Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de...

Equation Chapter 1 Section 1

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales

Modelado dinámico de Centrales Eléctricas y

Estimación de sus Parámetros Característicos

Autor: Miguel Ángel González Cagigal

Tutor: José Antonio Rosendo Macías

Dep. Ingeniería Eléctrica

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2017

ii

iii

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales

Modelado dinámico de Centrales Eléctricas y

Estimación de sus Parámetros Característicos

Autor:

Miguel Ángel González Cagigal

Tutor:

José Antonio Rosendo Macías

Catedrático de Universidad

Dep. de Ingeniería Eléctrica

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2017

iv

v

Trabajo Fin de Grado: Modelado dinámico de Centrales Eléctricas y Estimación de sus Parámetros

Característicos

Autor: Miguel Ángel González Cagigal

Tutor: José Antonio Rosendo Macías

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2017

El Secretario del Tribunal

vi

vii

A mi familia

A mis maestros

viii

ix

Agradecimientos

A mis padres, por facilitarme estudiar lo que me gusta; a mis hermanos, amigos y compañeros por

apoyarme y a mis profesores por transmitirme los conocimientos que he podido aplicar en este trabajo.

x

xi

Resumen

En este trabajo de investigación, se tiene como objetivo principal realizar una estimación lo más exacta

posible de los parámetros que definen la dinámica interna de un generador síncrono con regulación

primaria y secundaria de tensión y frecuencia, para poder aplicar estos resultados en estudios dinámicos

de interconexión de redes eléctricas.

Para la estimación se va a utilizar el filtrado de Kalman, cuyo algoritmo se ha escrito en código Matlab

y que tendrá como señales de entrada una serie de mediciones con ruido procedentes de una simulación

en Matlab Simulink de un generador integrado en un sistema eléctrico de potencia sencillo.

xii

xiii

Abstract

The main goal of this research project is making an estimation as accurate as possible of the parameters

which define the internal dynamic of a synchronous generator with primary and secondary frequency

and voltage regulation, to apply these results in dynamic studies of electrical grids interconnection.

Kalman Filter, whose algorithm has been written in Matlab code, will be used for the estimation

process. Input signals will be a series of noisy measures from a Matlab Simulink simulation of a

generator integrated into a simple electric power system.

xiv

xv

Índice

Agradecimientos ixx

Resumen xi

Abstract xiii

Índice xv

Índice de Tablas xviii

Índice de Figuras xx

Notación xxii

1 Introducción y objetivos 1

2 Modelado del Generador Síncrono 3 2.1. Consideraciones generales 3 2.2. Modelo utilizado 4 2.3. Parámetros característicos 5 2.4. Ecuaciones del modelo 5 2.5. Resolución del circuito externo al generador 7 2.6. Inicialización y consignas 8 2.7. Modelo en Simulink 9

3 Modelado de los Reguladores del Generador Síncrono 11 3.1. Turbine Governor 11

3.1.1. Función en el sistema 11 3.1.2. Parámetros característicos 12 3.1.3. Ecuaciones del modelo 13 3.1.4. Modelo en Simulink 13

3.2. Automatic Voltage Regulator 14 3.2.1. Parámetros característicos 15 3.2.2. Ecuaciones del modelo 16 3.2.3. Modelo en Simulink 16 3.3. Power System Stabilizer 16 3.3.1. Parámetros característicos 17 3.3.2. Ecuaciones del modelo 18 3.3.3. Modelo en Simulink 19

4 Simulación del Modelo Completo 21

5 Filtro de Kalman. Aspectos Teóricos 29 5.1. Introducción y contexto histórico 29 5.2. Comparativa entre las variantes del KF 30 5.3. Unscented Kalman Filter 32

xvi

6 Aplicación del Filtro de Kalman 37 6.1. Vector de estados 37 6.2. Ecuaciones de estado 38 6.3. Entradas y mediciones 39 6.4. Ajustes generales del algoritmo 40 6.5. Estimación de las variables de estado 41 6.6. Estimación de los parámetros 42 6.6.1. Parámetros inalterados 42 6.6.2. Variación de parámetros 43 6.6.3. Cambio del punto de operación 47

7 Resultados de la Estimación 49 7.1. Generador síncrono 49

7.1.1. Variables de estado 49 7.1.2. Parámetros del generador síncrono 49

7.2. Turbine Governor 54 7.2.1. Variables de estado 54 7.2.2. Parámetros del Turbine Governor 55 7.3. Automatic Voltage Regulator 57 7.3.1. Variables de estado 57 7.3.2. Parámetros del AVR 58 7.4. Power System Stabilizer 60 7.4.1. Variables de estado 60 7.4.2. Parámetros del PSS 60

8 Conclusiones y Futuras Líneas de Trabajo 63 8.1. Interpretación de los resultados 63 8.2. Mejoras frente a trabajos previos 64 8.3. Posibles ampliaciones futuras 64

Referencias 66

Glosario 67

xvii

xviii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2-1. Orden y variables de estado de los distintos modelos del generador síncrono 4

Tabla 2-2. Parámetros para la simulación del generador síncrono 5

Tabla 2-3. Valores iniciales en por unidad de las variables de estado del generador 9

Tabla 3-1. Parámetros del Turbine Governor 13

Tabla 3-2. Parámetros del AVR 15

Tabla 3-3. Parámetros del PSS 17

Tabla 4-1. Valores iniciales y referencias en la simulación de los controladores 23

Tabla 6-1. Entradas y medidas del sistema 39

Tabla 6-2. Valores de los vectores de ponderación Wm y Wc 41

Tabla 6-3. Valores iniciales y covarianzas P y Q para las variables de estado 42

Tabla 6-4. Nuevos valores de los parámetros tras su variación 44

Tabla 6-5. Valores iniciales y covarianzas P0 y Q de los parámetros 46

Tabla 7-1. Valores estimados y porcentajes de error en los parámetros del generador 54

Tabla 7-2. Valores estimados y porcentajes de error en los parámetros del TG 55

Tabla 7-3. Valores estimados y porcentajes de error en los parámetros del AVR 58

Tabla 7-4 Valores estimados y porcentajes de error en los parámetros del PSS 62

xix

xx

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1-1. Esquema del SEP utilizado para la simulación 2

Figura 2-1 Modelo en Simulink de la dinámica del ángulo y la velocidad angular del generador 10

Figura 2-2 Modelo en Simulink de la dinámica de la FEM del generador síncrono 10

Figura 3-1. Esquema del control primario de frecuencia 12

Figura 3-2. Modelo en Simulink del control potencia-frecuencia primario y secundario acoplado

. al generador síncrono 14

Figura 3-3. Esquema de funcionamiento de un AVR 15

Figura 3-4. Modelo en Simulink del AVR 17

Figura 3-5. Esquema completo del control reactiva-tensión con AVR y PSS 18

Figura 3-6. Modelo en Simulink del PSS 19

Figura 4-1. Detalle del módulo de la tensión de la red(superior) y su ángulo (inferior) 21

Figura 4-2. Tensión en bornes del generador: módulo (superior) y ángulo (infrerior) 22

Figura 4-3. Intensidad en bornes del generador: módulo (superior) y ángulo (infrerior) 23

Figura 4-4. Evolución del ángulo δ (superior) y la velocidad ω (inferior) 24

Figura 4-5. Evolución de Eq (superior) y Ed (inferior) 24

Figura 4-6. Evolución de p (superior) y q (inferior) 25

Figura 4-7. Evolución de Pm (superior) y Pc (inferior). Turbine Governor 25

Figura 4-8. Evolución de vf (superior) y vc (inferior). AVR 26

Figura 4-9. Evolución de la salida vs del PSS 26

Figura 5-1. Proceso iterativo y fases del filtro de Kalman original 30

Figura 7-1. Estimación de δ (superior) y ω (inferior) 50

Figura 7-2. Estimación del parámetro D del generador síncrono 50

Figura 7-3. Estimación del parámetro H del generador síncrono 51

Figura 7-4. Estimación del parámetro dxd del generador síncrono 51

Figura 7-5. Estimación del parámetro Td0 del generador síncrono 52

Figura 7-6. Estimación del parámetro Fq0 del generador síncrono 52

Figura 7-7. Estimación del parámetro dxq del generador síncrono 53

xxi

Figura 7-8. Estimación de los parámetros x’d (superior) y x’q (inferior) 53

Figura 7-9. Estimación de Pm 55

Figura 7-10. Estimación del parámetro Ji del Turbine Governor 56

Figura 7-11. Estimación del parámetro G del Turbine Governor 56

Figura 7-12. Estimación del parámetro Fr del Turbine Governor 57

Figura 7-13. Estimación de vf 58

Figura 7-14. Estimación del parámetro J0 del AVR 59

Figura 7-15. Estimación del parámetro Fe del AVR 59

Figura 7-16. Estimación del parámetro Favr del AVR 60

Figura 7-17. Estimación de vs 61

Figura 7-18. Estimación del parámetro Jw del PSS 61

Figura 7-19. Estimación del parámetro Fw del PSS 62

xxii

Notación

sin Función seno

cos Función coseno

tg Función tangente

arctg Función arco tangente

arcsen Función arco seno

arccos Función arco coseno

Δt Incremento de tiempo

pu Por unidad

dx/dt Derivada de x con respecto a t

A’ Variable A en régimen transitorio

A’’ Variable A en régimen subtransitorio

1

1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

ctualmente, las necesidades que tienen las redes eléctricas de una interconexión óptima

desde un punto de vista técnico, económico y seguro son cada vez mayores. Este fenómeno

es el causante de la especial relevancia que está adquiriendo un tema como es la

integración de los sistemas eléctricos de potencia (SEP), y este precisamente será el marco en el

que situaremos el presente trabajo.

Este proceso de integración necesita sentar sus bases en un completo estudio dinámico de

las redes que se pretenden interconectar, siendo también imprescindible la correcta sintonización de

una serie de reguladores que actuarán sobre los distintos parámetros que definen los elementos de

dichas redes.

Para llevar a la práctica estos estudios es muy importante poseer un profundo conocimiento

del modelo que describe la dinámica por la que se rigen las centrales eléctricas y que viene

determinada por una serie de constantes propias.

No obstante, conocer el valor de estos parámetros no es una tarea sencilla, ya que, a pesar

de que los fabricantes nos proporcionan un informe con todas las constantes de la máquina en

cuestión, estas poseen una fuerte dependencia con otro conjunto de factores, como pueden ser el

punto de operación, la temperatura, etc.

El objetivo de este estudio será por tanto obtener una estimación de los valores de las

constantes que definen el modelo de un generador síncrono que tendrá asociado unos mecanismos

de control potencia-frecuencia y reactiva-tensión ejecutados por tres reguladores de los cuales

también necesitamos conocer sus parámetros. Este propósito se intentará conseguir partiendo de

una serie de medidas tomadas del propio generador, que determinarán las condiciones en las que se

encuentra el mismo.

Sin embargo, estas mediciones presentan un carácter ruidoso, por lo que es necesario basar

la estimación en un sistema de filtrado. En este proyecto de investigación se ha visto conveniente el

uso del filtro de Kalman, el cual se adapta a las necesidades impuestas por las ecuaciones del

modelo de dos ejes que hemos seleccionado para describir el comportamiento de la máquina

síncrona. El número total de parámetros dentro de estas ecuaciones en conjunto con las de los

reguladores es de 16.

Por otro lado, para emular las medidas que en la realidad tomaríamos del generador, se ha

programado en Matlab Simulink un modelo también en dos ejes de este, que, junto con sus

reguladores, el Turbine Governor, el Automatic Voltage Regulator y el Power System Stabilizer, se

han introducido en un sencillo SEP compuesto por una línea de transporte que conecta el propio

generador con una barra de potencia infinita. En la figura 1-1 se ha ilustrado dicho sistema para una

mayor claridad.

A

Introducción y Objetivos

2

Figura 1-1. Esquema del SEP utilizado para la simulación

Se realizarán una serie de pruebas de estabilidad del algoritmo de estimación para comprobar

cual es la más fiable y con la que se obtienen mayor número de parámetros. Estos experimentos se

ejecutarán a partir de un código Matlab que implementa el algoritmo propio del filtro de Kalman.

3

2 MODELADO DEL GENERADOR SÍNCRONO

n este capítulo se va a desarrollar el proceso por el que se ha llevado a cabo el montaje en Matlab

Simulink del generador síncrono, partiendo de las ecuaciones diferenciales que gobiernan su

dinámica interna, para obtener las entradas y medidas que posteriormente se utilizarán en el

filtro de Kalman.

Comenzaremos viendo los distintos modelos de la máquina síncrona, detallando el que se ha

seleccionado en este trabajo; mostrando sus respectivas ecuaciones diferenciales y algebraicas; las

entradas y salidas que tendrá con respecto al sistema al que está conectado el generador y el valor de los

parámetros internos, los cuales intentaremos estimar en capítulos posteriores.

El estudio de los reguladores del generador que llevarán a cabo tanto el control de frecuencia

(Turbine Governor) como el de tensión (Automatic Voltage Regulator y Power System Stabilizer) se

realizará en el siguiente capítulo.

En el último apartado se mostrará cómo se han plasmado las ecuaciones diferenciales expuestas

en Simulink, tras haber sido traducidas al dominio de Laplace.

2.1 Consideraciones generales

El generador síncrono es la parte central y más importante del modelo que estudiaremos en este

trabajo, ya que el resto de elementos tienen como función ejercer de apoyo a esta máquina, modificando

algunas de sus señales.

Como hemos mencionado, su evolución interna se rige mediante ecuaciones diferenciales y

algebraicas. Se verá en este apartado que existen diversas opciones para estas ecuaciones, sin embargo

encontramos algunas que son comunes a todos, como son las referentes a la velocidad angular y al

ángulo interno de la máquina.

Dichas ecuaciones y las propias del modelo seleccionado en el presente trabajo se detallarán en

una sección dedicada a tal efecto.

En lo referente a la naturaleza de las señales de tensión e intensidad, aunque el generador es

trifásico, vamos a trabajar exclusivamente con la fase a sin perder con ello generalidad. Además, para

facilitar la comprensión de nuestras estimaciones posteriores, emplearemos el dominio fasorial para ver

las magnitudes como un valor eficaz y no como una senoide. Como veremos a continuación, estos

valores se proyectarán sobre unos ejes dq0 que giran a la velocidad de sincronismo.

Por último destacamos que se va a trabajar en todo momento con magnitudes en por unidad, para

dar una mayor sensibilidad visual a aquellas señales de tensión, intensidad o potencia que se excedan de

valores aceptables.

En todo momento supondremos que la máquina se encuentra equilibrada, por lo que se anulará la

componente en el eje 0 de todas las señales. Sabiendo esto, en adelante nombraremos los ejes de

proyección como dq.

E

Modelado del Generador Síncrono

4

2.2 Modelo utilizado

Existen numerosos modelos matemáticos que describen el comportamiento y la dinámica interna

del generador mediante ecuaciones diferenciales y algebraicas. La diferencia entre los mismos radica en

el grado de complejidad y la profundidad con la que abarcan los cambios internos de la máquina.

Citaremos aquí los modelos más conocidos, que han sido ordenados de mayor a menor

complejidad [1].

Sauer-Pai: tiene en cuenta tanto la dinámica transitoria de la fuerza electromotriz (en adelante

FEM) de la máquina como la subtransitoria de los flujos por las bobinas.

Marconato: es el modelo más completo de dos ejes, ya que estudia la evolución transitoria y

subtransitoria de la FEM del generador en ambos ejes dq.

Dos ejes: es más simplificado, considerando como constantes los flujos magnéticos y solo

presenta dinámica transitoria para la FEM.

Un eje: considera despreciable la variación de la FEM en el eje d y solo estudia la

correspondiente al eje q.

Modelo clásico: es el más simple de todos, debido a que asume constante la FEM, y su

dinámica se basa en el ángulo del estátor y la velocidad angular del generador síncrono.

A continuación se muestra una tabla a modo de resumen con cada uno de los modelos

mencionados, indicando el número de variables de estado que poseen, lo que se conoce como el orden

del modelo.

Tabla 2-1. Orden y variables de estado de los distintos modelos del generador síncrono

Modelo Orden Variables de estado

Sauer-Pai 8 δ, ω, eq’, ed’, ψd’’, ψq’’, ψd, ψq

Marconato 8 δ, ω, eq’, ed’, ed’’, eq’’, ψd, ψq

Dos ejes 4 δ, ω, eq’, ed’

Un eje 3 δ, ω, eq’

Clásico 2 δ, ω

Aclararemos como notación que las magnitudes con prima se refieren al periodo transitorio de

la máquina y las que cuentan con doble prima están relacionadas con el subtransitorio.

Dado que nuestro objetivo no consiste en hacer un estudio minucioso de la dinámica interna del

generador síncrono, en este trabajo se empleará un modelo de dos ejes para la simulación y toma de

medidas, ya que refleja con bastante fidelidad el comportamiento real de la máquina manteniendo un

nivel medio de dificultad a la hora de implementar sus ecuaciones en Simulink, este modelo es de los

más utilizados en estudios de estabilidad transitoria.

En cuanto a la FEM de la máquina, se ha decidido estudiar su valor en el periodo transitorio,

por lo que en adelante nos referiremos siempre a eq’y ed’.

Necesitamos conocer ahora en profundidad las ecuaciones y los parámetros que definen el

modelo de dos ejes seleccionado, no solo para la simulación, sino para poder implementarlos en la

5

Modelado dinámico de Centrales Eléctricas y Estimación de sus Parámetros Característicos

función de estado del filtro de Kalman. Además, el hecho de saber los valores reales de los parámetros

nos dará indicaciones acerca de la eficacia de la estimación.

2.3 Parámetros característicos

Cualquiera de los modelos que se han presentado en el apartado anterior necesita una serie de

parámetros correspondientes a valores propios del generador síncrono y que distinguen unas máquinas

de otras.

En la siguiente tabla se mostrarán los parámetros correspondientes a un generador síncrono

representado por un modelo en dos ejes, algunos de ellos se encuentran expresados en por unidad,

habiendo tomado como base los valores nominales de la máquina.

Tabla 2-2. Parámetros para la simulación del generador síncrono

Símbolo Definición Unidad Valor

D Coeficiente de amortiguamiento pu 2

H Constante de inercia s 6.5

ra Resistencia de los devanados pu 0

xd Reactancia síncrona del eje d pu 1

Reactancia transitoria del eje d pu 0.3

xq Reactancia síncrona del eje q pu 0.65

Reactancia transitoria del eje q pu 0.55

Constante de tiempo transitoria de

la FEM del eje q

s 5

Constante de tiempo transitoria de

la FEM del eje d

s 0.5

Por el momento solo se han recogido los parámetros correspondientes a la propia máquina

síncrona, ya que los referidos a sus tres reguladores se detallarán en sus correspondientes apartados.

Resalta el hecho de que se ha tomado como nula la resistencia propia de los devanados del generador,

esta aproximación es debida a que su valor es despreciable frente a las reactancias y porque así se

simplifica notablemente el proceso de montaje y simulación. No obstante, en las ecuaciones que se

mostrarán en el siguiente apartado se ha mantenido ra para no perder generalidad.

Algunos de los valores de la tabla 2-2 serán de una gran importancia a la hora de implementar

el filtro de Kalman ya que formarán parte del vector de estados que se pretende estimar, siendo este el

eje central del presente trabajo.

En concreto, trataremos de realizar una aproximación lo más exacta posible del coeficiente D y

las constantes H, y

, así como de las reactancias síncronas de la máquina, junto con todos los

parámetros que determinan a los reguladores. Como veremos, los valores de las reactancias transitorias


6

en cada uno de los ejes se han supuesto conocidos a la hora de realizar el algoritmo del filtro.

2.4 Ecuaciones del modelo

En este apartado vamos a desarrollar las ecuaciones propias del modelo de dos ejes para el

generador síncrono, que, como se ha mencionado con anterioridad, ha sido el empleado en nuestros

cálculos.

Primero, nos centraremos en las ecuaciones comunes a todos los modelos, esto es, las

dinámicas que describen el ángulo del rótor δ y la velocidad angular de la máquina ω y que se obtienen

de aplicar la segunda ley de Newton al eje de la máquina síncrona.

(2-1)

(2-2)

Donde es la velocidad de sincronismo en por unidad (1 p.u.), es la velocidad base, que

en este caso, como trabajamos con una frecuencia nominal de 50 Hz, tomará un valor de 100п rad/s.

En cuanto a y son las potencias mecánica y eléctrica respectivamente. En la ecuación

original estos términos se corresponden con los pares motor (mecánico) y resistente (eléctrico), sin

embargo, como la velocidad angular no difiere mucho de la unidad, podemos aproximar la ecuación

mediante el uso de potencias expresadas en por unidad y que obedecen a las siguientes fórmulas.

(2-3)

(2-4)

Donde , , y son respectivamente las intensidades y los flujos representados en los

ejes dq. Por su parte, la ecuación (2-4) será sustituida por la dinámica correspondiente al Turbine

Governor, cuya variable de estado es precisamente la potencia mecánica de la turbina.

El resto de parámetros han sido definidos en el apartado anterior.

Ahora pasamos a escribir las ecuaciones que ponen en relación la máquina síncrona objeto de

estudio con el sistema eléctrico al que está conectado, que como se indicará posteriormente, se trata de

una red de potencia infinita. Estas relaciones no son otras que la tensión en bornes del generador,

expresada en ejes dq, y las potencias activa y reactiva que intercambia.

Sea V∠θ el fasor complejo expresado en p.u. de la tensión que hay en los terminales del

generador, tenemos las siguientes expresiones.

(2-5)

(2-6)

En lo referido a la potencia activa p y reactiva q, ambas en p.u. definimos.

(2-7)

(2-8)

7


Conocidas las ecuaciones comunes pasamos a analizar las simplificaciones generales que nos

llevan a las expresiones propias del modelo de dos ejes, comenzaremos con los flujos magnéticos,

supuestos constantes en el tiempo y cuyo valor se obtiene de la siguiente manera, donde se ha asumido

de nuevo que la velocidad angular de la máquina se mantiene siempre próxima a la unidad.

(2-9)

(2-10)

Finalmente escribiremos las dinámicas correspondientes a la FEM de la máquina expresada en

los ejes dq, realizaremos este trabajo con los valores de las mismas referidos a la fase transitoria, que se

distinguirán del resto por estar expresados con prima.

(2-11)

(2-12)

Donde tenemos que es la tensión de campo correspondiente a la excitación rotórica de la

máquina síncrona. Para generadores carentes de control de tensión recibe un valor constante.

(2-13)

Sin embargo, en este trabajo sí se tendrá en consideración un control de tensiones realizado

conjuntamente por el Automatic Voltage Regulator y el Power System Stabilizer, por lo que esta última

expresión será reemplazada por las ecuaciones que rigen el comportamiento de estos dos reguladores.

Este sistema DAE compuesto por las 13 ecuaciones vistas hasta ahora nos permitirá realizar

una simulación del generador síncrono en Matlab Simulink transformando las ecuaciones diferenciales

al dominio de Laplace de la manera que se detallará en el apartado correspondiente.

2.5 Resolución del circuito externo al generador

Ya hemos resaltado que nuestro objeto de estudio será un generador síncrono genérico,

representado por los parámetros del apartado 2.3 y por las ecuaciones del 2.4. También se ha

mencionado que el sistema al que va a estar conectado esta máquina es una fuente de potencia infinita a

través de una línea representada por una resistencia y una reactancia, esto es así para poder centrar el

esfuerzo de este trabajo en el propio generador simplificando lo máximo posible lo que es externo al

mismo.

El nexo de unión entre la máquina y el sistema exterior será la tensión compleja (módulo y

ángulo) en los terminales y la potencia que se intercambiará, ya sea activa o reactiva. Es decir, tenemos

un total de 4 variables que relacionan nuestro generador con el exterior: V, θ, P y Q, o

equivalentemente, un fasor de tensión y otro de intensidad en bornes.

Por su parte, la barra infinita de potencia impondrá un valor de tensión que además tomaremos

como referencia de ángulos para el resto de magnitudes, por lo que en este punto tenemos un fasor de

tensión fijo. En cada paso de integración tendremos conocimiento del valor instantáneo de eq’y ed’ así

como del ángulo que forma el eje q con la referencia.


8

Para resolver esta situación se propone un sistema de ecuaciones que nos dará en todo

momento el valor de vd, vq, id e iq para poder calcular la potencia eléctrica de acuerdo a la expresión 2-7

y realimentar el sistema.

(2-14)

Donde y son el módulo y el ángulo de la tensión impuesta en la barra infinita de

potencia. En cuanto a y son la resistencia y la reactancia con la que se ha modelado la línea de

transmisión, de valor 0.01 y 0.1 pu respectivamente.

Con estos valores podemos calcular también los fasores de tensión en intensidad (módulo y

ángulo) en los terminales de la máquina, mientras que la potencia entregada se obtiene de las

expresiones 2-7 y 2-8.

(2-15)

Como se verá en el apartado correspondiente a la aplicación del filtro de Kalman a nuestro

modelo, se tomarán como magnitud de entrada al algoritmo la tensión (fasorial) en terminales y como

medida el módulo de la intensidad y la potencia eléctrica, así como la frecuencia del sistema. Por tanto,

el SEP al que está conectado el generador es intrascendente para el código utilizado.

2.6 Inicialización y consignas

En nuestro modelo de dos ejes del generador síncrono tenemos una descripción de la dinámica de

las variables de estado del sistema, sin embargo, necesitamos un valor inicial a partir del cual estas

evolucionen.

Este punto de partida lo conseguiremos a través de un proceso de inicialización, para el cual

hemos supuesto una potencia compleja consumida por parte del sistema eléctrico representado por la

barra infinita de potencia (Sred=0.8+j0.4 pu) y hemos resuelto con este valor el circuito correspondiente.

Además se ha podido encontrar el valor deseado para la tensión en los terminales de la máquina, que

nos servirá de consigna para el posterior control de tensiones. En cuanto al control potencia-frecuencia

efectuado por el Turbine Governor, teniendo en cuenta las pérdidas de potencia activa en la línea, se ha

tomado como referencia el valor de 0.81 pu.

9


En la tabla 2-3 se indican los valores iniciales de las variables de estado, en cuanto a los valores

de referencia se señalarán en apartados posteriores.

Tabla 2-3. Valores iniciales en por unidad de las variables de estado del generador

Magnitud Valor inicial

δ 0.427

ω 1

Eq 1.2

Ed 0

2.7 Modelo en Simulink

Con todo lo expuesto hasta ahora estamos en disposición de realizar una simulación en Matlab

Simulink de un generador síncrono, aún sin ningún tipo de control de frecuencia o tensión, es decir, con

unos valores constantes de Vf y pm, que se han fijado en 1.68 y 0.81 pu respectivamente a partir de la

inicialización.

Para alcanzar este objetivo ha sido necesario transformar las ecuaciones diferenciales al

dominio de Laplace, ya que con él trabaja esta herramienta informática.

En las figuras 2-1 y 2-2 podemos ver respectivamente el resultado de las ecuaciones que

gobiernan la dinámica del ángulo, la velocidad angular y la FEM del generador síncrono.

Además de estas dinámicas se han implementado en un bloque Matlab-Function las

ecuaciones 2-7, 2-8, 2-14 y 2-15 para obtener los valores de tensión e intensidad en terminales y la

potencia activa y reactiva entregada por la máquina.

A modo de resumen y desde un punto de vista general, los pasos que sigue el algoritmo para

reproducir el comportamiento del generador síncrono son.

1. Partimos de los valores iniciales de las variables de estado.

2. Calculamos las tensiones e intensidades en ejes dq, así como la potencia eléctrica.

3. Como los valores de pm y Vf son constantes sin la presencia de los reguladores

podemos realimentar simplemente la dinámica con id ,iq y pe para volver nuevamente al

paso 2 con unas nuevas variables de estado calculadas.

Por simpleza se añadirán solo las simulaciones del generador una vez integrados los

reguladores del mismo, ya que estas sí serán importantes a la hora de realizar nuestra estimación de

estados y parámetros


10

Figura 2-1 Modelo en Simulink de la dinámica del ángulo y la velocidad angular del generador

Figura 2-2 Modelo en Simulink de la dinámica de la FEM del generador síncrono

11

3 MODELADO DE LOS REGULADORES DEL

GENERADOR SÍNCRONO

amos a seguir construyendo el modelo completo de la máquina síncrona que comenzáramos en

el capítulo anterior. Sin embargo ahora prestaremos atención a los reguladores que permiten

realizar los controles potencia-frecuencia y reactiva-tensión, los cuales serán explicados en sus

correspondientes apartados.

En primer lugar se tratará el Turbine Governor, describiendo con detalle su función dentro del

generador, los parámetros que lo definen y las ecuaciones que rigen su dinámica, finalizando con el

modelo en Matlab Simulink que utilizaremos en la simulación.

Los siguientes apartados seguirán el mismo esquema estudiando en cada caso el Automatic

Voltage Regulator (AVR) y el Power System Stabilizer (PSS).

3.1 Turbine Governor

3.1.1 Función en el sistema

De la ecuación 2-2 podemos deducir que la variación de la velocidad angular de un generador

síncrono depende en gran medida de la diferencia entre el par mecánico realizado por la turbina que

mueve el rótor de la máquina y el par eléctrico correspondiente a la demanda que se exija de la misma.

En otras palabras, para mantener constante la frecuencia del sistema es imprescindible que exista un

equilibrio continuo entre la potencia generada y la demandada.

Un mayor consumo que generación llevaría a una disminución de la frecuencia (el exceso de

energía demandada se supliría con la energía cinética del eje y la velocidad descendería), ocurriendo

justo lo contrario cuando es el par mecánico el que supera al eléctrico.

Con lo anterior y el hecho de que no se puede predecir con precisión la demanda eléctrica, se

hace necesaria la existencia de un sistema de control que haga coincidir en todo momento el par

mecánico que ejerce la turbina con la demanda puntual de potencia. Es a esto a lo que llamamos control

potencia-frecuencia y es la función que desempeña el Turbine Governor.

El funcionamiento de este sistema consiste en una lectura de la frecuencia o equivalentemente

la velocidad angular (son proporcionales con un factor de 2п) en un instante concreto. Posteriormente se

compara este valor con uno de referencia y el TG decide en consecuencia si es necesaria una subida o

bajada de la potencia mecánica, enviando la orden correspondiente a la turbina y volviendo así al

equilibrio.

No obstante, existen distintos niveles de complejidad dentro del control de la frecuencia.

V

Modelado de los Reguladores del Generador Síncrono

12

Podemos distinguir un control primario como el que vemos representado en la figura 3-1 [2] y uno

secundario, que será el que usaremos en la simulación y que detallaremos posteriormente, con sus

correspondientes ecuaciones y parámetros característicos.

La diferencia fundamental entre ambos esquemas de control es que en el primario existe un

error en régimen permanente para la frecuencia, es decir, tras un desequilibrio momentáneo generación-

consumo no conseguiremos restablecer exactamente el valor inicial de la frecuencia del sistema. Esto

no sucede sin embargo cuando contamos además con un control secundario, ya que éste incluye un

término integral que anula el error en régimen permanente, pudiendo recuperar la velocidad angular de

sincronism.

Figura 3-1. Esquema del control primario de frecuencia

3.1.2 Parámetros característicos

Como ya hemos mencionado, en este trabajo se va a efectuar un control primario y secundario

de frecuencia. En este apartado, al igual que hiciéramos con el generador, vamos a señalar los

parámetros propios de nuestro modelo y que luego intervendrán en las ecuaciones de dinámica del

Governor.

En este caso los tres parámetros indicados se convertirán posteriormente en objeto de

estimación a través del filtro de Kalman, por lo que es de gran importancia conocer el valor real que

tienen en la simulación.

Generator

13


Tabla 3-1. Parámetros del Turbine Governor

Símbolo Definición Unidad Valor

R

Droop del Governor

pu

0.1

Ki

Ganancia del control secundario

pu

50

Tr

Constante de tiempo del control

primario

s

0.1

3.1.3 Ecuaciones

La dinámica del TG se rige por un sistema de dos ecuaciones diferenciales, contando con dos

variables de estado, siendo una de ellas la potencia mecánica que sustituirá a la ecuación 2-4 del

generador síncrono.

(3-1)

(3-2)

Donde Pref es la potencia de referencia que tiene programado el controlador y que ya viéramos

en el apartado correspondiente a las consignas del generador. Podemos apreciar que a diferencia de lo

señalado en la figura 3-1 no existe un valor de referencia para la velocidad angular, ya que el control

secundario solo necesita la diferencia entre la frecuencia del sistema y los 50 Hz correspondientes al

sincronismo.

En la realidad existiría un retraso entre que el TG ordena un cambio en el par mecánico y este

se produce en la turbina. Sin embargo, para una mayor simplicidad del modelo supondremos que los

cambios son inmediatos.

3.1.4 Modelo en Simulink

Para terminar con el estudio del control de frecuencia, se muestra en la figura 3-2 el modelo en

Matlab Simulink de la dinámica correspondiente a la velocidad angular y al ángulo de la FEM de la

máquina síncrona, como ya viéramos en la figura 2-1 pero añadiendo el modelo del Governor definido

por las ecuaciones descritas en el apartado anterior.

Recordamos que la potencia eléctrica viene dada por la tensión e intensidad en los terminales del

generador, dependientes de las variables de estado del sistema y de la tensión impuesta por la barra

infinita.


14

Figura 3-2. Modelo en Simulink del control potencia-frecuencia primario y secundario

acoplado al generador síncrono

3.2 Automatic Voltage Regulator

De la misma manera que el Governor de la turbina ejercía un control sobre la frecuencia del

sistema, vamos a estudiar en este apartado como el Automatic Voltage Regulator, en adelante AVR,

hace lo propio con el control reactiva-tensión.

En los generadores síncronos es casi imprescindible que la tensión en terminales adquiera un

valor determinado y estable. Sin embargo esta magnitud no es accesible directamente para nosotros,

sino que debemos actuar sobre la potencia reactiva que inyecta/absorbe la máquina y la FEM de la

misma.

Para modificar esta última, y como deducimos de la ecuación 2-11 podemos incidir en el valor

de la tensión de campo Vf, es decir, en la excitación rotórica. Y de este cometido se encarga

principalmente el AVR.

El esquema de funcionamiento, representado en la figura 3-3 [2] consiste en una lectura de la

tensión que hay en bornes del generador, comparando este valor con uno de referencia preestablecido.

Con esta información el AVR determina qué tensión de campo hay que inyectar en el rótor.

El control reactiva-tensión es de un carácter más local que el potencia-frecuencia, ya que nos

interesa mantener la tensión de un punto concreto de la red, no la frecuencia global del sistema. Sin

embargo, también presenta varios niveles de control, ocupándose el AVR solo del primario, mientras

que una parte del secundario es objeto del Power System Stabilizer, ya que modificará los valores de

referencia del AVR. El control terciario es propio de los elementos de control de la potencia reactiva y

de la gestión económica del sistema, lo cual excede el alcance de este trabajo.

15


Figura 3-3. Esquema de funcionamiento de un AVR


No resulta fácil encontrar el valor de los parámetros que definen el funcionamiento de un AVR,

esto realza la necesidad de encontrar métodos para estimar dichas magnitudes como el que presentamos

aquí.

Para el caso que nos ocupa, en la simulación se han tomado los valores de los parámetros que

indica la tabla 3-2.

Tabla 3-2. Parámetros del AVR

Símbolo Descripción Unidad Valor

K0 Ganancia del AVR pu 2.5

Te Constante de tiempo del

excitador

s 0.19

Tavr Constante de tiempo del

controlador

s 1


16

En otros modelos más complejos se añaden constantes de tiempo que modelan el retardo

existente en la toma de información que efectúa el AVR. No obstante aquí se ha despreciado tal efecto

por simpleza en los cálculos posteriores y la discretización del sistema de ecuaciones.

3.2.2 Ecuaciones del modelo

En este trabajo se ha utilizado un modelo de AVR tipo III [3], que es el más sencillo de todos,

sin embargo es suficiente para estudios de estabilidad transitoria. Además la meta de este proyecto no se

basa en la complicidad del modelo de simulación, sino en la eficacia a la hora de realizar las

estimaciones mediante el filtro de Kalman.

A continuación se exponen las ecuaciones que determinan este modelo tipo III.

(3-3)

(3-4)

Donde V es la tensión medida en el nudo donde se quiere llevar a cabo el control de reactiva-

tensión y es el valor inicial de la excitación, obtenida de la inicialización previa de la máquina

síncrona, de la que ya se ha hablado con anterioridad a la hora de explicar el modelo del generador.

Por su parte se refiere al valor de referencia de tensión que posee el AVR, obtenido

también de la inicialización y que utilizará como consigna. En el control secundario esta magnitud será

modificada por el Power System Stabilizer como se detallará más adelante.

Cabe destacar que para acoplar los funcionamientos del AVR y el propio generador síncrono, la

ecuación 3-4 sustituirá a la 2-13.

Nótese que esta dinámica presenta dos nuevas variables de estado, la salida o excitación y la

magnitud auxiliar que, junto con los parámetros que se quieran estimar del AVR, se añadirán al

vector de estados ampliado en el algoritmo del filtro.


Como hiciéramos con el resto de elementos estudiados hasta ahora, conocidas las ecuaciones

que describen el funcionamiento del AVR y los valores de los parámetros que lo definen, estamos en

disposición de realizar un modelo en Matlab Simulink que simule el comportamiento del regulador, tal

y como se muestra en la figura 3-4.

Como ya hemos mencionado la señal de salida correspondiente a la tensión de campo sustituirá

al bloque Vf de la figura 2-2.

Es inmediato apreciar en el esquema que la referencia de tensión está modelada como un

bloque constante, el cual se sustituirá en el modelo completo por la señal de salida del Power System

Stabilizer, como se mostrará en el apartado siguiente.

3.3 Power System Stabilizer

El Power System Stabilizer, en adelante PSS, es el último de los reguladores del generador

síncrono que estudiaremos en este trabajo. Su principal cometido es, como ya se mencionara en el

apartado anterior, servir de apoyo en el control reactiva-tensión, además de atenuar las oscilaciones

propias del sistema.

En la figura 3-5 [2] repetimos el esquema que ya viéramos en la figura 3-3 del AVR conectado

17


al generador, pero añadiendo en este caso la presencia del PSS.

Figura 3-4. Modelo en Simulink del AVR

Resumiremos el comportamiento del PSS como un sistema para amortiguar las oscilaciones en

la red ante variaciones de tensión. Para ello recibe medidas de tensión, potencia y frecuencia para

realizar modificaciones en la referencia del AVR.

El modelo que se ha escogido en este trabajo solo emplea medidas de frecuencia (velocidad

angular del generador). La diferencia de esta con respecto al sincronismo permitirá decidir al PSS qué

variaciones de referencia son necesarias en el AVR para que no haya oscilaciones excesivas que dañen

a los equipos.


Como ya ocurriera con el caso del AVR, ha sido difícil encontrar un valor concreto a los

parámetros del PSS, por lo que la necesidad de encontrar formas de estimarlos de manera fiable se

acentúa.

En la tabla siguiente se recogen los valores que se implementarán en la simulación del modelo

de PSS seleccionado y del que posteriormente se detallarán sus ecuaciones características.

Tabla 3-3. Parámetros del PSS

Símbolo Descripción Unidad Valor

Tw Constante de tiempo del PSS s 10

Kw Ganancia del PSS pu 30


18

Figura 3-5. Esquema completo del control reactiva-tensión con AVR y PSS

3.3.2 Ecuaciones del modelo

En el presente trabajo se ha optado por un modelo simplificado tipo II del PSS [4], el cual

presenta un sistema DAE con una variable de estado v1 y una salida que modificará la señal

correspondiente al AVR.

Dicho sistema viene dado por las siguientes ecuaciones.

(3-5)

(3-6)

Donde es la variación de la velocidad angular instantánea del sistema con respecto a la

velocidad de sincronismo ( ).

19



Procedemos ahora a mostrar en la figura 3-6 el último elemento que formará parte del modelo

completo del generador síncrono, que simularemos en el capítulo siguiente y del que obtendremos las

medidas necesarias para llevar a la práctica la implementación del filtro de Kalman.

Podemos comprobar cómo la salida del PSS, , se suma a una referencia inicial prefijada del

AVR para dar en cada momento una nueva magnitud con la que éste pueda comparar la tensión en

terminales de la máquina y decidir la excitación que será necesaria en dicho instante.

Figura 3-6. Modelo en Simulink del PSS

En este caso concreto, por la formulación utilizada en el dominio de Laplace, las variable de

estado V1 no es accesible para medirse, hecho que reproduce fielmente lo que ocurre en la realidad.


20

21

4 SIMULACIÓN DEL MODELO COMPLETO

na vez presentados todos los elementos del sistema, se va a llevar a cabo la simulación del

modelo completo de generador síncrono que usaremos en este trabajo como fuente de medidas

para el filtro de Kalman. Dicho modelo se compone de cada una de las partes que se han ido

detallando en los capítulos anteriores.

Las simulaciones se realizarán durante 60 segundos empleando una frecuencia de muestreo fija

de 100 Hz ya que valores inferiores dieron problemas durante la simulación, se ha utilizando el solver

ode3 que ofrece Matlab Simulink.

En primer lugar definiremos la parte externa al sistema, que como ya se ha mencionado, se trata

del fasor de la tensión impuesto por la barra de potencia infinita. El módulo de esta magnitud se ha

hecho variar a los 30 segundos de simulación de 1 a 1.05 pu además de contar durante los 60s con un

Random Walk de desviación típica 4*10-6 que representa con mayor fidelidad lo que sucede en la

realidad. En cuanto al ángulo, tendrá inicialmente el valor 0 por tomarse como referencia para el resto

del circuito, presentando también un RW de desviación típica 2*10-6.

Figura 4-1. Detalle del módulo de la tensión de la red(superior) y su ángulo (inferior)

U

Simulación del Modelo Completo

22

Conocidos estos valores, pasamos ahora a simular las magnitudes en los terminales del

generador, es decir, la tensión y la intensidad, representadas ambas como fasores, habiendo fijado

también un cambio en la potencia activa entregada a la red de 0.8 a 1 p.u. a los 30 segundos de

simulación.

Podemos ver en las figura 4-2 y 4-3 como ambas magnitudes alcanzan valores estables y que

vuelven a hacerlo tras sufrir el cambio en el punto de operación, pasando en ambas situaciones por un

breve transitorio.

Desde un punto de vista más interno del generador y dado que será nuestro objeto posterior de

estudio, es importante conocer la evolución de las variables de estado que definen nuestro modelo en

dos ejes, comprobando si responde correctamente ante cambios en el punto de operación.

Figura 4-2. Tensión en bornes del generador: módulo (superior) y ángulo (infrerior)

Con los valores iniciales que viéramos en el capítulo 2, obtenemos la evolución de las variables

de estado que se representa en las figuras 4-4 y 4-5. Se puede comprobar que el cambio de consignas no

origina una pérdida de sincronismo, ya que la velocidad angular vuelve a estabilizarse en 1 pu,

demostrando la eficacia del control secundario de frecuencia.

También se incluyen en la figura 4-6 el valor de la potencia activa y reactiva entregada por el

generador síncrono, vemos que la parte activa coincide con la consigna inicial y que la reactiva incluye

las pérdidas en la línea.

Por último debemos asegurarnos que los reguladores de la máquina síncrona cumplen con su

cometido correctamente, para ello mostramos en las figuras 4-7, 4-8 y 4-9 las evoluciones de las

variables de estado del Turbine Governor, el AVR y el PSS (las que son accesibles) respectivamente.

23


Podemos ver como la potencia mecánica tiende a igualarse a la consigna de potencia eléctrica

en cada situación.

Figura 4-3. Intensidad en bornes del generador: módulo (superior) y ángulo (infrerior)

Destacamos que para la simulación de los reguladores se han tomado los valores iniciales y de

referencia que se detallan en la tabla 4-2.

Tabla 4-1. Valores iniciales y referencias en la simulación de los controladores

Variable Valor (0-30s) Valor (30-60s)

Pref 0.81 1.01

Vf0 1.68 1.68

Vref0 1.05 1.1

Podemos dar por tanto por finalizada la fase de modelado del generador síncrono con sus

respectivos reguladores, ya que la simulación responde según lo previsto a las imposiciones y consignas

externas que se le han realizado.

Deducimos que las medidas que tomemos de este modelo serán lo suficientemente fiables

como para utilizarlas en el algoritmo del filtro de Kalman con el propósito de realizar una buena

estimación de los parámetros tanto de la máquina síncrona como de los tres controladores.


24

Figura 4-4. Evolución del ángulo δ (superior) y la velocidad ω (inferior)

Figura 4-5. Evolución de Eq (superior) y Ed (inferior)

25


Figura 4-6. Evolución de p (superior) y q (inferior)

Figura 4-7. Evolución de Pm (superior) y Pc (inferior). Turbine Governor


26

Figura 4-8. Evolución de vf (superior) y vc (inferior). AVR

Figura 4-9. Evolución de la salida vs del PSS

27


Nos centraremos por tanto en el siguiente capítulo en describir esta herramienta, primero desde

el punto de vista teórico, situándola dentro de un contexto histórico y mostrando las ecuaciones que

forman su algoritmo, para posteriormente implantarlas en las condiciones propias de este modelo.

Cabe concluir por otra parte, que tal y como se indicó en el capítulo de introducción, este proceso

de simulación se ha realizado atendiendo a unos requisitos académicos, ya que en la práctica, las

medidas procederían de un generador real.


28

29

5 FILTRO DE KALMAN. ASPECTOS

TEÓRICOS

omo sugiere el título de este capítulo, vamos a presentar los aspectos teóricos correspondientes a

la herramienta que utilizaremos para la estimación de los parámetros del generador síncrono y

sus reguladores, el filtro de Kalman (KF). Aquí sentaremos las bases que nos llevarán en el

capítulo siguiente a aplicar dicho filtro a nuestro modelo.

En primer lugar se hará una introducción acerca de los principales usos históricos y actuales del

KF. Posteriormente definiremos las principales variantes de esta herramienta y justificaremos la que

hemos seleccionado en este trabajo.

En el último apartado se desarrollarán el algoritmo y los datos necesarios para implementar el

mencionado tipo de filtro, quedando todo preparado para la aplicación a nuestro modelo concreto que se

realizará en el capítulo 6.

5.1 Introducción y contexto histórico

De acuerdo con la información obtenida de [5], el filtro de Kalman fue desarrollado en 1960 por

Rudolf E. Kalman como método para identificar el estado oculto, es decir, que no podemos acceder a su

medida real, dentro de un sistema que en principio debía ser lineal, aunque veremos posteriormente que

esta idea original se amplió a un mayor rango de situaciones.

Las ventajas que ofrece sobre otros métodos anteriores, como el observador de Luenberger,

radican en que el sistema puede estar sometido a un ruido blanco aditivo, esto es, que la señal se ve

afectada en cada instante de tiempo por valores aleatorios sin relación estadística entre ellos. Este hecho

se acopla perfectamente a nuestro objeto de estudio, ya que las medidas que tomemos en el mundo real

vendrán modificadas por errores arbitrarios por parte de los equipos. Nuestro objetivo con el filtro es ser

capaces de eliminar dichos errores para obtener resultados lo más fiable posibles.

Otra característica distintiva de esta herramienta es que optimiza el proceso recursivo que la

define ya que escoge en cada iteración el valor óptimo de una ganancia K que definiremos

posteriormente, debiendo conocer la covarianza del ruido por el que se ve afectado el sistema.

En sus inicios, el interés por el filtro de Kalman se basó en aplicaciones aeronáuticas, ya que

resultaba de gran utilidad a la hora estimar la trayectoria y el control de naves como es el caso del

programa Apolo. A partir de aquí, se incrementó su uso en el control, guía y navegación de vehículos,

contando con numerosas aplicaciones si nos introducimos en el campo de la robótica.

Sin embargo, en la actualidad se ha diversificado el uso del filtro de Kalman, extendiéndose a

campos como procesamiento de señales e incluso se emplea en estudios de econometría.

Podemos decir, para concluir con esta introducción, que en la teoría de la estimación del siglo XX

el filtro de Kalman y sus diversas modificaciones han sido sin duda de los mayores logros que se han

conseguido.

C

Filtro de Kalman. Aspectos Teóricos

30

5.2 Comparativa entre las variantes del KF

Habiendo ya introducido el concepto del filtro de Kalman, se va a proceder a estudiar las

características principales de los distintos tipos que existen del mismo y a decidir de entre los mismos el

que mejor se adapta a nuestras necesidades en este trabajo.

En primer lugar diremos que el algoritmo principal se basa en dos fases principales.

Una fase de predicción, en la que a partir del estado anterior realizamos una estimación

a priori del actual utilizando la función de estado del sistema, con una covarianza

asociada al error que estamos cometiendo.

Una fase de corrección donde utilizamos las medidas ruidosas que nos ofrece el

sistema para modificar la estimación anterior a una a posteriori mediante la

denominada Ganancia de Kalman.

A continuación vemos en la figura 5-1 [6] un esquema genérico de cómo se desarrollan estos

pasos dentro del algoritmo.

Figura 5-1. Proceso iterativo y fases del filtro de Kalman original

El filtro original, como ya se ha mencionado, estaba pensado para sistemas lineales, es decir

cuya función de estado puede expresarse de la siguiente manera.

(5-1)

Donde x(t) es el vector de estados del sistema; u(t) es el conjunto de entradas; A(t) y B(t) son

las matrices de estado y w(t) es un ruido blanco asociado al estado de valor promedio cero y de

covarianza Q(t) en cada instante.

Además, de dicho sistema somos capaces de extraer una serie de medidas que pueden ser

expresadas como una función de las propias variables de estado también de manera lineal como se

31


muestra a continuación.

(5-2)

Siendo z(t) el vector de mediciones; C(t) una matriz propia del sistema y v(t) un ruido blanco

asociado a las medidas de valor promedio cero y de covarianza R(t) en cada instante de tiempo.

Aunque hasta ahora las ecuaciones han sido mostradas de manera continua, en forma

diferencial, podemos sin perder generalidad expresarlas discretizadas, así, las ecuaciones 5-1 y 5-2

pueden representarse como:

(5-3)

Sin embargo, en la mayoría de casos reales, como es el de este trabajo, es de gran dificultad

expresar las ecuaciones de estado del sistema de forma lineal como se ve en la ecuación 5-1, siendo esta

una de las principales limitaciones del filtro de Kalman original y que ha llevado a buscar alternativas

para sistemas no lineales.

Las dos variantes principales que surgieron y que intentaban solucionar este problema fueron el

Extended Kalman Filter, en adelante EKF y el Unscented Kalman Filter, abreviado UKF. Este último

será el utilizado en el presente trabajo por las razones que se detallan más adelante.

En el EKF [7] no es necesario expresar las ecuaciones de estado matricialmente, sino que

podemos representarlas de la siguiente manera.

(5-4)

Donde Δt es el paso de integración, F se corresponde con la función de estado del sistema a

estudiar y G relaciona las mediciones con el vector de estados, ambas son funciones no necesariamente

lineales.

Hemos expresado directamente las funciones en su versión discreta por ser la más habitual en el

EKF pero también puede usarse en forma continua.

El algoritmo empleado en este caso es bastante similar al del filtro original, con la salvedad de

que el estado se propaga dos veces a través de las ecuaciones que modelan el sistema, una primera vez

por el original y una segunda por una versión linealizada del mismo. Lo que conseguimos así es

aproximar la distribución de probabilidad del estado por una gaussiana, hecho que solo se cumple

cuando las ecuaciones son lineales.

Aunque no veremos su desarrollo completo, cabe destacar que su uso requiere del cálculo de

matrices jacobianas en cada iteración, lo cual, aunque fuera posible, requeriría un elevado coste

computacional.

Por tanto, esta variante que nos proporciona aproximaciones de primer orden del estado obliga

a tener de manera explícita una función de estado de nuestro sistema, ya que debemos linealizarla.

Además, este filtro pierde eficacia cuando el sistema que ocupa nuestro estudio es fuertemente no lineal,

ya que aquí la aproximación estaría menos justificada, pudiendo llegar a divergir el algoritmo.

En la aplicación concreta de este trabajo, las ecuaciones descritas en los capítulos 2 y 3 son de


32

un fuerte carácter no lineal, siendo además difícil encontrar la forma directa de dichas ecuaciones, por lo

que se ha descartado el uso del EKF en beneficio de la siguiente variante del filtro de Kalman, el UKF.

El Unscented Kalman Filter recibe su nombre por hacer uso de la transformación unscented,

descrita en primer lugar por Julier y Uhlmann [8] y modificada luego por Wan y Van der Merwe [9]. La

profundización en los principios de esta transformación trasciende el alcance de este trabajo.

La innovación que presenta el UKF frente a las otras alternativas es el hecho de que es válida

también para sistemas no lineales, por lo que son de aplicación las ecuaciones 5-3, y además no es

necesaria la linealización de las ecuaciones de estado ni hay que calcular las matrices jacobianas.

Su método de estimación del estado se basa en encontrar una serie de puntos, que denotaremos

como sigmas, alrededor del estado anterior de tal manera que su esperanza y covarianza coincidan con

la del propio estado. A continuación, a esta nube de puntos se aplica la función de estado no

necesariamente lineal y los resultados se ponderan para obtener la estimación del estado actual con su

correspondiente covarianza.

Para que la fiabilidad de la nube de puntos sea aceptable sin que su tamaño sea excesivo y

complique los cálculos, los puntos sigma se obtienen a través de cierto algoritmo que describiremos en

el siguiente apartado.

El hecho de poder usar las propias funciones del modelo sin modificación alguna elimina los

problemas de divergencia del EKF ante sistemas fuertemente no lineales como el que nos ocupa en este

trabajo.

A la vista de estos datos, queda de manifiesto que de las tres variantes del filtro de Kalman que

se han presentado, la que mejor se adapta al modelo que hemos hallado del generador síncrono es el

UKF, será este algoritmo el que utilicemos por tanto en la implementación desarrollada en capítulos

posteriores.

5.3 Unscented Kalman Filter

Una vez justificado el uso del UKF en nuestro trabajo de estimación de parámetros, vamos a

profundizar en este apartado en las ecuaciones que forman parte del algoritmo de este método.

Ya que será el que utilicemos posteriormente en este trabajo, nos centraremos en la versión

discreta del algoritmo, es decir, utilizaremos las expresiones 5-4 para definir el estado y las medidas del

sistema.

Nuestro objetivo será estimar principalmente los parámetros del modelo, no solo las variables

de estado por lo que deberemos definir en cada paso un vector ψk formado por todos los parámetros a

estimar. De esta manera obtenemos un vector de estado ampliado que se define como Xk=[xk ψk]T

pudiendo reescribir las ecuaciones de la siguiente manera.

(5-5)

Debemos partir de un estado inicial X0 el cual presenta un error cuya covarianza viene dada por

la matriz P0 de dimensión LxL siendo L el número total de estados ampliados.

Antes de iniciar la fase de predicción, el UKF requiere que calculemos los puntos sigma por los

que se va a propagar la función de estado. El número total de puntos será 2L+1 y están distribuidos tal y

como se muestra a continuación.

(5-6)

33


Siendo el superíndice ‘^’ indicativo de que la variable a la que hace alusión es un valor medio

mientras que la expresión ‘[ ]i’ refleja que nos referimos a la columna i de la matriz entre corchetes.

Pasamos ahora a estudiar el valor del parámetro λ, eje central del UKF ya que se refiere a la

transformación unscented. Podemos definir su valor con otra serie de constantes.

(5-7)

Fórmula en la que α y κ son dos constantes cuyo valor justificaremos en la aplicación del filtro

a nuestro modelo que se hará en el capítulo 6.

Con el cálculo de la nube de puntos sigma completado, tenemos que propagar los mismos a

través de la función de estado, es decir, los introducimos en la primera de las ecuaciones 5-5 para

obtener 2L+1 nuevos vectores.

i=0, …, 2L (5-8)

Donde el superíndice “-” indica que se trata de un valor estimado de la variable

correspondiente.

A continuación tenemos que calcular el valor medio ponderado y la covarianza del error de

estimación de los nuevos 2L+1 puntos propagados. Para ello introducimos los vectores de ponderación

para el estado Wm, y para la covarianza Wc, cuyas expresiones procedemos a desarrollar.

(5-9)

Comprobamos que la suma de las componentes de Wm efectivamente da la unidad. Utilizamos

estos valores para ponderar los vectores de estado obtenidos de la ecuación 5-8.

(5-10)

Las desviaciones de cada punto con respecto al valor medio que acabamos de calcular nos

proporciona la covarianza del error de estimación del estado, ponderándola en este caso con el vector

Wc.


34

(5-11)

Donde recordamos que es la matriz de covarianza del ruido blanco del sistema. Con este

paso y el estado a priori calculado, podemos dar por finalizada la fase de predicción del algoritmo.

Pasamos a continuación a la fase de corrección, en la que a partir de las medidas ruidosas del

sistema calcularemos la ganancia de Kalman que modifique de manera óptima las predicciones del

estado que obtuvimos de la ecuación 5-10.

Necesitamos por tanto recibir un vector zk de mediciones en cada iteración del algoritmo,

además de conocer cómo expresar dichos valores en función de las variables de estado del sistema, lo

cual se consigue a través de la función G ya mencionada.

Partimos de nuevo de los puntos sigma obtenidos de la expresión 5-6 para hallar unas

predicciones a priori de las medidas que denominaremos como .

i=0,…, 2L (5-12)

Nótese que para agilizar el algoritmo, no se han empleado de forma directa los puntos sigma

sino su propagación a través de la función de estado dada por la expresión 5-8. Esto es así debido a que

esta aproximación es más realista que la anterior, aunque existiría convergencia usando los propios

puntos sigma, sería más lenta.

Con esta nube de puntos correspondiente a la estimación de las mediciones, realizamos una

nueva ponderación como ya hiciéramos para el caso de la función de estado.

(5-13)

Cabe destacar que la dimensión de este vector se corresponderá con el número de mediciones

que recibamos del sistema objeto de estudio.

Las diferencias con respecto a esta media nos proporcionan una vez más la matriz de

covarianza del error de estimación de las medidas.

(5-14)

Expresión en la que se corresponde con la matriz de covarianza del ruido blanco de las

mediciones. Existe por último otra matriz de covarianza cruzada que relaciona las desviaciones con

respecto a la media del estado y de las medidas conjuntamente y cuya formulación viene dada de la

siguiente manera.

(5-15)

El último paso de esta fase de corrección consiste en la actualización tanto del estado como de

la matriz de covarianza correspondiente a su error de estimación, pasando así de una aproximación a

priori a una a posteriori.

35


Para tal propósito necesitamos calcular la ganancia de Kalman, que como ya se mencionó en la

introducción no se trata de un valor constante prefijado sino que se actualiza en cada estado para que la

actualización sea óptima y nos acerque a la convergencia de los estados, refiriéndonos por supuesto al

vector ampliado que comprende también los parámetros que deseamos estimar.

En cada iteración, la ganancia K aprovecha los valores de la covarianza del error de estimación

de la medida así como de la cruzada entre mediciones y estado, dada cada una de ellas por su

correspondiente matriz.

(5-16)

Como vemos, necesitamos calcular la inversa de la matriz , siendo uno de los mayores

costes computacionales del algoritmo junto con la factorización Cholesky que se efectuará para el

cálculo de los puntos sigma, ya que la matriz es de gran dimensión si el tamaño del vector de estado L

es muy elevado. Pero recordemos que el uso de otro tipo de filtros extendidos a sistemas no lineales

como el EKF suponía el cálculo de matrices jacobianas cuyo esfuerzo en el cálculo es notablemente

mayor. Discutiremos estos aspectos en la aplicación del UKF a nuestro modelo que detallaremos en el

siguiente capítulo.

Estamos ya en condiciones de actualizar la estimación del vector de estados que hiciéramos en

la ecuación 4-10 a partir de la ganancia que acabamos de obtener.

(5-17)

Donde tenemos que sin superíndices es la medida real procedente del sistema. Como será

objeto de discusión más adelante en este trabajo, a medida que el tamaño del vector z aumenta, la

ganancia de Kalman será más precisa en la corrección y el algoritmo tendrá mayor estabilidad.

En cuanto a la covarianza del error de estimación del estado, puede ser también actualizada

atendiendo a la ecuación.

(5-18)

Con estos dos últimos valores cerramos el ciclo del algoritmo, pudiendo realimentar el mismo

desde la ecuación 5-6 construyendo una nueva serie de puntos sigma.

A modo de conclusión con la descripción teórica y de las ecuaciones del algoritmo UKF, se mencionará

que para implementar las mismas en un lenguaje de programación, que en el caso de este trabajo será

Matlab, existen numerosos toolboxes abiertos que están disponibles para uso público.

En el caso que nos ocupa haremos uso de la implementación desarrollada por Yi Chao en la

universidad de Cranfield en 2008 [10] y modificado por última vez en 2010. Este código se adecúa a la

perfección a las necesidades del trabajo sin aumentar la dificultad en la comprensión de los pasos que

sigue. Además cuenta con una serie de ejemplos para que el alumno pueda familiarizarse con las

funciones que ofrece.

Se verá el código con mayor profundidad en el capítulo 6, donde aplicaremos el mismo a la

estimación de los parámetros de nuestro modelo del generador síncrono.

36

37


6 APLICACIÓN DEL FILTRO DE KALMAN

a hemos visto los orígenes y principales aplicaciones del filtro de Kalman a la tecnología

actual, distinguiendo las principales variantes del mismo en función de las ecuaciones que

gobiernan el sistema en cuestión. Atendiendo a estos razonamientos se ha justificado que el

UKF es el que mejor se adapta a un sistema fuertemente no lineal como es el modelo del

generador síncrono que nos ocupa en este trabajo.

Una vez presentados los pasos del algoritmo recursivo del UKF en sus fases de predicción y

corrección es momento de relacionar cada una de las partes que lo componen con las ecuaciones que se

mostraron en los capítulos 2 y 3 y que modelan el generador síncrono así como sus reguladores, el TG,

el AVR y el PSS.

Ese será el objetivo que pretende conseguir este capítulo, en el primer apartado definiremos el

vector de estados ampliado con los parámetros del modelo que se pretende estimar para cada uno de los

casos de estudio. Se verán a continuación las ecuaciones de estado ya discretizadas que se corresponden

con la función F de la expresión 4-5.

Se llevará a cabo un desglose de los pasos que se han seguido hasta llegar a la solución final

que presenta este trabajo, detallando qué se perseguía en cada momento, qué medidas y entradas han

sido empleadas, así como justificar sus resultados, ya sean positivos o negativos.

El último apartado se dedicará a señalar para la solución final adoptada los valores de las

matrices de covarianza de ruido así como los puntos iniciales x0 y P0 de los que partirá el algoritmo.

Se dejan para el siguiente capítulo las gráficas que resultan del UKF y los comentarios

correspondientes a las mismas.

6.1 Vector de estados

En los capítulos 2 y 3 se mostraron todas las ecuaciones que definían el modelo de dos ejes

escogido para el generador síncrono junto con sus tres reguladores. Aquí pudimos ver que existen en el

sistema de ecuaciones un total de 10 variables de estado: 4 para la máquina síncrona y 2 para cada uno

de los reguladores. Conociendo esto ya estamos en disposición de definir el vector de variables de

estado cuya dimensión será de 10 elementos y que denominaremos como x = [δ, ω, E’q , E’d, Pm, Pc, vf,

vr, v1, vs].

A este vector hay que añadirle los parámetros del sistema, que son un total de 16 y que

componen el vector ψ = [xd, xd’, xq, xq’, H, D, Td0, Tq0, Ki, R, Tr, K0, Tavr, Te, Kw, Tw]. Veremos

posteriormente que algunos de estos parámetros serán modificados para aumentar su observabilidad

dentro del algoritmo.

Recordamos para concluir este apartado que el vector de estados ampliado se compone de la

unión de los dos vectores anteriores, X = [x, ψ], es decir, el tamaño total de este vector, denominado

Y

Aplicación del Filtro de Kalman

38

como L, tendrá un valor de 26.

6.2 Ecuaciones de estado

En este apartado se van a escribir las ecuaciones que definen la función de estado del algoritmo

del UKF. Se trata de ampliar el sistema de ecuaciones diferenciales y algebraicas que ya viéramos en el

modelo del generador y los reguladores con unas ecuaciones triviales propias de los parámetros.

Nos queda el sistema representado por la expresión 6-1.

(6-1)

39


A estas expresiones 6-1 hay que incluir dentro del modelado de Kalman el ruido que presenta el

propio sistema.

En lo que se refiere a las ecuaciones algebraicas que completan el sistema, las veremos en el

siguiente apartado junto con las medidas que se tomarán del modelo en Simulink.

6.3 Entradas y mediciones

La información que recibimos del modelo en Matlab Simulink nos servirá bien para cerrar el

sistema de ecuaciones diferenciales o para corregir la estimación a priori de los estados en el UKF, a

través de la ganancia de Kalman. Desarrollaremos a continuación esta diferenciación con mayor

profundidad.

Tomando como referencia el trabajo de [12] recibiremos de la simulación del generador síncrono

un conjunto de señales que distribuiremos a elección propia en entradas y medidas del algoritmo. Estas

variables deben cumplir en todo momento que el sistema de ecuaciones sea independiente a magnitudes

externas al generador, es decir, la imposición de tensión y potencia hecha por la red debe solo plasmarse

en los valores de referencia que poseen los reguladores de tensión y frecuencia.

Simulando los errores de precisión de los equipos de medida reales, estas señales contarán con un

ruido Gaussiano de media 0 y varianza r=10-3.

Además, es importante señalar que la información que obtengamos no pueden proceder de

valores internos como la FEM o las propias salidas de los reguladores ya que son medidas que

difícilmente pueden tomarse en la realidad y es precisamente el objetivo principal de este trabajo

demostrar que es posible la estimación de los parámetros del sistema con medidas fácilmente

accesibles.

Así, se ha decidido en este trabajo recoger de la simulación los valores de tensión e intensidad en

terminales (definidas por su módulo y ángulo) así como la frecuencia del sistema representada por la

velocidad angular ω.

Ahora necesitamos distinguir qué magnitudes de las presentadas formarán parte del vector u(t) de

entradas y cuáles al vector z(t) de medidas. Probando con distintas combinaciones se ha optado por

tomar la que se expone en la tabla 6-1.

Tabla 6-1. Entradas y medidas del sistema

Entradas, u Medidas, z

V ω

θv I

Pe

Donde Pe es la potencia eléctrica calculada a partir de los fasores de tensión e intensidad de la

siguiente manera.


40

(6-2)

Como ya se ha mencionado, con el vector u(t) o uk en la versión discreta, podemos cerrar el

sistema de ecuaciones correspondiente a la función de estado, tanto añadiendo el valor de V que se

emplea en las ecuaciones del AVR como con las siguientes expresiones para calcular las intensidades

en ejes dq y la propia potencia eléctrica entregada por el generador.

(6-3)

Una vez cerrado el sistema, la fase de predicción del algoritmo ya está solventada. Para la fase

de corrección necesitamos expresar las señales que hemos usado como medidas a partir de las variables

de estado y el vector u de entradas.

Con las ecuaciones 6-3 hemos obtenido la estimación de la propia potencia eléctrica Pe y las

intensidades en ejes dq, con ellas calculamos el módulo de la intensidad en terminales.

(6-4)

Por último, el valor de la velocidad angular es precisamente la segunda componente del vector

de estados ampliado del sistema, por lo que ya tenemos un cálculo a priori de las medidas del tomadas

de la simulación, correspondiente con la función G que viéramos en los aspectos teóricos del UKF en el

capítulo 5.

6.4 Ajustes generales del algoritmo

En este punto daremos indicaciones acerca de los elementos que podemos ajustar del algoritmo

en Matlab del UKF y que serán comunes a todos los casos de estudio. Son un total de tres los valores

que podemos ajustar y que están relacionados con el cálculo de la nube de puntos sigma, su influencia

ya quedó plasmada en la ecuación 5-7 para hallar λ y posteriormente los pesos de ponderación de cada

punto sigma

El parámetro β es un factor de escala que señala el conocimiento previo que tenemos de la

distribución probabilística del vector de estados x. En nuestro caso, esta distribución está supuesta como

Gaussiana y para ella el valor óptimo es β=2.

En cuanto a α, en [11] se realiza un estudio detallado de los efectos de este factor en el ajuste

del UKF, para las necesidades específicas de este trabajo se ha optado por tomar α=10-4.

Por último hablaremos de κ, que nos sirve para indicar la distancia con respecto al valor medio

a la que queremos situar los puntos sigma, siendo esta distancia mayor cuanto más alto es κ. Este valor

41


también influye en el peso que tienen los valores lejanos a la hora de calcular el valor medio. En [12-14]

se demuestra que el valor óptimo debe cumplir κ+L=3 siendo L, como ya se ha mencionado, el tamaño

del vector de estados ampliado, por lo que en este estudio κ se ha ajustado como -23.

Con estos tres factores definidos somos capaces de calcular con la expresión 5-9 las

componentes del vector Wm para calcular el valor medio y Wc para la covarianza. Estos valores quedan

recogidos en la tabla 6-3 teniendo presente que el tamaño del vector de estados ampliados es L=26.

Tabla 6-2. Valores de los vectores de ponderación Wm y Wc

Componente i=0 Componente i 0

Wm -2*108

3.85*106

Wc -2*108

3.85*106

Desde el punto de vista de los ajustes, nos queda ver la covarianza de los ruidos del sistema y las

medidas (Q y R), el valor inicial del vector de estados X0 y la covarianza del error de estimación de

dicho estado P0. Todo esto quedará detallado en apartados posteriores.

6.5 Estimación de las variables de estado

Como ya se ha mencionado, existe un total de 10 variables de estado que engloban al generador

síncrono y a cada uno de sus reguladores. La estimación de este vector es común a todos los casos de

estudio, ya que el principal foco de cambios ha residido en optimizar la estimación de los parámetros

del sistema.

En la tabla 6-3 se recogen los valores iniciales que se les ha dado a dichas variables, así como la

covarianza del error de estimación inicial P0 y la covarianza del ruido del sistema Q. Podemos apreciar

que estos datos tienen una magnitud muy pequeña (aunque en el caso de P0 varía por motivos que

veremos a continuación), esto es así debido a que como los valores del vector x0 se han obtenido a partir

de un proceso de inicialización que emplea unas consignas conocidas, la fiabilidad de esta información

es alta y podemos suponer una covarianza pequeña.

Otro aspecto a destacar es la covarianza del ruido en las medidas que se obtienen del sistema.

En este trabajo recordamos que de la simulación se recogen 5 señales, las cuales han sido consideradas

como entradas o mediciones de acuerdo a lo expuesto en la tabla 6-1. Como ya se ha comentado,

modelando los errores de los equipos de medida, se ha visto oportuno considerar una matriz de

covarianza R pequeña, en concreto se trata de una matriz identidad de orden 3 (número de mediciones)

multiplicada por el factor r=10-3. En cuanto al vector u(t), al tener la misma procedencia que z(t),

también presentará dicho ruido.

Con estos valores no se está eludiendo la aleatoriedad de las señales, ya que como se

desarrollara en el capítulo 2, el valor del fasor de tensión que impone la red de potencia infinita se

encuentra afectado por un Random Walk (RW) que afecta a las magnitudes del generador síncrono a

través de las ecuaciones de cierre del sistema y por consiguiente también al algoritmo del filtro de

Kalman.

Como ya hemos dicho, los errores de estimación tienen una covarianza variable, que parte de

P0. Se puede ver que para una de las variables del PSS ha sido necesario iniciar esta covarianza en una

magnitud de 1. La razón reside en que necesitábamos reducir la confianza en la estimación del estado

inicial para dotar de incertidumbre a los parámetros del PSS y aumentar su observabilidad.


42

Por su parte, las referencias para los reguladores se han tomado idénticas a las que se mostraran

en el capítulo correspondiente al modelado en Simulink del sistema.

Tabla 6-3. Valores iniciales y covarianzas P y Q para las variables de estado

Variable X0 P0 Q

δ 0.427 10-4

10-4

ω 1 10-4 10

-4

E’q 1.2 10-4 10

-4

E’d 0 10-4 10

-4

Pm 0 10-4 10

-4

Pc 0 10-4 10

-4

vf 0 10-4 10

-4

vc 0 10-4 10

-4

v1 0 1 10-4

vs 0 10-4 10

-4

6.6 Estimación de los parámetros

Por último pasamos a explicar cómo se ha llevado a cabo la estimación de los parámetros del

generador síncrono, el Turbine Governor, el AVR y el PSS, que se corresponde con el objetivo

principal del presente trabajo.

Los pasos que se han seguido hasta llegar al resultado final que se propone y que se expondrá

con las gráficas correspondientes en el siguiente capítulo ha supuesto realizar numerosas pruebas del

algoritmo añadiendo o eliminando variantes de las que se quería comprobar su eficacia. Sin embargo,

podemos agrupar dichos ensayos en tres grandes bloques que se muestran a continuación.

6.6.1 Parámetros inalterados

Se trata de la primera prueba con la que se pretendía evaluar la eficacia del algoritmo. En ella se

plasmaba la función de estado tal y como se presenta en la expresión 6-1 junto con las ecuaciones de

cierre que vemos en 6-3. Se supusieron 50 segundos de simulación sin cambio alguno en el punto de

operación, es decir, las consignas se mantuvieron constantes, tanto en Simulink como en el UKF.

En lo referente a la parte de las matrices Q y P0 referentes a los parámetros que debía ser ajustada,

se utilizó en primer lugar una matriz identidad de orden 16 (el número de parámetros). En cuanto al

vector de valores iniciales se tomó el valor real de los elementos en la simulación multiplicados por un

factor de 1.3 para ver si el algoritmo era capaz de atraerlos hacia su valor exacto.

Los resultados que se obtuvieron al ejecutar el archivo no fueron satisfactorios: aunque los

43


estados se estimaban de manera correcta con mayor o menor rapidez, el objetivo principal era calcular

los parámetros del sistema, los cuales evolucionaron muy poco o nada en algunos casos del punto

inicial del que partieron.

A la vista de la baja actividad que habían experimentado las constantes del sistema, se decidió

aumentar los valores de la covarianza, primero P0 y Q por separado y posteriormente ambas a la vez. Lo

que se pretendía con esto era por una parte alejar los puntos sigma del valor asignado inicialmente a los

parámetros y por otro incrementar la incertidumbre en la estimación para que el sistema reaccione.

En este caso, las pruebas mostraron ya cierta evolución por parte de las constantes, aunque muy

pocas se estabilizaban en el valor correcto y otras muchas continuaban inmóviles.

Un último aumento en las covarianzas hasta un valor de 1000 resultó en que las señales se hacían

inestables por estar la nube de puntos demasiado alejada, y aún así no se consiguió que algunos

parámetros cambiaran su valor.

Aunque pudiera parecer que todo fue negativo en esta primera prueba, se sacaron conclusiones

que servirían posteriormente para llegar a la solución final. En primer lugar se comprobó que si los

valores de P0 y Q eran demasiado altos, algunas señales podían volverse potencialmente inestables y,

más importante aún, era imprescindible encontrar una manera de hacer que algunos parámetros se

volvieran más sensibles ante la propia dinámica del sistema y evolucionaran en consecuencia.

6.6.2 Variación de parámetros

La búsqueda de una forma de sensibilizar a los parámetros llevó a una profunda indagación en

numerosas publicaciones y artículos dedicados a la estimación mediante filtros de Kalman, ya fuera el

propio UKF u otras variantes.

Tras un número considerable de pruebas infructuosas, se tomó como base el trabajo de [15] el

cual presentaba el concepto de la variación de parámetros cuyo objetivo era precisamente el deseado

para este trabajo.

Este método se basa fundamentalmente en modificar las constantes del sistema, ya sea

escalándolas, invirtiéndolas o combinándolas de forma que sean más fáciles de atraer hacia su valor

exacto.

De la primera prueba se hizo una lista con los parámetros que no se afectaban por la evolución del

vector de estados. Con estos se llevó a cabo un proceso de ensayos en el que se valoró la influencia que

tenía en las constantes diversos cambios. La variación de parámetros cumplió con lo que se esperaba, ya

que en mayor o menor medida se conseguía una dinámica, ahora solo restaba comprobar la que se

adecuaba de manera óptima a cada una de las variables a estudiar.

Finalmente fue necesario modificar 11 de los 16 parámetros. Se comprobó que las constantes que

no necesitaban cambios se correspondían con las que influían de forma más directa en la dinámica de la

frecuencia ω del sistema. Este hecho es lógico si se tiene en cuenta que la evolución de estas

componentes del vector de estado se encuentran directamente corregidas a través de la medición de la

propia velocidad angular, de ahí que ya sean lo suficientemente sensibles.

En la tabla 6-4 se muestra el nuevo vector ψ de parámetros, así como su correspondencia con

las constantes iniciales y el valor que adquieren y que se pretenderá estimar mediante el algoritmo del

UKF.


44

Tabla 6-4. Nuevos valores de los parámetros tras su variación

Nuevo parámetro Definición Valor

D D 2

H H 6.5

Td0 Td0 5

Fq0 1/Tq0 2

dxd 10(xd- x’d) 7

dxq 30(xq- x’q) 3

Fr 1/(2Tr) 5

G 1/(2R) 5

Ji 100/Ki 2

J0 10/K0 4

Fe 1/Te 5.26

Favr 3/Tavr 3

Jw Kw/5 6

Fw 10/Tw 1

x’d x’d 0.3

x’q x’q 0.55

Con estos cambios, las ecuaciones correspondientes a la función de estado que ha sido

implementada en el filtro de Kalman se pueden reescribir de la siguiente manera.

(6-5)

45


Las expresiones 6-3 y 6-4 correspondientes a las ecuaciones algebraicas de cierre se mantienen

sin alteración alguna.

Ya se ha comentado que no es igual la robustez en la corrección con la que cuentan todas las

constantes por parte del vector z(t) a través de la ganancia de Kalman. Esto nos lleva a pensar que la

incertidumbre en su estimación no debe ser la misma, por este motivo se ha considerado necesario

individualizar los valores de la covarianza del error de estimación inicial P0 y la del ruido del sistema Q

para cada una de las constantes en función de su influencia en las señales derivadas de las mediciones.

Por otro lado, el método que se presenta en este apartado de variación de parámetros hace que

el algoritmo sea mucho más robusto, por lo que se ha logrado realizar una estimación bastante fiable

partiendo de unos valores iniciales lejanos en la mayoría de los casos, siempre que ha sido posible se ha

optado por tomar un como punto inicial x0=1, independientemente de lo lejos que dicho número

estuviera del valor exacto.

Todos estos valores de covarianza y puntos iniciales quedan recogidos en la tabla 6-5. En ella

podemos ver diferencias entre los parámetros del PSS con respecto a los otros, en concreto su ganancia


46

Kw parte de un valor inicial distinto de 1 ya que es la que tiene una diferente zona de atracción. Esto

puede explicarse, al igual que hiciéramos con las propias variables de estado, a través de que la

influencia del PSS no es demasiado grande en las medidas de tensión, potencia activa y frecuencia que

se han tomado en los terminales del generador síncrono, por lo que su sensibilidad ante la dinámica

general del vector X de estados ampliados es considerablemente menor.

Tabla 6-5. Valores iniciales y covarianzas P0 y Q de los parámetros

Parámetro X0 P0 Q

D 1 370

10-4

H 1 18 10-4

Td0 1 13 10-4

Fq0 1 5 10-4

dxd 1 10-4

0.06

dxq 1 52 10-4

Fr 1 55 10-4

G 1 3900 10-3

Ji 1 10-4

0.21

J0 1 24 10-2

Fe 1 72 10-4

Favr 1 29 10-4

Jw 10 154 10-4

Fw 1 3.7 10-4

x’d 0.3 10-9

10-9

x’q 0.55 10-9

10-9

Otro aspecto que destaca viendo la tabla es el hecho de que las reactancias del generador han

sido iniciadas en el propio valor que se les ha dado en la simulación. El motivo no es otro que, cuando

se intentó alejar dicho punto de partida del que tienen actualmente no solo estas señales no

evolucionaban al valor correcto, sino que volvían a otras inestables.

Tampoco se logró obtener una variación óptima de estos parámetros que solventara esta

situación. Por tanto se decidió mantener la estimación del resto de constantes y situar las reactancias con

el valor de simulación y una covarianza muy pequeña. En la realidad esto sería equivalente a dotar de

una alta fiabilidad a la magnitud que el fabricante del generador le ha dado a las reactancias del mismo.

47


6.6.3 Cambio del punto de operación

Bajo este título se engloba la última serie de pruebas que se efectuaron para tratar de solucionar

las carencias que presentaba el método anterior, es decir, intentar realizar una estimación de las

reactancias del generador.

Se pensó que aumentar la dinámica del sistema podría hacer que la evolución del algoritmo

convergiera al punto deseado realizando la estimación de todos los parámetros anteriores además de las

reactancias x’d y x’q. Por tanto se optó por aplicar a la simulación un escalón en las consignas de tensión

y potencia activa en el segundo 50 de simulación.

Para que las constantes no salieran de su zona de atracción en el instante del escalón, se

redujeron los valores de P0 y Q, así, con la dinámica inicial las señales se acercarían a su valor y lo

alcanzarían con el propio escalón.

La ejecución de este método no obtuvo el resultado esperado, no solo no se estimaban

correctamente las reactancias, sino que además los parámetros del PSS no convergían de manera

adecuada. A la vista de esta situación, se decidió dejar el algoritmo sin dinámica intermedia y realizar

una estimación buena de las constantes del PSS acosta de suponer como conocidas las reactancias

transitorias de la máquina.

Así damos por finalizada la aplicación del UKF para la estimación de los parámetros de un

generador síncrono de dos ejes y sus correspondientes reguladores de frecuencia y tensión. En los

siguientes capítulos se expondrán las gráficas que justifican los resultados obtenidos, así como las

conclusiones procedentes de los mismos.

48

49


7 RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN

na vez presentado en el capítulo anterior como vamos a aplicar el algoritmo del UKF a nuestro

modelo del generador síncrono, pasamos a plasmar gráficamente los resultados que se han

obtenido de esta estimación de parámetros. Para una mayor simpleza y focalización, solo se

mostrarán las gráficas correspondientes al método de variación de parámetros sin cambio en el

punto de operación.

7.1 Generador síncrono

En este apartado nos centraremos en la propia máquina síncrona, dejando sus reguladores para

posterior estudio.

7.1.1 Variables de estado

Aunque el objetivo de este trabajo se centra en la estimación de los parámetros de la máquina

síncrona y sus reguladores, veremos en primer lugar y a modo de ejemplo en la figura 7-1 la

representación de la frecuencia ω y el ángulo δ. Para mayor amplitud de detalle se presenta el detalle de

los primeros 30 segundos de simulación.

Comprobamos que la aproximación tiene un alto nivel de fiabilidad si la comparamos con los

valores exactos que ya viéramos en la figura 4-4, aunque en esta gráfica sí existía cambio en las

consignas del generador. Podemos decir por tanto que el algoritmo ha convergido al punto de operación

deseado.

7.1.2 Parámetros del generador síncrono

Nos encontramos en condiciones de analizar las estimaciones efectuadas de los parámetros.

Comenzaremos en las figuras 7-2 a 7-8 con las constantes propias del generador síncrono. En cada

gráfica se muestran los 100 segundos de simulación y los valores exacto y estimado del parámetro que

corresponda.

Podemos comprobar que todas las constantes tienden a estabilizarse en su valor exacto, con un

error que veremos a continuación. El tiempo que tarda cada una en llegar a dicho punto de estimación

es variable, como podemos ver en el caso de dxd, esto es así porque la observabilidad de cada

parámetro es diferente.

U

Resultados de la Estimación

50

Figura 7-1. Estimación de δ (superior) y ω (inferior)

Figura 7-2. Estimación del parámetro D del generador síncrono

51


Figura 7-3. Estimación del parámetro H del generador síncrono

Figura 7-4. Estimación del parámetro dxd del generador síncrono


52

Figura 7-5. Estimación del parámetro Td0 del generador síncrono

Figura 7-6. Estimación del parámetro Fq0 del generador síncrono

53


Figura 7-7. Estimación del parámetro dxq del generador síncrono

Figura 7-8. Estimación de los parámetros x’d (superior) y x’q (inferior)


54

Recordamos que estos valores no son los correspondientes a los parámetros del generador

propiamente dichos, sino que han sufrido un proceso de variación que a continuación vamos a invertir.

En la tabla 7-1 se muestran los valores que obtenemos para los parámetros reales, así como el

porcentaje de error en la estimación.

Se han omitido en la tabla las reactancias subtransitorias por la trivialidad de su estimación.

Tabla 7-1. Valores estimados y porcentajes de error en los parámetros del generador

Parámetro Valor estimado Valor real Error relativo

D 1.9945 2 0.275%

H 6.4786 6.5 0.329%

Td0 4.9798 5 0.404%

Tq0 0.4910 0.5 1.800%

xd-xd’ 0.6902 0.7 1.400%

xq-xq’ 0.0996 0.1 0.400%

Como puede apreciarse, los resultados son bastante satisfactorios, no llegando en ningún caso a

alcanzar el 2% de error.

7.2 Turbine Governor

En este apartado se va a repetir el proceso utilizado con las constantes del generador síncrono

pero aplicado al primero de sus reguladores, el Turbine Governor, que como recordemos ejerce el

control potencia frecuencia primario y secundario.


Vamos a centrarnos en el aspecto más representativo de este regulador, es decir, a su variable

de salida que lo relaciona con el propio generador y que se corresponde con la potencia mecánica

ejercida por la turbina.

El resultado de la estimación lo podemos ver en la figura 7-9. Recordamos que para el

algoritmo se ha empleado un punto de operación en el que la demanda de potencia activa tiene una

magnitud de 0.8 pu con una referencia de 0.81 en el TG debido a las pérdidas existentes en la resistencia

de la línea de transporte.

Lo anterior nos sirve para dar por válida la estimación realizada por el UKF de la variable de

estado Pm. Podemos pasar por tanto a ver los resultados obtenidos para los parámetros de este regulador.

55


Figura 7-9. Estimación de Pm

7.2.2 Parámetros del Turbine Governor

La representación de las estimaciones correspondientes a los tres parámetros que forman parte de

la dinámica del TG se muestra en las figuras 7-10 a 7-12. En este caso, todos los datos tienen un bajo

tiempo de estabilización.

Como hiciéramos con las constantes de la máquina, calculamos los valores reales de los

parámetros así como su error relativo, estando toda esta información presente en la tabla 7-2.

Tabla 7-2. Valores estimados y porcentajes de error en los parámetros del TG


Ki 50.375 50 0.750%

R 0.0991 0.1 0.900%

Tr 0.1008 0.1 0.800%

De nuevo comprobamos que los errores en la estimación son de muy pequeña magnitud,

resaltando así la eficacia del UKF.


56

Figura 7-10. Estimación del parámetro Ji del Turbine Governor

Figura 7-11. Estimación del parámetro G del Turbine Governor

57


Figura 7-12. Estimación del parámetro Fr del Turbine Governor

7.3 Automatic Voltage Regulator

Continuando con los reguladores del generador síncrono, pasamos ahora al control de

tensiones. Recordamos que la consigna de tensiones para una barra de potencia infinita que imponía la

referencia de 1 pu era de 1.05 pu con una tensión de campo o excitación de 1.68 pu.


Se muestra en la figura 7-13 la salida del AVR, que se corresponde precisamente con la

excitación vf que se relaciona como hemos visto con la dinámica de la FEM de la máquina síncrona.

En este caso el detalle de la gráfica está marcado por 75 segundos de simulación, ya que esta

variable tiene un mayor tiempo de estabilización. En cuanto al valor alcanzado, vemos que aunque

próximo, tiene un error mayor que los anteriores, esto es así porque como se mencionara en el capítulo

anterior, el nivel de confianza en la estimación, marcado por la componente correspondiente de la

matriz de covarianza P0, era menor, de ahí que posea una banda de confianza más amplia.


58

Figura 7-13. Estimación de vf

7.3.2 Parámetros del AVR

Este regulador también cuenta con tres parámetros característicos de su dinámica, cuya

estimación podemos ver en las figuras 7-14 a 7-16 y cuyos errores con respecto a su valor real en la

simulación se encuentran en la tabla 7-3.

Tabla 7-3. Valores estimados y porcentajes de error en los parámetros del AVR


K0 2.6215 2.5 4.863%

Te 0.1907 0.19 0.368%

Tavr 0.9987 1 0.130%

En este caso nos encontramos ante el error más alto con una amplia diferencia en los 14

parámetros totales que han sido estimados, y como vemos está en torno al 5%, de ahí que podamos

decir que el UKF presenta una gran fiabilidad en la estimación de parámetros, para nuestro trabajo, los

de la máquina síncrona y sus reguladores.

59


Figura 7-14. Estimación del parámetro J0 del AVR

Figura 7-15. Estimación del parámetro Fe del AVR


60

Figura 7-16. Estimación del parámetro Favr del AVR

7.4 Power System Stabilizer

Concluimos el proceso de estimación con este regulador que participa en el control de

tensiones, jugando el papel de amortiguar las oscilaciones en el sistema y modificar la señal de salida

del AVR.


Al igual que en apartados anteriores, vamos a mostrar la variable del PSS que lo relaciona con el

resto de la simulación, esto es, vs. En la figura 7-17 se observa que la señal se anula en el régimen

permanente, al igual que sucede con el valor real de la variable. Esto es así porque las oscilaciones se

eliminan y el PSS deja de tener peso en el sistema. Sin embargo, si lo comparamos con la figura 4-9

vemos que el transitorio es muy diferente, lo cual nos remonta al hecho de que para este regulador la

covarianza P0 era la mayor de todo el algoritmo.

7.4.2 Parámetros del PSS

Por último, tenemos la estimación de la ganancia y la constante de tiempo propias del PSS, en

las figuras 7-18 y 7-19 junto con sus errores correspondientes en la tabla 7-4.

Vemos que una de las aportaciones de este trabajo, la inclusión del PSS en el proceso de

estimación de parámetros, ha sido ejecutada con éxito ya que los errores no alcanzan el 1%. Esta y otras

conclusiones obtenidas a partir de los resultados que acabamos de señalar serán desarrolladas en el

siguiente capítulo.

61


Figura 7-17. Estimación de vs

Figura 7-18. Estimación del parámetro Jw del PSS


62

Figura 7-19. Estimación del parámetro Fw del PSS

Tabla 7-4 Valores estimados y porcentajes de error en los parámetros del PSS


Kw 30.033 30 0.110%

Tw 9.974 10 0.259%

63

8 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE

TRABAJO

aciendo una breve recapitulación del contenido de este trabajo, en primer lugar se han

presentado una serie de modelos que describen con mayor o menor fidelidad el

comportamiento dinámico de un generador síncrono con unos reguladores que llevan a cabo

un control de tensión y frecuencia.

Posteriormente se ha justificado el modelo que mejor se adapta a nuestras necesidades y se ha

efectuado su implementación en Matlab Simulink introduciendo a la máquina en un sistema eléctrico de

potencia sencillo consistente en una línea de transporte y una barra de potencia infinita que impone una

tensión compleja.

A continuación se ha desarrollado desde un punto de vista teórico la herramienta empleada para

realizar la estimación de los parámetros propios del modelo, el filtro de Kalman. Se han razonado los

motivos por los que de entre todas sus variantes el Unscented Kalman Filter es el que mejor responde a

las características de nuestro sistema.

Finalmente se ha implementado dicho recurso de filtrado a las ecuaciones del generador

síncrono de dos ejes con una serie de valores propios para el estado inicial y las covarianzas R, Q y P0.

Con dichos valores se ha ejecutado el algoritmo y se han obtenido unas estimaciones para los estados y

las constantes del modelo, de las que hemos calculado sus errores relativos a partir de los valores reales

que se introdujeron en Simulink.

En este capítulo se analizarán las implicaciones que derivan de estos resultados y las ventajas

que aporta este método de estimación frente a otros trabajos anteriores. Por último se indicarán los

aspectos en los que es posible establecer un punto de mejora y los métodos que podrían conducir a ello.

8.1 Interpretación de los resultados

A partir de los datos recogidos en el capítulo anterior, se comprueba que es posible realizar una

estimación con un alto nivel de fiabilidad de los parámetros que describen la dinámica de un generador

síncrono modelado con dos ejes dq, así como de sus reguladores principales, a través de una serie de

mediciones procedentes de los terminales de la propia máquina, la cual se nos presenta como una caja

negra de la cual recibimos unos valores ruidosos de frecuencia, tensión e intensidad fasoriales y de la

que nosotros podemos filtrar la magnitud de las constantes que la definen y distinguen de cualquier otra

máquina.

H

Conclusiones y Futuras Líneas de Trabajo

64

Los errores relativos solo superan el 1% en uno de los 16 parámetros que se han estimado, y

este valor tan solo es del 4%. A la luz de este hecho podemos asegurar la eficacia que tiene el UKF en

sistemas cuyas ecuaciones presentan un fuerte carácter de no linealidad como las que nos ocupan en

nuestro trabajo.

8.2 Mejoras frente a trabajos previos

En otros estudios realizados acerca de la estimación de parámetros de un generador síncrono,

como pueden ser los trabajos de [11],[15] y [16], se han empleado una serie de métodos que no han

logrado abordar y solucionar el problema con la profundidad con la que se ha llevado a cabo en este

proyecto. Podemos enmarcar dichos aspectos en tres puntos fundamentales y que desarrollaremos a

continuación.

En primer lugar, gran parte de los trabajos mencionados usaban como método de filtrado el

Extended Kalman Filter (EKF). Sin embargo, como se ha desarrollado en capítulos

anteriores, esta variante se adapta peor que el UKF a las ecuaciones que rigen la dinámica

del generador síncrono y sus reguladores, debido a que estas presentan un fuerte carácter

no lineal y las suposiciones que se hacen con el EKF dejan de tener validez.

En ninguno de los casos citados se había efectuado una estimación que alcanzara una

profundidad tal que se pudieran obtener parámetros procedentes del PSS, como se ha

realizado en este trabajo. En este aspecto, se resalta una vez más la eficacia y robustez del

UKF y del método de variación de parámetros utilizado para mejorar la observabilidad de

las constantes dentro del algoritmo.

Por último tenemos el campo en el que se ha producido uno de los mayores saltos con

respecto a investigaciones previas y es el hecho de que en estas, para corregir las

estimaciones realizadas a priori, se usaban mediciones internas de la máquina y sus

reguladores, como puede ser la tensión de excitación vf, o la propia fuerza electromotriz (E)

del generador.

Estas señales son bastante poco accesibles en la realidad. Sin embargo, en este proyecto se

han tenido siempre en cuenta magnitudes que se obtuvieran desde los terminales de la

máquina, como son la tensión, la intensidad y la frecuencia. Con esto podemos decir que el

método que el algoritmo que hemos utilizado es más fácil de llevar a la práctica.

Con esta perspectiva, podemos concluir que el presente trabajo ha supuesto una mejora en su

campo de estudio.

8.3 Posibles ampliaciones futuras

Aunque los resultados de este proyecto han sido muy favorables, obteniendo un alto grado de

precisión en la estimación de 14 parámetros, esto no implica que no existan una serie de puntos en los

que es posible efectuar mejoras y que pueden ser abordados en trabajos de investigación posteriores.

Primero, hemos tenido que suponer como conocidas las reactancias subtransitorias de ambos

ejes dq de la máquina síncrona, en el futuro se podría intentar prescindir de esta suposición y estimarlas

en conjunto con el resto de constantes.

También cabe mencionar que el modelo de dos ejes seleccionado para representar la dinámica

del generador, aunque es bastante preciso y por este motivo se emplea en numerosos estudios

actualmente, no es el más complejo como ya se ha visto en el capítulo 2. Podemos por consiguiente

tratar de utilizar otro modelo para el algoritmo de estimación que posea un mayor número de

parámetros pero que reproduzca con una mayor fidelidad el comportamiento interno de la máquina y

sus reguladores.

65


Finalmente, otra manera de aumentar nuestro modelo sería introducir nuevos reguladores al

sistema, como pueden ser los controles de sobreexcitación y subexcitación.

En cuanto a la manera en la que se podrían acometer estos posibles estudios futuros, existe una

nueva variante del filtro de Kalman, el Cubature Kalman Filter (CKF), que podría ser lo

suficientemente robusto como para solventar eficazmente los problemas arriba presentados, aunque su

desarrollo todavía está en proceso y se desconoce su alcance al ser aplicado a las ecuaciones de un

generador síncrono.

66

REFERENCIAS

[1] Milano, F. “Power System modelling and scripting”, pp. 325-347, 2010. ISBN 978-3-642-13668-9

[2] Milano, F. “Power System modelling and scripting”, p. 356, Fig. 16.1 Synoptic scheme of

. Synchronous machine regulators, 2010. ISBN 978-3-642-13668-9

[3] Milano, F. “Power System modelling and scripting”, p. 366, 2010. ISBN 978-3-642-13668-9

[4] Milano, F. “Power System modelling and scripting”, p.371, 2010. ISBN 978-3-642-13668-9

[5] “Filtro de Kalman”, editado por última vez el 28 de Diciembre de 2016, consultado en Febrero de

. 2017 en : https://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_de_Kalman

[6] Figura 1. “Proceso de iteración del filtro de Kalman” consultado en Febrero de 2017 en:

. http://www.monografias.com/trabajos87/recordando-filtro-kalman/recordando-filtro-kalman.shtml

[7] Pascual, A. “EKF y UKF: dos extensiones del filtro de Kalman para sistemas no lineales aplicadas

. al control de un p´endulo invertido”, Monografía para el curso Tratamiento Estadístico de Señales,

. 2004.

[8] Julier S. J. & Uhlmann J. K. “A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems”. Int. Symp

. Aerospace/Defense Sensing, Smul. and Controls, Orlando, FL, 1997.

[9] Wan E. A. & van der Merwe R. Kalman Filtering and Neural Networks, chapter 7: “The Unscented

. Kalman Filter”. Wiley, 2001.

[10] “Learning the Unscented Kalman Filter”, consultado en Noviembre de 2016 en:

. https://es.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/18217-learning-the-unscented-kalman-filter

[11] Rouhani, A. & Abur, A. “Observability Analysis for Dynamic State Estimation of Synchronous

. Machines”, 2016. IEEE publications

[12] S. Julier, “The scaled unscented transformation”, in: American Control Conference, 2002.

. Proceedings of the 2002, Vol. 6, 2002, pp. 4555-4559 vol.6.

[13] S. Julier, J. Uhlmann, H. Durrant-Whyte, “A new approach for filtering nonlinear systems”, in:

. American Control Conference, Proceedings of the 1995, Vol. 3, 1995, pp. 1628{1632 vol.3.

[14] S. Julier, J. Uhlmann, H. Durrant-Whyte, “A new method for the nonlinear transformation of

. means and covariances in filters and estimators”, Automatic Control, IEEE Transactions on 45

. (3) (2000) 477-482.

[15] Ghassempour, H., Miao, Z., Fan, L., Jiang, W. & Manjure, D. “Identification of Synchronous

. Generator model with Frequency Control Using Unscented Kalman Filter”, 2015. Preprint

. submitted to Electric Power Systems Research.

[16] Namba, M., Obata, Y., Nishiwaki, T., Yokokawa, S., Otsuka, K. & Ueki, Y. “Parameter

. Identification Using Kalman Filter for the Analysis of Power System Stability”, 1980. Electrical

. Engineering in Japan, Vol. 100, No. 5. Translated from Denki Gakkai Ronbunshi, Vol. 100B,

. No. 10, October 1980, pp. 617-624

67


Glosario

SEP Sistema eléctrico de potencia

TG Turbine Governor

AVR Automatic Voltage Regulator

PSS Power System Stabilizer

KF Kalman Filter

EKF Extended Kalman Filter

UKF Unscented Kalman Filter

CKF Cubature Kalman Filter

FEM Fuerza electromotriz

RW Random Walk

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Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de...

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