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UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA CONTADURIA PÚBLICA DOSSIER CALCULO I DOCENTE: Ing. RAUL MORAN
UNIVERSIDAD SALESIANA
UNIVERSIDAD SALESIANA
DE BOLIVIA
CONTADURIA PÚBLICA
DOSSIER
CALCULO I
DOCENTE: Ing. RAUL MORAN
I - 2012
DOSSIER DE:
I-2012
DOCENTE: ING. RAUL MORAN
INDICE
Identificación de la materia …………………………………………. 2
Objetivos de la asignatura ………………………………………… 3
Contenidos Mínimos ………………………………………… 4
Números Reales …………………………………………… 7
Inecuaciones …………………………………………. 17
Funciones …………………………………………. 22
Límites …………………………………………. 35
Derivadas y Aplicaciones ………………………………………… 48
Integrales ………………………………………….. 60
Aplicaciones ………………………………………….. 65
(oferta,demanda)
I DATOS DE IDENTIFICACIÓN
· INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA:Universidad Salesiana de Bolivia
· RECTOR:Dr. Rvdo. P. Thelían Argeo Corona
· CARRERA:Contaduría Pública y Sistemas
· DIRECTORA DE CARRERA:Lic. Luz Mila Guzmán Antezana
· DOCENTE:Ing. Raúl Moran Valencia.
· NIVEL DE LA MATERIA:Segundo Semestre
· ASIGNATURA:Cálculo I
· SIGLA:MAT-125
· REQUISITO:Álgebra Superior
· PARALELO: Mañana y Noche
· E – MAIL:[email protected]
II. COMPETENCIAS DE LA MATERIA
· Fundamentar las propiedades de los números reales, así como el cálculo diferencial e integral para su posterior aplicación.
· Promover la formación integral del futuro Contador Público en el contexto real de la matemática aplicada a las ciencias económicas y financieras, para este valore la utilidad del cálculo en el análisis de interpretación.
· Valorar el análisis y su aplicación en el campo de la macroeconomía y microeconomía.
· Interpretar geométrica y matemáticamente las definiciones de límite, derivada e integral.
· Aplicar los teoremas sobre límites, derivadas e integrales en la resolución de problemas económicos.
· Ejecutar los conocimientos previos en aplicaciones reales, en distintos campos de la ciencia, con la finalidad de encontrar solución a problemas de máximos y mínimos enfocados a partir de problemas reales.
· Valorar el cálculo como instrumento importante en el estudio y análisis de fenómenos económicos.
· ADICIONAL
Implementar el Estilo Salesiano en el proceso enseñanza aprendizaje, enfatizando en los pilares básicos: RAZÓN, AMOR Y RELIGIÓN.
Implementar el aprendizaje cooperativo y tecnología educacional al estilo Salesiano.
CONTENIDOS DE LA MATERIA
CONTENIDOS MÍNIMOS OFICIALES
Número Reales y Desigualdades – Funciones – Límites y Continuidad – La Derivada y Aplicaciones de la Derivada – Integrales y Aplicaciones de las Integrales.
UNIDAD INÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES
Axiomas. Teoremas de los número reales – La recta real , demostración de teoremas– Desigualdades e inecuaciones – Valor absoluto – Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto- aplicaciones.
COMPETENCIAS UNIDAD I
Construye formalmente el conjunto R de los números reales a partir de los conjuntos numéricos
Aplica las propiedades de los números reales (teoremas), en la interpretación de los modelos económicos.
UNIDAD IIFUNCIONES
Pares ordenados. Producto cartesiano – Relaciones y funciones – Dominio y codominio de una función – Tipos de funciones – Operaciones – Composición de funciones - Clases de funciones –Función inversa-Funciones especiales- Aplicaciones a la economía.
COMPETENCIAS UNIDAD II
Identifica una función real de variable real determinando su dominio y rango en una regla de asignación.
Representa y reconoce gráficas de funciones reales de variable real comparando sus características en grafos del plano cartesiano
Clasifica a las funciones determinando si son inyectivas, sobreyectivas y biyectivas en una serie de reglas de asignación propuestas en la práctica de función oferta y demanda.
Interpreta las diferencias entre una función directa y su inversa
Valora la aplicación de las funciones en la interpretación de fenómenos económicos, en el ámbito macroeconómico y macroeconómico.
UNIDAD III
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Definición y teoremas de límites – Indeterminaciones – Límites de funciones algebraicas – Límites de funciones exponenciales y logarítmicas – Límites de funciones trigonométricas – Continuidad – Aplicaciones.
COMPETENCIAS UNIDAD III
Define e interpreta el concepto de límite de una función real de variable real como una aproximación arbitraria elaborando y analizando una sucesión numérica en un problema de crecimiento poblacional·
Define e interpreta el concepto de continuidad de una función analizando y comparando su grafo, la existencia del límite y su valor en el punto de estudio en un problema propuesto en clases.
Valora el concepto de pendiente para entender la definición de derivada.
Resuelve problemas relativos a las ciencias económicas, particularmente en el proceso de maximización de utilidades y minimización de costos.
UNIDAD IV
LA DERIVADA Y APLICACIONES DE LA DERIVADA
Definición y teoremas de la derivada – Tabla de derivadas – Reglas de derivación de funciones – Derivadas de orden superior – Derivadas implícitas – Interpretación geométrica de la derivada – Recta Tangente-Teorema de Valor Medio- Teorema de Rolle-Puntos críticos, máximos y mínimos – concavidad y convexidad – Aplicaciones de la derivada a la economía.COMPETENCIAS UNIDAD IV
Define el concepto de derivada como el límite del cociente incremental de una función, dando lugar al concepto de marginalidad en economía.
Determina y explica las propiedades de derivación demostrándolas formalmente en la funciones de producción, explicando los rendimientos decrecientes.
Determina la derivada de una función aplicando las preglas de derivación a una función costo total, costo variable, etc.· Determina las derivadas de orden superior derivando sucesivamente de una función dada cualesquiera.
Interpreta el significado geométrico de la derivada de una función frontera de posibilidades de producción, en un valor determinado.
Determina y explica el significado de la diferencial de una función en Macro y Micro.
Analiza y aplica el Teorema del Valor Medio demostrando algunos teoremas como consecuencia inmediata.
Determina los valores extremos de una función a través de la primera y segunda derivad de la función en un problema de que involucre la maximización o minimización de funciones en economía.
Construye el dibujo de una función determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos extremos, concavidad, asíntotas de una función cualesquiera. · Valora el cálculo diferencial en el estudio e interpretación de variables macroeconómicas y macroeconómicas.
Valora el cálculo diferencial en la prosecución de sus estudios superiores a nivel de post grado.
UNIDAD V
INTEGRALES Y APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
Integrales indefinidas – Teoremas – Tabla de integrales – Método de integración – Integrales definidas – Teoremas – Aplicaciones de las integrales – Cálculo de áreas en el plano- Aplicaciones a la economía.
COMPETENCIAS DE LA UNIDAD V
Interpreta el concepto de integral como una operación inversa de la derivada.
Determina y explica el significado de la interpretación geométrica de la integral como un proceso de cálculo de área·
Establece la relación que existe entre los teoremas de las derivadas e integrales·
Valora la aplicación de las integrales definidas en el cálculo del excedente del consumidor y productor.
V METODO DE ENSEÑANZA
ESTILO SALESIANO.GRUPOS DE APRENDIZAJE COOPERATIVO TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN
VI METODOLOGÍA DE EVALUACIÓN
1er. Parcial 25% - (5% Trabajo en grupo, 20% evaluación individual
2er. Parcial 25% - (5% Trabajo en grupo, 20% evaluación individual )
3er. Parcial 25% - (5% Trabajo en grupo, 20% evaluación individual )
Evaluación Final Obligatoria 25% (5% T. Grupo – 20% evaluación Individual)TOTAL 100%.
VII BIBLIOGRAFÍA
AUTOR OBRA LUGAR de EDICIÓN EDITORIAL AÑOLOUIS LEITOLD Cálculo con Geometría Analítica España El Ateneo 1972LARZON Cálculo I y II Perú San Marcos 1985L. ESPINOZA Cálculo I y II Mexico Trillas 2000A. VENERO Cálculo I y II Perú San Marcos 1993.
CAPITULO I : NUMEROS REALES
OBJETIVO.-
Dar a conocer al aluno el campo de los números reales, con lo que se va a trabajar en calculo I.
1. El Sistema de los números reales.
El conjunto de los números reales simbolizados por IR, comprende a los números racionales (Q) e irracionales (Q’), por tanto incluye a los positivos IR; negativos IR- el cero (0), enteros (Z), Fraccionarios (Z’) naturales(N).
El cálculo I, opera con los números reales, de amanera que todos los análisis a realizar se efectuarán con esta clase de números.
2. Propiedades de los IR
Son los siguientes: Si a, b, c, ( IR
A1: a + b = b + a
A2: a + (b+c) = (a+b)+c
A3: a + 0 = a
A4: a + (-a) = 0
A5: a.b = b.a
A6: a(b.c) = (a.b).c
A7: a.1 = a
A8: a(a-1) = 1
A9: a (b+c) = ab+ac
A10: a > 0 , b > 0 => a + b > 0
A > 0 , b > 0 => a.b > 0
A 11: a es positivo
(a > 0)
a es cero
(a = 0)
Ley de tricotomía
a no es positivo(a < 0)
Ejemplos:
Demostrar los siguientes teoremas de los números reales.
1) Sia + c = b + c => a = b
Demostración:
a + c = b 6 cPartiendo de la proposición original
(-c) = (-c)Existencia del opuesto.
(a + c) + (-c) = (b+c) + (-c)Sumando ambos miembros de la igualdad.
a + [c+(-c)] = b + [c+(-c)]Asociatividad de la suma
a + 0 = b + 0Existencia del opuesto
a = b(Existencia del neutro aditivo)
l.q.q.d
2) Demostrar :a2 + b2 + c2 ( ab + ac + bc , (a,b,c ( IR
(a-b)2 > 0 => a2 – 2ab + b2 ( 0 => a2 + b2 ( 2ab
(a-c)2 ( 0 => a2 – 2ac + c2 ( 0 => a2 + c2 ( 2ac
(b-c)2 ( 0 => b2 – 2ac + c2 ( 0 => b2 + c2 ( 2bc
2a2 + 2b2 + 2c2 ( 2ab+2ac+2bc/2
a2 + b2 + c2 ( ab + ac + bc.
l.q.q.d.
PRACTICA
1) Demostrar: a2 + b2 + c2 ( ab + ac + bc.( a, b, c ( IR
2) Demostrar: a2 + b2 = 1; c2 + d2 = 1=>ac + bd ( 1
3) Demostrar: (a+b) (b+c) (a+c) ( 8 abc
Siendo a, b y c números positivos todos distintos.
4) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que:
b
1
a
1
a
b
b
a
2
+
>
+
1. INECUACIONES
Son ecuaciones que en lugar de un signo de igualdad, posee signos de desigualdad.
El procedimiento de resolución de inecuaciones, en general sigue los mismos pasos de las ecuaciones, la solución de una inecuación es uno o varios intervalos de números reales.
Las inecuaciones se clasifican en:
a) Inecuaciones lineales.
b) Inecuaciones cuadráticas, y grado mayor.
a) INECUACIONES LINEALES
Son aquellas que poseen incógnitas lineales (de grado 1). Para resolver inecuaciones lineales, se aplican reglas equivalentes a las ecuaciones lineales, (se debe tomar en cuenta que al multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad se invierte.
Ejemplo: 7 + 3x ( 4x + 5
3x – 4x ( 5 – 7
-x ( -2 (-1)
x ( 2
c) INECUACIONES CUADRÁTICAS.- Son aquellas que poseen incógnitas de grado 2, las inecuaciones de grado mayor o superior poseen incognitas de grado mayor a dos.
Ejemplos:1)x2 + 8 < 6x
2)3x2 – 19x + 6 ( 0
Pueden resolverse por los siguientes métodos:
- Regla de los signos.
- Análisis de posibilidades
1. Regla de los signos:
El método de las regla de los signos para resolver inecuaciones, requiere de los siguientes pasos:
· Consiste en referir la inecuación a cero.
· Se factoriza la inecuación, hallando así sus raíces.
· Las raíces se ubican en la recta real, dividiéndola en varios intervalos.
· Se toma un valor cualquiera, interior a un intervalo, para reemplazar en la inecuación, de acuerdo a la proposición así obtenida.
· La regla de los signos, dice que a un intérvalo de solución le sigue otro de no solución y así alternadamente.
Inecuaciones Algebraicas
Las inecuaciones algebraicas son inecuaciones de expresiones algebraicas, donde la incógnita puede tener potencias negativas o fraccionarias.
Las inecuaciones trascendentes, son inecuaciones con expresiones trascendentes.
Ejemplo:
1)
8
7
x
12
)
2
0
x
2
1
x
3
<
-
³
+
+
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real, se denota y define del siguiente cuadro:
ï
î
ï
í
ì
<
-
=
>
=
0
x
,
x
0
x
,
0
0
x
,
x
x
note que el efecto del valor absoluto es el de convertir a todo número real en positivo.
Ejemplo: (-5( = 5(5( = 5
TEOREMAS DEL VALOR ABSOLUTO
de acuerdo a la definición del valor absoluto, se cumplen los siguientes teoremas:
T1: (a+b( ( (a( + (b(T6:
b
a
b
a
=
T2: (a+b( ( (a( - (b(T7:
n
n
a
a
=
T3: (a-b( ( (a( - (b(
T8:
a
b
b
a
-
=
-
T4: (a-b( ( (a( + (b(T9:
a
x
a
a
x
<
<
-
=>
<
T5:(a.b( = (a( (b(
T10:
<
-
<
<
¥
-
=>
>
x
a
x
a < x < (
INECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO
Las inecuaciones en valor absoluto, son inecuaciones que contienen a la incógnita, afectada por el valor absoluto.
Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones (regla de los signos).
Se aplican los teoremas:
T9: Si
¥
<
<
-
<
-¥
<
<
-
=>
>
<
)
x
(
P
a
,
a
)
x
(
P
a
)
x
(
P
a
a
)
x
(
P
T
a
)
x
(
P
10
PRACTICA
Resolver las inecuaciones finales:
a)
2
9
x
.
Rpta
20
x
7
5
1
20
x
10
7
5
x
3
>
+
>
-
-
b)
5
17
x
.
Rpta
3
2
12
5
2
x
x
4
3
7
3
x
2
1
8
5
)
2
x
6
(
<
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
<
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
-
c)
(
)
6
5
1
x
2
2
x
5
4
3
x
2
2
3
2
5
x
-
-
<
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
d)
3
1
x
5
10
13
x
3
4
1
x
5
+
>
-
-
-
e)
1
3
x
2
5
1
x
2
>
-
+
f)
5
)
1
x
(
3
9
2
1
x
5
3
+
<
+
Un matrimonio dispone de 320 Bs. Para ir al cine con sus hijos. Si toman entradas de 50 Bs. Les falta dinero y si toman de 40 Bs, les sobra dinero. ¿Cuántos son los hijos?.
Un comerciante adquirió un cierto número de especies de las que vendió 70 y le quedaron más de la mitad. Al día siguiente le devolvieron seis, pero logró vender 36, después de lo cual le quedan menos de 42. ¿Cuántas especies formaban el lote?.
CAPITULO II: FUNCIONES
Antes de definir a las funciones, es preciso definir los siguientes conceptos:
1. Par ordenado
Es una pareja de elementos que guardan un orden determinado
Si: (a,b) = (x,y) => a=x b=y
Donde:x: primer componente y: segundo componente.
2. Producto Cartesiano
El producto cartesiano AxB de los conjuntos A,B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) donde a(A, b(B.
Simbólicamente se tiene:
AxB={(a,b)/a( A, b(B}
2. Plano Coordenado
Es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales conteniendo infinitos números de pares ordenados.
Función
Definición: es un Conjunto de pares ordenados (x,y) entre los cuales no existen dos pares, con el mismo primer componente, uno de los más importantes conceptos de las matemáticas se refiere a un tipo especial de relaciones entre elementos de dos conjuntos A y B, llamadas funciones de A en B.
Una función expresa la idea de una cantidad que depende de otra, o que está determinada por ésta. Por ejemplo, el área de un círculo depende de la medida de su radio; si se conoce la medida de la longitud del radio, su área está completamente determinada.
Así, se dice que el área de un círculo es una función de la longitud de su radio.
Ejemplos:
1. f: {(a,x), (b,y3), (c,z)}
2. f: {(2,7), (3,5) ,(1,4), (4,6)}
3. f: (1,2), (3,8), (1,4), (6,9) no es función
DOMINIO Y CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Dominio: es el conjunto de los primeros componentes de pares ordenados de una función. Se simboliza Df.
En general se halla ubicando el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar en forma general, son todos los valores que puede tomar en variable y.
Ejemplo:F: {(a,z),(b2y),(c,x),(d,w),(e,u)}
D: {a,b,c,d,e}cf: {x,y,x,w,y}
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
Definición: Si f es una función real de una variable real, se llama de gráfica de f al conjunto de pares ordenados de f, cuando se le considera como un conjunto de puntos del plano IR2 = IR x IR, la variable x es representada en el eje x (eje de laos abcisas) mientras que la variable dependiente y =f(x), está representada en el eje y (eje de ordenadas).
Para graficar cualquier tipo de función, se asignan valores arbitrarios al a variable independiente x, para así obtener valores en Y.
Ejemplo
1. f(x) = 3x – 1Asignando Valores se obtiene una recta.
2. f(x) = (x-3)2+2Asignando valores se obtiene una parábola.
TIPOS DE FUNCIONES
1. FUNCIONES INYECTIVAS:
Las funciones inyectivas ó univalentes, son aquellas en que todo segundo componente del par ordenado (x,y) es correspondencia de un sólo segundo componente, simbólicamente se expresa como_
Si f(x1) = f(x2) => x, = x2
Esquemáticamente por diagrama de VENN, se pueden determinar una relación de uno a uno, es decir a un elemento del dominio le corresponde sólo uno del codominio.
No afecta al carácter de función inyectiva, el que algún elemento del codominio no participe de la relación.
2. FUNCIONES SURYECTIVAS (SOBREYECTIVAS9
Son aquellas donde el segundo componente del par ordenado (x,y) es cualquier número real (cf( IR)
SimbólicamenteSi y = f(x) ; y ( IR
Esquemáticamente por diagrama de VENN se observa la participación de una relación, de todos los elementos del codominio.
No afecta al carácter de función suryectiva, el que algún elemento del codominio, sea correspondencia de varios elementos del codominio.
Ejemplo: f(x) = 2x + .
3. FUNCIONES BIYECTIVAS
Las funciones Biyectivas son aquellas que a la vez son inyectivas y suryectivas.
Ejemplo:f(x) = 3x-2es Biyectiva.
F(x) = 4 x2La Función no es Biyectiva ¿porque?
PRACTICA
1. Hallar el valor de K para que la relación:
F = { (4,k),(2,5k),(7,2k2+1),(4,2k-1)}
Sea una función. Hallar el Cf.
2. Dado el conjunto de Pares ordenados:
f = {(5,7),(-1,a+b),(a2-b, 2ª-a2),(5,a-2b),(-1,-2)}
Calcular los valores de a y b para que f sea una función determinar f, Df, Cf
3. Graficar las funciones
a) f(x) = 7x-2
b) f(x) = (x-3)2 +1
c) f(x) = (x-2)2 –1
4. Hallar los Dominios y Codominios de las siguientes funciones
a) y= x2 – 2x+5
b) y=
5
x
6
x
1
2
+
-
5. Indicar si las funciones son INYECTIVAS, SURYECTIVAS, BIYECTIVAS.
a) f = 2x+1
b) f=x3 –3x
c) f=x2 +1
DIF – 01
En Base a los axiomas del sistema de los números reales deduciremos algunas propiedades importantes de los números reales, y esta nos servirá para sus posteriores demostraciones.
Plantearemos a continuación un ejercicio de razonamiento.-
Para su discusión:
1. Encontrar el error en el siguiente razonamiento:
a)Sean a = 3b = 5es decir a
b) multiplicando por a
a2
c) restando b2
a2 – b2 < ab-b2
d) descomponiendo en factores
(a+b)(a-b) < b(a-b)
e) dividiendo por (a-b)
a+b
f) Sustituyendo los valores
8<5?
A = 3b=5
¿Porque?
CAPITULO III : LIMITES
3. CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES
Cálculo del límite de funciones polinómicas
Una función polinómica es una función del tipo:
f(x) = a0 + a1.x + a2.x² + ... + an.xn
Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:
A. Límite de una función polinómica en el punto x0 finito
El límite de una función polinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función en ese punto:
Límite de una función polinómica en el infinito
El límite de una función polinómica en el infinito es + ó -,dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo:
a0 + a1.x + a2.x² + ... + an.xn = + ; si an es positivo.
a0 + a1.x + a2.x² + ... + an.xn = -; si an es negativo.
Ejercicio: cálculo de límites de funciones polinómicas
1) Calcular 4.x3 - 3.x - 2
Resolución:
(4.x3 - 3.x - 2) = 4.(-1)3 - 3.(-1) - 2 = -4 + 3 - 2 = -32) 3 + x² - 4.x5 y 8.x3/3 + 5.x/2 - 6
Resolución:
3 + x² - 4.x5 = -
ya que el coeficiente del término de mayor grado es -4.
8.x3/3 + 5.x/2 - 6 = +
puesto que el coeficiente del término de mayor grado, 8/3, es positivo.
Cálculo de límites de funciones racionales
Una función racional es una función del tipo f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:
A. Límite de una función racional en el punto x0 finito
Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:
P(x)/Q(x) = P(x)/Q(x)
Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.
Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.
A.1. El límite del denominador es distinto de cero: Q(x) 0
Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.
A.2. El límite del denominador es cero: Q(x) = 0
Si el denominador se anula en x0,puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0.
A.2.1. El límite del numerador también es cero: Q(x) = 0 y P(x) = 0
En este caso se obtiene el resultado 0 / 0, que es una indeterminación.
Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es raíz de los polinomios P(x) y Q(x), y por tanto el cociente P(x) / Q(x) se puede simplificar.
Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados.
A.2.2. El límite del numerador no es cero.
El límite del cociente da como resultado la indeterminación P(x)/0
Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la función f(x) = P(x) / Q(x), en el punto x0.
Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.
Ejercicio: cálculo de límites de funciones racionales (x x0)
1) Calcular el límite de la función f(x) = (2.x3 - 1)/(3.x² + 4), cuando x 1
Resolución:
(2.x3 - 1)/(3.x² + 4) = (2.x3 - 1)/ (3.x² + 4) = 1/72) Calcular el límite de la función g(x) = (x3 - 2.x² - 6.x + 12)/(x² + 3.x - 10), cuando x 2
Resolución:
(x3 - 2.x² - 6.x + 12)/(x² + 3.x - 10) = (x3 - 2.x² - 6.x + 12)/ (x² + 3.x - 10) = (23 - 2.2² - 6.2 + 12)/(2² + 3.2 - 10) = 0/0
Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x³ - 2x² - 6x +12 y
Q(x) = x² + 3x -10.
- Descomposición factorial de P(x):
P(x) = x³ - 2.x² - 6.x + 12 = (x - 2).(x² - 6)
- Descomposición factorial de Q(x):
P(x) = x² + 3.x - 10 = (x - 2).(x + 5)
- El límite del cociente P(x)/Q(x) es:
(x3 - 2.x² - 6.x + 12)/(x² + 3.x - 10) = [(x - 2).(x² - 6)]/[(x - 2).(x + 5)] = (x² - 6)/(x + 5) = -2/7
3) Calcular el límite de la función f(x) = (3.x² - 4.x)/x, cuando x 0
Resolución:
(3.x² - 4.x)/x = (3.x² - 4.x)/ x = 0/0, indeterminación.
- Se simplifican numerador y denominador:
(3.x² - 4.x)/x = x.(3.x - 4)/x = (3.x - 4) = -4
4) Calcular 1/(x - 3)²
Resolución:
1/(x - 3)² = 1/ (x - 3)² = 1/0, indeterminación.
- Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3.
1/(x - 3)² = 1/ (x - 3)² = 1/0 = +
1/(x - 3)² = 1/ (x - 3)² = 1/0 = +
Como los límites laterales coinciden, 1/(x - 3)² = + Calcular el límite de la función f(x) = 1 / (x - 1), cuando x 1.
Resolución:
1 / (x - 1) = 1 / (x - 1) = 1/0, indeterminación.
- Se estudian los límites laterales:
1/(x - 1) = 1/ (x - 1) = 1/0 = +
1/(x - 1) = 1/ (x - 1) = 1/0 = -
Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1. Tasa de variación. Tasa de variación media. Tasa de variación instantánea.
Consideremos una función y=f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real.
Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], y se representa por (léase incremento de y) a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisa a y a+h, o sea:
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abcisas h, esto es:
Se llama tasa de variación instantánea (T.V.I.) en el punto "a", al límite, cuando h tiende a cero de la T.V.M., esto es:
En ocasiones estas tasas de variación pueden representarse usando otra nomenclatura, llamando:
b = a+h, lo cual implica que h=b-a, queda:
En el siguiente dibujo puede entenderse el significado geométrico de estos tres conceptos:
La tasa de variación es, por definición, el segmento CB o diferencia entre las ordenadas correspondientes a los extremos del intervalo.
En el triángulo rectángulo ACB, la tasa de variación media es:
siendo el ángulo que forma la recta secante a la curva por los puntos A y B con la horizontal.
Cuando , entonces y la recta secante por A y B tiende a convertirse en la recta tangente a la curva por el punto A. La T.V.I. será, pues, la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto A con la horizontal, o mejor aún, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A.
Veamos en algunos ejemplos como calcular estas magnitudes:
Dada la función , calcular T.V., T.V.M. en el intervalo [-1, 3]. Y la T.V.I. en el punto x=-1
Se tendrá, teniendo en cuenta que h=3-(-1)=4, que:
Calcular la tasa de variación instantánea de en el punto x=2
Será:
2. Derivada de una función en un punto. Función derivada.
Siendo la primera y la segunda formas de notación las que utilizaremos con preferencia, en especial la primera. La tercera forma A la tasa de variación instantánea en un punto a, definida en el apartado anterior, se la llama también y con mayor frecuencia, derivada de la función f(x) en el punto "a" . La derivada en un punto se denota de las siguientes formas:
de notación, llamada notación diferencial (se lee diferencial de f con relación a x en el punto a), se usará más adelante como introducción al cálculo integral.
Según lo dicho en el párrafo anterior, podemos poner para la derivada de f(x) en el punto "a":
con "b" el extremo superior de [a, b]
Si dada una función y=f(x) calculamos la derivada de ella en cada uno de los puntos de su dominio, obtenemos una nueva función que hace corresponder a cada punto del dominio de f(x) el valor de su derivada en él, esta función se representa por f'(x) y se define así:
Con esta definición, calcularemos en apartados siguientes las derivadas de las funciones elementales para elaborar con ellas una tabla de derivadas que el alumno deberá memorizar.
Como anticipo veamos el siguiente ejemplo:
Calcular la función derivada de
Tenemos:
Que es la función derivada pedida.
3. Interpretación geométrica y física de la derivada.
Insistimos en lo ya afirmado de que la derivada de una función en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el mencionado punto.
Esto constituye su interpretación geométrica.
La aplicación de esta interpretación geométrica es la posibilidad de encontrar con facilidad las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva de ecuación y=f(x) en un punto de su gráfica de abcisa x=a. Veamos cómo hacerlo.
a. Recta tangente:
Supongamos que la recta tangente tiene la forma explícita a determinar:
Puesto que la pendiente "m" de dicha recta es, por definición, la derivada en el punto x=a, podemos poner:
Pero la recta ha de pasar por el punto de coordenadas (a, f(a)) ó bien (a, b), llamado b=f(a), este punto ha de satisfacer la ecuación anterior, esto es:
Y sustituyendo:
Que es la forma más sencilla de recordarla.
b. Recta normal:
Se defina la recta normal a una curva en un punto como la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Recordando de la geometría analítica que las pendientes m y m' de dos rectas perpendiculares han de cumplir:
Si tenemos en cuenta lo ya afirmado de que la pendiente m de la recta tangente a la curva en el punto (a, b) es f'(a), quedará para la recta normal:
Veamos un ejemplo:
Calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación y=2x2 en el punto de abcisa x=-3.
Previamente calcularemos la derivada en ese punto:
Ahora calculamos la ordenada que en la curva le corresponde a x=-3:
Las rectas pedidas son:
Tangente:
Normal:
En el dibujo adjunto pueden verse en trazo grueso la curva dada y en trazos finos las rectas halladas:
Veamos ahora la interpretación física.
En Física suele representarse la ecuación del movimiento de un móvil mediante una función en la que la variable dependiente es el espacio "e" y la independiente el tiempo "t", de manera que la función adopta la forma e=f(t).
Si conocemos la ecuación de un movimiento a lo largo de un intervalo de tiempo podemos calcular, usando las ideas anteriores, tanto su velocidad media (T.V.M.) en él como su velocidad instantánea en un instante del recorrido, recordando que la velocidad de un móvil es la derivada del espacio con relación al tiempo. Se tendrá:
Indicándonos la primera que si el móvil hubiera recorrido la distancia total siempre a la velocidad indicada por vm, el tiempo total invertido hubiera sido el mismo que el real. La 2* nos da el valor de la velocidad en un determinado momento (la que indica el velocímetro en ese instante).
Ejemplo:
Calcular las velocidades media, en el intervalo [4, 7], e instantánea ( en t=6 segundos) de un móvil cuya ecuación de movimiento es , así como la distancia total recorrida en ese intervalo temporal.
Será:
1. Reglas de derivación.
El cálculo de la derivada usando cada vez la definición dada es engorroso, por eso es conveniente recordar unas reglas generales de derivación que nos faciliten el cálculo de derivadas, reglas que, por otro lado surgen todas ellas de la definición. Cuando finalicemos este apartado, habremos elaborado una tabla de derivadas de funciones elementales que el alumno deberá memorizar.
a. Derivada de la función constante:
Sea f(x) = k, su derivada será:
La derivada de una constante es nula.
b. Derivada de la función potencial:
Sea f(x) = ax3:
Obsérvese que en la derivada se ha multiplicado el coeficiente por el exponente y se ha reducido éste en una unidad. Generalizando el proceso tendríamos para f(x) = axn el siguiente resultado:
c. Derivada de un radical:
Dado que un radical puede ponerse en forma de potencia de exponente fraccionario, la derivada de un radical se reduce a la de una función potencial y tenemos:
En el caso particular de con n=1 y m=2 queda:
d. Derivada de la función logarítmica:
Sea la función
La derivada será:
En el caso particular del logaritmo neperiano , tenemos que a=e y que lne=1 con lo que queda:
e. Regla de la cadena. Derivada de la función compuesta:
Consideremos la función , donde:
Y sean tales que , la derivada será:
Haciendo:
Y cuando h tiende a cero, también lo hace k ya que k=f(x+h)-f(x) y f(x) es continua. Tenemos, pues:
Esto es: la derivada de una función compuesta se obtiene derivando la segunda función (en el orden en que actúan) con relación a la primera considerada como variable independiente multiplicada por la derivada de la primera con relación a "x".
Ejemplo:
Derivar
Aquí:
Por tanto:
La igualdad demostrada anteriormente se conoce con el nombre de regla de la cadena y, escrita usando la notación diferencial para las derivadas parece una identidad algebraica aunque no lo es:
que es generalizable a más de dos funciones compuestas.
f. Derivada logarítmica:
Usando los conocimientos adquiridos en los dos últimos apartados d) y e) y combinándolos, podemos derivar fácilmente productos, cocientes o potencias de funciones.
Los pasos a seguir serán:
· Tomar logaritmos neperianos en la función dada.
· Derivar ambos miembros considerando que el primero es una función compuesta de "y" y del ln y por tanto, según la regla de la cadena siempre quedará
· Despejar y'
· Escribir y en función de x
f.1) Derivada de un producto:
Sea la función . Aplicando la derivada logarítmica:
O en palabras: la derivada de un producto de funciones se obtiene sumando a la derivada de la primera por la segunda, la primera por la derivada de la segunda.
f.2.) Derivada de un cociente:
Sea la función . Aplicando la derivada logarítmica será:
Y en palabras: la derivada de un cociente es igual a la derivada del primero por el segundo menos el primero por la derivada del segundo partido todo por el segundo al cuadrado.
f.3) Derivada de la función exponencial:
Sea ahora la función . Tenemos por derivación logarítmica que:
En el caso particular en que a=e, se tendrá que lne=1 y queda:
siendo ésta la única función que coincide con su derivada.
Ejemplo1:
Derivar
Derivaremos como producto teniendo en cuenta que el segundo factor es una función compuesta:
Ejemplo 2:
Derivar
Derivaremos como cociente poniendo previamente el radical en forma de potencia:
Entonces:
a. Derivada de las funciones trigonométricas:
Sea la función . Aplicando la definición de derivada:
Y transformando en producto el numerador (véase trigonometría):
Veamos que este último límite es la unidad. En efecto, recordando el significado geométrico del seno y la tangente sobre la circunferencia goniométrica y contemplando la siguiente figura, podemos poner:
Dividiendo todos los miembros de la desigualdad anterior por , tenemos:
Y tomando límites cuando
Si el límite anterior está comprendido entre 1 y 1 es porque su valor es la unidad (regla del sandwich).
Por tanto, cuando el valor del ángulo tiende a cero, el cociente entre el seno y el ángulo tiende a uno (se dice que el seno y el ángulo son infinitésimos equivalentes).
Volviendo a nuestro cálculo de la derivada, vemos, aplicando lo anterior que:
Y queda entonces:
La derivada del seno es el coseno.
Calculemos ahora la derivada del coseno, es decir de . Por trigonometría sabemos que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario, es decir:
Y derivando esta última como una función compuesta:
La derivada del coseno es menos el seno.
Veamos la derivada de la tangente, ahora :
Como:
podemos derivar como un cociente para obtener:
La derivada de la tangente es la inversa del coseno al cuadrado o también uno más la tangente al cuadrado.
Las otras tres funciones trigonométricas se pueden derivar considerando que son recíprocas de las tres anteriores y utilizando la regla del cociente:
Ejemplo:
Derivar
Por la regla de la cadena para tres funciones compuestas:
b. Derivada de la función inversa:
Se nos plantea ahora la situación de tener que derivar la función conociendo la derivada de .
Existe un Teorema que afirma que "Si f(x) es derivable en x con y admite inversa f-1(x), entonces existe la derivada de f-1(x) en y=f(x) y se cumple que "
Aunque la demostración rigurosa del mismo no es propia de este curso, utilizaremos este Teorema para calcular las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
h.1) Derivada del arco seno:
Sea
Entonces
Y aplicando el Teorema:
h.2) Derivada del arco coseno:
Sea
Entonces
h.3) Derivada del arco tangente:
Sea
Entonces
Para finalizar este apartado, vamos a resumir en una tabla todas las reglas de derivación de funciones elementales que sería conveniente fuese memorizada por el alumno:
Función
Ecuación
Derivada
Operaciones
· Suma
y=f(x)+g(x)
y'=f'(x)+g'(x)
· Resta
y=f(x)-g(x)
y'=f'(x)-g(x)
· Producto por una constante
y=kf(x)
y'=kf'(x)
· Producto
y=f(x)g(x)
Y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
· Cociente
· Regla de la cadena
Potenciales
· Constante
y=k
y'=0
· Identidad
y=x
y'=1
· Monomio
y=axn
y'=naxn-1
· Polinomio
y=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
y'=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+...+a1
· Raíz cuadrada
· Raíz n-ésima
Exponenciales
· De base a
y=ax
Y'=axlna
· De base e
y=ex
Y'=ex
Logarítmicas
· De base a
y=logax
· De base e
y=lnx
Trigonométricas
· Seno
y= sen x
Y'= cos x
· Coseno
y= cos x
Y'= -senx
· Tangente
y= tg x
Trigonométricas inversas
· Arco seno
y= arcsen x
· Arco coseno
y= arccosx
· Arco tangente
y= arctg x
1. Continuidad y derivabilidad.
Relacionando los aspectos tratados hasta el momento con los conceptos sobre continuidad del tema anterior, podemos extraer las siguientes conclusiones de gran interés:
· Si una función es derivable en un punto, ha de ser continua en él. En efecto:
Si f(x) es derivable en x=a, se tiene que existe:
Donde el límite anterior se diferencia de la fracción en un infinitésimo (una función cuyo límite cuando h tiende a cero es cero, o sea:
Despejando el numerador y calculando el límite en h tiende a cero:
Y de ahí:
Y haciendo:
a+h=x, lo que implica que si h tiende a cero, x tiende a "a", queda:
Que es la definición de continuidad en un punto.
· Una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en él, en efecto:
Sea la función:
Que es equivalente a:
Esta función es continua en x=4 ya que los límites laterales son:
que coinciden
Además está definida en x=-4 tomando el valor f(-4)=0, luego:
estado probada la continuidad.
La función, sin embargo, no es derivable en x=-4 ya que las derivadas laterales no coinciden, en efecto:
La gráfica es:
Se dice que en el punto x=-4 hay un punto anguloso.
Con este contraejemplo queda probado que continuidad no implica derivabilidad pero derivabilidad sí que implica continuidad
El Teorema contrarecíproco también es cierto, esto es:
Si una función no es continua en un punto no puede ser derivable en él.
Ejemplo:
Estudia la derivabilidad y continuidad de la función definida a trozos:
Dado que los tres trozos son funciones continuas para todo valor real, estudiaremos únicamente los puntos de corte.
Se tiene:
Los límites laterales son en x=0:
no existe límite en x=0, la función presenta en él una discontinuidad de salto finito.
En x=3:
no existe límite en x=3 presentando en él una discontinuidad de salto finito.
Como la función no es continua en x=0 ni en x=3 no puede ser derivable en esos puntos. En los restantes, la función derivada es:
Siendo la gráfica:
1. Derivadas sucesivas.
De forma análoga a como hemos definido la función derivada, se podría reiterar el proceso siempre que f'(x) fuese nuevamente derivable y obtener así las derivadas segunda, tercera, etc. que denotaremos por f''(x), f'''(x), fIV(x), etc.
Así sería, por un proceso inductivo
En ocasiones pude llegarse a una fórmula general que exprese, en función de "n" la derivada de cualquier orden, pero ello no siempre es posible.
Ejemplo:
Calcular las derivadas sucesivas de :
Será, por aplicación de las reglas de derivación (concretamente la regla del cociente):
2. Monotonía de una función. Puntos críticos.
Se dice que una función y=f(x) es monótona creciente si se cumple que:
Es decir, al aumentar el valor de la abcisa, aumenta el valor de la función o permanece igual.
Se dice que es monótona decreciente si se cumple:
Al aumentar el valor de la abcisa disminuye, o permanece igual, el valor de la función.
Si es las desigualdades anteriores no existe posibilidad del signo igual, esto es:
Se dice, respectivamente, que la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Las siguientes gráficas muestran el aspecto que presentan una función estrictamente creciente y otra estrictamente decreciente respectivamente
Vamos a demostrar que, si la función y=f(x) es derivable en un punto, si su derivada es positiva, la función será creciente en él y que si la derivada es negativa será decreciente en él:
En efecto:
Tomado un punto "a" sobre el eje de abscisas y un número real "h" positivo, la derivada en el punto "a" será, por definición:
Llamando a+h=b, de donde h=b-a, y si "h" tiende a cero, entonces "b" tiende a "a" y queda:
Pero como "h" es positivo entonces a
Y tomando límites cuando b tiende a "a" y teniendo en cuenta que el signo de la fracción anterior y el del límite serán iguales en un entorno del punto "a", se tiene que:
Análogamente se demuestra que si la función es derivable y decreciente en un punto "a":
Ahora nos preguntamos: ?Qué ocurrirá entonces si f'(a)=0?. Pues, bien, entonces, en el opunto "a" la función pasa de crecer a decrecer o al contrario. Se dice que "a" es un punto crítico.
Si en el punto crítico la función pasa de ser creciente a ser decreciente se dice que en él hay un mínimo relativo. Si pasa de decreciente a creciente hay un mínimo relativo.
En los puntos críticos, la recta tangente a la curva es horizontal ya que según la interpretación geométrica de la derivada si ésta es nula, su pendiente también lo es y la recta forma ángulo nulo con el sentido positivo del eje X, o sea, es horizontal.
¿Cómo determinamos los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función y sus puntos críticos?
Hay dos formas;
a. Usando sólo la derivada primera:
· Averiguamos los puntos que no pertenecen al dominio.
· Calculamos la derivada y vemos qué valores la anulan (puntos críticos).
· Dividimos el eje real en varios intervalos que tengan por extremos tanto los puntos críticos como los valores en los que la función no está definida.
· Estudiamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos (podemos por ejemplo tomar un punto arbitrario de cada uno de ellos porque entre dos puntos críticos el signo de la derivada no cambia.
· En los puntos donde la función pase de creciente a decreciente y pertenezcan al dominio, la función tendrá un mínimo relativo.
· En los puntos donde pase de decreciente a creciente y pertenezcan al dominio, la función tendrá un máximo relativo.
Ejemplo:
Estudiar la monotonía de la función
El dominio es todo R al tratarse de un polinomio.
Derivemos e igualemos a cero para obtener los puntos críticos:
Hay, pues tres puntos críticos, el eje real quedará dividido así:
A la izquierda de -1, por ejemplo tomamos x=-2 y vemos que:
la función decrece.
Entre -1 y 0 tomamos x=-1/2
crece
Entre 0 y 1 tomamos x=1/2:
decrece
A la derecha del 1 tomamos x=2:
crece.
En el gráfico representamos el crecimiento por una flecha ascendente y el decrecimiento por una descendente y tenemos:
Decimos pues:
La función es creciente en
Es decreciente en
Presenta un máximo relativo en x=0
Presenta dos mínimos relativos en x=-1 y en x=1
La gráfica es :
a. Usando la derivada segunda:
Se cumple que:
Ya que si f'' es positiva, f' es creciente y, como se anula en x=a, en ese punto ha de pasar de negativa a positiva, por tanto, a la izquierda de a f será decreciente y a la derecha creciente. En a hay pues un mínimo relativo.
Si f'' es negativa, f' es decreciente y, como se anula en x=a, es ese punto pasa de ser positiva a ser negativa, por tanto, a la izquierda de a f será creciente y a la derecha decreciente. En a hay pues un máximo relativo.
Ejemplo:
Estudiar la monotonía de en el primer giro
Derivemos dos veces:
Calculamos los puntos críticos que anulan f'(x) en el primer giro:
Veamos el signo de f''(x) en esos puntos:
En hay un máximo relativo
En hay un mínimo relativo.
La función crece en
Decrece en
1. Curvatura. Puntos de inflexión.
Se dice que una función es convexa en un punto, vista desde el sentido positivo del eje Y , si la tangente a la curva en dicho punto está por encima de la curva.
Se dice que es cóncava en un punto, vista desde el mismo sentido que antes, si la tangente a la curva en dicho punto está por debajo de la curva.
Gráficamente:
En x=a la función es cóncava, pues la tangente está por debajo de la curva.
En x=b la función es convexa, pues la tangente está por encima de la curva.
Decir que la gráfica está por encima de la tangente (cóncava) es como decir que:
Decir que está por debajo (convexa) es como decir que:
Si la función es cóncava, las pendientes de las tangentes van creciendo, entonces f'(x) es creciente y por tanto f''(x) es positiva.
Si es convexa las pendientes de las tangentes van decreciendo, entonces f'(x) es decreciente y por tanto f''(x) es negativa.
En los puntos donde la curva pasa de ser cóncava a convexa o al contrario, se dice que hay punto de inflexión. Estos puntos de inflexión pueden ser cóncavo-convexos o convexo-cóncavos según el cambio de curvatura que se produzca en ellos.
Para estudiar la curvatura de una función procederemos así:
· Determinamos los puntos que no pertenecen al dominio.
· Determinamos los puntos que anulan la segunda derivada (posibles puntos de inflexión).
· Dividiremos el eje real en los intervalos cuyos extremos sena los puntos anteriores.
· Estudiaremos el signo de f''(x) es cada intervalo tomando un número arbitrario de cada uno de ellos.
Ejemplo:
Estudiar la curvatura y la monotonía de la función
El dominio es
Derivando para obtener los puntos críticos:
absurdo
No hay puntos críticos, la función siempre crece o siempre decrece en todo su dominio. Como el denominador de f'(x) es siempre positivo y el numerador es negativo, diremos que la función crece en y carece de máximos o mínimos.
Derivando de nuevo:
absurdo. No hay puntos de inflexión.
Veamos la curvatura:
A la izquierda de x=1, por ejemplo en x=0 se tiene:
Convexa
A la derecha de x=1 por ejemplo en x=2
Cóncava.
Tenemos:
Siendo la función convexa en y cóncava en no existiendo puntos de inflexión pues en x=1 no está definida.
La gráfica de la función es:
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A OTRAS DISCIPLINAS
El cálculo de derivadas tiene multitud de aplicaciones en otros campos de la ciencia fuera de las Matemáticas propiamente dichas. Sin pretender ser exhaustivos, veamos algunos:
a. Al cálculo de valores aproximados:
Vamos a introducir el concepto de diferencial de una función.
De la definición de derivada en el punto a:
Ignorando el límite, se puede considerar que:
Al producto de la derivada de la función en un punto por h se le llama diferencial de la función en ese punto.
Llamando a la T.V. dy (se lee diferencial de y) y a "h" dx (se lee diferencial de x), tenemos:
Expresión de donde surge la notación diferencial para la derivada de la que ya hablamos en otro momento.
La diferencial nos da una aproximación del valor de la función en un punto próximo a "a" (a+h) medido, no hasta la curva sino hasta la tangente a la misma en ese punto. Veamos en gráfico siguiente:
En él:
En esta última expresión podemos calcular fácilmente dy para aproximar f(a+h) cometiendo un error BC que será más pequeño cuanto más pequeño sea "h".
Ejemplo:
Calcular, usando la aproximación por la diferencial y estimar el error cometido.
Tomando la función y tomando para "a" el valor más próximo a 31 que tenga raíz cúbica exacta (a=27), tenemos:
El valor exacto de la raíz cúbica de 31 con la calculadora es 3,141 (redondeando hasta las milésimas). Siendo el error cometido de 0,007 lo que supone un 0,22 %.
b. A LA FÍSICA:
En Física se define:
· La velocidad como la derivada del espacio con relación al tiempo (v=e'(t)).
· La aceleración como la derivada de la velocidad con relación al tiempo, o lo que eslo mismo, la derivada segunda del espacio con relación al tiempo (a=v'(t)=e''(t)).
Con estas definiciones estamos en condiciones de resolver problemas como el siguiente:
Ejemplo:
Un móvil recorre una circunferencia centrada en el origen de radio r=1 m con una frecuencia angular de .Y su proyección sobre el eje de abscisas realiza un movimiento vibratorio armónico simple, siendo en cada instante la distancia respecto al origen dada por la ecuación . Determinar su distancia al origen, la velocidad y la aceleración en el instante t=2 segundos. Representar gráficamente, sobre los mismos ejes las funciones espacio, velocidad y aceleración
Será:
Donde para t= 2 segundos, r= 1 metro y segundos queda:
Siendo la gráfica de las tres funciones:
Donde en el eje de abcisas está representado el tiempo en segundos y la escala del eje de ordenadas está en metros para la línea negra de trazo fino (espacio), en m/s. Para la línea azul (velocidad) y en m/s2 para la línea negra gruesa (aceleración).
c) A LA ECONOMÍA:
Las acciones de una determinada empresa varían con el tiempo (durante 3 días), según la ecuación , siendo v(t) el valor en función del tiempo en miles de ptas.. y t el tiempo en días. Determinar en qué instantes el valor es máximo (?A cuánto asciende?) y en qué instantes el valor es nulo ?En qué intervalo de tiempo el valor crece? ?En cuál decrece?
Derivando con relación al tiempo dos veces:
Los puntos críticos salen de:
Para ese valor la segunda derivada es negativa pues es constantemente -2, luego en él hay un máximo. La función crece (las acciones aumentan de valor) en y decrece (disminuyen de valor en
La máxima cotización será de:
La gráfica ptas.-tiempo de evolución del valor de las acciones será:
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.
Se llaman problemas de optimización a aquéllos en los que se trata de hacer máxima o mínima una función.
La resolución de estos problemas se realiza según el siguiente proceso:
· Determinamos las incógnitas y, si procede hacemos un dibujo o gráfico.
· Escribimos la función a optimizar (maximizar o minimizar).
· Caso de tener la función más de una variable, hemos de dejar sólo una para ello haremos uso de las condiciones del problema.
· Derivamos la función para determinar los puntos críticos.
· Calculamos la derivada segunda para ver si los puntos críticos obtenidos son máximos o mínimos.
· Discutimos los resultados obtenidos para eliminar aquéllos que no sean posibles o sean absurdos.
En estos problemas se hace uso frecuente de fórmulas de la geometría del plano o del espacio. A continuación presentamos una tabla con las más usuales.
PLANO
Nombre
Perímetro
Área
Triángulo
P=a+b+c
Cuadrado
P=4a
Rectángulo
P=2a+2b
Rombo
P=4a
Romboide
P=2a+2b
Trapecio
P=b+B+c+d
Polígono regular
P=na
Circunferencia y círculo
Arco y sector circular
ESPACIO
Nombre
Área/as
Volumen
Prismas
Cilindro
Ortoedro
Pirámides
Cono
Ejemplo:
De entre todos los cilindros de 0,5 m3 de volumen, determinar el de área total mínima.
Llamamos:
r= radio del cilindro.
h= altura del cilindro.
Hay que minimizar la ecuación:
Que tiene dos variables, pero sabemos que:
Y sustituyendo en At:
Y en los puntos críticos ha de anularse la derivada de esta función, o sea:
Entonces tenemos para la altura:
Veamos si la solución obtenida es máxima o mínima. Calculamos la derivada segunda de At(r) y tenemos:
Y para r= =0,43 da:
Luego la solución obtenida es mínima.
Ejemplo 2:
De una hoja de cartón de rectangular de lados 4 cm. y 8 cm. hay que cortar un cuadrado de cada vértice para construir una caja abierta de volumen máximo ?Qué dimensiones debe tener el cuadrado que cortamos?
El gráfico será :
La caja que construyamos será un ortoedro sin tapa. Su volumen es:
O sea, operando:
Obtengamos los puntos críticos anulando la derivada primera:
Veamos si son máximos o mínimos mediante la derivada segunda:
el máximo volumen de la caja se obtiene recortando un cuadrado por cada vértice de 0,9 cm.
CAPITULO V: Integrales
Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto...
En este capítulo intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f tal que f (x) 0, para todo x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b) ...
figura 1
figura 2
El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b]. En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x) 0, para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebraica' de R(f, a, b).
Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.
Figura 24.
Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales. Notamos la longitud de la primera parte por x1, la de la segunda por x2, y así sucesivamente hasta la última, xn. En cada parte elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma
(28)
Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 24.
Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S.
La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor xi en la n-ésima subdivisión tiende a cero. Así:
(29)
El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (29)..., hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: es el límite (29).
5.1 Integral definida
[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por
La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior.
Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal
[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por
Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y
[Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x).
[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y
F' = f
..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función
Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal
Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces
(30)
Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.
Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (30) se acostumbra a escribir así:
Ejemplo:
La igualdad
muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,
Propiedades de la integral definida
Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:
1.
2.
3.
, siendo c una constante
4.
5.
, cuando a < c < b
6. Primer teorema del valor medio:
, para al menos un valor x = x0 entre a y b.
7.
Si , se verifica .
Ejemplos
1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos
2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2; tendremos
3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos
Integrales indefinidas; técnica de integración.
Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F'(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;... Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.
La primitiva o integral indefinida de la función f (x) se representa por medio del símbolo
Por ejemplo: .
Fórmulas fundamentales de integración
xn dx = x(n+1) / (n+1) + C (n -1)
1/x dx dx = ln|x| + C
Exponente / Logaritmo
ex dx = ex + C
bx dx = bx / ln(b) + C
ln(x) dx = x ln(x) - x + C
Trigonométrica
sen x dx = -cos x + C
cos x dx = sen x + C
tan x dx = -ln|cos x| + C
csc x dx = - ln|csc x + cot x| + C
sec x dx = ln|sec x + tan x| + C
cot x dx = ln|sen x| + C
Resuelta Trigonométrica
cos x dx = sen x + C
sen x dx = -cos x + C
sec2 x dx = tan x + C
csc x cot x dx = -csc x + C
sec x tan x dx = sec x + C
csc2 x dx = -cot x + C
Trigonométrica Inversa
arcsen x dx =
1
(1-x2)
+ C
arccsc x dx =
-1
|x|(x2-1)
+ C
arccos x dx =
-1
(1-x2)
+ C
arcsec x dx =
1
|x|(x2-1)
+ C
arctan x dx =
1
1+x2
+ C
arccot x dx =
-1
1+x2
+ C
Hiperbólica
senh x dx = cosh x + C
cosh x dx = senh x + C
tanh x dx = ln( cosh x ) + C
csch x dx = ln( tanh(x/2) ) + C
sech x dx = atan( senh x ) + C
coth(x) dx = ln( senh x ) + C
Funciones de varias variables
Si a cada punto (x, y) de una región del plano xy se la hace corresponder un número real z, diremos que z es una función, z = f (x, y), de las variables independientes x e y. El lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación z = f (x, y) es una superficie. Análogamente se definen las funciones w = f (x, y, z, ...) de varias variables independientes aunque no tengan una interpretación geométrica sencilla.
El estudio de las funciones de dos variables difiere notablemente del de las funciones de una variable. Sin embargo, el cálculo de las funciones de tres o más variables es muy similar al caso de dos variables.
Límite de una función de dos variables
Una función f (x, y) tiende al límite A cuando e , si dado un > 0 tan pequeño como queramos, existe un > 0 tal que, para todos los pares de valores (x, y) que cumplan la desigualdad
(i)
se verifica: . La condición (i) representa un intervalo reducido del punto (x0, y0), es decir, todos los puntos excepto el propio (x0, y0), situados en un círculo de radio y centro (x0, y0). (Ayres, 258)]
Continuidad de una función de dos variables
[Una función f (x, y) es continua en el punto (x0, y0) siempre que f (x0, y0) esté definida y, además,
Derivadas parciales de una función de dos variables
[Sea z = f (x, y) una función de las variables independientes x e y. Como x e y son independientes, podremos (i) variar x manteniendo constante y y, (ii) variar y manteniendo constante x, (iii) variar x e y simultáneamente. En los dos primeros casos, z es una función de una sola variable y se puede hallar su derivada de acuerdo con las expresiones clásicas que ya hemos visto.
Si x varía permaneciendo constante y, z es una función de x y su derivada con respecto a esta variable x,
se denomina primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a x.
Si lo que varía es y permaneciendo constante x, z es una función de y y su derivada con respecto a y
recibe el nombre de primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a y...
Las derivadas parciales anteriores admiten una interpretación geométrica muy sencilla. Consideremos la superficie z = f (x, y) de la Fig. 56-1, y sean APB y CPB las intersecciones con dicha superficie de los planos que pasando por P sean paralelos a los xOz e yOz, respectivamente. Si hacemos variar a x permaneciendo constante y, el punto P se desplazará a lo largo de la curva APB y el valor de z/x en el punto P es la pendiente de la curva APB en P.
Fig. 56-1.
Análogamente, si hacemos variar y permaneciendo constante x, P se moverá a lo largo de la curva CPD, y el valor de z/x en P es la pendiente de la curva CPD en P.
Integrales impropias,
Estudia una clase particular de integrales en las cuales uno o ambos límites de integración escapan hasta el infinito.
La figura siguiente representa la secuencia sugerida para acceder a los materiales de acuerdo a su ordinal, aunque puedes seleccionar el que tú desees en cualesquier orden: Para iniciar selecciona con el ratón y haz clic directamente en el círculo del tema deseado dentro de la figura siguiente:
LECTURA ADICIONAL
DEFINICIÒN DE LA DEMANDA
La demanda relativa a un producto es el volumen total de compras realizado por una determinada categoría de clientes, en un lugar y en el curso de un período dado, en unas condiciones de entorno determinadas y para un esfuerzo de marketing previamente definido.
Se destacan tres dimensiones de esta definición: el producto, el tiempo y el grupo de compradores.
Producto.- Hay que establecer el nivel de agregación del producto o servicio considerado.
Tiempo.- Hay que concretar el horizonte temporal en el que se va a medir la demanda del producto considerado. Suelen utilizarse el corto, medio y largo plazo. El medio y largo plazo se encuadran dentro de la elaboración del plan de marketing en el nivel estratégico, y el corto plazo en el nivel táctico.
Grupo de compradores.- Hace referencia al grado de agregación con que se trata a estos últimos.
El cruce de estas tres dimensiones permite hablar de distintos conceptos de demanda y de distintos planteamientos para su estimación.
Si consideramos definidas las dimensiones relativas al tiempo y al espacio geográfico, es posible establecer una relación entre la demanda global del mercado y la demanda de una marca.
Cuota de mercado de la marca i.
Demanda de la marca i.
Q = Demanda global del mercado.
Tanto el concepto como la medición de la demanda pueden ser planteados para un mercado, un producto-mercado o una industria.
Podemos distinguir una nueva dimensión, el nivel del proceso de producción de bienes y servicios. En este sentido hablamos de demanda final, es decir, la demanda de los bienes que son utilizados por los consumidores para satisfacer sus deseos y necesidades. Si la demanda se plantea en los niveles intermedios del proceso de producción hablamos de demanda derivada, es decir, los bienes que son demandados por otras organizaciones con el fin de producir otros bienes.
Así, la demanda de una empresa en el interior de un mercado es una variable dependiente de un conjunto de variables explicativas. El objetivo es descubrir estas variables explicativas y determinar la influencia que cada una de ellas tiene sobre dicha demanda, para así poder hacer una estimación de la misma para cada uno de los productos-mercados considerados.
Ya hemos señalado que las motivaciones que pueden llegar a tener los individuos para poder consumir determinados bienes son múltiples. Con todo, supondremos que hay una serie de factores determinantes de las cantidades que los consumidores desean adquirir de cada bien por unidad de tiempo, tales como las preferencias, la renta o ingreso en ese período, los precios de los demás bienes y, sobre todo, el precio del propio bien en cuestión. Si consideramos constantes todos los factores salvo el precio del bien, esto es, si aplicamos la condición “ceteris paribus, podemos hablar, por ejemplo, de la tabla de demanda del bien A por un consumidor cuando consideramos la relación que existe entre la cantidad demandada y el precio de ese bien.
Tabla de demanda
Cantidades demandadas del bien A diversos precios
Bajo la condición “ceteris paribus” y para un precio del bien A determinado, la suma de las demandas individuales nos dará la demanda global o de mercado de ese bien. Es claro que la demanda de mercado del bien A seguirá dependiendo del precio del bien, y por tanto tendremos una tabla de demanda de mercado para el bien A.
La función de demanda es la relación entre la cantidad demandada de un bien y su precio. Al trazar la curva de demanda se mantienen constantes los demás factores que puedan afectar a la cantidad demandada, tales como la renta.
Sí f´ < 0 La función de Demanda
DEFINICIÓN DE LA OFERTA
La cantidad de bienes o servicios que se ponen a la disposición del público consumidor en determinadas cantidades es la oferta
La oferta se define como la cantidad de bienes o servicios que se ponen a la disposición del público consumidor en determinadas cantidades, precio, tiempo y lugar para que, en función de éstos, aquél los adquiera. Así, se habla de una oferta individual, una de mercado o una total.
En el análisis de mercado, lo que interesa es saber cuál es la oferta existente del bien o servicio que se desea introducir al circuito comercial, para determinar si los que se proponen colocar en el mercado cumplen con las características deseadas por el público.
Dada la evolución de los mercados, existen diversas modalidades de oferta, determinadas por factores geográficos o por cuestiones de especialización. Algunos pueden ser productores o prestadores de servicios únicos, otros pueden estar agrupados o bien, lo más frecuente, es ofrecer un servicio o un producto como uno más de los muchos participantes en el mercado.
En el primer caso referido como el de especialización, se trata de monopolios, donde uno solo es oferente en una localidad, región o país, lo cual le permite imponer los precios en función de su exclusivo interés, sin tener que preocuparse por la competencia. A ello, el público consumidor sólo puede responder con un mayor o menor consumo, limitado por sus ingresos.
Para los casos de un cierto número restringido de oferentes, que se ponen de acuerdo entre ellos para determinar el precio de mercado, se les conoce como el oligopolio. Muy similar al caso anterior, el consumidor no afecta el mercado, pues su participación igualmente se ve restringida por su capacidad de compra.
Sí f´ > 0 La función de oferta
DEFINICIÒN DE EL EQUILIBRIO
En economía entendemos por equilibrio aquella situación en la que no hay fuerzas inherentes que inciten al cambio. Cambios a partir de una situación de equilibrio ocurrirán solo como resultado de factores exógenos que alteren el statu quo. Por lo tanto se tendrá una combinación que equilibrio de precio, cantidad ofrecida y demandada, cuando rija en el mercado un precio para el que no haya ni compradores ni vendedores frustrados que tiendan a empujar los precios al alza o a la baja para adquirir las cantidades deseadas o estimular sus ventas.
F´ Oferta INTERSECCIÓNF´ Demanda
3.4 APLICACIONES DE LA DEMANDA, OFERTA Y EQUILIBRIO EN LA ECONOMIA
1. Dado
y = 18 – 3x
y = 4 + 2x
y = 18 – 3x
y = 4 + 2x
y = - 3 < 0 La función de Demanda
y = 2 > 0 La función de Demanda
3x + y = 18
y = 18 – 3(2.3)
-2x + y = 4 // (-1)
y = 18 – 8.4
3x + y = 18
y = 9.6
2x – y = -4
5x = 14
x = 14
5
x = 2,8
Oferta
Punto de Equilibrio
Demanda
Dado:
x = 208 – 8x – x^2
y = 1 + x^2
13
x = 208 – 8x – x^2 = 1 + x^2
16 13
x = 13 (208 – 8x –x^2) = 16 + 16x^2
x = 2704 – 104x – 13x^2 – 16 – 16x^2 = 0
x = - 29x^2 – 104x + 2688 = 0 // (-1)
x = 29x^2 + 104x – 2688 = 0
x = - 104 +- (104)^2 – 4 (29) (- 2688)
2(29)
x = - 104 +- 10816 + 311808
58
x = - 104 +- 322624
58
x = -104 + 568
x = - 104 - 568
58
58
x = 8
x = - 11,5
Remplazando:
y = 1 + 8^2
y = 1 + (- 11,5)^2
13
13
y = 65
y = 1 + 133.25
13
13
y = 5
y = 10, 3
Y
Oferta
Punto de Equilibrio
Demanda
X
6
Integrales
Impropias�
�
5
Aplicaciones
De la
Integral�
�
4
Integral
Definida�
�
3
Técnicas de integración�
�
2
Integral
Indefinida�
�
1
Diferenciales�
�
0
Introducción�
�
PA DA
8
6
4
8 2
20
15
10
5
1
12345
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
