SPHERE CDV & PARAMETRIZAÇÃO PLANAR

LUCAS FIGUEIREDOTHIAGO ROCHA

Sphere CDVFundamentals of Spherical Parameterization for 3D Meshes

MOTIVAÇÕES: - Remeshing

- Morphing

Sphere CDVOrigem…

Necessidade de uma base teórica - Parametrização planar

Parametrização PlanarProcesso

Border Stones (BS).

Parametrização PlanarProcesso

Coordenadas Baricêntricas:

1. Para cada aresta interior e = (i,j), associar um valor positivo que representa o seu peso wij.

onde N(i) é a lista de vértices na vizinhança do i-ésimo vértice.

2. Para as demais arestas wij = 0 (zero)

Parametrização PlanarProcesso

Coordenadas Baricêntricas:

3. Insira os vértices de fronteira no plano de forma que eles componham um polígono convexo e fechado.

4. Resolva os seguintes sistemas lineares:

(I −W)x = bx

(I −W)y = by

W nesse caso é a matriz (n x n, onde n é o número de vértices internos) dos pesos. x e y são as coordenadas dos n vértices interiores.

Parametrização PlanarProcesso

Coordenadas Baricêntricas:

“Theorem 1: Given a planar 3-connected graph with a boundary

fixed to a convex shape in R2, the positions of the interior

vertices form a planar triangulation (i.e. none of the triangles

overlap) if and only if each vertex position is some convex

combination of its neighbor's positions.”

Parametrização PlanarProcesso

Laplacian:

- Notação

Tutte Laplacian :

- O caso especial em que wij=1/grau(i) é proposto por Tutte.

- Implica em maior uniformidade na parametrização.

O caso esférico...Experiências

Parametrização esférica através da planar.

- Malha fonte

- Escolhendo um triângulo de referência

- Discos parametrizados

O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas

E se não fosse necessário ter um passo intermediário...

- Por hora foi sugerido parametrizar a malha em um plano.

- Transformar o plano em uma esfera...

Há uma mudança de topologia na transformação

- Favorece ao erro

- Distorção

O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas

Coordenadas Baricêntricas

- Matriz não simétrica

- Overlap (sobre-posição de triângulos)

O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas

Coordenadas Baricêntricas

- Transformando a Matriz de Laplace em uma matriz simétrica

O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas

Pontos internos à esfera

- Problemas...

- Não é possível se obter um ponto através das coordenadas dos seus vizinhos

- O ponto resultante não se encontraria na superfície da esfera.

Componente tangencial de L

- Ausência de fronteiras na esfera, lado direito levado à zero.

O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas

Teoria:

“Theorem 2: Given a planar 3-connected graph embedded in

R3, the positions of the vertices form a spherical triangulation

(i.e. none of the spherical triangles overlap) if and only if each

vertex position is some convex combination of the positions of

its neighbors, which is then projected on the sphere.”

O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas

O número de Colin de Verdiere:

- Dada uma matriz M de um grafo G:

- De forma que M é um superconjunto das matrizes simétricas de Laplace-Tutte.