Rn m04 probability

Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas Brawijaya

Slide 04 : Probabilitas dan Distribusi

PERAWATAN DAN KEANDALAN

Teknik Industri - Universitas Brawijaya

1

Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya

Populasi Populasi atau semesta (universe) adalah set lengkap observasi yang menjadi perhatian peneliti. Populasi adalah grup keseluruhan unsur yang menjadi fokus studi. Populasi adalah total keanggotaan dari semua elemen sistem yang relevan dengan lingkup batasan permasalahan.

2


Populasi Populasi (population) adalah himpunan semua objek, percobaan, pengamatan, data, keluaran, atau nilai yang memiliki kesamaan kondisi umum (common state) dalam rentang (range) tertentu (finite atau infinite) dengan parameter identik sesuai dengan batasan permasalahan yang menjadi fokus studi peneliti.

3


Sampel Sampel (sample) adalah sejumlah observasi yang diambil dari populasi Sampel adalah beberapa unsur yang menjadi bagian dari populasi Sampel adalah sebagian anggota dari populasi

4


Populasi dan Sampel

5


Statistik dan Parameter Parameter adalah nilai yang menjelaskan karakteristik populasi

Statistik adalah nilai yang menjelaskan karakteristik sampel

6


Ruang dan Titik Sampel Ruang sampel (sample space) adalah satu set lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi dalam populasi.

Titik sampel (sample point) adalah setiap keluaran yang menjadi elemen atau anggota ruang sampel.

Ruang sampel dapat dirinci titik sampelnya, atau menggunakan interval atau pernyataan (statement / rule) jika terlalu banyak.

7


Keluaran dan Kejadian Keluaran (outcome) adalah fakta hasil pengumpulan data dalam observasi ataupun eksperimen

Kejadian (event) adalah peristiwa yang termasuk dalam keluaran-keluaran yang mungkin (possible outcomes) terjadi saat pengumpulan data.

8


Proses Stokastik Proses stokastik (stochastic process) adalah proses dengan keluaran sekumpulan variabel acak X={X(t), tT}, yang terdistribusi acak pada saat t dalam rentang continuum T.

Eksperimen acak (random experiment) adalah eksperimentasi yang menghasilkan keluaran yang berbeda, meskipun dilakukan perulangan dengan rancangan kondisi eksperimentasi yang sama.

9


Variabel Acak Variabel acak (random variable) adalah suatu nilai bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau infinite). Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital miring (misal : X). Sedangkan nilai variabel acak dinotasikan dengan huruf kecil miring (misal : x).

10


Tipe Data Data Diskrit, data hasil pencacahan atau penghitungan, sehingga biasanya dalam angka bilangan bulat.

Data Kontinyu, data hasil pengukuran yang memungkinkan dalam angka bilangan nyata (meskipun dapat pula dibulatkan)

11


Probabilitas Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S, (P(E), ES), adalah peluang kejadian E menjadi keluaran percobaan dasar (trial) dalam sebuah eksperimen yang mempunyai ruang sampel S di mana kejadian E termasuk sebagai bagian dari ruang sampel tersebut.

12

SEExPEP ,)()(


Probabilitas Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S, (P(E), ES), adalah peluang empiris kejadian E yang ekuivalen dengan proporsi banyaknya elemen kejadian E, N(E). dibandingkan dengan segenap elemen ruang sampel S, N(S).

13

)()dan ;(

)();(

SNSEExxN

SNSEENEP


Probabilitas Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S, (P(E), ES), adalah total peluang semua titik sampel dalam ruang sampel S yang menjadi elemen kejadian E.

14

1)(,0)(,10 SPPEP

)(,,2,1,,)()()(

1

ENiExxPEP i

EN

ii


Probabilitas Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S, (P(E), ES), adalah frekuensi relatif kejadian E.

15

SExf

xfEfEP

Sx

Ex

r

,)(

)()()(


Hukum Total Probabilitas Jika A1, A2, ..., Ak menunjukkan bagian dari ruang sampel S yang bersifat mutually exclusive, dan tidak ada titik sampel yang tidak menjadi elemennya (A1A2...Ak = S), maka total probabilitas gabungan keseluruhan adalah satu

16

exclusivemutually dan , mana di

1)(0dengan , 1)(

1

1

i

k

ii

i

k

ii

ASA

APAP

SA1

A2

A3

A4 A5


Kejadian Eksklusif Dua kejadian bersifat saling eksklusif (mutually exclusive), jika kemunculan kejadian E1 akan meniadakan probabilitas kejadian E2◦ P(A|B) = 0◦ P(B|A) = 0

Dua kejadian bersifat saling eksklusif (mutually exclusive), jika probabilitas irisan adalah nol.P(AB) = 0

17


Kejadian Eksklusif Probabilitas gabungan (probability of a union) beberapa kejadian E1, E2,... dan Em dalam ruang sampel S, (P(E1E2...Em); ES dan E mutually exclusive) di mana semua kejadian saling mutually exclusive adalah sebesar jumlah probabilitas segenap kejadian tersebut

18

m

ii

m

m

ii

EP

EPEPEPEP

1

211

)(

)()()()(


Kejadian Bebas Dua kejadian bersifat saling bebas (independent), jika kemunculan kejadian E1 tak mempengaruhi probabilitas kejadian E2◦ P(A|B) = P(A)◦ P(B|A) = P(B)

Dua kejadian bersifat saling bebas tidak terikat (independent), jika probabilitas irisan adalah perkalian kedua probabilitasnya.P(AB) = P(A).P(B)

19


Kejadian Bebas Sejumlah kejadian, E1, E2, ... , Ek bersifat saling bebas tidak terikat (independent), jika probabilitas irisannya ekuivalen dengan perkalian probabilitasnya

20

k

ii

k

ii

kk

APAP

APAPAPAAAP

11

2121

)(

)(.).().()(


Distribusi Distribusi adalah sebaran variabel acak X dalam ruang sampel S dengan rentang R yang mempunyai karakteristik unik (parameter atau statistik) dalam interval tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi probabilitas yang spesifik.

21


Distribusi Distribusi empiris (empirical distribution) adalah distribusi sebaran data aktual dari observasi atau eksperimen dengan pengelompokan dalam distribusi frekuensi. Distribusi teoritis (theoretical distribution) adalah distribusi sebaran variabel acak dalam rentang tertentu yang mengikuti fungsi probabilitasnya.

22


Fungsi Probabilitas Fungsi probabilitas menunjukkan tingkat frekuensi relatif dari variabel acak X bernilai diskrit atau luasan frekuensi relatif dari interval variabel acak X bernilai kontinyu.

23


Fungsi Probabilitas Probability Mass Function, p(x) Probability Density Function, f(x) Cumulative Distribution Function, F(x) Expectation, E(xn) Variance, V(x) Moment, mr(x) Moment Generating Function , Mr(x)

24


Probability Mass Function Fungsi massa probabilitas (probability mass function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak diskrit pada nilai tertentu.

Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai probabilitas P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di mana nilai p(x) memenuhi :◦ p(x)>0 untuk seluruh xR◦ p(x) = 1

25


Probability Density Function Fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak kontinyu dalam interval tertentu.

Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran nilai probabilitas P(a<X<b)=abf(x) dx untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai f(x) memenuhi :◦ f(x)>0 untuk seluruh xR◦ f(x) dx = 1

26


Cumulative Distribution Function

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit atau kontinyu hingga nilai tertentu.

Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai probabilitas P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai F(x) memenuhi :◦ F(x) = bp(x) untuk variabel acak diskrit xR◦ F(x) = -bf(x) dx untuk variabel acak kontinyu xR

27


Expectation Nilai ekspektasi (expectation) adalah sebuah nilai harapan dari sebuah fungsi terhadap fungsi probabilitas variabel acaknya.

Jika X adalah sebuah variabel acak, dan g(x) adalah fungsi dari X, maka nilai ekspektasi dari g(x) didefinisikan sebagai berikut :◦ E((g(x)) = g(x).p(x) untuk variabel acak diskrit xR◦ E((g(x)) = g(x).f(x) dx untuk variabel acak kontinyu xR

28

xxE )(


Variance Variansi (variance) adalah nilai ekspektasi fungsi kuadrat deviasi variabel acak X dengan rata-ratanya terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.

29

RxdxxfxxxV

RxxpxxxV

kontinyu acak abeluntuk vari)(.)()(

diskrit acak abeluntuk vari)(.)()(

2

0

2

22

2

22

)()()(

)(

xExExxE

xVs


Moment Momen origin (moment about the origin atau raw moment) adalah nilai ekspektasi fungsi deviasi variabel acak X dengan titik origin (nol, 0) dalam orde ke-r terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.

30

rrr xEm ''

Rxdxxfxm

Rxxpxm

rrr

rrr

kontinyu acak abeluntuk vari)(.''

diskrit acak abeluntuk vari)(.''0


Moment Momen pusat (central moment) adalah nilai ekspektasi fungsi deviasi variabel acak X dengan nilai rata-rata dalam orde ke-r terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.

31

rrr xxEm )(

Rxdxxfxxm

Rxxpxxm

rrr

rrr

kontinyu acak abeluntuk vari)(.)(

diskrit acak abeluntuk vari)(.)(0


Moment Generating Function

Fungsi pembangkitan momen (moment generating function) adalah nilai ekspektasi fungsi eksponensial variabel t dan variabel acak X dengan nilai rata-rata terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.

32

xteEtM .)(

RxdxxfetM

RxxpetM

xt

xt

kontinyu acak abeluntuk vari)(.)(

diskrit acak abeluntuk vari)(.)(

.

0

.


Moment Generating Function

Hubungan antara Fungsi pembangkitan momen (moment generating function) dengan momen origin (moment about the origin) ditunjukkan dengan fungsi derivatif.

33

rt

r

r

dttMd ')(

0


Distribusi Diskrit Hubungan antara p(x) dengan F(x)

34

RxF

xpxXPxFxX

rentang dalam asprobabilit luntuk tota 1)( mana di

)()()(0

p(x) F(x)


Distribusi Kontinyu Hubungan antara f(x) dengan F(x)

35

RxF

dxxfxXPxFxX

rentang dalam asprobabilit luntuk tota 1)( mana di

)()()(

f(x) F(x)


Distribution Fitting & Parameter Estimation

Chi-Square Test Kolmogorov Smirnov Test Geary Test Lilliefors Test Shapiro-Wilk Test Moment Generating Function Maximum Likelihood Estimation Least Square Error

36

Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas Brawijaya37

End of Slides ...End of Slides ...

Date post:	06-Jan-2017
Category:	Engineering
Upload:	arif-rahman
View:	63 times
Download:	0 times

Rn m04 probability

Engineering