TRABAJO N°3 ESTADISTICA III 2013

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Estadística III 3009137, semestre 01 de 2013

Equipo de Trabajo No. 6 Serie No. 21 Curso: Ma - Ju

Análisis de Series de Tiempo: Ajuste con modelos SAI!A

Verónica Aari!es Ve!"sque#1$ %anie!a &óe# Arei#a2 ' (ao!a Andrea S"nc)e# Trejos*

Fecha de entrega: 11 de junio de 2013

esumen

En e! presen+e +rabajo se ana!i#a una serie de +iepo$ basada en !os da+os reco,idos por e! %ANE%epar+aen+o Adinis+ra+io Naciona! de Es+ad/s+ica0 duran+e e! periodo Enero-1 ' e! %iciebre-21$ sobre e! 3ndice de (roducción 4ea! de !a 5ndus+ria Manuac+urera Co!obiana 718$ espec/icaen+een e! sec+or (rendas de Ves+ir$ edian+e e! ajus+e con ode!os SA45MA. Se coparan e! Mode!o 9o,&rado Cua+ro es+aciona!$ que ajus+ó ' pronós+ico ejor !a serie de +iepo -en e! +rabajo 1-$ e! ode!o A4 120 en e! +rabajo 2- con !os ode!os SA45MA encon+rados en es+e +rabajo$ ade"s de! uso de dieren+es)erraien+as coo e! +es+ 9jun, ;o


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MA(E0 i,ua!en+e en e! an"!isis de! se,undo +rabajo de !os da+os de !a Serie de 3ndice de(roducción de (rendas de Ves+ir en Co!obia$ e! ode!o que ajus+ó ' pronos+icó ejor$ para +ra+ar de es de !os aDos$ para ,enerar una isión"s oca!i#ada de )acia dónde aan#a dic)o sec+or ' coo crear a!or a,re,ado en e! iso.

2&1&1&(#jeti$o del estudio

E! obje+io undaen+a! de! es+udio de !a serie 3ndice de (roducción de (rendas de Ves+ir enCo!obiaF$ es )a!!ar un ode!o es+ad/s+ico capa# de e


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predecir su copor+aien+o u+uro ' as/ +oar decisiones edian+e e! an"!isis de !a +endencia ' de!as ariaciones que se presen+an en !os dieren+es aDos$ +odo e!!o suje+o por ejep!o a ariab!es coo!as +eporadas a!+as ' bajas de consuo de ropa duran+e e! aDo ' a !as condiciones que propon,a e!ercado ana!i#ar dic)as ariab!es bajo >+odos enos sois+icados coo !a era obseración noser/a eicien+e$ ra#ón por !a cua! resu!+a "s coniab!e u+i!i#ar >+odos es+ad/s+icos coo !os p!an+eados para e! presen+e +rabajo.

2&1& Análisis de la Serie

(ara ejecu+ar !a es+ra+e,ia de a!idación cru#ada$ se especiican !os si,uien+es par"e+ros ' susrespec+ios si,niicados:

Ta#la 1: "arámetros de estudio)*1++ N@ero +o+a! de da+os de !a serie 3ndice de (roducción de (rendas de Ves+ir en Co!obian*132 N@ero de da+os que se usan para e! ajus+e de !os ode!osm*12 N@ero de da+os den+ro de !a ues+ra que se usan para pronos+icar.s*12 (eriodos de !a coponen+e es+aciona!t en meses- 3ndice de +iepo

%e acuerdo con e! .rá/ico 1$ se obsera que !a serie no +iene un copor+aien+o !inea! ' en su+endencia presen+a un pa+rón es+aciona! ' de arian#a no cons+an+e$ !ue,o !a serie de 3ndice de(roducción de (rendas de Ves+ir en Co!obia es de coponen+es u!+ip!ica+ias$ coo se ues+raen !a Ecuaci%n 1-. Con !a +ransoración !o,ar/+ica se busca que !os cabios en !a arian#a de !aserie no sean +an pronunciados$ es decir que !a a!+ura de !os picos sobre !a +endencia se apro


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En e! cua! !as ariab!es de !a Ecuaci%n 1- represen+an respec+iaen+e$ coo se ues+ra en !aTa#la 2.

Ta#la 2. 'e/inici%n de $aria#les para la Ecuaci%n 1-.

t

(roducción de (rendas de Ves+ir en !a indus+ria anuac+urera en Co!obia en unidades de/ndice0

Tt indica !a dec!inación o creciien+o de !a serie a !o !ar,o de! +iepo Coponen+e de+endencia0

St es e! pa+rón de cabio re,u!ar que se cop!e+a den+ro de un aDo ca!endario ' se repi+e sobreuna base anua! Coponen+e de es+aciona!idad0

Et son !as !uc+uaciones sin un pa+rón deinido a!rededor de !a edia cons+an+e Coponen+e deerror0

Coo !a serie 3ndice de (roducción (rendas de Ves+ir en Co!obia es de coponen+esu!+ip!ica+ias debido a su copor+aien+o de arian#a no cons+an+e$ presen+ado en e! .rá/ico 1$ se procedió a +ransorar e! ode!o e


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l n ! t

1990 1994 1998

4 0

4 5

5 0

0 10 20 "0 40

- 0

4

0 0

0 4

ACF del Log (t!

# $ %

∇ L o g ( & t )

- 1 0

- 0 5

0 0

0 5

- 0 2

0 2

0 4

0 6

#$% de ∇Log(&t)

# $ %

.rá/ico 2: Serie en esca!a !o,ar/+ica log ( y t ) 0$ su priera dierencia ' sus respec+ias AC=Gs.

∇ log ( y t )= (1−B ) log ( y t )=log ( y t )−log( y t −1) H0En e! .rá/ico 2$ se obsera en !a AC= de !a serie en esca!a !o,ar/+ica un pa+rón no er,ódico$ade"s de! eec+o de !a es+aciona!idad$ ' en e! ,r"ico de dic)a serie$ se e que !a edia no escons+an+e 'a que es unción de! +iepo$ por ende e! proceso no es es+acionario$ eidenciando !a presencia de es+aciona!idad$ os+rando cada sI12 periodos cor+es a!+aen+e si,niica+ios$ en+oncesse )ace necesario dierenciar re,u!aren+e por !o enos una e# e! !o,ari+o de !a serie$ coo seues+ra en !a Ecuaci%n +. En e! ,r"ico de !a priera dierencia$ se obsera que !a edia escons+an+e$ es decir a!rededor de! cero a !o !ar,o de! +iepo$ se !o,ra es+abi!i#ar !a arian#a obiandoa!,unos posib!es pun+os a+/picos$ ' en su AC= se e un pa+rón er,ódico$ es decir que e!

limk →∞ ρ (k ) ≈0 r"pidaen+e$ sin ebar,o se su,iere +abi>n dierenciar es+aciona!en+e e!!o,ari+o de !a serie$ debido a !a recurrencia de !os cor+es cada sI12 periodos.


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"i#erencia regular $ estacional de la serie

∇ ∇ 1 2 L o g

( & t )

1992 1994 1996 1998 2000

- 0 6

- 0 2

0 2

- 0 "

- 0 1

0 1

#$% de ∇∇12Log(&t)

# $ %

- 0 "

- 0 1

0 1

P a r t i a l # $ %

P#$% de ∇∇12Log(&t)

.rá/ico 3: %ierencia re,u!ar ' es+aciona! de !a serie 9o, '+00 con su AC= ' (AC=.

∇∇12 log ( yt )= (1−B ) (1−B12) log ( y t )=log ( y t )−log ( y t −1 )−log ( y t −12)+ log ( yt −13 ) 0

En e! .rá/ico 3$ es c!aro que !a edia de !a dierencia re,u!ar ' es+aciona! de! !o,ari+o de !a serie$coo se ues+ra en !a Ecuaci%n -$ osci!a a!rededor de un a!or cons+an+e !a edia de !a dierenciare,u!ar ' es+aciona!0 ade"s$ en su AC= ' (AC= se presen+a er,odicidad$ por !o cua! se puedeinerir que es+e proceso es es+acionario.

2&2& "rue#a E.

3& Identi/icaci%n modelos SAI!A ( p ,d ,q) x ( P , D ,Q)s

3&1& Test A4 5 "A4

Sea ρ E ( k )=Corr ( E t ,E t + k )

(rueba de )ipó+esis: o : ρ E (k )=0!s a : ρ E (k )"0,k =1,2,# , $ $=[ %4 ]Es+ad/s+ico de prueba: ^ ρ E(k )

aprox&

N (0,1

% )Cri+erio de rec)a#o: |^ ρ E(k )|>

2

√ %

K$ sea ' E , kk =Corr( E t ,E t + k ∨ Et +1 ,E t +2 , # , Et +k −1)


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(rueba de )ipó+esis: o :' E ,kk =0!s a :' E , kk "0,k =1,2,#,$$=[ %4 ]Es+ad/s+ico de prueba: ϕ̂ E ,kk

aprox&

N (0, 1% )Cri+erio de rec)a#o: |

^

ϕ E ,kk |> 2

√ %

Ana!i#ando a proundidad e! .rá/ico 3$ en !a AC= ' (AC= de ∇∇12 log ( y t ) $ se ob+ienen !osresu!+ados os+rados en !a Ta#la 3.

Ta#la 3: Identi/icaci%n de modelos con A4 5 "A4

A4 "A4 "roceso "arte Estacional

Se obsera un pa+rón de cor+eFen !os a!ores de LIjs$ con jI1$2 ' sI12.

Se obsera un pa+rón de co!aFen !os a!ores de LIjs$ con jI1$2 ' sI12.

() (1)12Con @!+io cor+e de !as bandas de !a

AC= en e! a!or de LIjs$ con jI1.Con: (I$ I1$ %I1.

A4 "A4 "roceso "arte e6ular

Se obsera un pa+rón de cor+eF

en !os a!ores de 1L s

2$

con sI12

Se obsera un pa+rón de co!aF

en !os a!ores de 1L s

2$

con sI12

() (2)Con @!+io cor+e de !as bandas de !a(AC= en e! a!or de LI2$ con 1L

s

2$ con sI12.

Con: pI2 $ qI $ dI1.

%e acuerdo a !a Ta#la 2. Se propone e! ode!o SA45MA (2,1,0) x (0,1,1)12

!odelo 1: ϕ 2 ( B ) * 12* log ( y t )=+1 ( B12)∗ Et con Et

iid RB &N (0,σ 2)

E! cua!$ por e


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!odelo 2: -1 ( B12) * 12 * log ( y t )=.2 (B ) +2 ( B

12 )∗ Et con Et iid RB & N (0,σ 2)

E! cua!$ por e


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QQQQQQQQQ En e! an"!isis an+erior Trabajo NR10 se de+erinó que e! ejor ode!o en cuan+o a ajus+e ' pronós+ico es e! ode!o 9o,-&rado Cua+ro es+aciona!$ coo se ues+ra en !as Ecuaciones + 5 -.

T t ¿= /0+ /1 t + /2t

2+ /3t 3+ /4 t

4 . H0

Mode!o1: Coo se ues+ra en !a Ecuaci%n .

Y

log (¿¿ t )= /0+ /1t + /2t 2+ /3 t

3+ /4t 4+∑

i=1

11

0 i∗ 1 i , t + Et ¿

¿

con Et ¿ iid R & BN (0,σ 2) . 0

9os cri+erios para probar !a si,niicancia de !os par"e+ros en e! ode!o son:

riterio para determinar si el parámetro /4 de la tendencia es si6ni/icati$o:

o : /4=0, No 2s si3%i4i5ati!a!s a: /4 "0, Es si3%i4i5ati!a

Estadístico de prue#a riterios de rec8ao de la 8ip%tesis nula

t o=^ /4

SE(^ /4)

6ajo 0

t 7 /2 (%− p−1 )

Si

|t 0|>t 7 /2 (%− p−1)89 p= P (|t (%− p−1 )|>|T 0|)

riterio para determinar si el parámetro 0 i de la estacionalidad es si6ni/icati$o

o : 0 i=0, No 2s si3%i4i5ati!a!s a : 0 i "0, Essi3%i4i5ati!a


t o=0̂ i

SE( 0̂ i)

6ajo 0

t 7 /2(%− p−1)9p= P (|t (%− p−1)|>|T 0|)

Test de si6ni/icancia de la re6resi%n

o : /1=#= /4=0 1=#=0 11=0, No 2s si3%i4i5ati!a !s a: ):3;%odi42r2%t2d2 52ro ,Es si3%i4i5ati!a


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= o= (SR

(SE

6ajo 0

4 p ,(%− p−1)

9p= P ( 4 p ,(%− p−1)> = 0 )

Tabla 1:Parámetros estimados en modelo Log-Grado Cuatro Estacional"arámetro Estimaci%n Error estándar T 0 P(|t 116|>|T 0|) /0 H.* .6*1 66.* 2


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0̂ 7=−0.1320 . En proedio en cada aDo$ e! /ndice de producción de prendas de es+ir en ju!io$disinu'e en en puede erse que


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!os !/i+es de !os pronós+icos son un poco ap!ios$ por !o que e! pronós+ico no es u' preciso. Acon+inuación se presen+a !a ,r"ica de !a serie rea! ' e! ajus+e de! ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona!.

3&+& Análisis e identi/icaci%n de ciclos en los errores estructurales Et &

Bn proceso es es+acionario en coarian#a cuando cup!e +odas ' cada una de !as si,uien+es +res

condiciones:1. E! proceso es es+acionario en edia !a edia es cons+an+e0: At = A

2. E! proceso es es+acionario en arian#a !a arian#a es cons+an+e0: σ t 2=σ 2

*. 9a au+ocoarian#a só!o depende de !a dis+ancia en e! +iepo de !as ariab!es de! proceso$ es decir só!o depende de L: ( k )=Co! [ t , t +k ]=Co! [ t , t −k ]= (−k ) , de donde para k , ( k ) esuna unción si>+rica a!rededor de cero con (0 )=9ar [ t ] ' t es una serie dada. 7H8

Bn proceso de ruido es un proceso es+acionario en coarian#a con !as si,uien+es carac+er/s+icas:1. 9a edia es cons+an+e e i,ua! a cero: At =0,∀ t 2. 9a arian#a es cons+an+e: σ t

2=σ 2 ,∀ t

*. 9a au+ocoarian#a es cero ' por +an+o +abi>n !a au+ocorre!ación: ( k )= ρ (k )=0,∀ k"0. 7H8 Cuando !as ariab!es de un proceso de ruido son independien+es es+e es denoinado ruido b!anco$ uncaso par+icu!ar es cuando e! proceso de ruido es nora! u!+iariado$ en+onces en ese caso

(k )=0,∀ k "0, ip!ica independencia. 7H8

(ara poder conc!uir acerca de si !os errores es+ruc+ura!es de! ode!o so ruido b!anco$ se debe rea!i#ar e! an"!isis +an+o ,r"icaen+e$ a +ra>s de !as ,r"icas de !a AC= ' !a (AC=$ coo ana!/+icaen+e$edian+e !os +es+ de 9jun,-;o


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- 0 2

0 0

0 2

0 4

#$% ,esiduales structurales del modelo Log-.rado cuatro stacional εt

# $ %

- 0 1

0 0

0 1

0 2

0 "

0 4

0 5

P a r t i a l # $ %

P#$% ,esiduales structurales del modelo Log-.rado cuatro s

.rá/ico +& 5#q.- AC= de !os residua!es es+ruc+ura!es de! ode!o 9o,-,rado Cua+ro es+aciona! de !aserie 3ndice (roducción (rendas de Ves+ir en Co!obia. %er.- (AC= de !os residua!es es+ruc+ura!es

de! ode!o 9o,-,rado Cua+ro es+aciona! de !a serie 3ndice (roducción (rendas de Ves+ir enCo!obia.

Se,@n e! .rá/ico +$ e! +es+ de !a AC= presen+a cor+es de !as bandas de ;ar+!e++ en !os a!ores de LI 1$2$ *$ 11$ 1 ' 16$ indicando que se rec)a#a !a )ipó+esis nu!a$ es decir$ que a! enos un ρF (k )"0 $!o cua! ip!ica que !os errores es+ruc+ura!es no son 4uido ;!anco. Ade"s presen+a un pa+rón deco!a sinusoida!. E! +es+ de !a (AC= ues+ra cor+es de !as bandas de ;ar+!e++ en !os a!ores de LI 1$ *' 2$ es+a @!+ia obseración se puede obiar debido a que puede ser error +ipo 1 o un pa+rónes+aciona!$ por !o +an+o indica que se rec)a#a !a )ipó+esis nu!a$ es decir$ que a! enos un 'kk "0 $!o cua! ip!ica que !os errores no son 4uido ;!anco. A de"s no se no+a un pa+rón deinido en es+a,r"ica por !o que podr/a suponerse de cor+e.

2&3&2& Test 4unci%n de Autocorrelaci%n "arcial o "A4

o :' E ,kk =0!s a :' E , kk "0,k =1,2,#, $

$=[ %4 ] ,$ 2%$;:tip:osd26

Estad>sti5o d2 pr;26a :|'̂ E , kk |aprox&

R &B ,N (0, 1% )Crit2riod2 r25ao :|'̂ E , kk |>

2

√ %

2&3&3& Test de autocorrelaci%n jun6;


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Estad>sti5o d2 pr;26a:Q @B=% (%+2 )∑k =1

$^ ρ E

2 ( k )

%−k

aprox&

G $2

Crit2riod2 r25ao :9 P= P ( G $2

HQ @B) 2s p2q;2

'

9 p ro>0

P ( DJ 0 . Coo V p es u' pequeDo se rec)a#a


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P$ por !o +an+o se conc!u'e que !os errores es+ruc+ura!es de! ode!o no son ruido b!anco ' presen+ana! enos au+ocorre!ación de orden 1 posi+ia.

Con !o an+erior$ de acuerdo con !os +es+ rea!i#ados se puede conc!uir que !os errores es+ruc+ura!es de!Mode!o 9o,-&rado Cua+ro es+aciona! para e! 3ndice de (roducción de (rendas de Ves+ir en Co!obiano per+enecen a un proceso de 4uido ;!anco$ por !o que se debe irar si dic)os errores son

es+acionarios en coarian#a.(ara saber si !os errores es+ruc+ura!es de! ode!o son un proceso es+acionario en coarian#a$ se debecup!ir con !a er,odicidad$ os+rada en !a Ecuaci%n $ que quiere decir que a par+ir de una @nicarea!i#ación de! proceso se puede es+iar !as carac+er/s+icas de >s+e$ ' que cada e# sean ejoresF aedida que se auen+a e! +aaDo de !a ues+ra. %ic)a ecuación es "!ida si coner,e r"pidaen+e.

limk →∞

ρ (k )=0 . 60

En e! .rá/icos + se puede obserar que !os a!ores de L se ue!en es+ad/s+icaen+e ceror"pidaen+e$ con !o que se puede decir$ que !os errores es+ruc+ura!es de! ode!o 9o,-&rado Cua+roEs+aciona! son er,ódicos$ !o que ip!ica un proceso es+acionario en coarian#a.

2&3&& !odelos A, !A o A!A de acuerdo a la A4, "A4 5 EA4 o 4unci%narmasubsets

().

Ta#la : AC= ' (AC= Et de! ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona!A4 "A4 "(ES(

(a+rón de co!a sinusoida!F (a+rón de cor+eF A4*0

%e acuerdo con e! .rá/ico + ' !a Ta#la $ se puede se puede er que un A4 *0 parece un ode!oapropiado para ajus+ar !a serie de! 3ndice de (roducción de (rendas de Ves+ir. Con

Et =ϕ 1 E t −1+ϕ 2 E t −2+ϕ 3 E t −3+at , a t iid R &BN (0,σ a

2 ) &

Ta#la 7: EAC= Et para de! ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona!A4?MA 1 2 * H 6 1 11 12 1*

< < < o < o o o o o < o o <1 o < o o o o o o o o < o o o2 < < o o o o o o o o < o o o* < < o o o o o o o o < o o oH < < o o o o o o o o < o o o < < < < < o o o o o < o o o6 < < o o o o o o o o o o o o < < o o o o o o o o o o o o

En !a Ta#la 7$ se ues+ran !os resu!+ados de !a EAC= ob+enidos edian+e !a unción eacf ( ) de 4$ nose puede obserar e! +ri"n,u!o "s parsioniosoF$ 'a que +oda/a )a' presencia de pa+roneses+aciona!es que persis+en a@n en !os residua!es de! ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona!$ ' por endees+a unción no arroja nin,@n ode!o apropiado para ajus+ar e! 3ndice de (roducción de (rendas deVes+ir$ por !o que para !a iden+iicar o+ros posib!es ode!os se acude a !a unción armasubsets ( ) de! paque+e es+ad/s+ico 4.


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Con !a unción armasubsets ( )$ coo se ues+ra en e! .rá/ico $ se pueden proponer !os ode!osos+rados a con+inuación.

' ( $

) ( n t e r c e p t *

# , - l a g 1

# , - l a g 2

# , - l a g "

# , - l a g 4

# , - l a g 5

# , - l a g 6

# , - l a g +

# , - l a g 8

# , - l a g 9

# , - l a g 1 0

# , - l a g 1 1

# , - l a g 1 2

e r r o r - l a g 1 0

e r r o r - l a g 1 1

e r r o r - l a g 1 2

e r r o r - l a g 1

e r r o r - l a g 2

e r r o r - l a g "

e r r o r - l a g 4

e r r o r - l a g 5

e r r o r - l a g 6

e r r o r - l a g +

e r r o r - l a g 8

e r r o r - l a

9

-"+

-8

-11

-15

-20

-20

-22

-22

-2"

.rá/ico : =i,ura de !a unción armasubsets ( ) para de! ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona!.

A con+inuación se presen+an !os dieren+es ode!os propues+os para !os errores es+ruc+ura!es de!ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona!$ que represen+a a! 3ndice de (roducción de (rendas de Ves+ir en Co!obia$ de acuerdo con !os >+odos u+i!i#ados an+erioren+e.

Ta#la @: armasubsets () sobre Et en e! ode!o 1!odelos "roceso

1A4 110 Et =ϕ 3 E t −3+ϕ 11 Et −11+at , a t

iid R &BN (0,σ a2 )

2A4MA 11$120 E

t

=ϕ5

Et −5+ϕ

11

Et −11

+at

+.12

at −12

, at

iid R & BN

(0,σ

a

2

)Es+os ode!os ueron odiicados por rec)a#ar ruido b!anco$ coo se os+rar" "s ade!an+e.

3&& Identi/icaci%n de los modeles A!A

2&+&1& Con unción SelectModel ()

Ta#la 9: SelectModel () sobre Et en e! ode!o 1!odelos "roceso

1 con A5CA4 *0 Et =ϕ 1 E t −1+ϕ 2 E t −2+ϕ 3 E t −3+at , a t

iid R & BN (0,σ a2 )

2 con ;5CA4 10 Et =ϕ 1 E t −1+at , a t


2&+&2& Con unción auto.arima ()

Ta#la 10: auto.arima () sobre Et en e! ode!o 1!odelos "roceso


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1 con A5CA4MA 2$20 Et =ϕ 1 E t −1+ϕ 2 E t −2+at +.1a t −1+.2 at −2 , at

iid R & BN (0,σ a2 )

2 con ;5CA4 10 Et =ϕ 1 E t −1+at , a t


Ta#la 11: auto.arima () sobre E

t en e! ode!o 1$ coner+ido a serie de +iepo con A5C ';5C0!odelo "roceso

1A4 10 Et =ϕ 1 E t −1+at , a t


2&+&3& Con unción autoarmafit ()

Ta#la 12: autoarmafit () sobre Et en e! ode!o 1!odelo "roceso

1A4MA 1$10 Et =ϕ 1 E t −1+at +.1 at −1 , at


2&& Ajuste de los modelos A!A con la serie de residuos estructurales ^ Et

Ta#la 13i: 5den+iicación con A4 - "A4 - sobre ^ Et en e! ode!o 1A4 *0 ϕ1 ϕ2 ϕ3 σ a

2

Es+iación .H*1 .H .16* .11s.e. .H1 .1 .H

)1C =−¿ 12. B1C =−135.1

Ta#la 13: 5den+iicación con A4 - "A4 - sobre ^ Et en e! ode!o 1A4 120 ϕ

1

ϕ2

ϕ3

ϕ4

ϕ5

ϕ6

ϕ7

ϕ8

ϕ9

ϕ10

ϕ11

ϕ12 σ a

2

Es+iación .HH2 -.11 .221 -.121 .2*6 -.1 .66 -.H2H .1 -.2 -.1* .*1 .2

s.e. .6 .* .H2 .1 .* .6 . .*1 . .HH . .1

)1C =−188.06 B1C =−104.46

Ta#la 1+i: 5den+iicación con armasu#sets - sobre ^ Et en e! ode!o 1A4 110 ϕ1 ϕ3 ϕ11 σ a

2

Es+iación .*1 .12 -.211 .H1s.e. .6 .66 .H

)1C =−¿ 2.21 B1C =−119.49

Ta#la 1+: 5den+iicación con armasu#sets - sobre ^ Et

en e! ode!o 1A4MA 2H$2H0 ϕ1 ϕ3 ϕ11 ϕ22 ϕ24 .24 σ a

2

Es+iación .*1 .116 -.*6 -.2*H .21H6 -.H6* .11s.e. .2 .H .6 .2 .1 .1222

)1C =−208.48 B1C =−21.1

Ta#la 1i: 5den+iicación con armasu#sets - sobre ^ Et en e! ode!o 1A4MA 11$120 ϕ1 ϕ5 ϕ11 .12 σ a

2


18/67

Es+iación .H .1H -.2H2 .1H .H*s.e. .1 .6 .H* .2

)1C =−197.9 B1C =−82.59

Ta#la 1: 5den+iicación con armasu#sets - sobre ^ Et en e! ode!o 1A4MA 2H$120 ϕ1 ϕ5 ϕ11 ϕ24 .12 σ a

2

Es+iación .HH2 .1*12 -.22 -.6 .111 .*Hs.e. . .2H .62* .*H .1H2

)1C =−196.55 B1C =−43.76


19/67

Con !a unción SelectModel () sobre ^ Et en e! ode!o 1 con A5C iden+iico e! iso proceso A4 *0$ iden+iicado con !as unciones AC= ' (AC=.

Ta#la 1: 5den+iicación con Select!odel - sobre ^ Et en e! ode!o 1 con A5CA4 *0 ϕ1 ϕ2 ϕ3 σ a

2

Es+iación .H*1 .H .16* .11s.e. .H1 .1 .H

)1C =−¿ 12. B1C =−135.1

Ta#la 17: 5den+iicación con Select!odel - sobre ^ Et en e! ode!o 1 con ;5CA4 10 ϕ1 σ a

2

Es+iación .H* .1*s.e. .H

)1C −192.18 B1C =−140.29

Ta#la 1@: 5den+iicación con auto&arima - sobre ^ Et en e! ode!o 1 con A5C0

A4MA2$20 ϕ1 ϕ2 .1 .2 σ a2Es+iación .1H .2 .*1 -.H .H2q

s.e. .1H1 .1* .16 .* )1C =−194.23 B1C =−133.69

Con !a unción auto.arima () sobre ^ Et en e! ode!o 1 con ;5C ' coner+ido a serie de +iepo conA5C ' ;5C$ iden+iicó e! iso proceso A4 10$ iden+iicado con !a unción Se!ec+Mode! 0.

Ta#la 19: 5den+iicación con auto&arima - sobre ^ Et en e! ode!o 1 con ;5C0A410 ϕ1 σ a

2

Es+iación .H* .1*

s.e. .H )1C −192.18 B1C =−140.29

Ta#la 20: 5den+iicación con auto&arima - sobre ^ Et en e! ode!o 1$ coner+ido a serie de+iepo con A5C ' ;5C0

A410 ϕ1 σ a2

Es+iación .H* .1*s.e. .H

)1C −192.18 B1C =−140.29

Ta#la 21: 5den+iicación con autoarma/it - sobre ^ Et en e! ode!o 1

A4MA1$10 ϕ1 .1 σ a2

Es+iación .1H -.*166 .122s.e. NAN .H

)1C =−192.04 B1C =−137.27


20/67

2&&1& aíces de los polinomios autorre6resi$os 5 de medias m%$iles

!odelo 2: A4 120 es e! que se ajus+ó ina!en+e$ coo se er" "s ade!an+e.

E! po!inoio au+orre,resio para e! A4 120 es:

-̂12 (B )=1−ϕ̂1B−ϕ̂2B

2−ϕ̂3 B3− ϕ̂4B

4− ϕ̂5 B5− ϕ̂6 B

6−ϕ̂7 B7−ϕ̂8 B

8− ϕ̂9 B9− ϕ̂10B

10−ϕ̂11B11− ϕ̂12 B

12

-̂12 (B )=1−0.441977 B+0.051103B2−0.229126 B3+0.121814 B4−0.203592B5+0.107016 B6−0.06

Ta#la 22: 4a/ces ' ódu!os de! po!inoio au+ore,resio para e! A4 1204a/# Va!or Módu!o Va!or r1 .*6 Y .6i |r1| 1.11r2 -.*1 Y .62HHi |r2| 1.12Hr3 -.1666 - 1.*H1i |r3| 1.166H

r41.61* - .2111i

|r4|1.21

r5 .1*H Y 1.1*2i |r5| 1.1**11r6 -.1666 Y 1.*H1i |r6| 1.166Hr7 .*6 - .6i |r7| 1.11r8 1.61* Y .2111i |r8| 1.21r9 -.*1 - .62HHi |r9| 1.12Hr10 -1.*21 - .i |r10| 1.*2r11 .1*H - 1.1*2i |r11| 1.1**11r12 2.H2 Y .i |r12| 2.H

%e !a Ta#la 22 se puede er que e! ode!o A4 120 es es+acionario$ dado que !as ra/ces de! po!inoio -12 (B ) +ienen ódu!o a'or a uno$ ' coo +odo proceso A4 p0 es iner+ib!e por deinición$ en+onces e! ode!o A4 120 es iner+ib!e.

!odelo 3: A4MA 2H$2H0 es e! que se ajus+ó ina!en+e$ coo se er" "s ade!an+e.

E! po!inoio au+orre,resio para e! A4MA 2H$2H0 es:

-̂24 (B )=1− ϕ̂1B−0 B2−ϕ̂3 B

3−0 B4−0B5−0 B6−0 B7−0B8−0B9−0 B10−ϕ̂11 B11−0B12−0 B13−0 B

^-24 (B )=1−0.3801143B−0.1166507B3+0.3059620B11+0.2345064 B22−0.2145731B24

E! po!inoio de edias ói!es para e! A4MA 2H$2H0 es:

+̂24 ( B )=1+0B+0 B2+0 B3+0B4+0B5+0B6+0B7+0 B8+0 B9+0 B10+0B11+0B12+0 B13+B14+0 B15+

+̂24 ( B )=1−0.4762985B24


21/67


22/67

Ta#la23: 4a/ces ' ódu!os de! po!inoio au+ore,resio para e! A4MA 2H$2H04a/# Va!or Módu!o Va!or r1 .6*61 Y .1112i |r1| 1.*H1r2 -. Y .*1Hi |r2| 1.r3 -.1H21 - .1H12i |r3| 1.1

r4 1.611 - .2*6Hi |r4| 1.**Hr5 .2H6H Y 1.**i |r5| 1.Hr6 -.**6 Y .*H2Hi |r6| 1.16r7 -.26* - 1.1i |r7| 1.H6r8 .* - .H*6i |r8| 1.2r9 .**6 Y 1.H2*2i |r9| 1.H6*r10 -1.11H2 Y .2H6i |r10| 1.1HH2r11 .**6 - 1.H2*2i |r11| 1.H6*r12 1.611 Y .2*6Hi |r12| 1.**H

r13 -.26* Y 1.1i |r13| 1.H6r14 -.**6 - .*H2Hi |r14| 1.16r15 .2H6H - 1.**i |r15| 1.Hr16 .* Y .H*6i |r16| 1.2r17 -.1H21 Y .1H12i |r17| 1.1r18 -. - .*1Hi |r18| 1.r19 .2 - .Hi |r19| 1.62r20 .2 Y .Hi |r20| 1.62r21 -1.1122661 Y .i |r21| 1.112266r22

-1.11H2 - .2H6i

|r22|1.1HH2

r23 .6*61 - .1112i |r23| 1.*H1r24 1.1** Y .i |r24| 1.1**6

Ta#la 2+: 4a/ces ' ódu!os de! po!inoio de edias ói!es para e! A4MA 2H$2H04a/# Va!or Módu!o Va!or r1 .** Y .**i |r1| 1.*1r2 .1*6 Y .22i |r2| 1.*1r3 -.1*6 - .22i |r3| 1.*1r4 .22 - .1*6i |r4| 1.*1

r5 .2662 Y 1.26i |r5| 1.*1r6 -1.26 Y .2662i |r6| 1.*1r7 1.*1* - .i |r7| 1.*1r8 . Y 1.*1*i |r8| 1.*1r9 -1.*1* Y .i |r9| 1.*1r10 . - 1.*1*i |r10| 1.*1r11 -.2662 Y 1.26i |r11| 1.*1


23/67

r12 -1.26 - .2662i |r12| 1.*1r13 .1*6 - .22i |r13| 1.*1r14 1.26 Y .2662i |r14| 1.*1r15 -.1*6 Y .22i |r15| 1.*1r16 -.** - .**i

|r16|

1.*1

r17 .** - .**i |r17| 1.*1r18 -.** Y .**i |r18| 1.*1r19 -.22 - .1*6i |r19| 1.*1r20 1.26 - .2662i |r20| 1.*1r21 .22 Y .1*6i |r21| 1.*1r22 -.22 Y .1*6i |r22| 1.*1r23 -.2662 - 1.26i |r23| 1.*1r24 .2662 - 1.26i |r24| 1.*1

Coo se puede obserar en !a Ta#la 23$ e! ode!o A4MA 2H$2H0 es es+acionario 'a que !as ra/cesde! po!inoio -24 (B ) +ienen ódu!o a'or a uno$ ' de !a Ta#la 2+ se conc!u'e que e! ode!oA4MA 2H$2H0 es iner+ib!e dado que !os ódu!os de !as ra/ces de! po!inoio +24 ( B ) sona'ores a uno.

!odelo +: A4MA 2H$120 es e! que se ajus+ó ina!en+e$ coo se er" "s ade!an+e.

E! po!inoio au+orre,resio para e! A4MA 2H$120 es:

-̂24 (B )=1− ϕ̂1B−0 B2−0B3−0B4−ϕ̂5 B

5−0 B6−0 B7−0B8−0B9−0 B10−ϕ̂11 B11−0B12−0 B13−0 B

^-24 (B )=1−0.4428144B−0.1312107B

5

+0.2520085B11

+0.07955703B24

E! po!inoio de edias ói!es para e! A4MA 2H$120 es:

+̂12 ( B )=1+0 B+0B2+0B3+0 B4+0B5+0 B6+0 B7+0 B8+0B9+0B10+0 B11+.̂12 B

12

+̂12 ( B )=1−0.1110050B12

Ta#la 2: 4a/ces ' ódu!os de! po!inoio au+ore,resio para e! A4MA 2H$1204a/# Va!or Módu!o Va!or r1 .6*1 Y .2*i |r1| 1.121

r2 -.2**21 Y .6611**6i |r2| 1.116r3 -.H22*62 - 1.26Hi |r3| 1.11212r4 .6*1 - .2*i |r4| 1.121r5 .1*2*1 Y 1.1HHi |r5| 1.H*r6 -1.62H Y .H2H*i |r6| 1.16r7 -.1*2H - 1.111i |r7| 1.162


24/67

r8 1.611H - .1216i |r8| 1.62r9 .H*H Y 1.1i |r9| 1.121r10 -1.1H6H21 Y .12*H*2i |r10| 1.121r11 .H*H - 1.1i |r11| 1.121r12 1.611H Y .1216i

|r12|

1.62

r13 -.66H26 Y .H*2i |r13| 1.122r14 -1.1H6H21 - .12*H*2i |r14| 1.121r15 .1*2*1 - 1.1HHi |r15| 1.H*r16 1.1 Y .**H16i |r16| 1.1111r17 -.H22*62 Y 1.26Hi |r17| 1.11212r18 -.2**21 - .6611**6i |r18| 1.116r19 .*1* - .2H2Hi |r19| 1.1*H6r20 .*1* Y .2H2Hi |r20| 1.1*H6r21 -.1*2H Y 1.111i |r21| 1.162r22 -.66H26 - .H*2i |r22| 1.122r23 1.1 - .**H16i |r23| 1.1111r24 -1.62H - .H2H*i |r24| 1.16

Ta#la 2: 4a/ces ' ódu!os de! po!inoio de edias ói!es para e! A4MA 2H$1204a/# Va!or Módu!o Va!or r1 .*H16H Y .*H16Hi |r1| 1.1H26r2 -.*H16H Y .*H16Hi |r2| 1.1H26r3 -.*H16H - .*H16Hi |r3| 1.1H26r4 1.1H**21 - .*61i |r4| 1.1H26r5 .*61 Y 1.1H**21i |r5| 1.1H26r6 -1.1H**21 Y .*61i |r6| 1.1H26r7 -.*61 - 1.1H**21i |r7| 1.1H26r8 1.1H**21 Y .*61i |r8| 1.1H26r9 -.*61 Y 1.1H**21i |r9| 1.1H26r10 -1.1H**21 - .*61i |r10| 1.1H26r11 .*61 - 1.1H**21i |r11| 1.1H26r12 .*H16H - .*H16Hi |r12| 1.1H26

Coo se puede obserar en !a Ta#la 2$ e! ode!o A4MA 2H$120 es es+acionario 'a que !as ra/cesde! po!inoio -24 (B ) +ienen ódu!o a'or a uno$ ' de !a Ta#la 2 se conc!u'e que e! ode!oA4MA 2H$120 es iner+ib!e dado que !os ódu!os de !as ra/ces de! po!inoio +12 ( B ) sona'ores a uno.

!odelo : A4 10.

E! po!inoio au+orre,resio para e! A4 10 es:


25/67

-̂1 (B )=1− ϕ̂1 B

-̂1 (B )=1−0.4838368 B

Ta#la 27: 4a/ces ' ódu!os de! po!inoio au+ore,resio para e! ode!o : A4 104a/# Va!or Módu!o Va!or r1 2.2* Y i |r1| 2.2*

Coo se puede obserar en !a Ta#la 27$ e! ode!o A4 10 es es+acionario 'a que !as ra/ces de! po!inoio -1 (B ) +ienen ódu!o a'or a uno$ ' es iner+ib!e dado que +odo ode!o A4 p0 esiner+ib!e por deinición.

!odelo : A4MA 2$20

E! po!inoio au+orre,resio para e! A4MA 2$20 es:

-̂2 (B )=1−ϕ̂1 B−ϕ̂2 B2

-̂2 (B )=1−0.1004372 B−0.5289085 B2

E! po!inoio de edias ói!es para e! A4MA 2$20 es:

+̂2 ( B )=1+.̂1 B+.̂2 B2

+̂2 ( B )=1+0.3781481B−0.4098947 B2

Ta#la 2@: 4a/ces ' ódu!os de! po!inoio au+ore,resio para e! A4MA 2$204a/# Va!or Módu!o Va!or r1 1.2262 Y i |r1| 1.2262r2 -1.H126 Y i |r2| 1.H126

Ta#la 29: 4a/ces ' ódu!os de! po!inoio de edias ói!es para e! A4MA 2$204a/# Va!or Módu!o Va!or r1 -1.166 - i |r1| 1.166r2 2.122* Y i |r2| 2.122*

Coo se puede obserar en !a Ta#la 2@$ e! ode!o A4MA 2$20 es es+acionario 'a que !as ra/ces de! po!inoio -2 (B ) +ienen ódu!o a'or a uno$ ' de !a Ta#la 29 se conc!u'e que e! ode!oA4MA 2$20 es iner+ib!e dado que !os ódu!os de !as ra/ces de! po!inoio +2 ( B ) son a'ores auno.

!odelo 7: A4MA 1$10

E! po!inoio au+orre,resio para e! A4MA 1$10 es:


26/67

-̂1 (B )=1− ϕ̂1 B

-̂1 (B )=1−0.714806 B

E! po!inoio de edias ói!es para e! A4MA 1$10 es:

+̂1 ( B )=1−.̂1 B

+̂1 ( B )=1+0.316649 B

Ta#la 30: 4a/ces ' ódu!os de! po!inoio au+ore,resio para e! A4MA 1$104a/# Va!or Módu!o Va!or r1 1.H11 Y i |r1| 1.H11

Ta#la31: 4a/ces ' ódu!os de! po!inoio de edias ói!es para e! A4MA 1$10

4a/# Va!or Módu!o Va!or r1 *.26261 Y i |r1| *.26261

Coo se puede obserar en !a Ta#la 30$ e! ode!o A4MA 1$10 es es+acionario 'a que !as ra/ces de! po!inoio -1 (B ) +ienen ódu!o a'or a uno$ ' de !a Ta#la 31 se conc!u'e que e! ode!oA4MA 1$10 es iner+ib!e dado que !os ódu!os de !as ra/ces de! po!inoio +1 ( B ) son a'ores auno.


27/67

2&&2& A4s 5 "A4s te%ricas

0 5 10 15 20 25 "0

ρ ( /

)

0

1 #,)"*i-terico

0 5 10 15 20 25

φ / /

0

1 #,)"*i-teri

ρ

( / )

0

1 #,)12*-teórico

φ / /

0

1 #,)12*-teóri

0 5 10 15 20 25 "0

ρ ( / )

0

1 #,)11*i-teó

0 5 10 15 20 25

φ / /

0

1 #,)1

ρ ( / )

0

1 #,M#)24 24*-teó

φ / /

0

1 #,M#)24 2


28/67

0 5 10 15 20 25 "0

ρ

( / )

0

1 #,M #)1112*i -teórico

0 5 10 15 20 25

φ / /

0

1 #,M# )1112*i-teórico

ρ ( / )

0

1 #,M# )2412*-teóri co

φ / /

0

1 #,M# )2412*-teó rico

0 5 10 15 20 25 "0

ρ ( / )

0

1 #,)1*-terico

0 5 10 15 20 25

φ / /

0

1 #,)1*-ter

ρ ( / )

0

1 #,M#)2 2*-teórico

φ / /

0

1 #,M# )22*-teóric

0 5 10 15 20 25 "0

ρ ( / )

0

1 #,M#)11*-teórico

0 5 10 15 20 25

φ / /

0

1 #,M#)11*-teó


29/67

.rá/ico & AC=Gs$ (AC=Gs +eóricas de !os ode!os A4MA iden+iicados para Et

En e! .rá/ico se puede obserar que !as unciones que "s se aseejan a !a AC= ' (AC= ues+ra!de !os errores es+ruc+ura!es ^ Et $ son !os ode!os A4 120$ que es un ode!o "!ido coo seos+rar" "s ade!an+e ' e! A4 110 con a!,unas ariaciones en !a (AC=$ pero no es un ode!o

"!ido. 9os de"s ode!os si,uen un copor+aien+o dieren+e$ por !o que e! ode!o que "s seaseeja a !os errores de !os residuos es+ruc+ura!es ^ Et es e! ode!o A4 120.

2&& Ajuste de los modelos completos

Es+ad/s+icos de prueba ' cri+erios de rec)a#o para probar !a si,niicancia de +odos !os par"e+rosu+i!i#ados en !os ode!os propues+os ajus+ados con +endencia$ es+aciona!idad ' cic!os:

riterio para determinar si el parámetro / i de la tendencia es si6ni/icati$o:

o : / i=0, No 2s si3%i4i5ati!a!s a : / i "0, Es si3%i4i5ati!a


t o=^ / i

SE(^ /i)

6ajo 0

t 7 /2(%− p−1)

Si

|t 0|>t 7 /2 (%− p−1)89 p= P (t 7 /2(%− p−1)>|t 0|)

riterio para determinar si el parámetro 0 i de la estacionalidad es si6ni/icati$o

o : 0 i=0, No 2s si3%i4i5ati!a!s a : 0 i "0, Essi3%i4i5ati!a


t o=0̂

i

SE( 0̂ i)

6ajo 0

t 7 /2(%− p−1)9p= P

(t 7 /2(%− p−1)>|t 0|

)

• "ara los parámetros utiliados para modelar los errores estructurales

"ara la parte A:

o : ϕi=0, No 2s si3%i4i5ati!a!s a :ϕi"0, Es si3%i4i5ati!a


o=

ϕ̂ i

SE ( ϕ̂i )

6ajo 0

N (0,1)

9p= P (| |>| 0|)

"ara la parte !A:

o :.i=0, No 2s si3%i4i5ati!a!s a :.i "0, Essi3%i4i5ati!a


30/67


o=.̂i

SE (.̂i )

6ajo 0

N (0,1) 9p= P (| |>| 0|)

)(TA: 9os a!ores de !os es+ad/s+icos o ' a!ores p ueron ca!cu!ados anua!en+eF coo se

ues+ra a con+inuación:

(ara !a Z:

0= Esti$a5i8%

s& 2

(ara a!or (

P(| |>| 0|)

2&&1& !odelo2i: Cic!os A4 *0

Y

log (¿¿ t )= /0+ /1t + /2t 2+ /3 t

3+ /4t 4+∑

i=1

11

0 i∗ 1 i , t + Et

¿

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Et =∑ j=1

3

ϕ j Et − j+a t , at iid R &BN (0,σ a

2) . 0

Con Et =ϕ1 E t −1+ϕ2 E t −2+ϕ3 Et −3+a t .

0 20 40 60 80 100 120

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

%esiduales &s. tiem'o modelo2i

r e s i d a

u s t 2 i

"8 40 42 44 46 48 50

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

%esiduales &s. a(ustados model

r e s i d a

u s t 2 i

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

ACF modelo2i

# $ %

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

P a r t i a l # $ %

PACF modelo2i

.rá/ico 7: 4esidua!es ât de! ajus+e con errores A4 *0$ ' su AC= ' (AC= ues+ra!es.


31/67

Coo puede erse en e! .rá/ico 7 de !os residua!es ât $ +oda/a )a' presencia de cic!os ' !aarian#a no es cons+an+e. 9a AC= ' (AC= ues+ra!es de es+os residua!es$ rec)a#an e! supues+o deruido b!anco en LI11 en AC=0 ' en LI11 ' 22 en (AC=0$ por !o que se procedió a odiicar !oscic!os de es+e ode!o coo se ues+ra a con+inuación en e! ode!o 2.


32/67

!odelo2: Cic!os A4 120

Y

log (¿¿ t )= /0+ /1t + /2t 2+ /3 t

3+ /4t 4+∑

i=1

11

0 i∗ 1 i , t + Et

¿

con

Et =∑ j=1

12

ϕ j Et − j+a t , at iid R &BN (0,σ a

2) . 0

Con Et =ϕ1 E t −1+ϕ2 E t −2+ϕ3 Et −3+ϕ4 E t −4+ϕ5 Et −5+ϕ6 E t −6+ϕ7 Et −7+ϕ8 E t −8+ϕ9 Et −9+ϕ10 Et −10+ϕ11 Et −11+

.

Ta#la 32: (ar"e+ros es+iados en ode!o !o,-,rado cua+ro es+aciona! "s Mode!o 2: A4 120 para errores es+ruc+ura!es.

Parámetro Estimación Error estándar 0 P(|t 104|>|t 0|)ϕ1 &))!*.. &'"!" (&!%'+*' +&..+%' ,!

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33/67

σ̂ 2=0.008992 )1C =−188.06 B1C =−104.46

Se,@n !os da+os ob+enidos en !a Ta#la 32$ se ana!i#a con de+a!!e ϕ12 $ pues+o que es e! par"e+roque indica si )a' corre!ación de orden 12$ para es+e a!or no se rec)a#a 0 porque su a!or p es,rande$ por !o cua! se conc!u'e que no es si,niica+io Ade"s$ se puede conc!uir que$ por ejep!o

para^0 2=−0.306855 En proedio en cada aDo$ e! /ndice de producción de prendas de es+ir enebrero$ disinu'e en e


34/67

0 20 40 60 80 100 120

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

%esiduales &s. tiem'o modelo)i

r e s i d a

u s t " i

"8 40 42 44 46 48 5

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2


r e s i d a

u s t " i

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

ACF modelo)i

# $ %

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

P a r t i a l # $ %

PACF modelo)i

.rá/ico @: 4esidua!es ât de! ajus+e con errores A4 110$ con ϕ j $ j=1,2,4,5,6,7,8,9,10ijos en cero$ ' su AC= ' (AC= ues+ra!es.

Coo puede erse en e! .rá/ico @$ !os residua!es ât $ +oda/a )a' presencia de cic!os ' !aarian#a no es cons+an+e. 9a AC= ' (AC= ues+ra!es de es+os residua!es$ rec)a#an e! supues+o deruido b!anco en LI22 ' 2H en (AC=0$ por !o que se procedió a odiicar !os cic!os de es+e ode!ocoo se ues+ra a con+inuación en e! ode!o *.!odelo 3: Cic!os A4MA 2H$2H0

Y

log (¿¿ t )= /0+ /1t + /2t 2+ /3 t

3+ /4t 4+∑

i=1

11

0 i∗ 1 i , t + Et

¿

con

Et =ϕ1 E t −1+ϕ3 Et −3+ϕ11 Et −11+ϕ22 E t −22+ϕ24 E t −24+at +.24 at −24 , at iid R & BN (0,σ a

2) .10

Ta#la 33: (ar"e+ros es+iados en ode!o 9o,-,rado cua+ro es+aciona! "s Mode!o * A4MA2H$2H0 para errores es+ruc+ura!es.

Parámetro Estimación Error

estándar

0 P(|t 110|>|t 0|)

ϕ1 &%'!!)% &.+.''+. (&+++!*! !&."'!'.,!-.

ϕ3 &!!""(. &.*"%* !&)").)% &!)+***

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35/67

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0 11 &++%+" &+%%+'(' '&".+''+ )&+!%!..,!-!'

σ̂ 2=0.008171 )1C =−208.48 B1C =−21.1

Se,@n !os da+os ob+enidos en !a Ta#la 33$ se ana!i#a con de+a!!e para !a par+e A4 ϕ24 $ indicandoun a!or p pequeDoF por +an+o se rec)a#a 0 $ ' se dice que es+e par"e+ro si es si,niica+io '$

para !a par+e MA ea!uaos .24 $ indicando un a!or p pequeDoF por +an+o se rec)a#a 0 $ 'se dice que es+e par"e+ro si es si,niica+io Ade"s$ se puede conc!uir que$ por ejep!o para

0̂ 3=−0.1678999 En proedio en cada aDo$ e! /ndice de producción de prendas de es+ir enar#o$ disinu'e en e


36/67

Y

log (¿¿ t )= /0+ /1t + /2t 2+ /3 t

3+ /4t 4+∑

i=1

11

0 i∗ 1 i , t + Et

¿

con

Et =ϕ1 E t −1+ϕ5 Et −5+ϕ11 Et −11+at +.12a t −12 , a t iid R & BN (0,σ a

2) . 110

0 20 40 60 80 100 120

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

%esiduales &s. tiem'o modelo*i

r e s i d a

u s t 4 i

"8 40 42 44 46 48 50

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2


r e s i d a

u s t 4 i

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

ACF modelo*i

# $ %

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

P a r t i a l # $ %

PACF modelo*i

.rá/ico 9: 4esidua!es ât de! ajus+e con errores A4MA 11$120$ con ϕ j $ j=2,3,4,6,7,8,9,10, ' .i $ i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12, ijos en cero$ ' su AC= '

(AC= ues+ra!es.

Coo puede erse en e! .rá/ico 9$ !os residua!es ât $ +oda/a )a' presencia de cic!os ' !aarian#a no es cons+an+e. 9a AC= ' (AC= ues+ra!es de es+os residua!es$ rec)a#an e! supues+o deruido b!anco en LI2H en (AC=0$ por !o que se procedió a odiicar !os cic!os de es+e ode!o coose ues+ra a con+inuación en e! ode!o H.

!odelo +: Cic!os A4MA 2H$120

Y

log (¿¿ t )= /0

+ /1

t + /2

t 2+ /

3

t 3+ /

4

t 4+

∑i=1

11

0 i∗ 1 i , t + Et

¿

con Et =ϕ1 E t −1+ϕ5 Et −5+ϕ11 Et −11+ϕ24 Et −24+at +.12 at −12 , at iid R &BN (0,σ a

2) . 120


37/67

Ta#la 3+: (ar"e+ros es+iados en ode!o !o,-,rado cua+ro es+aciona! "s Mode!o H A4MA2H$120 para errores es+ruc+ura!es.

Parámetro Estimación Error estándar 0 P(|t 111|>|t 0|)ϕ1 &))+'!)) &..).+."*. (&.!(.)% !&*++(.,!

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ϕ5 &!%!+!. &!)++.)!)' !&+('''* &+'.(

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^σ

2

=0.009374 )1C =−196.55 B1C =−43.76

Se,@n !os da+os ob+enidos en !a Ta#la 3+$ se ana!i#a con de+a!!e para !a par+e A4 ϕ24 $ indicandoun a!or p ,randeF por +an+o no se rec)a#a 0 $ ' se dice que es+e par"e+ro no es si,niica+io'$ para !a par+e MA ea!uaos .12 $ indicando un a!or p pequeDoF por +an+o se rec)a#a 0 $' se dice que es+e par"e+ro si es si,niica+io Ade"s$ se puede conc!uir que$ por ejep!o para

0̂ 1=−0.6346755 En proedio en cada aDo$ e! /ndice de producción de prendas de es+ir enenero$ disinu'e en e


38/67

%e ora an"!o,a se in+erpre+an !os de"s 0̂ i ? s $ pero !os que son si,niica+ios. Se,@n !os da+osob+enidos en !a Ta#la 3+$ !a ecuación de! ode!o ajus+ado de! A4MA 2H$120 ser/a:

Ŷ t =exp (4.520068+0.02903608 t −(1.11407∗10−3 ) t 2+(1.30900∗10−5 ) t 3−(4.62130∗10−8 ) t 4−0.6346

%onde$^̂ Et =0.4428144 ^ Et −1+0.1312107 ^ E t −5−0.2520085 ^ E t −11−0.07955703 ^ E t −24+0.1110050 ât −12

2&&& !odelo : Cic!os A4MA 1$0 I A4 10

Y

log (¿¿ t )= /0+ /1t + /2t 2+ /3 t

3+ /4t 4+∑

i=1

11

0 i∗ 1 i , t + Et

¿

con

Et =ϕ1 E t −1+at ,a t iid R & BN (0,σ a

2) . 110

Ta#la 3: (ar"e+ros es+iados en ode!o !o,-,rado cua+ro es+aciona! "s Mode!o A4 10 paraerrores es+ruc+ura!es.

Parámetro Estimación Error estándar 0 P(|t 115|>|t 0|)ϕ1 &)'%'%"' &.%*%') "&'.%+'+' "&+.)!! ,!

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/0 )&((.%+( &'..)*' (!&*"!**%* &

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0 11 &+!%!"% &%)'++* (&.'!('+%. .&)!+% ,!-*

σ̂ 2=0.01037 )1C =−192.18 B1C =−140.29

Se,@n !os da+os ob+enidos en !a Ta#la 3$ se ana!i#a con de+a!!e ϕ1 $ pues+o que es e! par"e+ro

que indica si )a' corre!ación de orden 1$ para es+e a!or se rec)a#a 0 porque su a!or p espequeDoF $ por !o cua! se conc!u'e que si es si,niica+io Ade"s$ se puede conc!uir que$ por ejep!o para 0̂ 2=−0.3084608 En proedio en cada aDo$ e! /ndice de producción de prendas de


39/67

es+ir en ebrero$ disinu'e en e


40/67

0 1 -&"%"+*)( &%(%('". -!.&**()+* +&!!(.((,!-.+

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0 7 -&!%!!(*' &)++.*" -%&!+'%%" !&*!"..),!-%

0 8 -&*(('' &)%%(*% -+&!)+"% &%(%(('

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0 10 &!++**! &)!!*(" +&*")+(+ %&%)+!(,!-%

0 11 &+!)"!! &%).!((* (&'%!'." "&("(*+,!-*

σ̂ 2=0.009742 )1C =−194.23 B1C =−133.69

Se,@n !os da+os ob+enidos en !a Ta#la 3$ se ana!i#a con de+a!!e para !a par+e A4 ϕ2 $ indicando

un a!or p pequeDoF por +an+o se rec)a#a

0 $ ' se dice que es+e par"e+ro si es si,niica+io '$ para !a par+e MA ea!uaos .2 $ indicando un a!or p pequeDoF por +an+o se rec)a#a 0 $ 'se dice que es+e par"e+ro si es si,niica+io Ade"s$ se puede conc!uir que$ por ejep!o para

0̂ 1=−0.6362945 En proedio en cada aDo$ e! /ndice de producción de prendas de es+ir enenero$ disinu'e en e


41/67

con Et =ϕ1 E t −1+at −.1at −k ,a t iid R &BN (0,σ a

2) &

120

Ta#la 37: (ar"e+ros es+iados en ode!o !o,-,rado cua+ro es+aciona! "s Mode!o A4MA1$10 para errores es+ruc+ura!es.

Parámetro Estimación Error estándar 0 P(|t 114|>|t 0|)ϕ1 &.!)'" /a/ /a/ /a/

.1 -&%!"")* &.)).! -)&)*)')'+ "&*"!*"!,!-"

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^σ

2

=0.01022 )1C =−192.04 B1C =−137.27

Se,@n !os da+os ob+enidos en !a Ta#la 37$ se puede er que para !a par+e A4$ e! c"!cu!o de! a!or p para ϕ1 e! 4 no ue capa# de ca!cu!ar!o$ por !o que no es posib!e saber si dic)o par"e+ro essi,niica+io o no '$ para !a par+e MA ea!uaos .1 $ indicando un a!or p pequeDoF por +an+o serec)a#a 0 $ ' se dice que es+e par"e+ro si es si,niica+io Ade"s$ se puede conc!uir que$ por

ejep!o para 0̂ 1=−0.636257 En proedio en cada aDo$ e! /ndice de producción de prendas dees+ir en enero$ disinu'e en e


42/67

%e ora an"!o,a se in+erpre+an !os de"s 0̂ i ? s $ pero !os que son si,niica+ios. Se,@n !os da+osob+enidos en !a Ta#la 37$ !a ecuación de! ode!o ajus+ado de! A4MA 1$10 ser/a:

Ŷ t =exp(4.561028+0.024527 t −(9.794142∗10−4 ) t 2+(1.163909∗10−5 ) t 3−(4.110391∗10−5 ) t 4−0.636

%onde$ ^̂ Et =0.714806 ^ Et −1−(−0.316649 ât −1)

Ta#la 3@: Coparación de !os ode!os con A5C$ ;5CMO%E9O %= A5C ;5C

2 1H -1.6 -1H.H6* 11 -2.H -21.1H 111 -16. -H*.6 11 -12.1 -1H.26 112 -1H.2* -1**.6 11H -12.H -1*.2

%e !a Ta#la 3@ se puede er !os cri+erios de inoración A5C ' ;5C para cada uno de !os ode!osajus+ados$ ' en !a cua! se obseran a!,unas dierencias en+re cada uno de !os ode!os$ pero en,enera! +odos presen+an un ajus+e sii!ar. Sin ebar,o e! ejor ode!o en ajus+e es e! ode!o 2$dado que os+ro un ejor ;5C$ aunque no un ejor A5C$ ade"s es+" en+re !os ode!os "!idos$ 'aque !os ode!os $ 6 ' no son "!idos$ coo se er" "s ade!an+e$ ' de acuerdo a !as ,r"icas de !aAC= ' (AC=$ es e! ode!o que posib!een+e e


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Enero 1 6.H1 .6 11.22=ebrero 2 1.** .2 1H.6Mar#o * 116.1H* 6.*H 1.1Abri! H 11*.* 11*.* 12.HMa'o 12H.H*6 12H.H*6 16.1Junio 6 11.61* .**1* 16*.H6Ju!io 11.H1 H.2* 1.2HA,os+o 11.*6 H.6* 16*.*Sep+iebre 12*.6H .616 12.*1*Oc+ubre 1 1*.*H6 .66H 1.21

Noiebre 11 1H.61H* 11.6 2.61%iciebre 12 11.1*1 .2616 16.2

9as edidas de precisión para dic)os pronós+icos$ se ues+ran en !a Ta#la +1.

Ta#la +1: (recisión de !os pronós+icos de! 9o,-&rado Cua+ro!AE !SE !A"E

.HHHH 11.1HH1 .H**6

En !as Ta#las +0 5 +1$ se presen+an !os pronós+icos para es+e ode!o ' sus in+era!os de predicciónde! (1−7 )100=95 $ ade"s se puede obserar que !os a!ores rea!es de !os +odos !os eses de!aDo se encuen+ran den+ro de !os in+era!os de pronós+ico de dic)os eses$ debido a que !a edida de bondad de ajus+e R2adj I .U eidencia e! ajus+e "s preciso de +odos !os ode!os propues+osan+erioren+e '$ e! porcen+aje edio abso!u+o de error MA(E0 es de! .U os+rando que endeini+ia es e! ejor ode!o a esco,er +an+o en ajus+e coo en pronós+ico. Ade"s +odos !os a!oresrea!es o erdaderos es+"n den+ro de !os in+era!os de pronós+icos er a!ores rea!es en !a Ta#la +0$' se pronos+icaron desde 6.H1 unidades de! /ndice de producción de prendas de es+ir en enerode 21 )as+a 11.1*1 unidades de! /ndice de producción de prendas de es+ir en diciebre de21$ pero +abi>n puede erse que !os !/i+es de !os pronós+icos son un poco ap!ios$ por !o que e! pronós+ico no es u' preciso.

A con+inuación se presen+a !a ,r"ica de !a serie rea! ' e! ajus+e de! ode!o 9o,-&rado Cua+roEs+aciona!.

+erie original, a(ustada $ 'ronosticada

P r e n d a s d

e V

e s t i r

1990 1992 1994 1996 1998 2000 20

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

riginal

austadopronosticado


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.rá/ico 10& Serie rea! ori,ina!0 con e! ajus+e ' pronós+ico de! ode!o 9o,-,rado H es+aciona! de!3ndice (roducción (rendas de Ves+ir en Co!obia.

2&7&2& !odelo 2: Cic!os A4 120

Ta#la +2: (ronós+icos Mode!o 2 A4120"eriodo

2001

"ron%stico

"untual

ímite

in/erior

ímite

Superior

Enero ! '+&."+(.

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1ebrero + !!%&'+*!.

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diciembr

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En !a Ta#la +2$ se presen+an !os a!ores de !os pronós+icos pun+ua!es para e! ode!o A4 120 en !os periodos 9I1$ 2$\$ 12$ donde se eidencia que a!,unos pronós+ico es+"n por encia de! a!or rea!sobrees+iando !a serie$ ien+ras que o+ros peranecen por debajo de! a!or de !a serie )aciendo unasubes+iación er a!ores rea!es en !a Ta#la +0 '$ sus respec+ios in+era!os de predicción cu'a!on,i+ud no es u' ap!ia$ indicando que !os pronós+icos son precisos.


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A con+inuación se ues+ra !a ecuación de pronós+ico para e! periodo Enero-21 a %iciebre-21:

Ŷ 132( @)=exp (4.521033+0.029027 (132+ @)−(1.1169∗10−3)(132+ @)2+(1,3175∗10−5 )(132+ @)3−(4

%onde$^̂ E132 ( @ )=0.441977 ^ E132 ( @−1 )−0.051103 ^ E132 ( @−2 )+0.229126 ^ E132 ( @−3 )−0.121814 ^ E132 ( @−4 )+0.2

Ta#la +3: (recisión de !os pronós+icos Mode!o 2: A4 120.!AE !SE !A"E

'&')*'*(' !&)+"("' .&'!''*+%

9os da+os de !a Ta#la +3$ ues+ran que e! porcen+aje edio abso!u+o de error MA(E0 es de! .2Uindicando que e! pronós+ico se encuen+ra e! .2U por encia o por debajo de !os a!ores rea!es de !aserie$ ade"s$ en e! .rá/ico 11 se eidencia un buenF pronós+ico dado que >s+e si,ue !a +endenciacrecien+e de !a serie.


P r e n d a s d

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1990 1992 1994 1996 1998 2000 20

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

riginal

austadopronosticado

.rá/ico11: Serie rea!$ ajus+ada ' pronós+icos Mode!o 2: A4 120.


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2&7&3& !odelo 3: Cic!os A4MA 2H$2H0

Ta#la ++: "ron%sticos !odelo 3 A4MA 2H$2H0"eriodo

2001

"ron%stico

"untual

ímite

in/erior

ímite

Superior

enero ! '*&)+%( .)&*%*' !"&.(.(

1ebrero + !++&!).(" !!&("*. !).&"%*'mar2o % !%*&+)!%. !!(&!!% !"'&(*!

abril ) !+%&%)'+ !!&"%%" !)*&.""

ma3o ( !%(&")!'( !!!&"(!+" !")&.'.% 4unio " !+"&))"+ !)&(%%% !(%&"('+ 4ulio . !!'&(.!%' *.&((*. !))&!*%

agosto ' !!"&)(') *(&'!%'( !)!&((%

se5tiembre * !!*&%"(* *'&+%* !)(&'.%

octubre ! !+%&(')'% !!&".%"" !(&+!'no6iembre !! !+.&*%(') !(&+(%! !((&(.diciembre !+ *"&'%*!" .*&!+( !!'&((%(

En !a Ta#la ++$ se presen+an !os a!ores de !os pronós+icos pun+ua!es para e! ode!o A4MA 2H$2H0en !os periodos 9I1$ 2$\$ 12$ donde se eidencia que a!,unos pronós+ico es+"n por encia de! a!or rea! sobrees+iando !a serie$ ien+ras que o+ros peranecen por debajo de! a!or de !a serie )aciendouna subes+iación er a!ores rea!es en !a Ta#la +0 '$ sus respec+ios in+era!os de prediccióncu'a !on,i+ud no es u' ap!ia$ indicando que !os pronós+icos son precisos.


Ŷ 132( @)=exp (4.445629+0.03567331(132+ @)−(1.307806∗10−3 ) (132+ @)2+(1.520595∗10−5 )(132+

%onde$^̂ E132 ( @ )=0.3801143 ^ E132 ( @−1 )+0.1166507 ^ E132 ( @−3 )−0.3059620 ^ E132 ( @−11)−0.2345064 ^ E132 ( @−2

Ta#la +: (recisión de !os pronós+icos Mode!o * A4MA2H$2H0!AE !SE !A"E

!"&'!!)! !'&"!.'!" !)&)."%)'

9os da+os de !a Ta#la +$ ues+ran que e! porcen+aje edio abso!u+o de error MA(E0 es de! 1H.Uindicando que e! pronós+ico se encuen+ra e! 1H.U por encia o por debajo de !os a!ores rea!es de!a serie$ ade"s$ en e! .rá/ico 12 se eidencia un a!F pronós+ico dado que$ )a' un periodo en e!que pronos+ica u' por debajo de !os a!ores rea!es de !a serie que son crecien+es.


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1990 1992 1994 1996 1998 2000 20

5 0

1 0 0

1 5

0

2 0 0

riginal

austadopronosticado

.rá/ico 12: Serie rea!$ ajus+ada ' pronós+icos Mode!o *: A4MA 2H$2H0.

2&7&+& !odelo +: Cic!os A4MA 2H$120

Ta#la +: "ron%sticos !odelo + A4MA 2H$120"eriodo

2001

"ron%stico

"untual

ímite

in/erior

ímite

Superior

enero ! ')&))*% "*&(!.*' !!&".(

1ebrero + !!'&!'(' *"&%(" !)(&)))'

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agosto ' !+'&*'*)! !)&%!" !(*&*.'(

se5tiembre * !%"&%!. !*&''(*+ !"*&*

octubre ! !(+&+%")% !++&.!.). !''&'("no6iembre !! !("&%!('! !+(&**(' !*%&*%+!diciembre !+ !++&+.."* *'&!('"% !(+&%+%+

En !a Ta#la +$ se presen+an !os a!ores de !os pronós+icos pun+ua!es para e! ode!o A4MA 2H$120en !os periodos 9I1$ 2$\$ 12$ donde se eidencia que a!,unos pronós+ico es+"n por encia de! a!or rea! sobrees+iando !a serie$ ien+ras que o+ros peranecen por debajo de! a!or de !a serie )aciendouna subes+iación er a!ores rea!es en !a Ta#la +0 '$ sus respec+ios in+era!os de predicción

cu'a !on,i+ud no es u' ap!ia$ indicando que !os pronós+icos son precisos.A con+inuación se ues+ra !a ecuación de pronós+ico para e! periodo Enero-21 a %iciebre-21:

Ŷ 132+ @=exp (4.520068+0.02903608(132+ @)− (1.11407∗10−3 )(132+ @)2+(1.30900∗10−5 )(132+ @)3−


48/67

%onde$^̂ E132 ( @ )=0.4428144 ^ E132 ( @−1 )+0.1312107 ^ E132 ( @−5 )−0.2520085 ^ E132 ( @−11 )−0.07955703 ^ E132 ( @−

Ta#la +7: (recisión de !os pronós+icos Mode!o H A4MA2H$120!AE !SE !A"E

*&""+!.* !+&..++%% '&'(.))

9os da+os de !a Ta#la +7$ ues+ran que e! porcen+aje edio abso!u+o de error MA(E0 es de! .Uindicando que e! pronós+ico se encuen+ra e! .U por encia o por debajo de !os a!ores rea!es de!a serie$ ade"s$ en e! .rá/ico 13 se eidencia un ejorF pronós+ico que e! de! ode!o *$ pero seeidencia que )a' un periodo en e! que pronos+ica un poco por encia de !os a!ores rea!es de !aserie$ pero si,uiendo !a +endencia crecien+e de !a isa.


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1990 1992 1994 1996 1998 2000 20

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

riginalaustado

pronosticado

.rá/ico 13: Serie rea!$ ajus+ada ' pronós+icos Mode!o H: A4MA 2H$120.

2&7&& !odelo : Cic!os A4 10

Ta#la +@: "ron%sticos !odelo A4 10"eriodo

2001

"ron%stico

"untual

ímite

in/erior

ímite

Superior

enero ! ')&*)+'" "*&(.!*" !%&.*.

1ebrero + !!%&%'( *&(+'.) !)!&('.

mar2o % !++&.*!( *.&'+"!. !(%&*+!%

abril ) !!*&%('( *(&)!'' !)*&'..%

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agosto ' !+(&*%+( **&('"" !(.&!)++

se5tiembre * !%!&+.(" !)&(+) !")&*'"

octubre ! !)'&)+)" !!'&!%('. !'"&)+%)no6iembre !! !(.&!!))( !+(&.!( !*.&%".)diciembre !+ !+(&!+!+' **&"+'" !(.&!.."


49/67

En !a Ta#la +@$ se presen+an !os a!ores de !os pronós+icos pun+ua!es para e! ode!o A4 10 en !os periodos 9I1$ 2$\$ 12$ donde se eidencia que a!,unos pronós+ico es+"n por encia de! a!or rea!sobrees+iando !a serie$ ien+ras que o+ros peranecen por debajo de! a!or de !a serie )aciendo unasubes+iación er a!ores rea!es en !a Ta#la +0 '$ sus respec+ios in+era!os de predicción cu'a!on,i+ud no es u' ap!ia$ indicando que !os pronós+icos son precisos.


4.557325+0.0255150 (132+ @)−(1.015881∗10−3)(132+ @)2+(1.210019∗10−5)(132+ @)3−(4.29624∗

0[ exp( 0.010372 )%onde$ ^̂ E132 ( @ )=0.4838368 ^ E132 ( @−1 )

Ta#la +9: (recisión de !os pronós+icos Mode!o

!AE !SE !A"E.62*2 1.*1* .62

9os da+os de !a Ta#la +9$ ues+ran que e! porcen+aje edio abso!u+o de error MA(E0 es de! .6Uindicando que$ e! pronós+ico se encuen+ra e! .6U por encia o por debajo de !os a!ores rea!es de!a serie$ ade"s$ en e! .rá/ico 1+ se eidencia un ejorF pronós+ico que e! de !os ode!os )as+aa)ora propues+os ode!o 2$ ode!o *$ ode!o H0$ sobrees+iando un poco !a serie pero si,uiendo !a+endencia crecien+e de !a serie.


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1990 1992 1994 1996 1998 2000 20

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

riginal

austadopronosticado

.rá/ico 1+: Serie rea!$ ajus+ada ' pronós+icos Mode!o


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2&7&& !odelo : Cic!os A4 2$20

Ta#la 0: "ron%sticos !odelo A4MA 2$20"eriodo

2001

"ron%stico

"untual

ímite

in/erior

ímite

Superior

enero ! ')&*")%! .&++% !%&*.'

1ebrero + !!%&*('*" *!&*"+% !)!&+!.mar2o % !+.&(".)% !+&"*(! !('&)"%*abril ) !+%&)*.+) *'&')+" !()&%"!(

ma3o ( !%.&!"'% !*&"!*)) !.!&")( 4unio " !%!&"."% !(&++%) !"(&*)' 4ulio . !+'&*!** !+&!!)" !"&".'.

agosto ' !%&*+!.' !)&%!%+ !")&%%"(

se5tiembre * !%.&.*'+" !*&.(.)* !.%&+*

octubre ! !("&)!!) !+)&+"+( !*(&*(%no6iembre !! !"(&)'!*% !%!&.".(( +.&'++"diciembre !+ !%+&!%('( !(&+.% !"(&*(.)

En !a Ta#la 0$ se presen+an !os a!ores de !os pronós+icos pun+ua!es para e! ode!o A4MA 2$20 en!os periodos 9I1$ 2$\$ 12$ donde se eidencia que a!,unos pronós+ico es+"n por encia de! a!or rea! sobrees+iando !a serie$ ien+ras que o+ros peranecen por debajo de! a!or de !a serie )aciendouna subes+iación er a!ores rea!es en !a Ta#la +0 '$ sus respec+ios in+era!os de prediccióncu'a !on,i+ud no es u' ap!ia$ indicando que !os pronós+icos son precisos.


Ŷ 132+ @=exp (4.557325+0.0255150(132+ @)− (1.015881∗10−3 )(132+ @)2+ (1.210019∗10−5 )(132+ @)3

%onde$^̂ E132 ( @ )=0.1004372 ^ E132 ( @−1 )+0.5289085 ^ E132 ( @−2 )+0.3781481 â132 ( @−1 )−0.4098947 â132 ( @−2 )

Ta#la 1: (recisión de !os pronós+icos Mode!o 6 A4MA2$20!AE !SE !A"E

.6HH 12.266 .6261

9os da+os de !a Ta#la 1$ ues+ran que e! porcen+aje edio abso!u+o de error MA(E0 es de! .6*Uindicando que$ e! pronós+ico se encuen+ra e! .6*U por encia o por debajo de !os a!ores rea!es de!a serie$ ade"s$ en e! .rá/ico 1 se eidencia un ejorF pronós+ico que e! de !os ode!os )as+aa)ora propues+os ode!o 2$ ode!o *$ ode!o H0$ sobrees+iando un poco !a serie pero si,uiendo !a+endencia crecien+e de !a serie.


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1990 1992 1994 1996 1998 2000 20

5 0

1 0 0

1 5

0

2 0 0

riginal

austadopronosticado

.rá/ico 1: Serie rea!$ ajus+ada ' pronós+icos Mode!o 6: A4MA 2$20.

2&7&7& !odelo 7: Cic!os A4 1$10

Ta#la 2: "ron%sticos !odelo 7 A4MA 1$10"eriodo

2001

"ron%stico

"untual

ímite

in/erior

ímite

Superior

enero ! ')&(%*(% "*&%)"! !%&"**

1ebrero + !!(&%+!" *%&!""'" !)+&.)!!

mar2o % !+"&)%%)% !!&%**!+ !(.&")')

abril ) !+%&%"."" *'&(.*(' !()&%'''

ma3o ( !%(&.%*'* !'&+""" !.&!'(( 4unio " !%&.""). !)&+!") !")&!%" 4ulio . !+"&".+ !&''*%* !(*&%'*

agosto ' !+*&"+*! !%&++*( !"+&.*%(

se5tiembre * !%"&+%%+ !'&))+) !.!&.!

octubre ! !()&+%*! !++&.""%% !*%&"*!*no6iembre !! !"%&(')" !%&!"*.) +(&%'('diciembre !+ !%&%(*% !%&...'% !"%&.)*%

En !a Ta#la 2$ se presen+an !os a!ores de !os pronós+icos pun+ua!es para e! ode!o A4MA 1$10 en!os periodos 9I1$ 2$\$ 12$ donde se eidencia que a!,unos pronós+ico es+"n por encia de! a!or rea! sobrees+iando !a serie$ ien+ras que o+ros peranecen por debajo de! a!or de !a serie )aciendouna subes+iación er a!ores rea!es en !a Ta#la +0 '$ sus respec+ios in+era!os de prediccióncu'a !on,i+ud no es u' ap!ia$ indicando que !os pronós+icos son precisos.


Ŷ 132+ @=exp (4.561028+0.024527 (132+ @ )−(9.794142∗10−4 ) (132+ @ )2+(1.163909∗10−5 ) (132+ @ )3−


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%onde$ ^̂ E132 ( @ )=0.714806 ^ E132 ( @−1 )−(−0.316649 â132 ( @−1 ) )

Ta#la 3: (recisión de !os pronós+icos Mode!o : A4MA1$10!AE !SE !A"E

.H2H2 12.*6111 .6H21*

9os da+os de !a Ta#la 3$ ues+ran que e! porcen+aje edio abso!u+o de error MA(E0 es de! .6Uindicando que$ e! pronós+ico se encuen+ra e! .6U por encia o por debajo de !os a!ores rea!es de!a serie$ ade"s$ en e! .rá/ico 1 se eidencia un buenF pronós+ico pero si,ue sobrees+iando un poco !a serie$ si,uiendo !a +endencia crecien+e de !a serie.


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e V

e s

t i r

1990 1992 1994 1996 1998 2000 20

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

riginalaustado

pronosticado

.rá/ico 1: Serie rea!$ ajus+ada ' pronós+icos Mode!o : A4MA 1$10

2&@& Calidaci%n de supuestos

9a unción de au+ocorre!ación es+" deinida as/:

ρa (k )=5orr [at , a t +k ]

ϕa,kk =5orr [at ,at +k /a t +1 , at +1 ,#,a t +k −1 ]

Test 4unci%n de autocorrelaci%n o A4

o : ρa (k )=0!s a : ρa (k ) "0,k =1,2,#,$$=[ %4 ]

Estad>sti5od2 pr;26a :|^ ρa(k )|aprox &

R &B , N (0, 1% )Crit2riod2 r25Dao :|^ ρa(k )|>

2

√ %


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Test 4unci%n de Autocorrelaci%n "arcial o "A4

o :'a,kk =0!s a :'a,kk "0,k =1,2,#,$

$=[ %4 ] ,$ 2%$;:tip:osd26

Estad>sti5o d2 pr;26a :|

^

'a,kk |aprox &

R &B , N

(0, 1

% )Crit2riod2 r25ao :|'̂a,kk |>

2

√ %

Test de autocorrelaci%n jun6;


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0 20 40 60 80 100 120

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

%esiduales &s. tiem'o modelo2

r e s i d a

u s t 2

"8 40 42 44 46 48 5

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

%esiduales &s. a(ustados modelo

r e s i d a

u s t 2

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

ACF modelo2

# $ %

- 0 1

5

- 0 0

5

0 0

5

0 1

5

P a r t i a l # $ %

PACF modelo2

.rá/ico 17: 4esidua!es ât de! ajus+e con errores A4 120$ ' su AC= ' (AC= ues+ra!es.

Se,@n e! .rá/ico 17$ de !a AC= ' (AC= de! ode!o A4 120$ puede decirse que !os errores de ajus+eat son 4uido ;!anco$ dado que no se presen+an cor+es en !as bandas de ;ar+!e++.

Ta#la +: Tes+ 9jun,-;o< para at de! ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona!

M Q @B Gl P ( G $2

HQ @B)" &%!.*))+ " &***)()!+ &".%)"( !+ &*****'(

!' "&%!+)'' !' &**)'!).+) !+&.'!.*+ +) &*"*""'% !'&(***+.! % &*).**!+

Coo se ues+ra en !a Ta#la +$ +odos !os a!ores p son a'ores a un nie! de si,niicancia deXI.$ por !o cua! se puede conc!uir que !os errores de ajus+e son ruido b!anco$ resu!+ado que es+" enconcordancia con !as ,r"icas AC= ' (AC= de! ode!o con errores A4 120.

%espu>s de eriicar que !os errores de ajus+e at $ son 4uido b!anco$ se procede a ea!uar nora!idad ' a rea!i#ar !os respec+ios pronós+icos.

Ta#la : Tes+ de nora!idad para at

en e! ode!o 2Es+ad/s+ico .1*

Va!or ( .2Tes+ S)apiro-i!L nora!i+' +es+


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-2 -1 0 1 2

- 0 2

- 0 1

0 0

0

1

0 2

r#ico /ormal %esiduales odelo 2

7 a m p l e 6 u a n t i l e s

.rá/ico 1@: Nora!idad de ât ode!o 2.

9a Ta#la ues+ra que se,@n e! Tes+ de S)apiro-i!L$ !os errores de ajus+e at +ienen unadis+ribución nora!$ pues+o que su a!or p de! $2U es u' a!+o no se rec)a#a 0 0$ sinebar,o$ en e! .rá/ico 1@$ se obseran a!,unos desajus+es sobre !os a!ores a! inicio ' a! ina! de !arec+a$ posib!een+e por !a presencia de a!ores a+/picos.


57/67

2&@&2& !odelo 3: Cic!os A4MA 2H$2H0

0 20 40 60 80 100 120

- 0 "

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

%esiduales &s. tiem'o modelo)

r e s

i d a

u s t "

"8 40 42 44 46 48 5

- 0 "

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- 0 1

0 0

0 1

0 2

%esiduales &s. a(ustados mode

r e s

i d a

u s t "

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

ACF modelo)

# $ %

- 0 1 5

- 0 0

5

0 0

5

0 1

5

P a r t i a l # $ %

PACF modelo)

.rá/ico 19: 4esidua!es ât de! ajus+e con errores A4MA 2H$2H0$ ' su AC= ' (AC= ues+ra!es.

Se,@n e! .rá/ico 19$ de !a AC= ' (AC= de! ode!o A4MA 2H$2H0$ puede decirse que !os errores deajus+e at son 4uido ;!anco$ dado que no se presen+an cor+es en !as bandas de ;ar+!e++ en nin,unade !as dos i,uras.

Ta#la : Tes+ 9jun,-;o< para at de! ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona!M Q @B Gl P ( G $

2HQ @B)

" %&..%%) " &..%!..!+ )&.*.".( !+ &*")%*.)

!' *&(*(+"+ !' &*))%!*%+) !+&')"! +) &*.'*)))% !"&.*%"" % &*.)*"..

%e acuerdo con !a Ta#la $ !os a!ores p para at de! ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona! conerrores A4MA 2H$2H0 son ruido b!anco$ dado que son a!ores ,randes en coparación con un nie!de si,niicancia XI..

Ta#la 7: Tes+ de nora!idad para at en e! ode!o *Es+ad/s+ico .H1

Va!or ( .6HTes+ S)apiro-i!L nora!i+' +es+


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-2 -1 0 1 2

- 0 "

- 0 2

- 0 1

0 0

0

1

0 2

r#ico /ormal %esiduales odelo )


.rá/ico 20: Nora!idad de ât ode!o *.

9a Ta#la 7 ues+ra que se,@n e! Tes+ de S)apiro-i!L$ !os errores de ajus+e at +ienen unadis+ribución nora!$ pues+o que su a!or p de! 6.HU es u' a!+o no se rec)a#a 0 0$ sinebar,o$ en e! .rá/ico 20$ se obseran a!,unos desajus+es sobre !os a!ores a! inicio ' a! ina! de !arec+a$ posib!een+e por !a presencia de a!ores a+/picos

2&@&3& !odelo +: Cic!os A4MA 2H$120

0 20 40 60 80 100 120

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

%esiduales &s. tiem'o modelo*

r e s i d a

u s t 4

"8 40 42 44 46 48 50

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2


r e s i d a

u s t 4

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

ACF modelo*

# $

%

- 0 1

5

- 0 0

5

0 0

5

0 1

5

P a r t i a l # $ %

PACF modelo*

.rá/ico 21: 4esidua!es ât de! ajus+e con errores A4MA 2H$120$ ' su AC= ' (AC= ues+ra!es.


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Ta#la @: Tes+ 9jun,-;o< para at de! ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona!M Q @B Gl P ( G $

2HQ @B)

" )&!(!'+ " &""+)))'!+ (&+!(+(+ !+ &*()!

!' !!&+'.(% !' &''!.(*!+) !.&')')+' +) &'!+*'"% +(&%+""" % &.*%"

Coo se ues+ra en !a Ta#la @$ !os a!ores p son a!+os$ !o que indica que !os errores de ajus+e at de! ode!o A4MA 2H$120 son 4uido ;!anco$ a! i,ua! que se deues+ra en e! .rá/ico 21 dado queen !a AC= ' (AC= no se presen+an cor+es en !as bandas de ;ar+!e++ en nin,una de !as dos i,uras.

Ta#la 9: Tes+ de nora!idad para at en e! ode!o HEs+ad/s+ico .1*

Va!or ( .11Tes+ S)apiro-i!L nora!i+' +es+

-2 -1 0 1 2

-

0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

r#ico /ormal %esiduales odelo *


.rá/ico 22: Nora!idad de ât ode!o H.

9a Ta#la 9 ues+ra que se,@n e! Tes+ de S)apiro-i!L$ !os errores de ajus+e at +ienen una

dis+ribución nora!$ pues+o que su a!or p de! $11U es u' a!+o no se rec)a#a 0 0$ sinebar,o$ en e! .rá/ico 22$ se obseran a!,unos desajus+es sobre !os a!ores a! inicio ' a! ina! de !arec+a$ posib!een+e por !a presencia de a!ores a+/picos en !a serie.


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2&@&+& !odelo : Cic!os A4 10

0 20 40 60 80 100 120

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

%esiduales &s. tiem'o modelo

r e s

i d a

u s t 5

"8 40 42 44 46 48 50

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2


r e s

i d a

u s t 5

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

0 2

ACF modelo

# $ %

- 0 2

- 0 1

0 0

0 1

P a r t i a l # $ %

PACF modelo

.rá/ico 23: 4esidua!es ât de! ajus+e con errores A4 10$ ' su AC= ' (AC= ues+ra!es.

Se,@n e! .rá/ico 23$ de !a AC= ' (AC= de! ode!o : A4 10$ puede decirse que !os errores deajus+e at no son 4uido ;!anco$ dado que se presen+an cor+es en !as bandas de ;ar+!e++ en !os

a!ores de LI11 +an+o en !a AC= coo en !a (AC=$ acep+ando as/ 0 .

Ta#la 0: Tes+ 9jun,-;o< para at de! ode!o 9o,-&rado Cua+ro Es+aciona!M Q @B Gl P

( G

$

2HQ

@B

)" *&+"'"! " &!"++.)+)!+ !"&"%!((( !+ &!"%**)!

!' +.&%!.*+" !' &.%+++)(+) %(&!"(!)( +) &"(*'*%(% ))&+'!.* % &).)!%+%

En !a Ta#la 0 se eidencia que uno de !os a!ores p es enor que un nie! de si,niicancia X I.$ ien+ras que !os de"s se an+ienen por encia de ese a!or$ aunque no por uc)o$ seconc!u'e en+onces con e! +es+ 9jun,-;o


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2&@&& !odelo : Cic!os A4MA 2$20

0 20 40 60 80 100 120

- 0 2

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0 0

0 1

0 �

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TRABAJO N°3 ESTADISTICA III 2013

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