REFERENCIAS

• “The Chaos Hypertextbook”, Glenn Elert http://hypertextbook.com/chaos/

• “Writing the History of Dynamical Systems and Chaos…”, D. Aubin y A. Dalmedico Historia Mathematica 29 (2002), 273-339

¿QUE ES EL CAOS?1. Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos.

- Modelo de Lorenz. (dimensión 3)- Modelo de Hénon (dimensión 2). Fractales.- La ecuación logística de May (dimensión 1)

2. Recapitulando. ¿Que es el caos?

- Propiedades de un sistema caótico.- Regularidades en un sistema caótico.

3. Un poco de historia. - Las matemáticas de Poincaré y Smale. - Interdisciplinaridad: Lorenz, Ruelle, May, Yorke...

4. Teoría del Caos, ¿revolución científica?.

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

Problema real (física, biología, meteorología...)

Modelo Matemático (Ecuaciones diferenciales)

Solución Matemática

¿Explica la realidad?

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

Frío

Atmósfera

Calor

Lámina rectangular

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

x´(t)= 10(y-x)

y´(t)=28x-y-xz

z´(t)=xy-8x/3

Modelo matemáticoEcuaciones diferenciales

(no lineales).

Frío

Atmósfera

Calor

Lámina rectangular

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz

(x0, y0, z0)Condición Inicial

Regla

(x1, y1, z1)

Regla

(x2, y2, z2)...

ITERACION

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz

segundo temperatura

1 -14.052872

2 2.757209

3 -7.552990

4 6.621076

5 -8.084304

6 -9.952578

7 -5.981163

8 -13.023813

9 0.041168

10 9.314363

11 4.558919

12 7.375924

13 -14.856846

14 -0.246566

segundo temperatura

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -9.952000

7 -6.120309

8 -12.646284

9 -0.724073

10 11.848833

11 -1.204758

12 6.826824

13 13.773982

14 1.474239

(x0, y0, z0)Condición Inicial

Regla

(x1, y1, z1)

Regla

(x2, y2, z2)...

ITERACION

Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.

(x0, y0)Condición Inicial

Regla

(x1, y1)

Regla

(x2, y2)...

ITERACION

Problema real (biología, mecánica celeste...)

Modelo Matemático (Iteración)

Solución Matemática

¿Explica la realidad?

Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.

(x0, y0)

Regla

(x1, y1)

Regla

(x2, y2)...

(1/3y, 1+x-7y/5)

(x,y)

Otros ejemplos.

Atractor de Ikeda (Optica)

a + b z exp i[k - p/(1 + |z|2)]

z=(x,y)

a,b,k,p parámetros

Otros ejemplos. Fractales

Conjunto de Juliá

z2+c

z

c=-0,2-0,7i

Otros ejemplos. Fractales

Conjunto de Juliá

(z3+c)/(dz)

z

c=0,001

d=0,95-0,31225i

Otros ejemplos. Fractales

Conjunto de Juliá

(z5+c)/z3

z

c=0,001

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS

Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias funciones de la forma

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS

Brocoli IFS

F

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS

Helecho de Barnsley

Función 1 Función 2 Función 3 Función 4

a 0 0,2 -0,15 0,75

b 0 -0,26 0,28 0,04

c 0 0,23 0,26 -0,04

d 0,16 0,22 0,24 0,85

e 0 0 0 0

f 0 1,6 0,44 1,6

Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.

Problema real (física, química,biología...)

Modelo Matemático (Iteración)

Solución Matemática

¿Explica la realidad?

x0

Condición Inicial

Regla

x1

Regla

x2

...

ITERACION

Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.

An = número de animales en el año n

An+1= c An c=tasa de crecimiento

An+1= c An (M-An)

M= población máxima admitida

se normaliza y...

xn+1= c xn (1-xn) Ecuación logística

x c x (1-x) ITERACION

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Bifurcaciones.

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades

Mitchell J. Feigenbaum

1944-

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades

Mitchell J. Feigenbaum

1944-

cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades

Mitchell J. Feigenbaum

1944-

cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n

cn-cn-1

cn+1-cn4,669201...

¡La constante es la misma para muchos más tipos de iteraciones!

Recapitulando...

Propiedades de un sistema caótico

- La solución es muy sensible a las condiciones iniciales (efecto mariposa). No hay predicción.

- Modelo matemático: ecuaciones diferenciales (no lineales) o iteración

- El atractor es un fractal.

- Reglas dinámicas simples pueden dar lugar a resultados complejos.

Recapitulando...Regularidades (orden) de un sistema caótico

- Autosemejanza en atractores. Dimensión.

- La solución al modelo acaba convergiendo al atractor.

- Constante de Feigenbaum,exponente de Lyapunov...

- Teoría de los sistemas dinámicos (geometría, topología…)

Un poco de historia

Henri Poincaré1854-1912

- Estudió el problema de los tres cuerpos.

- Noción de bifurcación.

- Métodos de geometría y topología.

- Creador de la Teoría de los Sistemas Dinámicos.

Un poco de historia

Henri Poincaré1854-1912

“Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan grandes

diferencias al final… la predicción resulta imposible”.

Un poco de historia

Stephen Smale1940-

Medalla Fields, 1966

- En los años 60, “introduce los métodos, herramientas, objetivos y

visión global de la Teoría de los Sistemas Dinámicos”.

Pero los resultados, ¡se quedan dentro de las

matemáticas!

- Demuestra (teóricamente) la existencia de sistemas estables con

dinámica muy compleja.

Un poco de historia

Atractor de E. Lorenz

(metereólogo)

- 1963. Modelo atmosférico y atractor.

- 1967. Can the flap of a butterfly’s wings in Brazil stir up a tornado inTexas?

- Uso de ordenadores para resolver ecuaciones y “ver” soluciones.

- Modelos de fenómenos impredecibles.

- Modelos simples de fenómenos complejos.

Un poco de historia

Los años 70: Creciente uso de los ordenadores.

- 1971. Artículo de Ruelle “On the nature of turbulence”.

- Introduce concepto de “atractor extraño”.

- Presenta las ecuaciones de Navier-Stokes en forma 1-dimensional:

v´(t)=fr(v), r>0

- Primer acercamiento entre disciplinas: matemáticas e hidrodinámica

Un poco de historia

- 1973. Robert May, biólogo. La ecuación logística.

- 1975. Li y Yorke, “Period three implies chaos”. Primer uso de la palabra “caos”.

- 1975. B. Mandelbrot. Manifiesto teórico sobre los fractales.

- 1977. El símbolo: El congreso “Bifurcation theory and Applications in Scientific Disciplines”

- 1978. La constante de M. Feigenbaum.

Teoría del Caos, ¿revolución científica?

2 - Sustitución de modelos

1 - Novedad y profundidad de los conceptos

4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?

3 - El papel de los ordenadores