UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁpaginapessoal.utfpr.edu.br/.../copy2_of_EDO_N21.pdfAs equações...

EQUAÇÕES – N21 NOTAS DE AULA

Prof.a Paula Francis Benevides

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Campus Curitiba

Gerência de Ensino e Pesquisa

Departamento Acadêmico de Matemática

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

2

Conteúdo

AULA 1 ............................................................................................................................. 5

AULA 2 ............................................................................................................................. 7

1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 7

1.2 DEFINIÇÃO .................................................................................................................... 8

1.3 CLASSIFICAÇÃO ............................................................................................................... 8

1.3.1 Tipo: ....................................................................................................................... 8

1.3.2 Ordem: ................................................................................................................... 8

1.3.3 Grau: ...................................................................................................................... 8

1.3.4 Linearidade: ........................................................................................................... 9

1.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: .............................................................................. 9

2. RESOLUÇÃO ............................................................................................................ 11

2.1 CURVAS INTEGRAIS: ...................................................................................................... 11

2.2 SOLUÇÃO: ................................................................................................................... 11

2.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) ................................................................................. 12

2.4 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO ............................................................. 13

3. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU .............................................. 14

3.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS ............................................................................... 14

3.1.1 Resolução: ............................................................................................................ 14

AULA 3 ........................................................................................................................... 19

3.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS .............................................................................................. 19

3.2.1 Função Homogênea ............................................................................................. 19

3.2.2 Equação Homogênas ........................................................................................... 19 3.2.2.1 Resolução: ...............................................................................................................................................19

3.3 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS . 22

3.3.1 O determinante 22

11

ba

ba é diferente de zero ...................................................... 22

3.3.2 O determinante 22

11

ba

ba é igual a zero............................................................... 24

AULA 4 ........................................................................................................................... 27

3.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS .................................................................................... 27

3.4.1 Fator Integrante ................................................................................................... 29

AULA 5 ........................................................................................................................... 32

3.5 EQUAÇÕES LINEARES: .................................................................................................... 32

3.5.1 Fator Integrante: .................................................................................................. 32

3.5.2 Substituição ou de Lagrange: .............................................................................. 34

3.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: ................................. 36

3.6.1 Equações de Bernoulli: ......................................................................................... 36

AULA 6 ........................................................................................................................... 39


3

4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS ..................................... 39

4.1 MODELO MATEMÁTICO ................................................................................................. 39

4.2 DINÂMICA POPULACIONAL .............................................................................................. 40

4.3 MEIA VIDA .................................................................................................................. 42

4.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO ............................................................................................. 44

4.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO .......................................................................................... 44

4.6 RESFRIAMENTO ............................................................................................................ 45

4.7 MISTURAS ................................................................................................................... 47

4.8 DRENANDO UM TANQUE ................................................................................................ 49

4.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA ..................................................................................... 51

4.10 CORPOS EM QUEDA ....................................................................................................... 53

4.10.1 Corpos em queda e a resistência do ar .............................................................. 55

4.11 CORRENTE DESLIZANTE .................................................................................................. 57

4.12 CIRCUITOS EM SÉRIE ...................................................................................................... 59

AULA 7 ........................................................................................................................... 61

5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR ................. 61

5.1 EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES ..................................... 63

5.1.1 Caso 1: Raízes Reais Distintas. ............................................................................. 64

5.1.2 Caso 2: Raízes Múltiplas. ..................................................................................... 64

5.1.3 Caso 3: Raízes complexas distintas. ..................................................................... 65

5.2 EULER - CAUCHY........................................................................................................... 67

AULA 8 ........................................................................................................................... 70

5.3 EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS .......................................................................... 70

5.3.1 Solução por coeficientes a determinar (Descartes): ............................................ 70

AULA 9 ........................................................................................................................... 73

5.3.2 Solução por variação de parâmetros ................................................................... 73

AULA 10.......................................................................................................................... 76

5.3.3 Método do Operador Derivada ............................................................................ 76 5.3.3.1 Definição ..................................................................................................................................................76 5.3.3.2 Propriedades ............................................................................................................................................76 5.3.3.3 Equações Diferenciais ..............................................................................................................................76 5.3.3.4 Operador Anulador ..................................................................................................................................77 5.3.3.5 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores ....................................................................78 5.3.3.6 Resolução de Equações Lineares..............................................................................................................79

AULA 11.......................................................................................................................... 82

6. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR ...................... 82

6.1 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: ......................................... 82

6.1.1 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre não amortecido .................................... 82 6.1.1.1 ED do Movimento Livre não amortecido: ................................................................................................83 6.1.1.2 Solução e Equação do Movimento: ..........................................................................................................83

6.1.2 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido .......................................... 85 6.1.2.1 ED do Movimento Livre Amortecido: .......................................................................................................85

6.1.3 Sistema Massa Mola: Movimento Forçado ......................................................... 87 6.1.3.1 ED do Movimento Forçado com Amortecimento: ...................................................................................87 6.1.3.2 ED de um Movimento Forçado Não Amortecido: ....................................................................................88

6.1.4 Circuito em Série Análogo - Circuitos elétricos RLC em série ............................... 89


4

6.2 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO............................................... 90

6.2.1 Deflexão de uma viga: ......................................................................................... 90 6.2.1.1 Soluções Não Triviais do Problema de Valores de Contorno: ...................................................................92 6.2.1.2 Deformação de uma Coluna Fina: ............................................................................................................93 6.2.1.3 Corda Girando: .........................................................................................................................................94

AULA 12.......................................................................................................................... 97

7. TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................................. 97

7.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 97

7.1.1 Definição: ............................................................................................................. 97

7.1.2 Definição: ........................................................................................................... 101

7.2 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE .............................................................. 102

7.3 TRANSFORMADA INVERSSA DE LAPLACE .......................................................................... 103

7.3.1 Método das frações parciais .............................................................................. 103

7.3.2 Método do Complemento do Quadrado ............................................................ 103

AULA 13........................................................................................................................ 108

7.4 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS ..................................................................... 108

7.5 TRANSFORMADA DE DERIVADAS ..................................................................................... 109


5

AULA 1

REVISÃO DE INTEGRAIS

Resolva as seguintes integrais:

1) dxx )13( R: Cxx

2

3 2

2) dxx

x

4= R: Cxx 48

3

2

3)

dxx

x2

2 )1( R: C

xx

1

4)

21 x

dx R: Carcsenx

5)

dxx

x21

R: Cx 21ln2

1

6) )1( 2xx

dx R: C

x

x

1ln

2

12

2

7)

21 x

dx R: Cx arctan

8) 42x

dx R: C

x

x

2

2ln

4

1

9) x

dx

3 R: C

x

3

1ln

10)

dxx

x3

21 R: Cx

x ln

2

12

11)

dxx

x3

2 )1( R: Cx

x ln

2

12

12) dxx

x

tan

sec2

R: Cx tanln

13)

dx

ax

ax22

22

R: Cax

axax

ln


6

14)

dx

ax

ax22

22

R: Ca

xax arctan2

15) dxxe x3 R: Cxe x 13

9

1 3

16)

dx

xx

x

12

12

R: Cxx 12ln2

1 2

17)

dx

xx

xx32

2

31

2 R: Cxx 13ln

3

1 23

18)

dx

x

x21

1 R: Cxx arctan1ln

2

1 2

19)

22 31231

3

xx

xdx R: Cx 231ln 2

20)

dx

x

x

35

13 R: Cxx 35ln

25

4

5

3

21)

dx

xx

x

145

152

R: Cxxx )25arctan(145ln2

1 2

22)

dx

x

x

10

12 R: Cxx 10ln212

23) dxxe x )2.(1

ln

R: Cxx 2ln

24)

dxx

xe x

2

arctan

1

arctan. R: Cex x arctan.1arctan

25) xdxe x sin.cosln R: C

x

2

sin 2

26) dxxe x )2( 32

R: Cex x 2

).1( 2

27)

dxxxe x

64

)123(4 22

R: Cxxe x

4

3

22

3

16

22

28) dxxe x )4.( 22 R: Cexx x 22 ).122(


7

AULA 2

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1.1 INTRODUÇÃO

Antes de mais nada, vamos recordar o que foi aprendido em Cálculo!!! A derivada dxdy

de uma função nada mais é do que uma outra função encontrada por uma regra

apropriada. Como por exemplo, a função é diferenciável no intervalo , e a sua

derivada é 23.

3

xedx

dy x . Se fizermos3xey teremos:

23. xydx

dy

(1)

Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equação (1) e perguntasse qual é a função

representada por y? Apesar de você não fazer ideia de como ela foi construída, você está a frente de

um dos problemas básicos desta disciplina: como resolver essa equação para a desconhecida função

? O problema é semelhante ao familiar problema inverso do cálculo diferencial, onde

dada uma derivada, encontrar uma antiderivada.

Não podemos deixar de lado a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a

derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm

significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são:

a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por

exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades

puramente matemáticas;

a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os

pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma

função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza;

a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que

envolve uma grandeza;

o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura;

consequentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada

a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo);

se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se:

dx

dy

em total semelhança com a definição de derivada. A consequência direta desse fato é que a

derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse

quociente. Isto significa que a partir da relação:

)(xfdx

dy

é possível escrever:

dxxfdy )(

que se denomina equação diferencial.


8

uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção

da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral.

1.2 Definição

Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou

diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial.

1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0232

2

ydx

dy

dx

yd

4) xyyy cos')"(2'" 2

5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x

6) yxdt

dy

dt

dx35

7) yxy

z

x

z

2

2

2

2

2

8) y

zxz

x

z

1.3 CLASSIFICAÇÃO

1.3.1 TIPO:

Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis

dependentes em relação a uma única variável independente, como em (1) a (6), as derivadas são

ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária (EDO). Uma ED pode conter

mais de uma variável dependente, como no caso da equação (6)

Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de

duas ou mais variáveis independentes, como em (7) e (8), a equação é denominada equação

diferencial parcial (EDP). As equações diferenciais parciais não serão vistas neste curso.

1.3.2 ORDEM:

A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As

equações (1), (2) e (6) são de primeira ordem; (3), (5) e (7) são de segunda ordem e (4) é de terceira

ordem.

1.3.3 GRAU:

O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como

um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equações dos

exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo grau.

1

3

33

3

dx

yd

y

dx

ydx

3

32

3

3

dx

ydy

dx

ydx

3

a ordem e 2

o grau


9

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy

x.

12

yexdx

dy 2 1a ordem e 1

o grau

Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato

quanto a ordem e grau.

1.3.4 LINEARIDADE:

Dizemos que uma equação diferencial ordinária

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

de ordem n é linear quando são satisfeitas as seguintes condições:

1) A variável dependente y e todas as suas derivadas nyyy ,,",' são do primeiro grau, ou

seja, a potência de cada termo envolvendo y é um.

2) Os coeficientes naaa ,,, 10 de nyyy ,,",' dependem quando muito da variável

independente x .

Exemplos:

a) 08)( xdydxxy

b) 072

2

ydx

dy

dx

yd

c) xydx

dyx

dx

yd245

3

3

São respectivamente equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e

terceira ordem.

1.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:

Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como

Cxxy 4 ou BxAxy 2

, é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre

aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um

número menos de constantes.

Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma

equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se

as n constantes entre as )1( n equações obtidas juntando-se à primitiva as n equações provenientes

de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da primitiva.

Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo:


10

a) Cxx

y 2

3 2

b) xCsenxCy cos21

c) 2Cxy

d) 22

1 CxCy

e) xx eCeCy 2

23

1


11

2. RESOLUÇÃO

Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a

equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa

identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira,

que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além

de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e

consiste na aplicação dos métodos de integração.

2.1 CURVAS INTEGRAIS:

Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução

particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da

equação diferencial.

Cxy

xdx

dy

2

2

2.2 SOLUÇÃO:

É a função que quando substituída na equaçãodiferencial a transforma numa identidade. As

soluções podem ser:

Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de

uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades

de ordem da equação.

Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições

iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante

inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os

valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos.

Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à

envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A

solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais

não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante.

As soluções ainda podem ser:

Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy é

chamada solução explícita.

Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma 0)y,x(G

trata-se de uma solução implícita.

Exemplo:


12

Consideremos a resolução da seguinte EDO: xdx

dy 1

cxxy

dxxdy

23

3

2

1

A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita.

Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO:

2

2

xxy

y

dx

dy

tem como solução: x

y

Cey , ou seja, uma solução implícita.

Exemplo:

Verifique que 16

xy

4

é uma solução para a equação 21

xydx

dy no intervalo ),( .

Resolução:

Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma solução é escrever a equação

diferencial como 0xydx

dy 21

e verificar, após a substituição, se a diferença acima 21

xydx

dy é

zero paratodo x no intervalo.

4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33

Substituindo na E.D., temos

044

044

0164

332321

43

xxxx

xxx

x

Esta condição se verifica para todo Rx

2.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)

Seja a equação diferencial de primeira ordem ),( yxfdx

dy sujeita a condição inicial

00 y)x(y , em que 0x é um número no intervalo I e 0y é um número real arbitrário, é chamado de

problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação

diferencial definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto (xo, yo)

determinado a priori.


13

Seja xe.cy a família a um parâmetro de soluções para y'=y no intervalo ),( . Se

especificarmos que y(0) = 3, então substituindo x = 0 e y = 3 na família, temos: x0 e.3ye3ce.c3

Se especificarmos que y(1) = 3, então temos: 1xx111 e3ye.e3yee.3ce.c3

Será que a equação diferencial )y,x(fdx

dy possui uma solução cujo gráfico passa pelo

ponto (xo, yo)? Ainda, se esta solução existir, é única?

As funções y = 0 e 16

xy

4

são soluções para o problema de valor inicial

0)0(y

xydx

dy 21

Podemos observar que o gráfico destas soluções passam pelo ponto (0,0). Desta forma,

deseja-se saber se uma solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema.

2.4 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO

Seja R uma região retangular no plano xy definida por bxa , dyc , que contém o

ponto )y,x( 00 em seu interior. Se )y,x(f e dy

df são contínuas em r, então existe um intervalo I,

centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial

)y,x(fdx

dy , sujeito a 00 y)x(y .

Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO.

1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?

2. Se tiver solução, será que esta solução é única?

3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial?

Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução

que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas

características.

Teorema: Considere o problema de valor inicia

00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy


14

Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , então o problema de

valor inicial tem uma única solução nesse intervalo.

Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo ―similar‖ ao

cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o

caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais

possuam soluções.

3. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU

São equações de 1a ordem e 1

o grau:

),( yxFdx

dy

ou 0NdyMdx

em que M = M(x,y) e N = N(x,y).

Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞)

3.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

A equação diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM será de variáveis separáveis se:

M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP , a

equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

3.1.1 RESOLUÇÃO:

Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos

separar as variáveis, isto é, deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma

função exclusivamente da variável y, e então integramos cada diferencial, da seguinte forma:

CdyyQdxxP ).().(

Exemplos: Resolver as seguintes equações:

1) 13 xdx

dy


15

2) 0 xdyydx

3) 04

dyy

xxdx

4) 0secsec. xdytgyydxtgx


16

5) 01)1( 222 dyxdxyx

6) xyx

y

dx

dy

)1(

12

2


17

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy

8) Resolva o problema de valor inicial

AULA 2 - EXERCÍCIOS

Nos exercícios de 1 a 12, obter a equação diferencial associada a primitiva:

1) 222 Cyx

2) xCey

3) )( 223 yxCx

4) xCxCy 2sin2cos 21

5) 321 )( CexCCy x

6) xx eCeCy 2

21

7) ayy

x1ln

8) Cyxyx 5332

9) CBxAxy 2

10) CBeAey xx 2

11) xxx eCeCeCy 3

22

31

12) BAxy 2ln

1)0(,42 yydx

dy


18

13) Obter a equação diferencial da família de

círculos de raio 10, cujos centros estejam

sobre o eixo y.

Nos exercícios 14 a 27 resolva as EDO.

14) 0.1

dx

dytgy

x

15) 0)1(4 22 dyxdxxy

16) 0)3()2( dyxdxy

17) 0)1( 2 dyxxydx

18) 42

2

x

e

dx

dy y

19) 0)1()1( 3232 dyxydxyx

20) dx

dyxyy

dx

dyxa

2

21) 0tansectansec 22 xdyyydxx

22) (x2 + a

2)(y

2 + b

2)dx + (x

2 – a

2)(y

2 – b

2)dy = 0

23) 0)1( ydxdyx

24) 0)1( 2 xydxdyx

25) 0cos xydx

dy

26) xydx

dycos3

27) 0)2(324

dyeydxxyx

Respostas: 1) 0 ydyxdx

2) 0 ydx

dy

3) dx

dyxyxy 23 22

4) 042

2

ydx

yd

5) 022

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 022

2

ydx

dy

dx

yd

7) 0ln ydx

dy

y

xx

8) 05332 2

dx

dyxyxy

dx

dyxy

9) 03

3

dx

yd

10) 0232

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

11) 061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

12) 2" ' ( ') 0xyy yy x y

13) 2

22

100 x

x

dx

dy

14) x cos y = C

15) Cy

1)1xln(2 2

16) (2 + y)(3 – x) = C

17) C y2 = 1 + x

2

18) C2

xarctge y2

19) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

20)

yy

k

a a

ex

ln

2

21) tg x . tg y = C

22) Cb

yarctg.b2y

ax

axlnax

23) y = c(x – 1)

24) C.x1y 2

25) senxe

Ky

26) senxCey 3

27) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3


19

AULA 3

3.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS

3.2.1 FUNÇÃO HOMOGÊNEA

Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t R, vale a

relação f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t R, vale

a relação f(tx, ty) = f(x, y)

Exemplos:

1) A função f(x, y) = x2 + y

2 é homogênea de grau 2,

pois )y,x(ft)yx(tytxt)ty()tx()ty,tx(f 2222222222

2) 4y

x)y,x(g

2

2

é homogênea de grau zero pois,

)y,x(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()ty,tx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(x,y) = 2x3 + 5xy

2 é homogênea de grau três pois,

)y,x(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)y,x(f 3233233323

Exemplo:

Seja 22 yxy3x)y,x(f homogênea de grau 2. Logo,

x

y,1fx

x

y

x

y.31x

x

y

x

y31x)y,x(f 2

22

2

22

1,

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)y,x(f 2

22

2

22

3.2.2 EQUAÇÃO HOMOGÊNAS

A equação 0dy)y,x(Ndx)y,x(M será chamada de equação diferencial homogênea se

M e N forem funções homogêneas de mesmo grau.

Exemplos:

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

'y

xy

3)

x

yarctgy'

3.2.2.1 Resolução:

Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0


20

Tem-se:

N

M

dx

dy

Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia

igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x.

x

yF

dx

dy (1)

É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar as

variáveis.

Dessa forma, substitui-se x

y por u.

xuy . (2)

Derivando y=x.u em relação ax tem-se

dx

duxu

dx

dy

(3)

Substituindo (2) e (3) em (1), temos:

x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(

Que é uma equação de variáveis separáveis.

Em resumo:

Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma equação

de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma nova função incógnita.

Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x, y) pode ser transformada em uma equação

separável.


21

Exemplo:

02)( 22 xydydxyx


22

3.3 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES

REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS

São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em equações

homogêneas ou em equações de variáveis separáveis.

São equações da forma:

222

111

cybxa

cybxaF

dx

dy

onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes.

Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das

variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto

deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que equivale a efetuar uma translação de

eixos.

Para esse tipo de equação tem dois casos a considerar:

3.3.1 O DETERMINANTE 22

11

ba

ba É DIFERENTE DE ZERO

Resolução:

Seja o sistema (1)

0

0

222

111

cybxa

cybxa cuja solução é dada pelas raízes αx e βy .

A substituição a ser feita será:

dvdyvy

dudxux


23

Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translação dos eixos coordenados para

o ponto ( , ) que é a interseção das retas componentes do sistema (1), o que é verdadeiro, uma

vez eu o determinante considerado é diferente de zero.

Assim sendo, a equação transformada será:

22222

11111

cbavbua

cbavbuaF

du

dv

Como e são as raízes do sistema:

vbua

vbuaF

du

dv

22

11

que é uma equação homogênea do tipo visto anteriormente.

Exemplo:

Resolver a equação23

132

yx

yx

dx

dy


24

3.3.2 O DETERMINANTE 22

11

ba

ba É IGUAL A ZERO.

Assim, observe-se que o método aplicado no 1o caso não fará sentido, de vez que as retas

no sistema seriam paralelas e sua interseção seria verificada no infinito (ponto impróprio). A

equação se reduzirá a uma de variáveis separáveis.

Como 22

11

ba

ba = 0, os coeficientes de x e y são proporcionais, de modo que se pode

escrever:

2221 baba 1

2

1

2

b

b

a

a

(1)

Chamando a relação constante (1) de m, pode-se escrever:

1

2

1

2

1

2

c

cm

b

b

a

a

12

12

mbb

maa

Assim:

211

111

)( cybxam

cybxaF

dx

dy

Fazendo tybxa 11 , e sendo )(xft , tem-se:

)(1

1

1

xatb

y

Derivando em relação a x:

1

1

1a

dx

dt

bdx

dy

Equação transformada:

2

11

1

1

cmt

ctFa

dx

dt

b

)(11 tGbadx

dt

que é uma equação de variáveis separáveis.


25

Exemplo: Resolver a equação 136

12

yx

yx

dx

dy


26

AULA 03 – EXERCÍCIOS

Resolva as seguintes equações:

1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0

2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0

3) (x2 + y

2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y – x) dy = 0

5) (x2 + y

2) dx – xy dy = 0

6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy

7) Determine a solução de (x2 – 3y

2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condição inicial 1)2(y .

8) Determine a solução de 0xydy6dx)y3x2( 22 sujeita a condição inicial

3

1)1(y

9) 0dy)1yx3(dx)y3x2(

10) 0dy)5yx2(dx)4y2x(

11) 0dy)8y5x(dx)xy3(

12) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(

13) yx1

y3x31

dx

dy

14) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(

15) 2y4x3

1y3x

dx

dy

Respostas:

1) y2 + 2xy – x

2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy

2 + x

3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

22

1

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23

9) 2x2 – 6xy + y

2 + 2y = K

10) (y – x + 1)3 = K(x + y – 3)

11) k212x

)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22

12) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y – 7) + C

13) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K

14) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C

15) x2 - 4y

2 - 6xy - 2x + 4y = K


27

AULA 4

3.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS

Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata, se

existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária e

suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que:

x

N

y

M

Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução, cuja

diferencial dada por:

dyy

udx

x

udu

(2)

Então, comparando (1) e (2) teremos:

),( yxMx

u

(3)

e

),( yxNy

u

(4)

Para obtermos a sua solução ),( yxfu deveremos integrar, por exemplo,a expressão

(3), em relação à variável x, da qual teremos

)(),(),( ygdxyxMyxf

(5)

Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos:

)('),(

ygy

dxyxM

y

f

(6)

Igualando (6) e (4) resulta:

),()('),(

yxNygy

dxyxM

.

Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos:

1

),(),()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)

Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é:

Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

),(

),(),(),(

Logo, a solução é da forma

Cdy

y

PNMdxyxU ),(

onde costuma-se denotar MdxP


28

Exemplos:

1) 02)( 22 xydydxyx

2) 0)23()12( dyyxdxyx


29

3.4.1 FATOR INTEGRANTE

Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: x

N

y

M

.

Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao multiplicar toda

a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta é uma ED exata.

Se ela é exata, existe cteyxu ),( e MFdx

u.

e NF

dy

u.

Tomando a condição de exatidão FNdx

FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F

e achar F por aqui é loucura!!!!!!!

Vamos supor então que F(x,y) = F(x)

x

NFN

x

F

y

MF

dividindo tudo por FN 0 e organizando, temos:

x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo: dxx

N

y

M

NdF

F

11

integrando: CdxxRF )(ln

dxxRexF

)(.)(

onde:

x

N

y

M

NxR

1)(

analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos:

dyyReyF

)(.)(

onde:

x

N

y

M

MxR

1)(

Em resumo:


30

Quando a expressão Mdx + Ndynão é diferencial exata, isto é, x

N

y

M

, mostra-se que há

uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF é uma diferencial exata.

A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante.

F(x): F(y):

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos:

Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator

integrante.

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


31

2) (x2 – y

2) dx + 2xy dy = 0


1) (x3 + y

2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xe

y – 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0

4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy

5) 0)( 22 drrdre

6) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy

7) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0

8) seny dx + cos y dy = 0

9) Encontre a solução particular de

dx)yx(xydy2 22 para 2)1(y

10) 0xdy2dx)xy( 2

11) 0xdylnxdx)yx(

Respostas:

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxey 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22

6) x2 cos y + x

4 = C

7) Ctgyex 2

8) Ceseny x .

9) xxy 32

10) k5

x2xy2

25

11) kxlnyx


32

AULA 5

3.5 EQUAÇÕES LINEARES:

Uma equação diferencial linear de 1a ordem e 1

o grau tem a forma:

)()( xQyxPdx

dy

(1)

Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x) 0, a equação é

dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais

desse tipo a saber:

3.5.1 FATOR INTEGRANTE:

Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo diferencial

exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à equação original de

nosso problema:

QPydx

dy

Vamos reescrever esta última sob a forma

0)( dydxQPy

Multiplicando ambos os membrospor Pdx

e (fator integrante) obtemos a expressão

0 dyedxQPyePdxPdx

. Aqui, identificamos as funções ―M‖ e ―N‖:

QPyeMPdx

e

Pdx

eN

Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos:

PdxPe

y

Me

Pdx

Pex

N

confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata.


33

Exemplo1:

Resolver a equação 2 xx

y

dx

dy por fator integrante:


34

3.5.2 SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE:

Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemático francês: 1736-1813)

criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais. O

método consiste na substituição de ―y‖ por ―Z.t‖ na equação (1), onde t = (x) e Z= )(x , sendo Z

a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t.

Derivando em relação a x, tem-se:

dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)

Substituindo (2) em (1) vamos obter:

QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)

Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber:

i) P = 0, então dy = Qx, logo, CQdxy (4)

ii) Q = 0, então 0 Pydx

dy (equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de

variáveis separáveis. Daí, 0 Pdxy

dy. Integrando essa última, resulta em PdxCyln .

Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução PdxCPdxC

eeey . Fazendo

Cek , temos Pdx

key (5) que representa a solução da equação homogênea ou incompleta.

Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para ―t‖ e ―Z‖, uma vez que y=Z.t, teremos a

solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). Se igualarmos os

coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao resto da equação,

possibilitando a determinação de Z uma vez que ―t‖ pode ser determinado a partir desta condição.

Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 0 Ptdx

dt (6), que é da

mesma forma já estudada no caso ii. Assim, Pdx

ket . Substituindo este resultado em Qdx

dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

. Daí, Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx

1. Integrando este último

1(Turim, 25 de janeiro de 1736 — Paris, 10 de abril de 1813)foi um matemático francês de origem italiana criador da Mecânica Analítica e

dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais

http://pt.wikipedia.org/wiki/Turim

http://pt.wikipedia.org/wiki/25_de_janeiro

http://pt.wikipedia.org/wiki/1736

http://pt.wikipedia.org/wiki/Paris

http://pt.wikipedia.org/wiki/10_de_abril



35

resultado, temos CQdxek

ZPdx

1

(7). Lembrando que y = Z.t, vamos obter, substituindo ―t‖ e

―Z‖:

CQdxek

keyPdxPdx 1

, onde resulta, finalmente em:

Cdx.Q.eeyPdxPdx

(8)

que é a solução geral da equação (1)

Exempo 2:

Resolver a equação 2 xx

y

dx

dy por Lagrange


36

3.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A

LINEARES:

Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existemalgumas delas que

mesmo sendo não lineares, podem ser transformadasem equações lineares. Os principais tipos de

tais equações são:

3.6.1 EQUAÇÕES DE BERNOULLI:

Equação da forma:

nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)

para 1n e 0n , onde P(x) e Q(x) são funções continuas conhecidas como equação de Bernoulli2.

Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição na equação acima, demodo a transformá-la em uma

EDO linear.

Pois, se:

n = 0 y’ + P(x)y = g(x) caso anterior

n = 1 y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 caso anterior e homogênea

Solução:

Transformação de variável:

Substitui por ty n 1

Deriva-se em relação a x:

dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)

Substituindo (1), que é:

nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos:

dx

dtPyQyyn nn )1(

dx

dtPyQn n 11

Como ty n 1, temos:

2Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 27 de Dezembro de 1652 - Basileia, 16 de agosto de 1705), foi o

primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas.


37

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(

Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior.

Exemplo:

232

xyx

y

dx

dy


38


1) 0cot

x

x

x

y

dx

dy

2) xydx

dyx arctan)1( 2

3) xyxdx

dycos.tan

4) xx

y

dx

dy

5) 32

xx

y

dx

dy

6) xxydx

dysintan

7) Achar a solução particular para 0)0(y

em x

xydx

dy

cos

1tan.

8) Resolver o problema de valor inicial

3)0(,2 yxxydx

dy

9) 33 yxxy

dx

dy

10) xyydx

dyx ln2

11) 33 yxydx

dyx

12) yxyxdx

dy

4

13) 02 2 xydx

dyxy

14) 3xyxy2dx

dy

15) 2xyyx

1

dx

dy

Respostas:

1) Cxx

y )ln(sin1

2) xeCxy arctan.1arctan

3) xCxxy sec2sin4

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xxy

2

sinsec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y

9) 2

.1

1

2 xeCx

y

10) Cxex

y

).ln(

1

11) 1.2 2223 yxCyx

12)

2

4 ln2

1

Cxxy

13) x

Cxy ln.2

14) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

15) Cxx

y

2

1

16)


39

AULA 6

4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS

MATEMÁTICOS

4.1 MODELO MATEMÁTICO

É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da

vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. A

descrição matemática de um sistema ou fenômeno, chamada de modelos matemáticos é construída

levando-se em consideração determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramos compreender os

mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populações

animais nesse sistema ou datar fósseis por meio da análise do decaimento radioativo de uma

substância que esteja no fóssil ou no extrato no qual foi descoberta.

A construção de um modelo matemático de um sistema começa com:

i. a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a

principio optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo. Nesta etapa,

estamos especificando o nível de resolução do modelo.

A seguir,

ii. elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o sistema

que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer

leis empíricas aplicáveis ao sistema.

Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável nos contentarmos com um modelo

de baixa resolução. Por exemplo, você provavelmente já sabe que, nos cursos básicos de Física, a

força retardadora do atrito com o ar é às vezes ignorada, na modelagem do movimento de um corpo

em queda nas proximidades da superfície da Terra, mas e você for um cientista cujo trabalho é

predizer precisamente o percurso de um projétil de longo alcance, terá de levar em conta a

resistência do ar e outros fatores como a curvatura da Terra.

Como as hipóteses sobre um sistema envolvem freqüentemente uma taxa de variação de

uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais

equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação

diferencial ou um sistema de equações diferenciais.

Depois de formular um modelo matemático, que é uma equação diferencial ou um sistema

de equações diferenciais, estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvê-

lo. Se pudermos resolvê-lo, julgaremos o modelo razoável se suas soluções forem consistentes com

dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema. Porém, se as

predições obtidas pela solução forem pobres, poderemos elevar o nível de resolução do modelo ou

levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança no sistema. As etapas do processo de

modelagem são então repetidas, conforme disposto no seguinte diagrama.


40

Naturalmente, aumentando a resolução aumentaremos a complexidade do modelo

matemático e, assim, a probabilidade de não conseguirmos obter uma solução explícita.

Um modelo matemático de um sistema físico frequentemente envolve a variável tempo t.

Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores da

variável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e

futuro.

4.2 DINÂMICA POPULACIONAL

Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio

de matemática foi feito pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a idéia por

trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um pais

cresce em um determinado instante é proporcional a população total do pais naquele instante. Em

outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Em

termos matemáticos, se P(t) for a população total no instante t, então essa hipótese pode ser

expressa por:

kxdt

dx , 00

)( xtx ktexx .

0

(1)

onde k é uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenômenos

envolvendo crescimento ou decaimento.

Conhecendo a população em algum instante inicial arbitrário t0, podemos usar a solução de

(1) para predizer a população no futuro, isto é, em instantes t > t0.

O modelo (1) para o crescimento também pode ser visto como a equação rSdt

dS , a qual

descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r é composta continuamente.

Exemplo:

Em uma cultura, há inicialmente x0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias

passa a ser 3/2 x0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes,

determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.


41

Resolução:

x(to) = x0

x(t1) = 2

3xo

kdtx

dx

kxdt

dx

Integrando com relação a x a equação acima,temos:

kdtx

dx

lnx = kt + c

lnx – ln c = kt

lnc

x= kt

ekt =

c

x

x = c.ekt

Para 0x)0(x equação anterior fica da seguinte forma:

0x

cex

0

00

Voltando para a equação e substituindo o valor de c

kt0exx

Para descobrirmos o valor de k, utilizamos x(1) = 2

3x0

4055,0k

k2

3ln

e2

3

e.xx2

3

k

1.k00

voltando novamente a equação, temos

t4055,0

0

kt0

exx

exx

para que o número de bactérias triplique,


42

7092,2t

098612,1t4055,0

t4055,03ln

e3

exx3

t4055,0

t4055,000

serão necessários 2,71 horas aproximadamente.

4.3 MEIA VIDA

Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-

vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou

se transmutar em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais

estável ela é.

Por exemplo, a meia do ultra radioativo rádio, Ra-226, é cerca de 1700 anos. Em 1700 anos,

metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em Radônio, Rn-222. O isótopo de urânio

mais comum, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse

tempo, metade de uma quantidade de U-238 é transmutada em chumbo, Pb-206.

A.Kdt

dA (2)

A(0) = A0 2

)( 0AtA kteAA .0

Exemplo:

Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos foi detectado que

0,043% da quantidade inicial A0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia vida desse isótopo se a

taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.

Resolução:

000

0

A99957,0A00043,0A15t

A0t

Resolvendo a equação:

kAdt

dA

kdtA

dA

ln A = kt + c

ktc

Aln

ktec

A

A = c.ekt


43

Sabendo que 0A)0(A , temos:

0

00

k00

Ac

ceA

ceA

0t

Para determinar k, usamos o fato de que que 0A99957,0)15(A , logo

A(t) = A0.ekt

A(15) = A0.e15k

A(t) = 2

0A

0,99957 A0 = A0.e15k teAtA

510.8867,2

0 .)(

Ln0,99957 = ln e15t 00002867,0

0

0 .2

eAA

-0,00043 = 15 k te 00002867,0

2

1

K = - 2,8667.10- 5

-0,6931 = - 0,00002867t

t = 24,180

t 24,180 anos

Voltando a equação, temos que:

t108667,20

0

5eA)t(A

2

A)t(A

Para descobrir a meia vida basta fazer:

37,179.24t

t108667,269315,0

t108667,25,0ln

e5,0

eA2

A

5

5

t108667,2

t108667,20

0

5

5

Logo o tempo de meia vida é de aproximadamente 24.180 anos


44

4.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO

O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e nêutrons. Muitas dessas

combinações são instáveis, isto é, os átomos decaem ou transmutam em átomos de outra substância.

Esses núcleos são chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o altamente

radioativo elemento rádio, Ra-226, transmuta-se no gás radônio radioativo, Rn-222. Para modelar o

fenômeno de decaimento radioativo, supõe-se que a taxa de dA/dtsegundo a qual o núcleo de uma

substância decai é proporcional a quantidade (mais precisamente, ao número de núcleos) A(t) de

substâncias remanescente no instante t:

A.Kdt

dA (2)

Naturalmente as equações (1) e (2) são iguais, a diferença reside apenas na interpretação dos

símbolos e nas constantes de proporcionalidade. Para o crescimento, conforme esperamos em (1),

k>0, para o decaimento, como em (2), k<0.

O modelo (2) para o decaimento também ocorre com aplicações biológicas, como a

determinação de meia vida de uma droga – o tempo necessário para que 50% de uma droga seja

eliminada de um corpo por excreção ou metabolismo. Em química, o modelo de dacaimento (2)

aparece na descrição matemática de uma reação química de primeira ordem, isto é, uma reação cuja

taxa ou velocidade dx/dt é diretamente proporcional à quantidade x de uma substância não

transformada ou remanescente no instante t.

A questão é que:

Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para vários

fenômenos diferentes.

4.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO

Por volta de 1950, o químico Willard Libby3 inventou um método para determinar a idade

de fósseis usando o carbono radioativo.

A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 é

produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio.

A razão entre a quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera para ser uma

constante e, como consequência, a proporção da quantidade de isótopo presente em todos os

organismos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera.

Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação,

cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos,em um fóssil com a

razão constante na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil.

O método se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14, cerca de

5.600 anos.

O método de Libby tem sido usado para datar móveis de madeira em túmulos egípcios, o

tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmático sudário de

Turim.

3Willard Frank Libby(Grand Valley, 17 de Dezembro de 1908 — Los Angeles, 8 de Setembro de 1980) foi um químicoestadunidense.É reconhecido pela descoberta do método de datamento conhecido por datação por radiocarbono (carbono-14), recebendo por isto o Nobel de Química de 1960.

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Grand_Valley&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/17_de_Dezembro


http://pt.wikipedia.org/wiki/Los_Angeles

http://pt.wikipedia.org/wiki/8_de_Setembro


http://pt.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Data%C3%A7%C3%A3o_por_radiocarbono

http://pt.wikipedia.org/wiki/Data%C3%A7%C3%A3o_por_radiocarbono

http://pt.wikipedia.org/wiki/Carbono-14

http://pt.wikipedia.org/wiki/Nobel_de_Qu%C3%ADmica



45

Exemplo:

Um osso fossilizado contém um milésimo da quantidade original do C-14. Determine a

idade do fóssil.

Resolução:

A(t) = A0.ekt

5600.

0

0 .2

keAA

ke5600ln2

1ln

5600k = - 0,6931

K = - 0,000123776

A equação fica da seguinte forma:

A(t) = A0.e- 0,000123776t

teAA 000123776,0

00 .100

1

te 000123776,0ln100

1ln

- 0,000123776 t = - 6,9077

t = 55.808

A idade do fóssil é de aproximadamente 55.808 anos.

4.6 RESFRIAMENTO

De acordo com a Lei empírica de Newton do esfriamento/resfriamento, a taxa segundo a

qual a temperatura de um corpo varia é proporcional a diferença entre a temperatura de um corpo

varia proporcionalmente a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o

rodeia, denominada temperatura ambiente. Se T(t) representar a temperatura de um corpo no

instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia dT/dt a taxa segundo a qual a temperatura do

corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/resfriamento é convertida na sentença matemática

)TT(Kdt

dTm (3)

mkt TceT

onde k é uma constante de proporcionalidade. Em ambos os casos, esfriamento ou aquecimento, se

Tm for uma constante, é lógico que k<0.


46

Exemplo:

Um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300ºF. Três minutos depois, sua

temperatura passa para 200ºF. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 75 graus, se a

temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ºF?

Resolução:

T(0) = 3000F )( mTTk

dt

dT

T(3) = 2000F )70( Tk

dt

dT

T(?) = 750

kdt

T

dT

)70(

Tm = 700 cktT )70ln(

ktc

T

70(ln

c

Tekt 70

A solução geral da ED é dada por:

70. ktecT

Sabendo que 300)0(T temos que:

T(0) = 3000

300 = C.ek.0

+ 70

C = 2300

Logo:

T = 230.ekt + 70

Temos ainda que 200)3(T , com isso:

200 = 230.e3k

+ 70

230 e3k

= 130

230

1303 ke

230

130lnln 3 ke

190181619,0k

570544858,0k3

A equação fica da seguinte forma:

70e230)t(T t19018,0

]

Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus,

70.23075 19018,0 te

230

707519018,0 te

- 0,19018t = ln230

5

t = 20,13

com isso, será necessário 20,13 minutos.


47

4.7 MISTURAS

A mistura de dois fluidos algumas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeira

ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor um grande tanque de mistura

contenha 300 galões de salmoura (isto é, água na qual foi dissolvida uma determinada quantidade

de libras de sal). Uma outra salmoura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de três galões

por minuto; a concentração de sal nessa segunda salmoura é de 2 libras por galão.Quando a solução

no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda

salmoura entrar. Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t, a

taxa segundo a qual A(t) varia será uma taxa liquida:

se RR

dt

dA

sal de

saída de Taxa

sal de

entrada de Taxa (4)

A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) é:

min/lb6)gal/kb2(.min)/gal3(R

salde

entrada de taxa

entrada de fluxo no

salde ãoConcentraç

salmourade

entrada de Taxa

e

Uma vez que a solução está sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma

taxa, o número de galões de salmoura no tanque no instante t é constante e igual a 300 galões.

Assim sendo, a concentração de sal no tanque e no fluxo de saída é de A(t)/300 lb/gal, e a taxa de

saída de sal Rs é:

min/100

/300

.min)/3(

sal de

saida de taxa

saída de fluxo no

sal de ãoConcentraç

salmoura de

saída de Taxa

lbA

gallbA

galRs

A equação (4)torna-se então:

100

6A

dt

dA (5)

Exemplo:

Dos dados do tanque acima considerado e da equação (4), obtemos a equação(5). Vamos

colocar agora a seguinte questão: se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galões iniciais,

quanto sal haveria no tanque após um longo período?


48

Resolução:

100

100100

100100

.600

600

6.

.

6100

1

1006

t

tt

tt

PdtPdt

eCA

CeeA

CdteeA

CQdteeA

Adt

dA

A

dt

dA

Para 50)0(A temos:

550

.60050 0

C

eC

Logo, a solução fica da seguinte forma:

100550600t

eA

A solução acimafoi usada para construir a seguinte tabela:

Além disso podemos observar que 600A quando t . Naturalmente, isso é o que

esperaríamos nesse caso; durante um longo período, o número de libras de sal na solução deve ser

(300 gal).(2lb/gal) = 600 lb.

Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a solução era bombeada para dentro

era igual à taxa segundo a qual ela era bombeada para fora. Porém isso não precisa ser assim; a

mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a

qual é bombeada para dentro. Por exemplo, se a solução bem misturada do exemplo acima for

bombeada para fora a uma taxa menor, digamos de 2 gal/min, o liquido acumulará no tanque a uma

taxa de (3 – 2) gal/min = 1gal/min. Após t minutos, o tanque conterá 300 + t galões de salmoura. A

taxa segundo a qual o sal sai do tanque é então:

gallb

t

AgalRs /

300min)./2(

Logo, a Equação (4) torna-se:

t300

A26

dt

dA

ou 6A

t300

2

dt

dA

t(min) A(lb)

50 266,41

100 397,67

150 477,27

200 525,57

300 572,62

400 589,93


49

Você deve verificar que a solução da última equação, sujeita a A(0)=50, é:

27 )300)(1095,4(2600)( tttA

4.8 DRENANDO UM TANQUE

Em hidrodinâmica, a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de água em um

buraco com bordas na base de um tanque cheio até a uma altura h é igual a velocidade com que um

corpo (no caso, uma gota d’agua) adquiriria em queda livre de uma altura h, isto é, ghv 2 , onde

g é a aceleração devida a gravidade. Essa última expressão origina-se de igualar a energia cinética

2

2

1mv com a energia potencial mgh e resolver para v. Suponha que um tanque cheio com água seja

drenado por meio de um buraco sob a influência da gravidade.

Gostaríamos de encontrar a altura h de água remanescente no

tanque no instante t.

Considere o tanque ao lado:

Se a área do buraco for Ah (em pés quadrados) e a velocidade de

saída da água do tanque for ghv 2 (em pés/s), o volume de saída

de água do tanque por segundo é ghAh 2 (em pés cúbicos/s).

Assim, se V(t) denotar o volume de água no tanque no instante t,

ghAdt

dVh 2 (6)

onde o sinal de subtração indica que V está decrescendo. Observe aqui que estamos ignorando a

possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma redução na taxa de fluxo. Agora, se o tanque

for tal que o volume de água em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( , onde wA

(em pés quadrados) é a área constante da superfície de água, então dt

dhA

dt

dVw .

Substituindo essa última expressão em (6), obtemos a equação diferencial desejada para a

altura de água no instante t:

ghA

A

dt

dh

w

h 2 (7)

É interessante notar que (7) permanece válida mesmo quando Aw não for constante. Nesse

caso, devemos expressar a superfície superior da água como uma função de h, isto é, Aw = A(h).


50

Exemplo:

Um tanque contém inicialmente 100 galões de salmoura com 20 lbs de sal. No instante t = 0,

começa-se a deitar no tanque água pura à razão de 5 gal/min, enquanto a mistura resultante se escoa

do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t.

Resolução:

Temos a seguinte equação para resolver tal problema:

Logo, tem-se que:

A solução desta equação é:

(1)

Quando 0t , sabemos que 20 aQ . Levando esses valores em (1), encontramos

20c , de modo que (1) pode ser escrita como:

Note-se que quando como era de se esperar, pois só se adiciona água

pura no tanque.


51

4.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA

Uma doença contagiosa, por exemplo, um vírus de gripe, espalha-se em uma comunidade

por meio do contato entre as pessoas. Seja x(t) o número de pessoas que contraíram a doença e y(t)

o número de pessoas que ainda não foram expostas. É razoável supor que a taxa dx/dt segundo a

qual a doença se espalha seja proporcional ao número de encontros ou interações entre esses dois

grupos de pessoas. Se supusermos que o número de interações é conjuntamente proporcional a x(t) e

a y(t), isto é, proporcional ao produto xy, então:

kxydt

dx (8)

ondek é a constante de proporcionalidade usual. Suponha que uma pequena comunidade tenha uma

população fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade, pode-se

argumentar que x(t) e y(t) são relacionadas por 1nyx . Usando essa última equação para

eliminar y em (8), obtemos o modelo

)1( xnkxdt

dx (9)

Uma condição óbvia que acompanha a equação (9) é x(0) = 1.

Exemplo:

Cinco ratos em uma população estável de 500 são intencionalmente infectados com uma

doença contagiosa para testar uma teoria de disseminação de epidemia, segundo a qual a taxa de

variação da população infectada é proporcional ao produto entre o número de ratos infectados e o

número de ratos sem a doença. Admitindo que essa teoria seja correta, qual o tempo necessário para

que metade da população contraia a doença?

Resolução:

Sendo N(t) o número de ratos infectados no instante t. e 500 – N(t) é o número de

ratos sem a doença no instante t. Pela teoria

Essa equação é diferente da usada até aqui, pois a taxa de variação não é mais

proporcional a apenas o número de ratos que possuem a doença. Dessa forma a diferencial é

Sendo uma equação ainda separável, e aplicando decomposição em frações parciais, temos:

Substituindo então temos


52

(

)

Integrando:

∫

(

) ∫

∫

∫ ∫

(

)

(

)

Se em t=0, N=5, temos que

Então:

Para que N = 250, no tempo t, temos que

Sendo o valor numérico da constantes da proporcionalidade k, temos que:


53

4.10 CORPOS EM QUEDA

Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força,

em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton. Lembre-se da física elementar que

a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou

continuará movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre ele uma força

externa. Em cada caso, isso equivale a dizer que, quando a soma das forças kFF isto é, a

força liquida ou resultante, que age sobre o corpo for diferente de zero, essa força líquida será

proporcional a sua aceleração a ou, mais precisamente, F = m.a, onde m é a massa do corpo.

Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um prédio, conforme

ilustrado na figura abaixo:

Qual a posição s(t) da pedra em relação ao chão no

instante t? A aceleração da pedra é a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direção para

cima e que nenhuma outra força além da gravidade age

sobre a pedra, obteremos a segunda lei de Newton

mgdt

sdm

2

2

ou gdt

sd

2

2

(10)

Em outras palavras, a força liquida é simplesmente

o peso F= F1 = - W da pedra próximo á superfície da

Terra. Lembre-se de que a magnitude do peso é W = mg,

onde m é a massa e g é a aceleração devida a gravidade. O

sinal de subtração foi usado em (10), pois o peso da pedra

é uma força dirigida para baixo, oposta a direção positiva.

Se a altura do prédio é s0 e a velocidade inicial da pedra é

v0, então s é determinada, com base no problema de valor

inicial de segunda ordem

gdt

sd

2

2

, 0)0( ss , 0)0(' vs (11)

Embora não estejamos enfatizando a resolução das equações obtidas, observe que (11) pode

ser resolvida integrando-se a constante – g duas vezes em relação at. As condições iniciais

determinam as duas constantes de integração. Você poderá reconhecer a solução de (11), da física

elementar, como a fórmula 00

2

2

1)( stvgtts .

Exemplo:

Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m, com velocidade inicial

zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine:

a) A expressão da velocidade do corpo no instante t;

b) A expressão da posição do corpo no instante t;

c) O tempo necessário para o corpo atingir o solo.


54

Resolução:

Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo, sendo positivo o

sentido para baixo.

Como não há resistência do ar, usamos a equação dt

dvg

Esta é uma equação linear separável. Assim:

cgtv

gdtdv

gdtdv

a) Como v(0) = 0, segue que v(t) = gt

b) Para determinar a expressão da posição x no instante t, fazemos:

cgt

tx

tdtgdx

gtdtdx

gtdt

dx

2)(

2

Sendo x(0) = 0, segue que: 2

)(2gt

tx

c) Para x(t) = 100, temos: 2

1002gt

Se adotarmos g = 10m / s2, teremos:

st

t

5,420

2

10100

2


55

4.10.1 CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR

Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa, acreditava-se que os

objetos mais pesados em queda livre, como uma bala de canhão, caíam com uma aceleração maior

do que a de objetos mais leves, como uma pena. Obviamente, uma bala de canhão e uma pena,

quando largadas simultaneamente da mesma altura, caem a taxas diferentes, mas isso não se deve

ao fato de a bala de canhão ser mais pesada. A diferença nas taxas é devidaa resistência do ar. A

força de resistência do ar foi ignorada no modelo dado em (11). Sob algumas circunstâncias, um

corpo em queda com massa m, como uma pena com baixa densidade e formato irregular, encontra

uma resistência do ar proporcional a sua velocidade instantânea v. Se nessas circunstancias,

tomarmos a direção positiva como orientada para baixo, a força liquida que age sobre a massa será

dada por kvmgFFF 21 , onde o peso g.mF1 do corpo é a força que age na direção

positiva e a resistência do ar v.kF2 é uma força chamada amortecimento viscoso que age na

direção oposta ou para cima.

Veja a figura abaixo:

Agora, como v esta relacionado com a aceleração a

através de a = dv/dt, a segunda lei de Newton torna-se

dt

dv.ma.mF . Substituindo a força liquida nessa forma

da segunda lei de Newton, obtemos a equação diferencial

de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no

instante t.

kvmgdt

dvm (12)

Aqui k é uma constante de proporcionalidade positiva. Se s(t) for a distancia do corpo em

queda no instante t a partir do ponto inicial, entãodt

dsv e

2

2

dt

sd

dt

dva . Em termos des, (12) é

uma equação diferencial de segunda ordem:

dt

dskmg

dt

sdm

2

2

ou mgdt

dsk

dt

sdm

2

2

(13)


56

Exemplo:

Um corpo de massa m é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0. Se

o corpo encontra uma resistência do ar proporcional à sua velocidade, determine :

a) a equação do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo,

b) uma expressão da velocidade do corpo para o instante t, e

c) o tempo necessário para o corpo atingir a altura máxima.

Resolução:

(a) Neste sistema de coordenadas, a Eq.: dt

dvmkvmg pode não ser a equação de

movimento. Para estabelecer a equação apropriada, note que duas forças atuam sobre o

corpo: (1) a força da gravidade dada por mg e (2) a força da resistência do ar dada por kv,

responsável por retardar a velocidade do corpo. Como essas forças atuam na direção

negativa (para baixo), a força resultante que atua sobre o corpo é kvmg . Aplicando

dt

dvmF e reagrupando os termos, obtemos como equação do movimento:

gvm

k

dt

dv (1)

(b) A Equação (1) é uma equação diferencial linear, cuja solução é k

mgcev

tm

k

. Em t=0,

v=v0; logo, k

mgcev m

k

0

0, ou

k

mgvc

0 . A velocidade do corpo no instante t é:

k

mgce

k

mgvv

tm

k

0


57

(c) O corpo atinge a altura máxima quando 0. Logo, devemos calcular quando 0.

Substituindo 0 e resolvendo em relação a , temos

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

4.11 CORRENTE DESLIZANTE

Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em pés seja pendurada em um pino

de metal preso a uma parede bem acima do nível do chão. Vamos supor que não haja atrito entre o

pino e a corrente e que a corrente pese libras/pés. A figura abaixo (a) ilustra a posição da

corrente quando em equilíbrio; se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda, a

corrente deslizaria pelo pino. Suponha que a direção positiva seja tomada como sendo para baixo e

que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caído no tempo t. A posição

de equilíbrio corresponde a x = 0. Na figura (b), a corrente é deslocada em x0 pés e é mantida no

pino até ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0. Para a corrente em movimento,

conforme mostra a figura (c), temos as seguintes quantidades:


58

Peso da corrente:

W = (L pés) . ( lb/pés) = L

Massa da corrente:

m = W/g = L /32

Força resultante:

xpxL

xL

F 222

Uma vez que Famdt

xda

2

2

torna-se

x

dt

xdL

2

32 2

2

ou (14)

064

2

2

xLdt

xd

Exemplo:

Uma corrente com peso uniforme com 19,62 metros de comprimento está pendurada em um

cilindro fixo na parede. A corrente é deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros

abaixo da sua posição de equilíbrio e soltada num instante t=0. Com esses dados, deseja-se saber

em quanto tempo a corrente cairá do cilindro (x = L). Considere o peso da corrente como

62,19 LP e

Resolução:

(

) (

)

Sendo ⁄

Como

Sendo ,


59

Como , e só é possível

4.12 CIRCUITOS EM SÉRIE

Considere o circuito em série de malha simples mostrado ao lado, contendo um indutor,

resistor e capacitor. A corrente no circuito depois que a chave é fechada é denotada pori(t); a carga

em um capacitor no instante t é denotada por q(t). As letras L, C e R são conhecidas como

indutância, capacitância e resistência, respectivamente, e em geral são constantes. Agora, de acordo

com a segunda Lei de Kirchhoff, a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual à

soma das quedas de voltagem na malha.

A figura abaixo mostra os símbolos e as fórmulas para a respectiva queda de voltagem em

um indutor, um capacitor e um resistor. Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a carga

q(t) no capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem.

,

:voltagemdequeda

henrys(h):Lindutância

Indutor

2

2

dt

qdL

dt

diL

dt

diL

dt

dqRiR

iR

R

: voltagemde queda

)(ohms: aresistênci

Resistor

q

c

fC

1: voltagemde queda

)( farads : iacapacitânc

Capacitor

e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma equação diferencial de segunda

ordem

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL

Para um circuito em série contendo apenas umresistor e um indutor, a segunda lei de

Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR) é

igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)). Veja a figura abaixo.


60

Obtemos, assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t).

)(tERidt

diL

ondeL e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A corrente

i(t) é também chamada de respostado sistema.

A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/Ci, onde q é a

carga no capacitor. Assim sendo, para o circuito em série mostrado na figura (a), a segunda lei de

Kirchhoff nos dá

)(1

tEqC

Ri

mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i = dq/dt, dessa forma, a equação acima

transforma-se na equação diferencial linear

)(1

tEqCdt

dqR

Exemplo:

Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é ½ Henry e

a resistência é 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0.

Resolução:

L= indutância = ½ ERidt

diL Para i(0) = 0

R = resistência = 10 12102

1 i

dt

di ce0

5

60

i = corrente 2420 idt

di

5

6c

E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24

Logo:

tdtPdt 2020 tei 20

5

6

5

6

cdxeei tt 242020

ceei tt 2020

20

24

cei t 20

5

6


61

AULA 7

5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E

ORDEM SUPERIOR

As equações lineares de ordem n são aquelas da forma:

ByA...dx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

Onde B, A0, A1, A2,..., An dependem apenas de x ou são constantes.

Para começarmos este estudo vamos utilizar como padrão de uma EDO-2 linear (Equação

Diferencial Ordinária Linear de ordem 2) a seguinte equação:

y” +p(x)y’ +q(x)y = r(x)

onde:

p(x) e q(x) são os coeficientes e representam parâmetros do sistema

r(x) termos de excitação (input)

y(x) resposta do sistema

Se r(x) = 0, xI Eq. Dif. Homogênea

r(x) 0 Eq. Dif. não homogênea

A EDO-2 acima possui 2 soluções, y1(x) e y2(x) e são linearmente independentes (L.I),

isto é ctexhxy

xy )(

)(

)(

1

2

Com isso, y1(x) e y2(x) formam uma base para a solução da EDO-2 homogênea (base

fundamental).

Exemplo:

y" + y = 0

Se propormos como solução y1(x) = sen(x)

y2(x) = cos(x)

ctexx

x

xy

xy )tan(

)cos(

)sin(

)(

)(

1

2, logo, formam uma base, com isso, a solução geral da

EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x).

Se obtemos as bases para a solução da homogênea, a solução da equação fica

)(...)()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn

Se temos uma solução y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente.

Obtida uma solução y1(x) da EDO-2, pode-se obter y2(x) pelo conceito de base, onde y1(x) e

y2(x) são linearmente independentes.

cte)x(h)x(y

)x(y

1

2

)().()( 12 xyxhxy


62

Exemplo: Obter a solução geral da equação 02'2")1( 2 yxyyx , sabendo que xxy )(1


63

5.1 EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES

CONSTANTES

São aquelas da forma: 0yA...dx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

, onde A0, A1, A2,...,An

são constantes.

Resolução:

Para n= 1 → 0yAdx

dyA 10

yAdx

dyA 10

dxA

A

y

dy

0

1

CxA

Ayln

0

1

CxA

A

0

1

ey

C

xA

A

e.ey 0

1

Chamando 0

1

A

A = λ e KeC , temos k.ey xλ

Para nos facilitar a demonstração, vamos usar a seguinte equação:

0bydx

dya

dx

yd

2

2

Onde a e b são constantes.

Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como solução proposta.

xλey

xλeλ'y

xλ2eλ"y

Substituindo na EDO temos:

0e).bλaλ(

0beeλaeλ

xλ2

xλxλxλ2

Como 0xe para qualquer valor de x, temos 02 ba ,a qual iremos chamar de

equação característica da EDO-2 dada.

Em relação a equação característica 0)( P temos três casos a considerar:


64

5.1.1 CASO 1: RAÍZES REAIS DISTINTAS.

xλ

11ey

xλ

22ey

Assim a solução geral fica:

xλ2

xλ1

2211

21 eCeCy

yCyCy

E para uma equação de ordem n fica:

xλ

nxλ

3xλ

2xλ

1n321 eC...eCeCeCy

5.1.2 CASO 2: RAÍZES MÚLTIPLAS.

Se 21 , onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e

xey 2 .

Só que é necessário encontrar soluções que sejam linearmente independentes, pois com as

raízes sendo iguais temos 11

2

x

x

e

e

y

y

constante.

Assim temos que achar uma segunda solução que seja linearmente independente.

Supondo a equação y” + ay’ + by = 0 e utilizando o conceito de base em que

)x(y).x(h)x(y 12 , onde xey 1 , temos:

xλ2xλxλ2

xλxλ2

xλ2

12

heλe'hλ2e"h"y

heλe'h'y

e.hy

)x(y).x(h)x(y

Substituindo na equação dada:

0bheheλae'ahheλe'hλ2e"h xλxλxλxλ2xλxλ

Reordenando:

0)(')2(" 2 hbahahe x

Como 0xe e ba 2 =0, pois como já vimos anteriormente 0)( P .

Então:

KCxh

Ch

h

'

0"

Logo:

xeKCxy

yhy

).(

.

2

12

Solução geral:


65

xx

xx

CeCeKCCy

eKCxCeCy

yCyCy

221

21

2211

)(

)(

fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2

temos:

x

xx

exCCy

xeCeCy

)( 21

21

A propriedade se estende para equações de ordem superior:

xλ1nn

2321 e)xC...xCxCC(y

5.1.3 CASO 3: RAÍZES COMPLEXAS DISTINTAS.

Sejam biaλ1 e biaλ2 as raízes da equação característica. Aplicando a condição

para raízes reais distintas teríamos como solução:

bix2

bix1

ax

bixax2

bixax1

x)bia(2

x)bia(1

eCeCey

e.eCe.eCy

eCeCy

Das fórmulas de Euler temos:

θisenθcose

θisenθcose

θi

θi

Com isso:

senbxCCibxcosCCey

isenbxbxcosCisenbxbxcosCey

2121ax

21ax

Fazendo

C1 + C2 = C1

i(C1 – C2) = C2

temos:

senbxCbxcosCey 21ax

Exemplos:


66

1) 036132

2

4

4

ydx

yd

dx

yd

2) y‖+4y = 0, com y(0) = 3 e y´( /2) = -3

3)y‖ - 2√2 y’+2y = 0


67

5.2 EULER - CAUCHY

A equação de Euler-Cauchy tem a seguinte forma:

ByAdx

dybaxA

dx

ydbaxA

dx

ydbaxA

n

n

n

n

012

2

2

2)()()(

onde A0, A1, ..., An, a e b são constantes. Para resolver tal equação faremos

teabax .

que irá eliminar os coeficientes variáveis.

No caso da equação ter a forma:

0'"2 byaxyyx

Faremos:

y = xm

y’ = mxm-1

y‖ = m(m-1)xm-2

Substituindo y, y’ e y‖ na EDO-2, temos que:

(m2 + (a – 1) m + b)x

m = 0

como y(x) = xm

tem que ser diferente de zero, temos m2 + (a – 1) m + b = 0, que é uma

equação do segundo grau com duas raízes.

Caso 1: m1 e m2 são reais e diferentes.

21

21)(mm

xCxCxy

Caso 2: m1 e m2 são reais e iguais

)xln(xCxC)x(y m2

m1

mxxCCxy ))ln(()(

21

Caso 3: m1 e m2 são complexas conjugadas )( bia

)]lnsin()lncos([)(21

xbCxbCxxy a


68

Exemplos:

012)12(2)12(2

2

2 ydx

dyx

dx

ydx

02'2"2 yxyyx


69


1) 06'5" yyy

2) 012'4"3"' yyyy

3) 02'2" yyy ,com 1)0( y e

02

'

y

4) 025" yy com 0)0( y e 20)0(' y

5) 02'" yyy com 4)0( y e

17)0(' y

6) 09" 2 yy

7) 0'6"9 yyy com 4)0( y e

3

13)0(' y

8) 0'2" 2 ykkyy

9) 0'2"8 yyy com 2,0)0( y e

325,0)0(' y

10) 03'4"4 yyy , com ey )2( ,

2)2('

ey

11) 012'7" yyy

12) 0'5"4"' yyy

13) 0'7"5"' yyy

14) 0'2" yyy

15) 020"2 yyx

16) 06')1(18")1(9''')1( 23 yyxyxyx

17) 04,32'46"10 2 yxyyx

18) 0'"2 yxyyx

19) 025'24"4 2 yxyyx com y(1) = 2 e

y’(1) = - 6

20) 04'3"2 yxyyx , com y(1) = 0 e y’(1) =

3

Respostas

1) xx eCeCy 3

22

1

2) xxx eCeCeCy 23

32

21

3) xey x cos

4) xx eey 55 22

5) xx eey 273

6) xπ32

xπ31 eCeCy

7) 3

xe)x34(y

8) kx

21 e)xCC(y

9) 2

x4

xe5,0e3,0y

10) x5,0ey

11) x4

2x3

1 eCeCy

12) senxCxcosCeCy 32x2

1

13)

2

3

2

3cos 32

2

5

1

xsenC

xCeCy

x

14) xexCCy )( 21

15) 5

24

1 xCxC

16) 3

3

2

21

)1()1(1 x

C

x

C

x

Cy

17) 8,1

21 )ln( xxCCy

18) )(ln)cos(ln 21 xsenCxC

19) 2

5

)ln2(

xx

20) xx ln3 2


70

AULA 8

5.3 EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS

10

00

)('

)(

)()(')("

..

Kxy

Kxy

xryxqyxpy

IVP

y1(x).y2(x) base para a solução da EDO-2 homogênea

yh(x) solução da EDO-2 homogênea

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

yp(x) solução particular, função qualquer que satisfaz a EDO-2 não-homogênea

A solução geral de uma equação linear não homogênea tem a forma:

)()()( xyxyxy ph

Teorema da existência da Unicidade: Se p(x) e q(x) são funções contínuas sobre o intervalo aberto I e

x0I, então o P.V.I. possui uma única solução y(x) sobre I.

Para determinarmos yp, denominada solução particular, dispomos dos seguintes métodos:

i. Método dos coeficientes a determinar ou método de Descartes

ii. Método da variação de parâmetros ou método de Lagrange

iii. Método do operador derivada D.

5.3.1 SOLUÇÃO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES):

Padrão para solução particular:

Termo em r(x) Proposta para yp(x)

xαke xCe

,...)1,0n(kxn

01

1n1n

nn CxC...xCxC

xαKsen

xαcosK xαsenCxαcosC 21

xβsenke

xβcoske

xα

xα

)xβsenCxβcosC(e 21xα

obs:

1. se r(x) é composição de funções da 1o coluna, yp(x) é composição das respectivas funções na 2

o

coluna.

2. se r(x) coincide com uma função que compões yh(x), multiplique por x (ou por x2) para

considerar raiz dupla da equação característica.


71

Exemplo:

0)0('

1)0(

'2" 2

y

y

xeyyy x


72


1) xsenyy 34"

2) 32510'2" 2 xyyy

3) xseneyyy x 5371235'2" 5

4) 126'5" 2 xyyy

5) xyy 31'4"'

6) 123"2"' 2 xxyy

7) xeyyy 312'7"

8) xeyyy 2810'7"

9) xeyyy 284'4"

10) xeyy 434"

11) xsenyyy 233'4"

12) x4sen8dx

yd4

dx

yd

2

2

4

4

13) xsenyy 212'4"'

14) senxyy 4"

15) senxydx

yd

dx

yd42

2

2

4

4

16) 432 612'5,1" xxxyyy , para

4)0( y e 8)0(' y .

17) xeyy x 24" 2 , para 0)0( y e

0)0(' y .

Respostas

1) x3sen5

1x2Bsenx2cosA

2) xx2

5)x3senCx3cosC(e 2

21x

3) x5sen6,0x5cos1,0xeeCeC x5x52

x71

4) 27

5

9

x5

3

xeCeCy

2x3

2x2

1

5) 4

xx

8

3eCeCCy 2x2

3x2

21

6) 8

x3

12

x

8

xeCxCCy

234x2

321

7) xx42

x31 e

20

3eCeCy

8) x2x52

x21 xe

3

8eCeCy

9) x22x22

x21 ex4xeCeCy

10) x421 e

20

3x2senCx2cosCy

11) )x2cos8x2sen(65

3eCeCy x3

2x

1

12) 40

x4seneCeCxCC x2

4x2

321

13) x2cos4

3eCeCCy x2

3x2

21

14) xcosx2senxCxcosCy 21

15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2

xy 4321

2

16) 424 xey x

17) xxx xexeey 222

4

1

2

1

16

1

16

1


73

AULA 9

5.3.2 SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS

Qualquer tipo de excitação r(x)

Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contínuos.

yn + Pn-1(x)y

n-1 + ... + P1(x)y’ + P0(x)y = r(x)

A solução geral da EDO é y = yh + yp como na resolução por coeficientes a determinar. mas a

solução da particular fica yp=y1(x).u1 + y2(x).u2+...+yn(x)yn, onde y1, y2, ..., yn são as bases para a EDO

homogênea. A ideia é constituir a solução particular com uma combinação destas bases utilizando

parâmetros variáveis.

Onde

dxxW

xrxWu

)(

)().(11 , dx

xW

xrxWu

)(

)().(22 , .... dx

xW

xrxWu n

n)(

)().(

Sendo que W = W(y1,y2,...,yn), que é o Determinante de Wronski (Wronskiano)

)(),...,,(

11

2

1

1

''

2

'

1

21

21 xW

yyy

yyy

yyy

yyyW

n

n

nn

n

n

n

Para calcularmos W1(x), substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0, 0, 0, ... ,1), para

calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente:

11

2

''

2

2

1

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

,

11

1

''

1

1

2

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

, ....,

1

0

0

1

2

1

1

'

2

'

1

21

nn

n

yy

yy

yy

W

Cuidado: Antes de aplicar o método, verificar o que acompanha yn. Se tiver f(x).y

n, não se

esqueça de dividir r(x) por f(x).

Se a Equação Diferencial for de ordem 2, tempos como solução da particular yp(x) =

u(x)y1(x) + v(x)y2(x)

onde,

dx)x(w

)x(r)x(y)x(u 2 e dx

)x(w

)x(r)x(y)x(v 1

e y1(x) e y2(x) são as bases da homogênea.


74

Exemplo:223 2'2""' xyxyyxyx


75


1) y‖ + 4y’ + 3y = 65x

2) x2y‖ – 2xy’ +2y = x

3cosx

3) x2y‖ – 4xy’ + 6y = 21x

-4

4) 4x2y‖ + 8xy’ – 3y = 7x

2 – 15x

3

5) x3y‖’- 3x

2y‖ +6xy’ – 6y = x

4lnx

6) xy‖’ + 3y‖ = ex

7) 1x2x3dx

yd4

dx

yd 2

2

2

4

4

8) y‖’ – y‖ – 4y’ + 4y = 12e-x

9) y‖’ – y‖ – 2y' = x - 2

Respostas

1) 9

260x

3

65eCeCy x

2x3

1

2) xcosxxCxCy 221

3) 432

21 x

2

1xcxcy

4) 3

)xx(xCxCy

322

3

22

1

1

5)

6

11xln

6

xxCxCxCy

43

32

21

6) x13

121 exxCxCCy

7) 8

x

8

x

12

x

16

xeCeCxCCy

234x2

4x2

321

8) xx2

3x2

2x

1 e2eCeCeCy

9) 4

x5

4

xeCeCCy

2x2

3x

21


76

AULA 10

5.3.3 MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA

5.3.3.1 Definição

Os operadores são símbolos sem nenhum significado isolado que indicam, de modo abreviado,

as operações que devem ser efetuadas.

Uma dada função definida por )x(fy chama-se operador derivada, denotado por D, a

dx

dD ,

2

22

dx

dD ,

3

33

dx

dD , ...

5.3.3.2 Propriedades

Sejam u=u(x) e v =v(x):

P1. D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)

P2. D(m.u)=m.Du, (propriedade comutativa, sendo m uma constante)

P3.Dm

(Dn u)=D

m+n u, (sendo m e n constantes positivas)

P4. O operador inverso

dxueeu

aD

axax ..1

, a .

P5. O operador direto u.aDuu)aD( audx

du , a .

5.3.3.3 Equações Diferenciais

Qualquer equação diferencial pode ser expressa em termos de D.

Exemplo:

ay" + by' + cy = g(x)

aD2y + bDy + cy = g(x)

(aD2 + bD + c)y = g(x)

Um operador diferencial linear de n-ésima ordem 011n

1nn

n ADADADAL com

coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinômio característico 01n

1nn

n ArArA

também se fatora.

Exemplo:

0y4'y4"y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou

0y)2D( 2


77

5.3.3.4 Operador Anulador

Se L é um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy é uma função

suficientemente diferenciável, tal que 0)y(L , então dizemos que L é um anulador da função.

O operador diferencial nD anula cada uma das funções

1n2 x,,x,x,1 . Então, um

polinômio 1n

1n2

210 xcxcxcc é anulado por um operador que anula a maior

potencia de )D(x n .

Exemplo: Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51

Solução:

O operador é 4D pois 4n31n

0)x8x51(D 324

O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funções

xα1nxα2xαxα ex,,ex,xe,e .

Exemplo: Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4

Solução:

Para o termo )e4( x2,temos 2α e )2D(1n

Para o termo )xe6( x2 , temos 2α e 2)2D(1n

Logo o operador que anulará a expressão será 2)2D(

Vamos verificar:

0e12e12e12De6)e6)(2D(

]xe12xe12e6e8e8)[2D(

]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(

)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2

x2x2x2x22

O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funções

xβsenex,xβsenex,xβsenxe,xβsene

,xβcosex,xβcosex,xβcosxe,xβcose

xα1nxα2xαxα

xα1nax2xαxα

Exemplo: Encontre um operador anulador para x2sene x.

Solução:

5D2D)]41(D).1.(2D[

1n01n,2β,1α

212

Vamos verificar:


78

0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene

x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e

x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D

x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D

x2sene5x2senDe2)x2sene(D.D

x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xxx2x2

Obs.: O operador diferencial )βD( 22 anula as funções xβcos e xβsen ..

Se 1L e 2L são operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que,

0)y(L 11 e 0)y(L 22 ,mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 , então o produto dos operadores 21 L.L

anula a soma )x(yc)x(yc 2211 , pois:

zero

221

zero

1122121

2211212121

)y(LL)y(LL)yy(LL

)y(LL)y(LL)yy(LL

Exemplo: Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7 .

Solução:

Para o termo x7 temos o operador 2D

Para o termo )x3(sen6 , temos 3β , então )3D( 22

Logo:

0)x3sen6x7)(9D(D 22

5.3.3.5 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores

Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n

1nn

n ADADADA ,

então uma equação diferencial linear não homogênea pode ser escrita como )x(g)y(L

Para esta abordagem, utilizaremos g(x) como combinação linear de funções da forma

βcosex,ex,x,ctsk xαmxαmm e xβsenex xαm

onde m é um inteiro não negativo e α e β são

números reais.

Resumo do Método:

i. Encontre a solução característica cy , para a equação homogênea 0)y(L .

ii. Opere em ambos os lados da equação não-homogênea )x(g)y(L com um operador

diferencial 1L , que anula a função )x(g .

iii. Encontre a solução geral para a equação diferencial homogênea de maior ordem .L1

0)y(L .


79

iv. Desconsidere todos os termos da solução encontrada em (iii) que estão duplicados na

solução complementar cy , encontrada em (i). Forme uma combinação linear py dos

termos restantes. Essa é a forma de uma solução particular para )x(g)y(L .

v. Substitua py encontrada em (iv) na equação )x(g)y(L . Agrupe os coeficientes das

funções em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equações para os

coeficientes indeterminados em py .

vi. Com a solução particular encontrada em (v), forme a solução geral pc yyy para a

equação diferencial dada.

5.3.3.6 Resolução de Equações Lineares

1) Resolver, empregando operadores: 01272

2

ydx

dy

dx

yd

2) 0442

2

ydx

dy

dx

yd

3) Resolver utilizando operador direto, inverso e por anuladores 2

2

2

x4y2dx

dy3

dx

yd .


80


81


Resolva as equações abaixo utilizando um dos métodos de operador derivada.

1) (D2 – D – 12)y = 0

2) senxydx

dy

dx

yd 65

2

2

3) senxeydx

dy

dx

yd x 232

2

4) (D3-16D)y=e

4x + 1

5) (D2 – 7D+12)y = 5e

3x

6) (D3 – 3D + 2)y = xe

-2x

7) xx eeyDD 23212

8) 142 xyD

9) x32 ey6D5D

10) senx4e8'y3"y x3

11) xey

dx

yd 2

2

Respotas:

1) y = C1e4x

+ C2e-3x

2) xcos10

1senx

10

1eCeCy x3

2x2

1

3) senxxcos2

eeCeCy

xx2

2x

1

4) 16

xe

32

xeCeCCy x4x4

3x4

21

5) x3x4

2x3

1 xe5eCeCy

6) x2

2x2x2

3x

2x

1 e18

xe

27

x2eCxeCeCy

7) xx2x2xx e

6

1ex

2

3CeBxeAey

8) 4

1

4

xBeAey x2x2

9) x3

2x2

1x3 eCeCxey

10) senx5

2xcos

5

6xe

3

8eCCy x3x3

21

11) 2

xeeCeCy

xx

2x

1


82

AULA 11

6. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM

SUPERIOR

Vimos que uma única equação pode servir como modelo matemático para fenômenos

diversos. Por essa razão, examinamos uma aplicação, o movimento de uma massa conectada a

uma mola, detalhadamente na seção 8.1 abaixo. Veremos que, exceto pela terminologia e

pelas interpretações físicas dos quatro termos na equação linear ay” + by’ + cy = g(t), a

matemática de um circuito elétrico em série é idêntica à de um sistema vibratório massa-mola.

Formas dessa equação diferencial linear de segunda ordem aparecem na análise de problemas

em várias áreas da ciência e da engenharia. Na seção 8.1, consideramos exclusivamente

problemas de valor inicial, enquanto na seção 8.2 examinamos aplicações descritas por

problemas de contorno conduzem-nos aos conceitos de autovalor e autofunção. A seção 8.3

começa com uma discussão sobre as diferenças entre mola linear e mola não-linear; em

seguida, mostraremos como um pêndulo simples e um fio suspenso levam a modelos não-

lineares.

6.1 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL:

6.1.1 SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTECIDO

Lei de Hooke: Suponha que uma mola flexível esteja suspensa verticalmente em um

suporte rígido e que então uma massa m seja conectada à sua extremidade livre. A distensão

ou elongação da mola naturalmente dependerá da massa; massas com pesos diferentes

distenderão a mola diferentemente. Pela lei de Hooke, a mola exerce uma força restauradora F

oposta à direção do alongamento e proporcional à distensão s. Enunciado de forma simples, F

= ks, onde k é a constante de proporcionalidade chamado constante da mola. A mola é

essencialmente caracterizada pelo número k. Por exemplo, se uma massa de 10 libras alonga

em ½ pé uma mola, então 10 = k(½) implica que k = 20 lb/pés. Então uma massa de, digamos,

8 lb necessariamente estica a mesma mola somente 2/5 pé.

Segunda Lei de Newton: Depois que uma massa m é conectada a uma mola, provoca

uma distensão s na mola e atinge sua posição de equilíbrio no qual seu peso W é igual à força

restauradora ks. Lembre-se de que o peso é definido por W = mg, onde g= 32 pés/s2, 9,8m/s

2

ou 980 cm/s2.


83

Conforme indicado na figura acima, a condição de equilíbrio é mg = ks ou mg – ks =

0. Se a massa for deslocada por uma quantidade x de sua posição de equilíbrio, a força

restauradora da mola será então k(x + s). Supondo que não haja forças de retardamento sobre

o sistema e supondo que a massa vibre sem a ação de outras forças externas – movimento

livre – podemos igualar F com a força resultante do peso e da força restauradora:

kxksmgkxmgxskdt

xdm

zero

)(2

2

(1)

O sinal negativo indica que a força restauradora da mola age no sentido oposto ao do

movimento. Além disso, podemos adotar a convenção de que os deslocamentos medidos

abaixo da posição de equilíbrio são positivos.

6.1.1.1 ED do Movimento Livre não amortecido:

Dividindo a equação (1) pela massa m obtemos a equação diferencial de segunda

ordem

02

2

2

xdt

xd (2)

onde mk /2

A equação (2) descreve um movimento harmônico simples ou movimento livre não

amortecido. Duas condições iniciais óbvias associadas com (2) são x(0) = x0 e x’(0) = x1,

representando, respectivamente, o deslocamento e a velocidade iniciais da massa. Por

exemplo, se x0> 0, x1< 0, a massa começa de um ponto abaixo da posição de equilíbrio com

uma velocidade inicial dirigida para cima. Quando x1 = 0, dizemos que ela partiu do repouso.

Por exemplo, se x0< 0, x1 = 0, a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da

posição de equilíbrio.

6.1.1.2 Solução e Equação do Movimento:

equilíbrio

Posição

inicial

g

K(s+x)


84

Para resolver a Equação (2), observamos que as soluções da equação auxiliar m2+

2=0 são números complexos m1 = i, m2 = - i. Assim, determinamos a solução geral de

(2) como:

tsenCtCtx 21 cos)(

(3)

O período das vibrações livres descritas por (3) é T = 2 / e a frequência é

2//1 Tf . Por exemplo, para tttx 3sin43cos2)( , o período é 2 /3 e a

frequência é 3/2 unidades; o segundo número significa que há três ciclos do gráfico a cada 2

unidades ou, equivalentemente, que a massa está sujeita a 3/2 vibrações completas por

unidade de tempo. Além disso, é possível mostrar que o período 2 / é o intervalo de

tempo entre dois máximos sucessivos de x(t). Lembre-se de que o máximo de x(t) é um

deslocamento positivo correspondente à distância máxima de x(t) é um deslocamento positivo

correspondente à distância máxima atingida pela massa abaixo da posição de equilíbrio,

enquanto o mínimo de x(t) é um deslocamento negativo correspondente à altura máxima

atingida pela massa acima da posição de equilíbrio. Vamos nos referir a cada caso como

deslocamento extremo da massa. Finalmente, quando as condições iniciais forem usadas

para determinar as constantes C1 e C2 em (3), diremos que a solução particular resultante ou a

resposta é a equação do movimento.

Exemplo:

Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas. Em t = 0, a massa é solta

de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de 34 pés/s para

cima. Determine a equação do movimento livre.

Solução:

Convertendo as unidades:

6 polegadas = ½ pé

8 polegadas = 2/3 pé

Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa

M = W/g = 2/32 = 1/16 slug

Além disso, da lei de Hooke , 2 = k(½) implica que a constante de mola é k = 4

lb/pé, Logo, (1) resulta em:

xdt

xd4

16

12

2

0642

2

xdt

xd

2 = - 64

= 8i

x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t

O deslocamento e a velocidade iniciais são x(0) = 2/3 e x’(0) = - 4/3, onde o sinal

negativo na última condição é uma conseqüência do fato de que é dada à massa uma

velocidade inicial na direção negativa ou para cima.


85

Aplicando as condições iniciais a x(t) e a x’(t), obtemos C1 = 2/3 e C2 = - 1/6,

assim, a equação do movimento será:

tsenttx 816

18cos

3

2)(

6.1.2 SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO

O conceito de movimento harmônico livre é um tanto quanto irreal, uma vez que é

descrito pela Equação (1) sob a hipótese de que nenhuma força de retardamento age sobre a

massa em movimento. A não ser que a massa seja suspensa em um vácuo perfeito, haverá

pelo menos uma força contrária ao movimento em decorrência do meio ambiente.

6.1.2.1 ED do Movimento Livre Amortecido:

No estudo de mecânica, as forças de amortecimento que atuam sobre um corpo são

consideradas proporcionais a uma potência da velocidade instantânea. Em particular, vamos

supor durante toda a discussão subseqüente que essa força é dada por um múltiplo constante

de dx/dt. Quando não houver outras forças externas agindo sobre o sistema, segue na segunda

lei de Newton que

dt

dxkx

dt

xdm

2

2

(4)

onde é positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo é uma

conseqüência do fato de que a força amortecedora age no sentido oposto ao do movimento.

Dividindo-se (4) pela massa me, obtemos a equação diferencial do movimento livre

amortecido

02

2

x

m

k

dt

dx

mdt

xd

(5)

ou

02 2

2

2

xdt

dx

dt

xd (6)

onde

m

2 e

m

k2

O símbolo 2 foi usado somente por conveniência algébrica, pois a equação auxiliar

é:

m2 + 2m + 2 = 0

e as raízes correspondentes são, portanto,

22

1 m e22

2 m


86

Podemos agora distinguir três casos possíveis, dependendo do sinal algébrico de 22 . Como cada solução contém o fator de amortecimento te , >0, o deslocamento da

massa fica desprezível após um longo período.

CASO I: Superamortecido

022

tmtm

eCeCtx 21

21)( (7)

Essa equação representa um movimento suave e não oscilatório.

CASO II: Amortecimento Crítico

022

tCCetx t

21)( (8)

Observe que o movimento é bem semelhante ao sistema superamortecido. É também

evidente de (8) que a massa pode passar pela posição de equilíbrio no máximo uma vez.

Qualquer decréscimo na força de amortecimento resulta em um movimento oscilatório.

CASO III: Subamortecido

022

Como as raízes m1 e m2 agora são complexas, a solução geral da Equação (6) é:

tsenCtCetx t 22

2

22

1cos)(

(9)

O movimento descrito em (9) é oscilatório; mas, por causa do fator te , as

amplitudes de vibração 0 quando t .

Exemplos:

1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 pés. Supondo que uma força amortecedora

igual a duas vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema, determine a equação

de movimento se o peso for solto de uma posição de equilíbrio a uma velocidade de 3

pés/s para cima.

Solução:

Com base na lei de Hooke, vemos que 8 = k(2) nos dá k = 4 lb/pés e que

g.mW nos dá m = 8/32=1/4 slug. A equação diferencial do movimento é então:

dt

dx2x4

dt

xd

4

1

2

2


87

01682

2

xdt

dx

dt

xd

Resolvendo a equação temos:

X(t)= C1 e – 4t

+ C2te - 4t

(amortecimento crítico)

Aplicando as condições iniciais x(0) = 0 e x’(0) = - 3, obtemos c1 = 0 e c2 = -3,

logo, a equação do movimento é:

X(t) = - 3te -4t

2) Um peso de 16 lb é atado a uma mola de 5 pés de comprimento. Na posição de

equilíbrio, o comprimento da mola é de 8,2 pés. Se o peso for puxado para cima e

solto do repouso, de um ponto 2 pés acima da posição de equilíbrio, qual será o

deslocamento x(t) se for sabido ainda que o meio ambiente oferece uma resistência

numericamente igual à velocidade instantânea.

Solução:

O alongamento da mola depois de presoo peso será de 8,2 – 5 = 3,2 pés; logo,

segue da lei de Hooke que 16 = k(3,2) ou k = 5 lb/pés. Alem disso, m = 16/32 = ½ slug.

Portanto, a equação diferencial é dada por:

dt

dxx

dt

xd 5

2

12

2

01022

2

xdt

dx

dt

xd

Resolvendo a equação temos:

tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)

Aplicando as condições iniciais x(0) = - 2 e x’(0) = 0, obtemos c1 = - 2 e c2 = -

2/3, logo a equação do movimento é:

tsentetx t 3

3

23cos2)(

6.1.3 SISTEMA MASSA MOLA: MOVIMENTO FORÇADO

6.1.3.1 ED do Movimento Forçado com Amortecimento:

Considerando agora uma força externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma

mola. Por exemplo, f(t) pode representar uma força que gera um movimento oscilatório

vertical do suporte da mola. A inclusão de f(t) na formulação da segunda lei de Newton

resulta na equação diferencial do movimento forçadoou induzido


88

)(2

2

tfdt

dxkx

dt

xdm (10)

Dividindo (10) por m, obtemos:

)(2 2

2

2

tFxdt

dx

dt

xd (11)

Onde F(t) = f(t)/m. Como no item anterior, 2 m/ , mk /2 . Para resolver essa

última equação não homogênea, podemos usar tanto o método dos coeficientes a determinar

quanto o de variações de parâmetro.

Exemplo:

Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt

dx2,1

dt

xd

5

1

2

2

,com

2

1)0(x e 0)0('x

Solução:

O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 1/5 slug

ou quilograma) presa a uma mola (k = 2 lb/pés ou N/m). A massa é solta do repouso ½

unidade (pé ou metro) abaixo da posição de equilíbrio. O movimento é amortecido ( 2,1 )

e esta sendo forçado por uma força externa periódica (T = 2 ) que começa em t=0.

Intuitivamente, poderíamos esperar que, mesmo com o amortecimento, o sistema continuasse

em movimento até o instante em que a força externa fosse “desligada”, caso em que a

amplitude diminuiria. Porém, da forma como o problema foi dado, f(t)=5cos4t permanecerá

“ligada” sempre.

Em primeiro lugar, multiplicaremos a equação dada por 5 e resolvemos a equação

01062

2

xdt

dx

dt

xd empregando os métodos usuais e usando o método dos coeficientes a

determinar, procuramos uma solução particular, achando como solução:

tsentsentCtCetx t 451

504cos

102

25)cos()( 21

3

Aplicando as condições iniciais, temos que a equação do movimento é:

tsentsenttetx t 451

504cos

102

25)

51

86cos

51

38()( 3

6.1.3.2 ED de um Movimento Forçado Não Amortecido:

Se houver a ação de uma força externa periódica, e nenhum amortecimento, não

haverá termo transiente na solução de um problema. Veremos também que uma força externa

periódica com uma freqüência próxima ou igual às das vibrações livres não amortecidas pode

causar danos severos a um sistema mecânico oscilatório.


89

Exemplo:

1) Resolva o problema de valor inicial: tsenFxdt

xd 0

2

2

2

, x(0) = 0 e x’(0) = 0,, onde F0 é

uma constante e .

)(

2

2

tfkxdt

xdm

Solução:

A função complementar é xc(t) = c1cos t + c2 sen t. Para obter uma solução

particular, vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que:

tsenFtsenBtAxx pp 0

22222" )(cos)(

Igualando os coeficientes, obtemos imediatamente A = 0 e )γω(

FB

220

. Logo:

tγsen)γω(

F)t(x

220

p

Aplicando as condições iniciais dadas à solução geral, obtemos a solução final que

será:

)tγsenωtωsenγ()γω(

F)t(x

220

, com ωγ

6.1.4 CIRCUITO EM SÉRIE ANÁLOGO - CIRCUITOS ELÉTRICOS RLC EM

SÉRIE

Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, chegamos a:

)(2

2

tEC

q

dt

dqR

dt

qdL (12)

Se E(t) = 0, as vibrações elétricas do circuito são consideradas livres. Como a

equação auxiliar da equação (11) é Lm2 + Rm + 1/C = 0, haverá três formas de solução com R

0, dependendo do valor do discriminante R2 -4L/C. Dizemos que o circuito é:

Superamortecido: 042 C

LR

Criticamente amortecido: 042 C

LR


90

Subamortecido: 042 C

LR

Em cada um desses três casos, a solução geral de (12) contém o fator e-Rt/2L

e,

portanto, q(t) 0 quando t . No caso subamortecido, se q(0) = q0, a carga sobre o

capacitor oscilará à medida que decair, em outras palavras, o capacitor é carregado e

descarregado quanto t . Quando E(t) = 0 e R = 0, dizemos que o circuito é não

amortecido e as vibrações elétricas não tendem a zero quando t cresce sem limitação; a

resposta do circuito é harmônica simples.

Exemplos:

Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em série LRC quando L=0,25

henry(h), R = 10 ohms( ), C = 0,001 farad(f), E(t) = 0, q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0.

Solução:

Como 1/C = 1000, a equação (12) fica:

04000'40"

01000'10"4

1

qqq

qqq

Resolvendo a equação homogênea de maneira usual, verificamos que o circuito é

subamortecido e q(t) = e-20t

(C1 cos60t +C2 sen60t). Aplicando as condições iniciais, obtemos:

)603

160(cos)( 20

0tsenteqtq t

Quando há uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibrações elétricas são

chamadas forçadas. No caso em que R 0, a função complementar qc(t) de (12) é chamada de

solução transiente. Se E(t) for periódica ou constante, então a solução particular qp(t) de (12)

será uma solução estacionária.

6.2 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO

6.2.1 DEFLEXÃO DE UMA VIGA:

Muitas estruturas são construídas usando grandes suportes de aço ou vigas, as quais

defletem ou distorcem sob seu próprio peso ou em decorrência de alguma força externa. A

deflexão y(x) é governada por uma equação diferencial linear de quarta ordem relativamente

simples.


91

Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogênea e tenha seção transversal

uniforme ao longo de seu comprimento. Na ausência de qualquer carga sobre a viga

(incluindo o próprio peso), a curva que liga os centróides de todas as suas seções transversais

é uma reta chamada eixo de simetria. Se for aplicada uma carga à viga em um plano

contendo o eixo de simetria, ela sofrerá uma distorção e a curva que liga os centróides de

todas as seções transversais será chamada então de curva de deflexãooucurva elástica. A

curva de deflexão aproxima o formato da viga. Suponha agora que o eixo x coincida com o

eixo de simetria da viga e que a deflexão y(x), medida a partir desse eixo, seja positiva se

dirigida para baixo. Na teoria da elasticidade, mostra-se que o momento fletor M(x) em um

ponto x ao longo da viga está relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela

equação:

)(2

2

xwdx

Md (13)

Além disso, momento fletor M(x) é proporcional à curvatura k da curva elástica

EIkxM )( (14)

onde E e I são constantes; E é o módulo de elasticidade de Yang do material de que é feita a

viga e I é o momento de inércia de uma seção transversal da viga (em torno de um eixo

conhecido como o eixo neutro). O produto EI é chamado de rigidez defletora da viga.

Agora, do cálculo, a curvatura é dada por

23

2)'(1

"

y

yk

. Quando a deflexão y(x)

for pequena, a inclinação y’ 0 e, portanto, 23

2)'(1 y 1, Se fizermos k = y‖, a Equação

(14) vai se tornar M = Ely‖. A derivada segunda dessa última expressão é:

4

4

2

2

2

2

"dx

ydELy

dx

dEL

dx

Md (15)

Usando o resultado dado em (1) para substituir d2M/dx

2 em (15), vemos que a

deflexão y(x) satisfaz a equação diferencial de quarta ordem

)(4

4

xwdx

ydEL (16)

As condições de contorno associadas à Equação (16) dependem de como as

extremidades da viga estão apoiadas. Uma viga em balanço é engastada ou presa em uma

extremidade e livre de outra. Trampolim, braço estendido, asa de avião e sacada são exemplos

comuns de vigas, mas até mesmo árvores, mastros, edifícios e o monumento de George

Washington podem funcionar como vigas em balanço, pois estão presos em uma extremidade

e sujeitos à força fletora do vento. Para uma viga em balanço, a deflexão y(x) deve satisfazer

às seguintes condições na extremidade engastada x = 0:

y(0) = 0, uma vez que não há deflexão e

y’(0) = 0, uma vez que a curva de delexão é tangente ao eixo x (em outras palavras, a

inclinação da curva de deflexão é zero nesse ponto).


92

Em x = L, as condições da extremidade livre são:

y‖(L) = 0, uma vez que o momento fletor é zero e

y‖’(L) = 0, uma vez que a força de cisalhamento é zero.

A Tabela abaixo resume as condições de contorno que estão associadas com a equação (16)

Extremos da Viga Condições de contorno

Engastada 0'y,0y

Livre 0'"y,0"y

Simplesmente apoiada 0'y,0y

6.2.1.1 Soluções Não Triviais do Problema de Valores de Contorno:

Resolva o problema de valores de contorno y‖ + y = 0, y(0) = 0 e y(L) = 0

Consideremos três casos: = 0, < 0 e > 0.

Caso I: Para = 0, a solução de 0"y é 21 CxCy . As condições 0)0(y e

0)L(y implicam, sucessivamente que 0C1 e 0C2 . Logo, para 0λ , a única solução

do problema de contorno é a solução trivial 0y .

Caso II: Para λ <0, temos que xλsenhCxλcoshCy 21 . Novamente

0)0(y nos dá 0C1 e, portanto, xλsenhCy 2 . A segunda condição 0)L(y nos diz

que 0LλsenhC2 . Como L 0, precisamos ter 0C2 . Assim y = 0

Obs.: parece um pouco estranho, mas tenha em mente que < 0 é equivalente a

- >0.

Caso III: Para >0, a solução geral de y‖+ y = 0 é dada por

xλsenCxλcosCy 21 .Como antes, y(0) = 0 nos dá que c1 = 0, mas y(L) = 0 implica

0LλsenC2 .

Se c2 = 0, então, necessariamente, y = 0. Porém, se c2 0, então sen L = 0. A

última condição implica que o argumento da função seno deve ser um múltiplo inteiro de .

nL ou2

22

L

n , n = 1, 2, 3...

Portanto, para todo real não nulo c2, y = c2sen(n x/L) é uma solução do problema

para cada n. Como a equação diferencial é homogênea, podemos, se desejarmos, não escrever

c2. Em outras palavras, para um dado número na seqüência, ,...,9

,4

,2

2

2

2

2

2

LLL

a função


93

correspondente na seqüência ,...3

,2

, xL

senxL

senxL

sen

é uma solução não trivial do

problema original.

6.2.1.2 Deformação de uma Coluna Fina:

No século XVIII, Leonhard Euler dói um dos primeiros matemáticos a estudar um

problema de autovalor quando analisava como uma coluna elástica fina se deforma sob uma

força axial compressiva.

Considere uma longa coluna vertical fina de seção transversal uniforme de

comprimento L. Seja y(x) a deflexão da coluna quando uma força compressiva vertical

constante ou carga P for aplicada em seu topo conforme mostra a figura. Comparando os

momentos fletores em qualquer ponto ao longo da coluna, obtemos

Py

dx

ydEL

2

ou 02

2

Pydx

ydEL (17)

onde E é o módulo de elasticidade de Yang e I é o momento de inércia de uma seção

transversal em torno de uma reta vertical pelo seu centróide.

Exemplo:

Determine a deflexão de uma coluna vertical fina e homogênea de comprimento L

sujeita a uma carga axial constante P, se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as

extremidades.

Solução:

O problema de contorno a ser resolvido é:

0)(

0)0(

02

2

Ly

y

Pydx

ydEI

Observe primeiramente que y = 0 é uma solução perfeitamente aceitável desse

problema. Essa solução tem uma interpretação intuitiva e simples: se a carga P não for grande

o suficiente, não haverá deflexão. A questão é esta, para que valores de P a coluna vai

defletir? Em termos matemáticos: para quais valores de P o problema de contorno dado tem

soluções não triviais?


94

Escrevendo EIP , vemos que:

0)(

0)0(

0"

Ly

y

yy

é idêntico ao problema dado no item 8.2.1.1. Com base no Caso III daquela discussão

vemos que as curvas de deflexão são )/()( 2 Lxnsencxyn , correspondentes aos autovalores

...3,2,1,// 222 nLnEIPnn

Fisicamente, isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando

a força compressiva assumir um dos valores ...3,2,1,/ 222 nLEInPn Essas forças são

chamadas cargas criticas. A curva de deflexão correspondente a menor carga crítica 22

1 / LEIP , chamada de carga de Euler, é )/()( 21 Lxsencxy e é conhecida como o

primeiro modo de deformação.

As curvas de deflexão correspondentes a n = 1, n = 2 e n = 3 são apresentadas na

figura abaixo. Observe que, se a coluna original tiver algum tipo de restrição física em x =

L/2,então a menor carga crítica será 22

2 /4 LEIP e a curva de deflexão será aquela da

figura (b). Se a restrição for colocada na coluna em x = L/3 e x = 2L/3, acoluna somente vai

se deformar quando a carga critica 22

3 /9 LEIP for aplicada. Nesse caso a curva de

deflexão será aquela da figura (c).

6.2.1.3 Corda Girando:

A equação diferencial linear de segunda ordem 0" yy

(18)

ocorre muitas vezes como modelo matemático. Já vimos nas formas 0)/(22 xmkdtxd e

0)/1(22 qLCdtqd como modelos para, respectivamente, um movimento harmônico

simples e um sistema massa-mola e a resposta harmônica simples de um circuito em série. É

evidente que o modelo para deflexão de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como

0)/(22 yELPdxyd , é igual ao que foi dado em (18). Vamos encontrar a Equação (18)

como um modelo que define a curva de deflexão ou a configuração y(x) assumida por uma

corda girando. A situação física é análoga aquela de duas pessoas segurando uma corda e

fazendo-a girar sincronizadamente. Veja as figuras (a) e (b) abaixo.


95

Suponha que uma corda de comprimento

L e densidade linear constante (massa por

unidade de comprimento) seja esticada ao longo

do eixo x e fixada em x = 0 e x = L. Suponha que

a corda seja então girada em torno do eixo x a

uma velocidade angular constante . Considere

uma parte da corda sobre o intervalo xxx , ,

onde x é pequeno. Se a magnitude T da tensão

T, tangencial a corda, for constante ao longo

dela, a equação diferencial desejada pode ser

obtida igualando-se duas formulações diferentes

da força liquida que age sobre a corda no

intervalo xxx , . Em primeiro lugar, vemos

na figura (c), que a força liquida vertical é:

12 TsenTsenF (19)

Se os ângulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos, teremos

22 tgsen e 11 tgsen . Alem disso, como 2tg e 1tg são, por sua vez, inclinações das

retas contendo os vetores T2e T1, podemos também escrever

)('2 xxytg e )('1 xytg

Assim sendo, (19) vai se tornar:

)(')(' xyxxyTF (20)

Em segundo lugar, podemos obter uma forma diferente dessa mesma força liquida

usando a segunda lei de Newton, F = m.a. Aqui, a massa da corda no intervalo é xm ; a

aceleração centrípeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com

raio r é 2ra . Sendo x pequeno, podemos tomar r = y. Assim sendo, a força liquida

vertical é também aproximada por

2 yxF (21)

onde o sinal de subtração justifica-se pelo fato de a aceleração ter o sentido oposto ao do eixo

y. Igualando-se (21) e (20), temos:

2)()(')(' yxxyxxyT

ou (22)

yx

xyxxyT 2)(')('


96

Para x próximo a zero, o quociente da diferença x

xyxxy

)(')('em (22) é

aproximado pela derivada segunda de d2y/dx

2. Finalmente chegamos ao modelo

ydx

ydT 2

2

2

ou (23)

02

2

2

ydx

ydT

Como a corda esta fixa em ambas as extremidades, x = 0 e y = L, esperamos que a

solução y(x) da última equação em (23) também satisfaça as condições de contorno y(0) = 0 e

y(L) = 0.


97

AULA 12

7. TRANSFORMADA DE LAPLACE

7.1 INTRODUÇÃO

A Transformada de Laplace, ferramenta muito útil na resolução de equações

diferenciais e dos correspondentes problemas de valor inicial e de contorno. Desenvolvida

pelo matemático francês Pierre Simon Laplace há aproximadamente 200 anos, esse método

batizado com o sobrenome de Pierre nada mais é do que uma transformada integral com

algumas propriedades interessantíssimas que auxiliam na resolução de equações diferenciais.

O processo de resolução consiste em três etapas principais:

i. Um problema ―difícil‖ é transformado em equação ―simples‖ (equação

subsidiária).

ii. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas.

iii. A solução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a

solução do problema daddo

Destas maneira, a transformação de Laplace reduz o problema de resolução de uma

equação diferencial a um problema algébrico. A terceira etapa é facilitada pelas tabelas, cujo

papel é análogo ao das tabelas de integras na integração. Essasss tabelas também são uteis na

primeira etapa.

7.1.1 DEFINIÇÃO:

Seja f (x) uma função definida no intervalo ,0 e seja s uma variável real arbitrária.

A Transformada de Laplace de f(x), designada por )(sF ou )(xfL é:

dxxfexfLSF st

0

)()()(

Ao calcular a integral acima, a variável s é considerada como constante, pois a

integração é em relação a x.

Considere a seguinte integral imprópria:

0

dtest

Note que para s=0 a integral acima é divergente. Então vamos supor 0s .

Podemos calcular esta integral da seguinte forma:

1

000

lim1

limlim

sb

b

bst

b

st

b

st ess

edtedte

Assim, podemos concluir que:

Converge: s

dtest 1

0

, se s < 0

Diverge:

0

dtest, se 0s

Observe que quando a integral imprópria convergir, obteremos uma função de s.


98

Como notação para TL, usamos letras minusculas para a função a ser transformada e

letra maíuscula para função¸ já transformada, por exemplo:

L { f (t )} = F (s), L {g(t )} = G(s), L {y(t )} = Y (s)

Dentre suas propriedades destaca-se a linearidade, pois podemos escrever

que é equivalente a

Dessa forma podemos determinar a função f (t) tal que L {f (t)} = F (s) através da

Transformada de Laplace Inversa, outra transformação linear que auxilia na resolução de

equações diferenciais.

Nos exemplos seguintes calculam-se as transformadas de Laplace de algumas funções

elementares:

Exemplos:

1) Determine a transformada de Laplace de 1)( xf


99

2) Determine a transformada de Laplace de 2)( xxf .

3) Deteminde axeL .2)( xxf .


100

4) Determine senaxL .

5) Determine )(xfL , se

41

41)(

xse

xsexf .


101

7.1.2 DEFINIÇÃO:

Se F (s) representa a Transformada de Laplace de uma função f (t), isto é, L {f (t)} =

F(s), dizemos que f (t) é a transformada inversa de Laplace de F (s) e escrevemos,

Seja f (t) uma função definida no intervalo ,0 então a integral

Tanto para a transformada de Laplace quando para a transformada inversa de Laplace

apresentamos uma ferramenta muito útil ao trabalharmos com essas transformações. Trata-se

de uma tabela de Transformadas e Transformadas Inversas das funções básicas, que segue

abaixo.

1)(1 tf

stfL

1)(1

)()(12 ctutf

s

etfL

cs

)(12

,...)2,1(

)(2

n

ttf n

12

!)(

ns

ntfL

)()()(13 ctfctutf )()(13 sFetfL cs

)1()(3 pttf p

13

)1()(

ps

ptfL

atttf sin)(14

22214

2)(

as

astfL

atetf )(4 as

tfL

1

)(4

atttf sin)(15

222

22

15 )(as

astfL

,...)2,1(

)(5

n

tetf nat

15

)(

!)(

nas

ntfL

atatattf cossin)(16

222

3

16

2)(

as

atfL

bttf sin)(6

226 )(bs

btfL

atatattf cossin)(17

222

2

17

2)(

as

astfL

bttf cos)(7

227 )(bs

stfL

ba

eetf

btat

)(18

))((

1)(18

bsastfL

bttf sinh)(8

228 )(bs

btfL

atattf cosh)(19

222

22

19 )(as

astfL

bttf cosh)(9

229 )(bs

stfL

att

tf cosh2

)(2

20 222

23

20

3)(

as

sastfL

btetf at sin)(10 2210 )(

bas

btfL

a

attf

2

sinh)(21

2221 )(as

stfL

btetf at cos)(11 2211 )(

bas

astfL

xtf ln)(21

s

stfL

ln)(22


102

7.2 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

PROPRIEDADES

Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace

L {f +g}=L {f} + L {g} L -1

{F +G}=L -1{F} + L -1{G}

L {cf } = cL {f} L --1

{cF }= cL -1{F}

L {f ’}= sL {f}- f(0) L –1{F(s)}=

n

n1

n

n

ds

)s(Fd

t

)1(L

L {f ’’}= s2L {f}- sf(0) – f ’(0) L –1

s

)s(F= d)(f

t

0

L {f (n)

}= snL {f} - s

n-1f(0) - s

n-2f’(0) - ... - f

(n-1)(0) L -1 (F(s - a)) = e

atf(t)

L {eatf(t)}=F(s - a) )0(f)s(sFlim

s

L )s(Fds

d)1()t(ft

n

nnn )(f)s(sFlim

0s

L

a

sF

a

1)at(f L )s(F

s

1d )(f

t

0

L gf L {f}L {g} L

s

dFt

tf )(

)(

Exemplos:

2) Achar as transformadas:

a) 234 tttf


103

b) wtsentf , onde ,w são constantes

c) tsentf 22

7.3 TRANSFORMADA INVERSSA DE LAPLACE

A função original )(tf em )()( sFtfL é chamada de transformada inverssa ou,

simplesmente, a inversa de )(sF , e será representada por )(1 FL, assim escreveremos

)()(1 tfsFL

7.3.1 MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS

Qualquer função racional )(

)(

sQ

sP, onde )(sP e )(sQ são polinômios, com o grau de

)(sP menor que o grau de )(sQ , pode ser escrita como soma de funções racionais (frações

parciais) tendo a forma rbas

A

)( ,

rcbsas

cBs

)( 2

onde ,3,2,1r

Encontramos a transformada inversa de Laplace de cada uma das frações parciais,

podemos encontrar

)(

)(1

sQ

sPL

Exemplos:

)12()12()12()43()12)(43(

52

)5()42()42()5()42(

243

233

22222

2

s

D

s

C

s

B

s

A

ss

s

s

E

ss

DCs

ss

BAs

sss

ss

7.3.2 MÉTODO DO COMPLEMENTO DO QUADRADO

Todo polinômio quadrático em s pode ser posto sob a forma 22)( hksa .

Em particular,


104

22

2

22

22

222

42

22

hksaa

bc

a

bsa

a

bc

a

bs

a

bsacs

a

bsacbsas

Onde:

a

bk

2 e

2

2

4a

bch

3) Deterninte tf sendo:

a) 9

12

s

sF

b) 4

122

s

ssF


105

c) 16

)1(42

s

ssF

d) ss

sF3

32


106

e) )2)(1(

1

sssF

f) 92

12

ss

sF


107


Encontrar a inversa das Transformadas de Laplace das Funções abaixo:

1) 3

8

ssF

2) 9

142

s

ssF

3) 3)1(

10

ssF

4) 12

132

ss

ssF

5) 106

1042

ss

ssF

6) 92

12

ss

sF

7) 84

42

ss

ssF

8) )1)(1(

12

ss

sF

9) )1)(2(

3

ss

ssF

10) )4(

12

ss

sF

Respostas:

1) 24t

2) tsent 33

13cos4

3) 25 te t

4) tt ee 34

7

10

7

11

5) sentete tt 33 2cos4

6) te t 8sin..8

1

7) tete tt 2sin.2cos. 22

8) tte t sin2

1cos

2

1

2

1

9) 1

1

3

2

2

1

3

5

ss

10) t2cos4

1

4

1


108

AULA 13

Muitos problemas práticos da engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos

sob ação de forças descontínuas ou de impulsos. Para estes tipos de problemas, os métodos

visto em Equações Diferenciais, são difíceis de serem aplicados. Nesta aula, usaremos a

transformada de Laplace para desenvolver um outro método para resolver uma EDO.

7.4 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS

Se )()(' sFtfL temos que s

sFduufL

t)(

)(0

Exemplos:

1)

t

uduL0

2sin

2)

t

t tdteL0

3 cos


109

7.5 TRANSFORMADA DE DERIVADAS

Conforme destacado acima, nosso objetivo imediato é utilizar a transformada de

Laplace para resolver equações diferenciais. Para atingir esse objetivo, precisamos calcular

quantidades tais como dtdyL e 22 dtydL . Por exemplo, se 'f for contínua para 0t ,

então a integração por partes resulta em

000

)()0()()()(')(' tfsLfdttfestfedttfetfL ststst

Ou

)0()()(' fssFtfL

Generalizando:

)0()0()0(')0()()( )1()2()2()1( nnnnnn yysysyssFstfL

Emprega-se o método das transformadas de Laplacee para resolver problemas de valor

inicial dados por uma equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes,

juntamente com as condições iniciais.

Exemplo:tt eey

dx

dy

dx

yd 53

2

2

86 , com 0)0('

0)0(

y

y


110


1) 05 ydx

dy, com y(0) = 2

2) xey

dx

dy 55 , com y(0) = 0

3) xydx

dysin , com y(0) = 1

4) 042

2

ydx

yd, com y(0) = 2 , y’(0) = 2

5) 0432

2

ydx

dy

dx

yd, com y(0) = 1, y’(0) = 5

6) 2

2

2

42 xydx

dy

dx

yd , com y(0) = 1, y’(0) = 4

7) xydx

dy

dx

ydsin84

2

2

, com y(0) = 1, y’(0) = 0

Respostas

1) xe52

2) xxe5

3) xxe x sin2

1cos

2

1

2

3

4) xx 2sin2cos2

5) xexexx

2

7sin7

2

7cos 2

3

2

3

6) 32222 22 xxee xx

7) xxxxe s cos65

4sin

65

72sin

130

1312cos

65

692

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