireductibil în , -, unde este corpul de fracții al lui .

Demonstrație.

a) b) Evident este primitiv. Dar ar fi reductibil în , - , - , grad , grad grad și grad , grad cu unde au grade egale cu ale respectiv ( îl putem lua produsul numitorilor lui și ). Dacă ( ) ,

( ) cu primitiv

| deci este reductibil și , -, ceea ce este contradictoriu.

b) este evidentă.

PAS 6. ireductibil în , - este prim.

Într-adevăr, pentru grad , afirmația este evidentă pe baza factorialității lui și pas 2.

Dacă grad și | este prim în , - | sau | în , -. Dacă | și

în astfel ca , - | în , -

| în , -

Analog dacă | este prim.

PAS 7. Orice element din , - este produs finit de elemente prime. Este suficient să aratăm că orice element nenul și neinversabil din , - este produs finit de elemente ireductibile.

Într-adevăr pentru grad afirmația este evidentă.

Dar grad fie ( ) cu primitiv. Dacă este ireductibil, afirmația este demonstrată. Dar cu având grade mai mici decât al lui , atunci prin reducție ele se descompun în produse finite și deci și .

PAS 8. Pe baza PAS 7 și PAS 6 , - este factorial.

6. Observație. În pasul al sașelea am folosit faptul că inelul , - este factorial. Aceasta rezultă independent de demonstrația precedentă, aratând că este inel euclidian. Într-adevăr, pentru , -, există , - astfel încât și ori ori

grad grad . Într-adevăr fie

. Folosind inducție după avem: Pentru și afirmația este evidentă.

Presupunem că ea este divizată pentru și fie de gradul

are grad

cu și ori ori grad grad



.

/ deci luând

și

obținem afirmația și pentru . Luând acum , - * + prin ( ) grad , obținem euclidianeitatea (deci și factorialitatea) lui , -

7. În general, dacă este factorial , - este factorial după cum rezultă folosind exemplul 6. Aplicând metoda reducție.

8. Există inele factoriale neprincipale. Într-adevăr: fie inel factorial care nu este corp neinversabil. Fie în , - idealul ( ). Dacă acest ideal ar fi principal, ar exista , - astfel ca , - , - , - | și | și este inversabil , - , - , - astfel ca ( ) ( ) . Nu se poate ca căci ar rezulta inversabil . Facând ( ) deci iarăși o absurditate

nu avem că ( ) este principal. Deoarece am văzut că , - este factorial , - este factorial și nu este principal când este inel factorial care nu este corp.

9. , - * | + (inelul întregilor lui Gauss) este inel euclidian deci este factorial (și principal).

Demonstrație. Definim ( ) ( )( ) numită norma lui

. Evident ( ) ( ) ( ). Apoi , -, există , - astfel ca

și ori ori ( ) ( ). Într-adevăr dacă

, - cu

astfel ca | |

| |

. Luăm .

Avem .

/ ( ) ( )

și ( ) 0 .

/1 ( ) .

/

( ) ( ). Deci ( ) ( ) verifică faptul că , - este inel euclidian.

10. Fie [ √ ] { √ | } care este inel integru. El nu este factorial. Într-adevăr

fie ( √ ) ( √ )( √ ) (norma)

Evident ( ) ( ) ( ) și | ( )| ( ). Apoi ( este unitate în [ √ ])

( ( ) ) * +. În fine este un element ireductibil care nu este prim. Într-adevăr, dacă ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Cum se consideră neunități și neasociate cu ( ) ( ) . Cum nu are soluții în

nu există neunități și neasociate cu astfel că este ireductibil în [ √ ].

Nu este prim însă fiindcă | ( √ )( √ ) și 3 √ căci dacă | √

( )| ( √ ) | ceea ce este fals.

11. Inelul , - de asemenea nu este factorial fiindcă nu există ( ).



12. Dacă este factorial și și ( ) și deci cu (identitatea lui Bezout)

13. Fie inel integru în care orice element nenul și neinversabil se descompune în produs finit de elemente ireductibile.

Atunci: Acest factorial , idealul (în acest caz, , -)

Demonstrație:

” ” Dacă este factorial , -. Avem caci dacă

| , iar dacă

deci . Reciproc: , -

( ) deci cu Teorema 2 avem că este factorial.

ABOUT SOME CLASSES OF SEQUENCES

By Florică Anastase-Romania

ABSTRACT: In this article are studied few classes of sequences gived by initial conditions and a nonlinear formula of recurrence.

Application 1: ( ) is a sequence of real numbers with

√

. Find:

( )

Solution: From

( ) descending and ( ) is convergent, then

.

/ ( )

( )

√ .

/

( )

Application 2: ( ) is a sequence of real numbers ( ), and √

. Find:

( )

Solution: We prove: ( ) √

√ √

√

√ (√ √ )



( )( )

√ (√ √ ) ( ) is increasing. So: ( ) is convergent and

, .

/ for and

√

( )

.

/

[.

/

]

.

/

.

/

Application 3:

If ( ) is a sequence of real numbers ( ), and √ √

. Find:

( )

Solution: We prove to: ( ) , and ( ) then .

/

for which . We have:

√ √

. So:

( )

Application 4:

( ) is a sequence of real numbers and √ . Find:

Solution: √ ( ) is increasing and

( ) sequence of real numbers .

/

√

√ .

/

.

/

.

/

is a geometric progression with:

and

.

/



.

/

.

/

.

/

Application 5: ( ) is a sequence of real numbers

√

√

Find:

Solution:

√

and

√

√

√

.

/ √

√

⏟

.

/

Application 6: Find:

(

√

√

( √

) √

( √

( √

),

⏟ )

Solution:

Let

(

√

√

4 √

5 √

( √

4 √

5)

⏟ )

√

√

( √

)

√

( √

( √

),

⏟



then:

Application 7: ( )

.

/ ( ) is a sequcen of real numbers and

.

/. Study the convergence of sequence ( ) and find: ( )

Solution: From

∏

∏

.

/

From

, and

.

/ then

( ) ( ) is convergent.

.

/

(

+

(

+

Refferences: Romanian Mathematical Magazine-Interactive Journal- www.ssmrmh.ro

ABOUT PROBLEM JP.207-RMM-SPRING EDITION 2020

By Marin Chirciu – Romania

1) In the following relationship holds:

Proposed by George Apostolopoulos – Messolonghi – Greece

Solution: Lemma:


( )




Proof. We use

hence:

∑

∑

∑ ( )( )

( ), which is a consequence of:

∑ ( )( ) ( )

Back to the main problem: By Lemma the inequality becomes: ( )

,

which is equivalent with Euler’s , ( )( ) and . Equality holds for an equilateral triangle.

Remark. Replacing by we obtain:


Proposed by Marin Chirciu – Romania

Solution: Lemma


Proof: By

we obtain:

∑

∑

∑

∑

( )

. Which is a consequence of: ∑

( )

Back to the main problem: By Lemma inequality can be written:

For the right-hand inequality:

( ) ( )

Case 1). If ( ) , the inequality is obvious.

Case 2). If ( ) , the inequality can be written:

( ) ( )

Which follows by Gerretsen’s inequality: . It remains to prove that:



( ) ( )( )

( )( ) , obviously by Euler .

For the left-hand inequality:

. Which is a

consequence of Gerretsen’s inequality: . It remains to prove:

(Euler’s inequality)

Equality holds for an equilateral triangle.

Remark. Between sums

and

. The following

relationship exists:



Solution: By lemmas ∑

and ∑

( ), the inequality can

be written:

( ) ,

Which follows by Gerretsen’s inequality: . It remains to prove that:

( )( )

Obviously by Euler’s inequality: . Equality holds for an equilateral triangle.

Refferences: Romanian Mathematical Magazine – Interactive Journal – www.ssmrmh.ro

ABOUT PROBLEM JP.227-16 RMM – SPRING EDITION 2020


1) Prove that in any triangle the following relationship holds:

(

) ( )

Proposed by Nguyen Viet Hung – Hanoi – Vietnam




Solution: We use Hölder’s inequality:

( )

( ) , with

equality if and only if

and the known identities in triangle:

. We obtain:

( )

(

*

( )

( ) , wherefrom (

) ( ) . Equality if and only if the

triangle is equilateral.

Remark. Analogous we can propose:


( )

Solution: We use Bergström’s inequality:

( )

, with


and the known identities in triangle:

. We obtain:

( )

( )

( ) , wherefrom

( )

Equality holds if and only if the triangle is equilateral.

Remark. The problem can be developed:


(

) ( ) , where



( )

( ) and

, with equality if and only if

and the know identities in triangle

. We obtain:

( )

(

*

( )

( ) ,

wherefrom (

) ( )




Remark: Replacing with we propose:


(

) ( )


( )

( ) , with


and the known identities in triangle.

. We obtain:

( )

(

*

( )

( ) , wherefrom

(

) ( ) . Equality holds if and only if the triangle is equilateral.

Remark.


( )

Solution: We use Bergström’s inequality

( )

, with

equality if and only if the

and the known identities in triangle

. We obtain:

( )

( )

( ) , wherefrom

( ) .



(

) ( ) , where


Solution: We use Hölder’s inequality

( )

( ) and

with equality if and only if

and the known identities in triangle

we obtain:

( )

(

*

( )



( ) , wherefrom (

) ( )


Remark.

7) In the following inequality holds:

.

/ ( ) , where



( )

( ) and


and the known identies in triangle

We obtain:

( )

.

/

( )

( ) , wherefrom (

) ( )



.

/ ( ) , where



( )

( ) and

with equality if and only if

and the known identies in triangle

We obtain:

( ) , where (

) ( )




( )

.

/

( )

( ) , wherefrom

(

* ( )



(

) ( ) , where

Proposed by Marin Chiricu – Romania


( )

( ) and


and the known relationships in triangle

. We obtain:

( )

.

/

( )

( ) , wherefrom (

) ( )



(

) ( ) , where



( )

( ) and


and the known relationships in triangle

We obtain:

( )

.

/

( )



( ) , wherefrom (

) ( )


ABOUT PROBLEM JP.228-16 RMM SPRING EDITION 2020


1) Prove that if are the lengths of the sides of a triangle, then:

√

√

√

( )


Solution: We prove the stronger inequality:

2) In the following inequality holds: √

√

√

√

Solution: We have: (∑√

*

∑

∑√

√

∑

∑√

( )( )

∑

, which follows from:

∑

( )

√

( )( )

and ∑

, true from:

∑

∑

, because ∑

(from Jensen)


Remark: Inequality 2) is stronger than inequality 1):

3) In the following relationship holds: √

( )

Solution

√

( )

( )

( )



( )

( )

( ), ( ) ( ) -

, ( ) ( )( )- ( ) ( )

We distinguish the following cases:

Case 1). If ( ) , obvious inequality.

Case 2). If ( ) , the inequality can be rewritten:

( ) ( ) , ( ) ( )( )-, which follows from

Blundon-Gerretsen’s inequality: ( )

( )

It remains to prove that: ( ) ( )

( )

( ),( )( ) ( )( )-

( )( )

Obviously from Euler’s inequality . Equality holds if and only if the triangle is equilateral.

Remark: The inequalities can be written:

4) In the following inequality holds:

√

√

√

√

( )

Solution: See inequalities 2) and 3).Equality holds if and only if the triangle is equilateral.

Remark: Let’s find an inequality having an opposite sense:


√

√

√

√

Solution: We have: (∑√

*

∑

∑√

√



∑

∑√

( )( )

∑

( )

which follows from: ∑

( )

√

( )( )

and ∑

( )

, true from CBS:

We obtain: 4∑

5

(∑

√( )( )

)

(∑√

√( )( )*

∑ ∑

( )( )

( )

( )

We’ve used: ∑ ∑

( )( )

and

(Gerretsen). It follows that ∑

( )


Remark: We can write the double inequality:


√

√

√

√

√


Solution: See inequalities 2) and 5). Equality holds if and only if the triangle is equilateral.

Remark. The sequence of inequalities can be written:


( )

√

√

√

√

√

√

Solution: See inequalities 4), 6), Euler’s inequality and ( ) ( ). Equality holds if and only if the triangle is equilateral.



ABOUT PROBLEM JP.232-16 RMM SPRING 2020



√

√

√

√


Solution: We prove the following: Lemma:


√

√

√

Solution: We have: (√

√

√

*

∑

∑√

√

∑

∑

[.

/

]

.

/

, which follows from ∑

[.

/

] and

∑

. Let’s get to the main problem: Using the Lemma, the inequality can be written:

√

√

√ (Doucet’s inequality). Equality holds if and only if the

triangle is equilateral. Remark. Let’s find an inequality having an opposite sense:


√

√

√


Solution: Using the Lemma, the inequality can be written:

√

√

√

(

*

4 √

5

( ) , which follows from Gerretsen’s inequality

( )

. It remains to prove that:



( )

( ) ( )( )


Remark. We can write the double inequality:


√

√

√

√


Remark. Replacing with we propose:


√

√

√


Solution: We prove the following Lemma:


(√

√

√

)

( ) ( )

Solution: We have (√

√

√

*

∑

∑√

√

∑

∑

( ) ( )

( ) ( )

Which follows from ∑

( ) ( )

and ∑

Let’s get back to the main problem: Using the Lemma, the inequality can be written:

( ) ( )

( ) ( )

We distinguish the following cases:

Case 1). If ( ) , the inequality is obvious.

Case 2). If ( ) , the inequality can be written:



( ) ( ), which follows from Blundon-Gerretsen’s inequality:

( )

( ). It remains to prove that:

( ) ( )

( )( ) (Euler’s inequality)


Remark. Let’s find an inequality having an opposite sense:

7) In the following inequality follows:

√

√

√

√


Solution: Using the Lemma, the inequality can be written:

( ) ( )

( ) ( ) which follows from Gerretsen’s inequality

( )

. It remains to prove that:

( )

( ( )) ( )

( )( )


Remark. The double inequality can be written:


√

√

√

√

√





ABOUT PROBLEM JP.247-17 RMM SUMMER EDITION 2020


1) If then: (√ √ √ ) ( )


Solution: Lemma:

2) If then: ∑ ( ) ∑ ( )

Proof: It follows by Schur’s inequality:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ,

for . Equality holds if and only if . Back to the problem:

Denote √ √ √ . The inequality can be written:

( ) ( ). By homogeneity becomes:

( ) ( ) ( )

∑ ∑ ∑ ∑ (1)

By (1) and Schur’s lemma it suffices to prove:

∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ∑

∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑

∑ ( ) ∑ ( ) , equality holds for .

Equality holds if and only if

.

Remark. The inequality can be generalized:

3) If then: (√ √ √ ) ( ) ( )( )


Solution: Denote √ √ √ . The inequality can be written:



( ) ( ) ( )( )

By homogeneity it becomes:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )∑ ∑ ∑ ( )∑ (2)

By (2) and Schur’s lemma it suffices to prove:

( ) 0∑ ( ) ( )1 ∑ ∑ ( )∑

( )∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ( )

( )∑

( )∑ ( ) ( ) ( ) ( )∑

( )∑ ( ) ( ) ( )

( )∑ ( )∑

( )∑ ( ) ( ) ( ) ( )∑

( )∑ ( ) ( )4∑ ( )5

Obviously, because ∑ ( ) ∑ ( )

Equality holds for . Equality holds if and only if

.

Note: For we obtain problem JP.247 – 17 RMM Summer Edition 2020, proposed by Nguyen Viet Hung, Hanoi, Vietnam. Application in triangle:

4) In if then:

(√

√

√

)

∑




Solution: Replace in 3) ( ) by .

/ and using the relationship:

∑

.Equality holds if and only if .

References: Romanian Mathematical Magazine – Interactive Journal – www.ssmrmh.ro

PROPOSED PROBLEMS

5-CLASS-STANDARD

V.1. a) Let be the number ⏟

. Find the reminder of the division of the number

by .

b) Does number ⏟

divides with ?

Proposed Corina Maria Viespescu, Mihai Ionescu –Romania

V.2. Fie . Dacă ( ) și ( ) arătați că

. Proposed by Petre Stângescu-Romania

V.3. Aflați dacă restul împărțirii lui la este , iar diferența dintre câtul împărțirii

lui la și câtul împărțirii lui la este . Proposed by Petre Stângescu-Romania

V.4. Fie cu și . Arătați că .

Proposed by Petre Stângescu-Romania

V.5. Aflați numărul știind că la împărțirea cu dă restul , iar la împărțirea cu dă

câtul . Proposed by Petre Stângescu-Romania

V.6. Fie , cu și . Aflați și dacă câtul

împărțirii lui la este iar câtul împărțirii lui la este 30.


V.7. Aflați numărul de trei cifre ̅̅ ̅̅ ̅ pentru care câtul împărțirii lui ̅̅ ̅̅ ̅ la inversul său

este , iar restul este . Proposed by Petre Stângescu-Romania




V.8. Fie . Aflați restul împărțirii lui la .


V.9. Fie mulțimea * | |( )+. Aflați card ( ).


V.10. Aflați dacă . Proposed by Petre Stângescu-Romania

V.11. Fie cu | . Aflați dacă ( ) ( ) .


V.12. Find all prime numbers, such that: are prime numbers.

Proposed by Gheorghe Calafeteanu – Romania

V.13. If is a prime number prove that: ( ) is perfect square.


V.14.

If each letter represents distinct non-zero digits then prove that there exist no solution.

Proposed by Naren Bhandari – Nepal

All solutions for proposed problems can be finded on the http//:www.ssmrmh.ro which is the adress of Romanian Mathematical

Magazine-Interactive Journal. 6-CLASS-STANDARD



VI.1. Se consideră dreptunghic în . Fie punctele ( ) cu este bisectoarea din și este mijlocul segmentului , -. Arătați că dacă avem:

1) ( )

2) este bisectoarea . Proposed by Petre Stângescu-Romania

VI.2. Determinați mulțimea *( ) | +.


VI.3. Fie astfel încât |( ). Să se arate că nu poate fi poate fi pătrat perfect. Proposed by Petre Stângescu-Romania

VI.4. Aflați toate numerele ̅̅ ̅̅ ̅ de trei cifre nenule pentru care

̅̅ ̅̅ ̅ ( ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅) . Proposed by Petre Stângescu-Romania

VI.5. Aflați numărul ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ de patru cifre nenule știind că ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅


VI.6. Să se demonstreze că pentru orice și număr prim, numărul nu poate fi cub perfect. Proposed by Petre Stângescu-Romania

VI.7. Aflați numărul ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ știind că ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ este pătrat perfect.


VI.8. Suma a două numere naturale nenule este . Împărțind pe unul la celălalt obținem restul . Aflați numerele. Proposed by Petre Stângescu-Romania

VI.9. Fie oarecare. Să se arate că , -.


VI.10. Fie . Să se arate că: ( ) , -


VI.11. Fie . Demonstrați că ( ) , - dacă și numai dacă și sunt direct sau invers proporționale cu numerele respectiv .


VI.12. Un călător a parcurs un drum în trei zile. În prima zi a parcurs din cât a parcurs în

celelalte două zile. În a doua zi a parcurs din cât a parcurs în celelalte două zile. În ultima zi a parcurs km, număr prim. Știind că în fiecare zi numărul kilometrilor parcurși este un număr natural, aflați lungimea drumului parcurs de călător.




VI.13. Aflați restul împărțirii la al numărului .


VI.14. Fie cu și ( ). Să se arate că | | .


VI.15. If prove that is divisible with if and only if is divisible

with 23. Proposed by Gheorghe Calafeteanu – Romania

VI.16. Prove that for the number can’t be a perfect square.


All solutions for proposed problems can be finded on the http//:www.ssmrmh.ro which is the adress of Romanian Mathematical Magazine-Interactive Journal.

7-CLASS-STANDARD

VII.1. Let be triangle, the middle of ( ) ( ) such that and

( ) . Prove that the points are collinears.

Proposed by Petre Rău – Romania

VII.2. Prove that for any two natural real numbers and and any nonzero natural number

the following inequality is true: ( ) ( ).

Proposed by Petre Rău –Romania

VII.3. Fie dreptunghic în . Dacă și ( ( )) sunt bisectoarea, respectiv

mediana din , iar este aria ( ), arătați că: √ .


VII.4 Fie cu ( ) sunt bisectoarea, respectiv înălțimea din

( ( ))

i) Arătați că

√ . ii) Dacă

√

, aflați raportul catetelor




VII.5. Fie cu și . Să se arate că

.


VII.6. Să se demonstreze că nu există cu .


VII.7. În dreptunghic în , punctele ( ) sunt picioarele înălțimii

bisectoarei și medianei din . Dacă

, aflați măsurile unghiurilor ascuțite ale .


VII.8. În ( ). Dacă , arătați că

este dreptunghic. Proposed by Petre Stângescu-Romania

VII.9. În cu ( ). Dacă

, arătați că este

dreptunghic.


VII.10. Fie dreptunghic în . Se consideră ( ) astfel încât

. Aflați

( ). Proposed by Petre Stângescu-Romania

VII.11 Fie cu ( ) . În exteriorul se consideră semicercul de

diametru , -. Dacă să se arate că . ⏜/ .


VII.12. În ( ) . Știind că ( ) (√ ), aflați ( ) și

( ). Proposed by Petre Stângescu-Romania

VII.13. Fie cu și . Demonstrați că ( )


VII.14. Fie cu . Arătați că dacă astfel încât și

, atunci . Proposed by Petre Stângescu-Romania

VII.15. Dacă astfel încât și , arătați că atunci

. Proposed by Petre Stângescu-Romania

VII.16. Fie √ √ √ √ , unde cu . Aflați și știind că

media aritmetică și media geometrică a numerelor și sunt raționale.




VII.17. For prove that: √


VII.18. Find: 0√ √ √ √

√ √ 1 , - - great integer function.




VIII.1. If then: * + 2

3 2

3 √* +

* + , - , - - great integer function

Proposed by Daniel Sitaru,Emil Stanciu – Romania

VIII.2. If ( ), then:

.

/

(

*

.

/

(

*

4.

/

(

*

.

/

(

*

5

4.

/

(

*

.

/

(

*

5

Proposed by D. M. Bătinețu – Giurgiu, Eugenia Turcu – Romania

VIII.3. If ( ), then:

.

/

(

*

.

/

(

*

Proposed by D. M. Bătinețu – Giurgiu, Lucian Lazăr – Romania

VIII.4. If , then:

4

54

54

5

( )( )( )

Proposed by D. M. Bătinețu – Giurgiu, Elena Nicu– Romania



VIII.5. If , then:

(

*

Proposed by D. M. Bătinețu – Giurgiu, Daniela Micu – Romania

VIII.6. If ( ), then: .

/

.

/

.

/

Proposed by D. M. Bătinețu – Giurgiu,Sorin Pîrlea – Romania

VIII.7. 1. If we have the real numbers with and , prove that:

( )

( )

( )

Proposed by Petre Rău– Romania

VIII.8. Solve in the following system of equations: {( )( )

( )( )

Proposed by Mioara Mihaela Mirea, Sorin Dumitrescu– Romania

VIII.9. Aflați pentru care

.


VIII.10. Fie cifre nenule, și √ ⏟

̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ √ ⏟

̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ .

Aflați știind că . Proposed by Petre Stângescu-Romania

VIII.11. Să se arate că dacă și sunt cifre, și , atunci √ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅


VIII.12. Fie cu . Să se arate că √ ( )


VIII.13. Fie dreptunghi în . Dacă este lungimea bisectoarei din și este

lungimea medianei din , aflați unghiurile ascuțite ale dacă

√ √


VIII.14. Aflați dacă .




VIII.15. Un trapez ( ) cm, cm este în același timp înscris într-un cerc de rază și circumscris unui cerc de rază . Aflați și .


VIII.16. If then:

Proposed by Rahim Shahbazov- Azerbaijan

VIII.17. Solve for natural numbers: {

( )


VIII.18. Solve for real numbers: ,

,


VIII.19. Solve for real numbers: {

{


VIII.20. Solve for integers:


VIII.21. Solve for real numbers: {


VIII.22. Let such that . Prove that:

(

*


VIII.23. Let and . Prove that:


VIII.24. If denotes the distinct or identical digits and



ie there exist the multiple of 17 such that sum of the digits is . Find such smallest and largest four-digit multiple of . Proposed by Naren Bhandari – Nepal

VIII.25. If then:

( )( )( )

(

*

Proposed by Daniel Sitaru-Romania



IX.1. In are distances from ( ) to sides of triangle. Prove that:

√ √ √ √

Proposed by Daniel Sitaru,Gabriel Tica -Romania

IX.2. In the following relationship holds:

(∑( )

)(∑

( )

) ∑

( )

Proposed by Daniel Sitaru,Cătălin Pană -Romania

IX.3. In the following relationship holds: √ ( )

( )( )

Proposed by Daniel Sitaru,Alina Tigae -Romania

IX.4. In acute – orthocenter, – incenter the following relationship holds:

4

5 4

5

( )

Proposed by Daniel Sitaru,Ramona Nălbaru -Romania

IX.5. If then:



( )

( )( )

Proposed by Daniel Sitaru,Claudiu Ciulcu -Romania

IX.6. If ( ) then in any triangle having the area the following

inequality holds:

√( )( ) √( )( )

√( )( ) √

Proposed by D.M. Bătinețu – Giurgiu, Claudia Nănuți – Romania

IX.7. If ( ) and is a triangle having the area then:

( )

( )

( )

( ) √

Proposed by D.M. Bătinețu-Giurgiu – Romania, Martin Lukarevski - Macedonia

IX.8. In triangle having the area the following inequality holds:

( ) ( )

( ) √

Proposed by D.M. Bătinețu-Giurgiu, Nicolae Radu – Romania

IX.9. If , ) and is a triangle having the area , then:

.

/

.

/

.

/

(√ )

Proposed by D.M. Bătinețu-Giurgiu, Neculai Stanciu – Romania


inequality holds:

4

54

( ) 5

Proposed by D.M. Bătinețu-Giurgiu,Nineta Oprescu– Romania


inequality holds:

4

5 4( ) ( )

5

Proposed by D.M. Bătinețu-Giurgiu,Dorina Goiceanu – Romania



IX.12. In any triangle the following inequality holds:

where is the area of the triangle.

Proposed by D.M. Bătinețu – Giurgiu,Virginia Grigorescu – Romania

IX.13. If , ) and is a triangle having the area , then:

( )

( )

( ) √

Proposed by D.M. Bătinețu-Giurgiu, Dan Nănuți – Romania

IX.14. If , ) and then in triangle having the area the following

Date post:	25-Jan-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	5 times
Download:	1 times

R. M. M. - 26...GHEORGHE CĂINICEANU-ROMANIA D.M. EDITORIAL BOARD EMILIA RĂDUCAN BĂTINEȚU-GIURGIU...

Documents