제 9장. Turing Machines

학습목표

Turing Machine의 작동원리와 일반적인계산모형으로서의 가능성 이해

Welcome to 현실세계의 계산모형

개요

•표준 튜링 머신

– 가장 강력한 오토메타

– 계산 한계 규명의 도구

• 튜링 머신의 결합

• Turing Thesis

철저한 증명보다는 개념적인 이해 및 응용 예 숙지 필요

왜? 너무 자세히 하기에 너무 복잡해서리…하지만, 기본 방법은 이미 알고있는…

기본 구성 및 왔다리 갔다리 방식의작동원리 이해

실제 컴퓨터 언어에서 처럼 복잡한문제를 해결하는데는 단순한 모듈의결합이 제격!

튜링 머신의 power를 보여주는 명제

Standard TM

),,(),(Ex 10 Rdqaq =δ0q

a b c

states final :state initial :

blank },{:fn. transition :

alphabet tape :alphabetinput :

states internal :),,,,,,(:Def.

0

0

QFQq

RLQQ

QFqQM

⊆∈Γ∈

×Γ×→Γ×ΓΣ

ΓΣ=⋅

: □

□

δδ

δ

1q

d b c

cu

R/W head

Tape

여러 가지 정의의 TM에 대한 표준정의

TM의 정의: Halt

a a

0q

b b

0q

b b

1q),,(),(),,(),(),,(),(

10

00

00

LqqRbqbqRbqaq

□□ ===

δδδ

),,(),(),,(),(),,(),(),,(),(),,(),(),,(),(

01

01

01

10

10

10

LqqLbqbqLaqaqRqqRbqbqRaqaq

□□

□□

======

δδδδδδ

b

0q

a

⇒ infinite loop

• Def A TM is to halt iff it reaches a configuration for which δ is not defined

.Ex

.Ex

이제까지 우리가 알고 있는 계산기의프로그래밍과 유사하지요.

Standard TM

TM의 정의: 기계의 상태 표현

nkkk aaaqaaaxqx LL 112121 or +−

dabeqcdabqReqcqδ

21

21 ),,(),(├

=

bbqaaq

bbqbbqabqaaq

1

*

0

1000

├

├├├ □

: ├⋅

• Def instantaneous description

.Ex

q

ka 1+ka1−ka⋅ na1a 2a

1x 2x

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Standard TM

TM의 정의: Computation

undefined is),(,y 21*

21 aqayqxqx jji δ├

∞*

21 ├xqx

• Def computation

• cf infinite loop

= sequence of configurations leading to a halt state

Standard TM

cf. if w L(M)

1. machine can halt in a nonfinal state2. it can enter an infinite loop & never halt

TM as Language Accepters

},, somefor :{)(

),,,,,,{.Def

*2121

*

0

0

Γ∈∈Σ∈=

ΓΣ=

+

⋅xxFqxqxwqwML

FqQM

ff├

□δ

*00accept toTM adesign },1,0{.Ex =Σ

∉

),,(),(),0,(0),(

10

00

RqqRqq

□□ ==

δδ

right movingby continue0 is read symbol theifcheck :idea⋅

TM as Language Accepters: 예

210 qqq

}1:{accept toTM adesign },,{Ex. ≥==Σ nbaLba nn

ybxa

→→

firstleftmost anext

),,(),(),,(),(),,(),(),,(),(

21

11

11

10

LyqbqRyqyqRaqaqRxqaq

====

δδδδ

),,(),(),,(),(),,(),(

02

22

22

RxqxqLaqaqLyqyq

===

δδδ

),,(),(),,(),(),,(),(

43

33

30

RqqRyqyqRyqyq

□□ ===

δδδ

ybxa →→⋅ :idea

좀 복잡해 보이지만 상식적인 문제해결 방식과 같죠!

TM as Language Accepters: 예2

□□

□

├

├├├

├├├

├├├

├├├

4

330

221

102

2110

qxxyyxxyyqyxxyqyyxxq

xyyxqyyxxqbxxyqybxxqaybxqxaybq

aybxqbbxaqabbxqaabbq

}1:{accept toTMaDesign Ex. ≥= ncbaL nnn

zyxcba ,,,, →

실제 계산기를 흉내 내려면 accepter만으로는…

TM as Transducers

Fqwfqwq

FqQMDf

ffM ∈

∋ΓΣ=∃⋅

),(

),,,,,,( TM some e)(computabl computable-Turing :on Def.

*0

0

├

□δ

yx + compute toTM aDesign Ex.

• purpose of computation = transform input into output

xxw =⋅

|)(|integers positive oftion representa :idea

0)()(0)(*

0 yxwqywxwq f +├

TM as Transducers: 예

wwqwq f*

0 ├

Ex design a TM to copy strings of 1’s

),,(),(),1,()1,(

31

11

RqqLqq

□□ ==

δδ

),1,(),(),1,()1,(),1,(),(

12

22

21

LqqRqqRqxq

===

□δδδ

),,(),(),,()1,(

10

00

LqqRxqq

□□ ==

δδ

1createend,rightnextforback1rightmost1every ⎯→⎯→⎯→⎯→ xx

TM as Transducers: 예2

⎩⎨⎧

<

≥

yxq

yxq

n

y

ifstatenonfinalain

ifstatefinalainhalttoTMaDesignEx.

yxywxwqywxwq

yxywxwqywxwq

n

y

<

≥

if),(0)()(0)(

if),(0)()(0)(*

0

*

0

├

├

n

y

qxxxxxxx

qxxxxx

⎯→⎯

⎯→⎯

□

□

110

110

LL

LL

Standard TM: Exercises 9.1

• 5 : 간단한 문제로 답도 간단합니다.

• 8 : 좀 지루한 작업을 필요로 합니다. 만, 대부분의 TM과 관련된 문제가이와 같은 작업을 필요로 하기 때문에 한번 해봅시다. 어쨌든, pda가할 수 없는 일을 TM이 한다는 사실에 유의할 것.

Combining TM for Complicated Tasks

yxyxyxyxf

fn.

Combining TM for Complicated Tasks: 예

Ex

0)()(0)(

if),(0)()(0)(

,

*

0,

0,

*

0,

yxwqywxwq

yxywxwqywxwq

fAA

Ac

+

≥

├

├

kj qqa elsethen ifuctionmacroinstr thefor TM aDesign

0)(0)(

if),(0)()(0)(

,

*

0,

0,

*

0,

fEE

Ec

qywxwq

yxywxwqywxwq

├

├ <

QqRaqaq iji ∈= allfor),,(),( 0δ

}{allandallfor),,(),( 0 abQqRbqbq iki −Γ∈∈=δ

Γ∈= cLcqcq jj allfor),,(),( 0δ

Γ∈= cLcqcq kk allfor),,(),( 0δ

Region separator

##

Workspace for A Workspace for BT

• Subprogram manipulation in TM

– divide the tape into several regions

• Idea : repeated copying of the multiplicand yfor each 1 in the multiplier x

Ex Design a TM to multiply two positive integers

1. Repeat the following steps until x contains no more 1’sFind a 1 in x and replace it with another symbol aReplace the leftmost 0 by 0y

2. Replace all a’s with 1’s

Combining TM for Complicated Tasks: 예2

• 개념적으로는 어려운 문제가 아니지만, 대부분 일반적인 프로그래밍과

관련된 지루한 코딩이 필요합니다.

• 2번과 4번 정도를 한번 시도해 봅시다.

Combining TM: Exercises 9.2

Turing’s Thesis

DdFqdfqdq

RdfDdMRDf

ffM ∈∀∈

∈→∈∋→⋅

),(

)(answer correct halt with input TM ,:for algorithm :Def

*0 ├

• TM > pda

• TM ? = digital computer

Anything that can be done on any existing digital computer can also by a TM

No one has yet been able to suggest a problem, solvable by what we consider an algorithm, for which a TM cannot be written

Alternative models have been proposed, but none of them are more powerful than TM model

1.

2.

3.

• Any computation by mechanical means by some TM

Turing’s Thesis: Exercises 9.3

• 따로 연습하기 어려운 부분이기는 한데…

• 3문제 모두 한번 생각은 해봅시다.