Bloque-2- Movimiento vibratorio y ondulatorioMovimiento armónico Simple (M.A.S.)

La ecuación de un m.a.s. se obtiene a partir de la proyección de un movimiento circular sobre una recta.Si la proyección se realiza sobre el eje x, resulta: x = A cos (wt+j0) Si la proyección se realiza sobre el eje y, resulta: y = A sen (wt+j0) Elongación x: Distancia en un instante dado al punto de equilibrio Amplitud A: Elongación máxima. El valor de x varía entre -A y +A Fase q=wt+j0: Describe el movimiento angular en el punto P Fase inicial j0: Determina la elongación inicial: x0 = x (t = 0) = A cos j0

El período T es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dicho movimiento. Se mide en segundos (s)La frecuencia υ es la inversa del período e indica el número de veces que se repite una posición en cada segundo. Se mide en (s-1) o Hertzios (Hz).La frecuencia angular o pulsación w se mide en (radianes/segundo) υ = ω/2π

T = 2π/ω

Velocidad en el movimiento vibratorio armónico simple

Derivando la ecuación general del m.v.a.s., x = A cos (wt + j0) resulta:

Como x = A cos (wt+j0) Þ x2 = A2 cos2 (wt+j0) v=±w √A2−x2La velocidad es cero cuando x = ±A ( extremos)

La velocidad es máxima cuando x = 0 ( centro) vmáx = ±wA

Aceleración movimiento vibratorio armónico simple

Derivando la ecuación de la velocidad: v = - A w sen (wt + j0) resulta: Como x = A cos (wt + j0) : a = - w2 x

El valor máximo se alcanza en los extremos, en los que x = ± A Þ amáx = ± w2 A

La dinámica del movimiento vibratorio armónico simple

Según la ley de Hooke: F = - kx k = - m w2 Por la segunda ley de Newton: F = m a = - m w2 x

El péndulo simple como oscilador armónico

Consiste en un hilo inextensible de masa despreciable suspendida de un extremo; del otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual.Puede considerarse como un m.a.s. si la separación de A del punto de equilibrio es tan pequeña como para despreciar la curvatura de la trayectoria.

Eje Y: T – Py = m an Eje X: Px = m ax Þ – mg sen q = m ax

Simplificando resulta: – g sen q = ax Para ángulos pequeños, sen q = q ax = – g q

Energía del oscilador armónicoEnergía cinética; la energía cinética de una masa m con un MAS es Ec =1/2·mv2. Como v =-ωAsen(ωt+j0) ; Ec =1/2·mω2A2 sen2 (wt+j0). Como ω2=K/m → Ec =1/2·K·A2 sen2 (wt+j0). La energía cinética de un oscilador armónico varía periódicamente entre un valor mínimo en los extremos (Ec=0) y máximo en la posición de equilibrio Ec =1/2·K·A2. Fuera de esa posición de equilibrio, el valor de la energía cinética es: Ec =1/2·K·(A2-x2)

Energía potencial; Sabemos que W = -ΔEp. Si tenemos un cuerpo unido a un resorte que oscila horizontalmente sin fricción.

El W al desplazar el cuerpo desde x hasta una posición de equilibrio es W=∫x

0

−K xdx = 1/2Kx2 . Por lo tanto:

Ep(x) =1/2·K·x2. Como: x = A cos (wt+j0) → Ep =1/2·K·A2cos 2(wt+j0). La energía potencial de un oscilador armónico varia desde un valor mínimo en la posición de equilibrio (Ep = 0) a un valor máximo en los extremos Ep =1/2·K·A2

Energía mecánica total; E= Ep+ Ec= 1/2·K·A2cos 2(wt+j0). + 1/2·K·A2 sen2 (wt+j0); La energía mecánica de un oscilador armónico permanece constante si no actúan fuerzas disipativas y su valor es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud E =1/2·K·A2

P0

o- A

+ A

x1

x2

P

P’

A

A- A

+ A

P

o P’

wt2

+j0

x = A cos (wt+j0)

wt1

+j0

)t(cosAA)t(cos1Av j+w-w±j+w-w±

sen2

+ cos2

= 1 Þ

sen (wt+j0

) =

)t(cos1 02 j+w-

Þ X=A

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

X=0

X=-A

a >0

x >0v >0a <0

x >0v =0a <0 x >0

v <0a <0

x =0v <0a =0 x <0

v <0a >0

x <0v >0a >0

x =0v >0a =0

x <0v =0

Þ km2T

m

y

P= mg

q

TPy= mg cos q

Lx

Px = – mg sen q

Þ

xa2w-

Þq L = x Þ

a = dvdt

=d2 xd t 2

= − Aω2cos (ωt +ϕ0)

Movimiento ondulatorio

Es la propagación de una perturbación originada por un movimiento armónico simple (MAS). En un movimiento ondulatorio no hay transporte de materia, pero sí hay transporte de energía y de momento lineal

Tipos de ondasSegún su naturaleza:- Mecánicas: Precisan de un medio material para su propagación.- Electromagnéticas: Pueden propagarse por el vacío.Según su direcciónde propagación:- Longitudinales: La dirección de propagación de la onda coincide con la dirección de vibración de la perturbación.- Transversales: La dirección de propagación de la onda es perpendicular a la dirección de vibración de la perturbación.

ECUACIÓN O FUNCIÓN DE ONDA: La función de onda es la ecuación que describe un movimiento ondulatorio → y(x,t) = A cos (wt-kx+j0)también se puede expresar como: y(x,t) = A cos2π (t/T-x/λ)Características de una onda : Su forma se corresponde con una función armónica (seno o coseno) ω es frecuencia angular o velocidad angular: ω=2π/T y k es número de onda: k=2π/λLos puntos que en un instante tiene elongación máxima se denominan vientresAquellos que tienen elongación nula se denominan nodosTambién denominado período (T) es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos estados idénticos y sucesivos de la perturbación en un punto. Coincide con el período del m.v.a.s. del foco de la perturbación Amplitud (A): Elongación máximafrecuencia (n) que es la inversa del período La longitud de onda (l) es el intervalo de longitud entre dos puntos sucesivos que se encuentran en idéntico estado de perturbación. velocidad de propagación (v): v=λ/T

Si v>0 la onda se desplaza hacia la derecha y(x,t) = A cos (wt-kx)Si v<0 la onda se desplaza hacia la izquierda y(x,t) = A cos (wt+kx)

Velocidad y aceleración transversal de vibraciónv = dy/dt =- Aω sen (wt-kx+j0)a= dv/dt =- Aω2 cos (wt-kx+j0)

Doble periodicidad de la ecuación de una onda

Periódica en el tiempo: Para una posición fija (x=cte) la función es periódica a lo largo del tiempo según la gráfica situada a la izquierda.

Periódica en el espacio: Para un tiempo determinado (t=cte) la función es periódica a lo largo del espacio según la gráfica situada a la derecha

Energía transmitida por las ondas

Intensidad de una onda, I: La I de una onda en un punto es la energía que atraviesa perpendicularmente la unidad de superficie colocada en dicho punto en la unidadde tiempo. Se mide en W/m2.

Amortiguación de ondas

Se llama amortiguación a la disminución de la amplitud de una onda. Una onda se amortigua a medida que avanza, por dos causas: la absorción del medio y la atenuación con la distancia

Amortiguación de ondas: Atenuación Se producen ondas esféricas cuyo frente se propaga en todas direcciones del espacio Este fenómeno se produce aunque no haya disipación de energía al medio, y se debe exclusivamente a una cuestión geométrica La intensidad de la onda esférica en el punto B1 que dista r1 del foco emisor F es:

Y en el punto B2 que dista r2 del foco emisor F :

Por tanto,

Amortiguación de ondas: absorción

La absorción es el proceso de interacción de una onda con el medio material en el que se propagan, debido a lo cual la intensidad de la onda disminuye

rr

AA

rr

II

1

2

2

121

22

2

1 Þ

FB2B

1

r1

r2

y

o x

A

-A

Pxp

nodo

vientre

l

I = ES t

= PS

I 1 = P

4 π r12I 2 = P

4 π r22

I=I o e−θx

donde Io es la intensidad incidente; I es la intensidad saliente; x es el espesor del material y θ es el coeficiente de absorción del material

Propiedades de las ondas:

REFLEXIÓN:"La reflexión consiste en el cambio de dirección de propagación de una onda cuando pasa de un medio a otro diferente, y continúa en el primer medio"Leyes de la reflexión:- El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie de separación de ambos medios están en el mismo plano.- El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son iguales.

i=r Ley de la reflexión

REFRACCIÓN:"La refracción consiste en el cambio de dirección de propagación de una onda cuando pasa de un medio a otro diferente"Leyes de la refracción:- El rayo incidente, el rayo refractado y la normal a la superficie de separación de ambos medios están en el mismo plano.- El ángulo de incidencia y el ángulo de refracción están relacionados por:

sen isen r

= cte = v1v2

Ley de Snell

REFLEXIÓN TOTAL

Si la luz pasa de un medio de mayor incide de refracción a otro de menor índice, el rayo se ira alejando de la normal, de manera que conforme i sea mayor r aumentara. Pues bien puede ocurrir que r se haga tan grande que su valor llegue a los 90º y que por lo tanto no llegue a pasar al otro medio. Al ángulo incidente cuyo refractado vale 90º se le llama ángulo limite o crítico, y sabemos que si incidimos sobre una superficie con un ángulo superior a él, la luz no atravesará dicha superficie produciendo la reflexión total.

DIFRACCIÓN:Cuando una onda llega a un abertura cuyo tamaño es comparable a su longitud de onda, la onda cambia su dirección.. Igualmente, cuando una onda llega a un obstáculo cuyo tamaño es comparable a su longitud de onda, la onda rodea el obstáculo sin romperse."La difracción es la desviación en la propagación rectilínea de las ondas, cuando éstas atraviesan una abertura o pasan próximas a un obstáculo"

INTERFERENCIA DE DOS ONDAS COHERENTES DE IGUAL FRECUENCIA Y VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN Si se consideran dos focos coherentes F1 y F2, emisores de las ondas armónicas y1 e y2, que tienen la misma frecuencia y la

misma velocidad de propagación

Y1= A1·cos(ωt-kx1)Y2= A2·cos(ωt-kx2)

Como cos α + cos β = 2 cos α+β2

· cosα−β2

YTotal= 2A(cos(ωt-kx2+x12

)·cos k(x2−x12

¿)

Interferencia constructiva: (x2-x1) =nλInterferencia destructiva: (x2-x1) = (2n-1)λ/2

PRINCIPIO DE HUYGENS:

"Todo punto en un frente de onda es centro emisor de nuevas ondas elementales cuya envolvente es el nuevo frente de onda."

Rayo refractado

Rayo incide

nte

Rayo reflejado

Foco N

SAB

ri

ri’r

r’

O

i

i’

r

Se aplica de la siguiente forma: Se toman diversos puntos del frente de ondas en un instante dado y se trazan pequeñas circunferencias centradas en ellos. El nuevo frente de onda es la envolvente curva que pasa tangente a todas las circunferencias) a dichas circunferencias.

ONDAS ESTACIONARIAS:

Las ondas estacionarias se forman al interferir dos ondas de iguales características que se propagan en la misma dirección pero en sentidos contrarios.(la onda que se propaga en sentido contrario es el resultado de la reflexión de la onda incidente contra un obstáculo).Se denominan estacionarias porque dan lugar a un patrón de vibración estacionario, es decir, que permanece en el tiempo.

- Si las ecuaciones de las ondas que interfieren son:

Y1=A1sen(ωt-kx)Y2=A2sen(ωt+kx)

Como sen α + sen β = 2 sen α+β2

· cosα−β2

Ytotal= 2A cos kx senωt

donde: Amplitud: 2A cos kxM.A.S.: senωt

Ondas estacionarias con una cuerda fija en ambos extremos:

L=nλ/2 υ=nV2 L

Ondas estacionarias con una cuerda fija en uno de sus extremos:

L=(2n−1) λ

4υ=

(2n−1)V4 L

EFECTO DOPPLER

"El efecto Doppler es un fenómeno ondulatorio que se produce cuando hay un movimiento relativo entre un foco emisor de ondas y un observador.La frecuencia percibida por el observador es distinta de la frecuencia emitida por el foco"

νF = Frecuencia propia del foco emisor (estando en reposo).νo = Frecuencia percibida por el observador O en movimiento.Vsonido = Velocidad del las ondas en el medio.vO = Velocidad del observador.vF = Velocidad del foco emisor.

νo = νF V sonido±V OV sonido∓V F

ONDAS SONORAS

La producción y propagación del sonido se producen por las vibraciones emitidas por un foco emisor, se transmiten a las partículas contiguas del medio, produciendo así compresiones y dilataciones que se propagan a través de él.

CUALIDADES DEL SONIDO: Intensidad: Es la cualidad por la que se perciben los sonidos con mayor o menor fuerza. Está relacionada con la amplitud de la onda sonora. Tono: Permite distinguir entre sonidos graves y agudos. Está relacionada con la frecuencia. Timbre: Permite distinguir los sonidos emitidos por distintas fuentes (personas, instrumentos musicales, ....) aunque tengan la misma sonoridad y tono). Está

relacionado con la forma de la onda.

El nivel de intensidad sonora b se define como: IIlog10I

Ilog00

db bÞb