Regresion No Lineal

STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007

2006 by StatPoint, Inc. Regresin No Lineal - 1

Regresin No Lineal Resumen El procedimiento Regresin No Lineal ajusta una funcin especificada por el usuario relacionando una sola variable dependiente Y con una o ms variables independientes X. El modelo se estima usando cuadrados mnimos no lineales. Se puede graficar el modelo ajustado, generar predicciones a partir del mismo e identificar residuos atpicos. StatFolio de ejemplo: nonlinear reg.sgp Datos de ejemplo: El archivo nonlin.sf3 contiene datos de la cantidad de cloro en muestras de un producto en funcin del nmero de semanas desde que se produjo. Los datos, de Draper y Smith (1998), consisten de n = 44 muestras, una parte de los cuales se muestran a continuacin:

Weeks (Semanas)

Chlorine (Cloro)

8 0.49 8 0.49 10 0.48 10 0.47 10 0.48 10 0.47 12 0.46 12 0.46 12 0.45 12 0.43 14 0.45 14 0.43 14 0.43

Se desea ajustar el siguiente modelo a los datos: ( )8)49.0( += weeksbeaachlorine (1) Este modelo, sugerido por un experto en el rea, contiene dos incgnitas: a, el valor asinttico basal que se alcanza con valores grandes de weeks, y b, la tasa exponencial de decaimiento.



Ingreso de Datos La primera de dos cajas de dilogo pide el nombre de la variable dependiente y el modelo a ajustar:

Variable Dependiente: columna numrica que contiene los n valores de Y. Funcin: una expresin de STATGRAPHICS que representa la funcin a ajustar. Debe

incluir uno o ms nombres de columnas numricas, que representen a las variables independientes. Tambin puede incluir funciones tales como RAIZ o EXP. Cualquier nombre desconocido se considera que representa parmetros del modelo que tienen que ser estimados.

Peso: una columna numrica opcional que contiene los pesos o ponderadores que se

aplicarn al cuadrado de los residuos cuando se realice un ajuste por mnimos cuadrados ponderados.

Seleccin: seleccin de un subgrupo de datos.



La segunda caja de dilogo pide estimados iniciales para cada uno de los parmetros desconocidos del modelo:

Ingrese una estimacin inicial para cada parmetro. El programa comenzar con los estimados iniciales y realizar una bsqueda numrica para encontrar estimaciones que minimicen la suma de cuadrados de los residuos. Dependiendo de la complejidad del modelo, estimaciones pobres podrn o no conducir a una solucin ptima. En todos los casos, con excepcin de los simples, la seleccin inteligente de las estimaciones iniciales puede aumentar mucho las probabilidades de obtener una buena solucin. Tpicamente, es importante dar al menos estimaciones con el signo correcto (positivo o negativo), ya que el procedimiento de bsqueda podra de otra forma dirigirse en la direccin contraria.



Resumen del Anlisis El Resumen del Anlisis muestra los resultados del ajuste. Regresin No lineal - chlorine Variable dependiente: chlorine (percent available) Variables independientes: weeks (weeks since production) Funcin a estimar: a+(0.49-a)*exp(-b*(weeks-8)) Estimaciones iniciales de parmetros: a = 0.1 b = 0.1 Mtodo de estimacin: Marquardt La estimacin se detuvo debido a la convergencia de la suma de cuadrados de residuos. Nmero de iteraciones: 4 Nmero de llamadas de la funcin: 14 Resultados de la Estimacin Intervalo Confianza a 95.0% Error Estndar Asinttico Parmetro Estimado Asinttico Inferior Superior a 0.390144 0.00501534 0.380022 0.400265 b 0.101644 0.0133628 0.0746763 0.128611

Anlisis de Varianza Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Modelo 7.982 2 3.991 Residuo 0.00500168 42 0.000119088 Total 7.987 44 Total (Corr.) 0.0395 43

R-Cuadrada = 87.3375 porciento R-Cuadrada (ajustada por g.l.) = 87.036 porciento Error estndar del est. = 0.0109127 Error medio absoluto = 0.00769665 Estadstico Durbin-Watson = 1.98378 Autocorrelacin residual de retardo 1 = 0.00702451 Anlisis de Residuos Estimacin Validacin n 44 CME 0.000119088 MAE 0.00769665 MAPE 1.82283 ME -0.000097621 MPE -0.0826224

En la salida se incluyen: Resumen de los Datos: un resumen de los datos que fueron ingresados. Funcin a Estimar: la funcin que se ha de estimar y las estimaciones iniciales de los

parmetros. Estadsticas de la Estimacin: el mtodo empleado en la estimacin as como el nmero de

iteraciones y llamadas de la funcin que se llevaron a cabo.



Estimaciones de los Parmetros: los parmetros estimados con intervalos de confianza aproximados. Intervalos que no contienen al 0 indican que el parmetro del modelo es estadsticamente significativo al nivel de confianza establecido.

Anlisis de Varianza: descomposicin de la variabilidad de la variable dependiente Y en

una suma de cuadrados del modelo y una suma de cuadrados residual o del error. Estadsticas: estadsticas de resumen para el modelo ajustado, incluyendo:

R-Cuadrada - representa el porcentaje de la variabilidad en Y que ha sido explicado por el modelo de regresin ajustado, que va de 0% a 100%. Para los datos del ejemplo, la regresin ha dado cuenta de alrededor del 87.3% de la variabilidad en las concentraciones observadas de chlorine (cloro).

R-Cuadrada Ajustada el estadstico R-cuadrada, ajustado para el nmero de coeficientes en el modelo. Este valor se usa frecuentemente para comparar modelos con diferente nmero de coeficientes. Error Estndar de Est. La desviacin estndar estimada de los residuos (las desviaciones alrededor del modelo). Este valor se usa para crear lmites de prediccin para nuevas observaciones. Error Medio Absoluto el valor absoluto promedio de los residuos. Estadstico Durbin-Watson una medida de la correlacin serial en los residuos. Si los residuos varan aleatoriamente, este valor debiera ser cercano a 2. Un valor-P pequeo indica un patrn no aleatorio en los residuos. Para datos registrados en el tiempo, un valor-P pequeo podra indicar que alguna tendencia en el tiempo no ha sido explicada. Autocorrelacin Residual de Retardo 1 la correlacin estimada entre residuos consecutivos, en una escala de 1 a 1. Valores alejados del 0 indican que en el modelo queda estructura significativa sin explicar. Anlisis de Residuos si un subgrupo de filas en la hoja de datos ha sido excluido del anlisis usando el campo Seleccionar en la caja de dilogo de ingreso de datos, el modelo ajustado se usa para hacer predicciones de los valores de Y para estas filas. Esta tabla muestra estadsticas sobre los errores de prediccin, definidos por

iii yye = (2) Se incluyen el cuadrado medio del error (CME), el error absoluto medio (MAE), el error porcentual absoluto medio (MAPE), el error medio (ME), y el error porcentual medio (MPE). Estas estadsticas de validacin pueden ser comparadas con las estadsticas del modelo ajustado para determinar qu tan bien el modelo predice las observaciones fuera de los datos usados para ajustarlo.

Para los datos del ejemplo, el modelo ajustado es

chlorine = 0.390144 + (0.49-0.390144)exp(-0.101644(weeks-8)) (3)



El modelo comienza con chlorine = 0.49 en weeks = 8 y cae exponencialmente a una lnea base de aproximadamente 0.39 conforme weeks crece.

Grfico del Modelo Ajustado La ventana Grfico del Modelo Ajustado grafica el modelo ajustado versus cualquiera de las variables independientes, dndole a las otras variables los valores establecidos en la caja de dilogo de Opciones de Ventana.

Grfica del Modelo Ajustado

0 10 20 30 40 50weeks

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

chlo

rine



Opciones de Ventana

Seleccione cualquier variable, junto con su rango, para graficarla en el eje horizontal. Para las otras variables, escriba los valores con los que se sustituirn en el modelo ajustado.

Grficos de Superficie de Respuesta Si se incluye ms de una variable en el modelo, se pueden crear grficos de superficie y de contorno. Por ejemplo, Draper y Smith (1998) reportan un experimento en el cual la fraccin de material Y que queda despus de una reaccin qumica se describa con el modelo

=

62011expexp

2211 X

XY (4) donde X1 era el tiempo de reaccin en minutos y X2 era la temperatura de reaccin en grados Kelvin. Los datos se encuentran en el archivo nlreact.sf6 y el anlisis en nlreact.sgp. A continuacin se muestra un grfico de superficie del modelo ajustado:



Superficie de Respuesta Estimada

0 30 60 90 120 150time

600610

620630

640

temperature

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1m

ater

ial

En un grfico de superficie la altura de la superficie representa el valor predicho de Y. En el men Opciones de Grfico la segunda opcin etiquetada como Grficos de Superficie de Respuesta crea un grfico de contorno:

Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada

0 30 60 90 120 150time

600

610

620

630

640

tem

pera

ture

material0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

En un grfico de contorno como el de arriba, cada lnea representa combinaciones de X1 y X2 que dan el mismo valor predicho de Y. Estn disponibles otros formatos usando Opciones de Ventana.



Opciones de Ventana.

Tipo: escoja entre un Grfico de Superficie 3-D, donde la altura de la superficie representa el

valor de Y versus dos variables independientes cualesquiera; un Grfico de Contorno 2-D, donde las lneas o regiones de color representan el valor de Y como una funcin de dos variables independientes cualesquiera; un Grfico Cuadrado 2-D, donde el valor predicho de Y se muestra a diferentes combinaciones de 2 variables independientes; o un Grfico Cbico 3-D, en el cual el valor predicho de Y se muestra a diferentes combinaciones de 3 variables independientes.

Contornos: los lmites y espaciamiento de las lneas de contorno o regiones. Los contornos

puedes dibujarse como Lneas slidas representando un solo valor de Y, Regiones Coloreadas representando intervalos, o usando un rango Continuo de colores.

Resolucin: el nmero de divisiones a lo largo de cada eje sobre los cuales se grafica el valor

de Y. Se puede mejorar la calidad del grfico aumentando la resolucin, pero tambin puede aumentar el tiempo requerido para dibujarlo.

Superficie: para un grfico de superficie, el nmero de divisiones a lo largo de cada eje entre

las lneas empleadas para dibujar la superficie. La superficie puede dibujarse como un Armazn de Alambre (malla transparente), como una superficie coloreada slida, o de contorno (coloreada de acuerdo a los valores de Y). Contornos Debajo coloca un grfico de contorno en la base del cubo. Mostrar Puntos grafica las observaciones con lneas dibujadas hacia la superficie.



Factores: presione este botn para seleccionar los factores a graficar. Aparecer una caja de dilogo similar a la descrita parar el Grfico del Modelo Ajustado.

Ejemplo Grfico de Contorno con Colores Continuos

Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada

0 30 60 90 120 150time

600

610

620

630

640

tem

pera

ture

material0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Ejemplo Grfico de Superficie con Contorno Debajo y Seleccionando Mostrar Puntos

Superficie de Respuesta Estimada

0 30 60 90 120 150time

600610

620630

640

temperature0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

mat

eria

l

material0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0



Opciones de Anlisis La caja de dilogo Opciones de Anlisis controla el algoritmo usado para ajustar el modelo:

Mtodo: mtodo usado para estimar los parmetros del modelo. El mtodo Gauss-Newton

usa una tcnica de linealizacin que ajusta una secuencia de modelos de regresin lineal para localizar la mnima suma de cuadrados de los residuos. El mtodo Descenso de Mayor Pendiente sigue el gradiente de la superficie de la suma de cuadrados de los residuos. El mtodo de Marquardt, seleccin por omisin, es un rpido y confiable trmino medio entre los otros dos.

Criterio de Paro 1: Se asume que el algoritmo ha convergido cuando el cambio relativo en

la suma de cuadrados de los residuos de una iteracin a la siguiente es menor que este valor. Criterio de Paro 2: Se asume que el algoritmo ha convergido cuando el cambio relativo en

todas las estimaciones de los parmetros de una iteracin a la siguiente es menor que este valor.

Iteraciones Mximas: La estimacin se detiene si no se alcanza la convergencia dentro de

este nmero de iteraciones. Mximo de Llamadas de la Funcin: La estimacin se detiene si no se alcanza la

convergencia cuando la funcin que se est ajustando ha sido evaluada este nmero de veces. Se realizan mltiples evaluaciones de la funcin durante cada iteracin.

Parmetro Marquardt: La magnitud del parmetro Marquardt controla la extensin con

que participa cada mtodo en el balance entre ambos. Para detalles sobre el algoritmo Marquardt, vea Box, Jenkins y Reinsel (1994).

Nivel de Confianza: el porcentaje usado para calcular los intervalos de confianza asintticos

para los coeficientes del modelo.



Reportes La ventana Reportes crea predicciones usando el modelo ajustado. Por omisin, la tabla incluye una lnea por cada fila en la hoja de datos que tenga informacin completa en las variables X y un valor faltante para la variable Y. Esto le permite agregar columnas al final de la hoja de datos correspondientes a los niveles en los que quiera tener predicciones sin afectar el modelo ajustado. Por ejemplo, suponga que se desea una prediccin en Weeks = 50 (por cierto una extrapolacin del modelo). En la fila #45 de la hoja de datos, se agregara el valor 50 a la columna Weeks pero la columna Chlorine se dejara en blanco. La tabla resultante se muestra a continuacin:

Resultados de la Regresin para chlorine Ajustado Error Estnd. LC Inferior 95.0% LC Superior 95.0% LC Inferior 95.0% LC Superior 95.0% Fila para Pronstico para Pronstico para Pronstico para Media para Media 45 0.391541 0.0117214 0.367886 0.415196 0.382907 0.400175

Se incluye en la tabla:

Fila el nmero de la fila en la hoja de datos que contiene los valores de las variables independientes.

Ajustado el valor predicho de la variable dependiente usando el modelo ajustado.

Error Estndar para Pronstico el error estndar estimado para predecir una sola

observacin nueva.

Lmites de Confianza para Pronstico lmites de prediccin para nuevas observaciones.

Lmites de Confianza para la Media lmites de confianza para el valor medio de Y

para los valores dados de las variables independientes. Para la fila #45, el nivel predicho de cloro es aproximadamente 0.392 Una nueva muestra a Weeks = 50 se esperara fuera entre 0.369 y 0.416 con un 95% de confianza (dado que valga la extrapolacin). El nivel medio de cloro a la semana 50 se estima est entre 0.385 y 0.400. Se puede incluir en la tabla informacin adicional sobre los valores predichos y residuos para los datos usados para ajustar el modelo, usando Opciones de Ventana.



Opciones de Ventana

Usted puede incluir: Y Observadas los valores observados de la variable dependiente. Y Ajustadas los valores predichos a partir del modelo ajustado. Residuos los residuos ordinarios (observados menos predichos). Residuos Estudentizados los residuos eliminados Estudentizados como se describi

anteriormente. Errores Estndar para los Pronsticos los errores estndar para nuevas observaciones en

los valores de las variables independientes correspondientes a cada fila de la hoja de datos. Lmites de Confianza para Pronsticos Individuales intervalos de confianza para nuevas

observaciones. Lmites de Confianza para las Medias de Pronsticos intervalos de confianza para el valor

medio de Y en valores de las variables independientes correspondientes a cada fila de la hoja de datos.

Matriz de Correlacin La Matriz de Correlacin presenta estimaciones de la correlacin entre los coeficientes estimados.

Matriz de correlacin asinttica para los coeficientes estimados a b a 1.0000 0.8864 b 0.8864 1.0000

Esta tabla puede ser til para determinar qu tan bien se han separado unos de otros los efectos de diferentes variables independientes.



Observados versus Predichos El grfico Observados versus Predichos muestra los valores observados de Y en el eje vertical y los valores predichos Y en el eje horizontal.

Grfica de chlorine

0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5predicho

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

obse

rvad

o

Si el modelo ajusta bien, los puntos debieran estar dispersos aleatoriamente alrededor de la lnea diagonal. A veces es posible apreciar curvatura en este grfico, lo que indicara la necesidad de un modelo curvilneo ms que uno lineal. Cualquier cambio en variabilidad de valores bajos de Y a valores altos de Y podra indicar la necesidad de transformar la variable dependiente antes de ajustar un modelo a los datos.

Grficas de Residuos Al igual que con todos los modelos estadsticos, es una buena prctica examinar los residuos. En una regresin, los residuos se definen por iii yye = (5) i.e., los residuos son las diferencias entre los valores de los datos observados y el modelo ajustado. El procedimiento Regresin No Lineal crea varios tipos de grficos de residuos, dependiendo de las Opciones de Ventana.



Diagrama de Dispersin versus X Este grfico es til para visualizar cualquier necesidad de un modelo diferente.

Grfica de Residuos

0 10 20 30 40 50weeks

-3.6

-1.6

0.4

2.4

4.4R

esid

uo E

stud

entiz

ado

Grfica de Probabilidad Normal Este grfico puede emplearse para determinar si la desviacin alrededor de la lnea sigue o no una distribucin normal, que es el supuesto usado para formar los intervalos de prediccin.

Grfica de Probabilidad Normal para chlorine

-2.7 -0.7 1.3 3.3 5.3Residuo Estudentizado

0.1

1

5

20

50

80

95

99

99.9

porc

enta

je

Si las desviaciones siguen una distribucin normal, deben caer aproximadamente a lo largo de una lnea recta. En el grfico anterior, los datos se desvan bastante de la lnea recta, indicando que las desviaciones siguen una distribucin con colas ms largas que las de una distribucin normal.



Autocorrelaciones de Residuos Este grfico calcula la autocorrelacin entre los residuos como una funcin del nmero de filas entre ellos en la hoja de datos.

Autocorrelaciones Residuales para chlorine

0 2 4 6 8 10 12retraso

-1

-0.6

-0.2

0.2

0.6

1

auto

corr

elac

in

Slo es relevante si los datos se colectaron secuencialmente. Cualquier barra extendindose ms all de los lmites de probabilidad indicara dependencia significativa entre residuos separados por el retraso indicado, lo que violara el supuesto de independencia hecho cuando se ajust el modelo de regresin. Optiones de Ventana

Graficar: el tipo de residuos a graficar:

1. Residuos los residuos del ajuste de mnimos cuadrados. 2. Residuos Estudentizados la diferencia entre los valores observados yi y los valores

predichos iy cuando el modelo se ajusta usando todas las observaciones excepto la i-



sima, divididas por el error estndar estimado. Estos residuales se llaman a veces residuos eliminados externamente, ya que miden qu tan lejos est cada valor del modelo ajustado cuando ese modelo se ajusta con todos los datos exceptuando el punto en cuestin. Esto es importante, ya que un gran valor atpico de otro modo podra afectar tanto al modelo que podra no parecer inusualmente lejos de la lnea de regresin.

Tipo: el tipo de grfico a crear. Se usa un Diagrama de Dispersin para probar curvatura. Se

emplea un Grfica de Probabilidad Normal para determinar si los residuos del modelo provienen de una distribucin normal. Se usa una Funcin de Autocorrelacin para probar dependencia entre residuos consecutivos.

Graficar versus: para un Diagrama de Dispersin, la cantidad a graficar en el eje horizontal. Nmero de Retrasos: para una Funcin de Autocorrelacin, el mximo nmero de retrasos.

Para grupos pequeos de datos, el nmero de retrasos graficados puede ser menor que este valor.

Nivel de Confianza: para una Funcin de Autocorrelacin, el nivel usado para crear los

lmites de probabilidad.

Residuos Atpicos Una vez que el modelo ha sido ajustado, es til estudiar los residuos para determinar si existe algn valor atpico que debiera ser removido de los datos. La ventana Residuos Atpicos lista todas las observaciones que tienen residuos Estudentizados de 2.0 o mayores en valor absoluto.

Residuos Atpicos para chlorine Y Residuo Fila Y Predicha Residuo Estudentizado 10 0.43 0.456641 -0.0266407 -2.67 17 0.46 0.42628 0.0337201 3.59 18 0.45 0.42628 0.0237201 2.35 35 0.38 0.400815 -0.0208151 -2.02

Residuos Estudentizados mayores que 3 en valor absoluto corresponden a puntos a ms de 3 desviaciones estndar del modelo ajustado, lo que es un evento raro para una distribucin normal. La fila #17 est a ms de 3.5 desviaciones estndar del modelo ajustado, lo que es un evento muy raro si las desviaciones siguen una distribucin normal. Nota: Los puntos pueden ser removidos del ajuste mientras se examina el Grfico del Modelo Ajustado haciendo clic sobre un punto y luego presionando el botn Excluir/Incluir en la barra de herramientas del anlisis. Los valores excluidos son marcados con una X.



Puntos Influyentes Cuando se ajusta un modelo de regresin, no todas las observaciones tienen la misma influencia en la estimacin de los parmetros del modelo ajustado. En una regresin simple, los puntos localizados a valores de X muy bajos o muy altos tienen mayor influencia que los localizados ms cerca de la media de X. La ventana Puntos Influyentes presenta cualquier observacin que tenga gran influencia en el modelo ajustado:

Puntos Influyentes para chlorine Distancia de Distancia Fila Leverage Mahalanobis DFITS de Cook 10 0.0407876 0.80918 -0.550164 0.132097 17 0.051007 1.2807 0.833184 0.270387 18 0.051007 1.2807 0.544379 0.133796 40 0.0752918 2.44299 -0.440596 0.0939656

Leverage promedio de un solo punto = 0.0454545 Se colocan puntos en esta lista por una de las siguientes razones: Punto Leverage mide cun distante est una observacin de la media de las n

observaciones en el espacio de las variables independientes. Entre ms grande el punto nivelador, mayor el impacto del punto en los valore ajustados .y Los puntos son colocados en la lista si el punto nivelados es mayor de tres veces el de un punto promedio.

Distancia de Mahalanobis mide la distancia de un punto a partir del centro de la coleccin

de los puntos en el espacio multivariado de las variables independientes. Dado que esta distancia est relacionada con el punto nivelador, no suele seleccionar puntos para la tabla.

DFITS mide la diferencia entre los valores predichos iy cuando el modelo se ajusta con y

sin el i-simo dato. Los puntos se colocan en la lista si el valor absoluto de las DFITS excede np /2 , donde p es el nmero de coeficientes en el modelo ajustado.

Salvar Resultados Se pueden salvar los siguientes resultados en la hoja de datos:

1. Valores Predichos los valores predichos de Y correspondientes a cada una de las n observaciones.

2. Errores Estndar para los Pronsticos los errores estndar de los n valores predichos. 3. Lmites Inferiores para Pronsticos los lmites inferiores de prediccin para cada valor

predicho. 4. Lmites Superiores para Pronsticos los lmites superiores de prediccin para cada

valor predicho. 5. Errores Estndar de Medias - los errores estndar de los valores medios de Y para cada

uno de los n valores de X. 6. Lmites Inferiores para las Medias Pronosticadas los lmites inferiores de confianza

para el valor medio de Y en cada uno de los n valores de X. 7. Lmites Superiores para las Medias Pronosticadas los lmites superiores de confianza

para el valor medio de Y en cada uno de los n valores de X. 8. Residuos los n residuos.



9. Residuos Estudentizados los n residuos Estudentizados. 10. Leverages los valores de los puntos niveladores correspondientes a los n valores de X. 11. Estadsticas DFITS el valor de las estadsticas DFITS correspondientes a los n valores

de X. 12. Distancias de Mahalanobis la distancia de Mahalanobis correspondientes a los n

valores de X. 13. Coeficientes los coeficientes estimados del modelo. 14. Funcin una cadena de caracteres conteniendo la expresin de STATGRAPHICS para

la funcin que fue ajustada. Clculos Las estimaciones de los parmetros se encuentran minimizando numricamente la suma de cuadrados de los residuos. La matriz de varianzas-covarianzas de los coeficientes se estima a partir de las derivadas parciales en la vecindad de la solucin de mnimos cuadrados.

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