CURSO: Mecánica de Fluidos I.

DOCENTE: Mg.TC. Ing. Carlos A. Loayza Rivas

TEMA: HIDROCINEMATICA.

INTEGRANTES: CASTILLO RODRIGUEZ, VANIA. CERVERA VARGAS, ROY

CHUQUICAHUA GOICOCHEA, CARLOS. LLONTOP MEJIA, BANY. PAREDES QUINTANA, REYNALDO

SERRATO MACO CESAR. TORRES DELGADO, KEILER.

FECHA: OCTUBRE , 2012

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

HIDROCINEMÁTI

CA

SECUENCIA METODOLOGICA

HIDROCINEMÁTICA

CAMPOS DE FLUJO Y CARACTERÍSTICAS El campo de velocidades. El campo de las aceleraciones. El campo rotacional.

CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS Flujo permanente y No permanente. Flujo uniforme y No uniforme. Flujo unidimensional, Bidimensional y Tridimensional. Flujo laminar y turbulento. Flujo rotacional e Irrotacional.

DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO:

(METODO DE EULER Y LAGRANGE)

Línea de corriente, trayectoria y tubo de corriente.

HIDROCINEMÁTICA

CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS:

VELOCIDAD

ACELERACIÓN

ROTACIÓN

CAMPO DE FLUJO

MAGNITUDES FÍSICAS (ESCALARES , VECTORIALES Y TENSORIALES)

CARACTERISTICAS DEL CAMPO DE FLUJO

CAMPO ESCALAR

CAMPO VECTORIAL

CAMPO TENSORIAL

CAMPO ESCALAR:

Presión

Densidad

Temperatura

CAMPO VECTORIAL:

Velocidad

Aceleración

Rotación

CAMPO TENSORIAL:

Deformación unitaria

Momento de Inercia

Esfuerzo

Para definir un campo tensorial se requieren nueve o más componentes escalares; ejemplos:

Campo vectorial de velocidades El análisis del movimiento de una partícula del

fluido que recorre una línea usualmente curva que se llama trayectoria se puede hacer de dos maneras distintas:

a) Por el conocimiento del vector de posición , de la partícula, como una función vectorial del tiempo(t).

 

)(txx )(tyy )(tzz

b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido-tiempo.

Definición de Velocidad

El Vector velocidad de una partícula fluida se define como la rapidez (magnitud de la velocidad) temporal del cambio en su posición.

drV (1)

dt

??????????????

V V(r,t)..........(2)??????????????????????????????????????????

V V(x,y,z,t).........(3)????????????????????????????

dx dy dzV i j k

dt dt dt

Donde representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que recorre la partícula en el tiempo dt.La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo.

dr

xVdt

dx yVdt

dy zVdt

dz

x y zV V i V j V k

x x

dxV V (x,y,z,t)

dt

y y

dyV V (x,y,z,t)

dt

z z

dzV V (x,y,z,t)

dt

2 2 2x y zV V (V ) (V ) (V )

Haciendo:

; y

Luego,

Expresión vectorial de la velocidad.

Donde:

Módulo de la Velocidad:

CAMPO VECTORIAL DE ACELERACIONES:

Es un campo vectorial que se deriva del campo de velocidades.

* Definición de aceleración.- El vector aceleración de una partícula en un punto se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto; esto es:

 

 2

2

dv d ra

dt dt

En cuanto a su dirección la aceleración no tiene una orientación coincidente con la trayectoria de la partícula; siendo la aceleración también una función de la posición y tiempo.

a a(x,y,z,t)

yx zdVdV dV dV

a i j kdt dt dt dt

??????????????

Haciendo:

xx a

dtdV y

y adt

dV z

z adt

dV

Resulta:

x y za a i a j a k

Expresión vectorial de la aceleración

A veces es conveniente expresar la aceleración en función de sus componentes normal y tangencial.

t na a a

Módulo de aceleración:

La aceleración deriva del campo de velocidades, donde:

????????????????????????????V V x,y,z,t

a a(v,t)

x y za a(v ,v ,v ,t)

Tomemos un diferencial total de velocidad (dv)

:

dV V dx V dy V dz V dt

dt x dt y dt z dt t dt

????????????????????????????????????????????????????????

x y z

dV V V V Va V V V

dt x y z t

????????????????????????????????????????????????????????

V V V VdV dx dy dz dt

x y z t

???????????????????????????????????????????????????????? dt

Ordenando:

x y z

V V V Va V V V

t x y z

??????????????????????????????????????????

x y z

Va ( V V V )V

t x y z

……..(1)

Sabemos que:

i j kx y z

Y además:

x y zV V i V j V k

Operador nabla

Luego:

x y z.V V V Vx y z

………(2)

(2)→(1): Va ( .V)V

t

……….(3)

( .V)??????????????

V

Donde la Expresión (3) representa el Campo Vectorial de Aceleraciones en función del producto escalar

denominado divergencia de

.

V

t

aceleración local (depende del tiempo)

( .V)V???????????????????????????? aceleración convectiva (depende de

la posición)

Es decir el campo de aceleraciones se reduce solo a la componente convectiva.

Desarrollemos ahora la componente convectiva, para representarla en término del producto vectorial , conocido como rotacional de

( xV)??????????????

)( VrotV

( .V)V ( Vx Vy Vz)(Vxi Vyj Vzk)x y z

??????????????????????????????????????????????????????????????????????

Apliquemos la propiedad distributiva de la multiplicación

( .V)V ( Vx Vy Vz)Vxi ( Vx Vy Vz)Vyjx y z x y z

????????????????????????????????????????????????????????( Vx Vy Vz)Vzk

x y z

(I) ( Vx Vy Vz)Vx ix y z

( Vx Vy Vz)Vy jx y z

( Vx Vy Vz)Vz kx y z

Hagamos:

(II) =

(III) =

Trabajando con (I):

(I) ( Vx Vy Vz)Vx ix y z

x y z(V V V )Vx ix y z

x x xx y z

V V V(V V V ) i

x y z

Sumando y restando ; a la

expresión anterior, resulta:

y zV V

Vy Vzx x

iVzx

VzVyx

VyVzx

VzVyx

VyVxz

VzVxy

VyVxx

Vx )(

X Y Z X Y X ZV V V V V V V

I (Vx Vy Vz )i Vy Vz ix x x y x z x

…….”(α)”

Del primer término de (α); observamos:

x

VxVx

x

VxVx2

2

1

x

Vx

2

1 2

Tomando los extremos:

x

VxVx

x

Vx

2

2

1 …………..(β)

Análogamente:

x

VyVy

x

Vy

2

2

1

x

VzVz

x

Vz

2

2

1 ………..(β)

(β) → (α)

2 2 21 Vx 1 Vy 1 Vz Vx Vy Vx VzI ( ) i Vy( ) Vz( ) i

2 x 2 x 2 x y x z x

………..(β

Factor común: x

2

1

2 2 21 Vx Vy Vx VzI (Vx Vy Vz )i Vy( ) Vz( ) i

2 x y x z x

21 Vx Vy Vx VzI V i Vy( ) Vz( ) i

2 x y x z x

……….(ө)

Además conocemos que:

VzVyVxzyx

kji

V

cuyo desarrollo es:

VyV i( Vz ) j( Vz Vx) k( Vy Vx)

y z x z x y

????????????????????????????????????????????????????????

21 Vx Vy Vx VzI V i Vy( ) Vz( ) i

2 x y x z x

Ahora, el desarrollo de ( V) V ????????????????????????????

VzVyVx

Vxy

Vyx

Vxz

Vzx

Vyz

Vzy

kji

VV )()()()(

i ( Vz Vx)Vz ( Vy Vx)Vyx z x y

j ( Vz Vy)Vz ( Vy Vx)Vxy z x y

k ( Vz Vy)Vy ( Vz Vx)Vxy z x z

Trabajando ahora sólo con la componente en la dirección dei

i

( V) V

????????????????????????????

x( V) V i Vz( Vx Vz) Vy( Vx Vy) ( )

z x y x

??????????????????????????????????????????

21 VI i ( V) V i

2 x

??????????????????????????????????????? ??? 

Análogamente:

21 VII j ( V) V j

2 y

???????????????????????????????????????????????????? ????

21 VIII k ( V) V k

2 z

??????????????????????????????????????????

.V V I II III

Aceleración convectiva ( )ca

c c x c y c za a a a 2

c

1a ( .V)V (V ) ( xV)xV

2

Por lo tanto, la aceleración total de la partícula será:

t(a )

2t

V 1a (V ) ( V) V

t 2

????????????????????????????????????????????????????????

El Campo rotacional

Es un campo vectorial, que se deriva del campo de velocidades, y evalúa la rotación local de una partícula y se define matemáticamente por el producto vectorial.

Cuyo desarrollo es:

Como se deriva del campo de velocidades, también es función tanto del punto como de tiempo y es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo, por esta razón se le conoce también como campo vorticoso.

 

Significado físico del vector rotacional

Descripción de la rotación pura.

Como el cuerpo rígido, además de la traslación una partícula puede experimentar una rotación, intentemos una representación física del vector rotacional.

ROTACIÓN PURA: Ocurre cuando el elemento rota conservando su forma por lo que no ocurre deformación

TRASLACION PURA: Esto ocurre cuando el elemento se desplaza linealmente de una posición a otra sin cambiar su forma esto implica que el elemento no sufre deformación.

Al encontrarse la partícula en rotación pura, a través del movimiento de giro alrededor de un eje instantáneo, que pasa por el centro de gravedad de la partícula “Po”. ( cuya dirección lo da el vector unitario ē ), normal al plano formado por dos líneas ortogonales contenidas en la partícula.

GENERALIDADES PARA LA INTERPRETACIÓN FÍSICA

 

ro

r

z

y

x

 

Por comodidad se puede tomar el eje ē como eje z y el plano en que se mueve P como plano X Y .

Entonces el vector velocidad angular es:

 

 

 

 

Por lo tanto el significado físico del vector rotacional en un movimiento de rotación alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular:

De la expresión:

La aceleración en un punto está formada por las componentes:

= Corresponde al movimiento de traslación pura

= Correspondiente al movimiento de rotación, llamada aceleración de “Coriolis”.

= Aceleración local.

CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS

FLUJO PERMANENTE Llamado también flujo estacionario. Esta clasificación obedece a la utilización del tiempo como

variable. El flujo es permanente si las características hidráulicas del flujo en una sección no cambia con respecto al tiempo.

     

FLUJO NO PERMANENTEES TODO LO CONTRARIO AL FLUJO PERMANENTE

Flujo Uniforme Esta clasificación obedece a la utilización del

espacio como variable. El flujo es uniforme si las variables hidráulicas del flujo en una longitud de su desarrollo no cambia con respecto al espacio.

 

FLUJO NO UNIFORME Es el caso contrario al flujo uniforme.

 

Flujo Unidimensional, Bidimensional y Tridimensional.

Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional, es decir cuando sus características hidráulicas o variables hidráulicas, cambian en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen en las tres direcciones.

El flujo es bidimensional, cuando sus características son idénticas sobre una familia de planos paralelos, no habiendo componentes en dirección perpendicular a dicho plano, o bien ellas permanecen constantes; es decir, que el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión (o tiene ambos) en dos direcciones exclusivamente.

El flujo es unidimensional, Cuando sus características varían como funciones del tiempo y de una coordenada curvilínea en el espacio usualmente la distancia medida a lo largo del eje de la conducción.

Turbulento: Se define como flujo turbulento aquel en que las líneas de corriente se entrecruzan continuamente a lo largo de toda su trayectoria.

Flujo Rotacional e Irrotacional

Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rot v adquiere valores distintos de cero para cualquier instante y es Irrotacional, por el contrario, si en su seno del campo de flujo, el vector rot v de es igual a cero para cualquier punto e instante

Sin embargo, el flujo Irrotacional ocurre con bastante frecuencia en los problemas de la práctica.

Si bien el término rotación implica un giro de partículas, esto no significa que es rotacional todo movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien que todo movimiento rectilíneo es Irrotacional.

Flujo Lineal Irrotacional

Flujo Lineal Rotacional

MÉTODO DE EULERTambién conocido como

local, consiste en elegir un punto y determinar las variables cinemáticas en ese punto, en cada instante sin considerar el camino que después siga cada partícula individual (trayectoria). Elegida la posición de una partícula en el espacio, sus características cinemáticas son funciones del tiempo, a saber:

Método de Euler

x y zV V (x,y,z,t) i V (x,y,z,t) j V (x,y,z,t)k

Las variables dependientes son:

v v(r, t )

Las variables independientes son:

Vx, Vy y Vz

x, y, z, t

Método de Lagrange Consiste en elegir una partícula y

determinar las variables cinemática de esa partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Identificada una partícula por su posición inicial (xo, yo, zo), en el instante t = to , en otro instante cualquiera “t”, la misma partícula se encuentra en la posición . Entonces la posición de la partícula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posición se determina como función del tiempo “t” y la posición inicial ; o sea:

0( , )r r r t????????????? ?

Método de Lagrange

Las variables dependientes son: x, y, z.

Las variables independientes son: a, b, c, t.

De los dos métodos se prefiere el primero por qué su manejo analítico es más simple. Es el que normalmente se emplea en los libros de mecánica de fluidos.

LÍNEA DE CORRIENTE, TRAYECTORIA Y TUBO DE CORRIENTE Línea de Corriente.- se define línea de corriente toda

línea trazada idealmente en el seno líquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente.

( )Lc t

Línea de corriente para un instante “t”

Φ= FUNCIÓN CONTINUIDAD DEL

FLUJO

No existe posibilidad de que dos líneas de corriente tengan un punto común, pues ello significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores distintos.

Ruptura de flujo

LC

LC1

ECUACIONES DE LA LÍNEA DE CORRIENTE

En la línea de corriente de la figura, para un instante “t”, donde el punto “1” está infinitamente próximo a “2”, de manera que se puede considerar que :

1 2 ??????????????

V V V

1

2

; ??????????????????????????????????????????????????????????????????????

V dr v dr sen u

0V dr ????????????????????????????

Como son paralelos 0 0 ????????????????????????????

V dr

0

??????????????????????????????????????????

x y z

i j k

V dr V V V

dx dy dz

0 ????????????? ?

y z x z x yi V dz V dy j V dz V dx k V dy V dx

y zV dz V dy

Como y son vectores paralelos tienden a ser coloniales ,luego:

v

rd

Donde:

= Vector unitario perpendicular al plano “0, “1” y “2”u

..............(1)y zV V

dy dz

...............(2)x zV V

dx dz

...............(3) yxVV

dx dy

Sistema de tres ecuaciones diferenciales, obtenida de (1), (2) y (3):

yx zVV V

dx dy dz

La última expresión constituye la ecuación analítica de la línea de corriente para un instante “t”. Donde, recordamos que:

, , , ,x y zV V y V x y z t

TRAYECTORIA

Se define trayectoria la curva que marca el camino que sigue una partícula con el transcurrir del tiempo.

drV

dt

??????????????

...........(1)dr Vdt????????????? ?

............ 2

????????????? ?

????????????????????????????????????????????????????????x y z

dr dxi dy j dzk

V V i V j V k

Luego (2)→(1)

???????????????????????????????????????????????????? ????

x y zdxi dy j dzk V i V j V k dt

.............(3) xx

dxdx V dt dt

V

.............(4) yy

dydy V dt dt

V

.............(5) zz

dzdz V dt dt

V

Comparando (3), (4), (5) y acomodando

yx zVV V

dx dy dz

, , , ,x y zV V y V x y z t

La expresión anterior constituye la ecuación analítica de la trayectoria.

SE PUEDE AFIRMAR

Si el flujo es no permanente la línea de corriente y trayectoria son líneas distintas, pero si el flujo es permanente significa lo mismo”.

La razón está en que el flujo permanente el campo de velocidad no cambia con el tiempo

LINEA DE CORRIENTE = TRAYECTORIA

Toda partícula que pase por “a0” sigue la misma trayectoria.

En cada punto a0, a1, … an el vector velocidad permanece igual

Todas las partículas que pasen por

Todas las partículas que pasen por

Todas las partículas que pasen por

0 0a V??????????????

1 1a V??????????????

n na V??????????????

TUBO DE FLUJO Si se considera dentro del flujo una curva cerrada “c” y las

líneas de corriente que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de éstas líneas de corriente definen una superficie que se denomina tubo de flujo ó tubo de corriente y que no puede ser atravesada por el fluido. El volumen encerrado se conoce como vena líquida o vena fluida.

Cuando el tubo de corriente es de pequeña sección se le denomina filete hidráulico

PROBLEMAS APLICATIVOS

1) Calcular la línea de corriente de un flujo permanente producido por un tornado cuyo vector velocidad que está determinado por:

jyx

xi

yx

yv )()( 2222

ji vvv yx

Aplicamos la ecuación de línea de corriente:

dydxvv yx

dyyx

x

dxyx

y

)()( 2222

xdxydy

cxcy

2

2

1

2

22

22

22

21

yxcc

2

22 yxc

yxc22

2

yxc22

Ecuación de la circunferencia Ecuación de la circunferencia

Línea de corriente concéntricaLínea de corriente concéntrica

 

zttyxyx 1216333 322

xV

Solución:

 

ktjyxixyV 126336 2

ixyVx 36

jyxV y 63 2

ktVz 12

k

yxy

xyx

jzxy

xt

izyx

yt

366336126312 22

kxxji 660000

0

xV

 

ktjyxixyV 126336 2

 

 

 

 

3) Dado el campo de xykjyxiV 210 22

a) Determinar la aceleración y su magnitud en P (3, 1, 0)

zyx Vz

vVy

vVx

v

t

va

22221022 yxkxjykyjxa

- Para P (3, 1, 0)

280)1()1(80

80

8080

60202060

10621026

22

a

kja

kja

kjkja

kjkja

Como podemos ver se acelera en el plano “j” y ”k”

b) Dado el campo de velocidades en P (3, 0,2) cuando t=1 seg.

kjtxyitxyV 251026 22

e

856.58

10)58(

1058

60102

102272102

22

2

a

a

jia

ijia

jxyixjyiyjita