Second-Order Systemseng.sut.ac.th/mae/maeweb/sites/default/files/Second-Order Systems_0.pdf3...

Second-Order Systems

2


000 xMxkxcf si

is fxkxcxM 000

onacceleratimassforces

The force-measuring spring scale

3


i

sss

fk

xxk

cx

k

M 1000 is fxkxcxM 000

The force-measuring spring scale

i

nn

Kfxxx

002

0 2

Mk

c

kK

M

k

s

s

sn

2

Nm

1

secrad,

4


)(2)(

)(22

2

0 sGss

K

sF

sX

nn

n

i

In transfer function (Laplace Transform)

)(2

)(22

2

0 sFss

KsX i

nn

n

5


22

2

2

)(

nn

n

ss

K

sR

sC

22

2

2 nn

n

ss

K

R(s) C(s)

Standard form of second-order system

6


1222

2,1 nnnnns

Characteristic equation

02 22 nnss

ซ่ึงจะได ้

7


10 ed Underdamp.4

0 Undamped.3

1 damped Critically 2.

1 Overdamped 1.

8

Unit-Step response of


1)(

ssRIn Laplace transform

sss

KsC

nn

n 1

2)(

22

2

22 2

21)(

nn

n

ss

s

sKsC

เราสามารถท า partial fraction

Eq.1

9



sssss

KsC n 1)(

21

2

1222

2,1 nnnnns

โดยท่ี

หรือ เขียนอยูใ่นรูป

Eq.2

10



21

2

21

2

01

0

)(ssssss

ssCA nns

s

2

3

1

21)(ss

A

ss

A

s

AKsC

โดยท่ี

เราสามารถท า partial fraction

21

2

1

2

2

2

12

1

1)(

sssssssCssA nn

ss

ss

11



21

2

2

2

1

2

23

2

2)(

sssssssCssA nn

ss

ss

และ

12



2

3

1

21)(ss

A

ss

A

s

AKsC

1222

1 nnnnns

1 , Overdamped 1. Case ท า partial fraction

โดยท่ี

1222

2 nnnnns

13



112

1

2122

1

22222

A

22222

2

21

2

2

2

3

122 nnnn

nn

sssA

112

1

2122

1

22223

A

22222

2

21

2

1

2

2

122 nnnn

nn

sssA

12

2

21

2

1 n

nn

ssA

โดยท่ี

14



2

3

1

21)(

ss

A

ss

A

sKsC

tstseAeAKtc 21

321

หาผลเฉลย Inverse Laplace transform

1

22

1

22

2

2

112

1

112

11

nn

nn

e

eKtc

15



16



222

21

2

21)(

n

n

nn

n

s

s

sK

ss

s

sKsC

tn

t nn teeKtc

1

1 , damped Critically 2. Case

2

11)(

n

n

n sssKsC


Partial fraction

17



18



0 , Undamped3. Case

sRs

KsCn

n

22

2

)(

22

2

2

)(

nn

n

ss

K

sR

sC

ssK

ssKsC

n

n

n

n

22

2

22

2 1)(

จากฟังกช์ัน่ถ่ายโอน

เปิดตาราง Laplace Transform pairs (หนา้ท่ี 18) t

s

cos1

22

2

tKtc ncos1

19



20



22 2)(

nnss

CBs

s

AKsC

10 ed Underdamp.4

ท า partial fraction

sss

KsC

nn

n 1

2)(

22

2


2222 2 nnn CsBsssA

2222 2 nnn CsBsAsAAs

21



222 2 nnn AsCAsBA

122 AA nn

10 BBA

nn CCA 202

22 2

21)(

nn

n

ss

s

sKsC


เราจะไดค่้า

22



22 2

21)(

nn

n

ss

s

sKsC

10 ed Underdamp.4


โดยท่ี

sss

KsC

nn

n 1

2)(

22

2


02 22 nnss Characteristic equation

1222

2,1 nnnnns

23



โดยท่ี

02 22 nnss

Characteristic equation

1222

2,1 nnnnns

dn js 2,1ซ่ึงจะได ้

1

frequency natural damped1 2

j

nd โดยท่ี

24



2222

21)(

dn

n

dn

n

ss

s

sKsC

22

1)(

dn

nn

s

s

sKsC

22

222222

2

12

nn

nnndn

ss

sss

เราจดัรูปสมการใหม่

โดยท่ี

ซ่ึงจะได ้

25



222221

21)(

dn

d

dn

n

ss

s

sKsC

teteKtc d

t

d

t nn

sin1

cos12


2

1

2

1tansin

11 t

eKtc d

tnหรือ

26



te

sd

t

dn

d n

sin

22

1

L

te

s

sd

t

dn

n n

cos

22

1

L

Inverse Laplace transform

27



28



29

Definitions of

Transient-Response Specification

• Delay time, td

• Rise Time, tr

• Peak time, tp

• Maximum overshoot, Mp

• Settling time, ts

30

Definitions of


31

Definitions of


rd

t

rd

ttetetc rnrn

sin1

cos12

เราจะพิจารณา rise time (tr )ในกรณี underdamped

จากสมการ

rdrd

tttetc rn

sin1

cos12

32

Definitions of


0sin1

cos2

rdrd tt

0 rnt

e

0cos

sin

1cos

cos

2

rd

rd

rd

rd

t

t

t

t

ขณะท่ี

เราจะไดว้า่

n

drdt

21tan

33

Definitions of


d

rt1


d

dn

d

d

rt11 tan

1tan

1

21, ndnโดยท่ี

จากสมการเราพิจารณาไดว้า่ถา้ตอ้งการ rise time (tr )มีค่านอ้ย ตอ้งให ้ มีค่ามาก n

34

Definitions of


d

rt1

dn js 2,1

35

Definitions of


ttetc dd

tn

sin1

cos12

เราจะพิจารณา peak time (tp )ในกรณี underdamped โดยการหาอนุพนัธ์ของ c(t) เท่ากบัศูนย ์

0cos1

sin

sin1

cos

2

2

tte

ttedt

dc

dd

dd

t

dd

t

n

n

n

36

Definitions of


0cos1

sin

sin1

cos

2

2

pd

t

dpdd

t

pd

t

npd

t

n

tt

te

te

tetedt

dc

pn

pn

pnpn

p

เราพิจารณาท่ี t=tp

37

Definitions of


0cos1

1sin

sin1

cos

2

2

2

pd

t

npdd

t

pd

t

npd

t

n

tt

te

te

tetedt

dc

pn

pn

pnpn

p

และเม่ือ 21 nd

38

Definitions of


0sinsin1 2

pdd

t

pd

t

n

tt

tetedt

dcpnpn

p

21 nd

01

sin2

2

dn

pd

t

tt

tedt

dcpn

p

เม่ือ เราจะไดส้มการใหม่ดงัน้ี

011

sin 2

2

2

nn

pd

t

tt

tedt

dcpn

p

39

Definitions of


011

1

1sin 2

2

2

2

2

nn

pd

t

tt

tedt

dcpn

p

0

1

1

1sin

2

2

2

2

nnpd

t

tt

tedt

dcpn

p

011

sin2

2

2

2

nnnpd

t

tt

tedt

dcpn

p

40

Definitions of


เราจะไดส้มการใหม่ดงัน้ี

0111

sin2

2

22

2

nnnpd

t

tt

tedt

dcpn

p

0sin1 2

pd

tn

tt

tedt

dcpn

p

41

Definitions of


0sin pdt

,3,2,,0 pdt

pdt

d

pt


หรือ

ในขณะท่ี peak time ท่ีเกิดข้ึนคร้ังแรกท่ี

ดงันั้น

42

Definitions of


d

Ptt

ในกรณ ีunderdamped เราจะพิจารณา Maximum overshoot (Mp) ซ่ึงจะเกิดข้ึนท่ี peak time หรือ

เราสมมุติวา่ค่าสุดทา้ยของเอาทพ์ทุมีค่าเป็น 1

1 pp tcM

43

Definitions of


1sin1

cos12

pdpd

t

p tteM pn

sin1

cos2

dneM p

21

eeM dn

p

เราจะไดค่้า maximum overshoot

44

Definitions of


%100

dne

Maximum Percent Overshoot

c

ctcM

p

p

ในกรณีท่ีค่าสุดทา้ยของเอาทพ์ทุมีค่าไม่เท่ากบั 1

45

Definitions of


46



ในกรณ ีunderdamped เราจะพิจารณา Settling time(ts)

2

1

2

1tansin

11 t

eKtc d

tn

47

Definitions of


n

s Tt

44


n

s Tt

33

2% criterion

5% criterion

48

Definitions of Transient-Response Specification

Ex:

256

25

2

)(222

2

sssssR

sC

nn

n

secrad 5 ,6.0 nเม่ือระบบมีค่า

49


Ex:

256

25)(2

sssR

sC

50


Ex:

d

rt

46.015122 nd

rad 93.03

4tantan 11

n

d

ในกรณ ีunderdamped เราจะพิจารณา rise time (tr ) จากสมการ

sec 55.04

93.014.3

d

rt

โดยท่ี

51


Ex:

sec 785.04

14.3

d

pt

เราจะพิจารณา peak time (tp )ในกรณี underdamped

ในกรณ ีunderdamped เราจะพิจารณา Maximum overshoot (Mp)

095.014.343 eeM dn

p

52


Ex:


sec 33.13

44

n

st

sec 13

33

n

st

2% criterion

5% criterion

53


Ex: effect of gain (K)

256

50)(2

sssR

sC

54

Impulse Response of Second-Order Systems

sRss

sCnn

n

22

2

2)(

เม่ือระบบมีฟังกช์ัน่ถ่ายโอน ดงัน้ี

ส าหรับระบบท่ีมีอินพทุเป็น unit-impulse function เท่ากบั 1

22

2

2)(

nn

n

sssC

55


1

22

22

2

2)(

n

n

nn

n

ssssC

t

nntetc

2

ในกรณีท่ี


tte

s

2

1จากตาราง Laplace transform

56


1ในกรณีท่ี


t

nt

n nn

eetc

1

2

1

2

22

1212

57


10 ในกรณีท่ี


2

21sin

1

n

tn netc

58


59

Unit-Ramp response of


60



61



62



63



Date post:	11-Mar-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	15 times
Download:	0 times

Second-Order Systemseng.sut.ac.th/mae/maeweb/sites/default/files/Second-Order Systems_0.pdf3...

Documents