Tesis Teoria Campos

LA TECNICA DE RENORMALIZACION EN

TEORIA DE CAMPOS

Tesis de Maestrıa

EstudianteFABIO BURITICA BERMEO

DirectorPhD. JOHN MORALES APONTE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIADEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS

BOGOTA

2

INDICE GENERAL

1. INTRODUCCION 7

2. TEORIA CUANTICA DE CAMPOS 92.1. La Red Uno-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Campo Escalar Clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. Cuantizacion Canonica del Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. TEORIA GAUGE 173.1. La Funcional Accion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1. Accion de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.2. Accion de Yang-Milles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.3. Accion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. El principio Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. El principio Gauge en teorıas de Yang-Mills (no abelianas) . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. LA INTEGRAL DE CAMINOS DE FEYNMAN 214.1. Transformaciones Canonicas en Mecanica Clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2. La Integral de Camino de Feynmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3. La Integral de Camino de Feynman en Teorıa de Campos . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. CUANTIZACION DE LA TEORIA DE CAMPO Y LA TEORIA ABC 315.1. La Teorıa ABC, libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. Reglas de Feynman para la Teorıa ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3. Renormalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Conclusiones 47

7. APENDICE 497.1. Regularizacion Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Bibliografıa 66

3

4 INDICE GENERAL

INDICE DE FIGURAS

1. Propagador de una particula de masa m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Funciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Propagador de la particula A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344. Funcion de Green de dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365. Funcion de Green de tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366. Lınea interna con el momento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397. Correccion del propagador de Feynman del campo A hasta orden λ2 . . . . . . . . . 408. Correccion a orden un loop del propagador de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . 409. Correccion hasta orden un loop del vertice de interaccion . . . . . . . . . . . . . . . 4010. Correccion a un loop de la dispersion de campos A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011. Calculo de la correccion a un loop del propagador de Feynman . . . . . . . . . . . . 41

6 INDICE DE FIGURAS

titulo en espanol: LA TECNICA DE RENORMALIZACION EN TEORIA DE CAM-POS

titulo en Ingles THE RENORMALIZATION TECHNICS IN FIELD THEORY

Resumen en Espanol:En el siguiente trabajo, se ha hecho una revision en lo posible pedagogica acerca del campo escalarmasivo, estudiando sus aspectos clasicos y se ha abordado la cuantizacion de la teorıa desde variosfrentes, primeramente usando el formalismo canonico el cual presenta algunas caracterısticas quepueden aparecer menos obvias desde otros metodos de cuantizacion. Se ha utilizado tambien el im-portante metodo de cuantizacion de la Integral de Caminos de Feynman, la cual se ha introducidodesde primeros principios partiendo desde su origen clasico y se ha hecho un abordamiento a la vezpedagogico e historico, mostrando las generalidades de la lınea de pensamientos que siguieron laconstruccion de esta tecnica y su posterior aplicacion al caso de Teorıa de Campos, en especial paratres campos escalares. Es ası como se aplico la tecnica de la Integral de Caminos al caso de la TeorıaABC de tres campos escalares masivos, haciendo un analisis perturbativo sobre la funcion generatrizhasta cuarto orden en la constante de acoplamiento, lo cual nos permitio calcular las funciones deGreen hasta cuarto orden en la constante de acoplamiento.Astrac:In the following work has made a almost teaching revision about the massive scalar field, studyingclassical aspects and have addressed the quantification of the theory from several fronts, primarilyusing the canonical formalism which presents some features that may appear less obvious from otherquantification methods. It has also used the important method quantification of the ComprehensiveRoads of Feynman, which has been enter first principles since its origin has been made classic andusing at once Educational and historical, showing the general line of thinking that followed the con-struction of this technique and its subsequent application in the case of Theory of Fields, especiallyfor three scalar fields. Thus the technique was applied as Integrated Roads to the case of TheoryABC three massive scalar fields, with analysis on the disturbances generating function until thefourth order in the coupling constant, which allowed us to calculate the functions until the fourthGREE order in the constant coupling.

Descriptores o palabras claves: Renormalizacion, Integral de CaminoKeywords: Renormalization, Path Integral

CAPITULO 1

INTRODUCCION

El desarrollo de las teorıas Gauge ha sido de considerable importancia en los avances de lafısica moderna. Nos ha permitido unificar cuatro de las interacciones conocidas en la naturaleza.En particular la teorıa de Glashow-Weinberg-Salam [1,8,13] es una teorıa Gauge la cual unifica lainteraccion debil y las fuerzas electromagneticas.

A primera vista estas fuerzas no tienen nada que ver la una con la otra. La fuerza debil es decorto rango y de una naturaleza completamente diferente de la electromagnetica. Ademas esta violaparidad y extraneza. Su unica familiaridad es que ambas aparecen de forma semejante al tratar losleptones y los hadrones, es decir, la carga electrica del proton y el positron son iguales como son lascargas debiles medidas tanto en el decaimiento beta como el decaimiento del muon. La interacciondebil local entre cuatro fermiones propuesta por Fermi fue insuficiente ya que esta contenıa unaconstante de acoplamiento Gf con dimensiones de masa negativa. Esta caracterıstica en la teorıaconduce a violacion de la unitariedad a altas energıas [13] ya que la seccion eficaz de un procesoa primer orden en Gf a un momentum p debe de ser proporcional a G2

fp2 por consideracionesdimensionales, y de allı en adelante se incrementa con p. Se espera que la introduccion de un bosonvectorial intermediario, por analogıa con la electrodinamica, solucione este problema y conduzca ala base de la unificacion de las dos fuerzas.

Sin embargo, para las interacciones debiles el boson vectorial debe de ser masivo, ya que estafuerza es de corto rango, pero ha sido mostrado que teorıas que contienen un boson vectorial masivocontinuan teniendo el problema de violacion de unitariedad y no son renormalizables. La teorıa Gaugede Yang-Mills [14], construida por Weinberg[16] y Salam [17] fue el primer modelo de interaccion debilque subsecuentemente se mostro ser renormalizable [10]. Debido a que este modelo contiene al Foton ya los bosones debiles W±, Z0 como los bosones de Gauge correspondientes a la simetrıa local SU(2)×U(1), las fuerza electromagnetica y debil fueron unificadas en este sentido. Una de las principalespredicciones del modelo es la existencia de una corriente neutral debil con una intensidad que dependedel ’angulo θ de Weiberg’ el cual es el angulo de combinacion entre la corriente electromagnetica y ladebil. Medidas experimentales de estas corrientes, han llevado a un angulo dado por sen2θ = 0,23.Haciendo uso de este angulo, las masas de los bosones vectoriales pueden ser predichas por la relacion:

mW =πα√

2GF sen2θ, mZ =

mW

cosθ(1.1)

Experimentos realizados en el CERN, han visto eventos que estan en acuerdo con la anteriorprediccion. Colisiones Proton-Antiproton, en energıas del centro de masa de 540 GeV han sido

7

8 CAPITULO 1. INTRODUCCION

estudiadas y eventos del tipo:

p + p → W− + X → e− + νe (1.2)

Han sido observados, donde X es un hadron y el electron tiene una alta componente de momentumtransversal, indicando que un objeto de alta masa ha sido producido en el proceso. Varios eventosde este tipo han sido observados los cuales son consistentes con el boson W teniendo una masamW ≈ 80GeV.

En esta monografıa se pretende hacer una revision a los conceptos basicos que permitieron con-struir Teorıas de Campos tan bellas como la teorıa Electro-Debil, concentrandonos principalmente enla Teorıa ABC de tres campos escalares masivos autointeractuantes, y esbozando los procedimientosbasicos para calcular desde la accion funcional de la teorıa todas las cantidades fısicas posiblementemedibles. La monografıa se organiza en la siguiente forma: En el Capitulo 2, daremos una vision gen-eral del concepto de campo y mostraremos la forma mas simple de cuantizar una teorıa de campos,aplicando particularmente el formalismo de cuantizacion canonica a un campo escalar real. En elCapitulo 3 daremos una rapida hojeada al concepto de Campos de Gauge, generalizado a traves delo que se conoce hoy en dıa como Teorıas de Yang-Mills. En el capitulo 4 introduciremos el conceptofundamental de la Integral de Camino de Feynman y su aplicacion particular en teorıa de campos alcaso de un campo escalar real autointeracturante. Finalmente, en el Capitulo 5, aplicaremos todoslas herramientas desarrolladas en los capıtulos precedentes al caso de la Teorıa ABC y haremos unesbozo general de la tecnica de Renormalizacion aplicada a uno de los campos escalaras contenidosen esta ultima.

CAPITULO 2

TEORIA CUANTICA DE CAMPOS

Como su nombre lo indica, La teorıa cuantica de Campos (TCC), es la disciplina encargada deestudiar el comportamiento de los campos fısicos en escalas dentro de las cuales el comportamientoCuantico se hace apreciable (~ comparable a las escalas bajo estudio). La TCC, surge en principiocomo la necesidad de reconciliar las dos mas grandes innovaciones hechas en fısica en el ultimosiglo, que son, relatividad especial y mecanica cuantica. Piense en que usted quiere estudiar ladinamica de una bala viajando a una velocidad comparable a la velocidad de la luz, para esto,solo necesitarıa el uso de relatividad especial; ahora piense que usted lo que quiere es observar ladinamica de un electron moviendose a una velocidad del orden de la luz y chocando con un atomo,para esto, solo sera necesario el uso de mecanica cuantica. Pero que hacer si usted necesita estudiarel comportamiento dinamico de este ultimo en el caso en que el electron viaje a una velocidad nodespreciable respecto a la de la luz?. Es en esta interseccion de escalas de longitud y energıas esdonde se hace necesario el uso de la TCC. Dejeme aclarar un poco mas las ideas. En mecanicacuantica [1], el principio de incertidumbre nos dice que la Energıa puede fluctuar en un intervalosuficientemente amplio siempre que el intervalo de tiempo de esta variacion sea suficientementepequeno, es decir ∆E ·∆t ≥ ~, pero por otro lado, relatividad especial [2] nos ensena que una cantidadsuficiente de energıa puede transformarse en materia y viceversa. Esto quiere decir entonces, queen un proceso fısico tan sencillo como en la colision de una partıcula simple contra otra, podrıanaparecer fluctuaciones de energıa en tiempos lo suficientemente cortos como para producir una nuevapartıcula no involucrada en el inicio del proceso. Sin embargo, si usaramos la ecuacion de Schrodingerpara el sistema donde un electron es dispersado por un proton en una colision a la escala de energıaque sea, no podrıamos encontrar una manera de manipular esta ecuacion diferencial de tal maneraque al final del proceso apareciera otra partıcula diferente a las involucradas en el inicio del proceso,haciendo inadecuada la mecanica cuantica no-relativista para estudiar procesos de este ultimo tipo(altas energıas), enfrentandonos ası con la necesidad de la TCC [6].

2.1. La Red Uno-dimensional

Quiza la manera mas sencilla y directa de enfrentarse mentalmente a una Teorıa Cuantica quepermita dar cuenta del proceso de creacion y aniquilacion de partıculas, es intentar imaginar a nivelclasico algun proceso analogo donde uno pudiese hablar de creacion o aniquilacion de algo. Pienseen el ejemplo sencillo de un solido uno dimensional, consistente de una red de puntos materiales

9

10 CAPITULO 2. TEORIA CUANTICA DE CAMPOS

atados unos a sus vecinos mas cercanos a traves de resortes de constante elastica k. Como es bienconocido [4], el lagrangiano para un sistema tal esta dado por:

L =∑

a

12mq2

a −∑

a,b

ka,bqaqb +∑

a,b,c

ra,b,cqaqbqc +O(q4) (2.1)

Siendo n el numero total de puntos materiales de la red y a, b o c indicando la posicion decada uno de los puntos. La forma como se ha escrito el potencial es, digamos, la mas general paraeste sistema, pero para el beneficio de la simplicidad, lo consideraremos por ahora hasta el ordencuadratico, es decir en la aproximacion armonica.: V =

∑a,b ka,bqaqb. En esta ultima aproximacion

las ecuaciones de movimiento del sistema se veran de la forma:

mqa = −∑

b

ka,bqb (2.2)

Asumiendo entonces que cada una las masas que constituyen el sistema, oscila armonicamentecon una frecuencia ω,esta ultima ecuacion se ve ası:

mω2qa = −∑

b

ka,bqb (2.3)

De esta manera la solucion del sistema de ecuaciones diferenciales acopladas que describen elsistema, se reduce al calculo de los autovalores y autovectores de la matriz ka,b, los que llamaremosrespectivamente autofrecuencias y automodos de vibracion de la red. Ası pues, la solucion generala nuestro sistema sera la superposicion de todos los automodos, los cuales, desde el punto de vistacuantico, se pueden ver como una superposicion de funciones de onda armonicas, es decir, comopaquetes de onda los cuales se pueden interpretar de inmediato (desde el punto de vista cuantico)como partıculas. Como bien lo sabemos, este sistema tratado en la aproximacion armonica nos per-mite desacoplar los modos normales (ver [4]) de tal manera que dos paquetes de onda que chocanse veran igual despues del choque, pero una situacion bastante diferente se observa cuando con-sideramos terminos de orden superior, como cubicos, en ese caso, los automodos ahora se acoplany un paquete de onda construido desde ellos podra decaer en otros dos, o aun mas, dos paquetesde onda al chocarse podran recombinarse y formar otros dos paquetes de onda diferentes despuesdel choque. El anterior procedimiento se puede extender al caso de dos y tres dimensiones con algomas de escritura, pero la esencia del sistema continua siendo la misma. Este sencillo ejemplo nos daası una luz acerca de la direccion en la que debemos movernos con el objeto de construir una teorıacuantica capaz de describir el proceso de creacion o destruccion de partıculas.

2.2. Campo Escalar Clasico

Hasta ahora hemos encontrado una posible ruta de acceso a la forma en que puede ser formuladauna TCC, pero aun no hemos hablado acerca del concepto de campo. La manera mas simple deimaginarse un campo lo constituye de nuevo nuestra Red armonica uno-dimensional (2-dimensionalo 3-dimensional con un poco mas de escritura). Ahora queremos imaginar la situacion donde l → 0,siendo l la separacion entre puntos vecinos de la red, o si quiere ser visto desde un punto de vista unpoco mas conservador, imagine que nos interesan los fenomenos fısicos que ocurren a escalas muchomas grandes que l. Bajo esta consideracion, el ındice a que indexa la posicion de los diferentes puntosen la red, debe ser promovido a un ındice continuo x, de tal manera que en lugar de q(t) debemosescribir q(t, x), lo que notaremos como φ(t, x) para comenzar a familiarizarnos con la notacion usualde teorıa de campos, ademas de sustituir las sumas por integrales en la forma:

∑a = 1

l

∫dx. Es

inmediato darse cuenta que el termino cinetico del lagrangiano (1), promueve a la forma:

2.2. CAMPO ESCALAR CLASICO 11

L =∑

a

12mq2

a =∫

dxρ

2

(∂φ

∂t

)2

(2.4)

Donde hemos llamado a m/l como ρ ya que en el limite l → 0 , sera la densidad de la red. Nosqueda ahora considerar el termino potencial, el cual de nuevo por simplicidad, consideraremos enla aproximacion armonica. Escribiendo 2(qaqb) = (qa − qb)2 − q2

a − q2b y asumiendo que el termino

ka,b solo liga cercanos vecinos y ademas que es la misma para cada par de vecinos, obtenemos:l2( qa−qb

l )2 = l2(∂φ∂x )2, lo que nos permite escribir:

L =∫

dx12

[ρ

(∂φ

∂t

)2

− λ

(∂φ

∂x

)2

− τφ2

]+O(φ3) (2.5)

Donde hemos absorbido todas las constantes multiplicando el termino cuadratico por τ y lasderivadas espaciales por λ. Por ultimo y para llevar este lagrangiano a una forma mas familiar enteorıa de campos, redefinimos el campo φ → φ/

√ρ y las constantes en cada termino, de manera que

podamos escribir finalmente:

L =∫

dx12

[(∂φ

∂t

)2

− c2

(∂φ

∂x

)2

−m2φ2

]+O(φ3) (2.6)

El metodo empleado para llegar a este ultimo lagrangiano es aplicable en cualquier numero dedimensiones, y podemos escribirlo inmediatamente en 3 dimensiones ası:

L =∫

d3x12

[(∂φ

∂t

)2

− c2(∇φ)2 −m2φ2

]+O(φ3) (2.7)

La forma como hemos acomodado las constantes a nuestra conveniencia es con el objeto deintroducir directamente el formalismo de relatividad especial, donde el lagrangiano debe ser escrito enforma covariante ante las transformaciones de Lorentz. Como bien lo sabemos, la derivada covarianteen el espacio de Minkowski se ve de la forma ∂µ = (c−1∂t,−∇), donde µ corre de 0 a 3 indexando lascoordenadas de espacio-tiempo, y ∇ es el usual gradiente en coordenadas espaciales. ∂µ es invarianteante las transformaciones de Lorentz. Introduciendo pues el formalismo covariante de relatividadespecial, podemos finalmente escribir nuestro lagrangiano para el Campo Escalar Clasico de la forma:

L =∫

d3x12

[(∂µφ)2 −m2φ2

](2.8)

Hemos introducido el campo escalar clasico mediante una analogıa entre una red de puntosmateriales atados a traves de resortes en el limite continuo, pero esto se ha hecho ası por razonesde simplicidad. El punto de vista moderno, es exigir una teorıa de campos que sea invariante antelas transformaciones de Lorentz, pero con el requisito que el lagrangiano no contenga derivadassuperiores a dos (porque aun no sabemos resolver de manera exacta sistemas de ecuaciones deorden superior a dos a nivel cuantico). Evidentemente se pudo haber llegado al mismo lagrangianoque hemos obtenido en esta seccion a traves de argumentos de simetrıa [5,6], y en ese caso nosenterarıamos que la constante c debera ser la velocidad de la luz y de esta manera se justificarıa laconsistencia en la escogencia de las constantes que hemos usado. Nos resta ahora aprender a calcularlas ecuaciones de movimiento en el caso de tener campos clasicos, el metodo es aplicar el poderosoprincipio de mınima accion a una accion del tipo:

S =∫

dtL =∫

d4xL(φ, ∂µφ) (2.9)


Este principio establece en este caso, que la evolucion del sistema desde el punto inicial xi alpunto final xf estara dada por el maximo de la variacion funcional de la accion entre estos dospuntos. Matematicamente esto se ve de la forma:

δS = 0 =∫

d4x

[(∂φL)δφ +

∂L∂µφ

δ(∂µφ)]

=∫

d4x

[(∂L∂φ

)δφ− ∂µ(∂L∂µφ

)δφ + ∂µ(∂L

∂(∂µφ)δφ)

] (2.10)

En pasar del primer al segundo renglon hemos aplicado la regla de Leibnitz de la derivada de unproducto, o integracion por partes. El ultimo termino del segundo renglon es una derivada total ypuede anularse en la frontera de la superficie de integracion, ası que la condicion δS, se traduce en:

∂µ

(∂L

∂(∂µ)

)=

∂L∂φ

(2.11)

Aplicando este ultimo resultado a nuestro lagrangiano particular del campo escalar (ec,2,8),obtenemos la ecuacion de movimiento del campo escalar:

(∂µ∂µ + m2)φ = (¤ + m2)φ = 0 (2.12)

Donde ¤ es el operador D’Alembertiano en el espacio de Minkowski, el cual es evidentementeinvariante. Esta ultima ecuacion es conocida como la ecuacion de Klein-Gordon, aunque esta fueprimero descubierta por Schro Dinger antes de descubrir la ecuacion que lleva su nombre, de hecho,la ecuacion de Schro Dinger puede ser obtenida desde la ecuacion de Klein-Gordon en el limite norelativista, como era de esperarse. Con el objeto de pensar en la quantizacion del campo, debemoshallar el Hamiltoniano del sistema. Desde la analogıa del campo escalar con la red armonica, resultaevidente que en teorıa de campos las coordenadas del sistema estan dadas por el campo mismo(q(t)a → φ(t, x)), por tanto, seria logico definir el momento conjugado del sistema y el Hamiltonianode la manera usual:

π(x) =∂L

∂φ(x)

H =∫

d3x(π(x)φ(x)− L)(2.13)

Ası, introduciendo el lagrangiano (ec,2,8), conseguimos lo siguiente:

π(x) = φ(x)

H =∫

d3x12(π(x)2 + (∇φ)2 + m2φ2)

(2.14)

2.3. Cuantizacion Canonica del Campo Escalar

Vamos a darnos ahora a la tarea de construir la teorıa cuantica para el campo escalar [6]. Paracomenzar con esta labor, debemos recordar que cuando se quiere cuantizar un sistema discretotal como la red uno- dimensional, las coordenadas y sus momentos conjugados deben ser tratadoscomo operadores en el formalismo cuantico, de tal manera que cumplan las siguientes reglas deconmutacion [1]:

2.3. CUANTIZACION CANONICA DEL CAMPO ESCALAR 13

[qa(t), qb(t)] = [pa(t), pb(t)] = 0[pa(t), qb(t)] = i~δa,b

(2.15)

Donde pa representa el momento conjugado correspondiente a la variable qa y se hace explıcitareferencia al tiempo para recordar que estos conmutadores deben calcularse en igual tiempo.Como ya lo hemos mencionado, en el caso del sistema continuo, o mejor, en el caso del campo escalar,las coordenadas del sistema son los campos en si mismos y por tanto, con el objeto de cuantizar lateorıa debemos promover los campos φ(x, t) y π(x, t) a operadores en nivel cuantico, y las relacionesde conmutacion seran las analogas a las reglas de comutacion (2.15) pero en el caso continuo:

[φ(x), φ(y)] = [π(x), π(y)] = 0

[φ(x), φ(y)] = i~δ(4)(x− y)(2.16)

Donde la variable x, (y), se refiere tanto a las coordenadas espaciales como a la coordenadatemporal. Ya con estas relaciones de conmutacion en la mano, procedemos a calcular el espectro delHamiltoniano, pero antes de esto escribamos el campo en componentes de Fourier:

φ(x) =∫

d3p

(2π)3eip·xφ(p, t) (2.17)

Introduzcamos ahora esta ultima expresion en la ecuacion (ec,2,12) de Klein-Gordon:[

∂2

∂t2+ p2 + m2

]φ(p, t) = 0 (2.18)

Que al compararla con la ecuacion:

d2x

dt2+ ω2x = 0 (2.19)

Nos enteramos que las componentes de Fourier del Campo Escalar se comportan como osciladoresarmonicos con frecuencia ω2

p = p2 + m2. Pero la forma de cuantizar un oscilador armonico simplees bien conocida. El Hamiltoniano esta dado por:

H =p2

2+

12ω2x2 (2.20)

Donde x y p son respectivamente el operador posicion y momentum. Este Hamiltoniano sediagonaliza si se hace la siguiente secuencia de transformaciones canonicas:

x =√

ω

~x , p =

1√ω~

p

a =1√2(x + ip) , a+ =

1√2(x− ip)

(2.21)

Donde ahora los operadores a y a+ obedecen la relacion de conmutacion: [a, a+] = 1. En termi-nos de los nuevos operadores de creacion a+ y destruccion a, el Hamiltoniano adopta la formaconveniente:

H = ~ω(a+a +12) (2.22)


Recordemos que el espectro del Hamiltoniano escrito de esta manera esta dado por los autoestados|n〉 = (a+)n

√n!|0〉 correspondiente al nivel de energıa En = ~ω(n + 1/2), donde el autoestado |0〉 se

define como el estado de vacıo y es tal que a |0〉 = 0.A partir de la analogıa encontrada, podemos usar el mismo truco para construir el espectro delHamiltoniano para el campo escalar, pero ahora debemos definir operadores de creacion y destruccionpara cada p indexando cada modo de Fourier en la expansion del campo (ec,2,17). Desde la ecuacion(ec,2,21) se puede escribir directamente (donde hemos hecho ~ = 1 para simplificar la escritura):

x =1√2ω

(a+ + a) , p = −i

√ω

2(a− a+) (2.23)

Por lo tanto, la forma obvia para escribir el campo es terminos de operadores de creacion y de-struccion siguiendo esta analogıa la podemos encontrar desde la comparacion de la ecuacion (ec,2,17)con la ecuacion (ec,2,23), teniendo en cuenta que cada modo de Fourier del campo se comporta comoun oscilador armonico (por tanto la analogıa aquı es x → φ(p) y p → π(p)), es decir:

φ(p) =1√2ωp

(a+−p + ap) , π(p) = −i

√ωp

2(ap − a+

−p) (2.24)

φ(x) =∫

d3p

(2π)31√2ωp

(a+−p + ap)eip·x , π(x) =

∫d3p

(2π)3(−i)

√ωp

2(ap − a+

−p)eip·x (2.25)

La generalizacion de las relaciones de conmutacion para los operadores ap y a+p es

[ap, a+q ] = (2π)3δ(3)(p− q) las cuales nos permiten verificar con un poco de algebra las relaciones de

conmutacion (ec,2,16).Ya con todas estas herramientas estamos preparados para calcular el Hamiltoniano del sistema enterminos de los operadores a y a+, los cuales reducen el primero a su forma diagonal:

H =∫

d3p

(2π)3ωp(a+

p ap +12[ap, a

+p ]) (2.26)

Este Hamiltoniano se ve como la suma de infinitos Hamiltonianos de osciladores armonicos departıcula simple, como era de esperarse desde la construccion de la teorıa que hemos venido realizan-do. El ultimo termino del lado derecho es proporcional a δ(0), llevandonos a una integral infinita,pero este termino no es mas que la suma de las energıas de todos los estados de vacıo de cada unode los osciladores simples

∑E0,p =

∑ωp/2, afortunadamente los experimentos miden diferencias

de energıa y por tanto no son capaces de detectar este molesto infinito de la teorıa. Resulta entoncesconveniente escoger este infinito como el nivel de referencia de la energıa y tomarlo como cero, yde esta manera el espectro correspondiente a este Hamiltoniano se construye de la misma maneraque se hizo para el caso de partıcula simple, escogiendo como el estado de vacıo al estado |0〉 de talmanera que ap |0〉 = 0 para cualquier p y el espectro se construye haciendo actuar los operadores decreacion a+

p sobre el estado de vacio para cualquier p, siendo por ejemplo el estado general:

(ap2)H1(ap2)H2 . . . |0〉 (2.27)

El cual corresponde al estado con energıa (n1)wp1+(n2)wp2+ ... A pesar de que la construcciondel espectro se ha hecho en completa analogıa con el oscilador armonico simple, la interpretacion deestos estados es ligeramente diferente; el operador (a†p) crea un estado con momentum asociado p

y energıa wp =√

p2 + m2, el cual puede ser interpretado inmediatamente como una excitacion departıculas y a partir del estado de vacıo podemos construir todas las excitaciones para dar nacimientoa otra. De esta manera hemos logrado construir una teorıa cuantica del campo escalar y aunque la

2.3. CUANTIZACION CANONICA DEL CAMPO ESCALAR 15

metodologıa que se ha empleado esta fuertemente relacionado con el oscilador armonico, el principiosubyacente detras de todas las teorıas de campos es el principio de simetrıa, aun mas alla de lassimetrıas de Lorentz.

El metodo estandar es buscar un lagrangiano que ademas de ser invariante ante el grupo delorentz, lo sea tambien, por ejemplo, bajo la accion del grupo SU(2) (Iso-spin) o SU(3) (cro-modinamica), o aun mas construir lagrangianos de campos que sean invariantes ante el grupo deLorentz SO(3, 1) pero solamente a nivel local (Gravedad). Es pues, detras de las simetrıas que seencuentran la forma de la naturaleza, y es solo la naturaleza misma la que nos indica que tipos desimetrıas, son las permitidas.

El formalismo que hemos aplicado para cuantizar el campo escalar, que es el de escribir los camposen funcion de operadores de creacion y aniquilacion pueden ser igualmente aplicado en la de cualquiercampo clasico, pero siempre resulta mas conveniente utilizar el formalismo de integral de caminode Feynman a la hora de construir cantidades fısicas que pueden ser medidas en el laboratorio[6],particularmente cuando se trata de la cuantizacion de Teorıas de Campo de calibracion como lasmencionadas en el parrafo anterior.


CAPITULO 3

TEORIA GAUGE

3.1. La Funcional Accion

La forma mas elegante de describir una teorıa cuantica de campo es mediante el formalismoLagrangiano. Partimos de la llamada la funcional accion, definida ası:

S ≡∫ τ2

τ1

d4xL (3.1)

Donde L es la densidad lagrangiana. En la funcional accion esta contenida toda la informacionsobre el sistema fısico. En particular, las simetrıas de S estan en correspondencia con las cantidadesconservadas en el sistema.

Por otro lado, la funcional accion es una cantidad matematica y como tal infinita en sus posibil-idades. Es decir existe un grupo de tales funciones que describen razonablemente las teorıas fısicas.Tales acciones deben satisfacer el siguiente grupo de condiciones fısicas.

Primero, deben ser simetricas ante el grupo de transformaciones de Poincare, lo cual refleja laexigencia fısica de que las teorıas obedezcan los axiomas de la relatividad especial. Tambien debenser simetrıas ante los grupo de transformaciones que envuelven nuevos grados de libertad tales comola carga electrica, carga de color y otras cargas. Estos grupos son llamados grupos de simetrıa internao grupos gauge.

Las acciones que describen las partıculas elementales son invariantes ante transformaciones inter-nas que dependen puntualmente del espacio-tiempo. Otro tipo de simetrıa que presentan las accionesfısicas es la invariancia ante el grupo discreto CPT.

Segundo, las funcionales accion deben ser reales reflejando ası el hecho de la conservacion de laprobabilidad total en toda teorıa de campos cuantica.

Tercero, las funcionales accion deben generar ecuaciones diferenciales de movimiento a lo mas desegundo orden, reflejando ası el hecho de presentar soluciones fısicas siempre casuales.

La funcional accion juega un papel de suma importancia tanto desde el punto de vista clasicocomo cuantico. Mediante su extremalizacion se obtienen las ecuaciones de movimiento clasicas y en lateorıa cuantica tiene un papel relevante en la integral de camino de Feynman, base de la formulacionfuncional de la teorıa cuantica de campos.

Algunas acciones importantes en la teorıa cuantica de campos son:

17

18 CAPITULO 3. TEORIA GAUGE

3.1.1. Accion de Klein-Gordon

Partıculas de spin 0: Campos escalares φ(x)

SKG =∫

d4x[12∂µφ(x)∂µφ(x)− V [φ(x)]] (3.2)

3.1.2. Accion de Yang-Milles

Partıculas de spin 1: Campos vectoriales ABµ

SY M = −14

∫d4x[FB

µνFµνB ] (3.3)

FBµν = ∂µAB

ν − ∂νABµ + iFBCDAC

µ ADν

3.1.3. Accion de Dirac

Partıculas de spin 12 : Campos spinoriales Ψ(x)

SD =∫

d4x[ΨΦi(γµ∂µ −m)Ψi] (3.4)

3.2. El principio Gauge

La forma mas elegante de introducir las interacciones en una teorıa de partıculas elementales, esexigiendo que las acciones que describen la materia (spin 1

2 ) pasen de ser invariantes gauge globalesa ser invariantes gauge locales.

El principio gauge afirma que las partıculas intermediarias de fuerza o interaccion entre la materia,surgen como consecuencia directa de exigir que una invariancia gauge global en la accion que describela materia se convierta en una invariancia gauge local. El principio queda bien ilustrado en lossiguientes casos:

”Las partıculas vectoriales de spin 1 (mediadoras de la interaccion electromagnetica, debil yfuerte) aparecen como consecuencia directa de hacer locales las simetrıas gauge (U(1), U(1) ×SU(2), SU(3)) que presentan las acciones de spin 1

2 (leptones, quarks)”. ”Las partıculas tensorialesde spin 2 (interaccion gravitacional) aparecen como consecuencia directa de hacer local la simetrıaespacio-temporal de Poincare en la accion de materia”. Las partıculas de spin 3

2 y 2 aparecen cuan-do teorıas globalmente supersimetricas son generalizadas a teorıas localmente supersimetricas en elespacio-tiempo.

Vamos a centrar nuestra atencion unicamente en el principio gauge aplicado al caso de partıculasde spin 1. Se consideran la simetrıa gauge SU(N) en las acciones de materia ası como la simetrıaU(1) en el caso de la QED.

3.3. El principio Gauge en teorıas de Yang-Mills (no abelianas)

Consideremos acciones de materia invariante globales ante el grupo de simetrıa SU(N).Siguiendo el principio gauge partimos de la accion de materia (fermionica)

S0 =∫

Ψ(x)(γµ∂µ −m)Ψ(x) (3.5)

3.3. EL PRINCIPIO GAUGE EN TEORIAS DE YANG-MILLS (NO ABELIANAS) 19

Donde los campos fermionicos son multipletes que pertenecen a la representacion fundamentaldefinitoria del grupo SU(N) y S0 es invariante gauge global ante el grupo SU(N). Las transforma-ciones bajo SU(N) tiene la forma generica:

U = eiwAT A

A = 1, 2, . . . N2 − 1 (3.6)

Donde TA son los Generadores del grupo WA siendo estos los parametros del grupo que sonconstantes.

Los generadores del grupo cumplen con las siguientes reglas de conmutacion: [TA, TB ] = fABCTC

fABC : constante de estructura del grupoSi convertimos el grupo SU(N) global en un grupo local, esto es wA = wA(x), la accion S0 deja

de ser un invariante ante el grupo:

Ψ(x) → U(x)Ψ(x) (3.7)

δS0 6= 0

Observamos que el problema radica en la forma en que se transforma el operador derivada ∂µ

∂µΨ(X) → ∂µU(x)Ψ(x) 6= U(x)∂µψ(x) (3.8)

Debemos generalizar el operador derivada, para eso definimos un operador derivada covarianteDµ , que se transforme:

DµΨ(x) → U(x)DµΨ(x) (3.9)

Dµ → U(x)DµU−1x

Ası la accion invariante gauge local SU(N) queda:

S =∫

d4x[Ψa(x)(γDµ −m)Ψa(x)] (3.10)

Ahora debemos suponer una forma para el operador derivada covariante siguiendo una general-izacion del principio de mınimo acoplamiento de la QED.

Dµ = ∂µ1 + igAµ(x) (3.11)

Aµ = AAµ TA

O sea por cada generador del grupo SU(N) debemos introducir un campo bosonico intermediario(campos gauge) AA

µ (donde el super-ındice A = 1...N − 1).Como una consecuencia directa del numero de campos bosonicos que se introducen en la derivada

covariante (N2 − 1), estos campos forman automaticamente multipletes que se transforman comomiembros de la representacion adjunta del grupo SU(N).

A partir de la definicion de la derivada covariante es sencillo demostrar la forma en que setransforman los campos:

A8µ(x) = −iU(x)[∂µU†(x)] + U(x)Aµ(x)U†(x) (3.12)

δACµ (x) = −1

g∂µwC(x)− wB(x)AD

µ (x)fBDC

20 CAPITULO 3. TEORIA GAUGE

Lo unico que resta es introducir un termino cinetico invariante gauge local SU(N), la accion deYang-Mills:

SY−M =14

∫d4x(FB

µνFµνB)

Donde:

FBµν = ∂µAB

ν − ∂νABµ + ifabcAµbAνc + fBCDAC

µ ADν ] (3.13)

Donde FBµν es un miembro de la representacion adjunta del grupo SU(N).

La accion completa invariante gauge local SU(N) que describe el sistema de fermiones y bosonesen interaccion y que sirve como punto de partida para la teorıa cuantica es:

S =∫

d4x

[Ψa(x)(γDµ −m)Ψa(x)− 1

4FB

µνFµνB

](3.14)

Hacemos enfasis en que la introduccion de terminos explıcitos de masa para los bosones gauge(M2

2 ABµ AµB) en la accion anterior dana irremediablemente la invariancia gauge local SU(N), ya que

dichos terminos no son invariantes gauge local. En resumen el principio gauge presenta los siguientespasos:

Se comienza con una accion que describe la materia S0 invariante gauge global ante un grupode simetrıas (internas o externas).

Se hacen locales las simetrıas gauge globales y se generaliza la accion inicial S0 por medio dela introduccion del operador derivada covariante Dµ obteniendose la accion S y conservandoası la invarianza gauge.

Se define el operador derivada covariante Dµ en terminos de la derivada corriente. Mas unnumero de campos gauge, igual, al numero de generadores del grupo de simetrıa que seeste tratando (para SU(N), N2 − 1 campos).

A la nueva accion invariante gauge local S, se adiciona un termino cinetico para los camposgauge, de por sı invariante gauge.

La accion ası obtenida contendra terminos que describen la materia, los bosones gauge y lainteraccion.

CAPITULO 4

LA INTEGRAL DE CAMINOS DEFEYNMAN

Como ya hemos mencionado con anterioridad, la teorıa cuantica campos surgio a partir de lanecesidad de reconciliar la mecanica cuantica con los principios de la relatividad especial. Fue enesta misma direccion que en el marco de teorıa cuantica de campos se diseno el formalismo de laintegral de caminos, en la busqueda de la aplicacion de la accion funcional en el contexto de lamecanica cuantica. En principio la integral de caminos fue motivada desde el deseo de obtener unaformulacion de la mecanica cuantica donde el tiempo y el espacio fuesen tratados a un mismo nivel,tal como se hace en relatividad especial. Recordemos que en el formalismo Hamiltoniano usual de lamecanica cuantica, el Hamiltoniano es entonces usado para encontrar el estado del sistema despuesde un tiempo t. Fısicamente lo que uno quiere calcular es la amplitud de transicion del sistemadesde un estado E0 en t0 a un estado E1 en el tiempo t1. De esta manera vemos que el tiempojuega un papel especial en este formalismo y la invariancia manifiesta de la teorıa ante el grupode Lorentz se pierde, a pesar de que posiblemente la respuesta final (la Amplitud de Transicion)sea relativisticamente invariante. Dirac estuvo motivado por encontrar un formalismo alternativodonde el tiempo no tuviese ese caracter especial, para hacer esto Dirac [12] regreso a los principiosfundamentales de la Mecanica Clasica, donde existen dos posibles formalismos para trabajar ladinamica del sistema bajo consideracion: el formalismo Hamiltoniano el cual privilegia el tiempoy lo escoge desde el principio y el formalismo Lagrangiano que no lo hace. Especıficamente el sepregunto sobre el posible papel de la Accion Funcional en Mecanica Cuantica, pero la respuesta yaera conocida: La Accion Funcional es el generador de una transformacion canonica la cual lleva elsistema desde un tiempo a otro. Comencemos entonces este pequeno capıtulo introductorio con unaligera revision de transformaciones canonicas.

4.1. Transformaciones Canonicas en Mecanica Clasica

Desde el formalismo Hamiltoniano sabemos que la dinamica de una partıcula esta regida por lasecuaciones de Hamilton:

dq

dt=

∂H

∂p,

dp

dt= −∂H

∂q(4.1)

21

22 CAPITULO 4. LA INTEGRAL DE CAMINOS DE FEYNMAN

Siendo H el Hamiltoniano del sistema. Estas ecuaciones pueden ser escritas en terminos del loscorchetes de Poisson:

A,Bq,p =∂A

∂q

∂B

∂p− ∂A

∂p

∂B

∂q(4.2)

Donde A y B son funciones arbitrarias de p y q. Ası, las ecuaciones de Hamilton adoptan laforma:

dq

dt= q, H ,

dp

dt= p,H (4.3)

De estas ultimas ecuaciones observamos que para una funcion arbitraria F de q, p y t, su derivadatemporal esta dada por:

dF

dt= F,H+

∂F

∂t(4.4)

Donde el ultimo termino da cuenta de la dependencia explıcita de t. Por otro lado las ecuacionesde Hamilton pueden ser derivadas desde el principio variacional de Lagrange:

δ

∫ t2

t1

dt

(pdq

dt−H(p, q)

)= 0 (4.5)

Sabiendo que las variaciones independientes δq y δp se anulan en los puntos finales. Se dice queuna transformacion p → P, q → Q es canonica si ella deja invariante a las ecuaciones de Hamilton:

dQ

dt=

∂H∂P

,dP

dt= −∂H

∂Q(4.6)

y que por tanto, estas ultimas ecuaciones se pueden derivar igualmente desde el principio varia-cional de Lagrange:

δ

∫ t2

t1

dt

(P

dQ

dt−H(P,Q)

)= 0 (4.7)

De modo tal que las integrales (4.5) y (4.7) pueden diferir maximo por una derivada total, esdecir:

pdq

dt−H(p, q) = P

dQ

dt−H(P,Q) +

dG

dt(4.8)

A la funcion G se le llama funcion generadora de la transformacion canonica. Esta puede dependerde cualquier combinacion del par de las variables del sistema (q, Q), (q, P ), (p,Q) o (p, P ), peroasumiendo que depende solo de las variables independientes (q,Q), entonces su derivada temporalvendra dada por:

dG

dt=

∂G

∂t+

∂G

∂q

∂q

∂t+

∂G

∂Q

∂Q

∂t(4.9)

Reemplazando esto en la ecuacion anterior, obtenemos:(

p− ∂G

∂q

)dq

dt−

(P +

∂G

∂Q

)dQ

dt(4.10)

De tal manera que las variables restantes ahora quedan determinadas por la relacion:

p =∂G

∂q, P = −∂G

∂Q(4.11)

4.1. TRANSFORMACIONES CANONICAS EN MECANICA CLASICA 23

y el nuevo Hamiltoniano estara dado por:

H = H +∂G

∂t(4.12)

Imaginemos ahora una transformacion canonica especial que lleve las viejas variables (q, p) alas nuevas variables (Q,P ) las cuales sean independientes del tiempo. En este caso, conociendo lasecuaciones de transformacion q = q(Q,P, t) , p = p(Q, P, t), sera equivalente a haber resuelto elproblema dinamico, debido a que (Q,P ) son constantes en el tiempo y bastara conocer su valor en eltiempo inicial. Queremos entonces conocer que clase de funcion genera esta transformacion. Debidoa que estamos demandando la condicion:

dQ

dt=

dP

dt= 0 (4.13)

El nuevo Hamiltoniano H sera independiente de Q y de P desde las ecuaciones de Hamilton. Esteultimo podra ser entonces solo una constante, la cual tomaremos por simplicidad igual a cero. Desdela ecuacion (4.12), tomando a (q, Q) como las variables independientes en la funcion generadora,obtenemos:

H

(q, p =

∂S

∂q, t

)= −∂S

∂t(4.14)

Donde hemos llamado S(q, Q = constante, t) a la funcion generadora de la transformacion quebuscamos. La ultima no es mas que la ecuacion de Hamilton- Jacobi. Desde la ecuacion (4.11)sabemos entonces que:

P = −(

∂S

∂Q(q, Q, t)

)

Q=constante

= constante (4.15)

De donde puede ser despejado q como funcion de Q,P y t, para resolver ası el problema dinamico.La derivada temporal de S estara dada por:

dS

dt=

∂S

∂t+

∂S

∂q

dq

dt= L (4.16)

El termino mas a la izquierda no es mas que el Lagrangiano del sistema e integrando esta ultimaecuacion llegamos finalmente a:

S =∫ t1

t0

dt′L (4.17)

Lo que nos muestra que S es la accion considerada como una funcion de (q, Q = q(t0)) y hemosdemostrado que esta es la funcion generadora de una transformacion canonica la cual transforma elsistema de variables de un tiempo a otro.Queremos ahora ver como podemos interpretar este ultimo resultado clasico en Mecanica Cuantica.Sabemos que en Mecanica Cuantica, los operadores (q, p) satisfacen las siguientes relaciones deconmutacion:

[q, q] = [p, p] = 0 , [q, p] = i~ (4.18)

Siendo ~ es la constante de Planck. El estado del sistema puede tomarse para un tiempo dadocomo un autoestado de posicion |q〉, el cual satisface:


q|q〉 = q|q〉 (4.19)〈q|q′〉 = δ(q − q′) (4.20)∫

dq〈q|q′〉 = 1 (4.21)

Donde q es la coordenada correspondiente al autoestado |q〉. En Mecanica Cuantica una trans-formacion canonica de los operadores (p, q) a los operadores (P , Q) es definida de manera tal que nocambia las relaciones de conmutacion fundamentales. Entonces el sistema sera descrito en terminosde los estados |Q〉 los cuales tienen las mismas propiedades que los |q〉. Desde las propiedades (4.21)de estos ultimos, podemos calcular los elementos de matriz de la matriz de mezcla 〈q|Q〉:

〈q|q|Q〉 = q〈q|Q〉 , 〈q|Q|Q〉 = Q〈q|Q〉 (4.22)

Pero de la mecanica cuantica sabemos ademas que:

p |Q〉 = −i~∂

∂q|q〉 (4.23)

Lo que nos conduce a:

〈q|p|Q〉 = i~∂

∂q〈q|Q〉 , 〈q|P |Q〉 = −i~

∂

∂Q〈q|Q〉 (4.24)

De este ultimo par de ecuaciones se sigue que si tomamos:

〈q|Q〉 = e−i~ G(q,Q) (4.25)

Obtenemos:

〈q|p|Q〉 =∂G

∂q〈q|Q〉 , 〈q|P |Q〉 =

∂G

∂Q〈q|Q〉 (4.26)

De manera tal que las relaciones entre operadores para una transformacion canonica en MecanicaCuantica, son:

p =∂G

∂q, P = − ∂G

∂Q(4.27)

Este es el analogo Mecanico Cuantico a las expresiones clasicas (4.11) disenado inicialmente porDirac [12,7].

4.2. La Integral de Camino de Feynmann

Como hemos visto en la seccion anterior, la accion corresponde a la funcion generadora de latransformacion canonica que transforma las coordenadas en un tiempo t0 a un tiempo t1. Por tanto,desde la analogıa Mecanico Cuantica encontrada con q = q′ en t y Q = q en T tenemos:

〈q′t|qT 〉 ∝ ei~R t

TdtL (4.28)

Donde el sımbolo ∝ da cuenta de alguna perdida de coneccion entre los dos lados de la ecuaciondebido a la validez finita de todas las consideraciones hechas por Dirac para arrivar a la analogıa

4.2. LA INTEGRAL DE CAMINO DE FEYNMANN 25

mecanico cuantica. En efecto, veremos que la igualdad no se cumple cuando el intervalo T − t esfinito. Para mostrar esto, partimos este intervalo en N intervalos infinitesimales ta = t + aε tal queNε = T − t y ε un parametro infinitesimal constante. Denotando qta

= qa y usando las relacion decompletitud (4.21) para cada ta podemos escribir la parte izquierda de la ultima ecuacion ası:

〈q′t|qT 〉 =∫

dq1dq2...dqN−1〈q′t|q1〉〈q1|q2〉...〈qN−1|qT 〉 (4.29)

Pero por otro lado la parte derecha de (4.28) sera:

e−i~R T

tdtL = e

− i~“R t1

t dtL+R t2

t1+...+

R TtN−1

”

= 〈q′t|q1〉〈q1|q2〉...〈qN−1|qT 〉 (4.30)

La cual difiere de la expresion correcta por la ausencia de la integracion entre estados intermedios.Sin embargo, si se asume que (4.28) es una igualdad solo para intervalos infinitesimales (salvo unaconstante multiplicativa), tales como los que estan dentro de la integracion sobre estados intermediosen (4.29), es decir, si:

〈q′t|qt+δt〉 = Ae−i~ δtL(q′t,qt+δt) (4.31)

Evitaremos el conflicto de esta definicion con la expresion mecanico cuantica (4.29). Esto esexactamente lo que Feynman hizo [18,19] y nos lleva precisamente a la Integral de Caminos deFeynman, la cual ahora podra ser escrita en la forma:

〈q′t|qT 〉 = lımN→∞

AN

∫ (N−1∏

i=1

dqi

)e

i~R t

TL(q,q)

≡∫Dqe

i~S(t,T,[q])

(4.32)

Donde la ultima expresion es solo una forma de ocultar nuestra falta de conocimiento acerca dela medida de integracion. En palabras, esta formula significa que si queremos calcular la amplitudde probabilidad de que una partıcula inicialmente en el estado qT este posteriormente en el estadoqt en el tiempo t, debemos sumar sobre todos los posibles caminos que la partıcula puede tomarpara ir desde qT a qt pesando la suma por la exponencial de i/~ veces la accion evaluada en talcamino en particular. Esta formulacion presenta claramente la diferencia entre mecanica clasica ycuantica, en la primera la partıcula toma solo un camino para ir desde qT a qt, pero en la segundatodos los posibles caminos contribuyen. La distincion se hace aun mas evidente en el lımite clasico~→ 0; en este lımite el integrando oscilara muy rapidamente y por tanto tendera a anularse, salvoen el caso en que S sea aproximadamente constante, y este ultimo corresponde al caso cuando S esestacionaria, lo que sucede solo en el caso en que la trayectoria q(t) sea la clasica. Por tanto, en ellimite ~→ 0, la integral de caminos escoge la trayectoria clasica como la mas probable.

Una buena ilustracion y un ejemplo sencillo del uso de la Integral de Caminos es el osciladorarmonico forzado, ademas de que este ejemplo nos permitira evolucionar de una manera mas suaveal caso del campo escalar en Teorıa de Campos. Queremos calcular la amplitud de transicion desdeun estado inicial Q en T a un estado final Q′ en t:

〈Q′t|QT 〉 =

∫Dqe

R tT

dt( 12 q2− 1

2 ω2q2+F (t)q(t)) (4.33)


Como veremos mas adelante, una de las caracterısticas de la Integral de Caminos, es que losintegrandos en ella son siempre puramente oscilatorios y por tanto divergentes en su mayorıa, ası quees usual adoptar una forma de restaurar la convergencia de la integral a traves de un factor deamortiguamiento dentro de la exponencial de la forma:

−12

∫ t

T

dtiεq2(t) , ε ≥ 0 (4.34)

De manera tal que al final del calculo se toma el limite ε → 0. El integrando queda por tanto escritoahora como:

e(iR t

Tdt[ 1

2 q2− 12 (ω2−iε)q2+Fq]) (4.35)

Asumamos ahora que queremos calcular la amplitud de transicion entre un estado Q en el infinitopasado a un estado Q′ en el infinito futuro en la presencia de una fuerza externa. Para hacer estecalculo, es conveniente introducir la transformada de Fourier, definida a traves de:

G(t) =∫ ∞

−∞

dE√2π

eiEtG(E) y su inversa: (4.36a)

G(E) =∫ ∞

−∞

dt√2π

e−iEtG(t) (4.36b)

Siendo G alguna funcion arbitraria de t y su transformada de G . Expresando q y F en terminosde su transformada de Fourier:

[q2 − (ω2 − iε)q2] =∫ ∞

−∞

dE√2π

dE′√

2πei(E+E′)t[−EE′ − ω2 + iε]q(E)q(E′) (4.37)

F (t)q(t) =12

∫ ∞

−∞

dE√2π

dE′√

2πei(E+E′)t[q(E)F (E′) + q(E′)F (E)] (4.38)

De manera tal que el exponente en la integral de caminos queda escrito en la siguiente forma:

ei2

R∞−∞ dEdE′δ(E+E′)[(−EE′−ω2+iε)q(E)q(E′)+q(E)F (E′)+q(E′)F (E)]

=ei2

R∞−∞ dE[(E2−ω2+iε)q(E)q(−E)+q(E)F (−E)+q(−E)F (E)]

(4.39)

Donde se ha usado la representacion integral de la funcion delta de Dirac:

δ(E − E′) =∫

dt

2πei(E−E′)t (4.40)

Haciendo ahora el cambio de variable:

q′(E) = q(E) +F (E)

E2 − ω2 + iε(4.41)

Podemos escribir la amplitud de transicion en la forma conveniente:

〈Q′∞|Q−∞〉F = e− i

2

RdE

F (E)F (−E)E2−ω2+iε

∫Dqe

i2 dEq′(E)(E2−ω2+iε)q′(−E) (4.42)

Donde nos hemos aprovechado del hecho de que la medida es invariante ante el cambio decoordenadas que hemos hecho Dq′ = Dq. El ultimo termino del lado derecho corresponde a la

4.3. LA INTEGRAL DE CAMINO DE FEYNMAN EN TEORIA DE CAMPOS 27

amplitud de transicion en el caso en el que F = 0, como lo vemos claramente de la (ec. 4.37).Asumamos ahora que lo que nosotros queremos calcular es la amplitud de transicion entre el estadode vacıo en el infinito pasado |Ω−∞〉 y el mismo estado en el infinito futuro |Ω∞〉, entonces la ultimaformula nos conduce a:

〈Ω∞|Ω−∞〉F = 〈Ω∞|Ω−∞〉F=0 e− i

2

RdE

F (E)F (−E)E2−ω2+iε (4.43)

Pero el termino 〈Ω∞|Ω−∞〉F=0, corresponde a la amplitud de transicion del estado de vacıo enel infinito pasado al vacıo en el infinito futuro sin ninguna fuente externa aplicada, por tanto debede ser igual a 1, porque en ausencia de alguna fuente externa el sistema debera permanecer en elvacıo. Por tanto, el ultimo termino del lado derecho de la ultima ecuacion corresponde a la amplitudde transicion para que el sistema vaya del vacıo en el infinito pasado al vacıo en el infinito futuro enla presencia de una fuente externa. Esta ultima la denotamos por W [F ] y definimos Z[F ] como:

W [F ] ≡ e− i

2

RdE

F (E)F (−E)E2−ω2+iε ≡ eiZ[F ] (4.44)

Si nos cambiamos de nuevo a la forma temporal, obtenemos:

W [F ] ≡ e−i2

RdtF (t)D(t−t′)F (t′)dt′ (4.45)

Donde D(t − t′) =∫∞−∞

dE2π

e−i(t−t′)E

E2−ω2+iε , de manera que el problema del calculo de la amplitudconsiderada se reduce al calculo de este ultimo. Usando el teorema de integracion de Cauchy, no esdifıcil darse cuenta que:

D(t) =1

2iω[θ(t)eiωt + θ(−t)eiωt] (4.46)

Siendo θ la funcion paso θ(x) = 1 para x > 0 y θ(x) = 0 para x < 0. Ademas, por diferenciarD(t) obtenemos que ella satisface:

(d2

dt2+ ω2

)D(t) = −δ(t) (4.47)

Lo que nos muestra que D(t) es la funcion de Green para el operador diferencial correspondientea las ecuaciones de movimiento del oscilador armonico d2

dt2 + ω2. Este ejemplo nos muestra comoextraer las funciones de Green desde la transicion vacıo-vacıo del sistema en presencia de algunafuente externa, es decir:

D(t− t′) =[(−i)2

δ

δF (t)δ

δF (t′)W [F ]

]

F=0

(4.48)

Con todas las herramientas desarrolladas en esta pequena seccion, estamos listos para generalizarel formalismo de la integral de caminos al caso de Teorıa de Campos.

4.3. La Integral de Camino de Feynman en Teorıa de Campos

En esta seccion generalizaremos el formalismo de la Integral de caminos de Feynman a Teorıa deCampos [19], usando la Teorıa de Campos mas simple: un campo escalar masivo autointeractuante,el cual es descrito por la accion:

S =∫

d4x

[12∂µφ∂µφ− 1

2m2φ2 − V (φ)

](4.49)


De tal manera que la amplitud vacıo-vacıo en presencia de alguna fuente externa J estara dadapor:

〈Ω|Ω〉J ≡ W [J ] = N

∫Dφei

Rd4x[ 1

2 ∂µφ∂µφ− 12 m2φ2−V (φ)+Jφ] (4.50)

El integrando en esta integral es oscilatorio y por tanto divergente, pero la tecnica para recobrarla convergencia en este caso es hacer una continuacion analıtica del espacio de Minkowsky al espacioEuclidiano, la cual se logra por rotar el tiempo x0 = −ix0, de manera que la medida de integracioncambia como d4x = −id4x y ∂µφ∂µφ = −∂µφ∂µφ, donde las variables barradas denotan coordenadaseuclıdeas. Haciendo esta continuacion observamos que la integral es ahora convergente y adopta laforma:

WE [J ] = N

∫Dφe−

Rd4x[ 1

2 ∂µφ∂µφ+ 12 m2φ2+V (φ)−Jφ] (4.51)

Si fuese posible calcular exactamente el valor de la anterior integral, el problema en consideracionestarıa resuelto, y casi cualquier informacion fısicamente importante podrıa calcularse a traves deesta cantidad; el problema fundamental radica en que este tipo de integrales no se resuelven de unamanera trivial y aun mas actualmente todavıa se dan profundas discusiones acerca de la consistenciamatematica de la definicion de la Integral de Caminos [18,19]. Sin embargo, la anterior integral puedeser calculada perturbativamente a todos los ordenes (en el caso en que la teorıa sea renormalizable)y aun aunque el analisis es no exacto, desde el se puede extraer toda la informacion que necesitamosfısicamente.

Como vimos en la seccion anterior, la amplitud vacıo-vacıo W [J ] (o funcional generatriz como esusualmente llamada en teorıa de campos) es utilizada para extraer las funciones de Green, las cualesa su vez corresponden a los coeficientes en la expansion funcional (expansion en serie de Taylor anivel funcional) de W [J ] (Idea debida a Shwinger [20]), es decir:

W [J ] =∞∑

N=0

(i)N

N !

∫d4x1d

4x2...d4xNJ(x1)J(x2)....J(xN )G(N)(x1, x2, ...xN ) (4.52)

Donde los coeficientes G(N) son justamente las funciones de Green de N puntos, dadas por:

G(N)(x1, x2, ...xN ) =[

1(i)N

δ

δJ(x1)δ

δJ(x2)...

δ

δJ(xN )W [J ]

]

J=0

(4.53)

Como vemos, este es uno de los abordes perturbativos a la teorıa, y hemos logrado escribir lafuncional generatriz perturbativamente en terminos de cantidades que contiene valiosa informacionfısica, como lo veremos, principalmente las funciones de Green escritas en el p-espacio (p son lascoordenadas en el espacio de Fourier de las respectivas transformaciones de Fourier) correspondena las amplitudes de transicion. Las funciones de Green pueden ser calculadas igualmente desde laversion ”‘euclidianizada”‘ de la funcional generatriz, y su relacion con las anteriores estara dada porla continuacion analıtica ya mencionada. Como fue mencionado en la seccion anterior, otra formade recobrar la convergencia de la funcional W es a traves de la introduccion de un termino deamortiguamiento, el cual introduciremos ahora, en analogıa con lo hecho para el caso del osciladorarmonico en una dimension, tomando V (φ) = 0:

W0[J ] ≡ N

∫Dφei

Rd4x[ 1

2 ∂µφ∂µφ− 12 (m2−iε)φ2+Jφ] (4.54)

En este caso debemos usar la transformada de Fourier en 4 dimensiones definida por:

4.3. LA INTEGRAL DE CAMINO DE FEYNMAN EN TEORIA DE CAMPOS 29

G(x) =∫ ∞

−∞

d4p

(2π)2eip·xG(p) y su inversa: (4.55a)

G(p) =∫ ∞

−∞

d4x

(2π)2e−ip·xG(x) (4.55b)

El exponente es ahora facilmente escrito en terminos de las transformadas de Fouries de J y φ:

i

2

∫d4p[φ′(p)[p2 −m2 + iε]φ′(−p)− J(p)[p2 −m2 + iε]−1J(−p)] (4.56)

Donde hemos hecho el cambio φ′(p) = φ(p) + [p2 −m2 + iε]J(p), lo que nos conduce a:

W0[J ] = Ne− i

2

Rd4p

|J|2p2−m2+iε

∫Dφ′ei

Rd4p( 1

2 ∂µφ′∂µφ′− 12 (m2−iε))φ′2 (4.57)

Y analogo a lo que encontramos en el caso del oscilador armonico, observamos que el primertermino del lado derecho corresponde a W0[0], por tanto:

W0[J ] = W0[0]e−i2

Rd4p

|J|2p2−m2+iε (4.58)

Usando ahora la transformada inversa de Fourier, obtenemos finalmente para la funcional gen-eratriz:

W0[J ] = W0[0]e− i2

Rd4xd4yJ(x)∆F (x−y)J(y) (4.59)

Donde se ha definido:

∆F (x− y) =∫

d4p

(2π)4e−ip·(x−y)

p2 −m2 + iε(4.60)

Por diferenciacion directa, podemos observar que la funcion anterior satisface la siguiente ecuaciondiferencial:

(∂µ∂µ + m2)∆F (x− y) = −δ(4)(x− y) (4.61)

Mostrando de esta manera que ∆F (x− y) es la funcion de Green correspondiente a la ecuacionde movimiento del campo escalar masivo, o ecuacion de Klein-Gordon. Ahora estamos preparadospara interpretar las funciones de Green construidas desde W0 usando (4.53), por ejemplo a dos ycuatro puntos obtenemos:

G(2)0 (x1, x2) = i∆F (x1 − x2) (4.62a)

G(4)0 (x1, x2, x3, x4) = −[∆F (x1 − x2)∆F (x3 − x4) + ∆F (x1 − x3)∆F (x2 − x4) (4.62b)

+ ∆F (x1 − x4)∆F (x2 − x3)] (4.62c)

Observamos entonces que las funciones de Green a un numero impar de puntos se anulan, estopor la dependencia J de W , ademas solo dependen de la diferencia entre las coordenadas, esto debidoa la invariancia rotacional de la teorıa (mas precisamente, invarianza de Lorentz).

Observamos tambien que las funciones de Green de orden superior son escritas todas en terminosde G

(2)0 . De nuevo, analogo al oscilador armonico, definimos:

W [J ] = eiZ[J] (4.63)


∆F (x − y) puede ser interpretado fısicamente como el propagador de una partıcula de masa mque se crea en el punto x y se propaga al punto y, y por tanto G0(x−y) puede ser interpretado comola amplitud de probabilidad de que ese proceso ocurra. Feynman invento una manera diagramaticade representar las funciones de Green en esta forma:

G0(x, y) → x2x1 (4.64)

Y para funciones de orden superior se suman cada vez mas funciones de dos puntos al diagrama.Las reglas para dibujar e interpretar estos diagramas sera vista con mas detalle en la seccion derenormalizacion en este mismo volumen.

G0(x1, x2, x3, x4) → x2

x1

x4

x3

x2

x1

x4

x3

x2

x1

x4

x3

(4.65)

CAPITULO 5

CUANTIZACION DE LA TEORIA DECAMPO Y LA TEORIA ABC

5.1. La Teorıa ABC, libre

Esta es una teorıa que describe la interaccion entre tres partıculas escalares reales con masadiferentes, las cuales rotularemos con los nombres A, B y C respectivamente. El lagrangiano quedescribe estos tres campos sin interaccion entre ellos es:

L(A,B, C) =12∂µA∂µA +

12∂µB∂µB +

12∂µC∂µC − 1

2m2

AA− 12m2

BB − 12m2

CC

=12(∂µA∂µA + m2

AA2) +12(∂µB∂µB + m2

BB2) +12(∂µC∂µC + m2

CC2) (5.1)

Ahora consideremos el metodo desarrollado por Feynman, para cuantizar la teorıa. Esto es cono-cido como la formulacion de la integral de camino explicado en el capitulo anterior.

Esta expresion escrita para el caso de la teorıa A,B, C es

〈final|salida〉 =∫DADBDCeiS[ABC] (5.2)

Ahora adicionando un termino de fuente, de la forma JA(x)A(x) por cada campo en el L,obtenemos la funcional generatriz de todas las funciones de Green, W [JA, JB , JC ], dada por:

W0[JA, JB , JC ] =∫DADBDCei

Rd3x[L+JA(x)A(x)+JB(x)B(x)+JC(x)C(x)] (5.3)

Ahora las funciones de Green de la teorıa pueden ser generadas, para ello se calculara la funcionalgeneratriz Z[JA, JB , JC ], como una serie perturbativa en λ, primero partimos del caso sin interaccion:

Z0[JA, JB , JC ] =∫DADBDCei

Rd3x[ 12 (∂µA∂µA−m2

AA)+(∂µB∂µB−m2BB)+(∂µC∂µC−m2

CC)] (5.4)

31

32 CAPITULO 5. CUANTIZACION DE LA TEORIA DE CAMPO Y LA TEORIA ABC

Ya que, para el campo A tenemos:

∂µ(A∂µA) = ∂µA∂µA + A∂µ∂µA (5.5)

Ahora podemos escribir para el campo A

∫d3x

12[∂µ(A∂µA−A∂µ∂µA−m2

AA2] =12

∫d3x∂µ(A∂µA)− 1

2

∫d3xA(∂µ∂µ + m2

A)A (5.6)

La primera integral del lado derecho es cero al convertirla en una integral de superficie. De igualforma se puede para los campos B y C, esto nos lleva a:

Z0[JA, JB , JC ] =∫DADBDC

e−iR

dx[ 12 A(∂µ∂µ+m2A)A+ 1

2 B(∂µ∂µ+m2B)B+ 1

2 C(∂µ∂µ+m2C)C−JAA−JBB−JCC]

(5.7)

Como podemos ver, la ecuacion (5.7) es de la forma:

1(2π)

n2

∫ ∞

−∞dy1dy2 . . . dyne−

12 Y T AY +ρT Y = e−

12 TrlnAe

12 ρT A−1ρ (5.8)

Donde ρ es un vector columna y A−1 existe porque A es definido positivo. Aplicando la ecuacion(5.8) a la integral de camino (5.7) tenemos:

Z0[JA, JB , JC ] = e−12 Trln(∂µ∂µ+m2

A)e−12 Trln(∂µ∂µ+m2

B)e−12 Trln(∂µ∂µ+m2

C)

e12 J†A(∂µ∂µ+m2

A)−1JAe12 J†B(∂µ∂µ+m2

B)−1JBe12 J†C(∂µ∂µ+m2

C)−1JC

(5.9)

Dado que: (∂µ∂µ + m2A), (∂µ∂µ + m2

B) y (∂µ∂µ + m2C) son operadores; estos deben ser tratados

utilizando la transformada de Fourier para calcular la traza, ası que, consideremos el caso:

PA(x8, x) = (∂µ∂µ + m2A)δ(x8 − x) (5.10)

Donde la funcion delta de Dirac es:

δ(x8 − x) =∫

d4p

(2π)4eip¦(x8−x) (5.11)

Ası:

PA(x8 − x) = (∂µ∂µ + m2A)

∫d4p

(2π)4ei¦p(x8−x)

= ∂µ∂µ

∫d4p

(2π)4eip¦(x8−x) + m2

A

∫d4p

(2π)4ei¦p(x8−x)

=∫

d4p

(2π)4(ipµ)(ipµ)eip¦(x8−x) + m2

A

∫d4p

(2π)4eip¦(x8−x)

PA(x8 − x) =∫

d4p

(2π)4ei¦p(x8−x)[−p2 + m2

A]

(5.12)

5.1. LA TEORIA ABC, LIBRE 33

Por tanto el inverso P−1A (x8 − x) =Mf (x8 − x) es

Mf (x8 − x) =−1

(2π)4

∫d4peip¦(x8−x) 1

p2 −m2A

(5.13)

Como se puede verificar

PA(x8, x) Mf (x8, x) = (∂µ∂µ + m2A)

[−

∫d4p

(2π)4eip¦(x8−x)

p2 −m2A

]

= −∫

d4p

(2π)4

[ip ¦ ip + m2

A

p2 −m2A

]eip¦(x8−x)

= −∫

d4p

(2π)4eip¦(x8−x)

PA(x8 − x) Mf (x8 − x) = δ(x8 − x) (5.14)

De esta manera la funcional generatriz Z[JA, JB , JC ] es:

Z0[JA, JB , JC ] ≈ N(ei2

Rd4xd4x8JA(x8)MfA

(x8−x)JA(x))(

ei2

Rd4xd4x8JB(x8)MfB

(x8−x)JB(x))

(e

i2

Rd4xd4x8JC(x8)MfC

(x8−x)JC(x)) (5.15)

La constate de proporcionalidad en la ecuacion (5.17) se escoge de tal manera que Z0[JA, JB , JC ] =1 cuando JA = JB = JC = 0.

Entonces ahora podemos obtener la funcion de dos puntos, por ejemplo para el campo A, la cualse obtiene derivando funcionalmente respecto a las fuentes, resultando:

δ2Z0[JA, JB , JC ]δJA(x1)δJA(x2)

|JA=JB=Jc=0 =δ

δJA(x2)

[i

∫d4x8JA(x8) MfA (x1 − x8)

ei2

Rd4xd4x8JAMFA

JAei2

Rd4xd4x8JBMFB

JBei2

Rd4xd4x8JCMFC

JC

]

= i MfA(x1 − x2)e(JA)e(JB)e(JC) +

∫id4x8JA(x8) MfA

(x1 − x8)∫

id4x8JA(x1) MfA (x2 − x8)eJAeJBeJC (5.16)

Tomando JA = JB = JC = 0

δ2Z0[JA, JB , JC ]δJA(x1)δJA(x2)

∣∣∣JA=JB=Jc=0

= i MfA(x1 − x2) (5.17)

De las ecuaciones (2.15) y (2.19) tenemos:


i2〈0|T (A(x1)A(x2))|0〉 (5.18)

Ası que i MfA(x1−x2) es el propagador de la partıcula escalar A y se representa por el diagrama:

x2x1

p

mA,B,C

De igual forma se procede para obtener los propagadores de los campos B y C.Ahora se introduce el termino de interaccion LI = −λABC, y la funcional generatriz es:

Z[J

A,B,C

]=

∫ DADBDCeiS0+iR

d3xLI+iR

d3x(JA

(x)A(x)+JB

(x)B+JC

(x)C(x))∫ DADBDCeiS0+i

Rd3xLI

(5.19)

en la ecuacion (5.19) se puede ver que la constante de proporcionalidad es tal que Z[J

A,B,C

] |JA=JB=JC=0 =1.

Ahora escribimos la funcional Z de la forma:

Z[JA,B,C

] ≈ N

∫DADBDCeiS0+i

Rd3xLI+i

Rd3x(J

A(x)A(x)+J

B(x)B+J

C(x)C(x)) (5.20)

Dado que LI = −λABC y la constante de acoplamiento λ << 1, tenemos

Z[JA,B,C

] ≈∫DADBDC

(1 + i

∫d3x(−λABC) +

12!

i

∫d3y(−λABC)

i

∫d3x(−λABC) + · · ·

)eiS0+i

Rd3x(J

A(x)A(x)+J

B(x)B+J

C(x)C(x))

Z[JA,B,C

] ≈∫DADBDCeiS0+i

Rd3x(J

A(x)A(x)+J

B(x)B+J

C(x)C(x))

+i

∫DADBDC

∫d3x(−λABC))eiS0+i

Rd3x(J

A(x)A(x)+J

B(x)B+J

C(x)C(x))

+O(λ2) (5.21)

por otro lado, se tiene:

iAeiS0+iR

d3x(JA

(x)A(x)+JB

(x)B+JC

(x)C(x)) =δ

δJA

eiS0+iR

d3x(JA

(x)A(x)+JB

(x)B+JC

(x)C(x)) (5.22)

Y expresiones similares para los campos B y C. Esto nos conduce a las siguientes relaciones,entre los campos y las derivadas funcionales A = −i δ

δJA

, B = −i δδJ

By C = −i δ

δJC

, con lo quepodemos expresar el Lagrangiano de interaccion de la siguiente forma:

LI = −λABC = −λ

(−i

δ

δJA

)(−i

δ

δJB

)(−i

δ

δJC

)= −iλ

δ

δJA

δ

δJB

δ

δJC

, (5.23)


Es decir, hemos expresado el Lagrangiano de interaccion como una funcion de derivadas fun-cionales. Reemplazando (5.23) en (5.21), resulta

Z[J

A,B,C

]= Z0

[J

A,B,C

]+ i

∫DADBDC

∫d3x

(−iλ

δ

δJA

δ

δJB

δ

δJC

)

eiS0+iR

d3x(JA

(x)A(x)+JB

(x)B+JC

(x)C(x)) +O(λ2). (5.24)

Donde la integral de camino del primer termino del lado derecho de la ecuacion (5.21) fuerealizada, ya que esta integral es cuadratica en los campos ecuacion (5.15), siendo

Z0

[J

A,B,C

] ≈ Nei2R

d4xd4x′(JA

(x)∆A

(x−x′)JA

(x′))e

i2R

d4xd4x′(JB

(x)∆B

(x−x′)JB

(x′))

ei2R

d4xd4x′(JC

(x)∆C

(x−x′)JC

(x′)), (5.25)

Con ∆A(x − x′), ∆

B(x − x′) y ∆

C(x − x′) los propagadores de Feyman de los campos A, B y

C respectivamente. En la ecuacion (5.24), podemos observar que es posible sacar de la integral decamino el termino de interaccion y de esta forma realizar nuevamente la integral de camino sobrelas campos A, B y C, con lo cual llegamos a

Z[J

A,B,C

]= Z0

[J

A,B,C

]+

∫d3x

(λ

δ3

δJA(x)δJB (x)δJC (x)

)Z0

[J

A,B,C

]

+ O(λ2). (5.26)

Teniendo

δ

δJA(x)Z0

[J

A,B,C

]=

∫dx′i∆

A(x− x′)J

A(x′)Z0

[J

A,B,C

](5.27)

La funcional generatriz de todas las funciones de green hasta orden λ, es:

Z[JA,B,C

]= Z0

[JA,B,C

]+ λ

∫d3x

(δ

δ2JA(x)δJB (x)

)

×[∫

dx′i∆C(x− x′)J

C(x′)Z0

[J

A,B,C

]]+O(λ2)

Z[J

A,B,C

]=

[1 + λ

∫d3x

∫dx′i∆

C(x− x′)J

C(x′)

∫dx′i∆

B(x− x′)J

B(x′)

×∫

dx′i∆A(x− x′)J

A(x′)

]Z0

[J

A,B,C

]+O(λ2) (5.28)

A partir de (5.28), facilmente podemos obtener las funciones de green a orden λ, ya que estas sedefinen como:

inG(n)(x1, ..., xn) =δ(n)Z

[JA,B,C

]

δJA(x1)δJA(x2)...δJA(xn)

∣∣∣J

A,B,C=0

. (5.29)


La funcion de Green de dos puntos, sera:

i2G(2)(x1, x2) =δ(2)Z0

[J

A,B,C

]

δJA,B,C(x1)δJA,B,C(x2)

∣∣∣J

A,B,C=0

+ O(J). (5.30)

x2x1

p

mA,B,C

G(2)(x1, x2) = −i

p2−m2

A,B,C

La de tres puntos es

x

x1 x2

x3

A B

C

−λG(3)(x1, x2, x3) = −λ∫

d3xG(2)C

(x3, x)G(2)B

(x2, x)G(2)A

(x1, x)

Para observar las correcciones cuanticas que se originan debido a la interaccion, es necesario quevayamos a terminos de mayor orden en λ. De esta forma la funcional generatriz Z de todas lasfunciones de green hasta orden λ4 sera:

Z[JA,B,C

]=

(1 + i

∫d3xLI +

i2

2!

∫d3xd3y(LI)2 +

i3

3!

∫d3xd3yd3z(LI)3

+i4

4!

∫d3xd3yd3zd3t(LI)4 +O(λ5)

)Z0

[J

A,B,C

](5.31)

Debido a la forma de la interaccion, y ademas al hecho de que la funcional Z0 es posible separarlaen una parte para cada campo, la derivacion de esta funcional no es muy difıcil, ver apendice

Z[J

A,B,C

]=

(1 +O(λ) +O(λ2) +O(λ3) +O(λ4)

)Z0

[J

A,B,C

], (5.32)

Donde el termino a orden λ es:

O(λ) = λ

∫d3x

[i

∫dx′∆

A(x− x′)J

A(x′)i

∫dx′∆

B(x− x′)J

B(x′)

]

[×i

∫dx′∆

C(x− x′)J

C(x′)

], (5.33)

El de orden λ2, es

O(λ2) =λ2

2!

∫d3xd3y

[i∆

A(x− y) + i

∫dx′∆

A(x− x′)J

A(x′)i

∫dx′∆

A(y − x′)J

A(x′)

]

×[i∆

B(x− y) + i

∫dx′∆

B(x− x′)J

B(x′)i

∫dx′∆

B(y − x′)J

B(x′)

]

×[i∆C (x− y) + i

∫dx′∆C (x− x′)JC (x′)i

∫dx′∆C (y − x′)JC (x′)

](5.34)


El siguiente orden λ3 resulta ser:

O(λ3) =iλ3

3!

∫d3xd3yd3z

[i∆

A(x− y)i

∫dx′∆

A(z − x′)J

A(x′) + i∆

A(x− z)

×i

∫dx′∆

A(y − x′)J

A(x′) + i∆

A(y − z)i

∫dx′∆

A(x− x′)J

A(x′)

+i

∫dx′∆

A(x− x′)J

A(x′)i

∫dx′∆

A(y − x′)J

A(x′)i

∫dx′∆

A(z − x′)J

A(x′)

]

×[i∆

B(x− y)i

∫dx′∆

B(z − x′)J

B(x′) + i∆

B(x− z)i

∫dx′∆

B(y − x′)J

B(x′)

+i∆B (y − z)i∫

dx′∆B (x− x′)JB (x′) + i

∫dx′∆B (x− x′)JB (x′)

i

∫dx′∆B (y − x′)JB (x′)i

∫dx′∆B (z − x′)JB (x′)

] [i∆C (x− y)i

∫dx′∆C (z − x′)JC (x′)

+i∆C(x− z)i

∫dx′∆

C(y − x′)J

C(x′) + i∆

C(y − z)i

∫dx′∆

C(x− x′)J

C(x′)

+i

∫dx′∆

C(x− x′)J

C(x′)i

∫dx′∆

C(y − x′)J

C(x′)i

∫dx′∆

C(z − x′)J

C(x′)

](5.35)

Y por ultimo para nuestro interes, tenemos el termino de orden


λ4, el cual es

O(λ4) =λ4

4!

∫d3xd3yd3zd3t

[i∆A(x− y)i∆A(z − t) + i∆A(x− y)i

∫dx′∆A(z − x′)JA(x′)

×i

∫dx′∆

A(t− x′)J

A(x′) + i∆

A(x− z)i∆

A(y − t) + i∆

A(x− z)i

∫dx′∆

A(y − x′)J

A(x′)

×i

∫dx′∆A(t− x′)JA(x′) + i∆A(x− t)i∆A(y − z) + i∆A(y − z)i

∫dx′∆A(x− x′)JA(x′)

×i

∫dx′∆A(t− x′)JA(x′) + i∆A(x− t)i

∫dx′∆A(y − x′)JA(x′)i

∫dx′∆A(z − x′)JA(x′)

+i∆A(y − t)i

∫dx′∆

A(x− x′)J

A(x′)i

∫dx′∆

A(z − x′)J

A(x′) + i∆

A(z − t)

×i

∫dx′∆

A(x− x′)J

A(x′)i

∫dx′∆

A(y − x′)J

A(x′) + i

∫dx′∆

A(x− x′)J

A(x′)

×i

∫dx′∆

A(y − x′)J

A(x′)i

∫dx′∆

A(z − x′)J

A(x′)i

∫dx′∆

A(t− x′)J

A(x′)

]

×[i∆

B(x− y)i∆

B(z − t) + i∆

B(x− y)i

∫dx′∆

B(z − x′)J

B(x′)

×i

∫dx′∆

B(t− x′)J

B(x′) + i∆

B(x− z)i∆

B(y − t) + i∆

B(x− z)i

∫dx′∆

B(y − x′)J

B(x′)

×i

∫dx′∆

B(t− x′)J

B(x′) + i∆

B(x− t)i∆

B(y − z) + i∆

B(y − z)i

∫dx′∆

B(x− x′)J

B(x′)

×i

∫dx′∆B (t− x′)JB (x′) + i∆B (x− t)i

∫dx′∆B (y − x′)JB (x′)i

∫dx′∆B (z − x′)JB (x′)

+i∆B (y − t)i∫

dx′∆B (x− x′)JB (x′)i∫

dx′∆B (z − x′)JB (x′) + i∆B (z − t)

×i

∫dx′∆

B(x− x′)J

B(x′)i

∫dx′∆

B(y − x′)J

B(x′) + i

∫dx′∆

B(x− x′)J

B(x′)

×i

∫dx′∆B (y − x′)JB (x′)i

∫dx′∆B (z − x′)JB (x′)i

∫dx′∆B (t− x′)JB (x′)

]

×[i∆

C(x− y)i∆

C(z − t) + i∆

C(x− y)i

∫dx′∆

C(z − x′)J

C(x′)

×i

∫dx′∆C (t− x′)JC (x′) + i∆C (x− z)i∆C (y − t) + i∆C (x− z)i

∫dx′∆C (y − x′)JC (x′)

×i

∫dx′∆

C(t− x′)J

C(x′) + i∆

C(x− t)i∆

C(y − z) + i∆

C(y − z)i

∫dx′∆

C(x− x′)J

C(x′)

×i

∫dx′∆

C(t− x′)J

C(x′) + i∆

C(x− t)i

∫dx′∆

C(y − x′)J

C(x′)i

∫dx′∆

C(z − x′)J

C(x′)

+i∆C (y − t)i∫

dx′∆C (x− x′)JC (x′)i∫

dx′∆C (z − x′)JC (x′) + i∆C (z − t)

×i

∫dx′∆

C(x− x′)J

C(x′)i

∫dx′∆

C(y − x′)J

C(x′) + i

∫dx′∆

C(x− x′)J

C(x′)

×i

∫dx′∆C (y − x′)JC (x′)i

∫dx′∆C (z − x′)JC (x′)i

∫dx′∆C (t− x′)JC (x′)

]Z0

[JA,B,C

].

(5.36)

5.2. REGLAS DE FEYNMAN PARA LA TEORIA ABC 39

5.2. Reglas de Feynman para la Teorıa ABC

Podrıamos seguir calculando orden por orden cada una de las contribuciones a la funcion Z[JA,B,C ]de particion desde las funciones de Green usando los mismos metodos del calculo que cada vez seharan mas tediosos, pero Feynman diseno un metodo grafico para representar estas integrales com-plicadas al orden que uno lo quiera, las cuales se resumen en las siguientes reglas de Feynman:

Por cada factor 1p2

j−m2j

asocie una linea interna con el momento virtual fluyendo a traves deesta.

x2x1

p

mA,B,C

Por cada factor −iλ asocie un vertice donde converjan lıneas de momentum, teniendo en cuentaque el momento fluye a traves de estas lıneas de tal manera que este se conserva (

∑pn = 0),

es decir, por cada vertice incluya un factor (2π)2δ(∑

pj) que de cuenta de la conservacion delmomentum en cada vertice.

Dibuje todos los posibles diagramas a cada orden que sean topologicamente inequivalentes. Elnumero de formas distintas (pero topologicamente equivalentes) en las que un diagrama puedeser dibujado es el peso topologico del diagrama.

Despues de haber tenido en cuenta conservacion del momento en cada vertice, integre sobretodos los momentos internos correspondientes adicionando por cada momento interno un factor∫ d4qj

(2π)4 .

Aplicando estas reglas podremos calcular las funciones de Green a diferentes ordenes simplementeconstruyendo todos los diagramas posibles a cada orden. Reemplazando en (5.32) las expresiones(5.33), (5.34), (5.35) y (5.36), se tiene la funcional generatriz de las funciones de Green a orden λ4.En particular las funciones de Green de dos, tres y cuatro puntos.

Funcion de Green de dos puntos, corregida a orden un loop, se obtiene a partir de la siguientefuncional generatriz a orden λ2

Z[JA,B,C ] =[1 + λ

∫d3x

(i

∫dx′∆A(x− x′)JA(x′)i

∫dx′∆B(x− x′)JB(x′)i

∫dx′∆C(x− x′)JC(x′)

)

+λ2

2!

∫d3xd3y

(i∆A(x− y) + i

∫dx′∆A(x− x′)JA(x′)i

∫dx′∆A(y − x′)JA(x′)

)

×(

i∆B(x− y) + i

∫dx′∆B(x− x′)JB(x′)i

∫dx′∆B(y − x′)JB(x′)

)

×(

i∆C(x− y) + i

∫dx′∆C(x− x′)JC(x′)i

∫dx′∆C(y − x′)JC(x′)

)](5.37)

Derivando funcionalmente dos veces respecto a JA, se obtiene:


G(2)(x1 − x2) = −i∆A(x1 − x2) +λ2

2!

∫d3xd3y [i∆A(x− x1)i∆A(y − x2)+

i∆A(x− x2)i∆A(y − x1)] i∆B(x− y)i∆C(x− y) +λ2

2!

∫d3xd3yi∆A(x− y)i∆B(x− y)i∆C(x− y)i∆A(x1 − x2) (5.38)

la cual graficamente se representa ası:

++x1 x2A

λ2 λ2

2!

x1 x2AA

y x

B

C

x1 x2A

y x

A

B

C

G(2)(x1 − x2) =

Los unicos diagramas conectados que corrigen el propagador son

= +

El primer grafico es originario del termino Z0 y el segundo es debido al termino proporcionala λ2, es decir, este ultimo es la correccion cuantica al propagador del campo A, el computoexplıcito del segundo diagrama lo realizamos mas adelante. Resultados similares son obtenidospara los campos B y C.

Funcion de Green de tres puntos y su correccion a orden un loop. Primer grafico se debe altermino proporcional a λ, mientras que el segundo se obtiene del termino proporcional a λ3

=

A A A

B B BC C

C B

A

C

+

Funcion de Green de cuatro puntos, o tambien conocida con dispersion de dos partıculas endos partıculas. Tiene la caracterıstica que este tipo de proceso no aparece a nivel arbol y launica forma de generarlo es a traves de correcciones a un loop, como se observa aquı, este tipode diagrama de Feyman se obtiene del termino proporcional a λ4

A

A

A

A

C C

B

B

5.2. REGLAS DE FEYNMAN PARA LA TEORIA ABC 41

A continuacion se realizara de forma completa el analisis del diagrama con un loop en el propa-gador del campo A, pues este procedimiento es igual para los campos B y C.

I

J

x1 x2

y x

I I

p2

p1

AA

= λ2∫

d3xi∆A(x1 − y)i∆c(y − x)i∆B(y − x)i∆A(x − x2)

q2

q1

B

C

Utilizando la forma explıcita del propagador:

∆f (x− x′) =−1

(2π)4

∫d4peip·(x−x′) 1

p2 −m2A

(5.39)

G2(x1 − x2) = λ2

∫d3xd3y

[ −1(2π)4

∫d4p3e

ip3·(x1−x)1

p23 −m2

A

] [ −1(2π)4

∫d4p4e

ip4·(y−x2)1

p24 −m2

A

]

×[ −1(2π)4

∫d4p1e

ip1·(x−y) 1p21 −m2

B

] [ −1(2π)4

∫d4p2e

ip2·(x−y) 1p22 −m2

c

](5.40)

= λ2

∫d3xd3y

∫dp3

∫dp4

∫dp2

∫dp1e

ix(−p3+p1+p2)eiy(−p4−p1−p2)eip3x1e−ip4x2

× 1(p2

3 −m2A)(p2

4 −m2A)(p2

2 −m2c)

(5.41)

Realizando las integrales sobre p2 y p1 obtenemos:

= λ2

∫d4p3

(2π)4eip·(x1−x2)

p2 −m2A

[∫d4k

(2π)41

(k2 −m2B)[(p− k)2 −m2

C ]

]1

p2 −m2A

(5.42)

Por tanto, el resultado final es:

=∫

d4p

(2π)4eip·(x1−x2)

p2 −m2A

+ λ2

∫d4p

(2π)4eip·(x1−x2)

p2 −m2A

[∫d4k

(2π)41

(k2 −m2B)[(p− k)2 −m2

C ]

]1

p2 −m2A

(5.43)

=∫

d4p

(2π)4eip·(x1−x2)

[1

p2 −m2A

+1

p2 −m2A

∫d4k

(2π)41

(k2 −m2B)[(p− k)2 −m2

C ]1

p2 −m2A

](5.44)

(−iλ)2∫

i

q21 −m2

B

i

q22 −m2

C

(2π)4δ4(p1 − q1 − q2)(2π)4δ4(q1 + q2 − p2)d4q1

(2π)4d4q2

(2π)4

= λ2

∫1

q21 −m2

B

1((p1 − q1)2 −m2

C)d4q1

(2π)4

(5.45)


El cual es obviamente equivalente al diagrama de un Loop por construccion. Podemos evidenciarinmediatamente en este simple diagrama que la integral del lado derecho diverge logaritmicamentepara valores grandes en la variable q1, lo cual es conocido como una divergencia ultra-violeta, y sinos dieramos al trabajo de calcular varios otros diagramas correspondientes a funciones de Green demas loops y a ordenes mayores que λ2 nos encontramos con que el calculo perturbativo se encuentraplagado de este tipo de divergencias a todos los ordenes. El procedimiento empleado para aliviareste molesto problema de la teorıa es conocido como Renormalizacion y es el sujeto de la siguienteseccion.

5.3. Renormalizacion

Como un primer paso para intentar aliviar las divergencias que aparecen en los diagramas deFeyman, debemos preocuparnos por disenar alguna tecnica que nos permita calcular las integralesque aparecen en ellos del tipo

∫∞−∞ d4qf(q) donde la funcion f(q) se comporte como q−2 o q−4 para

valores grandes de q. Una de las tecnicas utilizadas para hacer este calculo, se conoce con el nombrede ’Regularizacion Dimensional’[9,21], y consiste esencialmente en realizar las dichas integrales sobreun espacio de dimension par mayor a 4 (d = 2ω > 4) donde la divergencia ultravioleta desaparezca,y al final del calculo tomar el limite 2ω → 4 y observar que sucede. Este tipo de integrales esmuy importante para conocer las corrientes cuanticas de la teorıa, pero en esta seccion nosotrossimplemente nos restringiremos a comentar acerca del resultado y no el procedimiento para llegara este, el procedimiento general es descrito en detalle en el Anexo para varios tipos de integralesdivergentes.En el espıritu de regularizacion dimensional, debemos promover las integrales de d4q a d2ωq yredefinir la accion en terminos del parametro adimensional λ → λ0(µ)3−ω, donde el parametro µtiene unidades de masa y es arbitrario. Como ilustracion de la tecnica de regularizacion, queremosaplicarla inicialmente al caso encontrado en la ultima parte de la seccion anterior, es decir, queremoscalcular la integral:

λ2

∫1

q21 −m2

B

1((p1 − q1)2 −m2

C)d4q1

(2π)4(5.46)

Pero en el Anexo, hemos usado el metodo de regularizacion dimensional para calcular una integralde este tipo, y desde la ecuacion (7.23) (linea 3) sabemos que:

I =∫

d4k

(2π)41

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]= iΓ(2− w)

1(4π)w

∫ 1

0

dx1(D)w−2 (5.47)

Donde como ya ha sido explicado, hemos promovido la dimension del espacio-tiempo de 4 a 2ωy donde la funcion D esta dada por:

D = p2x2 − (p2 −m2)2x + m21(1− x) ≡ N2 (5.48)

y la hemos renombrado como N2. Definamos ademas por simplicidad 2ω = 4− ε de tal maneraque tomar el limite 2ω → 4 es equivalente a tomar ε → 0. Ademas, debemos igualmente promoverλ → λ0µ

1+ε/2. Reemplazando todas estas definiciones en (5.47), obtenemos:

I =λ2µ2+ε

(4π)(2−ε/2)Γ(ε/2)

∫ 1

0

N−εdx (5.49)

En el limite ε → 0, podemos tomar la expansion en serie para la funcion Γ, la cual esta dada por:

Γ(ε) ∼ 1ε− γ +O(ε) (5.50)

5.3. RENORMALIZACION 43

Donde γ = 0, 577216... es la constante de Euler-Marscheroni. De manera tal que:

I =λ2µ2

(4π)2

(2ε− γ +O(ε)

) ∫ 1

0

(N

µ(4π)1/2

)−ε

dx (5.51)

Ahora, haciendo la expansion

s−ε = e−ε ln s ∼ 1− ε ln s +12ε2(ln s)2 − .... (5.52)

Para el termino dentro de la integral, obtenemos finalmente:

I =(

λµ

(4π)

)2 [2ε− γ −

∫ 1

0

ln(

N2

4πµ2

)dx

]+

(λµ

(4π)2

)O(ε) (5.53)

Donde los terminos O(ε) son finitos cuando ε → 0. Lo que podemos observar inmediatamentedesde la ultima expresion, es que con regularizacion dimensional hemos podido aislar la divergenciade la integral de la parte finita de la misma, y hemos cambiado el problema de la divergencia (porlo menos a orden λ2) por un polo simple cuando la dimension del espacio sobre el que integramosse hace d = 4. Pero para lograr esto hemos tenido que pagar un precio, y es que las contribucionesfinitas al diagrama bajo estudio dependen explıcitamente del parametro µ el cual es arbitrario.En lo seguido vamos a mostrar el esquema que podemos usar para eliminar los polos que surgen desdela regularizacion, y de nuevo lo haremos para el caso mas directo que hemos estado considerandohasta ahora que es el diagrama A → A a un loop. La tecnica es relativamente simple en estructuray consiste en modificar los diagramas de Feyman de tal manera que en esta forma modificada elloscontinuen finitos en el limite ε → 0[10]Hasta ahora hemos encontrado que despues de la regularizacion dimensional el diagrama bajo estudiotiene la forma:

−(

λµ

(4π)

)2 [2ε

+ F1

(N2

µ2

)](5.54)

Siendo F1 = γ +∫ 1

0ln( N2

4πµ2 ) una funcion finita cuando ε → 0. El contratermino es representadopor:

De esta forma el propagador corregido es:

G2(x1, x2) =1

p2 − µ2+

1p2 − µ2

[λ2µ2

(4π)2

(2ε− γ −

∫ 1

o

dxln(N2)4π

)+ O(ε3)

]1

p2 − µ2(5.55)

G2(x1, x2) =1

p2 − µ2+

1p2 − µ2

[λ2µ2

(4π)2(2ε− γ)

]1

p2 − µ2+

1p2 − µ2

[λ2µ2

(4π)2(∫ 1

odxln (N2)

4π )

]1

p2 − µ2

(5.56)


La manera que este infinito podrıa ser eliminado si se induce un diagrama adicional al lagrangianode la forma.

=1

p2 − µ2

(−λ2µ2

(4π)2(2ε− γ)

)1

p2 − µ2(5.57)

De forma tal que con este nuevo diagrama la funcion de dos puntos es:

=1

p2 − µ2+

1p2 − µ2

(−λ2µ2

(4π)2−

∫ 1

o

dxln(N2

4π))

1p2 − µ2

(5.58)

=1

p2 − µ2+

1p2 − µ2

(i∏) 1

p2 − µ2(5.59)

si este procedimiento lo hacemos muchas veces, es decir:

=1

p2 − µ2+

1p2 − µ2

(i∏) 1

p2 − µ2+

1p2 − µ2

+1

p2 − µ2

(i∏) 1

p2 − µ2

(i∏) 1

p2 − µ2(5.60)

=1

p2 − µ2

[1 +

iπ

p2 − µ2+

(iπ

p2 − µ2

)2

+ ...

](5.61)

=1

p2 − µ2

[1

1− iπp2−µ2

](5.62)

=1

p2 − µ2 − i∏ (5.63)

=1

p2 −m2f

(5.64)

=1

p2 − µ2+

1p2 − µ2

(i∏) 1

p2 − µ2(5.65)

Observe que lo que hemos hecho para deshacernos de la divergencia ultravioleta es sumar aldiagrama de Feynman bajo estudio un termino de masa que nos ha cancelado exactamente la di-vergencia del diagrama, este termino se consigue si al lagrangiano del sistema le adicionamos untermino (contratermino) que nos reproduzca los diagramas de Feynman a orden λ2 renormalizados,pero nos daremos cuenta que a ordenes superiores en perturbaciones en λ seguiran apareciendo masdivergencias que deberemos ir removiendo de la misma manera como lo hemos hecho hasta ahora,sumando cada vez mas contraterminos al lagrangiano original que nos reproduzcan diagramas deFeynman finitos. Lo sorprendente del metodo estudiado en esta seccion, es que ha arbitrariamentealtos ordenes en λ, solamente contraterminos que tengan la forma de los terminos en el lagrangianooriginal son necesarios para renormalizar la teorıa, es decir, que el lagrangiano renormalizado ten-dra la misma forma que el lagrangiano original despues de sumar todos los contraterminos [22]. Estosignifica que el lagrangiano finito, estara dado por:

L = Loriginal + Lct (5.66)

Donde Loriginal es nuestro lagrangiano original y Lct es la parte que da cuenta de los contrater-minos:

5.3. RENORMALIZACION 45

Lct(A, B,C) = A112(∂µA∂µA+B1m

2AA2)+A2

12(∂µB∂µB+A2m

2BB2)+A3

12(∂µC∂µC+A3m

2CC2)−λCABC

(5.67)Donde Ai, Bi i = 1, 2, 3 y C contienen todos los posibles contraterminos que se debieron sumar

al lagrangiano en orden de hacer la teorıa finita. Estas funciones pueden ser absorbidas redefiniendolos campos y los parametros del lagrangiano original, de tal manera que el lagrangiano total adoptela forma mas familiar:

Lrenor(A,B, C) =12(∂µA0∂

µA0+m2A0

A20)+

12(∂µB0∂

µB0+m2B0

B20)+

12(∂µC0∂

µC0+m2C0

C20 )−λ0CA0B0C0

(5.68)Donde los nuevos campos, son llamados ’campos desnudos’, ’masa desnuda’ y ’constante de

acoplamiento desnuda’, y se relacionaran a los originales a traves de la forma:

A0 = F(Ai,Bi, C)A , B0 = G(Ai,Bi, C)B , A0C0 = H(Ai,Bi, C)Cm2

A0= I(Ai,Bi, C)mA ,m2

B0= J (Ai,Bi, C)mB ,m2

C0= K(Ai,Bi, C)mC

λ0 = M(Ai,Bi, C)λ(5.69)

Donde las funciones F ,G,H, I,J ,K,M son construidas de tal modo que todos los contraterminossean absorbidos por los parametros desnudos. Asumamos que nos olvidasemos por un momento delproceso de sumar contraterminos que hemos hecho para llegar a esta ultima definicion y calcularamoslos diagramas de Feynman con este ultimo lagrangiano, el cual tiene la misma forma que nuestrolagrangiano original; esto nos conducirıa a una teorıa con divergencias como ya lo hemos visto, ası quelos parametros desnudos nos conducen a una teorıa con divergencias, pero escribiendo estos ultimosen terminos de los parametros vestidos A,B, C, MA,B,C y λ obtendrıamos una teorıa finita. Losinfinitos han sido pues absorbidos por renormalizacion dentro de los parametros desnudos. Esto nosmuestra que introduciendo de una manera inteligente los infinitos dentro de los parametros desnudosnosotros hemos hecho la teorıa finita, los infinitos han sido absorbidos por renormalizacion.


CAPITULO 6

Conclusiones

Se ha hecho una revision en lo posible pedagogica acerca del campo escalar masivo, estudiandosus aspectos clasicos y se ha abordado la cuantizacion de la teorıa desde varios frentes, primera-mente usando el formalismo canonico el cual presenta algunas caracterısticas que pueden aparecermenos obvias desde otros metodos de cuantizacion. Se ha utilizado tambien el importante metodode cuantizacion de la Integral de Caminos de Feynman, la cual se ha introducido desde primerosprincipios partiendo desde su origen clasico y se ha hecho un abordamiento a la vez pedagogico ehistorico, mostrando las generalidades de la lınea de pensamientos que siguieron la construccion deesta tecnica y su posterior aplicacion al caso de Teorıa de Campos.

La importancia de las simetrıas de la naturaleza en la Teorıa de Campos se ha observado yenfatizado en la construccion de las Teorıas de Yang y Mills o Teorıas de Gauge, mencionando lascaracterısticas generales que satisface alguna teorıa de este tipo y su relevancia en nuestro actualconocimiento de la naturaleza, precisando ademas, que todas las teorıas fısicas que actualmenteconocemos son teorıas de Gauge invariantes ante algun grupo de simetrıa particular.

Se aplico la tecnica de la Integral de Caminos al caso de la Teorıa ABC de tres campos escalaresmasivos, haciendo un analisis perturbativo sobre la funcion generatriz hasta cuarto orden en la con-stante de acoplamiento, lo cual nos permitio calcular las funciones de Green hasta cuarto orden enla constante de acoplamiento λ.

Por ultimo, se ha hecho una revision de la tecnica de renormalizacion con contra terminos, dondehemos usado el procedimiento de regularizacion dimensional, donde hemos observado la importanteaparicion de los parametros ’vestidos’ y ’desnudos’ que nos han permitido hacer una interpretacionfısica de las divergencias que aparecen en la teorıa del campo escalar.

47

48 CAPITULO 6. CONCLUSIONES

CAPITULO 7

APENDICE

7.1. Regularizacion Dimensional

La reparametrizacion de Feyman, en el caso en que se tienen dos propagadores, esta dada ası

1aαbβ

=Γ(α + β)Γ(β)Γ(α)

∫ 1

0

dxxα−1(1− x)β−1

[ax + b(1− x)]α+β(7.1)

Por ejemplo, vemos el caso concreto de dos propagadores

1(h2 −m2

1)2[(h + p)2−m22]

=Γ(2 + 1)Γ(2)Γ(1)

∫ 1

o

dx(x)1−1(1− x)2−1

[(h2 + p2 + 2hp−m22)x + (h2 −m2

1)(1− x)]3

=Γ(3)

Γ(2)Γ(1)∫ 1

o

dx1− x

[h2x + p2x + 2h.px−m22x + h2 − h2x−m2

1 + m21x]3

=Γ(3)

Γ(2)Γ(1)∫ 1

o

dx1− x

[h2x + p2x + 2h.px−m22x + h2 − h2x−m2

1 + m21x]3

=Γ(3)

Γ(2)Γ(1)∫ 1

o

dx1− x

[h2 + 2h.px + x(p2 − 2m22)− (1− x)m2

1]

(7.2)

Definiendo:

49

50 CAPITULO 7. APENDICE

a2 =n−1∑

i=0

(p2n−i −m2

n−i)(xi − xi+1) (7.3)

y

b2 =n−1∑

i=0

pn−i(xi − xi+1) (7.4)

En donde pn = 0

n−1∑

i=0

(xi − xi+1) ⇒ x0 − nn = 1 (7.5)

Generalizando para el caso en que tenemos n propagadores con diferentes potencias, la reparametrizacionde Feynman es

(n∏

i=1

aαii

)−1

=1

aα11 aα2

2 . . . aαnn

=Γ(α1 + α2 + . . . αn)Γ(α1)Γ(α2) . . . Γ(αn)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

∏n−1i=0 (xi − xi+1)αn−i−1

(k2 + 2k · b + a2)P

i αi

(7.6)

con

a2 =n−1∑

i=0

(p2n−i −m2

n−i)(xi − xi+1)

b =n−1∑

i=0

pn−i(xi − xi+1) (7.7)

Donde pn = 0, x0 = 1 y xn = 0. Con N =∑n

i=1 αi ≤ 2 la integral (3) diverge, para evitar esteproblema haremos la integral en una dimension diferente a 4, es decir 4 → 2w = 2(2 + ε). Pararealizar esta integral tambien es necesario hacer la rotacion de Wick k0 → ik2w, por tanto

k2 = (k0,~k) · (k0,−~k) = k20 − ~k2 (7.8)

Como es en 2w dimensiones entonces k2 = k20 − ~k . . . − ~k2

2w−1 = −∑2wi=1 k2

i = −k21 − k2

2 − . . . −k22w−1 − k2

2w = −k21 − k2

2 − . . .− k22w−1 + k2

0. por lo tanto: d2wk → id2wk = i∏2w

i=1 dki. Ahora comoestamos en el espacio 2w dimensional y aquı la integral es convergente ⇒ podemos hacer la siguientetransformada.

7.1. REGULARIZACION DIMENSIONAL 51

k → k − b → k2 + 2k · b + a2 = h2 − 2k · b + b2 + 2(k − b) · b+ a2k2 − 2k · b + b2 + 2k · b− 2b2 + a2

= k2 + a2 − b2

= h2 −D

(7.9)

con D = b2 − a2. Ahora la integral

∫d4k

1∏ni=1 aαi

i

=Γ(

∑ni αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−1

0

dxn−1

∫i∏2w

i=1 dki

(2π)2w

∏n−1i=1 (xi − x

(i+1αn−1 − 1)

(−∑2wi=1 k2

i −D)P

iαi

=Γ(

∑ni αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

[i

(−)P

i αi

∫ 2w∏

i=1

dki

(2π)2w

∏2wi=0(xi − xi + 1)(αn−i − 1)

(∑2w

i=1 k2i + D)

Piαi

]

=Γ(

∑ni αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

[i

(−)P

i αi

∫ 2w∏

i=1

dki

(2π)2w

∏2wi=0(xi − xi + 1)(αn−i − 1)

(∑2w

i=1 k2i + D)

Piαi

]

=Γ(

∑ni αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

2w∏

i=0

(xi − xi + 1)(αn−i − 1)

[i(−)

Pi αi

(2π)2w

∫ ∏2wi=1 dki

(∑2w

i=1 k2i + D)

Piαi

]

(7.10)

Ahora utilizamos la notacion β2i =

∑2wj=i+1 k2

j + D para i = 1, 2, . . . , 2w − 1 y β22w = D

Entonces de esta forma tenemos∫

d4k1∏n

i=1 aαii

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1 . . .

∫ xn−1

0

n−1∏

i=0

(xi − xi + 1)(αn−i−1)

[i(−)P

i αi

(2π)2w

∫ ∝

−∝dk2wdk2w−1 . . . dk2

∫ ∝

−∝

dk1

(k21 +

∑2wj=1 k2

j + D)P

αi

]

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1 . . .

∫ xn−1

0

n−1∏

i=0

(xi − xi + 1)(αn−i−1)

[i(−)P

i αi

(2π)2w

∫ ∝

−∝dk2wdk2w−1 . . . dk2

∫ ∝

−∝

dk1

(k21 +

∑2wj=1 k2

j + β21)P

αi

]

(7.11)

Pero

∫ ∝

−∝

dk1

(k21 + β2

1)P

αi(7.12)


con k1 = β1 tan θ1 y dk1 = β sec2 θ1dθ1

= 2∫ ∝

−0

dk1

(k21 + β2

1)P

αi= 2

∫ π2

0

β1 sec2 θ1dθ1

(β21 tg2 θ1 + β2

1)P

αi

= 2∫ π

2

0

β1 sec2 θ1

β2P

αi

1 (tg2 θ1 + 1)dθ1

= 2∫ π

2

0

β1−2

Pα1

1

sec2 θ1

sec2P

αi θ1dθ1

= 2∫ π

2

0

β1−2

Pα1

1 (sec θ1)2−2P

αidθ1

= 2∫ π

2

0

β1−2

Pα1

1 (cos θ1)2P

αi−2dθ1

= 2β1−2

Pαi

1

∫ π2

0

(cos θ1)2P

αi−2

(7.13)

∫ ∞

−∞

dk1

(k1 + β21)P

i αi=

2Γ(∑

αi − 12 )Γ( 1

2 )2Γ(

∑i αi)

(β21)

12−P

i αi

=Γ(

∑αi − 1

2 )Γ( 12 )

Γ(∑

i αi)(β2

1)12−P

i αi

(7.14)

∫d4k

1∏ni=1 aαi

i

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(α1)

∫ ∞

0

dx1 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1)[i(−)

Pαi

(2π)2w

∫ ∞

−∞dk2wdk2w−1 . . . dk3

∫ ∞

−∞

dk2Γ(∑

i− 12 )Γ(1

2 )

Γ(∑

i αi)(β21)P

αi− 12]

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(α1)

∫ ∞

0

dx1 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1)[i(−)

Pαi

(2π)2w

Γ(∑

αi − 12 )Γ( 1

2 )Γ

(∑

αi)

∫ ∞

−∞dk2w . . . dk3

∫ ∞

−∞

dk2

(k22 + β2

2)P

i αi− 12]

(7.15)

Donde:

β21 =

2w∑

j=2

k2j + D = k2

2 +2w∑

j=3

k2j + D = k2

2 + β22 (7.16)

Procediendo de igual forma al calculo anterior


=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(α1)

∫ ∞

0

dx1 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1)

[i(−)

Pi αi

(2π)2w

Γ(∑

αi − w)πw

γ(∑

αi)(β22w)w−Pαi

]

(7.17)

Como β22w =

∑2wj=2w+1 k2

j + D = D Entonces

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(α1)

∫ ∞

0

dx1 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1)

[i(−)

Pi αi

(2π)2w

Γ(∑

αi − w)πw

γ(∑

αi)(β22w)w−Pαi

]

(7.18)

∫d4k

1∏ni=1 aαi

i

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(α1)

∫ ∞

0

dx1 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1)(b2 − a2)w−Pi αi

(7.19)

Tomando w = 2 + ε pues d ≡ 4 → 2wTenemos Γ(−ε) →

lımε→0− 1

2 − γE

Por tanto:

Xε = 1 + ε ln X + ε2 ln2 X

2!+O(ε3) (7.20)

De esta forma tenemos; recuerde N =∑n

i=1 αi, veamos para N = 1 =∑n

i=1 αi ⇒ 1 = α1

∫d4k

16π4

1k2m2

1

=i

16π2Γ(−ε)(1− ε + 0(ε2))[1− ε ln π + 0(ε2)]

∫ 1

0

dx(m21)(1 + ε ln m2

1 + 0(ε2))

=im2

1

16π2(−1

ε− γε)(1− ε + . . . )(1 + ε ln m2

1 + . . . )(1)

=im2

1

16π2(−1

ε+ 1− γε)(1 + ε ln m2

1 − ε ln 4π + 0(ε2))

=i

16π2m2

1(−1ε− ln 4π + 1− γε)

=i

16π2m2

1(−1ε− γε + ln 4π − ln m2

1 + 1)

=i

16π2m2

1(ln2∧− ln m2

1 + 1)

(7.21)

∫d4k

(2π)41

k2 −m21

=i

16π2m2

1(1 + ln∧2

m21

) (7.22)

Para N = 2


∫d4k

(2π)41

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]=

i(−)2Γ(2− w)πw

Γ(1)Γ(1)(2π)2w

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2

[(x0 − x1)1−1(x1 − x2)1−1

](b2 − a2)w−2

=iΓ(2− w)(2π)2w

πw

∫ 1

0

dx1(b2 − a2)w−2

= iΓ(2− w)1

(4π)w

∫ 1

0

dx1(D)w−2

= i(−1ε− γε)

116π2

[(4π)−ε]∫ 1

0

dx1D2+ε−2

=i

16π2(−1

ε− γε)[1− ε ln 4π]

∫ 1

0

dx1(1 + ε ln D)

=i

16π2(−1

ε+ ln 4π − γε)

∫ 1

0

dx1(1 + ε ln D)

=i

16π2

∫ 1

0

dx1(−1ε− ln D + ln 4π − γε)

=i

16π2

∫ 1

0

dx1(lnΛ2 − ln D)

=i

16π2

∫ 1

0

dx1 lnΛ2

D

=i

16π2

∫ 1

0

dx1 ln(Λ2

p2x21 − (p2 −m2

2)x1 + m21(1− x1)

)

(7.23)

∫d4k

(2π)41

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]=

i

16π2

∫ 1

0

dx1 ln(Λ2

p2x1(x1 − 1) + m22x1 + m2

1(1− x1)) (7.24)

Se obtienen los valores de las integrales de forma sencilla. Las que tienen momentos en el numer-ador se obtienen mediante la diferenciacion respecto a b.

∫d4k

1∏ni=1 aαi

i

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1 . . .

∫ xn−1

0

n−1∏

i=0

(xi − xi + 1)(αn−i−1)

∫d4k

(2π)41

[k2 + 2k ¦ b + a2]P

αi

(7.25)

Pero tenemos que: 4 → 2w

∫d2wk

(2π)2w

1[k2 + 2k ¦ b + a2]

Pαi

=iΓ(

∑i αi − w)πw

Γ(∑

i αi)(2π)2wDw−Pαi(−)

Pi (7.26)

Entonces


∂

∂bµ

∫d2wk

(2π)2w

1[k2 + 2kµbµ + a2]

Pαi

=∫

d2wk

(2π)2w

−∑i αi(k2 + 2kµbµ + a2)

Pαi−1 ¦ 2kµ

[k2 + 2kµbµ + a2]2P

αi

= −∫

d2wk

(2π)2w

2∑

i αikµ

(k2 + 2kµbµ + a2)2P

αi−P

αi+1

= −∫

d2wk

(2π)2w

2∑

i αikµ

(k2 + 2k ¦ b + a2)P

i αi+1

(7.27)

y

∂

∂bµ(iΓ(N − w)πw

Γ(N)(2π)2w(b2 − a2)w−N (−)N ) =

iΓ(iΓ(N − w)πw)Γ(N)(2π)2w

(−)N (w −N)

(b2 − a2)w−N−12bµ

= i(−)N πwΓ(N − w)Γ(N)(2π)2w

(w −N)

Dw−N−12bµ

(7.28)

−∫

d2wk

(2π)2w

2Nkµ

(k2 + 2k ¦ b + a2)N+1= i(−)N πwΓ(N − w)

Γ(N)(2π)2w(w −N)

Dw−N−1

D2bµ

(7.29)

−2N

∫d2wk

(2π)2w

kµ

(k2 + 2k ¦ b + a2)N+1= i(−)N πwΓ(N − w)

Γ(N)(2π)2w(w −N)

Dw−N−1

D2bµ

(7.30)

∫d2wk

(2π)2w

kµ

(k2 + 2k ¦ b + a2)N+1=

i

2N(−)N πwΓ(N − w)

Γ(N)(2π)2w(w −N)

Dw−N−1

D2bµ

= i(−)N+1 πw

(2π)2w

Γ(N − w)Γ(N)

(w −N

N)(bµ)Dw−N−1

(7.31)

La formula de recurrencia

Γ(n + 1) = nΓ(n) ⇒ Γ(n) =Γ(n + 1)

n(7.32)


Γ(n− 1) =Γ(N − w + 1)

N − w

= i(−)N+1 πw

(2π)2w

Γ(N − w + 1)(N − w)Γ(N)

(w −N

N)(−bµ)Dw−N−1

= i(−)N+1 πw

(2π)2w

Γ(N + 1− w)NΓ(N)

(−bµ)Dw−N−1

(7.33)

∫d2wk

(2π)2w

kµ

(k2 + 2k ¦ b + a2)N+1= i(−)N+1 πw

(2π)2w

Γ(N + 1− w)NΓ(N)

(−bµ)Dw−N−1 (7.34)

∫d2wk

(2π)2w

kµ

(k2 + 2k ¦ b + a2)N= i(−)N πw

(2π)2w

Γ(N − w)Γ(N)

(−bµ)Dw−N (7.35)

De esta forma tenemos:

∫d4k

(2π)4kµ

∏ni=1 aαi

i

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−1

0

dxn−2

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1)

∫d4k

(2π)4kµ

[k2 + 2k ¦ b + a2]P

αi

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−1

0

dxn−2

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1)i(−)P

αiπw

(2π)2w

Γ(∑

i αi − w)Γ(

∑i αi)

(−bµ)Dw−Pi αi

(7.36)

Donde:

πw

(2π)2w=

122wπ2wπ−w

=1

4wπw=

1(4π)w (7.37)

∫d4k

(2π)4kµ

∏ni=1 aαi

i

=i(−)

Piαi∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1) 1(4π)w

Γ(∑

i

αi − w)(−bµ)Dw−Pi αi

(7.38)

Ejemplo: N = 2 =∑n

i=1 αi n = 2 ; α1 = α2 = 1


∫d4k

(2π)4kµ

(h2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]=

i(−)2

Γ(1)Γ1

∫ 1

0

dx1

1∏

i=0

(xi − xi+1)(x2−i−1)

1(4π)w

Γ(2− w)(−bµ)Dw−2

= i

∫ 1

0

dx1(x0 − x1)α2−1(x1 − x2)α1−1

1(4π)w

Γ(2− w)(−bµ)Dw−2

= i

∫ 1

0

dx1Γ(2− w)

(4π)w(−bµ)Dw−2

= i

∫ 1

0

dx1Γ(2− w)

(4π)2(4π)ε(−bµ)Dε

=−i

16π2

∫ 1

0

dx1bµ[−Γ(−ε)(1− ε + 0(ε2))(1− 2− ε)]

[1− ε ln 4π][1 + ε ln D]

=−i

16π2

∫ 1

0

dx1bµ

[−(−1ε− γε)(1− ε)(−1− ε)][1− ε ln 4

pi + ε ln D]

=−i

16π2

∫ 1

0

dx1bµ[−1

ε− γε][1− ε ln 4π + ε ln D]

=−i

16π2

∫ 1

0

dx1bµ[−1

ε+ ln 4π − ln D − γε]

(7.39)

Como: ln Λ2 = − 1ε − γε + ln 4π

∫d4k

(2π)4kµ

(h2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]=

−i

16π2

∫ 1

0

dx1bµ ln

Λ2

D(7.40)

Para terminar veamos la integral con dos momentos en el numerador:

∂

∂bν

∫d2wk

(2π)2w

kµ

(k2 + 2kνbν + a2)N=

∫d2wk

(2π)2w

−kµN(k2 + 2k ¦ b + a2)N−12kν

(k2 + 2k ¦ b + a2)2N

= −2N

∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 + 2k ¦ b + a2)2N−N+1

= −2N

∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 + 2k ¦ b + a2)N+1

(7.41)


∂

∂bν[i(−)N πw

(2π)w

Γ(N − w)Γ(N)

(−bµ)Dw−N ] = i(−)N πw

(2π)w

Γ(N − w)Γ(N)

[−∂bµ

∂bνDw−N − bµ ∂

∂bν(b2 − a2)w−N ]

= i(−)N πw

(2π)2w

Γ(N − w)Γ(N)

[−gµνDw−N − bµ(w −N)dw−N−12bν ]

= i(−)N πw

(2π)2w

Γ(N − w)Γ(N)

Dw−N

[−gµν − (w −N)D−12bµbν ]

= i(−)N πw

(2π)2wDw−N 1

Γ(N)[−gµνΓ(N − w)− (w −N)Γ(N − w)D−12bµbν ]

(7.42)

Γ(N − w) =Γ(N − w + 1)

N − w(7.43)

−2N

∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 + 2k ¦ b + a2)N+1= i(−)N πw

(2π)2wDw−N 1

Γ(N)[−gµνΓ(N − w)− (w −N)Γ(N − w)D−12bµbν ]

(7.44)

∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 + 2k ¦ b + a2)N+1= i(−)N πw

(2π)2w

Dw−N

2NΓ(N)[−gµνΓ(N − w)− (w −N)Γ(N − w)D−12bµbν ]

= i(−)N+1 πwDw−N

(2π)2w

[−gµνΓ(N − w)

2NΓ(N)− (w −N)

2NΓ(N)Γ(N − w)

D12bµbν ]

= i(−)N+1 πwDw−N

(2π)2w

[−gµνΓ(N − w)

2Γ(N + 1)− (w −N)Γ(N − w)

Γ(N + 1)Dbµbν ]

(7.45)


∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 + 2k ¦ b + a2)N= i(−)N πw

(2π)2wDw−N+1

[−gµν Γ(N − 1− w)2Γ(N)

− (w −N + 1)Γ(N)

Γ(N − 1− w)D

bµbν ]

= i(−)N πw

(2π)2wDw−N

[−gµν D

2Γ(N − 1− w)

Γ(N)− (w −N + 1)

Γ(N)Γ(N − 1− w)bµbν ]

= i(−)N πw

(2π)2wDw−N

[−gµν D

2Γ(N − 1− w)

Γ(N)− (w −N + 1)

Γ(N)Γ(N − w)

(N − 1− w)bµbν ]

(7.46)

∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 + 2k ¦ b + a2)N+1=

= i(−)N πw

(2π)2w

Dw−N

Γ(N)[Γ(N − w)bµbν − Γ(n− w − 1)

Dgµν

2]

(7.47)

Por tanto:

∫d4k

(2π)4kµkν

∏ni=1 aαi

i

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−1

0

dxn−2

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1)

∫d4k

(2π)4kµkν

[k2 + 2k ¦ b + a2]P

αi

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1)i(−)P

αiπw

(2π)2w

Dw−Pαi

Γ(∑

i αi)

[Γ(∑

αi − w)bµbν − Γ(∑

αi − w − 1)Dgµν

2]

(7.48)

∫d4k

(2π)4kµkν

∏ni=1 aαi

i

=i(−)

Pi αi

∏ni=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1) 1(4π)w

Dw−Pi αi

[Γ(∑

αi − w)bµbν − Γ(∑

αi − w − 1)Dgµν

2]

(7.49)

Ejemplo, cuando N = 2, n = 2 y N =∑n

i=1 αi =∑2

i=1 = 2, donde α1 = α2 = 1


∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]=

i(−)2

Γ(1)Γ(1)

∫ 1

0

dx1(x0 − x1)α2−1(x1 − x2)α1−1

1(4π)w

Dw−2[Γ(2− w)bµbν − Γ(2− w − 1)Dgµν

2]

= i

∫ 1

0

dx11

(4π)2+εD2+ε−2[Γ(2− w)bµbν − Γ(1− w)

Dgµν

2]

(7.50)

Γ(2− w) = (1− w)[−Γ(−ε)(1− ε + 0(ε2))]

= (1− 2− ε)[−(−1ε− γε)](1− ε)

= −(1 + ε)(1− ε)[−(−1ε− γε)]

= (1)(−1ε− γε)

(7.51)

Γ(2− w) = −1ε− γεΓ(−ε) = Γ(2− w) (7.52)

Γ(1− w) = −Γ(−ε)(1− ε + 0(ε2)) (7.53)

Γ(1− w) = −(−1ε− γε)(1− ε)

= −(−1ε

+ 1 + γε)(7.54)

∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]= i

∫ 1

0

dx11

16π2(1− ε ln 4π)(1 + ε ln D)

[(−1ε− γε)bµbν + (−1

ε− γε + 1)

Dgµν

2]

=i

16π2

∫ 1

0

dx1(1− ε ln 4π + ε ln D + 0(ε2))

[(−1ε− γε)bµbν + (−1

ε− γε + 1)

Dgµν

2]

=i

16π2

∫ 1

0

dx1[(−1ε− γε + ln 4π − ln D + 0(ε))

bµbν + (−1ε− γε + 1 + ln 4π − ln D + 0(ε))

Dgµν

2]

(7.55)

∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]=

i

16π2

∫ 1

0

dx1

[(ln

Λ2

D)bµbν + (1 + ln

Λ2

D)Dgµν

2

](7.56)


Por ultimo veamos para N=3N = 3 =

∑i αi = α1 + α2α3 ; α1 + α2α3 = 1

∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2][(k − q)2 −m32 ]= (7.57)

i(−)3

Γ(1)Γ(1)Γ(1)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2(x0 − x1)α3−1(x1 − x2)α2−1(x2 − x3)α1−1

1(4π)w

Dw−3

[Γ(3− w)bµbν − Γ(3− w − 1)

Dgµν

2

] (7.58)

= −i

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx21

(4π)21

(4π)2Dε−1

[Γ(3− w)bµbν − Γ(2− w)

Dgµν

2

](7.59)

Γ(2− w) =Γ(3− w)

2− w⇒ Γ(3− w) = (2− w)Γ(2− w)

= (2− 2− ε)Γ(−ε)

= −ε(−1ε− γε)

= 1 + εγε

= Γ(3− w)

(7.60)

=−i

16π2

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2(1− ε ln 4π)(1 + ε ln D)[bµbν

D(1 + εγε)− (−1

ε− γε)

gµν

2

](7.61)

=−i

16π2

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2(1− ε ln 4π + ε ln D)[bµbν

D(1 + εγε)− (−1

ε− γε)

gµν

2

](7.62)

=−i

16π2

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2

[bµbν

D− (−1

ε− γε + ln 4π − ln D)

gµν

2

](7.63)

∫d4k

(2π)2kµkν

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2][(k − q)2 −m32 ]=

−i

16π2

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2

[bµbν

D− ln

Λ2

D

gµν

2

] (7.64)

Ahora, con tres momentos

∂

∂bλ

∫d2wk

(2π)2w

kµkν

(k2 + 2kλbλ + a2)N=

∫d2wk

(2π)2w· −kµkνN(k2 + 2k · b + a2)N−12kλ

(k2 + 2k · b + a2)2N

= −2N

∫d2wk

(2π)2w· kµkνkx

(k2 + 2k · b + a2)N+1

(7.65)


La otra forma

∂

∂bλ

[i(−)N πw

(2π)2w

Dw−N

Γ(N)

Γ(N − w)bµbν − Γ(N − w − 1)

Dgµν

2

](7.66)

= i(−)N πw

(2π)2wΓ(N)∂

∂bλ

[Γ(N − w)(b2a2)w−Nbµbν − Γ(N − w − 1)

(b2a2)w−N+1Dgµν

2

](7.67)

= i(−)N πw

(2π)2wΓ(N)[Γ(N − w)∂bµ

∂bλ· bν(b2 − a2)w−N + bµ

∂bµ

∂bλ(b2 − a2)w−N+

bµbν(w −N)(b2 − a2)w−n−12bλ − Γ(N − w − 1)Dgµν

2(w −N + 1)(b2 − a2)w−N2bλ]

(7.68)

= i(−)N πw

(2π)2wΓ(N)

[Γ(N − w)gνλbνDw−N + gνλbµDw−N

+ 2bµbνbλ/(w −N)Dw−N−1bλgµνΓ(N − w − 1)(w −N + 1)Dw−N]

(7.69)

− 2N

∫d2wk

(2π)2w

kµkνKλ

(k2 + 2k · b + a2)N+1= i(−)N πw

(2π)2wΓ(N)[Γ(N − w)gµνbνDw−N + gµνbµDw−N + 2bµbνbλ(w −N)Dw−N−1

− bλgµνΓ(N − w − 1)(w −N + 1)Dw−N]

(7.70)

∫d2wk

(2π)2w

kµkνKλ

(k2 + 2k · b + a2)N+1= i(−)N+1 πw

(2π)2w2NΓ(N)Dw−N

[Γ(N − w)

gµνbν + gµνbµ + 2bµbνbλ(w −N)D−1

− bλgµνΓ(N − w − 1)(w −N + 1)

] (7.71)

= i(−)N+1 πw

(2π)2w[Γ(N − w)2NΓ(N)

gµνbν + gµνbµ

+Γ(N −W )

NΓ(N)bµbνbλ(w −N)D−1 − Γ(N − w − 1)

2NΓ(N)(w −N + 1)bλgµν ]

(7.72)

Γ(N) = Γ(N+1)N

∫d2wk

(2π)2w

kµkνKλ

(k2 + 2k · b + a2)N+1= i(−)N+1 πw

(2π)2wDw−N

[Γ(N − w)2NΓ(N)

gµνbν + gµνbµ

+Γ(N − w)(w −N)

Γ(N + 1)Dbµbνbλ−

Γ(N − w − 1)2Γ(N)

(w −N + 1)bλgµν

]

(7.73)


∫d2wk

(2π)2w

kµkνKλ

(k2 + 2k · b + a2)N= i(−)N πw

(2π)2wDw−N+1

[Γ(N − 1− w)2Γ(N)

gµνbν + gµνbµ

+Γ(N − w)(w −N)

Γ(N + 1)Dbµbνbλ−

Γ(N − w − 1)2Γ(N)


]

= i(−)N πw

(2π)2wDw−N+1

[Γ(N − w − 1)2Γ(N)

gµνbν + gµνbµ

+Γ(N − w − 1)(w −N + 1)

Γ(N)Dbµbνbλ−

Γ(N − w − 2)2Γ(N)


]

(7.74)

Γ(N − w − 1) =Γ(N − w)N − w − 1

(7.75)

Γ(N − w − 2) =Γ(N − w − 1N − w − 2

(7.76)

= i(−)w πw

(2π)2wDw−N+1

[Γ(N − w − 1)2Γ(N)

gµνbν + gµνbµ

+

Γ(N − w)[−(N − w − 1)](N − w − 1)DΓ(N)

bµbνbλ − Γ(N − w − 1)(N − w − 2)2Γ(N)

[−(N − w − 2)]bλgµν

] (7.77)

∫d2wk

(2π)2w

kµkνKλ

(k2 + 2k · b + a2)N= i(−)N πw

(2π)2w

Dw−N

Γ(N)[(gµλbν + gνλbµ + gµνbλ)

D

2Γ(N − w − 1)− bµbνbλΓ(N − w)

] (7.78)

En general la expresion es:

∫d4k

(2π)4kµkνkλ

∏ni=1 aαi

i

=Γ(

∑ni=1 αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1)

∫d2wk

(2π)2w

kµkνkλ

[k2 + 2k · b + a2]P

i αi

(7.79)


∫d4k

(2π)4kµkνkλ

∏ni=1 aαi

i

=Γ(

∑αi)∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1) i(−)P

αiπwDw−Pi

(2π)2wΓ(∑

αi)[(gµνbλ + gµλbνgνλbµ)

DΓ(∑

αi − w − 1)2

− bµbνbλΓ(∑

αi − w)]

(7.80)

∫d4k

(2π)4kµkνkλ

∏ni=1 aαi

i

=1∏n

i=1 Γ(αi)

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2 . . .

∫ xn−2

0

dxn−1

n−1∏

i=0

(xi − xi+1)(αn−i−1) i(−)P

αiπwDw−Pi

(2π)2w

[(gµνbλ + gµλbνgνλbµ)

DΓ(∑

αi − w − 1)2

− bµbνbλΓ(∑

αi − w)]

(7.81)

Ejemplo:N = 2 , n = 2 xn−1 = x2−1 = x1 α1 = 1 ,α2 = 1

∫d4k

(2π)4kµkνkλ

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]=

i(−)2

Γ(1)Γ(1)

∫ 1

0

dx1(x0 − x1)α2−1(x1 − x2)α1−1

1(4π)w

Dw−2[(gµνbλ + gµλbνgνλbµ)

DΓ(1− w)2

− bµbνbλΓ(2− w)]

(7.82)

w = 2 + ε;Γ(1− w) = −(− 1ε + 1− γε);Γ(−ε) = Γ(2− w) = − 1

ε − γε

= i

∫ 1

0

dx1

(4π)2+εD2+ε−2

[− (gµνbλ + gµλbνgνλbµ)

D

2(−1

ε+ 1− γε)

− bµbνbλ(−1ε− γε)

] (7.83)

∫d4k

(2π)4kµkνkλ

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]=

i

16π2

∫ 1

0

dx1

[−D

2(gµνbλ + gµλbνgνλbµ)

1 +

Λ2

D

− bµbνbλ ln

(Λ2

D)] (7.84)

N = 3 ; n = 3 , α1 = α2 = α3 = 1 xn−1 = x3−1 = x2.


∫d4k

(2π)4kµkνkλ

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]=

=i(−)3πw

(2π)2w

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2(x0 − x1)α3−1(x1 − x2)α2−1

(x1 − x2)α3−1Dw−3[(gµνbλ + gµλbνgνλbµ)

DΓ(3− w − 1)2


=−i

16π2(4π)ε

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2Dε−1


DΓ(2− w)2


=−i

16π2(1− ε ln 4π)

∫dx1

∫dx2(1 + ε ln D)


12(−1

ε− γε)− bµbνbλ

(2− w)D

(−1ε− γε)

]

=−i

16π2

∫dx1

∫dx2(1− ε ln 4π + ε ln D)


12(−1


D(−ε)(−1

ε− γε)

]

=−i

16π2

∫dx1

∫dx2

[12(gµνbλ + gµλbνgνλbµ)

− 1

ε− γε + ln 4π − ln D

− 1

2(−1

ε− γε)bµbνbλ

1D

]

(7.85)

∫d4k

(2π)4kµkνkλ

(k2 −m21)[(k − p)2 −m2

2]=

=i

πw(2π)2w

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2(x0 − x1)α3−1(x1 − x2)α2−1

(x1 − x2)α3−1Dw−3[(gµνbλ + gµλbνgνλbµ)

DΓ(3− w − 1)2


=−i

16π2(4π)ε

∫ 1

0

dx1

∫ x1

0

dx2Dε−1


DΓ(2− w)2


=−i

16π2(1− ε ln 4π)

∫dx1

∫dx2(1 + ε ln D)


12(−1


(2− w)D

(−1ε− γε)

]

=−i

16π2

∫dx1

∫dx2(1− ε ln 4π + ε ln D)


12(−1


D(−ε)(−1

ε− γε)

]

=−i

16π2

∫dx1

∫dx2

[12(gµνbλ + gµλbνgνλbµ)

− 1

ε− γε + ln 4π − ln D

− 1

2(−1

ε− γε)bµbνbλ

1D

]

(7.86)


BIBLIOGRAFIA

[1] C. Quigg, Gauge Theories of Strong, Weak, and Electromagnetc Interactions, 1983

[2] C. Cohen-Tannoudji, B.Diu, F. Laloe. ”‘Quantum Mechanics”(John Wiley and Sons 1977)

[3] L.D. Landau, E.M. Lifshitz. ”Teorıa Clasica de Campos”(Editorial Reverte)

[4] L.D. Landau, E.M. Lifshitz. ”Mecanica”(Editorial Reverte 1965)

[5] Pierre Ramon. ”‘Field Theory”’ (Addison Wesley 1990)

[6] M. E. Peskin, D.V. Schroeder ”‘An Introduction to Quantum Field Theory”’ (Perseus Books1995)

[7] J. Schwinger ”‘Selected Papers on Quantum Electrodynamics”’ (Dover 1958)

[8] E.S. Abers and Lee, ”Gauge Theories”Phys. Rep 9C, 1- 141

[9] ’t Hooft. Veltman, Nucl. Phys. 44B, 189 (1972)

[10] J.C. Collin, Phys. Rev. D10, 1213-1218 (1974)

[11] M.E. Roberto, Teorıa Cuantica de Campos, Universidad Nacional de Colombia, (2002)

[12] P.A.M Dirac, Phys. Zeit. der Sowjetunion, Band 3, Heft 1 (1933)

[13] I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey, Gauge Theories in Particles Physics : A Practical Introduction,1990

[14] C.N. Yang and R. Mills, Phys. Rev. 96, 191 (1954)

[15] H. Georgi and L. Glashow, Phys. Rev. Lett, 28, 1494 (1972)

[16] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264

[17] A. Salam, Elementary Particle Theory, ed. N. Svartholm (Almquist and Forlag, Stockholm,1968)

[18] R.P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20 (1948)267

67

68 BIBLIOGRAFIA

[19] R.P. Feynman, A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals (McGraw-Hill, New York,1965)

[20] J. Schwinger, Proc. Nat. Acad. Sci. 37 (1951) 452

[21] C.G. Bollini and J.J. Giambiagi, Nuovo Cimento 12B, 20-26 (1972)

[22] W. Zimmerman, Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory. Eds. S.Deser,M.Grisaru, H.Pendlenton (MIT Press, 1970)

Date post:	15-Feb-2016
Category:	Documents
Upload:	joshua-wright
View:	24 times
Download:	0 times

Tesis Teoria Campos

Documents