EQUAÇÕES – N21 NOTAS DE AULA
Prof.a Paula Francis Benevides
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Gerência de Ensino e Pesquisa
Departamento Acadêmico de Matemática
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
2
Conteúdo
AULA 1 ............................................................................................................................. 5
AULA 2 ............................................................................................................................. 7
1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 7
1.2 DEFINIÇÃO .................................................................................................................... 8
1.3 CLASSIFICAÇÃO ............................................................................................................... 8
1.3.1 Tipo: ....................................................................................................................... 8
1.3.2 Ordem: ................................................................................................................... 8
1.3.3 Grau: ...................................................................................................................... 8
1.3.4 Linearidade: ........................................................................................................... 9
1.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: .............................................................................. 9
2. RESOLUÇÃO ............................................................................................................ 11
2.1 CURVAS INTEGRAIS: ...................................................................................................... 11
2.2 SOLUÇÃO: ................................................................................................................... 11
2.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) ................................................................................. 12
2.4 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO ............................................................. 13
3. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU .............................................. 14
3.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS ............................................................................... 14
3.1.1 Resolução: ............................................................................................................ 14
AULA 3 ........................................................................................................................... 19
3.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS .............................................................................................. 19
3.2.1 Função Homogênea ............................................................................................. 19
3.2.2 Equação Homogênas ........................................................................................... 19 3.2.2.1 Resolução: ...............................................................................................................................................19
3.3 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS . 22
3.3.1 O determinante 22
11
ba
ba é diferente de zero ...................................................... 22
3.3.2 O determinante 22
11
ba
ba é igual a zero............................................................... 24
AULA 4 ........................................................................................................................... 27
3.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS .................................................................................... 27
3.4.1 Fator Integrante ................................................................................................... 29
AULA 5 ........................................................................................................................... 32
3.5 EQUAÇÕES LINEARES: .................................................................................................... 32
3.5.1 Fator Integrante: .................................................................................................. 32
3.5.2 Substituição ou de Lagrange: .............................................................................. 34
3.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: ................................. 36
3.6.1 Equações de Bernoulli: ......................................................................................... 36
AULA 6 ........................................................................................................................... 39
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4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS ..................................... 39
4.1 MODELO MATEMÁTICO ................................................................................................. 39
4.2 DINÂMICA POPULACIONAL .............................................................................................. 40
4.3 MEIA VIDA .................................................................................................................. 42
4.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO ............................................................................................. 44
4.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO .......................................................................................... 44
4.6 RESFRIAMENTO ............................................................................................................ 45
4.7 MISTURAS ................................................................................................................... 47
4.8 DRENANDO UM TANQUE ................................................................................................ 49
4.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA ..................................................................................... 51
4.10 CORPOS EM QUEDA ....................................................................................................... 53
4.10.1 Corpos em queda e a resistência do ar .............................................................. 55
4.11 CORRENTE DESLIZANTE .................................................................................................. 57
4.12 CIRCUITOS EM SÉRIE ...................................................................................................... 59
AULA 7 ........................................................................................................................... 61
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR ................. 61
5.1 EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES ..................................... 63
5.1.1 Caso 1: Raízes Reais Distintas. ............................................................................. 64
5.1.2 Caso 2: Raízes Múltiplas. ..................................................................................... 64
5.1.3 Caso 3: Raízes complexas distintas. ..................................................................... 65
5.2 EULER - CAUCHY........................................................................................................... 67
AULA 8 ........................................................................................................................... 70
5.3 EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS .......................................................................... 70
5.3.1 Solução por coeficientes a determinar (Descartes): ............................................ 70
AULA 9 ........................................................................................................................... 73
5.3.2 Solução por variação de parâmetros ................................................................... 73
AULA 10.......................................................................................................................... 76
5.3.3 Método do Operador Derivada ............................................................................ 76 5.3.3.1 Definição ..................................................................................................................................................76 5.3.3.2 Propriedades ............................................................................................................................................76 5.3.3.3 Equações Diferenciais ..............................................................................................................................76 5.3.3.4 Operador Anulador ..................................................................................................................................77 5.3.3.5 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores ....................................................................78 5.3.3.6 Resolução de Equações Lineares..............................................................................................................79
AULA 11.......................................................................................................................... 82
6. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR ...................... 82
6.1 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: ......................................... 82
6.1.1 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre não amortecido .................................... 82 6.1.1.1 ED do Movimento Livre não amortecido: ................................................................................................83 6.1.1.2 Solução e Equação do Movimento: ..........................................................................................................83
6.1.2 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido .......................................... 85 6.1.2.1 ED do Movimento Livre Amortecido: .......................................................................................................85
6.1.3 Sistema Massa Mola: Movimento Forçado ......................................................... 87 6.1.3.1 ED do Movimento Forçado com Amortecimento: ...................................................................................87 6.1.3.2 ED de um Movimento Forçado Não Amortecido: ....................................................................................88
6.1.4 Circuito em Série Análogo - Circuitos elétricos RLC em série ............................... 89
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6.2 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO............................................... 90
6.2.1 Deflexão de uma viga: ......................................................................................... 90 6.2.1.1 Soluções Não Triviais do Problema de Valores de Contorno: ...................................................................92 6.2.1.2 Deformação de uma Coluna Fina: ............................................................................................................93 6.2.1.3 Corda Girando: .........................................................................................................................................94
AULA 12.......................................................................................................................... 97
7. TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................................. 97
7.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 97
7.1.1 Definição: ............................................................................................................. 97
7.1.2 Definição: ........................................................................................................... 101
7.2 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE .............................................................. 102
7.3 TRANSFORMADA INVERSSA DE LAPLACE .......................................................................... 103
7.3.1 Método das frações parciais .............................................................................. 103
7.3.2 Método do Complemento do Quadrado ............................................................ 103
AULA 13........................................................................................................................ 108
7.4 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS ..................................................................... 108
7.5 TRANSFORMADA DE DERIVADAS ..................................................................................... 109
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AULA 1
REVISÃO DE INTEGRAIS
Resolva as seguintes integrais:
1) dxx )13( R: Cxx
2
3 2
2) dxx
x
4= R: Cxx 48
3
2
3)
dxx
x2
2 )1( R: C
xx
1
4)
21 x
dx R: Carcsenx
5)
dxx
x21
R: Cx 21ln2
1
6) )1( 2xx
dx R: C
x
x
1ln
2
12
2
7)
21 x
dx R: Cx arctan
8) 42x
dx R: C
x
x
2
2ln
4
1
9) x
dx
3 R: C
x
3
1ln
10)
dxx
x3
21 R: Cx
x ln
2
12
11)
dxx
x3
2 )1( R: Cx
x ln
2
12
12) dxx
x
tan
sec2
R: Cx tanln
13)
dx
ax
ax22
22
R: Cax
axax
ln
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6
14)
dx
ax
ax22
22
R: Ca
xax arctan2
15) dxxe x3 R: Cxe x 13
9
1 3
16)
dx
xx
x
12
12
R: Cxx 12ln2
1 2
17)
dx
xx
xx32
2
31
2 R: Cxx 13ln
3
1 23
18)
dx
x
x21
1 R: Cxx arctan1ln
2
1 2
19)
22 31231
3
xx
xdx R: Cx 231ln 2
20)
dx
x
x
35
13 R: Cxx 35ln
25
4
5
3
21)
dx
xx
x
145
152
R: Cxxx )25arctan(145ln2
1 2
22)
dx
x
x
10
12 R: Cxx 10ln212
23) dxxe x )2.(1
ln
R: Cxx 2ln
24)
dxx
xe x
2
arctan
1
arctan. R: Cex x arctan.1arctan
25) xdxe x sin.cosln R: C
x
2
sin 2
26) dxxe x )2( 32
R: Cex x 2
).1( 2
27)
dxxxe x
64
)123(4 22
R: Cxxe x
4
3
22
3
16
22
28) dxxe x )4.( 22 R: Cexx x 22 ).122(
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AULA 2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1.1 INTRODUÇÃO
Antes de mais nada, vamos recordar o que foi aprendido em Cálculo!!! A derivada dxdy
de uma função nada mais é do que uma outra função encontrada por uma regra
apropriada. Como por exemplo, a função é diferenciável no intervalo , e a sua
derivada é 23.
3
xedx
dy x . Se fizermos3xey teremos:
23. xydx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equação (1) e perguntasse qual é a função
representada por y? Apesar de você não fazer ideia de como ela foi construída, você está a frente de
um dos problemas básicos desta disciplina: como resolver essa equação para a desconhecida função
? O problema é semelhante ao familiar problema inverso do cálculo diferencial, onde
dada uma derivada, encontrar uma antiderivada.
Não podemos deixar de lado a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm
significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são:
a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por
exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades
puramente matemáticas;
a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os
pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma
função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza;
a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que
envolve uma grandeza;
o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura;
consequentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo);
se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se:
dx
dy
em total semelhança com a definição de derivada. A consequência direta desse fato é que a
derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse
quociente. Isto significa que a partir da relação:
)(xfdx
dy
é possível escrever:
dxxfdy )(
que se denomina equação diferencial.
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8
uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção
da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral.
1.2 Definição
Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou
diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial.
1) 13 xdx
dy
2) 0 ydxxdy
3) 0232
2
ydx
dy
dx
yd
4) xyyy cos')"(2'" 2
5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x
6) yxdt
dy
dt
dx35
7) yxy
z
x
z
2
2
2
2
2
8) y
zxz
x
z
1.3 CLASSIFICAÇÃO
1.3.1 TIPO:
Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis
dependentes em relação a uma única variável independente, como em (1) a (6), as derivadas são
ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária (EDO). Uma ED pode conter
mais de uma variável dependente, como no caso da equação (6)
Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de
duas ou mais variáveis independentes, como em (7) e (8), a equação é denominada equação
diferencial parcial (EDP). As equações diferenciais parciais não serão vistas neste curso.
1.3.2 ORDEM:
A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As
equações (1), (2) e (6) são de primeira ordem; (3), (5) e (7) são de segunda ordem e (4) é de terceira
ordem.
1.3.3 GRAU:
O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como
um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equações dos
exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo grau.
1
3
33
3
dx
yd
y
dx
ydx
3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx
3
a ordem e 2
o grau
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9
yxdx
dy 2lnln y
x
dx
dy
2
ln yedx
dy
x.
12
yexdx
dy 2 1a ordem e 1
o grau
Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato
quanto a ordem e grau.
1.3.4 LINEARIDADE:
Dizemos que uma equação diferencial ordinária
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
de ordem n é linear quando são satisfeitas as seguintes condições:
1) A variável dependente y e todas as suas derivadas nyyy ,,",' são do primeiro grau, ou
seja, a potência de cada termo envolvendo y é um.
2) Os coeficientes naaa ,,, 10 de nyyy ,,",' dependem quando muito da variável
independente x .
Exemplos:
a) 08)( xdydxxy
b) 072
2
ydx
dy
dx
yd
c) xydx
dyx
dx
yd245
3
3
São respectivamente equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e
terceira ordem.
1.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:
Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como
Cxxy 4 ou BxAxy 2
, é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre
aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um
número menos de constantes.
Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma
equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se
as n constantes entre as )1( n equações obtidas juntando-se à primitiva as n equações provenientes
de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da primitiva.
Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo:
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
10
a) Cxx
y 2
3 2
b) xCsenxCy cos21
c) 2Cxy
d) 22
1 CxCy
e) xx eCeCy 2
23
1
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
11
2. RESOLUÇÃO
Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a
equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa
identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira,
que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além
de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e
consiste na aplicação dos métodos de integração.
2.1 CURVAS INTEGRAIS:
Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução
particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da
equação diferencial.
Cxy
xdx
dy
2
2
2.2 SOLUÇÃO:
É a função que quando substituída na equaçãodiferencial a transforma numa identidade. As
soluções podem ser:
Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de
uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades
de ordem da equação.
Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições
iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante
inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os
valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos.
Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à
envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A
solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais
não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante.
As soluções ainda podem ser:
Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy é
chamada solução explícita.
Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma 0)y,x(G
trata-se de uma solução implícita.
Exemplo:
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
12
Consideremos a resolução da seguinte EDO: xdx
dy 1
cxxy
dxxdy
23
3
2
1
A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita.
Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO:
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como solução: x
y
Cey , ou seja, uma solução implícita.
Exemplo:
Verifique que 16
xy
4
é uma solução para a equação 21
xydx
dy no intervalo ),( .
Resolução:
Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma solução é escrever a equação
diferencial como 0xydx
dy 21
e verificar, após a substituição, se a diferença acima 21
xydx
dy é
zero paratodo x no intervalo.
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na E.D., temos
044
044
0164
332321
43
xxxx
xxx
x
Esta condição se verifica para todo Rx
2.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equação diferencial de primeira ordem ),( yxfdx
dy sujeita a condição inicial
00 y)x(y , em que 0x é um número no intervalo I e 0y é um número real arbitrário, é chamado de
problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação
diferencial definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto (xo, yo)
determinado a priori.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
13
Seja xe.cy a família a um parâmetro de soluções para y'=y no intervalo ),( . Se
especificarmos que y(0) = 3, então substituindo x = 0 e y = 3 na família, temos: x0 e.3ye3ce.c3
Se especificarmos que y(1) = 3, então temos: 1xx111 e3ye.e3yee.3ce.c3
Será que a equação diferencial )y,x(fdx
dy possui uma solução cujo gráfico passa pelo
ponto (xo, yo)? Ainda, se esta solução existir, é única?
As funções y = 0 e 16
xy
4
são soluções para o problema de valor inicial
0)0(y
xydx
dy 21
Podemos observar que o gráfico destas soluções passam pelo ponto (0,0). Desta forma,
deseja-se saber se uma solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema.
2.4 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO
Seja R uma região retangular no plano xy definida por bxa , dyc , que contém o
ponto )y,x( 00 em seu interior. Se )y,x(f e dy
df são contínuas em r, então existe um intervalo I,
centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)y,x(fdx
dy , sujeito a 00 y)x(y .
Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO.
1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?
2. Se tiver solução, será que esta solução é única?
3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial?
Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução
que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas
características.
Teorema: Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxpdx
dy
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
14
Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , então o problema de
valor inicial tem uma única solução nesse intervalo.
Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo ―similar‖ ao
cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o
caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais
possuam soluções.
3. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
São equações de 1a ordem e 1
o grau:
),( yxFdx
dy
ou 0NdyMdx
em que M = M(x,y) e N = N(x,y).
Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞)
3.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
A equação diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM será de variáveis separáveis se:
M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.
M e N forem produtos de fatores de uma só variável.
Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP , a
equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.
3.1.1 RESOLUÇÃO:
Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos
separar as variáveis, isto é, deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
função exclusivamente da variável y, e então integramos cada diferencial, da seguinte forma:
CdyyQdxxP ).().(
Exemplos: Resolver as seguintes equações:
1) 13 xdx
dy
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15
2) 0 xdyydx
3) 04
dyy
xxdx
4) 0secsec. xdytgyydxtgx
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
16
5) 01)1( 222 dyxdxyx
6) xyx
y
dx
dy
)1(
12
2
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
17
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
8) Resolva o problema de valor inicial
AULA 2 - EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 12, obter a equação diferencial associada a primitiva:
1) 222 Cyx
2) xCey
3) )( 223 yxCx
4) xCxCy 2sin2cos 21
5) 321 )( CexCCy x
6) xx eCeCy 2
21
7) ayy
x1ln
8) Cyxyx 5332
9) CBxAxy 2
10) CBeAey xx 2
11) xxx eCeCeCy 3
22
31
12) BAxy 2ln
1)0(,42 yydx
dy
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
18
13) Obter a equação diferencial da família de
círculos de raio 10, cujos centros estejam
sobre o eixo y.
Nos exercícios 14 a 27 resolva as EDO.
14) 0.1
dx
dytgy
x
15) 0)1(4 22 dyxdxxy
16) 0)3()2( dyxdxy
17) 0)1( 2 dyxxydx
18) 42
2
x
e
dx
dy y
19) 0)1()1( 3232 dyxydxyx
20) dx
dyxyy
dx
dyxa
2
21) 0tansectansec 22 xdyyydxx
22) (x2 + a
2)(y
2 + b
2)dx + (x
2 – a
2)(y
2 – b
2)dy = 0
23) 0)1( ydxdyx
24) 0)1( 2 xydxdyx
25) 0cos xydx
dy
26) xydx
dycos3
27) 0)2(324
dyeydxxyx
Respostas: 1) 0 ydyxdx
2) 0 ydx
dy
3) dx
dyxyxy 23 22
4) 042
2
ydx
yd
5) 022
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 022
2
ydx
dy
dx
yd
7) 0ln ydx
dy
y
xx
8) 05332 2
dx
dyxyxy
dx
dyxy
9) 03
3
dx
yd
10) 0232
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
11) 061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
12) 2" ' ( ') 0xyy yy x y
13) 2
22
100 x
x
dx
dy
14) x cos y = C
15) Cy
1)1xln(2 2
16) (2 + y)(3 – x) = C
17) C y2 = 1 + x
2
18) C2
xarctge y2
19) Cy
1
x
1
2
1
y
xln
22
20)
yy
k
a a
ex
ln
2
21) tg x . tg y = C
22) Cb
yarctg.b2y
ax
axlnax
23) y = c(x – 1)
24) C.x1y 2
25) senxe
Ky
26) senxCey 3
27) Cy
6
y
9)1x3(e
3
x3
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
19
AULA 3
3.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS
3.2.1 FUNÇÃO HOMOGÊNEA
Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t R, vale a
relação f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t R, vale
a relação f(tx, ty) = f(x, y)
Exemplos:
1) A função f(x, y) = x2 + y
2 é homogênea de grau 2,
pois )y,x(ft)yx(tytxt)ty()tx()ty,tx(f 2222222222
2) 4y
x)y,x(g
2
2
é homogênea de grau zero pois,
)y,x(ft4y
xt4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()ty,tx(g 0
2
20
2
2
22
22
2
2
3) f(x,y) = 2x3 + 5xy
2 é homogênea de grau três pois,
)y,x(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)y,x(f 3233233323
Exemplo:
Seja 22 yxy3x)y,x(f homogênea de grau 2. Logo,
x
y,1fx
x
y
x
y.31x
x
y
x
y31x)y,x(f 2
22
2
22
1,
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)y,x(f 2
22
2
22
3.2.2 EQUAÇÃO HOMOGÊNAS
A equação 0dy)y,x(Ndx)y,x(M será chamada de equação diferencial homogênea se
M e N forem funções homogêneas de mesmo grau.
Exemplos:
1) xy
yx
dx
dy 22
2) 2
2
'y
xy
3)
x
yarctgy'
3.2.2.1 Resolução:
Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
20
Tem-se:
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia
igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x.
x
yF
dx
dy (1)
É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar as
variáveis.
Dessa forma, substitui-se x
y por u.
xuy . (2)
Derivando y=x.u em relação ax tem-se
dx
duxu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1), temos:
x
dx
uuF
du
uuFdx
dux
uFdx
duxu
)(
)(
)(
Que é uma equação de variáveis separáveis.
Em resumo:
Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma equação
de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma nova função incógnita.
Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x, y) pode ser transformada em uma equação
separável.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
21
Exemplo:
02)( 22 xydydxyx
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
22
3.3 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES
REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS
São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em equações
homogêneas ou em equações de variáveis separáveis.
São equações da forma:
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes.
Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das
variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que equivale a efetuar uma translação de
eixos.
Para esse tipo de equação tem dois casos a considerar:
3.3.1 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba É DIFERENTE DE ZERO
Resolução:
Seja o sistema (1)
0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja solução é dada pelas raízes αx e βy .
A substituição a ser feita será:
dvdyvy
dudxux
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
23
Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translação dos eixos coordenados para
o ponto ( , ) que é a interseção das retas componentes do sistema (1), o que é verdadeiro, uma
vez eu o determinante considerado é diferente de zero.
Assim sendo, a equação transformada será:
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
Como e são as raízes do sistema:
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
que é uma equação homogênea do tipo visto anteriormente.
Exemplo:
Resolver a equação23
132
yx
yx
dx
dy
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
24
3.3.2 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba É IGUAL A ZERO.
Assim, observe-se que o método aplicado no 1o caso não fará sentido, de vez que as retas
no sistema seriam paralelas e sua interseção seria verificada no infinito (ponto impróprio). A
equação se reduzirá a uma de variáveis separáveis.
Como 22
11
ba
ba = 0, os coeficientes de x e y são proporcionais, de modo que se pode
escrever:
2221 baba 1
2
1
2
b
b
a
a
(1)
Chamando a relação constante (1) de m, pode-se escrever:
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a
12
12
mbb
maa
Assim:
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
Fazendo tybxa 11 , e sendo )(xft , tem-se:
)(1
1
1
xatb
y
Derivando em relação a x:
1
1
1a
dx
dt
bdx
dy
Equação transformada:
2
11
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
)(11 tGbadx
dt
que é uma equação de variáveis separáveis.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
25
Exemplo: Resolver a equação 136
12
yx
yx
dx
dy
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
26
AULA 03 – EXERCÍCIOS
Resolva as seguintes equações:
1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0
2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y
2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y – x) dy = 0
5) (x2 + y
2) dx – xy dy = 0
6) 044
2
2
2
2
dx
dyyxy
dx
dyy
7) Determine a solução de (x2 – 3y
2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condição inicial 1)2(y .
8) Determine a solução de 0xydy6dx)y3x2( 22 sujeita a condição inicial
3
1)1(y
9) 0dy)1yx3(dx)y3x2(
10) 0dy)5yx2(dx)4y2x(
11) 0dy)8y5x(dx)xy3(
12) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(
13) yx1
y3x31
dx
dy
14) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(
15) 2y4x3
1y3x
dx
dy
Respostas:
1) y2 + 2xy – x
2 = K
2) Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy
2 + x
3 = k
4)
Cx
yarctgyx
ou
x
yarctgyxC
22
22
1
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7) xxy8
31
8) 1xy9x2 23
9) 2x2 – 6xy + y
2 + 2y = K
10) (y – x + 1)3 = K(x + y – 3)
11) k212x
)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22
12) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y – 7) + C
13) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K
14) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C
15) x2 - 4y
2 - 6xy - 2x + 4y = K
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
27
AULA 4
3.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata, se
existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária e
suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que:
x
N
y
M
Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução, cuja
diferencial dada por:
dyy
udx
x
udu
(2)
Então, comparando (1) e (2) teremos:
),( yxMx
u
(3)
e
),( yxNy
u
(4)
Para obtermos a sua solução ),( yxfu deveremos integrar, por exemplo,a expressão
(3), em relação à variável x, da qual teremos
)(),(),( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos:
)('),(
ygy
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta:
),()('),(
yxNygy
dxyxM
.
Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos:
1
),(),()( Cdy
y
dxyxMyxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é:
Cdyy
dxyxMyxNdxyxMyxf
),(
),(),(),(
Logo, a solução é da forma
Cdy
y
PNMdxyxU ),(
onde costuma-se denotar MdxP
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
28
Exemplos:
1) 02)( 22 xydydxyx
2) 0)23()12( dyyxdxyx
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
29
3.4.1 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: x
N
y
M
.
Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao multiplicar toda
a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta é uma ED exata.
Se ela é exata, existe cteyxu ),( e MFdx
u.
e NF
dy
u.
Tomando a condição de exatidão FNdx
FMy
Fx
NN
x
FF
y
MM
y
F
e achar F por aqui é loucura!!!!!!!
Vamos supor então que F(x,y) = F(x)
x
NFN
x
F
y
MF
dividindo tudo por FN 0 e organizando, temos:
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo: dxx
N
y
M
NdF
F
11
integrando: CdxxRF )(ln
dxxRexF
)(.)(
onde:
x
N
y
M
NxR
1)(
analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos:
dyyReyF
)(.)(
onde:
x
N
y
M
MxR
1)(
Em resumo:
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
30
Quando a expressão Mdx + Ndynão é diferencial exata, isto é, x
N
y
M
, mostra-se que há
uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF é uma diferencial exata.
A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante.
F(x): F(y):
x
N
y
M
NxR
1)(
x
N
y
M
MyR
1)(
dxxR
exF)(
)(
dyyR
eyF)(
)(
Exemplos:
Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator
integrante.
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
31
2) (x2 – y
2) dx + 2xy dy = 0
AULA 04 – EXERCÍCIOS
1) (x3 + y
2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xe
y – 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy
5) 0)( 22 drrdre
6) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
7) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
8) seny dx + cos y dy = 0
9) Encontre a solução particular de
dx)yx(xydy2 22 para 2)1(y
10) 0xdy2dx)xy( 2
11) 0xdylnxdx)yx(
Respostas:
1) Ksenyxyx
24
4
2) Cyxey 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5) Kre 22
6) x2 cos y + x
4 = C
7) Ctgyex 2
8) Ceseny x .
9) xxy 32
10) k5
x2xy2
25
11) kxlnyx
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
32
AULA 5
3.5 EQUAÇÕES LINEARES:
Uma equação diferencial linear de 1a ordem e 1
o grau tem a forma:
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x) 0, a equação é
dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais
desse tipo a saber:
3.5.1 FATOR INTEGRANTE:
Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo diferencial
exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à equação original de
nosso problema:
QPydx
dy
Vamos reescrever esta última sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdx
e (fator integrante) obtemos a expressão
0 dyedxQPyePdxPdx
. Aqui, identificamos as funções ―M‖ e ―N‖:
QPyeMPdx
e
Pdx
eN
Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos:
PdxPe
y
Me
Pdx
Pex
N
confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
33
Exemplo1:
Resolver a equação 2 xx
y
dx
dy por fator integrante:
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
34
3.5.2 SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE:
Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemático francês: 1736-1813)
criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais. O
método consiste na substituição de ―y‖ por ―Z.t‖ na equação (1), onde t = (x) e Z= )(x , sendo Z
a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t.
Derivando em relação a x, tem-se:
dx
dZt
dx
dtZ
dx
dy (2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter:
QPZtdx
dZt
dx
dtZ
Qdx
dZtPt
dx
dtZ
(3)
Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber:
i) P = 0, então dy = Qx, logo, CQdxy (4)
ii) Q = 0, então 0 Pydx
dy (equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de
variáveis separáveis. Daí, 0 Pdxy
dy. Integrando essa última, resulta em PdxCyln .
Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução PdxCPdxC
eeey . Fazendo
Cek , temos Pdx
key (5) que representa a solução da equação homogênea ou incompleta.
Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para ―t‖ e ―Z‖, uma vez que y=Z.t, teremos a
solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao resto da equação,
possibilitando a determinação de Z uma vez que ―t‖ pode ser determinado a partir desta condição.
Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 0 Ptdx
dt (6), que é da
mesma forma já estudada no caso ii. Assim, Pdx
ket . Substituindo este resultado em Qdx
dZt
obtemos Qdx
dZke
Pdx
. Daí, Qekdx
dZ Pdx1
e Qdxek
dZPdx
1. Integrando este último
1(Turim, 25 de janeiro de 1736 — Paris, 10 de abril de 1813)foi um matemático francês de origem italiana criador da Mecânica Analítica e
dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
35
resultado, temos CQdxek
ZPdx
1
(7). Lembrando que y = Z.t, vamos obter, substituindo ―t‖ e
―Z‖:
CQdxek
keyPdxPdx 1
, onde resulta, finalmente em:
Cdx.Q.eeyPdxPdx
(8)
que é a solução geral da equação (1)
Exempo 2:
Resolver a equação 2 xx
y
dx
dy por Lagrange
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
36
3.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A
LINEARES:
Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existemalgumas delas que
mesmo sendo não lineares, podem ser transformadasem equações lineares. Os principais tipos de
tais equações são:
3.6.1 EQUAÇÕES DE BERNOULLI:
Equação da forma:
nyxQyxP
dx
dy)()(
(1)
para 1n e 0n , onde P(x) e Q(x) são funções continuas conhecidas como equação de Bernoulli2.
Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição na equação acima, demodo a transformá-la em uma
EDO linear.
Pois, se:
n = 0 y’ + P(x)y = g(x) caso anterior
n = 1 y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 caso anterior e homogênea
Solução:
Transformação de variável:
Substitui por ty n 1
Deriva-se em relação a x:
dx
dt
dx
dyyn n )1(
(2)
Substituindo (1), que é:
nQyPy
dx
dy PyQy
dx
dy n
em (2) temos:
dx
dtPyQyyn nn )1(
dx
dtPyQn n 11
Como ty n 1, temos:
2Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 27 de Dezembro de 1652 - Basileia, 16 de agosto de 1705), foi o
primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
37
dx
dtPtQn ))(1(
QntPndx
dt)1(])1[(
Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior.
Exemplo:
232
xyx
y
dx
dy
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
38
AULA 5 – EXERCÍCIOS
1) 0cot
x
x
x
y
dx
dy
2) xydx
dyx arctan)1( 2
3) xyxdx
dycos.tan
4) xx
y
dx
dy
5) 32
xx
y
dx
dy
6) xxydx
dysintan
7) Achar a solução particular para 0)0(y
em x
xydx
dy
cos
1tan.
8) Resolver o problema de valor inicial
3)0(,2 yxxydx
dy
9) 33 yxxy
dx
dy
10) xyydx
dyx ln2
11) 33 yxydx
dyx
12) yxyxdx
dy
4
13) 02 2 xydx
dyxy
14) 3xyxy2dx
dy
15) 2xyyx
1
dx
dy
Respostas:
1) Cxx
y )ln(sin1
2) xeCxy arctan.1arctan
3) xCxxy sec2sin4
1
2
11
4) 2xCxy
5) 2
4
6
1
x
Cxy
6)
C
xxy
2
sinsec
2
7) x
xy
cos
8) 2xe
2
7
2
1y
9) 2
.1
1
2 xeCx
y
10) Cxex
y
).ln(
1
11) 1.2 2223 yxCyx
12)
2
4 ln2
1
Cxxy
13) x
Cxy ln.2
14) Ke
ey
x
x
2
2
2
22 2
15) Cxx
y
2
1
16)
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
39
AULA 6
4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS
MATEMÁTICOS
4.1 MODELO MATEMÁTICO
É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da
vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. A
descrição matemática de um sistema ou fenômeno, chamada de modelos matemáticos é construída
levando-se em consideração determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramos compreender os
mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populações
animais nesse sistema ou datar fósseis por meio da análise do decaimento radioativo de uma
substância que esteja no fóssil ou no extrato no qual foi descoberta.
A construção de um modelo matemático de um sistema começa com:
i. a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a
principio optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo. Nesta etapa,
estamos especificando o nível de resolução do modelo.
A seguir,
ii. elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o sistema
que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer
leis empíricas aplicáveis ao sistema.
Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável nos contentarmos com um modelo
de baixa resolução. Por exemplo, você provavelmente já sabe que, nos cursos básicos de Física, a
força retardadora do atrito com o ar é às vezes ignorada, na modelagem do movimento de um corpo
em queda nas proximidades da superfície da Terra, mas e você for um cientista cujo trabalho é
predizer precisamente o percurso de um projétil de longo alcance, terá de levar em conta a
resistência do ar e outros fatores como a curvatura da Terra.
Como as hipóteses sobre um sistema envolvem freqüentemente uma taxa de variação de
uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais
equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação
diferencial ou um sistema de equações diferenciais.
Depois de formular um modelo matemático, que é uma equação diferencial ou um sistema
de equações diferenciais, estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvê-
lo. Se pudermos resolvê-lo, julgaremos o modelo razoável se suas soluções forem consistentes com
dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema. Porém, se as
predições obtidas pela solução forem pobres, poderemos elevar o nível de resolução do modelo ou
levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança no sistema. As etapas do processo de
modelagem são então repetidas, conforme disposto no seguinte diagrama.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
40
Naturalmente, aumentando a resolução aumentaremos a complexidade do modelo
matemático e, assim, a probabilidade de não conseguirmos obter uma solução explícita.
Um modelo matemático de um sistema físico frequentemente envolve a variável tempo t.
Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores da
variável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e
futuro.
4.2 DINÂMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
de matemática foi feito pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a idéia por
trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um pais
cresce em um determinado instante é proporcional a população total do pais naquele instante. Em
outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Em
termos matemáticos, se P(t) for a população total no instante t, então essa hipótese pode ser
expressa por:
kxdt
dx , 00
)( xtx ktexx .
0
(1)
onde k é uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenômenos
envolvendo crescimento ou decaimento.
Conhecendo a população em algum instante inicial arbitrário t0, podemos usar a solução de
(1) para predizer a população no futuro, isto é, em instantes t > t0.
O modelo (1) para o crescimento também pode ser visto como a equação rSdt
dS , a qual
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r é composta continuamente.
Exemplo:
Em uma cultura, há inicialmente x0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias
passa a ser 3/2 x0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes,
determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
41
Resolução:
x(to) = x0
x(t1) = 2
3xo
kdtx
dx
kxdt
dx
Integrando com relação a x a equação acima,temos:
kdtx
dx
lnx = kt + c
lnx – ln c = kt
lnc
x= kt
ekt =
c
x
x = c.ekt
Para 0x)0(x equação anterior fica da seguinte forma:
0x
cex
0
00
Voltando para a equação e substituindo o valor de c
kt0exx
Para descobrirmos o valor de k, utilizamos x(1) = 2
3x0
4055,0k
k2
3ln
e2
3
e.xx2
3
k
1.k00
voltando novamente a equação, temos
t4055,0
0
kt0
exx
exx
para que o número de bactérias triplique,
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
42
7092,2t
098612,1t4055,0
t4055,03ln
e3
exx3
t4055,0
t4055,000
serão necessários 2,71 horas aproximadamente.
4.3 MEIA VIDA
Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-
vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou
se transmutar em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais
estável ela é.
Por exemplo, a meia do ultra radioativo rádio, Ra-226, é cerca de 1700 anos. Em 1700 anos,
metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em Radônio, Rn-222. O isótopo de urânio
mais comum, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse
tempo, metade de uma quantidade de U-238 é transmutada em chumbo, Pb-206.
A.Kdt
dA (2)
A(0) = A0 2
)( 0AtA kteAA .0
Exemplo:
Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos foi detectado que
0,043% da quantidade inicial A0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia vida desse isótopo se a
taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.
Resolução:
000
0
A99957,0A00043,0A15t
A0t
Resolvendo a equação:
kAdt
dA
kdtA
dA
ln A = kt + c
ktc
Aln
ktec
A
A = c.ekt
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
43
Sabendo que 0A)0(A , temos:
0
00
k00
Ac
ceA
ceA
0t
Para determinar k, usamos o fato de que que 0A99957,0)15(A , logo
A(t) = A0.ekt
A(15) = A0.e15k
A(t) = 2
0A
0,99957 A0 = A0.e15k teAtA
510.8867,2
0 .)(
Ln0,99957 = ln e15t 00002867,0
0
0 .2
eAA
-0,00043 = 15 k te 00002867,0
2
1
K = - 2,8667.10- 5
-0,6931 = - 0,00002867t
t = 24,180
t 24,180 anos
Voltando a equação, temos que:
t108667,20
0
5eA)t(A
2
A)t(A
Para descobrir a meia vida basta fazer:
37,179.24t
t108667,269315,0
t108667,25,0ln
e5,0
eA2
A
5
5
t108667,2
t108667,20
0
5
5
Logo o tempo de meia vida é de aproximadamente 24.180 anos
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
44
4.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO
O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e nêutrons. Muitas dessas
combinações são instáveis, isto é, os átomos decaem ou transmutam em átomos de outra substância.
Esses núcleos são chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o altamente
radioativo elemento rádio, Ra-226, transmuta-se no gás radônio radioativo, Rn-222. Para modelar o
fenômeno de decaimento radioativo, supõe-se que a taxa de dA/dtsegundo a qual o núcleo de uma
substância decai é proporcional a quantidade (mais precisamente, ao número de núcleos) A(t) de
substâncias remanescente no instante t:
A.Kdt
dA (2)
Naturalmente as equações (1) e (2) são iguais, a diferença reside apenas na interpretação dos
símbolos e nas constantes de proporcionalidade. Para o crescimento, conforme esperamos em (1),
k>0, para o decaimento, como em (2), k<0.
O modelo (2) para o decaimento também ocorre com aplicações biológicas, como a
determinação de meia vida de uma droga – o tempo necessário para que 50% de uma droga seja
eliminada de um corpo por excreção ou metabolismo. Em química, o modelo de dacaimento (2)
aparece na descrição matemática de uma reação química de primeira ordem, isto é, uma reação cuja
taxa ou velocidade dx/dt é diretamente proporcional à quantidade x de uma substância não
transformada ou remanescente no instante t.
A questão é que:
Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para vários
fenômenos diferentes.
4.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO
Por volta de 1950, o químico Willard Libby3 inventou um método para determinar a idade
de fósseis usando o carbono radioativo.
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 é
produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio.
A razão entre a quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera para ser uma
constante e, como consequência, a proporção da quantidade de isótopo presente em todos os
organismos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera.
Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação,
cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos,em um fóssil com a
razão constante na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil.
O método se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14, cerca de
5.600 anos.
O método de Libby tem sido usado para datar móveis de madeira em túmulos egípcios, o
tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmático sudário de
Turim.
3Willard Frank Libby(Grand Valley, 17 de Dezembro de 1908 — Los Angeles, 8 de Setembro de 1980) foi um químicoestadunidense.É reconhecido pela descoberta do método de datamento conhecido por datação por radiocarbono (carbono-14), recebendo por isto o Nobel de Química de 1960.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
45
Exemplo:
Um osso fossilizado contém um milésimo da quantidade original do C-14. Determine a
idade do fóssil.
Resolução:
A(t) = A0.ekt
5600.
0
0 .2
keAA
ke5600ln2
1ln
5600k = - 0,6931
K = - 0,000123776
A equação fica da seguinte forma:
A(t) = A0.e- 0,000123776t
teAA 000123776,0
00 .100
1
te 000123776,0ln100
1ln
- 0,000123776 t = - 6,9077
t = 55.808
A idade do fóssil é de aproximadamente 55.808 anos.
4.6 RESFRIAMENTO
De acordo com a Lei empírica de Newton do esfriamento/resfriamento, a taxa segundo a
qual a temperatura de um corpo varia é proporcional a diferença entre a temperatura de um corpo
varia proporcionalmente a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o
rodeia, denominada temperatura ambiente. Se T(t) representar a temperatura de um corpo no
instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia dT/dt a taxa segundo a qual a temperatura do
corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/resfriamento é convertida na sentença matemática
)TT(Kdt
dTm (3)
mkt TceT
onde k é uma constante de proporcionalidade. Em ambos os casos, esfriamento ou aquecimento, se
Tm for uma constante, é lógico que k<0.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
46
Exemplo:
Um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300ºF. Três minutos depois, sua
temperatura passa para 200ºF. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 75 graus, se a
temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ºF?
Resolução:
T(0) = 3000F )( mTTk
dt
dT
T(3) = 2000F )70( Tk
dt
dT
T(?) = 750
kdt
T
dT
)70(
Tm = 700 cktT )70ln(
ktc
T
70(ln
c
Tekt 70
A solução geral da ED é dada por:
70. ktecT
Sabendo que 300)0(T temos que:
T(0) = 3000
300 = C.ek.0
+ 70
C = 2300
Logo:
T = 230.ekt + 70
Temos ainda que 200)3(T , com isso:
200 = 230.e3k
+ 70
230 e3k
= 130
230
1303 ke
230
130lnln 3 ke
190181619,0k
570544858,0k3
A equação fica da seguinte forma:
70e230)t(T t19018,0
]
Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus,
70.23075 19018,0 te
230
707519018,0 te
- 0,19018t = ln230
5
t = 20,13
com isso, será necessário 20,13 minutos.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
47
4.7 MISTURAS
A mistura de dois fluidos algumas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor um grande tanque de mistura
contenha 300 galões de salmoura (isto é, água na qual foi dissolvida uma determinada quantidade
de libras de sal). Uma outra salmoura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de três galões
por minuto; a concentração de sal nessa segunda salmoura é de 2 libras por galão.Quando a solução
no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda
salmoura entrar. Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t, a
taxa segundo a qual A(t) varia será uma taxa liquida:
se RR
dt
dA
sal de
saída de Taxa
sal de
entrada de Taxa (4)
A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) é:
min/lb6)gal/kb2(.min)/gal3(R
salde
entrada de taxa
entrada de fluxo no
salde ãoConcentraç
salmourade
entrada de Taxa
e
Uma vez que a solução está sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma
taxa, o número de galões de salmoura no tanque no instante t é constante e igual a 300 galões.
Assim sendo, a concentração de sal no tanque e no fluxo de saída é de A(t)/300 lb/gal, e a taxa de
saída de sal Rs é:
min/100
/300
.min)/3(
sal de
saida de taxa
saída de fluxo no
sal de ãoConcentraç
salmoura de
saída de Taxa
lbA
gallbA
galRs
A equação (4)torna-se então:
100
6A
dt
dA (5)
Exemplo:
Dos dados do tanque acima considerado e da equação (4), obtemos a equação(5). Vamos
colocar agora a seguinte questão: se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galões iniciais,
quanto sal haveria no tanque após um longo período?
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
48
Resolução:
100
100100
100100
.600
600
6.
.
6100
1
1006
t
tt
tt
PdtPdt
eCA
CeeA
CdteeA
CQdteeA
Adt
dA
A
dt
dA
Para 50)0(A temos:
550
.60050 0
C
eC
Logo, a solução fica da seguinte forma:
100550600t
eA
A solução acimafoi usada para construir a seguinte tabela:
Além disso podemos observar que 600A quando t . Naturalmente, isso é o que
esperaríamos nesse caso; durante um longo período, o número de libras de sal na solução deve ser
(300 gal).(2lb/gal) = 600 lb.
Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a solução era bombeada para dentro
era igual à taxa segundo a qual ela era bombeada para fora. Porém isso não precisa ser assim; a
mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a
qual é bombeada para dentro. Por exemplo, se a solução bem misturada do exemplo acima for
bombeada para fora a uma taxa menor, digamos de 2 gal/min, o liquido acumulará no tanque a uma
taxa de (3 – 2) gal/min = 1gal/min. Após t minutos, o tanque conterá 300 + t galões de salmoura. A
taxa segundo a qual o sal sai do tanque é então:
gallb
t
AgalRs /
300min)./2(
Logo, a Equação (4) torna-se:
t300
A26
dt
dA
ou 6A
t300
2
dt
dA
t(min) A(lb)
50 266,41
100 397,67
150 477,27
200 525,57
300 572,62
400 589,93
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
49
Você deve verificar que a solução da última equação, sujeita a A(0)=50, é:
27 )300)(1095,4(2600)( tttA
4.8 DRENANDO UM TANQUE
Em hidrodinâmica, a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de água em um
buraco com bordas na base de um tanque cheio até a uma altura h é igual a velocidade com que um
corpo (no caso, uma gota d’agua) adquiriria em queda livre de uma altura h, isto é, ghv 2 , onde
g é a aceleração devida a gravidade. Essa última expressão origina-se de igualar a energia cinética
2
2
1mv com a energia potencial mgh e resolver para v. Suponha que um tanque cheio com água seja
drenado por meio de um buraco sob a influência da gravidade.
Gostaríamos de encontrar a altura h de água remanescente no
tanque no instante t.
Considere o tanque ao lado:
Se a área do buraco for Ah (em pés quadrados) e a velocidade de
saída da água do tanque for ghv 2 (em pés/s), o volume de saída
de água do tanque por segundo é ghAh 2 (em pés cúbicos/s).
Assim, se V(t) denotar o volume de água no tanque no instante t,
ghAdt
dVh 2 (6)
onde o sinal de subtração indica que V está decrescendo. Observe aqui que estamos ignorando a
possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma redução na taxa de fluxo. Agora, se o tanque
for tal que o volume de água em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( , onde wA
(em pés quadrados) é a área constante da superfície de água, então dt
dhA
dt
dVw .
Substituindo essa última expressão em (6), obtemos a equação diferencial desejada para a
altura de água no instante t:
ghA
A
dt
dh
w
h 2 (7)
É interessante notar que (7) permanece válida mesmo quando Aw não for constante. Nesse
caso, devemos expressar a superfície superior da água como uma função de h, isto é, Aw = A(h).
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
50
Exemplo:
Um tanque contém inicialmente 100 galões de salmoura com 20 lbs de sal. No instante t = 0,
começa-se a deitar no tanque água pura à razão de 5 gal/min, enquanto a mistura resultante se escoa
do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t.
Resolução:
Temos a seguinte equação para resolver tal problema:
Logo, tem-se que:
A solução desta equação é:
(1)
Quando 0t , sabemos que 20 aQ . Levando esses valores em (1), encontramos
20c , de modo que (1) pode ser escrita como:
Note-se que quando como era de se esperar, pois só se adiciona água
pura no tanque.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
51
4.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA
Uma doença contagiosa, por exemplo, um vírus de gripe, espalha-se em uma comunidade
por meio do contato entre as pessoas. Seja x(t) o número de pessoas que contraíram a doença e y(t)
o número de pessoas que ainda não foram expostas. É razoável supor que a taxa dx/dt segundo a
qual a doença se espalha seja proporcional ao número de encontros ou interações entre esses dois
grupos de pessoas. Se supusermos que o número de interações é conjuntamente proporcional a x(t) e
a y(t), isto é, proporcional ao produto xy, então:
kxydt
dx (8)
ondek é a constante de proporcionalidade usual. Suponha que uma pequena comunidade tenha uma
população fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade, pode-se
argumentar que x(t) e y(t) são relacionadas por 1nyx . Usando essa última equação para
eliminar y em (8), obtemos o modelo
)1( xnkxdt
dx (9)
Uma condição óbvia que acompanha a equação (9) é x(0) = 1.
Exemplo:
Cinco ratos em uma população estável de 500 são intencionalmente infectados com uma
doença contagiosa para testar uma teoria de disseminação de epidemia, segundo a qual a taxa de
variação da população infectada é proporcional ao produto entre o número de ratos infectados e o
número de ratos sem a doença. Admitindo que essa teoria seja correta, qual o tempo necessário para
que metade da população contraia a doença?
Resolução:
Sendo N(t) o número de ratos infectados no instante t. e 500 – N(t) é o número de
ratos sem a doença no instante t. Pela teoria
Essa equação é diferente da usada até aqui, pois a taxa de variação não é mais
proporcional a apenas o número de ratos que possuem a doença. Dessa forma a diferencial é
Sendo uma equação ainda separável, e aplicando decomposição em frações parciais, temos:
Substituindo então temos
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
52
(
)
Integrando:
∫
(
) ∫
∫
∫ ∫
(
)
(
)
Se em t=0, N=5, temos que
Então:
Para que N = 250, no tempo t, temos que
Sendo o valor numérico da constantes da proporcionalidade k, temos que:
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
53
4.10 CORPOS EM QUEDA
Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força,
em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton. Lembre-se da física elementar que
a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou
continuará movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre ele uma força
externa. Em cada caso, isso equivale a dizer que, quando a soma das forças kFF isto é, a
força liquida ou resultante, que age sobre o corpo for diferente de zero, essa força líquida será
proporcional a sua aceleração a ou, mais precisamente, F = m.a, onde m é a massa do corpo.
Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um prédio, conforme
ilustrado na figura abaixo:
Qual a posição s(t) da pedra em relação ao chão no
instante t? A aceleração da pedra é a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direção para
cima e que nenhuma outra força além da gravidade age
sobre a pedra, obteremos a segunda lei de Newton
mgdt
sdm
2
2
ou gdt
sd
2
2
(10)
Em outras palavras, a força liquida é simplesmente
o peso F= F1 = - W da pedra próximo á superfície da
Terra. Lembre-se de que a magnitude do peso é W = mg,
onde m é a massa e g é a aceleração devida a gravidade. O
sinal de subtração foi usado em (10), pois o peso da pedra
é uma força dirigida para baixo, oposta a direção positiva.
Se a altura do prédio é s0 e a velocidade inicial da pedra é
v0, então s é determinada, com base no problema de valor
inicial de segunda ordem
gdt
sd
2
2
, 0)0( ss , 0)0(' vs (11)
Embora não estejamos enfatizando a resolução das equações obtidas, observe que (11) pode
ser resolvida integrando-se a constante – g duas vezes em relação at. As condições iniciais
determinam as duas constantes de integração. Você poderá reconhecer a solução de (11), da física
elementar, como a fórmula 00
2
2
1)( stvgtts .
Exemplo:
Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m, com velocidade inicial
zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine:
a) A expressão da velocidade do corpo no instante t;
b) A expressão da posição do corpo no instante t;
c) O tempo necessário para o corpo atingir o solo.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
54
Resolução:
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo, sendo positivo o
sentido para baixo.
Como não há resistência do ar, usamos a equação dt
dvg
Esta é uma equação linear separável. Assim:
cgtv
gdtdv
gdtdv
a) Como v(0) = 0, segue que v(t) = gt
b) Para determinar a expressão da posição x no instante t, fazemos:
cgt
tx
tdtgdx
gtdtdx
gtdt
dx
2)(
2
Sendo x(0) = 0, segue que: 2
)(2gt
tx
c) Para x(t) = 100, temos: 2
1002gt
Se adotarmos g = 10m / s2, teremos:
st
t
5,420
2
10100
2
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
55
4.10.1 CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR
Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa, acreditava-se que os
objetos mais pesados em queda livre, como uma bala de canhão, caíam com uma aceleração maior
do que a de objetos mais leves, como uma pena. Obviamente, uma bala de canhão e uma pena,
quando largadas simultaneamente da mesma altura, caem a taxas diferentes, mas isso não se deve
ao fato de a bala de canhão ser mais pesada. A diferença nas taxas é devidaa resistência do ar. A
força de resistência do ar foi ignorada no modelo dado em (11). Sob algumas circunstâncias, um
corpo em queda com massa m, como uma pena com baixa densidade e formato irregular, encontra
uma resistência do ar proporcional a sua velocidade instantânea v. Se nessas circunstancias,
tomarmos a direção positiva como orientada para baixo, a força liquida que age sobre a massa será
dada por kvmgFFF 21 , onde o peso g.mF1 do corpo é a força que age na direção
positiva e a resistência do ar v.kF2 é uma força chamada amortecimento viscoso que age na
direção oposta ou para cima.
Veja a figura abaixo:
Agora, como v esta relacionado com a aceleração a
através de a = dv/dt, a segunda lei de Newton torna-se
dt
dv.ma.mF . Substituindo a força liquida nessa forma
da segunda lei de Newton, obtemos a equação diferencial
de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no
instante t.
kvmgdt
dvm (12)
Aqui k é uma constante de proporcionalidade positiva. Se s(t) for a distancia do corpo em
queda no instante t a partir do ponto inicial, entãodt
dsv e
2
2
dt
sd
dt
dva . Em termos des, (12) é
uma equação diferencial de segunda ordem:
dt
dskmg
dt
sdm
2
2
ou mgdt
dsk
dt
sdm
2
2
(13)
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
56
Exemplo:
Um corpo de massa m é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0. Se
o corpo encontra uma resistência do ar proporcional à sua velocidade, determine :
a) a equação do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo,
b) uma expressão da velocidade do corpo para o instante t, e
c) o tempo necessário para o corpo atingir a altura máxima.
Resolução:
(a) Neste sistema de coordenadas, a Eq.: dt
dvmkvmg pode não ser a equação de
movimento. Para estabelecer a equação apropriada, note que duas forças atuam sobre o
corpo: (1) a força da gravidade dada por mg e (2) a força da resistência do ar dada por kv,
responsável por retardar a velocidade do corpo. Como essas forças atuam na direção
negativa (para baixo), a força resultante que atua sobre o corpo é kvmg . Aplicando
dt
dvmF e reagrupando os termos, obtemos como equação do movimento:
gvm
k
dt
dv (1)
(b) A Equação (1) é uma equação diferencial linear, cuja solução é k
mgcev
tm
k
. Em t=0,
v=v0; logo, k
mgcev m
k
0
0, ou
k
mgvc
0 . A velocidade do corpo no instante t é:
k
mgce
k
mgvv
tm
k
0
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
57
(c) O corpo atinge a altura máxima quando 0. Logo, devemos calcular quando 0.
Substituindo 0 e resolvendo em relação a , temos
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
4.11 CORRENTE DESLIZANTE
Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em pés seja pendurada em um pino
de metal preso a uma parede bem acima do nível do chão. Vamos supor que não haja atrito entre o
pino e a corrente e que a corrente pese libras/pés. A figura abaixo (a) ilustra a posição da
corrente quando em equilíbrio; se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda, a
corrente deslizaria pelo pino. Suponha que a direção positiva seja tomada como sendo para baixo e
que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caído no tempo t. A posição
de equilíbrio corresponde a x = 0. Na figura (b), a corrente é deslocada em x0 pés e é mantida no
pino até ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0. Para a corrente em movimento,
conforme mostra a figura (c), temos as seguintes quantidades:
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
58
Peso da corrente:
W = (L pés) . ( lb/pés) = L
Massa da corrente:
m = W/g = L /32
Força resultante:
xpxL
xL
F 222
Uma vez que Famdt
xda
2
2
torna-se
x
dt
xdL
2
32 2
2
ou (14)
064
2
2
xLdt
xd
Exemplo:
Uma corrente com peso uniforme com 19,62 metros de comprimento está pendurada em um
cilindro fixo na parede. A corrente é deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros
abaixo da sua posição de equilíbrio e soltada num instante t=0. Com esses dados, deseja-se saber
em quanto tempo a corrente cairá do cilindro (x = L). Considere o peso da corrente como
62,19 LP e
Resolução:
(
) (
)
Sendo ⁄
Como
Sendo ,
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
59
Como , e só é possível
4.12 CIRCUITOS EM SÉRIE
Considere o circuito em série de malha simples mostrado ao lado, contendo um indutor,
resistor e capacitor. A corrente no circuito depois que a chave é fechada é denotada pori(t); a carga
em um capacitor no instante t é denotada por q(t). As letras L, C e R são conhecidas como
indutância, capacitância e resistência, respectivamente, e em geral são constantes. Agora, de acordo
com a segunda Lei de Kirchhoff, a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual à
soma das quedas de voltagem na malha.
A figura abaixo mostra os símbolos e as fórmulas para a respectiva queda de voltagem em
um indutor, um capacitor e um resistor. Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a carga
q(t) no capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem.
,
:voltagemdequeda
henrys(h):Lindutância
Indutor
2
2
dt
qdL
dt
diL
dt
diL
dt
dqRiR
iR
R
: voltagemde queda
)(ohms: aresistênci
Resistor
q
c
fC
1: voltagemde queda
)( farads : iacapacitânc
Capacitor
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma equação diferencial de segunda
ordem
)(1
2
2
tEqcdt
dqR
dt
qdL
Para um circuito em série contendo apenas umresistor e um indutor, a segunda lei de
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR) é
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)). Veja a figura abaixo.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
60
Obtemos, assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t).
)(tERidt
diL
ondeL e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A corrente
i(t) é também chamada de respostado sistema.
A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/Ci, onde q é a
carga no capacitor. Assim sendo, para o circuito em série mostrado na figura (a), a segunda lei de
Kirchhoff nos dá
)(1
tEqC
Ri
mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i = dq/dt, dessa forma, a equação acima
transforma-se na equação diferencial linear
)(1
tEqCdt
dqR
Exemplo:
Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é ½ Henry e
a resistência é 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0.
Resolução:
L= indutância = ½ ERidt
diL Para i(0) = 0
R = resistência = 10 12102
1 i
dt
di ce0
5
60
i = corrente 2420 idt
di
5
6c
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24
Logo:
tdtPdt 2020 tei 20
5
6
5
6
cdxeei tt 242020
ceei tt 2020
20
24
cei t 20
5
6
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
61
AULA 7
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E
ORDEM SUPERIOR
As equações lineares de ordem n são aquelas da forma:
ByA...dx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
Onde B, A0, A1, A2,..., An dependem apenas de x ou são constantes.
Para começarmos este estudo vamos utilizar como padrão de uma EDO-2 linear (Equação
Diferencial Ordinária Linear de ordem 2) a seguinte equação:
y” +p(x)y’ +q(x)y = r(x)
onde:
p(x) e q(x) são os coeficientes e representam parâmetros do sistema
r(x) termos de excitação (input)
y(x) resposta do sistema
Se r(x) = 0, xI Eq. Dif. Homogênea
r(x) 0 Eq. Dif. não homogênea
A EDO-2 acima possui 2 soluções, y1(x) e y2(x) e são linearmente independentes (L.I),
isto é ctexhxy
xy )(
)(
)(
1
2
Com isso, y1(x) e y2(x) formam uma base para a solução da EDO-2 homogênea (base
fundamental).
Exemplo:
y" + y = 0
Se propormos como solução y1(x) = sen(x)
y2(x) = cos(x)
ctexx
x
xy
xy )tan(
)cos(
)sin(
)(
)(
1
2, logo, formam uma base, com isso, a solução geral da
EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x).
Se obtemos as bases para a solução da homogênea, a solução da equação fica
)(...)()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn
Se temos uma solução y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente.
Obtida uma solução y1(x) da EDO-2, pode-se obter y2(x) pelo conceito de base, onde y1(x) e
y2(x) são linearmente independentes.
cte)x(h)x(y
)x(y
1
2
)().()( 12 xyxhxy
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
62
Exemplo: Obter a solução geral da equação 02'2")1( 2 yxyyx , sabendo que xxy )(1
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
63
5.1 EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
São aquelas da forma: 0yA...dx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
, onde A0, A1, A2,...,An
são constantes.
Resolução:
Para n= 1 → 0yAdx
dyA 10
yAdx
dyA 10
dxA
A
y
dy
0
1
CxA
Ayln
0
1
CxA
A
0
1
ey
C
xA
A
e.ey 0
1
Chamando 0
1
A
A = λ e KeC , temos k.ey xλ
Para nos facilitar a demonstração, vamos usar a seguinte equação:
0bydx
dya
dx
yd
2
2
Onde a e b são constantes.
Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como solução proposta.
xλey
xλeλ'y
xλ2eλ"y
Substituindo na EDO temos:
0e).bλaλ(
0beeλaeλ
xλ2
xλxλxλ2
Como 0xe para qualquer valor de x, temos 02 ba ,a qual iremos chamar de
equação característica da EDO-2 dada.
Em relação a equação característica 0)( P temos três casos a considerar:
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
64
5.1.1 CASO 1: RAÍZES REAIS DISTINTAS.
xλ
11ey
xλ
22ey
Assim a solução geral fica:
xλ2
xλ1
2211
21 eCeCy
yCyCy
E para uma equação de ordem n fica:
xλ
nxλ
3xλ
2xλ
1n321 eC...eCeCeCy
5.1.2 CASO 2: RAÍZES MÚLTIPLAS.
Se 21 , onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e
xey 2 .
Só que é necessário encontrar soluções que sejam linearmente independentes, pois com as
raízes sendo iguais temos 11
2
x
x
e
e
y
y
constante.
Assim temos que achar uma segunda solução que seja linearmente independente.
Supondo a equação y” + ay’ + by = 0 e utilizando o conceito de base em que
)x(y).x(h)x(y 12 , onde xey 1 , temos:
xλ2xλxλ2
xλxλ2
xλ2
12
heλe'hλ2e"h"y
heλe'h'y
e.hy
)x(y).x(h)x(y
Substituindo na equação dada:
0bheheλae'ahheλe'hλ2e"h xλxλxλxλ2xλxλ
Reordenando:
0)(')2(" 2 hbahahe x
Como 0xe e ba 2 =0, pois como já vimos anteriormente 0)( P .
Então:
KCxh
Ch
h
'
0"
Logo:
xeKCxy
yhy
).(
.
2
12
Solução geral:
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
65
xx
xx
CeCeKCCy
eKCxCeCy
yCyCy
221
21
2211
)(
)(
fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2
temos:
x
xx
exCCy
xeCeCy
)( 21
21
A propriedade se estende para equações de ordem superior:
xλ1nn
2321 e)xC...xCxCC(y
5.1.3 CASO 3: RAÍZES COMPLEXAS DISTINTAS.
Sejam biaλ1 e biaλ2 as raízes da equação característica. Aplicando a condição
para raízes reais distintas teríamos como solução:
bix2
bix1
ax
bixax2
bixax1
x)bia(2
x)bia(1
eCeCey
e.eCe.eCy
eCeCy
Das fórmulas de Euler temos:
θisenθcose
θisenθcose
θi
θi
Com isso:
senbxCCibxcosCCey
isenbxbxcosCisenbxbxcosCey
2121ax
21ax
Fazendo
C1 + C2 = C1
i(C1 – C2) = C2
temos:
senbxCbxcosCey 21ax
Exemplos:
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
66
1) 036132
2
4
4
ydx
yd
dx
yd
2) y‖+4y = 0, com y(0) = 3 e y´( /2) = -3
3)y‖ - 2√2 y’+2y = 0
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
67
5.2 EULER - CAUCHY
A equação de Euler-Cauchy tem a seguinte forma:
ByAdx
dybaxA
dx
ydbaxA
dx
ydbaxA
n
n
n
n
012
2
2
2)()()(
onde A0, A1, ..., An, a e b são constantes. Para resolver tal equação faremos
teabax .
que irá eliminar os coeficientes variáveis.
No caso da equação ter a forma:
0'"2 byaxyyx
Faremos:
y = xm
y’ = mxm-1
y‖ = m(m-1)xm-2
Substituindo y, y’ e y‖ na EDO-2, temos que:
(m2 + (a – 1) m + b)x
m = 0
como y(x) = xm
tem que ser diferente de zero, temos m2 + (a – 1) m + b = 0, que é uma
equação do segundo grau com duas raízes.
Caso 1: m1 e m2 são reais e diferentes.
21
21)(mm
xCxCxy
Caso 2: m1 e m2 são reais e iguais
)xln(xCxC)x(y m2
m1
mxxCCxy ))ln(()(
21
Caso 3: m1 e m2 são complexas conjugadas )( bia
)]lnsin()lncos([)(21
xbCxbCxxy a
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
68
Exemplos:
012)12(2)12(2
2
2 ydx
dyx
dx
ydx
02'2"2 yxyyx
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
69
AULA 7 - EXERCÍCIOS
1) 06'5" yyy
2) 012'4"3"' yyyy
3) 02'2" yyy ,com 1)0( y e
02
'
y
4) 025" yy com 0)0( y e 20)0(' y
5) 02'" yyy com 4)0( y e
17)0(' y
6) 09" 2 yy
7) 0'6"9 yyy com 4)0( y e
3
13)0(' y
8) 0'2" 2 ykkyy
9) 0'2"8 yyy com 2,0)0( y e
325,0)0(' y
10) 03'4"4 yyy , com ey )2( ,
2)2('
ey
11) 012'7" yyy
12) 0'5"4"' yyy
13) 0'7"5"' yyy
14) 0'2" yyy
15) 020"2 yyx
16) 06')1(18")1(9''')1( 23 yyxyxyx
17) 04,32'46"10 2 yxyyx
18) 0'"2 yxyyx
19) 025'24"4 2 yxyyx com y(1) = 2 e
y’(1) = - 6
20) 04'3"2 yxyyx , com y(1) = 0 e y’(1) =
3
Respostas
1) xx eCeCy 3
22
1
2) xxx eCeCeCy 23
32
21
3) xey x cos
4) xx eey 55 22
5) xx eey 273
6) xπ32
xπ31 eCeCy
7) 3
xe)x34(y
8) kx
21 e)xCC(y
9) 2
x4
xe5,0e3,0y
10) x5,0ey
11) x4
2x3
1 eCeCy
12) senxCxcosCeCy 32x2
1
13)
2
3
2
3cos 32
2
5
1
xsenC
xCeCy
x
14) xexCCy )( 21
15) 5
24
1 xCxC
16) 3
3
2
21
)1()1(1 x
C
x
C
x
Cy
17) 8,1
21 )ln( xxCCy
18) )(ln)cos(ln 21 xsenCxC
19) 2
5
)ln2(
xx
20) xx ln3 2
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
70
AULA 8
5.3 EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS
10
00
)('
)(
)()(')("
..
Kxy
Kxy
xryxqyxpy
IVP
y1(x).y2(x) base para a solução da EDO-2 homogênea
yh(x) solução da EDO-2 homogênea
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
yp(x) solução particular, função qualquer que satisfaz a EDO-2 não-homogênea
A solução geral de uma equação linear não homogênea tem a forma:
)()()( xyxyxy ph
Teorema da existência da Unicidade: Se p(x) e q(x) são funções contínuas sobre o intervalo aberto I e
x0I, então o P.V.I. possui uma única solução y(x) sobre I.
Para determinarmos yp, denominada solução particular, dispomos dos seguintes métodos:
i. Método dos coeficientes a determinar ou método de Descartes
ii. Método da variação de parâmetros ou método de Lagrange
iii. Método do operador derivada D.
5.3.1 SOLUÇÃO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES):
Padrão para solução particular:
Termo em r(x) Proposta para yp(x)
xαke xCe
,...)1,0n(kxn
01
1n1n
nn CxC...xCxC
xαKsen
xαcosK xαsenCxαcosC 21
xβsenke
xβcoske
xα
xα
)xβsenCxβcosC(e 21xα
obs:
1. se r(x) é composição de funções da 1o coluna, yp(x) é composição das respectivas funções na 2
o
coluna.
2. se r(x) coincide com uma função que compões yh(x), multiplique por x (ou por x2) para
considerar raiz dupla da equação característica.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
71
Exemplo:
0)0('
1)0(
'2" 2
y
y
xeyyy x
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
72
AULA 8 - EXERCÍCIOS
1) xsenyy 34"
2) 32510'2" 2 xyyy
3) xseneyyy x 5371235'2" 5
4) 126'5" 2 xyyy
5) xyy 31'4"'
6) 123"2"' 2 xxyy
7) xeyyy 312'7"
8) xeyyy 2810'7"
9) xeyyy 284'4"
10) xeyy 434"
11) xsenyyy 233'4"
12) x4sen8dx
yd4
dx
yd
2
2
4
4
13) xsenyy 212'4"'
14) senxyy 4"
15) senxydx
yd
dx
yd42
2
2
4
4
16) 432 612'5,1" xxxyyy , para
4)0( y e 8)0(' y .
17) xeyy x 24" 2 , para 0)0( y e
0)0(' y .
Respostas
1) x3sen5
1x2Bsenx2cosA
2) xx2
5)x3senCx3cosC(e 2
21x
3) x5sen6,0x5cos1,0xeeCeC x5x52
x71
4) 27
5
9
x5
3
xeCeCy
2x3
2x2
1
5) 4
xx
8
3eCeCCy 2x2
3x2
21
6) 8
x3
12
x
8
xeCxCCy
234x2
321
7) xx42
x31 e
20
3eCeCy
8) x2x52
x21 xe
3
8eCeCy
9) x22x22
x21 ex4xeCeCy
10) x421 e
20
3x2senCx2cosCy
11) )x2cos8x2sen(65
3eCeCy x3
2x
1
12) 40
x4seneCeCxCC x2
4x2
321
13) x2cos4
3eCeCCy x2
3x2
21
14) xcosx2senxCxcosCy 21
15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2
xy 4321
2
16) 424 xey x
17) xxx xexeey 222
4
1
2
1
16
1
16
1
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
73
AULA 9
5.3.2 SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS
Qualquer tipo de excitação r(x)
Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contínuos.
yn + Pn-1(x)y
n-1 + ... + P1(x)y’ + P0(x)y = r(x)
A solução geral da EDO é y = yh + yp como na resolução por coeficientes a determinar. mas a
solução da particular fica yp=y1(x).u1 + y2(x).u2+...+yn(x)yn, onde y1, y2, ..., yn são as bases para a EDO
homogênea. A ideia é constituir a solução particular com uma combinação destas bases utilizando
parâmetros variáveis.
Onde
dxxW
xrxWu
)(
)().(11 , dx
xW
xrxWu
)(
)().(22 , .... dx
xW
xrxWu n
n)(
)().(
Sendo que W = W(y1,y2,...,yn), que é o Determinante de Wronski (Wronskiano)
)(),...,,(
11
2
1
1
''
2
'
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n
Para calcularmos W1(x), substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0, 0, 0, ... ,1), para
calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente:
11
2
''
2
2
1
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
,
11
1
''
1
1
2
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
, ....,
1
0
0
1
2
1
1
'
2
'
1
21
nn
n
yy
yy
yy
W
Cuidado: Antes de aplicar o método, verificar o que acompanha yn. Se tiver f(x).y
n, não se
esqueça de dividir r(x) por f(x).
Se a Equação Diferencial for de ordem 2, tempos como solução da particular yp(x) =
u(x)y1(x) + v(x)y2(x)
onde,
dx)x(w
)x(r)x(y)x(u 2 e dx
)x(w
)x(r)x(y)x(v 1
e y1(x) e y2(x) são as bases da homogênea.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
74
Exemplo:223 2'2""' xyxyyxyx
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
75
AULA 9 – EXERCÍCIOS
1) y‖ + 4y’ + 3y = 65x
2) x2y‖ – 2xy’ +2y = x
3cosx
3) x2y‖ – 4xy’ + 6y = 21x
-4
4) 4x2y‖ + 8xy’ – 3y = 7x
2 – 15x
3
5) x3y‖’- 3x
2y‖ +6xy’ – 6y = x
4lnx
6) xy‖’ + 3y‖ = ex
7) 1x2x3dx
yd4
dx
yd 2
2
2
4
4
8) y‖’ – y‖ – 4y’ + 4y = 12e-x
9) y‖’ – y‖ – 2y' = x - 2
Respostas
1) 9
260x
3
65eCeCy x
2x3
1
2) xcosxxCxCy 221
3) 432
21 x
2
1xcxcy
4) 3
)xx(xCxCy
322
3
22
1
1
5)
6
11xln
6
xxCxCxCy
43
32
21
6) x13
121 exxCxCCy
7) 8
x
8
x
12
x
16
xeCeCxCCy
234x2
4x2
321
8) xx2
3x2
2x
1 e2eCeCeCy
9) 4
x5
4
xeCeCCy
2x2
3x
21
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
76
AULA 10
5.3.3 MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA
5.3.3.1 Definição
Os operadores são símbolos sem nenhum significado isolado que indicam, de modo abreviado,
as operações que devem ser efetuadas.
Uma dada função definida por )x(fy chama-se operador derivada, denotado por D, a
dx
dD ,
2
22
dx
dD ,
3
33
dx
dD , ...
5.3.3.2 Propriedades
Sejam u=u(x) e v =v(x):
P1. D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)
P2. D(m.u)=m.Du, (propriedade comutativa, sendo m uma constante)
P3.Dm
(Dn u)=D
m+n u, (sendo m e n constantes positivas)
P4. O operador inverso
dxueeu
aD
axax ..1
, a .
P5. O operador direto u.aDuu)aD( audx
du , a .
5.3.3.3 Equações Diferenciais
Qualquer equação diferencial pode ser expressa em termos de D.
Exemplo:
ay" + by' + cy = g(x)
aD2y + bDy + cy = g(x)
(aD2 + bD + c)y = g(x)
Um operador diferencial linear de n-ésima ordem 011n
1nn
n ADADADAL com
coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinômio característico 01n
1nn
n ArArA
também se fatora.
Exemplo:
0y4'y4"y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou
0y)2D( 2
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
77
5.3.3.4 Operador Anulador
Se L é um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy é uma função
suficientemente diferenciável, tal que 0)y(L , então dizemos que L é um anulador da função.
O operador diferencial nD anula cada uma das funções
1n2 x,,x,x,1 . Então, um
polinômio 1n
1n2
210 xcxcxcc é anulado por um operador que anula a maior
potencia de )D(x n .
Exemplo: Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51
Solução:
O operador é 4D pois 4n31n
0)x8x51(D 324
O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funções
xα1nxα2xαxα ex,,ex,xe,e .
Exemplo: Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4
Solução:
Para o termo )e4( x2,temos 2α e )2D(1n
Para o termo )xe6( x2 , temos 2α e 2)2D(1n
Logo o operador que anulará a expressão será 2)2D(
Vamos verificar:
0e12e12e12De6)e6)(2D(
]xe12xe12e6e8e8)[2D(
]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(
)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2
x2x2x2x22
O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funções
xβsenex,xβsenex,xβsenxe,xβsene
,xβcosex,xβcosex,xβcosxe,xβcose
xα1nxα2xαxα
xα1nax2xαxα
Exemplo: Encontre um operador anulador para x2sene x.
Solução:
5D2D)]41(D).1.(2D[
1n01n,2β,1α
212
Vamos verificar:
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
78
0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene
x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e
x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D
x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D
x2sene5x2senDe2)x2sene(D.D
x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxx2x2
Obs.: O operador diferencial )βD( 22 anula as funções xβcos e xβsen ..
Se 1L e 2L são operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que,
0)y(L 11 e 0)y(L 22 ,mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 , então o produto dos operadores 21 L.L
anula a soma )x(yc)x(yc 2211 , pois:
zero
221
zero
1122121
2211212121
)y(LL)y(LL)yy(LL
)y(LL)y(LL)yy(LL
Exemplo: Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7 .
Solução:
Para o termo x7 temos o operador 2D
Para o termo )x3(sen6 , temos 3β , então )3D( 22
Logo:
0)x3sen6x7)(9D(D 22
5.3.3.5 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores
Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n
1nn
n ADADADA ,
então uma equação diferencial linear não homogênea pode ser escrita como )x(g)y(L
Para esta abordagem, utilizaremos g(x) como combinação linear de funções da forma
βcosex,ex,x,ctsk xαmxαmm e xβsenex xαm
onde m é um inteiro não negativo e α e β são
números reais.
Resumo do Método:
i. Encontre a solução característica cy , para a equação homogênea 0)y(L .
ii. Opere em ambos os lados da equação não-homogênea )x(g)y(L com um operador
diferencial 1L , que anula a função )x(g .
iii. Encontre a solução geral para a equação diferencial homogênea de maior ordem .L1
0)y(L .
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
79
iv. Desconsidere todos os termos da solução encontrada em (iii) que estão duplicados na
solução complementar cy , encontrada em (i). Forme uma combinação linear py dos
termos restantes. Essa é a forma de uma solução particular para )x(g)y(L .
v. Substitua py encontrada em (iv) na equação )x(g)y(L . Agrupe os coeficientes das
funções em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equações para os
coeficientes indeterminados em py .
vi. Com a solução particular encontrada em (v), forme a solução geral pc yyy para a
equação diferencial dada.
5.3.3.6 Resolução de Equações Lineares
1) Resolver, empregando operadores: 01272
2
ydx
dy
dx
yd
2) 0442
2
ydx
dy
dx
yd
3) Resolver utilizando operador direto, inverso e por anuladores 2
2
2
x4y2dx
dy3
dx
yd .
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
80
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
81
AULA 10 - EXERCÍCIOS
Resolva as equações abaixo utilizando um dos métodos de operador derivada.
1) (D2 – D – 12)y = 0
2) senxydx
dy
dx
yd 65
2
2
3) senxeydx
dy
dx
yd x 232
2
4) (D3-16D)y=e
4x + 1
5) (D2 – 7D+12)y = 5e
3x
6) (D3 – 3D + 2)y = xe
-2x
7) xx eeyDD 23212
8) 142 xyD
9) x32 ey6D5D
10) senx4e8'y3"y x3
11) xey
dx
yd 2
2
Respotas:
1) y = C1e4x
+ C2e-3x
2) xcos10
1senx
10
1eCeCy x3
2x2
1
3) senxxcos2
eeCeCy
xx2
2x
1
4) 16
xe
32
xeCeCCy x4x4
3x4
21
5) x3x4
2x3
1 xe5eCeCy
6) x2
2x2x2
3x
2x
1 e18
xe
27
x2eCxeCeCy
7) xx2x2xx e
6
1ex
2
3CeBxeAey
8) 4
1
4
xBeAey x2x2
9) x3
2x2
1x3 eCeCxey
10) senx5
2xcos
5
6xe
3
8eCCy x3x3
21
11) 2
xeeCeCy
xx
2x
1
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
82
AULA 11
6. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM
SUPERIOR
Vimos que uma única equação pode servir como modelo matemático para fenômenos
diversos. Por essa razão, examinamos uma aplicação, o movimento de uma massa conectada a
uma mola, detalhadamente na seção 8.1 abaixo. Veremos que, exceto pela terminologia e
pelas interpretações físicas dos quatro termos na equação linear ay” + by’ + cy = g(t), a
matemática de um circuito elétrico em série é idêntica à de um sistema vibratório massa-mola.
Formas dessa equação diferencial linear de segunda ordem aparecem na análise de problemas
em várias áreas da ciência e da engenharia. Na seção 8.1, consideramos exclusivamente
problemas de valor inicial, enquanto na seção 8.2 examinamos aplicações descritas por
problemas de contorno conduzem-nos aos conceitos de autovalor e autofunção. A seção 8.3
começa com uma discussão sobre as diferenças entre mola linear e mola não-linear; em
seguida, mostraremos como um pêndulo simples e um fio suspenso levam a modelos não-
lineares.
6.1 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL:
6.1.1 SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTECIDO
Lei de Hooke: Suponha que uma mola flexível esteja suspensa verticalmente em um
suporte rígido e que então uma massa m seja conectada à sua extremidade livre. A distensão
ou elongação da mola naturalmente dependerá da massa; massas com pesos diferentes
distenderão a mola diferentemente. Pela lei de Hooke, a mola exerce uma força restauradora F
oposta à direção do alongamento e proporcional à distensão s. Enunciado de forma simples, F
= ks, onde k é a constante de proporcionalidade chamado constante da mola. A mola é
essencialmente caracterizada pelo número k. Por exemplo, se uma massa de 10 libras alonga
em ½ pé uma mola, então 10 = k(½) implica que k = 20 lb/pés. Então uma massa de, digamos,
8 lb necessariamente estica a mesma mola somente 2/5 pé.
Segunda Lei de Newton: Depois que uma massa m é conectada a uma mola, provoca
uma distensão s na mola e atinge sua posição de equilíbrio no qual seu peso W é igual à força
restauradora ks. Lembre-se de que o peso é definido por W = mg, onde g= 32 pés/s2, 9,8m/s
2
ou 980 cm/s2.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
83
Conforme indicado na figura acima, a condição de equilíbrio é mg = ks ou mg – ks =
0. Se a massa for deslocada por uma quantidade x de sua posição de equilíbrio, a força
restauradora da mola será então k(x + s). Supondo que não haja forças de retardamento sobre
o sistema e supondo que a massa vibre sem a ação de outras forças externas – movimento
livre – podemos igualar F com a força resultante do peso e da força restauradora:
kxksmgkxmgxskdt
xdm
zero
)(2
2
(1)
O sinal negativo indica que a força restauradora da mola age no sentido oposto ao do
movimento. Além disso, podemos adotar a convenção de que os deslocamentos medidos
abaixo da posição de equilíbrio são positivos.
6.1.1.1 ED do Movimento Livre não amortecido:
Dividindo a equação (1) pela massa m obtemos a equação diferencial de segunda
ordem
02
2
2
xdt
xd (2)
onde mk /2
A equação (2) descreve um movimento harmônico simples ou movimento livre não
amortecido. Duas condições iniciais óbvias associadas com (2) são x(0) = x0 e x’(0) = x1,
representando, respectivamente, o deslocamento e a velocidade iniciais da massa. Por
exemplo, se x0> 0, x1< 0, a massa começa de um ponto abaixo da posição de equilíbrio com
uma velocidade inicial dirigida para cima. Quando x1 = 0, dizemos que ela partiu do repouso.
Por exemplo, se x0< 0, x1 = 0, a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da
posição de equilíbrio.
6.1.1.2 Solução e Equação do Movimento:
equilíbrio
Posição
inicial
g
K(s+x)
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
84
Para resolver a Equação (2), observamos que as soluções da equação auxiliar m2+
2=0 são números complexos m1 = i, m2 = - i. Assim, determinamos a solução geral de
(2) como:
tsenCtCtx 21 cos)(
(3)
O período das vibrações livres descritas por (3) é T = 2 / e a frequência é
2//1 Tf . Por exemplo, para tttx 3sin43cos2)( , o período é 2 /3 e a
frequência é 3/2 unidades; o segundo número significa que há três ciclos do gráfico a cada 2
unidades ou, equivalentemente, que a massa está sujeita a 3/2 vibrações completas por
unidade de tempo. Além disso, é possível mostrar que o período 2 / é o intervalo de
tempo entre dois máximos sucessivos de x(t). Lembre-se de que o máximo de x(t) é um
deslocamento positivo correspondente à distância máxima de x(t) é um deslocamento positivo
correspondente à distância máxima atingida pela massa abaixo da posição de equilíbrio,
enquanto o mínimo de x(t) é um deslocamento negativo correspondente à altura máxima
atingida pela massa acima da posição de equilíbrio. Vamos nos referir a cada caso como
deslocamento extremo da massa. Finalmente, quando as condições iniciais forem usadas
para determinar as constantes C1 e C2 em (3), diremos que a solução particular resultante ou a
resposta é a equação do movimento.
Exemplo:
Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas. Em t = 0, a massa é solta
de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de 34 pés/s para
cima. Determine a equação do movimento livre.
Solução:
Convertendo as unidades:
6 polegadas = ½ pé
8 polegadas = 2/3 pé
Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa
M = W/g = 2/32 = 1/16 slug
Além disso, da lei de Hooke , 2 = k(½) implica que a constante de mola é k = 4
lb/pé, Logo, (1) resulta em:
xdt
xd4
16
12
2
0642
2
xdt
xd
2 = - 64
= 8i
x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t
O deslocamento e a velocidade iniciais são x(0) = 2/3 e x’(0) = - 4/3, onde o sinal
negativo na última condição é uma conseqüência do fato de que é dada à massa uma
velocidade inicial na direção negativa ou para cima.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
85
Aplicando as condições iniciais a x(t) e a x’(t), obtemos C1 = 2/3 e C2 = - 1/6,
assim, a equação do movimento será:
tsenttx 816
18cos
3
2)(
6.1.2 SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
O conceito de movimento harmônico livre é um tanto quanto irreal, uma vez que é
descrito pela Equação (1) sob a hipótese de que nenhuma força de retardamento age sobre a
massa em movimento. A não ser que a massa seja suspensa em um vácuo perfeito, haverá
pelo menos uma força contrária ao movimento em decorrência do meio ambiente.
6.1.2.1 ED do Movimento Livre Amortecido:
No estudo de mecânica, as forças de amortecimento que atuam sobre um corpo são
consideradas proporcionais a uma potência da velocidade instantânea. Em particular, vamos
supor durante toda a discussão subseqüente que essa força é dada por um múltiplo constante
de dx/dt. Quando não houver outras forças externas agindo sobre o sistema, segue na segunda
lei de Newton que
dt
dxkx
dt
xdm
2
2
(4)
onde é positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo é uma
conseqüência do fato de que a força amortecedora age no sentido oposto ao do movimento.
Dividindo-se (4) pela massa me, obtemos a equação diferencial do movimento livre
amortecido
02
2
x
m
k
dt
dx
mdt
xd
(5)
ou
02 2
2
2
xdt
dx
dt
xd (6)
onde
m
2 e
m
k2
O símbolo 2 foi usado somente por conveniência algébrica, pois a equação auxiliar
é:
m2 + 2m + 2 = 0
e as raízes correspondentes são, portanto,
22
1 m e22
2 m
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
86
Podemos agora distinguir três casos possíveis, dependendo do sinal algébrico de 22 . Como cada solução contém o fator de amortecimento te , >0, o deslocamento da
massa fica desprezível após um longo período.
CASO I: Superamortecido
022
tmtm
eCeCtx 21
21)( (7)
Essa equação representa um movimento suave e não oscilatório.
CASO II: Amortecimento Crítico
022
tCCetx t
21)( (8)
Observe que o movimento é bem semelhante ao sistema superamortecido. É também
evidente de (8) que a massa pode passar pela posição de equilíbrio no máximo uma vez.
Qualquer decréscimo na força de amortecimento resulta em um movimento oscilatório.
CASO III: Subamortecido
022
Como as raízes m1 e m2 agora são complexas, a solução geral da Equação (6) é:
tsenCtCetx t 22
2
22
1cos)(
(9)
O movimento descrito em (9) é oscilatório; mas, por causa do fator te , as
amplitudes de vibração 0 quando t .
Exemplos:
1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 pés. Supondo que uma força amortecedora
igual a duas vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema, determine a equação
de movimento se o peso for solto de uma posição de equilíbrio a uma velocidade de 3
pés/s para cima.
Solução:
Com base na lei de Hooke, vemos que 8 = k(2) nos dá k = 4 lb/pés e que
g.mW nos dá m = 8/32=1/4 slug. A equação diferencial do movimento é então:
dt
dx2x4
dt
xd
4
1
2
2
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
87
01682
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equação temos:
X(t)= C1 e – 4t
+ C2te - 4t
(amortecimento crítico)
Aplicando as condições iniciais x(0) = 0 e x’(0) = - 3, obtemos c1 = 0 e c2 = -3,
logo, a equação do movimento é:
X(t) = - 3te -4t
2) Um peso de 16 lb é atado a uma mola de 5 pés de comprimento. Na posição de
equilíbrio, o comprimento da mola é de 8,2 pés. Se o peso for puxado para cima e
solto do repouso, de um ponto 2 pés acima da posição de equilíbrio, qual será o
deslocamento x(t) se for sabido ainda que o meio ambiente oferece uma resistência
numericamente igual à velocidade instantânea.
Solução:
O alongamento da mola depois de presoo peso será de 8,2 – 5 = 3,2 pés; logo,
segue da lei de Hooke que 16 = k(3,2) ou k = 5 lb/pés. Alem disso, m = 16/32 = ½ slug.
Portanto, a equação diferencial é dada por:
dt
dxx
dt
xd 5
2
12
2
01022
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equação temos:
tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)
Aplicando as condições iniciais x(0) = - 2 e x’(0) = 0, obtemos c1 = - 2 e c2 = -
2/3, logo a equação do movimento é:
tsentetx t 3
3
23cos2)(
6.1.3 SISTEMA MASSA MOLA: MOVIMENTO FORÇADO
6.1.3.1 ED do Movimento Forçado com Amortecimento:
Considerando agora uma força externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma
mola. Por exemplo, f(t) pode representar uma força que gera um movimento oscilatório
vertical do suporte da mola. A inclusão de f(t) na formulação da segunda lei de Newton
resulta na equação diferencial do movimento forçadoou induzido
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
88
)(2
2
tfdt
dxkx
dt
xdm (10)
Dividindo (10) por m, obtemos:
)(2 2
2
2
tFxdt
dx
dt
xd (11)
Onde F(t) = f(t)/m. Como no item anterior, 2 m/ , mk /2 . Para resolver essa
última equação não homogênea, podemos usar tanto o método dos coeficientes a determinar
quanto o de variações de parâmetro.
Exemplo:
Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt
dx2,1
dt
xd
5
1
2
2
,com
2
1)0(x e 0)0('x
Solução:
O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 1/5 slug
ou quilograma) presa a uma mola (k = 2 lb/pés ou N/m). A massa é solta do repouso ½
unidade (pé ou metro) abaixo da posição de equilíbrio. O movimento é amortecido ( 2,1 )
e esta sendo forçado por uma força externa periódica (T = 2 ) que começa em t=0.
Intuitivamente, poderíamos esperar que, mesmo com o amortecimento, o sistema continuasse
em movimento até o instante em que a força externa fosse “desligada”, caso em que a
amplitude diminuiria. Porém, da forma como o problema foi dado, f(t)=5cos4t permanecerá
“ligada” sempre.
Em primeiro lugar, multiplicaremos a equação dada por 5 e resolvemos a equação
01062
2
xdt
dx
dt
xd empregando os métodos usuais e usando o método dos coeficientes a
determinar, procuramos uma solução particular, achando como solução:
tsentsentCtCetx t 451
504cos
102
25)cos()( 21
3
Aplicando as condições iniciais, temos que a equação do movimento é:
tsentsenttetx t 451
504cos
102
25)
51
86cos
51
38()( 3
6.1.3.2 ED de um Movimento Forçado Não Amortecido:
Se houver a ação de uma força externa periódica, e nenhum amortecimento, não
haverá termo transiente na solução de um problema. Veremos também que uma força externa
periódica com uma freqüência próxima ou igual às das vibrações livres não amortecidas pode
causar danos severos a um sistema mecânico oscilatório.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
89
Exemplo:
1) Resolva o problema de valor inicial: tsenFxdt
xd 0
2
2
2
, x(0) = 0 e x’(0) = 0,, onde F0 é
uma constante e .
)(
2
2
tfkxdt
xdm
Solução:
A função complementar é xc(t) = c1cos t + c2 sen t. Para obter uma solução
particular, vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que:
tsenFtsenBtAxx pp 0
22222" )(cos)(
Igualando os coeficientes, obtemos imediatamente A = 0 e )γω(
FB
220
. Logo:
tγsen)γω(
F)t(x
220
p
Aplicando as condições iniciais dadas à solução geral, obtemos a solução final que
será:
)tγsenωtωsenγ()γω(
F)t(x
220
, com ωγ
6.1.4 CIRCUITO EM SÉRIE ANÁLOGO - CIRCUITOS ELÉTRICOS RLC EM
SÉRIE
Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, chegamos a:
)(2
2
tEC
q
dt
dqR
dt
qdL (12)
Se E(t) = 0, as vibrações elétricas do circuito são consideradas livres. Como a
equação auxiliar da equação (11) é Lm2 + Rm + 1/C = 0, haverá três formas de solução com R
0, dependendo do valor do discriminante R2 -4L/C. Dizemos que o circuito é:
Superamortecido: 042 C
LR
Criticamente amortecido: 042 C
LR
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
90
Subamortecido: 042 C
LR
Em cada um desses três casos, a solução geral de (12) contém o fator e-Rt/2L
e,
portanto, q(t) 0 quando t . No caso subamortecido, se q(0) = q0, a carga sobre o
capacitor oscilará à medida que decair, em outras palavras, o capacitor é carregado e
descarregado quanto t . Quando E(t) = 0 e R = 0, dizemos que o circuito é não
amortecido e as vibrações elétricas não tendem a zero quando t cresce sem limitação; a
resposta do circuito é harmônica simples.
Exemplos:
Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em série LRC quando L=0,25
henry(h), R = 10 ohms( ), C = 0,001 farad(f), E(t) = 0, q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0.
Solução:
Como 1/C = 1000, a equação (12) fica:
04000'40"
01000'10"4
1
qqq
qqq
Resolvendo a equação homogênea de maneira usual, verificamos que o circuito é
subamortecido e q(t) = e-20t
(C1 cos60t +C2 sen60t). Aplicando as condições iniciais, obtemos:
)603
160(cos)( 20
0tsenteqtq t
Quando há uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibrações elétricas são
chamadas forçadas. No caso em que R 0, a função complementar qc(t) de (12) é chamada de
solução transiente. Se E(t) for periódica ou constante, então a solução particular qp(t) de (12)
será uma solução estacionária.
6.2 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO
6.2.1 DEFLEXÃO DE UMA VIGA:
Muitas estruturas são construídas usando grandes suportes de aço ou vigas, as quais
defletem ou distorcem sob seu próprio peso ou em decorrência de alguma força externa. A
deflexão y(x) é governada por uma equação diferencial linear de quarta ordem relativamente
simples.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
91
Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogênea e tenha seção transversal
uniforme ao longo de seu comprimento. Na ausência de qualquer carga sobre a viga
(incluindo o próprio peso), a curva que liga os centróides de todas as suas seções transversais
é uma reta chamada eixo de simetria. Se for aplicada uma carga à viga em um plano
contendo o eixo de simetria, ela sofrerá uma distorção e a curva que liga os centróides de
todas as seções transversais será chamada então de curva de deflexãooucurva elástica. A
curva de deflexão aproxima o formato da viga. Suponha agora que o eixo x coincida com o
eixo de simetria da viga e que a deflexão y(x), medida a partir desse eixo, seja positiva se
dirigida para baixo. Na teoria da elasticidade, mostra-se que o momento fletor M(x) em um
ponto x ao longo da viga está relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela
equação:
)(2
2
xwdx
Md (13)
Além disso, momento fletor M(x) é proporcional à curvatura k da curva elástica
EIkxM )( (14)
onde E e I são constantes; E é o módulo de elasticidade de Yang do material de que é feita a
viga e I é o momento de inércia de uma seção transversal da viga (em torno de um eixo
conhecido como o eixo neutro). O produto EI é chamado de rigidez defletora da viga.
Agora, do cálculo, a curvatura é dada por
23
2)'(1
"
y
yk
. Quando a deflexão y(x)
for pequena, a inclinação y’ 0 e, portanto, 23
2)'(1 y 1, Se fizermos k = y‖, a Equação
(14) vai se tornar M = Ely‖. A derivada segunda dessa última expressão é:
4
4
2
2
2
2
"dx
ydELy
dx
dEL
dx
Md (15)
Usando o resultado dado em (1) para substituir d2M/dx
2 em (15), vemos que a
deflexão y(x) satisfaz a equação diferencial de quarta ordem
)(4
4
xwdx
ydEL (16)
As condições de contorno associadas à Equação (16) dependem de como as
extremidades da viga estão apoiadas. Uma viga em balanço é engastada ou presa em uma
extremidade e livre de outra. Trampolim, braço estendido, asa de avião e sacada são exemplos
comuns de vigas, mas até mesmo árvores, mastros, edifícios e o monumento de George
Washington podem funcionar como vigas em balanço, pois estão presos em uma extremidade
e sujeitos à força fletora do vento. Para uma viga em balanço, a deflexão y(x) deve satisfazer
às seguintes condições na extremidade engastada x = 0:
y(0) = 0, uma vez que não há deflexão e
y’(0) = 0, uma vez que a curva de delexão é tangente ao eixo x (em outras palavras, a
inclinação da curva de deflexão é zero nesse ponto).
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
92
Em x = L, as condições da extremidade livre são:
y‖(L) = 0, uma vez que o momento fletor é zero e
y‖’(L) = 0, uma vez que a força de cisalhamento é zero.
A Tabela abaixo resume as condições de contorno que estão associadas com a equação (16)
Extremos da Viga Condições de contorno
Engastada 0'y,0y
Livre 0'"y,0"y
Simplesmente apoiada 0'y,0y
6.2.1.1 Soluções Não Triviais do Problema de Valores de Contorno:
Resolva o problema de valores de contorno y‖ + y = 0, y(0) = 0 e y(L) = 0
Consideremos três casos: = 0, < 0 e > 0.
Caso I: Para = 0, a solução de 0"y é 21 CxCy . As condições 0)0(y e
0)L(y implicam, sucessivamente que 0C1 e 0C2 . Logo, para 0λ , a única solução
do problema de contorno é a solução trivial 0y .
Caso II: Para λ <0, temos que xλsenhCxλcoshCy 21 . Novamente
0)0(y nos dá 0C1 e, portanto, xλsenhCy 2 . A segunda condição 0)L(y nos diz
que 0LλsenhC2 . Como L 0, precisamos ter 0C2 . Assim y = 0
Obs.: parece um pouco estranho, mas tenha em mente que < 0 é equivalente a
- >0.
Caso III: Para >0, a solução geral de y‖+ y = 0 é dada por
xλsenCxλcosCy 21 .Como antes, y(0) = 0 nos dá que c1 = 0, mas y(L) = 0 implica
0LλsenC2 .
Se c2 = 0, então, necessariamente, y = 0. Porém, se c2 0, então sen L = 0. A
última condição implica que o argumento da função seno deve ser um múltiplo inteiro de .
nL ou2
22
L
n , n = 1, 2, 3...
Portanto, para todo real não nulo c2, y = c2sen(n x/L) é uma solução do problema
para cada n. Como a equação diferencial é homogênea, podemos, se desejarmos, não escrever
c2. Em outras palavras, para um dado número na seqüência, ,...,9
,4
,2
2
2
2
2
2
LLL
a função
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
93
correspondente na seqüência ,...3
,2
, xL
senxL
senxL
sen
é uma solução não trivial do
problema original.
6.2.1.2 Deformação de uma Coluna Fina:
No século XVIII, Leonhard Euler dói um dos primeiros matemáticos a estudar um
problema de autovalor quando analisava como uma coluna elástica fina se deforma sob uma
força axial compressiva.
Considere uma longa coluna vertical fina de seção transversal uniforme de
comprimento L. Seja y(x) a deflexão da coluna quando uma força compressiva vertical
constante ou carga P for aplicada em seu topo conforme mostra a figura. Comparando os
momentos fletores em qualquer ponto ao longo da coluna, obtemos
Py
dx
ydEL
2
ou 02
2
Pydx
ydEL (17)
onde E é o módulo de elasticidade de Yang e I é o momento de inércia de uma seção
transversal em torno de uma reta vertical pelo seu centróide.
Exemplo:
Determine a deflexão de uma coluna vertical fina e homogênea de comprimento L
sujeita a uma carga axial constante P, se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as
extremidades.
Solução:
O problema de contorno a ser resolvido é:
0)(
0)0(
02
2
Ly
y
Pydx
ydEI
Observe primeiramente que y = 0 é uma solução perfeitamente aceitável desse
problema. Essa solução tem uma interpretação intuitiva e simples: se a carga P não for grande
o suficiente, não haverá deflexão. A questão é esta, para que valores de P a coluna vai
defletir? Em termos matemáticos: para quais valores de P o problema de contorno dado tem
soluções não triviais?
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
94
Escrevendo EIP , vemos que:
0)(
0)0(
0"
Ly
y
yy
é idêntico ao problema dado no item 8.2.1.1. Com base no Caso III daquela discussão
vemos que as curvas de deflexão são )/()( 2 Lxnsencxyn , correspondentes aos autovalores
...3,2,1,// 222 nLnEIPnn
Fisicamente, isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando
a força compressiva assumir um dos valores ...3,2,1,/ 222 nLEInPn Essas forças são
chamadas cargas criticas. A curva de deflexão correspondente a menor carga crítica 22
1 / LEIP , chamada de carga de Euler, é )/()( 21 Lxsencxy e é conhecida como o
primeiro modo de deformação.
As curvas de deflexão correspondentes a n = 1, n = 2 e n = 3 são apresentadas na
figura abaixo. Observe que, se a coluna original tiver algum tipo de restrição física em x =
L/2,então a menor carga crítica será 22
2 /4 LEIP e a curva de deflexão será aquela da
figura (b). Se a restrição for colocada na coluna em x = L/3 e x = 2L/3, acoluna somente vai
se deformar quando a carga critica 22
3 /9 LEIP for aplicada. Nesse caso a curva de
deflexão será aquela da figura (c).
6.2.1.3 Corda Girando:
A equação diferencial linear de segunda ordem 0" yy
(18)
ocorre muitas vezes como modelo matemático. Já vimos nas formas 0)/(22 xmkdtxd e
0)/1(22 qLCdtqd como modelos para, respectivamente, um movimento harmônico
simples e um sistema massa-mola e a resposta harmônica simples de um circuito em série. É
evidente que o modelo para deflexão de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como
0)/(22 yELPdxyd , é igual ao que foi dado em (18). Vamos encontrar a Equação (18)
como um modelo que define a curva de deflexão ou a configuração y(x) assumida por uma
corda girando. A situação física é análoga aquela de duas pessoas segurando uma corda e
fazendo-a girar sincronizadamente. Veja as figuras (a) e (b) abaixo.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
95
Suponha que uma corda de comprimento
L e densidade linear constante (massa por
unidade de comprimento) seja esticada ao longo
do eixo x e fixada em x = 0 e x = L. Suponha que
a corda seja então girada em torno do eixo x a
uma velocidade angular constante . Considere
uma parte da corda sobre o intervalo xxx , ,
onde x é pequeno. Se a magnitude T da tensão
T, tangencial a corda, for constante ao longo
dela, a equação diferencial desejada pode ser
obtida igualando-se duas formulações diferentes
da força liquida que age sobre a corda no
intervalo xxx , . Em primeiro lugar, vemos
na figura (c), que a força liquida vertical é:
12 TsenTsenF (19)
Se os ângulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos, teremos
22 tgsen e 11 tgsen . Alem disso, como 2tg e 1tg são, por sua vez, inclinações das
retas contendo os vetores T2e T1, podemos também escrever
)('2 xxytg e )('1 xytg
Assim sendo, (19) vai se tornar:
)(')(' xyxxyTF (20)
Em segundo lugar, podemos obter uma forma diferente dessa mesma força liquida
usando a segunda lei de Newton, F = m.a. Aqui, a massa da corda no intervalo é xm ; a
aceleração centrípeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com
raio r é 2ra . Sendo x pequeno, podemos tomar r = y. Assim sendo, a força liquida
vertical é também aproximada por
2 yxF (21)
onde o sinal de subtração justifica-se pelo fato de a aceleração ter o sentido oposto ao do eixo
y. Igualando-se (21) e (20), temos:
2)()(')(' yxxyxxyT
ou (22)
yx
xyxxyT 2)(')('
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
96
Para x próximo a zero, o quociente da diferença x
xyxxy
)(')('em (22) é
aproximado pela derivada segunda de d2y/dx
2. Finalmente chegamos ao modelo
ydx
ydT 2
2
2
ou (23)
02
2
2
ydx
ydT
Como a corda esta fixa em ambas as extremidades, x = 0 e y = L, esperamos que a
solução y(x) da última equação em (23) também satisfaça as condições de contorno y(0) = 0 e
y(L) = 0.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
97
AULA 12
7. TRANSFORMADA DE LAPLACE
7.1 INTRODUÇÃO
A Transformada de Laplace, ferramenta muito útil na resolução de equações
diferenciais e dos correspondentes problemas de valor inicial e de contorno. Desenvolvida
pelo matemático francês Pierre Simon Laplace há aproximadamente 200 anos, esse método
batizado com o sobrenome de Pierre nada mais é do que uma transformada integral com
algumas propriedades interessantíssimas que auxiliam na resolução de equações diferenciais.
O processo de resolução consiste em três etapas principais:
i. Um problema ―difícil‖ é transformado em equação ―simples‖ (equação
subsidiária).
ii. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas.
iii. A solução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a
solução do problema daddo
Destas maneira, a transformação de Laplace reduz o problema de resolução de uma
equação diferencial a um problema algébrico. A terceira etapa é facilitada pelas tabelas, cujo
papel é análogo ao das tabelas de integras na integração. Essasss tabelas também são uteis na
primeira etapa.
7.1.1 DEFINIÇÃO:
Seja f (x) uma função definida no intervalo ,0 e seja s uma variável real arbitrária.
A Transformada de Laplace de f(x), designada por )(sF ou )(xfL é:
dxxfexfLSF st
0
)()()(
Ao calcular a integral acima, a variável s é considerada como constante, pois a
integração é em relação a x.
Considere a seguinte integral imprópria:
0
dtest
Note que para s=0 a integral acima é divergente. Então vamos supor 0s .
Podemos calcular esta integral da seguinte forma:
1
000
lim1
limlim
sb
b
bst
b
st
b
st ess
edtedte
Assim, podemos concluir que:
Converge: s
dtest 1
0
, se s < 0
Diverge:
0
dtest, se 0s
Observe que quando a integral imprópria convergir, obteremos uma função de s.
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
98
Como notação para TL, usamos letras minusculas para a função a ser transformada e
letra maíuscula para função¸ já transformada, por exemplo:
L { f (t )} = F (s), L {g(t )} = G(s), L {y(t )} = Y (s)
Dentre suas propriedades destaca-se a linearidade, pois podemos escrever
que é equivalente a
Dessa forma podemos determinar a função f (t) tal que L {f (t)} = F (s) através da
Transformada de Laplace Inversa, outra transformação linear que auxilia na resolução de
equações diferenciais.
Nos exemplos seguintes calculam-se as transformadas de Laplace de algumas funções
elementares:
Exemplos:
1) Determine a transformada de Laplace de 1)( xf
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99
2) Determine a transformada de Laplace de 2)( xxf .
3) Deteminde axeL .2)( xxf .
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
100
4) Determine senaxL .
5) Determine )(xfL , se
41
41)(
xse
xsexf .
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
101
7.1.2 DEFINIÇÃO:
Se F (s) representa a Transformada de Laplace de uma função f (t), isto é, L {f (t)} =
F(s), dizemos que f (t) é a transformada inversa de Laplace de F (s) e escrevemos,
Seja f (t) uma função definida no intervalo ,0 então a integral
Tanto para a transformada de Laplace quando para a transformada inversa de Laplace
apresentamos uma ferramenta muito útil ao trabalharmos com essas transformações. Trata-se
de uma tabela de Transformadas e Transformadas Inversas das funções básicas, que segue
abaixo.
1)(1 tf
stfL
1)(1
)()(12 ctutf
s
etfL
cs
)(12
,...)2,1(
)(2
n
ttf n
12
!)(
ns
ntfL
)()()(13 ctfctutf )()(13 sFetfL cs
)1()(3 pttf p
13
)1()(
ps
ptfL
atttf sin)(14
22214
2)(
as
astfL
atetf )(4 as
tfL
1
)(4
atttf sin)(15
222
22
15 )(as
astfL
,...)2,1(
)(5
n
tetf nat
15
)(
!)(
nas
ntfL
atatattf cossin)(16
222
3
16
2)(
as
atfL
bttf sin)(6
226 )(bs
btfL
atatattf cossin)(17
222
2
17
2)(
as
astfL
bttf cos)(7
227 )(bs
stfL
ba
eetf
btat
)(18
))((
1)(18
bsastfL
bttf sinh)(8
228 )(bs
btfL
atattf cosh)(19
222
22
19 )(as
astfL
bttf cosh)(9
229 )(bs
stfL
att
tf cosh2
)(2
20 222
23
20
3)(
as
sastfL
btetf at sin)(10 2210 )(
bas
btfL
a
attf
2
sinh)(21
2221 )(as
stfL
btetf at cos)(11 2211 )(
bas
astfL
xtf ln)(21
s
stfL
ln)(22
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
102
7.2 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
PROPRIEDADES
Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace
L {f +g}=L {f} + L {g} L -1
{F +G}=L -1{F} + L -1{G}
L {cf } = cL {f} L --1
{cF }= cL -1{F}
L {f ’}= sL {f}- f(0) L –1{F(s)}=
n
n1
n
n
ds
)s(Fd
t
)1(L
L {f ’’}= s2L {f}- sf(0) – f ’(0) L –1
s
)s(F= d)(f
t
0
L {f (n)
}= snL {f} - s
n-1f(0) - s
n-2f’(0) - ... - f
(n-1)(0) L -1 (F(s - a)) = e
atf(t)
L {eatf(t)}=F(s - a) )0(f)s(sFlim
s
L )s(Fds
d)1()t(ft
n
nnn )(f)s(sFlim
0s
L
a
sF
a
1)at(f L )s(F
s
1d )(f
t
0
L gf L {f}L {g} L
s
dFt
tf )(
)(
Exemplos:
2) Achar as transformadas:
a) 234 tttf
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
103
b) wtsentf , onde ,w são constantes
c) tsentf 22
7.3 TRANSFORMADA INVERSSA DE LAPLACE
A função original )(tf em )()( sFtfL é chamada de transformada inverssa ou,
simplesmente, a inversa de )(sF , e será representada por )(1 FL, assim escreveremos
)()(1 tfsFL
7.3.1 MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS
Qualquer função racional )(
)(
sQ
sP, onde )(sP e )(sQ são polinômios, com o grau de
)(sP menor que o grau de )(sQ , pode ser escrita como soma de funções racionais (frações
parciais) tendo a forma rbas
A
)( ,
rcbsas
cBs
)( 2
onde ,3,2,1r
Encontramos a transformada inversa de Laplace de cada uma das frações parciais,
podemos encontrar
)(
)(1
sQ
sPL
Exemplos:
)12()12()12()43()12)(43(
52
)5()42()42()5()42(
243
233
22222
2
s
D
s
C
s
B
s
A
ss
s
s
E
ss
DCs
ss
BAs
sss
ss
7.3.2 MÉTODO DO COMPLEMENTO DO QUADRADO
Todo polinômio quadrático em s pode ser posto sob a forma 22)( hksa .
Em particular,
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
104
22
2
22
22
222
42
22
hksaa
bc
a
bsa
a
bc
a
bs
a
bsacs
a
bsacbsas
Onde:
a
bk
2 e
2
2
4a
bch
3) Deterninte tf sendo:
a) 9
12
s
sF
b) 4
122
s
ssF
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
105
c) 16
)1(42
s
ssF
d) ss
sF3
32
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
106
e) )2)(1(
1
sssF
f) 92
12
ss
sF
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
107
AULA 12 - EXERCÍCIOS
Encontrar a inversa das Transformadas de Laplace das Funções abaixo:
1) 3
8
ssF
2) 9
142
s
ssF
3) 3)1(
10
ssF
4) 12
132
ss
ssF
5) 106
1042
ss
ssF
6) 92
12
ss
sF
7) 84
42
ss
ssF
8) )1)(1(
12
ss
sF
9) )1)(2(
3
ss
ssF
10) )4(
12
ss
sF
Respostas:
1) 24t
2) tsent 33
13cos4
3) 25 te t
4) tt ee 34
7
10
7
11
5) sentete tt 33 2cos4
6) te t 8sin..8
1
7) tete tt 2sin.2cos. 22
8) tte t sin2
1cos
2
1
2
1
9) 1
1
3
2
2
1
3
5
ss
10) t2cos4
1
4
1
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
108
AULA 13
Muitos problemas práticos da engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos
sob ação de forças descontínuas ou de impulsos. Para estes tipos de problemas, os métodos
visto em Equações Diferenciais, são difíceis de serem aplicados. Nesta aula, usaremos a
transformada de Laplace para desenvolver um outro método para resolver uma EDO.
7.4 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS
Se )()(' sFtfL temos que s
sFduufL
t)(
)(0
Exemplos:
1)
t
uduL0
2sin
2)
t
t tdteL0
3 cos
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
109
7.5 TRANSFORMADA DE DERIVADAS
Conforme destacado acima, nosso objetivo imediato é utilizar a transformada de
Laplace para resolver equações diferenciais. Para atingir esse objetivo, precisamos calcular
quantidades tais como dtdyL e 22 dtydL . Por exemplo, se 'f for contínua para 0t ,
então a integração por partes resulta em
000
)()0()()()(')(' tfsLfdttfestfedttfetfL ststst
Ou
)0()()(' fssFtfL
Generalizando:
)0()0()0(')0()()( )1()2()2()1( nnnnnn yysysyssFstfL
Emprega-se o método das transformadas de Laplacee para resolver problemas de valor
inicial dados por uma equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes,
juntamente com as condições iniciais.
Exemplo:tt eey
dx
dy
dx
yd 53
2
2
86 , com 0)0('
0)0(
y
y
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides
110
AULA 13 - EXERCÍCIOS
1) 05 ydx
dy, com y(0) = 2
2) xey
dx
dy 55 , com y(0) = 0
3) xydx
dysin , com y(0) = 1
4) 042
2
ydx
yd, com y(0) = 2 , y’(0) = 2
5) 0432
2
ydx
dy
dx
yd, com y(0) = 1, y’(0) = 5
6) 2
2
2
42 xydx
dy
dx
yd , com y(0) = 1, y’(0) = 4
7) xydx
dy
dx
ydsin84
2
2
, com y(0) = 1, y’(0) = 0
Respostas
1) xe52
2) xxe5
3) xxe x sin2
1cos
2
1
2
3
4) xx 2sin2cos2
5) xexexx
2
7sin7
2
7cos 2
3
2
3
6) 32222 22 xxee xx
7) xxxxe s cos65
4sin
65
72sin
130
1312cos
65
692