Tableaux para la Lógica de Primer Orden

Mara Manzano

USAL

Curso 2009-2010

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Introducción

Hemos visto los tableaux para la lógica proposicional. Extenderemos estecálculo a la lógica de primer orden. Hay que añadir algunas reglas paracuanti�cadores y para la identidad.Los tableaux en LPO sirven para:

1 Establecer la insatisfacibilidad de una fórmula o conjunto defórmulas. Al acabar el tableau, si todas las ramas están cerradassabemos que carece de modelo.

2 Sin embargo, no sirve para establecer la satisfacibilidad: un árbolabierto no vale para nada. La lógica de primer orden es indecidible

3 Establecer la validez de una fórmula; se demuestra que su negaciónes insatisfacible.

4 Para demostrar consecuencia a partir de hipótesis; probamos que elconjunto formado por las hipótesis y la negación de la conclusión esinsatisfacible.

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Nuevas reglas de tableaux para la lógica de predicados

Sea L un lenguaje con un número in�nito de constantes, y sea A unaL-fórmula (se añaden si es preciso constantes nuevas a las que llamamosparámetros).Se conservan las reglas de la lógica proposicional.� γ-reglas:1. Si t es un término y x una variable, entonces de 8xA(x) podemosdeducir A(t).2. Si t es un término y x una variable, de :9xA(x) podemos deducir:A(t).� δ-reglas: sea x una variable.1. De 9xA(x) podemos deducir A(c) para cualquier constante c 2 L queno haya sido usada aún en la rama.2. De :8xA(x) podemos deducir :A(c) para cualquier constante c 2 Lque no haya sido usada aún en la rama.

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Ejemplo I

ExampleEste es un tableau para 8x9yPxy .

1. 8x9yPxy2. 9yPcy3. Pcd

γ1δ2

Notas

La línea 2 se obtuvo de la línea 1 usando la γ-regla �de 8xA(x) sededuce A(t) para cualquier término cerrado t�. Aquí, A(x) era�9yPxy�. Decidimos que t fuese una constante, c . (Podríamos haberusado cualquier otro término cerrado.)

La línea 3 se obtuvo de la línea 2 aplicando la δ-regla �de 9yA(y) sededuce A(c) donde c es una constante nueva�. Aquí, A(y) era Pcy .Usamos la constante nueva d . No podíamos haber usado c porque yahabía sido previamente usada en la rama (línea 2).

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Ejemplo II

ExampleOtro tableau para 8x9yPxyPodríamos haber seguido aplicando las reglas:

1. 8x9yPxy2. 9yPcy3. Pcd4. 9yPdy5. 9yPfcady6. Pde7. Pfcadb

γ1δ2γ1γ1δ4δ5

Notas. Aquí hemos introducido d , e y b como parámetros de PAR en laslíneas 3, 6 y 7, mientras que c y fcad son términos de LPAR .Paramos cuando todas las ramas están cerradas, pero si una rama no secierra no sabemos si es que no puede cerrarse o que no hemos acertadocon el parámetro adecuado.

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Los tableaux sirven para demostrar teoremasProcedimiento refutativo

El cálculo de tablea es de naturaleza refutativa, se basa en la búsquedade un contraejemplo. Por ello negamos la conclusión de lo que queremosdemostrar y explicitamos la contradicción que de ello se deriva.Como en LP, de�nimos el concepto de prueba, tanto de teoremas lógicos,como de teoremas a partir de hipótesis. En particular:

1 Sea A una sentencia. Escribimos ` A si existe un tableau cerradopara :A.

2 Sea A una sentencia y Γ un conjunto de sentencias. Escribimos Γ ` Asi existe un tableau cerrado para Γ [ f:Ag. Esto es, una refutaciónde Γ [ f:Ag.

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Estrategias de aplicación

1 Aplicar antes las reglas proposicionales que las de primer orden.2 y para las primeras usad las estrategias conocidas. Primero las reglas

α que las β y entre ellas siempre primero las que cierren ramas. Enotro caso, la fórmula más compleja.

3 Entre las reglas con cuanti�cadores aplicar antes las reglas δ que lasγ.

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Otro ejemplo

Example

Probamos ` 9xPx ! :8x:Px .

1. :(9xPx ! :8x:Px)

2. 9xPx3. ::8x:Px4. Pc5. 8x:Px6. :Pc

α1α1δ2α3γ5

cerrado(4,6)

Observamos9xPx ! :8x:Px es obviamente válida.Las antiguas reglas proposicionales también se usan.Ha resultado mejor usar las δ�reglas antes que las γ�reglas, puestoque tienen restricciones.

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Reglas de tableaux para la igualdad

Regla 1 (re�exividad) Podemos introducir t = t en una rama, encualquier momento, para cualquier término cerrado t de LPAR .

Regla 2 (reemplazamiento) Si A(x) es una fórmula y t, τ sontérminos cerrados de LPAR , entonces de A(t) y τ = t (o bien t = τ)podemos deducir A(τ).

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Ejemplo con igualdad

Example

Probamos ` 8x8y(x = y ! y = x).

1. :8x8y(x = y ! y = x)

2. :8y(c = y ! y = c)3. :(c = d ! d = c)4. c = d5. :(d = c)6. c = c7. d = c

δ1δ2α3α3==(4,6)

cerrado(6,7)

La línea 7 se obtuvo sustituyendo c por d en la línea 6, usando la línea 4(c = d) y la regla 2 de la igualdad. Vamos a ver cómo hemos aplicado laregla 2 a partir de las líneas 4 y 6 en la 7.

Los términos que se intercambian son c por dLa fórmula sobre la que se aplica la regla es c = cLa igualdad que nos permite hacerlo es c = dMara Manzano (USAL) Tableaux LPO Curso 2009-2010 10 / 15

Corrección y completud

Completud + corrección = equivalencia entre consecuencia sintáctica ysemántica.La completud la plantearon Post y Hilbert, para LPO la probó Gödel,1930. La prueba más usada es la de Henkin de 1949. La demostraciónpara tableaux es algo distinta, Smullyan.

Figure: Leon Henkin

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Corrección y completudPerspectiva lógica I

1 La noción semántica de verdad selecciona al conjunto VAL de lassentencias válidas, las que son verdaderas en todos los modelos� tanto en la lógica proposicional como en la de primer orden.

2 Y la sintáctica al conjunto TEO de los teoremas lógicos.

¿Coinciden esos conjuntos?

TEO

VAL

Cálculo

Semántica

Figure: Dos métodos de selección

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Corrección y completudPerspectiva lógica II

Demostrar queVAL � TEO

es el objetivo del teorema de completud, que

TEO � VAL

lo es del de correción. Para cálculos correctos y completos el diagramaaparece como muestra la �gura .

TEO

VAL

Las zonas rayadas estánvacías

Figure: Cálculo correcto y completoMara Manzano (USAL) Tableaux LPO Curso 2009-2010 13 / 15

Corrección y completudTeorema de corrección

TheoremAdecuación del cálculo de tableaux de primer orden

Si hay un tableau cerrado para un conjunto de fórmulas ∆, entonces ∆ esinsatisfacible. (∆ es �nito.)

TheoremCorrección del cálculo de tableauxSi Γ `tab A, entonces Γ j= A, para cada conjunto �nito Γ y cada fórmulaA.

Corollary

Si `tab C , entonces j= C .

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Corrección y completudTeorema de completud

TheoremTeorema de su�ciencia del método de tableaux para primer ordenSi ∆ es insatisfacible, entonces hay un tableau para ∆ cerrado. (∆ es�nito.)

TheoremCompletud del cálculo de tableaux para lógica de primer ordenSi Γ j= C , entonces Γ `tab C (Para Γ �nito.)

Corollary

Γ j= C syss Γ `tab C .

Corollary

j= C syss `tab C .Mara Manzano (USAL) Tableaux LPO Curso 2009-2010 15 / 15