1
FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN,
DIFERENSIAL TOTAL,
ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH, DAN
FUNGSI IMPLISIT
MAKALAH
Dosen Pengampu: Dra. Emi Pujiastuti, M.Pd
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2010
KELOMPOK 6
1. Eli Primahanani 4101409101
2. M. Gani Rohman 4101409106
3. Wilda Yulia Rusyida 4101409109
4. Intan Hidayati 4101409092
2
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Makalah ini akan menyajikan materi tentang keterdiferensialan dan diferensial total
fungsi skalar, aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit. Dalam
keterdiferensialkan akan dibahas 6 masalah beserta penyelesaiannya.
Makalah ini akan membahas secara detail materi- materi yang disebutkan diatas. Tidak
hanya definisi atau penjelasannya saja yang akan dibahas, tetapi makalah ini juga akan
memberikan beberapa contoh dan penyelesaiannya serta beberapa latihan sehingga pembaca
dapat paham betul tentang materi tersebut.
B. Prasyarat
Materi prasyarat yang dibutuhkan agar dapat memahami makalah ini adalah sebagai
berikut :
1. Kalkulus 1
2. Kalkulus 2
3. Aljabar Linear Elementer
4. Geometi Dasar
C. Kompetensi dan Indikator
Kompetensi :
1. Memahami konsep dan penyelesaian masalah pada keterdiferensialan serta diferensial
total fungsi skalar.
2. Memahami konsep aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit.
3. Mengidentifikasi matriks jacobi.
Indikator :
1. Dapat menjelaskan kembali tentang konsep keterdiferensialan dan diferensial total fungsi
skalar.
2. Dapat menjelaskan kembali konsep aturan rantai,turunan berarah, dan turunan fungsi
implisit.
3. Dapat menyelesaikan soal yang berkaitan dengan keterdiferensialan, diferensial total,
aturan rantai, matriks jacobi, turunan berarah, dan turunan fungsi implisit.
3
D. Tujuan Pembelajaran
1. Mahasiswa dapat menjelaskan kembali definisi serta konsep keterdiferensialan dan
diferensial total fungsi skalar.
2. Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan keterdiferensialan
dan diferensial total fungsi skalar.
3. Mahasiswa mampu menjelaskan dan mendefinisikan konsep aturan rantai, turunan
berarah, serta turunan fungsi implisit.
4
BAB II
PEMBAHASAN
FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN DAN DIFERENSIAL TOTAL
A. PENGANTAR
Dalam kalkulus, kita ingat kembali bahwa fungsi real yang terdefinisi pada selang
buka yang memuat disebut terdeferensialkan di jika ada.
Bentuk limit ini dapat dituliskan sebagai Dengan
menyamakan penyebut dari bentuk fungsi yang diambil limitnya diperoleh,
Kita akan menyajikan konsep turunan secara lain, untuk itu tulislah
maka diperoleh dengan
.
Situasi fungsi satu peubah yang terdeferensialkan di satu titik diperlihatkan pada gambar 1.
Y
f
f(x)=f(a + x )
fxfy )( (a)
f (a)
g x
s X
a x a + x
x- a
Fungsi Skalar Terdiferensialkan Kelompok 6
5
Dengan cara mengganti oleh , yang mengakibatkan dapat diganti oleh
, diperoleh bahwa fungsi real terdeferensialkan di jika
.
Bentuk limit ini dapat dituliskan sebagai .
Dengan menyamakan penyebut dari bentuk fungsi yang diambil limitnya, diperoleh
.
Kemudian dengan menuliskan maka diperoleh
dengan . Dari analisis di atas, kita sampai pada suatu kesimpulan berikut yang
dapat juga digunakan sebagai definisi keterdeferensialan dari satu peubah.
Definisi 3.2.1
Misalkan fungsi satu peubah real terdefinisi pada selang terbuka yang memuat .
1. Fungsi dikatakan terdeferensialkan di jika ada dan terdapat
sehingga memenuhi dengan
. Di sini, diferensial fungsi f di a didefinisikan sebagai
.
2. Fungsi dikatakan terdeferensialkan di jika ada dan terdapat yang
memenuhi dengan . Di
sini diferensial fungsi di didefinisikan sebagai .
Pada konsep diferensial fungsi satu peubah, kita telah mempelajari bahwa untuk
yang cukup kecil, diferensial merupakan suatu hampiran yang
cukup baik untuk , hal ini disebabkan karena .
B. FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN
Pada pasal ini akan diperkenalkan konsep fungsi dua peubah real yang terdiferensialkan di
satu titik pada suatu daerah. Kemudian, konsep keterdiferensialkan fungsi skalar dengan dengan
peubah di m dibahas sebagai perumuman dari hasil yang diperoleh. Kita mempunyai fungsi dua
Fungsi Skalar Terdiferensialkan Kelompok 6
6
peubah real ),( yxfu yang terdefinisi pada daerah 2D dengan fungsi turunan parsial
pertama xf dan yf kontinu di titik .),( Dba . Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata
(TNR) untuk turunan fungsi real, pertambahan u dari peubah tak bebasnya dapat dituliskan dalam
bentuk
),(),( bafybxafu
)],(),([),(),(( bafybafybafybxaf
),(),( 21 ybafxybxaf yx
Dimana dan besarnya bergantung pada . ydanx
Selanjutnya, kekontinuan fungsi di (a,b) mengakibatkan
).,(),(lim ),(),( bafyxf xxbayx Misalkan dan yby , maka
),(),()0,0(),( bayxyx , sehingga ),(),(lim 11)0,0(),( bafybxaf xxyx
Atau .0),(lim ),(1)0,0(),( baxxyx fybxaf
Kemudian sebutlah ),() ,(),( 111 bafybxafyx xx , maka
11 ),() ,( bafybxaf xx dengan 0),(lim 1)0,0(),( yxyx . Dengan cara yang
sama kekontinuan fungsi ),( di baf y mengakibatkan adanya ),(22 yx yang memenuhi
22 ),() ,( bafybaf yy dengan 0),(lim 2)0,0(),( yxyx .
Kita tuliskan kesimpulan dari proses ini dalam rumus berikut, yang dikenal sebagai rumus
dasar pertambahan.
Teorema (3.2.2) Rumus Dasar Pertambahan
Jika fungsi ),( yxfu mempunyai turunan parsial pertamayang kontinu di titik pada
daerah2D , maka pertambahan ),() ,( bafybxafu . Dapat ditulis dalam bentuk
),(),(),(),( 21 yxyxybafxbafu yx
Dengan 0),(limdan 0),(lim 2)0,0(),(1)0,0(),( yxyx yxyx .
Hasil ini memberikan gagasan pada rancangan keterdeferensialan fungsi dua peubah di satu
titik dan pada suatu daerah yang lengkapnya sebagai berikut.
Fungsi Skalar Terdiferensialkan Kelompok 6
7
Definisi
Misalkan fungsi dua peubah ),( yxfu mempunyai turunan parsial pertama di titik ),( ba
yang terletak pada daerah 2D .
Fungsi dikatakan keterdeferensialan di Dba ),( jika terdapat fungsi ),(11 yx dan
),(22 yx sehingga pertambahan ),() ,( bafybxafu dapat ditulis sebagai
),(),(),(),( 21 yxyxybafxbafu yx dengan
0),(limdan 0),(lim 2)0,0(),(1)0,0(),( yxyx yxyx .
1. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan pada daerah 2D jika fungsi f terdeferensialkan
di setiap titik pada daerah .
2. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan secara kontinu di ),( ba fungsi f terdeferensialkan di
),( ba dengan fungsi turunan parsial xf dan yf kontinu di titik itu.
3. Fungsi dikatakan terdiferensialkan secara kontinu pada daerah 2D jika fungsi f
terdeferensialkan secara kontinu di setiap titik pada daerah .
Dari proses diperolehnya rumus dasar pertambahan dan definisi keterdiferensialan fungsi dua
peubah di ),( ba kita mempunyai rumus penting berikut.
Teorema 3.2.4
Jika fungsi ),( yxfu mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di titik ),( ba
pada daerah 2D , maka fungsi f terdiferensialkan secara kontinu di titik ),( ba .
Selanjutnya kita dapat menuliskan definisi fungsi dua peubah yang terdiferensialkan tanpa
notasi y danx , untuk itu tulislah b-yy danaxx maka fungsi ),( yxfu
terdiferensialkan di ),( ba jika pertambahan ),(),( bafyxfu dapat dituliskan sebagai
)()())(,())(,( 21 byaxbybafaxbafu yx di mana 1 dan 2 dari
bdan ,, ayx dengan 0limdan 0lim 2),(),(1),(),( bayxbayx .
Syarat terakhir dapat ditulis dalam bentuk
)()())(,())(,(),(),( 21 byaxbybafaxbafbafyxf yx dengan 1 dan 2
mendekati nol untuk ),(),( bayx .
Fungsi Skalar Terdiferensialkan Kelompok 6
8
Perhatikan bahwa pada bentuk ini ))(,())(,(),(),( bybafaxbafbafyxf yx
adalah persamaan bidang singgung di titik )),(,,( bafbaP pada permukaan ),( yxfu . Hasil ini
merupakan perumuman dari situasi serupa untuk fungsi satu peubah yang terdiferensialkan di , yaitu
)())((')()( axaxafafxf dengan mendekati nol untuk x mendekati a. Di sini
))((')()( axafafxf adalah persamaan garis singgung pada kurva )(xfy di titik (a,f(a)).
Seperti pada fungsi real, setiap fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di suatu titik itu.
Berikut ini adalah rumus penting tersebut beserta pembuktiannya.
Teorema 3.2.5
Jika fungsi dua peubah ),( yxfu terdiferensialkan di ),( baf pada daerah ,
maka fungsi kontinu di ),( ba .
Bukti:
Karena fungsi f terdiferensialkan di titik ),( ba , maka
yyxxyxybafxbafu yx ),(),(),(),( 21 dengan
0),(lim 1)0,0(),( yxyx dan 0),(lim 2)0,0(),( yxyx . Ini mengakibatkan
. 0lim )0,0(),( uyx
Karena ),,(),( bafybxafu maka dari bentuk limit ini diperoleh
),(),()0,0(, bayxyx yang langsung membawa kita sampai pada hasil
.),(),(lim ),(),( bafyxfbayx .
Ini berarti bahwa fungsi f kontinu di ),( ba , dengan demikian terbuktilah yang
diinginkan.■
Catatan Kebalikan Teorema 3.2.5 tidak benar lagi, sebagai contoh pengangkal, fungsi
),( yxf =22 yx kontinu di )0,0( tetapi tidak terdiferensialkan di titik itu karena f x )0,0( dan
f y )0,0( tidak ada.
Ikhtisar keterdiferensialan fungsi dua peubah yang didasarkan pada Rumus Dasar
Pertambahan diberikan dalam diagram berikut.
Fungsi u = f(x,y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di (a,b) yang terletak
pada daerah D 2 .
Fungsi Skalar Terdiferensialkan Kelompok 6
9
dan
Dan
RDP: Rumus Dasar Pertambahan
C. KETERDIFERENSIALAN FUNGSI VEKTOR DI RM
Konsep keterdiferensialan fungsi dua peubah yang telah dibahas dapat diperumum untuk
fungsi skalar u = f (X), X suatu titik pada daerah D ≤ Rm. Keterdiferensialan fungsi tiga peubah u = f
(x,y,z) yang mempunyai turunan parsial di titik (a,b,c) pada daerah D ≤ R3 didefinisikan sebagai
berikut. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan di (a,b,c) jika terdapat fungsi skalar
2211 ),,,( zyx
sehingga pertambahan
Dapat ditulis sebagai
dengan
),( yxfu f kontinu
di (a,b)
f kontinu pada D
f terdiferensialkan di (a,b)
f terdiferensialkan di D
xf
kontinu di (a,b)
yf ada
di (a,b)
xf ada
di (a,b)
yf
kontinu di (a,b)
RDP
f terdiferensialkan secara kontinu di (a,b)
f terdiferensialkan secara kontinu di D
Fungsi Skalar Terdiferensialkan Kelompok 6
10
Keterdiferensialan fungsi skalar u = f (X), X = (x1,x2,…,xm) yang mempunyai turunan parsial
di A = (a1,a2,…,am) pada daerah D ≤ Rm
didefinisikan sebagai berikut. fungsi f dikatakan
terdiferensialkan di A є D jika terdapat fungsi skalar
sehingga perubahan
)
dapat ditulis sebagai
dengan memenuhi
Sifat keterdiferensialan fungsi dua peubah berlaku juga untuk fungsi skalar yang umum. pada
fungsi skalar u = f(X), X ≤ D ≤ Rm, D suatu daerah di R
m kita juga mempunyai sifat bahwa setiap
fungsi skalar yang terdiferensialkan secara kontinu di suatu titik akan terdiferensialkan di titik itu dan
setiap fungsi skalar yang terdiferensialkan di suatu titik akan kontinu di titik itu.
Masalah I
Keterdeferensialan fungsi langsung dari definisinya.
Contoh 3.10. Selidiki keterdeferensialan fungsi f(x,y) = x 2 + y 2 pada D f = 2 langsung
dengan menggunakan definisinya.
JAWAB
Di sini D f = 2 dan fungsi f kontinu pada D f (jelaskan mengapa!). misalkan (a,b)
titik sebarang pada D f , akan diselidiki apakan fungsi f terdeferensialkan di (a,b). Untuk
fungsi ini, turunan parsial pertama dan nilainya di (a,b) adalah
f x (x,y) = 2x, f x (a,b) = 2a dan f y (x,y) = -2y , f y (a,b) = -2b
sehinggan pertambahannya adalah
u = f (a+ x,b+ y) – f(a,b) = ((a+ x) 2 -(b+ y) 2 ) – (a 2 -b 2 )
= 2a x – 2b y + x 2 - y 2
Selanjutnya akan dicari ε 1 = ε 1 ( x, y) dan ε 2 = ε 2 ( x, y) yang memenuhi
11
u = f x (a,b) x + f y (a,b) y + ε 1 ( x, y) x + ε 2 ( x, y) y
dengan
)0,0(),(lim
yx ε 1 ( x, y) = 0 dan
)0,0(),(lim
yx ε 2 ( x, y) = 0
Gantikan hasil yang diperoleh sebelumnya pada bentuk pertambahan u, diperoleh
2a x – 2b y + x 2 - y 2 = 2a x – 2b y + ε 1 ( x, y) x + ε 2 ( x, y) y
sehingga
ε 1 ( x, y) x + ε 2 ( x, y) y = ( x) x + (- y) y
Ambillah
ε 1 ( x, y) = x dan ε 2 ( x, y) = - y
maka ε 1 dan ε 2 memenuhi rumus dasar pertambahan dengan
)0,0(),(lim
yx ε 1 ( x, y) =
)0,0(),(lim
yx x = 0
dan
)0,0(),(lim
yx ε 2 ( x, y) =
)0,0(),(lim
yx (- y) = 0
Jadi fungsi f terdiferensialkan di (a,b) D f = 2 ; dan karena (a,b) sebarang pada
D f , maka fungsi f terdiferensialkan pada D f .
Masalah 2
Keterdeferensialan fungsi dari kekontinuan
turunan parsial pertamanya
Contoh 3.11. Selidiki apakah fungsi
(a) f (,x,y) = tan 1 xy (b) g(x,y) = e2yx
terdeferensialkan pada daerah definisinya.
12
JAWAB
(a) Fungsi f kontinu pada D f = 2 (jelaskan mengapa). Untuk fungsi ini, turunan parsial
pertamanya terhadap x dan y adalah
f x (x,y) = 221
1
yx dan f x (x,y) =
221
1
yx
Karena fungsi f x dan f y kontinu pada 2 (jelaskan mengapa), maka fungsi f
terdiferensialkan pada 2 .
(b) Fungsi g kontinu pada D g = 2 (jelaskan mengapa). Untuk fungsi ini, turunan parsial
pertamanya terhadap x dan y adalah
g x (x,y) = e2yx dan g x (x,y) = 2ye
2yx
Karena fungsi g x dan g y kontinu pada 2 (jelaskan mengapa), maka fungsi g
terdiferensialkan pada 2 .
Masalah 3
Ketak-terdeferensilan fungsi di suatu titik dari
ketak-kontinuan fungsinya di titik itu
Contoh 3.12. Tunjukkan fungsi
f(x,y) =
)0,0().(,0
)0,0(),(,42
2
yx
yxyx
xy
tidak terdeferensialkan di (0,0).
JAWAB
Fungsi f terdefinisi pada D f = 2 dengan (0,0) suatu titik-titik dari D f . Kita akan
menyelidiki kekontinuan fungsi f di titik itu.
Misalkan (x,y) (0,0) sepanjang sumbu Y (garis x = 0), maka
13
f(0,y) = 42
2
0
.0
y
y
= 0
sehingga di sepanjang garis ini
)0,0(),(limyx
f(x,y) =)0,0(),(
limyx 42
2
yx
xy
=
0limy
0 = 0
Misalkan (x,y) (0,0) sepanjang kurva x = y 2 , maka
f(y 2 ,y) = 44
22 .
yy
yy
=
4
2
2y
y=
2
1
sehingga di sepanjang garis ini
)0,0(),(limyx
f(x,y) =)0,0(),(
limyx 42
2
yx
xy
=
0limy 2
1=
2
1
Karena sepanjang garis x = 0 dan sepenjang kurva x = y 2 limit fungsi f untuk (x,y) (0,0)
berbeda, maka
)0,0(),(limyx
f(x,y) tidak ada
Jadi fungsi f tidak kontinu di (0,0), karena itu berdasarkan kontra posisi teorema 3.2.5,
fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0).
Masalah 4
Ketak-tederferensialkan fungsi di suatu titik dari
titik terdapatnya turunan parsial di titik itu
Contoh 3.13. Tunjukkan fungsi f(x,y) = x (y-1) tidak terdeferensialkan di (0,0).
JAWAB
Fungsi f pada D f = 2 karena merupakan perkalian dari dua fungsi kontinu, yaitu
g(x,y) = x dan h(x,y) = y-1 . Pada situasi ini, f x (0,0) harus ditentukan dari definisi turunan
parsial karena aturan
14
yxf x , = (y-1)dx
d( x ) = (y-1)
x
x
tidak menjangkau (0,0). Turunan parsial fungsi f terhadap y adalah f y (x,y) x , sehingga
.0)0,0( yf
Karena
)0,0(xf = 0
limx 0
)0,0()0,(
x
fxf=
0limx x
x
dengan limit terakhir tidak ada (jelaskan mengapa), maka fungsi f tidak terdeferensialkan di
(0,0).
Masalah 5
Ketak-terdeferensialkan fungsi kontinu di suatu titik
langsung dari definisinya
Contoh 3.14. Tunjukkan fungsi
f(x,y) =
)0,0(),(,0
)0,0(),(,22
yx
yxyx
xy
kontinu dan mempunyai turunan parsial di (0,0) tetapi tidak terdeferensialkan di titik itu.
JAWAB
Fungsi f terdefinisi pada D f = 2 dengan (0,0) suatu titik-limit dari D f , akan
ditunjukkan )0,0(),(
limyx
f(x,y) = f(0,0).
Karena
022 yx
xy
22
22
2222
2
.yx
yx
yxyx
yx
yx
y
dengan
15
)0,0(),(limyx
0 = 0 = )0,0(),(
limyx
22 yx
maka berdasarkan prinsip apit,
)0,0(),(limyx 22 yx
xy
= 0
Dari sini diperoleh
)0,0(),(limyx
f(x,y) = )0,0(),(
limyx 22 yx
xy
= 0 = f(0,0)
Ini mengakibatkan fungsi f kontinu di (0,0).
Turunan parsial pertama dari fungsi f di (0,0) adalah
f x (0,0) = 0
limx 0
)0,0()0,(
x
fxf=
0limx x
0=
0limx
0 = 0
f y (0,0) = 0
limy 0
)0,0(),0(
y
fyf=
0limy y
0=
0limy
0 = 0
Ini berarti bahwa fungsi f mempunyai turunan parsial di (0,0).
Kita tinggal menunjukkan bahwa fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0) dengan cara
kontradiksi. Andaikan fungsi f terdiferensialkan di (0,0), maka terdapat fungsi
1 = 1 ( yx , ) dan 2 = 2 ( yx , )
yang memenuhi
yxyfxffyxff yx 21)0,0()0,0()0,0(),(
dengan
0),(lim 1)0,0(),(
yxyx
dan 0),(lim 2)0,0(),(
yxyx
Jika kita mempunyai fungsi
16
yxyxf 21),(
Khususnya untuk xy diperoleh fungsi
xxyxf .))((),( 21
Tetapi menurut definisi fungsi f yang diketahui,
xxx
x
xx
xyxf
.2
2
12
2
1
2),(
2
22
2
Dari kedua hasil terakhir kita sampai pada kesamaan
xxx .22
1.))(( 21
22
121 x
Karena 0lim 10
xx
dan 0lim 20
xx
, maka
22
12
2
1limlim0
021
0
xxx
yang merupakan suatu kontradiksi. Kontradiksi ini disebabkan oleh pengandaian bahwa suatu
fungsi f terdeferensialkan di (0,0). Dengan demikian kesimpulannya haruslah fungsi f tidak
terdiferensialkan di (0,0).
Masalah 6
Keterdiferensialan fungsi di suatu titik tetapi tidak
terdiferensialkan secara kontinu di titik itu
Contoh 3.15. Tunjukkan fungsi
0),(,0
)0,0(),(,1
sin, 22
2
yx
yxyx
xyxf
17
terdiferensialkan di titik (0,0), tetapi tidak terdiferensialkan secara kontinu di titik itu. (Fungsi
turunan parsial pertama xf dan yf tidak kontinu di titik (0,0)).
JAWAB
Fungsi f terdefinisi pada 2fD yang memuat (0,0). Turunan parsial pertama dari
fungsi f terhadap x dan y di (0,0) adalah
x
xx
x
fxff
xxx
1sin
lim0
)0,0()0,(lim)0,0(
2
00
01
sinlim0
x
xx
dan
00lim00
lim0
)0,0(),0(lim)0,0(
000
yyyy
yy
fyff
Kita akan menunjukkan fungsi f terdiferensialkan di (0,0) dengan cara mencari
yx ,11 dan yx ,22 sehingga memenuhi rumus dasar pertambahan
yxyfxffyxff yx 21)0,0()0,0()0,0(),(
dengan
0),(lim 1)0,0(),(
yxyx
dan 0),(lim 2)0,0(),(
yxyx
Gantikan semua informasi yang diketahui pada rumus dasar pertambahan, diperoleh
yxyxyx
xyxff
2122
2 .0.01
sin),(
Ini mengakibatkan
18
Ambillah
kemudian tunjukkan
Dari ketaksamaan
dengan
Maka berdasarkan prinsip apit diperoleh
Akibatnya,
Secara otomatis, karena , maka
Jadi rumus dasar pertambahan untuk fungsi f di (0,0) dipenuhi; dengan demikian kita
telah menunjukkan bahwa fungzi f terdiferensialkan di (0,0).
Sekarang kita tunjukkan bahwa fungsi turunan parsial pertama fx dan fy tidak kontinu
di titik (0,0), tentukan dahulu persamaan fungsinya kemudian tunjukkan bahwa limitnya di
(0,0) tidak ada. Setelah bentuk fungsi turunan parsial pertamanya disederhanakan diperoleh
dan
Kita tunjukkan bahwa fungsi fx dan fy keduanya tidak mempunyai limit di (0,0).
19
Sepanjang garis x = 0:
Sepanjang garis y = 0:
Limit di sepanjang garis y = 0 ini tidak (jelaskan mengapa). Karena itu fungsi fx tidak kontinu
di (0,0).
Sepanjang garis x = 0
Sepanjang garis y = x:
Limit di sepanjanggaris y = 0 ini tidak ada (jelaskan mengapa). Karena itu fungsi fx tidak
kontinu di (0,0).
D. DIFERENSIAL TOTAL FUNGSI SKALAR
Kita akan mempelajari konsep diferensial dari fungsi dua peubah, yang dikenal sebagai
diferensial total. Untuk ini perhatikan kembali konsep garis singgung pada fungsi real xfu yang
terdiferensialkan secara kontinu di titik ax pada selang terbuka D. konsep ini menyatakan bahwa
persamaan garis singgung di titik afbba ,, pada kurva adalah
axafby '
Pada situasi ini diferensial dari fungsi f di ax didefinisikan sebagai
axdx dan axafdy ' Atau xdx dan dxafdy '
Berdasarkan definisi kita menuliskan
xxafafxafafxfy .'
Dengan 0 x untuk 0x . Karena xafdy ' maka dy merupakan
suatu hampiran yang cukup baik untuk pertambahan y bila x cukup kecil. Gagasan konsep
diferensial fungsi real adalah penghampiran nilai fungsi xf atau xaf oleh nilai fungsinya
Diferensial Total Kelompok 6
20
pada garis singgung di titik afbba ,, . Dengan perkataan lain, kurva f di sekitar
ax dihampiri oleh garis lurus yang menyinggung kurvanya di titik ba, .
Konsep diferensial fungsi dua peubah real dirancang dengan cara yang sama dan hasilnya
dapat diperumum untuk fungsi skalar lainnya. Kita ingat kembali persamaan bidang singgung pada
permukaan yxfuS ,: di titik Scba ,, , fungsi f terdiferensialkan secara kontinu di titik
ba, adalah yxXAXbafcz ,,., dan ba,
atau dalam bentuk komponennya bybafaxbafcz y ,,
Tulislah axx dan byy , maka persamaan bidang singgung pada permukaan S
di titik bafccba ,,,, adalah ybafxbafbafz yx ,,,
Bandingkan hasil ini dengan syarat keterdiferensialan secara kontinu dari fungsi
yxfz , di titik ba, pada daerah 2RD ,
yxybafxbafbafyxff yx 21,,,,
fx dan fy kontinu di yxba ,,, 11 dan yx ,22 dengan
dan
Keterdiferensialan secara kontinu menjamin adanya bidang singgung pada permukaan S di
titik cba ,, . Di sini kita melihat bahwa ruas kanan persamaan bidang singgung merupakan suatu
hampiran yang cukup baik untuk ∆f karena pada rumus dasar pertambahan berlaku 01 untuk
0,0, yx . Berdasarkan kenyataan ini kita mendefinisikan konsep diferensial total fungsi dua
peubah sebagai berikut:
Definisi
Misalkan fungsi dua peubah yxfu , terdiferensialkan secara kontinu di titik ba, pada
daerah 2RD f .
1. Diferensial dari peubah bebas x dan y , ditulis dx dan dy , didefinisikan sebagai xdx dan
ydy .
2. Diferensial (diferensial total) dari peubah tak bebas u, ditulis badu , atau badf , ,
didefinisikan sebagai dybafdxbafbadf yx ,,,
Diferensial Total Kelompok 6
21
Pada definisi ini, diferensial total dari fungsi f di titik fDyx , adalah
dyyxfdxyxfyxdf yx ,,, atau disingkat dyfdxfdf yx
Dari konsep fungsi dua peubah real yang terdiferensialkan secara kontinu di titik (x,y) pada
daerah D, diperoleh yxdff 21 dengan untuk )0,0(),( yx . Ini berarti bahwa df
merupakan suatu penaksir yang baik untuk f .
Konsep diferensial total dari fungsi dua peubah dapat diperumum untuk fungsi scalar
mRDXXfu ),( yang terdiferensialkan secara kontinu pada daerah D. diferensial total dari
fungsi tiga peubah u = f(x,y,z) yang terdiferensialkan secara kontinu di titik ),,( cbaX pada daerah
D didefinisikan sebagai mxmxx dxfdxfdxfdf ...2211
Pada contoh berikut dibahas beberapa contoh tentang diferensial total dari fungsi dua peubah
dan diferensial total sebagai suatu hampiran.
Contoh : Diketahui fungsi xxyyxf 2),( 2
(a). Hitunglah Δf dan df.
(b). Hitunglah Δf dan df di (4,3) dengan Δx = 0,01 dan Δy = 0,02.
(c). Tanpa menghitungnya secara langsung, taksirlah f (5,12;6,85) dengan diferensial kemudian
bandingkan dengan nilai eksaknya.
JAWAB
(a). Fungsi f terdefinisi pada R2, fungsi turunan parsial pertama dari f terhadap peubah x dan y
adalah
2),( 2 yyxf x dan xyyxf y 2),(
Karena fungsi turunan parsial pertama fx dan fy kontinu pada R2 maka fungsi f terdiferensialkan
secara kontinu pada R2.
Pertambahan dari fungsi fdi titik (x,y) є R2 adalah
),(),( yxfyyxxff
)2()(2))(( 22 xxyxxyyxx
Diferensial Total Kelompok 6
22
yyxxyxyyxyxy )2()()2()2( 22
Diferensial total dari fungsi f di titik (x,y) є R2 adalah
dyxydxydf )2()2( 2
(b). Untuk x=4, y=3, x=-0,01 dan y=0,02 diperoleh
)3,4()02,3;99,3()3,4()02,03;01,04( ffff
= 410396,0)4,23,4()99,3(2)02,3)(99,3( 22 dan
41,0)02.0)(3,4,2()01,0)(23( 2 df
Perhatikan bahwa di sini df merupakan suatu hampiran untuk f karena x dan y cukup
kecil.
(c). Kita akan menentukan nilai ),( yyxxf untuk 12,5 xx dan 85,6 yy .
Pilihlah 7,12,0,5 yxx dan 15,0y maka nilai taksiran dari )85,6;12,5(f
dengan konsep diferensial adalah )7,5()7,5()85,6;12,5( dfff
)15,0)(70()12,0)(47(235
14,13068,4235
Nilai eksak di titik )0032,230()85,6;12,5(
E. MATRIKS JACOBI
Kita akan menyajikan konsep keterdiferensialan fungsi skalar dengan menggunakan
transformasi linear, hasil yang diperoleh akan diperumum untuk membahas konsep keterdiferensialan
fungsi vektor dengan peubah vektor. Untuk ini perhatikan kembali konsep keterdiferensialan fungsi
skalar di satu titik pada suatu daerah.
Fungsi skalar mxxxXXfu ,,,, 21 yang mempunyai turunan parsial di
maaaA ,,, 21 pada daerah mD dikatakan terdiferensialkan di A jika terdapat fungsi
mhhh ,,,1 211 , mt ,,2,1 sehingga pertambahan f dapat ditulis sebagai
mmmxxmmm hhhAfhAfaaafhahaffma
1112111 ,,,,,
dengan 01 bila mihhh m ,,2,1,0,,0,0,,, 21
Diferensial Total Kelompok 6
23
Kita tuliskan syarat keterdiferensialan ini dengan notasi vektor. Misalkan mhhhH ,,, 21 ,
maka mm hahaHA ,,11 , sehingga syaratnya dapat dituliskan dalam bentuk
mmhhHAfAfHAf 11 dengan
01 bila mihhh m ,,2,1,0,,0,0,,, 21
syarat keterdiferensialan terakhir dapat diganti dengan syarat yang lebih kuat, yaitu mengambil
Hm ,1 dan mengganti 1h oleh H , sehingga diperoleh
HHHAfAfHAf dengan
0
0lim
H
H
Perhatikan bahwa syarat yang terakhir selalu mengakibatkan syarat yang di atasnya juga berlaku. Jadi
sekarang kita sampai pada hasil berikut.
Definisi
Fungsi skalar DRDf ,: daerah XfuRm , dikatakan terdiferensialkan di DA
jika terdapat vektor V dan suatu fungsi skalar mhhhHH ,,,, 21 yang memenuhi
HHHVAfHAf dengan
0
0lim
H
H
Pada definisi ini vektor V adalah gradien dari fungsi f di A, yaitu
AfAfAfAfVmxxx ,,,
21
Dengan menggunakan sifat aljabar linear, maka untuk vektor V yang diketahui terdapat suatu
transformasi linear L sehingga HVHL . Jadi konsep keterdiferensialan fungsi skalar di satu
titik pada suatu daerah dapat ditampilkan dalam bentuk berikut.
Definisi
Fungsi skalar DRDf ,: daerah XfuRm , dikatakan terdiferensialkan di DA jika
terdapat transformasi linier RRL m : dan suatu fungsi skalar mhhhHH ,,,, 21
yang memenuhi
Diferensial Total Kelompok 6
24
HHHLAfHAf dengan
0
0lim
H
H
Pada definisi ini matriks transformasi linear L yang mempunyai ukuran m1 adalah vektor
gradiennya. Jadi L dapat ditulis dala bentuk
m
xxx
h
h
h
AfAfAfHAfHLmx
2
1
,,,2
Transformasi linear L dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lainnya seringkali ditulis tanpa
kurung, yaitu HL ditulis LH . Dengan cara penulisan seperti ini, syarat keterdiferensialan dari
fungsi skalar menjadi
HHLHAfHAf dengan
0
0lim
H
H
Bentuk terakhir dapat ditulis sebagai
HHHADfAfHAf dengan
0
0lim
H
H atau,
HHHAfAfHAf ' dengan
0
0lim
H
H
Dalam penulisan seperti ini, ADf atau Af ' dinamakan turunan fungsi skalar f di A.
Perumuman dari hasil yang sedang kita pelajari akan digunakan untuk memperkenalkan
konsep keterdiferensialan dari fungsi vektor dengan peubah vektor yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi
Fungsi vektor dengan peubah vektor DRDF n ,: daerah mR , 1
1
1 eXfXfUn
i
dikatakan terdiferensialkan di DA jika terdapat transformasi linear nm RRL : dan suatu
fungsi vektor m
n
i
hhhHeHHEE ,,,, 211
1
1
yang memenuhi
HEHLHAFHAF dengan
0
0lim
H
HE
Diferensial Total Kelompok 6
25
Seperti halnya pada fungsi scalar, jika terdapat tranformasi linear yang berkaitan dengan
fungsi F di A, maka kita menyatakan tranformasi tersebut dengan DF(A) atau F’(A). dengan cara
penulisan ini syarat keterdiferensialan dari fungsi vector dengan peubah vector dapat ditampilkan
dalam bentuk
)()()()( HEHHADFAFHAF dengan atau,
)()(')()( HEHHAFAFHAF dengan
Pada situasi ini, vektor F(A+H), F(A) dan E(H) dapat dipandang sebagai matriks berukuran n
X 1, matrika transformasi L berukuran n X m dan vector H sebagai matriks berukuran m X 1. baris
ke-i dari matriks tranformasi L adalah vektor gradien dari komponen fungsi fi(x) di A,
yaitu niAf ,...,2,1),(1 . Dalam bentuk matriks, syarat keterdiferensialan untuk fungsi vektor
dengan peubah vektor dapat ditulis sebagai
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)(
)(
)(
)(
(
2
1
2
1
222
111
2
1
2
1
21
21
21
H
H
H
H
h
h
h
AfAfAf
AfAfAf
AfAfAf
Af
Af
Af
HAf
HAf
HAf
nnnxnxnx
xxx
xxx
nn m
m
m
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
nX1 nX1 nXm mX1 nX1
matriks tranformasi L
Matriks transformasi L dinamakan matriks Jacobi dari fungsi F dan ditulis dengan lambang JF(A).
Jadi matriks Jacobi dari fungsi F adalah
A
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
A
fff
fff
fff
Ax
fAJ
m
nnn
m
m
nxnxnx
xxx
xxx
j
i
F
m
m
m
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
222
111
21
21
21
)()(
Perhatikan beberapa contoh berikut tentang menentukan matriks Jacobi dari suatu fungsi
vektor dengan peubah vektor.
Diferensial Total Kelompok 6
26
Contoh : Tentukan matriks Jacobi dari fungsi vektor dengan peubah vector
xy
xyxyxFF
1
2
22
tan
2),(,: di titik (1,1).
JAWAB : Komponen fungsi vektor dari F adalah xyxyxf 2),( 2
1 dan xyyxf 1
2 tan),(
Matriks Jacobi dari fungsi F di titik (x,y) 2 adalah
xx
y
xyx
y
f
x
f
y
f
x
f
yxJ F 1
222
11
tan1
222
),(
Sehingga matriks Jacobi dari fungsi F di titik (1,1) adalah
4
1
2
120
1,1FJ
SOAL LATIHAN 1
1. Selidiki apakah yxeyxf 2
),( terdiferensialkan pada daerah definisinya!
2. Tunjukkan bahwa yxxeyxf y 2),( dapat didiferensialkan dimanapun
3. Tentukan , ),,( zyxfDy dan jika
dan temukan pula differensial totalnya.
Diferensial Total Kelompok 6
27
ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH DAN
FUNGSI IMPLISIT
A. PENGANTAR
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua
pembaca. Jika ))(( txfy , dengan f dan x keduanya fungsi yang dapat dideferensialkan, maka
dx
du
du
dy
dx
dyy ' .
B. ATURAN RANTAI
Teorema Aturan Rantai I
Jika fungsi x=x(t) dan y=y(t) terdiferensialkan di Dt dan fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan
di (x,y)=(x(t),y(t)) fD , maka fungsi z=g(t)=f(x(t), y(t)) juga terdiferensialkan di t dengan
aturan : dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz..
dimana y
z
x
z
, dihitung di (x,y)= (x(t),y(t)).
Aturan rantai I dapat ditampilkan dalam bentuk diagram pohon berikut
x t
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz..
2 peubah
Bukti :
Karena fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)Df, maka :
yxyy
zx
x
zz 21..
x
z
y
z
dt
dx
dt
dyz t
Aturan Rantai Kelompok 6
28
Dimana ),,(11 yx ),(22 yx , dengan
0),(lim 1)0,0(),(
yxyx
dan 0),(lim 2)0,0(),(
yxyx
untuk 0t berlaku 21.. t
x
t
x
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
,
karena )()( txttxx dan )()( tyttyy maka
)0,0(),(0 yxt
Akibatnya 1 dan 2 adalah fungsi dari t dengan
,0lim)(lim 1)0,0(),(
10
yxt
t dan
.0lim)(lim 2)0,0(),(
20
yxt
t
Juga untuk 0t , diperoleh
dt
dx
t
x
t
0lim dan
dt
dy
t
y
t
0lim .
Dengan menggunakan semua hasil ini pada bentuk
21
00..limlim
t
y
t
x
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
tt
diperoleh dt
dy
y
z
dt
dx
t
z
dt
dz
….. terbukti
Pada rumus di atas, z dipandang sebagai fungsi satu peubah terhadap t untuk dt
dzdan
dipandang sebagai fungsi duua peubah terhadap x dan y untuk x
z
dan
y
z
.
Teorema aturan rantai I dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks
dt
dx
dt
dyy
z
x
z
dt
dz
Aturan Rantai Kelompok 6
29
Jika dimisalkan
y
z
x
zXftytxtXXftgz )(')),(),(()(),()(
Maka aturan rantai I dapat ditulis sebagai
,)(').('' tXXfdt
dzz sama dengan bentuk aturan rantai pada fungsi real.
Contoh : Andaikan z=x3y, dimana x=2t dan y=t
2 tentukan
dt
dz !
Dengan menggunakan aturan rantai I diperoleh :
=(3x2y)(2)+(x
3)(2t)
=3(2t)2(t
2)2+(2t)
32t
=24t4+16t
4
=40t4
Aturan rantai I untuk 3 peubah
Jika fungsi x=x(t), y=y(t), dan z=z(t) terdiferensialkan di t pada daerah D dan fungsi
u=f(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) Df maka u sebagai fungsi dari t.
u=g(t)=f(x(t),y(t),z(t)) terdiferensialkan di t D dengan aturan :
dt
dz
z
u
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
dt
du
.
Contoh : Andaikan w=x2y+y+xz dimana x=cos t, y= sin t dan z=
2t . Tentukan !
Penyelesaian : Jelas dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
Aturan Rantai Kelompok 6
30
.cos2coscossinsin.cos2
cos2cos)1(cos)sin)(sin.cos2(
)2(cos)1()sin)(2(
322
22
2
tttttttt
tttttttt
txtxtzxy
Teorema Aturan Rantai 2
Jika fungsi ),( yxuu dan ),( yxvv terdiferensialkan di titik 00 , yx pada daerah Df
dan fungsi ),( vutz terdiferensialkan di 00 , yx pada daerah Df dengan
),( 000 yxuu dan ),( 000 yxvv , maka fungsi )),(),,((),( yxvyxufyxgz
terdiferensialkan di titik ),( 00 yx dengan aturan :
Dalam bentuk diagram pohon dapat digambarkan, sebagai berikut:
x
u y
dv
dz
dx
dv
dy
dv
Bukti :
Untuk z terhadap x.
Buatlah y tetap, tulis y=yo, maka u dan v hanyalah fungsi dari x, yaitu u=u(x,yo) dan v=v(x,yo).
Dipunyai fungsi u dan v terdiferensialkan di xo dengan aturan
),(),(
),( 00
00
00 yxx
uyxu
yxdx
dux
x
u
u
z
y
u
z
v x
Aturan Rantai Kelompok 6
31
),(
),(),( 00
00
00 yxx
vyxv
yxdx
dvx
Gantikan hasil ini pada fungsi z=g(x,y) yang diketahui kemudian gunakan aturan rantai 1 di
titik )( 0,0 vu dan )( 0,0 yx maka diperoleh :
))(),((),( 000 yxufyxgz dan
),(),( 0000 yxxu
ufyx
xu
uf
dx
dg
dx
dz
xv
vf
xu
uf
( Terbukti )
Dalam bentuk perkalian matriks, aturan rantai 2 dapat ditulis
y
u
x
u
y
v
x
vy
z
u
z
y
z
x
z
Misalkan
)),(),,((,)(),( yxvyxuUUfyxgz ,maka :
')(',)(' zdan
y
u
x
u
y
v
x
v
XUv
z
u
zUf
y
z
x
z
Sehingga
)(').('' xUUfz
Bentuk ini persis sama dengan aturan rantai pada fungsi real.
Contoh :
Jika xyzyxw 222 dimana x=st, y=s-t, dan z=s+2t, tentukan !
Aturan Rantai Kelompok 6
32
( purcel jilid 2, hal: 282 )
Penyelesaian :
Dipunyai
tsz
tsy
stx
xyzyxw
2
222
Jelas t
z
z
w
t
y
y
w
t
x
x
w
t
w
tsststs
tssttsststs
tssttsstsst
zxysyx
10222
84222
2)2(2)1()()(2)()()(2
22)1()2()2(
22
22
Jelas s
z
z
w
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w
tststst
tssttststst
tssttsttsst
zxytyx
4422
42222
1)2(21)()(2)()(2
121)2()2(
22
22
Jadi tsststst
w10222 22
dan tststst
s
w4422 22
( purcel jilid 2, hal: 282 )
Aturan Rantai Kelompok 6
33
Teorema Aturan Rantai 3
Misalkan , D daerah di dan , E daerah di sehungga
Jika fungsi F terdiferensialkan di dan fungsi G terdiferensialkan di
maka fungsi komposisi terdiferensialkan di X dengan aturan
( )’ dimana,
.
Dalam bentuk matriks Jacobi, rumus terakhir ditulis sebagai
Diagram panah dari komposisi
G(F(X))
X
F(X)
m PnF G
Aturan Rantai Kelompok 6
34
Dengan cara seperti aturan rantai 1 dan 2 , kita dapat menyajikan aturan rantai ini dalam
diagram pohon, yang penggunaanya cukup praktis.
Bukti:
Karena fungsi F terdiferensialkan di maka terdapat suatu transformasi linear
dari ke dari fungsi vektor yang memenuhi
F(X+H)= F (X) + F (X)H+ 0)(lim)( 101 ! HEdenganHEH
h
Karena fungsi G terdiferensialkan di , maka terdapat suatu
transformasi linear dari ke dan fungsi vektor E(H) yang
memenuhi
Kita akan menentukan suatu transformasi linear dari ke dan suatu fungsi
vektor E(H) yang memenuhi
0)(lim)()())(())((0
HEdenganHEHHXJXFGHXFGHFG
Misalkan : )()(')(_)()( 1 HEHHXFXFHXFHKK , maka
)())(('))(())(())(( 2 KEKKXFGXFGKXFGHXFG
Dengan menggunakan G’(F(X)) linear kita sampai pada kesimpulan
)()())((')('))((('))((
)()())((')('))((('))()(()((
21
21
KEH
KHEXFGHHXFXFGXFG
KEH
KHHEXFGHHXFXFGXFFGHXFG
Ambillah
)('))((')( XFXFGXJ FG , dan )()())((')( 21 KE
H
KHEXFGHE
Kemudian buktikan 0)(lim0
HEh
Dengan menggunakan lemma 3-3-3 yang berbunyi:
Aturan Rantai Kelompok 6
35
Jika L:nm suatu transsformasi Linear maka XbLXb Diperoleh
)()())((' 11 HEbHEXFGb
Karena 0)(lim 10
HE
H, maka 0)(lim 10
HEH
Dari kedua hasil diperoleh 0)())(('lim 10
HEXFG
H, Dari definisi K=K(H) diperoleh
)()(' 1 HEXFH
K , akibatnya
H
K terbatas. Ini berarti c
H
Kc 0 yang
mengakibatkan HK .Dari sini diperoleh 00 KH , sehingga kita sampai
pada ini memberikan 0)(lim 20
KE
h.
Kemudian, karena ,0)()()( 20H
22 lim
KEdenganKEcKEH
Kmaka
.0)(20
lim
KEH
K
H
Karena itu,
.000)()())((')( 20
100
limlimlim
KEH
KHEXFGHE
HHH
Dengan demikian terdapat transformasi linear )('))((' XFXFG dan fungsi skalar E(H)
sehingga memenuhi
)())('))(('())(())(( HEHHXFXFGXFGHXFG dengan
0)(lim0
HEH
Ini membuktikan bahwa terdiferensialkan di X dan
)('))((')()'( XFXFGXFG ( Terbukti ).
Aturan Rantai Kelompok 6
36
C. TURUNAN BERARAH
Definisi 3.3.5:
Misalkan fungsi ),( yxfz terdefinisi pada daerah 2RD dan ),( vuu suatu vektor
satuan di R2. Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u ditulis
),(),,( yxu
zyx
u
f
. ),( yxDu atau ),( yxDu
didefinisikan sebagai ,),(),(
lim),(0 h
yxfhvyhuxfyx
u
f
h
bila limit ini ada.
Catatan :
1. Jika vektor satuan 2Ru ditulis dalam bentuk
).,(),sin,(cos posxsbuu ,
maka turunan berarah dari ),( yxfz di ),( yxX dalam arah vektor satuan u dapat
didefinisikan sebagai :
h
yxfhyhxfyx
u
f
h
),(sin,cos(lim),(
0
.
2. Jika ),( yxX , maka ,),( huXhvyhux sehingga turunan berarah dari fungsi
),( yxfz di ),( yxX dalam arah vektor satuan u dapat didefinisikan sebagai:
h
XfhuxfX
u
f
h
)()(lim
0
.
3. Sesuai dengan definisi 3.3.5, turunan berarah dari fungsi ),( yxfz di ),( baA pada
daerah 2RD dalam arah vektor satuan u didefinisikan sebagai
h
bafhvbhuafba
u
f
h
),(),(lim,
0
, bila limit ada.
4. Konsep turunan berarah didesain dengan menggunakan limit fungsi satu peubah.
Turunan Berarah Kelompok 6
37
Cara menghitung turunan berarah
Turunan berarah dari fungsi ),( yxfz di titik ),( yx pada suatu daerah D dalam arah
vektor satuan ),( vuu dapat dihitung dengan salah satu cara berikut :
a. Misal, g(t)=(x+tu,y+tv), maka
)0('0
)0()(lim),(
0g
h
ghgyx
u
f
h
, bila limit ini ada.
b. Dalam kasus fungsi f terdefinisikan di titik ),( yx 2RD , aturan rantai dengan r = r(t )=
x + tu dan s = s(t) = y + tv memberikan
vs
fu
x
fu
r
f
dt
ds
s
f
dt
dr
r
f
.
karena untuk t = 0 berlaku r = x dan s = y, maka
uyxfvy
fu
x
fgyx
u
f),()0('),(
2.. Teorema 3.3.6 Menghitung Turunan Berarah dengan Vektor Gradien
Jika fungsi ),( yxfz terdiferensialkan di titik ),( yx pada daerah 2RD maka turunan
berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u di titik ),( yx :
.),(),( uyxfyxu
f
dimana jyxfiyxfyxf yx ),(),(),(
3. Turunan berarah dan bidang singgung permukaan
Syarat terdapatnya bidang singgung pada permukaan ),(: yxfzs di titik ),,( cba
memuat ),( ba . Syarat ini memberikan terdapatnya turunan berarah di titik ),,( cba untuk
sebarang vektor satuan u.
4. Turunan berarah sepanjang suatu kurva
Definisi 3.3.7
Misal fungsi z=f(x,y) terdefinisi pada daerah 2RD yang memuat titik A. Turunan berarah
dari fungsi f sepanjang kurva 2RC yang melalui A didefinisikan sebagai turunan berarah di A
dalam arah vektor singgung satuannya.
Turunan Berarah Kelompok 6
38
Berdasarkan definisi ini, turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C yang melalui A
adalah )(Au
f
, dimana u vektor singgung satuan dari kurva C di titik A.
5. Turunan berarah dari fungsi scalar lainnya
Definisi 3.3.8
1. Misalkan fungsi tiga peubah u=f(x,y,z) terdefinisi pada daerah 3RD dan u=(u,v,w) vektor
satuan di R3, turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u, ditulis
),,( zyxu
f
didefinisikan sebagai
0
lim),,(
hzyx
u
f
h
zyxfhwzhvyhuxf ),,(),,( bila limit ini ada.
2. Misalkan fungsi skalar w=f(x), X= mxxx ,...,, 21 terdefinisi pada daerah mRD dan
muuuU ,...,, 21 vektor satuan di R3
Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u ditulis )(xu
f
, didefinisikan
,)(
lim0 h
huXfx
u
f
h
bila limit ada.
3. Misalkan fungsi tiga peubah u=f(x,y,z) terdefinisi pada daerah 3RD yang memuat A dan
kurva C di R3 melalui A.
Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai Au
f
,
dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.
4. Misalkan fungsi skalar w=f(x), X= mxxx ,...,, 21 terdefinisi pada daerah mRD yang
memuat titik maaaA ,...,, 21 dan kurva C di Rm melalui titik A.
Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai Au
f
,
dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.
Teorema 3.3.9 Menghitung turunan berarah dari fungsi skalar dengan vektor gradien.
Turunan Berarah Kelompok 6
39
Jika fungsi skalar fungsi skalar w=f(x), X= mxxx ,...,, 21 terdiferensialkan di titik X pada
daerah mRD dan muuuU ,...,, 21 vektor satuan di U
m, maka turunan berarah dari fungsi f
di titik DX dalam arah vektor satuan u adalah
n
i
iexffuxfxu
f
1
, .
Arti Geometri Turunan Berarah
Arti geometri dari turunan berarah dari fungsi z=f(x,y) di A=(a,b) dalam arah vektor satuan u
adalah gradient garis singgung di titik P(a,b,f(a,b)) pada kurva C yang merupakan perpotongan
antara permukaan s=z=f(x,y) dengan bidang r yang dibentang oleh garis (k,u) dan melalui titik P.
Contoh soal :
Tentukan turunan bararah dari fungsi 22 32, yyxyxf dalam arah vektor satuan yang
membentuk sudut 6
1 dengan sumbu X positif di titik (x,y) dan di titik (1,-1)!
Penyelesaian : Vektor satuan : )sin,(cos v
.2
1,3
2
1
2
1,3
2
1
ji
Turunan Berarah Kelompok 6
40
Cara kedua :
Turunan parsial pertama dari fungsi f terhadap peubah x dan y adalah
yxyxfdanxyyxf yx 62,4, 2
Berdasarkan teorema 3.3.6 diperoleh turunan bararah dari fungsi f di (x,y)2RD f adalah
2
1,3
2
162,4,, 2 yxxyuyxfyx
u
f
.3322 yxyx
Sehingga turunan berarah dari fungsi f di (1,-1) adalah .322)1,1(
u
f
D. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Dipunyai persamaan berbentuk f(x,y)=0, menyatakan :
o y sebagai fungsi implisit dari x, dan
o x sebagai fungsi implisit dari y.
Fungsi yang disajikan dengan y=f(x), variabel x dan y terpisah di ruas yang berbeda. Fungsi yang
disajikan seperti ini disebut fungsi eksplisit. Fungsi yang tidak demikian disebut fungsi implisit.
y sebagai fungsi implisit dari x
Bila fungsinya dituliskan sebagai y=f(x), maka diperoleh F(x,f(x)) = 0. Fungsi F
terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh
0
dx
dy
y
f
dx
dx
x
f
.0),(,),(
),(
),(),(
0),(),(
yxFyxF
yxF
dx
dy
yxFdx
dyyxF
dx
dyyxFyxF
y
y
x
xy
yx
Turunan Fungsi Implisit Kelompok 6
41
x sebagai fungsi implisit dari y
Bila fungsinya dituliskan sebagai x=g(y), maka diperoleh F(g(y),y) = 0. Fungsi F
terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh
0
dy
dy
y
f
dy
dx
x
f
.0),(,),(
),(
),(),(
0),(),(
yxFyxF
yxF
dy
dx
yxFdy
dxyxF
yxFdy
dxyxF
x
x
y
yx
yx
Atau melalui diferensial total
F(x,y)=0 maka d F(x,y)=0
.),(
),(
),(
),(
),(),(
0),(),(
yxF
yxF
dx
dy
yxF
yxF
dy
dx
dyyxFdxyxF
dyyxFdxyxF
y
x
x
y
yx
yx
Turunan fungsi implisit dari fungsi 2 peubah termuat secara implisit dalam fungsi 3 peubah.
Misalkan u=F(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z) pada 3RD , dan diketahui F(x,y,z)=0, maka
ada tiga kasus.
1). Kasus z = f(x,y)
Diperoleh persamaan F(x,y,f(x,y)) = 0 diperoleh
Turunan Fungsi Implisit Kelompok 6
42
0,
0
z
F
z
Fx
F
x
z
x
F
x
z
z
F
x
z
z
F
x
F
x
z
z
F
x
F
x
F
dan
0,
0
z
F
z
F
y
F
y
z
y
F
y
z
z
F
y
z
z
F
y
F
y
z
z
F
y
F
y
F
Atau dapat dituliskan
,),,(
),,(),(
),,(
),,(),(
zyxF
zyxFyxFdan
zyxF
zyxFyxF
z
y
y
z
x
x
dengan 0),,( zyxFz
2). Kasus y = f(x,z)
Diperoleh persamaan F(x, f(x,z),z) = 0 diperoleh
0,
0
y
F
y
Fx
F
x
y
x
F
x
y
y
F
x
y
y
F
x
F
x
y
y
F
x
F
x
F
dan
0,
0
y
F
y
Fz
F
z
y
z
F
z
y
y
F
z
y
y
F
z
F
z
y
y
F
z
F
z
F
Atau dapat dituliskan
,),,(
),,(),(
),,(
),,(),(
zyxF
zyxFzxFdan
zyxF
zyxFzxF
y
zy
y
xx
dengan 0),,( zyxFy
3). Kasus x = f(y,z)
Diperoleh persamaan F(f(y,z),y,z) = 0 diperoleh
Turunan Fungsi Implisit Kelompok 6
43
0,
0
x
F
x
F
y
F
y
x
y
F
y
x
x
F
y
x
x
F
y
F
y
x
x
F
y
F
y
F
dan
0,
0
x
F
x
Fz
F
z
x
z
F
z
x
x
F
z
x
x
F
z
F
z
x
x
F
z
F
z
F
Atau dapat dituliskan
,),,(
),,(),(
),,(
),,(),(
zyxF
zyxFyxFdan
zyxF
zyxFzyF
x
zy
x
y
y
dengan 0),,( zyxFx
Contoh Soal
Jika persamaan 42433 26398 xzxyzyx secara implicit mendefinisikan fungsi z=f(x,y) ,
y=g(x,z) , dan x=h(y,z). tentukan turunan parsial fx, fy, gx, gz, hy, hz!
turunan parsial pertama dari fungsi F terhadap peubah x, y, dan z adalah
fx (x,y,z) = 24x2+6y
2+2z
4
fy (x,y,z) = 27y2+12xy
fz (x,y,z) = 12z3+8xz
3
untuk fungsi yang mendefinisikan z=f(x,y), maka
33
2
33
422
812
1227
,,
,,,
812
2624x
,,
,,,
xzz
xyy
zyxF
zyxFyxf
xzz
zy
zyxF
zyxFyxf
z
y
y
z
x
x
untuk fungsi yang mendefinisikan y=g(x,z) , maka
Turunan Fungsi Implisit Kelompok 6
44
xyy
xzz
zyxF
zyxFzxg
xyy
zy
zyxF
zyxFzxg
y
zz
y
xx
1227
812
,,
,,,
1227
2624x
,,
,,,
2
33
2
22
untuk fungsi yang mendefinisikan x=h(y,z), maka
zy
xzz
zyxF
zyxFzyh
zy
xyy
zyxF
zyxFzyh
x
zz
x
y
y
2624x
812
,,
,,,
2624x
1227
,,
,,,
22
33
22
32
SOAL LATIHAN 2
1. Dipunyai
sty
tx
ew yx
sin
sin
22
. tentukan t
w
dan
s
w
2. tentukan turunan berarah dari 2),,( zxyzyxf pada titik (1,1,1) dalam arah ke (5,-
3,3).
3. jika persamaan 032 323 zyxyzyx mendefinisikan secara implisit fungsi
),( yxfz . Tentukan turunan parsial xf dan yf
Turunan Fungsi Implisit Kelompok 6