Date post: | 04-Feb-2023 |
Category: |
Documents |
Upload: | biggestforexbroker |
View: | 0 times |
Download: | 0 times |
BAB II
FUNGSI DAN LIMITNYA
2.1 Fungsi dan Grafiknya
Misal A = {a1,a2, a3, a4, a5}, B = {b1, b2, b3, b4, b5}
adalah dua himpunan yang anggotanya berhingga, maka dapat
dibuat hubungan (relasi) antara himpunan A dan B, seperti
gambar berikut.
Andaikan A dan B anggotanya tidak berhingga, maka dapat
dibuat garis real dalam bentuk sumbu koordinat X dan Y.
Semua titik pada sumbu X disebut domain (daerah asal
alamiah) sedang semua titik pada sumbu Y yang mempunyai pra
peta di A disebut renge.
Definisi:
Fungsi adalah suatu aturan korespondensi satu-satu yang
menghubungkan setiap objek x dalam suatu himpunan, yang
disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal
f(x) dari suatu himpunan yang kedua. Himpunan nilai yang
diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (range).
Untuk memberi nama suatu fungsi digunakan simbol berupa f
atau F. Maka f(x) dibaca “fungsi f pada x”. Hal ini
menunjukkan nilai yang diberikan oleh fungsi f terhadap
nilai x.
Jadi secara umum jika f : A -> B adalah fungsi f dari
disebut Range.
Untuk menentukan daerah asal dan daerah hasil statu fungsi
secara lengkap kita harus menyatakan, disamping aturan yang
bersesuian daerah asal fungsi. Misalnya jika f adalah
fungsi dengan aturan f(x) = x + 1 maka daerah asal alamiah
(domain) f(x) adalah semua bilangan real dan daerah hasil
(range) adalah semua bilangan real. f(x) = x + 1 daerah
asal alamiahnya semua bilangan real karena untuk setiap x
bilangan real f(x) mempunyai nilai.
Contoh
Tentukan daerah asal alamiah dan Range dari:
1. f(x) =
Jawab
Daerah asal alamiah (D) = {x|x < 1} = (-
Daerah hasil (R) = {y|x 0 } = [0,
2. f(x) =
Jawab
Daerah asal alamiah (D) = R – {-1,1}
Daerah hasil (R) = R – {0}
3. f(x) =
Jawab
Daerah asal alamiah (D) = [-1,1]
Daerah hasil (R) = [0,1]
4. f(x)
Jawab
Daerah asal alamiah (D) = (1, )
Daerah hasil (R) = (0,1)
Catatan
Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang terdefinisi pada
interval tertentu dalam R,
1. Jika f(x) = f(-x) maka f(x) disebut fungsi genap
Contoh
a. f(x) = x adalah fungsi ganjil karena f(-x) = (-x) -
(-x) = x
b. f(x) = adalah fungsi genap
c. f(x) = 6 adalah fungsi genap
2. Jika –f(x) = f(-x) maka f(x) disebut fungsi ganjil
Contoh
a. f(x) = x adalah fungsi ganjil
b. f(x) = adalah fungsi ganjil
3. jika f(x) = f(-x) = -f(x) maka f(x) disebut fungsi genap
dan ganjil
Contoh
a. f(x) = 0 fungsi genap dan ganjil karena f(x) = 0, -f(x)
= -0 = 0 dan f(-x) = 0 sehingga f(x) = f(-x) = -
f(x)
4. jika f(x) maka f(x) disebut fungsi tidak
genap tidak ganjil.
Contoh
a. f(x) = 1 – x adalah fungsi bukan genap dan bukan ganjil
b. f(x) = x - x adalah fungsi bukan genap bukan ganjil
c. f(x) = adalah bukan fungsi genap bukan fungsi
ganjil.
2.2 Operasi Pada Fungsi
Sepertihalnya dengan bilangan, fungsi dapat
dioperasikan dengan tanda operasi pada bilangan. Operasi
tersebut adalah + (jumlah), - (selisih), : (pembagian), dan
. (perkalian).
Misal f(x) dan g(x) dua fungsi yang terdefinisi pada suatu
selang, maka operasinya adalah:
1. f(x) + g(x) = (f+g)(x)
2. f(x) – g(x) = (f-g)(x)
3. f(x) x g(x) = (fxg)(x)
4.
5. = = f
(x)
Selain operasi di atas, dua fungsi atau lebih dapat
dikomposisikan. Jika fungsi f mempunyai daerah hasil f(x)
dan fungsi g mempunyai daerah definisi g(f(x)). Maka dapat
dikatakan kita telah mengkomposisikan g(x) dengan f(x).
Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi fungsi g dengan
fungsi f dan dinotasikan dengan gof, sehingga
(gof)(x) = g(f(x)).
Dengan cara yang sama kita juga dapat melakukan
komposisi f(x) dengan g(x). Fungsi yang dihasilkan disebut
komposisi fungsi f dengan fungsi g dan dinotasikan dengan
fog, sehingga
(fog)(x) = f(g(x)).
Contoh
1. f(x) = , g(x) = 2 +
a. f(x) + g(x) = + (2 + )
b. f(x) - g(x) = - (2 + )
c. f(x). g(x) = ( )(2 + )
d. f(x) : g(x) = ( ):(2 + )
2. f(x) = 1- x , g(x) = 1 -
a. (fog)(x) = f(g(x))
= 1 – ( 1 - )
=
b. (gof)(x) = g(f(x))
= 1-
Berdasarkan a dan b (fog)(x) (gof)(x)
3. f(x) = , g(x) =
a. (fog)(x) = f(g(x))
=
b. (gof)(x) = g(f(x))
=
=
=
Berdasarkan a dan b (fog)(x)
Soal-soal
1. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil dari fungsi
berikut:
a) f(x) = 1- ,
b) g(x) =
c) f(x) = ,
d) g(x) = 1- x
e) f(x) = ,
f) (x) = x
g) f(x) = x2 + 4,
e. g(x) =
2. Tentukan daerah definisi (f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x),
dan ) jika:
a. f(x) = 1- , g(x) =
b. f(x) = , g(x) = 1- x
c. f(x) = , g(x) = x
d. f(x) = x2 + 4, g(x) =
e. f(x) = , g(x) =
3. Tentukan (fog)(x) dan (gof)(x) jika
a. f(x) = 1- , g(x) =
b. f(x) = , g(x) = 1- x
c. f(x) = , g(x) = x
d. f(x) = x2 + 4, g(x) =
e. f(x) = , g(x) =
2.3 Fungsi Trigonometri
Pada gambar di atas, ABC adalah sebarang segitiga yang
salah satu sudutnya dan siku-siku pada CBA. Dengan
memisalkan AB = x, BC = y dan AC = r. maka berdasarkan
segitiga tersebut terdapat 6 perbandingan sisi-sisi
segitiga (goniometri) yaitu:
Karena = maka perbandingan tersebut dinyatakan
dengan:
1. sin =
2. cos =
3. tan = y
4. cot =
5. sec
6. csc
Karena ABC salah satu sudutnya siku-siku, maka menurut
teorema Pitágoras berlaku:
Selanjutnya secara berurutan membagi persamaan
dengan r2, x2 dan y2 diperoleh persamaan baru
1.
2.
3.
Persamaan (1), (2), dan (3) di atas dinamakan rumus
identitas.
Selanjutnya berdasarkans perbandingan tersebut dapat dibuat
beberapa humus tentang fungsi trigonometri.
Perhatikan gambar berikut ini.
Pada gambar di atas terdapat 4 segitiga siku-siku, yaitu
dan diketahui
. sehingga
Berdasarkan diperoleh perbandingan panjang sisi
Sin dengan UP = PS + SU
Karena maka SU = UT cos
Karena PS = QT dan karena siku-siku di maka OQ
= OT cos dan QT = OT sin
Karena siku-siku di maka OT = OU cos dan UT
= OU sin
Karena
Sin
sin ( =
=
=
=
=
.
Sehingga diperoleh rumus sin ( + ) =
............ (4)
Dengan cara yang sama diperoleh:
cos , OP = OQ – PQ
Karena maka SU = UT cos
Karena PQ = ST dan karena siku-siku di maka ST
= SU sin
Karena siku-siku di maka OT = OU cos dan UT
= OU sin
Karena siku-siku di maka OQ = OT cos dan QT
= OT sin
Karena
cos
cos ( =
=
=
=
=
Sehinggda diperoleh rumus cos ( + ) =
............ (5)
Berdasarkan (4) dan (5) dapat ditentukan rumus lain
Sin ( = sin (
=
=
= ...........
(6)
Cos ( = cos (
=
=
= ...........
(7)
=
Persamaan di atas dibagi dengan cos , diperoleh:
=
=
=
Sehingga tan = ....................
(8)
=
Persamaan di atas dibagi dengan cos , diperoleh:
=
=
=
Sehingga tan = ....................
(9)
Beberapa rumus fungsi trigonometri yang lain adalah:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Bukti rumus di atas ditinggalkan oleh penulis untuk menjadi
latihan bagi pembaca.
Soal-soal
1. Selidiki fungsi berikut genap, ganjil, bukan genap
ataupun ganjil
a. f(x) = cos x + sin x
b. f(x) = sec x
c. f(x) = cos (sin t)
d. f(x) = sin
e. f(x) = x
f. f(x) =
2. Buktikan kesamaan berikut.
a. (1+ sinx)(1- sinx) =
b. (sec x-1)(sec x +1) = tan
c. sec x – sin x cos x = cos x
d.
e. sin
f. cos 3y = 4 cos
g. sin 4s = 8 sin s cos
h. (1+ cos x)(1- cos x) = sin
i.
j. (1 - cos
k. sin t(csc t – sin t) = cos
l.
.
2.4 Limit Fungsi
1 Teorema
1.4.
2.
5. dengan
3. , c =
konstanta 6.
2 Bentuk Tak Tentu
Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :
1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yangnilainya ada dan tertentu, misalnya : 6
304, .
2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidakmempunyai nilai, misalnya : 5
03. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainyasembarang, misalnya : 0
0 1, , ,
Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk taktentuk menjadi bentuk tertentu.
3 Limit Fungsi Aljabar
Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi,maka lim ( ) ( )
x af x f a
Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x
x x
3
2 22 3 2 3 9 6 15
2. lim ( )xx xx
0 5 70 05 0 7
07
2 2 0Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi AljabarBentuk Tak Tentu yaitu : 0
0 1, ,
dan .
3.1 Bentuk 00Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkanpembilang dan penyebutnya, kemudian “mencoret” faktoryang sama, lalu substitusikan nilai x = a.
Catatan :1.Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilangdan penyebut boleh dibagi dengan (x a)
2.Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 03.Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar,maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu denganbentuk sekawannya.
Contoh :
1. lim lim lim( )( )( )( )x
x xx x
x xx x x
xx
35 69 3
3 23 3 3
23
3 23 3
16
22
2.
lim lim( )( ) ( )x
x x xx x x
x x xx x x x
x xx x
0
54 2
54 2 0
54 2
0 0 50 4 0 2
52
3 23 2
2
222
22
3.
lim lim lim ( ) ( )( )x
x xx x x
x xx
x xx x x
x xx x x
1
3 5 11
3 5 11
3 5 13 5 1 1
3 5 11 3 5 1
22
22
2
2
2
2 2
lim lim lim( )
( )( )( )( )
( )( )x
x xx x x x
x xx x x x x
xx x x
1
5 41 3 5 1 1
1 41 1 3 5 1 1
41 3 5 1
2
2 2 2 2
1 4
1 1 4 43
2 2 238
38
( ) ( )
3.2 Limit Bentuk
Limit ini dapat diselesaikan dengan membagipembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi,kemuadian digunakan rumus : limx
ax 0.
Contoh :1.
2.
3.
Kesimpulan:Jika f x a x a x an n
n( ) ..... 0 1
1
g x b x b x bm mm( ) .....
0 11
maka: 1. lim ( )( )x
f xg x
ab
00 untuk n = m
2. lim ( )( )x
f xg x
0 untuk n < m
3. lim ( )( )x
f xg x
atau - untuk n > m
4. limx
x x xx x x
2 76 2 8
26
13
5 4 35 3 2 (kesimpulan (1))
5. limx
x x xx x x
10 8 712 5 2
2 312 0 (kesimpulan (2))
6. limx
x xx x x
3 6 22 7
7 46 4 3 (kesimpulan (3))
3.3 Limit Bentuk
Limit ini umumnya memuat bentuk akar:
Cara Penyelesaian :1.Kalikan dengan bentuk sekawannya !
2.Bentuknya berubah menjadi
3.Selesaikan seperti pada (2.4.2)
Contoh:1.
pangkat tertinggipembilang 1, pangkattertinggi penyebut 1,sebab
2.
Secara umum:
1) b qa
2 jika a = p
2) jika a > p 3) - jika a < p
3.
4.
5.
3.4 Limit Bentuk 1
Definisi :
Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :
1.
2.
Contoh :
pangkat tertinggi pembilang2, pangkat tertinggipenyebut 1.
x bilangan real
1.
2.
3.
4 Limit Fungsi Trigonometri
Teorema : 1. lim limsin
sinxx
x xx
x
0 01
2. lim limtantanx
xx x
xx
0 0
1
Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapatdikembangkan menjadi:
Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsitrigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi,maka: lim ( ) ( )
x af x f a
Contoh :1. lim sin cos sin cos
xx x
02 0 0 0 1 1
2.
Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometribentuk tak tentu yaitu : 0
0 0, ,. .
4.1 Limit Bentuk 001.
2.
3.
4.2 Limit Bentuk Limit bentuk dapat diselesaikan denganmengubahnya ke bentuk 00 .Contoh :
4.3 Limit Bentuk 0.Limit bentuk 0. dapat diselesaikan denganmengubahnya ke bentuk 00 .Contoh :
5 Limit Deret Konvergen
Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deretgeometri dengan rasio (pembanding) : 1 < r < 1.
Teorema :
S : jumlah tak hingga suku deret geometrikonvergena : U1 : suku pertama
r : rasio, yaitu r UU 21
Contoh :1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :a) 2 1 1
214 ..... b)
3 1 13
19 .....
Jawab : a) S ar 1
21
212
12
4 b)S a
r 13
13 9
413
43( )
2. Hitung limit berikut :a) b)
Jawab :a) lim ...n
arn
1 1
4116
14 1
11
431
4
b)
3. Ubahlah menjadi pecahan biasa !a) 0,6666 ..... b) 0,242424 .....Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....
b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +
4. Jumlah semua suku deret geometri tak hinggaadalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4.Tentukan rasio dan suku pertama deret itu !
Jawab : S ar 12 121 ...... (1)
U2 + U4 + U6 + ... = 4ar + ar3 + ar5 + ... = 4
arr
ar
rr1 1 12 4 4
...... (2)
Persamaan (1) : ar
a a1 112 12 612
Rasio = 12 dan suku pertama = 6
5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm.Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehinggaterbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempatsisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehinggaterbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya.Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !
Jawab :
6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi
Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) dix = a jika dan hanya jika lim ( ) ( )
x af x f a
.
Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x)kontinu di x = a, yaitu :1. f(a) terdefinisi (ada)
RD C
S Q
5252
55 P BA
Luas bujursangkar I = AB x AD= 10 x 10 = 100 cm2.Luas bujursangkar II = PQ x PS= 52 x 52 = 50 cm2.
2. lim ( )x a
f x terdefinisi ada
3. lim ( ) ( )x a
f x f a
Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidakdipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung)di x =a.
Perhatikan gambar berikut :
Contoh :1. Tunjukkan bahwa fungsi kontinu di x= 1Jawab : 1) f ()1 1 1 3 12 f(1) terdefinisi
y
f(a) f(x
)
xa
f(x) kontinu di x = a, sebab
1.
y
f(a)
f(x)
xa
f(x) diskontinu di x = a,sebab tidak ada
2.
f(x) diskontinu di x = a,
sebab f(a)
y
f(a)
f(x)
xa
3.
2) lim ( )x
f x 1
terdefinisi
3) lim ( ) ()x
f x f
1
1 Jadi fungsi f x x x( ) 2 3kontinu di x =1.
2. Selidiki apakah fungsi f x xx( )
2 93 kontinu di x =
3
Jawab : 1) f ( )3 3 93 3
00
2
(tidak terdefinisi)
Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x)diskontinu di x = 3
3. Selidiki apakah fungsi
kontinu di x = 2
Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi)2)
(terdefinisi)3) , berarti f(x) disko
2.5 Teorema Limit
2.6 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga
2.7 Kekontinuan Fungsi
2.8 Soal-soal