Using Computed Tomography to synthesize X-Ray images for cephalometric analysis

Jesús Montúfar T.Marcelo Romero H. Brissa JiménezFernando Arámbula Cosío

Universidad Autónoma del Estado de MéxicoUniversidad Nacional Autónoma México

RESUMEN

El siguiente capítulo proporciona los conceptos y técnicas fundamentales necesarias para entender los modelos estadísticos de forma utilizados en AAMs. En primer lugar el concepto de una forma se define, junto - la base del marco matemático - el concepto de puntos de referencia es tratada. El capítulo concluye con la demostración de cómo la variación forma se puede modelar de manera eficiente utilizando análisis de componentes principales. Esfuerzo se ha puesto a hacer el tratamiento rico en ejemplos y referencias a más tratamiento de los temas.

Palabras clave: cefalometría, radiografía, tomografía, ortodoncia, ray-sum maxilofacial.

Forma Modelo Formulación

Información general

Formas y puntos cefalométricosLa primera cuestión a aclarar es: ¿Qué es lo que realmente entendemos por la forma plazo? Un punto de partida podría ser las pocas definiciones que figuran a continuación: 

'' Una colección de los correspondientes puntos de la frontera ''. [62] '' La configuración de la superficie característica de una cosa; un esquema o un contorno. '' [1] '' Algo distingue de su entorno por su contorno. '' [1] Aunque lo anterior capta las características de la forma plazo bastante bien; esta tesis se adaptará la definición por la DG Kendall [20] y definir la forma como:Definición 2     La forma es toda la información geométrica que queda cuando la ubicación, dimensiones y los efectos de rotación se filtran hacia fuera de un objeto. La forma plazo es - en otras palabras - invariante a   Transformaciones euclidianas. Esto se refleja en la figura 4.1. La siguiente pregunta que surge naturalmente es: ¿Cómo se debe describir una forma? En la conversación cotidiana, formas desconocidas a menudo se describe como referencias a las formas conocidas - por ejemplo, "Italia tiene la forma de una bota". Tales

descripciones no pueden, obviamente, ser utilizados fácilmente en un marco algorítmico. 

  Figura: Cuatro copias exactas de la misma forma,

pero con diferentes transformaciones euclidianas.

Una manera de describir una forma es mediante la localización de un número finito de puntos en el contorno. En consecuencia, el concepto de un punto de referencia está adaptado [20]: 

Definición 3     Un punto de referencia es un punto de correspondencia en cada objeto que coincide entre y dentro de las poblaciones.Dryden y Mardia aún más discrimina hitos en tres subgrupos [20]: 

Puntos de referencia anatómicos   Puntos asignados por un experto que le corresponde entre los organismos de alguna manera biológicamente significativa. 

Hitos Matemáticas   Puntos situados en un objeto de acuerdo con alguna propiedad matemática o geométrica, es decir alta curvatura o un punto de valor extremo. 

Pseudo-hitos   Puntos Construido sobre un objeto, ya sea de todo el esquema o entre puntos de referencia. 

  Figura: Una mano anotado utilizando 11 puntos

anatómicos y 17 pseudo-hitos.

Sinónimos de puntos de referencia incluyen   puntos homólogos,   linfáticos,   vértices,   puntos de anclaje,   marcadores de referencia, puntos de modelo, marcadores, puntos clave, etc. Una representación matemática de una forma n -point en k dimensiones podrían ser para concatenar cada dimensión en un -vector kn. En los únicos siguientes formas 2D se consideran, suma, aunque la mayor parte de los resultados en la parte restante de la tesis se extienden directamente a 3D - y dimensionalidades menudo aún más elevados. Por lo tanto k = 2. La representación vectorial de formas planas sería entonces: 

(4.1)

Observe que la representación anterior no contiene ninguna información explícita acerca de la conectividad punto.

  La obtención de Monumentos históricosAunque el concepto de puntos de referencia conceptualmente es muy útil - la adquisición de este tipo puede ser muy engorroso. Para las imágenes en 2D el proceso podría implicar la colocación manual de cientos de puntos incluyendo constantemente comparando con otras anotaciones para asegurar   correspondencia. Debería ser necesario mencionar que este enfoque se hace sustancialmente más tedioso y engorroso en el 3D (x, y, z)y 4D (X, y, z, tiempo) caso. Para aliviar el esfuerzo de carga se ha puesto en el desarrollo de la colocación automática y semi-automática de puntos de referencia. Se podría afirmar que la solución del problema de la colocación automática de los puntos de referencia es igual a la solución del problema general de la correspondencia en visión por computador. Miríadas de

intentos se han hecho con respecto a ese asunto. Si con éxito se podía hacer una única tendría que anotar un solo '' oro '' imagen del objeto en cuestión, y la solución al problema de correspondencia podría resolver la segmentación objeto de esta forma de abajo hacia arriba. Esto es - en general - por desgracia no es posible. Por eso tenemos que limitar el espacio de soluciones un tanto. La definición de estas limitaciones - y gastos de valores atípicos - constituye la mayor parte de todo el trabajo en el campo de la visión por computador. Una forma de limitar el espacio de soluciones, es utilizar un modelo de escasa formación manual para colocar inicialmente los puntos de señal. Si es necesario, los puntos pueden ser corregidos manualmente. Observe sin embargo - en el caso de la AAMS básicos - si se realizan ajustes de los puntos, entonces el ejemplo de entrenamiento sólo añade nueva variación de la textura con el modelo, ya que la forma en sí es una superposición de formas conocidas. En cuanto a la colocación semiautomática de puntos de referencia de varios intentos exitosos se han hecho. La mayoría de estos suponer que un muestreo denso del contorno del objeto se da de antemano. Un ejemplo es el de Sclaroff y Pentland [59], donde una   modelo de elementos finitos (FEM) con   Galerkin interpolantes está construido sobre el conjunto de puntos de la forma 4.1. La correspondencia de un solo punto a otro conjunto de puntos se determina mediante la comparación de los vectores de desplazamiento del punto como propuesta por el modelo de elementos finitos. De esta manera, el conjunto de puntos se describe en términos de simetrías generalizadas (es decir, los objetos FEMENINO-modos propios). Una gran ventaja de esto es que los dos conjuntos de puntos pueden ser de tamaños desiguales. Otro ejemplo incluye la obra de Duta et al. [21], donde   k-means clustering de las formas de capacitación se lleva a cabo y seguido por un análisis de Procusto de cada clúster. Cada forma se recorta en una representación escasa y se compara con una representación densa de las formas restantes. Las comparaciones se recogen en una matriz de alineación media pares que se utiliza para determinar las mejores correspondencias de puntos. Conectividad Point se utiliza para aumentar la robustez. Otro ejemplo del uso de la información de conectividad, mientras que el establecimiento de correspondencias de puntos es la obra de Andresen y Nielsen [2] donde las soluciones de registro 3D está limitada a una superficie y una asunción de un campo de desplazamiento no plegable. Este método se llama Difusión Geometría con limitaciones.   Efford[25] identifica puntos de referencia de un denso contorno objeto estimando el   curvatura usando un suavizado gaussiano de la representación de contorno para obtener robustez del ruido de contorno. Hitos matemáticos son consecuencia identificados como extremums en la función de la curvatura. Semi-hitos son interpolados como puntos uniformemente espaciados entre los puntos de referencia de matemáticas. Muy recientemente 4,2Walker et al. [71] propuso un algoritmo iterativo para determinar el punto de

correspondencia. Esto se logró utilizando vectores de características para cada píxel dentro de una región dibujado manualmente de interés (ROI) de cada imagen de entrenamiento. Vectores de características eran derivadas parciales primer y segundo orden normalizados gaussianas. Se demostró que la AAMS entrenados en el conjunto de entrenamiento genera automáticamente podría ser de mayor calidad que AAMs construidas sobre conjuntos de entrenamiento con anotaciones a mano. Sin embargo, desde AAMs consideran tanto la forma y la textura como descriptores de clase de objeto sugerimos que la determinación del punto de correspondencia no debe depender exclusivamente de los cambios en la curvatura o la dirección de vectores de desplazamiento FEM-modo propio. Soluciones más deben ser restringidos mediante la inclusión de la información de la variación de textura alrededor de los puntos. Esto conducirá a mejores modelos. 

  Figura: metacarpiano-2 anotada con 50 puntos de

referencia.

Otro problema sustancial en la obtención de puntos de referencia es que algunas clases de objetos carecen de puntos, que pueden clasificarse como correspondiente a través de ejemplos. Esto es especialmente cierto para muchas formas biológicas y es tratado en profundidad por Bookstein [6]. Otra fuente de este tipo de problemas es oclusiones en las 3D a 2D proyecciones de imágenes en perspectiva. Aniquilación de puntos también se puede observar en la malformación de formas orgánicas. Todos los ejemplos en los restos de esta parte de la tesis se basan en las anotaciones de un hueso de la mano humana. La modalidad de imagen es radiografías y el nombre exacto de la médula es metacarpiano-2. Un ejemplo de una anotación como se da en la fig. 4.3. Para más información sobre AAMs sobre metacarpianos, consulte la parte

experimental de esta tesis. Como observación final, hay que recordar que las anotaciones de los expertos humanos en sí contiene errores. Este es el problema central en la obtención de los llamados criterios de referencia para evaluar el análisis de imágenes médicas 4.3 técnicas contra. Para evaluar este tipo de ruido, las anotaciones se hacen a menudo varias veces por varios grados para evaluar el grado y entre dentro de la variación grado. Esto también se conoce como el   reproducibilidad y   repetibilidad.

Alineación de FormaPara obtener una verdadera representación de forma - de acuerdo a nuestra definición - la ubicación, dimensión y los efectos de rotación deben ser filtrados. Esto se lleva a cabo mediante el establecimiento de unareferencia de coordenadas - wrt posición, escala y rotación, comúnmente conocido como   plantean - a la que todas las formas están alineados. Alguna literatura también opera con el concepto de pre-forma   introducido por Kendall [20]. Pre-forma es el último paso hacia la verdadera forma - efectos rotacionales todavía tienen que ser filtrados. A continuación un   se describe el procedimiento de alineación para la obtención de dicha referencia de coordenadas. Esto se conoce comúnmente como   Análisis de Procrustes 4,4 [6, 14, 20, 35]. Para facilitar la comprensión y el manejo de un conjunto de formas de la misma clase de objeto se introduce elshape plazo. Adaptado a nuestra nomenclatura de [20] Esto se define como:Definición 4     El Espacio Forma es el conjunto de todas las posibles formas

del objeto en cuestión. Formalmente, el espacio de forma   es la forma de la órbita del conjunto configuraciones no coincidentes n puntuales en el   bajo la acción de la euclidiana   transformaciones de semejanza.Si k indica las dimensiones euclidianas y n indica el número de puntos de referencia, la dimensión del espacio forma, se desprende de la definición anterior: 

 

(4.2)

Prueba Inicialmente hemos kn dimensiones. La traducción elimina k dimensiones, el uniforme escalar una dimensión y la

rotación   dimensiones.Si una relación entre la distancia en el espacio forma y distancia euclidiana en el plano original puede ser establecida, el conjunto de formas de hecho forma una   Variedad de Riemann que contiene la clase de objeto en cuestión. Esto también se denota como el espacio de forma Kendall   [6]. Esta relación se denomina métrica forma.   Utilizado a menudo   métricas incluyen la forma   Hausdorff distancia [42], el   energía de deformación [59] y el   Procrustes distancia [21, 20, 6, 14]. Cuando los dos ex comparar formas con cantidad desigual de los puntos, los últimos que requieren conjuntos de puntos correspondientes. En lo que sigue, se utiliza la distancia Procrustes.

La Forma Procusto Distancia Métricas

La distancia Procusto es una de mínimos cuadrados tipo de forma métrica que requiere formas con uno a un punto correspondencia. Para determinar la distancia entre dos formas Procrustes implica cuatro pasos:1.

Calcule el centro de gravedad de cada forma.2.

Re-escala de cada forma de tener el mismo tamaño.3.

Alinear posición WRT las dos formas en sus centroides.4.

Alinear orientación WRT por rotación.El paso de rotación y la interpretación gráfica de la distancia Procrustes se pueden ver en la Fig. 4.4. 

  Figura: La distancia Procusto.

Matemáticamente la Procusto distancia al cuadrado entre dos formas, x 1 y x 2, es la suma de las distancias al cuadrado de punto después de la alineación: 

(4.3)

El centroide de una forma puede ser interpretado como   centro de masa del sistema físico que consta de masas unitarias en cada hito. Así, para calcular el centroide: 

(4.4)

Para llevar a cabo el paso 2 es evidente que necesitamos establecer una métrica de tamaño: 

Definición 5     Una métrica tamaño de la forma S (x) es una función positiva de valor real del vector de forma que cumpla con los siguientes bienes:

S (a x) = a S (x)A continuación, la   Norma de Frobenius se utiliza como una métrica tamaño de la forma: 

(4.5)

Otra métrica escala utilizada frecuentemente es la   tamaño centroide 4.5: 

(4.6)

Para filtrar los efectos rotacionales la siguiente   técnica de descomposición de valor singular se utiliza como sugiere Bookstein [6]:1.

Organizar el tamaño y la posición alineada x 1 y x 2 como   matrices 4.6.

2.Calcule el SVD, UDV T, de 1 x T x 2

3.A continuación, la matriz de rotación necesario para superponer de manera óptima x 1 sobre x es 2 VU T. En el caso plana: 

(4.7)

Como alternativa Cootes et al. sugieren una variación de Procusto alineación basada en la distancia, reduciendo al mínimo la forma cerrada de | T (x 1) - x 2 | 2 donde T en el caso euclidiana es: 

(4.8)

El termino | T (x 1) - x 2 | 2 es entonces simplemente diferenciarse wrt (A, b, t  x, t

y). La solución a la alineación con el   También se da transformación afín. Observe sin embargo, que esta transformación cambia la forma

real. Consulte [14] para los cálculos. Esto concluye el tema de cómo proporcionar una métrica consistente en el espacio forma y cómo alinear dos formas.

Alineación de un conjunto de formas

Todos sin embargo existe una solución analítica [41] para la alineación de un conjunto de formas el siguiente enfoque iterativo sencilla sugerida por Bookstein et al. [6, 14] será suficiente.1.

Elija la primera forma como una estimación de la forma media.2.

Alinear todas las restantes formas a la forma media.3.

Vuelva a calcular la estimación de la media de las formas alineadas4.

Si la estimación media ha cambiado vuelva al paso 2.Convergencia si tanto declara cuando la forma media no cambia significativamente dentro de una iteración. Bookstein señala que dos iteraciones de lo anterior debería ser suficiente en la mayoría de los casos. La pregunta que queda es cómo obtener una estimación de la    significaría forma? 4.7 El más utilizado es el   Procusto significa forma o sólo significa la Procusto: Si N indica el número de formas: 

(4.9)

Esto también se conoce como la    Fréchet significar. 

  Figura: Un conjunto de 24 formas no

alineados. Note la posición-valor extremo a la derecha.

   Figura: (a) El PDM de 24 formas alineadas. (b)

Ellipsis ajusta a la distribución de un solo punto de la figura (a).

A modo de ejemplo, la Figura 4.5 muestra los hitos de un conjunto de 24 formas no alineados. El resultado de la alineación de forma puede ser visto como un gráfico de dispersión en la figura 4.6 (a) cuando la forma media se superpone como una forma totalmente exhausta. Esto se llama el   modelo de punto de

distribución (PDM) de nuestras formas. Cómo modelar la variación dentro del PDM es el tema de la próxima sección. Para dar una impresión más clara de la variación de puntos sobre el conjunto de formas, puntos suspensivos se ha instalado en cada punto de modelo significa en la figura 4.6 (b). 4.8

  Variación Forma ModeladoComo las secciones anteriores han considerado la definición y manipulación de formas, esta sección demostrará cómo   variación de la forma intra-clase puede describirse de manera consistente y eficiente. Sólo el hecho de que la equivalencia clases de formas se puede establecer - por ejemplo, "Tenemos una colección de figuras formadas como las hojas." - Nos insinúa en la dirección que debe haber algún tipo de inter-punto correlación presente.Naturalmente, ya que esto en realidad es el único grado de libertad dejan de constituir la percepción de la forma, ya que - según la definición de la forma - toda posición, escala y efectos de rotación se filtran. Un método estadístico clásico de tratar con tal redundancia en datos multivariantes es la transformación ortogonal lineal; análisis de componentes principales (PCA). Basado en el trabajo de Karl Pearson el método de análisis de componentes principales fue introducido por Harold Hotelling en 1933 [54]. El análisis de componentes principales también se conoce como la transformada de Karhunen-Loeve.        

  Figura: eje principal. Ejemplo 2D.

Conceptualmente el PCA realiza una rotación una variación maximización del espacio variable original. Además, ofrece los nuevos ejes ordenados de acuerdo a

su varianza. Esto es más fácil de entender gráficamente.En la figura 4.7 los dos ejes principales de un dos datos dimensionales establecidos se traza y ajustan en función de la cantidad de variación que cada eje explica. Por lo tanto, el PCA puede ser utilizado como un método de reducción de dimensionalidad mediante la producción de una proyección de un conjunto de muestras multivariantes en un subespacio limitado para explicar una cierta cantidad de la variación en las muestras originales. Una aplicación de esta es la visualización de datos multidimensionales. 4.9 En relación con el ejemplo de la figura 4.7 se podría optar por descartar el segundo eje principal, y visualizar las muestras por la proyección ortogonal del punto sobre la primera (y más grande) del eje. Otra aplicación de PCA es determinar las variables subyacentes o para identificar   agrupación intra-clase o valores atípicos. En nuestra aplicación de describir variación de la forma mediante el uso de PCA una forma de n puntos se considera un punto de datos en una 2 n-ésimo espacio tridimensional. Pero como se ha dicho, se supone que este espacio está poblado más escaso que los originales 2 n dimensiones. Se ha visto

en eq. (4.2) que la reducción debería ser al menos   debido al proceso de alineación. En la práctica, el PCA se lleva a cabo un análisis propio de como la   matriz de covarianza de las formas alineadas. Este último también se denota la   matriz de dispersión. Se supone que el conjunto de formas constituyen algún tipo de estructura elipsoide de los cuales el centroide se puede estimar 4.10: 

(4.10)

La máxima verosimilitud (ML) estimación de la matriz de covarianza de este modo se puede dar como: 

(4.11)

Para probar la hipótesis de la derecha el punto de correlación, la matriz de correlación del conjunto de entrenamiento de 24 metacarpianos-2 huesos se muestra en la figura 4.8. En el caso de variables completamente no correlacionados, la matriz sería uniformemente gris excepto a lo largo de su diagonal. Claramente este no es el caso. 

  

Figura: matriz de covarianza Shape. Mapas de negro, gris y negro a negativo, ninguna y covarianza

positiva.

El efecto de correlación punto se puede destacar por la normalización de la matriz de covarianza de la varianza. Por lo tanto la matriz de correlación,   , es obtenido.  

(4.12)

(4.13)

Recordando la estructura forma vectorial; xxyy; es a partir de la figura 4.9 - como es lógico - ve que la x - y y -component de cada punto se correlaciona poco. 

  Figura: matriz de correlación de forma. Negro,

mapas blancos a baja y alta correlación.

Los ejes principales de la forma elipsoide 2 n-ésimo dimensional ahora se dan como

los vectores propios,   , De la matriz de covarianza. 

(4,14)

Dónde   denota una matriz diagonal de valores propios 

(4,15)

correspondiente a los vectores propios en las columnas de   . 

(4,16)

Una instancia de forma puede entonces ser generado mediante la deformación de la forma media por una combinación lineal de vectores propios: 

 

(4.17)

dónde b s es parámetros del modelo de forma. En esencia, el punto nodal o representación de la forma ahora se ha transformado en una representación modal donde modos se ordenan en función de su energía de deformación - es decir, el porcentaje de variación que se explica. Observe que un vector propio es un conjunto de vectores de desplazamiento, a lo largo de la cual la forma media se deforma. Para subrayar este punto, el primer vector propio se ha trazado en la forma media en la figura 4.10 (a). La deformación resultante de la forma media se puede ver en la figura 4.10 (b). 

    Figura: (a) Media forma y vectores de deformación

de la primera vector propio. (b) La media de la forma, vectores de deformación de la primera vector propio y

forma deformada.

Como un ejemplo adicional de tales deformaciones modales, los tres primeros - más importante - los vectores propios se utilizan para deformar la forma media metacarpiano en la figura 4.11. 

           Figura: deformación de la forma media de uso de

primera, segunda y tercera modo

principal.   , B  i = 0,  .

Lo que queda es determinar cuántos modos de retener. Esto conduce a un compromiso entre la exactitud y la compacidad del modelo. Sin embargo, es seguro para considerar la variación de pequeña escala como ruido.Se puede demostrar que la varianza a lo largo del eje correspondiente a la i th valor propio

es igual a la misma de valores propios,   . Por lo tanto para retener p por ciento

de la variación en el conjunto de entrenamiento, los modos T pueden ser elegidos satisfactoria: 

(4.18)

Tenga en cuenta que este paso es básicamente un   regularización del espacio de soluciones. En el caso metacarpiano 95% de la variación de la forma puede ser modelado utilizando 12 parámetros. Una reducción bastante considerable ya que el espacio de forma originalmente tenía una dimensionalidad

de   . Para dar una idea de la velocidad de disminución de los valores propios de una parcela de porcentaje se muestra en la figura 4.12. 

  Figura: valores propios de la forma en orden

descendente.

Para investigar más la distribución de la b s -parámetros en el metacarpiano conjunto de entrenamiento b s, 2 se traza en función de b s, 1 en la figura 4.13. Estos se obtienen fácilmente debido a la estructura lineal de(4.17) y desde las columnas

de   son inherentemente ortogonales. 

(4,19)

No estructura clara se observa en la figura 4.13, por lo tanto concluir que la variación de las formas metacarpianos se puede describir de manera significativa por el PCA transformación lineal. Sin embargo, esto no es un resultado general para formas orgánicas debido a las relaciones altamente no lineales observados en la naturaleza. 

  Figura: PC1 (b s, 1) vs PC2 (b s, 2) en el PCA forma.

Un problema inherente con PCA es que es lineal, y por lo tanto sólo puede manejar datos con comportamiento lineal. Un problema a menudo visto con datos dados a un PCA es el llamado efecto de herradura, donde PC1 y PC2 se distribuye como un señalador de herradura alza oa la baja 4.11. Este simple no linealidad en los datos - que puede ser interpretado como una parábola de flexión de la elipsoide hiper - hace que el PCA a fallar en la descripción de los datos de una manera compacta y coherente, ya que la estructura de datos no se puede recuperar utilizando sólo las transformaciones lineales. Este tema se trata en profundidad más adelante. 

Esta sección se concluye señalando que el uso de la PCA como un reparametrisation estadística del espacio de forma proporciona una forma compacta y conveniente para deformar una forma media de una manera controlada similar a lo que se observa en un conjunto de formas de formación. De ahí que la variación de la forma ha sido modelado por la obtención de una representación de forma compacta. Además, el PCA proporciona una forma sencilla para comparar una nueva forma a la formación establecido por la realización de la transformación ortogonal en b espacio -parámetro y la evaluación de la probabilidad de una deformación tal forma. Este tema es tratado en profundidad en la sección 12.2 - Evaluación del Desempeño.

La reducción no linealidad

Una fuente de no linealidad en el modelo de forma es el procedimiento de alineación. En el procedimiento de alineación descrito anteriormente las formas se normalizaron de tamaño mediante la ampliación a escala de unidades usando 1 / S (x). De esta manera, las esquinas de un conjunto de rectángulos alineadas con relación de aspecto variable forma un círculo unidad (ver fig. 4.15, las formas no alineados se muestran en la fig.4.14). Debido a esta no linealidad de la PCA en las formas debe utilizar dos parámetros para abarcar el espacio de

forma:   ,   a pesar de que la variación sólo existe en un parámetro (la relación de aspecto). Una mirada más de cerca a la figura 4.15 también muestra que la superpuesto significa forma no corresponde a una forma real en el conjunto de entrenamiento. Para evitar esta no linealidad en la formación alineado establecer la forma puede ser proyectada en   espacio

tangente escalando por   [12, 14]. 

  Figura: conjunto de entrenamiento de 100 no

alineados rectángulos generados artificialmente con 16 puntos cada uno.

  Figura: Nube de puntos de rectángulos alineadas dimensionado para escala de unidades, | X | = 1. La

forma media se muestra totalmente.

La proyección en el espacio tangente a alinear todos los rectángulos con esquinas en líneas rectas (ver fig. 4.16), permitiendo así la modelización del conjunto de entrenamiento utilizando desplazamientos lineales solamente. Observe cómo la forma media está contenido en el conjunto de entrenamiento ya que el PCA ahora

sólo se utiliza un parámetro,   , Para modelar el cambio en la relación de aspecto. De esta manera, la distribución de PCA-parámetros se puede mantener más compacto y no linealidades se puede reducir. Esto conduce a modelos mejores y más simples. 

  Figura: Punto en la nube de rectángulos alineadas dimensionado para escala de unidades, | X | = 1, y

transformado en espacio tangente. La forma media se muestra totalmente.

La mejora de especificidad en el PDM

Aparte del procedimiento de alineación, varios factores pueden contribuir a la ruptura de la PCA, debido a la no-linearites. 

Formas articulados formas con rotaciones fundamentales en torno a uno o más puntos son intrínsecamente no lineal. 

Malas señales manualmente hitos colocados pueden causar fácilmente no linearies. 

Doblado también se puede interpretar como una pieza sabia rotación. 

Ejemplos de la descomposición incluye la   renacuajos,   ver modelo y   cromosomas de Sozou et al. [63, 64]. Los cromosomas también constituyó el ejemplo original de un desglose PDM en [15]. Los ejemplos del modelo de renacuajo se dan en la figura 4.17. Aquí una dependencia no lineal clara entre b 1 yb 3 (abajo a la derecha) se ve, lo que también se refleja claramente en las deformaciones dadas por los principales modos (superior izquierda). Este comportamiento se ha acuñado el efecto de herradura   , Y sirve como un ejemplo de la estructura que no puede ser descompuesta por el PCA lineal, a saber, una de las dependencias no lineales más simples se puede pensar que uno; la cuadrática. 

  Figura: ejemplo Renacuajo de avería PCA. Aviso

en el modo 1, cómo el tamaño de la cabeza y la longitud se correlaciona con la flexión. Esto se ve

fácilmente en el gráfico de dispersión de PCA parámetro 1 vs 3 (abajo a la derecha), donde b 3 tiene

una dependencia no lineal simple de b 1. Adaptado de [64].

Otra forma de ver el problema, es que el enfoque de PCA se basa en la suposición de que todas las formas de la clase termina en la misma   colector. Más precisamente, como un grupo elipsoide hiper en la nueva base abarcado por el PCA. Sin embargo cuando se trata de no linealidad los cambios elipsoide en una forma más estructurada. Tratar con objetos con comportamiento discreetized 4.12 por ejemplo, también cambia el elipsoide, aquí en una distribución agrupada de parámetros de PCA. Para acomodar esto, se propone aproximar la distribución con una mezcla de   manchas gaussianos en el espacio parámetro de forma [12] evitando así las formas ilegales en el PDM. Esto se logra utilizando   expectativa de maximización para adaptarse a las manchas de los parámetros de forma del conjunto de entrenamiento. El problema de formas inverosímiles en formas no lineales también ha sido abordada por Heap & Hogg [38] utilizando   coordenadas polares en el PDM sin pérdida de rendimiento computacional. El algoritmo clasifica automáticamente puntos de referencia en cualquiera el dominio cartesiano o polar. Uno de los primeros intentos incluyen Sozou et al. dónde   regresión polinómica (   PRPDM) se utilizó para ajustar polinomios de orden superior al eje no lineal del conjunto de entrenamiento - véase la figura 4.17. Más tarde Sozou et al. fuera realizado la PRPDM mediante el uso de una red neuronal de retropropagación 4,13 para llevar a cabo análisis de componentes principales no lineal (  MLPPDM). La desventaja de este enfoque es un aumento sustancial en el - fuera de línea - cálculo del PDM. La conclusión de todo esto es - si sus parámetros de forma se encuentran en más de un clúster o si existen dependencias entre parámetros de forma - entonces el estándar PDM no es lo suficientemente específico. Esto puede conducir a artefactos más o menos graves.

SumarioA lo largo de este capítulo, un marco matemático completo y el conjunto necesario de definiciones y conceptos se han introducido en la medida en que un tratamiento eficaz de la forma y la forma de modelado se puede hacer. Más lejos más temas seleccionados se han discutido para aumentar la comprensión del marco AAM. Se ha hecho hincapié en la aplicación de los modelos de apariencia activa aunque los métodos presentados son aplicables en una amplia gama de situaciones.