Sergio A. Véliz-RetamalesEduardo González-Olivares

e-mail: sergio.veliz.r@mail.ucv.cl ejgonzal@ucv.cl

Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas ,Pontificia Universidad Católica de Valparaíso,Casilla 4059, Valparaíso, Chile

BLOWING-UP PARA SISTEMAS BIDIMENSIONALES

dos modelos depredador-presa, y probaremos que las soluciones para estos sistemas son acotadas usando la compactificaciónde Poincaré y para desingularizar el origen en el nuevo sistema usaremos el método de Blowing up

MODELO DEPREDADOR-PRESA CON RESPUESTA FUNCIONAL NO MONOTÓNICA RACIONAL

4

2

xa

qxxh

1

4

2

4

2

yc

xa

px

dt

dyxa

yqxx

K

xr

dt

dx

El es el sistema es del tipo Kolmogorov definido sobre:

RR0,0R, 002 yxyx

Todos los parámetros son positivos i.e., y tienen los siguientes significados:

R,,,,, 6 cpqaKr

K es la capacidad de soporte del medio ambiente .

q es la tasa máxima de consumo per capita de los depredadores (tasa de saciación).

c es la tasa de muerte intrínseca (natural) del depredador.

r representa la tasa intrínseca de crecimiento per cápita de la población de presas

4

1

a es el tamaño poblacional de la presa en la cual la tasa máxima de consumo es obtenida

p es la eficiencia con que los depredadores conviertenlas presas consumidas en nuevos nacimientos de depredadores ,nosotros asumimos

Ka

notamos que es la tasa máxima de consumo per cápita, i.e. el número máximo de presas por la unidad de tiempo que puede ser comida por un depredador.

a

aq

2

X

RRR 2

0:

0 y,, 0, 2 vuRvu ,tal que con

Siguiendo la metodología de Dumortier hacemos una reparametrización de el campo vectorial considerando el cambio de variables y rescalando el tiempo de la función

tyxr

uK

a

vq

rKKuvu ,,,,,,

443

,y nosotros obtenemos que

0,,det 44

4

u

K

a

q

KtvuD

XYv *

vvuQ

uvuPYv

,,

Esto es , es un difeomorfismo que preserva la orientación en el tiempo. Por lo tanto obtenemos un campo vectorial cualitativamente equivalente (topologicamente)

el cual tiene la forma

vCuAuBd

dv

uuvuAud

du

Yv42

41

El cual tiene solo tres parárametros

p

cKC

rK

pB

K

aARCBA

2

243 ,,1con ,,

La Matriz Jacobiana es:

CACuuBvCuBu

uAuvuuAuvuDYv 422

245

212

2526,

TEOREMA: LAS SOLUCIONES SON ACOTADAS

DEMOSTRACIÓN

d

dv

vd

dYy

d

dvu

d

duv

vd

dX

vYy

v

uX 22

1 ,

1 entonces,

1 ,, Sea

,ademásY

vyY

Xu

1, luego:

CY

XA

Y

XYB

d

dY

YC

Y

XA

Y

XB

Y

X

Y

X

Y

X

Y

XA

Y

XY

d

dX

Zv 42

422

2

42 1

1

34527

22253446457

6

;;,entonces

:1

sea,rsimplifica Para

YBCXYBXABCYd

dY

YBXYXYXABCYAXYBCXXYAYXd

dX

Z

yd

dT

dT

dY

d

dY

d

dT

dT

dX

d

dXY

T

v

244265331211

35724

,,,

YBCXYBXABCYBXYYBCX

YXZDYXZDYXZD

vvv

Luego

00

000,0 Entonces vZD

Para desingularizar el origen del campo vectorial utilizamos a continuación el método de blowing-up, haciendo cambio de variables y Entonces:

vZ

prX nmsrY

1

1 1

p

m n n m

dX drpr

dT dTdY dr ds

mr s ns rdT dT dT

Reordenando el sistema obtenemos

Reemplazando en el sistema original y simplificando

5 5 5 3 4 4 4

5 5 4 3 2 3

1 4 4 4 2 2 2

5 5 5 3 4 4 4

5 5 4 3 2 3

1

1

m n p m p p m n m p n

m n p m m p n

m n p m n p m n

m n p m p p m n m p n

m n p m m p n

Ar s r r r s Ar sdrr

dT p ABCr s BCr Br s

r s BCr ABCr s Br sds s

Ar s r r r s Ar sdT nr m rp ABCr s BCr Br s

1

11

1

1

p

m nn m

dr dX

dT pr dT

ds dY drmr s

dT ns r dT dT

Si 1 1 y 2 entonces obtenemos p n m

2 3 2 56

3 3 5 5 5 5

2 3 3 3 4 4 5 55

5 5 3 3 5 5

1

2 2 2 2 2

2 2

rs BCrs r s Ar sdrr

dT Br s Ar s ABCr s

r s BCrs rs Br s Ar s Ar sdssr

dT ABCr s Br s ABCr s

5

5

Sea el reescalamiento del tiempo =r T ,entonces se tiene

dr ds d= y = ,en donde =r entonces obtenemos

dT dT

dr d ds d

d dT d dT dT

2Si 1 1 y 2 entonces X=r ,Y=r s obtenemos p n m

Los componentes de la Matriz Jacobiana son:

2 3 2 5

3 5 5 5 5

2 3 3 3 4 4

5 5 5 5 3 3 5 5

1

2 2 2 2

2 2 2

v

rs BCrs r s Ar sdrr

d Br Ar s ABCr sZ

r s BCrs rs Br s Ar sdss

d Ar s ABCr s Br s ABCr s

11 2 3 2 5

3 3 5 5 5 5

1. 2 2 3 3

4 6 6 1

vd Zrs BCrs r s Ar s

dr

Br s Ar s ABCr s

12 2 2 3 2 3 4

4 2 6 4 6 6

2. 3 5

3 5 5

vd Zr BCr r s Ar s

dr

Br s Ar s ABCr s

22 2 3 3 3 4 4

5 5 5 5

4. 8 2 4 4 10

12 6 2

vd Zr s BCrs rs Br s Ar s

dr

Ar s ABCr s

21 4 2 2 2 4 3 5

4 6 4 6

3. 4 2 3 8

10 5

vd Zrs s BCs Br s Ar s

dr

Ar s ABCr s

Por lo tanto

1 00,0

0 2vDZ

Del cual det 0,0 0vDZ

v

y obtenemos que (0,0) es un punto silla del campo de vectores

Z ,para el cual el punto (0, ) es un punto silla del campo compactificado.

Por lo tanto las órbitas son acotadas. °

Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas ,Pontificia Universidad Católica de Valparaíso,Casilla 4059, Valparaíso, Chile