TH`ESEpresenteepourlobtentiondudiplomedeDOCTEURDELECOLENATIONALEDESPONTSETCHAUSSEESSpecialite:StructuresetMateriauxpresenteeparJoannaBODGISujetdelath`ese:Synchronisationpietons-structure:ApplicationauxvibrationsdespasserellessouplesSoutenuele04septembre2008devantlejurycomposede:President : L.JEZEQUELRapporteurs : J.H.SAIACJ.C.GOLINVALExaminateurs : T.KRETZT.SAYAHS.ERLICHERDirecteur de th`ese : P.ARGOUL2A mes parents,A mon fr`ere4RemerciementsUn travail de trois ans durant lesquels jai ete initiee `a la recherche se trouve resume dans cespages qui constituent mon rapport de th`ese. Mais ce quaucun lecteur ne peut detecter en les lisant,cestleplaisirquejaieu`atravaillerauseindune equipeo` uchacunestattentifauxautres,eto` u il fait bon vivre, cest le soutien de mes amis et de mes proches, cest surtout lamour de mafamille qui a cru en moi, qui ma encouragee et aidee dans cette etape de ma vie. Cest pourquoi,je voudrais proter de ces quelques lignes pour remercier toutes les personnes qui ont fait de cetteexperience un tr`es bon souvenir.Je voudrais exprimer ma gratitude envers M.PierreArgoul, mon directeur de th`ese, qui maencouragee pour aller jusquau bout, pour ses conseils et son suivi, et M.SilvanoErlicher, monconseiller detudes, qui ma consacre beaucoup de temps durant ces annees.Je remercie egalement M.LouisJezequel qui a preside mon jury, M.Jacques-HerveSaac etM.Jean-ClaudeGolinvalquiontacceptederapportersurmath`eseetM.ThierryKretzpouravoir fait partie de mon jury. Je voudrais egalement remercier M.TonySayah, qui non seulementa fait le trajet depuis le Liban pour etre examinateur durant ma soutenance, mais qui aussi maaccompagnee durant la majorite de mes annees detudes.Ungrandmerci aussi `aM.KaramSabqui maaccepteeauseinduLAMI, auxsecretairesqui mont faciliteetoutes les demarches administratives et `atous les permanents desequipesDynamiquedesstructuresetidenticationetStructuresheterog`enesdontledynamismeetlagentillesseontfaitduLAMIunlaboratoiresiexceptionnel.Merciaussiauxtechniniciensquimont enormement aidee durant la semaine dinitiation au design et dont la bonne humeur estcontagieuse ! Merci aussi `a tous les thesards et stagiaires avec qui jai passe de si bon moments.Je voudrais dire merci `a tous mes amis qui mont accompagnee durant ma th`ese, nous avonsforme une grande famille et jesp`ere quil en sera toujours ainsi.Enn, jeremercie mes parents et monfr`ere, dont lamour maaccompagneedurant cetteperiode. Ils ont su etre presents malgre les distances, ils ont cru en moi meme durant les periodesles plus diciles et les plus incertaines de ma th`ese et ils mont redonne le courage et la conanceen moi lorsque jen avais besoin. Si jai reussi cest aussi grace `a eux. Ce travail leur est dedie...6ResumeLetude des oscillations laterales des passerelles dues `a lexcitation pietonne a suscite beaucoupdinteret dans la communaute scientique durant les dix derni`eres annees. Un nombre importantde travaux a ete publie : dun cote, des essais experimentaux sur des passerelles ont ete realises, etdun autre, des mod`eles qui tentent de reproduire le phenom`ene ou du moins de cerner certainesdesescaracteristiquesont eteproposes.Touscesmod`elesmettentlaccentsurlephenom`enedesynchronisationentrelespietonsetlapasserelle,maislaplupartnarriventpas`asinscriredansun cadre mathematique et physique rigoureux. De plus, la majorite de ces mod`eles neglige letudedu comportement des pietons sur la passerelle : leur repartition, leur evolution, leur vitesse... bienque celui-ci joue un role important dans le declenchement et le maintien des oscillations.Danslecadredecetteth`ese,nousproposonsunmod`elecontinufoule-structurequicombineune equation aux derivees ordinaires modelisant les oscillations transverses de la passerelle et deuxequations aux derivees partielles qui representent le comportement de la foule, avec une prise encompte rigoureuse du phenom`ene de synchronisation. Lapproche adoptee assimile le comportementde la foule `a celui dun uide compressible, et le travail eectue a permis de developper une equationeulerienne de type Kuramoto pour modeliser le phenom`ene de synchronisation. Un developpementanalytique du mod`ele propose permet de determiner certaines caracteristiques du phenom`ene. Untravail numerique pousse proposant de nouvelles methodes de resolution du syst`eme dequations,favoriselimplementationdumod`eleenlimitantleserreursnumeriques. Lapplication`adescasreels comme la passerelle du Millennium `a Londres ou la passerelle Solferino `a Paris par exemple,permet de comprendre et de reproduire correctement leur comportement dans dierentes situationsde repartition et de marche des pietons. Les comparaisons avec les donnees experimentales montrentune tr`es bonne concordance entre les resultats experimentaux et les resultats de notre mod`ele tantanalytiques que numeriques.Motscles: Passerelle pietonne, foule de pietons, mod`ele continu, synchronisation.8Tabledesmati`eresTabledesgures 13Listedestableaux 19Introductiongenerale 251 Etudebibliographiqueetproblematiquegenerale 271.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2 Etudes experimentales liees aux mouvements des pietons. . . . . . . . . . . . . . . 291.2.1 La marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.2 Autres mouvements : la course, le saut, le balancement, le rebondissement. 331.3 Modelisation de la force induite par un ou plusieurs pietons . . . . . . . . . . . . . 341.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.2 Force induite par une seule personne : etude du cas dun plancher rigide . . 341.3.3 Force induite par une seule personne : etude du cas dun plancher souple . . 391.3.4 Force induite par plusieurs personnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4 Un travail preliminaire sur la modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.4.1 Etude realisee par lAssociation Fran caise de Genie Civil (AFGC) . . . . . 511.4.2 Un mod`ele de foule continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.4.3 Un mod`ele preliminaire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 Analysesexperimentales 592.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2 Outils theoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2.1 La serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2.2 La transformation de Fourier (TF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.3 La transformation en ondelettes (TO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3 Analyse de la force de marche dun pieton sur un plancher rigide . . . . . . . . . . 672.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6710 TABLEDESMATI`ERES2.3.2 Description de lexperience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.3 Traitement des donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.4 Resultats de lanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.4 Analyse des donnees de la passerelle Simone de Beauvoir . . . . . . . . . . . . . . . 812.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4.2 Description des essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4.3 Explication du processus danalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.4.4 Resultats des analyses pour les donnees obtenues sur la passerelle non amortie 842.5 AnalysedesdonneesdelapasserelleenlaboratoiredelAssociationFrancaisedeGenie Civil (AFGC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.5.2 Description des essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.6 Determination des frequences propres et de lamortissement structurel du dispositif 872.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 Outilstheoriques 933.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2 Equation de la dynamique dune poutre dEuler Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 953.3 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.3.1 Equation de Burger(inviscid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.4 Equation de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5 La synchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5.2 Loscillateur auto-entretenu et ses proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5.3 Denition de la synchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.5.4 Synchronisation dun oscillateur auto-entretenu par une force exterieure . . 1063.5.5 Mise en equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104 Mod`elecontinupourlecouplagefoule-passerelle 1114.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 Formulation du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3 Lequation de la dynamique de la passerelle et la force due `a la foule . . . . . . . . 1144.4 Modelisation du ux de pietons sur la passerelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5 Modelisation de la longueur de pas des pietons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.6 Modelisation de la phase totale des pietons : equation de Kuramoto . . . . . . . . 118TABLEDESMATI`ERES 114.6.1 Etude du cas dun seul pieton soumis `a la force exercee par la passerelle . . 1184.6.2 Retour au mod`ele continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225 Etudeanalytique 1235.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 Conditions de stationnarite et normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3 Equations `a temps lent et methode des petites perturbations . . . . . . . . . . . . 1275.4 Synchronisation partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.4.1 Rep`ere tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.4.2 Le cas stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.4.3 Representation statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.5 Etude du cas o` ug est une distribution gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5.1 Determination du nombre critiqueNcet de la frequence de synchronisationpourN Nc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5.2 Cas particulier o` ug() est de moyenne nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.6 Comparaison avec les donnees experimentales de la passerelle du Millennium . . . 1395.7 Determination de levolution de lamplitude du deplacement de la passerelle apr`esdeclenchement de la synchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446 Modelisationnumerique 1456.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2 La discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.3 Lequation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.4 La conservation de la masse et lequation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.4.1 Resolution numerique de lequation de transport avec vitesse constante . . 1486.4.2 Schema numerique pour la resolution de lequation de conservation de la masse1556.4.3 Schemanumeriquepour laresolutiondelequationdetransport pour lafrequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.5 Lequation de synchronisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.6 Lalgorithme general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16312 TABLEDESMATI`ERES7 Resultats 1657.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.2 Choix des valeurs des dierents param`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.3 Application `a la passerelle du Millennium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.3.1 Description et caracteristiques de la passerelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.3.2 Determination de la valeur de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.3.3 Comparaison de resultats sur la TN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.4 Application `a la passerelle Simone de Beauvoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.4.1 Description et caracteristiques de la passerelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.4.2 Determination du nombre critique de pietons . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.4.3 Amplitude doscillations et simulations numeriques . . . . . . . . . . . . . . 1907.4.4 Concernant le premier mode de la passerelle Simone de Beauvoir... . . . . . 1917.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Conclusionsetperspectives 195Annexes 197Bibliographie 203Tabledesgures1.1 Distribution normale de la frequence dapr`es Matsumoto et al. [1] . . . . . . . . . 301.2 La force verticale pour des sequences de marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3 Courbes typiques de la force pour la marche - (a) composante verticale, (b) compo-sante laterale, (c) composante longitudinale dapr`es [2] . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4 Marche periodique - (a) composante verticale, (b) composante laterale, (c) compo-sante longitudinale dapr`es [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5 Relation entre la longueur du pas, la vitesse, la force maximale et le temps de contactpour dierentes frequences de mouvement dapr`es [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6 Mouvement de course et de saut [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.7 Les facteurs dimpulsionpour lamarche, lacourseet lesaut enfonctiondelafrequence du mouvement dapr`es [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8 Les facteurs dimpulsion theoriques et experimentaux dapr`es [5] . . . . . . . . . . 401.9 Les forces verticales theoriques et experimentales dapr`es [5] (a) pour la marche (b)pour la course avec contact continu (c) pour le saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.10Les DLFs en fonction du facteur dimpulsion pour la course et le saut . . . . . . . 421.11Densite spectrale de puissance des deux composantesFl,fletFl,fbpour des ampli-tudes de deplacement de 15mm (a), 30mm (b) et 45mm (c) dapr`es [6] . . . . 431.12Lavitessemoyennelocaleenfonctiondeladensitelocalepourdierentesvaleursde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.13La vitesse moyenne locale en fonction de la densite locale et de la vitesse de vibrationde la passerelle pour = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.14(a)Spp_max_, (b)Sps( u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1 La transformee en ondelette dun signal temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2 (a) Force laterale appliquee par le pied droit pour une vitesse de 3.75km/h, (b) FFTde la force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3 Le ltre de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4 (a) La t de la force avant ltrage, (b) La t de la force apr`es ltrage . . . . . . . 692.5 Les composantes de la force pour une vitesses de marche de 4, 5km/h : (a) verticale(b) laterale (c)longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7014 TABLEDESFIGURES2.6 (a)Lalongueurdespas[m] pourlesdierentesvitesses[km/h] (b)Lalongueurmoyenne des pas [m] en fonction de la vitesse [km/h] (c) La duree des pas [s] pourlesdierentesvitesses[km/h](d)Ladureemoyennedespas[s]enfonctiondelavitesse [km/h] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.7 La frequence de la force engendree par un pied en fonction de la vitesse de la marche 712.8 Les signaux des forces modelisees par dierents nombres de coecients de Fourierpour une vitesse de marche de 4, 5km/h : (a) vertical droit, (b) vertical gauche, (c)lateral droit, (d) lateral gauche, (e) longitudinal droit, (f) longitudinal gauche . . 732.9 Laforceverticalepourunevitessedemarchede4, 5kmmodeliseeavec5harmo-niques : (a) engendree par le pied droit, (b) engendree par le pied gauche, (c) totale 762.10Laforcelateralepourunevitessedemarchede4, 5kmmodeliseeavec5harmo-niques : (a) engendree par le pied droit, (b) engendree par le pied gauche, (c) totale 772.12Comparaison entre la force verticale engendree par chaque pied pour une vitesse demarche de 5, 25km/h : (a) le pied droit, (b) le pied gauche . . . . . . . . . . . . . . 772.11La force longitudinale pour une vitesse de marche de 4, 5km modelisee avec 5 har-moniques: (a)engendreeparlepieddroit, (b)engendreeparlepiedgauche, (c)totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.13Comparaison entre la force laterale engendree par chaque pied pour une vitesse demarche de 5, 25km/h : (a) le pied droit, (b) le pied gauche . . . . . . . . . . . . . . 782.14Comparaison entre la force longitudinale engendree par chaque pied pour une vitessede marche de 5, 25km/h : (a) le pied droit, (b) le pied gauche . . . . . . . . . . . . 792.15Laforcelateraletotalepour unevitessedemarchede4, 5kmmodeliseeavec1harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.16La passerelle de Simone de Beauvoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.17Coupe transversale de la passerelle de Simone de Beauvoir. . . . . . . . . . . . . . 822.18Les signaux enregistres par les 6 accelerom`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.19Les transformees de Fourier des signaux enregistres par les 6 accelerom`etres . . . . 832.24Coupe transversale de la passerelle de lAFGC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.25(a) Dalle utilisee pour passerelle de lAFGC, (b) Lame de exion utilisee pour pas-serelle de lAFGC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.26Coupe transversale de la passerelle de lAFGC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.20Les graphiques obtenus par lalgorithme des tranformees enondelettes pour lessignauxcaptes par les accelerom`etres suivants : a)laccelerom`etre enAverticalenaval, b)laccelerom`etreenBvertical enaval `agaucheet enamont `adroite,c)laccelerom`etre en C vertical en aval `a gauche et en amont `a droite, d)laccelerom`etreen D vertical en aval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.21Extraction de larete de la transformee en ondelettes du signal obtenu par laccelerom`etrepositionne enA vertical et en aval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.22Resultats permettant la determination des param`etres de la structure selon le pro-tocole explique dans 2.2.3 : (a) les frequences instantanees, (b) les amortissementsinstantanes, (c) le logarithme des amplitudes instantanees . . . . . . . . . . . . . . 90TABLEDESFIGURES 152.23Les deformees modales du mode 5 : la partie reelle dans la gure du haut et la partieimaginaire dans la gure du bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1 Solutions exactes du syst`eme dequations (3.16), (3.17), (3.18) . . . . . . . . . . . . 973.2 Solutionsexactesdelequation(3.15), aveclaconditioninitiale(3.19), lavitesse(3.20) et la condition enx = 0 (3.21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3 (a) Cycle limite dans le plan de phases (rep`ere xe), (b) stabilite dun point de phasesur le cycle limite (rep`ere tournant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.4 Oscillateur conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.5 Syst`eme dissipatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.6 Syst`emes dissipatifs : auto-entretenu (a) et force (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.7 Rep`ere tournant : (a)0> , (b)0 = , (c)0< . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.8 Le dephasage selon la position des points par rapport `a la region de synchronisation :(a) la position des points par rapport `a la region de synchronisation, (b) le dephasageen fonction du temps pour les dierents points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.1 Courbe representantCen fonction de la densite des pietons . . . . . . . . . . . 1174.2 Courberepresentant Csenfonctiondelamplitudedelacceleration u(x, t)delapasserelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3 Courbe representant la longueur de paslpasen fonction de la densite des pietonset de lamplitude de lacceleration u de la passerelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.1 La densite initiale(x, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.2 Solutions numeriques obtenues par les methodes LF et UP . . . . . . . . . . . . . . 1506.3 Solution numerique obtenue par la methode CK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.4 Solution numerique obtenue par la methode CKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.5 La densite initiale(x, 0) discontinue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.6 Solution numerique obtenue par la methode CKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.7 Solution numerique obtenue par la methode CKINO . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.8 Comparaison entre les methodes numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.9 Evolution de nombre de pietons sur la passerelle pourL = 81m et = 4m. . . . . 1556.10La condition initiale(x, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.11Comparaison entre methodes numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.12La condition initiale(x, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.13Comparaison entre les methodes numeriques : (a) solution `a t = 50s (b) zoom de lasolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.14La condition initiale(x, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.15Comparaison entre methodes numeriques : a)solution `a t = 15s b)zoom de la solution1606.16La condition initiale(x, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16016 TABLEDESFIGURES6.17Comparaison entre methodes numeriques : a)solution `at = 15s b) et c)zoom de lasolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.18Representation schematique la position des temps darret . . . . . . . . . . . . . . 1627.1 La travee centrale de la passerelle du Millennium `a Londres . . . . . . . . . . . . . 1697.2 Comparaison entre lamplitude de deplacement de la TN trouvee analytiquement etlamplitudededeplacementtrouveenumeriquementlorsquelafrequencemoyennedes pietons est la frequence modale du syst`eme pietons-TN . . . . . . . . . . . . . 1767.3 Comparaison entre letat pre-critique avec 150 pietons uniformement repartis sur laTN (`a gauche) et letat post-critique avec 220 pietons (`a droite) lorsque la frequencemoyennedespietonsestlafrequencemodaledusyst`emepietons-TN: lesgures(a) et (b) representent le deplacement de la TN `a mi-travee, et les gures (c) et (d)montrent la frequence instantanee de la TN (courbe rouge) et la frequence instan-tanee des pietons `a mi-travee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.4 Zoom sur la frequence instantanee de la TN (courbe rouge) et la frequence instan-tanee des pietons `a mi-travee (courbe bleu) pour 220 pietons apr`es synchronisationlorsque la frequence moyenne des pietons est la frequence modale du syst`eme pietons-TN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.5 Evolution en temps et en espace de la frequence instantanee des pietons lorsque leurfrequencemoyenneestlafrequencemodaledusyst`emepietons-TN(a)pour150pietons sur la TN, (b) pour 220 pietons sur la TN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.6 La force laterale modale des pietons (courbe bleue) et la vitesse modale de la TN `ami-travee (courbe rouge) apr`es synchronisation pour 220 pietons lorsque la frequencemoyenne des pietons est la frequence modale du syst`eme pietons-TN. . . . . . . . 1797.7 AmplitudededeplacementanalytiquedelaTNlorsquelafrequencemoyennedespietons est la frequence modale du syst`eme pietons-structure et lecart-type est variable1807.8 ComparaisonentrelamplitudededeplacementdelaTNtrouveeanalytiquementdapr`es [7] et lamplitude de deplacement trouvee numeriquement lorsque la frequencemoyenne des pietons est la frequence modale de la passerelle seule . . . . . . . . . 1817.9 Comparaison entre letat pre-critique avec 150 pietons uniformement repartis sur laTN (`a gauche) et letat post-critique avec 220 pietons (`a droite) lorsque la frequencemoyenne des pietons est la frequence modale de la TN seule : les gures (a) et (b)representent le deplacement de la TN `a mi-travee, et les gures (c) et (d) montrentlafrequenceinstantaneedelaTN(courberouge)etlafrequenceinstantaneedespietons `a mi-travee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.10Zoom sur la frequence instantanee de la passerelle (courbe rouge) et la frequence ins-tantanee des pietons (courbe bleue) pour 220 pietons apr`es synchronisation lorsqueleur frequence moyenne des pietons est la frequence modale de la TN seule . . . . . 1837.11Evolution en temps et en espace de la frequence instantanee des pietons lorsque leurfrequence moyenne est la frequence modale de la TN seule (a) pour 150 pietons surla TN, (b) pour 220 pietons sur la TN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.12La force laterale modale des pietons (courbe bleue) et la vitesse modale de la TN `ami-travee (courbe rouge) apr`es synchronisation pour 220 pietons lorsque la frequencemoyenne des pietons est la frequence modale de la TN seule. . . . . . . . . . . . . 184TABLEDESFIGURES 177.13Le deplacement delaTN`a mi-travee pour0= 0, 5p/m2(a) pourladistributionde frequencesFR1, (b) pour la distribution de frequencesFR2 . . . . . . . . . . . 1847.14LadensitedespietonssurlaTNenfonctiondelespaceetdutempspour0=0, 5p/m2(a)pourladistributiondefrequences FR1, (b)pourladistributiondefrequencesFR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.15LavitessedespietonssurlaTNenfonctiondelespaceetdutempspour0=0, 5p/m2(a)pourladistributiondefrequences FR1, (b)pourladistributiondefrequencesFR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.16Evolution du nombre de pietons sur la TN pour 0 = 0, 5p/m2(a) pour la distribu-tion de frequencesFR1, (b) pour la distribution de frequencesFR2 . . . . . . . . 1867.17Frequence instantanee de la passerelle en rouge et frequence instantanee des pietons`a mi-travee en bleu pour0 = 0, 5p/m2(a) pour la distribution de frequences FR1,(b) pour la distribution de frequencesFR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.18Frequenceinstantaneedespietonsenfonctiondelespaceetdutempspour0=0, 5p/m2(a)pourladistributiondefrequences FR1, (b)pourladistributiondefrequencesFR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.19Le deplacement de la TN `a mi-travee pour0 = 1p/m2(a) pour la distribution defrequencesFR1, (b) pour la distribution de frequencesFR2. . . . . . . . . . . . . 1877.20La densite des pietons sur la TN en fonction de lespace et du temps pour 0 = 1p/m2(a) pour la distribution de frequencesFR1, (b) pour la distribution de frequencesFR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.21La vitesse des pietons sur la TN en fonction de lespace et du temps pour 0 = 1p/m2(a) pour la distribution de frequencesFR1, (b) pour la distribution de frequencesFR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.22Nombre de pietons sur la TN pour 0 = 1p/m2(a) pour la distribution de frequencesFR1, (b) pour la distribution de frequencesFR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.23Frequence instantanee de la passerelle en rouge et frequence instantanee des pietons`a mi-travee enbleupour0= 1p/m2(a)pourladistributiondefrequencesFR1,(b) pour la distribution de frequencesFR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.24Frequenceinstantaneedespietonsenfonctiondelespaceetdutempspour0=1p/m2(a) pour ladistributionde frequences FR1, (b) pour ladistributiondefrequencesFR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.255000pietons enmarche normalesur lapasserelle Simone de Beauvoir (a) ledeplacementdelapasserelle`ami-travee, (b)lafrequenceinstantaneedelapas-serelle (rouge) et la frequence instantanee des pietons `a mi-travee (bleu) . . . . . . 1907.26Evolutiondelafrequenceinstantaneedes pietons pour 5000pietons enmarchenormale sur la passerelle Simone de Beauvoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.27Amplitude de deplacement analytique de la passerelle Simone de Beauvoir lorsque lafrequence moyenne des pietons est la frequence modale du syst`eme pietons-structureet lecart-type est variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.28DeplacementdelapasserelleSimonedeBeauvoir`ami-traveepourunefrequencemoyennedemarche egale`alafrequencemodaledusyst`emepietons-passerelle(a)dans un cas pre-critique (200 pietons), (b) dans un cas post-critique (800 pietons) . 19218 TABLEDESFIGURES7.29ComparaisonentrelafrequenceinstantaneedelapasserelleSimonedeBeauvoir(rouge) et la frequence instantanee des pietons `a mi-travee (bleu) pour une frequencemoyennedemarche egale`alafrequencemodaledusyst`emepietons-passerelle(a)dans un cas pre-critique (200 pietons), (b) dans un cas post-critique (800 pietons) . 1937.30Evolutiondelafrequenceinstantaneedespietons`ami-traveepourunefrequencemoyennedemarche egale`alafrequencemodaledusyst`emepietons-passerelle(a)dans un cas pre-critique (200 pietons), (b) dans un cas post-critique (800 pietons) . 193Listedestableaux1 Les lettres minuscules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Les lettres majuscules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Les lettres grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1 Frequences de marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2 Les coecients de Fourier pour la force verticale engendree par la marche(DLFs) . 361.3 Les coecients de Fourier pour la force laterale engendree par la marche(DLFs) . . 361.4 Valeurs deAj,Bjet_F2Lj/F2L_ dapr`es Pizzimenti et Ricciardelli [6] . . . . . . . . 371.5 Les coecients de Fourier pour la force verticale engendree par la course(DLFs) . . 371.6 Les coecients de Fourier pour la force verticale engendree par le saut(DLFs). . . 381.7 Les coecients de Fourier pour la force verticale engendree par le balancement (DLFs) 381.8 Les frequences de mouvement et les facteurs dimpulsion dapr`es Seiler et H uttner [5] 401.9 Les frequences de deplacement, les DLFs et les phases proposes par Seiler et H uttnerpour dierents types de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1 Param`etres de londelette de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2 Les longueurs et les durees des pas avec les dierences dun pas `a lautre. . . . . . 702.3 Coecients de la force verticale pour une vitesse de 3, 75km/h . . . . . . . . . . . 722.4 Coecients de la force verticale pour une vitesse de 4, 5km/h . . . . . . . . . . . . 722.5 Coecients de la force verticale pour une vitesse de 5, 25km/h . . . . . . . . . . . 732.6 Coecients de la force verticale pour une vitesse de 6km/h . . . . . . . . . . . . . 742.7 Coecients de la force laterale pour une vitesse de 3, 75km/h . . . . . . . . . . . 742.8 Coecients de la force laterale pour une vitesse de 4, 5km/h . . . . . . . . . . . . 742.9 Coecients de la force laterale pour une vitesse de 5, 25km/h. . . . . . . . . . . . 742.10Coecients de la force laterale pour une vitesse de 6km/h. . . . . . . . . . . . . . 752.11Coecients de la force longitudinale pour une vitesse de 3, 75km/h . . . . . . . . 752.12Coecients de la force longitudinale pour une vitesse de 4, 5km/h . . . . . . . . . 752.13Coecients de la force longitudinale pour une vitesse de 5, 25km/h . . . . . . . . 752.14Coecients de la force longitudinale pour une vitesse de 6km/h . . . . . . . . . . 7620 LISTEDESTABLEAUX2.15Congurations etudiees pour les essais sans amortisseurs. . . . . . . . . . . . . . . 822.16Les modes complexes identies, les frequences naturelles et le taux damortissementmodal trouve pour chaque signal etudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.17Resultats de lanalyse par ondelettes sur la passerelle Simone de Beauvoir non amortie 852.18Frequence propre et taux damortissement modal pour le deplacement lateral . . . 882.19Frequence propre pour le deplacement en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.1 Caracteristiques des travees de la passerelle du Millennium `a Londres [8], [7] . . . . 1707.2 Valeurs des frequences moyennes et des ecart-types dans le cas des essais sur la TN 1707.3 Les dierentes valeurs de[s/m] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.4 Comparaisonentre les valeurs dunombre critique Ncpour laTNtrouvee pardierents mod`eles de la litterature et par notre mod`ele. . . . . . . . . . . . . . . . 1727.5 Recapitulatif des caracteristiques des cas etudies pour la TN . . . . . . . . . . . . 1737.6 LaprobabilitedesynchronisationlorsqueN NcsurlaTNlorsquelafrequencemoyenne des pietons est la frequence modale du syst`eme pietons+TN . . . . . . . 1757.7 Comparaison entre les frequences de synchronisation pour la TN trouvees analyti-quement et les frequences de synchronisation trouvees numeriquement . . . . . . . 1757.8 Comparaison entre les amplitudes de deplacement post-critique de la TN trouveesanalytiquement et les amplitudes de deplacement post-critique trouvees numeriquement1757.9 LaprobabilitedesynchronisationlorsqueN NcsurlaTNlorsquelafrequencedes pietons est centree sur la frequence modale de la TN. . . . . . . . . . . . . . . 179NotationsDans les tableaux 1, 2 et 3, on fait le point sur les notations qui sont utilisees dans la suitedecedocument.Ilestutiledepreciserquelindicepestenrapportaveclepieton,etlindicebavec la passerelle (bridge) ou la structure sur laquelle le pieton se deplace.a amplitude normalisee du deplacement de la passerelle (`a mi-travee)aminacceleration de la passerelle `a partir de laquelle les pietons ressentent les oscillationsamaxacceleration de la passerelle `a partir de laquelle les pietons sarr`etent de marcherb = / pourcentage damortissement du syst`eme passerelle-pietons normalisefb =b2=12_MbKfrequence propre de la passerelleflfrequence laterale du mouvement du pietonfLfrequence longitudinale du mouvement du pietonfmfrequence du mouvement du pietonfvfrequence verticale du mouvement du pietong acceleration de la pesanteurl(x, t) longueur des pas des pietonsl1plongueur de pas dun pietonl0 = 0, 71m longueur de pas moyenne pour une marche librem1pmasse dun pietonmbmasse de la passerelle par unite de longueurq frequence de bloquage normalisee du syst`eme passerelle-pietont variable de tempstcla periode de contact entre le pieton et le plancher durant un pastncla periode sans contact entre le pieton et le plancher durant un pasu(x, t) deplacement de la passerelleu(x, t) deplacement lateral de la passerelle u deplacement lateral normalisee de la passerelle (`a mi-travee)vMvitesse moyenne de marche libre dun pietonx variable longitudinale en espaceTableau1. Les lettres minuscules22 NotationsA amplitude du deplacement de la passerelle (`a mi-travee)C amortissement modal de la passerelleCsfonction reductrice de la longueur de pas en fonction des oscillations de la passerelleCfonction reductrice de la longueur de pas en fonction de la densiteFpforce induite par un pietonFvcomposante verticale de la force induite par un pietonFlcomposante laterale de la force induite par un pietonFLcomposante longitudinale de la force induite par un pietonTpforce induite par un groupe ou une foule de pietonsTvcomposante verticale de la force induite par un groupe ou une foule de pietonsTlcomposante laterale de la force induite par un groupe ou une foule de pietonsTLcomposante longitudinale de la force induite par un groupe ou une foule de pietonsG = 35N amplitude de la force engendree par un seul pietonK rigidite modale de la passerelleM masse modale de la passerelleMpmasse dun groupe ou dune foule de pietonsMt = M +Mpmasse modale du syst`eme passerelle-fouleN nombre de pietons total sur la passerelleNcnombre critique de pietonsP= m1pg poids dun pietonT= variable de temps lenteTm = tc +tncduree moyenne dun pasTpasduree instantanee dun pasU deplacement de la passerelle (`a mi-travee)Tableau2. Les lettres majusculesNotations 23 param`etre denissant la dierence de phase entre le deplacement de la passerelleet celui du pieton quand il y a synchronisation. param`etre des petites perturbations param`etre pour la synchronisation taux damortissement du syst`eme passerelle-pietons densite locale des pietonscdensite critique des pietons `a partir de laquelle les pietons interagissent entre euxmaxdensite maximale des pietons `a partir de laquelle les pietons sarr`etent de marcher = 0t phase totale des pietons dans le rep`ere rotationnelecart-type de la frequence de marche libre des pietonsecart-type de la frequence de marche libre normalisee des pietonsmoyenne de la frequence de marche libre des pietonsmoyenne de la frequence de marche libre normalisee des pietons= 0t variable de temps rapide phase totale des pietons = qT phase total des pietons dans un rep`ere rotationnel = s0t phase totale de la passerelle dans le rep`ere rotationnelsphase totale de la passerelle frequence de marche libre des pietonsb =_KMbpulsation propre de la passerelle0 =_ KMtFrequence libre du syst`eme passerelle-pietons =1(/01) frequence de marche libre normalisee =C2KMb=C2Mbbtaux damortissement de la passerlleTableau3. Les lettres grecques24 NotationsIntroductiongeneraleElegance, leg`erete et sveltesse sont les matre-mots de toute architecture moderne. Les passerellespietonnes ne font pas exception `a cette tendance. Leurs travees sont de plus en plus elancees et les materiauxqui les constituent de plus en plus legers. Cependant, les consequences de ces tendances architecturales creentcertainsdesagrementsducotedesingenieurs. Eneet, lelancementdespasserellesfaitapparatredesphenom`enes nouveaux ou qui avaient moins deets dans le passe. Rappelons lhistoire du pont de la Basse-Chane, pont suspendu sur la Maine `a Angers : en 1850, une troupe militaire traversant le pont en ordre serreprovoqua sa rupture par resonance (oscillations verticales) et la mort de 226 soldats. Pourtant, le r`eglementmilitaire interdisait dej`a de marcher au pas sur un pont, ce qui laisse `a penser que ce phenom`ene etait dej`aconnupourlesoscillationsverticales[9]. Maisqui accordaitdelimportanceauphenom`enedoscillationslateralesdespasserellesengendreparlexcitationpietonneavantlan2000 ?Lesingenieursconnaissaientsans doute ce phenom`ene, mais limportance quils lui accordaient, negalait probablement pas celles quilsdonnaient`adautresphenom`enesmieuxconnus. Cependantunev`enementremarquableestvenupropul-sercephenom`eneaupremierrangdesinteretsdesingenieursdesbureauxdetudesetdeschercheursendynamique des structures.En juin 2000, `a loccasion du nouveau millennaire, une nouvelle passerelle est inauguree `a Londres : lapasserelle du Millennium. Vu lev`enement quelle symbolise, cette passerelle se devait detre belle, eleganteetaudacieuse. Beaucoupdepersonnessontvenuesassister`alinauguration, etil yavaitmemeunefan-faredemusiquequiaouvertlamarchesurlapasserelle.Mais,surprise,lapasserellecommence`aoscillerlateralement. Ces oscillations sont tellement importantes que certaines personnes se sont cramponnees auxrambardes. Par la suite, la passerelle a ete fermee au public durant deux ans pour permettre des recherchesapprofondies an de remedier `a ce probl`eme.Ces recherches ont mis en evidence que le Millennium a un mode propre lateral dont la frequence est delordre duHz. Or un pieton gen`ere par sa marche une force laterale ayant une frequence du meme ordre.La densite des pietons qui ont traverse la passerelle ce jour-l`a etant assez elevee (avec des maxima qui ontatteint les 1, 3 `a 1, 5 pietons par m`etre carre), les pietons etaient synchronises entre eux et la force lateraletotale quils ont engendree, avait une amplitude susamment importante pour que la passerelle commence`a osciller. Les pietons qui ont ressenti le mouvement, ont change leur facon de marcher de sorte `a rester enequilibre. Ils se sont synchronises alors avec la passerelle et donc de plus en plus entre eux. La force lateraletotale quils ont generee, avait une amplitude de plus en plus importante et la passerelle a bouge de plus enplus.Depuis la mise en evidence de ce phenom`ene, plusieurs campagnes de mesures ont ete lancees et beaucoupdechercheursontessayedeleclairciretdelemodeliser.Cependant,laplupartdesmod`elesproposesnedonnent pas un contexte mathematique et physique rigoureux. Le but de cette th`ese est donc de proposerun mod`ele qui arrive `a reproduire le phenom`ene observe en prenant en compte linteraction entre les pietonset linteraction entre les pietons et la structure, notamment le phenom`ene de synchronisation.Pour cela, le rapport de cette th`ese est divise en sept chapitres.Le premier chapitre est consacre `a letude bibliographique. Nous avons souhaite regrouper les informa-tions les plus importantes concernant la marche dun pieton, son comportement et celui dune foule sur unepasserelle rigide ou souple. De plus, nous presentons bri`evement les mod`eles trouves dans la litterature. Ce26 Introductiong en eralechapitrenousapermisdapprofondirnosconnaissancessurcephenom`eneetnousaamenes`auntravailpreliminaire de modelisation.Dans le second chapitre, nous etudions des donnees concernant la marche dun pieton sur un plancherrigide. Cetteetudenouspermetdemodeliserlaforcelateraledunpieton. Ensuite, nousanalysonsdesdonnees experimentales concernant la passerelle Simone de Beauvoir et la passerelle de laboratoire realiseepar lAssociation Fran caise de Genie Civil. Cette analyse nous permet de determiner les frequences modales,les amortissements modaux et les formes modales des passerelles `a partir de mesures reelles.Dans le chapitre 3, nous introduisons dierents outils theoriques utilises dans la modelisation du phenom`eneetudie. Le but de ce chapitre est de preparer le lecteur au mod`ele que nous avons developpe au cours decette th`ese.Unnouveaumod`elecontinucouplefoule-structureest presenteauchapitre4. Lemod`elequenousproposons est forme dun couplage entre une equation aux derivees ordinaires et trois equations aux deriveespartielles. Il realise une modelisation correcte du comportement de la passerelle et de la foule avec une priseen compte rigoureuse du phenom`ene de synchronisation.Dans le chapitre 5, nous realisons une etude analytique pour un cas particulier du mod`ele. Cette etudenous permet dune part de determiner les param`etres du mod`ele, et dautre part de determiner le nombrecritique de pietons qui pourrait declencher la synchronisation, la frequence de synchronisation et lamplitudede deplacement post-critique de la passerelle `a letat stationnaire quand cela est possible.Vu la complexite de notre mod`ele, limplementation numerique elle meme est complexe, et dans certainscas, les methodes classiques ne permettent pas dobtenir des resultats satisfaisants. Ceci a entrane un travailnumerique pousse qui est presente dans le chapitre 6.Dans le dernier chapitre de cette th`ese, nous commencons par xer les valeurs des dierents param`etresdumod`ele. Puis, nousappliquonslemod`ele`alapasserelleduMillenniumet`alapasserelleSimonedeBeauvoir, apr`es avoir verie la correspondance entre le mod`ele numerique presente au chapitre 6 et letudeanalytique du chapitre 5.Enn nous terminons ce rapport par des conclusions illustrant le travail qui a ete realise et des perspec-tives qui ouvrent sur le travail de recherche qui pourrait etre poursuivi.Chapitre1EtudebibliographiqueetproblematiquegeneraleCE CHAPITRE a pour objectif de faire une synth`ese bibliographique sur les probl`emes suivants : Les caracteristiques des dierents mouvements de pietons. Les caracteristiques des forces engendrees par les mouvements de pietons. La modelisation de la force engendree par un pieton. Linteraction entre les pietons. Linteraction entre les pietons et la structure. La modelisation de la force engendree par une foule.28 Etudebibliographiqueetprobl ematiqueg en eralePlanduChapitre11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2 Etudesexperimentaleslieesauxmouvementsdespietons . . . . . . . 291.2.1 La marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.2 Autres mouvements : la course, le saut, le balancement, le rebondissement 331.3 Modelisationdelaforceinduiteparunouplusieurspietons . . . . . 341.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.2 Force induite par une seule personne : etude du cas dun plancher rigide . 341.3.3 Force induite par une seule personne : etude du cas dun plancher souple . 391.3.4 Force induite par plusieurs personnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4 Untravailpreliminairesurlamodelisation. . . . . . . . . . . . . . . . 501.4.1 Etude realisee par lAssociation Fran caise de Genie Civil (AFGC) . . . . 511.4.2 Un mod`ele de foule continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.4.3 Un mod`ele preliminaire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Introduction 291.1 IntroductionDans ce chapitre, on presente une synth`ese de letude bibliographique realisee au cours de cette th`ese.Cette etude est divisee en trois parties. La premi`ere partie porte sur les resultats experimentaux des etudesrealisees sur les dierents types de mouvement des pietons. Les mod`eles developpes dans la litterature sontpresentes dans la deuxi`eme partie et un travail preliminaire de modelisation dans la derni`ere.1.2 EtudesexperimentaleslieesauxmouvementsdespietonsDesmesuresdelaforceinduitepardespersonnessautant,marchantoucourant,ont eteeectueespar plusieurs chercheurs [1012]. La plupart de ces essais ont ete realises pour des forces verticales, et surdes planchers rigides, i.e. ayant des frequences propres elevees et etant non susceptibles de vibrer en reponse`a la force qui leur est imposee par les pietons.1.2.1 Lamarche1.2.1.1 DenitionDansledictionnaire[13],ontrouvequemarcher,cestsedeplacer,semouvoirenmettantunpieddevant lautre.1.2.1.2 ObservationssurlamarcheDurant la marche, au moins lun des deux pieds du pieton est en contact avec le plancher sur lequelil est en mouvement. Dans laction de marcher, on peut distinguer deux phases : dans la premi`ere, les deuxpieds sont simultanement en contact avec le plancher alors que dans la deuxi`eme un seul pied est en contactavecleplancher. Lapremi`erephasepermetdunepart, dechangerlajambedappui etdautrepart, dedonner `a la deuxi`eme jambe lelan necessaire pour se lancer en avant. On denit la duree dun pas commeetantlaperiodedetempsqui separeledebutdedeuxphasesdecontactsimultanedesdeuxpieds. Lalongueur dun pas sera denie comme etant la distance qui separe les deux pieds durant la phase de contactsimultane. La longueur moyenne dun pas lorsque la marche du pieton est libre i.e. lorsquil nest inuenceni par les pietons qui lentourent ni par le plancher, est supposee suivre une loi normale avec une moyennedelordredel0= 0, 71metun ecart-typede0, 071m[14].Lavitessedemarchepeut etredeniecommeetant le rapport entre la longueur dun pas et sa duree. La valeur moyenne de la vitesse de marche dans desconditions de marche libre est de lordre devM= 1, 5m/s [15].1.2.1.3 PeriodiciteetfrequencesLa marche dun pieton dans des conditions de marche libre est habituellement supposee periodique [16],i.e. la longueur dun pas et sa duree sont sensiblement identiques dun pas `a lautre pour un meme pieton.La periode de la marcheTmest denie comme etant la duree moyenne dun pas pour un pieton donne. Lafrequencefm =1Tma ete evaluee experimentalement par plusieurs auteurs et a une valeur voisine de 2Hz(Tableau 1.1). La gure 1.1 montre la courbe de la distribution normale des frequences selon Matsumoto etal. [1] dapr`es des experiences realisees sur 505 personnes.Cependant, cette periodicite est contestee dans les travaux de Sahnaci et Kasperi [20] qui armentqueladureedunpasdi`ereselonlajambedappui. Ainsi, onauraitdeuxfrequencesetdeuxperiodesdierentes.30 Etudebibliographiqueetprobl ematiqueg en eraleAuteur(s) FrequencesMatsumoto et al. [1](505 personnes) la frequence suit une loi de distributionnormale de moyenne 2, 0Hzet de deviation standard de 0, 173HzKerr et Bishop [17](40 personnes) frequence moyenne de 1, 9HzLeonard [18] frequence de la marche normale 1, 7 2, 3HzBachmann et al [19] 1, 6 2, 4HzZivanovic et al. [14] (939 personnes) loi normale de moyenne 1, 87Hz et decart-type 0, 186HzTableau1.1. Frequences de marcheFigure1.1. Distribution normale de la frequence dapr`es Matsumoto et al. [1]1.2.1.4 LesforcesengendreesparlamarchedunpietonDurant lamarche, chaquepied, lors desoncontact avecleplancher, engendreuneforce`atroiscomposantes. Dans ce qui suit, les indices v, l et L indiquent respectivement les directions verticale, lateraleet longitudinale, lindiced indique la jambe droite et lindiceg la jambe gauche :Fpd(t) =__Fvd(t)Fld(t)FLd(t)__Fpg(t) =__Fvg(t)Flg(t)FLg(t)__La forceFp engendree par un pieton nest autre que la somme des forces engendrees par chacune des jambes :Fp(t) =Fpd(t) +Fpg(t) =__Fvd(t) +Fvg(t)Fld(t) +Flg(t)FLd(t) +FLg(t)__ =__Fv(t)Fl(t)FL(t)__La force verticale : Laforceverticaleest toujours dirigeevers leplancher, elleadoncunsigneconstant, que ce soit pour la jambe droite (Fvd) ou la jambe gauche (Fvg), et qui est le meme pour les deuxjambes.LaforceverticaletotaleFvadoncelleaussilememesigne,etelleapouramplitudemoyennelepoidsdupieton(750N`a800Nenmoyenne)etvariede 250N[21].Durantunpas,lajambequiestencontact avec le plancher engendre une force verticale dont le graphe est en selle de cheval et presente deuxEtudesexperimentaleslieesauxmouvementsdespietons 31extrema [2, 1012, 16, 2224], (gures 1.2 et 1.3-a). La premi`ere partie de ce graphe sapparente `a un quartde sinus qui est d u au choc du talon sur le plancher et la derni`ere partie `a un quart de sinus d u `a la forceprovoquee par la pointe pour pouvoir lancer la jambe en avant. La force verticale totale Fv(t) est representeedans la gure 1.4-a. Comme on peut le voir sur cette gure, si on suppose que les forces verticales engendreespar les deux jambes sont egales (meme direction, meme sens et meme amplitude), la force verticale totaleFv(t) peut etre consideree comme periodique de periode egale `a la duree dun pas donc `a la periode de lamarche.Figure1.2. La force verticale pour des sequences de marchea) b)c)Figure1.3. Courbes typiques de la force pour la marche - (a) composante verticale, (b) composantelaterale, (c) composante longitudinale dapr`es [2]Laforcelaterale: La force laterale a des sens opposes pour chacune des jambes : durant un pas o` ula jambe gauche est en contact avec le plancher, elle est dans un premier temps dirigee vers la droite puisvers la gauche ; cest linverse dans le cas de la jambe droite. Lamplitude de cette force varie entre 35Net+35Ndapr`es [25], et de 25N`a +25N[8, 21] (gure 1.3-b). La force laterale totale

Fl(t) (1.4-b) permetdidentier les phases de contact simultane et les phases de contact dune seule jambe. Cette identicationestbaseesurlesmaximaetminimadelaforce ;i.e.lepassagedelacceleration`aladeceleration,puisleretour `a lacceleration, determine le debut et la n de la phase de contact des deux jambes. Comme la forceengendree par une jambe est dans le sens contraire `a celle engendree par lautre, la force laterale totale a32 Etudebibliographiqueetprobl ematiqueg en eralea)b)c)Figure1.4. Marche periodique - (a) composante verticale, (b) composante laterale, (c) composantelongitudinale dapr`es [3]uneperiodequicorrespond`aladureededeuxpas.Elleadoncpourvaleurledoubledelaperiodedelaforce verticale, entranant une frequence de moitie [26].Laforcelongitudinale: La force longitudinale, comme la force verticale est supposee etre la memepour les deux jambes. En considerant la force dune seule jambe (gure 1.3-c), on remarque que la premi`erepartie de la force est dirigee vers larri`ere (force negative), ce qui correspond au choc du talon, et la derni`erepartie est dirigee vers lavant (force positive), ce qui correspond au choc de la pointe. La force longitudinaletotale (gure 1.4-c) est consideree comme etant periodique de periode egale `a la duree dun pas. Elle a doncla meme periode et la meme frequence que la force verticale.Lhypoth`ese selon laquelle les forces engendrees par les deux jambes sont identiques est controversee :desmesuresfaitesparSahnaci etKasperi [20] montrentquelesparam`etresdelaforcenesontpaslesmemes pour les deux jambes. En eet, lune des deux jambes, qualiee comme etant la jambe forte, a unelongueurdepassuperieure`acelledelautre,lajambefaible ;ladierenceentrelesdeux etantparfoissuperieure `a 5%. La frequence des pas nest pas la meme pour les deux jambes, lune ayant une frequencesuperieure `a lautre.Des etudes probabilistes prennent en compte le fait quune personne ne peut pas repeter exactement lesmemes forces (en fonction du temps) au cours de dierentes experiences. La force dune seule personne estconsideree periodique, mais le caract`ere aleatoire peut etre pris en compte en considerant des fonctions dedistribution du poids, de la frequence, etc... [3].1.2.1.5 Relationsentrelesdierentsparam`etresDes etudesontmontrequelaugmentationdelafrequenceentranelaugmentationdelavitessedemarche [4, 27], qui `a son tour entrane une augmentation de la longueur du pas ainsi que des maxima dam-plitudes de toutes les composantes de la force engendree par un pieton [2, 4, 22, 27]. De plus, laugmentationEtudesexperimentaleslieesauxmouvementsdespietons 33de la frequence entrane une diminution du temps de contact dun pied avec le plancher. Ces relations sontillustrees dans la gure 1.5 [27] et sont valables non seulement pour la marche mais aussi pour la course.Figure1.5. Relation entre la longueur du pas, la vitesse, la force maximale et le temps de contactpour dierentes frequences de mouvement dapr`es [4]1.2.2 Autres mouvements : la course, le saut, le balancement, le rebondissementDes mouvements de pietons autres que la marche existent aussi. On peut citer la course et le saut maisaussi le balancement quon peut denir comme etant le fait de basculer son poids dune jambe `a lautre touten restant sur place et sans decoller les pieds du plancher. Dans cette partie, on se contente de presenter lesprincipales caracteristiques de ces mouvements sans entrer dans les details.LacourseContrairement`alamarche,laforceengendreeparunejambedurantunpasdecoursepresenteunseul maximum(GalbraithetBarton[22]). Durantunecourse, lesperiodesdecontactduneseulejambesont separees par des periodes sans contact o` u la force induite est supposee nulle. La force engendree par cemouvement peut aussi etre supposee periodique, et la frequence fondamentale de la force verticale est dansla bande de frequences 1, 8 3, 4Hz (Bachmann et al. [19]).LesautDurant le saut, on trouve aussi des periodes de temps avec contact et des periodes sans contact. Lemaximumdelaforceverticaleestegal `aplusieursfoislepoidsdelapersonne. Deplus, desetudesontmontre que les forces horizontales dues aux sauts verticaux existent aussi, mais la composante longitudinalereste plus importante que la composante laterale. De meme que les autres forces, la force engendree par lesautpeut etresupposeeperiodique.Lafrequencefondamentaledelaforceverticaleestdanslabandedefrequences 2, 0 3, 5Hz (Bachmann et al. [19]).LebalancementducorpsenrestantsurplaceLa force engendree par le balancement est aussi supposee periodique. La frequence fondamentale dela force verticale appartient `a lintervalle 0, 4 0, 7Hz (Bachmann et al. [19]).34 Etudebibliographiqueetprobl ematiqueg en eraleLerebondissementRebondir cest faire un ou plusieurs bonds en touchant `a chaque fois un corps solide. La force engendreepar ce mouvement peut etre supposee periodique et la frequence fondamentale de la force verticale appartient`a lintervalle 1, 5 3, 0Hz (Bachmann et al. [19])1.3 ModelisationdelaforceinduiteparunouplusieurspietonsLa plupart des etudes de modelisation ont ete realisees pour les forces verticales et sur des planchersrigides.1.3.1 IntroductionLamodelisationdelaforceinduiteparunouplusieurspietonsestassezcompliqueeetceci pourplusieurs raisons (Zivanovic et al. [3]) :1. Les forces dependent de plusieurs param`etres, tels que le poids de la personne, la frequence du mou-vement, etc.2. La force dynamique generee par un pieton est un processus `a bande etroite assez dicile `a modeliseret pas encore bien compris.3. Linuencedunombredepersonnes et leur degredesynchronisation/correlationsont diciles `ageneraliser.Dapr`escertainsauteurs[3, 6], laforceestdierentesuivantquelesvibrationssontperceptiblesounon.Cependant, dapr`eslesetudesrealiseesparlAssociationFrancaisedeGenieCivil [25], lamplitudedelaforce engendree par un pieton est sensiblement la meme que le plancher soit rigide ou souple. Par contre,lorsquunpietonpercoitlesoscillationsduplancher, il atendance`aadaptersafrequencesurcellesdesoscillations. Cest donc la frequence de la force qui varie et non son amplitude.Dans lalitterature, ontrouvedeuxtypes dapproches : lapremi`ereconsiste`amodeliser laforcedunseulpieton,etladeuxi`emecelledunefouleoudungroupedepietons.Deplus,`alinterieurdecescategories, on rencontre des mod`eles temporels ou frequentiels. Dans tous les cas, on distingue une approchedeterministe qui propose un mod`ele general pour chaque type de mouvement, ou une approche probabilistequi prend en compte le caract`ere aleatoire de certains param`etres qui inuencent la force, tels que le poids,la frequence du mouvement, etc. La plupart des etudes realisees supposent que les deux jambes produisentla meme force et que celle-ci est periodique [3]. La force totale engendree est alors reconstruite `a partir desmesures faites pour un pas comme dans la gure 1.4 [28].Danscequisuit,oncommenceparpresenterlesmodelisationsproposeesparlalitteraturepourlaforceinduiteparuneseulepersonnesurunplancherrigidepuissurunplanchersouple,etonsinteresseensuite `a la modelisation de la foule.1.3.2 Forceinduiteparuneseulepersonne:etudeducasdunplancherrigide1.3.2.1 Lesforcesengendreesparlamarchea)Laforceverticale:En adoptant lhypoth`ese selon laquelle les deux jambes engendrent la meme force, et que ces forces sontperiodiques, on peut supposer que la force verticale totale Fv engendree par un pieton est periodique commenous lavons vu dans la section 1.2. De ce fait, on peut developperFven serie de Fourier jusqu`a un ordren `a preciser [3, 19] :Modelisationdelaforceinduiteparunouplusieurspietons 35Fv(t) = P_1 +n

i=1aisin_2ifpt 0i__= P_1 +n

i=1aicos_2ifpt (

i)0__(1.1)o` u :Pest le poids de la personne (N(Newton))i est le numero de lharmonique.n est le nombre total dharmoniques qui contribuent `a la force(Pai) est le coecient de Fourier dui-`eme harmoniqueaiest le facteur de chargement dynamique (DLF) dui-`eme harmoniquefpest la frequence de marche du pieton(Hz)0iest la phase dui-`eme harmonique pour un developpement en sinus. La valeur de01 est arbitraire etpeut etre nulle par exemple.(

i)0est la phase du i-`eme harmonique pour un developpement en cosinus. La relation qui lie 0i`a (

i)0est donnee par(

i)0= 0i+2Le nombren dharmoniques varie selon les auteurs de 1 `a 5. Les valeurs proposees pour lesai sont donneesdansletableau1.2. Kerr[23] atrouvedesvaleursexperimentalespourles aidisperseespourdierentssujets et meme pour un meme sujet qui rep`ete lexperience [28, 29]. Dautre part, les valeurs des phasesivarient beaucoup pour les harmoniquesi 2 [19], ce qui montre le caract`ere aleatoire du chargement d u `ala marche [28].b)Laforcelaterale:De meme quepourlaforce verticale, laforcelaterale peutaussi etre consideree commeperiodique.Elle est donc developpable en serie de Fourier :Fl(t) = Pn

i=1aisin_2iflt 0i_(1.2)On rappelle quePest le poids du pieton etflla frequence de la force laterale qui est egale `a la moitie decelle de la marche. Les valeurs desaisont donnees dans le tableau 1.3.Eriksson [31] a etudie les basses frequences du spectre (< 6Hz), et a trouve que la marche nest pasparfaitementperiodique, etdoncnepeutpasetredecriteenutilisantlesDLFscommedanslesmod`elesprecedents. Eneet, commelessignauxdelaforcelateralemesuresnesontpasperiodiques, onnepeutpas les developper enseriedeFourier, mais onpeut obtenir leur spectredeFourier et endeduiredesDLFs ctifs. Or, dans le spectre, on observe un etalement autour de la frequence dexcitation : au lieudavoirunseul picauniveaudecettefrequence, onenobserveplusieurs. Ainsi, leDLFcorrespondant`acette frequence, doit etre calcule en tenant compte de cet etalement dans une bande de frequences donneeentourant la frequence centrale dexcitation. Pour cela, Eriksson, a suppose que le DLF nest autre que lasomme des pics dans une bande de frequences centree sur la frequenceflde la force laterale `a etudier (i.equi correspond au premier harmonique) et ayant pour largeurfl:f _fl2 , 3fl2_(1.3)36 Etudebibliographiqueetprobl ematiqueg en eraleAuteur(s) aiiCommentairesBlanchard et al. a1 = 0, 257 le DLF est plus faible[16] pour des frequencesde 4 `a 5HzBachmann a1 = 0, 4 0, 5 frequences entre 2 et 2, 4Hzet Ammann [26] a2 = a3 = 0, 1 frequences autour de 2HzSchulz [18] (dapr`es a1 = 0, 37, a2 = 0, 10 A 2HzBachmann et a3 = 0, 12, a4 = 0, 04Ammann [26]) a5 = 0, 08Kerr [23] a1, a2 = 0, 07 a1 depend dea3 0, 06 la frequenceYoung [30] a1 = 0, 37(f 0, 95) Valeurs moyennes 0, 56a2 = 0, 054 + 0, 0044fa3 = 0, 026 + 0, 0050fa4 = 0, 010 + 0, 0051fSeiler et H uttner a1 = 0, 4 1 =2frequences de lordre[5] a2 = 0, 15 2 = 56de 1, 4 3, 4Hza3 = 0, 1 3 =2a4 = 0, 05 2 = 56Tableau1.2. Les coecients de Fourier pour la force verticale engendree par la marche(DLFs)Auteur(s) DLFs pour les Commentaireharmoniques consideresSchulz [18] (dapr`es a1 = 0, 039, a2 = 0, 01 frequence de lordre de 2HzBachmann et a3 = 0, 043, a4 = 0, 012Ammann [26]) a5 = 0, 015Ricciardelli et a1 = 0, 04 frequence de lordre de 0, 6 0, 11HzPizzimenti [6] a2 = 0, 008 frequence de lordre de 1, 2 2, 2Hza3 = 0, 023 frequence de lordre de 1, 8 3, 3Hza4 = 0, 005 frequence de lordre de 2, 4 4, 4Hza5 = 0, 011 frequence de lordre de 3, 0 5, 5HzTableau1.3. Les coecients de Fourier pour la force laterale engendree par la marche(DLFs)Cependant, dapr`es Pizzimenti et Ricciardelli [6], en prenant une telle bande de frequences, on risquede surestimer la reponse vibratoire de la passerelle (transitoire dans le cas dun plancher rigide). Ils expliquentceci en se basant sur le cas dun syst`eme faiblement amorti, o` u lamortissement intervient uniquement dansunebandedefrequencesetroiteautourdelafrequencederesonance. Ainsi, si danslecalcul desDLFsonprendencomptedescomposantesquinappartiennentpas`acetintervalle,onrisquedesurestimerlareponsevibratoiredelapasserelle.Cestpourquoi,PizzimentietRicciardelli[6]ontprefereprendrepourchaqueharmonique, unelargeurdebandedefrequencesqui dependdelamortissement. Ainsi, pourleModelisationdelaforceinduiteparunouplusieurspietons 37j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 j = 5Aj0, 96 0, 73 0, 879 0, 55 0, 74Bj0, 0616 0, 039 0, 0288 0, 037 0, 025( F2Lj/F2L) 0, 81 0, 050 0, 277 0, 047 0, 072Tableau1.4. Valeurs deAj,Bjet_F2Lj/F2L_ dapr`es Pizzimenti et Ricciardelli [6]j-`eme harmonique, la largeur de bande est :fj = jfl(1.4)Onremarquedapr`eslesresultatsobtenus(tableau1.3)quelexcitationdueauxharmoniquespairsestinferieure `a celle due aux harmoniques impairs.Maisdapr`esPizzimenti etRicciardelli [6], qui ontetudieaussi lesforceslateralesdespietonssurles planchers rigides, un mod`ele probabiliste serait mieux adapte au caract`ere aleatoire de la marche. Uneapproche statistique leur a montre que la force laterale Fl(t) peut etre consideree comme etant un processusaleatoire de moyenne nulle, caracterise dans le domaine frequentiel par son spectre de densite de puissanceSFl(PSD, Power Spectral Density). Une regression lineaire sur des donnees experimentales montre que lavariance du processus est donnee parvar (Fl) = E_F2l (t)(E [Fl(t)])2= (0, 034 P)2(1.5)o` uEdesigne lesperance.De plus, les PSDs des cinq premiers harmoniques verient lexpression gaussienne :SFl(f).fF2lj=2Aj2.Bj.exp_2_f/jfl1Bj_2_(1.6)o` ujestlenumero delharmoniqueconsidere,F2ljestlaireduPSD autourduj-`eme harmonique, Ajestunparam`etredenormalisationduPSDetBjestunparam`etredelalargeurdebande. Lesvaleursdesdierents param`etres sont donnees dans le tableau 1.4.1.3.2.2 ForcesengendreespardautresmouvementsLes forces engendrees par la course, le saut et le balancement peuvent aussi etre supposees periodiques.EllessontdoncdeveloppablesenseriedeFourier.Lescoecientsdechargementdynamique(DLF)delaforce verticale pour ces dierents mouvements sont donnes dans les tableaux 1.5, 1.6 et 1.7.Auteur(s) DLFs pour les Commentairesharmoniques consideresBachmann et al. [19] a1 = 0, 039, a2 = 0, 01 `a 2, 0 3, 0Hza3 = 0, 2Tableau1.5. Les coecients de Fourier pour la force verticale engendree par la course(DLFs)Seiler et H uttner [5] ont propose un mod`ele de la force verticale de la marche qui est aussi applicabledanslecasdelacourseoudusaut.Commeonlavuplushaut,lacourseetlesautsecaracterisentpardes periodestnco` u il ny a aucun contact avec le sol, et des periodes de contacttc. La duree dun pas estTm=tc + tnc.Ilest evidentquedurantlaperiodesanscontacttnc,laforceengendreeparlepietonestnulle.38 Etudebibliographiqueetprobl ematiqueg en eraleAuteur(s) DLFs pour les Commentairesharmoniques consideresBachmann et al. [19] a1 = 1, 8/1, 7 Saut normala2 = 1, 3/1, 1 `a 2, 0/3, 0Hza3 = 0, 7/0, 5Bachmann et al [19] a1 = 1, 9/1, 8 Saut hauta2 = 1, 6/1, 1 `a 2, 0/3, 0Hza3 = 1, 1/0, 8Tableau1.6. Les coecients de Fourier pour la force verticale engendree par le saut(DLFs)Auteur(s) DLFs pour les Commentairesharmoniques consideresBachmann et al. [19] a1 = 0, 17/0, 38 `a 1, 6/2, 4Hza2 = 0, 10/0, 12a3 = 0, 04/0, 02Tableau1.7. Les coecients deFourier pour laforceverticaleengendreepar lebalancement(DLFs)PourdeterminerlaforceverticaleFvdunpietonqui courtouqui saute, unmod`elededemi-sinusdurant la periode de contact tc a ete propose par Wheeler [4,27] et par Bachmann et Amman [26]. Cependant,dans ces mod`eles, si la periode sans contact tnc 0, i.e. si le mouvement sapproche de la marche, la forceainsimodeliseeestformeedunesuitededemi-sinus,cequi nestpasconformeauxmesuresfaitessurlamarche(voirlasectionprecedente). Partantdececonstat, SeileretH uttner[5] ontproposeunmod`elepresentant une transition continue quandtnc 0. Le mod`ele general est represente dans la gure 1.6 o` uhestlahauteurmaximaleatteinteparlepieton, etvestsavitesseverticaleaumomentdudecollage.Dans ce mod`ele, la masse m1p du pieton est concentree en un seul point et les muscles sont representes sansFigure1.6. Mouvement de course et de saut [5]proprietes de tension.Durant la periode sans contacttnc, le mouvement du pieton est decrit par le theor`eme de conservationde lenergie :h =v22g , v =12gtnc(1.7)g etant lacceleration de la pesanteur. Ceci implique que la vitesse verticale ne change pas quand le pietonretourne au sol ; elle vaut alorsv.Modelisationdelaforceinduiteparunouplusieurspietons 39Durant la periode de contact tc, le mouvement est decrit par le premier principe de la dynamique, integreici entret = 0 ett =tc2:_tc/20Fv(t)dt = m1pv +_tc/20m1pgdt (1.8)La force verticale induite par le pieton est donnee par :Fv(t) =___P[1 +scos (2fGt)] si tc2< t tc20 sitc2< t Tmtc2(1.9)s etant un facteur dimpulsion qui depend du rapporttcTm:tcTm=_1 +s21arccos (1/s)_1(1.10)et Plepoidsdupieton. Lamplitudemaximaledelaforceestdetermineepar s. Il est`anoter, quelafrequencefGnest pas la frequence de la marchefpdu pieton, mais elle est en relation avectcets :fG =arccos (1/s)tc(1.11)Dans le cas particulier de la marche, le contact avec le plancher etant continu, tnc tend vers 0. En consequent,la periode de contacttctend versTm,s = 1 etfGconcide avecfp =1Tm.Loscillation resultante est alors un mouvement non amorti libre avec une amplitude maximale egale `ala deformation statique due au poids.Dapr`eslesmesures, onremarquequelamplitudemaximalesetlafrequencefpsontindependantespour la marche (tableau 1.8) et pour la course. De plus, dans le cas dune course, s semble etre constante(gures 1.7 et 1.8).Danscertainsessaisexperimentaux(gure1.9),desforcesverticalesdamplitudessuperieures`acellesobtenuesparlemod`eledechargement(equation(1.9))onteteconstatees ; ellessontdues`alexcitationdharmoniques superieures, mais ninuencent pas la reponse du plancher dapr`es les auteurs.Figure1.7. Les facteurs dimpulsionpour la marche, la course et le saut enfonctionde lafrequence du mouvement dapr`es [5]1.3.3 Forceinduiteparuneseulepersonne: etudeducasdunplanchersouple1.3.3.1 LaperceptiondesvibrationsparleshumainsLes mesures faites sur des planchers rigides sont dierentes de celles qui sont faites sur des planchersayant des frequences propres faibles : un pieton qui ressent des vibrations de la passerelle modie son mouve-40 Etudebibliographiqueetprobl ematiqueg en eraletype de mouvement frequence du mouvement (Hz) facteur dimpulsionsmarche 2,0-3,4 0,25-0,5marche 2,0-3,4(4,0) 0,6-1,6marche 1,4-2,5 1,7-3,2Tableau1.8. Les frequences de mouvement et les facteurs dimpulsion dapr`es Seiler et H uttner[5]Figure1.8. Les facteurs dimpulsion theoriques et experimentaux dapr`es [5]a) b)c)Figure1.9. Les forces verticales theoriques et experimentales dapr`es [5] (a) pour la marche (b)pour la course avec contact continu (c) pour le sautment en consequence et se synchronise avec celui de la structure. Il convient donc detudier la perception desvibrations par les humains. Cependant, cette notion est tr`es subjective ; en eet, la perception des vibrationsest dierente dune personne `a lautre. De plus, il existe plusieurs seuils : le seuil de la perception des vibrations le seuil dinconfort des vibrationsModelisationdelaforceinduiteparunouplusieurspietons 41 le seuil o` u elles deviennent nuisibles (elles nuisent `a la sante ou elles font perdre lequilibre).Des etudes sur la perception des vibrations verticales, montrent que les personnes debout ressententles vibrations plus quune personne en mouvement (Leonard [32]). De plus, le pieton ressent le maximum devibration `a cote de la mi-portee `a cause de leet de la forme modale (Smith [33]). Kobori et Kajikawa [34]arment que la vitesse du plancher est le param`etre principal qui inuence la perception humaine et quelonaunememesensibilitefaceauxvibrationsayantdesvaleursecacesidentiques. Lutilisationdelavitessedesvibrationscommeparam`etredevaluationduconfortestdicileenpratique, bienquutiliseeau Japon, parce que generalement les mesures experimentales sont faites avec des accelerom`etres ; le signalmesure est donc une acceleration et il faut lintegrer pour se ramener `a la vitesse. Or cette integration estparfoistr`escompliquee.Cestpourquoiengeneral,onseref`ere`alaccelerationcommecrit`eredeconfort.Blanchard et al [16], qui ont utilise les resultats de Leonard [32] et Smith [33], ont evalue la limite maximalede lacceleration adaptee au confort du pieton :alimite = 0, 5_fb(m.s2) (1.12)fb etant la frequence fondamentale du mode vertical de la passerelle.Tilly etal. [35] ont arme que la valeur fbpourrait etre plus appropriee pour des frequences en dehorsde la plage 1, 7 2, 2Hz, sans donner de details sur lelaboration de cette recommandation.Bienquelaperceptiondesvibrationssoitplussensibledansladirectionlaterale, lesmesuresfaitessont tr`es rares, et la plupart dentres elles portent sur des immeubles. LAFGC [25] estime que le seuil deperception se situe pour des accelerations ayant des valeurs entre 0, 10m/s2et 0, 15m/s2, la valeur 0, 10m/s2pouvant etre retenue comme valeur securitaire. Les essais experimentaux realises par Nakamura [36] sur leT-bridge montrent que les pietons marchent normalement pour un deplacement de la passerelle de lordrede10mm(qui danssoncascorrespond`aunevitessede60mm/set`auneaccelerationde300mm/s2),etsarr`etentmomentanementdemarcherlorsqueledeplacementatteintles45mm(correspondant`aunevitesse de 250mm/s et `a une acceleration de 1350mm/s2). Pour des frequences caracteristiques des reponsesdes tours dimmeubles de grandes hauteurs dues au vent (0, 067 `a 0, 20Hz), les facteurs les plus importantsqui inuencentlaperceptiondesvibrationslateralesontetedetermines(ChenetRobertson[37]), maisce sont des facteurs valables en general : la frequence des vibrations, le mouvement du corps, lattente dumouvement (si on sattend au mouvement, le seuil de perception est plus bas [37] mais on tol`ere mieux lesvibrations (Smith [33])), et la posture du corps. Dans cette bande de frequences de limmeuble, la perceptiondes gens qui marchent est superieure `a celle des gens immobiles. Wheeler [4,27] a remarque que la perceptiondunepersonnedansunefouleestdierentedecelledunepersonneseule.Ainsi,desgensquisautentenfoule, neserendentpascomptedesvibrations(EllisetJi [38]). Onnesaitpasexactementlacausedece phenom`ene. Ceci pourrait etre `a cause du bruit, de la presence dautres personnes ou pour des raisonstotalement dierentes.1.3.3.2 Laforceverticale:Le spectre des forces mesurees sur un plancher exible est dierent de celui obtenu pour un plancherrigide(Ohlsson[24]).Ilpresenteunmaximumauniveaudelafrequencepropredelapasserelle.Pavicetal. [3] onttrouvequelamplitudedelaforcelateraledunsautsurunplancherrigideestdeuxfoisplusimportante que sur un plancher exible.Pour modeliser la force verticale induite par un pieton sur une passerelle souple, Seiler et H uttner ontpropose dutiliser les equations (1.9), (1.10), (1.11), et de prendre :fp = fb(1.13)fp etant la frequence du mouvement du pieton etfbcelle de la passerelle.Cependant, ils proposent de remplacer lequation (1.9), par son developpement en serie de Fourier donnepar lequation (1.1) et quon rappelle ici :Fv(t) = P_1 +n

i=1ai cos_i 2fpt (

i)0__42 Etudebibliographiqueetprobl ematiqueg en eraleLa gure 1.10, donne les DLFs en fonction du facteur dimpulsion pour la course et le saut. Dans le tableauFigure1.10. Les DLFs en fonction du facteur dimpulsion pour la course et le saut1.9 on donne les valeurs des DLFs et des phases trouvees par les auteurs [5] pour dierents mouvements depietons.PourlesDLFs,desvaleursmoyennessontdonneesdanslecasdelamarche.Cependant,dapr`esles auteurs, les valeurs maximales sont preferables pour la course et le saut.Mouvement frequence du a1a2a3a4mouvement [Hz]marche 1,4-3,4 0,4 0,15 0,1 0,05course 1,9-3,4 1,38 0,31 -0,1 0,0saut 1,3-3,4 1,72 1,05 0,36 -0,04Mouvement (

1)0[rad] (

2)0[rad] (

3)0[rad] (

4)0[rad]marche /3 /3course et saut

i = i_1 +s21arccos (1/s)_1i = 1, ..., 4

s = facteur dimpulsionTableau1.9. Les frequences de deplacement, les DLFs et les phases proposes par Seiler et H uttnerpour dierents types de mouvement1.3.3.3 Laforcelaterale:Pizzimenti et Ricciardelli [6] ont mesure la force laterale sur un plancher en vibration. Ils ont remarquequedeuxcontributionsparticipent`acetteforce. Luneagit`alafrequencedelamarche, etlautre`alafrequence de vibration du plancher. Ainsi, il y a deux mecanismes qui contribuent `a lexcitation totale. Lepremier, est celui dune marche reguli`ere, semblable `a celui obtenu sur un plancher rigide. Le deuxi`eme estcentre sur la frequence de vibration. La force laterale secrit donc :Fl(t) = Fl,fl(t) +Fl,fb(t) (1.14)o` uFl,flest la force ayant une frequence egale `a la frequence laterale de la marchefl, elle est semblable `acelle qui est engendree sur des planchers rigides ;Fl,fbest la force ayant une frequence egale `a la frequencede vibration du plancher (voir gure 1.11).Pour des petites amplitudes de deplacement (gure 1.11-a), les deux composantes restent independantespourtouteslesfrequencesdevibrationsindiquantquelinteractionpieton-passerelleestfaible. PourdeModelisationdelaforceinduiteparunouplusieurspietons 43plus grandes amplitudes de deplacement (gure 1.11-b et c), lorsque les deux frequences deviennent egales,linteractionestplusforte. Danstouslescas, lamplitudedelaforceinduiteparlavibrationaugmentelorsquefbserapprochedefl.Deplus, Fl,fbsedecomposeendeuxcontributions.Luneenphaseavecledeplacement du plancheru, et lautre dephasee par rapport `au et en phase avec la vitesse u. Si on supposequeu est un sin(2fbt), on peut exprimer ceci parFl,fb = Fin sin (2fbt) +Fout cos (2fbt) (1.15)Enposant DLFin=FinPet DLFout=FoutP, DLFinestunerigiditesupplementaireet DLFoutunamortissementsupplementaire.Lesexperiencesontmontrequelapartieenphaseavecledeplacementdela passerelle apporte une rigidite positive pour toutes les amplitudes et toutes les frequences de vibration,ce qui tend `a stabiliser le syst`eme. Par contre, la partie dephasee apporte un amortissement positif pour debasses frequences, mais negatif pour les hautes frequences, ce qui diminue lamortissement du syst`eme, etdonc augmente son comportement instable.Figure1.11. Densite spectrale de puissance des deux composantes Fl,fl et Fl,fb pour des amplitudesde deplacement de 15mm (a), 30mm (b) et 45mm (c) dapr`es [6]1.3.4 ForceinduiteparplusieurspersonnesDans le cas o` u plusieurs pietons sont sur la passerelle, il convient de distinguer entre les terminologiessuivantes:onutiliseletermegroupedepietonspourdesgensquimarchent`aunememevitesse,alorsque le terme foule est utilise dans le cas o` u il y a une densite assez elevee de gens, de sorte que les pietonsdoivent ajuster leurs pas `a cause du manque de place (Pavic et al. [3]).1.3.4.1 LinteractionentrepietonsQuest-ce qui inuence lasynchronisation ?Comment se manifeste-elle ?Comment laprendre en44 Etudebibliographiqueetprobl ematiqueg en eralecomptedanslesmodelisations ?Desreponsestireesdelalitteratureserontdonnees`acesquestionsdanscette partie mais aussi dans les dierents mod`eles proposes dans la suite de la th`ese.La vue joue un role important dans la synchronisation entre pietons ; ainsi, deux personnes qui sautentontplusdefacilite`asesynchronisersi ellessontdanslechampdevisionlunedelautre, quesi ellesnesevoientpas(EbrahimpouretFitts[39]). Dapr`esEriksson[31], lafrequencefondamentalepeutetrecompl`etement correlee pour un groupe de personnes tr`es bien synchronisees, alors que les harmoniques pluseleves peuvent etre compl`etement independants.Dans une foule, le manque de place pousse les gens `a synchroniser leurs pas. Plus la foule est dense,pluscephenom`enedevientimportant. Ladensitedefoulemaximalepossible, physiquementparlantestdelordrede1, 6 1, 8pietons/m2 _p/m2, maisunevaleurde1p/m2estplusprobable(BachmannetAmman [26]), meme si les densites observees sur la passerelle du Millenium Footbridge ou le T-Bridge auJapon etaient superieures.Sur une passerelle, en presence de plusieurs pietons, dierents comportements peuvent se produire : dansunpetitgroupe, lesgensmarchent`aunememevitessevs, mais`adesfrequences fpetdeslongueurs de paslsleg`erement dierentes [40], de telle sorte que :vs = fplsLa synchronisation peut avoir lieu, mais seulement lorsque la frequence de la passerelle est de lordrede la frequence de marche [40]. si partout la densitedes pietons est inferieure `a une densite critiquec = 0, 3pi etons/m2alors lespietons sont independants les uns des autres [40] et la marche est libre avec une vitesse de lordre devM= 1, 5m.s1[15]. si `a un endroit donne, cun noyau de synchronisation peut apparatre. En eet, dans une fouledense,lespietonsonttendance`aaccorderleurpasselonlespacedisponible.Dapr`esPizzimentietRicciardelli [6], deux cas de gures peuvent se presenter : Si lamassemodaleMpdespietons(projectiondelamassedespietonssurlemodeetudie)estinferieure `a une masse critiqueMc, le phenom`ene de resonance de la passerelle na pas lieu. SiMp Mc, le phenom`ene de resonance apparat.La valeur de la masse critiqueMcna pas ete precisee.An de tester les reponses des passerelles, Grundmann et al [40] les ont classees en 3 categories selonlauence`alaquelleellespeuventetreexposees. Ilsontproposedescongurationsdierentesdepietonspour chaque categorie : Mod`ele 1 : ce mod`ele concerne les passerelles o` u le ux est tr`es faible mais o` u les pietons traversentpar groupes. Pour ce type de passerelles, il sut dapr`es les auteurs de considerer un petit groupe depietons selon la denition proposee precedemment. Mod`ele2:cemod`eleconcernelespasserellesayantunfaibleuxdepietons.Ladensitemaximalesuggeree est de 0, 3p/m2. Dans ce cas, la marche est libre. Mod`ele 3 : dans le cas de passerelles exposees `a un trac de 0, 61p/m2, la marche libre est impossible,et les pietons sont forces dajuster la longueur et la frequence de leurs pas `a celles des autres pietons.Dapr`es des observations faites sur une foule (enregistrements video et mesure de force), Fujino [41] aconclu que 20% des pietons etaient synchronises entre eux (synchronisation en frequences). Il a aussi emisunehypoth`eseselonlaquelleleseetsdesautrespietonssecompensent.Yoshidaetal.[42]ontestimelaforce laterale dune foule de 1500 pietons `a 5016N, soit en moyenne 3, 34N par personne. Dallard et al. [8,21]ont suppose que tous les pietons participent de facon egale `a la force totale. Ils ont donc identie la forcelaterale modale par personne et la dependance de la force laterale en fonction de la vitesse de deplacementde la passerelle. La force par personne ainsi determinee est superieure `a celle trouvee par Yoshida et al [42](elle augmente avec la vitesse des oscillations [8, 21]).Modelisationdelaforceinduiteparunouplusieurspietons 451.3.4.2 ReproductivitedesmesuresLaquestionquiseposedanslecasdunefouleest:peutonsupposerquelespietonsmarchentdela meme facon ? Or si, comme il a ete enonce plus haut, une personne ne peut pas repeter exactement lesmemes forces (en fonction du temps) pour plusieurs experiences, cest dautant plus vrai quand on consid`eredeuxpersonnesdierentes(Saul,TuanetMcDonald[3, 43]).Danslecasdeplusieurspersonnes,onpeutaussi utiliser une distribution de la dierence de phase entre les dierents individus. De cette facon, on peutmoyenner des mesures faites sur des individus de sorte `a obtenir une bonne estimation de la force engendreepar un groupe. Continuant le travail fait par Tuan et Saul sur les activites typiques sur des gradins (dunstade ou dun theatre par exemple), et plus precisement le saut, Ebrahimpour [3, 44] a identie le delai entredeuxpersonnesessayantdesauteren etantsynchronisees.Ilautilisecettedistributiondudelaiavecunedescription statistique de la force individuelle pour determiner la force exercee par plusieurs personnes. Deplus, une simulation par la methode de Monte Carlo a montre que, pour le saut, lamplitude maximale de laforce par personne diminue lorsque le nombre de personnes augmente (Ebrahimpour). Cette idee netant pasapplicable en pratique, Ebrahimpour et Sack [3, 45] ont propose de decrire les trois premiers harmoniquesen fonction du nombre de personnes du groupe. Ebrahimpour etal. [3, 46] ont essaye dappliquer le memeprincipe sur des pietons qui marchent, et nont exprime que le DLF fondamental en fonction de la taille dugroupe. Cette limitation est probablement due au fait que des mesures de forces non correlees de personnes,ont montre que seul le premier harmonique est important, et cest dautant plus vrai lorsque le nombre depersonnes augmente. Mais ces mesures ne tiennent pas compte de la possibilite de synchronisation dans unefoule [3].1.3.4.3 ProprietesdynamiquesapparentesdespasserellespietonnesenpresencedepietonsLa presence de personnes immobiles, change les proprietes dynamiques de la structure. Lamortisse-ment du syst`eme dynamique homme-structure est plus eleve que celui de la structure seule. Leet est encoreplus important si on a plusieurs personnes. Une personne peut donc etre consideree comme un syst`eme dy-namique amortissant. Le corps humain est un syst`eme complexe non-lineaire `a plusieurs degres de liberte,qui reagit de plusieurs mani`eres face au mouvement de la structure (Williams et al [47]). Certains ont essayedapprocher le corps humain par un syst`eme lineaire `a un degre de liberte (comme Zheng et Brownjohn [48],mais un tel mod`ele simplie depend de la frequence des oscillations auquelles il est soumis et ne peut pasetre modelise par des param`etres de masse, de rigidite et damortissement constants pour nimporte quellefrequence doscillation du plancher.EllisetJi [49] onttrouvequelesautetlacoursedunepersonnenepeuventpaschangerlesca-racteristiques dynamiques de la structure, mais leurs essais ont ete faits sur une poutre ayant une premi`erefrequence propre elevee.Dans le cas dune structure exible, Ohlsson [24] a trouve que la presence de pietons en mouvementaugmente la masse et lamortissement apparents de la structure. Cependant, dans ses essais, le rapport demasse des pietons et de la passerelle est eleve dapr`es [3]. Mais des tests eectues sur le Millennium montrentque la presence dune foule de pietons augmente lamortissement dans la direction verticale (Willford [29]).Des etudesfaitesparYaoetal [50]montrentquelesautetlebalancementchangentaussilesproprietesdynamiques des structures exibles, mais l`a aussi, le rapport de masse entre les pietons et la passerelle esttr`es eleve [3].1.3.4.4 Lecouplageentreles pietons et lastructuredans lecas dunepasserellesouplesujette`adesvibrationslateralesQuand des vibrations laterales de la passerelle ont lieu, les pietons changent leur facon de marcher pourrester en equilibre. Pour cela, ils se synchronisent avec le mouvement de la passerelle. Ainsi, le mouvement de46 Etudebibliographiqueetprobl ematiqueg en eralela partie superieure du corps et la force totale induite par les pietons augmentent, ce qui a pour consequencedaugmenter linstabilite dynamique de la structure. Il faut aussi remarquer que le couplage avec la passerelle,entrane un augmentation de la synchronisation entre les pietons.Dapr`es Yoneda [51], plusieurs facteurs peuvent inuencer la synchronisation : la frequence laterale natu-relle de la passerelle, lamortissement, la position des nuds dans un mode resonant, la vitesse de la marche,et la longueur de la passerelle. Cependant, linuence de ces facteurs na pas ete veriee experimentalementsur des passerelles.Des observations qualitatives de lAssociation Fran caise de Genie Civil (AFGC) [25] ont permis de tirerles informations suivantes : Le phenom`ene de synchronisation forcee se produit pour le premier mode de balancement lateral. Ilne semble passeproduire pourlesmodes detorsion:lemouvement vertical est genant, mais nesemblepasfavoriserlemaintiendelamarche`alafrequencederesonance. Laccelerationverticalemasque les eets de lacceleration laterale. Lanotiondenombrecritiquedepietonsestrelative: lasynchronisationforceenepeutpasavoirlieu en dessous dun certain seuil ; cependant au-del`a dun certain seuil (non precise), il se peut aussiquelle nait pas lieu. La synchronisation forcee semble sinitier et se developper plus facilement `a partir dune frequence demarche initiale inferieure `a la moitie de la frequence propre `a risque de la structure. Si la frequencede marche est plus elevee, la synchronisation ne se produit pas ; un pieton ayant une marche plutotrapide ressent dieremment et dune mani`ere attenuee les vibrations laterales. Leet de la foule augmente avec le niveau des oscillations. On peut considerer que les pietons ont unemarche libre au dessous dun seuil compris entre 0, 10 et 0, 15m/s2, et sont partiellement synchronisesau-del`a. Le changement de regime est relativement brutal, mais le seuil est variable dun essai `a lautre.Dautres etudesproposentdesresultatsdierents.Ainsi,dapr`esBarker[52],lareponsevibratoireaumouvementdelafoulepeutaugmentersansquil nyaitsynchronisationentrelespietons. Dinmore[53]proposedeconsidererlaforceinduiteparlespietonscommeuneondequi sepropagedanslastructure.Ainsi, pour controler les vibrations de la structure et eviter la synchronisation, il recommande de faire varierlarigiditetoutaulongdelastructure,enutilisantdierentsmateriaux.Decettefacon,londesubitdesreexions et refractions sur les dierentes surfaces de contact, et perd donc de son energie.1.3.4.5 Modelisationdelaforcelateral