Resolucion de Problemas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA

INGENIERÍA DE BIOPROCESOS

TEMA:

“RESOLUCION DE PROBLEMAS EN INGENIERIA QUIMICA Y BIOQUIMICA CON POLYMATH, EXCEL Y MATLAB”

PERTENECE A:

SOTO QUISPE, STEPHANIE PIERINA

CUI: 20064754

TURNO: A

DOCENTE:

ING. LUIS SALAZAR

AREQUIPA – PERÚ

2011RESOLUCION DE PROBLEMAS EN INGENIERIA QUIMICA Y BIOQUIMICA CON

POLYMATH, EXCEL Y MATLAB

CAPÍTULO 1:

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON PAQUETES DE SOFTWARE MATEMÁTICO

1.1 Resolución eficiente de Problemas – Objetivo de este libro

El objetivo de este trabajo es facilitar la resolución de problemas numéricos de la manera más efectiva y eficiente. Las herramientas que generalmente se utilizan para la resolución de problemas técnicos o de ingeniería son paquetes de software matemático que se puedan ejecutar en un ordenador personal.

Para resolver los problemas de la manera más eficiente se debe seleccionar el software más adecuado, como Excel, Polymath o Matlab. Cada paquete tiene ventajas que lo hacen ser el más apropiado para resolver determinados tipos de problemas.

El primer paso para solucionar los problemas utilizando un software matemático es preparar un modelo matemático del problema, un conjunto de ecuaciones algebraicas o un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, para después utilizar el software que resolverá el problema.

1.2 De una Resolución Manual de Problemas al uso de Software Matemático

Los instrumentos para resolver problemas que se utilizaban antes eran las reglas de cálculos, esta forma de trabajar requería realizar las operaciones aritméticas de forma separada y escribir los resultados. La precisión máxima que se obtenía era como mucho de tres dígitos decimales.

Con la aparición de la computadora, aparecieron los software matemáticos, los cuales resolvían los problemas utilizando la técnica numérica seleccionada.

1.3 Clasificación de Problemas según la Técnica de Resolución Utilizada

a. Cálculos consecutivos:

No requieren la utilización de técnicas numéricas especiales

b. Sistema de ecuaciones Lineales Algebraicas:

Ax=b

c. Ecuación Algebraica no Lineal (Implícita):

f ( x )=0

d. Regresiones polinómicas y lineales múltiples

y1=a0+a1 x1+a2 x2+…+an xn

e. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

d y1

dx=f ( y1 , y2 ,…, yn , x )

d y2

dx= f ( y1 , y2 ,…, yn , x )

d yndx

= f ( y1 , y2 ,…, yn , x )

f. Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales

f ( x )=0

g. EDOs de orden más alto

dn zd xn

=G(z , dzdx , d2 z

d x2 ,…,dn−1 zd xn−1 , x )

h. Sistemas de ecuaciones diferenciales algebraicas (EDAs)

dydx

=f (x , y , z )

g ( y , z )=0

i. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs)

∂T∂ t

=α ( ∂2T∂ x2 + ∂

2T∂ y2 )

j. Regresión no lineal

y1=g(a0 , a1 ,…,an , x1 ,i , x2, i ,…, xn ,i)

1.4 Utilización del Software

Los problemas que se presentan a continuación se pueden resolver mediante diferentes paquetes de software matemático. No obstante, POLYMATH es muy utilizado para llevar a cabo la resolución de los problemas ya que es muy fácil de usar y porque las ecuaciones se introducen en el programa básicamente en la misma forma matemática en la que están escritas.

CAPÍTULO 2:

PRINCIPIOS BÁSICOS Y CÁLCULOS

2.1. VOLUMEN MOLAR Y FACTOR DE COMPRESIBILIDAD A PARTIR DE LA ECUACIÓN DE VAN DER WAALS

(P+a

V 2 ) (V−b )=RT

Donde:

a=2764 (R

2T c2

Pc)

b=RT c

8 Pc

P: Presión en atmV: Volumen molar L/g-molT: Temperatura en KR: Constante de los gases = 0.08206 atm-l/g-mol .KTc: Temperatura críticaPc: Presión crítica

Problema:

a. Calcule el volumen molar y el factor de compresibilidad para el amoniaco gaseoso a una P= 56 atm y una T=450 K, a partir de la ecuación de estado de Van der Waals.

Código:

Solución:

Gráfica:

b. Repita los cálculos para las siguientes presiones reducidas:

- Pr= 1 atm

Código:

Solución:

Gráfica:

- Pr = 2 atm

Código:

Solución:

Gráfica:

- Pr= 4 atm

Código:

Solución:

Gráfica:

- Pr = 10

Código:

Solución:

Gráfica:

- Pr = 20

Código:

Solución:

Gráfica:

2.2. VOLUMEN MOLAR Y FACTOR DE COMPRESIBILIDAD A PARTIR DE LA ECUACIÓN DE REDLICH – KWONG

P= RT(V−b )

− aV (V +b)√T

Donde:

a=0.42747 (R2T c

5 /2

Pc)

b=0.08664RTc

Pc

P: Presión en atmV: Volumen molar L/g-molT: Temperatura en KR: Constante de los gases = 0.08206 atm-l/g-mol .KTc: Temperatura críticaPc: Presión crítica

Problema:

a. Repetir el problema anterior utilizando la ecuación de estado de Redlich - Kwong

Código:

Solución:

Gráfica:

2.3. CÁLCULOS ESTEQUIOMÉTRICOS EN REACCIONES BIOLÓGICAS

C HmOn+aO2+bN H 3→cC HαOβ N δ+d H 2O+eCO2

Balancede Carbono:1=c+eBalancede Hidrógeno :m+3b=cα+2dBalancede oxígeno : n+2a=cβ+d+2eBalancede Nitrógeno : b=cδ

Problema:

El sustrato de glucosa C6H12O6, reacciona con oxígeno y amoniaco para formar un material bacteriano CH2O0.27N0.25, agua y dióxido de carbono con un coeficiente respiratorio de 1.5. ¿Cuáles son los coeficientes estequiométricos para esta reacción?

Balance de Materia:

c+e=13b−2c−2d=−2

2a−0.27c−d−2e=−1b−0.25c=01.5a−e=0

Solución:

2.4. BALANCES DE MATERIA EN EL ESTADO ESTACIONARIO EN UNA SUCESIÓN O SECUENCIA DE SEPARACIONES

Problema:

Calcule las velocidades de flujo molar de D1, D2, B1 Y B2.

Balance de Materia:

Xileno :0.07D1+0.18 B1+0.15D2+0.24 B2=0.15 x70Estireno :0.04D1+0.24 B1+0.10D2+0.65B2=0.25 x70Tolueno :0.54D1+0.42 B1+0.54D2+0.10 B2=0.40 x70Benceno :0.35D1+0.16B1+0.21D2+0.01B2=0.20 x70

Solución:

2.5. AJUSTE DE POLINOMIOS Y ECUACIONES DE CORRELACIÓN DE DATOS DE PRESIÓN DE VAPOR

Problema 1:

a. Correlacione los datos con polinomios de diferentes grados suponiendo que la temperatura absoluta en K, es la variable independiente y P, en Pa, es la variable dependiente. Determine de qué grado de polinomio es el adecuado para obtener los mejores datos.

Solución

- Un polinomio de primer grado no es el adecuado:

- Un polinomio de segundo grado no es el adecuado

- Un polinomio de tercer grado no es el adecuado

- Un polinomio de cuarto grado es el adecuado

El gráfico residual es:

b. Correlacione los datos utilizando la ecuación de Clapeyron

Ecuación de Clapeyron

log (P )=A+BT

Solución

Gráfica:

- De la Regresión

- De Residuos

c. Correlacione los datos utilizando la ecuación de Riedel

Ecuación de Riedel:

log (P )=A+BT

+C log (T )+DT 2

Solución:

Gráfica:

- De la Regresión

- De Residuos

Problema 2:

a. Utilice polinomios de distintos grados para representar los datos de presión de vapor para el compuesto 2 – propanotriol. Considere T como la variable independiente y P como la variable dependiente. Determine el grado y los parámetros del polinomio que mejor se ajusta para el compuesto seleccionado.

- Un polinomio de primer grado no es el adecuado

- Un polinomio de segundo grado no es el adecuado

- Un polinomio de tercer grado es el adecuado

b. Correlacione los datos con la ecuación de Clapeyron

Solución:

Gráfica:

- De la Regresión:

- Del Residuo

2.7. CAPACIDAD CALORÍFICA MEDIA DEL n – PROPANO

Problema:

Utilice los siguientes datos para calcular la expresión de la capacidad calorífica del n – propano.

Solución:

- El polinomio de primer grado no es el adecuado

- El polinomio de segundo grado no es el adecuado

- El polinomio de tercer grado es el adecuado

Por lo tanto la capacidad calorífica del n – propano es:

Cp=20.511+0.199T−3.16 x10−5T 2−1.30 x10−8T 3

2.8. CORRELACIÓN DE LA PRESIÓN DE VAPOR MEDIANTE LAS ECUACIONES DE CLAPEYRON Y ANTOINE

Problema:

a. Determine el calor de vaporización y la constante B a partir de la ecuación de Clapeyron

Ecuación:

log Pv=−∆ H v

RT+B

Solución:

- Constante B:

B=50.95- Calor de vaporización:

∆ H v=a1 xR=1.528 x 104 x0.08206=1247.31

b. Utilice la correlación de Antoine para este problema:

Ecuación:

log Pv=A+( AC+B )T−Clog (Pv)

T

Solución:

Las constantes son:

A= 8.269C=−244.089

B=a1−AC=−2479.618−8.269 x (−244.089 )=−461.246

2.9. CÁLCULOS DEL VOLUMEN DE UN GAS MEDIANTE EL USO DE VARIAS ECUACIONES DE ESTADO

Problema:

Determine el número de moles de CO2 máximo que se puede almacenar en el tanque a partir de las ecuaciones de estado mencionados con anterioridad.

Solución:

- Con la Ecuación de Gas Ideal

- Con la Ecuación de Van Der Waals

2.10. CÁLCULO DEL PUNTO DE BURBUJEO PARA UNA MEZCLA BINARIA IDEAL

Problema:

Calcule la temperatura del punto de burbujeo y la composición del equilibrio asociado con una mezcla líquida del 10% en moles de n – pentano el 90% en moles de n – hexano a 1 atm.

La presión de vapor para el n – pentano se calcula a partir de:

log PA=6.85221−1064.63T +232

La presión de vapor para el n – hexano se calcula a partir de:

log Pb=6.87776− 1171.53T+224.366

Código:

Solución:

Gráfica:

2.11. CÁLCULO DEL PUNTO DE ROCÍO PARA UNA MEZCLA BINARIA IDEAL

Problema:

Calcule la temperatura del punto de rocío y la composición del equilibrio líquido de una mezcla de gases que contiene un 10% en moles de n – pentano, un 10% en moles de n – hexano y el resto de nitrógeno a 1 atm.

f (Tbp )=x A+xB−1

x A=760yAPA

xB=760yBPB

Código:

Solución:

Gráfica:

2.12. PUNTO DE BURBUJEO Y PUNTO DE ROCÍO PARA UNA MEZCLA IDEAL DE VARIOS COMPONENTES

Problema:

Calcular el punto de burbujeo para una mezcla de gases de varios componentes.

Código:

Solución:

Gráfica:

2.13. TEMPERATURA DE LLAMA ADIABÁTICA EN LA COMBUSTIÓN

Problema:

Determinar la TLA para las siguientes composiciones:

Compuesto

% en moles

CH4 65-95C2H6 3-33N2 2

Ecuaciones:

C H 4+2O2→CO2+2H 2OC2H 6+7 /2O2→2CO2+3H 2O

Código:

Solución:

2.14. MEZCLA EN ESTADO NO ESTACIONARIO EN UN TANQUE

Problema:

Se bombea una solución salina (20% en masa de sal), mediante una corriente única de entrada, a un tanque a la velocidad de 10 kg/min y se establece una única corriente de salida, mediante bombeo desde el tanque a la misma velocidad de flujo. La operación normal del proceso mantiene el nivel constante, con una masa total en el tanque de 1000 kg. En un momento determinado (t=0) un operario abre accidentalmente una válvula, la cual suministra agua pura que fluye constantemente a la velocidad de 10 kg/min, conjuntamente con la alimentación de solución salina, por lo que el nivel del tanque comienza a ascender.

Determine la cantidad de agua y de sal en el tanque en función del tiempo durante la primera hora a partir de la apertura de la válvula de agua pura. Suponga que la velocidad de flujo de salida del tanque no varía y que su contenido siempre está bien mezclado.

Ecuaciones:

Acumulación=Entrada−Salida

dMdt

=10+10−10=10

dSdt

=10 (0.2 )−10( SM )=2−10( SM )

Código:

Solución:

Gráfica:

2.15. INTERCAMBIO DE CALOR EN UNA SERIE DE TANQUES

Problema:

Se utiliza una secuencia de tres tanques para precalentar una solución de aceite de varios componentes antes de su alimentación a una columna de destilación para su separación. Se llena inicialmente cada tanque con 1000 kg de aceite a 20ºC. Vapor de agua saturado a una temperatura de 250ºC condensa dentro de los serpentines que hay en cada tanque. El primer tanque se alimenta con aceite a una velocidad de 100 kg/min. El aceite fluye desde el primer tanque al segundo y de éste a la misma velocidad de flujo. La temperatura de alimentación del aceite en el primer tanque es de 20ºC. Los tanques están bien agitados, por lo que la temperatura dentro de ellos es uniforme y la temperatura de la corriente de salida es misma que la que hay dentro del tanque. El Cp del aceite es 2.0 KJ/Kg.ºC.

La velocidad de transferencia de calor al aceite desde el vapor es:

Q=UA (Tvapor−T )

a. Determine las temperaturas en estado estacionario en los tres tanques.

Ecuaciones:

dT 1

dt=

[WCp (T0−T1 )+UA (T vapor−T1)]MCp

dT 2

dt=

[WCp (T1−T 2 )+UA (T vapor−T2)]MCp

d3dt

=[WCp (T 2−T 3 )+UA (T vapor−T 3)]

MCp

Código:

Solución:

CAPITULO 3: REGRESION Y CORRELACION DE DATOS

3.1. ESTIMACION DE PARAMETROS EN LA ECUACION DE ANTOINE MEDIANTE REGRESION NO LINEAL Determine los parámetros de la ecuación de Antoine y los correspondientes intervalos de confianza al

95%, para los parámetros de un conjunto de datos determinados a partir de la regresión no lineal de la ecuación (3-1)

Calcule la varianza total para la ecuación de Antoine

Prepare una grafica residual para la ecuación de Antoine.

Evalúe la precisión de los datos y la adecuación de la ecuación de Antoine para la correlación del conjunto de datos.

La grafica de los residuos indica que hay una ligera tendencia hacia errores mayores al aumentar los valores de la presión de vapor Pv. De la misma forma, los valores de presión de vapor mas pequeños están afectados de un error menor. Esto puede indicar que los errores experimentales no son independientes de la presión de vapor medida.

3.2. PARAMETROS DE LA ECUACION DE ANTOINE PARA VARIOS HIDROCARBUROS

a) Seleccione uno de los hidrocarburos de la tabla B-6. Halle los parámetros de la ecuación de Antoine, los intervalos de confianza del 95% de los parámetros y la varianza total. Realice el grafico residual. La regresión se tiene que llevar a cabo como en el problema 3-1.b) repita la parte a) con una regresión lineal con la variable dependiente logP.c) Repita la parte a) utilizando una regresión lineal como en el problema 2-6.d) Evalúe la adecuación de las ecuaciones de Antoine de a); b) y c) para la correlación de la muestra de datos. ¿Qué ecuación se debe seleccionar?

3.3. CORRELACION DE PROPIEDADES TERMODINAMICAS Y FISICAS PARA EL n-PROPANO

a) Capacidad calorífica de un gas

Representación polinomica de primer grado para la capacidad calorífica del n-propano

b) Conductividad térmica

Grafica residual para la conductividad térmica para un polinomio de primer grado

Correlación no lineal para la conductividad térmica del n-propano

Grafica residual para la conductividad térmica para un polinomio de tercer grado

c) Viscosidad del líquido

Datos de viscosidad calculada y observada. Parámetros de la ecuación de Antoine calculados mediante regresión no lineal.

d) Calor de vaporización

Correlación de datos del calor de vaporización por regresión lineal

3.5. CORRELACIONES DE TRANSFERENCIA DE CALOR MEDIANTE ANALISIS BIDIMENSIONAL

a) Utilice una regresión lineal múltiple para determinar los valores de los parámetros de las formas funcionales de las ecuaciones (3-20) y (3-21) que representan los datos de la tabla B-15.

b) Repita el apartado a) utilizando una regresión no lineal.

c) ¿Qué forma funcional y que valores de los parámetros se deberían recomendar como correlación para este conjunto de datos? Justifique su selección.

Para seleccionar la correlacion mas apropiada hay que tener en cuenta varias consideraciones:

- Intervalos de confianza: cuando el intervalo de confianza es muy grande respecto al parámetro, esto sugiere que el parámetro puede no ser importante en la correlacion y quizás debería considerarse cero.

- Graficas residuales: siempre es muy útil examinar graficas residuales de regresiones para determinar si hay alguna tendencia obvia, ya que los errores denerian ser aleatorios. Como no hay errores inusuales en ninguna de las regresiones lineales y no lineales que se están considerando, las graficas residuales no resultan de gran utilidad para seleccionar una correlacion.

- Comparación de varianzas: merece especial atención una comparación de varianzas para estas correlaciones, ya que la variable dependiente en la regresión lineal es ln(Nu) mientras que en la regresión no lineal es Nu. Es necesario utilizar una varianzabasada en la misma variable para hacer comparaciones.

3.6. CORRELACION DE TRANSFERENCIA DE CALOR DE LIQUIDOS EN TUBOS

a) Determine la correlación mas apropiada para los datos de transferencia de calor en las tablas B-16 a B-18. Evalue las expresiones que tengan la formula general de la ecuación de Sieder-Tate:

Nu=a0 ℜa1Pra2( μ

μ0

)a3

Donde a0, a1, a2 y a3 son parámetros que se determinan a partir del conjunto total de datos.b) Compare los resultados con los de la ecuación de Sieder y Tate:

Nu=0.023 ℜ0.8Pr13 ( μμ0

)0.14

3.7. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UN REACTOR DE LECHO FLUIDO

a) Utilice los datos de la tabla B-19 para calcular los valores de los parámetros a1, a2,…, a5 para la ecuación (3-29) utilizando la regresión lineal de log(Un) y la regresión no lineal de Un. b) ¿Que regresión es la mas útil para la correlación de los datos? Justifique la anterior selección con intervalos de confianza, varianzas y graficas residualesc) Explique las diferencias entre los dos tipos de regresiones utilizados en este problema.

3.8. CORRELACION DE COEFICIENTES DE ACTIVIDAD BINARIA MEDIANTE LAS ECUACIONES DE MARGULES.

a) Utilice una regresión lineal múltiple en la ecuación (3-32) con los datos de la tabla 3-7 para determinar A y B de las ecuaciones de Margules, para el sistema binario del benceno y n-heptano.

b) Deduzca los valores A y B utilizando una regresión no lineal en una ecuación sencilla que es la suma de las ecuaciones (3-30) y (3-31).

d) Compare los resultados de las regresiones en a) y b) utilizando intervalos de confianza de parámetros gráficos residuales y suma de los cuadrados de los enteros (suma de mínimos cuadrados calculados con ambos coeficientes de actividad)

Los resultados básicos para las dos regresiones son bastantes similares debido a que las dos correlaciones que producen los datos de entrada bastante bien, tienen intervalos de confianza pequeños de los diferentes parámetros y muestran una distribución bastante aleatoria en las graficas residuales. No obstante, un examen detallado indica que el tratamiento lineal múltiple tiene un ajuste ligeramente mejor e intervalos más bajos.

3.9. LAS ECUACIONES DE MARGULES PARA SISTEMAS BINARIOS QUE CONTIENEN TRICLOROETANO

a) Utilice la regresión lineal múltiple de la ecuación (3-22) para determinar A y B en las ecuaciones de Margules para uno de los sistemas binarios que contiene 1,1,1-tricloroetano.b) Estime A y B utilizando una regresión no lineal mediante una ecuación sencilla resultante de la suma de las ecuaciones (3-30) y (3-31).c) Compare los resultados de las regresiones en a) y b) utilizando intervalos de confianza de parámetros gráficos residuales y suma de cuadrados de errores (suma de mínimos cuadrados calculados con ambos coeficientes de actividad).

3.10. ANALISIS DE DATOS DE VELOCIDADES PARA UNA REACCION DE REFORMADO CATALITICO

a) Halle los valores de los parámetros ks y KCH4 utilizando una regresión no lineal con los datos de la tabla 3-10.b) Determine el valor del parámetro k1.c) ¿Cuál de estas dos ecuaciones de velocidad representan mejor al conjunto de datos dados? Justifique su respuesta.

3.11. REGRESION DE LOS DATOS DE VELOCIDAD DE REACCION – EVALUACION DE LA DEPENDENCIA ENTRE VARIABLES.

a) Calcule los parámetros de las dos expresiones de velocidad de reacción utilizando los datos de la tabla 3-11.

b) Compare los dos modelos, determine cual de ellos relacionan mejor los datos de velocidad.Las regresiones lineales de las dos expresiones se recogen en la siguiente tabla, donde el modelo de dos parámetros tiene una varianza inferior al modelo de un parámetro. Las graficas residuales para las dos ecuaciones tienen una distribución de forma aleatoria. No obstante, el intervalo de confianza de k2 es grande e incluye el valor cero y valores negativos, por lo que el modelo de dos parámetros es de utilidad cuestionable respecto al modelo de un parámetro.

Parámetro

Valor Intervalo de confianza del 95% Varianza

k0 6.551*10-5 2.73*10-6 2.34*10-18k1 6.867*10-5 4.51*10-6 1.728*10-18k2 -2.630*10-6 3.18*10-6

c) Determine si las dos variables CA y CB, están correlacionados.Una prueba sencilla de correlación entre variables de un problema consiste en llevar a cabo una regresión lineal para determinar si una variable es linealmente dependiente respecto a otra.

d) Explique el significado práctico de cualquier correlación entre las variables de regresión.El descubrimiento de esta relación lineal significa que la regresión anterior de la ecuación (3-39) no es valida porque hay independencia entre las variables.

3.12. REGRESION DE LOS DATOS DE VELOCIDAD DE REACCION EN CATALISIS HETEROGENEA

a) Determine cuantos parámetros de las ecuaciones (3-43) y (3-44) deben estimarse mediante la regresión de los datos de la tabla 3-14.b) Calcule los parámetros a partir de la regresión lineal y no lineal y compare los resultados obtenidos por estos dos métodos.

3.13. VARIACION DE LA CONSTANTE DE VELOCIDAD DE REACCION CON LA TEMPERATURA

a) Utilice la regresión lineal y la no lineal para encontrar los parámetros de Arrhenius de las ecuaciones (3-45) y (3-46) sustituir T0 = 298K en la ecuación (3-46)b) ¿Qué ecuación y regresión da lugar a la correlación de los datos mas adecuados? Razone la respuesta.c) Compare los resultados de la correlación mas adecuada con los valores dados por Wynkoop y Wilhlem de A=9.960 g-mol/cm3 .s.atm y E = 13.320 cal/g-mol

3.14. CALCULO DE PARAMETROS EN LA ECUACION DE ANTOINE MEDIANTE REGRESION LINEAL

Calcule los parámetros de la ecuación de Antoine de la ecuación (3-1) y los diferentes indicadores estadísticos para los datos de presión de vapor del propano de la tabla B-5. Indique los parámetros de la presión de vapor en psi y la temperatura en grados F (este problema es similar al problema 3.1. pero los parámetros tienen diferente unidades). Los cálculos fundamentales para la regresión lineal se han de llevar a cabo durante la resolución de ha de utilizar la siguiente secuencia:

Transforme los datos para que se pueda calcular los parámetros de la ecuación de Antoine utilizando una regresión lineal múltiple.

Encuentre las matrices XTX y XTY Resuelva el sistema de ecuaciones para obtener el valor A Calcule la varianza, los elementos de la diagonal de (XTX) y los intervalos de confianza del 95% de los

parámetros (utilice los valores de distribución proporcionados en la tabla A-4) Prepare una grafica residual (represente ε frente a Y (obs)) Evalúe la precisión de los datos y su adecuación a la ecuación de Antoine para la correlación de los

datos.

Grafica residual para datos de presión de vapor representados por la ecuación de Antoine

CAPITULO 4. RESOLUCION DE PROBLEMAS CON EXCEL4.1. VOLUMEN MOLAR Y COMPRESIBILIDAD A PARTIR DE LA ECUACION DE REDLICH – KWONGa) Utilice POLYMATH para calcular el volumen del vapor de agua (la temperatura critica es T= 647.4K y la presión critica es P = 218.3 atm) a T = 1.0 y Pj = 1.2 compare los resultados que se han obtenido con los valores que figuran en una base de datos de propiedades físicas (V = 0.052456 L/g-mol), complete los cálculos para T1=3.0 y P1=10 (V=0.0837 L/g-mol). Realice los dos cálculos solo si el parámetro C > 0

b) Calcule el factor de compresibilidad y el volumen molar de vapor de agua utilizando Excel para las temperaturas y presiones reducidas recogidas en la tabla 4-1. Confeccione una tabla y una grafica del factor de compresibilidad frente a P y T así como una tabla y una grafica de volumen molar frente a la presión y T. la presión y el volumen deberían estar en una escala logarítmica en la segunda grafica.

4.2. CALCULO DE VELOCIDAD DE FLUJO EN UNA TUBERIAa) calcule la velocidad de flujo q (en gal/min) para una tubería con una longitud efectiva L=1.000 ft y hecha de un tubo de acero comercial tipo 40 de 8” de diámetro nominal. (Solución: v = 11.61 ft/s y gpm=1.181 gal/min)

b) calcule las velocidades de fluido en ft/s y en gal/min para tuberías a 60°F con longitudes efectivas de L=500; 1000;…; 10000 ft y hechas de tubos de acero comercial tipo 40 de 4; 5; 6 y 8 pulgadas de diámetro nominal. Utilice el método de sustituciones sucesivas para resolver las ecuaciones de los diferentes casos y presente los datos en forma tabular, prepare las graficas de la velocidad del fluido v frente a D y L. y la velocidad de flujo q frente a D y L.

4.3. OPERACIÓN ADIABATICA DE UN REACTOR TUBULAR PARA EL CARCKING DE ACETONAa) Calcule las velocidades de flujo (en g-mol/s) y las fracciones molares de la acetona, cetena y metano en el reactor. Utilice POLYMATH para realizar los cálculos y representar gráficamente, la conversión y la temperatura del reactor (en K) frente al volumen.

No Title |POLVER05_0 |1d(FA)/d(V) = rA # Differential mass balance on acetoned(FB)/d(V) = -rA # Differential mass balance on ketened(FC)/d(V) = -rA # Differential mass balance on methaned(T)/d(V) = (-deltaH) * (-rA) / (FA * CpA + FB * CpB + FC * CpC) # Differential enthalpy balanceXA = (FA0 - FA) / FA0 # Conversion of acetonerA = -k * CA # Reaction rate in mol/m3-sP = 162 # Pressure kPaFA0 = 38.3 # Feed rate of acetone in mol/sCA = yA * P * 1000 / (8.31 * T) # Concentration of acetone in mol/m3yA = FA / (FA + FB + FC) # Mole fraction of acetoneyB = FB / (FA + FB + FC) # Mole fraction of keteneyC = FC / (FA + FB + FC) # Mole fraction of methanek = 8.2E14 * exp(-34222 / T) # Reaction rate constant in s-1deltaH = 80770 + 6.8 * (T - 298) - .00575 * (T ^ 2 - 298 ^ 2) - 1.27e-6 * (T ^ 3 - 298 ^ 3)CpA = 26.6 + .183 * T - 45.86e-6 * T ^ 2CpB = 20.04 + 0.0945 * T - 30.95e-6 * T ^ 2CpC = 13.39 + 0.077 * T - 18.71e-6 * T ^ 2FB(0) = 0 # Feed rate of ketene in mol/sFA(0) = 38.3 # Feed rate of acetone in mol/sFC(0) = 0 # Feed rate of methane in mol/sT(0) = 1035 # Inlet reactor temperature in KV(0) = 0 # Reactor volume in m3V(f) = 4

b) La conversión en el reactor en el apartado a) es muy baja en condiciones adiabáticas ya que el contenido del reactor se enfría muy rápidamente. Se sugiere que una alimentación de nitrógeno, junto con la acetona podría ser beneficiosa para mantener una temperatura más alta. Modifique el conjunto de ecuaciones POLIMATH para permitir la adición de nitrógeno a la alimentación, transfiera las ecuaciones a Excel y compare las conversiones finales y las temperaturas para los casos en los que se añaden 28.3; 18.3; 8.3; 3.3 y 0.0 g-mol/s de nitrógeno al reactor (la velocidad de alimentación molar total es de 38.3 g-mol/s en todos los casos)

Perfil de la temperatura en el reactor para Fn = 28.3 g-mol/s

Perfil de la conversión en el reactor para Fn = 28.3 g-mol/s

4.4. CORRELACION DE LAS PROPIEDADES FISICAS DEL ETANODetermine correlaciones apropiadas para la capacidad calorífica, presión de vapor, y viscosidad liquida del etano. Se dan los ficheros de los datos, los cuales también están disponibles en el apéndice F, compare estas correlaciones con las expresiones sugeridas por el Desing Institute for Physical Properties, DIPPR.

a) Compare los polinomios de 3er y 5to grado para la correlación de los datos de capacidad calorífica (tabla F-1 del apéndice F) utilizando POLIMATH y Excel examinando las varianzas respectivas, los intervalos de confianza y las graficas residuales.

Grafica residual para la capacidad calorífica representada por un polinomio de tercer grado para un conjunto de datos A.

Coeficientes polinomios de quinto grado y estadísticas para los datos de capacidad calorífica en la tabla F.1.

b) Utilice Excel para comparar el polinomio de 5to grado para la correlación de los datos de capacidad calorífica (tabla F-2 de apéndice F) con las dos correlaciones recomendadas DIPPR para los intervalos de temperatura adecuados.

Los valores de la capacidad calorífica recomendados por el DIPPR y los correspondientes cálculos residuales pueden ser fácilmente comparados insertando dos nuevas columnas en la hoja de cálculo.

Adición de cálculos de ecuaciones DIPPR a la hoja de calculo de Excel.

Coeficientes de las ecuaciones DIPPR.

Comparación mediante un grafico de residuos de la capacidad calorífica representada por un polinomio de quinto grado y las ecuaciones DIPPR para la tabal F.2

c) Utilice la regresión lineal múltiple de Excel para adecuar la ecuación de Wagner a los datos de la presión de vapor del etano recogidas en la tabla F-3 del apéndice F. comente la aplicabilidad de la ecuación de Wagner para correlacionar estos datos. Compare la correlación obtenida mediante la ecuación de Wagner con la ecuación de Riedel recomendada por el DIPPR.

Resultados del modelo de la ecuación de Wagner para la presión de vapor del etano.

Grafica residual para los datos de presión de vapor del etano representado por la ecuación de Wagner.

Hoja de cálculo para comparar la correlación de la presión de vapor mediante las ecuaciones de Wagner y DIPPR.

d) Utilice la regresión no lineal para adecuar la ecuación de Antoine a los datos de viscosidad liquida del etano que se encuentran en la tabla F-4 del apéndice F. Los valores estimados iniciales de los parámetros de la regresión no lineal deberían obtenerse por regresión lineal. Verifique los resultados de la regresión no lineal en POLIMATH y en Excel. Compare la correlación obtenida mediante la ecuación de Antoine con la de la ecuación de Riedel recomendad por el DIPPR

Regresión no lineal

Grafica residual de Excel para la ecuación (4-47)

4.5. EQUILIBRIO QUIMICO COMPLEJO MEDIANTE LA MINIMIZACION DE LA ENREGIA DE GIBBSa) Formule el problema como problema de minimización restringida. Introduzca las restricciones en la función objetivo. Utilizando los multiplicadores de Lagrange diferencie esta función para obtener un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales.

La función objetivo que ha de ser minimizada es la energía de Gibbs total, dada por:

minGRT

=∑i=1

c

¿(Gi

0

RT+ln ¿

∑ ¿)

La minimización de la ecuación (4-49) se ha de llevar a cabo con las restricciones del balance atómico.

Balance de oxigeno: g1 = 2n4 + n5 + 2n6 + n1 – 4 = 0Balance de hidrogeno: g2 = 4ni + 4n2 + 2n3 + 2n1 + 2n8 + 6n9 – 14 = 0Balance de carbono: g3 = n1 + 2n2 + 2n3 + n4 + n5 + 2n9 – 2 = 0

Estas tres restricciones se pueden introducir en las funciones objetivo utilizando multiplicadores de Lagrange: λ1, λ2 y λ3. La función objetivo ampliada es:

minF=∑i=1

c

¿(Gi

0

RT+ ln ¿

∑ ¿)+∑

j=1

3

λ jg j

La condición para un mínimo de esta función en un punto determinado es que todas las derivadas parciales de F con respecto a ni y λi se anulan en este puto. Por ejemplo, la derivada parcial de F con respecto a ni es:

δFδni

=Gi

0

RT+ ln ¿

∑ ¿+4λ2+ λ3=0

La otra derivada parcial con respecto a ni, se puede obtener de forma similar. Si se espera que la cantidad de un compuesto determinado en el equilibrio es muy próxima a cero, es preferible reescribir la ecuación en una forma que no requiere el cálculo del logaritmo de un numero muy pequeño, por ejemplo reordenando la ecuación (4-54) se obtiene:

ni−∑ ¿exp ¿¿λ2 + λ3) = 0Las derivadas parciales de F con respecto a λ1, λ2 y λ3 son g1, g2 y g3 respectivamente.

b) Utilice el algoritmo de la resolución “restringida” de POLIMATH para encontrar la solución a este sistema de ecuaciones no lineales. Comience las interacciones a partir de los valores estimados iníciales mostradas en la tabla 4-10.

b) Utilice el “solucionador” de Excel para resolver el problema como un problema de minimización restringida sin la utilización de los multiplicadores de Lagrange y sin diferenciación de las funciones objetivo. Compare los resultados con los obtenidos en b)

CAPÍTULO 5: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON MATLAB

5.1 VOLUMEN MOLAR Y COMPRENSIBILIDAD A PARTIR DE LA ECUACION DE REDLICH-KWONG.

a) Utilice POLYMATH para generar el conjunto de ecuaciones formateadas MATLAB para este problema. Transforme en conjunto de ecuaciones en una función MATLAB que tenga como parámetros de entrada Tr, Tc, PC, Pr y vuelva al punto de llamada los valores del factor de compresibilidad y el volumen molar de V. Compruebe la función calculando el factor de comprensibilidad y el volumen del vapor de agua (temperatura critica, Tb = 647.4 K y presión critica PC =281.3 atm ) a Tr=1 y PC=1.2, Compare los resultados con los valores obtenidos con POLIMATH ( z=0.258 , Y v =0.0523 l/G-MOL ). Repita los cálculos para Tr=3.0 y Pr=10(Z=1.146 y V=0.0837 L/g-mol). Realice los cálculos si el parámetro C>0.

Datos de presión y temperatura reducida para el cálculo.

Pr Pr Pr Pr Pr Tr0,1 2 4 6 8 10,2 2,2 4,2 6,2 8,2 1,20,4 2,4 4,4 6,4 8,4 1,50,6 2,6 4,6 6,6 8,6 2,00,8 2,8 4,8 6,8 8,8 3,01 3 5 7 9

1,2 3,2 5,2 7,2 9,21,4 3,4 5,4 7,4 9,41,6 3,6 5,6 7,6 9,61,8 3,8 5,8 7,8 9,8

10

b) Calcule el factor de comprensibilidad y el volumen molar del vapor de agua, utilizando MATLAB, para las temperaturas y presiones reducidas que se encuentran en la tabla 5.1.

c) Prepare una Tabla y una representación grafica del factor de comprensibilidad frente a P r y Tr La presión y el volumen de la segunda grafica se tendrían que poner en escala logarítmica.

Factor de compresibilidad frente a Tr yPrResultados tabulares

Pr\Tr 1.0 1.2 1.5 2 30.1 0.96516 0.97997 0.99029 0.99682 1.00020.2 0.92864 0.95964 0.98065 0.99372 1.00040.4 0.84907 0.91801 0.96161 0.98778 1.00080.6 0.75657 0.87504 0.94295 0.98221 1.00150.8 0.63874 0.83072 0.92479 0.97702 1.0022

5.2 CALCULO DE LA VELOCIDAD DE FLUJO EN UNA TUBERÍA

a) Prepare un programa POLYMATH utilizando los resultados MATLAB generados por POLYMATH para la creación de este problema. Incorpore la función f zero de MATLAB para calcular la velocidad de flujo. Determine la velocidad para una tubería con una longitud electiva L=1.000 ft y hecho de un tubo de acero comercial de diámetro nominal de 8 pulgadas del tipo 40 (Solución; v: 11.61 ft/s).

b) Modifique el Programa MATLAB del apartado a) y transfórmelo en una función con velocidad del fluido(v), diámetro de tubo (D), longitud del tubo (L) y temperatura de ambiente (T) como parámetros de entrada y que retorne al punto de llamada valor de f(v) (Tal como se definió en la sección 4.2.6 a)

c) Calcule la velocidad del fluido y la velocidad de flujo central (caudal) para tuberías con longitud efectiva de L = 500, 1.000, …..10.000 ft y hecha de un tubo de acero comercial nominal de 4, 5, 6 y 8 pulgadas de tipo 40. Utilice la función fZero para resolver las ecuaciones para varios casos y presente los resultados en forma tabular. Prepare graficas de velocidad del fluido frente a D y L velocidad de flujo (caudal) frente a D y L.

5.3 OPERACIÓN ADIABATICA DE UN REACTOR TUBULAR PARA EL CRACKING DE ACETONA

a) Utilice el código MATLAB generado por POYMATH para este problema que incluye la adición de nitrógeno (parte b) del problema 4.3.Utilizacion de la función MATLAB ode45 para calcular la conversión final y los valores de temperatura en el reactor para el caso en el que V=4m3, FAO=38.3 mol/s, P = 162 k Pa, T0 = 1.035 y las velocidades de alimentación de otros compuestos son todos cero. Compare los resultados con los valores finales obtenidos con POLYMATH T =907.54 K y XA=0.257.

b) Modifique el código MATLAB para transformar una función denominada DYFUNCVECEDV que determine el Volumen V y un vector y que contenga las velocidades de flujo de los compuestos A, B, C y FAO y P han de ser los parámetros de entrada y el código a de devolver al programa de llamada una columna vector de las derivadas de esas variables con respecto a V.

c) Calcule la conversión final y la temperatura final del reactor que opera a los valores constantes de presión 1.6,1.8…..5.0 atm para unas velocidades de alimentación de acetona de FA0 =10,20,30,35,…..38.3 mol/s, donde se utiliza una corriente de nitrógeno para mantener la velocidad de alimentación igual total a38.3 mol/s en todos los casos. Presente los resultados en forma tabular y prepare la grafica de la conversión final frente a P y FA0 y de la temperatura final frente a P y FA0.

5.4 CORRELACION DELAS PROPIEDADES FISICAS DEL ETANO

a) Construya una función MATLAB que resuelva el problema de regresión lineal Xb= y donde X es la matriz de los valores de las variables independientes, y, es el vector de las variables dependientes y b es el vector de los parámetros de los modelos de regresión lineal. Los parámetros de entrada de la función son X , y y una variable lógica que indica donde hay parámetros libres. Los parámetros que resultan son β y los nuevos intervalos de confianza respectivos, los valores calculados de la variable dependiente γcalc , el coeficiente de correlación lineal R2, y la varianza. Pruebe la ecuación adoptando la ecuación de Wagner a los datos de presión de vapor del etano de la Tabla F3 del apéndice F1.

b) Adopte los polinomios 30 y 50grado a la capacidad calorífica del etano para los datos dados en las tablas F.1 y F.2 del Apéndice F. Utilizando la función de regresión lineal múltiple desarrollada en a) Compare la calidad de representación de los diferente grupos de datos con polinomios de grados diferentes.

c) Adapte la ecuación de Antoine de la viscosidad liquida del etano dad en la tabla F4 del Apéndice F.

5.5 EQUILIBRIO QUIMICO COMPLEJO MEDIANTE LA MINIMIZACION DE LA ENERGIA DE GIBBS

a) Obtenga la función MATLAB generada por POLYMATH para este problema utilice la función f solve de las herramientas de optimización de MATLAB para resolver el problema con objeto de obtener los valores multiplicadores de Lagrance y los moles de diferentes componentes en el equilibrio.

b) Utilice la función de MATLAB para resolver el sistema de ecuaciones desde las posiciones iniciales como en el apartado a)

c) Determine el valor de la función objetivo de la parte b) en la solución.

CAPÍTULO 6: TECNICAS AVANZADAS EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

6.1 RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERNCIALES ORDINARIAS RIGIDAS.

a) Resuelva este conjunto de ecuaciones diferenciales comenzando a t 0=0 , donde S=5.0 ,B=0.05 y

tomando como tiempo finalt f=20.Utilice unidades coherentes.

b) Represente gráficamente S y B respecto al tiempo para las condiciones del apartado a).

6.2 LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS RIGIDAS EN CINETICA QUIMICA

a) Resuelva el sistema definido por el conjunto de ecuaciones (6-8) con las condiciones iníciales dadas. Compare las soluciones y los tiempos de ejecución cuando se utilizan los algoritmos de integración RKF45 y STIFF.

b) Suponiendo que y1 , y2 e y3 represente las concentraciones de especies diferentes ¿tienen sentido y es factible la solución obtenida?

No sería factible la solución ya y no tendría sentido ya que se hablaría de juntar dos compuestos muy diferentes lo cual se tendría que resolver de otro modo.

6.3 ESTADOS ESTACIONARIOS MULTIPLES EN UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

a) Introduzca los valores proporcionados por LUSS Y AMUNDSON en el conjunto I y observe las diferencias entre los conjuntos I y II.

b) Haga todas las ecuaciones en el estado estacionario para el conjunto I y el conjunto II en el rango de 5000R5000 R≤T ≤1.3000.

c) Resuelva el conjunto I y el conjunto II utilizando los valores iníciales τ=0dados por P=0.1 , T=600 ,P0=0 y T p=¿761. El valor final es τ=1.500.

d) Explique las diferencias en las soluciones en estado estacionario y dinámico obtenidas cuando utiliza en conjunto I original y el conjunto II modificado.

6.4 SOLUCIÓN ITERATIVA DE UN PLOBELA DE VALOR LÍMITE DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA

Las superficie de losa se mantienen a T 0=290K y la temperatura del cuerpo negro de los aireadores es T 0=1273K ,L=0.2m

a) Calcule y represente la temperatura de la primera losa utilizando el método secante para determinar la constante de flujo calorífico en la losa ¿Cuál es el valor correspondiente a T S?

b) Repita el apartado a) utilizando el método de posición falsa.

6.5 MÉTODO DEL DISPARO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA DE DOS PUNTOS

a) Resuelva numéricamente la ecuación (6-20) con las condiciones frontera de (6-21)y (6-22) en el caso

de que C A0=0.2kgmolm

,k=10−3 s ,DAB=1.2×10−9m2

sy L=10−3m . Esta solución ha de utilizar un

solucionador EDO con la técnica de disparo y utilizar el método secante para converger en la condición limite dad por la ecuación (6-22).

b) Compare los perfiles de concentración con el grosor de la capa, tal como se produce en la resolución numérica de a) con la resolución analítica de de la ecuación (6-23).

c) Obtenga una resolución numérica para una reacción de segundo orden que requiera que el termino C A del lado derecho de la ecuación (6-20) se eleve al cuadrado. La constante de velocidad de segundo

orden vine dada por k=0.02 m3/(kg−mol

s).

6.6 FACILITAR LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACION ALGEBRAICAS NO LINEALES.

Resuelva este sistema de ecuaciones cuando C AO=CBO1.5 , kc 1=1.06 , kc 2=2.63 y kc 3=5 , comenzando por los tres grupos de suposiciones iníciales siguientes:

a) CD=CX=CZ=0 .

b) CD=CX=CZ=1 .

c) CD=CX=CZ=10.

6.7 RESOLUCION DE ECUACIONES ALGEBRAICAS DIFERENCIALES (EADs)

La destilación por lotes de la mezcla del benceno (componente 1) y del Tolueno (componente 2) se lleva a cabo a una presión de 1.2 atm. Inicialmente hay 100 moles de liquido en la mezcla de destilación, formadas por un 60% de Benceno y un 40% de Tolueno (fracción molar) . Calcule la cantidad de líquido que quedara en el matraz de destilación cuando la concentración de tolueno sea del 80%, utilizando las dos aproximaciones analizadas en la siguiente sección y compare los resultados.

6.8 MÉTODO DE LINEAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

a) Resuelva numéricamente la ecuación (6-37) con las condiciones iníciales y frontera de (6-38) y (6-40)

para el caso en el que α=2×10−5 m2

s y la superficie de la losa se mantiene constante a T 1=00C .

Esta resolución debería utilizar el método numérico de líneas con 10 secciones. Represente gráficamente las temperaturas T 2 , T 3, T 4 yT 5 en función del tiempo hasta 600 s.

b) Repita el apartado a) con 20 secciones. Compare los resultados con el apartado a) para verificar que el apartado a) es el apropiado.

c) Repita los apartados a) y b) para un tiempo de 1500 para el caso en el que la convección de calor esta presente en la superficie de losa. El coeficiente de transferencia de calor es h= 25.0 W/m 2 K y la conductividad térmica es k=10.0W/m. K

6.9 ESTIMACION DE PARAMETROS MODELO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS UTILIZANDO DATOS DE FERMENTACION.

a) Utilice los datos de la Tabla 6.22 para encontrar los valores de los parámetros b1 , b2 , b3 y b4 que minimizan la suma de los cuadrados de las diferencias entre las concentraciones calculadas y experimentales ( y¿¿1 , y2)¿ para todos los datos. Se pueden utilizar las siguientes suposiciones

iníciales b1=0.1 , b2=4.0 ,b3=0.02 y b4=0.02 .

b) Represente Gráficamente los valores calculados y experimentales de y1 e y2 , utilizando los valores de los parámetros óptimos.

CAPÍTULO 7: TERMODINAMICA

7.1 VARIACION DEL FACTOR DE COMPRESIBILIDAD A PARTIR DE LA ECUACION DE VAN DER WAALS

Problema

Considere los cálculos necesarios para un grafico general de factores de compresibilidad para el CO2 cuya temperatura critica es Tc = 304 K y su presión critica es Pc = 72.9 atm

a. Represente gráficamente el factor de compresibilidad del CO2 en un rango de presión reducida de 0.1<P<10 para una temperatura reducida de constante T=1.1

b. Repita el apartado a para T=1.3

c. Repita el apartado a para T= 2.0

d. Represente gráficamente los resultados de a, b y c

7.2 VARIACION DEL FACTOR DE COMPRESIBILIDAD A PARTIR DE VARIAS ECUACIONES DE ESTADO

Problema

a. Selecciones un elemento de la tabla sgte represente gráficamente el factor de compresibilidad en un rango de presiones de 0.5<P<11 para una temperatura reducida constante de 1.3. Los cálculos están basados en una de las siguientes ecuaciones de estado Van der Waals, Peng Robynson o Virial.

b. Repita para T=2 c. Repita para T=10

c. Represente gráficamente los resultados a, b y c

7.3 COMPRESION ISOTERMICA DE UN GAS A PARTIR DE LA ECUACION DE ESTADO DE RIEDLICH-WONG

Problema

El dióxido de Carbono se comprime isotérmicamente a 50ºC a un 1/100 de su volumen inicial. La presión inicial es de 1 atm

a. Calcule el trabajo requerido por g-mol de gas suponiendo que se comporta como una gas ideal

b. Compruebe si la variación de presión P y el volumen V sigue el camino esperado de PV=cte

c. Repita el caso a para el metano

7.4 PROPIEDADES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE AGUA A PARTIR DE LA ECUACION DE RIEDLICH-KWONG

Problema

a. Perfile un procedimiento de calculo general para usar la ecuación de estado de Riedlich-Kwong para calcular el volumen molar, volumen especifico, factor de compresibilidad, entalpia y temperatura especifica.

b. Compare los resultados anteriores con los datos de vapor de agua encontrados en tablas de libros de texto de termodinámica

7.5 ENTALPIA Y ENTROPIA DE SALIDA A PARTIR DE LA ECUACION DE RIEDLICH-KWONG

Problema

a. Seleccione un componente de la tabla 7.3 y represente gráficamente las funciones de entalpia y de entropía a partir de un rango de presión reducida de 0.5<P<30 para temperaturas reducidas de T=1.2, 1.4 y 3.0; represente en una grafica

b. Modifique los resultados del apartado para permitir una comparación directa de las graficas obtenidas con las graficas generalizadas de los textos

c. Compare los resultados obtenidos con las correlaciones generalizadas y los datos experimentales disponibles

7.6 COEFICIENTES DE FUGACIDAD DE FLUIDOS PUROS PARA VARIAS ECUACIONES DE ESTADO

Problemaa. Seleccione un componente de la tabla 7.3 y use la ecuación de estado de Van der Waals para representar el

coeficiente de fugacidad calculado en un rango de presión reducida de 0.5<P<30 para las temperaturas reducidas de T=1.2 , 1.4 , 3.0

b. Representar los resultados en una sola graficac. Repita el apartado a con la ecuación de Riedlich-Kwongd. Repita el apartado a con la ecuación de Peng-Robynsone. Compare los resultados

7.7 COEFICIENTES DE FUGACIDAD DEL AMONIACO (EXPERIMENTALES Y ESTIMADOS)

ProblemaEn la tabla 7.9 se plantea las medidas experimentales que han dado lugar los factores de compresibilidad a diferentes presiones para el amoniaco a 100ºC

a. Calcule los coeficientes de fugacidad a partir de los datos experimentales y agrupar los valores en una tabla para 100<P<1100 en incrementos de 100 atm

b. Calcule los coeficientes de fugacidad de la ecuación de van der Waals e introduzca estos valores en la tabla del apartado a

7.8 EVAPORACION RAPIDA DE UNA MEZCLA IDEAL DE VARIOS COMPONENTES

ProblemaUn evaporador rápido separa etileno y etano de una corriente de evaporación que contiene propano y n-butano

Donde:F= Velocidad de flujo de alimentación totalV= Velocidad de flujo del vapor totalL= Velocidad de flujo del liquido totalzj= Fracción molar de j en la corriente de alimentaciónyj= Fracción molar de j en la corriente del vaporxj= Fracción molar de j en la corriente del liquidonj= Numero total de componentes

En la tabla 7.10 se encuentra la composición de la alimentación que entra en el evaporador. El evaporador operara a presión alta, entre 15 y 25 atm, con una corriente de alimentación a 50ºC.

a. Calcule el porcentaje de alimentación total a 50ºC que se evapora y las fracciones molares correspondientes en las corrientes de liquido y vapor para las presiones de 15, 17, 19, 21, 23 y 25 atm.

b. Determine las temperaturas de punto de burbuja y de rocío de la corriente de alimentación.

7.9 EVAPORACION RAPIDA DE MEZCLAS DE VARIOS HIDROCARBUROS

Problema

Complete el problema 7.8 para una mezcla de hidrocarburos de 3 o 4 componentes. Seleccione los componentes de la Tabla 7.13 y asigne las fracciones molares en la alimentación (su suma es la unidad).

7.10 CORRELACION DE LOS COEFICIENTES DE ACTIVIDAD CON LAS ECUACIONES DE VAN LAAR

Problema

a. Utilizar la regresión lineal de la ecuación (7.45) con los datos de la tabla 3.7 para determinar A y B en las ecuaciones de Van Laar para un sistema binario de Benceno y N-heptano

b. Compare los resultados de las regresiones en a y bc. Comente la mejor elección para correlacionar este conjunto de datos entre las ecuaciones de Margules del

problema 3.8 y las de Van Laar

7.11 DATOS DEL EQUILIBRIO VAPOR-LIQUIDO A PARTIR DE MEDIDAS DE PRESION TOTAL (I)

Problema

En la tabla 7.14 se presentan los datos de la composición del liquido frente a la presión total del sistema Benceno y Acido Acético

a. Calcule la composición de la fase de vapor en función de la composición de la fase liquida usando la ecuación de Gibbs-Dunhem

b. Calcule los coeficientes de actividad para el benceno y el acido acético en la fase liquida

c. Compruebe la consistencia de los resultados usando la ecuaion de Dunhem

7.12 DATOS DEL VAPOR-LIQUIDO A PARTIR DE MEDIDAS DE PRESION TOTAL (II)

Problema

Se dispone de datos de presión total de líquidos de diferente composición para cuatro sistemas diferentes: agua-alcohol metílico, dietil éter-cloroformo, tolueno-acido acético y cloroformo-acetona.Seleccione uno de estos cuatro sistemas

a. Calcule la composición de la fase de vapor (Tolueno-Acido Acético)

b. Calcule los coeficientes de actividad

7.13 EQUILIBRIO QUIMICO COMPLEJO

Problema

El Problema 6.6 consta de una mezcla de gases: 50% de A y 50% de B que se añaden a un reactor por lotes a volumen constante, en el que se alcanza el equilibrio rápidamente. La concentración inicial total es 3,0 g-mol/dm3. Se producen las reacciones independientes:

A 330 K los consumes de equilibrio basadas en la: concentraciones son: Kc, (330 K) ™ 0,7,

a. Calcule las concentraciones en el equilibrio de todos los componentes de la reacción a 330Kb. Repita el procedimiento a 370K

CAPITULO 8: MECANICA DE FLUIDOS

8.1 FLUJO LAMINAR DE UN FLUIDO NEWTONIANO EN UNA TUBERIA HORIZONTAL

Problemaa. Resuelva numéricamente las ecuaciones 8.1 y 8.2 con las condiciones frontera dadas por las ecuaciones 8.3 y 8.4

para el agua a 25ºC con u=8.937 x 10-4, Ap =500, L=10 y R=0.009295

b. Compare el esfuerzo calculado y los perfiles de velocidad con las resoluciones analíticas de las ecuaciones 8.5 y 8.6

c. Modifique la solución del apartado a para incluir el calculo de la velocidad media dad por la ecuación 8.7

8.2 FLUJO LAMINAR DE UN FLUIDO NO NEWTONIANO EN UNA TUBERIA HORIZONTAL

Problema

a. Un fluido dilatante fluye en una tubería horizontal donde K=1x10-6, n=2, AP=100, L=10 y R=0,009295. El esfuerzo cortante y la velocidad media se deben representar gráficamente frente al radio de la tubería. Calcule la velocidad media en la tubería

b. Repita par un fluido pseudoplastico k=0.01 y n=0.5

c. Repita el apartado b para el fluido de a

8.3 FLUIDO LAMINAR VERTICAL DE UNA PELICULA LIQUIDA

Problema

a. Resuelva numéricamente las ecuaciones 8.17 y 8.19 con las condiciones frontera de 8.18 y 8.20 para un fluido newtoniano con u=0.15, p=840, el grosor es de 0.002. representar el perfil de la velocidad con el esfuerzo cortante

b. Halle la velocidad media

c. Repita el apartado a para un fluido plástico con 8.17 y 8.26 donde t=6, p=800 y u=0.20

8.4 FLUJO LAMINAR DE FLUIDOS NO NEWTONIANOS EN UN ANILLO HORIZONTAL

Problema

a. Resuelva numéricamente las ecuaciones 8.27 y 8.28 con las condiciones frontera dadas por 8.29 y 8.30 para el agua a 25ºC con u=8.937 x 10-4, Ap =100, L=10 y R=0.02223. El esfuerzo cortante y la velocidad media se deben representar gráficamente frente al radio en el anillo desde R1 hasta R2. Calcule la velocidad media en el anillo a partir de 8.32

b. Compare el perfil de la velocidad media con la solución analítica dada por la ecuación 8.31, compare la velocidad media con 8.32

c. Repita el apartado a para un fluido dilatante k=1x10-6 y n=2

d. Repita el apartado a para un fluido pseudoplastico con k=0.01 y n=0.05

8.5 DEPENDENCIA DE LA TEMPERATURA DE LA DENSIDAD Y VISCOSIDAD DE VARIOS FLUIDOS

Problema

a. Determine las correlaciones adecuadas para la dependencia de la temperatura, densidad y viscosidad del agua liquida en unidades inglesas y SI con datos de las tablas D1 y D2

b. Seleccione uno de los componentes de la tabla D3 y proporcione resultados similares de densidad, viscosidad en el SI.

8.6 VELOCIDAD TERMINAL DE CAIDA DE PARTICULAS

Problema

a. Calcule la velocidad final para una mezcla de 65 partículas de carbón de p=1800kg/m3 cayendo en uno de los líquidos de la tabla D2 y D3 a 25ºC

b. Estime la velocidad final de las partículas de carbón en un separado centrifugo donde la aceleración es 10G

8.7 COMPARACION DE CORRELACIONES DE FACTORES DE FRICCION PARA UN FLUJO TURBULENTO EN TUBERIAS

Problemaa. Recoja los factores de fricción calculados para las ecuaciones 8.46 y 8.50 para Re=104 y 107 para tuberías E/D=0

b. Recoja los factores de fricción para las ecuaciones 8.48 y 8.50 para Re=104 y 107 para tuberías rugosas donde E/D=0.001 y 0.01

8.8 CALCULOS QUE INVOLUCRAN FACTORES DE FRICCION PARA FLUJO EN TUBERIAS

Problema

a. Se requiere un intercambio de calor para tratar Q=2.5l/s de agua a través de una tubería lisa con una longitud equivalente de 100m. El descenso de presión es de 103 kPa para una temperatura de 25ºC. Calcule el diámetro de la tubería requerido para su aplicación

b. Cual será el descenso de presión si la temperatura disminuye en 5ºC

c. Repita a y b para un liquido de la tabla D3

8.9 VELOCIDAD MEDIA EN FLUJO TURBULENTO DE UNA TUBERIA LISA A PARTIR DE LA VELOCIDAD MAXIMA

Problema

El agua fluye a 25ºC dentro de un tubo BWG-10 de 1 pulgada de diámetro externo. Un técnico necesita una relación simple que se puede utilizar para estimar la velocidad media a partir de una velocidad máxima medida.

a. Calcule las velocidades medias para las velocidades máximas de la tabla 8.8b. Obtenga una correlación simple pero apropiada de la velocidad predichac. Introduzca los valores en la tabla 8.8

8.10 CALCULO DE VELOCIDAD DE FLUJO EN UNA TUBERIA

ProblemaLa figura 8.4 representa una tubería que suministra liquido a una temperatura constante T desde el punto 1 donde la presión es p1 y la elevación z1 hasta el punto 2 donde la presión es p2 y la elevación z2. La longitud efectiva es L y el diámetro D.

a. Calcule la velocidad de flujo en gal/min en una tubería para agua a 60ºF. La tubería es de acero nominal de 6 pulgadas de diámetro tipo 40 con L=5000 ft, P1=150 psi, P2=0psi, Z1=0 y Z2=300

b. Represente gráficamente la velocidad de flujo calculado en función de la variación de presión

c. Añadir curvas a la grafica del apartado b para aceros comerciales de 4 y 8 pulgadas de diámetro y del tipo 40

8.11 DISTRIBUCION DE FLUJO EN UNA RED DE TUBERIAS

Problema

Un caudal de agua a 25 °C está fluyendo en una red de tuberías, Figura 8.5. La presión n la salida de la bomba es de 15 bar (15 X 10 Pa) superior a la presión atmosférica y el agua se descarga a la presión atmosférica al final de la tubería. Todos los tubos son de acero de 6 pulgadas y del tipo 40, con un diámetro interior de 0,154 m. Las longitudes equivalentes de los tubos que conectan los diferentes nodos son: I01 = 100 m, í,12 = L^ = LK = 300 m y La = L2< = L^ = 1.200 m.

a. Calcule todas las velocidades de flujo y las presiones en los nodos 1,2,3 y 4 para la red mostrada en la fig 8.5, el factor de fricción de Fanning es 0,005

b. Investigue como varían las velocidades de flujo y los descensos de presión cuando se bloque a una tubería

c. Recalcule una solución mas apropiada en el apartado a usando la ecuación 8.49 para calcular el factor de fricción donde E=4.6x10-5. Que velocidad de flujo calculado del apartado a tiene el mayor error

8.12 RED DE TUBERIAS Y BOMBAS

ProblemaSe transfiere agua a 60ºF y 1 atm desde el tanque 1 al 2 por una bomba de 2 CV con una eficiencia de 75%. Todas las tuberías son de acero 40 de 4 pulgadas, excepto la ultima sección de acero tipo 40 y 2 pulgadas. Todos los codos tiene un diámetro de 4 pulgadas y se usa un reductor para conectar la tubería de 2 pulgadas. El cambio de elevación entre los puntos 1 y 2 es 60 pies.

a. Calcule la velocidad de flujo esperadob. Repita el apartado a pero considerando solo perdidas de fricción en las tuberías rectasc. % de error de la velocidad de flujo del apartado b y del ad. Repita los pasos a, b y c para un liquido de la tabla D3

8.13 PERFILES DE VELOCIDAD PARA UNA PARED REPENTINAMENTE PUESTA EN MOVIMIENTO (FLUJO LAMINAR)

Problemaa. Use el método numérico de líneas para resolver la ecuación 8.78 con las condiciones de 8.79. La velocidad de la

pared es 0.2 m/s, la distancia en 0.1 m y la recomendad es 0.01 m. Genere la solución para un tiempo de 500s. Represente gráficamente las velocidades respecto al tiempo para y=0.01, 0.02, 0.03 y 0.04 hasta un tiempo de 500s.

b. Repita los cálculos del apartado b con una variación de altura de 0.005 mc. Represente una grafica similar a la 8.9 pata t=500s con los datos del apartado bd. Compare los resultados de la ecuación 8.80 y 8.81 con los 4 localizaciones de los apartados a y b a 500s

CAPÍTULO 9: TRANSFERENCIA DE CALOR

9.1. TRANSFERENCIA DE CALOR UNIDIMENSIONAL A TRAVÉS DE UNA PARED CON VARIAS CAPAS

9.1.3. Planteamiento del problema

La transferencia de calor por convección en los sólidos y en Tos fluidos sigue la ley de Fourier. La transferencia de caíoj por conducción unidimensional se describe por;

Donde q, es la transferencia de calor en Ia dirección x en W o J/s. A es el área de la sección que es perpendicular a la dirección de la conducción del calor, expresada en m2, k es la conductividad térmica del medio, mediada en W/m • K, x es la distancia en m.La transferencia de calor por convección entre sólidos y fluidos se describe por:

Donde h eü el coeficiente de transferencia de calor en W/ m2• K. T„ es la temperatura de la superficie solida expresada uri K. y T es la temperatura del fluido en K.Una condición frontera común en la interfase sólido/fluido es la continuidad del flujo calorífico dada por:

Donde S representa ia superficie del sólido cuya temperatura es de Tf. En la interfase entre los dos sólidos la temperatura es continua:

Donde Irepresenta la intense entre los dos solidos, y la continuidad del flujo calorifico dada por:

En la transferencia de calor en estado estacionario, el balance de energía es:

Donde q es el flujo de calor generado por unidad de volumen, expresada en W/m3

Considere un problema similar al dado por Geankoplis* en el que la pared de Una cámara frigorífica está construida de láminas de madera de pino, corcho y hormigon. El grosor de las capas es de 15 mm, 100 mm y 75, mm,. Las conductividades térmicas correspondientes son son 0,151, 0,043.1 y 0,762 W.'mK.

a) Calcule el flujo de calor a travez de la pared si la temperatura interior es de 255K y la superficie exterior 298K

b) Se propone reducir la perdida de calor al 50% incrementando el grosor de la capa de corcho ¿Qué grosor de la capa de corcho necesitaría?

c) Si en el lugar de corcho en el apartado a) utilizaría un nuevo material la conductividad térmica en función de la temperatura viene dad por k=2.5x exp(-1.225/T) donde T se expresa en K repita el apartado a) para este material y represente el perfil de temperatura en la pared

d) El coeficiente de transferencia de calor por convección natural de la pared exterior viene dada por

h=1.37|T5−T 4

6 |14 donde T se expresa en observe que para calcular h se utiliza el valor absoluto repita

el apartado c) utilizando esta información y considere que solo se ha de calcular la temperatura ambiente T 5=298K represente el perfil de temperatura en la pared

9.2. CONDUCCIÓN DE CALOR EN UN ALAMBRE CON UNA FUENTE DE CALOR ELÉCTRICA Y CON AISLAMIENTO


Un cable aislado conduce corriente eléctrica, El paso de la corriente eléctrica genera calor (energía térmica), según la expresión:

Donde q se mide en W/m3.I es la comente eléctrica, en A/m2,y la conductividad eléctrica .se mide en . El alambre tiene un radio uniforme, R,.medido en m. una suposición razonable es q es constante y no varia con la posición.Un balance de energía en una celda cilindrica de grosor Ar y longitud L, tal como se muestra en la figura :

donde el flujo calorífico, Q,, se puede calcular a partir de Ia ley de Fourier, dada por:

_

En el Problema 9.1 se describen fos fenomenns de la conducción y la convección.

a) Calcule y represente la temperatura y el flujo calorífico en el cable si la superficie del cable se mantiene a T=15C =288.15 K y las conductividades eléctrica y térmica vienen dadas por k=1.4x105

exp(0.035T y k = 5 W/m.k el radio del cable es R=0.004 m y la intensidad de la corriente total se mantiene en un valor de I=400ª

b) La superficie del cable tiene un coeficiente de transferencia de calor debido a la convección natural

dada por h=1.37|⍙TD |14 donde h se mide en W/m2

c) Calcule el fluo calorífico en la superficie del cable y represente la distribución de temperatura dentro del cable. La temperatura de los alrededores es T=15C =288.15 K el radio del cable es R=0.004 m y la intensidad de la corriente total se mantiene en un valor de I=50 A

d) El cable por el que pasa una intensidad de corriente I=50 A se cubre con una capa aislante cuyo radio externo es R=0.015 m y cuya constante de conductividad térmica es k=0.2 calcule el flujo calorífico en la superficie exterior del aislante y represente la distribución de temperatura del alambre y de la capa aislante

9.3. TRANSFERENCIA DE CALOR RADIAL POR CONDUCCIÓN CON CONVECCIÓN EN LAS FRONTERAS

9.3-3. Planteamiento del problema

Un sistema de vapor de agua a baja presión a 60 psia (292.73 "F contiene vapor de agua saturadoen una tubería de acero de 2 pulgadas del tipo 40. con una conductividad térmica, k ~ 0,05 blu/h - ft °F. El coeficiente de transferencia de calor de la fase del vapor de agua es h,= 2.00 blu/h - ft °F • La temperatura ambiente del aire es 70 "F.

a) calcule la perdida de calor por pie si el aislante tiene un grosor de 1 pulgada

b) cual es el radio exterior del aislante en pulgadas que se requiere para conservar la perdida de calor a 50 btu/h por pie de tubería

La transferencia de calor radial total a través de la geomelria cilindrica, con varias resistencias y dos materiales en serie, se puede expresar como (véase la referencia de üeankuplis'):

para el caso qne se ilustra en la Figura 9.7. El área de la superficie interior es A=2πLr, el area de la superficie exterior es A=2πLr y el área entre los dos materiales es A=2πLr La resolución

analítica, cuando las conductividades térmicas son constantes, requiere el uso de áreas medias logarítmicas para el material A (tubería de acero) y el material B (aislante)

9.4. PÉRDIDA DE ENERGÍA A TRAVÉS DE UNA TUBERÍA AISLADA

9.4.3. Planleamlenlo del problema

Se aisla una tubería de acero horizontal que lleva vapor de agua a 450 K con un material recientemente desarrollado cuya conduciividad termica varia con la temepratura lal como se observa en la Tabla S.3. .Se puede suponer que la tubería se encuentra a la temperatura del vapor de agua, debido al coeficiente detransferencia de calor interno efectivo y a la gran conductividad térmica del acero. El diámetro externo de Ja tubería de acero es de 0.033 mi y la temperatura ambiente es de 300 K.El coeficiente de transferencia de calor externo desde la superficie de UNcilindro, debido a la convección natural en el aire,

a) calcule la perdida de calor por metro de la tubería sin aislamiento

b) calcule la perdida de calor por metro de la tubería cuando el grosor del aislamiento es de 0.04 m y represente gráficamente la distribución de la temperatura en el aislante

9.5. PERDIDA DE CALOR A TRAVÉS DE LOS REBORDES O COLLARINES DE UNA TUBERÍA


Se pueden conectar tuberías de metal atornillado los dos rebordes terminales . en forma de placas, de los extiemos de la tubería, tal como se mueslra en la Pigura 9.8 estas uniones con frecuencia no están aisladas, por lo que las tuberías se pueden desconectar rapidamente. para evaluar la frecuencia de calor , esta unión se puede considerar como un cilindro de metal sólido hecho con dos collarines (rebordes) de tubería. Considere la unión, sin aislar, de la Figura 9.8, donde el fluido de la tubería se encuentra a 260 T y el coeficiente de transferencia de calor con respecto a los alrededores, es constante para h ~=3 blu/h • ft2! • F.

a) seleccione uno de los metales que aparecen en la tabla y calcule la perdida de calor total de un collarin simple para un dia en el que la temperatura ambiente media T=60F suponga que la conductividad térmica es constante para el valor dado a 212 F

b) represente gráficamente la velocidad de transferencia de calor y la temepratura frente al radio para el apartado a)¿Qué porcentaje de la perdida de calor total hay al final del collarin?

c) Repita los cálculos de la perdida d calor del aparatado a para el mismo material de collarin para un dia frio de invierno T=10 F y un dia muy caluroso de verano T=10 F

9.6. TRANSFERENCIA DE CALOR DE UN CILINDRO HORIZONTAL ACOPLADO A UNA PARED CALIENTE9.6.3. Planteamiento del problemaSe utiliza una varilla circular (cilindro) hnrizontal para transferir calor desde una pared vertical que se mantiene a temperatura constante Ta = 275 °F, respecto a la temperatura del aire que La convección natural desde la superficie de la varilla viene dada por:

donde h, es el coeficiente de transferencia de calor, apresado en htu/ft? • "F,

en el extremo de la varilla que está expuesto al aire, el coeficiente de transferencia de calor viene dado por :

La transferencia de calor por radiación desde las superficies de las varillas qüe describe medíanle la ecuación de Stefan-boltzmaiin, con una emisividad efectiva de e respecto a los aliededores a temepratuta T:_

a) Calcule el perfil de temperatura por debajo de la longitud de la varilla horizontal y la velocidad total de calor extraido desde la pared calentada cuando solo se considera la convección de todas las superficies de las varillas la temperatura de la pared es T=275 F, LOS ALREDEDORE SE en cuentran a 70F el diámetro de varilla es D=0.1 ft la longitud L=0.5ft y la conductividad térmica de la varilla es k=30btu/hft

b) Repita el apartado a) suponiendo que no hay convección desde el extremo expuesto de la varilla

c) Repita el apartado a) si la radiación de todas las superficies de las varillas con una emisividad efectiva e=0.85 es considerada junto con la convección

d) Que conclusiones se puede deducir respecto a la suposición de condición frontera hecha en el apartado b) y la conclusión de la radiación en el apartado a)

e) Repita los apartados a)a d) para T=575F

9.7. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA ALETA TRIANGULAR


Las aletas triangulares son muy ütilizadas para incrementar la transferncia de calor con una mínima cantidad de material (en la aleta). En la Figura 9.12. se muestra esta aleta, en un tratamiento simplificado de esta aleta se puede utilizar la suposición de que la temperatura T sólo varia en la dirección x, que no hay pérdida de energía desde los lados o los estremos de la aleta, y que una convección simple, con un coeficiente de transferencia de calor constante, describe la convección desde las Superficies de las aletas:

40 Por lo tanto un balance de energía en el volumen dilerencial de la aleta da lugar a :

ENTRADA + GENERACIÓN = SALIDA + ACUMULACIÓN .;.

La transferencia de calor por convección desde las superficies superior e inferior de UNA ALETAl dada por;

Donde h es lka altura de la aleta, w la anchura y es el angulo de la punta de la aleta Las ctelinicinnes y las unidades son las mismas que e» el l'rohlema 9.6.la ecuación diferencial retullante seta:

La ley de Fburier para la conducción de calor en la aleia se puede escribir de ta forma:

Donde el área de la sección transversal, dada por A, se puede expresar en función de s mediante:

Por lo tanto, la Ecuación (9-48! se puede reescribirr utilizando la Ecuación (9-49) para A como:

a) Seleccione uno de los metales de la tabla 9.4. para utilizarlo en una aleta sección transversal triangular. Calcule el perfil de temperatura por debajo de la longitud de la aleta y la velocidad total del calor extraido desde la pared calentada la temepratura de la pared es de 212 F la longitud de la aleta es 1 ft la anchura es 1 ft y la altura 0.1 fdt

b) Cual es el factor de efidiencia para la aleta del apartado a) si se define como la relación entre la velocidad calorífica tyransferida desde la base respecto a la velocidad calorífica si toda la superficie de la aleta estaba a la temperatura de la base

c) Que error se han introducido en el apartado b suponiendo que el metal utilizado en la aleta tiene una conductividad térmica constante a 212 F

d) Que ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y condición frontera se puede utilizar de forma alternativa para describir el balande de energía alternativa y la ley de fourier para el caso de conductividad térmica constante

9. CAMBIADOR DE CALOR DE DOBLE TUBO9.9.3. Planteamiento del problemaUna forma de operar en intercambiadores de calor de doble tubo, se representa un diagrama, es enfriar una corriente estacionaria de fluido en un tubo desde una temperatura de entrada T,a una temperatura de salida. El fluido refrigerante que circula por el tubo o carcasa externa del intercambiador con una velocidad de flujo lb/h se calienta désde una temperatura de entrada T, a una temperatura de salida T?.

Seleccione uno de los fluidos de la Tabla 9.6 para enfriarlo con agua en un intercambiarior de calor de doble tubo. EN NUESTRO ejemplo, la velocidad de flujo de masa de refrigeración es siempre tres veces la velocidad de flujo de masa para el caso de los gases.

de transferencia de calor por convección en el interior del tubo y de la carcasa externa se calculan mediante la correlación siguiente:

O bien:

donde n = 0,4 para calentar y « = 0.3 para enfriar. En el Problema 3,5 se analizan los diferentes términos. Observe que el término up de Re también se puede expresar convenientemente como el flujo de masa o la velocidad másica.

a) Calcule la longitud requerida para alcanzar la temperatura de salida deseada cuando el fluido seleccionado se encuentra en el interior del tubo del intercambiador de calor y el agua de refrigeración circula en el mismo sentido por la carcasa o cubierta exterior.

b) Calcule la longitud cuando el fluido seleccionado esta en el tubo del intercambiador de calor y el agua de refrigeración circula en contracorriente por la caracasa o cuvierta exterior.

c) Calcule la longitud cuando el agua de refrigerracion esta en el tubo del intercambiador de calor y el fluido seleccionado circula en el mismo sentido por la carcasa , calcule la longitud cuando el agua de refrigeración esta en el tubo del intercambiador calor y el fluido y fluido seleccionado circula en contracorriente por la carcasa o cubierta exterior.

Información adicional y datos

El intercambiador de calor puede operar en modo "páralelo" en el tubo y EN la carcasa o cubierta exterior

Flujo en el mismo sentido "paralelo". Un balance de eneirga diferencial en el fluido del tubo con flujo paralelo,. con la prima (') indicando la temperatura del fluido o propiedad del fluido de temperatura más alta, conduce a:

Donde el coeficiente de transferencia de calor total U medido en bth/h ft2°F, está basado en el area interior. dada por πD, donde el diámetro interior del tubo. D, se mide en ftDe forma similar, para la carcasa o tubo exterior bien aislado, un balance de energía diferencial del fluido, conduce a:

Donde el coeficiente de transferencia de calor por convección para la carcasa también se basa en el diametro interior D del tubo interno, medido en ft. Las temperaturas de entrada v salida del fluido de la carcasa son T¡ yTf, respectivamente. Coeficientes de transferencia de calor total. El coeficiente de transferencia de calor basado en el area interior se calcula a partir de:

Donde T représenla el material de la pared medio logarítmico o el area de la pared del tubo.Transferencia d calor dentro de la carcasa: El coeficiente de transferencia de calor para el fluido en el anillo de la carcasa se calienta utilizando un diámetro equivalente que se determina restando al diámetro exterior del anillo el diámetro interior. Posteriormente He utiliza este diámetro equivalente para calcular los números de Reynulds y Nusselt en las correlaciones , de transferencia de calor.Flujo en cimtracorriente. El balance de energia diferencial en el fluido del tubo que circula en contracorrient es igual a la ecuación siguiente:

9.10. PÉRDIDAS DE CALOR DEBIDAS A LA CONVECCIÓN EN UN TANQUE NO AISLADO9.10.3. Planteamiento del problemaEl agua fría sale de un cambiador de calor a una velocidad de Q = 0.5 m3/h y una temperatura T = 80 C. El agua se recoge en un tanque cilindrico de diámetro D = 1m y altura de H = 2 m. Se puede suponer que el contenido del tanque esta bien mezclado y que toda la pérdida de calor es por convección natural hacia el aire circundante. El agua es retirada del tanque ala misma velocidad que entra. Se puede suponer que la superficie externa del tanque está a la temperatura del tanque y que la parte inferior del tanque usta muy bien aislada.Las propiedades del aire a la presión atmosférica, para varias temperaturas, se dan en la tabla del apéndice E

a) Calcule la perdida de energía del tanque debido a la transferncia de calor en vatios y la temperatura del agua en el interior del tanque para varias temperaturas del aire del entorno 10 15 y 40 °C en aire estacionario

b) Repita el apartado a en condiciones de viento con una velocidad constante de 30mph.

informacion adicional y datosConvección natural. Para la convección natural desde la superficie superior, en ausencia de viento se pueden usar las siguientes correlaciones :

Donde:

para la convección natural en un amplio rango de Ra se puede utilizar las correlaciones de Churchil y Chu para el lado vertical del tanque cilindrico.:

9.11- RADIACIÓN EN ESTADO NO ESTACIONARIO EN UNA PLACA FINA 9.11.3. Planteamiento del problemaDurante un periodo de tiempo se trata una capa fina de metal can calor, en un horno de alta temperatura y al vacio. Las dimensiones de la placa metalica son 0,5 m por 0.5m .con un grosor de 0,0015 m la temperatura inicial de la placa es 20 "C y la temperatura del horno es de 1.000 "C. sae suspende la placa en el horno para que la radiación de las paredes del horno proporcione un calentamiento rápido a las dos caras de la placa. Se puede considerar que el interior del horno y las dos superficies de la placa irradian como un cuerpo negro

a) Represente gráficamente la temperatura de la placa en función del tiempo en estado estacionario

b) Represente gráficamente el flujo calorífico a la placa en función del tiempo en estado estacionarioc) Que tiempo de requiere alcanzar el estado estacionario definido como el 99% del cambio posible en la

temperatura de la placa.

9.12. CONDUCCIÓN EN ESTADO NO ESTACIONARIO EN UNA LAMINA SEMIINFINITA9.12.3. Planleamlenlo del problemala transferencia dee calor en estado no estacionario en una dimensión, cuando las propiedades físicas son constantes, sigue; la ecuación diferencial parcial:

Una aplicación interesante de este tipo de transferencia de calor es la variación de la temperatura del suelo a diferentes profundidades, realizada porThinnaüfi. Considérense las variaciones anuales de la temperatura superficial del suelo y cómo afectarán a la temperatura de éste, a diferentes profundidades. debido a la conducción del calor. La variación de la temperatura de la superficie del suelo en "f durante un año típico viene dada por la siguiente ecuación:

Tabla 9.8 parametros de la temperatura del suelo para ciudades seleccionadas en EEUU

ba) Utilice el método de líneas para resolver la ecuación 9.76 para las temperaturas a diferentes niveles

por debajo de la superficie del suelo aplicando la temperatura superficial como condición frontera represente gráficamente la temperatura para los valores correspondientes a 8, 16, 24 y 72 ft durante un periodo de 4 años se sugiere que seria adecuado realizar una simulación inicial con 11 nodos y 10 intervalos espaciados cada 8 ft

b) Verifique los intervalos utilizados en el apratado a) son adecuados cuando se duplica el numero de intervalos y se reduce a la mitad de espaciado entre los intervalos compare los resultado con el apartado a)

c) Porque hay un cambio de fase la temperatura entre la superficie del suelo y los niveles inferiores represente en una grafica la claridad de este efecto e indique porque en este problema es desable un cierto numero de años para la solución o valor del tiempo

9.13. ENFRIAMIENTO DE UNA ESFERA SÓLIDA EN UN BAÑO DE AGUA FINITOg.13.3- Planteamiento del problemaUna compañía de fabricación de metal necesita el enfriamiento rápido de unas esferas sólidas de diametro uniforme, hechas de diferentes metales , Este enfriamiento se ha de realizar en un baño de agua, bien agitada, en el que se introducen las esferas después de su fabricación a temperatura elevadaen la parte superior izquierda de la figura 9.17 se muestra un esquema de esta operación :

a) Considere un análisis agrupado en el que la conducción dentro de la esfera es tan rápida que esta se mantiene a temperatura uniforme mientras se enfria.El diámetro de la esfera es 0.1m con una conductividad constante dada por 10w/m. Una densidad de 8200kg/m3 y una capacidad calorífica de 0.41kj/kg. El coeficiente de transferencia de calor entre la esfdera y el baño es 220w/m 2. La temeperatura inicial es de 300°C y el baño de aguya esta a 20°C suponga que el baño se mantiene a temperatura constante y calcule y represente gráficamente de forma separada la temperatura y velocidad calorífica.

b) Repita el apartado a) pero teniendo en cuenta la conducción de calor dentro de la esfera represente gráficamente las temperaturas para un radio de 0m 0.05m y0.1m

c) Repita el apartado b)pero considereel calentamiento dinamico del baño de agua el volumen es de 0.01m3y las propiedades del agua son constantes con una densidad de 9654 kg/m3 y una capacidad calorífica de 4.199 kj/kg represente gráficamente las temperaturas para un radio de 0m 0.05 y 0.1m

9.14. CONDUCCIÓN BIOIMENSIOHAL EN ESTADO NO ESTACIONARIO9.14.3. Planteamiento de! problemaLa transferencia de calor en estado no estaciónarioen las direcciones x o y se describe mediante la ecuación diferencial parcial:donde T es la temperatura en K,t es el tiempo en s y es la dífusividad térmica, expresada en m2/s dada por k/pcp. En este tratamiento la conductividad térmica k, expresada, en W/m, la densidad p en kg/m y la capacidad calorífica cf en J/kg se consideran confiantes.Una cámara cuadrada hueca tiene las paredes inferiores a una temperatura de 700 K, mientras que las paredes externas se mantienen 300 K. Las dimensiones interiores de la cámara son 1 m x 1 m y las dimensiones exteriores de 2 m X 2 m, tal como se muestra en la figura 9.19 en esta figura también se representa un espacio cuadriculado para un tratamiento medinte diferencias finitas:

a) utilice el método numérico de líneas para resolver la ecuación 9.99 para determinar las temperaturas en los puntos nodales de la cámara en función del tiempo prepare una grafica de temperatura T 12 T2,2,

T3,2 Y T4.2 frente al tiempola difusividad térmica de la pared es α=5x10 -5 m2/s la conductividad es 1.2 w/m y la temepratura inicial es 300°K

b) calcule y represente gráficamente el flujo calorífico por metro d la longitud de la cámara c) explique razonadamente como se podría incrementar la precisión de los cálculos en a y b.

CAPITULO 10: TRANSFERENCIA DE MASA

PROBLEMA 10.1

La evaporación del metanol una corriente de aire seco se estudia en un tubo de Stefan con un camino de difusion de 0.238 m las medidas se hacen a una temperatura de 328.5 K donde la presión de vapor del metanol es de 68.4 kPa. La presión total es 99.4 kPa. El coeficiente de difusión molecular binaria del metanol en aire, en estas condiciones es DAB =1.991X 10-5 m2/s valor estimado por Taylor y Krishna.

a) Calcule el flujo molar constante del metano dentro del tubo de Stefan en estado estacionario utilizando la técnica numérica.

b) Represente gráficamente la fracción molar del metano desde la superficie liquida del metanol a la corriente de aire que fluye.

c) Calcule los resultados del apartado a con el resultado calculado a partir de la ecuación (10-7).d) Verifique varios puntos de la resolución numérica para el perfil de fracción molar con cálculos a partir

del perfil analítico de la ecuación (10-6)e) Repita los aprtados a y d para una temperatura de 298.15 K donde la presión delvapor del metanol es

16,0 Kpa f) Suponga que la temperatura dentro del tubo de Stefan varia linealmente desde 328.5 la superficie del

metanol hasta 295 K en la corriente de aire en la superficie del tubo complete los apartados a y d para esta condición

10.2. TRANSFERENCIA DE MASA EN UN LECHO EMPAQUETADO CON UN COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE MASA CONOCIDO

Se pasa lentamente agua pura a 26.1 C a tarvez de un lecho de esferas de acido benzoico a la velocidad de0.0701 ft3h. la esferas tiene un diámetro de 0.251 pulg y elarea superficial total de 0.29 ft2. El coeficiente de transferencia de masa de una contradifusion equimolar varia con la composición viene dado por :KL= K1+K2XA

DONE K1 es el coeficiente de transferencia de masa para contra – difusión equimolar en m/s K 1= 0.0551 ft/h , = K2=185.5 ft /h y XA es la fracción molar del acido benzoico en la fase liquida . La solubilidad del acido benzoico enagua es 0.00184 lb –mol/ft3 a 26.1 C LA CONCENTRACION TOTAL DE LA FASE del agua liquida es c=3.461lb – mol /ft3 de solución y la velocidad del flujo volumétrico es V =0.0701ft3/h

a) Calcule y represente gráficamente la concentración del acido benzoico dentro del lecho en función del area superficial del lecho de 0.129 ft2

b) Calcule el area superficial necesaria para conseguir una concentración de la fase liquida del acido benzoico a la salida del lecho si su concentración es 50% de la solubilidad.

10.3 SUBLIMACION LENTA DE UNA ESFERA SOLIDA Considere la sublimación del diclorobenceno solido, designado por A que se suspende por en aire estacionario, designado por B, a 25 ° C y presión atmosférica, con un radio de 3x 10 -3m. La presión de vapor A es de 1mm de Hg y la difusividad en el aire es de 7.39x10-6m2/s. La densidad de A es 1.458 Kg/m3y la masa molecular es 147.

a) Suponga la velocidad inicial de la sublimación (flujo) de la superficie de la partícula utilizando una resolución analítica aproximada este problema de difusión véase la siguiente discusión para más información.

b) Calcule la velocidad de sublimación desde la superficie de la esfera de diclorobenceno.

c) Demuestre que la expresión de la velocidad de sublimación desde la partícula tal como se predijo en el apartado a) es la misma que se predijo para el coeficiente de transferencia de masa externa para un gas estacionario.

d) Calcule el tiempo necesario para la sublimación completa para una partícula simple de diclorobenceno si la partícula está incluida en un volumen de 0.05m3.

10.4 LIBERACION CONTROLADA DE UN FARMACO MEDIANTE LA DISOLUCION DEL RECUBRIMIENTO DE LAS PILDORASLa píldora que suministra u fármaco determinado tiene un contenido interno esférico solido de fármaco puro, D, con un revestimiento externo esférico, A, que hace que la píldora tenga un sabor agradable y ayude a la liberación del fármaco. El revestimiento externo y el fármaco se disuelven en el estomago a velocidades diferentes, debido a que tienen distinta solubilidad. Supóngase que CAS= concentración en el revestimiento dl estomago, expresado en mg/cm3, CDS= concentracion del farmaco en el estomago, expresado en mg/cm3 y, CDB=concentración del fármaco en el cuerpo expresado en mg/kg.Se tienen 3 formulaciones diferentes de píldoras:Píldora 1: Diámetro de A=5 mm, Diámetro de D=3mmPíldora 2: Diámetro de A=4 mm, Diámetro de D=3mmPíldora 3: Diámetro de A=3.5 mm, Diámetro de D=3mmInformación adicional y datosCantidad de fármaco en la parte interior de cada píldora =20mgDensidad de la capa interna y externa =1414.7 mg/cm3

Solubilidad en las condiciones del estomago de la capa exterior de la píldora =SA=1.0 mg/cm3

Solubilidad en las condiciones del estomago de la capa interior de la píldora =SA=0.4 mg/cm3

volumen del fluido en el estomago =V=1.2 litros Tiempo de residencia en el estomago =Ϯ=V/VO=4 horas donde VO es la velocidad del flujo volumétrico Peso típico del cuerpo de una persona =w=75 kgNumero de Sherwood =NSh=KL=Dp/DAB=2 difusividad efectivas de Ay Den el estomago DA=DD=0.6cm2/minUna persona toma tres píldoras al mismno tiempo supóngase que mezclan bien en el estomago y que las píldoras permanecen allí mientras se disuelven

a) Represente CAS y CDS en función del tiempo hasta 12 horas después de tomar las píldoras.

b) Si el fármaco se absorbe en el cuerpo (desde la solución estomacal hasta la corriente sanguínea) con una velocidad de transferencia de masa efectiva de 10x CDS, expresada en mg/min represente gráficamente CAS y CDS en estas condiciones.

c) Si el cuerpo metaboliza el fármaco con una velocidad de reacción efectiva de primer orden de 10 x C DB, expresada en mg/kg represente gráficamente CDB en el cuerpo en las condiciones del apartado b)

d) En las condiciones del apartado c) ¿Cuál es el tiempo estimado para que CDBsea mayor que 2x 10-3

mg/kg que es el nivel de concentración minimo del fármacoe) Sugiera un recubrimiento mas efectivo para las tres píldoras con el fármaco colocado solo en el centro

para incrementar el tiempo del nivel de concentración efectiva de 2x 10 -3 mg/kg en las mismas condiciones.

10.5 DIFUSION CON REACCION SIMULTÁNEA EN LAS PARTICULAS DE CATALIZADOR EN CONDICIONES ISOTERMICASLa resolución matemática de la difusión simultánea y la reacción dentro de partículas de catalizador porosas a temperatura constante generalmente se formula con un problema de factor de efectividad isotérmica las ecuaciones diferenciales que describen la difusión con reacción se resuelven con el resultado expresado como :

N=velocidad dereaccionmediadentrode la particula

velocidad dereaccion de las concentraciones de la superficiede la particulaDonde n es el factor de efectividad interna isotérmica.La rsolucion general incluye la derivada de las ecuaciones diferenciales ordinarias que describen el balance de la materia dentro de la geometría de las partículas. Este tratamiento también requiere la utilización de la ley de fick para la difusión que generalmente se supone que solo implica a la difusión del reactivo con una difusividad efectiva para la particula del catalizador.La resolución numérica para una particula esférica implica el balanace de materia en un volumen diferencial dentro de la esfera del catalizador:

ddrN A R

2=−KaC A r2

Donde N A es el flujo del reactivo A, r es el radio de la particula esférica , k es la constante de velocidad de primer orden basada en el volumen de la particula ,α es el area superficial por unidad de volumen de la particula y C A es la concentración de reactivo. La condición iniciales que no hay flujo en el centro de la particula por lo tanto N A y la variable combinada N A r son 0 a r= 0

La ley de fick para el reactivo A se puede escribir :dC A

dr=

N A

−De

Donde D es la difusividad efectiva para la difusión del reactivo A en la particula porosa. La condición limite para esta ecuación es que la concentración de A en la superficie de la particula viene dada por C A=C As cuando r=R

Como se utiliza la variable combinada N A R2 se ah de incluir una ecuación algebraica en la formulación de este

problema para proporcionar N A

N A=N AR

2

R2

El factor de efectividad se puede calcular a partir de :

ƞ=∫

0

R

KaC A4 rdr

KaC A( 43R3.)

= 3.CA R

3∫0

R

CA r2dr

Resolución analítica la resolución analítica para la difusión con una reacción de primer orden viene dada por

ƞ=3

ф2 {ф (coth (ф ) )−1}Donde coth es la cotangente hiperbolica y ф es el modulo de thiele, definido por:

ф=R√ KaCAsn−1

De

Donde n representa el orden de la reacción: considere la difusión simultanea y la reacción dentro de una partícula de catalizador poroso a temperatura constante.

a) calcule numéricamente el perfil de concentración para C A y simultáneamente determine el factor de efectividad para una reacción reversible de primer orden en una particula esférica R=0.5cm, D=0.1cm C As=0.2 g-mol/cm3 y ka =6.4 s

b) compare el resultado del apartado a) para el factor de efectividad dado por las ecuacionesc) repita el apartado a) para una particula de catalizador que esta en un cilindro largo con radio R=0.5cm

, D=0.1cm C As=0.2 g-mol/cm3 y ka =6.4 s

10.6. CALCULO DEL FACTOR DE EFCTIVIDAD GENRAL PARA REACCIONES DE PRIMER ORDEN Los casos de difusión con reacciones de primer orden en partículas de catalizadores isotérmicos de varias geometrías han sido mostrados por Aris para dar lugar a factores de efectividad similares cuando se utiliza un modulo de thiele modificado el moldulo thiele modificado se define como:

Ф=(VS )√ kaDe

Donde V/S representa la relación entre el volumen y la superficie de una particula Geometría de la particula V/SPlaca de grosor L con reacción en las 2 superficies L/2Cilindro de radio r R/2Esfera de radio r R/2

Considere la difusión simultanea y la reacción de primer orden dentro de una particula de catalizador poroso a temperatura constante

a) determine el factor de efectividad para el caso básico de una particula esférica de R=0.3 cm D =0.85cm2/s CAS=0.4g-mol/cm3 y ka =8 s

b) determine el factor de efectividad pára una placa cuyo grosor tiene el mismo modulo de thiele modificado que la esfera del apartado a) esto equivale a tener la misma relación de volumen respecto a al area superficial que en el caso básico de la esfera.

c) Determine el factor de efectividad para un cilindro cuyo radio da el mismo modulo de thiele modificado que la esfera del aparatado a) ) esto equivale a tener la misma relación de volumen respecto a al area superficial que en el caso básico de la esfera.

d) Repita los cálculos para el factor de efectividad de la esfera placa y cilindro cuando se incrementan las dimensiones para obtener una relación doble entre el volumen y la superficie (V/S) de la que tenia la particula esférica del catalizador observe que al duplicar esta relación el modulo de thiele modificado también se duplica .

e) Agrupe los diferentes cálculos de los factores de efectividad realizados en los apartados para dos valores de thiele modificado

10.7 DIFUSION SIMULTANEA Y REACCION REVERSIBLE EN UNA CAPA CATALITICA

LA REACCION catalítica en fase gasesosa entre los componentes A y B ES REVERSIBLE EN UNA CAPA de catalizador en un determinado punto de un reactor monolítico

2A Bla expresion de de velocidad de reacción catalítica para el rectivo A viene dada por:

rA=-k(C A2 −

CB

KC)

donde la velocidad viene expresada en g-mol/cm3.s la constante de velocidad calculada k, tiene una valor de 8x104 cm3/g-mol y la contante de equilibrio tiene un valor de KC=¿6x105 cm3/g-mol, la capa de catalizador tiene un espesor L=0.2cm y la difusividad efectiva de A en B para esta capa es D=0.01cm 2/s, la mezxla de reactivod solo contiene los gases Ay B por lo que solo se necesita considerar la difusión de gases binarios, la concentración total de Ay B es CT=4X10-5 g-mol/cm3

El calculo del factor de efectividad requiere que se considere la difusión simultanea de los dos componentes junto con el balance de materia de la expresión de velocidad de la reacción reversible.BALANCE DE MATERIA DE A Y B EN UNA PLACA POROSAEl balance de materi del componente A en la dirección z desde la parte superior de la placa porosa se representa mediante una ecuación diferencial del flujo NA:

d N Adz

=−k (C A2 −

CB

KC)

Con la condición frontera que no hay flujo de transferencia de masa en la parte inferior de la placa porosa.Para el componente b se podría derivar una ecuación diferencial similar peo es ma fácil utilizar una ecuación algebraica entre los flujos molares dse A y B en base a la estequeometria de la reacción NB=1/2 NA

LEY DE FICK PARA LA DIFUSION BINARIA La difusión de A en este sistema binario se describe mediante

NA=-De dC A

dz+X A (N A+N B )

a) Utilice una técnica de diferencia finita implícita para calcular el facto de efectividad para la reacción dada y represente C A yNA en una tabla de 10 intervalos igualmente espaciados dentro de la capa del catalizador las concentraciones de reactivos en la superficie de la capa tiene los valores conocidos de GAS=3x105 g-mol/cm3 y Gbs=1x10-5 g-mol/cm3

b) Repita el apartado a) utilizando la técnica del disparo para resoilver el problema e introduzca los valores calculados en la misma tabla

c) Compare las dos soluciones de los apartados a) y b) comente que técnica de resolución prefiere.

d) Repita el apartado a) para GAS=1x105 g-mol/cm3 y Gbs=3x10-5 g-mol/cm3 utilizando la técnica de resolución que prefiera.

10.8 DIFUSION SIMULTANEA MULTICOMPONENTE EN GASESLos gases Ay B se difunden a travez de un gas estacionario a una temperatura de 55°C y a una presión de 0.2 atmosferas este proceso trascurre con difusión molecular entre dos puntos donde se conocen las composiciones tal como se recogen en la tabla

Componente Punto 1 concentracion kg-mol/m3

Punto 2 concentracion kg-mol/m3

Difusividades a 0.2 atm m2/s

A 2.229x10-4 0 1.075x10-4

B 0 2.701x10-3 1.245x10-4

C 7.208x10-4 4.730x10-3 1.47x10-4

a) Utilice las ecuaciones de Stefan maswel para calcular los flujos molares de los gases Ay B desde el punto 1 hasta el punto 2 se puede determinar una resolución aproximada considerando primero solo la difusión binaria de B a travez del componente C

b) Represente gráficamente las fracciones polares de los gases en función de la distancia desde el punto 1 hasta el punto 2

10.9 DIFUSION MULTICOMPONENTE DE ACETONA Y METANOL EN EL AIRE Carty y Schrodt han realizado experimentos en los que esta implicado el transporte desde la superficie de una mezcla de acetona y metanol a travez de un tubo de difusión simple en una corriente de aire , las medidas se llevaron a cabo en un tubo de Stefan a 328.5 K donde la presión era de 99.4 Kpa. Lla composición de la fase gaseosa en la superficie del liquido resulto ser x1=0.319 y x2=0.528 la longitud del camino de difusión era 0.238m las difusividades moleculñares binarias son D12=8.48X10-6 m2/s, D13=13.72 X10-6 m2/s D23=19.91 X10-6

m2/s.a) Calcule los flujos molares de la acetona y de el metanol desde la superficie liquida hasta la corriente de

aire b) Represente gráficamente las fracciones molares de la acetona metanol y aire desde la superficie

liquida hasta la corriente de aire c) Calcule los resultados calculados con los datos obtenidos

10.10 DIFUSION MULTICOMPONENTE EN LA CAPA POROSA QUE RECUBRE UN CATALIZADOR En un determinado reactor para la oxidación catalítica del monóxido de carbono a dióxido de carbono en una mezcla de N2 Y O2 EL CATALIZADOR ACTIVO SE CUBRE CON UNA placa porosa a travez de la cual se ah difundir los reactivos y los productos la reacción de oxidación a 1 atm y 200°C es irreversible:CO+ 1/2 O2 C O2

Considerese la entrada en ele raector donde la composición de la corriente global de gas en moles es del 2% en CO, 3% en O2, y 95 % en N2 el oxigeno y el monóxido de carbono pueden difundirse a travez de la capa porosa de grosor 0.001 m hacia la superficie del catalizador mientras que el producto C O2 se ha de difundir hacia afuera a travez de la misma capa hacia la corriente global de gas la reacción es tan rápida que la concentración del reactivo limitante CO es esencialmente cero en la superficie del catalizador, las difusividades moleculares efctivas que tienen en cuenta la porosidad Y LA TOTUOSIDAD DE LA PLACA porosa se recoge en la tabla

Difusividades moleculares efectivas

N2 O2 CO C O2

N2 7.20 x10-6 6.93 x10-6 6.20 x10-6

O2 7.20x10-6 7.61 x10-6 6.67 x10-6

CO 6.93 x10-6 7.61 x10-6 6.22 x10-6

C O2 6.20 x10-6 6.67 x10-6 6.22 x10-6

a) Calcule y represente gráficamente las concentraciones de O2, CO, C O2 en función de la distancia de la placa porosa a la superficie dl catalizador

b) Cuáles son los valores de los flujos de los gases del apartado a) en la superficie del catalizador considerándose el sentido z.

c) Resuelva el apartado b)considerando solo la difusión binaria del CO d) comente la solución aproximada del apartado C)respecto a la solución más exacta de los apartados a)

y b)

10.11 REACCION DE SEGUNDO ORDEN CON DIFUSION EN UNA PELICULA DE LÍQUIDOLa absorción de gas en una película de liquido se puede mejorar mediante una reacción química, en la figura se muestra un ejemplo en el que el gas A se disuelve en la superficie del liquido turbulento D el componente B presente en el liquido global experimenta una reacción en fase liquida con el componente A disuelto para obtener el producto liquido C. A+B =CDonde la velocidad de reacción es elemental y la expresión de la velocidad de reacción viene dada por r C=k CACB, en este sistema tanto el componente A como el B son soluciones muy diluidads en el liquido D. El único transporte a travez de la película del liquido es por difusión lo cual esta influenciado por la reacción química,una superficie de la película del liquido se expone al liquido global que esta bien mezclado y tiene una concentración de la disolución de A despreciable, la operación es tal que siempre hay exceso de B dentro de la película de liquido y del liquido global en relación con la cantidad que se necesita para la reacción con A.

Los balances de materia en estado estacionario en un volumen diferencial dentro de la película que incluye aproximaciones de difusión binaria para A y B en D da lugar a:

d2C A

d x2 = kDAD

C ACB

d2CB

d x2 = kDBD

CACB

Donde:C A :Concentracion de la disolución de A expresada en kg-mol/m3

CB :Concentracion de B expresada en kg-mol/m3

K: concstante de velocidad de reacción =1.6x10-3 m3/ kg-molDAD:difusividad de la fase liquida de A en D =2x10-10 m2/sDBD: difusividad de la fase liquida de B en D =4x10-10 m2/sL: grosor total de la película =2x10-4mLa concentración de la fase gaseosa de A da lugar a una concentración en fase liquida de C As=10 kg-mol/m3

para x=0. Para x=0 no hay flujo de B lo que significa que dCB/dx=0 en la superficie de la película, CBtiene el valor conocido de 10 kg-mol/m3 y se supone que C Aes cero en la interfase entre el liquido global y la película del liquido donde L=2x10-4m

a) calcule y represente gráficamente las concentraciones de A y B dentro de la película del liquido en función de z

b) calcule y represente gráficamente las concentraciones de A y B dentro de la película del liquido en función de x

c) cual es el flujo del producto C a travez de la película y en el liquido global si C tiene una presión de vapor muy baja y no esta presente en la fase gaseosa

d) cual debería ser el flujo máximo de A a travez de la película si la velocidad de reacción constante se duplica

10.12transferencia de masa y calor simultaneas en las partículas de un catalizador considere una reacción de primer orden del reactivo A en una particula de catalizador esférico para la que T=400°K el De =10-2 m2/s y R1=0.01 m ,⍙HR== -8x107kj/kg mol

a) calcular y representar gráficamente la concentración y la temperatura en función del radio para el caso en el que ɛ=30, Φ=1 y β=0.2

b) calcule el factor de efectividad para el apartado a) y compare con el de la figura 10.10

c) seleccione otro caso para ɛ=30 y diferentes valores de Φ y β donde se espera que n sea menor que 1 verifique el punto de la figura 10.10

d) la figura 10.10 sugiere estados estacionarios multiples para valores positivos de β cuando Φ<1 seleccione valore fijos de Φ y β para ɛ=30

e) explique los resultados del apartado d)

10.13 TRANSFERENCIA DE MASA EN ESTADO NO ESTACIONARIO EN UNA LAMINA Una lamina de material con un grosor de 0.004m tiene una superficie expuesta de forma simultanea a una solución que contiene un componente A con CAO=6X10-3 kg-mol/m3 mientras que la otra superficie es soportada por un solido aislado que permite el transporte de masa. Hay un perfil de concentración lineal inicial del componente A dentro de la lamina desde CA=1X10-3 kg-mol/m3 en el lado de la solución hasta CA=2X10-3 kg-mol/m3 en el lado del solido , la difusividad DAB=1X10-9 m2/s el coeficiente de distribucion entre la concentracion en la solucion adyacente la lamina CALI y la concentracion en la lamina solida en la superficie CAL

esta definido por

K=C ALIC AL

Donde k=1.5 el coeficiente de transferencia de masa convectiva en la superficie de la lamina se puede considerar infinito.La difusión en estado no estacionario del componente A dntro de la lamina se describe mediante la ecuación diferencial parcial:

∂C A∂T

=DAB

∂2C A

∂ X2

la condicion inicial del perfil de concetracion para C A se sabe que es lineal para t=0 como la ecuación diferencial es de segundo orden en C A se necesitan 2 condiciones limites.

a) Calcule las concentraciones dentro de la lamina al cabo de 2500 s utilice el método numérico de líneas con un intervalo nodos de 0.0005 m

b) Compare los resultados obtenidos con los descritos en el libro

c) Represente gráficamente las concentraciones

10.14 DIFUSION EN ESTADO NO ESTACIONARIO Y REACCION EN UNA LAMINA SEMIINFINITA El dióxido de carbono gas a una atmosfera de presión se absorbe en una solución alcalina que contiene un catalizador. El CO2 disuelto designado como reactivo A experimenta una difusión y una reacción irreversible de primer orden dentro de la solución que se describe mediante la siguiente ecuación parcial:

∂C A∂T

=DAB

∂2C A

∂ X2 −k C A

Donde C A es la concentración del CO2 disuelto expresada en kg-mol/m3, t es el tiempo en s, DAB es la difusividad del CO2 en la solución alcalina B expresada en m2/s, x es la distancia desde la parte superior de la

solución expresada en m y k es la constante de velocidad de reacción de primer orden en s -1 la presión parcial del CO2 es pao=1.0132x105Pa y la solubilidad del CO2 es S=2.961x10-7 kg-mol/Pa C A=0 al tiempo inicial t=0y para todos los valores de x Y las condiciones de frontera son :C A=C As para t>0 y x=0C A=¿0 para t>0 y x=∞

a) calcular la concentración de A después de 0.001s utilizando el método numérico con líneas de 11 nodos y un intervalo entre nodos de 1x10-6considere la concentración C A en el nodo mas profundo igual a cero.

b) Calcule la cantidad total de A absorbida para un tiempo d 0.01s y compare los resultados con el valor de 1.458x10-7 kg-mol/m3

c) represente gráficamente la concentración de A frente al tiempo en estado estacionario en los nodos 2.4.5.y tabule las concentraciones para t=0.001s

d) repita los apartados a) y b) con 21 nodos y un intervalo de nodo de 5.0x10-7 m e) repita los apartados a) y b) para el caso en el que se duplique la presión total pero la presión parcial de

A permanece constante, el componente adicional en la fase gasesoa no es soluble en la solución el coeficiente de transferencia de masa externo k=

10.15DIFUSION Y REACCIONEN UNA PEICULA DE LIQUIDO LAMINAR DESCENDENTE a) calcule la concentración de a en disolución en cada punto nodal dentro del liquido cuando no hay

reacción en z=1 utilice el método de líneas.b) Amplie el apartado a) calculando el flujo medio de a absorbido para z=1

c) Represente gráficamente la concentración de a frente a z en los nodos 3, 5, 7 y 9d) Compruebe los resultados del apartado a) calculando la velocidad molar con la que se absorbe a en la

superficie e la película para z=1e) Repita los aparatados a) y c) para el caso de una solución alcalina debilcon una constante de velocidad

=1s f) Cual es el % de aumento de absorción de a desde la fase gaseosa debido a la reacción del apartado e)

respecto al a) en el que no hay reaccion

CAPITULO 11: INGENIERÍA DE LAS REACCIONES QUIMICAS11.1 REACTOR DE FLUJO IDEAL CON CAMBIO DE VOLUMEN DURANTE LA REACCIÓN

11.1.1. Conceptos demostrados

Calculo de conversión en una fase gaseosa, isotérmica, en un reactor de flujo ideal a presión constante para una reacción con cambio en el número de moles.

11.1.2. Métodos numéricos utilizados

Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas.


La descomposición irreversible del peróxido de di-terc-butilo se lleva a cabo en un reactor de flujo isotérmico en el que no hay descenso de presión. Simbólicamente, esta reacción se puede escribir A —> B + 2C. La alimentación está formada por peróxido de di-terc-butilo y el nitrógeno como gas inerte. El volumen del reactor es de 200 dm3 y la velocidad de flujo volumétrico que entra se mantiene constante a 10 dm3/min. La constante de la velocidad de reacción k para esta reacción de primer orden es 0,08 min-1', basada en el reactivo A.

a) Determine y represente gráficamente la conversión en función del volumen del reactor para una corriente de alimentación 1gr-mol/dm3. De forma similar haga una representación grafica de la conversión cuando la alimentación esta formada por el 5% de A y el resto de componente inerte.

b) Repita el apartado a) para la reacción de 3A B con la misma constante de velocidad basada en el reactivo A el resto de las variables permanecen constantes .

c) Recoja los resultados de los apartados a y b y comente el efecto de del nivel de concentración y la estequiometria de esta reacción de primer orden.

Código.d(X)/d(V) = k * (1 - X) / (v0 * (1 + epsilon * X))k = .08v0 = 10epsilon = 2V(0) = 0X(0) = 0V(f) = 200

Aplicación.

Calculated values of DEQ variables Variable Initial value Minimal value Maximal value Final value

1 V 0 0 200. 200.

2 X 0 0 0.609151 0.609151

3 k 0.08 0.08 0.08 0.08

4 v0 10. 10. 10. 10.

5 epsilon 2. 2. 2. 2.

Differential equations 1 d(X)/d(V) = k * (1 - X) / (v0 * (1 + epsilon * X))

Explicit equations 1 k = .08 2 v0 = 10 3 epsilon = 2

General Total number of equations 4 Number of differential equations 1 Number of explicit equations 3 Elapsed time 0.000 sec Solution method RKF_45 Step size guess. h 0.000001 Truncation error tolerance. eps 0.000001

Grafica.

b)

Código.

d(X)/d(V) = k * (1 - X) / (v0 * (1 + epsilon * X))k = .08v0 = 10epsilon = 0.1V(0) = 0X(0) = 0V(f) = 200

Aplicación.Calculated values of DEQ variables Variable Initial value Minimal value Maximal value Final value

1 V 0 0 200. 200.

2 X 0 0 0.7825278 0.7825278

3 k 0.08 0.08 0.08 0.08

4 v0 10. 10. 10. 10.

5 epsilon 0.1 0.1 0.1 0.1

Differential equations 1 d(X)/d(V) = k * (1 - X) / (v0 * (1 + epsilon * X))

Explicit equations 1 k = .08 2 v0 = 10 3 epsilon = 0.1


Grafica

c)

Código.d(X1)/d(V) = k * (1 - X1) / (v0 * (1 + epsilon1 * X1))d(X2)/d(V) = k * (1 - X2) / (v0 * (1 + epsilon2 * X2))k = .08v0 = 10epsilon2 = 0.1epsilon1 = 2V(0) = 0X1(0) = 0X2(0) = 0

V(f) = 200

Aplicación.


1 V 0 0 200. 200.

2 X1 0 0 0.609151 0.609151

3 X2 0 0 0.7825278 0.7825278

4 k 0.08 0.08 0.08 0.08

5 v0 10. 10. 10. 10.

6 epsilon2 0.1 0.1 0.1 0.1

7 epsilon1 2. 2. 2. 2.

Differential equations 1 d(X1)/d(V) = k * (1 - X1) / (v0 * (1 + epsilon1 * X1)) 2 d(X2)/d(V) = k * (1 - X2) / (v0 * (1 + epsilon2 * X2))

Explicit equations 1 k = .08 2 v0 = 10 3 epsilon2 = 0.1 4 epsilon1 = 2


Grafica.

11.2 VARIACION DE CONVERSION CON EL ORDEN DE REACCION EN UN REACTOR DE FLUJO IDEAL:11.2.1 conceptos demostradosEfecto del orden de reacción en la conversión a volumen constante , isotérmica , en un reactor de flujo ideal11.2.2 metodos numéricos utilizadosResolución de ecuaciones ordinarias11.2.3 Planteamiento del problema

Considere el efecto del orden de reacción en la conversión en un reactor de flujo ideal es de 1,5 dm3. Se produce la reacción irreversible en fase líquida, A —» B ela concentración de la alimentación es CAO = 1,0 g-mol/dm3 y la velocidad de flujo volumétrico Las constantes de velocidad de reacción para los diferentes órdenes de reacción se fijan a 1.1 para esta comparación con unidades que son coherentes con la concentración y la mencionados anteriormente.

a) represente gráficamente la conversión en un reactor de flujo ideal en función del volumen del reactor para una reacción de orden cero,uno , dos y tres en un reactor cuyo volumen es de 1,5 dm3

b) repita el apartado a para concentraciones de alimentación de 0.5 y 2.0 gr-mol/dm3

Código.

d(x0)/d(V) = If (x0 <= 1.0) Then (k / (v0 * CA00)) Else (0.)d(x1)/d(V) = k * CA1 / (v0 * CA10)d(x2)/d(V) = k * CA2 ^ 2 / (v0 * CA20)d(x3)/d(V) = k * CA3 ^ 3 / (v0 * CA30)k = 1.1v0 = .9CA00 = 1.CA10 = 1.CA20 = 1.CA30 = 1.CA0 = CA00 * (1 - x0)CA1 = CA10 * (1 - x1)CA2 = CA20 * (1 - x2)CA3 = CA30 * (1 - x3)V(0) = 0x0(0) = 0x1(0) = 0

x2(0) = 0x3(0) = 0

V(f) = 1.5

Aplicación.


1 V 0 0 1.5 1.5

2 x0 0 0 1.00001 1.00001

3 x1 0 0 0.8401203 0.8401203

4 x2 0 0 0.6470588 0.6470588

5 x3 0 0 0.53709 0.53709

6 k 1.1 1.1 1.1 1.1

7 v0 0.9 0.9 0.9 0.9

8 CA00 1. 1. 1. 1.

9 CA10 1. 1. 1. 1.

10 CA20 1. 1. 1. 1.

11 CA30 1. 1. 1. 1.

12 CA0 1. -9.862E-06 1. -9.862E-06

13 CA1 1. 0.1598797 1. 0.1598797

14 CA2 1. 0.3529412 1. 0.3529412

15 CA3 1. 0.46291 1. 0.46291

Differential equations 1 d(x0)/d(V) = If (x0 <= 1.0) Then (k / (v0 * CA00)) Else (0.) 2 d(x1)/d(V) = k * CA1 / (v0 * CA10) 3 d(x2)/d(V) = k * CA2 ^ 2 / (v0 * CA20) 4 d(x3)/d(V) = k * CA3 ^ 3 / (v0 * CA30)

Explicit equations 1 k = 1.1 2 v0 = .9 3 CA00 = 1. 4 CA10 = 1. 5 CA20 = 1. 6 CA30 = 1. 7 CA0 = CA00 * (1 - x0) 8 CA1 = CA10 * (1 - x1) 9 CA2 = CA20 * (1 - x2) 10 CA3 = CA30 * (1 - x3)


Grafica.

1.3 REACTOR DE REGIMEN SEMICONTINUO CON REACCION REVERSIBLE EN FASE LIQUIDA

11.3.1. Conceptos demostrados '•'

Cálculo de la conversión en una reacción isotérmica en fase liquida, que se lleva a cabo en un ifi. tor en régimen semicontinuo, suponiendo que hay equilibrio y que la reacción está controlada. '*


Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas y ecuaciones algebraicas explícit|

11.3.3. Planteamiento del problema ;

Se alimenta con butanol puro un reactor, en régimen semicontinuo, que contiene acetato de puro, generándose acetato de butilo y etanol, según la reacción

CH3COOC2H5 + C4H9OH CH3COOC4H9 + C2H5O

que se puede expresar como:

A + B C+D

a) calcule y represente las concentraciones de A,B,C,D dentro del reactor durante los primeros 5 primeros segundos de funcionamiento del reactor

b) simule la operación del reactor en la que el equilibrio de reacción siempre es alcanzado incrementando la constante de velocidad de reacción por un factor de 1 y repita los cálculos y represente la grafica pedida en el apartado a tenga en cuenta que se trata de una integración numérica difícil

c) compare las conversión del acetato de etilo en las condiciones del apartado a con la conversión del equilibrio del apartado b durante los primeros 5 segundos de operación del reactor

d) si el tiempo muerto o tiempo de parada del reactor entre las sucesivas operaciones por semilotes es de 2 segundos calcule la operación del reactor que maximizara la velocidad de producción del acetato de butilo.

Código.

d(V)/d(t) = v0d(NA)/d(t) = rA * Vd(NB)/d(t) = rA * V + v0 * CB0d(NC)/d(t) = -rA * Vd(ND)/d(t) = -rA * Vv0 = If (t <= 4000) Then (.05) Else (0.)CB0 = 10.93k = 9.e-5CA = NA / VCB = NB / VCC = NC / VCD = ND / VKe = 1.08NA0 = 200 * 7.72P = NC / (t + 2000)xA = (NA0 - NA) / NA0rA = -k * (CA * CB - CC * CD / Ke)t(0) = 0V(0) = 200NA(0) = 1544NB(0) = 0NC(0) = 0ND(0) = 0t(f) = 5000

Aplicacion.


1 t 0 0 5000. 5000.

2 V 200. 200. 400.0016 400.0016

3 NA 1544. 703.9764 1544. 703.9764

4 NB 0 0 1447.993 1345.994

5 NC 0 0 840.0236 840.0236

6 ND 0 0 840.0236 840.0236

7 v0 0.05 0 0.05 0

8 CB0 10.93 10.93 10.93 10.93

9 k 9.0E-05 9.0E-05 9.0E-05 9.0E-05

10 CA 7.72 1.759934 7.72 1.759934

11 CB 0 0 3.619823 3.364971

12 CC 0 0 2.100051 2.100051

13 CD 0 0 2.100051 2.100051

14 Ke 1.08 1.08 1.08 1.08

15 NA0 1544. 1544. 1544. 1544.

16 P 0 0 0.1234628 0.1200034

17 xA 0 0 0.5440567 0.5440567

18 rA 0 -0.0008503 0 -0.0001655

Differential equations 1 d(V)/d(t) = v0 2 d(NA)/d(t) = rA * V 3 d(NB)/d(t) = rA * V + v0 * CB0 4 d(NC)/d(t) = -rA * V 5 d(ND)/d(t) = -rA * V

Explicit equations 1 v0 = If (t <= 4000) Then (.05) Else (0.) 2 CB0 = 10.93 3 k = 9.e-5 4 CA = NA / V 5 CB = NB / V 6 CC = NC / V 7 CD = ND / V 8 Ke = 1.08 9 NA0 = 200 * 7.72 10 P = NC / (t + 2000) 11 xA = (NA0 - NA) / NA0 12 rA = -k * (CA * CB - CC * CD / Ke)

General Total number of equations 17

Number of differential equations 5 Number of explicit equations 12 Elapsed time 0.000 sec Solution method RKF_45 Step size guess. h 0.000001 Truncation error tolerance. eps 0.000001 Grafica.

11.4 OPERACIÓN DE TRES REACTOREWS CON TANQUE AGITADO DE TANQUE CONTINUO EN SERIE

11.4.1 conceptos basicos

Calculo de los procesos dinámicos y en estado estacionario de tres reactores de tanque isotérmico en serie , en régimen y en fase liquida (RTARC)

11.4.2 metodos numéricos utilizados

Resolución de ecuaciones diferenciales simultaneas y ecuaciones algebraicas explicitas

11.4.3 planteamiento del problema

La reacción simple en fase liquida e irreversible

A + B C

Se lleva a cabo en series de tres RTARC tal como se muestra eb la figura , las especies A y se alimenta en corrientes separadas en el primer RTARC con el flujo volumétrico de cada corriente controlando a 6 dm3/min . el volumen de cada RTRAC es de 200 dm3 y cada reactor se llena inicialmente con disolvente inerte.las concentraciones iniciales de los reactivos son CAO = 2 mol/dm3 y el coeficiente de velocidad de reacción es k=0.5 dm3/g-mol*min.

a) Calcule las concentraciones de todos los componentes reaccionantes que salen del tercer reactor b) Determine el tiempo necesario para alcanzar el estado estacionario ( por ejemplo cuando la CA que

sale del reactor es de 99% de la del valor del estado estacionario )

c) Represente gráficamente la concentración de A que sale de cada tanque desde el inicio de la reacción hasta que alcanza el estado estacionario determinado en el apartado b

d) Considere la operación del reactor cuando la alimentación para la especie B se divide en dos partes iguales entre cada reactor . repita los apartados a, b y c.

e) Compare los resultados del apartado a con los de un reactor de flujo ideal con el mismo volumen total de 600 dm3 y la misma alimentación del reactor.

Datos.

Aplicación.

Model: CBr2 = a0 + a1*t

Variable Value 95% confidence

a0 0.2585917 0.0262985

a1 -0.0041331 0.0008613

General Regression including a free parameter Number of observations = 19

Statistics R^2 0.8577563

R^2adj 0.849389

Rmsd 0.0072392

Variance 0.0011128

Source data points and calculated data points t CBr2 CBr2 calc Delta CBr2

1 0 0.3335 0.2585917 0.0749083

2 2.25 0.2965 0.2492923 0.0472077

3 4.5 0.266 0.2399929 0.0260071

4 6.33 0.245 0.2324295 0.0125705

5 8 0.2255 0.2255273 -2.726E-05

6 10.25 0.205 0.2162279 -0.0112279

7 12 0.191 0.208995 -0.017995

8 13.5 0.1794 0.2027955 -0.0233955

9 15.6 0.1632 0.1941161 -0.0309161

10 17.85 0.15 0.1848167 -0.0348167

11 19.6 0.1429 0.1775839 -0.0346839

12 27 0.116 0.1469993 -0.0309993

13 30 0.1053 0.1346001 -0.0293001

14 38 0.083 0.1015357 -0.0185357

15 41 0.0767 0.0891365 -0.0124365

16 45 0.0705 0.0726043 -0.0021043

17 47 0.0678 0.0643382 0.0034618

18 57 0.0553 0.0230077 0.0322923

19 63 0.0482 -0.0017906 0.0499906

Grafica.

11.5. MÉTODO DIFERENCIAL DE ANÁLISIS DE VELOCIDADES EN UN REACTOR EN RÉGIMEN DISCONTINUO POR LOTES


Determinación del orden de reacción y constante de velocidad aplicando el método diferencial de 5 análisis de velocidades en un reactor en régimen discontinuo por lotes.


Ajuste de un polinomio a datos experimentales, diferenciación de datos tabulares y regresión lineal y no lineal de expresiones algebraicas con datos.


Los datos de la bromación del xileno en fase líquida han sido aportados por Hill. Esta reacción se ha estudiado mediante la introducción de pequeñas cantidades de yodo como catalizador y bromo | como reactivo en un reactor por lotes que contiene xileno en exceso considerable. Las concentraciones del reactivo xileno y del iodo (catalizador) son prácticamente constantes durante la reacción. Un balance de materia en el reactor por lotes da lugar a:

donde CBr2 es la concentración de bromo, expresada en g-mol/dm3, k es una pseudoconstante de velocidad que depende de las concentraciones de iodo y de xileno y n es el orden de reacción

La Ecuación anterior se puede linealizar fácilmente tomando el In de cada miembro de la ecuación, dando lugar a:

Esta expresión se puede utilizar en una regresión lineal para determinar k y n.a) Halle un polinomio que represente los datos de CBr2 frente a t1 dados en la tabla 11.6 b) Prepare una tabla de d(CBr2)/dt frente a CBr2 para los puntos de los datos experimentales c) Determine k y n apartir de la forma linealizada de la ecuación d) Utilice la regresión no lineal para estimar k y n a partir de la forma no lineal de la ecuación e) Compare los resultados de los apartados c y d explique las diferencias

Tiempo, 1 mln

Concentración de bromo g-

Tiempo, 1 mln

Concentración de bromo . g-0 03335 19,60 0,1429

225 0,2965 27,00 0,11604.50 0,2660 30,00 0,1053633 0,2450 38,00 0,08308.00 02255 41,00 0,07671025 02050 45,00 0,070512,00 0,1910 47,00 0,067813,50 0,1794 57,00 0,055315,60 0,1632. 63,00 0,04821735 0,1500

Código.

Aplicación.Model: CBr2 = a0 + a1*t


a0 0.2585917 0.0262985

a1 -0.0041331 0.0008613



R^2adj 0.849389

Rmsd 0.0072392

Variance 0.0011128

Source data points and calculated data points t CBr2 CBr2 calc Delta CBr2

1 0 0.3335 0.2585917 0.0749083

2 2.25 0.2965 0.2492923 0.0472077

3 4.5 0.266 0.2399929 0.0260071

4 6.33 0.245 0.2324295 0.0125705

5 8 0.2255 0.2255273 -2.726E-05

6 10.25 0.205 0.2162279 -0.0112279

7 12 0.191 0.208995 -0.017995

8 13.5 0.1794 0.2027955 -0.0233955

9 15.6 0.1632 0.1941161 -0.0309161

10 17.85 0.15 0.1848167 -0.0348167

11 19.6 0.1429 0.1775839 -0.0346839

12 27 0.116 0.1469993 -0.0309993

13 30 0.1053 0.1346001 -0.0293001

14 38 0.083 0.1015357 -0.0185357

15 41 0.0767 0.0891365 -0.0124365

16 45 0.0705 0.0726043 -0.0021043

17 47 0.0678 0.0643382 0.0034618

18 57 0.0553 0.0230077 0.0322923

19 63 0.0482 -0.0017906 0.0499906

Grafica.

11.6. MÉTODO INTEGRAL DE ANÁLISIS DE VELOCIDADES EN UN REACTOR POR LOTES

11.6.1 Conceptos demostrados

Determinación de la constante de velocidad de reacción aplicando el método integral del análisis de i reactor por lotes.

11.6.2 Métodos numéricos utilizados

Regresión lineal y no lineal de expresiones algebraicas con datos.

11.6.3 Planteamiento del problema

La descomposición en fase gaseosa del dimetil éter fue estudiada por Hinshelwood y Askey en un reactor por lotes a volumen constante y a 552 C.

CH3 OCH3 -> CH4 + CO + H2

Los experimentos se llevaron a cabo midiendo la presión total en función del tiempo de reacción. En la siguiente tabla se recogen los resultados.

Un balance de materia en el reactor por lotes para una reacción de primer orden da lugar a:

Donde Po es la presión inicial , P es la presión medida y k es el coeficiente de velocidad

a) Determine la constante de velocidad de primer orden y los intervalos de confianza apartir de los datos dados en la tabla mediante una regresión directa de la ecuación

b) Resuelva la ecuación para P y utilice uan regresión lineal para determinar la constante de velocidad de primer orden para los intervalos de confianza de 95%.

Datos.

Aplicación.

Model: P = a0 + a1*t


a0 472.186 54.98945

a1 2.119182 0.3100482



R^2adj 0.9701827

Rmsd 10.69327

Variance 1323.146

Source data points and calculated data points t P P calc Delta P

1 0 420 472.186 -52.18604

2 57 584 592.9794 -8.979402

3 85 662 652.3165 9.683507

4 114 743 713.7728 29.22723

5 145 815 779.4674 35.5326

6 182 891 857.8771 33.12287

7 219 954 936.2869 17.71314

8 261 1013 1025.292 -12.2925

9 299 1054 1105.821 -51.82141

Grafica.

11.7 METODO DE ANALISIS DE VELOCIDADES REACCIONES BIOMOLECUALRES

11.7.1 conceptos demostrados

Determinación del orden de reacción y constante de velocidad mediante la aplicación del método integral del análisis de velocidades en un reactor por lotes


Regresión lineal con datos transformados


La reacción en fase líquida entre el 1 ,2-dibromoetano y el yoduro de potasio en metano! al 99% fue investigada por R. T. Dillon4 a 60 °C.

C2H4Br2 + SKI -» C2H4 + 2KBr + KI3

A + 3B-»C42D + E

La concentración de 1 ,2-dibromoetano fue medida en función del tiempo en un reactor por lotes. Los datos se encuentran en la Tabla 1 1 .8 donde se calcula la conversión X¿ del 1 ,2-dibromoetano de concentración CÁ en función del tiempo í. La concentración inicial era Cm = 0,02864 kg-mol/m3 y CK~ 0.02864 kg-mol/m3.Un análisis apropiado de estos datos, para determinar el orden de reacción y la constante de velocidad correspondiente, puede estar basado en la conversión, tal corno ha sido sugerido por Hill.2 Los balances de materia en el reactor por lotes utilizando la conversión dan lugar a:

donde I es el tiempo en s y k es el coeficiente de velocidad de reacción. La relación entre la concentración inicial de los reactivos viene dada por

a) Determine el orden de la reacción y la constante de velocidad apropiada para la tabla que se muestra a continuación mediante el ajuste de de las ecuaciones a y c.

b) Derive las ecuaciones a y c haciendo balance de materia en un reactor por lotes y aplicando la estequiometria de la reacción.

Tiempo, ( s Conversión, X,0 0

29,7 0,286340,5 0,3630

47,7 0,4099

55,8 0,457262,1 0,489072,9 0439683,7 0,5795

Codigo.

Aplicación.

Model: XA = a0 + a1*t


a0 0.0539425 0.0730785

a1 0.0068628 0.0013318



R^2adj 0.9575758

Rmsd 0.0115941

Variance 0.0014338

Source data points and calculated data points t XA XA calc Delta XA

1 0 0 0.0539425 -0.0539425

2 29.7 0.2863 0.2577674 0.0285326

3 40.5 0.363 0.3318856 0.0311144

4 47.7 0.4099 0.3812977 0.0286023

5 55.8 0.4572 0.4368864 0.0203136

6 62.1 0.489 0.480122 0.008878

7 72.9 0.5396 0.5542401 -0.0146401

8 83.7 0.5795 0.6283583 -0.0488583

Grafica.

11.8. MÉTODO DE LA VELOCIDAD INICIAL PARA EL ANÁLISIS DE DATOS


Determinación de los órdenes de una reacción y de la constante de velocidad de reacción, do los datos de la velocidad de reacción inicial en un reactor por lotes.


Regresión no lineal de datos para obtener parámetros modelo.


Los datos de velocidad inicial, dados en la Tabla 11.9 como (-dPJdt), se han determinado pon h reacción en fase gaseosa A + 2B —> C. Se puede suponer que la expresión de velocidad riese a. forma

-rÁ = k(PA)α(PB)β

donde k es el coeficiente de velocidad de reacción, a es el orden de reacción con respecto a A y β es el orden de reacción con respecto a B

. Velocidad de reacción inicial frente a la presión inicial

Run PA

PB

Torr-rA

torr/s1 6 20 0,4202 ' 8 20 0,647

3 10 20 0,8954 12 20 1,1885 16 20 1,8116 10 10 0,6397 10 20 0,8958 10 40 1,2659 10 60 1,55010 10 100 2,021

a) Utilice regresión no lineal para encontrar los valores numéricos de alfa y beta y kb) Fije los ordenes de reacción en valores enteros o valores fraccionarios simples a partir del apartado

a y a continuación determine el correspondiente valor de k y los correspondientes intervalos de confianza al 95%

Aplicación.

Model: PB = a0 + a1*PA


a0 37.44966 91.32698

a1 -0.4362416 8.707686



R^2adj -0.1231263

Rmsd 8.245397

Variance 849.8322

Source data points and calculated data points PA PB PB calc Delta PB

1 6 20 34.83221 -14.83221

2 8 20 33.95973 -13.95973

3 10 20 33.08725 -13.08725

4 12 20 32.21477 -12.21477

5 16 20 30.4698 -10.4698

6 10 10 33.08725 -23.08725

7 10 20 33.08725 -13.08725

8 10 40 33.08725 6.912752

9 10 60 33.08725 26.91275

10 10 100 33.08725 66.91275

Grafica.

11.9. MÉTODO DE LA VIDA MEDIA PARA EL ANÁLISIS DE DATOS DE VELOCIDAD


Determinación del orden de reacción, constante de velocidad y energía de activación utilizando el metodo de la vida media.


Transformación de datos y regresión lineal múltiple.


han estudiado la descomposición térmica del monóxido de dinitrógeno en un por lotes a volumen constante, donde la reacción qué se produce es

2N2O 2N2 + O2

2A -» 2B + C

En la Tabla 11.10 se recogen los datos representativos de la vida media para condiciones i micas y en la Tabla 11.11 para condiciones no isotérmicas.

Tabla .Datos de vida media a 1.055 K

NVida mediatu s

TemperaturarK

Concentraciónc»g-mol/dm'xio11 1.048 1.055 1,6334

2 919 1.055 1,86163 704 1.055 2,43154 537 1.055 3,15335 474 1.055 3,60926 409 1.055 4,10317 382 1.055 4,48308 340 1.055 4,9769

Tabla. Datos de vida media a diferentes temperaturas

N Vida media

TemperaturaT K

Concentraciónca g-molfdm'x

1 1.240 1.060 1,24782 1.352 975 2,58993 510 970 3,02504 918 1.035 4,04955 455 1.035 4,25996 318 1.050 5,3060

a) Suponiendo que la expresión de velocidad para esta reacción es –rA= KCAα aplique una regresión lineal

a al ecuación para determinar la constante de velocidad de reacción y el orden de reacción a 1.055 K utilizando los datos de la tabla

b) Repita el apartado a aplicando una regresión no lineal ala ecuación y utilizando los valores de parámetros convergentes del apartado a como suposiciones iniciales para la regresión no lineal

c) Utilize la regresión lineal con los datos conbinados de las tablas para estimar el orden de reacción el correspondiente factor de frecuencia y la energía de activación del coeficiente de velocidad expresado en Kj/gr-mol

d) Repita el apartado c aplicando una regresión no lineal a la ecuación y utilizando los valores de los parámetros convergentes del apartado c como suposiciones iniciales para la regresión no lineal

Datos.

Aplicación.

Model: T = a0 + a1*thalf


a0 1070.463 36.64077

a1 -0.0412745 0.048003



R^2adj 0.1618459

Rmsd 6.820729

Variance 759.865

Source data points and calculated data points thalf T T calc Delta T

1 1048 1055 1027.207 27.79261

2 919 1055 1032.532 22.4682

3 704 1055 1041.406 13.59419

4 537 1055 1048.299 6.701347

5 474 1055 1050.899 4.101054

6 409 1055 1053.582 1.418212

7 382 1055 1054.696 0.303801

8 340 1055 1056.43 -1.429728

9 1240 1060 1019.283 40.71732

10 1352 975 1014.66 -39.65994

11 510 1060 1049.413 10.58694

12 918 970 1032.573 -62.57307

13 455 1035 1051.683 -16.68316

14 318 1050 1057.338 -7.337767

Grafica.

11.9. MÉTODO DEL EXCESO PARA EL ANÁLISIS DE DATOS DE VELOCIDAD EN UN REACTOR POR LOTES


Determinación del orden de reacción y constante de velocidad de reacción cinética utilizando el método del exceso en un reactor por lotes.


Ajuste de un polinomio a los datos experimentales, diferenciación de datos tabulares y regresión lineal y no lineal.


La reacción del ácido acético y del ciclohexanol en solución de dioxano es catalizada por i ácido sulfúrico. Esta reacción se estudió en un reactor por lotes, bien agitado, a 40 "C. La reaccion se puede describir mediante la ecuación: A + B —> C + D. Para concentraciones iniciales iguales de CAO = CBO = 2 g-mol/dm3, la concentración de A varía con el tiempo, tal como se muestra en la tabla. Se llevó a cabo otro experimento en el que C AO= 1 g-mol/dm3y Cao = 8 g-moL/dm3. Tabla 11.13 se recogen los resultados obtenidos.Para un reactor por lotes a volumen constante, el balance de materia del reactivo A da la derivada respecto al tiempo, que es igual a la velocidad de reacción. La expresión de velocidad es:

donde t es el tiempo en minutos, k es la constante de velocidad de reacción, α es el orden de reacción con respecto a CA y β es el orden de reacción con respecto aCB

a) utilice los datos de la tabla de la siguiente tabla para calcular las velocidades de reacción dadas por la derivada de dCA/dt a tiempos experimentales dados apartir de estas velocidades calcule el coeficiente de velocidad de reacción y el orden total de reacción α+β

b) utilice los datos de la tabla para calcular las velocidades de reacción a los tiempos experimentales dados. Suponiendo que CB no varia de forma significativa durante este experimento determine el orden de reacción aproximado α con respecto al componente A

c) repita el apartado b calculando CB a diferentes tiempos utilizando la reacción estequiometrica

d) emplee una regresión no lineal en las velocidades de reacccion combinadas determinadas en los apartados a y b para determianr valores adecuados para k β y α ajuste β y α para valores enteros o fracciones simples antes de emitir los resultados finales para k,

Tabla Concentración del ácido acético

N.° Tiempo, 1 mln.

Concentración C,

1 0 2,0002 120 1,7053 150 1,6474 180 1,5955 210 1,5466 240 1,5017 270 1,4608 300 1,421

Tabla 11.13. Concentración del ácido acético frente al tiempo para C ío - 1 g-mol/dm3 y Cgo = 8 g-mol/dm

N.°Tiempo, f mln.

Concentración C, g-mol/dm3 x 10a

1 0 1,0002 30 0,9593 45 0,9394 75 0,9035 120 0,8546 150 0',8247 210 0,7718 255 0,734

11.10. ANALISIS DE LOS DATOS DE VELOCIDAD PARA UN REACTOR DE TANQUE AGITADO EN RÉGIMEN CONTINUO (RTARC)11.10.1. Conceptos demostradosDeterminacion del orden de reacción y la constante de velocidad de reacción correspondiente para i irreversible en fase gaseosa llevada a cabo en un RTARC.11.10.2 Métodos numéricos utilizadosRegresión de un conjunto de datos para obtener parámetros de una expresión algebraica.


Una reacción irreversible en fase gaseosa, cuya estequiometría se puede representar mediante, A -» B + 2C, se lleva a cabo en un RTARC a 300 °C y 0,9125 aun. En la Tabla 11.14 se recogen los datos para la conversión XA frente a la velocidad de flujo de alimentación va en las condiciones c reactor, donde la alimentación del reactor está formada por reactivo puro A.

Tabla 11.14. Datos de conversión a partir de un RTARC

ndm'/s x»

"odm'/s *«

250 0,45 5 0,8587

100 0,5562 2,5 0,883850 0,6434 1 0,912525 0,7073 0,5 0,9510 0,7874

* Estos datos fueron generados utilizando los resultados de McCracken y Dickson'.

donde i)0 es la velocidad de flujo volumétrico, expresada en dm3/s, Ves el volumen del reactor en dm3, -' k es la constante de velocidad, Cm = 0,1942 g-mol/dm3 y n es el orden de reacción. Obsérvese que el factor 2 en el denominador de la se debe al cambio volumétrico durante la reacción.

a) Determine el orden de reacción con respecto a A(valor entero) y calcule el valor correspondiente del coeficiente de velocidad de reacción.

Datos.

Aplicación.

Model: xA = a0 + a1*v0


a0 0.840822 0.0832058

a1 -0.0018426 0.0009069



R^2adj 0.7341117

Rmsd 0.0261604

Variance 0.0079191

Source data points and calculated data points v0 xA xA calc Delta xA

1 250 0.45 0.3801812 0.0698188

2 100 0.5562 0.6565657 -0.1003657

3 50 0.6434 0.7486938 -0.1052938

4 25 0.7073 0.7947579 -0.0874579

5 10 0.7874 0.8223964 -0.0349964

6 5 0.8587 0.8316092 0.0270908

7 2.5 0.8838 0.8362156 0.0475844

8 1 0.9125 0.8389794 0.0735206

9 0.5 0.95 0.8399007 0.1100993

Grafica.

11.11. ANÁLISIS DIFERENCIAL DE DATOS DE VELOCIDAD PARA UN REACTOR DE FLUJO IDEAL


Análisis diferencial del orden de reacción y de la constante de velocidad correspondiente para una reacción en fase líquida, llevada a cabo en un reactor de flujo ideal.


Ajuste y diferenciacion de datos tabulares y regresión de datos lineal y no lineal.


El oxigeno se transporta hasta los tejidos de los seres vivos, mediante su unión a la hemoglobina en llega hasta las células individuales a través de los capilares sanguíneos de los ; inicial de desoxigenación de la hemoglobina en la interfase de las células capilares es ireversible, representándose la desoxigenación por:

HbO2 -> Hb + O

La cinetica de esta desoxigenación se ha estudiado en un reactor de flujo ideal de 0,158 cm de diá-mentó con una solución de HbO2 con una concentración de 1 x 10~5 g-mol/cm3 ; Las concentraciones de oxígeno se midieron con electrodos colocados a intervalos de 2,5 cm a lo largo de la longitud del tubo. En la Tabla 11.15 se recogen los datos resultantes para esta operación simple, con velocidad de alimentación constante de la solución de HbO2. El balance del material para la hemoglobina en este reactor de flujo ideal viene dado por la ecuación diferencial.

Donde XA de HbO:. V es el volumen del reactor en cm3, rA es la expresión de velocidad en g-mol/cm3 y Fm es la velocidad de alimentación de A en el reactor, expresada en gr-mol/s.

En el método de conversión del análisis de datos de velocidad, la forma de la ecuación diferencial de diseño del reactor) es ajustada a los datos experimentales. En este caso el uso directo de la ecuación (11-67) requiere la información derivada de la conversión frente a las medidas del volumen del reactor.

a) ajuste a un polinomio los datos de la tabla y calcule el valor de dXA/dV en diferentes posiciones de electrodo

b) suponiendo que la expresión de la velocidad para esta reacción es de la forma -rA=kCA α utilice la

regresión no lineal directamente en la ecuación para determinar el orden de reacción α como un numero entero a una fracción simple encuentre el valor correspondiente de la constante de velocidad de reacción k

c) verifique el orden de reacción obtenido en el apartado b es correcto integrado analíticamente la ecuación y a continuación muestre como se puede obtener un grafica lineal con los datos originales pueden ser necesarias algunos datos de los originales.

Tabla 11.15. Desoxigenación de la hemoglobina en función de la distancia a la entrada del reactor

Posición del electrodo zen cm

Conversión de HbO2 X.

0,0 0,0002,5 0,00965,0 0,01927,5 0,028610,0 0,038012,5 0,047215,0 0,056417,5 0,0655

Datos.

Aplicación.

Model: xA = a0 + a1*z


a0 0.0003167 0.0003854

a1 0.0037424 3.685E-05



R^2adj 0.9998866

Rmsd 7.471E-05

Variance 5.954E-08

Source data points and calculated data points z xA xA calc Delta xA

1 0 0 0.0003167 -0.0003167

2 2.5 0.0096 0.0096726 -7.262E-05

3 5 0.0192 0.0190286 0.0001714

4 7.5 0.0286 0.0283845 0.0002155

5 10 0.038 0.0377405 0.0002595

6 12.5 0.0472 0.0470964 0.0001036

7 15 0.0564 0.0564524 -5.238E-05

8 17.5 0.0655 0.0658083 -0.0003083

Grafica.

11.13. ANÁLISIS INTEGRAL DE DATOS DE VELOCIDAD PARA UN REACTOR DE FLUJO IDEAL


Análisis integral del orden de reacción y la constante de velocidad de reacción correspondiente, pai una reacción en fase gaseosa llevada a cabo en un reactor de flujo ideal.


Ajuste y diferenciación de datos tabulares, regresión de datos múltiple lineal o no lineal.

11.13.3. Planteamiento del problemaEl acetaldehído experimenta una descomposición a elevadas temperaturas.

CH3CHO->CH4+CO

A->C + D

En un experimento, se hizo pasar vapor de acetaldehído puro a través de un tubo de reacción mantenido dentro de un horno a 510 °C. Este tubo de reacción tenía un diámetro interior de 2,5 cm y una longitud de 50 cm y la presión era la atmosférica. Se obtuvieron velocidades de descomposición para varias velocidades de flujo, las cuales se recogen en la Tabla 11.16.

a) Utilice una regresión lineal de los datos de la tabla para estimar una constante de velocidad de primer orden apartir de la ecuación encontada.b) Seleccione los datos justifique la selección realizada.

Tabla 11.16. Datos de descomposición del acetaldehído

N

Velocidad de flujoFm g-mol/h Conversión X*

1 9,09 0,5242 2,05 0,7753 0,909 0,8714 1,73 0,797

5 4,55 0,6526 3,27 0,7057 2,68 0,7388 0,682 0,894

Datos.

Aplicación.

Model: XA = a0 + a1*FA0


a0 0.8770769 0.0476589

a1 -0.0424909 0.0118367



R^2adj 0.9158257

Rmsd 0.0106609

Variance 0.0012123

Source data points and calculated data points FA0 XA XA calc Delta XA

1 9.09 0.524 0.4908346 0.0331654

2 2.05 0.775 0.7899706 -0.0149706

3 0.909 0.871 0.8384527 0.0325473

4 1.73 0.797 0.8035677 -0.0065677

5 4.55 0.652 0.6837433 -0.0317433

6 3.27 0.705 0.7381317 -0.0331317

7 2.68 0.738 0.7632013 -0.0252013

8 0.682 0.894 0.8480981 0.0459019

Grafica.

11.14. DISEÑO PARA UNA DESACTIVACIÓN CATALÍTICA EN UN REACTOR TUBULAR CONTINUO


Efecto de varios tipos de desactivación catalítica en una reacción catalítica oí fase j reactor tubular continuo, donde el lecho del catalizador se mueve atravez del reactor


Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas.


El cracking en fase gaseosa de un gasoil ligero de Salina se puede i cinético, de parámetros agrupados, que incorpora la reacción general

Gasoil (g) —> Productos (g) + coke(s) que se puede expresar como la reacción en fase gaseosa

A->B

Una aplicación es llevar a cabo esta reacción en un reactor de transporte tubular continuo que contiene un ctalizador cuya actividad desciende como consecuencia del cooking, las partículas de catalizador se supone que se mueven ala velocidad media del gas en este caso dada por u= 8 m/s . la reacción se lleva a acabo a una temperatura de 750 F a presión y temperaturas constantes . la concentración de A que entra es 0,2 kg-mol/m3 , la longitud del reactor es de 6 m .

a) Represente gráficamente la conversión de A y la actividad catalítica frente a la longitud del reactor para el caso en que no haya una desactivación del catalizador

b) Repita el apartado a para los tres tipos de desactivadores del catalizador donde A=12 k=17.5s-1 .

a)Código.

d(xA)/d(z) = a * 30 * (1 - xA) / ((1 + 5 * .2 * (1 - xA)) * 8)a = 1z(0) = 0xA(0) = 0z(f) = 6

Aplicación.


1 z 0 0 6. 6.

2 xA 0 0 1. 1.

3 a 1. 1. 1. 1.

Differential equations 1 d(xA)/d(z) = a * 30 * (1 - xA) / ((1 + 5 * .2 * (1 - xA)) * 8)

Explicit equations 1 a = 1


Grafica.

b)

Código.

d(xA)/d(z) = a * 30 * (1 - xA) / ((1 + 5 * .2 * (1 - xA)) * 8)a = 1d(xA1)/d(z) = a1 * 30 * (1 - xA1) / ((1 + 5 * .2 * (1 - xA1)) * 8)a1 = 1 / (1 + (12 / (8 ^ .5)) * z ^ (.5))d(xA2)/d(z) = a2 * 30 * (1 - xA2) / ((1 + 5 * .2 * (1 - xA2)) * 8)d(a2)/d(z) = -17.5 * a2 * a2 / 8d(xA3)/d(z) = a3 * 30 * (1 - xA3) / ((1 + 5 * .2 * (1 - xA3)) * 8)d(a3)/d(z) = -140 * a3 * (.2 * xA3) / 8xA(0) = 0xA1(0) = 0xA2(0) = 0a2(0) = 1xA3(0) = 0a3(0) = 1z(0) = 0z(f) = 6

Aplicación.


1 z 0 0 6. 6.

2 xA 0 0 1. 1.

3 xA1 0 0 0.9098725 0.9098725

4 xA2 0 0 0.9717754 0.9717754

5 a2 1. 0.0707965 1. 0.0707965

6 xA3 0 0 0.7875082 0.7875082

7 a3 1. 1.735E-07 1. 1.735E-07

8 a 1. 1. 1. 1.

9 a1 1. 0.0877785 1. 0.0877785

Differential equations 1 d(xA)/d(z) = a * 30 * (1 - xA) / ((1 + 5 * .2 * (1 - xA)) * 8) 2 d(xA1)/d(z) = a1 * 30 * (1 - xA1) / ((1 + 5 * .2 * (1 - xA1)) * 8) 3 d(xA2)/d(z) = a2 * 30 * (1 - xA2) / ((1 + 5 * .2 * (1 - xA2)) * 8) 4 d(a2)/d(z) = -17.5 * a2 * a2 / 8 5 d(xA3)/d(z) = a3 * 30 * (1 - xA3) / ((1 + 5 * .2 * (1 - xA3)) * 8) 6 d(a3)/d(z) = -140 * a3 * (.2 * xA3) / 8

Explicit equations 1 a = 1 2 a1 = 1 / (1 + (12 / (8 ^ .5)) * z ^ (.5))


Grafica.

CAPITULO 12: EQUILIBRIO DE FASES Y DESTILACION

12.1 CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA ECUACION DE WILSON A PARTIR DE LOS DATOS AZEOTROPICOS


Calculo de los coeficientes de la ecuación de Wilson a partir de los datos azeotropicos binarios .calculo de la temperatura del punto de burbuja y las composiciones en fase de vapor y liquida de una mezcla no ideal.


Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales.


Las ecuaciones de Wilson se utilizan para correlacionar los coeficientes de actividad de los sietemas altamente no ideales pero miscibles . las ecuaciones de Wilson para coeficientes de actividad en los sistemas binarios son:

a) Seleccione uno de los sistemas binarios de la tabla y calcule los coeficientes de la ecuación de Wilson para ese sistema utilizando las presiones de vapor calculada mediante la ecuación de antoines con las constantes dadas en la tablab) Utilice las constantes de las ecuaciones de Wilson determinadas en el apartado a para calcular la temperatura del punto de burbuja para x1= 0 y para x1=1 y en el punto azeotropico compare la temperatura con los datos dados en la tabla compare además las temperaturas de los puntos de burbuja predichosc) Calcule y represente gráficamente la curva de la temperatura del punto de burbuja para el sistema seleccionado utilizando los coeficientes de las ecuaciones de Wilson determinadas en el apartado a.

a)

Codigo.

# Problem 12-3 - Wilson Coefficients from Ethyl Alcohol - n-Hexane Binary AzeotropeT = 58.7pw1 = 21x1 = (pw1/46.07) / (pw1 / 46.07 + (100 - pw1) / 86.18)x2 = 1 - x1P1 = 10 ^ (8.04494 - 1554.3 / (222.65 + T))P2 = 10 ^ (6.87776 - 1171.53 / (224.366 + T))gamma2 = 760 / P2gamma1 = 760 / P1

f(G21) = t1 * t2 * (ln(gamma2) + ln(t2)) + x1 * (G12 * t2 - G21 * t1)G21(0) = 0.1f(G12) = t1 * t2 * (ln(gamma1) + ln(t1)) - x2 * (G12 * t2 - G21 * t1)G12(0) = 0.1t1 = x1 + x2 * G12

t2 = x2 + x1 * G21

Aplicación.

Calculated values of NLE variables Variable Value f(x) Initial Guess

1 G21 0.3017536 2.93E-11 0.1

2 G12 0.0785889 9.671E-11 0.1

Variable Value

1 T 58.7

2 pw1 21.

3 x1 0.3321118

4 x2 0.6678882

5 P1 331.5158

6 P2 548.3315

7 gamma2 1.386023

8 gamma1 2.2925

9 t1 0.3846004

10 t2 0.7681041

Nonlinear equations 1 f(G21) = t1 * t2 * (ln(gamma2) + ln(t2)) + x1 * (G12 * t2 - G21 * t1) = 0 2 f(G12) = t1 * t2 * (ln(gamma1) + ln(t1)) - x2 * (G12 * t2 - G21 * t1) = 0

Explicit equations 1 T = 58.7 2 pw1 = 21 3 x1 = (pw1/46.07) / (pw1 / 46.07 + (100 - pw1) / 86.18) 4 x2 = 1 - x1 5 P1 = 10 ^ (8.04494 - 1554.3 / (222.65 + T)) 6 P2 = 10 ^ (6.87776 - 1171.53 / (224.366 + T)) 7 gamma2 = 760 / P2 8 gamma1 = 760 / P1 9 t1 = x1 + x2 * G12

10 t2 = x2 + x1 * G21

General Settings Total number of equations 12 Number of implicit equations 2 Number of explicit equations 10 Elapsed time 0.0000 sec Solution method SAFENEWT Max iterations 150 Tolerance F 0.0000001 Tolerance X 0.0000001 Tolerance min 0.0000001

b)

Código.# Problem 12-3 - POLYMATH Program for the Calculation of the Bubble Point Temperature and Vapor and Liquid Compositionsx1 = 0.0x2 = 1 - x1G12 = 0.0785889G21 = 0.3017536t1 = x1 + x2 * G12t2 = x2 + x1 * G21gamma2 = exp(-ln(t2) - (x1 * (G12 * t2 - G21 * t1)) / (t1 * t2))gamma1 = exp(-ln(t1) + (x2 * (G12 * t2 - G21 * t1)) / (t1 * t2))f(Tb) = 1 - k1 * x1 - k2 * x2Tb(min) = 50Tb(max) = 70P1 = 10 ^ (8.04494 - 1554.3 / (222.65 + Tb))P2 = 10 ^ (6.87776 - 1171.53 / (224.366 + Tb))k1 = gamma1 * P1 / 760k2 = gamma2 * P2 / 760y1 = k1 * x1

y2 = k2 * x2

Aplicación.


1 Tb 68.74026 -1.973E-09 60. ( 50. < Tb < 70. )

Variable Value

1 x1 0

2 x2 1.

3 G12 0.0785889

4 G21 0.3017536

5 t1 0.0785889

6 t2 1.

7 gamma2 1.

8 gamma1 25.57899

9 P1 513.8737

10 P2 760.

11 k1 17.29522

12 k2 1.

13 y1 0

14 y2 1.

Nonlinear equations 1 f(Tb) = 1 - k1 * x1 - k2 * x2 = 0

Explicit equations 1 x1 = 0.0 2 x2 = 1 - x1 3 G12 = 0.0785889 4 G21 = 0.3017536 5 t1 = x1 + x2 * G12 6 t2 = x2 + x1 * G21 7 gamma2 = exp(-ln(t2) - (x1 * (G12 * t2 - G21 * t1)) / (t1 * t2)) 8 gamma1 = exp(-ln(t1) + (x2 * (G12 * t2 - G21 * t1)) / (t1 * t2)) 9 P1 = 10 ^ (8.04494 - 1554.3 / (222.65 + Tb)) 10 P2 = 10 ^ (6.87776 - 1171.53 / (224.366 + Tb)) 11 k1 = gamma1 * P1 / 760 12 k2 = gamma2 * P2 / 760 13 y1 = k1 * x1 14 y2 = k2 * x2

General Settings Total number of equations 15 Number of implicit equations 1 Number of explicit equations 14 Elapsed time 0.0000 sec

Solution method SAFENEWT Max iterations 150 Tolerance F 0.0000001 Tolerance X 0.0000001 Tolerance min 0.0000001

12.2 CORRELACIONES DE FENSKE – UNDERWOOD –GILLILAND PARA LAS TORRES DE SEPARACION , RECTIFICACION O DESTILACION FRACCIONARIA.


Cálculos de destilación rápida utilización de la correlación de Fenske para estimar el numero mínimo de platos teóricos , la correlación de Underwood para estimar la relación mínima de reflujo y la correlación de Gilliland el número actual de platos teóricos requerido para conseguir una separación especifica.


Resolución de sistemas algebraicos no lineales


Se requiere una columna para separar a partir de compuestos mas volátiles. La alimentación con la composición mostrada en la tabla entra en la columna de destilación

Como liquido en su punto de burbuja . la presión en la columna es P= 7 bar se requiere que el 95% del isobutano en la alimentación se ha recuperado en la parte inferior y que la corriente inferior no contenga mas de 0,1% de propano . se puede suponer una separación completa para el etano y el n-butano.a) Calcule el numero de platos teoricos (Nmin) requeridos para conseguir la separación deseada a reflujo total utilizando la ecuación de fenske.b) Estime el reflujo minimo(Rmin) minimo requerido para conseguir la separación deseada con infinito numero de platos utilizando la ecuación de underwoodc) Aproxime el numero de etapas teoricas requeridas si la relación de reflujo actual R=1.5 Rmin utilizando la correlacion de gilliland, encuentre la localización de la etapa de alimentación optima utilizando la correlacion de Kirkbride.

12.3. CÁLCULOS RIGUROSOS DE DESTILACIÓN PARA UNA TORRE DE SEPARACIÓN SIMPLE

12.3.1. Conceptos demostrados ,

Cálculos de destilación rigurosos utilizando balance de materia, balance de energía y las ecuaciones de equilibrio de fase (ecuaciones MESH) para cada estado.


Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales.


Se utiliza una columna de destilación simple con tres etapas teóricas para separar i taño. Una corriente de alimentación formada por 0,23 Ib-mol/h de butano y O.T" H no entra en columna como líquido en su punto de burbuja en el plato 2. La presión a la que opera es P - 120 psig. Se utiliza un condensador total y la cantidad de calor aportada al calderin es de 10.000 Btu/h. El destilado se extrae a una velocidad D =25 Ib-mol/h.a) Realice balances completos de materia y energía para obtener la temperaturas de las etapas y del condensador , las velocidades del flujo del liquido y del vapor y las composiciones dentro de la columna ,asi como las velocidades de flujo composiciones y las temperaturas del destilado y de la corriente de fondo de columnab) Cambie la composición de la alimentación la presión de la columna y la velocidad de flujo del destilado e investigue como afectan estos cambios a la recuperación del n- pentano en las corrientes de fondo , utilizando el apartado a como caso de base.

Código.

# Feed CompositionxF1 = 0.15xF2 = 0.18xF3 = 0.18xF4 = 0.49# Distillate flow ratesD1 = xF1D2 = xF2 - B2D3 = 0.05 * xF3D4 = 0tD = D1 + D2 + D3 + D4# Bottoms flow ratesB1 = 0B2 = 0.001 * (B3 + B4) / (0.999)B3 = 0.95 * xF3B4 = xF4tB = B1 + B2 + B3 + B4# Distillate compositionxD1 = D1 / tDxD2 = D2 / tDxD3 = D3 / tDxD4 = D4 / tD

# Bottoms compositionxB1 = B1 / tBxB2 = B2 / tBxB3 = B3 / tBxB4 = B4 / tBP = 7 # pressure bar# Dew point temperature at the top of the columnf(TD) = xD1 / k1D + xD2 / k2D + xD3 / k3D - 1TD(0) = 270k1D = 10 ^ (3.93835 - 659.739 / (TD - 16.719)) / Pk2D = 10 ^ (4.53678 - 1149.36 / (TD + 24.906)) / Pk3D = 10 ^ (4.3281 - 1132.108 / (TD + 0.918)) / P# Bubble point temperature at the bottom of the columnf(TB) = xB2 * k2B + xB3 * k3B + xB4 * k4B - 1TB(0) = 300k2B = 10 ^ (4.53678 - 1149.36 / (TB + 24.906)) / Pk3B = 10 ^ (4.3281 - 1132.108 / (TB + 0.918)) / Pk4B = 10 ^ (4.35576 - 1175.581 / (TB - 2.071)) / P# Fenske CorrelationNmin = log((xD2 / xD3) * (xB3 / xB2)) / log(sqrt((k2D / k3D) * (k2B / k3B)))# Bubble point temperature of the feedf(TF) = xF1 * k1F + xF2 * k2F + xF3 * k3F + xF4 * k4F - 1TF(0) = 300k1F = 10 ^ (3.93835 - 659.739 / (TF - 16.719)) / Pk2F = 10 ^ (4.53678 - 1149.36 / (TF + 24.906)) / Pk3F = 10 ^ (4.3281 - 1132.108 / (TF + 0.918)) / Pk4F = 10 ^ (4.35576 - 1175.581 / (TF - 2.071)) / P# Underwood Equationsf(theta) = xF1 * (k1F / k3F) / (k1F / k3F - theta) + xF2 * (k2F / k3F) / (k2F / k3F - theta) + xF3 / (1 - theta) + xF4 * (k4F / k3F) / (k4F / k3F - theta)theta(0) = 1.5Rmin = xD1 * (k1D / k3D) / (k1D / k3D - theta) + xD2 * (k2D / k3D) / (k2D / k3D - theta) + xD3 / (1 - theta) - 1# Number of theoretical traysX = (R - Rmin) / (Rmin + 1)Y = 0.75 * (1 - X ^ 0.5658)N = Y * (Nmin + 1) + Nmin# Number of stages above and below the feed stagem_on_p = 10 ^ (0.206 * log((tB / tD) * (xF3 / xF2) * (xB2 / xD3) ^ 2))p = N / (1 + m_on_p)m = N - p# Specify the reflux ratio RR = 1.5 * Rmin

Aplicación.

Calculated values of NLE variables

Variable Value f(x) Initial Guess

1 TD 274.0267 -1.11E-16 270.

2 TB 333.1795 6.661E-14 300.

3 TF 285.404 2.22E-16 300.

4 theta 1.673146 -1.11E-16 1.5

Variable Value

1 xF1 0.15

2 xF2 0.18

3 xF3 0.18

4 xF4 0.49

5 D1 0.15

6 B3 0.171

7 D3 0.009

8 D4 0

9 B4 0.49

10 B1 0

11 B2 0.0006617

12 D2 0.1793383

13 tD 0.3383383

14 tB 0.6616617

15 xD1 0.4433432

16 xD2 0.5300562

17 xD3 0.0266006

18 xD4 0

19 xB1 0

20 xB2 0.001

21 xB3 0.2584402

22 xB4 0.7405598

23 P 7.

24 k1D 3.382548

25 k2D 0.7027538

26 k3D 0.2319624

27 k2B 3.033514

28 k3B 1.242929

29 k4B 0.9124767

30 Nmin 8.543802

31 k1F 4.343251

32 k2F 0.9722379

33 k3F 0.3380909

34 k4F 0.2299043

35 Rmin 0.6451514

36 R 0.9677271

37 X 0.1960766

38 Y 0.4516571

39 m_on_p 0.297132

40 N 12.85433

41 p 9.909806

42 m 2.944521

Nonlinear equations 1 f(TD) = xD1 / k1D + xD2 / k2D + xD3 / k3D - 1 = 0 2 f(TB) = xB2 * k2B + xB3 * k3B + xB4 * k4B - 1 = 0 3 f(TF) = xF1 * k1F + xF2 * k2F + xF3 * k3F + xF4 * k4F - 1 = 0

4 f(theta) = xF1 * (k1F / k3F) / (k1F / k3F - theta) + xF2 * (k2F / k3F) / (k2F / k3F - theta) + xF3 / (1 - theta) + xF4 * (k4F / k3F) / (k4F / k3F - theta) = 0

Explicit equations 1 xF1 = 0.15 2 xF2 = 0.18 3 xF3 = 0.18 4 xF4 = 0.49 5 D1 = xF1 6 B3 = 0.95 * xF3 7 D3 = 0.05 * xF3 8 D4 = 0 9 B4 = xF4 10 B1 = 0 11 B2 = 0.001 * (B3 + B4) / (0.999) 12 D2 = xF2 - B2 13 tD = D1 + D2 + D3 + D4 14 tB = B1 + B2 + B3 + B4 15 xD1 = D1 / tD 16 xD2 = D2 / tD 17 xD3 = D3 / tD

18 xD4 = D4 / tD 19 xB1 = B1 / tB 20 xB2 = B2 / tB 21 xB3 = B3 / tB 22 xB4 = B4 / tB 23 P = 7 pressure bar 24 k1D = 10 ^ (3.93835 - 659.739 / (TD - 16.719)) / P 25 k2D = 10 ^ (4.53678 - 1149.36 / (TD + 24.906)) / P 26 k3D = 10 ^ (4.3281 - 1132.108 / (TD + 0.918)) / P 27 k2B = 10 ^ (4.53678 - 1149.36 / (TB + 24.906)) / P 28 k3B = 10 ^ (4.3281 - 1132.108 / (TB + 0.918)) / P 29 k4B = 10 ^ (4.35576 - 1175.581 / (TB - 2.071)) / P 30 Nmin = log((xD2 / xD3) * (xB3 / xB2)) / log(sqrt((k2D / k3D) * (k2B / k3B))) 31 k1F = 10 ^ (3.93835 - 659.739 / (TF - 16.719)) / P 32 k2F = 10 ^ (4.53678 - 1149.36 / (TF + 24.906)) / P 33 k3F = 10 ^ (4.3281 - 1132.108 / (TF + 0.918)) / P 34 k4F = 10 ^ (4.35576 - 1175.581 / (TF - 2.071)) / P

35 Rmin = xD1 * (k1D / k3D) / (k1D / k3D - theta) + xD2 * (k2D / k3D) / (k2D / k3D - theta) + xD3 / (1 - theta) - 1

36 R = 1.5 * Rmin 37 X = (R - Rmin) / (Rmin + 1) 38 Y = 0.75 * (1 - X ^ 0.5658) 39 m_on_p = 10 ^ (0.206 * log((tB / tD) * (xF3 / xF2) * (xB2 / xD3) ^ 2)) 40 N = Y * (Nmin + 1) + Nmin 41 p = N / (1 + m_on_p) 42 m = N - p


12.4. DESTILACIÓN DISCONTINUA O POR LOTES DE UNA MEZCLA AGUA-ETANOL


Destilación discontinua binaria de un sistema no ideal12.4.2. Métodos numéricos utilizados

Resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas diferenciales.12.4.3. Planteamiento del problema La figura muestra un aparato de destilación discontinua de una sola etapa que se utiliza para del agua. Inicial mente se carga el calderín con una mezcla líquida de un = 0,4) y el 60% de etanol. La cantidad de carga inicial es L = 100 kg-mol. • m leía a cabo a una presión total de I atm y es continua hasta que la fracción molar del agua alcanza el valor de 0,80.

a) Halle la temperatura en el destilador discontinuo cuando comienza la ebullición y en el punto final de la destilación.

b) Calcule los kg-mol del liquido que que quedan en el destilado cuando la fracción molar de agua alcanza x1=0,8. Realice los cálculos rigurosamente (considerando el cambio de relaciones del equilibrio vapor liquido con la temperatura y composición ) y suponiendo que la volatilidad relativa de los dos compuestos es constante .compare los dos resultados

c) Repita los apartados a y b cuando se utiliza una destilación al vacio a la presión de trabajo de 0.2 atm.

a)Código.f(T) = 1 - k1 * x1 - k2 * x2T(min) = 70T(max) = 100x1 = 0.4x2 = 1 - x1gamma1 = 10 ^ (x2 * x2 * (0.3781 + 2 * x1 * (0.6848 - 0.3781)))gamma2 = 10 ^ (x1 * x1 * (0.6848 + 2 * x2 * (0.3781 - 0.6848)))P1 = 10 ^ (7.96681 - 1668.21 / (T + 228))P2 = 10 ^ (8.04494 - 1554.3 / (T + 222.65))k2 = gamma2 * P2 / 760k1 = gamma1 * P1 / 760alpha12 = k1 / k2

Aplicación.Calculated values of NLE variables Variable Value f(x) Initial Guess

1 T 79.1685 -9.17E-12 85. ( 70. < T < 100. )

Variable Value

1 x1 0.4

2 x2 0.6

3 gamma1 1.676662

4 gamma2 1.123781

5 P1 343.4647

6 P2 785.5184

7 k2 1.161514

8 k1 0.7577294

9 alpha12 0.6523637

Nonlinear equations 1 f(T) = 1 - k1 * x1 - k2 * x2 = 0

Explicit equations 1 x1 = 0.4 2 x2 = 1 - x1 3 gamma1 = 10 ^ (x2 * x2 * (0.3781 + 2 * x1 * (0.6848 - 0.3781))) 4 gamma2 = 10 ^ (x1 * x1 * (0.6848 + 2 * x2 * (0.3781 - 0.6848))) 5 P1 = 10 ^ (7.96681 - 1668.21 / (T + 228)) 6 P2 = 10 ^ (8.04494 - 1554.3 / (T + 222.65)) 7 k2 = gamma2 * P2 / 760 8 k1 = gamma1 * P1 / 760 9 alpha12 = k1 / k2


Grafica.

b)Código.f(T) = 1 - k1 * x1 - k2 * x2T(min) = 70T(max) = 100x1 = 0.8x2 = 1 - x1gamma1 = 10 ^ (x2 * x2 * (0.3781 + 2 * x1 * (0.6848 - 0.3781)))gamma2 = 10 ^ (x1 * x1 * (0.6848 + 2 * x2 * (0.3781 - 0.6848)))P1 = 10 ^ (7.96681 - 1668.21 / (T + 228))P2 = 10 ^ (8.04494 - 1554.3 / (T + 222.65))k2 = gamma2 * P2 / 760k1 = gamma1 * P1 / 760alpha12 = k1 / k2

Aplicación.


1 T 82.84543 -7.924E-10 85. ( 70. < T < 100. )

Variable Value

1 x1 0.8

2 x2 0.2

3 gamma1 1.08331

4 gamma2 2.289585

5 P1 398.2204

6 P2 906.0224

7 k2 2.729494

8 k1 0.5676265

9 alpha12 0.2079604

Nonlinear equations 1 f(T) = 1 - k1 * x1 - k2 * x2 = 0

Explicit equations 1 x1 = 0.8 2 x2 = 1 - x1 3 gamma1 = 10 ^ (x2 * x2 * (0.3781 + 2 * x1 * (0.6848 - 0.3781))) 4 gamma2 = 10 ^ (x1 * x1 * (0.6848 + 2 * x2 * (0.3781 - 0.6848))) 5 P1 = 10 ^ (7.96681 - 1668.21 / (T + 228)) 6 P2 = 10 ^ (8.04494 - 1554.3 / (T + 222.65)) 7 k2 = gamma2 * P2 / 760 8 k1 = gamma1 * P1 / 760 9 alpha12 = k1 / k2


Grafica.

c)

Código.

d(T)/d(x1) = Kc * errT(0) = 79.1685d(L)/d(x1) = L / (x1 * (k1 - 1))L(0) = 100err = 1 - k1 * x1 - k2 * x2Kc = 500000x1(0) = 0.4x1(f) = 0.8x2 = 1 - x1gamma1 = 10 ^ (x2 * x2 * (0.3781 + 2 * x1 * (0.6848 - 0.3781)))gamma2 = 10 ^ (x1 * x1 * (0.6848 + 2 * x2 * (0.3781 - 0.6848)))P1 = 10 ^ (7.96681 - 1668.21 / (T + 228))P2 = 10 ^ (8.04494 - 1554.3 / (T + 222.65))k2 = gamma2 * P2 / 760k1 = gamma1 * P1 / 760

Aplicacion.


1 x1 0.4 0.4 0.8 0.8

2 T 79.1685 79.1685 82.84428 82.84428

3 L 100. 13.01228 100. 13.01228

4 P1 343.4646 343.4646 398.2021 398.2021

5 Kc 5.0E+05 5.0E+05 5.0E+05 5.0E+05

6 x2 0.6 0.2 0.6 0.2

7 gamma1 1.676662 1.08331 1.676662 1.08331

8 gamma2 1.123781 1.123781 2.289585 2.289585

9 k1 0.7577292 0.5669809 0.7577292 0.5676005

10 P2 785.5182 785.5182 905.9824 905.9824

11 k2 1.161514 1.161514 2.729373 2.729373

12 err 1.851E-07 1.851E-07 4.489E-05 4.489E-05

Differential equations 1 d(T)/d(x1) = Kc * err 2 d(L)/d(x1) = L / (x1 * (k1 - 1))

Explicit equations 1 P1 = 10 ^ (7.96681 - 1668.21 / (T + 228)) 2 Kc = 500000 3 x2 = 1 - x1

4 gamma1 = 10 ^ (x2 * x2 * (0.3781 + 2 * x1 * (0.6848 - 0.3781))) 5 gamma2 = 10 ^ (x1 * x1 * (0.6848 + 2 * x2 * (0.3781 - 0.6848))) 6 k1 = gamma1 * P1 / 760 7 P2 = 10 ^ (8.04494 - 1554.3 / (T + 222.65)) 8 k2 = gamma2 * P2 / 760 9 err = 1 - k1 * x1 - k2 * x2


Grafica.

CAPÍTULO 13: DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

13.1 MODELADO DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN.

a) Determine un punto de solución arbitraria,y ( t )k ∆ t

y tτ

, en la figura 13.1 para un sistema de

primer orden en el que τ=3 , τ=3 ,∆ μ=2. Verifique la solución para el punto seleccionado, resolviendo numéricamente la ecuación diferencial (13.2). Compare los

valores de la solución numérica de y ( t )k ∆ t

con los valores de la solución analítica calculados

a partir de la ecuación (13-13) en el rango de tτ

, utilizado en la figura 13-1

b) Utilice la solución numérica del apartado a) para determinar la respuesta de salida a

dimensional para un sistema de primer orden, cuando tτ=1. Calcule los valores de t

cuando la respuesta de salida alcanza el 95% y el 99% de su valor inicial.

c) Determine un punto de solución arbitraria,y ( t )k ∆ t

y tτ

, para un valor determinado de c1 para

el sistema de segundo orden mostrado en la figura 13.2. Los valores de los parámetros son τ=5 , k=4 y ∆ μ=10 . Resuelva numéricamente la ecuación diferencial (13-2) y compare la respuesta a dimensional calculada con la respuesta de la solución analítica determinada

partir de las ecuaciones (13-6) a (13-8). Genere la solución sobre el rango de tτ

utilizado en

la figura 13.2.d) repita el apartado c) para t=1 , y compare la respuesta a dimensional calculada con la

respuesta de la solución analítica determinada a partir de la ecuación (13-10). Genere la

solución sobre el rango de tτ

utilizado en la figura 13.2

e) Repita el apartado c) para un valor seleccionado de t<1 , mostrado en la figura 13.3 y compara la respuesta a dimensional calculada con la respuesta de la solución analítica determinada partir de las ecuaciones (13-10) a (13-12). Genere la solución sobre el rango

de tτ

utilizado en la figura 13.2

13.1(a) MODELADO DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN.

CODIGO#General First-Order Linear ODE with Step Change at t = 0tOVERtau=2 #Arbitrary selection: t/tau = 2tau=3 #Given value of tauk=3 #Given value of gaindu=2 #Given value of forcing function (disturbance)d(y) / d(t) = k*du/tau-y/tau #Differential equation

yOVERkduANAL=(1-exp(-tOVERtau)) #Calculated value of dimensionless responseyANAL=yOVERkduANAL*k*du #Calculated value of y(t)y(0) = 0 #Initial value of y(t)t(0) = 0 #initial value of tt(f) = 6 # Final value of t calcul.ated from t(f) = tOVERtau*tau = 2*3 = 6

SOLUCIONCalculated values of DEQ variables

Variable Initial value Minimal value Maximal value Final value

1 du 2. 2. 2. 2.

2 k 3. 3. 3. 3.

3 t 0 0 6. 6.

4 tau 3. 3. 3. 3.

5 tOVERtau 2. 2. 2. 2.

6 y 0 0 5.187988 5.187988

7 yANAL 5.187988 5.187988 5.187988 5.187988

8 yOVERkduANAL 0.8646647 0.8646647 0.8646647 0.8646647

Differential equations 1 d(y)/d(t) = k*du/tau-y/tau Differential equation

Explicit equations 1 tOVERtau = 2 Arbitrary selection: t/tau = 2

2 tau = 3 Given value of tau

3 k = 3 Given value of gain

4 du = 2 Given value of forcing function (disturbance)

5 yOVERkduANAL = (1-exp(-tOVERtau)) Calculated value of dimensionless response

6 yANAL = yOVERkduANAL*k*du Calculated value of y(t)


Number of differential equations 1

Number of explicit equations 6

Elapsed time 0.000 sec

Solution method RKF_45

Step size guess. h 0.000001

Truncation error tolerance. eps 0.000001

13.1 (b) MODELADO DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN.

CODIGO

#General First-Order Linear ODE with Step Change at t = 0tOVERtau=t/tau #Selected value of t/tautau=3 #Given value of tauk=3 #Given value of gaindu=2 #Given value of forcing function (disturbance)d(y) / d(t) = k*du/tau-y/tauy(0)=0 #Initial value of y(t)t(0) = 0 #initial value of tt(f) = 15 # Final value of t calcul.ated from t(f) = 15*tau = 15*3 = 15#yOVERkduCALC=(1-exp(-tOVERtau)) #Calculated value of dimensionless responseyCALC=yOVERkduCALC*k*duyOVERkduCALC=(1-exp(-t/tau)) #General calculation of dimensionless responsed(t95) / d(t) = if (y<0.95*k*du) then(1) else (0) t95(0) = 0d(t99) / d(t) = if (y<0.99*k*du) then(1) else (0) t99(0) = 0

SOLUCION

Calculated values of DEQ variables


1 du 2. 2. 2. 2.

2 k 3. 3. 3. 3.

3 t 0 0 15. 15.

4 t95 0 0 8.986726 8.986726

5 t99 0 0 13.81519 13.81519

6 tau 3. 3. 3. 3.

7 tOVERtau 0 0 5. 5.

8 y 0 0 5.959572 5.959572

9 yCALC 0 0 5.959572 5.959572

10 yOVERkduCALC 0 0 0.9932621 0.9932621

Differential equations 1 d(y)/d(t) = k*du/tau-y/tau 2 d(t95)/d(t) = if (y<0.95*k*du) then(1) else (0)

3 d(t99)/d(t) = if (y<0.99*k*du) then(1) else (0)

Explicit equations 1 tau = 3 Given value of tau

2 tOVERtau = t/tau Selected value of t/tau

3 k = 3 Given value of gain

4 du = 2 Given value of forcing function (disturbance)

5 yOVERkduCALC = (1-exp(-t/tau)) General calculation of dimensionless response

6 yCALC = yOVERkduCALC*k*du








13-1(c1) MODELADO DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN.

#General Linear Second-Order ODE with Step Change at t = 0#Case 1 - Overdamped Response whe zeta>1zeta=2 #Arbitrary selectiontau=5k=4du=10t(0) = 0t(f) = 75d(y) / d(t) = dydty(0) = 0d(dydt)/d(t)=-2*zeta*dydt/tau-y/tau^2+k*du/tau^2dydt(0)=0tOVERtau=t/tauyOVERkdu=y/(k*du)yOVERkduANAL=1+(tau1*exp(-t/tau1)-tau2*exp(-t/tau2))/(tau2-tau1)tau1=tau/(zeta-sqrt(zeta^2-1))tau2=tau/(zeta+sqrt(zeta^2-1))

SOLUCION



1 du 10. 10. 10. 10.

2 dydt 0 0 1.748445 0.0414922

3 k 4. 4. 4. 4.

4 t 0 0 75. 75.

5 tau 5. 5. 5. 5.

6 tau1 18.66025 18.66025 18.66025 18.66025

7 tau2 1.339746 1.339746 1.339746 1.339746

8 tOVERtau 0 0 15. 15.

9 y 0 0 39.22574 39.22574

10 yOVERkdu 0 0 0.9806436 0.9806436

11 yOVERkduANAL 0 0 0.9806436 0.9806436

12 zeta 2. 2. 2. 2.

Differential equations 1 d(y)/d(t) = dydt 2 d(dydt)/d(t) = -2*zeta*dydt/tau-y/tau^2+k*du/tau^2

Explicit equations 1 zeta = 2 Arbitrary selection

2 tau = 5 3 k = 4 4 du = 10 5 tOVERtau = t/tau 6 yOVERkdu = y/(k*du) 7 tau2 = tau/(zeta+sqrt(zeta^2-1)) 8 tau1 = tau/(zeta-sqrt(zeta^2-1)) 9 yOVERkduANAL = 1+(tau1*exp(-t/tau1)-tau2*exp(-t/tau2))/(tau2-tau1)








13-1(c2) MODELING THE DYNAMICS OF FIRST AND SECOND ORDER SYSTEMS |POLVER05_0 |1

CODIGO#General Linear Second-Order ODE with Step Change at t = 0#Case 1 - Overdamped Response whe zeta>1zeta=2 #Arbitrary selectiontau=5k=4du=10t(0) = 0t(f) = 25d(y) / d(t) = dydty(0) = 0d(dydt)/d(t)=-2*zeta*dydt/tau-y/tau^2+k*du/tau^2dydt(0)=0tOVERtau=t/tauyOVERkdu=y/(k*du)yOVERkduANAL=1+(tau1*exp(-t/tau1)-tau2*exp(-t/tau2))/(tau2-tau1)tau1=tau/(zeta-sqrt(zeta^2-1))tau2=tau/(zeta+sqrt(zeta^2-1))



1 du 10. 10. 10. 10.

2 dydt 0 0 1.74782 0.6048603

3 k 4. 4. 4. 4.

4 t 0 0 25. 25.

5 tau 5. 5. 5. 5.

6 tau1 18.66025 18.66025 18.66025 18.66025

7 tau2 1.339746 1.339746 1.339746 1.339746

8 tOVERtau 0 0 5. 5.

9 y 0 0 28.71315 28.71315

10 yOVERkdu 0 0 0.7178288 0.7178288

11 yOVERkduANAL 0 0 0.7178288 0.7178288

12 zeta 2. 2. 2. 2.

Differential equations 1 d(y)/d(t) = dydt 2 d(dydt)/d(t) = -2*zeta*dydt/tau-y/tau^2+k*du/tau^2

Explicit equations 1 zeta = 2 Arbitrary selection

2 tau = 5 3 k = 4 4 du = 10 5 tOVERtau = t/tau 6 yOVERkdu = y/(k*du) 7 tau2 = tau/(zeta+sqrt(zeta^2-1)) 8 tau1 = tau/(zeta-sqrt(zeta^2-1)) 9 yOVERkduANAL = 1+(tau1*exp(-t/tau1)-tau2*exp(-t/tau2))/(tau2-tau1)








13.2

13.2(a) DYNAMICS OF A U-TUBE MANOMETER |POLVER05_0 |1



1 alpha 2.475561 2.475561 2.475561 2.475561

2 dydt 0 -40.16738 90.87936 -0.0807995

3 g 980.7 980.7 980.7 980.7

4 hANAL 0 0 72.0405 49.93067

5 hNUM 0 0 72.0405 49.93067

6 kdu 50. 50. 50. 50.

7 L 150. 150. 150. 150.

8 mu 0.01 0.01 0.01 0.01

9 phi 1.317808 1.317808 1.317808 1.317808

10 R 0.25 0.25 0.25 0.25

11 rho 1. 1. 1. 1.

12 t 0 0 10. 10.

13 tau 0.3910907 0.3910907 0.3910907 0.3910907

14 tOVERtau 0 0 25.56951 25.56951

15 y 0 0 72.0405 49.93067

16 yOVERkdu 0 0 1.44081 0.9986134

17 yOVERkduANAL 0 0 1.44081 0.9986134

18 zeta 0.2502981 0.2502981 0.2502981 0.2502981

Differential equations 1 d(y)/d(t) = dydt 2 d(dydt)/d(t) = -2*zeta*dydt/tau-y/tau^2+kdu/tau^2

Explicit equations 1 L = 150 2 mu = 0.01 3 rho = 1.0 4 g = 980.7 5 R = 0.25 6 tau = sqrt(L/g) 7 zeta = 4*mu*sqrt(L/g)/(rho*R^2) 8 kdu = 50 9 tOVERtau = t/tau 10 yOVERkdu = y/(kdu) 11 phi = arctan(sqrt(1-zeta^2)/zeta) 12 alpha = sqrt(1-zeta^2)/tau 13 yOVERkduANAL = if (t>0) then (1-1/sqrt(1-zeta^2)*exp(-zeta*t/tau)*sin(alpha*t+phi)) else (0) 14 hNUM = y 15 hANAL = yOVERkduANAL*kdu








13.3 DYNAMICS AND STABILITY OF AN EXOTHERMIC CSTR

13.3 (a1) DYNAMICS AND STABILITY OF AN EXOTHERMIC CSTR |POLVER05_0 |1

13.4 AJUSTE DE UN MODELO DE PRIMER ORDEN CON TIEMPO MUERTO (MPOTM) A LOS DATOS DEL PROCESO

a) Utilice los datos de la figura 13.9 y los datos disponibles como un archivo de datos para determinar los parámetros de un modelo de primer orden con tiempo muerto dado por la ecuación 13.24

b) Repita el apartado a) con el archivo de datos proporcionado, donde la salida del controlador es escalonada 6 unidades a t=6.

P13.4(a) AJUSTE DE UN MODELO DE PRIMER ORDEN CON TIEMPO MUERTO (MPOTM) A LOS DATOS DEL PROCESO

CODIGOt T

0.0 24.90.9 25.11.2 25.11.4 24.91.7 25.12.2 24.92.5 24.82.8 24.83.0 24.93.6 25.23.8 25.24.1 25.54.4 25.84.9 26.25.2 26.45.4 26.55.7 26.96.2 27.26.5 27.66.7 27.77.0 27.97.5 28.37.8 28.38.1 28.58.3 28.58.9 29.09.1 29.09.4 29.49.7 29.110.2 29.710.5 29.710.7 29.711.0 29.711.5 30.111.8 30.012.0 30.412.3 30.212.8 30.313.1 30.513.4 30.7

13.6 30.914.2 30.914.4 30.914.7 31.215.0 31.215.5 31.315.7 31.416.0 31.516.3 31.316.8 31.517.1 31.517.3 31.717.6 31.518.1 31.718.4 31.818.7 31.918.9 31.919.5 31.919.7 32.020.0 31.920.3 32.120.8 32.121.0 32.221.3 32.321.6 32.122.1 32.122.4 32.222.6 32.122.9 32.323.4 32.223.7 32.424.0 32.324.2 32.624.8 32.425.0 32.325.3 32.525.6 32.626.1 32.626.3 32.726.6 32.426.9 32.7

27.4 32.527.7 32.827.9 32.428.2 32.528.7 32.829.0 32.629.3 32.729.5 32.530.1 32.630.3 32.630.6 32.530.8 32.831.4 32.831.6 32.831.9 32.732.2 32.832.7 32.933.0 32.933.2 32.833.5 33.034.0 32.934.3 32.734.6 32.934.8 32.935.4 32.735.6 32.835.9 32.836.1 32.836.7 33.136.9 33.037.2 33.037.5 32.938.0 33.038.3 32.838.5 32.838.8 32.939.3 33.139.6 32.839.9 33.040.1 32.940.7 32.8

40.9 32.841.2 32.841.4 32.942.0 33.142.2 33.042.5 32.942.8 33.143.3 32.843.6 32.943.8 32.944.1 32.944.6 33.044.9 32.845.2 33.045.4 33.145.9 33.046.2 33.146.5 33.046.7 32.947.3 33.047.5 32.847.8 33.148.1 33.048.6 33.048.9 32.849.1 32.949.4 32.949.9 33.150.0 32.8

SOLUCION

Model: T = if(t<(2+thetaP))then(Ts)else(Ts+Kp*4*(1-exp((-t+2+thetaP)/tauP)))

Variable Initial guess Value 95% confidence

thetaP 1. 1.503805 0.1154612

Ts 25. 24.94444 0.0742246

Kp 2. 2.011296 0.0201626

tauP 9. 7.897726 0.1706773

Nonlinear regression settings Max # iterations = 64

Precision R^2 0.9979303

R^2adj 0.9978881

Rmsd 0.0091222

Variance 0.0129074

General Sample size 151

Model vars 4

Indep vars 1

Iterations 4

Source data points and calculated data points

t T T calc Delta T

1 0 24.9 24.94444 -0.0444444

2 0.9 25.1 24.94444 0.1555556

3 1.2 25.1 24.94444 0.1555556

4 1.4 24.9 24.94444 -0.0444444

5 1.7 25.1 24.94444 0.1555556

6 2.2 24.9 24.94444 -0.0444444

7 2.5 24.8 24.94444 -0.1444444

8 2.8 24.8 24.94444 -0.1444444

9 3 24.9 24.94444 -0.0444444

10 3.6 25.2 25.04184 0.1581592

11 3.8 25.2 25.24058 -0.0405815

12 4.1 25.5 25.52941 -0.0294134

13 4.4 25.8 25.80748 -0.0074797

14 4.9 26.2 26.24808 -0.0480827

15 5.2 26.4 26.49936 -0.0993618

16 5.4 26.5 26.66166 -0.1616561

17 5.7 26.9 26.89752 0.00248

18 6.2 27.2 27.27125 -0.0712524

19 6.5 27.6 27.48439 0.1156053

20 6.7 27.7 27.62206 0.0779426

21 7 27.9 27.82212 0.0778759

22 7.5 28.3 28.13913 0.1608652

23 7.8 28.3 28.31993 -0.0199284

24 8.1 28.5 28.49398 0.0060169

25 8.3 28.5 28.6064 -0.1064003

26 8.9 29 28.92706 0.0729352

27 9.1 29 29.02865 -0.0286525

28 9.4 29.4 29.17629 0.2237092

29 9.7 29.1 29.31843 -0.2184262

30 10.2 29.7 29.54364 0.1563566

31 10.5 29.7 29.67209 0.0279137

32 10.7 29.7 29.75504 -0.0550441

33 11 29.7 29.87561 -0.1756075

34 11.5 30.1 30.06664 0.0333567

35 11.8 30 30.17559 -0.1755924

36 12 30.4 30.24596 0.1540404

37 12.3 30.2 30.34823 -0.148225

38 12.8 30.3 30.51027 -0.2102672

39 13.1 30.5 30.60268 -0.102681

40 13.4 30.7 30.69165 0.0083498

41 13.6 30.9 30.74911 0.150887

42 14.2 30.9 30.91302 -0.0130228

43 14.4 30.9 30.96495 -0.06495

44 14.7 31.2 31.04042 0.1595837

45 15 31.2 31.11307 0.0869302

46 15.5 31.3 31.22819 0.071809

47 15.7 31.4 31.27224 0.1277628

48 16 31.5 31.33625 0.1637501

49 16.3 31.3 31.39788 -0.0978767

50 16.8 31.5 31.49553 0.0044741

51 17.1 31.5 31.55122 -0.0512159

52 17.3 31.7 31.58718 0.1128154

53 17.6 31.5 31.63946 -0.1394582

54 18.1 31.7 31.72229 -0.0222872

55 18.4 31.8 31.76953 0.0304749

56 18.7 31.9 31.815 0.0849977

57 18.9 31.9 31.84437 0.0556252

58 19.5 31.9 31.92816 -0.0281584

59 19.7 32 31.9547 0.0452987

60 20 31.9 31.99328 -0.0932764

61 20.3 32.1 32.03041 0.0695863

62 20.8 32.1 32.08926 0.0107413

63 21 32.2 32.11177 0.0882268

64 21.3 32.3 32.14449 0.1555063

65 21.6 32.1 32.17599 -0.0759946

66 22.1 32.1 32.22591 -0.1259087

67 22.4 32.2 32.25438 -0.054375

68 22.6 32.1 32.27276 -0.1727606

69 22.9 32.3 32.29948 0.0005194

70 23.4 32.2 32.34182 -0.1418192

71 23.7 32.4 32.36597 0.0340348

72 24 32.3 32.38921 -0.0892111

73 24.2 32.6 32.40423 0.1957749

74 24.8 32.4 32.44705 -0.0470516

75 25 32.3 32.46062 -0.1606192

76 25.3 32.5 32.48034 0.0196629

77 25.6 32.6 32.49932 0.1006799

78 26.1 32.6 32.5294 0.0706009

79 26.3 32.7 32.54091 0.1590925

80 26.6 32.4 32.55763 -0.1576329

81 26.9 32.7 32.57373 0.1262652

82 27.4 32.5 32.59925 -0.0992487

83 27.7 32.8 32.6138 0.1862006

84 27.9 32.4 32.6232 -0.2231973

85 28.2 32.5 32.63686 -0.1368555

86 28.7 32.8 32.6585 0.1415029

87 29 32.6 32.67084 -0.0708395

88 29.3 32.7 32.68272 0.0172782

89 29.5 32.5 32.6904 -0.1903963

90 30.1 32.6 32.71229 -0.1122873

91 30.3 32.6 32.71922 -0.1192225

92 30.6 32.5 32.7293 -0.2293014

93 30.8 32.8 32.73581 0.0641888

94 31.4 32.8 32.75438 0.0456202

95 31.6 32.8 32.76026 0.0397376

96 31.9 32.7 32.76881 -0.0688117

97 32.2 32.8 32.77704 0.0229577

98 32.7 32.9 32.79008 0.1099161

99 33 32.9 32.79752 0.1024784

100 33.2 32.8 32.80233 -0.0023254

101 33.5 33 32.80931 0.1906932

102 34 32.9 32.82037 0.0796309

103 34.3 32.7 32.82668 -0.126678

104 34.6 32.9 32.83275 0.0672483

105 34.8 32.9 32.83667 0.0633254

106 35.4 32.7 32.84786 -0.1478643

107 35.6 32.8 32.85141 -0.0514093

108 35.9 32.8 32.85656 -0.0565612

109 36.1 32.8 32.85989 -0.0598887

110 36.7 33.1 32.86938 0.2306198

111 36.9 33 32.87239 0.1276129

112 37.2 33 32.87676 0.1232429

113 37.5 32.9 32.88096 0.0190358

114 38 33 32.88763 0.1123695

115 38.3 32.8 32.89143 -0.0914324

116 38.5 32.8 32.89389 -0.0938879

117 38.8 32.9 32.89746 0.0025435

118 39.3 33.1 32.90311 0.196889

119 39.6 32.8 32.90634 -0.1063359

120 39.9 33 32.90944 0.0905595

121 40.1 32.9 32.91145 -0.0114457

122 40.7 32.8 32.91717 -0.1171654

123 40.9 32.8 32.91898 -0.1189774

124 41.2 32.8 32.92161 -0.1216109

125 41.4 32.9 32.92331 -0.0233117

126 42 33.1 32.92816 0.1718366

127 42.2 33 32.9297 0.0702996

128 42.5 32.9 32.93193 -0.0319341

129 42.8 33.1 32.93408 0.1659154

130 43.3 32.8 32.93749 -0.1374922

131 43.6 32.9 32.93944 -0.0394355

132 43.8 32.9 32.94069 -0.0406906

133 44.1 32.9 32.94251 -0.0425148

134 44.6 33 32.94541 0.0545949

135 44.9 32.8 32.94705 -0.1470535

136 45.2 33 32.94864 0.0513595

137 45.4 33.1 32.94967 0.1503346

138 45.9 33 32.95212 0.0478829

139 46.2 33.1 32.95352 0.1464847

140 46.5 33 32.95486 0.0451386

141 46.7 32.9 32.95573 -0.0557308

142 47.3 33 32.95821 0.0417892

143 47.5 32.8 32.959 -0.1589964

144 47.8 33.1 32.96014 0.1398618

145 48.1 33 32.96124 0.0387625

146 48.6 33 32.96298 0.0370207

147 48.9 32.8 32.96397 -0.1639726

148 49.1 32.9 32.96461 -0.0646142

149 49.4 32.9 32.96555 -0.0655466

150 49.9 33.1 32.96702 0.132976

151 50 32.8 32.96731 -0.1673085

13.4 (b) El

planteamiento es el mismo, mas un ligero cambio en datos, por ello no es prescindible la resolución de este punto.

13.5 DINÁMICA Y CONTROL DE UN FLUJO A TRAVÉS DE UN TANQUE DE ALMACENAMIENTOa. Considere el tanque de almacenamiento solo con la tubería de salida (sin válvula de

control), cuando Ac=10 m2, hs=5, F1=F2=3m3/min. Demuestre el efecto de linealizacion introduciendo un cambio de escalón en la velocidad de flujo de alimentación para t=o, en el tanque de alimentación al 50% de la velocidad de alimentación del estado estacionario original. ¿Cuál es el nuevo valor de estado estacionario de h? Represente gráficamente los cambios calculados en las dos alturas calculadas del tanque de la primera ecuación (13-30), en el tiempo en el que h disminuye al 105% de nuevo valor de estado estacionario ¿Cuál es el porcentaje de error en el cálculo de modelo linealizado de hl para t=10, 20,30 y 40 minutos y en el nuevo estado estacionario?

b. Implemente un control PI en la válvula de salida para el tanque de almacenamiento del apartado a) cuando kc =2, y τ=0.6 . Represente gráficamente la altura del nivel del líquido frente al tiempo.

c. Repita el apartado b) cuando se elimina la acción de control integral, ¿Cuál es el valor de la variable de desviación h (o fuera de ajuste) en el nuevo estado estacionario?

d. Repita el apartado b) para diferentes combinaciones de kc y τ1 que conduzcan a respuestas sobreamortiguadas, críticamente amortiguadas e infra amortiguadas.

e. Investigue la respuesta para h cuando k=2 y τ1=0.6, cuando la velocidad de alimentación F1, que es de 3m3/min durante 2 minutos, aumente a 3.5 m3/min durante 5 minutos y a continuación vuelva a ser de 3.0 m3/min. Las condiciones de estado estacionario son las mismas que el apartado a).

13.5(a) DINÁMICA Y CONTROL DE UN FLUJO A TRAVÉS DE UN TANQUE DE ALMACENAMIENTO

CÓDIGO

d(h) / d(t) = (F1-c*sqrt(h))/Ac #Accurate model differential equationh(0) = 5 #Initial condition for liquid level hd(hl)/d(t)=(F1-c/2*sqrt(hs)-c/2*hl/sqrt(hs))/Ac #Linearized model differential equationhl(0) = 5 #Initial condition for liquid level hlAc=10 #Cross sectional area of tankhs=5 #Initial steady state liquid level c=3/sqrt(hs) #Constant for calculation of outlet volumetric flow rate using liquid level heightF1=3*0.5 #Calculation of new input flow rate at 50% of the original (step function at t = 0t(0) = 0 #Initial condition on timet(f) = 78 #Final value of time (must be greated than tLIM)hsNEW=(1.5/c)^2 #Calculation of new steady-state tank height after step function in F1d(tLIM)/d(t)=if(h>1.05*hsNEW)then(1)else(0) #Variable tLIM follows the time t until desired time condition is satisfiedtLIM(0)=0 #Initial condition on tLIM

SOLUCION



1 Ac 10. 10. 10. 10.

2 c 1.341641 1.341641 1.341641 1.341641

3 F1 1.5 1.5 1.5 1.5

4 h 5. 1.312282 5. 1.312282

5 hl 5. 0.4816382 5. 0.4816382

6 hs 5. 5. 5. 5.

7 hsNEW 1.25 1.25 1.25 1.25

8 t 0 0 78. 78.

9 tLIM 0 0 77.93929 77.93929

Differential equations 1 d(h)/d(t) = (F1-c*sqrt(h))/Ac Accurate model differential equation

2 d(hl)/d(t) = (F1-c/2*sqrt(hs)-c/2*hl/sqrt(hs))/Ac Linearized model differential equation

3 d(tLIM)/d(t) = if(h>1.05*hsNEW)then(1)else(0) Variable tLIM follows the time t until desired time condition is satisfied

Explicit equations 1 Ac = 10 Cross sectional area of tank

2 hs = 5 Initial steady state liquid level

3 c = 3/sqrt(hs) Constant for calculation of outlet volumetric flow rate using liquid level height

4 F1 = 3*0.5 Calculation of new input flow rate at 50% of the original (step function at t = 0

5 hsNEW = (1.5/c)^2 Calculation of new steady-state tank height after step function in F1








13.5 (b) DINÁMICA Y CONTROL DE UN FLUJO A TRAVÉS DE UN TANQUE DE ALMACENAMIENTOCODIGO

d(errsum) / d(t) = hp # The symbol for the prime ‘ is “p”errsum(0) = 0d(hp) / d(t) = (F1p-(Kc*hp+Kc*errsum/tauI))/Act(0) = 0t(f) = 40hp(0) = 0Ac=10hs=5F1s=3F2s=3Kc= 2.tauI=0.6F1p=F1-F1sF1=0.50*F1sF2p=Kc*hp+Kc*errsum/tauIF2=F2p+F2s

h=hp+hs



1 Ac 10. 10. 10. 10.

2 errsum 0 -0.7077177 0 -0.4570012

3 F1 1.5 1.5 1.5 1.5

4 F1p -1.5 -1.5 -1.5 -1.5

5 F1s 3. 3. 3. 3.

6 F2 3. 0.5823011 3. 1.483276

7 F2p 0 -2.417699 0 -1.516724

8 F2s 3. 3. 3. 3.

9 h 5. 4.796915 5.116782 5.003307

10 hp 0 -0.2030847 0.1167817 0.0033068

11 hs 5. 5. 5. 5.

12 Kc 2. 2. 2. 2.

13 t 0 0 40. 40.

14 tauI 0.6 0.6 0.6 0.6

Differential equations 1 d(errsum)/d(t) = hp The symbol for the prime ' is "p"

2 d(hp)/d(t) = (F1p-(Kc*hp+Kc*errsum/tauI))/Ac

Explicit equations 1 Ac = 10 2 hs = 5 3 F1s = 3 4 F2s = 3 5 Kc = 2. 6 tauI = 0.6 7 F1 = 0.50*F1s 8 F1p = F1-F1s 9 F2p = Kc*hp+Kc*errsum/tauI 10 F2 = F2p+F2s 11 h = hp+hs








GRAFICA

13.6 DINÁMICA Y CONTROL DEL CALENTADOR DE UN TANQUE

a.Evalué la

ejecución o rendimiento del lazo o bucle abierto (fije kc=0) de este sistema cuando el opera inicialmente en el estado estacionario del diseño a una temperatura de 80oC ,

con una temperatura de entrada T1, y variando espontáneamente a 40oC para t=10 min. Represente gráficamente las temperaturas T1, T0 y Tm en el estado estacionario y verifique que la aproximación de Padé para 1 min de tiempo muerto, dada en la ecuación (13-44), funciona correctamente.

b. Evalué la ejecución del lazo abierto del sistema para las condiciones del aparatado a) y los parámetros de la línea base de la Tabla 13.6. Represente gráficamente T1, T0 y Tm en el estado estacionario.

c. Repita el apartado b) con kc= 500 KJ/min °Cd. Repita el apartado c) para una acción de control solamente proporcional, fijando el

término k0

τ0

=0

e. Implemente limites en que q (como para la ecuación (13-49) para que le máximo sea 2.6 veces el valor del estado estacionario en la línea base y para que el mínimo sea cero. Evalué la respuesta del sistema para el estado estacionario en la base para un controlador solamente proporcional, cuando el punto de de ajuste deseado se cambia desde 80°C a 90°C, a t=10 minutos, con kc= 5000 Kj/min °C. Represente gráficamente q y qm. (Valor frontera de q) frente al tiempo en estado estacionario para demostrar los limites. Represente gráficamente las temperaturas T1, T0 y Tm en estado estacionario para indicar la ejecución o rendimiento del controlador.

13.6(a) DINÁMICA Y CONTROL DEL CALENTADOR DE UN TANQUE

CODIGO

d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp

d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum d(errsum)/d(t) = Tr-Tm WC = 500 rhoVCp = 4000 taud = 1 taum = 5 Tr = 80 Kc = 0 tauI = 2 step = if (t<10) then (0) else (1) Ti = 60+step*(-20) q = 10000+Kc*(Tr-Tm)+Kc/tauI*errsum dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp t(0)=0T(0)=80T0(0)=80Tm(0)=80errsum(0)=0t(f)=60

SOLUCION



1 dTdt 0 -2.433996 0 -0.0048262

2 errsum 0 -0.0212722 720.9236 720.9236

3 Kc 0 0 0 0

4 q 10000. 10000. 10000. 10000.

5 rhoVCp 4000. 4000. 4000. 4000.

6 step 0 0 1. 1.

7 t 0 0 60. 60.

8 T 80. 60.03861 80. 60.03861

9 T0 80. 60.04376 80.33025 60.04376

10 taud 1. 1. 1. 1.

11 tauI 2. 2. 2. 2.

12 taum 5. 5. 5. 5.

13 Ti 60. 40. 60. 40.

14 Tm 80. 60.11484 80.03475 60.11484

15 Tr 80. 80. 80. 80.

16 WC 500. 500. 500. 500.

Differential equations 1 d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp 2 d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud 3 d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum

4 d(errsum)/d(t) = Tr-Tm

Explicit equations 1 WC = 500 2 rhoVCp = 4000 3 taud = 1 4 taum = 5 5 Tr = 80 6 Kc = 0 7 tauI = 2 8 step = if (t<10) then (0) else (1) 9 Ti = 60+step*(-20) 10 q = 10000+Kc*(Tr-Tm)+Kc/tauI*errsum 11 dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp








13.6(b) DINÁMICA Y CONTROL DEL CALENTADOR DE UN TANQUE

CODIGO

d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum d(errsum)/d(t) = Tr-Tm

WC = 500 rhoVCp = 4000 taud = 1 taum = 5 Tr = 80 Kc = 50 tauI = 2 step = if (t<10) then (0) else (1) Ti = 60+step*(-20) q = 10000+Kc*(Tr-Tm)+Kc/tauI*errsum dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp t(0)=0T(0)=80T0(0)=80Tm(0)=80errsum(0)=0t(f)=200

SOLUCION



1 dTdt 0 -2.499889 0.5337551 -0.0003567

2 errsum 0 -9.723E-13 433.1851 400.108

3 Kc 50. 50. 50. 50.

4 q 10000. 10000. 2.084E+04 2.0E+04

5 rhoVCp 4000. 4000. 4000. 4000.

6 step 0 0 1. 1.

7 t 0 0 200. 200.

8 T 80. 65.2627 81.30747 80.00738

9 T0 80. 65.25192 81.30077 80.00773

10 taud 1. 1. 1. 1.

11 tauI 2. 2. 2. 2.

12 taum 5. 5. 5. 5.

13 Ti 60. 40. 60. 40.

14 Tm 80. 66.37065 81.19893 80.00876

15 Tr 80. 80. 80. 80.

16 WC 500. 500. 500. 500.

Differential equations 1 d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp 2 d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud 3 d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum 4 d(errsum)/d(t) = Tr-Tm









GRAFICA

13.6(c) DINÁMICA Y CONTROL DEL CALENTADOR DE UN TANQUECODIGO

d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud

d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum d(errsum)/d(t) = Tr-Tm WC = 500 rhoVCp = 4000 taud = 1 taum = 5 Tr = 80 Kc = 500 tauI = 2 step = if (t<10) then (0) else (1) Ti = 60+step*(-20) q = 10000+Kc*(Tr-Tm)+Kc/tauI*errsum dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp t(0)=0T(0)=80T0(0)=80Tm(0)=80errsum(0)=0t(f)=200

SOLUCION



1 dTdt 0 -4.096164 3.83461 -3.87816

2 errsum 0 -23.30637 108.5078 -20.61517

3 Kc 500. 500. 500. 500.

4 q 10000. 748.8258 3.818E+04 748.8258

5 rhoVCp 4000. 4000. 4000. 4000.

6 step 0 0 1. 1.

7 t 0 0 200. 200.

8 T 80. 61.39518 99.89617 72.52293

9 T0 80. 61.48639 99.65214 76.49384

10 taud 1. 1. 1. 1.

11 tauI 2. 2. 2. 2.

12 taum 5. 5. 5. 5.

13 Ti 60. 40. 60. 40.

14 Tm 80. 66.9102 93.99401 88.19476

15 Tr 80. 80. 80. 80.

16 WC 500. 500. 500. 500.










13.6(d) DINÁMICA Y CONTROL DEL CALENTADOR DE UN TANQUECODIGO

d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum d(errsum)/d(t) = Tr-Tm WC = 500 rhoVCp = 4000

taud = 1 taum = 5 Tr = 80 Kc = 500 tauI = 2 step = if (t<10) then (0) else (1) Ti = 60+step*(-20) q = 10000+Kc*(Tr-Tm) dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp t(0)=0T(0)=80T0(0)=80Tm(0)=80errsum(0)=0t(f)=60

SOLUCION POLYMATH



1 dTdt 0 -2.434634 0.1694501 0.0001812

2 errsum 0 -0.0210966 429.9845 429.9845

3 Kc 500. 500. 500. 500.

4 q 10000. 9982.641 1.53E+04 1.5E+04

5 rhoVCp 4000. 4000. 4000. 4000.

6 step 0 0 1. 1.

7 t 0 0 60. 60.

8 T 80. 68.38093 80. 69.99421

9 T0 80. 68.38557 80.33124 69.99416

10 taud 1. 1. 1. 1.

11 tauI 2. 2. 2. 2.

12 taum 5. 5. 5. 5.

13 Ti 60. 40. 60. 40.

14 Tm 80. 69.39955 80.03472 70.00434

15 Tr 80. 80. 80. 80.

16 WC 500. 500. 500. 500.


Explicit equations 1 WC = 500

2 rhoVCp = 4000 3 taud = 1 4 taum = 5 5 Tr = 80 6 Kc = 500 7 tauI = 2 8 step = if (t<10) then (0) else (1) 9 Ti = 60+step*(-20) 10 q = 10000+Kc*(Tr-Tm) 11 dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp








13.6 (e) DINÁMICA Y CONTROL DEL CALENTADOR DE UN TANQUECODIGO

d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+qlim)/rhoVCp d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum d(errsum)/d(t) = Tr-Tm WC = 500

Ti = 60 rhoVCp = 4000 taud = 1 taum = 5 Kc = 5000 tauI = 2 step = if (t<10) then (0) else (1) Tr = 80+step*(10) q = 10000+Kc*(Tr-Tm) qlim = if(q<0)then(0)else(if(q>=2.6*10000)then(2.6*10000)else (q)) dTdt = (WC*(Ti-T)+qlim)/rhoVCp t(0)=0T(0)=80T0(0)=80Tm(0)=80errsum(0)=0t(f)=200

SOLUCION



1 dTdt 0 -3.907774 4. -0.002506

2 errsum 0 0 211.0624 211.0624

3 Kc 5000. 5000. 5000. 5000.

4 q 10000. -660.17 6.0E+04 1.453E+04

5 qlim 10000. 0 2.6E+04 1.453E+04

6 rhoVCp 4000. 4000. 4000. 4000.

7 step 0 0 1. 1.

8 T 80. 80. 97.47784 89.08812

9 t 0 0 200. 200.

10 T0 80. 80. 98.4204 89.0909

11 taud 1. 1. 1. 1.

12 tauI 2. 2. 2. 2.

13 taum 5. 5. 5. 5.

14 Ti 60. 60. 60. 60.

15 Tm 80. 80. 92.13203 89.09319

16 Tr 80. 80. 90. 90.

17 WC 500. 500. 500. 500.

Differential equations 1 d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+qlim)/rhoVCp 2 d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud 3 d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum 4 d(errsum)/d(t) = Tr-Tm

Explicit equations

1 WC = 500 2 Ti = 60 3 rhoVCp = 4000 4 taud = 1 5 taum = 5 6 Kc = 5000 7 tauI = 2 8 step = if (t<10) then (0) else (1) 9 Tr = 80+step*(10) 10 q = 10000+Kc*(Tr-Tm) 11 qlim = if(q<0)then(0)else(if(q>=2.6*10000)then(2.6*10000)else (q)) 12 dTdt = (WC*(Ti-T)+qlim)/rhoVCp








13.7 AJUSTE DE UN CONTROLADOR USANDO CORRELACIONES DE UN CONTROL DE MODELO INTERNO (CMI)

El calentador del tanque agitado mostrado en la figura 13.16 del problema 13.6 está operando en las condiciones de línea base del estado estacionario y los parámetros el controlador dado en la Tabla 13.6. Se fijo un modelo de primer orden con el tiempo muerto (MPOTM) para la

temperatura medida, Tm, a medida que se variaba la entrada de energía q desde su valor de estado estacionario. Los parámetros MPOTM resultaron ser kp= 0.002°C/(KJ/min), τ=10.7minutos y τ=3.87minutos.

a. Determine los parámetros de ajuste del controlador cuando el control drástico o intensivo CMI está basado en los parámetros MPOTM. Prediga la temperatura del tanque T durante 60 minutos cuando se produce una alteración en la alimentación, después de 5 minutos con la temperatura de estado estacionario T1= 60°C y se produce un incremento (en escalón) de la temperatura hasta 65°C durante cinco minutos y a continuación una disminución (en escalón) hasta 50 °C durante cinco minutos y finalmente una estabilización de la temperatura a 60°C. También represente el valor de q resultante durante 60 minutos, mientras tiene lugar la alteración de la temperatura de la alimentación.

b. Repita el apartado a) para los parámetros CMI de ajuste moderado.c. Repita el apartado a) para los parámetros CMI de ajuste conservador.d. ¿Qué diferencias cualitativas se observan entre los tres niveles de ajuste del

controlador?

13.7(a) AJUSTE DE UN CONTROLADOR USANDO CORRELACIONES DE UN CONTROL DE MODELO INTERNO (CMI)

CODIGO

d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum d(errsum)/d(t) = Tr-Tm WC = 500 rhoVCp = 4000 taud = 1 taum = 5 Tr = 80 Kc = 768 tauI = 10.7 Ti = if(t<5)then(60)else(if(t<10)then(65)else(if(t<15)then(50)else(60))) q = 10000+Kc*(Tr-Tm)+Kc/tauI*errsum dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp t(0)=0T(0)=80T0(0)=80Tm(0)=80errsum(0)=0t(f)=60

SOLUCION



1 dTdt 0 -1.628277 0.623245 0.0068511

2 errsum 0 -4.236028 11.89112 0.5373446

3 Kc 768. 768. 768. 768.

4 q 10000. 9064.034 1.179E+04 1.005E+04

5 rhoVCp 4000. 4000. 4000. 4000.

6 T 80. 75.86689 82.12333 80.03665

7 t 0 0 60. 60.

8 T0 80. 76.05806 82.20136 80.02872

9 taud 1. 1. 1. 1.

10 tauI 10.7 10.7 10.7 10.7

11 taum 5. 5. 5. 5.

12 Ti 60. 50. 65. 60.

13 Tm 80. 78.03728 80.97694 79.99067

14 Tr 80. 80. 80. 80.

15 WC 500. 500. 500. 500.


Explicit equations 1 WC = 500 2 rhoVCp = 4000 3 taud = 1 4 taum = 5 5 Tr = 80 6 Kc = 768 7 tauI = 10.7 8 Ti = if(t<5)then(60)else(if(t<10)then(65)else(if(t<15)then(50)else(60))) 9 q = 10000+Kc*(Tr-Tm)+Kc/tauI*errsum 10 dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp








13.9 AJUSTE DE UN CONTROLADOR DE LAZO CERRADO. EL MÉTODO DE ZIEGLER- NICHOLS.

a. Determine la ganancia ultima kcu , y el periodo ultimo Pu para el proceso del calentador del tanque agitado descrito en el problema 13.6

b. Calcule los parámetros de ajuste de Ziegler Nichols k c y τ1 para un controlador PI y determine la respuesta esperada de la temperatura medida Tm en un calentador de tanque agitado en estado estacionario a una disminución escalonada de la temperatura de entrada T1 hasta 50°C con estos ajustes.

c. Repita el apartado b) para los parámetros de ajuste de Tyreus-Luyben.d. Compare las acciones de control de los parámetros de Ziegler-Nichols y los de

Tyreus Luyben.

13.9(a) AJUSTE DE UN CONTROLADOR DE LAZO CERRADO. EL MÉTODO DE ZIEGLER- NICHOLS. CODIGO

d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum d(errsum)/d(t) = Tr-Tm WC = 500 rhoVCp = 4000 taud = 1 taum = 5 Tr = 80+0.1*step Kc = 7030 tauI = 2 step = if (t<10) then (0) else (if(t<20)then(1) else(0))Ti = 60q = 10000+Kc*(Tr-Tm)+Kc/tauI*errsum*0 dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp t(0)=0T(0)=80T0(0)=80Tm(0)=80errsum(0)=0t(f)=100

SOLUCION



1 dTdt 0 -0.1615724 0.17575 0.0772332

2 errsum 0 -0.0291432 0.2724174 -0.0059988

3 Kc 7030. 7030. 7030. 7030.

4 q 10000. 9391.271 1.071E+04 1.026E+04

5 rhoVCp 4000. 4000. 4000. 4000.

6 step 0 0 1. 0

7 t 0 0 100. 100.

8 T 80. 79.81082 80.37768 79.90257

9 T0 80. 79.81095 80.37773 79.84572

10 taud 1. 1. 1. 1.

11 tauI 2. 2. 2. 2.

12 taum 5. 5. 5. 5.

13 Ti 60. 60. 60. 60.

14 Tm 80. 79.94495 80.18659 79.96298

15 Tr 80. 80. 80.1 80.

16 WC 500. 500. 500. 500.


Explicit equations 1 WC = 500 2 rhoVCp = 4000 3 taud = 1 4 taum = 5 5 step = if (t<10) then (0) else (if(t<20)then(1) else(0)) 6 Kc = 7030 7 tauI = 2 8 Tr = 80+0.1*step 9 Ti = 60 10 q = 10000+Kc*(Tr-Tm)+Kc/tauI*errsum*0 11 dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp








GRAFICA

13.10 AJUSTE DE UN CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI) USANDO EL MÉTODO DE LA VARIACIÓN DE AUTOAJUSTE “VAA”

a. Determine la frecuencia final y la ganancia final para la línea base del proceso de calentamiento del tanque descrito en el problema 13.6 utilizando el método de ajuste ATV.

b. Haga Kc igual a la ganancia ultima o final que se determino en el apartado a) utilizando u controlador solamente proporcional y observe si los ciclos limite teóricamente esperados se obtienen para las condiciones del apartado a).

c. Utilice los parámetros de ajuste de Zeigler-Nichols calculados a partir de la tabla 13.11 para determinar la respuesta de la temperatura medida , Tm , a un escalón descendente del 50 %, tanto en la velocidad de alimentación como en la velocidad de flujo de salida, w , para t=20 minutos.

d. Repita el apartado c) utilizando los parámetros de ajuste de Tyreus-Luyben de la Tabla 13.11.

13.10(a) AJUSTE DE UN CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI) USANDO EL MÉTODO DE LA VARIACIÓN DE AUTOAJUSTE “VAA”

CODIGO

d(T)/d(t) = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp d(T0)/d(t) = (T-T0-(taud/2)*dTdt)*2/taud d(Tm)/d(t) = (T0-Tm)/taum d(errsum)/d(t) = Tr-Tm

WC = 500 rhoVCp = 4000 taud = 1 taum = 5 Tr = 80Ti = 60 Kc = 0error=Tr-Tm relay=if(error<0)then(-1)else(1)q = 10000+relay*4000dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp t(0)=0T(0)=80T0(0)=80Tm(0)=80errsum(0)=0t(f)=100

SOLUCION


1 dTdt 1. -1.345165 1.314801 0.7957389

2 error 0 -0.7822353 0.7838133 0.5534757

3 errsum 0 -1.417726 1.51639 1.043887

4 Kc 0 0 0 0

5 q 1.4E+04 6000. 1.4E+04 1.4E+04

6 relay 1. -1. 1. 1.

7 rhoVCp 4000. 4000. 4000. 4000.

8 T 80. 77.24782 82.76132 81.63409

9 t 0 0 100. 100.

10 T0 80. 77.31076 82.68879 80.78577

11 taud 1. 1. 1. 1.

12 taum 5. 5. 5. 5.

13 Ti 60. 60. 60. 60.

14 Tm 80. 79.21619 80.78224 79.44652

15 Tr 80. 80. 80. 80.

16 WC 500. 500. 500. 500.


Explicit equations

1 WC = 500 2 rhoVCp = 4000 3 taud = 1 4 taum = 5 5 Tr = 80 6 Ti = 60 7 Kc = 0 8 error = Tr-Tm 9 relay = if(error<0)then(-1)else(1) 10 q = 10000+relay*4000 11 dTdt = (WC*(Ti-T)+q)/rhoVCp








GRAFICA

13.13 CONTROL DE NIVEL DE DOS TANQUES INTERACTIVOS

Utilice el controlador solo con la acción proporcional y determine el valor máximo de K para el que los tanques no se desborden durante el inicio del estado estacionario. Verifique que H2=Hd, en estado estacionario.

Intente eliminar el desbalance observado en el apartado a), incluyendo la acción integral en la operación del controlador.Observe y explique qué sucede si la acción integral se apagara cuando el flujo comience.Active la acción integral del controlador 15 minutos después de que el flujo comience, utilizando Kc para el apartado a) , y determine el tiempo integral τ1 que minimiza el tiempo en un estado estacionario estable y no oscilatorio , medido por la integral del error absoluto. Esto se calcula mediante:

∬15

80

H 2−H ddt

13.13(a) CONTROL DE NIVEL DE DOS TANQUES INTERACTIVOS

CODIGO

d(H1)/d(t)=4*(Q1-Q2)/(3.1416*d^2)d(H2)/d(t)=4*(Q2-Q0)/(3.1416*d^2)Q2=if (H1>H2) then (63.2*sqrt(H1-H2)) else (0)err=H2-HdQ0=if (H2>0) then (C0*sqrt(H2)) else (0)Q11=Qmax*(0.5-Kc*(H2-Hd))Q1=if (Q11>Qmax) then (Qmax) else (if (Q11<0) then (0) else (Q11))Kc=0.48Hd=5C0=31.6Qmax=500d=10H1(0)=0H2(0)=0t(0)=0t(f)=50

SOLUCION



1 C0 31.6 31.6 31.6 31.6

2 d 10. 10. 10. 10.

3 err -5. -5. 2.70647 0.7265848

4 H1 0 0 14.94889 7.158231

5 H2 0 0 7.70647 5.726585

6 Hd 5. 5. 5. 5.

7 Kc 0.48 0.48 0.48 0.48

8 Q0 0 0 87.72328 75.6197

9 Q1 500. 0 500. 75.61965

10 Q11 1450. -399.5529 1450. 75.61965

11 Q2 0 0 199.2812 75.61969

12 Qmax 500. 500. 500. 500.

13 t 0 0 50. 50.

Differential equations 1 d(H1)/d(t) = 4*(Q1-Q2)/(3.1416*d^2) 2 d(H2)/d(t) = 4*(Q2-Q0)/(3.1416*d^2)

Explicit equations 1 Q2 = if (H1>H2) then (63.2*sqrt(H1-H2)) else (0) 2 Hd = 5 3 C0 = 31.6 4 err = H2-Hd 5 Qmax = 500 6 Kc = 0.48 7 Q11 = Qmax*(0.5-Kc*(H2-Hd)) 8 Q0 = if (H2>0) then (C0*sqrt(H2)) else (0) 9 Q1 = if (Q11>Qmax) then (Qmax) else (if (Q11<0) then (0) else (Q11)) 10 d = 10

General

13.4 PI CONTROL OF FERMENTER TEMPERATURE

13.14(a) PI CONTROL OF FERMENTER TEMPERATURE |POLVER05_0 |1

CODIGO

d(X) / d(t) = munet*X #Cell balance on batch reactor, kg/m3•hd(S)/d(t)=-munet*X/Yxs #Substrate balance on batch reactor, kg/m3•hd(T) / d(t) = -munet*X*deltaHR/(Yxs*rho*Cp)-UA*(T-Tj)/(V*rho*Cp) #Energy balance on fermenter broth volume, °C/hd(Tj) / d(t) = Fj*(Tj0-Tj)/Vj+UA*(T-Tj)/(Vj*rhoj*Cpj) #Energy balance on fermenter jacket, °C/hd(epsilon) / d(t) = T-Tset #Deviation from set point variable, °C/hd(tFERM)/d(t)=if(S>.1)then(1)else(0) #Calculation of needed fermentation time, °C/h

Total number of equations 12







munet=mum*S/(Ks+S) #Net bichemical reaction rate of cell production, kg cells/kg substrate•hFj = if((Fj0+Kc*(T-Tset)+Kc*epsilon/tauI)<=0)then(0)else(if((Fj0+Kc*(T-Tset)+Kc*epsilon/tauI)>40)then(40)else (Fj0+Kc*(T-Tset)+Kc*epsilon/tauI)) #Cooling flow rate always > = zero. m3/hCp=1 #Heat capacity of fermentation broth, kcal/kg•°CYxs=0.5 #Yield coefficient for kg biomass/kg substratedeltaHR= -0.466 #Heat of reaction in kcal/kg substraterho=1 #Density of fermenter broth, kg/m3rhoj=1 #Density of jacket cooling water, kg/m3UA=0.4 #Product of heat transfer coefficient and heat transfer area, kcal/h•°CV=20 #Volume of fermenter broth, m3Tj0=10 #Inlet temperature of cooling water, °CVj=1 #Volume of cooling jacket in m3Cpj=1 #Heat capacity of cooling water, kcal/kg•°CTset=25.0 #Set point temperature of fermenter in °Cmum=1.0 #Mu constant in biochemical reaction expression in 1/hKs=0.1 #Constant in biochemical reaction expression in kg/m3Fj0=2. #Coolant volumetric flow rate in m3/hKc=0.0 #Proportional gain, m3/h•°CtauI=0.8 #Integral time, hX(0) = 0.1 #Initial cell concentration, kg/m3S(0)=20 #Initial substrate concentration, kg/m3T(0) = 25 #Initial fermenter broth temperature, °CTj(0) = 10 #Initial jacket temperature, °Cepsilon(0) = 0 #Initial deviation from set point, °Ct(0)=0 #Initial time for fermenter simularion, ht(f) = 6 #Final time for fermenter simulation, htFERM(0)=0 #Initial time to start fermentation, h



1 Cp 1. 1. 1. 1.

2 Cpj 1. 1. 1. 1.

3 deltaHR -0.466 -0.466 -0.466 -0.466

4 epsilon 0 -0.1317793 16.62832 16.62832

5 Fj 2. 2. 2. 2.

6 Fj0 2. 2. 2. 2.

7 Kc 0 0 0 0

8 Ks 0.1 0.1 0.1 0.1

9 mum 1. 1. 1. 1.

10 munet 0.9950249 -1.866E-12 0.9950249 -2.837E-14

11 rho 1. 1. 1. 1.

12 rhoj 1. 1. 1. 1.

13 S 20. -1.866E-13 20. -2.837E-15

14 t 0 0 6. 6.

15 T 25. 24.89127 33.01314 32.51153

16 tauI 0.8 0.8 0.8 0.8

17 tFERM 0 0 4.659085 4.659085

18 Tj 10. 10. 13.76184 13.76019

19 Tj0 10. 10. 10. 10.

20 Tset 25. 25. 25. 25.

21 UA 0.4 0.4 0.4 0.4

22 V 20. 20. 20. 20.

23 Vj 1. 1. 1. 1.

24 X 0.1 0.1 10.1 10.1

25 Yxs 0.5 0.5 0.5 0.5

Differential equations 1 d(X)/d(t) = munet*X Cell balance on batch reactor, kg/m3oh

2 d(S)/d(t) = -munet*X/Yxs Substrate balance on batch reactor, kg/m3oh

3 d(T)/d(t) = -munet*X*deltaHR/(Yxs*rho*Cp)-UA*(T-Tj)/(V*rho*Cp) Energy balance on fermenter broth volume, °C/h

4 d(Tj)/d(t) = Fj*(Tj0-Tj)/Vj+UA*(T-Tj)/(Vj*rhoj*Cpj) Energy balance on fermenter jacket, °C/h

5 d(epsilon)/d(t) = T-Tset Deviation from set point variable, °C/h

6 d(tFERM)/d(t) = if(S>.1)then(1)else(0) Calculation of needed fermentation time, °C/h

Explicit equations 1 Ks = 0.1 Constant in biochemical reaction expression in kg/m3

2 tauI = 0.8 Integral time, h

3 Cp = 1 Heat capacity of fermentation broth, kcal/kgo°C

4 Yxs = 0.5 Yield coefficient for kg biomass/kg substrate

5 deltaHR = -0.466 Heat of reaction in kcal/kg substrate

6 rho = 1 Density of fermenter broth, kg/m3

7 rhoj = 1 Density of jacket cooling water, kg/m3

8 UA = 0.4 Product of heat transfer coefficient and heat transfer area, kcal/ho°C

9 V = 20 Volume of fermenter broth, m3

10 Tj0 = 10

Inlet temperature of cooling water, °C

11 Vj = 1 Volume of cooling jacket in m3

12 Cpj = 1 Heat capacity of cooling water, kcal/kgo°C

13 Tset = 25.0 Set point temperature of fermenter in °C

14 mum = 1.0 Mu constant in biochemical reaction expression in 1/h

15 munet = mum*S/(Ks+S) Net bichemical reaction rate of cell production, kg cells/kg substrateoh

16 Fj0 = 2. Coolant volumetric flow rate in m3/h

17 Kc = 0.0 Proportional gain, m3/ho°C

18 Fj = if((Fj0+Kc*(T-Tset)+Kc*epsilon/tauI)<=0)then(0)else(if((Fj0+Kc*(T-Tset)+Kc*epsilon/tauI)>40)then(40)else (Fj0+Kc*(T-Tset)+Kc*epsilon/tauI))

Cooling flow rate always > = zero. m3/h








CAPÍTULO 14: INGENIERÍA BIOQUÍMICA

14.1 ELEMENTARY STEP AND APPROXIMATE MODELS FOR ENZYME KINETICS

a) Simule la operación del reactor discontinuo con el modelo de pasos elementales, usando las Ecuaciones (14-5) a (14-8) , en las que k1=1*10^9 .

CÓDIGO

APLICACIÓN



1 E 1.0E-05 1.363E-06 1.0E-05 9.896E-06

2 E0 1.0E-05 1.0E-05 1.0E-05 1.0E-05

3 Eq 1.304E-06 1.304E-06 9.915E-06 9.915E-06

4 ES 0 0 8.637E-06 1.044E-07

5 ESq 8.696E-06 8.461E-08 8.696E-06 8.461E-08

6 K 0.00015 0.00015 0.00015 0.00015

7 k1 1.0E+09 1.0E+09 1.0E+09 1.0E+09

8 k1r 1.5E+05 1.5E+05 1.5E+05 1.5E+05

9 k2 1. 1. 1. 1.

10 nu 8.696E-06 8.461E-08 8.696E-06 8.461E-08

11 P 0 0 0.0009983 0.0009983

12 Pq 0 0 0.0009987 0.0009987

13 S 0.001 1.582E-06 0.001 1.582E-06

14 Sq 0.001 1.262E-06 0.001 1.262E-06

15 Sq0 0.001 0.001 0.001 0.001

16 Sqf 1.0E-05 1.0E-05 1.0E-05 1.0E-05

17 t 0 0 200. 200.

18 t99 0 0 169.7102 169.7102

19 t99qCALC 168.078 168.078 168.078 168.078

20 tq99 0 0 168.078 168.078

21 Vm 1.0E-05 1.0E-05 1.0E-05 1.0E-05

Differential equations 1 d(S)/d(t) = -k1 * E * S + k1r * ES Material balance on substrate S

2 d(E)/d(t) = -k1 * E * S + k1r * ES + k2 * ES Material balance on enzyme E

3 d(ES)/d(t) = k1 * E * S - k1r * ES - k2 * ES Material balance on enzyme-substrate complex ES

4 d(P)/d(t) = k2 * ES Material balance on product P

5 d(t99)/d(t) = If (S >= (.01 * 1E-3)) Then (1) Else (0) Calculates time t to 99% substrate conversion.

6 d(Sq)/d(t) = -nu Material balance on substrate Sq

7 d(Pq)/d(t) = nu Material balance on product Pq

8 d(tq99)/d(t) = If (Sq >= (.01 * 1E-3)) Then (1) Else (0) Calculates time tq to 99% substrate conversion.

Explicit equations 1 k1r = 5E5 * .3 2 k2 = 1.0E-0 * 1 3 E0 = 1.E-5 4 k1 = 1E9 5 Vm = k2 * E0 6 K = (k1r + k2) / k1 7 nu = Vm * Sq / (K + Sq) 8 ESq = E0 * Sq / ((k1r + k2) / k1 + Sq) 9 Eq = E0 - ESq 10 Sq0 = 1.E-3 11 Sqf = .01 * Sq0 12 t99qCALC = (Sq0 - Sqf) / (k2 * E0) + K / (k2 * E0) * ln(Sq0 / Sqf) This checks the quasi-steady-state solution. General

Total number of equations 20




Solution method stiff

Independent variable accuracy. eps 0.00001

First stepsize guess. h1 0.0001

Minimum allowed stepsize. hmin 0.00000001

Good steps 262

Bad steps 20

GRAFICAS

Figura; Cálculo del tiempo de reactor discontinuo para 99% de la conversión con el modelo de estado casi estacionario.

Figura 14.1. Cálculo de los perfiles del sustrato y del producto en un reactor discontinuo con el Modelo de Michaelis.

14.2 DETERMINACIÓN Y MODELOS DE INHIBICIÓN REACCIONES CATALIZADAS POR ENZIMAS

14.2(a) DETERMINACIÓN Y MODELOS DE INHIBICIÓN REACCIONES CATALIZADAS POR ENZIMAS

I. CODIGO

II. INTERFAZ

III. SOLUCIÓN

14.2 (b) DETERMINACIÓN Y MODELOS DE INHIBICIÓN REACCIONES CATALIZADAS POR ENZIMAS

a. CODIGO

b. INTERFAZ

Eo Tc S I V1.3 32 0.2 0 3.111.3 32 0.15 0 2.811.3 32 0.1 0 2.41.3 32 0.075 0 2.061.3 32 0.05 0 1.641.3 32 0.025 0 1.041.3 32 0.01 0 0.4671.3 32 0.005 0 0.2562.1 32 0.2 0.7 2.332.1 32 0.15 0.7 2.112.1 32 0.1 0.7 1.742.1 32 0.075 0.7 1.541.6 32 0.2 0.4 2.311.6 32 0.15 0.4 2.11.6 32 0.1 0.4 1.751.6 32 0.075 0.4 1.570.8 45 0.2 0 4.360.8 45 0.15 0 3.890.8 45 0.1 0 3.550.8 45 0.075 0 3.070.8 45 0.05 0 2.530.8 45 0.025 0 1.650.8 45 0.01 0 0.7770.8 45 0.005 0 0.43

c. SOLUCIÓN

Model: v = Vm*S/(Kpm+S)

Variable Initial guess Value 95% confidence

Vm 4.202 4.383222 0.1011313

Kpm 0.0776 0.0830883 0.004362

Nonlinear regression settings Max # iterations = 64

Precisión R^2 0.999809

R^2adj 0.9997772

Rmsd 0.0048496

Variance 0.0002509

General Sample size 8

Model vars 2

Indep vars 1

Iterations 4

Source data points and calculated data points S v v calc Delta v

1 0.2 3.11 3.096717 0.0132835

2 0.15 2.81 2.820747 -0.0107471

3 0.1 2.4 2.394047 0.0059525

4 0.075 2.06 2.079481 -0.0194806

5 0.05 1.64 1.646734 -0.006734

6 0.025 1.04 1.013805 0.0261946

7 0.01 0.467 0.4708669 -0.0038669

8 0.005 0.256 0.2487969 0.0072031

14.5 DIFUSIÓN DE REACCIÓN EN partículas esféricas enzima inmovilizada

a. CODIGO

d(Nsr2) / d(r) = -Vmpp*S*r^2/(Km+S) #Material balance from differential balance within sphereNsr2(0) = 0 #Boundary condition for flux at particle centerd(S) / d(r) = -Ns/De #Fick's Law for diffusion with constant effective diffusivityS(0) =1.74E-8 #Initial condition for substrate concentration at particle centerNs=Nsr2/r^2d(nu) / d(r) = 3*r^2*(S/(Km+S))/(R^3*Ss/(Km+Ss)) r(0) = 1.E-8 #Radius at center of particle

r(f) = 1E-3 #Radius of particle in cmnu(0) = 0Km=10*SsDe=3.E-4 #Effective diffusivity in cm2/minR=1E-3 #Radius in cmVmpp=10.#Vm'' in g-mol/min-cm3Ss=3.E-5#Substrate concentration in g-mol/cm3 Thiele=R*(Vmpp/(Km*De))^.5beta=Km/Ss

b. INTERFAZ

c.

SOLUCIÓN


1 beta 10. 10. 10. 10.

2 De 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003

3 Km 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003

4 Ns 0 -8.289E-05 0 -8.289E-05

5 Nsr2 0 -8.289E-11 0 -8.289E-11

6 nu 0 0 0.2735468 0.2735468

7 r 1.0E-08 1.0E-08 0.001 0.001

8 R 0.001 0.001 0.001 0.001

9 S 1.74E-08 1.74E-08 3.004E-05 3.004E-05

10 Ss 3.0E-05 3.0E-05 3.0E-05 3.0E-05

11 Thiele 10.54093 10.54093 10.54093 10.54093

12 Vmpp 10. 10. 10. 10.

Differential equations 1 d(Nsr2)/d(r) = -Vmpp*S*r^2/(Km+S)

Material balance from differential balance within sphere

2 d(S)/d(r) = -Ns/De Fick's Law for diffusion with constant effective diffusivity

3 d(nu)/d(r) = 3*r^2*(S/(Km+S))/(R^3*Ss/(Km+Ss))

Explicit equations 1 Ns = Nsr2/r^2 2 Ss = 3.E-5 Substrate concentration in g-mol/cm3

3 De = 3.E-4 Effective diffusivity in cm2/min

4 R = 1E-3 Radius in cm

5 Vmpp = 10. Vm'' in g-mol/min-cm3

6 Km = 10*Ss 7 Thiele = R*(Vmpp/(Km*De))^.5 8 beta = Km/Ss








Representación Grafica de la Concentración de sustrato frente al radio de la partícula.

14.7 MONTAJE DE LOS PARÁMETROS DE LA ECUACIÓN MONOD PARA UNA CULTURA DE LOTE

14.8 MODELIZACIÓN Y ANÁLISIS DE LA CINÉTICA EN UN QUIMIOSTATO

D S0 I S X0.2 15 0.07 1.05 2.040.2 10 0.04 0.668 1.380.2 5 0 0.156 0.7310.3 15 0.07 1.69 2.050.3 10 0.04 1.08 1.350.3 5 0 0.245 0.7190.4 15 0.07 2.47 1.930.4 10 0.04 1.59 1.30.4 5 0 0.36 0.690.5 15 0.07 3.54 1.730.5 10 0.04 2.29 1.20.5 5 0 0.514 0.6540.6 15 0.07 5.01 1.530.6 10 0.04 3.13 1.040.6 5 0 0.719 0.657

14.9 DINÁMICA DE UN MODELO quimiostato

14.9 (ab) DYNAMIC MODELING OF A CHEMOSTAT |POLVER05_0 |1

d(V)/d(t) = If (V) <= (1.0) Then (F0) Else (0) # Chemostat volume in mld(Nx)/d(t) = -F * X + (mum * S / (Ks + S + I * Ks / KI) - kd) * V * X # Mass of cells in chemostat in gd(Ns)/d(t) = F0 * S0 - F * S - V * X / Yxs * mum * S / (Ks + S + I * Ks / KI) # Mass of substrate in chemostat in gF = If (V <= 1.0) Then (0) Else (F0)F0 =If (V <= 1.0) Then ( 0.25) Else (1) # dm3/hrYxs = 0.15

S0 = 12kd = 0.04KI = 0.02Ks = 0.9mum = 1.6X = Nx / V # Concentration of cells in mg/ml or g/L or g/dm3S = Ns / V # Concentration of substrate in mg/ml or g/L or g/dm3D = F / VI = 0.0t(0) = 0t(f) = 10V(0) = .1Nx(0) = .01Ns(0) = 0



1 D 0 0 0.999999 0.999999

2 F 0 0 1. 1.

3 F0 0.25 0.25 1. 1.

4 I 0 0 0 0

5 kd 0.04 0.04 0.04 0.04

6 KI 0.02 0.02 0.02 0.02

7 Ks 0.9 0.9 0.9 0.9

8 mum 1.6 1.6 1.6 1.6

9 Ns 0 0 5.521506 1.672404

10 Nx 0.01 0.01 1.489408 1.489408

11 S 0 0 8.577744 1.672402

12 S0 12. 12. 12. 12.

13 t 0 0 10. 10.

14 V 0.1 0.1 1.000001 1.000001

15 X 0.1 0.079346 1.489406 1.489406

16 Yxs 0.15 0.15 0.15 0.15

Differential equations 1 d(V)/d(t) = If (V) <= (1.0) Then (F0) Else (0) Chemostat volume in ml

2 d(Nx)/d(t) = -F * X + (mum * S / (Ks + S + I * Ks / KI) - kd) * V * X Mass of cells in chemostat in g

3 d(Ns)/d(t) = F0 * S0 - F * S - V * X / Yxs * mum * S / (Ks + S + I * Ks / KI) Mass of substrate in chemostat in g

Explicit equations 1 F0 = If (V <= 1.0) Then ( 0.25) Else (1) dm3/hr

2 F = If (V <= 1.0) Then (0) Else (F0) 3 Yxs = 0.15 4 S0 = 12 5 kd = 0.04 6 KI = 0.02 7 Ks = 0.9 8 mum = 1.6 9 X = Nx / V Concentration of cells in mg/ml or g/L or g/dm3

10 S = Ns / V Concentration of substrate in mg/ml or g/L or g/dm3

11 D = F / V 12 I = 0.0








14.10 PREDATOR-PRESA LA DINÁMICA DE LAS CULTURAS DE MEZCLA EN QUIMIOSTATO

d(Xp)/d(t) = -D * Xp + mump * Xb * Xp / (Kb + Xb)d(Xb)/d(t) = -D * Xb + mumb * S * Xb / (KS + S) - (1 / Yxpb) * mump * Xb * Xp / (Kb + Xb)d(S)/d(t) = D * (S0 - S) - (1 / Yxbs) * (mumb * S * Xb / (KS + S))mump = 0.24mumb = 0.25Kb = 4E8KS = 5E-4Yxpb = 7.14E-4Yxbs = 3.03E9D = 0.0625S0 = 0.5Day = t / 24Xp(0) = 1.4E4Xb(0) = 1.6E9S(0) = 0t(0) = 0t(f) = 360



1 D 0.0625 0.0625 0.0625 0.0625

2 Day 0 0 15. 15.

3 Kb 4.0E+08 4.0E+08 4.0E+08 4.0E+08

4 KS 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005

5 mumb 0.25 0.25 0.25 0.25

6 mump 0.24 0.24 0.24 0.24

7 S 0 0 0.4815449 0.0001937

8 S0 0.5 0.5 0.5 0.5

9 t 0 0 360. 360.

10 Xb 1.6E+09 4.081E+05 1.6E+09 1.356E+09

11 Xp 1.4E+04 1.4E+04 8.945E+05 1.132E+05

12 Yxbs 3.03E+09 3.03E+09 3.03E+09 3.03E+09

13 Yxpb 0.000714 0.000714 0.000714 0.000714

Differential equations 1 d(Xp)/d(t) = -D * Xp + mump * Xb * Xp / (Kb + Xb) 2 d(Xb)/d(t) = -D * Xb + mumb * S * Xb / (KS + S) - (1 / Yxpb) * mump * Xb * Xp / (Kb + Xb) 3 d(S)/d(t) = D * (S0 - S) - (1 / Yxbs) * (mumb * S * Xb / (KS + S))

Explicit equations 1 mump = 0.24 2 mumb = 0.25 3 Kb = 4E8 4 KS = 5E-4 5 Yxpb = 7.14E-4

6 Yxbs = 3.03E9 7 D = 0.0625 8 S0 = 0.5 9 Day = t / 24








14.16 DINÁMICA DE MODELADO UN DIGESTOR ANAERÓBICO

d(Z)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (dZdt)d(X)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (dXdt)d(CO2D)/d(t) =if(pH<=6) then (0) else ( F * (CO2D0 - CO2D) / V - TG + RB + RC)d(T)/d(t) =if(pH<=6) then (0) else ( F * (T0 - T) / V)d(pCO2)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (pT * V * TG / (rhog * VG) - pCO2 * Q / VG) # modified for control of recycled(S)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (F * (S0 - S) / V - mu * X / Yxs)mu = if(pH<=6) then (0) else (0.4 / (1 + 0.0333 / HS + HS / 0.667))dZdt = F * (Z0 - Z) / VRB = YCO2x * mu * XHCO3 = Z - SdXdt = F * (X0 - X) / V + mu * X - kT * TpT = 760 # mm of HgRC = F * (HCO30 - HCO3) / V + dSdt - dZdtT0 = 0CO2Dstar = KH * pCO2TG = kLa * (CO2D - CO2Dstar)HP = K1 * CO2D / HCO3pH = -log(HP)HS = S * HP / KaQCO2 = V * TG / rhogQCH4 = V * YCH4x * mu * X / rhogQ = pT * (QCO2 + QCH4) / (pT - pH2O)pH2O = 50 # Vapor pressure of water at 60C in mmHgrhog = 38.91 # Gas density in mmol/LF = 1 # L/dayCO2D0 = 0V = 10. # LVG = 2 # LZ0 = 50 # meq/LYCO2x = 28.8 # mol CO2/ mol organismYxs = 0.032 # mol organism/mol substrateYCH4x = 28.8 # mol CH4/mol organism

S0 = 167X0 = 0kT = 2 # day-1HCO30 = 0dSdt = F * (S0 - S) / V - mu * X / YxsKH = 0.0326kLa = 100 # day-1K1 = 6.5E-7Ka = 2.2E-5t(0) = 0t(f) = 10Z(0) = 50X(0) = 5.280CO2D(0) = 8.977T(0) = 0pCO2(0) = 273.3S(0) = 2.019



1 CO2D 8.977 8.977 8.999341 8.999341

2 CO2D0 0 0 0 0

3 CO2Dstar 8.90958 8.893556 8.90958 8.904275

4 dSdt -0.0001114 -0.0052382 1.346E-05 1.111E-05

5 dXdt -5.724E-05 -5.724E-05 0.0001081 -2.272E-05

6 dZdt 0 0 0 0

7 F 1. 1. 1. 1.

8 HCO3 47.981 47.981 47.9857 47.98564

9 HCO30 0 0 0 0

10 HP 1.216E-07 1.216E-07 1.219E-07 1.219E-07

11 HS 0.0111606 0.0111606 0.0111653 0.0111616

12 K1 6.5E-07 6.5E-07 6.5E-07 6.5E-07

13 Ka 2.2E-05 2.2E-05 2.2E-05 2.2E-05

14 KH 0.0326 0.0326 0.0326 0.0326

15 kLa 100. 100. 100. 100.

16 kT 2. 2. 2. 2.

17 mu 0.0999892 0.0999892 0.1000205 0.0999957

18 pCO2 273.3 272.8085 273.3 273.1373

19 pH 6.915025 6.913987 6.915025 6.913987

20 pH2O 50. 50. 50. 50.

21 pT 760. 760. 760. 760.

22 Q 6.037599 6.037599 6.798236 6.79823

23 QCH4 3.907672 3.907672 3.908926 3.907753

24 QCO2 1.732717 1.732717 2.443231 2.443225

25 RB 15.20475 15.20475 15.20963 15.20507

26 RC -4.798211 -4.803505 -4.798211 -4.798553

27 rhog 38.91 38.91 38.91 38.91

28 S 2.019 2.014302 2.019 2.01436

29 S0 167. 167. 167. 167.

30 t 0 0 10. 10.

31 T 0 0 0 0

32 T0 0 0 0 0

33 TG 6.742 6.742 9.506612 9.506588

34 V 10. 10. 10. 10.

35 VG 2. 2. 2. 2.

36 X 5.28 5.279764 5.280059 5.279764

37 X0 0 0 0 0

38 YCH4x 28.8 28.8 28.8 28.8

39 YCO2x 28.8 28.8 28.8 28.8

40 Yxs 0.032 0.032 0.032 0.032

41 Z 50. 50. 50. 50.

42 Z0 50. 50. 50. 50.

Differential equations 1 d(Z)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (dZdt) 2 d(X)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (dXdt) 3 d(CO2D)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else ( F * (CO2D0 - CO2D) / V - TG + RB + RC) 4 d(T)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else ( F * (T0 - T) / V) 5 d(pCO2)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (pT * V * TG / (rhog * VG) - pCO2 * Q / VG)

modified for control of recycle

6 d(S)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (F * (S0 - S) / V - mu * X / Yxs)

Explicit equations 1 Ka = 2.2E-5 2 Z0 = 50 meq/L

3 YCO2x = 28.8 mol CO2/ mol organism

4 HCO3 = Z - S 5 kT = 2 day-1

6 pT = 760 mm of Hg

7 S0 = 167 8 T0 = 0 9 KH = 0.0326 10 kLa = 100 day-1

11 K1 = 6.5E-7 12 HP = K1 * CO2D / HCO3 13 HS = S * HP / Ka 14 CO2Dstar = KH * pCO2 15 pH = -log(HP) 16 mu = if(pH<=6) then (0) else (0.4 / (1 + 0.0333 / HS + HS / 0.667)) 17 pH2O = 50 Vapor pressure of water at 60C in mmHg

18 rhog = 38.91 Gas density in mmol/L

19 F = 1 L/day

20 CO2D0 = 0 21 V = 10. L

22 VG = 2 L

23 dZdt = F * (Z0 - Z) / V 24 RB = YCO2x * mu * X 25 Yxs = 0.032 mol organism/mol substrate

26 YCH4x = 28.8 mol CH4/mol organism

27 dSdt = F * (S0 - S) / V - mu * X / Yxs 28 X0 = 0 29 dXdt = F * (X0 - X) / V + mu * X - kT * T 30 HCO30 = 0

31 QCH4 = V * YCH4x * mu * X / rhog 32 TG = kLa * (CO2D - CO2Dstar) 33 QCO2 = V * TG / rhog 34 Q = pT * (QCO2 + QCH4) / (pT - pH2O) 35 RC = F * (HCO30 - HCO3) / V + dSdt - dZdt








14.16 (a2) DYNAMIC MODELING OF AN ANAEROBIC DIGESTER |POLVER05_1 |2

f(CO2D)=( F * (CO2D0 - CO2D) / V - TG + RB + RC)f(T) = ( F * (T0 - T) / V)f(pCO2) = (pT * V * TG / (rhog * VG) - pCO2 * Q / VG) # modified for control of recyclef(S) = (F * (S0 - S) / V - mu * X / Yxs)f(Z)= F * (Z0 - Z) / Vf(X) = F * (X0 - X) / V + mu * X - kT * Tmu = (0.4 / (1 + 0.0333 / HS + HS / 0.667))RB = YCO2x * mu * XHCO3 = Z - SpT = 760 # mm of HgRC = F * (HCO30 - HCO3) / VT0 = 0CO2Dstar = KH * pCO2TG = kLa * (CO2D - CO2Dstar)HP = K1 * CO2D / HCO3pH = -log(HP)HS = S * HP / KaQCO2 = V * TG / rhogQCH4 = V * YCH4x * mu * X / rhogQ = pT * (QCO2 + QCH4) / (pT - pH2O)pH2O = 50 # Vapor pressure of water at 60C in mmHgrhog = 38.91 # Gas density in mmol/LF = 1 # L/dayCO2D0 = 0V = 10. # LVG = 2 # LZ0 = 50 # meq/LYCO2x = 28.8 # mol CO2/ mol organismYxs = 0.032 # mol organism/mol substrateYCH4x = 28.8 # mol CH4/mol organismS0 = 167X0 = 0kT = 2 # day-1

HCO30 = 0dSdt = F * (S0 - S) / V - mu * X / YxsKH = 0.0326kLa = 100 # day-1K1 = 6.5E-7Ka = 2.2E-5Z(0) = 50X(0) = 5.280CO2D(0) = 8.977T(0) = 0pCO2(0) = 273.3S(0) = 2.019


1 CO2D 8.999341 2.593E-13 8.977

2 pCO2 273.1373 -1.478E-11 273.3

3 S 2.014472 3.553E-15 2.019

4 T 6.366E-28 -6.366E-29 0

5 X 5.279537 1.11E-16 5.28

6 Z 50. 0 50.

Variable Value

1 CO2D0 0

2 CO2Dstar 8.904275

3 dSdt 3.553E-15

4 F 1.

5 HCO3 47.98553

6 HCO30 0

7 HP 1.219E-07

8 HS 0.0111623

9 K1 6.5E-07

10 Ka 2.2E-05

11 KH 0.0326

12 kLa 100.

13 kT 2.

14 mu 0.1

15 pH 6.913986

16 pH2O 50.

17 pT 760.

18 Q 6.798227

19 QCH4 3.907753

20 QCO2 2.443223

21 RB 15.20507

22 RC -4.798553

23 rhog 38.91

24 S0 167.

25 T0 0

26 TG 9.506579

27 V 10.

28 VG 2.

29 X0 0

30 YCH4x 28.8

31 YCO2x 28.8

32 Yxs 0.032

33 Z0 50.

Nonlinear equations 1 f(CO2D) = ( F * (CO2D0 - CO2D) / V - TG + RB + RC) = 0 2 f(T) = ( F * (T0 - T) / V) = 0 3 f(pCO2) = (pT * V * TG / (rhog * VG) - pCO2 * Q / VG) = 0 modified for control of recycle

4 f(S) = (F * (S0 - S) / V - mu * X / Yxs) = 0 5 f(Z) = F * (Z0 - Z) / V = 0 6 f(X) = F * (X0 - X) / V + mu * X - kT * T = 0

Explicit equations 1 Ka = 2.2E-5 2 YCO2x = 28.8

mol CO2/ mol organism

3 HCO3 = Z - S 4 pT = 760 mm of Hg

5 HCO30 = 0 6 T0 = 0 7 KH = 0.0326 8 kLa = 100 day-1

9 K1 = 6.5E-7 10 HP = K1 * CO2D / HCO3 11 HS = S * HP / Ka 12 CO2Dstar = KH * pCO2 13 mu = (0.4 / (1 + 0.0333 / HS + HS / 0.667)) 14 TG = kLa * (CO2D - CO2Dstar) 15 pH2O = 50 Vapor pressure of water at 60C in mmHg


17 F = 1 L/day

18 CO2D0 = 0 19 V = 10. L

20 VG = 2 L

21 Z0 = 50 meq/L

22 RB = YCO2x * mu * X 23 Yxs = 0.032 mol organism/mol substrate


25 S0 = 167 26 X0 = 0 27 kT = 2 day-1

28 RC = F * (HCO30 - HCO3) / V 29 QCH4 = V * YCH4x * mu * X / rhog 30 QCO2 = V * TG / rhog 31 Q = pT * (QCO2 + QCH4) / (pT - pH2O) 32 pH = -log(HP) 33 dSdt = F * (S0 - S) / V - mu * X / Yxs

General Settings Total number of equations 39

Number of implicit equations 6



Solution method SAFENEWT

Max iterations 150

Tolerance F 0.0000001

Tolerance X 0.0000001

Tolerance min 0.0000001

14.17 PUESTA EN MARCHA Y CONTROL DE un digestor anaeróbico

14.17 (a) PUESTA EN MARCHA Y CONTROL DE un digestor anaeróbico

f(CO2D)=( F * (CO2D0 - CO2D) / V - TG + RB + RC)f(T) = ( F * (T0 - T) / V)f(pCO2) = (pT * V * TG / (rhog * VG) - pCO2 * Q / VG)f(S) = (F * (S0 - S) / V - mu * X / Yxs)f(Z)= F * (Z0 - Z) / Vf(X) = F * (X0 - X) / V + mu * X - kT * Tmu = (0.4 / (1 + 0.0333 / HS + HS / 0.667))RB = YCO2x * mu * XHCO3 = Z - SpT = 760 # mm of HgRC = F * (HCO30 - HCO3) / VT0 = 0CO2Dstar = KH * pCO2TG = kLa * (CO2D - CO2Dstar)HP = K1 * CO2D / HCO3pH = -log(HP)HS = S * HP / KaQCO2 = V * TG / rhogQCH4 = V * YCH4x * mu * X / rhogQ = pT * (QCO2 + QCH4) / (pT - pH2O)pH2O = 50 # Vapor pressure of water at 60C in mmHgrhog = 38.91 # Gas density in mmol/LF = 1 # L/dayCO2D0 = 0V = 10. # LVG = 2 # LZ0 = 50 # meq/LYCO2x = 28.8 # mol CO2/ mol organismYxs = 0.032 # mol organism/mol substrateYCH4x = 28.8 # mol CH4/mol organismPercentCO2=pCO2*100/pTS0 = 500X0 = 0kT = 2 # day-1HCO30 = 0dSdt = F * (S0 - S) / V - mu * X / YxsKH = 0.0326kLa = 100 # day-1K1 = 6.5E-7

Ka = 2.2E-5Z(0) = 50X(0) = 5.280CO2D(0) = 9.00T(0) = 0pCO2(0) = 273.14S(0) = 2.014

Calculated values of NLE

variables Variable Value f(x) Initial Guess

1 CO2D 11.17071 -1.15E-09 9.

2 pCO2 330.3973 3.814E-08 273.14

3 S 1.635708 1.247E-09 2.014

4 T 0 0 0

5 X 15.94766 -3.99E-11 5.28

6 Z 50. 0 50.

Variable Value

1 CO2D0 0

2 CO2Dstar 10.77095

3 dSdt 1.247E-09

4 F 1.

5 HCO3 48.36429

6 HCO30 0

7 HP 1.501E-07

8 HS 0.0111623

9 K1 6.5E-07

10 Ka 2.2E-05

11 KH 0.0326

12 kLa 100.

13 kT 2.

14 mu 0.1

15 PercentCO2 43.47333

16 pH 6.823531

17 pH2O 50.

18 pT 760.

19 Q 23.63265

20 QCH4 11.80397

21 QCO2 10.2739

22 RB 45.92925

23 RC -4.836429

24 rhog 38.91

25 S0 500.

26 T0 0

27 TG 39.97575

28 V 10.

29 VG 2.

30 X0 0

31 YCH4x 28.8

32 YCO2x 28.8

33 Yxs 0.032

34 Z0 50.

Nonlinear equations 1 f(CO2D) = ( F * (CO2D0 - CO2D) / V - TG + RB + RC) = 0 2 f(T) = ( F * (T0 - T) / V) = 0 3 f(pCO2) = (pT * V * TG / (rhog * VG) - pCO2 * Q / VG) = 0 4 f(S) = (F * (S0 - S) / V - mu * X / Yxs) = 0 5 f(Z) = F * (Z0 - Z) / V = 0 6 f(X) = F * (X0 - X) / V + mu * X - kT * T = 0

Explicit equations 1 Ka = 2.2E-5 2 YCO2x = 28.8 mol CO2/ mol organism

3 HCO3 = Z - S 4 pT = 760

mm of Hg

5 HCO30 = 0 6 T0 = 0 7 KH = 0.0326 8 kLa = 100 day-1

9 K1 = 6.5E-7 10 HP = K1 * CO2D / HCO3 11 HS = S * HP / Ka 12 CO2Dstar = KH * pCO2 13 mu = (0.4 / (1 + 0.0333 / HS + HS / 0.667)) 14 TG = kLa * (CO2D - CO2Dstar) 15 pH2O = 50 Vapor pressure of water at 60C in mmHg


17 F = 1 L/day

18 CO2D0 = 0 19 V = 10. L

20 VG = 2 L

21 Z0 = 50 meq/L

22 RB = YCO2x * mu * X 23 Yxs = 0.032 mol organism/mol substrate


25 PercentCO2 = pCO2*100/pT 26 S0 = 500 27 X0 = 0 28 kT = 2 day-1

29 RC = F * (HCO30 - HCO3) / V 30 QCH4 = V * YCH4x * mu * X / rhog 31 QCO2 = V * TG / rhog 32 Q = pT * (QCO2 + QCH4) / (pT - pH2O) 33 pH = -log(HP) 34 dSdt = F * (S0 - S) / V - mu * X / Yxs

General Settings Total number of equations 40

Number of implicit equations 6



Solution method SAFENEWT

Max iterations 150

Tolerance F 0.0000001

Tolerance X 0.0000001

Tolerance min 0.0000001

14.17 (b) PUESTA EN MARCHA Y CONTROL DE un digestor anaeróbicod(Z)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (dZdt)d(X)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (dXdt)d(CO2D)/d(t) =if(pH<=6) then (0) else ( F * (CO2D0 - CO2D) / V - TG + RB + RC)d(T)/d(t) =if(pH<=6) then (0) else ( F * (T0 - T) / V)d(pCO2)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (pT * V * TG / (rhog * VG) - pCO2 * Q / VG) # modified for control of recycled(S)/d(t) = if(pH<=6) then (0) else (F * (S0 - S) / V - mu * X / Yxs)mu = if(pH<=6) then (0) else (0.4 / (1 + 0.0333 / HS + HS / 0.667))dZdt = F * (Z0 - Z) / V

# *********************************************************************Enter logic for QR! and QR2 and QR

# ***********************************************************************End control logicRB = YCO2x * mu * XHCO3 = Z - SdXdt = F * (X0 - X) / V + mu * X - kT * TpT = 760 # mm of HgRC = F * (HCO30 - HCO3) / V + dSdt - dZdtT0 = 0CO2Dstar = KH * pCO2TG = kLa * (CO2D - CO2Dstar)HP = K1 * CO2D / HCO3pH = -log(abs(HP))HS = S * HP / KaQCO2 = V * TG / rhogQCH4 = V * YCH4x * mu * X / rhogQ = pT * (QCO2 + QCH4 + QR * (pT - pCO2 - pH2O) / (pT - pH2O)) / (pT - pH2O)

pH2O = 50 # Vapor pressure of water at 60C in mmHgrhog = 38.91 # Gas density in mmol/LF = 1 # L/dayCO2D0 = 0V = 10. # L

VG = 2 # Lt(0) = 0t(f) = 8Z0 = 50 # meq/LYCO2x = 28.8 # mol CO2/ mol organismYxs = 0.032 # mol organism/mol substrateYCH4x = 28.8 # mol CH4/mol organismPercentCO2=pCO2*100/pTS0 = If (t <= 1) Then (167) Else (500)X0 = 0kT = 2 # day-1HCO30 = 0dSdt = F * (S0 - S) / V - mu * X / YxsKH = 0.0326kLa = 100 # day-1K1 = 6.5E-7Ka = 2.2E-5Z(0) = 50X(0) = 5.280CO2D(0) = 9.00T(0) = 0pCO2(0) = 273.14S(0) = 2.014

Date post:	30-Dec-2015
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