The Characteristic Method and Its Generalizations

8/7/2019 The Characteristic Method and Its Generalizations

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C H A P M A N & H A L L / C R CM o n o g r a p h s a n d S u r v e y s i nP u r e a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s I 0 1T H E C H A R A C T E R I S T I C

M E T H O D A N D I T SG E N E R A L I Z A T I O N S F O R

F I R S T - O R D E R N O N L I N E A RP A R T I A L D I F F E R E N T I A L

E Q U A T I O N ST R A N D U C V A NM I K I O T S U J IN G U Y E N D U Y T H A I S O N


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C H A P M A N & H A L L / C R CM o n o g r a p h s a n d S u r v e y s i n P u r e a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c sM a i n E d i t o r sH . B r e z i s , U n i v e r s i t d e P a r i sR . G . D o u g l a s , T e x a s A & M U n i v e r s i t yA . J e f f r e y , U n i v e r s i t y o f N e w c a s t l e u p o n T y n e ( F o u n d i n g E d i t o r )

E d i t o r i a l B o a r dH . A m a n n , U n i v e r s i t y o f Z U r i c hR . A r i s , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t aG . I . B a r e n b l a t t , U n i v e r s i t y o fH . B e g e h r , F r e i e U n i v e r s i t a t B e r l i nP . B u l l e n , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i aR . J . E l l i o t t , U n i v e r s i t y o f A l b e r t aR . P . G i l b e r t , U n i v e r s i t y o f D e l a w a r eR . G l o w i n s k i , U n i v e r s i t y o f H o u s t o nD . J e r i s o n , M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g yK . K i r c h g a s s n e r , U n i v e r s i t a t S t u t t g a r t

B . L a w s o n , S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r kB . M o o d i e , U n i v e r s i t y o f A l b e r t aS . M o n . K y o t o U n i v e r s i t yL . E . P a y n e , C o r n e l l U n i v e r s i t yD . B . P e a r s o n , U n i v e r s i t y o f H u l lI . R a e b u r n , U n i v e r s i t y o f N e w c a s t l eG . F . R o a c h , U n i v e r s i t y o f S t r a t h c l y d e1 . S t a k g o l d , U n i v e r s i t y o f D e l a w a r eW A . S t r a u s s , B r o w n U n i v e r s i t yJ . v a n d e r H o c k , U n i v e r s i t y o f A d e l a i d e


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I C C H A P M A N & H A L U C R CM o n o g r a p h s a n d S u r v e y s i nP u r e a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s I 0 IT H E C H A R A C T E R I S T I C

M E T H O D A N D I T SG E N E R A L I Z A T I O N S F O RF I R S T - O R D E R N O N L I N E A R

P A R T I A L D I F F E R E N T I A LE Q U A T I O N ST R A N D U C V A NM I K I O T S U J IN G U Y E N D U Y T H A I S O N

C H A P M A N & H A L L / C R CB o c a R a t o n L o n d o n N e w Y o r k W a s h i n g t o n , D . C .


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L i b r a r y o f C o n g r e s s C a t a l o g i n g - i n - P u b l i c a t i o n D a t aT r a n , D u e V a n .T h e c h a r a c t e r i s t i c m e t h o d a n d i t s g e n e r a l i z a t i o n s f o r f i r s t - o r d e r n o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s / T r a n D u e V a n , M i k i o T s u j i . a n d N g u y e n D u y T h a iS o n .

p c m . - - ( C h a p m a n & H a l l / C R C m o n g r a p h s a n d s u r v e y s i n p u r e a n da p p l i e d m a t h e m a t i c s 1 0 1 )I n c l u d e s b i b l i o g r a p h i c a l r e f e r e n c e s a n d i n d e x .I S B N 1 - 5 8 4 8 8 - 0 1 6 - 3 ( a l k . p a p e r )I . D i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . N o n l i n e a r - - N u m e r i c a l s o l u t i o n s .I . T s u j i , M i k i o . I I . N g u y e n , D u y T h a i S o n . 1 1 1 . T i t l e .I V . S e r i e s .Q A 3 7 4 . T 6 5 1 9 9 95 1 9 . 5 ' . 3 5 3 - - d c 2 I 9 9 - 2 7 3 2 1C I PT h i s b o o k c o n t a i n s i n f o r m a t i o n o b t a i n e d f r o m a u t h e n t i c a n d h i g h l y r e g a r d e ds o u r c e s . R e p r i n t e d m a t e r i a l i s q u o t e d w i t h p e r m i s s i o n , a n d s o u r c e s a r e i n d i c a t e d .A w i d e v a r i e t y o f r e f e r e n c e s a r e l i s t e d . R e a s o n a b l e e f f o r t s h a v e b e e n m a d e t op u b l i s h r e l i a b l e d a t a a n d i n f o r m a t i o n , b u t t h e a u t h o r a n d t h e p u b l i s h e r c a n n o ta s s u m e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e v a l i d i t y o f a l l m a t e r i a l s o r f o r t h e c o n s e q u e n c e s o ft h e i r u s e .N e i t h e r t h i s b o o k n o r a n y p a r t m a y b e r e p r o d u c e d o r t r a n s m i t t e d i n a n y f o r mo r b y a n y m e a n s , e l e c t r o n i c o r m e c h a n i c a l , i n c l u d i n g p h o t o c o p y i n g , m i c r o f i l m i n g .a n d r e c o r d i n g , o r b y a n y i n f o r m a t i o n s t o r a g e o r r e t r i e v a l s y s t e m , w i t h o u t p r i o rp e r m i s s i o n i n w r i t i n g f r o m t h e p u b l i s h e r .T h e c o n s e n t o f C R C P r e s s L L C d o e s n o t e x t e n d t o c o p y i n g f o r g e n e r a l d i s t r i -b u t i o n , f o r p r o m o t i o n , f o r c r e a t i n g n e w w o r k s , o r f o r r e s a l e . S p e c i f i c p e r m i s s i o nm u s t b e o b t a i n e d i n w r i t i n g f r o m C R C P r e s s L L C f o r s u c h c o p y i n g .D i r e c t a l l i n q u i r i e s t o C R C P r e s s L L C . 2 0 0 0 N . W . C o r p o r a t e B l v d . , B o c a R a t o n ,F l o r i d a 3 3 4 3 1 .T r a d e m a r k N o t i c e : P r o d u c t o r c o r p o r a t e n a m e s m a y b e t r a d e m a r k s o r r e g i s -t e r e d t r a d e m a r k s , a n d a r e u s e d o n l y f o r i d e n t i f i c a t i o n a n d e x p l a n a t i o n , w i t h o u ti n t e n t t o i n f r i n g e .

2 0 0 0 b y C h a p m a n & H a l l / C R CN o c l a i m t o o r i g i n a l U . S . G o v e r n m e n t w o r k sI n t e r n a t i o n a l S t a n d a r d B o o k N u m b e r 1 - 5 8 4 8 8 - 0 1 6 - 3L i b r a r y o f C o n g r e s s C a r d N u m b e r 9 9 - 2 7 3 2 1P r i n t e d i n t h e U n i t e d S t a t e s o f A m e r i c a I 2 3 4 5 6 7 8 9 0P r i n t e d o n a c i d - f r e e p a p e r


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C o n t e n t sC o n t e n t sP r e f a c eC h a p t e r 1 . L o c a l T h e o r y o n P a r t i a l D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s o f F i r s t - O r d e r 11 . 1 . C h a r a c t e r i s t i c m e t h o d a n d e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s 1

1 . 2 . A t h e o r e m o f A . H a a r 71 . 3 . A t h e o r e m o f T . 8C h a p t e r 2 . L i f e S p a n s o f C l a s s i c a l S o l u t i o n s o f P a r t i a lD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s o f F i r s t - O r d e r 1 22 . 1 . I n t r o d u c t i o n 1 22 . 2 . L i f e s p a n s o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s 1 32 . 3 . G l o b a l e x i s t e n c e o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s 1 8C h a p t e r 3 . B e h a v i o r o f C h a r a c t e r i s t i c C u r v e s a n dP r o l o n g a t i o n o f C l a s s i c a l S o l u t i o n s 2 23 . 1 . I n t r o d u c t i o n 2 23 . 2 . E x a m p l e s 2 33 . 3 . P r o l o n g a t i o n o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s 2 43 . 4 . S u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r c o l l i s i o n o f c h a r a c t e r i s t i c c u r v e s I 2 63 . 5 . S u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r c o l l i s i o n o f c h a r a c t e r i s t i c c u r v e s I I 2 8C h a p t e r 4 . E q u a t i o n s o f H a m i l t o n - J a c o b i T y p e i n O n e

S p a c e D i m e n s i o n 3 04 . 1 . N o n e x i s t e n c e o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s a n d h i s t o r i c a l r e m a r k s 3 04 . 2 . C o n s t r u c t i o n o f g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s 3 44 . 3 . S e m i - c o n c a v i t y o f g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s 3 84 . 4 . C o l l i s i o n o f s i n g u l a r i t i e s 4 1C h a p t e r 5 . Q u a s i - l i n e a r P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s o fF i r s t - O r d e r 4 45 . 1 . I n t r o d u c t i o n a n d p r o b l e m s 4 45 . 2 . D i f f e r e n c e b e t w e e n e q u a t i o n s o f t h e c o n s e r v a t i o n l a w a n de q u a t i o n s o f H a m i l t o n - J a c o b i t y p e 4 75 . 3 . C o n s t r u c t i o n o f s i n g u l a r i t i e s o f w e a k s o l u t i o n s 4 85 . 4 . E n t r o p y c o n d i t i o n 5 2C h a p t e r 6 . C o n s t r u c t i o n o f S i n g u l a r i t i e s f o r H a m i l t o n -J a c o b i E q u a t i o n s i n T w o S p a c e D i m e n s i o n s 5 56 . 1 . I n t r o d u c t i o n 5 5


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C O N T E N T S1 3 . 2 . S m o o t h n e s s o f g l o b a l s o l u t i o n s 2 0 51 3 . 3 . R e l a t i o n s h i p b e t w e e n m i n i r n a x a n d v i s c o s i t y s o l u t i o n s 2 0 8A p p e n d i x I . G l o b a l E x i s t e n c e o f C h a r a c t e r i s t i c C u r v e s 2 1 4A p p e n d i x I I . C o n v e x F u n c t i o n s , M u l t i f u n c t i o n s , a n dD i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n s 2 1 7A I I . 1 . C o n v e x f u n c t i o n s 2 1 7A I I . 2 . M u l t i f u n c t i o n s a n d d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s 2 2 2R e f e r e n c e s 2 2 7I n d e x 2 3 6


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P r e f a c eO n e o f t h e m a i n r e s u l t s o f t h e c l a s s i c a l t h e o r y o f f i r s t - o r d e r p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( P D E s ) i s t h e c h a r a c t e r i s t i c m e t h o d w h i c h a s s e r t s t h a t u n d e r c e r t a i na s s u m p t i o n s t h e C a u c h y p r o b l e m c a n b e r e d u c e d t o t h e c o r r e s p o n d i n g c h a r a c t e r i s t i cs y s t e m o f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( O D E s ) . T o i l l u s t r a t e t h i s , l e t u s c o n s i d e rt h e C a u c h y p r o b l e m f o r t h e n o n v i s c i d B u r g e r e q u a t i o n :

, 3 u O u + u - - - - = O , t > O , X E R ,O t O xu ( O , x ) = h ( x ) , X E R .

W e t r y t o r e d u c e t h e p r o b l e m ( 1 ) - ( 2 ) t o a n O D E a l o n g s o m e c u r v e x = x ( t ) . M o r ep r e c i s e l y , l e t u s f i n d x = x ( t ) s u c h t h a tx ( t ) ) = x ( t ) ) + u ( t , x ( t ) ) .

B y t h e c h a i n r u l e , w e m a y s i m p l y r e q u i r e d x / d t = u , a n d s o t h e c h a r a c t e r i s t 2 c sx = x ( t ) c a n b e d e f i n e d b y d x = u ( t , x ) .A l o n g e a c h c h a r a c t e r i s t i c x = x ( t ) w e h a v e d u / d t = 0 , i . e . , t i = u ( i , x ( t ) ) t a k e s ac o n s t a n t v a l u e a n d t h e n t h e c h a r a c t e r i s t i c m u s t b e a s t r a i g h t l i n e w i t h s l o p e g i v e nb y ( 3 ) .T h u s , b y t h e i n i t i a l d a t a ( 2 ) , t h e c h a r a c t e r i s t i c p a s s i n g t h r o u g h a n y g i v e n p o i n t( 0 , s ) o n t h e x - a x i s i s x = a + h ( s ) t ,o n w h i c h u h a s t h e c o n s t a n t v a l u e :

u = h ( s ) .H e n c e , i f t h e C 1 - n o r m o f h = h ( s ) i s b o u n d e d , t h e n , b y m e a n s o f t h e i m p l i c i tf u n c t i o n t h e o r e m a n d ( 4 ) , w e c a n g e t

S = . s ( t , x )


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P R E F A C Ef o r s m a l l v a l u e s o f t . S u b s t i t u t i n g ( 6 ) i n t o ( 5 ) g i v e s t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n ( C 1 -s o l u t i o n ) u = h ( s ( t , z ) ) ( 7 )t o o u r C a u c h y p r o b l e m ( 1 ) - ( 2 ) . H o w e v e r , i n g e n e r a l , t h i s s o l u t i o n e x i s t s o n l y l o c a l l yi n t i m e . I n f a c t , i f h = h ( s ) i s n o t a n o n d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f s , t h e r e e x i s t t w op o i n t s a n d ( 0 , 5 2 ) o n t h e x - a x i s s u c h t h a t

< s 2 a n d h ( s 1 ) > h ( s 2 ) . ( 8 )T h e n t h e c h a r a c t e r i s t i c c u r v e s b e g i n n i n g f r o m ( 0 , S i ) a n d ( 0 , s 2 ) w i l l i n t e r s e c t a tt i m e

S i n c e t h e s o l u t i o n u = u ( t , x ) i s c o n s t a n t a l o n g e a c h o f t h e t w o c u r v e s b u t h a sd i f f e r e n t v a l u e s h ( s i ) a n d h ( s 2 ) , r e s p e c t i v e l y , a t t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t , t h e v a l u eo f t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n c a n n o t b e u n i q u e l y d e t e r m i n e d . H e n c e , i n t h i s c a s e t h eC a u c h y p r o b l e m ( 1 ) - ( 2 ) n e v e r a d m i t s a g l o b a l c l a s s i c a l s o l u t i o n o n { t O } ; i n f a c t ,t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n w i l l b l o w u p i n a f i n i t e t i m e n o m a t t e r h o w s m o o t h a n d s m a l lt h e i n i t i a l d a t a h = h ( s ) a r e .O n t h e o t h e r h a n d , i f h = h ( s ) i s a n o n d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f s , t h e n t h ec h a r a c t e r i s t i c s e m a n a t i n g f r o m d i s t i n c t p o i n t s ( 0 , a n d ( 0 , 8 2 ) o n t h e s - a x i s w i Un o t i n t e r s e c t , a n d t h u s t h e s o l u t i o n u = u ( t , x ) w i l l e x i s t g l o b a l l y f o r t 0 .T h e p r e v i o u s e x a m p l e s h o w s , g e n e r a l l y s p e a k i n g , t h a t f o r ( f i r s t - o r d e r ) n o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o r s y s t e m s , c l a s s i c a l s o l u t i o n s t o t h e C a u c h y p r o b l e me x i s t o n l y l o c a l l y i n t i m e , w h i l e s i n g u l a r i t i e s m a y o c c u r i n a f i n i t e t i m e , e v e n i f t h ei n i t i a l d a t a a r e s u f f i c i e n t l y s m o o t h a n d s m a l l . T h e r e f o r e , t h e n o t i o n s o f g e n e r a l i z e ds o l u t i o n s o r w e a k s o l u t i o n s h a v e b e e n i n t r o d u c e d . I n f a c t , t h e g l o b a l e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s h a v e b e e n w e l l s t u d i e d f r o m v a r i o u s k i n d s o fv i e w p o i n t s .I n t h e 1 9 5 0 s 1 9 7 0 s , t h e t h e o r y a n d m e t h o d s f o r c o n s t r u c t i n g g e n e r a l i z e d s o -l u t i o n s o f f i r s t - o r d e r P D E s w e r e d i s c o v e r e d b y A i z a w a , S . [ 2 ] - [ 4 ] , B a k h v a l o v , B e n -t o n , S . H . 1 2 1 ] , C o n w a y , E . D . 1 3 2 1 - 1 3 3 1 , D o u g l i s , A . [ 4 4 ] - [ 4 5 ] , E v a n , C . , F l e m i n g , W . H .[ 5 1 1 - 1 5 2 1 , F r i e d m a n , A . [ 5 4 1 , C e l f a n d , I . M . , C o d u n o v , S . K . , H o p f , E . [ 6 3 ] - [ 6 4 j ,K u z n e t s o v , N . N . [ 9 5 ] , L a x , P . D . [ 9 7 ] - [ 9 8 ] , O l e i n i k , O . A . [ 1 1 2 ) , R o z d e s t v e n s k i i , B . L .[ 1 1 8 ] , a n d o t h e r m a t h e m a t i c i a n s . A m o n g t h e i n v e s t i g a t i o n s o f t h i s p e r i o d w e s h o u l dm e n t i o n t h e r e s u l t s o f K r u z h k o v , S . N . ( [ 8 7 ) - [ 9 2 ] , [ 9 4 ) ) , w h i c h w e r e o b t a i n e d f o rH a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n s w i t h c o n v e x H a m i l t o n i a n . T h e g l o b a l e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s f o r c o n v e x H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n s w e r e w e l ls t u d i e d b y s e v e r a l m e t h o d s : v a r i a t i o n a l m e t h o d , m e t h o d o f e n v e l o p e s , v a n i s h i n gv i s c o s i t y m e t h o d , n o n l i n e a r s e m i - g r o u p m e t h o d , e t c .S i n c e t h e e a r l y 1 9 8 0 s , t h e c o n c e p t o f v i s c o s i t y s o l u t i o n s i n t r o d u c e d b y C r a n d a l la n d L i o n s h a s b e e n u s e d i n a l a r g e p o r t i o n o f r e s e a r c h i n a n o n c l a s s i c a l t h e o r y o ff i r s t - o r d e r n o n l i n e a r P D E s a s w e l l a s i n o t h e r t y p e s o f P D E s . T h e p r i m a r y v i r t u e so f t h i s t h e o r y a r e t h a t i t a l l o w s m e r e l y n o n s m o o t h f u n c t i o n s t o b e s o l u t i o n s o fn o n l i n e a r P D E s , i t p r o v i d e s v e r y g e n e r a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s t h e o r e m s , a n d i t


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P R E F A C Ey i e l d s p r e c i s e f o r m u l a t i o n s o f g e n e r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . L e t u s m e n t i o n h e r e t h en a m e s : C r a n d a l l , M . G . , L i o n s , P . - L . , A i z a w a , S . , B a r b u , V . , B a r d i , M . , B a r l e s , G . ,B a r r o n , E . N . , C a p p u z z o - D o l c e t t a , I . , D u p u i s , P . , E v a n s , L . C . , I s h i i , H . , J e n s e n , R . ,L e n h a r t , S . , O s h e r , S . , P e r t h a m e , B . , S o r a v i a , P . , S o u g a n i d i s , P . E . , T a t a r u , D . ,T o i n i t a , Y . , Y a m a d a , N . , a n d m a n y o t h e r s ( s e e [ 5 1 , [ 1 0 ] - [ 2 0 ] , [ 2 8 ] , [ 3 5 1 - 1 3 9 ] , [ 4 7 1 - 1 5 0 1 ,[ 6 7 ] - [ 7 2 ] , [ 7 9 ] , [ 9 9 ] - [ 1 O 1 ] , [ 1 2 2 ] - [ 1 2 3 J , [ 1 3 1 1 , a n d t h e r e f e r e n c e s t h e r e i n ) , w h o s e c o n -t r i b u t i o n s m a k e g r e a t p r o g r e s s i n n o n l i n e a r P D E s , a n d w h e r e t h e g l o b a l e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o f v i s c o s i t y s o l u t i o n s h a v e b e e n e s t a b l i s h e d a l m o s t c o m p l e t e l y . T h ec o n c e p t o f v i s c o s i t y s o l u t i o n s i s m o t i v a t e d b y t h e c l a s s i c a l m a x i m u m p r i n c i p l e w h i c hd i s t i n g u i s h e s i t f r o m o t h e r d e f i n i t i o n s o f g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s .A n o t h e r d i r e c t i o n i n t h e t h e o r y o f g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s i s m o t i v a t e d b y d i f -f e r e n t i a l g a m e t h e o r y a s s u g g e s t e d b y A . ! . S u b b o t i n . T h i s l e a d s t o t h e n o t i o n o fm i n i m a x s o l u t i o n s o f f i r s t - o r d e r n o n l i n e a r P D E s . A s t h e t e r m i n o l o g y " m i n i m a xs o l u t i o n s " i n d i c a t e s , t h e d e f i n i t i o n o f s u c h g l o b a l s o l u t i o n s i s c l o s e l y c o n n e c t e d w i t ht h e m i n i m a x o p e r a t i o n s . T h i s d e f i n i t i o n i s b a s e d , t o s o m e e x t e n t , o n t h e s o - c a l l e d" c h a r a c t e r i s t i c i n c l u s i o n s " ( a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c l a s s i c a l c h a r a c t e r i s t i c s y s t e m i nt h i s s i t u a t i o n ) . S u b b o t i n a n d h i s c o w o r k e r s ( 1 1 ] , [ 1 2 4 ] - [ 1 2 7 ] , [ 1 2 9 1 - 1 1 3 0 1 ) d e v e l o p e da n e f f e c t i v e t h e o r y o f m i n i m a x s o l u t i o n s t o f i r s t - o r d e r s i n g l e P D E s a n d g a v e n i c ea p p l i c a t i o n s t o c o n t r o l p r o b l e m s a n d d i f f e r e n t i a l g a m e s . T h e r e s e a r c h o f r n i n i m a xs o l u t i o n s e m p l o y s m e t h o d s o f n o n s m o o t h a n a l y s i s , L y a p u n o v f u n c t i o n s , d y n a m i c a lo p t i m i z a t i o n , a n d t h e t h e o r y o f d i f f e r e n t i a l g a m e s . A t t h e s a m e t i m e , t h e r e s e a r c hc o n t r i b u t e s t o t h e d e v e l o p m e n t o f t h e s e b r a n c h e s o f m a t h e m a t i c s . A r e v i e w o ft h e r e s u l t s o n m i n i m a x s o l u t i o n s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s t o c o n t r o l p r o b l e m s a n dd i f f e r e n t i a l g a m e s i s g i v e n i n [ 1 2 4 ] - [ 1 2 5 ] .W e a l s o w a n t t o m e n t i o n t h e i n v e s t i g a t i o n s o n P D E s b a s e d o n t h e i d e m p o t e n ta n a l y s i s a n d C o l e - H o p f t r a n s f o r m a t i o n , w h i c h h a v e b e e n d i s c o v e r e d b y V . P . M a s l o va n d h i s c o w o r k e r s . I n d e e d , V . P . M a s l o v , V . N . K o l o k o l ' t s o v , S . N . S a i n b o r s k i i , a n do t h e r s d e v e l o p e d a n o n c l a s s i c a l a p p r o a c h t o d e f i n e t h e w e a k g l o b a l s o l u t i o n s t o f i r s t -o r d e r n o n l i n e a r P D E s , i n w h i c h b y a s u i t a b l e s t r u c t u r e o f n e w f u n c t i o n s e m i m o d u l e s ,n o n l i n e a r o p e r a t o r s b e c o m e " l i n e a r " o n e s . I n t h i s d i r e c t i o n , b a s e d o n t h e m e t h o d sa n d r e s u l t s o f t h e w e l l - d e v e l o p e d l i n e a r m a t h e m a t i c a l p h y s i c s , i n v e s t i g a t i o n s o ff i r s t - o r d e r n o n l i n e a r P D E s w i t h c o n v e x H a s n i l t o n i a n h a v e b e e n c o n s i d e r e d ( s e e [ 8 2 ] ,[ 1 0 5 ] ) .C o n c e r n i n g t h e t h e o r y o f d i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e s , l e t u s m e n t i o n t h a t t h e t h e o r yo f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e s w a s o r i g i n a t e d b y C h a p l y g i n [ 3 0 ] a n d K a z n k e1 8 1 ] , a n d t h e n d e v e l o p e d b y [ 1 5 7 ] . I t s m a i n a p p l i c a t i o n s t o t h e C a u c h yp r o b l e m f o r ( o r d i n a r y ) d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c o n c e r n q u e s t i o n s s u c h a s : e s t i m a t e so f s o l u t i o n s a n d o f t h e i r e x i s t e n c e i n t e r v a l s , e s t i m a t e s o f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t w os o l u t i o n s , c r i t e r i a o f u n i q u e n e s s a n d o f c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o n i n i t i a l d a t a a n dr i g h t s i d e s o f e q u a t i o n s f o r s o l u t i o n s , C h a p l y g i n ' s m e t h o d a n d a p p r o x i m a t i o n o f s o -l u t i o n s , e t c . R e s u l t s i n t h i s d i r e c t i o n w e r e a l s o e x t e n d e d t o ( a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s )s o l u t i o n s o f t h e C a u c h y p r o b l e m f o r c o u n t a b l e s y s t e m s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s a t -i s f y i n g C a r a t h o d o r y ' s c o n d i t i o n s . W e r e f e r t o S z a r s k i [ 1 2 8 ] f o r a s y s t e m a t i c s t u d yo f s u c h s u b j e c t s .


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P R E F A C EA s f o r t h e t h e o r y o f p a r t i a l d i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e s , t h e f i r s t a c h i e v e m e n t s w e r eo b t a i n e d b y H a a r [ 6 1 1 , N a g u m o [ 1 0 7 ] , a n d t h e n b y [ 1 5 4 ] . U p t o n o w t h et h e o r y h a s a t t r a c t e d a g r e a t d e a l o f a t t e n t i o n . ( T h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o D e i m -l i n g [ 4 0 ] , L a k s h n i i k a n t h a i n a n d L e e l a [ 9 6 ] , S z a r s k i [ 1 2 8 1 , a n d W a l t e r [ 1 5 3 ) , f o r t h e

c o m p l e t e b i b l i o g r a p h y . )I t m u s t b e p o i n t e d o u t t h a t t h e c h a r a c t e r i s t i c m e t h o d g i v e s u s t h e l o c a l e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s t o f i r s t - o r d e r n o n l i n e a r P D E s . W e w o u l d l i k et o u s e t h i s m e t h o d a s a n i m p o r t a n t b a s i s f o r s e t t i n g t h e g l o b a l g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s .T h i s b o o k i s d e v o t e d t o s o m e d e v e l o p m e n t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c m e t h o d a n d m a i n l yr e p r e s e n t s o u r r e s u l t s o n f i r s t - o r d e r n o n l i n e a r P D E s .O u r a i m i n t h e f i r s t s e v e n c h a p t e r s i s t o f i l l a g a p b e t w e e n t h e l o c a l t h e o r yo b t a i n e d b y t h e c h a r a c t e r i s t i c m e t h o d a n d t h e g l o b a l t h e o r y w h i c h p r i n c i p a l l y d e -p e n d s o n v a n i s h i n g v i s c o s i t y m e t h o d . T h i s i s t o s a y , w e t r y t o e x t e n d t h e s m o o t hs o l u t i o n s o b t a i n e d b y t h e c h a r a c t e r i s t i c m e t h o d . O u r f i r s t p r o b l e m t h e n i s t o d e t e r -m i n e t h e l i f e s p a n s o f t h e s m o o t h s o l u t i o n s . N e x t , w e w a n t t o o b t a i n t h e g e n e r a l i z e ds o l u t i o n s o r w e a k s o l u t i o n s b y e x p l i c i t l y c o n s t r u c t i n g t h e i r s i n g u l a r i t i e s .I n C h a p t e r 1 , w e p r e s e n t t h e c l a s s i c a l r e s u l t s w h i c h a r e n e c e s s a r y f o r o u r f o l l o w -i n g d i s c u s s i o n s : t h e c h a r a c t e r i s t i c m e t h o d , e x i s t e n c e o f l o c a l s o l u t i o n s , a n d T h e o -r e m s o f H a a r a n d o n t h e u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s t o t h e C a u c h y p r o b l e mi n C 1 - s p a c e .C h a p t e r 2 i s d e v o t e d t o t h e l i f e s p a n s o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s o f t h e n o n c h a r a c t e r -i s t i c C a u c h y p r o b l e m . O u r m e t h o d d e p e n d s o n t h e a n a l y s i s o f t h e s m o o t h m a p p i n go b t a i n e d b y t h e f a m i l y o f c h a r a c t e r i s t i c c u r v e s . E v e n i f t h e J a c o b i a n o f t h e m a p p i n gm a y v a n i s h a t s o m e p o i n t , w e c a n s o m e t i m e s e x t e n d t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n b e y o n dt h e p o i n t w h e r e t h e J a c o b i a n v a n i s h e s . T h e r e f o r e , w e a r e o b l i g e d t o c o n s i d e r v e r yo f t e n s o m e p r o p e r t i e s o f t h e i n v e r s e o f t h e m a p p i n g i n a n e i g h b o r h o o d o f a s i n g u l a rp o i n t . T h i s i s t h e s u b j e c t o f C h a p t e r 3 .I n C h a p t e r s 4 a n d 5 , w e c o n s i d e r t h e e x t e n s i o n o f s o l u t i o n s b e y o n d t h e s i n g u -l a r i t i e s o f s o l u t i o n s i n t h e c a s e w h e r e t h e d i m e n s i o n o f s p a c e i s e q u a l t o o n e . T h e no u r p r i n c i p a l p r o b l e m i s t o c o n s t r u c t t h e s i n g u l a r i t i e s o f g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s o r o fw e a k s o l u t i o n s .T h e t h e m e o f c o n s t r u c t i n g t h e s i n g u l a r i t i e s o f s o l u t i o n s i s p i c k e d u p a g a i n i nC h a p t e r 6 f o r c o n v e x H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n s i n t w o s p a c e d i m e n s i o n s . T h ed i f f e r e n c e b e t w e e n C h a p t e r s 4 - 5 a n d t h i s o n e i s t h e d i m e n s i o n o f s p a c e . B u t t h ep r o b l e m c a u s e d b y t h i s d i f f e r e n c e w o u l d b e c o m e m u c h m o r e c o m p l i c a t e d .I n C h a p t e r 7 , w e t r e a t t h e c a s e w h e r e e q u a t i o n s a r e n o t c o n v e x a n d n o t c o n c a v e .W e w i l l g i v e o n l y t y p i c a l p h e n o m e n a a p p e a r i n g i n t h e s e c a s e s w i t h o u t d e v e l o p i n ga g e n e r a l t h e o r y .I n t h e l a s t s i x c h a p t e r s , t h e f i r s t - o r d e r P D E s u n d e r c o n s i d e r a t i o n a r e a l w a y sa s s u m e d t o s a t i s f y C a r a t h o d o r y ' s c o n d i t i o n s ( o r s o m e t h i n g l i k e t h e m ) . C h a p t e r8 i n t r o d u c e s t h e s o - c a l l e d d i f f e r e n t i a l i n e q t z a l i t i e s o f H a a r t y p e . H e r e w e u s e s o m en e w t e c h n i q u e s b a s e d o n t h e t h e o r y o f m u l t i f u n c t i o n s a n d d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s t oi n v e s t i g a t e t h e u n i q u e n e s s p r o b l e m . T h e i d e a o r i g i n a t e s f r o m t h e g e n e r a l i z e d c h a r -a c t e r i s t i c m e t h o d . R o u g h l y s p e a k i n g , " c h a r a c t e r i s t i c d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s " a n d


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P R E F A C E" c h a r a c t e r i s t i c b u n d l e s " a r e i n v o k e d i n s t e a d o f c h a r a c t e r i s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n d c h a r a c t e r i s t i c c u r v e s .C h a p t e r s 9 - 1 0 a r e d e v o t e d t o t h e s t u d y o f H o p f - t y p e f o r m u l a s f o r g l o b a l s o l u t z o n st o t h e C a u c h y p r o b l e m i n t h e c a s e o f n o n - c o n v e x , n o n - c o n c a v e H a r n i l t o n i a n s o ri n i t i a l d a t a . I n C h a p t e r 9 , w e f i r s t c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h e i n i t i a l d a t a c a nb e r e p r e s e n t e d a s t h e m i n i m u m o f a f a m i l y o f c o n v e x f u n c t i o n s , a n d n e x t t h e c a s ew h e r e i t i s a d . c . f u n c t i o n ( i . e . , i t c a n b e r e p r e s e n t e d a s t h e d i f f e r e n c e o f t w o c o n v e xf u n c t i o n s ) . I n C h a p t e r 1 0 , t h e H a z n i l t o n i a n s a r e c o n c a v e - c o n v e x f u n c t i o n s .T h e m e t h o d o f C h a p t e r s 8 - 1 0 a l l o w s u s t o d e a l w i t h g l o b a l s o l u t i o n s , t h e c o n -d i t i o n o n w h o s e s m o o t h n e s s i s r e l a x e d s i g n i f i c a n t l y . I n C h a p t e r 1 1 , w e p r o p o s e t h en o t i o n o f g l o b a l s e m i c l a s s i c a l s o l u t i o n s , w h i c h n e e d o n l y b e a b s o l u t e l y c o n t i n u o u si n t h e t i m e v a r i a b l e , a n d i n v e s t i g a t e t h e i r u n i q u e n e s s a n d e x i s t e n c e . B y t h e w a y ,a n a n s w e r t o a n o p e n u n i q u e n e s s p r o b l e m o f S . N . K r u z h k o v 1 9 3 ] i s g i v e n .I n C h a p t e r 1 2 , w e e x t e n d t h e n o t i o n o f S u b b o t i n ' s m i n i m a x s o l u t i o n s t o t h e c a s eo f f i r s t - o r d e r n o n l i n e a r P D E s w i t h t i m e - m e a s u r a b l e H a m i l t o n i a n . T h e u n i q u e n e s sa n d e x i s t e n c e o f s u c h s o l u t i o n s a r e i n v e s t i g a t e d b y t h e t h e o r y o f m u l t i f u n c t i o n s a n dd i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s . O u r r o a d h e r e i s d e v i o u s ( b y s o m e " p e r t u r b a t i o n t e c h n i q u e "o n s e t s o f L e b e s g u e m e a s u r e 0 ) , a n d p r o c e e d s v i a a n i m p l i c i t v e r s i o n o f G r o n w a l l ' si n e q u a l i t y a n d v i a a s h a r p e n i n g o f a w e l l - k n o w n t h e o r e m o n t h e L e b e s g u e s e t s f o rf u n c t i o n s w i t h p a r a m e t e r s . T h e r e s u l t s a r e n e w e v e n w h e n r e s t r i c t e d t o t h e c a s eo f c o n t i n u o u s H a m i l t o n i a n s . G e n e r a l i z a t i o n s f o r m o n o t o n e s y s t e m s w i l l a l s o b ec o n s i d e r e d .F i n a l l y , i n C h a p t e r 1 3 w e e x a m i n e H o p f ' s f o r m u l a s i n r e l a t i o n s w i t h t h e c o n -s t r u c t i o n o f g l o b a l s o l u t i o n s v i a c h a r a c t e r i s t i c s a n d t h e s m o o t h n e s s o f t h e s o l u t i o n s .I n t h i s c h a p t e r , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m i n i m a x a n d v i s c o s i t y s o l u t i o n s i s a l s oi n v e s t i g a t e d .W e h a v e t o s a y t h a t t h i s b o o k i s n o t d e s i g n e d a s a n i n t r o d u c t i o n t o , o r a g u i d e -b o o k o n , t h e g e n e r a l t h e o r y o f f i r s t - o r d e r n o n l i n e a r P D E s . O u r g o a l i s n o t t o t r y t oc o v e r a s m a n y s u b j e c t s a s p o s s i b l e , b u t r a t h e r t o c o n c e n t r a t e o n s o m e b a s i c f a c t sa n d i d e a s o f t h e g e n e r a l i z e d c h a r a c t e r i s t i c m e t h o d s f o r s t u d y i n g g l o b a l s o l u t i o n s .

S u i t a b l e a s a t e x t , t h e b o o k i s s e l f - c o n t a i n e d a n d a s s u m e s a s p r e r e q u i s i t e s o n l yc a l c u l u s , l i n e a r a l g e b r a , t o p o l o g y , O D E s , a n d b a s i c m e a s u r e t h e o r y . I n t h e a p -p e n d i c e s a t t h e e n d o f t h e b o o k w e c o l l e c t n e c e s s a r y f a c t s , m o s t l y o f n o n s m o o t ha n a l y s i s a n d t h e t h e o r y o f d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s .T h e a u t h o r s a r e g r a t e f u l t o P r o f e s s o r H . B e g e h r f o r h i s p r o p o s a l t h a t w e p r e p a r et h i s b o o k f o r C h a p m a n & H a l l / C R C M o n o g r a p h s a n d S u r v e y s i n P u r e a n d A p p l i e dM a t h e m a t i c s .T h e w o r k o f t h e f i r s t a n d t h i r d n a m e d a u t h o r s w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e N a -t i o n a l C e n t e r f o r N a t u r a l S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y a n d t h e N a t i o n a l B a s i c R e s e a r c hP r o g r a m i n N a t u r a l S c i e n c e , V i e t n a m . S o m e p a r t s o f t h i s m o n o g r a g h w e r e w r i t t e na n d t y p e s e t a t O h i o U n i v e r s i t y ( U S A ) w h e r e t h e t h i r d n a m e d a u t h o r w a s a g u e s tf o r t w o q u a r t e r s i n 1 9 9 8 b y i n v i t a t i o n o f t h e D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , C o l l e g eo f A r t s a n d S c i e n c e s . W e r e c o r d h e r e o u r g r a t i t u d e f o r a l l t h e s u p p o r t a n d h e l p w er e c e i v e d f r o m t h e s e i n s t i t u t i o n s .


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C h a p t e r 1L o c a l T h e o r y o nP a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n so f F i r s t - O r d e r

1 . 1 . C h a r a c t e r i s t i c m e t h o d a n d e x i s t e n c e o f s o l u t i o n sP a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f f i r s t - o r d e r h a v e b e e n s t u d i e d f r o m v a r i o u s p o i n t s o fv i e w : f o r e x a m p l e , c l a s s i c a l m e c h a n i c s , v a r i a t i o n a l m e t h o d , g e o m e t r i c a l o p t i c s , e t c .I n t h i s c h a p t e r w e w i l l a l w a y s s u p p o s e t h a t t h e e q u a t i o n s a n d s o l u t i o n s a r e r e a l -v a l u e d . T h e c l a s s i c a l m e t h o d t o s o l v e t h e e q u a t i o n s i s t h e c h a r a c t e r i s t i c m e t h o d .A s t h i s i s t h e f u n d a m e n t a l t o o l i n o u r f o l l o w i n g d i s c u s s i o n s , w e w i l l g i v e h e r e a b r i e fe x p l a n a t i o n o f t h e m e t h o d . F o r m o r e d e t a i l e d r e s u l t s a n d g e o m e t r i c a l m e a n i n g s ,r e f e r t o , f o r e x a m p l e , R . C o u r a n t a n d D . H i l b e r t [ 3 4 ] a n d F . J o h n [ 8 0 ] .

F i r s t w e c o n s i d e r a q u a s i - l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f f i r s t - o r d e r a sf o l l o w s :

+ = a o ( t , x , u ) i n U ,t z ( 0 , x ) = 4 ) ( x ) o n

U i s a n o p e n n e i g h b o r h o o d o f ( i , x ) = ( 0 , 0 ) . L e t V b e a n o p e n n e i g h b o r h o o do f { ( 0 , x , 4 ) ( x ) ) : x U 0 } i n A s s u m e t h a t a 1 = a , ( t , x , u ) ( 1 = 0 , 1 , . . . , n )a n d 4 ) = 4 ) ( x ) a r e o f c l a s s C 1 i n V a n d U 0 , r e s p e c t i v e l y . A f u n c t i o n i s s a i d t o b eo f c l a s s G i l i f i t i s k - t i m e s c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e , a n d C k ( U ) i s t h e f a m i l y o ff u n c t i o n s b e i n g o f c l a s s C " i n U . A C " - f u n c t i o n m e a n s t h a t i t i s a f u n c t i o n o f c l a s sC k .

C h a r a c t e r i s t i c c u r v e s o f ( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) a r e d e f i n e d b y s o l u t i o n c u r v e s o f t h e f o l l o w i n gs y s t e m o f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s :J ! . a 1 ( i , r , v )= a o ( t , x , v ) .


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1 . L O C A L T H E O R YI n a c c o r d a n c e w i t h ( 1 . 2 ) , t h e i n i t i a l c o n d i t i o n f o r ( 1 . 3 ) i s g i v e n b y

x , ( O ) = ( i = 1 , 2 , . . . , n ) , v ( O ) = ( 1 . 4 )T h e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n ( 1 . 3 ) a r e c a l l e d t h e " c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s "f o r ( 1 . 1 ) , w h e r e w e u s e v = v ( t , y ) i n s t e a d o f u = u ( t , x ) t o a v o i d c o n f u s i o n . I n t h ef o l l o w i n g d i s c u s s i o n s , u = u ( i , x ) i s a s o l u t i o n o f ( 1 . 1 ) a n d v =v ( i , y ) i s a s o l u t i o n o f( 1 . 3 ) - ( 1 . 4 ) w h i c h i s e q u a l t o t h e v a l u e o f i i = u ( t , x ) r e s t r i c t e d o n t h e c o r r e s p o n d i n gs o l u t i o n c u r v e x = x ( t , y ) o f ( 1 . 3 ) - ( 1 . 4 ) . A s a 1 = a 1 ( t , x , v ) ( i = O , 1 , . . . , n ) a n d= a r e o f c l a s s C 1 i n V a n d ( J o , r e s p e c t i v e l y , t h e C a u c h y p r o b l e m ( 1 . 3 ) - ( 1 . 4 )h a s a s y s t e m o f s o l u t i o n s x 1 = x 1 ( i , y ) ( i = 1 , 2 , . . . , n ) a n d v = v ( t , y ) w h i c h a r e o fc l a s s C 1 i n a n e i g h b o r h o o d o f { ( O , y ) : y E U o } .L e t u s f i x o u r n o t a t i o n s o n d e r i v a t i v e s o f f u n c t i o n s . A v e c t o r x i s v e r t i c a l ,i . e . , x = T h e r e f o r e d x / d t = O nt h e o t h e r h a n d , g i v e n a n y r e a l - v a l u e d f u n c t i o n q 5 = q 5 ( x ) , w e w r i t e g r a d 4 ( x ) =

= q V ( x ) = , 8 c 6 / O x , 1 ) . F o r a n n - v e c t o r v a l u e d f u n c t i o nx = x ( y ) o f a n n - v e c t o r y , w e d e f i n e i t s J a c o b i m a t r i x a n d J a c o b i a n , r e s p e c t i v e l y ,b y O x 1 O x 1 O x 1

0 1 1 1 0 1 1 2 O Y nd fa I I Ia m a x n

0 1 , 1 0 1 1 2 0 1 / na n dD x d e l ( O x 1= d e tY \ Y 3 i j = 1 , 2 a

W e w i l l s o m e t i m e s w r i t e t h e J a c o b i m a t r i x s i m p l y b y S i n c e x ( O , y ) = y ,w e s e e t h a t ( D x / D y ) ( t , y ) = 1 f o r t = 0 , y E U o . I n a n e i g h b o r h o o d o f { ( O , y )y E U o } , a s ( D x / D y ) ( t , y ) d o e s n o t v a n i s h , w e c a n u n i q u e l y s o l v e t h e e q u a t i o nx = x ( t , y ) w i t h r e s p e c t t o y a n d w r i t e t h e s o l u t i o n b y y = y ( t , x ) . P u t t i n g u ( t , x )v ( t , y ( t , x ) ) , w e w i l l p r o v e t h a t u = u ( t , x ) s a t i s f i e s ( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) i n a n e i g h b o r h o o d o ft h e o r i g i n .T h e o r e m 1 . 1 . T h e C a u c h y p r o b l e m ( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) h a s u n i q u e l y a s o l u t i o n o f c l a s s C 1i n a n e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n .


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1 . 1 . C H A R A C T E R I S T I C M E T H O D A N D E X I S T E N C E O F S O L U T I O N S 3P r o o f . W e u s e t h e n o t a t i o n s i n t r o d u c e d i n t h e a b o v e . T h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n s a r et r u e o n l y i n t h e d e f i n i t i o n d o m a i n o f = y ( t , x ) . T h i s d o m a i n i s a n e i g h b o r h o o d o ft h e o r i g i n , w h e r e t h e J a c o b i a n ( D x / D y ) ( t , y ) d o e s n o t v a n i s h . A s x = x ( t , y ( t , x ) ) ,w e h a v e

.( p ! - ) = I ( i d e n t i t y m a t r i x ) , ( 1 . 5 )Y j n x 3 i , j = 1 , 2

O x O y i , j = 1 , 2 n

A s u ( t , x ) = v ( t , y ( t , x ) ) , w e h a v eO u O v O v O y= + ( 1 . 7 )

B y ( 1 . 7 ) , u s i n g ( 1 . 5 ) a n d ( 1 . 6 ) , w e g e tO u O v O x= a o ( t , x , u ( t , x ) ) \

O u O x= a o ( i , x , u ( t , x ) ) = a o ( t , x , u )

A s u ( O , x ) = v ( O , y ( O , x ) ) = c S ( s ) , w e s e e t h a t u = u ( t , x ) s a t i s f i e s t h e C a u c h yp r o b l e m ( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) i n t h e a b o v e n e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n .

W e w i l l s h o w t h e u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s . L e t u = u ( t , x ) b e a n y s o l u t i o n o f c l a s sC ' o f ( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) , a n d p u t w h e r e x = x ( t , y ) a n d v = v ( t , y ) a r et h e s o l u t i o n s o f ( 1 . 3 ) - ( 1 . 4 ) . T h e n t h e d i f f e r e n c e w ( t , y ) v ( t , y ) s a t i s f i e st h e f o l l o w i n g C a u c h y p r o b l e m :

J = ( a , ( t , x , v ) + a o ( i , x , v ) )L . w ( O , y ) = 0 .

A s t h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h i s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n c a n b e e s t i m a t e d b y v i =M i w l , w e g e t w ( t , y ) 0 , i . e . v ( i , y ) f o r a n y ( t , y ) i n a n e i g h b o r h o o d o ft h e o r i g i n . T h i s m e a n s t h a t t h e s o l u t i o n o f C ' - c l a s s i s u n i q u e a l o n g t h e c u r v e sx = x ( t , y ) . T h a t i s t o s a y , a s l o n g a s t h e J a c o b i a n ( D s / D y ) ( t , y ) d o e s n o t v a n i s h ,t h e s o l u t i o n o f ( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) i s u n i q u e i n t h e C ' - s p a c e . 0


19/254

1 . L O C A L T R E O R YN e x t w e c o n s i d e r t h e C a u c h y p r o b l e m f o r g e n e r a l p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s

o f f i r s t - o r d e r a s f o l l o w s :i n U ( 1 . 8 )

o nU i s a n o p e n n e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n . L e t V b e a n o p e n n e i g h b o r h o o d o f

: x E U 0 } i n R x R T h x R x A s s u m e t h a t I = f ( t , x , u , p )a n d = a r e o f c l a s s C 2 i n V a n d U 0 , r e s p e c t i v e l y .

C h a r a c t e r i s t i c s t r i p s f o r ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 ) a r e d e f i n e d a s s o l u t i o n c u r v e s o f t h e f o l l o w i n gs y s t e m o f o r d i n a z y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s :

= ( i = 1 , 2 , . . . , n ) ,d v " O f= ( 1 . 1 0 )a td p 1 O f O f= ( z = 1 , 2 , . . . , n ) ,

w i t hx , ( 0 ) = y , , v ( 0 ) = c b ( y ) , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) . ( 1 . 1 1 )

W e r e m a r k t h a t s y s t e m ( 1 . 1 0 ) i s c a l l e d t h e " c h a r a c t e r i s t i c s y s t e m o f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , " o r s i m p l y " c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s , " f o r e q u a t i o n ( 1 . 8 ) . A s I a n da r e o f c l a s s C 2 , t h e C a u c h y p r o b l e m ( 1 . 1 0 ) - ( 1 . 1 1 ) h a s u n i q u e l y t h e s o l u t i o n s x =x ( t , y ) , v = v ( t , y ) a n d p = p ( t , y ) i n a n e i g h b o r h o o d o f t = 0 . M o r e o v e r , t h e y a r eo f c l a s s C 1 w i t h r e s p e c t t o ( t , y ) . A s x ( 0 , y ) = y , w e h a v e ( D x / D y ) ( 0 , y ) = 1 f o ra n y y E U o . T h e r e f o r e , t h e r e e x i s t s a n o p e n n e i g h b o r h o o d W o f { ( 0 , y ) : y E U o }w h e r e t h e J a c o b i a n ( D x / D y ) ( t , y ) d o e s n o t v a n i s h a n d t h e e q u a t i o n x = x ( t , y ) c a nb e u n i q u e l y s o l v e d w i t h r e s p e c t t o y . D e n o t e t h e s o l u t i o n b y y = y ( t , x ) , a n d p u td e f . 2u ( t , x ) = v ( t , y ( t , x ) ) . W e w i l l p r o v e t h a t u = u ( t , x ) i s o f c l a s s C , a n d t h a t i ts a t i s f i e s t h e C a u c h y p r o b l e m ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 ) . F o r t h i s a i m , w e p r e p a r e s o m e l e m m a s .L e m m a 1 . 2 . F o r a l l ( t , y ) i n t h e e x i s t e n c e d o m a i n o f s o l u t i o n s t o ( 1 . 1 0 ) - ( 1 . 1 1 ) ,w e h a v e


20/254

1 . 1 . C H A R A C T E R I S T I C M E T H O D A N I ) E X I S T E N C E O F S O L U T I O N S 5O X 18 1 / i 0 1 / 2

: : : : : : : : : : : : , ( 1 . 1 2 )o x n0 Y 1 8 Y 2 8 Y n

w h e r e p ( t , y ) = ( p i ( t , y ) , p 2 ( t , y ) , . . . , y ) ) .P r o o f . W e p u t

O n O x 1O Y i 0 1 1 2 0 1 / n

d e C t 9 Vz ( t , y ) = p ( t , y )0 1 / 2 0 1 / n

U s i n g ( 1 . 1 0 ) , w e h a v e( y ) =

z ( 0 , y ) = 0 .A s t h i s i s a l i n e a r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n c o n c e r n i n g z = z ( t , y ) , w e g e tz ( t , y ) w O . 0R e m a r k . F i x a n y y E U o , a n d l e t J C R b e a n i n t e r v a l a r o u n d 0 o n w h i c h t h es o l u t i o n s x = x ( t , y ) , v = v ( t , y ) a n d p = p ( t , y ) o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s

( 1 . 1 0 ) - ( 1 . 1 1 ) e x i s t . T h e n ( 1 . 1 2 ) i s t r u e f o r e a c h t E J e v e n i f t h e J a c o b i a n m a yv a n i s h a t ( i , y ) .

R e c a l l t h a t i n W w e h a v e ( D x / D y ) ( t , y ) 0 , a n d w e c a n u n i q u e l y s o l v e t h ee q u a t i o n x = x ( t , y ) w i t h r e s p e c t t o y . T h e s o l u t i o n h a s b e e n d e n o t e d b y y = y ( t , x )d e Ca n d u s e d t o d e f i n e u ( t , x ) = v ( t , y ( t , x ) ) .

C o r o l l a r y 1 . 3 . I n t h e d e f i n i t i o n d o m a i n o f y = y ( t , x ) , w e h a v e= ( i = 1 , 2 , . . . , n ) .

U s i n g L e m m a 1 . 2 a n d i t s c o r o l l a r y , w e g e t t h e f o l l o w i n g :


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1 . L O C A L T H E O R YT h e o r e m 1 . 4 . S u p p o s e f 6 C 2 a n d 6 C 2 . T h e n t h e C a u c h y p r o b l e m ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 )h a s u n i q u e l y a s o l u t i o n o f c l a s s C 2 i n a n e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n .P r o o f . W e f i r s t p r o v e t h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s . L e t u ( t , x ) v ( t , y ( t , x ) ) a s i nt h e a b o v e n o t a t i o n s . B y L e m m a 1 . 2 a n d C o r o l l a r y 1 . 3 , u s i n g ( 1 . 1 0 ) , w e h a v e

O u i 9 v O yx ) = y ( t , x ) ) + y ( t , x ) ) . x )= f ( t , x , v , p ) p ( t , y ( t , x ) )

$ 1 < i , j < n1 $= f ( i , x , v , p ) p ( t , y ) .

= f ( t , x , v ( t , y ( t , x ) ) , p ( t , y ( t , x ) ) )O u= f ( t , x , u ( t , x ) , x ) ) .

M o r e o v e r , b y ( 1 . 1 1 ) , u ( 0 , x ) = v ( 0 , y ( 0 , x ) ) = q 5 ( x ) . I t f o l l o w s t h a t u = u ( t , x ) i s as o l u t i o n o f ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 ) . A s = ( i = 1 , 2 , . . . , n ) a r e o f c l a s s C 1 i n W a n dy = y ( t , x ) i s o f c l a s s C ' i n i t s d e f i n i t i o n d o m a i n , w e s e e b y ( 1 . 1 3 ) t h a t u = u ( t , x )i s o f c l a s s C 2 i n t h e d e f i n i t i o n d o m a i n o f y = y ( t , x ) . T h i s d o m a i n i s a c t u a l l y an e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n .F i n a l l y , w e g i v e t h e s k e t c h o f a p r o o f o f t h e u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s . L e t u =u ( i , b e a s o l u t i o n o f c l a s s C 2 o f ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 ) , a n d z = z ( t , y ) = ( z i ( t , y ) , . . . , y ) )b e a s o l u t i o n o fO f O u= ( , = 1 , 2 n ) ,

I . z 1 ( 0 ) =d e f d e fW e p u t w ( t , y ) = u ( t , z ( t , y ) ) a n d q ( t , y ) = ( O u / O x ) ( t , z ( t , y ) ) , t h e n w e g e t

= f ( t , z , w , q ) += ( z = 1 , 2 , . . .

w i t h w ( 0 , y ) = b ( y ) a n d q ( 0 , y ) = q V ( y ) . H e n c e( z , w , q ) = ( z ( t , y ) , w ( t , y ) , q ( t , ! J ) )


22/254

1 . 2 . A T H E O R E M O F A . H A A R 7s a t i s f i e s t h e C a u c h y p r o b l e m ( 1 . 1 O ) - ( 1 . 1 1 ) . B y t h e u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s o f o r d i -n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , w e h a v e

r ( t , y ) = z ( t , y ) , v ( i , y ) = w ( t , y ) , p ( i , y ) = q ( t , y ) ,w h e r e ( x , v , p ) = ( x ( t , y ) , v ( t , y ) , p ( t , y ) ) i s t h e s o l u t i o n o f ( 1 . 1 O ) - ( 1 . 1 1 ) w h i c h h a sa l r e a d y a p p e a r e d i n L e m m a 1 . 2 . T h i s s a y s t h a t t h e s o l u t i o n o f c l a s s C 2 i s u n i q u ea l o n g t h e c u r v e s x = x ( i , y ) . T h e r e f o r e , a s l o n g a s t h e J a c o b i a n ( D x / D y ) ( t , y ) d o e sn o t v a n i s h , t h e s o l u t i o n o f c l a s s C 2 o f ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 ) i s u n i q u e . 0 1 . 2 . A t h e o r e m o f A . H a a rW e h a v e s e e n b y T h e o r e m 1 . 4 t h a t t h e C a u c h y p r o b l e m ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 ) h a s a s o l u t i o n o fc l a s s C 2 i n a n e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n . B u t , a s t h e e q u a t i o n ( 1 . 8 ) i s o f f i r s t - o r d e r ,w e w o u l d l i k e t o d i s c u s s t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s i n C 1 - s p a c e . I nt h e f o l l o w i n g , w e w r i t e a s o l u t i o n o f c l a s s a s a C ' s - s o l u t i o n . C ' - s o l u t i o n s w i l l b es o m e t i m e s c a l l e d " c l a s s i c a l s o l u t i o n s . "O n e o f o u r a i m s i s t o c o n s i d e r w h a t k i n d s o f p h e n o m e n a m a y a p p e a r w h e n w ee x t e n d t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n s o f ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 ) . I n t h i s p r o c e d u r e , w e n e e d t h e u n i q u e -n e s s o f s o l u t i o n s i n C 1 - s p a c e . T h i s s u b j e c t h a d b e e n w e l l s t u d i e d b y A . H a a r [ 6 1 1a n d T . W a l e w s k i [ 1 5 4 ] - [ 1 5 5 ] . M o r e o v e r , t h e i r r e s u l t s a r e i n d i s p e n s a b l e t o d e v e l o po u r d i s c u s s i o n s . B u t , a s i t s e e m s t o u s t h a t t h e y a r e n o t w e l l - k n o w n , w e w o u l dl i k e t o i n t r o d u c e t h e m . I n t h i s s e c t i o n , w e r e p o r t a t h e o r e m o f A . H a a r [ 6 1 ] . W ec o n s i d e r t h e C a u c h y p r o b l e m ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 ) i n o n e s p a c e d i m e n s i o n , t h a t i s x R ' .L e t b e a t r i a n g l e d e f i n e d b y

w h e r e a > O , L O , c < d a n d 2 L a < d c .{ ( u , p ) E R 2 } .T h e o r e m 1 . 5 . ( A . H a a r [ 6 1 ] ) S u p p o s e t h a t t h e f u n c t i o n I = f ( t , x , u , p ) s a t i s f i e sa L i p s c h i t z c o n d i t i o n a s f o l l o w s :

I f ( t , x , u , p ) f ( t , x , v , q ) I L i p q I + M i u v i


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1 . L O C A L T H E O R Yf o r a l l ( t , x , u , p ) a n d ( t , x , v , q ) i n x L e t u 3 = u , ( t , z ) ( j = 1 , 2 ) b e s na n d ( u 1 ( t , x ) , ( O u , / O x ) ( t , x ) ) E f o r a l l ( t , z ) E I f u , ( t , x ) ( j = 1 , 2 ) s a t i s f yt h e e q u a t i o n ( 1 . 8 ) i n t h e d o m a i n a n d u i ( O , x ) = u 2 ( O , z ) f o r x E [ c , d ] , t h e n

u j ( i , x ) i nP r o o f . A c c o r d i n g t o t h e L i p s c h i t z c o n t i n u i t y o f f = f ( t , x , u , p ) , t h e d i f f e r e n c ez ( t , x ) u 2 ( t , z ) s a t i s f i e s t h e i n e q u a l i t yL + M l z ( t , x ) I . ( 1 . 1 4 )

A s s u m e t h a t z = z ( t , x ) t a k e s s o m e p o s i t i v e v a l u e s i n W e p u t w ( t , x )f o r a > M . A s w = w ( t , x ) i s c o n t i n u o u s o n t h e r e e x i s t s a p o i n tP E a t w h i c h w = w ( t , x ) a t t a i n s t h e m a x i m u m . T h e p o i n t P i s n o t o n t h e i n i t i a ll i n e { t = 0 ) b e c a u s e w ( O , x ) 0 . L e t u s c o n s i d e r t h e d e r i v a t i v e s o f w = w ( t , x ) a tP w i t h r e s p e c t t o t h e d i r e c t i o n s ( 1 , - - L ) a n d ( 1 , L ) . A s w = w ( t , s ) t a k e s t h em a x i m u m a t t h e p o i n t P , w e h a v e

< 0 , < 0 .H e n c e i t h o l d s t h a t 9 w 8 wR e w r i t i n g t h i s f o r z = z ( t , x ) , w e g e t

O r O z a z ( P ) + LA s z ( P ) > 0 a n d a > M , t h i s c o n t r a d i c t s ( 1 . 1 4 ) . T h e r e f o r e z ( t , x ) < 0 f o ra l l ( t , x ) S i n c e w e c a n s i m i l a r l y p r o v e t h a t z ( t , x ) 0 , w e o b t a i n u i ( t , x ) 0

1 . 3 . A t h e o r e m o f T . W a z e w s k iI n t h i s s e c t i o n w e r e p o r t a t h e o r e m o f T . W a i e w s k i [ 1 5 4 ] w h i c h i s a g e n e r a l i z a t i o no f H a a r ' s t h e o r e m t o a r b i t r a r y s p a c e d i m e n s i o n s .L e t u s c o n s i d e r t h e C a u c h y p r o b l e m ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 ) i n a p y r a m i d w h i c h i s d e f i n e db y

= { ( t , x ) O t < a , < d 1 L e t ( i = 1 , 2 , . . . , n ) } ,


24/254

1 . 3 . A T H E O R E M O F T . W A Z E W S K Iw h e r e a > O , L 1 O , , n .i s a c o m p a c t s e t i n { ( u , p ) : u E R , p R ' t } .T h e o r e m 1 . 6 . ( T . W a i e w s k i [ 1 5 4 J ) S u p p o s e t h a t I = f ( t , x , u , p ) s a t i s f i e s t h ef o l l o w i n g L i p s c h i t z c o n d i t i o n :

i f ( t , x , u , p ) + M I t z v if o r ( t , x , u , p ) a n d ( t , x , v , q ) i n x L e t u = u ( t , x ) ( j = 1 , 2 ) b e i na n d ( u , ( t , x ) , ( O u , / x ) ( t , x ) ) a l l ( t , x ) I f u = u , ( t , x ) ( j = 1 , 2 ) a r es o l u t i o n s o f ( 1 . 8 ) i n t h e d o m a i n a n d u i ( t , z ) = u 2 ( t , x ) o n f l { t = 0 ) , t h e nu j ( t , x ) u 2 ( t , x ) i n

A s p r e p a r a t i o n f o r t h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m , w e g i v e a f u n d a m e n t a l l e m m aw h i c h p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n h i s m a n y w o r k s .L e m m a 1 . 7 . L e t b e t h e p y r a m i d d e f i n e d i n t h e a b o v e , a n d { x E R "( t , x ) E L e t u = u ( t , x ) b e i n a n d p u t : x Ef o r e a c h t E [ 0 , a ] . T h e n w = w ( t ) i s d i f f e r e n t i a b l e f r o m t h e r i g h t o n [ 0 , a ) , a n d

n= f o r s o m e x E w i t h w ( t ) = u ( t , x ) .

P r o o f . A s t h e f i r s t s t e p , c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e L 1 = 0 , c j = 1 a n d d 1 = 1f o r a l l i = 1 , 2 , . . . , n . B y t h e d e f i n i t i o n o f w = w ( t , x ) , w e e a s i l y s e e t h a t i t i sc o n t i n u o u s . L e t U ( t ) { x w ( t ) = u ( t , x ) } f o r t E [ 0 , a ) . T h e n t h e s e t sU ( t ) ( 0 < t < a ) a r e c l o s e d , b o u n d e d , a n d n o n - e m p t y . A s u = u ( t , x ) i s i nf o r a n y f i x e d t 0 E [ 0 , a ) , w e c a n p i c k u p a p o i n t x E U ( t ) C s u c h t h a t0 ) m a x ( t a , )O t Z E U ( t 0 ) O t

W e w i l l p r o v e t h a t w = w ( t ) i s d i f f e r e n t i a b l e f r o m t h e r i g h t a t t w i t h =F o r a n y x E U ( t ) , w e h a v e

w ( t ) = t z ( t , x ) a n d


25/254

1 0 1 . L O C A L T H E O R YD e f i n e z ( t ) [ w ( t ) w ( t ) ] / ( t t ) , a n d p u t

d e f . d e f ./ 3 = h m s u p z ( t ) a n d C l = h m i n f z ( t ) .g - 4 t 0A s w ( t ) w ( t ) u ( t , x ) u ( t , x ) , w e s e e t h a t & ( O u / O t ) ( t , x ) . B y t h ed e f i n i t i o n o f / 3 , w e c a n p i c k u p a s e q u e n c e { t m } m C ( t , a ) w i t h u r n t m = t a n dl i m z ( t " t ) = / 3 . F o r e a c h t m , t a k e a r b i t r a r i l y x m E U ( t m ) , s o t h a t u ( t m , x m ) =w ( t m ) . S i n c e t h e s e t { ( t m , x m ) : m = 1 , 2 , . . . } i s b o u n d e d , w e c a n a s s u m e t h a tt h e s e q u e n c e { ( t m , X m ) } m i s c o n v e r g e n t t o a p o i n t ( t , i n A s t h e f u n c t i o n su = u ( t , x ) a n d w = w ( t ) a r e c o n t i n u o u s , t h i s i m p l i e s t h a t u ( t 0 , ) = w ( t ) , i . e . ,E U ( t ) , h e n c e t h a t ( O u / & ) ( t , x ) . B y t h e d e f i n i t i o n o fw = w ( t ) , w e h a v e w ( t ) u ( t , x t m ) f o r a l l m = 1 , 2 U s i n g t h i s i n e q u a l i t y , w e

g e tz ( t m ) = w ( t m ) w ( t )t t m t o

u ( t m , x m ) w ( t ) t m _ t o< _ u ( t O , x m ) t m _ t o O t '

0 0 0 O t tw i t h l i m ( t , x m ) = ) . I t f o l l o w s t h a t / 3 < ) < ( t , x ) . T h e r e -m - I o o O t a tf o r e , < a S o w = w ( t ) i s d i f f e r e n t i a b l e f r o m t h e r i g h t a t t 0 , a n d = ( O u / O t ) ( t , z ) .N e x t , w e c o n s i d e r t h e s a m e p r o b l e m i n a g e n e r a l p y r a m i dT o d o s o , w e t a k et h e t r a n s f o r m o f c o o r d i n a t e s a s f o l l o w s :

{ ( i = 1 , 2 , . . . , n ) .T h e n t h e s e t i s m a p p e d t o t h e s e t { ( s , y ) : 0 s < a , 1 < 1 ( i =1 , 2 , . . . , n ) } . C o m b i n i n g t h e r e s u l t o b t a i n e d i n t h e f i r s t s t e p a n d t h e a b o v e t r a n s -f o r m o f c o o r d i n a t e s , w e c o m p l e t e t h e p r o o f o f t h e l e m m a . 0


26/254

1 . 3 . A T H E O R E M O F T . W A Z E W S K I 1 1P r o o f o f T h e o r e m 1 . 6 . W e p u t u ( t , x ) u 2 ( t , x ) , a n d d e f i n e w ( t )m a x { u ( t , x ) x E F o r t E [ O , a ) , l e t r ( t ) E b e s u c h t h a t w ( t ) = u ( t , x ( t ) )

= ( c f . L e m m a 1 . 7 ) . T h e n

= { x ( t ) ) c l u ( t , x ( t ) ) } . ( 1 . 1 5 )O n t h e o t h e r h a n d , i t f o l l o w s f r o m t h e h y p o t h e s e s o f t h e t h e o r e m t h a t+ M I u ( t , ( 1 . 1 6 )

I f w e c h o o s e o > M , t h e n f r o m ( 1 . 1 5 ) - ( 1 . 1 6 ) w e g e tf ( M l w ( t ) I 1 . w ( O ) = 0 ,f r o m w h i c h i t m a y b e c o n c l u d e d t h a t w ( t ) 0 , i . e . , u 1 ( t , x ) < u 2 ( t , x ) , f o r a l l( t , x ) S i n c e w e c a n s i m i l a r l y p r o v e u z ( t , x ) u 1 ( t , x ) , w e f i n a l l y g e t u i ( t , x )u 2 ( t , x ) o n 0

W e w i l l r e w r i t e T h e o r e m 1 . 6 i n a g e n e r a l f o r m . A f u n c t i o n f = f ( t , x , u , p ) i ss a i d t o b e l o c a l l y L i p s c h i t z c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o ( u , p ) i f , f o r a n y c o m p a c t s e ti n R x R x t h e r e e x i s t c o n s t a n t s L 1 , L 2 , . . . a n d M s u c h t h a t v i

f o r a l l ( t , x , u , p ) a n d ( t , x , v , q ) i n f i . .T h e o r e m 1 . 8 . S u p p o s e t h a t f = f ( t , x , u , p ) i s l o c a l l y L i p s c h i t z c o n t i n u o u s w i t hr e s p e c t t o ( u , p ) . I f u = u ( t , x ) a n d v = v ( i , x ) a r e C 1 - s o l u t i o n s o f ( 1 . 8 ) i n an e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n s a t i s f y i n g u ( 0 , r ) v ( O , x ) , t h e n t h e r e e x i s t s a n o p e n

n e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n , s u c h t h a t u ( t , x ) v ( t , x ) i nW e w i l l l e a v e t h e p r o o f t o t h e r e a d e r s .

R e m a r k . T h e u n i q u e n e s s o f C ' - s o l u t i o n s i s a s s u r e d b y t h e L i p s c h i t z c o n t i n u i t y o ff = f ( t , x , u , p ) w i t h r e s p e c t t o ( u , p ) . B u t t h i s c o n d i t i o n i s n o t s u f f i c i e n t t o g e t t h es o l v a b i l i t y o f t h e C a u c h y p r o b l e m ( 1 . 8 ) - ( l . 9 ) . 1 1 5 6 1 h a s g i v e n n e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s w h i c h g u a r a n t e e t h e l o c a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fc l a s s i c a l s o l u t i o n s o f ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 ) .


27/254

C h a p t e r 2L i f e S p a n s o f C l a s s i c a lS o l u t i 9 n s o f D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s o f I - i r s t - O r d e r

2 . 1 . I n t r o d u c t i o nA s w e h a v e s h o w n i n C h a p t e r 1 , t h e C a u c h y p r o b l e m s ( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) a n d ( 1 . 8 ) - ( 1 . 9 )h a v e l o c a l l y c l a s s i c a l s o l u t i o n s . I t i s w e l l - k n o w n t h a t t h e s o l u t i o n s m a y g e n e r a l l yh a v e s i n g u l a r i t i e s i n f i n i t e t i m e e v e n f o r s m o o t h i n i t i a l d a t a . F o r s o m e e q u a t i o n s o ft h e c o n s e r v a t i o n l a w , t h e l i f e s p a n s o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s h a v e b e e n e x a c t l y c a l c u -l a t e d , f o r e x a m p l e b y E . H o p f [ 6 3 ] , P . D . L a x [ 9 7 ] - [ 9 8 ] , E . D . C o n w a y [ 3 2 ] , e t c . T h ep r i n c i p a l a i m o f t h i s c h a p t e r i s t o d e t e r m i n e t h e l i f e s p a n s o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s o fg e n e r a l p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f f i r s t - o r d e r . M o r e o v e r , u s i n g t h e r e s u l t s o nt h e l i f e s p a n s o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s , w e w i l l g i v e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sw h i c h g u a r a n t e e t h e g l o b a l e x i s t e n c e o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s f o r ( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) a n d ( 1 . 8 ) -( 1 . 9 ) . A s a n e x a m p l e , w e c o n s i d e r a s i m p l e e q u a t i o n o f t h e c o n s e r v a t i o n l a w a sf o l l o w s : ' I+ = 0 i n { t > 0 , x ( 2 . 1 )

u ( O , x ) = o n { t = 0 , x ( 2 . 2 )w h e r e a 1 = a ( u ) ( i = 1 , 2 , . . . , n ) a n d = a r e o f c l a s s C 1 i n R a n d R T h ,r e s p e c t i v e l y .T h e e q u a t i o n t r e a t e d i n E . H o p f [ 6 3 ] i s t h e c a s e w h e r e n = 1 a n d a i ( u ) = u .E . D . C o n w a y c o n s i d e r e d t h e a b o v e e q u a t i o n ( 2 . 1 ) - ( 2 . 2 ) i n [ 3 2 ] . I n t h i s c a s e , t h ec h a r a c t e r i s t i c c u r v e s w h i c h a r e t h e s o l u t i o n s o f ( 1 . 3 ) - ( 1 . 4 ) a r e w r i t t e n b y

x = y + v ( t , y ) = ( 2 . 3 )d e fw h e r e a ( u ) = ( a i ( u ) , a z ( u ) , . . . T h e n t h e J a c o b i a n o f t h e m a p p m g x =x ( t , y ) i s g i v e n b y ( D x / D y ) ( t , y ) = 1 + t A ( y ) w i t h A ( y )

O b v i o u s l y , t h e J a c o b i a n ( D x / D y ) ( t , y ) d o e s n o t v a n i s h i n a n e i g h b o r h o o d o f ( t , y ) =


28/254

2 . 2 . L I F E S P A N S O F C L A S S I C A L S O L U T I O N S 1 3( 0 , 0 ) . T h e r e f o r e , a s w e h a v e s h o w n i n 1 . 1 , t h e C a u c h y p r o b l e m ( 2 . l ) - ( 2 . 2 ) h a s au n i q u e C 1 - s o l u t i o n u = u ( t , r ) i n a n e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n . S i n c e u ( t , x ) =x ) ) w h e r e y = y ( t , z ) i s t h e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n x = x ( t , y ) , w e h a v e

f ' O u 1 2 4' 1 + 'A s s u m e A ( y ) < 0 . T h e n t h e J a c o b i a n ( D x / D y ) ( t , y ) = 0 f o r t l / ( A ( y ) ) .W e s e e b y ( 2 . 4 ) t h a t , w h e n ( t , x ) g o e s t o ( t , x ) a l o n g t h e c u r v e x = x ( t , y ) w h e r e0 d e t o o .z = x ( t , y ) , a t l e a s t o n e o f t h e f i r s t d e r i v a t i v e s o f u = u ( i , x ) t e n d s t o i n f i x u t y .T h e r e f o r e , i f t h e J a c o b i a n v a n i s h e s s o m e w h e r e , t h e n t h e C a u c h y p r o b l e m ( 2 . 1 ) -( 2 . 2 ) c a n n o t a d m i t a g l o b a l s o l u t i o n o f c l a s s C 1 . I n 2 . 2 a n d 2 . 3 , w e w i l l g i v es i m i l a r r e s u l t s o n t h e l i f e s p a n s o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s f o r g e n e r a l p a r t i a l d i f f e r e n t i a l

e q u a t i o n s o f f i r s t - o r d e r . W h a t w e w o u l d l i k e t o r e m a r k h e r e i s t o p o i n t o u t t h a t t h e r ee x i s t s o m e d i f f e r e n c e s b e t w e e n q u a s i - l i n e a r e q u a t i o n s a n d g e n e r a l p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s . S e e T h e o r e m 2 . 1 a n d T h e o r e m 2 . 2 . I n 2 . 4 , w e w i l l c o n s i d e r t h e g l o b a le x i s t e n c e o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s . T h e s e e x i s t e n c e r e s u l t s a r e c o r o l l a r i e s o f t h e o r e m sg i v e n i n 2 . 2 a n d 2 . 3 .

2 . 2 . L i f e s p a n s o f c l a s s i c a l s o l u t i o n sL e t u s c o n s i d e r a q u a s i - l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f f i r s t - o r d e r a s f o l l o w s :

+ = a o ( i , x , u ) i n { t > 0 , x E R ' t } , ( 2 . 5 )u ( 0 , x ) = o n { t = 0 , x E W ' } , ( 2 . 6 )

w h e r e a = a 1 ( t , x , u ) ( i = 0 , 1 n ) a n d 4 = a r e o f c l a s s C 1 i n R x Ra n d r e s p e c t i v e l y . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s f o r ( 2 . 5 ) - ( 2 . 6 ) a r e w r i t t e n b yI = a ( t , x , v ) ( i = 1 , 2 , . . . , n ) ,

( 2 . 7 )= a o ( t , x , v ) ,w i t h t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s

= y 1 ( i = 1 , 2 , . . . , n ) , v ( 0 ) = ( 2 . 8 )


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1 4 2 . L I F E S P A N S O F C L A S S I C A L S O L U T I O N SW e w r i t e t h e s o l u t i o n s o f ( 2 . 7 ) - ( 2 . 8 ) b y r = x ( t , y ) a n d v = v ( t , y ) . T h e n v = v ( t , y )m e a n s t h e v a l u e o f a s o l u t i o n o f ( 2 . 5 ) r e s t r i c t e d o n t h e c u r v e x = x ( t , y ) . H e r e w ea s s u m e t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n :( A . I ) T h e C a u c h y p r o b l e m ( 2 . 7 ) - ( 2 . 8 ) h a s u n i q u e l y a g l o b a l s o l u t i o n x = x ( t , y ) ,v = v ( t , y ) o n { t O } f o r a n y y E

I t i s n o t e a s y t o w r i t e d o w n s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s w h i c h g u a r a n t e e t h e a s s u m p -t i o n ( A . I ) . C o n c e r n i n g t h i s s u b j e c t , s e e f o r e x a m p l e B . D o u b n o v [ 4 3 J a n d M . S .K r a s n o s e l ' s k i i [ 8 3 J . W e w i l l c o n s i d e r t h i s i n A p p e n d i x I . W h e n w e a s s u m e ( A . ! ) , w eg e t a s m o o t h m a p p i n g x = x ( t , y ) f r o m R " t o R T h f o r e a c h t 0 . T h e l i f e s p a n o fc l a s s i c a l s o l u t i o n s o f ( 2 . 5 ) - ( 2 . 6 ) i s d e t e r m i n e d b y t h e f o l l o w i n g :T h e o r e m 2 . 1 . U n d e r C o n d ; t * o n ( A . ! ) , s u p p o s e t h a t ( D x / D y ) ( t , y ) = 0 a n d( D x / D y ) ( t , y ) 0 f o r t < t . T h e n a t l e a s t o n e o f t h e f i r s t d e r i v a t i v e so f t h e s o l u t i o n u = u ( t , x ) t e n d s t o i n f i n i t y w h e n t g o e s t o t 0 0 a l o n g t h e c u r v ex = x ( t , y ) .P r o o f . : : x = x ( t , y ) , 0


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2 . 2 . L I F E S P A N S O F C L A S S I C A L S O L U T I O N S 1 5w i t h t h e i n i t i a l d a t a

1 1 i f z = j , O v O b= 0 i f a n d =B y t h e l i n e a r i t y o f ( 2 . 1 0 ) , w e h a v e

0o y .r a n k = r a n k . . = n f o r a l l t 0 , ( 2 . 1 1 )

0O y " O yO x , / O x 1 0 x 1 \ O v / O v O vw h e r e w e w r i t e = , ) a n d =0 1 , 0 1 1 1 0 Y 0 1 1 1 ( 3 1 J nA s s u m e t h a t a l l t h e c o m p o n e n t s o f O u / O x r e m a i n b o u n d e d a l o n g t h e c u r v e C 0 ,t h e n w e c a n p i c k u p a s e q u e n c e { t m } m C a n d o n e c = ( c i , c 2 , . . . Es u c h t h a t

1 ) l i m t ' T h = j 0 , a n d2 ) l i m = c .O xF r o m ( 2 . 9 ' ) , w e g e t

= ( 2 . 1 2 )A s ( D x / D y ) ( t , y ) = 0 , ( 2 . 1 2 ) c o n t r a d i c t s ( 2 . 1 1 ) . T h i s m e a n s t h a t a t l e a s t o n ec o m p o n e n t o f ( O u / O x ) ( t , x ( i , y ) ) t e n d s t o i n f i n i t y w h e n t 0 a l o n g C 0 . 0

N e x t w e c o n s i d e r g e n e r a l p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f f i r s t - o r d e r a s f o l l o w s :i n { t > O , x E R " } , ( 2 . 1 3 )

u ( 0 , x ) = o n { t = 0 , x E ( 2 . 1 4 )w h e r e f = f ( t , x , u , p ) a n d 4 = a r e o f c l a s s C 2 i n R x R x a n dr e s p e c t i v e l y . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s f o r ( 2 . 1 3 ) - ( 2 . 1 4 ) a r e w r i t t e n b y


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2 . L I F E S P A N S O F C L A S S I C A L S O L U T I O N S

= ( i = 1 , 2 , . . . , n ) , = f ( t , x , v , p ) , ( 2 . 1 5 )d i j 1 V P ,d p 1 O f O f= ( z = 1 , 2 , . . . , n ) ,

w i t hx 1 ( O ) = y 1 , v ( O ) = = ( i = 1 , 2 , . . . , n ) . ( 2 . 1 6 )

W e a s s u m e h e r e t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n :( A . ! ) ' T h e C a u c h y p r o b l e m ( 2 . 1 5 ) - ( 2 . 1 6 ) h a s u n i q u e l y a g l o b a l s o l u t i o n o n { i O }

f o r a n y y EW e d e n o t e t h e s o l u t i o n o f ( 2 . 1 5 ) - ( 2 . 1 6 ) b y x = x ( t , y ) , v = v ( t , y ) , a n d p =p ( t , y ) . A s ( D z / D y ) ( O , y ) = 1 f o r a l l y E R T h , t h e J a c o b i a n d o e s n o t v a n i s h i n a

n e i g h b o r h o o d o f { i = O } . T h e r e f o r e w e c a n u n i q u e l y s o l v e t h e e q u a t i o n x = x ( t , y )w i t h r e s p e c t t o y , a n d d e n o t e i t b y y = y ( t , x ) . D e f i n e u ( t , x ) T h e nu = u ( t , x ) i s a C 2 - s o l u t i o n o f ( 2 . 1 3 ) - ( 2 . 1 4 ) i n a n e i g h b o r h o o d o f t = 0 . M o r e o v e r ,w e c a n s e e b y T h e o r e m 1 . 4 t h a t t h e r e d o e s n o t e x i s t a n o t h e r C ' - s o l u t i o n o f ( 2 . 1 3 ) -( 2 . 1 4 ) i n a n e i g h b o r h o o d o f { t = 0 ) . W h e n w e e x t e n d t h i s s o l u t i o n f o r l a r g e t , w eg e t t h e f o l l o w i n g .T h e o r e m 2 . 2 . U n d e r C o n d i t i o n ( A . ! ) ' , s u p p o s e t h a t ( D x / D y ) ( t , y ) = 0 a n d" O 2 t i( D z / D y ) ( t , y ) 0 f o r t < t . T h e n E ( t , x ) t e n d s t o i n f i n i t y w h e n ii , j = 1 U X ; U X Jg o e s t o 0 a l o n g t h e c u r v e x = z ( i , y ) .P r o o f . A s t h e p r o o f i s s i m i l a r t o t h a t o f T h e o r e m 2 . 1 , w e u s e t h e s a m e n o t a t i o n si n t r o d u c e d t h e r e . P u t L { ( t , y ) : 0 t < N e x t w e c h o o s e a n o p e nd e fn e i g h b o r h o o d V o f L s o t h a t t h e J a c o b i a n ( D x / D y ) ( t , y ) d o e s n o t v a n i s h o n V =

V f l { 0 I < I ) , a n d t h a t t h e e q u a t i o n x = x ( t , y ) c a n b e u n i q u e l y s o l v e d w i t hr e s p e c t t o y f o r a n y ( t , x ) i n U { ( t , z ) : x = x ( t , y ) , ( t , y ) E V } ( t h e o r e m o fi n v e r s e f u n c t i o n s ) . W e w r i t e t h e s o l u t i o n b y y = y ( t , x ) . H e r e w e d e f i n e u ( t , x )v ( t , y ( t , x ) ) . T h e n u = u ( i , x ) i s a C 2 - s o l u t i o n o f ( 2 . 1 3 ) - ( 2 . 1 4 ) i n t h e d o m a i n U .


32/254

S 2 . 2 . L I F E S P A N S O F C L A S S I C A L S O L U T I O N S 1 7O u r a i m i s t o s h o w t h a t , w h e n t g o e s t o t 0 0 a l o n g t h e c u r v e x = x ( t , y ) , a t l e a s t

o n e o f { O u / 0 x 1 , 0 2 u / O x 1 O x , : i , j = 1 , 2 , . . . , n } t e n d s t o i n f i n i t y .D i f f e r e n t i a t i n g ( 2 . 1 5 ) w i t h r e s p e c t t o y , ( j = 1 , 2 , . . . , n ) , w e g e t a s y s t e m o fl i n e a r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f f i r s t - o r d e r c o n c e r n i n g { 0 x 1 / 0 y 1 , . 3 v / O y , ,i , j = 1 , 2 , . . . , n } l i k e ( 2 . 1 0 ) . A s t h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s i s l i n e a r , w eh a v e

( 0 z 1 / O y ) ( t ) ( O x i / O y ) ( O )( O x , 1 / y ) ( t ) ( X m / O y ) ( O )r a n k = r a n k ( O v / y ) ( 0 ) = n f o r a n y t 0 . ( 2 . 1 7 )

( 0 p 1 / O y ) ( t ) ( O p l / O y ) ( O )( O p f l / O y ) ( 0 )S i n c e ( 2 . 1 7 ) i s t r u e a t ( t , y ) = ( t , y ) , w e c a n c h o o s e n v e c t o r s i n { 8 x 1 / y , . . .s u c h t h a t t h e y a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t a t( t , y ) = ( t , y ) . W e d e n o t e t h e m b y a 1 ( t , y ) ( 8 / O y ) b 1 ( t , y ) ( i = 1 , 2 , . . . , n ) , w h e r e

b 1 ( t , y ) i s o n e o f { x k ( t , y ) , v ( t , y ) , p k ( t , y ) : k = 1 , 2 , . . . , n } . A s ( D x / D y ) ( t , y ) =0 , w e c a n f i n d v ( t , y ) o r s o m e p k ( t , y ) i n H e r e w e r e c a l lC o r o l l a r y 1 . 2 :

= p , ( t , y ( t , x ) ) i n U ( j = 1 , 2 , . . . , n ) . ( 2 . 1 8 )O n t h e o t h e r h a n d , w e g e t i n U

a i ( t , y )r o 1 a 2 ( t , y )= . . . - ( t , x )

1=y )

S i n c e { a 1 ( t , y ) , a 2 ( i , y ) , . . . , a n e i g h b o r h o o d o f( t , y ) a n d ( D x / D y ) ( t , y ) = 0 , i t f o l l o w s t h a t a t l e a s t o n e c o m p o n e n t o f t h e


33/254

2 . L I F E S P A N S O F C L A S S I C A L S O L U T I O N Sm a t r i x t e n d s t o i n f i n i t y w h e n t g o e s t o t 0 o a l o n g t h ec u r v e x = x ( t , y ) . B u t w e s e e b y ( A . ! ) ' a n d ( 2 . 1 8 ) t h a t

{ y ( t , x ) ) } = x ( t , y ) ) = p , ( t , y ) = 1 , 2z - z ( * y )r e m a i n b o u n d e d ( t h o u g h t h e J a c o b i a n v a n i s h e s ) ; t h e r e f o r e , s o m e p a ( t , y ) m u s t b ec o n t a i n e d i n { b i ( t , y ) , b 2 ( t , y ) , . . . H e n c e w e g e t T h e o r e m 2 . 2 . 0

T h e o r e m 2 . 2 s a y s t h a t , i f t h e J a c o b i a n v a n i s h e s a t a p o i n t ( t , y ) , t h e n t h es e c o n d d e r i v a t i v e s o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s b l o w u p a t t i m e t = t . B u t t h i s d o e sn o t p r e v e n t t h e e x i s t e n c e o f C 1 - s o l u t i o n s e v e n i f t h e J a c o b i a n m a y v a n i s h . T ou n d e r s t a n d t h i s s i t u a t i o n , w e n e e d t o k n o w t h e b e h a v i o r o f c h a r a c t e r i s t i c c u r v e s i na n e i g h b o r h o o d o f t h e p o i n t w h e r e t h e J a c o b i a n v a n i s h e s . A f t e r h a v i n g s t u d i e d t h i ss u b j e c t , w e w i l l a g a i n c o n s i d e r t h e e x t e n s i o n o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s i n C h a p t e r 3 . 2 . 3 . G l o b a l e x i s t e n c e o f c l a s s i c a l s o l u t i o n sA s w e h a v e s h o w n i n 1 . 1 , t h e C a u c h y p r o b l e m f o r a p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o no f f i r s t - o r d e r h a s l o c a l l y a c l a s s i c a l s o l u t i o n . W e h a v e a l s o s e e n i n 2 . 2 t h a t t h es o l u t i o n m a y g e n e r a l l y h a v e s i n g u l a r i t i e s i n f i n i t e t i m e e v e n f o r s m o o t h i n i t i a l d a t a .B u t i n s o m e c a s e s t h e C a u c h y p r o b l e m a d m i t s a g l o b a l c l a s s i c a l s o l u t i o n . I n t h i ss e c t i o n , f o l l o w i n g T s u j i - L i [ 1 3 9 1 , w e w i l l g i v e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sw h i c h g u a r a n t e e t h e g l o b a l e x i s t e n c e o f c l a s s i c a l s o l u t i o n s . F i r s t w e g i v e s o m ec o m m e n t s o n t h i s s u b j e c t .F o r t h e C a u c h y p r o b l e m ( 2 . 1 ) - ( 2 . 2 ) , E . D . C o n w a y ( 3 2 ] g a v e a n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e g l o b a l e x i s t e n c e o f C 1 - s o l u t i o n s o n t h e h a l f s p a c e { t O } ,u s i n g H a d a m a r d ' s l e m m a o n t h e d i f f e o m o r p h i s m o f E u c l i d e a n s p a c e s . A n o t h e r p r o o fw a s g i v e n b y L i T a - t s i e n a n d C h e n S h u - x i n g [ 1 0 2 J . Q i n T i e - h u [ 1 1 4 1 t r e a t e d t h ec a s e w h e r e t h e f u n c t i o n s a ( z = 1 , 2 , . . . , n ) d e p e n d o n t a n d x . L i T a - t s i e n a n dS h i J i a - h o n g [ 1 0 3 ] g a v e c e r t a i n r e l a t i o n s b e t w e e n t h e g l o b a l e x i s t e n c e o f n o n t r i v i a ls m o o t h s o l u t i o n s i n t h e w h o l e ( t , x ) - s p a c e a n d t h e l i n e a r d e p e n d e n c e o f t h e f u n c t i o n sa j = a j ( u ) =N o w w e r e v i e w t h e r e s u l t s o n t h e d i f f e o m o r p h i s m o f t h e E u c i d e a n s p a c e

C o n c e r n i n g t h i s s u b j e c t , w e m u s t g o b a c k t o J . H a d a m a r d , b u t h e r e w e f o l l o w W . B .G o r d o n ' s n o t e [ 5 8 ] . L e t H b e a C 1 - m a p p i n g f r o m R " t o R " d e f i n e d o n t h e w h o l e


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2 . 3 . G L O B A L E X I S T E N C E O F C L A S S I C A L S O L U T I O N Ss p a c e . T h e n t h e m a p p i n g H i s s a i d t o b e p r o p e r i f i s c o m p a c t w h e n e v e rK i s c o m p a c t . W e h a v e :L e m m a 2 . 3 . ( J . H a d a i n a r d ) T h e m a p p i n g H i s a d i f f e o m o r p h s s m f r o m R " t oi f a n d o n l y i f H i s p r o p e r a n d t h e J a c o b i a n o f H d o e s n o t v a n i s h a n y w h e r e o n t h ew h o l e s p a c e .

F i r s t w e c o n s i d e r t h e C a u c h y p r o b l e m f o r a q u a s i - l i n e a r e q u a t i o n , s a y P r o b -l e m ( 2 . 5 ) - ( 2 . 6 ) . W e a s s u m e t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s . ( H e r e a n d s u b s e q u e n t l y , r id e n o t e s t h e E u c l i d e a n n o r m o f x E( A . I ) F o r a n y y E t h e C a u c h y p r o b l e m ( 2 . 7 ) - ( 2 . 8 ) h a s a l w a y s a u n i q u e g l o b a lC ' - s o l u t i o n x = x ( t , y ) , v = v ( t , y ) o n { t O } .( A . I I ) O n t h e s o l u t i o n c u r v e s o f ( 2 . 7 ) - ( 2 . 8 ) , i t h o l d s t h a t

a 1 ( t , x ( t , y ) , v ( t , v ) ) i +f o r a n y t [ O , T ] , y E a n d i = 1 , 2 , . . . , n w h e r e t h e c o n s t a n t M d e p e n d s o n l y

o n T .W h e n C o n d i t i o n s ( A . 1 ) a n d ( A . I l ) a r e s a t i s f i e d , w e c a n d e f i n e , f o r a n y t 0 , a

1 d e fC - m a p p i n g f r o m R t o R b y x = x ( t , y ) = H t ( y ) . T h e n w e g e t :L e m m a 2 . 4 . U n d e r t h e a s s u m p t i o n s ( A . I ) a n d ( A . ! ! ) , t h e m a p p i n g i s p r o p e rf o r a n y t 0 .P r o o f . A s w e h a v e

I x ( t , ) I y ) a 2 ( t , x ( t , y ) , v ( t , n M ( 1 + z ( t , y ) l ) ,w e g e t I x ( t , y ) i ( 1 + 1 . T h e r e f o r e * 0 0 a s 0 0 . T h i sm e a n s t h a t i s p r o p e r . 0U s i n g L e m m a 2 . 3 , w e h a v e :L e m m a 2 . 5 . F o r a n y f i x e d t 0 , t h e m a p p i n g i s a d i f f e o m o r p h i s m f r o m t oi f a n d o n l y i f i t s J a c o b i a n d o e s n o t v a n i s h a t a n y p o i n t y


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2 0 2 . L I F E S P A N S O F C L A S S I C A L S O L U T I O N SB y m e a n s o f L e m m a 2 . 5 , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g .

T h e o r e m 2 . 6 . U n d e r t h e a s s u m p t i o n s ( A . I ) a n d ( A . ! ! ) , t h e C a u c h y p r o b l e m ( 2 . 5 ) -( 2 . 6 ) h a s a g l o b a l C ' - s o l u t i o n u n i q u e l y o n t h e d o m a i n D { t 0 , x E i f a n do n l y i f t h e J a c o b i a n ( D x / D y ) ( t , y ) o f t h e m o p p i n g d o e s n o t v a n i s h f o r a n y t 0a n d y E R T h .P r o o f . W h e n ( D x / D y ) ( t , y ) 0 f o r a n y y E a n d t 0 , w e c a n s e e f r o mL e m m a 2 . 5 t h a t H , i s a d i f f e o m o r p h i s m f r o m R " t o R ' t f o r a n y t > 0 . H e n c e t h ei n v e r s e f u n c t i o n y = y ( t , x ) o f x = H , ( y ) i s a f u n c t i o n o f c l a s s C 1 d e f i n e d o n D a n du = u ( t , x ) v ( t , y ( t , x ) ) i s t h e u n i q u e g l o b a l C 1 - s o l u t i o n o f ( 2 . 5 ) - ( 2 . 6 ) . ( F o r t h eu n i q u e n e s s , f o l l o w t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 . 1 o r 1 . 6 . )N e x t , f o r t h e n e c e s s i t y , s u p p o s e t h a t ( D x / D y ) ( t , y ) = 0 f o r s o m e t E ( 0 , o o )a n d y E A s ( D x / D y ) ( O , y ) = 1 f o r a l l y E R ' t , w e c a n g e t a u n i q u e C 1 - s o l u t i o no f ( 2 . 5 ) - ( 2 . 6 ) i n a n e i g h b o r h o o d o f { t = 0 } . T h e n w e s e e b y T h e o r e m 2 . 1 t h a t t h i sc l a s s i c a l s o l u t i o n b l o w s u p a t t i m e t 0 > 0 : ( D x / D y ) ( t , y ) = 0 } . ( N o t i c et h a t O < t < t . ) 0

N e x t w e c o n s i d e r t h e C a u c h y p r o b l e m ( 2 . 1 3 ) - ( 2 . 1 4 ) f o r g e n e r a l p a r t i a l d i f f e r e n -t i a l e q u a t i o n s o f f i r s t o r d e r . W e a s s u m e t h e f o l l o w i n g h y p o t h e s e s :( A . I ) ' F o r a n y y E t h e C a u c h y p r o b l e m ( 2 . 1 5 ) - ( 2 . 1 6 ) h a s a l w a y s a u n i q u e g l o b a lC 1 - s o l u t i o n x = x ( t , y ) , v = v ( t , y ) , p = p ( t , y ) o n t h e h a l f s p a c e { t 0 } .( A . I I ) ' O n t h e s o l u t i o n c u r v e s o f ( 2 . 1 5 ) - ( 2 . 1 6 ) , i t h o l d s t h a t

x ( t , y ) , v ( t , y ) , p ( t , y ) ) . t v f ( 1 + I x ( t ,f o r a n y t e [ 0 , T I , y E a n d i = 1 , 2 , . . . , n w h e r e t h e c o n s t a n t M d e p e n d s o n l yo n T .

1 d e fF o r a n y t 0 , w e d e f i n e a C - m a p p i n g H , f r o m K t o K b y x = x ( t , y ) =H , ( y ) . T h e n C o n d i t i o n s ( A . ! ) ' a n d ( A . ! ! ) ' g u a r a n t e e t h a t t h e m a p p i n g H , i s p r o p e r .T h e r e f o r e , L e m m a 2 . 5 i s a l s o t r u e f o r t h i s H , .T h e o r e m 2 . 7 . U n d e r t h e a s s u m p t i o n s ( A . ! ) ' a n d ( A . ! ! ) ' , t h e C a u c h y p r o b l e m

( 2 . 1 3 ) - ( 2 . 1 4 ) h a s u n i q u e l y a g l o b a l C 2 - s o l u t z o n o n t h e d o m a i n D { t 0 , x E


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2 . 3 . G L O B A L E X I S T E N C E O F C L A S S I C A L S O L U T I O N S 2 1i f a n d o n l y i f t h e J a c o b i a n o f t h e m a p p i n g x = H g ( y ) d o e s n o t v a n i s h f o r a n y t 0a n d y EP r o o f . W h e n ( D x / D y ) ( t , y ) 0 f o r a n y t 0 a n d y E w e c a n u n i q u e l y s o l v et h e e q u a t i o n x = w i t h r e s p e c t t o y f o r a n y ( t , x ) E D . L e t y = y ( t , x ) b e t h e2 . . d e fi n v e r s e f u n c t i o n . A g l o b a l C - s o l u t i o n o f ( 2 . 1 3 ) - ( 2 . 1 4 ) i s g i v e n b y u = u ( t , x ) =v ( t , y ( t , x ) ) . T h e u n i q u e n e s s o f t h i s C 2 - s o l u t i o n f o l l o w s f r o m T h e o r e m 1 . 6 . ( I t c a na l s o b e d e d u c e d f r o m t h e m e t h o d o f p r o o f u s e d i n T h e o r e m 1 . 4 . ) T h e n e c e s s i t y o ft h e a b o v e c o n d i t i o n c o m e s f r o m T h e o r e m 2 . 2 . 0


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C h a p t e r 3 o f C h a r a c t e r j s t i cL u r v e s a n d P r o l o n g a t i o no f C l a s s i c a l S o l u t i o n s 3 . 1 . I n t r o d u c t i o nT h i s c h a p t e r i s c o n t i n u e d f r o m T h e o r e m 2 . 2 i n 2 . 2 . L e t u s r e w r i t e t h e e q u a t i o nw h i c h w e w i l l a g a i n c o n s i d e r h e r e :

=

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