Revista INTEGRACIÓNUniversidadIndustrial de SantanderEscuelade MatemáticasVol. 13, No 2, p. 71-85, julio-diciembrede 1995

A la memoria de. Teeteto

Se introduce una función convexa sobre ]R3 cuyos conjuntos de nivel sontetraedros. Además de su representación cartesiana, se describen analíti-camente los principales elementos del sólido, y en particular cuando esun a3. Al caracterizar el polar de cualquier poliedro convexo se hallaexplícitamente el tetraedro polar de un tetraedro dado. Se halla cuándoel polar a3 coincide con su recíproco-para obtener así la stelia octangulade Kepler. Al acuñar la noción de circuito positivo en ]R3 se descubre uninvariante para el tetraedro en términos de determinantes.

En el libro XI de los Elementos de Euclides se considera el tetraedro incluidoen una definición de pirámide como "Una figura s6lida limitada por planos,que se constituye desde un plano a un punto arbitrario"El tetraedro regular es el primero de los cinco "cuerpos cósmicos" o poliedrosregulares. El astrónomo pitagórico Timeo de Locri, inventó una corresponden-

, cia mística entre los primeros cuatro sólidos platónicos y los cuatro "elementos"que en aquel entonces se suponía constituían el mundo, asociando el tetraedroregular con el fuego ([4], pp. 8-13).

*Profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad Pedagógica y Tecnológicade Colombia, Duitama, Boyacá, COLOMBIA.

Tambien la filosofía platónica, con su casi divinización de las ideas, glorificólas caras del tetraedro regular. No eran para Platón simplemente triángulos,sino que, cada una de ellas estaba formada por seis triángulos rectángulos máspequeños, que se obtienen al trazar las tres alturas del triángu~o equilátero([lJ, p.124).Desde aquel esoteri8Jno pitagórico hasta el presente no se ha descrit:> el tetrae-dro de una manera juiciosa y rigurosa que permita revelar a profundidad suspropiedades geométricas.¿Será por su aparente simpleza que ha pasado inadvertido, permaneciendoen un estado refractario al progreso de las matemáticas? Aún hoy en día seadvierte una alarmante ausencia de algunas ramas de las matemáticas, queserían muy propicias para su investigación.El presente artículo estudia el tetraedro, y en particular el tetraedro regulardenotado por Schlafli como {3, 3}, es decir, el simplex regular 03 ([3], pp.12o-121). A tal fin se introduce un enfoque metodológico moderno que asimilaciertas nociones y resultados relevantes del Análisis Convexo.Al concebir una apropiada y afortunada función convexa 1/J sobre ]R3 se ob-tiene una caracterización de los puntos del tetraedro, considerándolo como unconjunto de nivel de 1/J. Se halla así una representación unificada del sólido des-cribiendo analíticamente sus principales elementos (Teoremas 1 y 2, Corolario1); es notable el caso 03 (Corolario 2).La búsqueda de los resultados anteriores condujo de manera prioritaria a pre-cisar en ]R3 la noción de circuito positivo en el plano cartesiano. Acuñado elconcepto (Definición 1), sus propiedades inmediatas emanan en los lemas 1 y2.Habiendo caracterizado previamente el polar de un poliedro convexo arbitrario(Lema 3), se demuestra que el poliedro polar de cualquier tetraedro es tambiénun tetraedro, cuyos vértices son dados explícitamente en términos del primero.Al considerar el caso 03, se encuentra cuándo el polar coincide con su recíproco,logrando así la. stella octangula de Kepler (Teorema 3, Corolario 3).Denotaremos con letra imprenta mayúscula los vectores (o puntos) en IR3,indicando el producto escalar usual por un punto " y el producto vectorialmediante una cruz x.Los resultados de los lemas 1, 2 y 3, de los teoremas 1, 2, 3 y de los corolarios1, 2, 3 son nuevos.

para todo X E IR3. Hagamos

VI - ~;... C(AI x A2+ Al x Aa + A2)( Aa),

V2 = a + e (Al x A2 + Al )( Aa - A2 )( Aa),Va = 9 + C.(Al x A2 - AIX Aa + A2 x Aa),V4 = 9 + c( - A 1 x A2 + A 1 X Aa + A2 x Aa) ,

1c= 2JX'

es 1111 tetraedro .po degenerado, sólido y cerrado, de centroide 9 y vérticesVI, ... , V4 dados en (2) (ver la figura 1).

A dl'IIIIL<;,las caras V¡ V2V4, Vt VaV4, V2VjV4, V¡ V2Va están en los planos

(A 1+ A2 + Aa) . (X - 9)1= - 4("

(A I + A2 - Aa) . (X - 9)1

(4)= 4r'

eA t - A2 + Aa) . (X - g)1= 4r'

(-A¡ + A2 + Aa) . (X - g)1= 4c'

Demostración.cionCfil:

1g/= 4 (V¡ + ... + V4) .

Por lo tanto V¡ ... V4 es un simplex tridimencional ([5], p.12); en otras pala-braM,VI'" V4 es un tetraedro no degenerado de centroide g.

G •--------.--

Las expresiones en (2) también ayudan a comprobar que las ecuaciones en (4)representan los planos de las caras del tetraedro.Consideremos ahora el tetraedro VI ... V4 como un sólido cerrado ;:se'. Entonces

es decir, ;:se' es la envolvente convexa de sus vértices ([51, p.158, Theorem 17.2;p.12, Corollary 2.3.1). Siendo cada punto X en ;:se' una combinación convexade la forIIJ.a

4 4X = ¿>';V; = g + ¿>.; (V; - Q),

;=1 ;=1

>'1 + ... +),. = 1 Y cada >.; ~ O,

entonces de (2) hallamos

{A2 - (_l)k A3}· (X - Q)

= eA {(>'1 - ),2) [1+ (_l)k] + (),3 - >'4) [1- (_l)k]} (5)

(_1)k Al· (X - Q) + l{A2 - (~1)k A3} . (X - Q)I

< c~ {(_1)k (-Al - A2 + A3 + A4) + (Al + A2) [1 + (_1)k]

+(A3+A4) [1-(-1)k]} (6)

= c~ (Al + ... + A4)..fK

= c~ =2' k = 1,2,

esto es, según (3), X E ~, y por ende ~' ~ ~.Por ser 'l/J una función real, convexa, propia y cerrada, se tiene

Fr(~) = {X E 1R31,p(X - Q) = ~}

([5], p.59, Corollary 7.6.1).

Si X Econv{V¡, V2, V3} ~ ~', existen Al, A2, A3 no negativos, )'1 + ),2 + ),3 = 1,tales que

X = A1Vl + ),2V2 + ),3V3 + O.V4,

reduciéndose la suma en (6) (según (5» a

Así, usando (5) en general se prueba que todas las caras de ~' están contenidasen la frontera de ~. Por lo tanto

Si X E ~ - ~' entonces X es un punto interior de lR3 - <;S' por ser <;s' unconjunto cerrado, y el segmento {IX ~ ~ corta a Fr(~) en un punto P entre {I

y X (por ser 'J' un poliedro convexo). esto es, P Eint(~) ([5J. p.-l5. Theorem6.1); además, por (7) P E Fr(~), lo cual es imposible. Así que ~ ~ ~'.'.A continuación introducimos un tipo de orientación positiva en la frontera deun triángulo en JR3.Recordemos que VI, V2, V3" Y en ]R3 son afínmente independientes si VI - Y.V2 - Y. V3 - Y son linealmente independientes.

Definición 1. Sean VI, V2, V3, Y cuatro puntos añnmente independientes en]R3. y sea P el plano determinado por VI' V2, V3. Diremos que VI. V2, V3 estánen el circuito positivo respecto a y, si existe un escalar t > O tal que el punto

En otras palabras, VI. V2, V3 están en circuito positivo. respecto a y, si unpUllto móvil a lo la.rgo de la frontera del triánt;ulo V¡, V2. V3, en seRCi«O con-trario al del movimiento de las agujas del reloj (para un observador etl el ladode P que no contiene a y), va de VI a V3 pasando por V2.

En el siguiente lema se aporta una c'ondición necesaria y suficiente para queocurra un circuito positivo en ]R3. Es un algoritmo que nos permitirá, medianteuso iterado de determinantes, un "orden cíclico" en los vértices de las carasde un poliedro convexo, respecto a cualquier punto en su interior (como elcentroide).

Lema l. Sean V¡, V2, V3, Q cuatro puntos affnmente independientes en 1R3.Entonces las siguientes dos afirmaciones son equivalentes

Denotemos por N el producto vectorial en (8). Entonces N puede expresarseen la forma siguiente:

N = {(V2 - Q) - (VI - Q)} X {(V3 - Q) - (VI - Q)}

= (VI - Q) X (V2 - Q) - (VI - g) x (V3 - Q) + (V2 - Q) x (V3 - Q) .

Si VI, V2, VI están en circuito positivo respecto a Q, entonces existe t > O talque el punto 9 + tN está en el semiespacio abierto de P que no contiene a g,Si \l < Oentonces Q está en el semiespacio abierto de P ,

lo cual es imposible. Así que \l > O.Recíprocamente, asumamos ahora que \l > O y tomemos un escalar t >\l 11N 11-2. Entonces Q está es el semiespacio (10), y 9 + tN en el semies-pacio (9). De acuerdo a la Definición 1 concluimos que VI, V2, V3 están encircuito positivo respecto a g .•A continuación probaremos para un tetraedro que basta conocer los vérticesde una cara en circuito positivo, respecto a su centroide, para determinarcompletamente los circuitos positivos en los vértices de las otras caras.

1Q = :4 (VI + ... + V4) ,

y de vértices dispuestos como en la figura 1. Entonces los vértices de sus carasestán en circuito positivo respecto a Q, de tal manera que

v = det(VI- Q, V2 - Q,V3 - Q)= det (VI - Q, V3 - Q, V4 - Q)= det (VI - Q, V4 - Q, V2 - Q)= det(V2 - Q, V4 ~Q, V3 - Q) > O.

y a.plicando las propiedades de 108 determinantes obtenemos las relaciones en(11).Puesto que VI ... V4 es no degenerado, automáticamente V = O, es decir,VI. V2, V3, Q son afínmente independientes en ]R3.Ubicándonos en el lado delplano de las caras que no contienen a Q, es siempre posible que sus vérticesestén en circuito positivo respecto a Q. Concluimos del Lema 1 que V > O.•

Corolario 1. Sea VI ... V4 un tetraedro no degenerado, sólido y cerrado, decentroide Q y vértices dispuestos como en la figura 1. Hagamos

Al = (VI - Q) x (V2 - Q) - (V2 - Q) x (V3 - Q)

+ (VI - Q) x (V3 - Q) ,

A2 = (VI - Q) x (V2 - Q) + (V2 - Q) x (V3 - Q) (12)

+ (VI - Q) x (V3 - Q) ,

A3 = (VI - Q) x (V2 - Q) - (VI - Q) x '(V3 - Q)- (V2 - Q) x (V3 - Q) ,

y respecto a estos vectores consideremos la [unción convexa W definida en (1).Si V7 es como en (11), entonces una representación cartesiana de VI ... V4 estádada por

Demostración. Aquí tenemos las mismas hipótesis del Lema 2, de dondeV' > O. Teniendo presentes las expresiones en (12) obtenemos

En otros términos, los vectores Al. A2, A3 en (12) satisfacen la parte perti-nente del teorema 1, bajo los cualetf consideramOB la función convexa \l1 defi-nida en '(1). En este caso e ::lI: 2:)A -= ~, y MÍ los miembros derechos de las

cuatro igualdades en (2) son, justamente, los vertices ciel tetraedro VI' .. V4;recuérdese que V4 "'" 4Q - VI - V2 - V3. Concluimos de (3) que (13) es precisa-mente una representación carteS'iana del poliedro .•

Ilustración l. Coasiderem08 el UttraeJ.ro regular de Edmund Hess ([3], p.52)eJe ~ntro el origen O, arista 2y'2, y vértices '

VI = (1,1,1),V3 = (-1,1, -1),

V2 = (1,-1, -1),V4 = (-1,-1,1)

En alusión al Corolario 1 obte11.emCJBV :z: det (VI, V2, V3) = 4; Y en (8), Al =-4 (1, O,O) , A2 = 4 (0,1, O) , .43'" -4 (O,0,1) .Se sigue de (1) y (13) que la inecuacÍón de este tetraedro, como sólido cerrado,

máx (_l)k+1 XI+ IX2 + (_l)k X3! < 1,I$k$2 -

para cada punto (Xl, x2, X3) en el po1iedro.En particular, si VI ... V4 es regular, obtenemos el siguiente

Corolario 2. Sea dado un tetraedro regular VI ... V4 de arista a y centro Q.Hagamos

J2Al = - Ta (VI + V2 - 2Q) ,

J2(14)A2 Ta (VI + V3 - ¡'Q) ,

J2A3 = Ta (V2 + V3 - 2(]),

y respecto a estos vectores, consideremos la función convexa \l1 definida en(1). Entonces la representación cartesiana en (13) de VI' . ,V4 (como sólido

máx (-1)k(VI + V2 - 2Q)· (X - Q)1~k~2

+ I{ VI + Va - 2Q - (_1)k (V2 + Va - 2Q)} . (X - Q)I ~

Demostración. Cálculos directos en el tetraedro regular de Hess (ver Ilus-traci6n 1), nos muestran que, en general,

1COSL(VI- Q, V2 - Q) = -3'

V6cos L ((VI - Q) x (V2 - Q), Va - Q) = 3'

ViV' = det (VI - Q, V2 - Q, Va - Q) = gaa,

donde ::/fa es el circunradio de VI' .. V4 ([3], pp.292-293, Table 1).

Ahora consideremos a (VI - Q) x (V2 - Q) como una combinaci6n lineal de lahase VI - Q, V2 - Q, V3 - Q de ]R3.

Acotando las tres últimas igualdades, multipliquemos interiormente amboslIIiembros de dicha representación, sucesivamente, por cada uno de los ele-lIIentos de la base. Aparece así un sistema de tres ecuaciones lineales en-trelazando los coeficientes de aquella combinación lineal. Su resolución nosaporta explícitamente

Vi(V2 - Q) x (Vi - Q) = 4a (V2 + Va + 2VI - 4Q) ,

,Vi

(VI - Q) x (V:3 - Q) = - 4a (VI + Va + 2V2 - 4Q).

Reemplazando en (12) y (13) obtenemos las éxpresiones en (14) y (15), res-pectivamente. • .

Teorema 2. Sea Vt ... V4 un tetraedro no degenerado de centl'Oide 9, para elcual consideramos los vec:toresA¡, A2, Aa definidos en (12).Sea ¡; la matriz cuadrada no singular de orden tres cuya k .ésima columna es(-1)'= AT, k = 1,2,3. Entoncesla ecuación del circunelipsoide de Vt ... V4 (elelipsoide donde está inscrito el tetraedro) es

entonces e, es no singular y e,e,T es una matriz simétrka positivamente de-finida, y la ecuación (16) es, en efecto, la de un elipsoi<k de centro 9 ([7],pp.'282 '2H5).

Las expresiones

En particular, si n = 3 Y e es un poliedro, entonces eO es el poliedro polar dee. Que la forma del poliedro polar dependa drásticarncnte de la ubicación dee puede apreciarse en el Teorema y Corolario 3.En el siguiente lema se determina mejor el poliedro polar en cuando e esconvexo y con centroide en el origen (válido en Rn cuando e es un politopo).

Lema 3. Sea e un poliedro convexo, sólido y cerrado, de vértices VI,' .. Vn,y con centroide en el origen O, es decir,

1O = - (VI + ... + Vn) .

n

Entonces el poliedro polar de e es

eO = {X E R31 máx Vk' X < 1}I~k~n -

nX = ¿AkVk,

k=I

donde Al + ... + An = 1, Y cada An ~ O.De este modo, si Y E R3 satisface (18) entonces

n ny . X =¿AkY . Vk :::;¿Ak = 1

k=I k=I

Puesto que O E e entonces (eO)O = e (ver referencias en la observación 1).•

Teorema 3. Sea VI ... V4 un tetraedro no degenerado, sólido y cerrado, decentroide en el origen O. A su vez, consideremos el tetraedro WI ... W4, sólidoy cerrado, de centroide O y vértices

WI = '\7-1 (-3VI x V2'- VI X V3 + V2 x V3),

W2 = \7-1 (VI X V2 + 3VI x V3 + V2 x V3) , (19)W3 = '\7-1 (VI X V2 - VI x V3 - 3V2 x V3) ,

W4 = \7-1 (VI x V2 - VI X V3 + V2 x V3),

donde \7 = det (VI, V2, V3). Entonces WI ... W4 es el poliedro polar de VI ... V4,yes tal que sus caras WIW2W4, WIW3W4, WIW2W3 están en los planos

Demostración. Las relaciones en (19) ayudan a confirmar las siguientesexpresiones

1O = 4 (WI + ... + W4) ,

y, por lo tanto, WI ... W4 es un simplex tridimencional de centroide O.Denotemos por e y <s los sólidos cerrados VI ... V.} Y WI ... W4, respectiva-mente. A partir de (19) es sencillo ver que las ecu~ciones en (20) son losplanos de las caras de <S. Ahora, siendo <s convexo y cerrado, entonces <s es laintersección de todos sus semiespacios cerrados tangentes

Vk . X ~ 1, k = 1, ... ,4

([5], p.169, Theorem 18.8). Concluimos del Lema 3 (con n = 4) que ~ = eO. I

Observación 2. Al unir dos tetraedros regulares en posición de reciprocidadse obtiene un poliedro compuesto (ver Figura l.a), 1(amado por el fraile ita-liano Luca Pacíoli (1.445-1.514) el octaedron elevatum. Cien años más tardefue redescubierto por Johannes Kepler, quien lo llamó la stella octangula ([2],pp.157 - 158). Las doce aristas de los dos tetraedros son las diagonales de lascaras de un cubo (ver Figura 3.b).

A continuación hallaremos explícitamente el polar de un tetraedro regulal'. Eneste caso, si el tetraedro tiene arista 2V2, entonces el polar coincide con surecíproco, y la combinación de las dos es, por ende, la steila octangula.

La Stella Octangula(a)

! ¡,TI¡ 4----- ....._.....,'" ...,-

,.•.•.

El cubo VI ... ~ V{ ... V¡(b)

Corolario 3. Sea ~ un tetraedro regular, sólido y cerrado, dearista a, centroel origen O, y vértices Vi, ... , V4. Entonces

(i) El po1iedro polar ~o de ~ es también un tetraedro regular, de arista 8a-1.

centro Oy "értices -8at k = 1, ... ,4.

(ii) Si a = 2V2 (¡como en el tetraedro de Hess!) entonces ~ U ~o es, justa-mente, la stella octangula de Kep1er (ver Figura 3.a).

Demostración. Teniendo en mente las expresioneS halladas a lo largo de lademostración del Corolario 2, entonces las que aparecen en (19) del Teorema 3nos dan W1 = -8a-2V3. W3 = -8a-2V1. Wi = -8a-2lti, i = 2,4. Estos puntosson los vértices del tetraedro regular ~o de centro O y arista IIvFi - Vllj 11 =&-1, i =1 j.

Si a = 2V2 entonces los vértices de ~ son -VI, , - V4, que junto conlos de ~ son los \"értices de un cubo VI ... V4(- VI) (- V4). De acuerdocon el espíritu de la Observación 2, ~o es tambien el recíproco de ~, y porconsiguiente ~ U ~o es la stellaoctangula. Al efecto recuérdese. además. larelación \-4 = - VI - 1-'2 - V3· •

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