7/28/2019 Triangulos rectangulos. Resolucion de problemas.pdf

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Problemas resueltos1) Si

5

3sen = , calcula utilizando a) la calculadora b) las relaciones fundamen-

tales (< 90).tanycos

Solucin

I.E.S. Historiador Chabs -1- Juan Bragado Rodrguez

a) 750869863tan80869863cos8698635

3arcsen

5

3sen =====

b) 805

4

25

16

25

91

5

31sen1cos1cossen

2222 ====

===+

75080

60

805

3

cos

sentan =

=

=

=

2) En un tringulo rectngulo se sabe que la hipotenusa mide 8 cm y que uno de sus nguloses de 25. Calcula los dos catetos y el ngulo que falta. Comprueba los resultados obteni-dos midiendo directamente.

Solucin

cm38325sin8a8

a25sin ===

cm25725cos8c8

c25cos ===

Otra manera de calcular c es por el dePitgoras:

aT

cm2573838cc3838cab 22222222 ==+=+=

El ngulo que falta es 652590180C ==

3) A qu altura del suelo se encuentra la cometa?

42

50m

12 m

Solucin

m6543m21m4533hm453342sen50x

50

x42sen =+====

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4) Un tobogn tiene una altura mxima de 3 m y una longitud de 5 m. Cul es su inclina-cin?

Solucin

5

3sen =

876353arcsen ==

5) Calcula el rea de un dodecgono regular de 5 cm de lado.

Solucin

3012

360=

h

5215tan

= cm339

15tan

52h =

=

rea del tringulo issceles:

2T cm325322

cm339cm5A =

=

rea del Dodecgono:

2TD cm84927323212A12A ===

6) Calcula la altura del rbol de la figura

28

040 m 1160 m

20 cm

Solucin

12

x

4006011

x14tan =

+=

m991214tan12x ==

m982599122x2 ==

Observamos que el lpiz no es relevantepara resolver el problema.

I.E.S. Historiador Chabs -2- Juan Bragado Rodrguez

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7) Un pentgono se inscribe en un crculo de radio 3 cm. Hallar su lado y su apotema.

Solucin

725

360=

362

72=

cm427236cos3a3

a36cos ===

cm763136sen3x3

x36sen ===

El lado x tambin lo podemos calcular aplicando el Teorema de Pitgoras.

cm763142729a3xxa3 222222 ===+=

El lado del pentgono mide cm526376312x2 == La apotema del pentgono mide cm4272a =

8) Subimos con una bicicleta un puerto de montaa cuya ladera permite que el trazado de la

carretera sea recto. Si la pendiente de la carretera es del 22% a qu altura nos encontra-remos cuando el cuentakilmetros marque 6 km?

Solucin

40721220tan220arctan220100

22tan 1 =====

km2891m12912840721sen6000x6000

x40721sen ====

I.E.S. Historiador Chabs -3- Juan Bragado Rodrguez

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9) Hallar la longitud de los vientos que sujetan la tienda de campaa y la longitud del lado x.

Solucin

m205137tan61h61

h37tan ==

=

m565112051x1hx

2222 =+=+=

m8652622051y62hy 22222 =+=+=

10) Desde dos ciudades A y B que distan 80 km. se observa un avin. Las visuales desde elavin a A y a B forman ngulos de 29 y 43 con la horizontal, respectivamente. A qu al-

tura est el avin? A qu distancia se encuentra de cada ciudad?

Solucin

El problema tiene dos posibles soluciones: a) que el avin se encuentre entre las dos ciudades yb) que las dos ciudades se encuentren a un mismo lado del avin.

a) Si el avin est situado entre las dos ciudades.

I.E.S. Historiador Chabs -4- Juan Bragado RodrguezTenemos dos tringulos rectngulos: el ACH y el BCH.

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En el tringulo ACH se verifica:

x55403244)x80(5540)x80(29tanhx80

h29tan ===

=

En el tringulo BCH se verifica:

x9320x43tanhxh43tan ===

Igualando las dos expresiones tenemos una ecuacin cuya incgnita es x.

x5540x93203244x9320x55403244 +==

m82924861

3244xx48613244 =

==

Sustituyendo este valor en la expresin de la altura obtenemos h.

m7927282929320h ==

m421754840

79272

29sen

79272b

b

79272

b

h29sen =

=

=

==

m81046810

79272

43sen

79272a

a

79272

a

h43sen =

=

=

==

b) Si las dos ciudades se encuentran a un mismo lado del avin.

Tenemos dos tringulos rectngulos: el ACH y el BCH.

En el tringulo ACH se verifica:

x9320x43tanhx

h43tan ===

I.E.S. Historiador Chabs -5- Juan Bragado RodrguezEn el tringulo BCH se verifica:

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x55403244)x80(5540)x80(29tanhx80

h29tan +=+=+=

+=

Igualando las dos expresiones tenemos una ecuacin cuya incgnita es x.

3244x5540x9320x55403244x9320 =+=

m2487113780

3244x3244x3780 =

==

Sustituyendo este valor en la expresin de la altura obtenemos h.

m2759102487119320h ==

m775224840

275910

29sen

275910b

b

275910

b

h29sen =

=

=

==

m460166810

275910

43sen

275910a

a

275910

a

h43sen =

=

=

==

11) El ngulo bajo el cual se ve un barco des-de un rascacielos mide 45. Cuando elbarco ha recorrido 140 m dicho ngulo esde 60. Calcula la altura del rascacielossobre el nivel del mar y la distancia delbarco a la vertical del rascacielos en el

momento de la segunda observacin.

Solucin

En el tringulo rectngulo ACH se verifica:

d140

h45tan

+=

d140)d140(45tanh +=+=

En el tringulo rectngulo BCH se verifica:

d7321d60tanhd

h60tan ===

Igualando las dos expresiones:

dd7321140d7321d140 ==+

m251197320

140d140d7320dd7321140 =

===

I.E.S. Historiador Chabs -6- Juan Bragado Rodrguezm2513325119140h =+=

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12) Calcula la longitud del puente que sequiere construir entre los puntos A y B,para lo cual se sabe que los ngulos ABOy OAB miden 32 y 48 respectivamente yque la distancia entre A y O, medida enlnea recta es 120 m.

Solucin

La longitud del puente es la suma de las lon-gitudes x e y.

En el tringulo rectngulo AHO se verifica:

120

h48sen =

m1779812048senh ==

En el tringulo rectngulo AHO se verifica:

m3408111

17798

48tan

17798x

x

17798

x

h48tan =

=

=

==

En el tringulo rectngulo BHO se verifica:

m912146240

17798

32tan

17798y

y

17798

y

h32tan =

=

=

==

La longitud del puente es m25322912143408yx =+=+

13) Calcular la altura de ambos edificios.

I.E.S. Historiador Chabs -7- Juan Bragado Rodrguez

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Solucin

m046511027tana110

a27tan ===

110

x

17tan = m633311017tanx

==

Las alturas de los edificios son ym0465

m679863330465xa =+=+

14) La figura adjunta representa una parte de un campo de ftbol. Si la distancia de la porte-ra a la esquina del campo (corner) es de 10 m y desde esta esquina caminamos por labanda lateral del campo 20 m, calcula el valor que tiene que tener para que al golpear

al baln, en lnea recta, entre en el interior de la portera.

I.E.S. Historiador Chabs -8- Juan Bragado Rodrguez

Solucin

=

866020

3271

20

32710tan =

=

+=

892048660arctan==

5020

10tan ==

5656250arctan ==

327415656289204 ===

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15) En la pirmide de Keops de base cuadra-da, el lado de la base mide 230 m y el n-gulo que forma una cara con la base es de52. Calcula:a) La altura de la pirmide (h), la altura

de la cara (x) y la arista (y).

b) ngulo de la arista con la base (A) yngulo de la cara en la cspide de lapirmide (B).

c) rea y volumen de la pirmide. (buscaen el ltimo tema de los apuntes lla-mado Miscelnea las frmulas de lapirmide)

Solucin

a) Calculamos primero la diagonal del cuadrado que forma la base de la pirmide.

m6352162

27532

2

dm27532105800d105800230230d 222 =

====+=

115

h52tan =

m19371411552tanh ==

x

11552cos =

m7961852cos

115x ==

222 635216193714y +=

m353921y =

b) El ngulo que forma la arista de la pirmide con la base es:

147249050arctan9050635216

193714tan ===

=

I.E.S. Historiador Chabs -9- Juan Bragado Rodrguez

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El ngulo de la cara en la cspide de lapirmide es:

6156079618

115tan =

=

61911361560arctan ==

2382362 =

c) rea de la base 4 rea del tringulo que forman las caras=A +

222 m43138822

796182304230

2

x2304230A =

+=

+=

=3

1V rea de base Altura 32 m396672176819714230

3

1==

16) Un rbol tiene determinada sombra cuando el sol se observa bajo un ngulo de elevacinde 50. Bajo qu ngulo proyectar una sombra el doble que la anterior?

Solucin

Como se observa en el dibujo adjunto, hay 2tringulos rectngulos, el ADC y el BDC.

En ADC se verifica:

tanx2hx2

htan ==

En ADC se verifica:

x191150tanxh

x

h50tan ===

Igualando las dos expresiones:

I.E.S. Historiador Chabs -10- Juan Bragado Rodrguez

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752035950arctan59502

1911

x2

x1911tanx1911tanx2 ===

=

/

/==

17) Un paparazzi pretende fotografiar a una actriz que se encuentra trabajando en el jardnde su casa, y para ello se sube a un rbol de 375 m de altura. Si la distancia desde el rbola la tapia del jardn es de 6 m y la altura de la tapia es de 225 m calcular:a) Bajo qu ngulo observar la propiedad del actor?b) Cul es la mxima separacin del muro a la que podr tumbarse la actriz si no desea

ver turbada su intimidad?

Solucin

a) Como se observa en el dibujo hay dos tringulos rectngulos, el ABE y el ACD.

En el tringulo ABE se verifica:x

252tan

=

En el tringulo ACD se verifica:x6

753tan

+

=

Igualando los segundos miembros de las dos expresiones calculamos el valor de x.

x753x252531x753)x6(252x6

753x252 =+=+

+=

m951

531xx51531 =

==

03641250arctan2509

252tan ===

=

El ngulo bajo el que el paparazzi observa la propiedad de la actriz es de 03641

I.E.S. Historiador Chabs -11- Juan Bragado Rodrguezb) La mxima distancia del muro a la que puede tumbarse la actriz sin ser vista por el paparazzi

es de 9 m.

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18)a) Hallar el valor del ngulo que

forma la arista de la base con ladiagonal del paralelepdo.

b) Hallar el valor del ngulo queforma la diagonal del paralelep-

do con la diagonal de la base.

Solucin

a) 222 55d += 50d =

12

50

12

dtan ==

498031250arctan ==

b)

=+= 169125D 222 13D = 031213

5arctan

13

5

13

Dtan ====

19) Para calcular la altura de un rbol, Eduardo ve la copa reflejada en un charco y toma lasmedidas que indica el dibujo. Cul es la altura del rbol?

Solucin

Segn las leyes de la ptica geomtrica se verifica que, el rayo de luz que incide en una superfi-

cie, el rayo reflejado y la normal a la superficie estn todos en un mismo plano y adems se ve-rifica que el ngulo de incidencia y el de reflexin son iguales.

I.E.S. Historiador Chabs -12- Juan Bragado Rodrguez

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471135351arctan35121

621tan ===

=

m45471135tan4h4

h471135tan ===

20) Halla la altura CD de la torre de pie inaccesible y ms bajo que el punto de observacin,con los datos de la figura.

Solucin

Como se observa en el dibujo hay 3 tringu-los rectngulos: ADH, BDH y BHC. La al-tura de la torre ser la suma de las distan-

cias yxHCDH +=+ .

En el tringulo BDH se verifica:

48tanzxz

x48tan ==

En el tringulo ADH se verifica:

30tan)z50(xz50

x30tan +=

+=

Igualando las expresiones resultantes:

z57708682z11130tanz30tan50z11130tan)z50(48tanz +=+=+=

m146455330

8682z8682z53308682z5770z111 =

===

m1350648tan1464548tanzx ===

En el tringulo BHC se verifica:

I.E.S. Historiador Chabs -13- Juan Bragado Rodrguez

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m709120tan14645y14645

y

z

y20tan ==

==

La altura de la torre es m83597709113506yx =+=+

21)En un rectngulo ABCD de lados 8 y 12cm se traza desde B una perpendicular ala diagonal AC, y desde D, otra perpendi-cular a la misma diagonal. Hallar la lon-gitud del segmento de diagonal que de-terminan las dos perpendiculares.

Solucin

Calculamos la diagonal del rectngulo apli-cando el teorema de Pitgoras.

42241AC208812AC 222

==+=

42241yx2AC =+=

En el tringulo rectngulo ABC se verifica: 31658

12arctan

8

12tan ===

En el tringulo rectngulo BCM se verifica:

cm43743165cos8x8

x3165cos

8

xcos ====

cm54854374242241y42241y4374242241yx2 ===+=+

22) Un poste de 6 m de altura es alcanzado por un rayo partindolo a una altura h del sue-lo. La parte superior se desploma quedando unida a la parte inferior formando un ngulode 60 con ella. Cunto mide la parte rota ms larga del poste? Redondea a un decimal larespuesta.

Solucin

I.E.S. Historiador Chabs -14- Juan Bragado Rodrguez

)h6(60coshh6

h60cos =

=

60cosh60cos6h =

60cos660coshh =+

3h513h50h ==+

m251

3h =

=

El trozo que se ha partido mide m426 =

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23) A 257 m de altura, el satlite nos enva esta imagen del I.E.S. Historiador Chabs recogidaen Google Maps (la referencia a la escala se encuentra en la parte inferior izquierda de laimagen). Con una regla hemos medido los lados del cuadriltero que forman el permetrodel instituto y con el semicrculo graduado hemos medido los ngulos. Finalmente utili-zando las razones trigonomtricas hemos calculado las reas de los dos tringulos.Calcula:

a) La escala a la que est hecha la fotografa.b) El Permetro y el rea real del instituto.c) Busca en Internet la superficie real del IES Chabs y comprala con el resultado que

has obtenido.

I.E.S. Historiador Chabs -15- Juan Bragado Rodrguez

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Problemas propuestos1) Dos edificios distan entre s 150 metros. Desde un punto que est entre los dos edificios,

vemos que las visuales a los puntos ms altos de estos forman con la horizontal ngulos de35 y 20. Cul es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo?

2) Calcula el rea de un rombo cuyo lado mide 6 cm. y uno de sus ngulos 150.

3) Una estatua de 2,5 m est colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve elpedestal bajo un ngulo de 15 y la estatua bajo un ngulo de 40. Calcula la altura delpedestal.

4)Dos torres, una de 30 pasos y otrade 40 pasos estn separadas 50 pa-sos. Entre las dos torres se encuen-

tra una fuente hacia la que descien-den dos pjaros que estn en las al-menas de las torres. Yendo a igualvelocidad llegan al mismo tiempo.A qu distancia de las torres se en-cuentra la fuente?

5) Dibuja un tringulo rectngulo cualquiera y construye sobre sus lados un polgono regu-lar cualquiera. Se verifica el teorema de Pitgoras? Demustralo con un ejemplo y hazlos clculos.

6) Desde una llanura hay que levantar la vista 20 para dirigirla hacia la bandera en lo altode la torre de un castillo. Si avanzamos en lnea recta 200 m, tenemos que levantar la vista30. A qu altura est la bandera?

7) Desde un chiringuito en una playa se observa un barco en altamar y un faro en la costabajo un ngulo de 60. El faro est a 500 m. del chiringuito y tambin se observa desde allel barco. El ngulo bajo el cul se observan el barco y el chiringuito es de 40. A qu dis-tancia est el barco del faro?

8) Se desean construir unas gradas para una piscina olmpica. Las gradas deben estar incli-nadas 45 y tener una longitud (desde la primera fila hasta la ltima, all en lo alto) de 50m. Como no hay terreno suficiente se ha pensado en colocar las ltimas vigas (las que so-portarn la ltima fila) inclinadas "hacia dentro" en vez de verticales, pero vigas de lascaractersticas adecuadas para tan especial disposicin slo las hay de 55 m.a) A qu altura quedar la ltima fila?b) Cunto se "mete hacia dentro" el pie de la ltima viga?c) Qu inclinacin respecto a la vertical tendr esa viga?

I.E.S. Historiador Chabs -16- Juan Bragado Rodrguez

9) Un globo est sujeto al suelo mediante un cable de 100 m de longitud. El viento es tan in-tenso que el cable, tenso, se desva 15 de la vertical. Desde un punto algo alejado del de

sujecin hay que levantar la vista 60 desde la horizontal para dirigir la mirada al globo.

7/28/2019 Triangulos rectangulos. Resolucion de problemas.pdf

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a) Qu distancia hay en vertical del globo al suelo?b) Qu distancia hay desde el punto algo alejado hasta el globo?c) Qu distancia hay entre el punto anterior y el de sujecin?

10) Las tangentes a una circunferencia de centro O, trazadas desde un punto exterior P, for-man un ngulo de 50. Halla la distanciaPO sabiendo que el radio de la circunferencia es

12,4 cm.

11) En una ruta de montaa una seal indica una altitud de 785 m. Tres kilmetros ms ade-lante (suponemos que la carretera es recta), la altitud es de 1065 m. Halla la pendientemedia de esa ruta y el ngulo que forma con la horizontal.

12) Desde la orilla de un ro, observamos la copa de un rbol situado en la otra orilla, bajo unngulo de 60. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ngulo de observacin es de 45. Cal-cular la altura del rbol y la anchura del ro.

13) Calcula los ngulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm. Cunto mide el

lado del rombo?

14) Un mstil de 5 m se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura. Halla elvalor de c, la longitud del cable y el rea del tringulo

15) En un tringulo rectngulo uno de los catetos mide el doble que el otro.a) Llamax al cateto menor y expresa en funcin dex el otro cateto y la hipotenusa.b) Halla las razones trigonomtricas del ngulo menor.c) Cunto miden los ngulos de ese tringulo?

16) Para calcular la altura de un castillo hemos medido los ngulos que se indican en la figura.Sabemos que hay un funicular para ir de Aa B cuya longitud es de 250 m. Halla la alturadel castillo.

I.E.S. Historiador Chabs -17- Juan Bragado Rodrguez