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The Contraction Mapping Theorem

Date post: 30-May-2018
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  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    1/19

    " $ & ( ) $ 2 # " 4 ( 5 5 2 " 8 & B

    D E G H P R T H W Y G a c e a R G W G a W E q Y c r s a G H a v x y v x y y x e H P T H P R r E a

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    W E q E r E k P E a W c a n W G P r E R a W k R r Y c a R a E G W E n z a c r W Y Y k P T W G P r E R r G H a G H a r c a

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    -

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    Txx

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    2/19

    H P R P R P k k n R G c W G a q P E P n c a - r a G P a R W W Y R W G P R P E - e P G H

    P R W k R r T W k k a q W T r E G c W T G P r E W E q G H a E W W Y R W G P R P E - e P G H P R T W k k a q

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    -

    P R T W k k a q W x y r H a T r E G c W T G P r E W Y Y P E G H a r c a R G W G a R G H W G W R G c P T G

    T r E G c W T G P r E r E W T r Y k a G a a G c P T R Y W T a H W R W n E P n a a q Y r P E G H a T r E G c W T G P r E

    W Y Y P E G H a r c a P R r E k r E a a W Y k a r e H W G W c a r c a a E a c W k k T W k k a q a q Y r P E G

    G H a r c a R H a c a W c a a q Y r P E G G H a r c a R r c W Y R R W G P R P E - e P G H

    W E q a s a E r c W c z P G c W c T r E G P E n r n R W Y R r E T a c G W P E a G c P T R Y W T a R r c a W Y k a

    G H a v x y x R G W G a R G H W G W T r E G P E n r n R W Y Y P E r E W T r E s a

    T r Y W T G R n z R a G r W W E W T H R Y W T a H W R W a q Y r P E G H a Y c r r P R G r Y r k r P T W k P E

    E W G n c a R a a W E G r c r s P T H W E q P k r s W E q e a e P k k E r G q P R T n R R R n T H a q Y r P E G

    G H a r c a R P E G H P R z r r

    D E a E a c W k G H a T r E q P G P r E G H W G P R R G c P T G k k a R R G H W E r E a P R E a a q a q r c G H a n E P n a

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    a G c P T R Y W T a e P G H a G c P T q a G a c P E a q z G H a E G H a W Y q a E a q z

    R W G P R a R - e P G H z n G q r a R E r G H W s a W E a q Y r P E G R

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    W E q a s a c Y r P E G P R W a q Y r P E G

    D G P R e r c G H E r G P E G H W G - W E q H a E T a P G R R r k n G P r E R q r E r G q a Y a E q r E G H a

    a G c P T H n R P e a T W E E q W E a G c P T r E R n T H G H W G P R T r Y k a G a W E q P R W

    T r E G c W T G P r E r E G H a E e a r z G W P E G H a a P R G a E T a W E q n E P n a E a R R r W a q Y r P E G D G

    W H W Y Y a E G H W G P R E r G T r Y k a G a P E W E r G H a a G c P T R r c e H P T H r E a T W E Y c r s a

    G H W G P R W T r E G c W T G P r E H P R T W E z a W E P E q P T W G P r E G H W G G H a R r k n G P r E r G H a a q

    Y r P E G Y c r z k a q r a R E r G z a k r E G r z n G G r W k W c a c R Y W T a E W a k G H a T r Y k a G P r E

    r e P G H c a R Y a T G G r W R n P G W z k a a G c P T

    ~

    D P R W T r E G c W T G P r E W Y Y P E

    r E W T r Y k a G a a G c P T R Y W T a G H a E G H a c a P R a W T G k r E a R r k n G P r E r -

    ! # H a Y c r r P R T r E R G c n T G P s a a W E P E G H W G e a e P k k a Y k P T P G k T r E R G c n T G W

    R a n a E T a T r E s a c P E G r G H a a q Y r P E G

    a G $ z a W E Y r P E G P E a q a E a W

    R a n a E T a & P E z

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    r R P Y k P G H a E r G W G P r E e a r G a E r P G G H a Y W c a E G H a R a R W c r n E q G H a W c n a E G r W

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    G H P G a c W G a r z

    &

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    $

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    3/19

    9

    @ B D E B H P D H D D

    P c R G e a R H r e G H W G & P R W S W n T H R a n a E T a D 2 4 V 4 G H a E c r -

    W E q G H a G c P W E k a P E a n W k P G e a H W s a

    & Y

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    e H P T H P Y k P a R G H W G &

    P R S W n T H P E T a P R T r Y k a G a &

    T r E s a c a R G r W k P P G

    H a W T G G H W G G H a k P P G P R W a q Y r P E G r r k k r e R c r G H a T r E G P E n P G

    r

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    &

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    6

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    ~

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    E W P T W k R R G a R W c P R a W R r q a k R P E W E q P a c a E G q P R T P Y k P E a R P E T k n q P E Y H R P T R

    T H a P R G c a E P E a a c P E z P r k r W E q a T r E r P T R H a W k R r W c P R a W R W E W n P k P W c G r r k

    r c R r k s P E r G H a c Y c r z k a R P E W G H a W G P T R W E q G H a Y c r Y a c G P a R r q E W P T W k R R G a R

    W c a r P E G c P E R P T W G H a W G P T W k P E G a c a R G

    q E W P T W k R R G a P R q a E a q z W R G W G a R Y W T a e H r R a a k a a E G R q a R T c P z a G H a

    q P a c a E G R G W G a R G H a R R G a T W E z a P E W E q W Y c a R T c P Y G P r E G H W G c a k W G a R G H a R G W G a

    W G G P a G r G H a R G W G a W G W Y c a s P r n R G P a a T W k k W q E W P T W k R R G a T r E G P E n r n R

    r c q P R T c a G a q a Y a E q P E r E e H a G H a c G H a G P a s W c P W z k a P R T r E G P E n r n R r c q P R T c a G a r c

    W T r E G P E n r n R q E W P T W k R R G a G H a G P a z a k r E R G r W E P E G a c s W k P E W E q G H a

    q E W P T R r G H a R R G a P R G Y P T W k k q a R T c P z a q z W E

    j r G H a r c

    l m

    - -

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    4/19

    n

    e H a c a G H a q r G q a E r G a R W G P a q a c P s W G P s a W E q m P R W s a T G r c a k q r E H a c a P R k P G G k a

    k r R R r a E a c W k P G P E W R R n P E G H P R r c r a n W G P r E r c a W Y k a W R a T r E q r c q a c

    E r E W n G r E r r n R

    j

    l

    W z a e c P G G a E W R W c R G r c q a c W n G r E r r n R R R G a r G H a r c - - r c G H a R G W G a

    s W c P W z k a

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    l

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    6

    r c W q P R T c a G a q E W P T W k R R G a e a W G W a G P a 2 G r z a W E P E G a a c W E q

    G H a q E W P T R P R q a E a q z W W Y G H W G c a k W G a R G H a R G W G a

    &( 0

    W G G P a

    2 e G r G H a R G W G a & W G G P a 2

    & ( 0 & 6 - z

    D P R E r G P E s a c G P z k a G H a E G H a q E W P T R P R q a E a q r E k r c e W c q P E G P a e H P k a P P R

    P E s a c G P z k a G H a E G H a q E W P T R P R q a E a q z r G H z W T e W c q W E q r c e W c q P E G P a a q

    Y r P E G r G H a W Y T r c c a Y r E q R G r W E a n P k P z c P n R G W G a r G H a q P R T c a G a q E W P T W k

    R R G a D G H a R G W G a R Y W T a P R W T r Y k a G a a G c P T R Y W T a W E q P R W T r E G c W T G P r E G H a E

    G H a T r E G c W T G P r E W Y Y P E G H a r c a P Y k P a R G H W G G H a c a P R W n E P n a a n P k P z c P n R G W G a

    W E q G H W G G H a R R G a W Y Y c r W T H a R G H P R R G W G a W R G P a G a E q R G r P E E P G R G W c G P E c r

    W E P E P G P W k R G W G a D E G H P R T W R a e a R W G H W G G H a a q Y r P E G P R k r z W k k W R Y G r G P T W k k

    R G W z k a

    E a r G H a R P Y k a R G W E q r R G W r n R q P R T c a G a q E W P T W k R R G a R P R G H a { x v

    } x y r Y r Y n k W G P r E q E W P T R

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    k P E a W c a n W G P r E

    &( 0

    z ~

    &

    q a R T c P z a R G H a a Y r E a E G P W k c r e G H P z ~ r c q a T W

    P z ~ r W Y r Y n k W G P r E e P G H T r E R G W E G z P c G H r c q a W G H c W G a H a E r E k P E a W c P G P E

    -

    Y c r s P q a R W R P Y k a r q a k r c W R Y a T P a R P E e H P T H G H a a a T G R r r s a c T c r e q P E k a W q

    G r W q a T k P E a P E G H a z P c G H c W G a W R G H a Y r Y n k W G P r E P E T c a W R a R

    H a k r P R G P T a n W G P r E R H r e R G H W G G H a P G a c W G a R r a s a E s a c R P Y k a E r E k P E a W c W Y R

    T W E H W s a W W P E k T r Y k a z a H W s P r c E W k P E G H a n k k z a H W s P r c r G H a k r P R G P T

    W Y P R z a r E q G H a R T r Y a r G H a a k a a E G W c W Y Y k P T W G P r E r G H a T r E G c W T G P r E W Y Y P E

    G H a r c a e a P s a H a c a

    H a E ~ z G H a Y r P E G P R G H a r E k a q Y r P E G r P E W E q

    P R W T r E G c W T G P r E r E H a Y c r r r G H a T r E G c W T G P r E W Y Y P E G H a r c a G H a c a r c a

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    5/19

    9

    @ B D E B H P D H D D

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    =.5

    =.2

    =1

    P Y k P a R G H W G

    &

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    G H a Y r Y n k W G P r E q P a R r n G H a E z ~ G H a c a P R W R a T r E q a q Y r P E G W G

    z ~ z ~ H a W Y Y a W c W E T a r W E a e a q Y r P E G W R G H a Y W c W a G a c ~ s W c P a R

    P R W E a W Y k a r W

    v x y r a q Y r P E G R R ~ P E T c a W R a R n c G H a c G H a c a P R W E

    P E E P G a R a n a E T a r r c a T r Y k P T W G a q z P n c T W G P r E R k a W q P E G r T H W r G P T q E W P T R r c

    ~4 6 - 6 6 6

    R W R a T r E q W Y Y k P T W G P r E r G H a T r E G c W T G P r E W Y Y P E G H a r c a e a T r E R P q a c G H a

    R r k n G P r E r W E a n W G P r E m

    E a e W G r r z G W P E W R r k n G P r E P R G r c a T W R G G H a

    a n W G P r E P E G H a r c r W a q Y r P E G a n W G P r E W E q G H a E T r E R G c n T G W Y Y c r

    P W G P r E R & R G W c G P E c r W E P E P G P W k n a R R $

    z G H a P G a c W G P r E R T H a a

    & ( 0 & 6

    D E r G H a c e r c q R e a W c a W G G a Y G P E G r E q G H a R r k n G P r E W R G H a G P a W R Y G r G P T R G W G a

    r W E W R R r T P W G a q q P R T c a G a q E W P T W k R R G a e H P T H H W R G H a R r k n G P r E W R W R G W z k a a q

    Y r P E G P P k W c P q a W R W Y Y k P E r G H a c T r E G a G R r c a W Y k a e a W W G G a Y G G r T r E

    R G c n T G G H a R r k n G P r E r W E a k k P Y G P T j W R G H a G P a W R Y G r G P T R G W G a r W E W R R r T P W G a q

    Y W c W z r k P T j

    H a c a W c a W E e W R G r c a e c P G a W E a n W G P r E m W R W a q Y r P E G Y c r z k a

    R r a r e H P T H e P k k e r c z a G G a c G H W E r G H a c R D q a W k k e a e r n k q k P a G r c a e c P G a G H a

    a n W G P r E W R W a q Y r P E G a n W G P r E P E e H P T H P R W T r E G c W T G P r E r E G H a e H r k a R Y W T a

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    6/19

    r c W G k a W R G W T r E G c W T G P r E r E R r a R a G G H W G T r E G W P E R G H a R r k n G P r E e a R a a

    r Y c r s P q a W R P Y k a P k k n R G c W G P r E r G H a R a P q a W R e a Y c r s a G H a T r E s a c a E T a r W E

    W k r c P G H G r T r Y n G a R n W c a c r r G R D G H a E P R G H a Y r R P G P s a R r k n G P r E

    r G H a a n W G P r E

    h

    6

    a c a e c P G a G H P R a n W G P r E W R G H a a q Y r P E G Y c r z k a

    e

    6

    H a W R R r T P W G a q P G a c W G P r E R T H a a P R G H a E

    &

    ( 0

    & e

    &

    T r c c a R Y r E q P E G r W W Y P s a E z

    e

    6 -

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    G H a W s a c W a r

    &

    W E q

    &

    R H r n k q z a W z a G G a c W Y Y c r P W G P r E Y c r s P q a q G H W G

    &

    P R

    E r G G r r R W k k R r P G P R c a W R r E W z k a G r a Y a T G G H W G G H a R a n a E T a r W Y Y c r P W G P r E R

    r z G W P E a q z P G a c W G P r E r G H a a q Y r P E G a n W G P r E T r E s a c a R G r a e P k k Y c r s a

    G H W G G H P R P R P E q a a q G c n a z E q P E W E P E G a c s W k r E e H P T H P R W T r E G c W T G P r E e P G H

    c a R Y a T G G r G H a n R n W k W z R r k n G a s W k n a a G c P T r E

    P c R G k a G n R R a a e H a G H a c T r E G c W T G R W G W k k r c

    0

    h

    e a a R G P W G a G H W G

    0 h

    0 e

    0

    h e

    h

    0 h

    0 h

    6

    D G r k k r e R G H W G T r E G c W T G R q P R G W E T a R e H a E - 0 h r R W G P R G H P R T r E q P G P r E e a

    E a a q G r a T k n q a W c n a E G R G H W G W c a G r r R W k k H a c a r c a e a T r E R P q a c G H a W T G P r E

    r r E W E P E G a c s W k r G H a r c

    e P G H H P R P R W T r Y k a G a a G c P T R Y W T a

    z a T W n R a

    P R W T k r R a q R n z R a G r W E q P R T r Y k a G a

    D E r c q a c G r W a W r r q T H r P T a r c e a c R G r z R a c s a G H W G

    e

    h

    4

    -

    r c W k k H a c a r c a G H a c a R G c P T G P r E r G r P R e a k k q a E a q R P E T a

    W E q P R W T r E G c W T G P r E r E

    e P G H D G r k k r e R G H W G r c W E $ 4

    G H a R a n a E T a &

    &

    $

    T r E s a c a R G r

    W R2

    r c a r s a c W R R H r e E P E G H a

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    7/19

    P D

    Y c r r r H a r c a - G H a T r E s a c a E T a P R a Y r E a E G P W k k W R G e P G H

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    x

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    8/19

    c r H a r c a z

    G H a R Y W T a

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  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    9/19

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    `0

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    G r W R n P G W z k a r Y a c W G r c E r c e H a E R a a j a c T P R a H P R a Y k W P E R e H

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    G H a a E q R r G H a c r q a R n Y Y r R a G H W G G H a a E q R W E q r G H a c r q W c a a Y G

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    10/19

    W G T r E R G W E G G a Y a c W G n c a R r $ W E q 0 c a R Y a T G P s a k H a E

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    P r n s P k k a Y c r z k a e H P T H e a e P k k R G n q P E S H W Y G a c a e P k k

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  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    11/19

    B H P P D E B

    P D

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    r G H a q P a c a E G P W k r Y a c W G r c 4

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    q a G W P k P E S H W Y G a c

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    6 - -

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    12/19

    H a r c a - - E r e P Y k P a R G H a r k k r e P E c a R n k G

    ~ C

    D P R T r E G P E n r n R W E q

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    e H a c a P R W E W c z P G c W c

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    P E T a

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    - G H P R c a R n k G P R T r E R P R G a E G e P G H H a r c a -

    H a E r E n E P n a E a R R z c a W R q r e E r E k P P R E a W G P s a H P R P R E r G Y H R P T W k k

    c a W k P R G P T P E G H a H a W G I r e Y c r z k a e H a c a P G e r n k q T r c c a R Y r E q G r G H a I r e r H a W G

    c r T r k q G r H r G z n G G H a R W a a n W G P r E W c P R a R P E W E r G H a c Y c r z k a R e P G H E a W G P s a

    T r a T P a E G n E T G P r E R

    D P E e a W Y c r s a n E P n a E a R R z W R P Y k a W P n

    Y c P E T P Y k a W c n a E G n Y Y r R a G H W G

    e W E q P E T a P R

    T r E G P E n r n R P G W G G W P E R P G R W P n W E q P E P n r E G H a P E G a c s W k D W G G W P E R

    P G R W P n W G W E P E G a c P r c Y r P E G G H a E

    W G G H W G Y r P E G R r

    P E T a W G G H a a E q Y r P E G R e a T r E T k n q a G H W G

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    7 a E a c W k P W G P r E R r G H P R W P n Y c P E T P Y k a W c n a E G W Y Y k G r R T W k W c a k k P Y G P T Y W c G P W k

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    a c a E G P W k a n W G P r E R R n T H W R

    W Y k W T a

    R a n W G P r E

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    13/19

    P P P D E B

    P D

    ~ C

    H a T r E G c W T G P r E W Y Y P E G H a r c a W z a n R a q G r Y c r s a G H a a P R G a E T a W E q n E P n a

    E a R R r R r k n G P r E R r G H a P E P G P W k s W k n a Y c r z k a r c r c q P E W c q P a c a E G P W k a n W G P r E R a

    T r E R P q a c W c R G r c q a c R R G a r

    j R r c W n E T G P r E G H W G G W a R s W k n a R P E

    &

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    G P E n r n R k q P a c a E G P W z k a R r k n G P r E r - - j n W G P r E - W z a e c P G G a E

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    ! # a e P k k R H r e G H W G P R W T r E G c W T G P r E r E G H a R Y W T a r T r E G P E n r n R n E T G P r E R

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    W E q - -

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    14/19

    n

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    x

    R n Y

    Q

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    6

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    G P r E R P E T a H P H a c r c q a c

    j R W z a c a q n T a q G r c R G r c q a c R R G a R P G P R R n T P a E G

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    &

    6

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    &

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    G H W G G H a c a P R W n E P n a T r E G P E n r n R R r k n G P r E r c W k k

    H a W Y Y k P T W G P r E R r H a r c a - W c a E r G k P P G a q G r k P E a W c

    jR

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    15/19

    P P P D E B

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    ~

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    6

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    P R e H W G n W c W E G a a R k r z W k a P R G a E T a D m P R W E r E k P E a W c n E T G P r E R n T H W R m

    h

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    $

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    16/19

    H W R W n E P n a T r E G P E n r n R k q P a c a E G P W z k a k r T W k R r k n G P r E q a E a q P E G H a G P a

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    $

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    G H a E G H a a P R G a E T a G P a d r E k q a Y a E q R r E G H a E r c r H n R G H a r E k e W P E

    e H P T H G H a R r k n G P r E r W E

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    P Y R T H P G T r E G P E n r n R r E W E z W k k P R P z a T r a R n E z r n E q a q H a c a W c a W E

    n E T G P r E R G H W G W c a z r n E q a q W E q T r E G P E n r n R r E W E r Y a E P E G a c s W k e H P T H T W E E r G z a

    a G a E q a q T r E G P E n r n R k G r r c a W Y k a R P E P R z r n E q a q W E q T r E G P E n r n R

    r E z n G H W R E r T r E G P E n r n R a G a E R P r E G r H P R P E q r z a H W s P r c

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    q a c P s W G P s a r G H a R r k n G P r E T W E E r G z a T r a k W c a n E k a R R G H a R r k n G P r E P G R a k z a T r a R

  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    17/19

    P P P D E B

    P D

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    6

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  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    18/19

    e H a c a

    P R W P s a E R r r G H n E T G P r E

    h&

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    r c r c a W z r n G G H a k r P R G P T W Y W E q T H W r G P T q E W P T W k R R G a R R a a a s W E a -

    7 n T a E H a P a c W E q r k a R - W E q T H c r a q a c

    P c R T H W E q W k a q P R T n R R a R

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    u

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    &

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    $ 0 e a

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  • 8/14/2019 The Contraction Mapping Theorem

    19/19

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    D R W G P R a R - r c R H r e G H W G e a T W E a R G P W G a G H a q P R G W E T a

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    s W k n a r G H a q P W r E W k G a c a e c P G a 4

    e H a c a P R q P W r E W k P R

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    e H a c a G H a E r c

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    G H a r c a G r Y c r s a G H W G P 4 P R q P W r E W k k q r P E W E G G H a E 4 P R P E s a c G P z k a W E q G H W G G H a

    r k k r e P E P G a c W G P r E R T H a a R T r E s a c a G r W R r k n G P r E r G H a a n W G P r E 4

    & ( 0

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    r k W c a R Y W c R a k P E a W c R R G a R H a P G a c W G P r E - - - P R T W k k a q v x 2 x W E q

    - - z P R T W k k a q G H a 0 { x

    u

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    c r s a G H W G G H a R r k n G P r E P R E r E E a W G P s a H W G T W E r n R W P

    u

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    @ a r c n k W G a G H a Y c r z k a W R W E r E k P E a W c P E G a c W k a n W G P r E


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