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Escuela de Historia de la Fısica RSEF, Julio 2014, Fundacion Sierra-Pambley, Villablino

We shall not cease from exploration

And the end of all our exploring

Will be to arrive where we started

And know the place for the first time.

T.S.Eliot, Little Gidding

VISUALIZANDO LA CURVATURA

UNA EXCURSION CULTURAL

Mariano Santander Universidad de Valladolid

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El carro del emperador que apunta ‘hacia el Sur’

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Curvatura: una nocion esencial en fısica

‚ Yu.I Manin, 1970s

Para describir [la curvatura] como desviacion,

empleamos pues un “molde externo”. Este cırcu-

lo de ideas es natural y util, pero la teorıa de

Einstein de la gravitacion, la teorıa de Maxwell

del electromagnetismo, y tambien, como estamos

ahora [finales de los 1970s] comenzando a en-

tender la teorıa de las interacciones fuertes y

quizas, todas las interacciones, requieren nocio-

nes de curvatura mas finas.

La materia afecta a la conexion, imponiendo restricciones sobre

la curvatura, y la conexion afecta a la materia, obligandola a ser

transportada paralelamente a lo largo de sus lıneas de universo.

Las famosas ecuaciones de Einstein, Maxwell-Dirac y Yang-Mills

son expresiones precisas de estas ideas.

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¿Curvatura? ¡Curvatura!

‚ Polisemia

‚ Curvatura ¿de que? ¿Que objetos tienen o pueden tener curvatura?

‹ Curvas, superficies, el propio Espacio, nuestro Espacio-Tiempo, elUniverso, .... Y tambien otras estructuras matematicas basicas en nuestra

descripcion de la Naturaleza.

‹ Matematicamente, en su nivel mas basico, el objeto que puedetener curvatura es una conexion

‚ Curvatura ¿como? ¿Como se describe la curvatura de una curva, de una

superficie, de nuestro Espacio-Tiempo, . . . ?

‹ Para curvas, idea bastante sencilla

‹ Para superficies bidimensionales descripcion muy visualizable. Dos

tipos de curvatura, cada una de las cuales tiene su importancia y su signifi-

cado.

‹ Para espacios de dimension mayor La situacion es mas complicada. Pero

hay un nucleo inicial muy simple conceptualmente que con ciertas estrategias

permite una buena visualizacion.

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¿Curvatura? ¡Curvatura!

‚Curvatura ¿cuando? ¿Tiene nuestro Espacio curvatura? ¿Tiene nuestro Espacio-

Tiempo curvatura? Y si la tiene, ¿podemos ligar esta curvatura con algun

agente fısico?

‚ Teorıa prototipica: Gravitacion como curvatura Tres niveles en la teorıa

de la gravedad

X Metrica (tensor metrico) Potenciales gravitatorios

X Conexion (metrica, de Levi-Civita) Campo gravitatorio ordinario

X Curvatura (tensor de curvatura) Tensor campo de marea

‹ La materia le dice al Espacio-Tiempo como debe curvarse, el Espacio-Tiempo le dice a la materia como moverse.

‚ Las restantes interacciones fundamentales (electromagneticas, debilesy fuertes) admiten descripciones en cuyas matematicas hay una curvatura.

‚ Teorıa prototipica: Electromagnetismo Dos niveles en Electromagnetismo

X Campo gauge (Potenciales electromagneticos) Potencial escalar y vector

X Campo electromagnetico (Tensor de Faraday) Campos electrico y magnetico

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La charla: que es frente a que no es

‚ No es historia en el sentido profesional del termino

‹ Es, en todo caso, una ‘parahistoria conceptual’.

‹ Enfasis en las relaciones entre conceptos, tal cual les vemos hoy,mas que en los avatares historicos.

‚ Matematicas versus Fısica.

‚ Geometrıa ha incluido, tradicionalmente, el estudio de las formas po-sibles.

‹ Matematicas como modelos posibles de la Naturaleza La irrazonable

efectividad de las matematicas (E.P. Wigner)

‚ Antes de hacer un estudio completo, es buena idea tener una imagende que se esta hablando

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Contenido de la charla

‚ La formalizacion de las ideas de curvatura para curvas y luego parasuperficies, culminando tambien en la decada de 1820

‚ La prodigiosa extension de la idea de curvatura de una superficie ala idea de curvatura de un espacio de n-dimensiones alumbrada en

1856.

‹ Esta extension se funde con el largo proceso del descubrimiento delas geometrıas no euclidianas, desde Euclides hasta la decada delos 1820 .

‹ Las geometrıas no euclidianas clasicas son los ejemplos mas sencillos

de espacios curvos, precisamente aquellos de curvatura constante.

‚ La interpretacion de la Gravitacion como curvatura del Espacio-Tiempo,desarrollada entre 1908 y 1916, y confirmada cada vez con mayor precision y

fiabilidad hasta hoy.

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Curvatura de lıneas, de superficies bidimensionales, de espacios n-dim

‚ Idea intuitiva de lınea curva o de superficie curva es bastante primitiva

‚ Pero no fue nada facil matematizar estas ideas Etapas importantes

‹ Huygens, Newton para curvatura de curvas.

‹ Euler, Lagrange, Sophie Germain, Gauss para la curvatura de superficies

bidimensionales

‹ Riemann, Christoffel, Levi-Civita para la curvatura de un espacio general

de dimension arbitraria.

‚ Einstein interpretando la gravitacion como curvatura del Espacio-Tiempo

‚ Otras ideas de curvatura estan detras de nuestra actual descripcionde las interacciones electromagneticas, debiles y fuertes

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La idea de curvatura de una curva en el plano (euclideo)

‹ La curvatura es una sola cantidaden cada punto de la curva, quemide el ritmo al que la curvacambia de direccion

κpsq :“dθpsq

ds

‹ Lınea de curvatura 0 es aquella que no cambia de direccion con elavance Lınea recta.

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La idea de curvatura de una curva en el espacio (euclideo)

‚ Hay dos ‘curvaturas’ en cada puntoPrimera y segunda Curvatura, o curva-

tura y torsion.

‹ Ecuaciones basicas Frenet-Serret.

‚ En un espacio euclideo de dimension n

‹ Hay primera, segunda, . . . n´ 1-esima Curvatura.

‹ Ecuaciones basicas Version n-d de las formulas de Frenet-Serret.

‚ Esquema conceptual Se compara el comportamiento de la curva con un

comportamiento patron prefijado: ser una recta, estar contenida en un plano

bidimensional, estar contenida en un espacio tridimensional,

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Los primeros pasos hacia una definicion de curvatura de una superficie

‚ Descripcion ‘codificada’ vali-da en cualesquiera coorde-nadas metrica, operador de for-

ma, sımbolos de Christoffel, .....

‚ Cantidades que tienen sentidopara una superficie

X Longitudes de curvas

X Angulo entre curvas

X Area de regiones

‚ Geodesicas Lıneas sobre la superficie, con extremos fijados, que hacen extremal

la longitud.

‹ Una vez definidos estos conceptos es posible construir analogos, sobre

una superficie, de cualquier configuracion geometrica en el plano euclideo

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Los primeros pasos hacia una definicion II: curvaturas normales

‚ Resultado basico de la prehistoria de la teorıa de superficies Teorema

de Euler.

‹ Curvaturas normales maxima y mınima (curvaturas principales) κ1y κ2 ocurren en direcciones perpendiculares sobre la superficie

‹ Tomando el origen de angulos en la seccion normal de curvaturamaxima la curvatura de la seccion normal depende del angulo α de una

manera rıgida:

κpαq “ κ1 cos2α ` κ2 sin2α

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Promedios de curvaturas normales: Curvatura media

‚ Promedio sobre todo el haz. Resultado: 12pκ1`κ2q “

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`

κpαq`κpα` π2q

˘

‚ Esta cantidad se define como la Curvatura media de la superficie.

‹ Mensaje subliminal importante: hay infinitas orientaciones posibles de

un plano normal por un punto dado P de la superficie, pero las correspon-

dientes curvaturas normales dependen realmente solo de dos cantidades en

cada punto.

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Geometrıa intrınseca de superficies

‚ Todo lo anterior corresponde a la geometrıa extrınseca de la superficie

‚ ¿Que ocurre si deliberadamente ignoramos el espacio ambiente? Geo-

metrıa intrınseca de la superficie.

‚ Conceptos relevantes de la geometrıa intrınseca Gauss 1829.

X Geodesicas

X Curvatura intrınseca (gaussiana) de la superficie

‚ Curvatura intrınseca mide la desviacion de las relaciones existentes en-tre longitudes, angulos, areas, comparativamente al patron euclıdeo

‚ Varias configuraciones en el plano euclıdeo

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Geometrıa intrınseca de superficies II

‚ Varias configuraciones analogas en una superficie curva Graficos en la

esfera de curvatura K “ 1R2

‹ Sobre la esfera, expresiones validas en el lımite de tamanos pequenos; Adenota el area encerrada por el cırculo o por el triangulo

Cprq « 2πrp1´ 16Kr

2q pα ` β ` γq ´ π « KA

Aprq « πr2p1´ 112Kr

2q

d2δplq

dl2« ´Kδplq

‚ Un solo numero caracteriza la desviacion de todas las relaciones

‹ Este numero (curvatura de Gauss en el punto P) es intrınseco

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Geometrıa intrınseca de superficies III

‚ ¿Relacion entre curvatura gaussiana y las curvaturas principales?

‹ Theorema egregium K “ κ1κ2

‹ ¿Como lo hizo Gauss?

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Interludio sobre la curvatura media

‹ Curvatura media H “ 12pκ1 ` κ2q

‹ Esta es la cantidad que interviene por ejem-

plo en la ecuacion de movimiento de una mem-

brana, como primero vio Sophie Germain.

‹ Configuracion de equilibrio de una mem-brana: aquella superficie con area mınima para

el borde dado

‹ Energıa proporcional a la superficie, ten-sion superficial

‚ Superficies de curvatura media nula son las extremales del area. Se

llaman superficies mınimas.

‹ Por tanto, la idea de superficie mınima en el espacio euclideo es

analoga de la idea de geodesica en el plano euclideo (las rectas)

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Resumen: la historia de la definicion de curvatura de una superficie

‚ A principios del S. XIX faltaba dar el paso crucial: Introducir una medida

de curvatura de la propia superficie, no de curvas sobre la superficie.

‹ Dos cantidades candidatos en competencia ; cada una de un modo,

generalizan para superficies la idea de curvatura de una curva.

‹ Progresivamente fue ganando terreno la idea de que ambas no erancompetidoras sino complementarias. Actualmente se llaman curvatura

extrınseca (o curvatura media) de la superficie y curvatura intrınseca (o de

Gauss) de la superficie.

‹ Son dos medidas de curvatura diferentes, reflejan o corresponden apropiedades diferentes de la superficie.

‚ Moraleja En una superficie es necesario distinguir entre propiedades intrınsecas

y extrınsecas de la superficie.

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Resumen: la historia de la definicion de curvatura de una superficie II

‚ Propiedades extrınsecas: Dependen de como esta la superficie inmersaen su espacio ambiente. Para definirlas se requiere ‘mirar afuera’ dela propia superficie. (Accesibles a seres inteligentes tridimensionales que

pudieran ver la superficie desde fuera)

‹ Ejemplos paradigmaticos: la normal a la superficie o las dos cur-vaturas principales de la superficie en un punto son propiedadesextrınsecas

‚ Propiedades intrınsecas: Las que tienen sentido sin necesidad de mirarafuera de la superficie. (Accesibles a seres inteligentes bidimensionales que

vivieran sobre la superficie)

‹ Ejemplos paradigmaticos: la longitud de una curva sobre la superfi-cie, el angulo entre dos curvas, el area de una region de superficie

‚ Porque se llama ‘teorema egregium’ a la relacion escondida tras K “

κ1κ2

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La idea de transporte paralelo. Caso euclideo

‚ La idea realmente basica; esto tardo mucho tiempo en reconocerse

‚ Formalizacion de la idea de ‘direccion’ resulto ser una fuente inago-table de confusion durante la aventura de las paralelas (Leibniz).

‚ Cuestion ¿Como transportar un vector de un punto a otro mante-niendole en la misma direccion (o paralelo a sı mismo).

‚ Propuesta natural en el plano euclıdeo (obvia, implıcita).

X Angulo constante a lo largo de rectas; consideracion de los vertices

‹Propiedad crucial de este transporte paralelo El resultado del transporte

de un vector de A a B no depende del camino seguido

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La idea de transporte paralelo II. Caso general

‚ Para una superficie bidimensional, introducida por Levi-Civita (1917)

‹ Formulacion matematica Ecuacion del transporte paralelo de un vector.

El transporte paralelo es a lo largo de una curva.

‹ Propiedades basicas

X El transporte paralelo mantiene un vector tangente a la superficie

X Si el transporte es a lo largo de una geodesica, el angulo con la geodesica es constante

X En los vertices, hay que tomar en consideracion el angulo del vertice

‹ El resultado del transporte de un vector depende del camino seguido

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Geometrıa de la superficie revelada por el carro chino indicador del sur

‚ ¿No era esto lo que hacıa el Carro Chino indicador del Sur?

‹ En el plano euclideo sı, pero ¿en una superficie curva?

‚ ¿Y si le enganamos colocandolo sobre una superficie curva?

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El carro indicador del sur realiza el transporte paralelo

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El carro indicador del sur realiza el transporte paralelo

‚ El carro chino (en el lımite de anchura a Ñ 0) realiza exactamentetransporte paralelo para su indicador Esto ocurre independientemente de

que la superficie sea plana (K “ 0) o curva (K ‰ 0), con curvatura constante

o no.

‚ El carro sigue una geodesica de la superficie cuando el indicador esta fi-jo respecto al carro

‚ Si la superficie es plana K “ 0, tras un circuito cerrado el indicadorretorna a su situacion inicial

‚ Si la superficie es curva K ‰ 0, tras un circuito cerrado el indicadorNO retorna a su situacion inicial.

‹ En ambos casos, el indicador regresa habiendo girado un ciertoangulo ∆ « KA que s proporcional al area del circuito cerradoque se ha recorrido. El coeficiente de proporcionalidad es la curvatura

gaussiana de la superficie.

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Matematicas como perspectiva en muchas dimensiones

‚ Yu.I Manin, 1970s

Entre otras cosas, la matematica moderna es un entrenamiento

riguroso, siguiendo un programa unificado, en perspectiva multidi-

mensional.

[...]

... desde su dıas de estudiante, a los matematicos y a los fısicos se

les ensena a pensar de manera diferente. Serıa muy bueno aprender

ambos tipos de pensamiento profesional, como aprendemos a usar

ambas manos, la derecha y la izquierda.

[...]

Un buen fısico utiliza el formalismo como un poeta usa el lenguaje,

justificando su olvido de las demandas del rigor mediante un recur-

so a la verdad fısica, algo que un matematico no podrıa permitirse

a sı mismo hacer.

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Subiendo de dimension. ¿Espacio tri- (o n)-dimensional curvo?

‚ B. Riemann Extension de una tacada a espacios

curvos de cualquier dimension.

‹Riemann solamente considero espacios lo-calmente euclideos De hecho, en su leccion

habla del Espacio.

‚ ¿Es posible visualizar estos espacios?

‹ No resulta util tratar de imaginar un talespacio inmerso en un espacio ambienteplano de dimension mayor

‹ La visualizacion efectiva se basa en apreciar que la curvatura es una

propiedad de naturaleza bidimensional, que toma valores en cada 2-direccion

plana (bivector) por cada punto.

‹ Reduccion a las curvaturas en direcciones bidimensionales: curva-tura seccional

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Visualizacion del caso n “ 3: Bivectores por un punto

‚ Pero ademas de los bivectores representados en los tres diagramas,hay muchos mas bivectores por el punto fijado

‹ Como son las curvaturas seccionales por P ‘a lo largo de’ todosestos bivectores?

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Analogo Riemanniano del teorema de Euler

‚ Consideremos el haz de 2-planos con una‘bisagra’ comun. Segun α varıa, la curva-

tura seccional alcanza valores maximo y mıni-

mo en dos 2-planos ortogonales.

‚ En general, para eleccion arbitraria de lasdirecciones 123 (mutuamente ortogo-nales), la curvatura seccional a lo largodel 2-plano parametrizado por α es

Kp121q “ Kp12q cos2 α `Kp13q sin2 α `K1p23q cosα sinα

‚ Tomando α “ 0 correspondiendo a la curvatura seccional maxima (loque requiere orientar de otra manera los ejes 123), la curvaturaseccional a lo largo del 2-plano parametrizado por α es

Kp121q “ Kp12q cos2 α `Kp13q sin2 α

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Visualizacion del caso n “ 3: Bivectores por un punto

‚ La descripcion completa de la curvaturade un espacio tridimensional requiere6 numeros en cada punto

‚ De esos 6, tres no son esenciales y sepueden reducir a 0 escogiendo ade-cuadamente la orientacion de las di-recciones basicas 123

‹ Sin embargo, es aconsejable seguirpensando siempre en 6 numeros aun-

que algunos puedan reducirse a 0.

‹ Analogo con los vectores ordinarios. Tres numeros en cada punto, de

los que solo uno es esencial; los otros dos se pueden reducir a 0 escogiendo

la orientacion de las direcciones basicas adecuadamente, de manera que una

de las direcciones basicas tenga la misma direccion que el vector. Pero sigue

siendo aconsejable pensar en tres numeros, sea v1 “ v, v2 “ 0, v3 “ 0

‚ Tensor de curvatura de Riemann-Christoffel Rijmn

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Promediando curvaturas

‚ Promedio sobre todas las direcciones 2-planasque contengan una ‘bisagra dada’ Para la

bisagra 1, el resultado de este promedio es pro-

porcional a Kp12q`Kp13q y es independiente de la

orientacion de las direcciones 23 (supuestas sem-

pre ortogonales a la 1 que esta fijada).

‹ Tensor de Ricci

‚ Promedio sobre todas las direcciones 2-planas El resultado de este prome-

dio es proporcional a Kp12q`Kp23q`Kp31q y es independiente de la orientacion

de las direcciones 123 (mutuamente ortogonales).

‹ Escalar de curvatura

‚ Interpretacion visual de la curvatura escalarRegula area y volumen de esferas

‹ Area de la esfera de radio r Aprq ‰ 4πr2.

‹ Volumen de la esfera de radio r Vprq ‰ 43πr

3.

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Curvatura en el Espacio-Tiempo

‚ En 1908 Minkowski introduce la interpretacion que hoy es habitualLa Relatividad (especial) no es mas que la geometrıa real del Espacio-Tiempo

‹ Esta geometrıa es cuadratica (como la euclidea) pero indefinida (encontraste con la euclıdea)

‚ ¿Que consecuencias tiene esta diferencia a efectos de extender la ideade curvatura al propio espacio-tiempo?

‹ Antes de que Einstein y Grossmann utilizaran la geometrıa (pseu-do)Riemanniana, al parecer nadie habıa considerado de manera explıcita

esa posibilidad de un espacio con curvatura localmente minkowskiano.

‹ Afortunadamente lo esencial es que la metrica sea no degenerada. El que

sea definida positiva o indefinida apenas requiere modificaciones de detalle.

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Geometrıa intrınseca del plano de Minkowski

‚ Plano de Minkowski Analogo del plano euclidiano.

‹ Expresiones exactas

χA “ χB ` χCd2δpτq

dt2“ 0 ∆χ “ 0

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Geometrıa intrınseca de planos localmente minkowskianos

‚ Espacio localmente Minkowskiano con curvatura Espacios de DeSitter,

analogos de la esfera y del plano hiperbolico para metricas indefinidas.

‹ Expresiones validas en el lımite de tamanos pequenos (coeficientes omitidos)

χA « χB ` χC `KA d2δpτq

dt2« ´Kδpτq ∆χ « KA

A denota el area (en el espacio-tiempo) encerrada por el triangulo o por el circuito

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Geometrıa intrınseca de espacios localmente minkowskianos 1+2

‚ La curvatura de este espacio esta de-terminada en cada punto por seiscantidades

‹ De ellas tres se pueden reducir a0 adaptando (en ese punto) elsistema de coordenadas

‹ Las tres restantes son las curva-turas Kp01q, Kp02q, Kp12q

‚ A nuestra vision ordinaria, que distingue el tiempo del espacio, estascantidades aparecen de manera muy diferente desde el punto de vista

de cada observador que se considera a sı mismo ‘en reposo’

‹ Kp12q , curvatura del espacio (espacio-espacio).

‹ Kp01q, Kp02q , curvaturas del espacio-tiempo.

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Geometrıa intrınseca del espacio-tiempo localmente minkowskiano 1+3

‚ La curvatura de este espacio esta determinada en cada punto por 20cantidades

‹ De ellas 6 se pueden reducir a 0 adaptando el sistema de coorde-nadas en cada punto.

‹ Entre las restantes cantidades las mas importantes son las seiscurvaturas Kp01q, Kp02q, Kp03q y Kp12q, Kp23q, Kp31q. Corresponden al campo

de marea, o campo gravielectrico.

‹ Aparte estan las componentes del campo gravimagnetico.

‚ A nuestra vision ordinaria, que distingue el tiempo del espacio, estascantidades aparecen de manera muy diferente desde el punto de vista

de cada observador (en movimiento arbitrario) desde su punto de vista propio

(se considera a sı mismo ‘en reposo’)

‹ Kp12q, Kp23q, Kp31q curvaturas del espacio (espacio-espacio).

‹ Kp01q, Kp02q, Kp03q curvaturas del espacio-tiempo.

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Como se relaciona este enfoque con las ecuaciones de Einstein

‚ Enfoque basado en Feynman Lectures on Physics, Lectures on Gravitation

‚ Conjunto completo de las ecuaciones de Einstein resulta ser equivalente

a que, para cualquier observador, en movimiento arbitrario, entre las curvaturas

del espacio-tiempo y la densidad de energıa y presion registradas por el exista

la relacion:

Kp01q `Kp02q `Kp03q “4πG

c2`

ρE ` p1 ` p2 ` p3˘

Kp12q `Kp23q `Kp31q “8πG

c4ρE

‹ Escritas en esta forma, el lımite ‘no relativista’, en el que ρE “ ρmc2,

resulta

Kp01q `Kp02q `Kp03q “ 4πGρm

Kp12q `Kp23q `Kp31q “ 0

La primera es la ecuacion de Poisson del campo gravitatorio newtoniano

pues en ese lımite Kp0iq “B2φBpxiq2

; la segunda refleja que en la gravitacion

newtoniana no hay curvatura espacial.

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Extrapolacion y especulacion

‚ H. Bondi

Parece haber una tendencia muy extendida a con-

siderar ‘autoevidente’ cualquier extrapolacion de

los datos observacionales, por grande que sea, y

por lo tanto, a no contarla como una hipotesis

especial que debe anadirse a las demas hipotesis

que requiera la teorıa [.....]

Es un peligroso habito de la mente humana gene-

ralizar y extrapolar sin reparar en que se esta ha-

ciendo ası. Por ello, el fısico debe contrarrestar

este habito, aplicando vigilancia incesante para

detectar cualquier extrapolacion de ese tipo.

La mayor parte de los avances en fısica han tenido que ver con el

reconocimiento de la falacia de tales extrapolaciones, que al haberse

supuesto como auto-evidentes, no se habıan considerado hipotesis.

Para el avance de la Fısica, estas extrapolaciones constituyen un

peligro mucho mayor que la llamada especulacion.

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Operacionalizacion de la idea de marco de referencia inercial

‚ ¿Hay analogos del Carro chino indicador del sur para explorar la geo-metrıa del espacio-tiempo? Los hay.

‚ Marco de referencia inercial Una impresionante extrapolacion.

‚ Operacionalizacion de la idea de marco de referencia inercial

‹ Observadores necesitan acelerometros y giroscopos Un observador

puede decir de sı mismo que es localmente inercial si:

X Sus tres acelerometros marcan permanentemente 0

X Sus tres giroscopos se mantienen su eje fijo con respecto a su marco espacial

‚ Gravitacion como desviacion del comportamiento de los observadoreslocalmente inerciales con respecto al comportamiento patron

X Dos observadores localmente inerciales estan en reposo relativo

X Dos oservadores localmente inerciales no rotan uno con respecto al otro

‚ Marcos de referencia localmente inerciales Caracterizacion operacional.

‹ Movimiento de traslacion relativo de observadores cercanos

‹ Movimiento de rotacion relativa de observadores cercanos

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Unos valores numericos

‚ Estimaciones numericas del valor de las curvaturas seccionales

Curvatura tiempo-espacio (Campo de marea) debido a la Tierra, sobre su superficie:

Kp0iq «GMC

R3C

» 1,541 ¨ 10´6s´2

Curvatura espacio-espacio debida a la Tierra, sobre su superficie:

Kpijq «GMC

c2R3C

» 0,17 ¨ 10´24m´2 KC » 2,67 ¨ 10´14m´2

Campo de marea debido al Sol, sobre la Tierra:

Kp0iq «GM@

R3@C

» 3,97 ¨ 10´14s´2

Campo de marea debido a la Luna, sobre la Tierra:

Kp0iq «GMK

R3@K

» 8,6 ¨ 10´14s´2

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Coda

¿Como se explica lo que es una ‘estrella’ a al-

guien que nunca ha visto una estrella?.... Inclu-

so quienes ven las estrellas preguntan ‘¿Que es

una estrella?’ porque ver solamente con los pro-

pios ojos es, todavıa, demasiado poco. Los “ojos

de la mente” deben ser capaces de ver en el es-

pacio de fase de la Mecanica, en el espacio de

los sucesos elementales de la teorıa de la proba-

bilidad, en el espacio curvo tetradimensional de

la relatividad general, en el espacio proyectivo de

dimension infinita de la Mecanica Cuantica, . . .

Yuri I. Manin, Mathematics and Physics

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MUCHAS GRACIAS

www://unavistacircular.wordpress.com

msn@fta.uva.es

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