| Date post: | 10-Jul-2015 |
| Category: |
Documents |
| Upload: | luisa-gonzalez |
| View: | 466 times |
| Download: | 3 times |
CEDART
DAVID ALFARO SIQUEIROS BACHILLERATO DE ARTE Y HUMANIDADES INBA Y BELLAS ARTES
AacuteLGEBRA
MAESTRO ING VICTOR MANUEL MORALES AacuteRZAGA
ALUMNA LUISA EDITH CEPEDA GLEZ
GRADO _____1________
GRUPO _____1________
FECHA DE ENTREGA jueves 16--12--2010
Iacutendice
Primer parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2
Segundo parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip5
Tercer parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10
INTRODUCCIOacuteN
A) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS
AacuteLGEBRA
Para los usos matemaacuteticos de la palabra aacutelgebra como estructura algebraica veacutease
aacutelgebra no asociativa aacutelgebra asociativa aacutelgebra sobre un cuerpo El aacutelgebra es la rama
de las matemaacuteticas que estudia las estructuras las relaciones y las cantidades (en el caso
del aacutelgebra elemental) Junto a la geometriacutea el anaacutelisis matemaacutetico la combinatoria y la
teoriacutea de nuacutemeros La palabra laquoaacutelgebraraquo es de origen aacuterabe deriva del tratado escrito
por el matemaacutetico persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi titulado Kitab al-yabr wa-l-
muqabala (en aacuterabe قاب م بر وال ج تاب ال ةك que significa Compendio de caacutelculo por el) (ل
meacutetodo de completado y balanceado) el cual proporcionaba operaciones simboacutelicas
para la solucioacuten sistemaacutetica de ecuaciones lineales y cuadraacuteticas Etimoloacutegicamente la
palabra laquoaacutelgebraraquo ربج (yabr) proviene del aacuterabe y significa reduccioacuten
APLICACIONES ASIDUIDAD CON QUE SE ESTUDIA ADORNO SOBREPUESTO EN UN MATERIAL
DIFERENTE
TEacuteRMINOS ALGEBRAICOS MEDIA ARITMEacuteTICA PROMEDIO
EXPONENTES
Nuacutemero que puesto arriba a la derecha de otro llamado base indica las veces en que
hay que multiplicarse por si mismo
B) EJEMPLO DE SUMA ALGEBRAICA (PERIacuteMETRO)
SI SUMAMOS EL SALOacuteN DE 1acuteacute1acuteacute Y EL DE 1acuteacuteAacuteacute NOS DA UN TOTAL DE 900 MTS iquestCuaacutento MIDE CU R 450 X+X=900 X+X=900 X=450 2X=900 X=900divide2 Marisol tiene tres repisas llenas de juguetes Su hermana Juana quiere saber cuantos juguetes deben de ir en cada repisahellip iquestCuaacutentos debe haber en cada repisa si son un total de 60 muntildeecos
3X=60
3X=60
X=60divide3 = 20
X=20
1acuteacute
1acuteacute
1acuteacute
Aacuteacute
2- RESOLVERuml
(5Asup2 ndash 2 asup3 +a ) + (4 a + 3 asup2) + (5 asup3 ndash 2 a +7)
8asup2 +3asup3+3a+7 acomodacioacuten 3a sup3+ 8asup2 +3a+7 polinomio cubico
(34x sup2 - 43x +2)+ (16x ndash 52 xsup2+ 78)
xsup2 - frac34 - 52= -- 148 xsup2 x - 43 - 16 = -- 2118x
- 2+78= 238
-- 148 xsup2 -- 2118x +238 trinomio cuadrado
(4y- 5z+3)+ (4z-y+2)- (3y -2z-1)
6ymdash3z+4 trinomio lineal (12 m + 35 m ndash 47) + (38 m- 54) + (53 m ndash 310 m)
Msup2 frac12- 310 =420 Msup2 M 35+ 38=3940 M + 53 m=317120 M
-47- 54= - 51 28
420 Msup2 + 317120 M - 51 28 TRINOMIO CUADRADO
(2pq ndash 3psup2 + 4pqsup2)+ (Pq-5pqsup2 -7p sup2 q)+(- 4pqsup2 +3pq ndash p sup2 q)
6P Q ndash 3P sup2 ndash 5PQ sup2 ndash 8P sup2 Q
ndash8P sup2 Qndash 5PQ sup2 ndash 3P sup2 + 6P Q POLINOMIO CUBICO CONTINUACION RESTA
A) EJEMPLIFICA UNA APLICACIOacuteN DE LA RESTA ALGEBRAICA (DESCRIBE EL
PROBLEMA AGREGA IMAGEN O ESQUEMA Y RESUELVE)
B) MIRNA TIENE CINCO ROSAS Y TRES TULIPANES EN SU JARDIN AYER BRENDA
LE QUITO DOS ROSAS PERO LE DIO UN TULIPAN
NATASHA LE QUITO TRES TULIPANES PERO LE DIO UNA ROSA iquestCuaacutentas ROSAS Y TULIPANES LE QUEDARON
(5N+3M) ndash (2N+1M) - (3M+N) -2N - 1M BINOMIO LINEAL
RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES (5M+4Nndash7) ndash (8N ndash7) + (4Mndash3N+5) ndash (- 6M+4Nndash3)
15M- 11N+ 15 TRINOMIO LINEAL
(4M4 ndash 3Msup3+ 6Msup2 +5M- 4) ndash (6Msup3- 8Msup2 -3M ndash 1)
4M4- 9Msup3+14 Msup2+8M ndash 5 POLINOMIO CUARTO GRADO
(- XY4- 7Ysup3+XYsup2) + (- 2 XY4+5Y ndash 2) ndash (- 6Ysup3 +XYsup2 +5)
- 3 XY4 - 1 Ysup3 +0XYsup2 +5Y ndash 7 POLINOMIO CUARTO GRADO
(16X+ 3 8 Y - 5) - (8 3Y - 5 4) + (32 X + 2 9)
2012X - 1524Y - 12736 TRINOMIO LINEAL
DISENtildeAR OTRA RESTA CON FRACCIONES (MINIMO TRINOMIO)
(12Xsup2 - 310 X +16) ndash (38+510 Xsup2) + (36 X)
-520Xsup2 +1260X -1048 TRINOMIO CUADRADO
INTRODUCCIOacuteN
B) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS
iquestQueacute es divisioacuten algebraica
Divisioacuten de expresiones algebraicas Una expresioacuten algebraica es aquella en la que se
utilizan letras nuacutemeros y signos de operaciones
Es la operacioacuten que tiene como objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y
uno de los factores (divisor) hallar el otro factor
Definicioacuten
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por
simple inspeccioacuten Su denominados tambieacuten Identidades Algebraicas Son aquellos
productos cuyo desarrollo es claacutesico y por esto se le reconoce faacutecilmente Es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y
residuo
Propiedades de la divisioacuten algebraica
Divisioacuten es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y Residuo
PROPIEDADES DE LA DIVISION
PReintegrativa
En una divisioacuten dada si el cociente se multiplica por el divisor da como producto el
dividendo
P Divisor 1
En cualquier divisioacuten el divisor es 1 el dividendo y el cociente son iguales
Existen tres tipos de divisioacuten algebraica
(Solo se mencionan dos)
Monomio entre monomio
Polinomio entre monomio
Reglas
- los coeficientes se dividen o simplifican aplicando la ley de los signos - los exponentes se restan indicando el resultado donde estaba el mayor - El primero solo se indica si es el uacutenico resultado - [NOTA EL NUMERO DE TERMINOS ES EL NUMERO DE RESULTADOS]
iquestCuaacuteles son los elementos (partes) de la divisioacuten
Sus elementos son
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo RESOLVER 8m9n2-10m7n4-20m5n6+12m3n8 2m2n3= 4m7-5m5n-10m3n+6mn5 2mn 2 2 2 20x4-5x3-10x2+15x 5x= 4x3-1x2-2x+3 5 5 4a8-10a6-5a4 2a3= 2a5-5a3-2a 2 2ordf2 2x2y+6xy2-8xy+10x2y2 2a3= x+3y-4+5xy 2y 2x 2xy 2 3x2 +2x-8 x+2= 3x+8
2x3-4x-2 2x+2= x2+3x2
2a4-a3+7a-3 2a+3= a3-1
14y2-71y-33 7y+35= 2y
Si un espacio rectangular tiene el aacuterea de 6x2-19x+15 y la anchura es de 3x-5
iquestCuaacutento mide la base
2x-3
6- expresar conclusiones personales sobre la primera unidad umlacuteoperaciones algebraicasumlacute
Es la generalizacioacuten de las ideas de la aritmeacutetica la rama de la matemaacutetica en la que las
cantidades desconocidas se pueden representar por letras y asiacute determinar sus valores
para resolver problemas
Productos Notables
iquestQue son los productos notables
Productos notables
Ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspeccioacuten
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la
multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la
resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Es la multiplicacioacuten de ciertas expresiones utilizando reglas para obtener el resultado
a) Binomios a una potencia= EXPRESIONES
IGUALES QUE SE MULTIPLICAN VARIAS
VECES ENTRE SI
b) Binomio con Termino Comuacuten
Cuadrado del comuacuten
Suma o resta de los no comunes por el comuacuten
Producto de los no comunes
c) Binomios Conjugados
Cuadrado del primero
(-) menos cuadrado del segundo
I- BINOMIO AL CUADRADO
II- BINOMIO AL CUBO
III- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
IV- BINOMIO AL CUADRADO
Cuadrado del primero
Doble producto del primero por el segundo
Cuadrado del segundo
V- BINOMIO AL CUBO
Cubo del primero
Triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Cubo del segundo
VI- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
Te guiacuteas por el triangulo de pascal seguacuten la potencia
Se va a ir repitiendo el problema cuantas veces sean necesarias
Se multiplica el numero afuera del pareacutentesis por el de adentro
En la calculadora se oprime el botoacuten
Exponente por el siguiente numero del otro pareacutentesis exponente
Triangulo de pascal
Triangulo de pascal
El triaacutengulo de Pascal en matemaacuteticas es un conjunto infinito de nuacutemeros enteros
ordenados en forma de triaacutengulo que expresan coeficientes binomiales El intereacutes del
Triaacutengulo de Pascal radica en su aplicacioacuten en aacutelgebra y permite calcular de forma
sencilla nuacutemeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton
Tambieacuten es conocido como Triaacutengulo de Tartaglia En paiacuteses orientales como China
India o Persia este triaacutengulo se conociacutea y fue estudiado por matemaacuteticos como Al-
Karaji cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones o por el astroacutenomo y
poeta persa Omar Jayyam (1048-1123) En China es conocido como Triaacutengulo de
Yanghui en honor al matemaacutetico Yang Hui quien lo describioacute el antildeo 13031
Ejercicio
(3a+4)2= 9ordf2+24ordf+16
(2x2-5)2= 4x4-20x2+25
(7m+8n)2=49m2+112mn+64n2
(4ordf+5)3= 64ordf3+240ordf+125
(2ordf3-7)3=8ordf9-84ordf6+294ordf3-343
(5m+4)3=125m3+300m2+240m+64
(3x+2)4=1(3x)4(2) deg4(3x)3(2)1 6(3x)2(2)2 4(3x)1(2)31(3x)0(2)4
81x4+216x3+216x2+96x1+16
(2x2-4)5=32x5-320x4+1280x3-2560x2+2560x-32
(4y3+3)6=4096x6+18432x5+34560x4+34560x3+19440x2+5832x+729
(2x+3) (2x+5)=4x2+16x+15
(x2-1) (x2+1)=x4-1x2-1
(m+4) (m-2)=m2-2m-8
(3ordf-7) (3ordf+7)=9ordf2-49
(5ordf+36)(5ordf-26)=25ordf2+50ordf-936
(4x3+3)(4x3-3)=16x6-9
(a2-1)(a2-4)=a4-3ordf2-4
Factorizacioacuten
Define queacute es factorizacioacuten
En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten
Factoriza las sig Expresiones
a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)
b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)
c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)
d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)
e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)
f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)
g) N2 -14n +49=(n-7)2
h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)
i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)
j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)
k) X2 -144=(x+72)(x-72)
l) 2x2+11x+12= 2(x+6)
m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)
n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)
o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)
p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)
q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)
r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)
s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)
t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2
Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten
El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero
De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3
Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior
Los pasos a seguir son los siguientes
Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Iacutendice
Primer parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2
Segundo parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip5
Tercer parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10
INTRODUCCIOacuteN
A) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS
AacuteLGEBRA
Para los usos matemaacuteticos de la palabra aacutelgebra como estructura algebraica veacutease
aacutelgebra no asociativa aacutelgebra asociativa aacutelgebra sobre un cuerpo El aacutelgebra es la rama
de las matemaacuteticas que estudia las estructuras las relaciones y las cantidades (en el caso
del aacutelgebra elemental) Junto a la geometriacutea el anaacutelisis matemaacutetico la combinatoria y la
teoriacutea de nuacutemeros La palabra laquoaacutelgebraraquo es de origen aacuterabe deriva del tratado escrito
por el matemaacutetico persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi titulado Kitab al-yabr wa-l-
muqabala (en aacuterabe قاب م بر وال ج تاب ال ةك que significa Compendio de caacutelculo por el) (ل
meacutetodo de completado y balanceado) el cual proporcionaba operaciones simboacutelicas
para la solucioacuten sistemaacutetica de ecuaciones lineales y cuadraacuteticas Etimoloacutegicamente la
palabra laquoaacutelgebraraquo ربج (yabr) proviene del aacuterabe y significa reduccioacuten
APLICACIONES ASIDUIDAD CON QUE SE ESTUDIA ADORNO SOBREPUESTO EN UN MATERIAL
DIFERENTE
TEacuteRMINOS ALGEBRAICOS MEDIA ARITMEacuteTICA PROMEDIO
EXPONENTES
Nuacutemero que puesto arriba a la derecha de otro llamado base indica las veces en que
hay que multiplicarse por si mismo
B) EJEMPLO DE SUMA ALGEBRAICA (PERIacuteMETRO)
SI SUMAMOS EL SALOacuteN DE 1acuteacute1acuteacute Y EL DE 1acuteacuteAacuteacute NOS DA UN TOTAL DE 900 MTS iquestCuaacutento MIDE CU R 450 X+X=900 X+X=900 X=450 2X=900 X=900divide2 Marisol tiene tres repisas llenas de juguetes Su hermana Juana quiere saber cuantos juguetes deben de ir en cada repisahellip iquestCuaacutentos debe haber en cada repisa si son un total de 60 muntildeecos
3X=60
3X=60
X=60divide3 = 20
X=20
1acuteacute
1acuteacute
1acuteacute
Aacuteacute
2- RESOLVERuml
(5Asup2 ndash 2 asup3 +a ) + (4 a + 3 asup2) + (5 asup3 ndash 2 a +7)
8asup2 +3asup3+3a+7 acomodacioacuten 3a sup3+ 8asup2 +3a+7 polinomio cubico
(34x sup2 - 43x +2)+ (16x ndash 52 xsup2+ 78)
xsup2 - frac34 - 52= -- 148 xsup2 x - 43 - 16 = -- 2118x
- 2+78= 238
-- 148 xsup2 -- 2118x +238 trinomio cuadrado
(4y- 5z+3)+ (4z-y+2)- (3y -2z-1)
6ymdash3z+4 trinomio lineal (12 m + 35 m ndash 47) + (38 m- 54) + (53 m ndash 310 m)
Msup2 frac12- 310 =420 Msup2 M 35+ 38=3940 M + 53 m=317120 M
-47- 54= - 51 28
420 Msup2 + 317120 M - 51 28 TRINOMIO CUADRADO
(2pq ndash 3psup2 + 4pqsup2)+ (Pq-5pqsup2 -7p sup2 q)+(- 4pqsup2 +3pq ndash p sup2 q)
6P Q ndash 3P sup2 ndash 5PQ sup2 ndash 8P sup2 Q
ndash8P sup2 Qndash 5PQ sup2 ndash 3P sup2 + 6P Q POLINOMIO CUBICO CONTINUACION RESTA
A) EJEMPLIFICA UNA APLICACIOacuteN DE LA RESTA ALGEBRAICA (DESCRIBE EL
PROBLEMA AGREGA IMAGEN O ESQUEMA Y RESUELVE)
B) MIRNA TIENE CINCO ROSAS Y TRES TULIPANES EN SU JARDIN AYER BRENDA
LE QUITO DOS ROSAS PERO LE DIO UN TULIPAN
NATASHA LE QUITO TRES TULIPANES PERO LE DIO UNA ROSA iquestCuaacutentas ROSAS Y TULIPANES LE QUEDARON
(5N+3M) ndash (2N+1M) - (3M+N) -2N - 1M BINOMIO LINEAL
RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES (5M+4Nndash7) ndash (8N ndash7) + (4Mndash3N+5) ndash (- 6M+4Nndash3)
15M- 11N+ 15 TRINOMIO LINEAL
(4M4 ndash 3Msup3+ 6Msup2 +5M- 4) ndash (6Msup3- 8Msup2 -3M ndash 1)
4M4- 9Msup3+14 Msup2+8M ndash 5 POLINOMIO CUARTO GRADO
(- XY4- 7Ysup3+XYsup2) + (- 2 XY4+5Y ndash 2) ndash (- 6Ysup3 +XYsup2 +5)
- 3 XY4 - 1 Ysup3 +0XYsup2 +5Y ndash 7 POLINOMIO CUARTO GRADO
(16X+ 3 8 Y - 5) - (8 3Y - 5 4) + (32 X + 2 9)
2012X - 1524Y - 12736 TRINOMIO LINEAL
DISENtildeAR OTRA RESTA CON FRACCIONES (MINIMO TRINOMIO)
(12Xsup2 - 310 X +16) ndash (38+510 Xsup2) + (36 X)
-520Xsup2 +1260X -1048 TRINOMIO CUADRADO
INTRODUCCIOacuteN
B) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS
iquestQueacute es divisioacuten algebraica
Divisioacuten de expresiones algebraicas Una expresioacuten algebraica es aquella en la que se
utilizan letras nuacutemeros y signos de operaciones
Es la operacioacuten que tiene como objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y
uno de los factores (divisor) hallar el otro factor
Definicioacuten
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por
simple inspeccioacuten Su denominados tambieacuten Identidades Algebraicas Son aquellos
productos cuyo desarrollo es claacutesico y por esto se le reconoce faacutecilmente Es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y
residuo
Propiedades de la divisioacuten algebraica
Divisioacuten es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y Residuo
PROPIEDADES DE LA DIVISION
PReintegrativa
En una divisioacuten dada si el cociente se multiplica por el divisor da como producto el
dividendo
P Divisor 1
En cualquier divisioacuten el divisor es 1 el dividendo y el cociente son iguales
Existen tres tipos de divisioacuten algebraica
(Solo se mencionan dos)
Monomio entre monomio
Polinomio entre monomio
Reglas
- los coeficientes se dividen o simplifican aplicando la ley de los signos - los exponentes se restan indicando el resultado donde estaba el mayor - El primero solo se indica si es el uacutenico resultado - [NOTA EL NUMERO DE TERMINOS ES EL NUMERO DE RESULTADOS]
iquestCuaacuteles son los elementos (partes) de la divisioacuten
Sus elementos son
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo RESOLVER 8m9n2-10m7n4-20m5n6+12m3n8 2m2n3= 4m7-5m5n-10m3n+6mn5 2mn 2 2 2 20x4-5x3-10x2+15x 5x= 4x3-1x2-2x+3 5 5 4a8-10a6-5a4 2a3= 2a5-5a3-2a 2 2ordf2 2x2y+6xy2-8xy+10x2y2 2a3= x+3y-4+5xy 2y 2x 2xy 2 3x2 +2x-8 x+2= 3x+8
2x3-4x-2 2x+2= x2+3x2
2a4-a3+7a-3 2a+3= a3-1
14y2-71y-33 7y+35= 2y
Si un espacio rectangular tiene el aacuterea de 6x2-19x+15 y la anchura es de 3x-5
iquestCuaacutento mide la base
2x-3
6- expresar conclusiones personales sobre la primera unidad umlacuteoperaciones algebraicasumlacute
Es la generalizacioacuten de las ideas de la aritmeacutetica la rama de la matemaacutetica en la que las
cantidades desconocidas se pueden representar por letras y asiacute determinar sus valores
para resolver problemas
Productos Notables
iquestQue son los productos notables
Productos notables
Ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspeccioacuten
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la
multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la
resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Es la multiplicacioacuten de ciertas expresiones utilizando reglas para obtener el resultado
a) Binomios a una potencia= EXPRESIONES
IGUALES QUE SE MULTIPLICAN VARIAS
VECES ENTRE SI
b) Binomio con Termino Comuacuten
Cuadrado del comuacuten
Suma o resta de los no comunes por el comuacuten
Producto de los no comunes
c) Binomios Conjugados
Cuadrado del primero
(-) menos cuadrado del segundo
I- BINOMIO AL CUADRADO
II- BINOMIO AL CUBO
III- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
IV- BINOMIO AL CUADRADO
Cuadrado del primero
Doble producto del primero por el segundo
Cuadrado del segundo
V- BINOMIO AL CUBO
Cubo del primero
Triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Cubo del segundo
VI- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
Te guiacuteas por el triangulo de pascal seguacuten la potencia
Se va a ir repitiendo el problema cuantas veces sean necesarias
Se multiplica el numero afuera del pareacutentesis por el de adentro
En la calculadora se oprime el botoacuten
Exponente por el siguiente numero del otro pareacutentesis exponente
Triangulo de pascal
Triangulo de pascal
El triaacutengulo de Pascal en matemaacuteticas es un conjunto infinito de nuacutemeros enteros
ordenados en forma de triaacutengulo que expresan coeficientes binomiales El intereacutes del
Triaacutengulo de Pascal radica en su aplicacioacuten en aacutelgebra y permite calcular de forma
sencilla nuacutemeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton
Tambieacuten es conocido como Triaacutengulo de Tartaglia En paiacuteses orientales como China
India o Persia este triaacutengulo se conociacutea y fue estudiado por matemaacuteticos como Al-
Karaji cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones o por el astroacutenomo y
poeta persa Omar Jayyam (1048-1123) En China es conocido como Triaacutengulo de
Yanghui en honor al matemaacutetico Yang Hui quien lo describioacute el antildeo 13031
Ejercicio
(3a+4)2= 9ordf2+24ordf+16
(2x2-5)2= 4x4-20x2+25
(7m+8n)2=49m2+112mn+64n2
(4ordf+5)3= 64ordf3+240ordf+125
(2ordf3-7)3=8ordf9-84ordf6+294ordf3-343
(5m+4)3=125m3+300m2+240m+64
(3x+2)4=1(3x)4(2) deg4(3x)3(2)1 6(3x)2(2)2 4(3x)1(2)31(3x)0(2)4
81x4+216x3+216x2+96x1+16
(2x2-4)5=32x5-320x4+1280x3-2560x2+2560x-32
(4y3+3)6=4096x6+18432x5+34560x4+34560x3+19440x2+5832x+729
(2x+3) (2x+5)=4x2+16x+15
(x2-1) (x2+1)=x4-1x2-1
(m+4) (m-2)=m2-2m-8
(3ordf-7) (3ordf+7)=9ordf2-49
(5ordf+36)(5ordf-26)=25ordf2+50ordf-936
(4x3+3)(4x3-3)=16x6-9
(a2-1)(a2-4)=a4-3ordf2-4
Factorizacioacuten
Define queacute es factorizacioacuten
En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten
Factoriza las sig Expresiones
a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)
b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)
c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)
d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)
e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)
f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)
g) N2 -14n +49=(n-7)2
h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)
i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)
j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)
k) X2 -144=(x+72)(x-72)
l) 2x2+11x+12= 2(x+6)
m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)
n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)
o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)
p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)
q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)
r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)
s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)
t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2
Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten
El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero
De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3
Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior
Los pasos a seguir son los siguientes
Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
INTRODUCCIOacuteN
A) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS
AacuteLGEBRA
Para los usos matemaacuteticos de la palabra aacutelgebra como estructura algebraica veacutease
aacutelgebra no asociativa aacutelgebra asociativa aacutelgebra sobre un cuerpo El aacutelgebra es la rama
de las matemaacuteticas que estudia las estructuras las relaciones y las cantidades (en el caso
del aacutelgebra elemental) Junto a la geometriacutea el anaacutelisis matemaacutetico la combinatoria y la
teoriacutea de nuacutemeros La palabra laquoaacutelgebraraquo es de origen aacuterabe deriva del tratado escrito
por el matemaacutetico persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi titulado Kitab al-yabr wa-l-
muqabala (en aacuterabe قاب م بر وال ج تاب ال ةك que significa Compendio de caacutelculo por el) (ل
meacutetodo de completado y balanceado) el cual proporcionaba operaciones simboacutelicas
para la solucioacuten sistemaacutetica de ecuaciones lineales y cuadraacuteticas Etimoloacutegicamente la
palabra laquoaacutelgebraraquo ربج (yabr) proviene del aacuterabe y significa reduccioacuten
APLICACIONES ASIDUIDAD CON QUE SE ESTUDIA ADORNO SOBREPUESTO EN UN MATERIAL
DIFERENTE
TEacuteRMINOS ALGEBRAICOS MEDIA ARITMEacuteTICA PROMEDIO
EXPONENTES
Nuacutemero que puesto arriba a la derecha de otro llamado base indica las veces en que
hay que multiplicarse por si mismo
B) EJEMPLO DE SUMA ALGEBRAICA (PERIacuteMETRO)
SI SUMAMOS EL SALOacuteN DE 1acuteacute1acuteacute Y EL DE 1acuteacuteAacuteacute NOS DA UN TOTAL DE 900 MTS iquestCuaacutento MIDE CU R 450 X+X=900 X+X=900 X=450 2X=900 X=900divide2 Marisol tiene tres repisas llenas de juguetes Su hermana Juana quiere saber cuantos juguetes deben de ir en cada repisahellip iquestCuaacutentos debe haber en cada repisa si son un total de 60 muntildeecos
3X=60
3X=60
X=60divide3 = 20
X=20
1acuteacute
1acuteacute
1acuteacute
Aacuteacute
2- RESOLVERuml
(5Asup2 ndash 2 asup3 +a ) + (4 a + 3 asup2) + (5 asup3 ndash 2 a +7)
8asup2 +3asup3+3a+7 acomodacioacuten 3a sup3+ 8asup2 +3a+7 polinomio cubico
(34x sup2 - 43x +2)+ (16x ndash 52 xsup2+ 78)
xsup2 - frac34 - 52= -- 148 xsup2 x - 43 - 16 = -- 2118x
- 2+78= 238
-- 148 xsup2 -- 2118x +238 trinomio cuadrado
(4y- 5z+3)+ (4z-y+2)- (3y -2z-1)
6ymdash3z+4 trinomio lineal (12 m + 35 m ndash 47) + (38 m- 54) + (53 m ndash 310 m)
Msup2 frac12- 310 =420 Msup2 M 35+ 38=3940 M + 53 m=317120 M
-47- 54= - 51 28
420 Msup2 + 317120 M - 51 28 TRINOMIO CUADRADO
(2pq ndash 3psup2 + 4pqsup2)+ (Pq-5pqsup2 -7p sup2 q)+(- 4pqsup2 +3pq ndash p sup2 q)
6P Q ndash 3P sup2 ndash 5PQ sup2 ndash 8P sup2 Q
ndash8P sup2 Qndash 5PQ sup2 ndash 3P sup2 + 6P Q POLINOMIO CUBICO CONTINUACION RESTA
A) EJEMPLIFICA UNA APLICACIOacuteN DE LA RESTA ALGEBRAICA (DESCRIBE EL
PROBLEMA AGREGA IMAGEN O ESQUEMA Y RESUELVE)
B) MIRNA TIENE CINCO ROSAS Y TRES TULIPANES EN SU JARDIN AYER BRENDA
LE QUITO DOS ROSAS PERO LE DIO UN TULIPAN
NATASHA LE QUITO TRES TULIPANES PERO LE DIO UNA ROSA iquestCuaacutentas ROSAS Y TULIPANES LE QUEDARON
(5N+3M) ndash (2N+1M) - (3M+N) -2N - 1M BINOMIO LINEAL
RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES (5M+4Nndash7) ndash (8N ndash7) + (4Mndash3N+5) ndash (- 6M+4Nndash3)
15M- 11N+ 15 TRINOMIO LINEAL
(4M4 ndash 3Msup3+ 6Msup2 +5M- 4) ndash (6Msup3- 8Msup2 -3M ndash 1)
4M4- 9Msup3+14 Msup2+8M ndash 5 POLINOMIO CUARTO GRADO
(- XY4- 7Ysup3+XYsup2) + (- 2 XY4+5Y ndash 2) ndash (- 6Ysup3 +XYsup2 +5)
- 3 XY4 - 1 Ysup3 +0XYsup2 +5Y ndash 7 POLINOMIO CUARTO GRADO
(16X+ 3 8 Y - 5) - (8 3Y - 5 4) + (32 X + 2 9)
2012X - 1524Y - 12736 TRINOMIO LINEAL
DISENtildeAR OTRA RESTA CON FRACCIONES (MINIMO TRINOMIO)
(12Xsup2 - 310 X +16) ndash (38+510 Xsup2) + (36 X)
-520Xsup2 +1260X -1048 TRINOMIO CUADRADO
INTRODUCCIOacuteN
B) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS
iquestQueacute es divisioacuten algebraica
Divisioacuten de expresiones algebraicas Una expresioacuten algebraica es aquella en la que se
utilizan letras nuacutemeros y signos de operaciones
Es la operacioacuten que tiene como objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y
uno de los factores (divisor) hallar el otro factor
Definicioacuten
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por
simple inspeccioacuten Su denominados tambieacuten Identidades Algebraicas Son aquellos
productos cuyo desarrollo es claacutesico y por esto se le reconoce faacutecilmente Es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y
residuo
Propiedades de la divisioacuten algebraica
Divisioacuten es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y Residuo
PROPIEDADES DE LA DIVISION
PReintegrativa
En una divisioacuten dada si el cociente se multiplica por el divisor da como producto el
dividendo
P Divisor 1
En cualquier divisioacuten el divisor es 1 el dividendo y el cociente son iguales
Existen tres tipos de divisioacuten algebraica
(Solo se mencionan dos)
Monomio entre monomio
Polinomio entre monomio
Reglas
- los coeficientes se dividen o simplifican aplicando la ley de los signos - los exponentes se restan indicando el resultado donde estaba el mayor - El primero solo se indica si es el uacutenico resultado - [NOTA EL NUMERO DE TERMINOS ES EL NUMERO DE RESULTADOS]
iquestCuaacuteles son los elementos (partes) de la divisioacuten
Sus elementos son
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo RESOLVER 8m9n2-10m7n4-20m5n6+12m3n8 2m2n3= 4m7-5m5n-10m3n+6mn5 2mn 2 2 2 20x4-5x3-10x2+15x 5x= 4x3-1x2-2x+3 5 5 4a8-10a6-5a4 2a3= 2a5-5a3-2a 2 2ordf2 2x2y+6xy2-8xy+10x2y2 2a3= x+3y-4+5xy 2y 2x 2xy 2 3x2 +2x-8 x+2= 3x+8
2x3-4x-2 2x+2= x2+3x2
2a4-a3+7a-3 2a+3= a3-1
14y2-71y-33 7y+35= 2y
Si un espacio rectangular tiene el aacuterea de 6x2-19x+15 y la anchura es de 3x-5
iquestCuaacutento mide la base
2x-3
6- expresar conclusiones personales sobre la primera unidad umlacuteoperaciones algebraicasumlacute
Es la generalizacioacuten de las ideas de la aritmeacutetica la rama de la matemaacutetica en la que las
cantidades desconocidas se pueden representar por letras y asiacute determinar sus valores
para resolver problemas
Productos Notables
iquestQue son los productos notables
Productos notables
Ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspeccioacuten
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la
multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la
resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Es la multiplicacioacuten de ciertas expresiones utilizando reglas para obtener el resultado
a) Binomios a una potencia= EXPRESIONES
IGUALES QUE SE MULTIPLICAN VARIAS
VECES ENTRE SI
b) Binomio con Termino Comuacuten
Cuadrado del comuacuten
Suma o resta de los no comunes por el comuacuten
Producto de los no comunes
c) Binomios Conjugados
Cuadrado del primero
(-) menos cuadrado del segundo
I- BINOMIO AL CUADRADO
II- BINOMIO AL CUBO
III- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
IV- BINOMIO AL CUADRADO
Cuadrado del primero
Doble producto del primero por el segundo
Cuadrado del segundo
V- BINOMIO AL CUBO
Cubo del primero
Triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Cubo del segundo
VI- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
Te guiacuteas por el triangulo de pascal seguacuten la potencia
Se va a ir repitiendo el problema cuantas veces sean necesarias
Se multiplica el numero afuera del pareacutentesis por el de adentro
En la calculadora se oprime el botoacuten
Exponente por el siguiente numero del otro pareacutentesis exponente
Triangulo de pascal
Triangulo de pascal
El triaacutengulo de Pascal en matemaacuteticas es un conjunto infinito de nuacutemeros enteros
ordenados en forma de triaacutengulo que expresan coeficientes binomiales El intereacutes del
Triaacutengulo de Pascal radica en su aplicacioacuten en aacutelgebra y permite calcular de forma
sencilla nuacutemeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton
Tambieacuten es conocido como Triaacutengulo de Tartaglia En paiacuteses orientales como China
India o Persia este triaacutengulo se conociacutea y fue estudiado por matemaacuteticos como Al-
Karaji cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones o por el astroacutenomo y
poeta persa Omar Jayyam (1048-1123) En China es conocido como Triaacutengulo de
Yanghui en honor al matemaacutetico Yang Hui quien lo describioacute el antildeo 13031
Ejercicio
(3a+4)2= 9ordf2+24ordf+16
(2x2-5)2= 4x4-20x2+25
(7m+8n)2=49m2+112mn+64n2
(4ordf+5)3= 64ordf3+240ordf+125
(2ordf3-7)3=8ordf9-84ordf6+294ordf3-343
(5m+4)3=125m3+300m2+240m+64
(3x+2)4=1(3x)4(2) deg4(3x)3(2)1 6(3x)2(2)2 4(3x)1(2)31(3x)0(2)4
81x4+216x3+216x2+96x1+16
(2x2-4)5=32x5-320x4+1280x3-2560x2+2560x-32
(4y3+3)6=4096x6+18432x5+34560x4+34560x3+19440x2+5832x+729
(2x+3) (2x+5)=4x2+16x+15
(x2-1) (x2+1)=x4-1x2-1
(m+4) (m-2)=m2-2m-8
(3ordf-7) (3ordf+7)=9ordf2-49
(5ordf+36)(5ordf-26)=25ordf2+50ordf-936
(4x3+3)(4x3-3)=16x6-9
(a2-1)(a2-4)=a4-3ordf2-4
Factorizacioacuten
Define queacute es factorizacioacuten
En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten
Factoriza las sig Expresiones
a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)
b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)
c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)
d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)
e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)
f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)
g) N2 -14n +49=(n-7)2
h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)
i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)
j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)
k) X2 -144=(x+72)(x-72)
l) 2x2+11x+12= 2(x+6)
m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)
n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)
o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)
p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)
q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)
r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)
s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)
t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2
Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten
El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero
De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3
Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior
Los pasos a seguir son los siguientes
Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
2- RESOLVERuml
(5Asup2 ndash 2 asup3 +a ) + (4 a + 3 asup2) + (5 asup3 ndash 2 a +7)
8asup2 +3asup3+3a+7 acomodacioacuten 3a sup3+ 8asup2 +3a+7 polinomio cubico
(34x sup2 - 43x +2)+ (16x ndash 52 xsup2+ 78)
xsup2 - frac34 - 52= -- 148 xsup2 x - 43 - 16 = -- 2118x
- 2+78= 238
-- 148 xsup2 -- 2118x +238 trinomio cuadrado
(4y- 5z+3)+ (4z-y+2)- (3y -2z-1)
6ymdash3z+4 trinomio lineal (12 m + 35 m ndash 47) + (38 m- 54) + (53 m ndash 310 m)
Msup2 frac12- 310 =420 Msup2 M 35+ 38=3940 M + 53 m=317120 M
-47- 54= - 51 28
420 Msup2 + 317120 M - 51 28 TRINOMIO CUADRADO
(2pq ndash 3psup2 + 4pqsup2)+ (Pq-5pqsup2 -7p sup2 q)+(- 4pqsup2 +3pq ndash p sup2 q)
6P Q ndash 3P sup2 ndash 5PQ sup2 ndash 8P sup2 Q
ndash8P sup2 Qndash 5PQ sup2 ndash 3P sup2 + 6P Q POLINOMIO CUBICO CONTINUACION RESTA
A) EJEMPLIFICA UNA APLICACIOacuteN DE LA RESTA ALGEBRAICA (DESCRIBE EL
PROBLEMA AGREGA IMAGEN O ESQUEMA Y RESUELVE)
B) MIRNA TIENE CINCO ROSAS Y TRES TULIPANES EN SU JARDIN AYER BRENDA
LE QUITO DOS ROSAS PERO LE DIO UN TULIPAN
NATASHA LE QUITO TRES TULIPANES PERO LE DIO UNA ROSA iquestCuaacutentas ROSAS Y TULIPANES LE QUEDARON
(5N+3M) ndash (2N+1M) - (3M+N) -2N - 1M BINOMIO LINEAL
RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES (5M+4Nndash7) ndash (8N ndash7) + (4Mndash3N+5) ndash (- 6M+4Nndash3)
15M- 11N+ 15 TRINOMIO LINEAL
(4M4 ndash 3Msup3+ 6Msup2 +5M- 4) ndash (6Msup3- 8Msup2 -3M ndash 1)
4M4- 9Msup3+14 Msup2+8M ndash 5 POLINOMIO CUARTO GRADO
(- XY4- 7Ysup3+XYsup2) + (- 2 XY4+5Y ndash 2) ndash (- 6Ysup3 +XYsup2 +5)
- 3 XY4 - 1 Ysup3 +0XYsup2 +5Y ndash 7 POLINOMIO CUARTO GRADO
(16X+ 3 8 Y - 5) - (8 3Y - 5 4) + (32 X + 2 9)
2012X - 1524Y - 12736 TRINOMIO LINEAL
DISENtildeAR OTRA RESTA CON FRACCIONES (MINIMO TRINOMIO)
(12Xsup2 - 310 X +16) ndash (38+510 Xsup2) + (36 X)
-520Xsup2 +1260X -1048 TRINOMIO CUADRADO
INTRODUCCIOacuteN
B) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS
iquestQueacute es divisioacuten algebraica
Divisioacuten de expresiones algebraicas Una expresioacuten algebraica es aquella en la que se
utilizan letras nuacutemeros y signos de operaciones
Es la operacioacuten que tiene como objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y
uno de los factores (divisor) hallar el otro factor
Definicioacuten
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por
simple inspeccioacuten Su denominados tambieacuten Identidades Algebraicas Son aquellos
productos cuyo desarrollo es claacutesico y por esto se le reconoce faacutecilmente Es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y
residuo
Propiedades de la divisioacuten algebraica
Divisioacuten es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y Residuo
PROPIEDADES DE LA DIVISION
PReintegrativa
En una divisioacuten dada si el cociente se multiplica por el divisor da como producto el
dividendo
P Divisor 1
En cualquier divisioacuten el divisor es 1 el dividendo y el cociente son iguales
Existen tres tipos de divisioacuten algebraica
(Solo se mencionan dos)
Monomio entre monomio
Polinomio entre monomio
Reglas
- los coeficientes se dividen o simplifican aplicando la ley de los signos - los exponentes se restan indicando el resultado donde estaba el mayor - El primero solo se indica si es el uacutenico resultado - [NOTA EL NUMERO DE TERMINOS ES EL NUMERO DE RESULTADOS]
iquestCuaacuteles son los elementos (partes) de la divisioacuten
Sus elementos son
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo RESOLVER 8m9n2-10m7n4-20m5n6+12m3n8 2m2n3= 4m7-5m5n-10m3n+6mn5 2mn 2 2 2 20x4-5x3-10x2+15x 5x= 4x3-1x2-2x+3 5 5 4a8-10a6-5a4 2a3= 2a5-5a3-2a 2 2ordf2 2x2y+6xy2-8xy+10x2y2 2a3= x+3y-4+5xy 2y 2x 2xy 2 3x2 +2x-8 x+2= 3x+8
2x3-4x-2 2x+2= x2+3x2
2a4-a3+7a-3 2a+3= a3-1
14y2-71y-33 7y+35= 2y
Si un espacio rectangular tiene el aacuterea de 6x2-19x+15 y la anchura es de 3x-5
iquestCuaacutento mide la base
2x-3
6- expresar conclusiones personales sobre la primera unidad umlacuteoperaciones algebraicasumlacute
Es la generalizacioacuten de las ideas de la aritmeacutetica la rama de la matemaacutetica en la que las
cantidades desconocidas se pueden representar por letras y asiacute determinar sus valores
para resolver problemas
Productos Notables
iquestQue son los productos notables
Productos notables
Ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspeccioacuten
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la
multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la
resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Es la multiplicacioacuten de ciertas expresiones utilizando reglas para obtener el resultado
a) Binomios a una potencia= EXPRESIONES
IGUALES QUE SE MULTIPLICAN VARIAS
VECES ENTRE SI
b) Binomio con Termino Comuacuten
Cuadrado del comuacuten
Suma o resta de los no comunes por el comuacuten
Producto de los no comunes
c) Binomios Conjugados
Cuadrado del primero
(-) menos cuadrado del segundo
I- BINOMIO AL CUADRADO
II- BINOMIO AL CUBO
III- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
IV- BINOMIO AL CUADRADO
Cuadrado del primero
Doble producto del primero por el segundo
Cuadrado del segundo
V- BINOMIO AL CUBO
Cubo del primero
Triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Cubo del segundo
VI- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
Te guiacuteas por el triangulo de pascal seguacuten la potencia
Se va a ir repitiendo el problema cuantas veces sean necesarias
Se multiplica el numero afuera del pareacutentesis por el de adentro
En la calculadora se oprime el botoacuten
Exponente por el siguiente numero del otro pareacutentesis exponente
Triangulo de pascal
Triangulo de pascal
El triaacutengulo de Pascal en matemaacuteticas es un conjunto infinito de nuacutemeros enteros
ordenados en forma de triaacutengulo que expresan coeficientes binomiales El intereacutes del
Triaacutengulo de Pascal radica en su aplicacioacuten en aacutelgebra y permite calcular de forma
sencilla nuacutemeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton
Tambieacuten es conocido como Triaacutengulo de Tartaglia En paiacuteses orientales como China
India o Persia este triaacutengulo se conociacutea y fue estudiado por matemaacuteticos como Al-
Karaji cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones o por el astroacutenomo y
poeta persa Omar Jayyam (1048-1123) En China es conocido como Triaacutengulo de
Yanghui en honor al matemaacutetico Yang Hui quien lo describioacute el antildeo 13031
Ejercicio
(3a+4)2= 9ordf2+24ordf+16
(2x2-5)2= 4x4-20x2+25
(7m+8n)2=49m2+112mn+64n2
(4ordf+5)3= 64ordf3+240ordf+125
(2ordf3-7)3=8ordf9-84ordf6+294ordf3-343
(5m+4)3=125m3+300m2+240m+64
(3x+2)4=1(3x)4(2) deg4(3x)3(2)1 6(3x)2(2)2 4(3x)1(2)31(3x)0(2)4
81x4+216x3+216x2+96x1+16
(2x2-4)5=32x5-320x4+1280x3-2560x2+2560x-32
(4y3+3)6=4096x6+18432x5+34560x4+34560x3+19440x2+5832x+729
(2x+3) (2x+5)=4x2+16x+15
(x2-1) (x2+1)=x4-1x2-1
(m+4) (m-2)=m2-2m-8
(3ordf-7) (3ordf+7)=9ordf2-49
(5ordf+36)(5ordf-26)=25ordf2+50ordf-936
(4x3+3)(4x3-3)=16x6-9
(a2-1)(a2-4)=a4-3ordf2-4
Factorizacioacuten
Define queacute es factorizacioacuten
En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten
Factoriza las sig Expresiones
a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)
b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)
c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)
d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)
e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)
f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)
g) N2 -14n +49=(n-7)2
h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)
i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)
j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)
k) X2 -144=(x+72)(x-72)
l) 2x2+11x+12= 2(x+6)
m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)
n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)
o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)
p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)
q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)
r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)
s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)
t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2
Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten
El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero
De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3
Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior
Los pasos a seguir son los siguientes
Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
INTRODUCCIOacuteN
B) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS
iquestQueacute es divisioacuten algebraica
Divisioacuten de expresiones algebraicas Una expresioacuten algebraica es aquella en la que se
utilizan letras nuacutemeros y signos de operaciones
Es la operacioacuten que tiene como objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y
uno de los factores (divisor) hallar el otro factor
Definicioacuten
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por
simple inspeccioacuten Su denominados tambieacuten Identidades Algebraicas Son aquellos
productos cuyo desarrollo es claacutesico y por esto se le reconoce faacutecilmente Es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y
residuo
Propiedades de la divisioacuten algebraica
Divisioacuten es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y Residuo
PROPIEDADES DE LA DIVISION
PReintegrativa
En una divisioacuten dada si el cociente se multiplica por el divisor da como producto el
dividendo
P Divisor 1
En cualquier divisioacuten el divisor es 1 el dividendo y el cociente son iguales
Existen tres tipos de divisioacuten algebraica
(Solo se mencionan dos)
Monomio entre monomio
Polinomio entre monomio
Reglas
- los coeficientes se dividen o simplifican aplicando la ley de los signos - los exponentes se restan indicando el resultado donde estaba el mayor - El primero solo se indica si es el uacutenico resultado - [NOTA EL NUMERO DE TERMINOS ES EL NUMERO DE RESULTADOS]
iquestCuaacuteles son los elementos (partes) de la divisioacuten
Sus elementos son
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo RESOLVER 8m9n2-10m7n4-20m5n6+12m3n8 2m2n3= 4m7-5m5n-10m3n+6mn5 2mn 2 2 2 20x4-5x3-10x2+15x 5x= 4x3-1x2-2x+3 5 5 4a8-10a6-5a4 2a3= 2a5-5a3-2a 2 2ordf2 2x2y+6xy2-8xy+10x2y2 2a3= x+3y-4+5xy 2y 2x 2xy 2 3x2 +2x-8 x+2= 3x+8
2x3-4x-2 2x+2= x2+3x2
2a4-a3+7a-3 2a+3= a3-1
14y2-71y-33 7y+35= 2y
Si un espacio rectangular tiene el aacuterea de 6x2-19x+15 y la anchura es de 3x-5
iquestCuaacutento mide la base
2x-3
6- expresar conclusiones personales sobre la primera unidad umlacuteoperaciones algebraicasumlacute
Es la generalizacioacuten de las ideas de la aritmeacutetica la rama de la matemaacutetica en la que las
cantidades desconocidas se pueden representar por letras y asiacute determinar sus valores
para resolver problemas
Productos Notables
iquestQue son los productos notables
Productos notables
Ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspeccioacuten
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la
multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la
resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Es la multiplicacioacuten de ciertas expresiones utilizando reglas para obtener el resultado
a) Binomios a una potencia= EXPRESIONES
IGUALES QUE SE MULTIPLICAN VARIAS
VECES ENTRE SI
b) Binomio con Termino Comuacuten
Cuadrado del comuacuten
Suma o resta de los no comunes por el comuacuten
Producto de los no comunes
c) Binomios Conjugados
Cuadrado del primero
(-) menos cuadrado del segundo
I- BINOMIO AL CUADRADO
II- BINOMIO AL CUBO
III- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
IV- BINOMIO AL CUADRADO
Cuadrado del primero
Doble producto del primero por el segundo
Cuadrado del segundo
V- BINOMIO AL CUBO
Cubo del primero
Triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Cubo del segundo
VI- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
Te guiacuteas por el triangulo de pascal seguacuten la potencia
Se va a ir repitiendo el problema cuantas veces sean necesarias
Se multiplica el numero afuera del pareacutentesis por el de adentro
En la calculadora se oprime el botoacuten
Exponente por el siguiente numero del otro pareacutentesis exponente
Triangulo de pascal
Triangulo de pascal
El triaacutengulo de Pascal en matemaacuteticas es un conjunto infinito de nuacutemeros enteros
ordenados en forma de triaacutengulo que expresan coeficientes binomiales El intereacutes del
Triaacutengulo de Pascal radica en su aplicacioacuten en aacutelgebra y permite calcular de forma
sencilla nuacutemeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton
Tambieacuten es conocido como Triaacutengulo de Tartaglia En paiacuteses orientales como China
India o Persia este triaacutengulo se conociacutea y fue estudiado por matemaacuteticos como Al-
Karaji cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones o por el astroacutenomo y
poeta persa Omar Jayyam (1048-1123) En China es conocido como Triaacutengulo de
Yanghui en honor al matemaacutetico Yang Hui quien lo describioacute el antildeo 13031
Ejercicio
(3a+4)2= 9ordf2+24ordf+16
(2x2-5)2= 4x4-20x2+25
(7m+8n)2=49m2+112mn+64n2
(4ordf+5)3= 64ordf3+240ordf+125
(2ordf3-7)3=8ordf9-84ordf6+294ordf3-343
(5m+4)3=125m3+300m2+240m+64
(3x+2)4=1(3x)4(2) deg4(3x)3(2)1 6(3x)2(2)2 4(3x)1(2)31(3x)0(2)4
81x4+216x3+216x2+96x1+16
(2x2-4)5=32x5-320x4+1280x3-2560x2+2560x-32
(4y3+3)6=4096x6+18432x5+34560x4+34560x3+19440x2+5832x+729
(2x+3) (2x+5)=4x2+16x+15
(x2-1) (x2+1)=x4-1x2-1
(m+4) (m-2)=m2-2m-8
(3ordf-7) (3ordf+7)=9ordf2-49
(5ordf+36)(5ordf-26)=25ordf2+50ordf-936
(4x3+3)(4x3-3)=16x6-9
(a2-1)(a2-4)=a4-3ordf2-4
Factorizacioacuten
Define queacute es factorizacioacuten
En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten
Factoriza las sig Expresiones
a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)
b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)
c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)
d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)
e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)
f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)
g) N2 -14n +49=(n-7)2
h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)
i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)
j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)
k) X2 -144=(x+72)(x-72)
l) 2x2+11x+12= 2(x+6)
m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)
n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)
o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)
p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)
q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)
r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)
s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)
t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2
Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten
El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero
De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3
Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior
Los pasos a seguir son los siguientes
Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Reglas
- los coeficientes se dividen o simplifican aplicando la ley de los signos - los exponentes se restan indicando el resultado donde estaba el mayor - El primero solo se indica si es el uacutenico resultado - [NOTA EL NUMERO DE TERMINOS ES EL NUMERO DE RESULTADOS]
iquestCuaacuteles son los elementos (partes) de la divisioacuten
Sus elementos son
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo RESOLVER 8m9n2-10m7n4-20m5n6+12m3n8 2m2n3= 4m7-5m5n-10m3n+6mn5 2mn 2 2 2 20x4-5x3-10x2+15x 5x= 4x3-1x2-2x+3 5 5 4a8-10a6-5a4 2a3= 2a5-5a3-2a 2 2ordf2 2x2y+6xy2-8xy+10x2y2 2a3= x+3y-4+5xy 2y 2x 2xy 2 3x2 +2x-8 x+2= 3x+8
2x3-4x-2 2x+2= x2+3x2
2a4-a3+7a-3 2a+3= a3-1
14y2-71y-33 7y+35= 2y
Si un espacio rectangular tiene el aacuterea de 6x2-19x+15 y la anchura es de 3x-5
iquestCuaacutento mide la base
2x-3
6- expresar conclusiones personales sobre la primera unidad umlacuteoperaciones algebraicasumlacute
Es la generalizacioacuten de las ideas de la aritmeacutetica la rama de la matemaacutetica en la que las
cantidades desconocidas se pueden representar por letras y asiacute determinar sus valores
para resolver problemas
Productos Notables
iquestQue son los productos notables
Productos notables
Ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspeccioacuten
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la
multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la
resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Es la multiplicacioacuten de ciertas expresiones utilizando reglas para obtener el resultado
a) Binomios a una potencia= EXPRESIONES
IGUALES QUE SE MULTIPLICAN VARIAS
VECES ENTRE SI
b) Binomio con Termino Comuacuten
Cuadrado del comuacuten
Suma o resta de los no comunes por el comuacuten
Producto de los no comunes
c) Binomios Conjugados
Cuadrado del primero
(-) menos cuadrado del segundo
I- BINOMIO AL CUADRADO
II- BINOMIO AL CUBO
III- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
IV- BINOMIO AL CUADRADO
Cuadrado del primero
Doble producto del primero por el segundo
Cuadrado del segundo
V- BINOMIO AL CUBO
Cubo del primero
Triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Cubo del segundo
VI- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
Te guiacuteas por el triangulo de pascal seguacuten la potencia
Se va a ir repitiendo el problema cuantas veces sean necesarias
Se multiplica el numero afuera del pareacutentesis por el de adentro
En la calculadora se oprime el botoacuten
Exponente por el siguiente numero del otro pareacutentesis exponente
Triangulo de pascal
Triangulo de pascal
El triaacutengulo de Pascal en matemaacuteticas es un conjunto infinito de nuacutemeros enteros
ordenados en forma de triaacutengulo que expresan coeficientes binomiales El intereacutes del
Triaacutengulo de Pascal radica en su aplicacioacuten en aacutelgebra y permite calcular de forma
sencilla nuacutemeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton
Tambieacuten es conocido como Triaacutengulo de Tartaglia En paiacuteses orientales como China
India o Persia este triaacutengulo se conociacutea y fue estudiado por matemaacuteticos como Al-
Karaji cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones o por el astroacutenomo y
poeta persa Omar Jayyam (1048-1123) En China es conocido como Triaacutengulo de
Yanghui en honor al matemaacutetico Yang Hui quien lo describioacute el antildeo 13031
Ejercicio
(3a+4)2= 9ordf2+24ordf+16
(2x2-5)2= 4x4-20x2+25
(7m+8n)2=49m2+112mn+64n2
(4ordf+5)3= 64ordf3+240ordf+125
(2ordf3-7)3=8ordf9-84ordf6+294ordf3-343
(5m+4)3=125m3+300m2+240m+64
(3x+2)4=1(3x)4(2) deg4(3x)3(2)1 6(3x)2(2)2 4(3x)1(2)31(3x)0(2)4
81x4+216x3+216x2+96x1+16
(2x2-4)5=32x5-320x4+1280x3-2560x2+2560x-32
(4y3+3)6=4096x6+18432x5+34560x4+34560x3+19440x2+5832x+729
(2x+3) (2x+5)=4x2+16x+15
(x2-1) (x2+1)=x4-1x2-1
(m+4) (m-2)=m2-2m-8
(3ordf-7) (3ordf+7)=9ordf2-49
(5ordf+36)(5ordf-26)=25ordf2+50ordf-936
(4x3+3)(4x3-3)=16x6-9
(a2-1)(a2-4)=a4-3ordf2-4
Factorizacioacuten
Define queacute es factorizacioacuten
En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten
Factoriza las sig Expresiones
a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)
b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)
c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)
d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)
e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)
f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)
g) N2 -14n +49=(n-7)2
h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)
i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)
j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)
k) X2 -144=(x+72)(x-72)
l) 2x2+11x+12= 2(x+6)
m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)
n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)
o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)
p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)
q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)
r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)
s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)
t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2
Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten
El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero
De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3
Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior
Los pasos a seguir son los siguientes
Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
2x-3
6- expresar conclusiones personales sobre la primera unidad umlacuteoperaciones algebraicasumlacute
Es la generalizacioacuten de las ideas de la aritmeacutetica la rama de la matemaacutetica en la que las
cantidades desconocidas se pueden representar por letras y asiacute determinar sus valores
para resolver problemas
Productos Notables
iquestQue son los productos notables
Productos notables
Ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspeccioacuten
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la
multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la
resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Es la multiplicacioacuten de ciertas expresiones utilizando reglas para obtener el resultado
a) Binomios a una potencia= EXPRESIONES
IGUALES QUE SE MULTIPLICAN VARIAS
VECES ENTRE SI
b) Binomio con Termino Comuacuten
Cuadrado del comuacuten
Suma o resta de los no comunes por el comuacuten
Producto de los no comunes
c) Binomios Conjugados
Cuadrado del primero
(-) menos cuadrado del segundo
I- BINOMIO AL CUADRADO
II- BINOMIO AL CUBO
III- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
IV- BINOMIO AL CUADRADO
Cuadrado del primero
Doble producto del primero por el segundo
Cuadrado del segundo
V- BINOMIO AL CUBO
Cubo del primero
Triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Cubo del segundo
VI- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
Te guiacuteas por el triangulo de pascal seguacuten la potencia
Se va a ir repitiendo el problema cuantas veces sean necesarias
Se multiplica el numero afuera del pareacutentesis por el de adentro
En la calculadora se oprime el botoacuten
Exponente por el siguiente numero del otro pareacutentesis exponente
Triangulo de pascal
Triangulo de pascal
El triaacutengulo de Pascal en matemaacuteticas es un conjunto infinito de nuacutemeros enteros
ordenados en forma de triaacutengulo que expresan coeficientes binomiales El intereacutes del
Triaacutengulo de Pascal radica en su aplicacioacuten en aacutelgebra y permite calcular de forma
sencilla nuacutemeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton
Tambieacuten es conocido como Triaacutengulo de Tartaglia En paiacuteses orientales como China
India o Persia este triaacutengulo se conociacutea y fue estudiado por matemaacuteticos como Al-
Karaji cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones o por el astroacutenomo y
poeta persa Omar Jayyam (1048-1123) En China es conocido como Triaacutengulo de
Yanghui en honor al matemaacutetico Yang Hui quien lo describioacute el antildeo 13031
Ejercicio
(3a+4)2= 9ordf2+24ordf+16
(2x2-5)2= 4x4-20x2+25
(7m+8n)2=49m2+112mn+64n2
(4ordf+5)3= 64ordf3+240ordf+125
(2ordf3-7)3=8ordf9-84ordf6+294ordf3-343
(5m+4)3=125m3+300m2+240m+64
(3x+2)4=1(3x)4(2) deg4(3x)3(2)1 6(3x)2(2)2 4(3x)1(2)31(3x)0(2)4
81x4+216x3+216x2+96x1+16
(2x2-4)5=32x5-320x4+1280x3-2560x2+2560x-32
(4y3+3)6=4096x6+18432x5+34560x4+34560x3+19440x2+5832x+729
(2x+3) (2x+5)=4x2+16x+15
(x2-1) (x2+1)=x4-1x2-1
(m+4) (m-2)=m2-2m-8
(3ordf-7) (3ordf+7)=9ordf2-49
(5ordf+36)(5ordf-26)=25ordf2+50ordf-936
(4x3+3)(4x3-3)=16x6-9
(a2-1)(a2-4)=a4-3ordf2-4
Factorizacioacuten
Define queacute es factorizacioacuten
En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten
Factoriza las sig Expresiones
a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)
b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)
c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)
d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)
e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)
f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)
g) N2 -14n +49=(n-7)2
h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)
i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)
j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)
k) X2 -144=(x+72)(x-72)
l) 2x2+11x+12= 2(x+6)
m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)
n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)
o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)
p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)
q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)
r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)
s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)
t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2
Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten
El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero
De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3
Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior
Los pasos a seguir son los siguientes
Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Cuadrado del segundo
V- BINOMIO AL CUBO
Cubo del primero
Triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Cubo del segundo
VI- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
Te guiacuteas por el triangulo de pascal seguacuten la potencia
Se va a ir repitiendo el problema cuantas veces sean necesarias
Se multiplica el numero afuera del pareacutentesis por el de adentro
En la calculadora se oprime el botoacuten
Exponente por el siguiente numero del otro pareacutentesis exponente
Triangulo de pascal
Triangulo de pascal
El triaacutengulo de Pascal en matemaacuteticas es un conjunto infinito de nuacutemeros enteros
ordenados en forma de triaacutengulo que expresan coeficientes binomiales El intereacutes del
Triaacutengulo de Pascal radica en su aplicacioacuten en aacutelgebra y permite calcular de forma
sencilla nuacutemeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton
Tambieacuten es conocido como Triaacutengulo de Tartaglia En paiacuteses orientales como China
India o Persia este triaacutengulo se conociacutea y fue estudiado por matemaacuteticos como Al-
Karaji cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones o por el astroacutenomo y
poeta persa Omar Jayyam (1048-1123) En China es conocido como Triaacutengulo de
Yanghui en honor al matemaacutetico Yang Hui quien lo describioacute el antildeo 13031
Ejercicio
(3a+4)2= 9ordf2+24ordf+16
(2x2-5)2= 4x4-20x2+25
(7m+8n)2=49m2+112mn+64n2
(4ordf+5)3= 64ordf3+240ordf+125
(2ordf3-7)3=8ordf9-84ordf6+294ordf3-343
(5m+4)3=125m3+300m2+240m+64
(3x+2)4=1(3x)4(2) deg4(3x)3(2)1 6(3x)2(2)2 4(3x)1(2)31(3x)0(2)4
81x4+216x3+216x2+96x1+16
(2x2-4)5=32x5-320x4+1280x3-2560x2+2560x-32
(4y3+3)6=4096x6+18432x5+34560x4+34560x3+19440x2+5832x+729
(2x+3) (2x+5)=4x2+16x+15
(x2-1) (x2+1)=x4-1x2-1
(m+4) (m-2)=m2-2m-8
(3ordf-7) (3ordf+7)=9ordf2-49
(5ordf+36)(5ordf-26)=25ordf2+50ordf-936
(4x3+3)(4x3-3)=16x6-9
(a2-1)(a2-4)=a4-3ordf2-4
Factorizacioacuten
Define queacute es factorizacioacuten
En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten
Factoriza las sig Expresiones
a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)
b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)
c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)
d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)
e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)
f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)
g) N2 -14n +49=(n-7)2
h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)
i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)
j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)
k) X2 -144=(x+72)(x-72)
l) 2x2+11x+12= 2(x+6)
m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)
n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)
o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)
p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)
q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)
r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)
s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)
t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2
Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten
El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero
De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3
Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior
Los pasos a seguir son los siguientes
Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Ejercicio
(3a+4)2= 9ordf2+24ordf+16
(2x2-5)2= 4x4-20x2+25
(7m+8n)2=49m2+112mn+64n2
(4ordf+5)3= 64ordf3+240ordf+125
(2ordf3-7)3=8ordf9-84ordf6+294ordf3-343
(5m+4)3=125m3+300m2+240m+64
(3x+2)4=1(3x)4(2) deg4(3x)3(2)1 6(3x)2(2)2 4(3x)1(2)31(3x)0(2)4
81x4+216x3+216x2+96x1+16
(2x2-4)5=32x5-320x4+1280x3-2560x2+2560x-32
(4y3+3)6=4096x6+18432x5+34560x4+34560x3+19440x2+5832x+729
(2x+3) (2x+5)=4x2+16x+15
(x2-1) (x2+1)=x4-1x2-1
(m+4) (m-2)=m2-2m-8
(3ordf-7) (3ordf+7)=9ordf2-49
(5ordf+36)(5ordf-26)=25ordf2+50ordf-936
(4x3+3)(4x3-3)=16x6-9
(a2-1)(a2-4)=a4-3ordf2-4
Factorizacioacuten
Define queacute es factorizacioacuten
En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten
Factoriza las sig Expresiones
a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)
b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)
c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)
d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)
e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)
f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)
g) N2 -14n +49=(n-7)2
h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)
i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)
j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)
k) X2 -144=(x+72)(x-72)
l) 2x2+11x+12= 2(x+6)
m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)
n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)
o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)
p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)
q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)
r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)
s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)
t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2
Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten
El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero
De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3
Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior
Los pasos a seguir son los siguientes
Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Factorizacioacuten
Define queacute es factorizacioacuten
En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten
Factoriza las sig Expresiones
a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)
b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)
c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)
d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)
e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)
f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)
g) N2 -14n +49=(n-7)2
h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)
i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)
j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)
k) X2 -144=(x+72)(x-72)
l) 2x2+11x+12= 2(x+6)
m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)
n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)
o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)
p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)
q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)
r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)
s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)
t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2
Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten
El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero
De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3
Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior
Los pasos a seguir son los siguientes
Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable
Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica pues aquiacute esta la solucioacuten con el siguiente ejemplo
X^2 = 2X + 3
X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)
Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3
Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como
resultado
X^2 - 3X + X -3 = 0
X(X - 3) + (X -3) = 0
(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)
Solucioacuten a la ecuacioacuten
X = -1
X = 3 (Paso 3)
No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos
Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande
Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado
Es asiacute como funciona
2X^2 - X -6 = 0
(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)
Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido
2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)
2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)
(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)
X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)
X = -32
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten
Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Realiza las operaciones con fracciones algebraicas
X2 ndash 16 = x-4
X2 + 8x + 16 x+4
4x2 ndash 20x = 4
X2 ndash 4x -5 x+1
3ordf ndash 9b = 3
6ordf ndash 18b 6
X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)
X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)
7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)
X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4
X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2
X2 ndash 25 6x + 12 6
X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)
2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2
3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36
X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12
4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3
X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)
X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)
X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)
a ndash 3 - a = a
a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)
m + 3 m = (3m2)(1)
m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8
a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2)(a+4)
2 - 1 + 1 = 2m2-1m2
m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5
x + 2 = x +2
x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7
2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo
Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen
fracciones
3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas
Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuales son los meacutetodos de
resolucioacuten
Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)
b) pendiente (inclinacioacuten)
O bien
Ecuacioacuten de primer grado
Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales
Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad
involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre
las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma
comuacuten de ecuaciones lineales es
Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son
consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales
Tipos de ecuacioacuten lineal
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Ecuacioacuten con una incoacutegnita
spades Todos los valores se multiplican entre si
clubs se suman o restan todos los valores con x
hearts se suman o restan todos los valores con
diams Se reacomodan
loz se suman o restan seguacuten sea el caso
Ejemplo
4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)
8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15
6x-22=8x+36
6x-8x=36+22
-2x=58
X=58 = -29 2
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten
clubs Tabular
Ejemplo y=3x-5
3x-5
X Y 3x-5=0 53=166
0 -5
1 -2
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Dos incoacutegnitas
a) suma-resta
spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a
uno de ellos
clubs multiplicar sumar y restar
hearts obtener el valor
diams despejar la otra variable y sustituir el valor
Ejemplo
(-5) 2x+3y=7
(2) 5x-2y=-3
(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)
2 2 19
(2) 5x-2y=-3
-10x-15y=-35 x=5
10x -4y=-6 19
-19y=-41
Y=41
19
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Igualacioacuten
spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones
clubs igualar los despejes
hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal
diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo
4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b)
30+15b=-4-8b a=-1-2b=
15b+8b=-4-30 5
23b=-34
b=-34
23
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
Determinantes (Regla de Cramer)
La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de
ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos
cond ic iones s iguientes
E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas
E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into
de cero
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer
spades primero se abren dos []
clubs se desmenuza la ecuacioacuten
hearts se abren dos []
diams se multiplican
loz se suman o restan
Ejemplo
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
(-)
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
2- resolver
a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)
x= 1
9
b) 5x-3+2x=x+1
4 3 2
X=30
34
c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2
x=9
9
d) 2x+5-3x=x+2 +3x
7 5 2
X=20
267
e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x
2 3
X=87
76
Graficar a) b) y c)
a) y =5x-1
b) y =2x+3
c) y =12x+2
a)
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
b)
c)
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a
60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro
R=116
(Un minuto dieciseacuteis segundos)
Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500
iquestCuaacutento pago el proveedor
R=$1125
Resolver las siguientes ecuaciones
a)2x-3y=4
X-4y=7
X=-5 y=10
-5 -5
b)4ordf+b=6
3ordf+5b=10
A= 20 b= 22
17 17
c) m-n=3
3m+4n=9 indefinido
M=21 n= 0
7 7
d) 5p+2q=-3
2p-q = 3
P=-3 q=21
9 9
e) x+2y=8
3x+5y=12
X=16 y=-12
-1 -1
f) 3m+2n=7
M-5n=-2
M= -31 n=13
17 17
g) 2h-i=-5
3h-4i=-2
H= -18 i= -11
-5 -5
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
7) grafica los incisos a c e y g
a)
c)
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
e)
g)
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron
1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron
X=480 nintildeos
Y=695 adultos
9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal
para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse
A=1112gr
B=3121gr
