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Introduccion a las notas del curso
• Estas notas estan disenadas para ser una guıa en un cursobasico de teorıa de automatas y lenguajes formales. El cursoinicia con un breve repaso de teorıa de conjuntos, y posterior-mente presenta los conceptos basicos de automatas, lengua-jes, y gramaticas formales, para terminar con la definicionde maquinas de Turing, las cuales son una representacionabstracta de lo que es una computadora moderna.
• Se sugiere realizar multiples ejercicios, tanto en clase comoen casa, sobre cada uno de los temas revisados, ası comoimplementar simuladores de automatas y gramaticas en unlenguaje de uso comun como C/C++.
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Objetivos Generales
• Presentar las maquinas abstractas que forman la base de
la teorıa de la computacion, y estudiar sus caracterısticas y
limitantes.
• Estudiar los lenguajes formales y sus propiedades. Mostrar
que cualquier problema de computo equivale al reconocimiento
de algun lenguaje.
• Introducir los conceptos basicos de computabilidad y com-
plejidad computacional.
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Contenido
1. Conceptos basicos de teorıa de conjuntos
2. Automatas finitos y lenguajes racionales
3. Gramaticas y lenguajes
4. Automatas de pila
5. Maquinas de Turing
6. Computabilidad y complejidad computacional
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Bibliografıa sugerida
• Teorıa de la Computacion: Lenguajes formales, automatas
y complejidad
J. Glenn Brookshear
Pearson, Addison Wesley Longman
• Automata and Languages
John M. Howie
Clarendon Press, Oxford
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Unidad I
Conceptos basicos
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Conjuntos
• Definicion ingenua: Un conjunto es una agrupacion o coleccion
de objetos de algun tipo, los cuales pueden o no estar definidos
por una o mas caracterısticas.
• Notacion:
– Explıcita: se enlistan todos los elementos entre llaves.
– Implıcita: se describen las caracterısticas que definen los
elementos del conjunto.
– Ejemplo: {2,4,6, . . .} = {x tal que x es entero par positivo}.
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Notacion
• Los conjuntos tıpicamente se denotan mediante letras mayusculas. Ejem-plo:
A = {a, e, i, o, u}, Φ = {x tal que x2 = 1}.
• Los sımbolos ∈ y /∈ indican pertenencia o no-pertenencia de un elementoen un conjunto. Ejemplo:
u ∈ A, z /∈ A, −1 ∈ Φ, 3 /∈ Φ.
• Los sımbolos : y | significan “tal que”. Ejemplo:
A = {x : x es vocal minuscula}, Φ = {x | x2 = 1}.
• Notar que es posible que un conjunto pertenezca a otro:
A = {1,2}, B = {3,4,5} =⇒ {A, B} = {{1,2}, {3,4,5}} .
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Paradoja de Russell
• Esta paradoja surge a partir de la definicion ingenua de con-
junto.
• Sea X un conjunto. Llamemosle a X “normal” si X /∈ X y
“anormal” si X ∈ X.
• Sea N el conjunto de todos los conjuntos normales; es decir,
N = {X | X /∈ X}.
• Es N normal o anormal?.
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Subconjuntos
• Decimos que A es subconjunto de B si y solo si x ∈ A =⇒x ∈ B (es decir, todo elemento de A es tambien elemento deB).
• A es subconjunto propio de B si existe al menos un x ∈ B talque x /∈ A; es decir A 6= B.
• Notacion: A ⊆ B o A ⊂ B (algunos autores utilizan elsımbolo ⊂ para indicar un subconjunto propio)
• Notar que: A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A.
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Operaciones con conjuntos
• Union: A ∪B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
• Interseccion: A ∩B = {x | x ∈ A y x ∈ B}
• Complemento: A′ = {x | x /∈ A}
• Resta: A−B = {x | x ∈ A y x /∈ B}
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Propiedades de las operaciones
• Conmutativa: A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A
• Asociativa Union: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Asociativa Interseccion: (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• Distributiva Union: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
• Distributiva Interseccion: A∩ (B ∪C) = (A∩B)∪ (A∩C)
• Leyes de DeMorgan: (A∪B)′ = A′∩B′ y (A∩B)′ = A′∪B′
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Producto Cartesiano
• El producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B sedefine como el conjunto de todos los pares ordenados en loscuales el primer elemento pertenece a A y el segundo a B:
A×B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B} .
• Ejemplo:
A = {2,3}B = {x, y, z}
A×B = {(2, x), (2, y), (2, z), (3, x), (3, y), (3, z)}B ×A = {(x,2), (x,3), (y,2), (y,3), (z,2), (z,3)}
• Notar que A×B 6= B ×A.
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Conjunto vacıo
• El conjunto vacıo es el conjunto unico que no contiene ele-mentos.
• El conjunto vacıo se denota por ∅ = {}.
• Algunas propiedades:
1. Para todo x, x /∈ ∅.
2. ∅ ∪A = A, ∅ ∩A = ∅, A− ∅ = A, ∅ ×A = ∅.
3. Para todo x ∈ ∅, x cumple cualquier propiedad.
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Cardinalidad y conjunto potencia
• Un conjunto es finito si tiene un numero finito de elementos;de otra forma, el conjunto es infinito.
• El numero de elementos de un conjunto finito A se denominacardinalidad y se denota por |A|.
• Algunas propiedades:
|A ∪B| ≥ |A||A ∩B| ≤ |A||A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B||A×B| = |A||B| si A y B son finitos
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Conjunto potencia
• El conjunto potencia P(A) de un conjunto A es el conjunto
cuyos elementos son todos los subconjuntos de A; es decir:
P(A) = {X | X ⊂ A} .
• Ejemplo: si A = {1,2,3}, entonces
P(A) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} .
• Si A es finito, entonces |P(A)| = 2|A|.
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Relaciones
• Una relacion entre dos conjuntos A y B es un subconjunto
P de A×B.
• Si (a, b) ∈ P , para algun a ∈ A y b ∈ B, entonces decimos que
a esta relacionado con b mediante P .
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Funciones
• Una funcion φ de un conjunto A a un conjunto B es una relacion de A aB en la que se cumple lo siguiente:
Si (a, b1) ∈ φ y (a, b2) ∈ φ, entonces b1 = b2.
• En otras palabras, una funcion asocia a un elemento de A con un unicoelemento de B.
• Notacion:
– Una funcion φ de A a B se denota como φ : A → B.
– Si (a, b) ∈ φ entonces decimos que b es la imagen de a bajo la funcionφ, y esto se escribe como b = φ(a).
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Dominio e imagen de una funcion
• El dominio dom φ de una funcion φ : A → B se define como
dom φ = {a ∈ A | (a, b) ∈ φ para algun b ∈ B} ⊆ A.
Si dom φ = A, entonces φ es una funcion total, de lo contrario, φ esuna funcion estrictamente parcial. En general, a cualquier funcion se lepuede llamar funcion parcial.
• El contradominio, rango, o imagen im φ de una funcion φ se define como
im φ = {φ(a) | a ∈ dom φ} ⊆ B.
• La funcion identidad idA : A → A de un conjunto A se define comoidA(a) = a para todo a ∈ A. Notar que dom idA = im idA = A.
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Tipos de funciones
• Una funcion φ : A → B es uno-a-uno o inyectiva si para todo
a1, a2 ∈ A se cumple que
φ(a1) = φ(a2) =⇒ a1 = a2,
o equivalentemente
a1 6= a2 =⇒ φ(a1) 6= φ(a2).
• Una funcion φ : A → B es sobre o subyectiva si im φ = B; es
decir, para todo b ∈ B existe algun a ∈ A tal que φ(a) = b.
• Una funcion es biyectiva si es uno-a-uno y sobre.
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Composicion de funciones
• Dadas funciones φ : A → B y ψ : B → C, entonces podemosdefinir la composicion ψ ◦ φ : A → B como
(ψ ◦ φ)(a) = ψ(φ(a)),
para todo a ∈ A tal que φ(a) ∈ dom ψ.
• Notar que, en general, φ◦ψ no esta bien definido y es distintode ψ ◦ φ.
• Si φ : A → B es una funcion, entonces
φ ◦ idA = idB ◦ φ = φ.
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Funcion inversa
• Dada φ : A → B, decimos que θ : B → A es una funcion
inversa de φ si
θ ◦ φ = idA y φ ◦ θ = idB.
• Teorema: La inversa de una funcion φ es unica y se escribe
como φ−1.
• Teorema: Una funcion φ : A → B tiene inversa si y solo si es
biyectiva.
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Cardinalidad
• Para un conjunto finito A, su cardinalidad |A| es el numero
de elementos que contiene.
• Para conjuntos infinitos, el concepto de cardinalidad no es
tan claro. Sabemos, por ejemplo, que tanto el conjunto de
los numeros naturales positivos N+ como el de los numeros
reales R son infinitos, pero intuitivamente uno espera que Rtenga un mayor numero de elementos que N+ ya que N+ ⊂ R.
• Una forma de mostrar que dos conjuntos tienen la misma
cardinalidad es encontrando una funcion biyectiva entre ellos.
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Teoremas sobre cardinalidad
• Teorema: Para cualquier conjunto X, |X| < |P(X)|.
• Corolario: |X| < |P(X)| < |P (P(X))| < . . ..
Es decir, no existe una cardinalidad maxima.
• Teorema: Para cualquier conjunto infinito X, |N+| ≤ |X|.
Es decir, no existe ningun conjunto infinito con cardinalidad
menor a la de N+.
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Conjuntos contables e incontables
• Un conjunto X es contable si es finito, o si |X| = |N+|.
• Si |X| > |N+|, entonces decimos que X es incontable.
• El conjunto potencia de cualquier conjunto infinito es incon-
table.
• Si los elementos de un conjunto X se pueden listar de una
manera ordenada, entonces el conjunto es contable (ya que
existe una funcion biyectiva entre X y N+).
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Ejemplos de conjuntos contables e incontables
• N+ × N+ es contable: se pueden enlistar primero las parejasque suman 2, luego las que suman 3, etc.
N+ × N+ = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), . . .}.
• El conjunto F de funciones de N+ a N+ es incontable ya que|F| ≥ |P(N+)|.Prueba: sea X un subconjunto de N+, entonces podemos definir lafuncion fX : N+ → N+ como
fX(x) =
{1 si x ∈ X0 si x /∈ X.
Por lo tanto, hay por lo menos tantas funciones como subconjuntos de
N+.
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Otro ejemplo
• Supongamos que tenemos un lenguaje formado por un conjunto finito depalabras Σ = {w1, w2, . . . wn}, donde n = |Σ|.
• Un programa equivale entonces a una secuencia de palabras wa1wa2 . . . waq,
donde a1, a2, . . . , aq ∈ {1,2, . . . , n}.
• La secuencia a1a2 . . . aq equivale a un numero entero positivo escrito enbase n. Esto sugiere un mapeo biyectivo entre el conjunto Σ∗ de todaslos posibles programas escritos con palabras de Σ, y el conjunto N+.
• Por lo tanto, Σ∗ es contable. Es decir, solamente una cantidad contablede programas se pueden escribir con el lenguaje Σ.
• Sin embargo, hay un numero incontable de funciones de N+ a N+, lo cualsignifica que para algunas de estas funciones no es posible escribir unprograma que las resuelva.
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Unidad II
Automatas Finitos
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Maquinas abstractas
• Para estudiar el alcance y la potencia de computo de las maquinas ac-tuales, es necesario desarrollar modelos simples de maquinas que tenganlas mismas capacidades, pero que sean mas faciles de entender y analizar.
• Uno de los modelos mas simples (aunque no muy potente) consiste enun sistema en el que nuestra maquina abstracta pueda ubicarse en unode varios “estados” en un momento determinado.
• Ademas, la maquina puede recibir datos de entrada, a partir de los cualesdecide, segun un conjunto de reglas preestablecidas, si se mantiene en elmismo estado o cambia a un estado distinto.
• Estas maquinas abstractas tambien reciben el nombre de automatas.
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Diagramas de transiciones
• Un diagrama de transiciones es un grafo en el cual los nodos representanlos distintos estados de un automata, y las aristas representan las posiblestransiciones entre estados.
• Cada arista tiene asociado un sımbolo. Una transicion de un estado aotro solo se realiza si el dato de entrada coincide con el sımbolo de laarista correspondiente.
• Tıpicamente existe un estado inicial (indicado con una flecha), y unestado terminal o de aceptacion indicado con un cırculo.
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Tablas de transiciones
• Tambien es posible describir un automata mediante una tabla
de transiciones, como se muestra a continuacion.
⇐⇒
1 2 3 4a 2 4 4 -b - 3 1 1
Estado inicial: 1
Estado final: 4
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Automatas finitos deterministas
• Formalmente, un automata finito determinista (AFD) se de-fine como una quıntupla A = (Q, A, φ, i, T ), donde
– Q es el conjunto finito de estados del automata.
– A es el alfabeto del automata; es decir, el conjunto de sımbolos quepuede recibir como entrada.
– φ : Q× A → Q es una funcion de transicion que asocia a cada pareja(q, a), q ∈ Q, a ∈ A un estado destino φ(q, a).
– i ∈ Q es el estado inicial.
– T ⊂ Q es el conjunto de estados terminales.
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Palabras
• Dado un alfabeto A (es decir, un conjunto de sımbolos),una palabra en w en A es una secuencia finita de sımbolosw = a1a2 . . . an donde a1, a2, . . . , an ∈ A.
• La longitud |w| de una palabra w = a1a2 . . . an es precisa-mente n.
• La palabra vacıa es aquella que tiene longitud cero, y sedenota comunmente como 1 o ε (dado que 1 /∈ A o ε /∈ A).
• Las potencias de una palabra w representan la concatenacionde w con ella misma. Por ejemplo:
a3 = aaa, (ab)2 = abab, b(a2b)3a = baabaabaaba.
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Lenguajes
• Un lenguaje L sobre un alfabeto A es cualquier conjunto depalabras en A.
• El lenguaje que contiene a todas las palabras (finitas) for-madas con sımbolos de un alfabeto A se denota como A∗.
A∗ ={a1a2 . . . an : aj ∈ A para j = 1, . . . , n, y n ∈ N
}.
• El lenguaje que contiene a todas las palabras en un alfabetoA de longitud positiva se denota por A+. Este lenguaje nocontiene a la palabra vacıa.
A∗ = A+ ∪ {1}.
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Lenguaje aceptado por un AFD
• Notacion: Podemos representar una transicion φ(q1, a) = q2 como q1a =q2, de manera que es posible escribir algo como:
qa1a2 = (qa1)a2 = q′a2, si φ(q, a1) = q′.
• Si w = a1a2 . . . an ∈ A∗, entonces
qw = qa1a2 . . . an = (((qa1)a2) . . .) an.
• Dado un AFD A = (Q, A, φ, i, T ) y una palabra w ∈ A, podemos entoncesdeterminar el estado qw al que se llega cuando se ingresa la palabra w alautomata estando en el estado q.
• El lenguaje L(A) aceptado por el automata A se define entonces como
L(A) = {w ∈ A∗ : iw ∈ T} .
• Un lenguaje L ⊂ A∗ es reconocible por un AFD A si y solo si L = L(A).
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Ejercicios:
1. Disenar un diagrama de transiciones para reconocer expresiones aritmeticassimples de numeros enteros positivos separados por los sımbolos +, −,×, ÷. Por ejemplo:
54 + 23, 12− 8, 12345× 54321, 8÷ 3.
2. Disenar un AFD para una maquina vendedora de refrescos que llegue aun estado de aceptacion cuando el usuario ha introducido la cantidad su-ficiente para comprar un refresco. Los refrescos cuestan $6 y la maquinaacepta monedas de $1, $2, y $5. Como manejarıa el caso en el que elusuario introduce mas de $6?
3. Dibuje el diagrama de transiciones y describa el lenguaje reconocido porel AFD A = (Q = {q1, q2, q1}, A = {a, b}, φ, i = q1, T = {q3}), donde φesta dada por la siguiente tabla:
q1 q2 q3
a q2 q2 q3
b q1 q3 q3
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Lımites computacionales de los AFD’s
• El lenguaje L = {anbn : n ≥ 1} no es reconocible por ningunAFD.
• Prueba: Suponer que existe un AFD A = (Q, A, φ, i, T ) talque L(A) = L. Sea qn = ian para n = 1,2, . . .. Entoncesqnbn ∈ T para todo n. Ya que Q es finito, entonces debenexistir m, n distintos tales que qm = qn. Entonces, iambn =qmbn = qnbn ∈ T ; sin embargo ambn /∈ L, lo cual contradicenuestra suposicion inicial.
• Ası como L, existen muchos lenguajes que no pueden recono-cerse por ningun automata finito.
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Lema del bombeo
• Sea L un lenguaje infinito reconocible en A∗. Existe entoncesun entero positivo N tal que toda z ∈ L con |z| > N puedefactorizarse como z = uvw donde
1. u, w ∈ A∗, v ∈ A+,
2. |uv| ≤ N ,
3. uvmw ∈ L para todo m ≥ 0.
• El lema del bombeo se utiliza comunmente para mostrar (porcontradiccion) que un lenguaje L no es reconocido por ningunAFD: uno supone que L es reconocible y elige una palabraz ∈ L y una factorizacion z = uvw adecuadas, de manera quepara algun m, uvmw /∈ L.
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Ejemplo de uso del Lema del Bombeo
• Sea A = {a, b} y L = {w ∈ A∗ : wR = w}, donde wR denota el reverso deuna palabra. En otras palabras, L es el lenguaje formado por todos lospalındromos en A∗.
• Suponer que L es reconocible por algun AFD. Entonces, existe un N > 0para el cual se cumple el Lema del Bombeo.
• Sea n > N . Considerar la palabra z = anban ∈ L. Por el Lema delBombeo, z puede factorizarse como z = uvw con |v| ≥ 1 y |uv| ≤ N < n.Por lo tanto, u = ap, v = aq, y w = arban donde q ≥ 1 y p + q + r = n.
• Sin embargo, uvmw /∈ L para m 6= 1. Por ejemplo, para m = 0,
uv0w = uw = an−qban /∈ L.
• Por lo tanto, L no es reconocible.
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Observacion
• Teorema: Para cualquier alfabeto A (no vacıo), existe una
infinidad de lenguajes en A∗ que no son reconocibles.
• Prueba: A∗ es infinito contable, por lo tanto, el conjunto de
todos los lenguajes en A∗, es decir, P(A∗) es incontable. Por
otro lado, el conjunto de todos los AFD cuyo alfabeto es A
es contable (se pueden enlistar primero todos los AFD con
un estado, luego los que tienen dos estados, etc). Por lo
tanto, no existen suficientes AFD para reconocer todos los
lenguajes en A∗.
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Ejercicios
1. Mostrar, usando el Lema del Bombeo, que el lenguaje
L = {ap : p es primo}no es reconocible por ningun AFD.
2. Sea A = (Q, A, i, T, φ) un AFD. Disene otro AFD que reconozca el com-plemento de L(A) en A∗; es decir, A∗ − L(A).
3. Disene un AFD que reconozca numeros, con o sin decimales, positivos onegativos. Por ejemplo, las cadenas
3.1416, 6, −5.8
son reconocidas, mientras que
3.44.4, 5− 44.− 4, ..−−.− .− ..
no lo son. Utilice como alfabeto A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,−, .}.
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Automatas Finitos No-Deterministas
• Un automata finito no-determinista (AFN) es una maquina
de estado finito en la cual de un mismo estado y con el mismo
sımbolo de entrada puede haber varias posibles transiciones
a distintos estados.
• La diferencia con un AFD es que, durante una transicion,
el estado destino es unico y esta bien determinado por la
funcion de transicion.
• En el caso de los AFN, la funcion de transicion no devuelve
un solo estado, sino un conjunto de estados destino.
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Definicion formal de un AFN
• Un AFN es una quıntupla N = (Q, A, φ, i, T ) donde
1. Q es un conjunto finito no-vacıo de estados.
2. A es un alfabeto (conjunto de sımbolos finito no-vacıo).
3. φ : Q×A → P(Q) es la funcion de transicion.
4. i ∈ Q es el estado inicial.
5. T ⊆ Q es el conjunto de estados terminales.
• De modo que si q ∈ Q y a1, a2 ∈ A, entonces qa1 es un subconjunto de Qy
qa1a2 = (qa1)a2 =⋃
p∈qa1
pa2
es tambien subconjunto de Q.
• De igual manera se puede obtener el subconjunto qw ⊆ Q, donde q ∈ Q yw ∈ A∗.
42
ε-transiciones
• Es posible extender la definicion de un AFN para que admitatransiciones de un estado a otro sin consumir ningun sımbolode entrada.
• Este tipo de transiciones se conocen como ε-transiciones(donde ε representa la palabra vacıa), de manera que lafuncion de transicion se define como
φ : Q× (A ∪ {ε}) → P(A).
• Es posible mostrar que para todo automata A que util-ice ε-transiciones puede encontrarse un automata A′ sin ε-transiciones tal que L(A′) = L(A).
43
Lenguaje aceptado por un AFN
• El lenguaje aceptado por un AFN se define como el conjunto
de todas las palabras para las cuales existe una ruta que
lleva al automata del estado inicial a un estado terminal al
dar como entrada la palabra.
• Formalmente, si N = (Q, A, φ, i, T ) es un AFN, entonces
L(N ) = {w ∈ A∗ : iw ∩ T 6= ∅}.
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Equivalencia entre AFN’s y AFD’s
• Teorema: Sea A = (Q, A, φ, i, T ) un automata, no necesari-
amente determinista, y sea L(A) el lenguaje reconocido por
A. Entonces existe un automata determinista completo A′tal que L(A′) = L(A).
• Metodo de conversion: Se define el AFD
A′ = (P(Q), A, ψ : P(Q)×A → P(Q), {i}, T ′ = {P ∈ P(Q) : P ∩ T 6= ∅}) ,
donde la funcion de transicion ψ esta dada por
ψ(P, a) =⋃
p∈P
φ(p, a), para todo P ∈ P(Q), a ∈ A.
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Accesibilidad
• En un automata determinista A = (Q, A, φ, i, T ), un estado
q ∈ Q es accesible si existe w ∈ A∗ tal que iw = q; es decir,
si es posible llegar a q a partir del estado inicial mediante
alguna secuencia de sımbolos.
• Al automata A se le dice accesible si todo q ∈ Q es accesible.
• Dado un automata no accesible A, se puede obtener un
automata accesible A′ tal que L(A′) = L(A) simplemente
eliminando los estados no accesibles.
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Coaccesibilidad
• Un estado q de un automata A = (Q, A, φ, i, T ) es coaccesiblesi existe w ∈ A∗ tal que qw ∈ T ; es decir, si existe alguna rutaque lleve al automata de q a algun estado terminal.
• Un automata es coaccesible si todos sus estados son coac-cesibles.
• Un automata podado (trim) es aquel que es tanto accesiblecomo coaccesible.
• El lenguaje reconocido por un automata no se modifica siuno elimina todos los estados que no son coaccesibles.
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Lenguajes racionales
• Dados dos lenguajes L1, L2 ⊆ A∗, definimos la concatenacion o productoL1L2 como
L1L2 = {uv : : u ∈ L1, v ∈ L2}.
• Dado un subconjunto L ∈ A∗ definimos
L∗ = {u1u2 . . . un : n ≥ 0, u1, u2, . . . , un ∈ L}.Esta operacion se conoce como operacion estrella de Kleene.
• Un subconjunto de A∗ se llama racional si puede obtenerse a partir desubconjuntos finitos de A∗ mediante un numero finito de operaciones deunion, concatenacion, y estrella de Kleene.
• El conjunto de todos los subconjuntos racionales de A∗ se denota porRat A∗.
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Capacidad de reconocimiento de los automatasfinitos
• Sea A un alfabeto finito. Cualquier conjunto {w}, w ∈ A∗(es decir, lenguajes que consistan de una sola palabra) esreconocible.
• El conjunto vacıo es reconocible.
• Sea A un alfabeto finito y sean L1, L2 subconjuntos recono-cibles de A∗. Entonces, la union L1 ∪ L2 es reconocible.
• Sea A un alfabeto finito. Entonces, cualquier subconjuntofinito de A∗ es reconocible.
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Teorema de Kleene
• Sea A un alfabeto finito y L un subconjunto de A∗. Entonces,
L es reconocible si y solo si L es racional.
• La prueba del teorema consiste en mostrar que los lengua-
jes reconocibles son cerrados bajo las operaciones de union,
concatenacion y estrella de Kleene.
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Unidad III
Gramaticas y Lenguajes
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Gramaticas
• Una gramatica formal o gramatica de estructura de frases es una cuadruplaΓ = (V, A, π, σ) donde
1. V es un conjunto finito de sımbolos llamado vocabulario de Γ.
2. A ⊆ V es el alfabeto terminal.
3. π ⊆ (V −A)+ × V ∗ es el conjunto (finito) de producciones.
4. σ ∈ V −A es el sımbolo inicial.
• Los elementos de π se llaman producciones y se denotan por u → v, conu ∈ (V −A)+ y v ∈ V ∗.
• Si u → v y u → w, podemos escribir simplemente u → v|w.
• La accion de una gramatica consiste en generar palabras mediante lasustiticion de sımbolos no terminales por cadenas de V ∗. Esta acciontermina una vez que la palabra generada contiene solamente sımbolosterminales.
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Lenguaje generado por una gramatica
• Dada una gramatica Γ = (V, A, π, σ), definimos una derivacionw ⇒ w′ para w, w′ ∈ V ∗ si existen x, y ∈ V ∗ y una produccionu → v en π tales que
w = xuy, w′ = xvy.
• En general, si existe una cadena de derivaciones w1 ⇒ w2 ⇒... ⇒ wn, podemos escribir simplemente w1∗ ⇒ wn.
• De esta manera, se define el lenguaje L(Γ) generado por Γcomo el conjunto de palabras en el alfabeto terminal quepueden derivarse del sımbolo inicial. Es decir,
L(Γ) = {w ∈ A∗ : σ∗ ⇒ w}.
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Ejemplos de gramaticas
• Ejemplo 1: Sea Γ = (V, A, π, σ) con
A = {el, un, perro, gato, muerde, come},V = A ∪ {oracion, artıculo, sujeto, verbo},
y π consta de las siguientes producciones:
oracion → artıculo sujeto verboartıculo → el | unsujeto → perro | gatoverbo → muerde | come
• Ejemplo 2: Considerar la gramatica cuyas producciones son:
σ → aσ, σ → bσ, σ → aλ, λ → b.
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Tipos de gramaticas
• Las gramaticas mas simples son las gramaticas regulares, en las cualestodas las producciones en π son de la forma
α → xβ, x ∈ A+, α, β ∈ V −A,
o bien
α → y, α ∈ V −A, y ∈ A∗.
• Una gramatica libre de contexto es aquella cuyas producciones son todasde la forma
α → z, α ∈ V −A, z ∈ V ∗.
• Un lenguaje es regular (resp. libre de contexto) si puede ser generadopor una gramatica regular (resp. libre de contexto).
• Notar que toda gramatica/lenguaje regular es libre de contexto.
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Lenguajes regulares y racionales
• Teorema: Un lenguaje es regular si y solo si es racional.
• Teorema: Dado un alfabeto finito A y un subconjunto
L ⊆ A∗, entonces los siguientes enunciados son equivalentes
(es decir, o bien todos son ciertos, o son todos falsos):
– L es racional.
– Existe un automata finito A tal que L = L(A).
– Existe una gramatica regular Γ tal que L = L(Γ).
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Ejercicios
1. Considere la gramatica Γ = (V, A, π, σ) cuyas producciones son:
σ → ε|xλ|yγ
γ → yγ|ελ → xλ|ε
a) Describa el lenguaje generado por Γ.
b) Dibuje el diagrama de transiciones de un automata finito que re-conozca el mismo lenguaje.
2. Escriba una gramatica regular que reconozca el lenguaje L = b2(ab)∗a2.
3. Sean L1 y L2 lenguajes regulares, generados respectivamente por lasgramaticas Γ1 = (V1, A1, φ1, σ1) y Γ2 = (V2, A2, φ2, σ2). Construya unagramatica regular que genere la concatenacion L1L2.
4. Escriba una gramatica que genere todos los nombres de variables permi-tidos en el lenguaje C.
57
Gramaticas libres de contexto
• Como se vio anteriormente, una gramatica libre de contexto
(LDC) es aquella en la cual todas las producciones son de la
forma
α → z, α ∈ V −A, z ∈ V ∗.
• Las gramaticas LDC son mas generales que las regulares, por
lo que todo lenguaje racional es libre de contexto.
• Sin embargo, no todo lenguaje libre de contexto es regular.
58
Lenguajes libres de contexto
• Ejemplo 1: el lenguaje L = {anbn : n ≥ 1} no es regular,
pero es LDC ya que es generado por la siguiente gramatica:
σ → aλb
λ → aλb
λ → ε
• Ejemplo 2: Mostrar que el lenguaje L ={w ∈ {a, b}∗ : w = wR
}
es libre de contexto, pero no regular.
59
Lenguajes libres de contexto
• Ejemplo 3: Dado un alfabeto A, si a ∈ A y w ∈ A∗, entonces
|w|a denota el numero de ocurrencias de a en w. Verificar
que el lenguaje
L = {w ∈ {a, b}∗ : |w|a = |w|b}es generado por la siguiente gramatica:
σ → aµσ → bλ
λ → aλ → aσ
λ → bλ2
µ → bµ → bσ
µ → aµ2
60
Forma Normal de Chomsky
• Una gramatica libre de contexto que genere un lenguaje en
A+ se encuentra en la Forma Normal de Chomsky si cada
una de sus producciones es de alguno de los siguientes tipos:
λ → µν, λ, µ, ν ∈ V −A,
λ → a, λ ∈ V −A, a ∈ A.
• Teorema: Todo lenguaje libre de contexto en A+ puede
generarse mediante una gramatica en la Forma Normal de
Chomsky.
61
Conversion a la Forma Normal de Chomsky
1. Eliminar las producciones del tipo λ → ε.
2. Eliminar producciones triviales del tipo λ → µ, µ ∈ V −A.
3. Por cada a ∈ A, agregar un no-terminal βa y reemplazar lasocurrencias de a en todas las producciones por βa. Luego,agregar producciones βa → a para cada a ∈ A.
4. Cambiar cada produccion de la forma λ → α1α2 . . . αn por unacadena de producciones λ → α1λ1, λ1 → α2λ2, . . ., λn−2 →αn−1αn.
62
Ejercicios
1. Para cada uno de los lenguajes siguientes, escribir una gramaticalibre de contexto que lo genere:
(a) L = {arbsct : s = r + t}.
(b) L = {ambnam : m, n ≥ 1}.
(c) L = {anbm : 0 ≤ n < m}.
2. Para cada una de las siguientes gramaticas, describir el lenguajeque genera y convertirla a la Forma Normal de Chomsky:
(a) σ → aσb | cλd,λ → σ | ε.
(b) σ → λcµ,λ → aλ | ε,µ → bµ | ε.
63
Unidad IV
Automatas de pila
64
Limitantes de los automatas de estado finito
• Los automatas de estado finito realizan una transicion ha-cia un nuevo estado determinado unicamente por el estadoactual y el sımbolo de entrada, sin importar los estados re-corridos anteriormente, o las entradas previas.
• Esta incapacidad de recordar estados o entradas previas limitala capacidad de reconocimiento de los automatas finitos.
• Para superar esta limitante, podemos agregar algun tipo dememoria al automata. Una de las estructuras mas basicas dememoria es una pila, en la cual se pueden insertar y extraersımbolos unicamente por un solo extremo de la pila, llamadotope.
65
Automatas de pila
• Un automata de pila (ADP) es un automata de estado finitono-determinista al que se le agrega una pila de sımbolos y lasiguiente funcionalidad:
1. En cada transicion, se extrae un sımbolo de la pila y seutiliza para decidir a que estado ir.
2. En cada transicion se puede insertar cualquier cantidad desımbolos en la pila.
• De esta forma, el estado destino esta determinado por: (1)el estado actual, (2) el sımbolo de entrada, y (3) el sımboloextraıdo del tope de la pila.
66
Definicion formal de automata de pila
• Formalmente, un ADP es una septupla M = (Q, A, S, φ, i, ζ, T ), donde
– Q es un conjunto finito de estados
– A es el alfabeto del automata
– S es un conjunto finito de sımbolos llamado el alfabeto de la pila
– φ : Q×(A∪{ε})×(S∪{ε}) → P(Q×S∗) es la funcion de transicion.
– i es el estado inicial.
– ζ ∈ S es el sımbolo inicial de la pila.
– T ⊆ Q es el conjunto de estados terminales.
• La pila del automata es simplemente una cadena p ∈ S∗, la cual semodifica en cada transicion. Inicialmente, la pila contiene unicamente alsımbolo ζ.
67
Transiciones
• La funcion de transicion se define como
φ : Q× (A ∪ {ε})× (S ∪ {ε}) → P(Q× S∗),
por lo tanto, podemos definir una transicion como una quıntupla
de la forma
(q, a, α) → (q′, z), q, q′ ∈ Q, a ∈ A ∪ {ε}, α ∈ S ∪ {ε}, z ∈ S∗,
si (q′, z) ∈ φ(q, a, α).
Esto significa que, estando en el estado q, con el sımbolo
de entrada a, y la cadena pα, p ∈ S∗ en la pila, el automata
puede ir al estado q′, quedando la cadena pz en la pila (se
extrae α y se inserta z).
68
Ejemplo
• Considerar el ADP
M = ({q0, q1, q2}, {a, b}, {ζ, α}, φ, q0, ζ, {q2}) ,
donde φ contiene las siguientes transiciones:
φ(q0, a, ζ) = {(q0, αζ)} ,
φ(q0, a, α) ={(q0, α2)
},
φ(q0, b, α) = {(q1, ε)} ,φ(q1, b, α) = {(q1, ε)} ,φ(q1, ε, ζ) = {(q2, ζ)} .
• Notar que solamente se llega al estado terminal si la cadenade entrada tiene la forma anbn, n ≥ 1.
69
Computos
• Una descripcion instantanea (DI) es una tercia (q, τ, w) donde
– q ∈ Q es el estado en el que se encuentra el automata
– τ ∈ S∗ es el contenido de la pila
– w ∈ A∗ es la cadena de sımbolos de entrada que aun noha sido leıda.
• Un computo en un ADP es una secuencia de DI’s que seobtiene a partir de la aplicacion de una o mas transiciones,y puede representarse de la siguiente manera:
(q1, τ1, a1a2 . . . an) → (q2, τ2, a2 . . . an) → . . . → (q′, τ ′, w′).
70
Lenguaje reconocido por un ADP
• Sea M = (Q, A, S, φ, i, ζ, T ) un ADP.
• Una palabra w ∈ A es reconocida M si existe un computo dela forma
(i, ζ, w) → . . . → (qt, τ, ε), qt ∈ T, τ ∈ S∗,es decir, que lleve al automata desde el estado inicial a unestado terminal en el cual la secuencia de sımbolos de entradaes precisamente w.
• El lenguaje L(M) reconocido por M es el conjunto de todaslas palabras w ∈ A que son reconocidas por M:
L(M) = {w ∈ A∗ : existe un computo (i, ζ, w) → . . . → (qt, τ, ε), qt ∈ T, τ ∈ S∗}.
71
Reconocimiento por pila vacıa
• Como se menciono anteriormente, una palabra w es recono-cida por un automata de pila M = (Q, A, S, φ, i, ζ, T ) si existeun computo
(i, ζ, w) → . . . → (t, τ, ε), t ∈ T, τ ∈ S∗.
• Otra posibilidad consiste en considerar una palabra w comoreconocida si y solo si la pila queda vacıa una vez que se haconsumido la palabra de entrada; es decir, si y solo si existeun computo
(i, ζ, w) → . . . → (q, ε, ε), q ∈ Q.
Notar que en este caso, ya no es necesario definir un conjuntoT ⊆ Q de estados terminales.
72
Equivalencia entre criterios de reconocimiento
• Llamemos ADP-ET a los automatas de pila que reconocen
palabras cuando se llega a un estado terminal, y ADP-PV a
los que reconocen palabras al vaciarse la pila.
• Se puede demostrar facilmente que los ADP-ET y los ADP-
PV pueden reconocer la misma clase de lenguajes; es decir,
para cada ADP-ET existe un ADP-PV que reconoce el mismo
lenguaje, y viceversa.
73
Automatas de pila y lenguajes libres de contexto
• Teorema: Sea A un alfabeto y L ⊆ A∗. Entonces, L es libre de contextosi y solo si es reconocido por un ADP.
• Demostracion (parcial): Suponer que L es LDC, y es generado por unagramatica Γ = (V, A, π, σ) en la Forma Normal de Chomsky. Construır elADP
M = ({i, q, t}, A, (V −A) ∪ {ζ}, φ, i, ζ, {t}) ,
donde φ contiene las transiciones
– π(i, ζ, ε) = {(q, ζσ)},– π(q, λ, ε) ⇒ (q, βα), por cada produccion de la forma λ → αβ,
– π(q, ζ, ε) = {(t, ζ)},– π(q, λ, a) ⇒ (q, ε), por cada produccion de la forma λ → a.
No es difıcil ver que L(M) = L(Γ).
74
Lema del Bombeo para lenguajes LDC
• Sea L un lenguaje libre de contexto. Entonces, existe unentero N > 0 que depende unicamente de L, con la propiedadde que si z ∈ L y |z| > N , entonces z puede factorizarse comoz = uvwxy de manera que
1. |vx| ≥ 1,
2. |vwx| < N ,
3. uvmwxmy ∈ L para todo m ≥ 0.
• Ejemplo: mostrar que el lenguaje L = {anbnan : n ≥ 1} noes libre de contexto.
75
Ejemplos de lenguajes no LDC
•{w2 : w ∈ {a, b}+
}
• {an2: n ≥ 1}
• {ap : p es primo}
•{w ∈ {a, b, c}+ : |w|a = |w|b = |w|c
}
•{wwRw : w ∈ {a, b}∗
}
76
Propiedades de cerradura de los lenguajes LDC
1. Si L1 y L2 son LDC, entonces L1 ∪ L2 y L1L2 tambien lo son.
2. Si L es LDC, entonces L∗ tambien lo es.
3. Si L1 y L2 son LDC, entonces L1∩L2 no es necesariamente LDC. Ejemplo:
• L1 = {ambm : m ≥ 1} es LDC
• L2 = {bnan : n ≥ 1} es LDC
• L3 = L1 · a+ = {ambman : m, n ≥ 1} es LDC
• L4 = a+ · L2 = {ambnan : m, n ≥ 1} es LDC
• Sin embargo, L3 ∩ L4 = {anbnan} no es LDC.
4. Si L ⊆ A∗ es LDC, entonces A∗−L no es necesariamente LDC (usar leyesde DeMorgan).
5. Si L1 es regular y L2 es LDC, entonces L1 ∩ L2 es LDC.
77
Ejercicios
1. Para cada uno de los siguientes lenguajes, encontrar un ADP que loreconozca:
(a) {anb2n : n ≥ 1}(b) {apbp+qaq : p, q ≥ 1}(c) {ambn : m > n ≥ 1}(d)
{wa|w| : w ∈ {a, b}+}
2. Describir el lenguaje reconocido por el siguiente ADP:
(i, a, ζ) = {(i, ζα2)}, (i, a, α) = {(i, α3)},(i, b, α) = {(q, α2)}, (q, b, α) = {(q, α2)},(q, a, α) = {(q′,1)}, (q′, a, α) = {(q′,1)},(q′,1, ζ) = {(t, ζ)}.
78
Unidad V
Maquinas de Turing
79
Introduccion
• Podemos pensar en un automata (de estado finito o de pila) como una
maquina que escanea una palabra w = a1a2 . . . an impresa en una cinta:
i↓a1 a2 . . . an
donde la maquina esta en el estado inicial i, escaneando el sımbolo masa la izquierda.
• Tanto los automatas de estado finito como los automatas de pila, es-canean un sımbolo en la cinta, y se mueven a la derecha, posiblementecambiando de estado (y en el caso de los ADP’s, haciendo posibles ajustesa la pila).
80
Limitantes de los automatas
• Los automatas de estado finito se ven limitados en los si-guientes aspectos:
1. Solamente pueden escanear la cinta hacia la derecha, siendoimposible regresar a escanear sımbolos anteriores.
2. Solamente pueden leer el contenido de la cinta, pero nomodificarlo.
• Los automatas de pila pueden modificar el contenido de lapila (la cual puede verse tambien como una cinta), pero so-lamente en un extremo. Tampoco pueden recorrer la cintamas que hacia la derecha.
81
Maquinas de Turing
• Definicion formal: Una maquina de Turing (MT) es una septupla T =(Q, A, M,∆, θ, i, T ), donde
– Q es un conjunto finito de estados.
– A es un alfabeto finito.
– M ⊇ A es el conjunto finito de sımbolos de la cinta de T .
– ∆ ∈ M −A es el sımbolo blanco.
– i ∈ Q es el estado inicial.
– T ⊆ Q es un conjunto no-vacıo de estados terminales.
– θ es una funcion parcial de Q × M a Q × M × {L, R}, donde L y Rindican izquierda y derecha, respectivamente.
82
Descripciones instantaneas
• Una descripcion instantanea (DI) es una palabra w1qw2, donde
w1 ∈ M∗, w2 ∈ M+, y q ∈ Q, e indica que el contenido de
la cinta es w1w2, y que la MT se encuentra en el estado q,
escaneando el primer sımbolo de w2.
• Si w1 = a1a2 . . . am, y w2 = b1b2 . . . bn, entonces la DI w1qw2
puede representarse con el siguiente diagrama:
q↓
a1 a2 . . . am b1 b2 . . . bn
83
Computos
• Consideremos la DI w1qw2, donde w1 = w′1α y w2 = βw′
2 (con α, β ∈ M).Entonces, el comportamiento de la maquina de Turing puede ser uno delos siguientes:
1. Si θ(q, β) = (q′, β′, R), entonces
w′1αqβw′
2 −→ w′1αβ′q′w′
2.
2. Si θ(q, β) = (q′, β′, L), entonces
w′1αqβw′
2 −→ w′1q′αβ′w′
2.
3. Si q se encuentra cerca del final de la DI y la maquina se muevehacia la derecha de la cinta, entonces se insertan sımbolos blancosconforme sea necesario. Por ejemplo, si θ(q, β) = (q′, β′, R), entonces
w1qβ −→ w1β′q′∆.
• Si dos DI’s pueden conectarse mediante una secuencia de transicionescomo las mostradas arriba, entonces a esa secuencia se le llama uncomputo en T .
84
Lenguaje reconocido por una MT
• Si w ∈ A∗, entonces decimos que w es reconocida por T si
existe un computo
iw → . . . → z1tz2,
donde i es el estado inicial, t es un estado terminal, z1 ∈ M∗,y z2 ∈ M+.
• El lenguaje L(T ) reconocido por T es el conjunto de todas
las palabras w ∈ A∗ reconocidas por T .
85
Ejemplo
• Considerar la MT T = (Q, A, M,∆, θ, i, T ) con Q = {i, q1, q2, q3, q4, t},M = {a, b,∆, λ, µ}, A = {a, b}, T = {t}, y θ dada por
θ(i, a) = (q1, λ, R), θ(q3, µ) = (q3, µ, L),θ(q1, a) = (q1, a, R), θ(q3, a) = (q3, a, L),θ(q1, µ) = (q2, µ, R), θ(q3, λ) = (i, λ, R),θ(q2, b) = (q3, µ, L), θ(i, µ) = (q4, µ, R),θ(q2, µ) = (q3, µ, L), θ(q4, µ) = (q4, µ, R),θ(q1, b) = (q3, µ, L), θ(q4,∆) = (t,∆, R).
• Verificar que L(T ) = {anbn : n ≥ 1}.
86
Ejercicios
1. Construır maquinas de Turing que reconozcan los siguientes lenguajes:
(a) L ={wwR : w ∈ {a, b}∗}.
(b) L ={w ∈ {a, b}+ : |w|a = |w|b
}.
(c) L = {anbnan : n ≥ 1}.(d) L =
{w ∈ {a, b, c}+ : |w|a = |w|b = |w|c
}.
Notar que los lenguajes (c) y (d) no son libres de contexto.
2. Construır una maquina de Turing que reconozca el lenguaje
L = {ambn : m es divisor de n}.Sugerencia: por cada a encontrada, cambiarla por λ y luego buscar unab y cambiarla por µ. Una vez que no haya mas a’s, verificar si ya noquedan b’s. En ese caso, aceptar la palabra. De otra manera, cambiartodas las λ’s por a’s y comenzar nuevamente.
87
Maquinas de Turing como procesadores de texto
• Si consideramos la cinta de una MT como una cadena de caracteres,entonces uno puede considerar la MT como un procesador de texto querealiza alguna tarea especıfica.
• Por ejemplo, es relativamente sencillo construır maquinas de Turing querealicen los siguientes procesos:
1. Reemplazar un caracter por otro
2. Reemplazar una seccion del texto por otra de la misma longitud
3. Insertar un sımbolo, desplazando el texto hacia la derecha
4. Eliminar un sımbolo, desplazando el texto siguiente a la izquierda
5. Duplicar una seccion del texto
6. Verificar si dos palabras son iguales
88
Clase de lenguajes reconocidos por las MT
• Es facil demostrar que cualquier lenguaje regular puede ser reconocidopor una MT.
• Tambien es posible demostrar que una maquina de Turing no-deterministatiene la misma capacidad de computo que una MT determinista.
• Utilizando lo anterior, es posible demostrar que cualquier lenguaje librede contexto puede ser reconocido por una MT (determinista o no deter-minista).
• De hecho, la clase de lenguajes que son reconocidos por las maquinas deTuring, son precisamente los lenguajes de estructura de frases; es decir,aquellos que pueden ser generados por una gramatica de estructura defrases, donde todas las producciones son de la forma:
u → v, u ∈ (V −A)+, v ∈ V ∗.
• Los lenguajes reconocidos por las maquinas de Turing tambien se llamanrecursivamente ennumerables.
89
Conjuntos reconocidos por las MT
• Utilizando las subrutinas de procesamiento de textos, es posi-
ble realizar algunas operaciones relativamente complejas con
una MT. Algunos ejemplos son:
Operacion Entrada Salida
Suma am∆an∆ am+n∆
Resta am∆an, n ≤ m am−n∆
Producto am∆an∆ amn∆
Division am∆an∆ aq∆ar∆, m = nq + r, r < n
90
Ejercicios
• Disene una maquina de Turing que invierta una cadena de
texto.
• Describa, en terminos de subrutinas de procesamiento de
textos, como construır maquinas de Turing que reconozcan
los siguientes lenguajes:
1. L = {an2: n ≥ 1}
2. L = {ap : p es primo}.
91
Jerarquıa de Chomsky
• Sea A un alfabeto finito no vacıo, y
– F(A∗) el conjunto de todos los lenguajes finitos en A∗,
– Rat A∗ el conjunto de todos los lenguajes regulares en A∗,
– LDC A∗ el conjunto de todos los lenguajes libres de con-texto en A∗,
– RE A∗ el conjunto de todos los lenguajes recursivamenteennumerables en A∗,
• Entonces, se cumple la siguiente relacion:
F(A∗) ⊂ Rat A∗ ⊂ LDC A∗ ⊂ RE A∗ ⊆ P(A∗).92
Conjuntos que no son reconocidos por las MT
• Dado un alfabeto finito no-vacıo A, existe una cantidad innumerable delenguajes en A∗. Esto es debido a que A∗ es infinito contable, y por lotanto, P(A∗) es infinito incontable.
• Por otra parte, el numero de maquinas de Turing que pueden disenarse escontable (pueden enlistarse primero todas las MT con un estado, luegotodas las MT con dos estados, etc).
• Esto significa que existen lenguajes en A∗ que no pueden ser reconocidospor una maquina de Turing.
• Estos lenguajes, sin embargo, no son faciles de encontrar, ya que nopueden ser descritos mediante ningun proceso algorıtmico.
93
Codificacion de una MT
• Supongamos que se desea describir completamente una maquina
de Turing T = (Q, A, M,∆, θ, i, T ) mediante una cadena en
{a, b}∗; es decir, mediante una codificacion binaria.
• Para hacer esto, podemos ordenar los elementos de Q, T , A,
y M −A de una manera conveniente:
1. Q = {q1, q2, . . . , qk, t1, . . . , tl}, con i = q1 y T = {t1, . . . , tl},
2. A = {a1, . . . , am}, con a1 = a y a2 = b,
3. M −A = {α1, . . . , αn}, con α1 = ∆.
94
Codificacion de una MT
• A continuacion, podemos definir las siguientes funciones:
– c1(qi) = ba2i+1b, para i = 1, . . . , k,
– c1(tj) = ba2jb, para j = 1, . . . , l,
– c2(ar) = ba2r+1b, para r = 1, . . . , m,
– c2(αs) = ba2sb, para s = 1, . . . , n,
– c3(L) = bab,
– c3(R) = ba2b.
• Definimos tambien la funcion c : Q×M ×Q×M × {L, R} → {a, b}∗ como:
c(q, α, q′, α′, X) = c1(q)bc2(α)bc1(q′)bc2(α
′)bc3(X).
• Notar que la funcion c codifica una instruccion de la MT en una cadenade a’s y b’s:
θ(q, α) = (q′, α′, X) −→ c(q, α, q′, α′, X).
95
Codificacion de una MT
• Una MT puede definirse completamente mediante una secuencia finitade instrucciones, por lo que podemos pensar en cualquier MT como unelemento del conjunto
(Q×M ×Q×M × {L, R})p , p ≤ 1.
• Sea K : (Q×M ×Q×M × {L, R})+ → {a, b}∗ una funcion que mapea unaMT a una palabra en {a, b}∗ definida como:
K(z1, z2, . . . , zp) = c(z1)b2c(z2)b
2 . . . b2c(zp),
donde zi = Q×M ×Q×M × {L, R}.
• K es una funcion uno-a-uno, de manera que a cada maquina de Turingle corresponde una codificacion unica bajo K. Esa codificacion dependedel orden en que se enlisten los estados, sımbolos, e instrucciones de laMT.
• Si bien una codificacion de una MT es una palabra en {a, b}∗, ss impor-tante notar que no cualquier palabra en {a, b}∗ corresponde a la codifi-cacion de alguna MT.
96
Un lenguaje no reconocido por ninguna MT
• Sea A = {a, b}, y W ⊂ A∗ el conjunto de palabras que son codificacion deuna maquina de Turing; es decir,
W = {K(z1, z2, . . . , zp) : zi ∈ Q×M ×Q×M × {L, R}, i = 1, . . . , p, p ≥ 1} .
• Para w ∈ W , sea T (w) la maquina de Turing tal que K(T (w)) = w.
• Uno podrıa preguntarse si, dada una palabra w ∈ W , la MT T (w) reconocew. Decimos que w es una buena codificacion si
w ∈ L (T (w)) .
• Sea G ⊂ W el conjunto de palabras que son buenas codificaciones.
• Entonces, el conjunto D = A∗−G; es decir, el complemento de G en A∗,no es recursivamente enumerable.
• La prueba se realiza por contradiccion, suponiendo que D = L(T ) paraalguna MT T y verificando si una codificacion w de T es buena o no loes.
97
Maquinas de Turing universales
• Una maquina de Turing universal U es una maquina de Turing que tomacomo entrada una palabra
w = w1∆w2 ∈ {a, b},donde w1 = K(M) es la codificacion de una maquina de Turing M conalfabeto A, y w2 es la codificacion de una palabra en A∗; es decir,
w2 = c2(a1)c2(a2) . . . c2(an), a1a2 . . . an ∈ A∗.
• La accion de U consiste en simular la accion de la maquina M = T (w1)cuando la entrada de M es a1a2 . . . an (se puede demostrar que existe unamaquina de Turing U es capaz de hacer esto).
• Por lo tanto, una maquina de Turing universal es una maquina de Turingque es “programable” cuyo programa se escribe (de manera codificada)en la cinta.
98
Maquinas de Turing universales
• Consideremos el lenguaje
G = {w ∈ {a, b} : w ∈ L (T (w))} ;
es decir, el lenguaje que consiste en las codificaciones de todas aquellasmaquinas de Turing que aceptan su propia codificacion.
• Este lenguaje puede reconocerse mediante una maquina de Turing uni-versal que realice los pasos siguientes:
1. Duplicar la palabra en la cinta: w∆ −→ w∆w∆.
2. Codificar la segunda palabra en la cinta:
w∆w∆ −→ w∆c2(a1)c2(a2) . . . c2(an)∆,
donde w = a1a2 . . . an.
3. Simular la maquina descrita por w con entrada w.
• Ya que D = A∗ − G no es reconocible por ninguna maquina de Turing,entonces es claro que el complemento de un lenguaje recursivamenteenumerable no necesariamente es recursivamente enumerable.
99
Lenguajes decidibles
• Un lenguaje L ⊂ A∗ es decidible si existe una maquina de Turing capazde decidir, para cada w ∈ A∗, si w pertenece o no a L.
• En otras palabras, un lenguaje L ⊂ A∗ si tanto L como A∗ − L sonreconocibles por maquinas de Turing.
• Todos los lenguajes libres de contexto son decidibles.
• El lenguaje G = {w ∈ {a, b} : w ∈ L (T (w))} no es decidible.
• Uno puede construır una maquina de Turing que “decida” un lenguajedecidible L haciendo que esta escriba una a al final de la cinta si la palabrade entrada es aceptada, o una b si la palabra no es aceptada.
100
Problema de la parada
• Una maquina de Turing T con alfabeto {a, b} es autoterminante si even-tualmente se detiene cuando se le da como entrada la palabra K(T )(independientemente de si la palabra es o no aceptada por la maquina).
• Definamos el lenguaje H ⊂ {a, b}∗ como
H = {K(T ) : T es autoterminante}.
• Consideremos el problema de decidir H. De cierta forma, esto implicadecidir si una maquina de Turing se detiene cuando se le da como entradauna cadena especıfica. Debido a esto, al problema de decidir H se leconoce como el problema de la parada.
• Puede demostrarse que H no es decidible (suponer que lo es, considerarla MT TH que decide H y modificarla para que entre en un ciclo infinitocuando una palabra es aceptada, preguntarse si esta nueva maquina esautoterminante).
101
Unidad VI
Computabilidad ycomplejidad computacional
102
Computabilidad
• Nos interesa ahora el estudio de aquellos procesos que son realizables poruna maquina de Turing.
• En general, podemos pensar que cualquier tipo de proceso computacionaltoma una entrada y devuelve una salida correspondiente a dicha entrada.
• Por lo tanto, cualquier proceso computacional puede representarse comouna funcion.
• Aunque los dominios y contradominios de las funciones computablespueden ser muy diversos, en general es posible, mediante codificacionesadecuadas, representar cualquier funcion computable como una funcionparcial de la forma
f : Nm → Nn.
103
Funciones iniciales
• Es facil ver que las siguientes funciones son computables:
– Funcion cero: ζ() = 0.
– Funcion sucesor: σ(x) = x + 1.
– Proyecciones: πmk (x1, x2, . . . , xm) = xk.
104
Combinacion y composicion
• La combinacion de dos funciones f : Nm → Np y g : Nm →Nq es la funcion f × g : Nm → Np+q, definida como
(f × g)(x) = (f(x), g(x)),
es computable si f y g lo son.
• La composicion de dos funciones f : Nm → Np y g : Np → Nn
es la funcion g ◦ f : Nm → Nn, definida como
(g ◦ f)(x) = g(f(x)),
es computable si f y g lo son.
105
Recursividad primitiva
• Una funcion recursiva primitiva h : Nm+1 → Nn se define apartir de otras dos funciones f : Nm → Nn y g : Nm+n+1 → Nn
mediante la siguiente formula recursiva:
h(x,0) = f(x),
h(x, y + 1) = g(x, y, h(x, y))
• Si f y g son computables, entonces h es tambien computable.
• Ejemplo: La funcion suma sum : N2 → N puede definirsecomo
sum(x,0) = π11(x),
sum(x, y) = (σ ◦ π33)(x, y, sum(x, y))
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Funciones recursivas primitivas
• Las funciones recursivas primitivas son todas aquellas que
pueden construırse a partir de funciones iniciales mediante la
aplicacion de un numero finito de combinaciones, composi-
ciones, y recursiones primitivas.
• Toda funcion recursiva primitiva es computable y total. En
otras palabras, si f : Nm → Nn es recursiva primitiva, entonces
el dominio de f es Nm.
• La mayorıa de las funciones que se requieren en procesos de
computo tradicionales son recursivas primitivas.
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Ejemplos de funciones recursivas primitivas
Funcion constante:Km
c (x) = cKm
0 (x) = ζ(),Km
c (x) = σ(Kmc−1(y))
Producto:prod(x, y) = x · y prod(x,0) = K1
0(x),prod(x, y + 1) = sum(x, prod(x, y)).
Potencia: pot(x,0) = K11(x),
pot(x, y + 1) = prod(x, pot(x, y)).
Predecesor: pred(0) = ζ(),pred(y + 1) = π2
1(y, pred(y)).
Resta no-negativa:monus(x, y) = x−y
monus(x,0) = π11(x),
monus(x, y + 1) = pred(monus(x, y)).
Comparacion:x == y
eq(x, y) = monus(1, sum(monus(x, y), monus(y, x))).
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Ejemplos de funciones recursivas primitivas
Funcionescaracterısticas:
κi(x) = eq(x, K0i ).
Negacionlogica:
neg(x) = monus(K01 , x).
Funcionestabulares:
f(x) = K0y1() · κx1(x) +
K0y2() · κx2(x) +...
K0y0· neg(κx1(x)) · neg(κx2(x)).
Cociente: coc(0, y) = ζ(),coc(x + 1, y) = coc(x, y) + eq(x + 1, (coc(x, y) · y) + y).
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Funcion totales no recursivas primitivas
• No toda funcion total es recursiva primitiva. Algunos ejemplos son:
1. Es claro que el conjunto F de todas las funciones recursivas primitivases contable, por lo tanto, pueden enlistarse como PR = {f1, f2, . . .}.Considerar la funcion f : N→ N tal que f(n) = fn(n)+1. Claramentef es total ya que esta bien definida para toda n ∈ N. Sin embargo, sepuede probar tambien que f /∈ PR, y por lo tanto, f no es recursivaprimitiva.
2. La funcion de Ackermann A : N2 → N se define recursivamente medi-ante las siguientes ecuaciones:
A(0, y) = y + 1,
A(x + 1,0) = A(x,1),A(x + 1, y + 1) = A(x, A(x + 1, y)).
Se puede demostrar que A es computable y total, pero no recursivaprimitiva (se demuestra que la funcion f(n) = A(n, n) crece masrapido con respecto a n que cualquier funcion recursiva primitiva).
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Funciones recursivas parciales
• Para obtener una funcion parcial f : Nm → Nn (es decir, que no estenecesariamente definida para todo x ∈ Nm), se requiere del operador deminimalizacion µ, cuya accion puede definirse como sigue:
f(x) = µy [g(x, y) == 0] ,
lo cual significa que f(x) es el menor valor de y tal que g(x, y) == 0 yg(x, z) esta definida para todo z < y.
• Ejemplo: La division entera es una funcion recursiva parcial que puededefinirse como sigue:
div(x, y) = µt [((x + 1)−((t · y) + y)) == 0] .
• Si g(x, y) es computable, entonces f(x) = µy[g(x, y) == 0] tambien lo es.
• Se puede demostrar que la clase de funciones recursivas parciales es lamisma que la clase de funciones computables por una maquina de Turing.
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Complejidad computacional
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