Table des matières Considérations générales .................................................................................................................. 4 Plasma comme conducteur ............................................................................................................... 6 Plasma comme diélectrique.............................................................................................................. 9 La relation de dispersion ............................................................................................................. 11 La constante diélectrique ............................................................................................................ 14 Ondes longitudinales (B 0 = 0) ..................................................................................................... 17 Ondes transversales (B 0 = 0) ....................................................................................................... 17 Le tenseur diélectrique d’un Magnétoplasma froid ........................................................................ 20 Coupures et résonances ............................................................................................................... 24 Polarisation des ondes .................................................................................................................... 26 Propagation parallèle au champ magnétique .................................................................................. 32 ( A ) Haute fréquence ( ω >> ω ci ) et l'effet Faraday) ................................................................ 36 ( B ) Basse fréquence (ω << ω ci << ω ce ) l'onde d'Alfven........................................................... 39 Ondulation de B dans l’onde Alfven ....................................................................................... 40 ( C ) Cas intermédiaire (0 < ω < ω ce ) onde Siffleur (Whistler wave)......................................... 43 Propagation perpendiculaire au champ magnétique ....................................................................... 46 Le mode ordinaire (O)................................................................................................................. 46 Le mode Extraordinaire (X) ........................................................................................................ 48 Limite ω 0, Onde Magnétosonore .......................................................................................... 48 Propagation oblique - Le diagramme CMA ................................................................................... 56 Liste des équations ......................................................................................................................... 62 Ondes dans les plasmas 6.1
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Table des matières Considérations générales..................................................................................................................4 Plasma comme conducteur ...............................................................................................................6 Plasma comme diélectrique..............................................................................................................9
La relation de dispersion .............................................................................................................11 La constante diélectrique ............................................................................................................14 Ondes longitudinales (B0 = 0).....................................................................................................17 Ondes transversales (B0 = 0).......................................................................................................17
Le tenseur diélectrique d’un Magnétoplasma froid........................................................................20 Coupures et résonances...............................................................................................................24
Polarisation des ondes ....................................................................................................................26 Propagation parallèle au champ magnétique..................................................................................32
( A ) Haute fréquence ( ω >> ωci ) et l'effet Faraday) ................................................................36 ( B ) Basse fréquence (ω << ωci << ωce) l'onde d'Alfven...........................................................39
Ondulation de B dans l’onde Alfven .......................................................................................40 ( C ) Cas intermédiaire (0 < ω < ωce) onde Siffleur (Whistler wave).........................................43
Propagation perpendiculaire au champ magnétique.......................................................................46 Le mode ordinaire (O).................................................................................................................46 Le mode Extraordinaire (X)........................................................................................................48 Limite ω 0, Onde Magnétosonore..........................................................................................48
Propagation oblique - Le diagramme CMA ...................................................................................56 Liste des équations .........................................................................................................................62
Ondes dans les plasmas 6.1
Liste des figures Figure 1 Schéma illustrant la géométrie des champs de l’onde .....................................................11 Figure 2 Géométrie de la propagation de l’onde. L’angle q est celui entre la direction de
propagation et le champ magnétostatique................................................................................12 Figure 3 Différentes façons de représenter la relation de dispersion .............................................18 Figure 4 Réflexion d’une onde RF sur l’ionosphère. La densité diminue avec la hauteur h. .......19 Figure 5 Diagramme de Brillouin de l’onde sonde ........................................................................19 Figure 6 Vecteur fréquence gyromagnétique ionique et électronique............................................20 Figure 7 Polarisation au voisinage de la résonance. L’onde est longitudinale..............................30 Figure 8 Comportement à la coupure et à la résonance .................................................................31 Figure 9 Champ électrique de l’onde polarisée circulairement (DROITE) ...................................33 Figure 10 Onde polarisée circulairement (GAUCHE) ...................................................................33 Figure 11 Dispersion des modes GAUCHE et DROIT..................................................................34 Figure 12 Solutions de l’équation de dispersion pour les modes G et D .......................................35 Figure 13 Diagramme de Brillouin pour les modes G et D (Basse densité) ..................................35 Figure 14 Diagramme de Brillouin pour les modes G et D (Haute densité) ..................................36 Figure 15 Rotation de Faraday .......................................................................................................39 Figure 16 Ondulation du champ magnétique en présence de l’onde Alfven .................................41 Figure 17 Dispersion de l’onde Siffleur .........................................................................................43 Figure 18 Fréquence intermédiaire, mode D..................................................................................44 Figure 19 Fréquence intermédiaire, mode G..................................................................................45 Figure 20 Propriétés des ondes siffleuses.......................................................................................46 Figure 21 Déplacement des ions et des électrons dans le champ de l’onde Alfven.......................50 Figure 22 Compression et raréfaction des lignes de champs magnétique dans l’onde de
compression d’Alfven..............................................................................................................51 Figure 23 Dispersion de l’onde de compression d’Alfven.............................................................52 Figure 24 Mode hybride. L'onde hybride supérieure est donnée par la lignes continues et l'hybride
inférieure par les lignes pointillées ..........................................................................................53 Figure 25 Coupures pour les modes G et D ..................................................................................54 Figure 26 Mode extraordinaire (X) à basse densité .......................................................................55 Figure 27 Mode extraordinaire (X) à haute densité .......................................................................55 Figure 28 Modes de propagation pour le cas mi ∞ ( ωci 0 ) avec ωce / ω = 0.5 ....................57 Figure 29 Surfaces d'indice et de vitesse de phase dans la région I de la Figure 28 ......................57 Figure 30 Propriétés de la propagation dans la région II de la Figure 28 ......................................58 Figure 31 Surfaces d'indice et de vitesse de phase dans la région II de la Figure 28.....................58 Figure 32 Surfaces d'indice et de vitesse de phase pour la région III de la Figure 28 ...................59 Figure 33 Surfaces d'indice et de vitesse de phase pour la région IV de la Figure 28 ...................59 Figure 34 Diagramme CMA...........................................................................................................61
Application des équations de 2 fluides – ondes dans les plasmas On suppose qu’il y a des petites perturbations dans le plasma, et que ces perturbations peuvent être décrites comme des ondes planes. Le plasma est homogène, stationnaire et illimité. Chaque composante ou mode est décrit par son amplitude, sa fréquence f = ω/2π et sa longueur d’onde λ = 2π/k . En général, on peut dire que le milieu possède un indice de réfraction n(k,ω) ; ce phénomène s’appelle “dispersion”. Considérations générales On suppose que les solutions pour les quantités perturbées peuvent être écrites comme des ondes planes :
( ) ( ) ( )tωrkieω,kGt,rG −•=rrrr 6. 1
où k
r est le vecteur de propagation et ω la fréquence. Ces solutions représentent des ondes
planes: les surfaces équiphases sont définies par tωrkΦ −•=rr
= constante. Avec le temps, une surface de Φ constante se déplace ( parallèle elle-même ) ; on peut décrire ce déplacement en écrivant:
( ) 0ωvktωrkdtd
dtdΦ
=−•=−•=rrrr
6. 2
c'est-à-dire
kωv0ωkv φφ =⇒=−
6. 3
où vφ est la vitesse de phase de l’onde ( et est toujours dans la direction de ) . On peut caractériser le milieu par son “indice de réfraction”:
kr
ωkc
vcnφ
== 6. 4
où c est la vitesse de la lumière dans le vide. En général, ces solutions en forme d’ondes planes ne sont des solutions du système d’équations de Maxwell que lorsque certaines conditions entre ω et k
r sont satisfaites. Ces conditions
Ondes dans les plasmas 6.4
s’appellent la relation de dispersion, et on la représente comme suit: ω = ω(k) ou k = k(ω) ou encore ( ) 0ω,k =
rD comme nous le verrons plus loin.
Par exemple: on traite la propagation d’ondes dans le vide. Il faut satisfaire les équations de Maxwell :
( )
( )
( )( )iv0B
iii0D
iitDH
itBE
=•∇
=•∇∂∂
−=×∇
∂∂
−=×∇
rr
rr
rrr
rrr
6. 5
La réponse du milieu est incluse en mettant EεD 0
rr= et HµB 0
rr= . On a aussi . En
prenant le rotationnel de la première équation 6.5(i) on obtient : 1cµε 2
00 =
( )
( )
2
2
00
2
2
0
0
tEεµ
tDµ
Ht
µ
tBE
∂∂
−=
∂∂
−=
×∇∂∂
−=
∂∂
×∇−=×∇×∇
r
r
rr
rrrrr
6. 6
En utilisant l'identité vectorielle ( ) AAA2
rrrrrrr×∇×∇−•∇∇=∇ et l'équation 6.5(iii) l'équation 6.6
devient l équation d onde dans le vide:
0tE
c1E 2
2
22 =
∂∂
−∇r
r
6. 7
On peut voir que les solutions de cette équation sont des ondes planes :
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )tωrki2tωrki2
2
tωrki2tωrki2
tωrkitωrki
eωet
eke
ekie
−•−•
−•−•
−•−•
−=∂∂
−=∇
=∇
rrrr
rrrr
rrrr rr
6. 8
Ondes dans les plasmas 6.5
de telle sorte que l'équation 6.7 devient:
( ) 0EcωEk 2
22 =
−−−
rr
6. 9
On note que cette onde est une onde transversale, à cause du fait que
rrrrrr. La vitesse de phase de cette onde plane est constante: v0EkiεEεD 00 =•=•∇=•∇ φ = ω/k = c
et n = 1 La propagation de l’onde dans un milieu quelconque cause le mouvement de charges et elle est affectée par celui-ci. Dans le cas d’un diélectrique, ce mouvement se traduit par la séparation entre les noyaux(ions) et le nuage d’électrons – le milieu est “polarisé”. Dans le cas d’un plasma ce mouvement se traduit par une séparation entre les électrons et les ions. Ceci donne lieu à un courant dans le plasma dû à cette vitesse relative. D’un autre côté, cette séparation peut être vue comme une sorte de polarisation du plasma comme pour un diélectrique. Le plasma peut être analysé comme un diélectrique ou un conducteur. On verra que les caractérisations du plasma par une constante diélectrique ou par une conductivité électrique sont équivalentes. Plasma comme conducteur On se sert des équations de Maxwell “microscopiques” c est-a-dire que le plasma est tenu en compte en incluant la densité°de charge ρ et la densité de courant J
r
( )
( )
( )
( )ivJtEεH
iiitBE
ii0B
iερE
0
0
rr
rr
rrr
rr
rr
+∂∂
=×∇
∂∂
−=×∇
=•∇
=•∇
6. 10
L’analyse de ces équations se fait plus facilement si on prend la transformée de Fourier ; on utilise 6.8 de telle sorte que les équations 6.10 s'écrivent:
( )
( )( )( )ivJ~E~εiωH~ki
iiiB~iωE~ki
ii0B~ki
iερ~E~ki
0
0
rrrr
rrr
rr
rr
+−=×
=×
=•
=•
6. 11
Ondes dans les plasmas 6.6
ou les quantité oscillantes sont des fonction du nombre d’onde k
r et de la fréquence ω. On a aussi
une équation semblable à celle pour la conservation des particules, qui peut être obtenue directement des équations de Maxwell:
0Jtρ
=•∇+∂∂ rr
6. 12
une équation de “continuité” qui devient
0J~kiρ~iω =•+−rr
6. 13
NOTE: pour souligner que les champs sont reliés à l’onde, nous avons écrit B~,E~rr
etc.. A partir des équations on obtient:
ωεJ~k
ερ~E~ki
00
rrrr •==• 6. 14
qui devient
0ωεE~σiE~ki
ωεJ~iE~ki
00
=
•+•=
+•
rtrrr
rr 6. 15
où est le tenseur de conductivité du plasma et nous avons écrit σt E~σJ~rtr
•= . On a donc finalement
0E~ωεσiIk0
=•
+•
rttr 6. 16
Rappel
Nous avons utilise le tenseur identité
=
100010001
It
Ondes dans les plasmas 6.7
Pour l’équation d’onde on utilise :
H~µiωB~iωE~ki 0
rrrr==× 6. 17
et
E~εωσiIεω
E~σiE~εωH~k
00
0
rtt
rtrrr
•
+−=
•−−=× 6. 18
En prenant le produit vectoriel de 6.17 avec le vecteur d'onde et en combinant avec 6.18 on obtient:
E~ωεσiIωµε
H~kµωE~kk
0
200
0
rtt
rrrrr
•
+−=
×=
××
6. 19
On voit que les courants induits ( tel qu’exprimés par la conductivité σ ) modifient la propagation. La vitesse de propagation dans un milieu isotrope devient :
t
E~ωεiσ1ωµεE~k
0
200
2rr
•
+−=− 6. 20
d'ou
+=
02
2
00 ωεiσ1
kωµε1 6. 21
qui donne comme vitesse de phase:
0
φ
ωεiσ1
ckωv
+== 6. 22
Ondes dans les plasmas 6.8
La présence du facteur imaginaire réduit l'utilité de l'expression. Nous utiliserons donc l’approche “diélectrique”. Plasma comme diélectrique. Dans cette description nous utiliserons les équations de Maxwell “macroscopique” c est-à-dire en absence de charges et de courants mais avec la contribution de la polarisation du milieu pour éventuellement obtenir une permittivité spécifique au milieu qui sera écrite en fonction de ε0, la permittivité du vide, µ0 la perméabilité du vide et les paramètres du plasma:
( )( )
( )
( )ivtDH
iiitBE
ii0B
i0D
∂∂
−=×∇
∂∂
−=×∇
=•∇
=•∇
rrr
rrr
rr
rr
6. 23
avec
PEεD 0
rrr+= 6. 24
ou P
r est la polarisation.
La relation la plus générale entre la polarisation et le champ électrique peut être écrite (Landau et Lifshitz) :
( ) ( ) ( ) tdrdt,rEtt,rrφt,rP ′′′′•′−′−= ∫∫rrtrr
6. 25
ceci tient compte de la dispersion spatiale et temporelle du milieu. Ici on considère la dispersion temporelle, et en prenant la transformation de Fourier on obtient:
( ) ( ) ( )ωk,Eωk,φωk,Prtr
•= 6. 26
mais de 6.24 on a:
[ ]E~Κε
E~φεP~E~εD~
0
00rt
rtrrr
•≡
•+=+= 6. 27
Ondes dans les plasmas 6.9
où Κt
est le tenseur diélectrique ( réduit ) du plasma. On obtient des équations de Maxwell:
0E~ΚkiεD~ki 0 =
••=•
rtrrr
6. 28
En comparaison avec le modèle du plasma comme conducteur on obtient en comparant avec l’équation 6.15:
E~Κε
E~ωεσiIε
ωεJ~iE~εD~
0
00
00
rt
rttr
rr
•=
•
+=
+=
6. 29
on a donc
ωεσiIΚ0
ttt+= 6. 30
L'équation 6.30 détermine l’équivalence des deux modèles. Dans l’équation de l’onde on obtient:
E~ΚεωH~k
H~ωµB~ωE~k
0
0rtrr
rrrr
•−=×
==× 6. 31
qui donne :
E~ΚωµεH~kωµE~kk 2000
rtrrrrr•−=×=
××
6. 32
0E~ΚkE~kk 20 =•+
××⇒
rtrrr
6. 33
avec k0 = ω/c la constante de propagation dans le vide. Directement des équations de Maxwell on obtient des relations intéressantes:
Ondes dans les plasmas 6.10
0D~k =•rr
implique que kr
et D~r
sont perpendiculaires. De la même façon: r
0B~k =•rr
, 0B~D~ =•r
et 0E~B~0E~kB~ =•⇒=
××
rrrrr
La signification de ces relations peut être plus facilement montrée graphiquement (Figure 1).
Figure 1 Schéma illustrant la géométrie des champs de l’onde
LE~ est la composante longitudinale du champ électrique de l'onde, E est la composante
transversale, T
~
B~ est le champ magnétique associé à l’onde. Il faut noter que E~r
n’est pas nécessairement perpendiculaire à k
r on peut avoir des ondes longitudinales.
La relation de dispersion L’équation d’onde peut-donc être écrite:
0E~ΚkE~kk 20 =•+
××
rtrrr
6. 34
Étant donné que le tenseur diélectrique est une fonction du nombre d'onde et de la fréquence w (le milieu est dispersif), la solution de cette équation est en général une relation entre w et qui
constitue la relation de dispersion. Si on définit le vecteur d’indice0k
kkωcn
rrr
=≡ on peut réécrire
l’équation d’onde sous la forme:
Ondes dans les plasmas 6.11
0E~ΚE~nn =•+
××
rtrrr
6. 35
qui est de la forme :
( ) 0Ek,ω =•rrt
D 6. 36
ou ( )k,ω
rtD est le tenseur de dispersion. Pour que 6.36 ait des solutions non triviales ( 0E ≠
r) il
faut avoir :
( ) ( ) 0k,ωk,ω ==rtr
DD 6. 37
c’est-à-dire que le déterminant de la matrice D doit être nul, c’est ce qui détermine ce qui est appelé l équation de dispersion. Par conséquent, le système de trois équations 6.35 (ou 6.36), une pour chaque composante du champ électrique, peut être solutionné en mettant le déterminant de la matrice des coefficients égale à zéro. On suppose que le champ magnétique B
r du plasma (pas
le champ magnétique de l'onde ) est dans la direction z, avec le vecteur d'onde (ou le vecteur indice) dans le plan (x,z)
0
Figure 2 Géométrie de la propagation de l’onde. L’angle q est celui entre la direction de
propagation et le champ magnétostatique
L’équation 6.34 devient :
0EEE
θsinkΚkΚkcosθsinθkΚkΚkkΚkΚk
cosθsinθkΚkΚkθcoskΚk
z
y
x
22zz
20zy
20
2zx
20
yz20
2yy
20yx
20
2xz
20xy
20
22xx
20
=
•
−+−
+− 6. 38
Ondes dans les plasmas 6.12
qui peut s'écrire aussi, en appliquant la définition du tenseur de dispersion et en écrivant en terme de l'indice n:
−+−
+−=
θsinnΚΚcosθsinθnΚΚnΚΚ
cosθsinθnΚΚθcosnΚ
22zzzy
2zx
yz2
yyyx
2xzxy
22xx
Dt
6. 39
Pour un plasma sans champ magnétique par exemple, le plasma est isotrope et le tenseur diélectrique est diagonal et peut s'écrire:
=
Κ000Κ000Κ
Κt
6. 40
Prenons donc θ = 0 dans 6.38 et posons le déterminant égal à 0:
0Κk00
0kΚk000kΚk
20
220
220
=−−
6. 41
qui donne comme équation de dispersion :
( ) 0kΚkΚk 2220
20 =− 6. 42
qui, en terme de l’indice de réfraction peut s'écrire:
( ) 0nΚΚ 22 =− 6. 43
NOTE: de façon générale on a
Kxy = - Kyx ; Kyz = -Kzy ; Kzx = - Kxz La solution de ces équations donne une relation entre ω, n et θ. Pour une fréquence donnée et une direction de propagation θ cette relation (6.43) peut-être écrite : n = n(ω,θ).
Ondes dans les plasmas 6.13
Chaque solution nous permet de calculer les valeurs des composantes du champ électrique (Ex, Ey, Ez) de l'onde à un facteur multiplicatif près. Donc, de ces solutions on peut calculer la polarisation de l’onde ( le rapport Ex / Ey, par exemple ). Il est clair que si (ω, n, θ) est une solution, (ω, n, -θ) est aussi une solution des équations. Dans le cas d’un plasma sans champ magnétique. Dans ce cas, le tenseur diélectrique devient un scalaire K, et la relation de dispersion est celle que nous avons calculée plus haut:
( ) 0kΚkΚk 2220
20 =− 6. 44
Ceci donne deux solutions :
( 1 ) 2
22
20
2
ωck
kkΚ == 6. 45
Il y a deux modes (à cause de la forme quadratique), avec 0E~k =•rr
. Cette relation de dispersion est valide pour les ondes dites transversales (le produit scalaire entre le champ électrique et la direction de propagation est nul donc ils sont perpendiculaires).
( 2 ) 6. 46 0Κ =
Il y a un mode, avec 0E~k =×rr
. Cette relation de dispersion est valide pour les ondes longitudinales. La constante diélectrique Pour aller plus loin, il faut calculer la constante diélectrique pour un plasma donné. Ici, nous allons utiliser le modèle fluide du plasma comme. Considérons, pour l'espèce α, électrons ou ions, l'équation de conservation des particules sans sources:
[ ] 0unt
nαα
α =•∇+∂
∂ rr 6. 47
et l'équation de la conservation de la quantité de mouvement:
( ) ααααααααααα uνnmBuEqnPuut
nm rrrrrrrr−×+=∇+
∇•+∂∂ 6. 48
Comme première approximation, on met la pression P = 0 ( c'est-à-dire la limite du plasma froid ), et on met aussi να = 0 ( pas de collisions ). Les champs électriques et magnétiques sont
Ondes dans les plasmas 6.14
perturbés par des courants dans le plasma. Ces courants sont reliés aux variations dans la densité et la vitesse moyenne du plasma. On suppose qu’on peut linéariser les équations, en écrivant:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )t,rB~Bt,rB
t,rE~0t,rE
t,ru~0t,ru
t,rn~nt,rn
0
αα
αα0α
rrrrr
rrrr
rrrr
rr
+=
+=
+=
+=
6. 49
On obtient alors pour les équations 6.47 et 6.48:
[ ] ( )( )[ ] [ ] 0u~nn~t
u~n~nn~nt αα0ααα0αα0 =•∇+
∂∂
≅+•∇++∂∂ rrrr
6. 50
et
( )
×+=
∇•+∂∂
+ 0ααα0αααα0α Bu~E~qnu~u~t
n~nmrrrrrr
6. 51
c'est- à-dire:
×+=
∂∂
0ααα0αα0α Bu~E~qnu~t
nmrrrr
6. 52
en retenant seulement les termes du premier ordre, c'est-à- dire que nous négligeons les termes qui résultent du produit de quantités perturbées. Pour le cas spécial du plasma sans champ magnétique, on obtient:
E~qnu~t
nm αα0αα0α
rr=
∂∂ 6. 53
En supposant des solutions en forme d’ondes planes, c’est-à-dire:
( )
(
( )tωrki
tωrkiαα
tωrkiαα
eEE~euu~enn
)
~
−•
−•
−•
=
=
=
rr
rr
rr
rr
rr 6. 54
Les équations fluides deviennent donc:
Ondes dans les plasmas 6.15
0ukinniω αα0α =•+−rr
6. 55
Eqnuiωnm αα0αα0α
rr=− 6. 56
de 6.56 on obtient pour la vitesse:
iωmEqu
α
αα
rr
−= 6. 57
Si on considérait le plasma comme un conducteur, comme le courant est le produit de la densité, de la charge et de la vitesse on obtient.
iωmEqnJ
α
2αα0
α
rr
−= 6. 58
Le courant total est donc donné par:
ωimEen
ωimEenJJJ
i
2i0
e
2e0
ie
rrrrr
−−=+= 6. 59
En supposant la neutralité au premier ordre, c'est-à-dire ni0 = ne0 = n0 et en utilisant l'expression
pour la fréquence plasma α0
202
pα mεenω ≡ le courant devient:
[ ]EωωωiεJ 2
pi2pe
0rr
+= 6. 60
Comme on peut écrire le courant comme étant le produit de la conductivité avec le champ électrique, on obtient pour la conductivité:
[ ] 2p
02pi
2pe
0 ωω
iεωωω
iεσ ≡+= 6. 61
ou nous avons définit
2pi
2pe
2p ωωω += 6. 62
Ondes dans les plasmas 6.16
En comparant avec l'équation 6.30 on obtient finalement pour la constante diélectrique d'un plasma sans champ magnétique:
2
2p
ωω
1Κ −= 6. 63
Ondes longitudinales (B0 = 0) La relation de dispersion pour les ondes longitudinales est écrite K = 0 (6.46). Donc ceci donne :
0ωω
1Κ 2
2p =−= 6. 64
c'est-à-dire:
+==
i
e2pe
2p
2
mm1ωωω 6. 65
Ceci signifie physiquement que le plasma fluctue à une fréquence donnée, indépendamment de la longueur d’onde. Ceci est vrai jusqu’à un certain point, parce qu’il faut que la longueur d’onde soit plus grande que la longueur de Debye. Numériquement : epe n8.98=f ou la fréquence est en Hz pour une densité en m-3. Donc, pour un plasma avec ne = 1020 m-3 on obtient fpe = 8.98x1010 Hz ou 89.8 GHz, c'est-à-dire une fréquence plasma dans la gamme des ondes millimétriques ( micro-onde ). Ondes transversales (B0 = 0)
La relation de dispersion pour les ondes transversales est écrite (6.45): 2
22
ωckΚ = qui, combiné à
l'expression pour la constante diélectrique donnée par 6.63, donne:
2
22
2
2p
ωck
ωω
1 =− 6. 66
d'ou
Ondes dans les plasmas 6.17
222
p2 ckωω += 6. 67
On note qu’il n’y a pas de propagation pour ω < ωp. Pour ω > ωp, cette onde transversale propage dans un milieu dispersif avec un indice:
2
2p
ωω
1ωkcn −== 6. 68
Il est a noter que ω = ωp définit une densité critique: 22
e0c ω
emεn = .
À ce point, on note qu’il y a plusieurs façons de représenter ces relations de dispersions graphiquement (Figure 3).
Figure 3 Différentes façons de représenter la relation de dispersion
Pour ω < ωp , on trouve que ω2 <0 ou k2 <0, dépendant de la situation du problème. Ceci implique que l’onde est amortie. Considérons, par exemple, le cas d’une onde de fréquence ω incidente sur un plasma de haute densité (ω < ωp ) Dans ce cas on considère k imaginaire:
Ondes dans les plasmas 6.18
2
22p
cωω
ik−
= 6. 69
Par conséquent, le champ électrique de l'onde devient:
( ) ( ) tiωr
c
ωω
tωrki eeEeEt,rE2
22p
−
−−
−• ==rrvr rr
6. 70
Cette diminution de l’amplitude avec la distance se traduit en une réflexion de l’onde à la couche critique, où ω = ωp. Ce phénomène est utilisé pour sonder l’ionosphère par radar (Figure 4).
Figure 4 Réflexion d’une onde RF sur l’ionosphère. La densité diminue avec la hauteur h.
n ( h ) déterminé par le temps de vol ( ≅ 2h / c ) Le diagramme de Brillouin peut être utilisé pour obtenir la vitesse de phase vφ et la vitesse de groupe vg (Figure 5)
Figure 5 Diagramme de Brillouin de l’onde sonde
Ondes dans les plasmas 6.19
La longueur d’onde 2p
2 ωωc2π
k2πλ
−== et donc ∞→λ quand ω ωp, et λ 0 quand ω ∞.
Dans cette limite, vφ c. La vitesse de groupe peut être calculée par:
ωkc
kωv
2
g =∂∂
= 6. 71
de telle sorte que vφ vg = c2 Le tenseur diélectrique d’un Magnétoplasma froid S’il y a un champ magnétique (B0 ≠ 0), il faut retenir le terme qui contient le champ magnétique r
dans l’équation pour la quantité de mouvement 6.52: 0B
×−=
×+=
∂∂
cααα
ααα0
0ααα0αα0α
Ωu~qmE~qn
Bu~E~qnu~t
nm
rrr
rrrr
6. 72
où on a introduit le vecteur α
0αcα m
BqΩr
r−= , dont le module
α
0αcαcα m
BqωΩ =≡
r est la fréquence
gyromagnétique où la fréquence cyclotronique de la particule (Figure 6). L’avantage de cette notion est qu’elle montre directement la direction de giration des particules autour des lignes du champ magnétique:
Figure 6 Vecteur fréquence gyromagnétique ionique et électronique
Ondes dans les plasmas 6.20
L'équation de la quantité de mouvement devient:
( )
×−=− cαα
α
ααα0αα0α Ωu
qmEqnuiωnm
rrrr 6. 73
qui peut s'écrire:
EmqΩuuiω
α
αcααα
rrrr−=×− 6. 74
le produit vectoriel a des composantes telles que l’équation de mouvement peut être écrite:
Emqu
iω000iωΩ0Ωiω
α
ααcα
cα rr−=
− 6. 75
On obtient la solution en inversant la matrice des coefficients pour obtenir:
−
−−
−−
−
= Emq
iω100
0ωΩ
iωωΩ
Ω
0ωΩ
ΩωΩ
iω
uα
α22
cα22
cα
cα
22cα
cα22
cα
α
rr 6. 76
En utilisant l'expression pour le courant: EσuqnJ ααεα0α
rtrr•== , on déduit pour le tenseur de
conductivité:
−−
−−
−
−=
iω100
0ωΩ
iωωΩ
Ω
0ωΩ
ΩωΩ
iω
mqnσ 22
cα22
cα
cα
22cα
cα22
cα
α
2αα0
αt 6. 77
En utilisant la relation entre la constante diélectrique et la conductivité on obtient pour le tenseur diélectrique:
Ondes dans les plasmas 6.21
( )
( )
−
−−
−
−−
−−
=
2
2pα
2cα
2
2pα
2cα
2cα
2pα
2cα
2cα
2pα
2cα
2
2pα
α
ωω
100
0Ωω
ω1
ΩωωΩiω
0Ωωω
ΩiωΩω
ω1
Κt
6. 78
Pour un plasma composé de plusieurs espèces:
∑∑ +=⇒=α
αα 0
α σωεiIΚσσ ttttt 6. 79
On peut donc écrire dans ce cas le tenseur diélectrique sous la forme:
−= ⊥
⊥
//
X
X
Κ000ΚiΚ0iΚΚ
Κt
6. 80
avec
( )
2
2p
α2
2pα
//
α2cα
2cα
2pα
X
α2cα
2
2pα
ωω
1ωω
1Κ
ΩωωΩω
Κ
Ωωω
1Κ
−=−=
−=
−−=
∑
∑
∑⊥
6. 81
La relation de dispersion 6.37 devient donc:
0θsinnΚ0cosθsinθn
0nΚiΚcosθsinθniΚθcosnΚ
22//
2
2X
2X
22
=−
−−−
⊥
⊥
6. 82
Ondes dans les plasmas 6.22
NOTE: les éléments de Κt
ne sont pas des fonctions de k (6.81); c'est-à-dire qu'il n’y a pas de dispersion spatiale pour un plasma froid. La solution de la relation de dispersion peut être écrite:
On peut démontrer que le discriminant ∆2 est toujours positif ou nul: c'est-à-dire que les modes sont purement “réels” ou évanescents. On voit qu’il y a en général 2 solutions pour n pour chaque valeur de ( ω,θ ). Une autre façon d’écrire la solution de la relation est:
( )[ ]( )( )//
22X
22
2X
22//2
ΚnΚΚnΚΚΚnΚθtan
−+−−−
−=⊥⊥
⊥ 6. 87
Cette formulation est très utile si on veut calculer la relation de dispersion pour les “ondes principales”, c'est-à-dire celles qui se propagent à θ = 0 ou θ = π / 2. Pour les ondes principales parallèles au champ magnétique on a:
±==
⇒=⊥ X
2//2
ΚΚn0Κ
0θtan 6. 88
Ondes dans les plasmas 6.23
et pour les ondes principales perpendiculaires au champ magnétique on a:
−=
=⇒∞→
⊥
⊥
ΚΚΚn
Κnθtan 2
X2
2
//2
2 6. 89
Coupures et résonances On définit deux conditions spéciales: une coupure quand n 0 “CUT OFF “ une résonance quand n ∞ “RESONANCE”
Avec ωck
vc
φ
==n , on voit que vφ ∞ à une coupure, et vφ 0 à une résonance dans un
plasma froid. À cause du fait que l’onde peut interagir avec les particules du plasma quand vφ ≅ vth , on trouve que la résonance correspond à l’absorption de l’onde et que la coupure correspond à la réflexion de l’onde (dans le cas d’un plasma légèrement inhomogène, par exemple ). UNE COUPURE est définie par n 0, et donc elle est définie par C = 0 dans l'équation 6.79:
( ) ( )( )
=−=
⇒=−=⊥
⊥ 0ΚΚb0Κa
0ΚΚΚC 2X
2//2
X2
// 6. 90
Donc ces conditions sont indépendantes de la direction de propagation θ. Pour les cas du plasma froid on a:
( a ) ωω
10Κ2p
// −== 6. 91
Donc la première coupure correspond à la condition ω = ωp ( b ) Dans ce cas il y a deux solutions possibles: Posons et ΚXG ΚΚΚ −= ⊥ XD ΚΚ += ⊥ , les deux solutions de 6.90(b) deviennent donc KD = 0 et KG = 0. Pour un plasma avec les électrons et une espèce d’ions ( qi = +e ) on obtient:
( ) ( )2ci
2ci
2pi
2ce
2ce
2pe
X
2ci
2
2pi
2ce
2
2pe
ωωωωω
ωωωωω
Κ
ωωω
ωωω
1Κ
−+
−−=
−−
−−=⊥
6. 92
Ondes dans les plasmas 6.24
On obtient alors en terme de KD et KG:
( )( )
( )( )cice
2p
D
cice
2p
G
ωωωωω
1Κ
ωωωωω
1Κ
+−−=
−+−=
6. 93
KG = 0 donne une solution ωG et la relation KD = 0 donne une solution ωD . Il y a une relation: ωD - ωG = ωce - ωci ≅ ωce
[ ][ ]ce
2p
2ceG
ce2p
2ceD
ω4ωω21ω
ω4ωω21ω
−+≅
++≅ 6. 94
c'est-à-dire que la coupure est modifiée par l’effet Zeeman UNE RÉSONNANCE est définie par n ∞ , et donc on a A = 0 dans 6.83 ou encore:
⊥
−=ΚΚθtan //2 6. 95
c'est-à-dire qu'il y a des “cônes de résonance”, et la résonance est une fonction de l’angle de propagation. Pour la propagation parallèle au champ magnétique, on a :
0ωω
1Κ 2
2p
// =−= 6. 96
ceci est une solution “dégénérée” à cause du fait que A=B=C=0 pour θ = 0 si K// = 0 . Donc, on trouve que ω = ωp peut aussi bien être une résonance qu’une coupure. En général les détails prennent un calcul plus complet. On peut aussi bien prendre K⊥ ∞ , ce qui arrive quand
. On les appelle les résonances gyromagnétiques: 22ciΩ→ω
ci
ce
ωωωω
==
6. 97
Ondes dans les plasmas 6.25
Pour la propagation perpendiculaire: il faut K⊥ = 0 c'est-à-dire, en utilisant 6.88:
0ωω
ωωω
ω1 2
ci2
2pi
2ce
2
2pe =
−−
−− 6. 98
qui devient:
( ) ( ) 0ωωωωωωωωωω cice2pcice
2p
2ci
2ce
24 =++++− 6. 99
Il y a deux solutions à cette équation, l’une à haute fréquence et l’autre à basse fréquence: HAUTE FRÉQUENCE: la résonance HYBRIDE SUPÉRIEURE
2p
2ce
2HS ωωω +≅ 6. 100
BASSE FRÉQUENCE: la résonance HYBRIDE INFÉRIEURE
élevémagnétiquechamppourω
denseplasmapourωω
ωωωωωωω
ω
2ci
cice
cice2ce
2p
cice2p2
HI
≅
≅
+
+≅
6. 101
Polarisation des ondes Dans cette section, nous allons regarder la polarisation des différents modes de propagation, c’est-à-dire déterminer la direction du champ électrique de l’onde par rapport à sa direction de propagation. La relation de dispersion 6.82 provient de l’équation d’onde 6.37 dans la mesure ou
Ondes dans les plasmas 6.26
c’est le déterminant de la matrice des coefficients qui détermine le champ électrique. Effectuons un calcul de perturbation, c’est-à-dire q’il y a un terme source qui perturbe le milieu et regardons le résultat lorsque cette source tend vers 0. Écrivons donc :
( ) SEk,ωrrrt
=•D 6. 102
ou
( )0,0,S=Sr
6. 103
Dans ce cas l’équation 6.102 donne :
=
−−
−−
⊥
⊥
00S
EEE
θsinnΚ0cosθsinθn0nΚiΚ
cosθsinθniΚθcosnΚ
z
y
x
22//
2
2X
2X
22
6. 104
Pour trouver les solutions Ex, Ey et Ez de 6.104 , utilisons la règle de Cramer qui nous permet d’écrire :
( )
( )
(iii)00cosθsinθn0nΚiΚSiΚθcosnΚ
∆1E
iiθsinnΚ0cosθsinθn
00iΚcosθsinθnSθcosnΚ
∆1E
iθsinnΚ00
0nΚ0cosθsinθniΚS
∆1E
2
2X
X22
z
22//
2X
222
y
22//
2
2X
x
−−−
=
−
−=
−−
−=
⊥
⊥
⊥
⊥
6. 105
ou ∆ est le déterminant de la matrice des coefficients dans 6.104. De 6.105 (i) et (ii) on peut calculer le rapport entre Ex et Ey :
Ondes dans les plasmas 6.27
( )( )( )θsinnΚiΚ
θsinnΚnΚ
θsinnΚ0cosθsinθn00iΚ
cosθsinθnSθcosnΚ
θsinnΚ000nΚ0
cosθsinθniΚS
EE
22//X
22//
2
22//
2X
222
22//
2
2X
y
x
−−−−
=
−
−
−−
−
=
⊥
⊥
⊥
6. 106
qui devient indépendant de S. On peut faire le même exercice pour le rapport entre Ex et Ez de telle sorte qu’on puisse finalement écrire :
( )( ) ( ) ( )22z
22//X
y22
//2
x
nΚcosθsinθnE
θsinnΚiΚE
θsinnΚnΚE
−−=
−−=
−− ⊥⊥
6. 107
Pour les ondes principales parallèles au champ magnétique (θ = 0) on obtient en utilisant la relation 6.88:
[ ]
iΚ
ΚΚΚi
ΚnΚi
EE
X
X
X
2
y
x
m=
±−=
−=
⊥⊥
⊥
6. 108
c'est-à-dire que les ondes sont polarisées circulairement, c'est-à-dire que la norme du vecteur reste constante et qu'il tourne autour de l'axe z, l'axe du champ magnétique, Ex = -iEy correspond à la polarisation droite (D) et Ex = iEy à la polarisation gauche (G). Avec φ = kz - ωt on décrit le champ électrique de l'onde par (Ex = iEy ou Ey = -iEx):
( )
( ) (( )
sinφEieReE
eiEReeEReE~cosφE
eEReE~
x
iφx
iφx
iφyy
x
iφxx
+=−=
−==
==
) 6. 109
Ondes dans les plasmas 6.28
donc on a 2
x22
x22
x2y
2x EsinEcosEE~E~ =+=+ ϕϕ (une constante) et la direction du vecteur
donnée par
φ
cosφsinφtan
E~E~
tan 1
x
y1
+=
+=
−−
6. 110
et tourne donc, dans ce cas, dans la direction trigonométrique, c'est-à-dire à gauche (sens anti-horaire). Pour les ondes principales perpendiculaires au champ magnétique (θ = π / 2) on obtient en utilisant les deux possibilités données à la relation 6.89:
−=
−−
−
=
−=
⊥⊥
⊥⊥
⊥
⊥
ΚΚi
ΚΚΚΚ
Κi
ΚΚΚi
ΚnΚi
EE
X2X
2
X
X
//
X
2
y
x
6. 111
pour ces ondes, la polarisation est une fonction de ω, et est en général elliptique. On a aussi, en utilisant le premier et le dernier membre de 6.107:
cosθsinθnθsinnΚ
EE
2
22//
z
x −−= 6. 112
on voit que pour les ondes principales on obtient:
( )
0tanθcosθsinθnθsinn
EE0θ0Κ 2
22
z
x//
==
=⇒== 6. 113
et
Ondes dans les plasmas 6.29
0cotθcosθsinθΚ
θsinΚΚEE
2πθΚn
//
2////
z
x//
2
==
−−=⇒
==
6. 114
Au voisinage d’une résonance ( n ∞ ) on a:
tanθcosθsinθ
cosθsinθnΚθsinn
EE
0Κn
ΚiEE
2//
22
z
x
2X
x
y
=→−
=
→−
=⊥ 6. 115
c'est-à-dire que l'onde est longitudinale. Comme l'illustre la Figure 7, l'angle entre les composantes du champ électrique est le même que la direction du vecteur d'onde.
Figure 7 Polarisation au voisinage de la résonance. L’onde est longitudinale.
Au voisinage d’une coupure ( n 0 ) on a:
0θsinnΚ
cosθsinθnEE
ΚΚi
nΚΚi
EE
22//
2
x
z
X2
X
x
y
→−
−=
−→−
−=⊥⊥ 6. 116
À partir des équations de Maxwell on a:
Ondes dans les plasmas 6.30
BωkEB~iωE~ki T =⇒=×rrr
6. 117
ce qui implique que
BEv
kω T
φ == 6. 118
Nous avons donc qu'à la résonance (n ∞ ou vφ 0) il faut que ET 0. Il faut aussi que
TT0T
0
JEεiωikHJ~E~εiωH~ki
+−=⇒+−=×rrrr
6. 119
Donc à la résonance la vitesse de phase devient nulle et le champ électrique transverse est aussi nul c'est-à-dire que le champ électrique est longitudinal. Un courant important est induit dans le plasma ce qui, règle générale, correspond à une forte absorption de l'onde.
Figure 8 Comportement à la coupure et à la résonance
Ondes dans les plasmas 6.31
Propagation parallèle au champ magnétique ( a ) La première solution (Voir 6.88) est donnée par:
0ωω
1Κ 2
2p
// =−= 6. 120
cette onde plasma ne se propage pas dans la limite du plasma froid, mais si on tient compte des vitesses thermiques des particules, on trouve que les ondes se propagent avec une vitesse reliée à la vitesse thermique. C’est une onde longitudinale, c'est-à-dire que le champ électrique de l'onde est dans la même direction que le vecteur d'onde. ( b ) La deuxième solution est donnée par:
X2 ΚΚn ±= ⊥ 6. 121
ces ondes sont polarisées circulairement. L’onde transversale sans champ magnétique est modifiée et devient deux ondes avec polarisation circulaire: le plasma est biréfringent et les deux solutions s'écrivent:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
=−+
−
=+−
−=
iiΚωωωω
ω1
iΚωωωω
ω1
n
Gcice
2p
Dcice
2p
2 6. 122
i ) Pour ce cas on a ( ) iΚΚΚ
ΚiΚΚ
ΚiEE
X
X
D
X
x
y =−+
=−
=⊥⊥⊥
qui représente une onde circulaire
droite tel qu'illustré ci-dessous (Figure 9).
Ondes dans les plasmas 6.32
Figure 9 Champ électrique de l’onde polarisée circulairement (DROITE)
Ceci est une onde DROITE; le vecteur du champ électrique tourne dans la direction de rotation des électrons
ii)Pour ce deuxième cas on obtient ( ) iΚΚΚ
ΚiΚΚ
ΚiEE
X
X
G
X
x
y −=−−
=−
=⊥⊥⊥
La Figure 10 représente une onde GAUCHE
Figure 10 Onde polarisée circulairement (GAUCHE)
Ondes dans les plasmas 6.33
On peut écrire les relations de dispersion:
( )( )
( )( ) Gcice
2p2
G
Dcice
2p2
D
Κωωωω
ω1n
Κωωωω
ω1n
=−+
−=
=+−
−=
6. 123
On voit que ces ondes résonnent avec les particules qui tournent dans le même sens que l’onde. Ceci peut donner lieu à une absorption efficace de l’énergie de l’onde dans les particules: “l’amortissement cyclotronique”. On voit que nD ∞ quand ω ωce et que nG ∞ quand ω
ωci. Le graphique ci-dessous (Figure 11) illustre la situation.
Figure 11 Dispersion des modes GAUCHE et DROIT
Nous avons déjà calculé les fréquences de coupure pour ces modes (6.90) en tenant compte que la fréquence cyclotron ionique est beaucoup plus petite que la fréquence cyclotron électronique:
Ondes dans les plasmas 6.34
[ ][ ]ce
2p
2ceG
ce2p
2ceD
ω4ωω21ω
ω4ωω21ω
−+≅
++≅ 6. 124
La ligne hachurée (Figure 11) indique la région où il n’y a pas de propagation de l’onde. Les résonances et les coupures délimitent les zones de propagation. Les fréquences de coupure ωG et ωD varient avec la densité du plasma ( ωp ) :
Figure 12 Solutions de l’équation de dispersion pour les modes G et D
À partir de ces courbes, on peut reconstruire le diagramme de Brillouin Dans le cas de basse densité ωG < ωce (Figure 13)
Figure 13 Diagramme de Brillouin pour les modes G et D (Basse densité)
Ondes dans les plasmas 6.35
et dans le cas de haute densité ωG > ωce (Figure 14)
Figure 14 Diagramme de Brillouin pour les modes G et D (Haute densité)
Exemple ( A ) Haute fréquence ( ω >> ωci ) et l'effet Faraday) Dans ce cas, les indices deviennent:
( )
( )ce
2p2
G
ce
2p2
D
ωωωω
1n
ωωωω
1n
+−=
−−=
6. 125
NOTE: Dans un plasma de basse densité, il est possible d’avoir une onde qui se propage avec ωG < ω <ωce. Dans ce cas, on trouve nG < 1 et nD > 1 . La vitesse de phase de l’onde Gauche est donc plus grande que c, tandis que la vitesse de phase de l’onde Droite est plus petite que c.
Ondes dans les plasmas 6.36
Pour ω > ωD les deux ondes ont un indice n < 1, qui implique une vitesse de phase plus grande que c. Avec nG > nD, on voit que l’onde Droite se propage plus vite que l’onde Gauche, ce qui donne lieu à la “Rotation de Faraday”. Dans le cas où ω >> ωce on peut faire l’approximation:
−
−≅
+
−≅
ωω1
ωω
1n
ωω1
ωω
1n
ce
2p2
G
ce
2p2
D
6. 126
L’effet FARADAY: la direction de la polarisation d’une onde, polarisée linéairement, change avec la position dans le plasma. En effet, pour les deux types d'onde, Gauche et Droite, on peut écrire:
( )[ ] ( )[ ]
= −− ,0ieRe
2E,eRe
2EE~ tωkzitωkzi m
r 6. 127
au plan (x,y) on a z = 0 et le champ oscillant est donné par:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[( )( ),0,0tωEcos
,0ieRe2E,eRe
2E,0ieRe
2E,eRe
2E
E
]
~E~E~
tωzkitωzkitωzkitωzki
DG
DDGG
=
+
−=
+=
−−−−
rrr
6. 128
au plan (x',y') à une distance l du plan (x,y) on a:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−−−−+−=
−−−+
−−=
+
−=
+=
−−−−
0,tωlksintωlksin2E,tωlkcostωlkcos
2E
,0tωlksin2E,tωlkcos
2E,0tωlksin
2E,tωlkcos
2E
,0ieRe2E,eRe
2E,0ieRe
2E,eRe
2E
E~E~E~
DGDG
DDGG
tωzkitωzkitωzkitωzki
DG
DDGG
rrr
6. 129
en utilisant les relations
Ondes dans les plasmas 6.37
( )( ) sinBcosAcosBsinABAsin
sinBsinAcosBcosABAcos±=±
=± m
on obtient:
( ) ( )
( ) ( )
−
−
+
−
−
+
=
0
,2
lkksintω2
lkkcosE
,2
lkkcostω2
lkkcosE
E~ DGDG
DGDG
r 6. 130
Le résultat peut être interprété comme une onde qui se propage avec un nombre d'onde moyen k = (kG + kD) / 2 et que le plan de polarisation tourne avec la position et prend la valeur β après la distance l de telle sorte que:
( )
−
=
=
2lkktan
EE
tantanβ
DG
x
y
6. 131
c'est-à-dire
( )2
lkkβ DG −= 6. 132
Ondes dans les plasmas 6.38
Figure 15 Rotation de Faraday
À haute fréquence nG > nD et donc l’onde gauche se propage plus lentement que l’onde droite. Après avoir parcouru la distance l, l’onde gauche (G) a donc tourné un peu plus et il en résulte une rotation β de la polarisation.
Problème 6. 1
On envoie une onde polarisée verticalement de 4 GHz dans un plasma d'une longueur de 8 cm, parallèle à un champ magnétostatique de 1 kG. Étant donné les propriétés de propagation des modes gauche (G) et droit (D), il y aura rotation du plan de polarisation( effet Faraday). Tracez l'angle de rotation en fonction de la densité ( 2x1015m-3< n < 8x1016m-3) en supposant la densité uniforme le long du plasma. Expliquez le résultat en terme des propriétés de propagation. ( B ) Basse fréquence (ω << ωci << ωce) l'onde d'Alfven Dans ce cas, l’indice de réfraction des deux ondes est à peu près la même:
cice
2p2
ωωω
1n +≅ 6. 133
Donc il n’y a pas de dispersion puisque kω
kω
∂∂
= est constant. Si on met
Ondes dans les plasmas 6.39
20
20
i
cice
2p
Bερ
Bεnm
ωωω
A ==≡ 6. 134
On a pour la relation de dispersion:
A1c
kωvA1
ωkc
φ +==⇒+= 6. 135
Le paramètre A est donné numériquement par 216
Bn10−×1.89 avec n en m-3 et B en Tesla dans
l'hydrogène. .Pour la plupart des plasma magnétisés, A >> 1 . Si, par eaxemple, B = 0.1 T et n = 1016m-3 on a A=189. Pour le cas d’un plasma chaud , B = 3 T et n = 1020m-3 on a A = 2.1x103. Dans ces cas ( plasma dense ) on peut écrire:
nmµB
Bεnm
cAcvv
i02
0
iφg ==≅≅ 6. 136
On définit la vitesse d’Alfven:
ρµBV
0A = 6. 137
ou ρ = mn est la densité de masse du plasma Ondulation de B dans l’onde Alfven D'une part, l'onde est une oscillation d'un champ électrique et d'un champ magnétique. Ce champ magnétique oscillant est superposé au champ magnétostatique et la somme des deux est un champ magnétique modulé. D'autre part, ces champs oscillants exercent une force sur le fluide et la vitesse de celui-ci sera aussi modulée. Comparons ces deux modulations.
Ondes dans les plasmas 6.40
Figure 16 Ondulation du champ magnétique en présence de l’onde Alfven
Par l’équation de Maxwell on a :
( )yx BωkE
BiωEkitBE
=⇒−−=×⇒∂∂
−=×∇rrr
rrr
6. 138
ou nous avons utilisé ( )0,0,EE x=
r et ( )k,0,0=k
r . L'équation 6.138 associe un petit champ
magnétique oscillant avec le champ électrique de l’onde. La ligne du champ magnétique dont la position est donnée par yB est perturbée par l’onde:
L
TB
BB
dzdy
= 6. 139
avec ( tωkzixyT eE
ωkBB −== ) l'équation 6.139 devient:
( )
( ) ( )tωkzi
L
xB
tωkzi
L
xB
eBE
iω1zy
eBE
ωk
dzdy
−
−
=⇒
=
6. 140
et en prenant la partie réelle de 6.140 on obtient finalement:
Ondes dans les plasmas 6.41
( ) sin(kz)Bω
EzyL
xB = 6. 141
Pour le fluide, on dispose des équations fluides pour calculer la vitesse. On a la solution pour la vitesse pour l'espèce α à partir de l'équation de la quantité de mouvement en 6.72 :
−
−−
−−
−
=
z
y
x
α
α22
cα22
cα
cα
22cα
cα22
cα
αz
αy
αx
EEE
mq
iω100
0ωΩ
iωωΩ
Ω
0ωΩ
ΩωΩ
iω
uuu
6. 142
qui donne pour ω << Ωcα pour la composante en y:
cα
x
α
αyα Ω
Emqu −≅ 6. 143
Les électrons ont donc la vitesse
BE
ωE
meu x
ce
x
eye −=−≅ 6. 144
et pour les ions
BE
ωE
meu x
ci
x
iyi −=−≅ 6. 145
Les ions et les électrons acquièrent donc la même vitesse dans le champ de l'onde et celle-ci est donnée par:
( )
( ) ( )tωkzi
L
xF
tωkzi
L
xFy
eBiω
Ezy
eBE
dtdyu
−
−
=⇒
−==
6. 146
Ondes dans les plasmas 6.42
ou yF est la position du fluide. L’équation 6.145 devient, en prenant la partie réelle:
( ) sin(kz)Bω
EzyL
xF = 6. 147
Donc l’ondulation du fluide suit celle des lignes du champ magnétique puisque yB et yF ont la même dépendance. LES LIGNES DE CHAMP MAGNÉTIQUE SONT DONC GELÉES DANS LE PLASMA ( C ) Cas intermédiaire (0 < ω < ωce) onde Siffleur (Whistler wave) Si on regarde plus en détail, on peut démontrer que le mode D donne une variation de n2 avec ω telle qu'illustrée à la figure ci-dessous (Figure 17).
Figure 17 Dispersion de l’onde Siffleur
pour 2ωωω cice −
⟨ on utilise
( )
−
∂∂
=
∂∂
=∂
∂ 1ωk
kω
ωck2
ωck
ωωn
3
22
2
222
6. 148
qui a comme implication que la pente négative veut dire que la vitesse de phase est plus petite que la vitesse de groupe.
( )gφ
2
vv1ωk
kω0
ωn
⟨⇒⟨∂∂
⇒⟨∂
∂ 6. 149
Ondes dans les plasmas 6.43
au minimum, à 2ωωω cice
min−
= on a vφ = vg
Figure 18 Fréquence intermédiaire, mode D
dans le graphe plus haut on a pour ωmin:
( )2cice
2p
φ
cice
2p
A
ωω4ω
1
cv
ωωω
1
cV
++
=
+
= 6. 150
Le mode G prend la forme :
Ondes dans les plasmas 6.44
Figure 19 Fréquence intermédiaire, mode G
quand ω ωci on trouve que vφ et vg 0; il y a une forte absorption de l’onde. Le champ électrique tourne dans le même sens que les ions, et peut transférer beaucoup d’énergie à ceux-ci. Pour le mode D, quand ωci < ω << ωce , on peut écrire la relation de dispersion sous la forme:
( )cice
2p2
D ωωωω
1n+
+≅ 6. 151
Si le plasma est dense, et si on a ω >> ωci, on peut l’écrire:
ωωω
ωckn
ce
2p
2
222D ≅= 6. 152
d'ou
22p
2ce kω
cωω ≅ 6. 153
et
Ondes dans les plasmas 6.45
cep
g
cep
φ
ωωω2c
kωv
ωωωc
kωv
=∂∂
=
==
6. 154
Figure 20 Propriétés des ondes siffleuses
- il y a une forte réfraction - on les appelle ces modes les “ondes siffleuses”, et elles peuvent propager à un angle rasant par rapport au champ magnétique. Ces ondes ont été observées pendant des études de l’ionosphère et elles sont dans la gamme de fréquence audible. On observe un “chirp” de la fréquence – un glissement des hautes fréquences vers les basses fréquences. Propagation perpendiculaire au champ magnétique Le mode ordinaire (O) La première solution 6.85 est donnée par:
2
2p
//2
ωω
1Κn −== 6. 155
Ceci est la même relation de dispersion que nous avons obtenu pour l'onde transversale dans un plasma sans champ magnétique 6.62. Pour cette onde, en utilisant la même technique que précedemment mais avec un terme source ( )S,0,0=S
r l’équation 6.104 devient :
Ondes dans les plasmas 6.46
=
−−
−−
⊥
⊥
S00
EEE
θsinnΚ0cosθsinθn0nΚiΚ
cosθsinθniΚθcosnΚ
z
y
x
22//
2
2X
2X
22
6. 156
qui donne les solutions :
( )
( )
(iii)S0cosθsinθn0nΚiΚ0iΚθcosnΚ
∆1E
iiθsinnΚScosθsinθn
00iΚcosθsinθn0θcosnΚ
∆1E
iθsinnΚ0S
0nΚ0cosθsinθniΚ0
∆1E
2
2X
X22
z
22//
2X
222
y
22//
2
2X
x
−−−
=
−
−=
−−
−=
⊥
⊥
⊥
⊥
6. 157
d’ou
( )( )( )
( )( ) 2X
222
2X
z
y
2X
222
22
z
x
ΚnΚθcosnΚcosθsinθnΚi
EE
ΚnΚθcosnΚnΚcosθsinθn
EE
−−−=
−−−−
−=
⊥⊥
⊥⊥
⊥
6. 158
Dans le cas de la propagation perpendiculaire au champ magnétique (θ = π / 2) ces deux relations deviennent nulles ( Ex = Ey = 0 ) c'est-à-dire que nous avons à faire à une onde transversale dont le champ électrique est dans la même direction que le champ magnétostatique. Dans ce cas, le mouvement des particules dû au champ électrique n'est pas affecté et l'onde se propage comme s'il n'y avait pas de champ magnétique.
Problème 6. 2
On dispose, de chaque coté d'une tranche ("slab") de plasma d'une épaisseur de 8 cm, de cornets micro-ondes; un émetteur et un récepteur à la longueur d’onde de 8 mm. a) quelle est la densité critique à pour cette onde? b) Dans le cas ou il n'y a pas de champ magnétique et que la densité est constante, tracez la différence de phase entre une onde qui arrive au récepteur en l'absence de plasma et une en
Ondes dans les plasmas 6.47
présence du plasma en terme de la densité exprimée en unités de la densité critique nc. c) Supposons maintenant que nous ajoutions un champ magnétique dans le sens de la tranche (perpendiculaire à la propagation de l'onde) et qu'il en résulte un profil de densité en cosinus:
( ) LxL2L
xπcosnxn 0 ≤≤−
=
Faire le même calcul qu'en b mais en terme de la densité centrale (On considère le mode Ordinaire). Le mode Extraordinaire (X) La deuxième solution est donnée par:
⊥⊥
⊥ =−
=ΚΚΚ
ΚΚΚn GD
2X
22 6. 159
Pour cette onde, Ez = 0 et le champ électrique est dans le plan (x,y):
( )( )( )
⊥
⊥
⊥
=
−=
−−−
=
ΚΚi
ΚnΚi
nΚΚnΚnΚi
EE
X
X
2
2//X
2//
2
y
x
6. 160
En général, KX ≠ K⊥ et par conséquent l'onde a une polarisation "mixte" ou "elliptique". À la
limite n2 = 0 (coupure) on obtient iEE
y
x ±= , c'est-à-dire une onde polarisée circulairement. À
l'autre limite, n2 ∞ (résonance) on obtient 0EE
x
y = , donc une onde à polarisation longitudinale.
Limite ω 0, Onde Magnétosonore Pour ω 0 on obtient:
Ondes dans les plasmas 6.48
( )( ) ( )( )
2ci
2pi
2ce
2pe
2
cice
2p
0ω
2ci
2
2pi
2ce
2
2pe
cice
2p
cice
2p
GD2
ωω
ωω
1
ωωω
1
ωωω
ωωω
1
ωωωωω
1ωωωω
ω1
ΚΚΚn
++
+
→
−−
−−
−+−
+−−
=
=
→
⊥
6. 161
en utilisant cice
2pi
2ce
2pe
ωωω
ωω
= , cice
2pe
2ci
2pi
ωωω
ωω
= et on obtient 2pi
2pe
2p ωωω +=
cice
2p
0ω2
ωωω
1n + → → 6. 162
c'est-à-dire la même limite que dans le cas de la propagation parallèle au champ magnétique. Dans le cas présent par contre la direction de propagation est perpendiculaire à B0 et c'est une onde transversale. On l'appelle l'onde Magnétosonore ou Compressional Alfven wave. Dans la limite ω 0 on obtient Ex / Ey 0 donc l'onde est transversale. Cependant, dans le sens mécanique, l'onde a une structure longitudinale. En effet, si on met ( ),0E0,E y=
r on peut calculer
le mouvement des électrons et des ions:
( )0eee BuEqumrrr
&r ×+= 6. 163
d'où on obtient pour la vitesse
( ) 2ce
2
2ce
0
yey
2ce
2
2ce
0
yex
ωωωiω
BE
u
ωωω
BE
u
−−−=
−−=
6. 164
dans la limite ω 0 on obtient alors
Ondes dans les plasmas 6.49
≅ ,0,0
BE
u0
yer 6. 165
de la même façon
≅ ,0,0
BE
u0
yir 6. 166
c'est-à-dire que les électrons et les ions se déplacent ensemble dans la direction de propagation de l'onde, comme pour une onde sonore. Le champ magnétostatique couplé au champ électrique donne lieu à un mouvement dans la direction de la propagation (Figure 21).
Figure 21 Déplacement des ions et des électrons dans le champ de l’onde Alfven
Comme les deux espèces de particules se déplacent dans la même direction, on peut d'écrire le déplacement du fluide par:
( tωkxcosBE
BE )~
u~0
y
0
yx −== 6. 167
Ce mouvement du fluide donne lieu à une modification de la densité locale du plasma que l'on peut calculer à partir des équations fluides. En particulier, considérons l'équation de conservation des particules en posant n nn ~
0 += et uu ~= pour écrire:
( ) 0u~iknn~iωu~nxt
n~00 =+−=
∂∂
+∂∂ 6. 168
qui donne
Ondes dans les plasmas 6.50
( )tωkxcosBωkEnω
u~knn~
0
y0
0
−=
= 6. 169
D'autre part, le champ magnétique de l'onde, comme dans le cas de la propagation parallèle, donne lieu à une variation du champ magnétique total. En effet:
( ) ( )
( )tωkxcosEωk
ωE~k
B~
B~ωE~k
B~iω,0E~0,k,0,0iE~ki
tB~E~
yy
z
zy
y
−==⇒
=⇒
=×=×⇒
∂∂
−=×∇rrr
rrr
6. 170
Il y a donc, comme dans le cas de la propagation parallèle, une modulation du champ magnétique qui a la même forme que la modulation dans le fluide:
( )
( )tωkxcosBω
kEnn~
tωkxcosBω
kEBB~
0
y
0
0
y
0
z
−=
−= 6. 171
Comme dans le cas de la propagation parallèle, les lignes de champ magnétique sont "gelées" dans le plasma. Cependant, dans le cas de la propagation perpendiculaire (au champ magnétique) le champ total étant ( )z0 B~B0,0,B +=
r, l'onde s'apparente plus à une onde de compression (Figure
22).
Figure 22 Compression et raréfaction des lignes de champs magnétique dans l’onde de
compression d’Alfven
Ondes dans les plasmas 6.51
De façon générale, l'indice n(ω) peut être illustré par la figure Figure 23 ci-dessous.
Figure 23 Dispersion de l’onde de compression d’Alfven
Les résonances sont données par 6.96 et 6.97
cice2p
2ce
cice2p2
HI
2p
2ce
2HS
ωωωωωωω
ω
ωωω
++
≅
+≅
6. 172
L'abaque de la Figure 24 donne le comportement de la fréquence des ondes hybrides en fonction de la densité et du champ magnétique. Les coupures (n = 0 ) sont données par 6.90
[ ][ ]ce
2p
2ceD
ce2p
2ceG
ω4ωω21ω
ω4ωω21ω
++≅
−+≅ 6. 173
Ondes dans les plasmas 6.52
Rappelons que les coupures sont indépendantes de la direction du vecteur d'onde par rapport au champ magnétique. Il n'est donc pas surprenant qu'on obtienne les mêmes fréquences que pour la propagation parallèle. L'abaque à la Figure 25 donne le comportement des coupures G et D.
Figure 24 Mode hybride. L'onde hybride supérieure est donnée par la lignes continues et l'hybride
inférieure par les lignes pointillées
Ondes dans les plasmas 6.53
Figure 25 Coupures pour les modes G et D
Notez que ωD = ωG + ωce À partir de ces courbes on peut déterminer le diagramme de Brillouin:
Ondes dans les plasmas 6.54
Figure 26 Mode extraordinaire (X) à basse densité
Diagramme (Figure 26) dans le cas de la basse densité ou ωHI ωci , ωG ωci , ωHS ωce et ωD ωce
Figure 27 Mode extraordinaire (X) à haute densité
Ondes dans les plasmas 6.55
Diagramme (Figure 27) dans le cas de la haute densité ou ωHI (ωceωci)1/2 , ωG ωp - ωce / 2 , ωHS ωp et ωD ωce / 2 Ces diagrammes illustrent le comportement du mode qui est connu sous le nom d'onde extraordinaire. Propagation oblique - Le diagramme CMA Quand on considère la propagation à un angle θ quelconque par rapport au champ magnétostatique, l'indice n est une fonction de θ pour un plasma donné. En particulier, les résonances sont des fonction de l'angle de propagation. La façon la plus claire pour décrire la propagation est par une représentation graphique qui donne une idée qualitative de la variation de n ou de vφ avec l'angle θ. On peut décrire une surface définie par la longueur d'un vecteur en fonction de l'angle θ (diagramme polaire). Les vecteurs choisis sont:
1) l'indice de réfraction n(θ) 2) la vitesse de phase vφ(θ) = c / n(θ)
Dans le premier cas, la surface s'appelle la surface des indices ( slowness surface ) et dans le deuxième cas on a la surface des vitesses de phase ( phase velocity surface ).ou la surface des vitesses normales ( wave normal surface ). La représentation utilisée la plus souvent est celle des vitesses de phase. On veut donc déterminer la forme de cette surface pour un plasma donné, c'est-à-dire pour une combinaison de densité (ωp) et de champ magnétique (ωc). Les paramètres utilisés normalement sont:
2p
ωω
X
≡ 6. 174
et
2cice2
ωωωY ≡ 6. 175
Nous avons vu que la propagation des modes est déterminée par les résonances et les coupures. Elles séparent les régions de propagation et de "non-propagation". Elles déterminent aussi des frontières où il y a un changement de mode de propagation. Donc les coupures et les résonances divise l'espace des paramètres du plasma en régions où la propagation est semblable. Quand on passe d'une région à l'autre, il y a donc un changement dans la forme de la surface des vitesses de phase. À titre d'exemple, considérons le cas mi ∞ ( ωci 0 ) avec ωce / ω = 0.5 . On obtient alors la Figure 28
Ondes dans les plasmas 6.56
Figure 28 Modes de propagation pour le cas mi ∞ ( ωci 0 ) avec ωce / ω = 0.5
Dans la région I, nous avons les deux modes (D,X) et (G,O). La limite de cette région est déterminée par la coupure de l'onde D et la coupure de l'onde X (à X = 0.5) et les surfaces d'indice et de vitesse de phase ont la forme illustrée dans la Figure 29
Figure 29 Surfaces d'indice et de vitesse de phase dans la région I de la Figure 28
Ondes dans les plasmas 6.57
Dans la région II, seulement le mode (G,O) se propage. La frontière de cette région est déterminée par le résonance hybride (nX ∞). En général cette limite est une fonction de θ :
Figure 30 Propriétés de la propagation dans la région II de la Figure 28
et les surfaces d'indice et de vitesse de phase ont la forme illustrées dans la Figure 31
Figure 31 Surfaces d'indice et de vitesse de phase dans la région II de la Figure 28
Ondes dans les plasmas 6.58
Dans la région III, les deux modes se propagent mais l'indice de réfraction pour le mode (G,X) ∞ pour les angles petits. Très près de la frontière ω = ωpe (X = 1), n 0 pour le mode (G,O). La limite supérieure de cette région est la coupure à X = 1. Les diagrammes polaires pour l'indice et la vitesse de phase ont la forme:
Figure 32 Surfaces d'indice et de vitesse de phase pour la région III de la Figure 28
Dans la région IV on a seulement l'onde X ( et l'onde G seulement pour θ = 0 ) qui se propage. La limite de cette région est déterminée par la coupure de l'onde X (et G ) à X = 1.5 et les surfaces d'indice et de vitesse de phase prennent la forme:
Figure 33 Surfaces d'indice et de vitesse de phase pour la région IV de la Figure 28
Finalement, dans région V il n'y a pas de propagation.
Ondes dans les plasmas 6.59
À mesure qu'on avance d'une région à l'autre en augmentant la densité, les surfaces d'indice et de vitesse de phase changent `mais en général, il y a un type de surface associé avec chaque région. Si on change le champ magnétique, de nouvelles régions apparaissent. Si on inclus l'effet des ions on trouve qu'il y a en fait 13 régions dans l'espace X,Y séparées par les coupures et les résonances. Dans chacune de ces régions, la forme des surfaces est unique. Le diagramme CMA (Clemmow-Mullaly-Allis) a été développé pour représenter la vitesse de phase pour les différents régimes du plasma.
