Chimie analitica 2

1 6 . REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT

Observăm că coeficienţii corespunzători din numărător şi numitor sintegali pînă la cea mai mare putere a numărătorului, aşa cum cere (43).Punînd co2=—s2 se obţine

= (1,355 + 0,496s 2 ) 2 (1,355 + 0,496s2)2 + s8

(s2

+ 1,9* + 1)(.S 2

+ l,05s + 1,355)

(1,355 + 0,496s 2 )

(s2

— l,9s + 1)( s 2

— 1,05s + 1,355)

0,496 (s 2 + 2,73)

Fig. 6.17. Distribuţia polilor pentru exemplu. Punctelecorespund polilor răspunsului Butterworth.

<!>

Observăm că zerourile duble ale lui F(s ) . F (—s) sînt repartizate in mod egal lui jF (s ) şilui F ( — s ) . Poziţiile polilor şizerourilor lui F (s) sînt arătate în fig.6.17 şi sînt comparate cu polii funcţieiButterworth de gradul 4.

X

(1,355 + 0,496s2)

(s2 + l,9s |- 1) ( s 2 + l,05s + 1,355)’

6.4. DETERMINAREA UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DIN MODULUL SĂU 2

Răspunsul Cebîşev

în continuare examinăm răspunsul Celtişev din OS^ păînlocuim pe ja> prin Apoi pentru a gasi polii facemnumitorul egal

cu zero.Utilizînd (34) rezulta

Tn (y) = cosh cosh-14-) = -y* (4o)

Pentru rezolvarea acestei ecuaţii definim o nouă variabilă w = x +jy şi scriem

s = j cosh w = j cosh (x + jy) a

şi în consecinţă

= cosh nw =cosh n (x + jy) = —• (466)

- jo>k, rezultatul operaţiilor indicate va ti

'k

(Sik = cosh sinii 1 — j cos

a pătrat ambele părţi şi adunam; rezultatul va ti2__________K____________--------- - - -— ^

sinh2 sinh-1 j cosh2 sinh-1 y)

n 2

1. (48)


totdeauna mai mare decît sinusul hiperbolic. Poziţiile polilorpentru »=4 sînt arătate în fig. 6.18. ’

în sfîrşit, polii din semiplanul stîng ai lui G(s) sîntrepartizaţi lui F(s ) şi operaţiunea este terminată ’

cv

Fig. 6.18. Distribuţia polilor pătratului modulului funcţiei de transfer Cebîşev degradul ;i= 1.

Pentru un caz tipic, dacă ondulaţia permisă dată este 8 = 0,1şi gradul este n = 4, poziţiile polilor se găsesc din (47) şifuncţia de transfer ce se obţine este ’ ’

F(s ) = -------------------1------------------(s2 + 0,644s -| 1,534) (#2 + 1,519$ + 0,823)

_ 1 ~ *4 I- 2,16s3 + 3,31*2 +2,86* + 1,26'

/ j \

\D


6.5. CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIKCUIT DINTR-O FAZĂ DATĂ ’

în ultimul paragraf am găsit că pornind de la o funcţie raţională pară, care satisface condiţiile necesare pentru realizabilitate’, sub forma pătratului modulului unei funcţii de circuit — putem determina ofuncţie raţională F(s ) (uneori mai mult decît una) astfel ca pătratul modulului lui F(s ) pe axa jco să fie egal cu funcţia dată. Funcţia devine unică cînd se cere să fie de fază minimă.

6.5. CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DINTR-O FAZA DATA 5-

’ln prezentul paragraf vom discuta posibilitatea unui procedeutimilar pentru determinare unei funcţii raţionale din funcţia fază.Repetăm aici expresia fazei unei funcţii de transfer dată în (14 b) ,

0 ( (49 a)

F( j io ) __ £j'2©(w) _ (49 b)F( —jt o)

în cele ce urmează vom presupune că funcţia dată este tangenta lui <?(«) pe care o vom denumi funcţia tangentă. în plus, deoarece vom utilizadestul de des raportul din membrul stîng al relaţiei (49 b), să-inotam cu un 'imbol. Fie

,!(*) = (50)*•(-«)

în continuare vom numi această funcţie, funcţia .A.Cu aceste precizări, observăm că pentru tan (l>(m) putem sene-j* _ Z J<S> SJ2® _i JL(jw)

zi2® _|_ 1 A( jo i ) + 1Ultimul membru rezultă din (49) şi (50).Explicitînd pe A din (51) rezultă

jtan$(cSă stabilim condiţiile pe care funcţia tangentă

trebuie să le satisfacă pentru a fi o funcţie realizabilă. IN otăm cătanCP(w) = —- * (^3)

-K(w)unde B şi X sînt părţile reală şi imaginară ale unei funcţii decircuit. Cunoaştem că acestea sînt respectiv funcţii pare şi imparede w. Prin urmare tan CZ>(«) trebuie în mod necesar să fie o funcţieraţionala impara. Xu există alte restricţii pe care să le impunemacestei funcţii, m afara de cazul cînd specificăm, că funcţia F(s )dorită trebuie să fie o funcţie de intrare sau de transfer. u

Dacă o funcţie raţională impară este prescrisă ca funcţie tangenta, prima etapă va fi formarea lui A( ju) în conformitate cu (52). Daca acum înlocuim pe jco prin s obţinem raportul lui F(s ) la m

conformitat

(51)jtan<5(c

A ( j o > )

i.5. CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DINTR-O FAZĂ DATĂ 6

e

cu (50). întrebarea este : cum determinăm F(s ) din acest raport ? AicLsituaţia nu mai este atît de simplă cum a fost în cazul funcţiei

modul. Pentru a determina pe F(s ) îl scriem ca raportul a douăpolinoame

^(S)=_AW_. (54,P * ( s )

Atunci A(s) poate fi scris

■**(-*) -Pi(-*) p2(*)

Problema poate fi pusă acum din nou ca o problemă de determinarea luil\{s) şi P2(s) cînd se cunoaşte funcţia din partea dreaptă a ultimeiecuaţii. Observăm că J.(s) va avea întotdeauna zerouri în semiplanuldrept şi va avea în mod obişnuit şi poli în acest semiplan. J.(s)diferă de o funcţie trece tot prin aceea că poate avea atît poli, cîtşi zerouri în semiplanul drept. Pe de altă parte, ea esteasemănătoare cu o funcţie trece tot în care fiecare zero estenegativul unui pol. De fapt, ea poate fi exprimată ca raportul a douăfuncţii trece tot, dar acest lucru nu este util pentru scopul nostru.Ea nu poate avea nici zerouri nici poli pe axa jco, deoarece dacă I\(s)are o pereche de astfel de zerouri, la fel va avea şi i\(— s ) , astfelîncît ele se vor simplifica în raport; raţionăm în mod analog dacăP2(s) are zerouri pe axa j.

Să considerăm acum repartizarea polilor din .A(s) lui P1(—s),sau P2(s). Orice pol al lui A(s ) din semiplanul drept trebuie săaparţină lui Pi(—.y), deoarece P2(s) nu poate avea zerouri însemiplanul drept. Pe de altă parte polii din semiplanul stîng nu potfi repartizaţi în mod unic lui P2(s), sau lui Px(— s). Dacă repartizămunul din polii din semiplanul stîng lui Pj(—s), atunci P^s) va aveafactorul corespunzător în semiplanul drept, indicînd că funcţia detransfer este de fază neminimă. Fireşte, distribuţia polilor şizerourilor va fi dictată de gradele admise pentru numărătorul şinumitorul lui F(s ) .

Odată ce P2(s) şi I \{ — s) au fost stabilite din numitorul luiÂ(s), nu mai este necesar de a examina numărătorul, deoarece acumfuncţia de transfer va fi cunoscută; este necesar numai a înlocui — sprin s în Px(—s) pentru a obţine P1(s).

Să ilustrăm acest procedeu cu ajutorul unui exemplu. Presupunemcă se dă


tan(P(co) = —- —» (56)2 — 3«2

Prima etapă este substituţia lui (56), în (52) pentru a obţineA( jco) Rezultatul este

2 — 3co2 + jw3 — _2 — 3to2—jw3

Dacă înlocuim j« cu s, obţinem

s 3 + 3s2 — 4s + 2 (1— s) (s2 — 2s + 2)s3+3s2 + 4s+2 (s + 1) (s2 + 2s + 2)

Găsim că toti polii lui J.(«) sînt în semiplanul sting, m timp ce zei oui de- .jnt în semiplanul drept. Deci nu există un mod unic de repartizare a polilor si zerourilor lui F{s ) .Oricare din următoarele funcţii vor fi convenabile

(s + l)(s2 + 2s +2)

Observăm că ultimele două au zerouri în semiplanul drept. 1 îecaredm aceste funcţii vor avea aceeaşi fază pentru toate valorile lui«, dar modulele lor vor fi diferite. Dacă se cere ca F(s ) să fie defaza minima, soluţia va fi unică şi anume primafuncţie din (57)1).

în calculele de pînă acum am presupus că <2>(w) estespecificat ca funcţie continuă de o>. Dacă, însă, o funcţie F(s )are poli sau zeiouri pe axa '/to, funcţia corespunzătoare de fază<P(co) va avea discontinuităţi de -4- j r la fiecare pol şi zero. înastfel de cazuri considerăm discontinuităţile separat, aplicînd

1 Chiar şi această unicitate este pînă la o constantă de multiplicare. Faza este în mod evident independentă de o constantă de cîştig real pozitivă.

(576)F 2 ( S )

(57 c )F , ( s ) =

1 — s

.4(s) =

(57 a )1 , ( 8 )

s * + 2s + 2

(s2 — 28 + 1) _8 + 1


procedeul de mai sus „părţii continue” a funcţiei, adică scriem0(o i ) = ® c (to) + £ ± nu (<o — a, ) . (58)

9unde 0c(co) este o funcţie continuă. Indicele j se extinde asupra tuturor zerourilor şi polilor de pe axa jco, iar semnul minus se aplică poliloi


.Acum trebuie să identificăm discontinuităţile. Pentru aceastăexaminăm un factor tipic din F(s ) (factor pol sau zero) :

(s — o) 1*=^ = i(“ — “o)-

Evident acest factor variază de la —j la +j cînd co creşte trecîndprin w0. Aşadar, cînd se trece print-r-un zero pe axa jco, în direcţiacreşterii lui co, faza luiP(s) creşte brusc cu 7t; cînd trecem printr-un pol, ®(to) descreşte cu 7t. Astfel putem reconstitui toţi polii şizerourile lui F(s ) observînd discontinuităţile în funcţia dată.

6.G. CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DIN PAHTEA REALĂ DATĂ

în ultimele două paragrafe am studiat posibilitatea determinăriiunei funcţii de circuit dintr-o funcţie raţională de co dată, care erafie modulul funcţiei, fie tangenta unghiului său pe axa jo>. Am găsitcă în cele mai multe cazuri, nu este posibil a obţine o soluţie unică,în afară de cazul în care funcţia este de fază minimă. Cu toateacestea este posibil să se determine un număr de funcţii care vorsatisface cerinţele. în cazul unui modul dat putem găsi un număr defuncţii de transfer care au modulul pe axa jco egal cu cel dat, dardiferă una de alta prin fazele lor. Analog, fiind dată o funcţietangentă putem găsi un număr de funcţii de transfer care au aceeaşifază pe jco, dar diferă prin modul. în acest paragraf vom discutaanumite procedee de calcul care vor permite calcularea funcţiei decircuit din partea sa reală pe axa jco.

6 .6 . CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DIN PARTEA REALA PATA 10

s C

jo,CRe[Y(jco)];

T» = Y ( s ) + -

Partea sa reală pe axa j esteRetr^jco)] = Re[.F(jo)] + Re

Din nou trebuie soluţionată problemaunicităţii. Cunoscînd partea reală peaxa j a uneifuncţii de circuit esteaceasta din urmă, determinată în mod unic? Putem imediat să concepemmai multe circuitediferiteale căror funcţii de circuit să aibăaceeaşi parte reală, astfel că răspunsul laîntrebarea anterioară estenegativ.Ca exemplu presupunem că funcţia cerută esteo func


i.5. CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DINTR-O FAZĂ DATĂ 12•adică părţile reale ale celor două admitanţe sînt aceleaşi, deşiadmitanţele sînt diferite. Funcţia Yx(s) diferă de Y(s) deoarece areo pereche de poli pe axa jw. Dacă se dă partea reală, nu putemdetermina alegerea între Y(s) sau Y^s). De fapt un număr infinit defuncţii, care diferă de T(s ) prin poli adiţionali pe axa jco, vor aveaaceeaşi parte reală pe axa jo>. Atunci, ceea ce putem spera să obţinemdintr-o parte reală dată, este funcţia particulară, care nu are niciun pol pe axa jco.1’

o - - - — LY(s). H Y,(s)

c -r°.

N

O ---- 1

Metoda Bode

Să ne reîntoarcem la paragraful 6.1 şi să considerăm parteareală a funcţiei începînd cu (8) şi sfîrşind cu (13). Dacă o funcţiede co raţională, pară’ fără poli la frecvenţe reale finite sau la

infinit, este partea reală a unei funcţii de circuit, înlocuim pejco cu s şi obţinem partea pară a lui F(s ) . Astfel

P(to) -> Par F(s ) = -i [F (s ) -| F(—s) ] . (59)

Problema care ne interesează este dea găsi F(s ) din partea sa pară. Con-form celor discutate în paragraful 6.1,polii lui Par F(s ) au simetrie c-ua- drantală. Polii lui Par F(s ) dinsemiplanul stîng aparţin lui F(s); poliiulm semiplanul drept aparţinlui F(—s) . Dacă F{s ) are o valoare diferită de zero la infinit,atunci F(—s ) va avea aceeaşi valoare. Este evident acum cum se vagăsi F(s ) din Par F(s ) : se dezvoltă Par F(s ) în fracţii parţiale sise grupează toţi termenii cu polii în semiplanul stîng; dacă existăun termen constant în dezvoltare, se adaugă jumătate din elgrupului; în final se multiplică prin 2.

O astfel de funcţie este o funcţie de susceplanlă minimă dacă este vorba despre oadmitanţă, sau o funcţie de reaclanţă minimă dacă este vorba despre o impedanţă. Aceastăcondiţie impusa funcţiilor de intrare este analogă condiţiei de fază minimă Ia funcţiile detransfer.

a o

Fig. 6.19. Două circuite a căror admitanţe auaceeaşi parte reală.


6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT

Pentru exemplificare fie

1JR(CD) =

1 + co6

partea reală dată. Prima etapă este înlocuirea lui co2 cu —s2, ceeace conduce la

ParjF(s)1_S6 (s+i) (S2+S+1)(1_S)(S2_S+1)

(60)+ + +

\ S + 1 S * + S + l ) \ l— 8 8* — S + l ) _

Am discutat deja poziţiile polilor acestei funcţii particulare înlegătură cu răspunsul Butterworth. Numitorul poate fi factorizat,aşa cum s-a arătat, obţinînd astfel dezvoltarea în fracţii parţiale.F(s ) se identifică uşor din polii situaţi în semiplanul stîng. Seobţine

+ ■ s + 2 ) = 1 2s2+4s+3 . (61)W+l s2 + s + lj 3 s3+2s2+2s+l

Procedeul descris aicia fost propus pentru prima dată de Bode,astfel încît îl vom denumi metoda Bode.

Metoda Gewertz

O altă abordare a fost propusă pentru prima dată de Gewertz.Pentru a schiţa această metodă, să scriem F (s ) ca raportul a douăpolinoame. Astfel

F( S ) = a o+ a i s +<V 2 H - - +amsm = TO1(g)+-rai(s)&o+M + &2s2H-------f-M” m 2 ( s )+n 2 ( s )

unde m-urile se referă la partea pară a numărătorului şinumitorului, iar w-urile la părţile impare. Partea pară a lui F(s ) sepoate scrie ca în (11a) Astfel

Par F(s ) = = ■A0+Ais2+A2si^--------[-Ams*m

418

6 .6 . CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DEN PARTEA REALA DATĂ 14

B0 + B1s* + Bis*+ +■■■ Bns*n ’ 'în care partea din dreapta s-a scris subformă dezvoltata. Cînd o parte reală este specificată ca funcţieraţionala para m co, membrul drept al lui (63) se obţine înlocuindw2 prin —s2. Vom opera mai mtu asupia n - mitorului. Deoarece poliilui Par F(s ) sînt aceia ai lui Ffâ şi w

cel

care aparţin lui F(s ) vor fi situaţi în semiplanul sting. Deci, cîndfactorizam numitorui lui (63), atribuim lui F{s ) toţi factorii dinsemiplanul s mg. în acest mod, numitorul lui F(s ) din (62) devinecunoscut. .

Să ne întoarcem la numărător. Presupunem ca scriem funcţialaţionala F(s ) ca în (62), cu coeficienţi literali necunoscuţi lanumărător, dar u\ m coeficienţii numitorului cunoscuţi. Formămatunci expresia si o egalăm cu numărătorul funcţiei date m (63).Egalaiea coeficienţilo aceloraşi puteri ale lui s în cei doimembrii ai acestei ecuaţii rea necunoscutelor. Observăm că aici smtimplicaţi trei setun de poe enti: literele a, literele A şi litereleb. Din aceştia m aceasta etapa, ultimele două seturi sîntcunoscute; numai coeficienţii a smt necunoscu,i.

Să aplicăm procedeul indicat mai sus. Identificînd ni u m.2, nv n2

din (62) putem scrie

mxm2 — n-fii2 — (a0-\-a2s2 + • • •) (b0 -|- b2s2 + • • •) —

— (c^s + a3s3 + • • •) {b iS + b 3 s 3 + • ■ •) =

= A$ + + • • • + Ams2'".

Egalînd coeficienţii obţinem

^-0A± = a0b2 + b0a2

A2 = <»0&4 + fl2&2 + ®4^0 al^3 a3^1

Ak = £ (-lffi%iVr (65)

Pentru a găsi necunoscutele a, trebuie să rezolvăm acest sistem deecu-

aţn lj^ê^ lifi(ja f0i0SincL funcţia din (60) deja tratată prin metoda.Bode. Factorii din semiplanul stîng de la numitorul acestei expresasmt

m2+n2 = (s+l) (s2+s+l) = s3+2s2+2s + l.


Deoarece R(a>) dat este zero la infinit, la fel trebuie să fieş iF (s ) la infinit. Deci numărătorul lui F(s ) trebuie să fie de forma

%-f»! = a2s2+«iS+«0*

Introducind ultimele două ecuaţii în (65) şi utilizînd faptul cătoţi coeficienţii ,,A” sînt zero cu excepţia lui A0 care este egal cuunitatea, obţinem

1 = a0,

0 =: ^2—

0 = 2a2—ax.

Aceste ecuaţii se rezolvă şi se găsesc următorii coeficienţi «0 = 1,a l = >

2 .a 2 = — . Funcţia de circuit astfel obţinută verifică pe cea găsită

anteriorîn (61).

Metoda Miyala

O variantă a acestor metode este datorată lui Miyata. Fiinddată F(s ) din (62), partea pară este dată de (63). Acum considerăm onouă funcţie F 0 ( s ) a cărei parte pară este

Par F 0 {s ) = —,> (66)nio—ns

unde »«2 + «2 este acelaşi numitor ca şi al lui F(s ) . Folosind metodaBode sau Gewertz, găsim funcţia F 0 ( s ) în care Par F 0 este partea pară.Să o scriem astfel

F 0 (8 )=^L±^5. (67)to2 + n2

Numărătorul părţii pare a acestei expresii este mQm2 — n0n2 şi conformlui (66) este egal cu 3. Considerăm apoi o nouă funcţie F(s ) formatăprin


multiplicarea lui F 0 ( s ) prin care este numărătorul parţnpare a lui F(s ) şi formăm partea sa pară

£ _(w^rna —%^ 2)(w0+w0) fţ68a)

m2 - ] -n 2

_ * (m n m 9 —n n n 2 ) (m-,m9—n-tn9) m{m2 — nln2Par F(s ) -------------------m2

2 —«2 m 2 —n 2

Par F(s ) .

Ultima expresie rezultă din faptul că m0m2—n0nz — 1. AstfelF{s ) şi F(s )au aceeaşi parte pară, dar F(s ) în (68a) poate avea un pol de ordin“ai mare la infinit (din cauză că gradul numărătoruluidecît al numitorului). Presupunem că numărătorul se divide piinnumitoi , rezultînd un polinom cît, q(s ) , şi un rest de grad maimic, sau de grad ega gradul numitorului.Astfel

F ( s ) = g(«)+r,(«) (69a)

>iPar F{8) = Par q(s ) + Par F r ( s ) . (69?>)

Partea pară a polinomului q{s ) este suma tuturor puterilorsale pare,Să acestea există. Dacă q(s ) ar avea cel puţin o puterepara, atunciMrtea d'e»i>tă a ultimei ecuaţii « deveni infinită cînd , tinde eat«rofm,i , in timp ce după cum se vede din (686), partea stingă nu areaceasta comportare în concluzie, q(s ) este un polinom impar astfelîncît Par F = L Par f si deci Par F =Par F din (686). -In plus,funcţia rest are aceiaşi poil ca şi funcţia, êcificată ; prinurmare ea este funcţia dorită, adica

Înhumai, putem spune că atunci cînd se dă o funcţie pară raţionalăim m — n-ln,)l(mî—n?2), se determină funcţia de circuit F0(s) a cai ei

( » ! » 2 ) si împărţită, pînă ce funcţia rest nu are pol lainfinit. Aceasta este funcţia dorită a cărei parte pară estefuncţia data.

Pentru a exemplifica fie

3s4 + 6s2 + 6

(68b )


- Par F(s ) =

l—s b Atunci1

Par F 0 ( s ) =l-s6

Dar aceasta este aceeaşi funcţie ca cea anterioară considerată în(60; şi (61). Astfel

^ 0\S) — 3

s3+2s2+2s+l şi4 I I d\TP 2s6 + 4s'5 + r ‘s* + + 10s2 +8.9+6

s 3 H-2s2 + 2s + 1 4s2 + 5s + 62s 3 + 3s +

s 3 + 2s2 + 2s +1 deci

4s2+5s+6F(s ) =

93 + 2s2 + 2 s + 1

G.7. RELAŢII INTEGRALE ÎNTRE PĂRŢILE REALĂ ŞIIMAGINARĂ '

în paragrafele precedente s-au discutat metodele algebricepentru determinarea unei funcţii de circuit ca o funcţie raţionalăde s , dîndu-se una din componentele funcţiei ca funcţie raţională,unde prin ,,o componentă a funcţiei” înţelegem: partea reală,partea imaginară, faza (sau tangenta fazei), modulul (saulogaritmul modulului). Un dezavantaj al acestor metode este căcomponenta dată trebuie întotdeauna să fie într-o formă raţionalărealizabilă. Dacă, spre exemplu, se dă partea reală grafic, sauchiar analitic dar nu sub forma unei funcţii raţionale, estenecesar mai întîi să se determine o aproximare raţionalărealizabilă înainte de a trece la găsirea funcţiei de circuit, şidin aceasta, oricare din celelalte componente.

Funcţiile de circuit sînt funcţii analitice de variabilăcomplexă şi deci părţile lor reală şi imaginară sînt legate prinecuaţiile Cauehy-Riemann. Totuşi aceste ecuaţii sînt relaţiiimplicite şi nu constituie formule explicite de calcul a uneicomponente din cealaltă. în acest paragraf vom prezenta un număr

422 6. REPARTIZĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT

(3s4 6s2 + 6 ) F 0 ( s ) -

6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALĂ Şl IMAGINARĂ 19

de relaţii între părţile unei funcţii de circuit. Acestea sînt


binecunoscute în matematică ca transformate lotuşi, deoaêccele au fost folosite în teoria circuitelor pentru prima data deBode, le vo ttmVfonnuMeBoie. Un avantaj imediat al acestor acela cacomponenta tmei fnneţii poate fi dată grafic : mai mkM aht, foi-mulele Bcde au multe implicaţii şi aplicaţii uzuale, unele dm edlbCUtDeoarece ne ocupăm de funcţii analitice de variabilă ™punct de plecare pentiu a lega componentele unei funcţii poate fifoimula integrală a lui Cauehy (vezi Anexa 2), care spune ca

F(s ) = — J> ăz. (7°)2nj Ic s ~ s

Tu această exnresie C este un contur închis în interiorul căruia şipe careF(s ) este analitică ; 2 este un punct de pe contur, în timp ce seste un puncîn interiorul contuiului. Bacă conturul este un cerc şi>i s in ccoi donat e polare, vcm putea exprima partea reala şiimaginaraa lui F(s ) în funcţie de partea sa reala sau imaginara, pe cerc^ I„it cu aiutorul unei transformărr, cercul este transformat rn axarmagnară. Expresiile rezultate legînd părţile reală şi imaginara vor fitransfo -

^ aS abordare a problemei, pe care o vom adopta aici, are> ca»P ™^de plecare teorema integralei lui Cauehy (vezi Anexa 2).Aceasta ;eoiema «pune că integrala de contur a unei funcţii, de-alungul unui cont™ interiorul căruia şi pe care funcţia esteanalrtrcă, este egaia cai zcio Pen tiu a aplica această teoremă,este necesar de a cunoaşte 1) cont^t!t integrare si 2) funcţia ceurmează a fi integrata, In pjtîenia noast a conturul de integraretrebuie să includă axa imaginara deoarece dorim ca rezultatulfinal să conţină părţile reală şr rmagmara pe axaj , ale ru tiei decircuit, Prin urmare, deoarece funcţrrle de care ne ocupam smt alitice în întreg semiplanul drept, conturul de integrare ce-l vomalege axa jcoşi un semicerc de razăinfinită în semiplanul drept. Cxmform teoremei lui Cauehy,integrala pe acest contur închisva fi zero.Eamine deci'ă calculăm contribuţia fiecărei părţi a conturului. ^

Fie F(s) o funcţie de circuit, de intrare sau de transfer; rnmod obişnuit scriem

P(jco) = R(o>) -|- jX(co),(71o)


hiF(jio) = a(co)+j<Z>(co),(71&)

in care K(co) = ln|jF(jco)| este funcţia cîştig şi O (co) funcţiafază. Dacă F(s ) este o funcţie de intrare, ea nu va avea poli şizerouri in semiplanul drept, Deci In F(s ) va fi analitică însemiplanul drept. Daca F(s ) este tune


ţie de transfer, atunci In F(s ) va fi analitică în semiplanul drept,numai dacă F(s ) este funcţie de fază minimă. Deci rezultatele ce levom obţine se vor aplica atît lui F(s ) cit şi lui ln.F(s), cit timpF(s ) este funcţie de fază minimă.

Să considerăm acum polii posibili ai lui F(s ) pe axa jco. Ştimcă asemenea poli trebuie să fie simpli. în efectuarea integralei decontur, astfel de poli trebuie ocoliţi printr-o mică deviere spredreapta inclusă în contur. Contribuţia acestei ocoliri la integralatotală va fi de 2-z j ori jumătatea reziduului integrandului în polulrespectiv (vezi Anexa 2). Scopul nostru este acela de a obţineexpresiile ce leagă partea reală a unei funcţii de circuit de parteaimaginară, astfel încît cînd se dă una din ele să putem calcula pecealaltă, Astfel e posibil să nu cunoaştem reziduurile în polii depe axa j . Prin urmare vom presupune că F{s ) nu are poli pe axa jco.aceasta include punctele zero şi infinit, deci F(s ) este presupusăanalitică la zero şi la infinit.

Dacă F(s ) are un pol pe axa jco, atunci In F(s ) va avea acolo unpunct singular logaritmic. Dacă integrandul se referă la InF(s ) , vomalege din nou un contur ce ocoleşte această singularitate. Dar dincauză că singularitatea este logaritmică această ocolire nu va aducenici o contribuţie la integrala de contur (vezi Anexa 2). Deci, încaz că integrandul pe care îl alegem se referă la In F(s ) , putempermite ca F(s ) să aibă poli simpli pe axa jco. în cele ce urmeazăvom considera totdeauna funcţia din integrând ca fiind F(s ) . Totuşi,se obţin rezultate identice dacă se înlocuieşte F(s ) prin In F(s ) . înformule, jK(co) va fi înlocuit prin a(co) şi A'(co) prin $ (co).

Să considerăm acum integrarea unei funcţii de circuit F(s ) , careeste analitică pe axa jco incluzînd zero şi infinit, de-alungul unuicontur ca cel arătat în fig. 6.20 a, care constă din întreaga axăjco şi un arc semicircular de rază infinită în dreapta axei. Conformteoremei lui Cauehy, integrala lui F(s ) va fi zero. Procedeul nostruva consta în evaluarea contribuţiilor acelor părţi ale conturuluiunde integrala se poate face, după care exprimăm părţile rămase înfuncţie de aceasta. Plecînd de la aceste conside-

Fig. 6.20. Conturulde integrare.


rente este evident că nu vom putea obţine tipul de relaţii căutateavînd ca integrând numai pe F(s ) . Nu va fi ales nici un punctparticular pe axa jco asupra căruia să ne îndreptăm atenţia. ^

Presupunem că împărţim F(s ) prin s—jco0 înaintea integrării,uncie con poate fi orice valoare a lui co. Aceasta va introduce unpol pe axa jco in integrând. Pentru a aplica teorema lui Cauehy vomocoli acest pol cu ajutorul unui mic arc semicircular 0„ aşa cum sevede în fig. 6.20 b. Conturul complet cuprinde acum trei părţi. Săevaluăm contribuţia arcului C, Aceasta duce la considerarea valoriilui F(s ) în s=ju0. Observam ca rezultatul integrării nu va fi ofuncţie de s care este număr o variabila auxiliară, ci de w0, careeste un punct arbitrar pe axa jco. Va fi convenabil să folosim unsimbol diferit pentru variabila auxiliară, de exemplu z = x-]-jy.Atunci punctul jco0 poate fi notat- din nou jco. ^

Dacă F(s ) este o funcţie de circuit care este analitică peîntreaga axă jco şi în semiplanul drept, aplicarea teoremei luiCauehy conduce la următorul rezultat :

Jc

unde conturul închis este cel din fig. 6.20 b.Conturul complet cuprinde trei părţi: semicercul mare C\ ,

semicercul mic Co din jurul punctului z=jco şi axa imaginară.Contribuţia semicercului mic este de 2-/ ori jumătatea reziduuluiintegrandului m careeste -F( jco). Pentru calculul contribuţiei semicercului de razăinfinita Sa presupunem iniţial că acesta are raza finită, cu 2 = i?0sj9. Atunci

unde F(oo) este valoarea lui F(s ) la s = 00. Astfel cînd J?0 tindecătre infinit, integrala pe C\ tinde către —jnF(oo) . Deoarece parteaimaginara trebuie să fie zero la infinit, F(00) este de asemenea egalcu B{00).

Acum a mai rămas restul conturului. Pentru acesta se poate scrie.Observăm că integrarea de-alungul axei imaginare trebuie săevite polul î=jco în mod simetric. Aceasta va conduce la valoareaprincipala a

F ( j y )y -co

(74)d y .limr->

0

= — j-nFioo),

6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALA ŞI IMAGINARA 24

integraleidindreapta.întoateintegraleceurmeazăvompresupuneacestlucru.Ţinîndseamadetoateacesterezultateşi de(72)putemscrie

r lM_dy=jn[F (^) -F( jo>) ] . (75)J — o o y ^

DacăscriemapoiF( jo>) şiF( jy )înfuncţie depărţilerealăşiimagi

6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALA ŞI IMAGINARĂ^ 25

— 1

narăşiegalămrespectivpărţilerealăşiimaginarădinceidoimembriobţinem însfirşit

i2(co) =R(oo) -lf“ -XWL dy>( 7 6 a )K J-rj, y CO

X(co)=-fdy.(766)71 * — oo y — CO

Lăsămcititoruluidetaliiledecalculpentru aobţineacesterelaţii.

Semnificaţiaacestordouăexpre


— 1

siiestefoarteimportantă. Ceade adouaexpresiearatăcăfiinddatăofuncţiecareestepartearealăauneifuncţii decircuitpentruoricefrecvenţă,parteaimaginarăafuncţieiestecompletdeterminată,pi’esupunînd căfuncţia decircuit nuarepolipe


— 1

axajco.Analog,dacăse dăparteaimaginarălatoatefrecvenţele,atuncipartearealăestecompletdeterminatăpînăla oconstantăaditivă.

Reamintimcărezultatele seaplică şiîncazulîncareF(s )seînlocu-ieşteprinlogaritmulsău.Totuşi înacest


— 1

caz,trebuie săimpunem caF(s )săfiedefazăminimă(dacăreprezintăofuncţie detransfer).Pe dealtăparte,putemsărenunţămlacondiţiadeanaliticitate aluiF(s )peaxajco.Unpolsimplu alluiF(s )peaxajcodevine osingularitatelogaritmică a


— 1

luiInF(s ) ,iar oastfel desingularitatenuaduceniciocontribuţie laintegralădupăcums-amenţionatanterior.Astfelpentrufuncţii detransferdefazăminimă,relaţiile(76)avindpe Rşi Xînlocuiteprina şi®,daulegăturaîntrecîştig şifazăpentru


— 1

oricefrecvenţă.

Săobţinemacumalteformepentruceledouăexpresiidebazădin(76),carevordanoiinformaţiiasuprarelaţiilorşivorpuneînevidenţădetaliicarenusîntimediataparentedinacesteexpresii.Reamintimcăpărţilerealăşi


— 1

imaginarăsîntrespectivfuncţiiparăşiimpară defrecvenţă.Săfolosimacestfaptşi săscriem (76b)dupăcumurmează :

,1r°R(y)1f°°R(y),■X(co)= —\——+ —\—— dy.(77)

7TT

J-oo

y —

CO 71

0 y —

COTi;

în primadinaceste

nerie


— 1

integraleînlocuimy prin -yşischimbămlimitelem modcorespunzător.Rezultatul este

E y L d y = C=<78)y — co3»—(»+“)y + 0 i

.

Ultima

egalitate

rezultădinfaptul căR(y) =B( -y ) .Substituindacea

sta în(77)obţinem

mir°° r ii li 2co f“ B(y) ,7„,I~Q\


— 1

Z ( u ) = - ( R ( y )— d y = — \ ------------J ' --------------------------{ -------------------------------------------------}

7T 'o

U

—W # + W -1

‘l

y

în mod

complet

analog

plecînd

de la

(76 a)

obţinem>b) =<80>

'TZ.'o y2 — ioz

înultimeledouăexpresiisevedecăintegrandu


— 1

ltindelainfinitpej

conturuldeintegrareînpunctuly=o>.Acestlucruestenumaiaparent,de

deoarecetrebuie"


— 1

săluămintegralanumaiprinvaloareasaprincipala.^Chiaraceastădificultateaparentăsepoateînlăturadacaobservampn -

integraredirectăcă

o2/'2-«2

tă

folosinddinnouvaloareaprincipalăaintegraleiDeci,sepoate


— 1

scădeasa i?(w)/(«2-co2)dinintegrandul dm(79)şicoA(co) l (y—co )dinmtegrancă duldiu(80)?fără amodificavalorileacestorintegrale.Rezultateleacestoi

etapevor fi

£(82.)

re Joy ôZ(w) = fdy.(82

h\t. 'oy 2—« 2

O caracteristică foarteimportantă arezultatelor


— 1

stabilite mai sus este faptulcă nu este necesar ca parteareală (sau imaginara) ja fieo funcţ^. raţională realizabilă.Corespunzător oricărei părţi reale <

i a^ ,n

n^1

grafică sau analitică, se poate calcula o parte imaginara cuajutoiu


l

tegralei. Defapt,expresiile sîntfoarte utileatunci cîndpartea realăeste datăaproximativ şise doreşte săse obţină ocomportareaproximativăpentru parteaimaginară,

^ Deexemplu,presupunem căse cere săaflămcomportareaaproximativă afuncţiei defază în bandade trecere aunui filtrutrece jos. înaceastădiscuţie vominterpreta Rşi X careprezentîndcîştigul a şirespectiv faza®. în banda detrecerecîştigul esteaproximativzero pînă la ofrecvenţă o)j.Deci în (82 b)limitainferioarădevine w0. înplus, punctulco ce se aflăîn banda- detrecere estemai mic decîtco0; astfel înintegrând putemneglija <o faţăde y, deoarece


y variază de laco0 la infinit.Valoareaaproximativă afazei este

(83)

Să facemschimbarea devariabilă y =l/p-,atunci ////'//--'///. Dupămodificarealimitelor deintegrare,ecuaţia devine

(84)

Observăm căintegrala- din(83) sau (84)nu este ofuncţie de coşi că pentruo anumităvaloare alăţimii debandă co0, vafi o constantă,Astfel faza vafi aproximativo funcţieliniară de coîn interiorulbenzii detrecere2).

2) O astfel de caracteristică liniarăde fază corespunde la un timp de intirziere constant pentru transmisia unor funcţii sinusoidale înacest domeniu de frecvenţe. Aşadar pen-tru semnale care au


Desiguraproximarea vafi din ce în cemai eronată pemăsură ce co seapropie defrecvenţa detăiere,deoarece atuncico nu mai poatefi neglijatfaţă de y înintegrând. ‘

Teoremeleintegralei dereaetantă şi aintegralei derezistenţă

Cele două perechi de expresii obţinute pînă acum în (76) şi (82) leagă partea imaginarăla o frecvenţă oarecare de valorile părţii reale la toate fiecvenţele, saupartea reală la o frecvenţă oarecare de valorile părţii imaginare la toate frecvenţele. Putem găsi formelimită pentru aceste expresii numai acest spectru defrecvenţe, obţinem o transmisiune fără distorsiuni. Din acestmotiv, este de dorit ocaracteristică liniarăde fază.


cînd frecvenţa tinde către zerosau infinit.r

Săconsiderămmai întîirelaţia (82a) cînd »tinde cătrezero.Aceastaconduceimediat larezultatul

- •.«m

inspiităci

teoremaintegralei de

reactanţă.Ea

isassaşipcind F(s ) esteînlocuit prinlogaritmul sau,B pun oc ,, v p

Se obţine oexpresiemaiconvenabilădacă luamfrecvenţa n, <

logaritmic

ăin care » esteo frecvenţă dereferi..» «WWm*.A»m*i *,!» "*>i (85) sepoate scriedupă cum (8

(85)X ( y )y

- [ B ( co)9

d y

yyIn saun(86)


urmeaza .

X (y ) du = — [B{co) — -fi(O)].

Se observăjfnibarealaJ^^rp^rSâte tot”, dŞj / = 0. Aaiîabila ui- (j) •v(os«\ 'Altfelspus, putemdefini onouă maiprecismţegmndu“t® notaţil

înpluscare

funcţie Xû) —)•Tot.v

;1’ d ......ios vom retine yca variabila acomplică lucrunle^ Inecua| J

•gubînţelegîndfaptul

mtegrandului şivom sene H’

trece

]a

funcţiade

uprin

că înainte, dedectnarea rĂm căaria sui curba părţiiimaginari

logariimMa /,«(*«»


**•*•«'««

-

iTăSmînt^ării pînă laR0, dupăcare seimpune caI?0 satinda cătreinfinit.Astfel (82b) de\ine*• B(y) — B(co)dyy

AO)

(88)


"în partea dreaptă a ecuaţiei (88) există două operaţii de trecere la limită.Dacă schimbăm ordinea acestor două operaţii, expresia poate fi evaluată în moddirect; trebuie totuşi să vedem dacă operaţia de schimbare a celor două limiteeste permisă. Răspunsul este afirmativ dacă integrala este uniform convergentăpentru orice valoare a lui co, cum de fapt este. Schimbînd între ele cele douăoperaţii şi treeînd la limită se obţine

( [R (y ) — R(cc ) ]dy = — — lim coX (co).' r, Q r,\s.nr,

Rezultatul exprimat de această ecuaţie este cunoscut subdenumirea de teorema integralei de rezistenţă. (Este deasemenea numită teoremaintegralei de atenuare, deoarece rezultatul rămîne valabil dacă înlocuim F(s ) prinlogaritmul său). Dacă este dată comportarea asimptotică a părţii imaginare afuncţiei de circuit, atunci fără a avea importanţă variaţia cu frecvenţa apărţii reale pe axa j, aria cuprinsă sub curba părţii reale şi axa orizontalădeplasată în sus cu cantitatea R( oo), trebuie să rămînă constantă, Invers,dacă se dă integrala părţii reale a unei funcţii pe întreaga axă afrecvenţelor, rezultă comportarea la frecvenţa infinit a părţii imaginare.

’ ’Considerăm cazul special în care F(s ) are un zero simplu la infinit

; atunci F(oo) = R(oo) = 0. Deci

— lim MX (CO) = lim sF (s ) -

Totuşi, conform teoremei valorii iniţiale, limita membrului drepteste valoarea iniţială a răspunsului la impulsul unitate alcircuitului reprezentat de F(s ) . în acest caz (89) devine

(91)

în care f ( t ) = ^(s ) este răspunsulla impulsul unitate. Observăm căvariabila auxiliară a fost schimbată în co pentru a sugera sensul fizic.

Limitări impuse circuitelor

(89)

(90)


Dezvoltările anterioare pot fi folosite pentru a determina cîtevalimitări de bază asupra comportării circuitelor atunci cînd se iauîn considerare anumite efecte parazite inevitabile. Considerămsituaţia ilustratăin fig. 6.21 a. Capacitatea C reprezintăefectele parazite care au loc in mod inevitabil, de exemplucapacităţile joncţiunii ~ ;mTmresau chiar capacitatca între fire. Prezenţa unei astfel decapacitaţn impune anumite restricţii pe care le vom discuta mcontinuare.

” 9 —

U—'>T1

-<U~\ J - - -

a UFig. 6.21. Circuit avînd o capacitate parazită în derivaţie pe bornele de intrare.

Fie Z x ( s ) impedanţa de intrare a unui circuit N fără a considera

capacitatea. Impedenţa totală Z(s ) este dată deOricare ar fi comportarea lui Z&) la infinit, observăm căimpedanţa totală Z(s ) va avea un zero simplu la infinit Vompiresâpune cacircuitul N nu începe cu o capacitate m derivaţie ca in fig.6.21, b, aceast insemnînd că Z^s) nu este zero la infinit. Dacătotuşi capacitatea exista, aceasta are ca efect o creştere avaloni capacitaţn C.

Cu aceste considerente, (90) este valabil pentru F(s ) =Z(s ) .introducind (92) în partea dreaptă a lui (90) şi calculîndlimita găsim

sZ^s) _ 1limsZ(s) = lim - 1 r 's—>oo CsZ^s) -f- 1 C

în sfîrşit introducînd aceasta în (91) rezultatul devine

Z ( s (92)C s + -

Z^s)C s Z l (s)

Zi(«)


f -R (co) dco = ~ ' (93

6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALA ŞI IMAGINARĂ

)

Observăm că existenţa capacităţii în derivaţie impune o limită efectivă asupraariei cuprinse sub curba părţii reale. Deşi această integrală de rezistenţă a rezultatca valoare limită a expresiei generale legînd părţile reală şi imaginară ale uneifuncţii de circuit, ’ea furnizează informaţii privind posibilităţile circuitului.

* ’h

Deoarece teorema integralei de rezistenţă se aplică funcţiilor care nu aupoli pe axa jco, relaţia (93) este valabilă numai pentru astfel de funcţii. Dacăo funcţie are poli pe axa jco conturul de integrare trebuie să ocolească aceştipoli, după care trebuie luate în consideraţie contribuţiile acestor ocoliri.Privind atent dezvoltarea anterioară, se găseşte că, în acest caz, din membruldrept (93) se vor scădea termenii adiţionali, aceştia fiind proporţionali cureziduurile în polii de pe axa jco. în capitolul următor vom arăta că toateaceste reziduri sînt reale şi pozitive, pentru funcţiile de intrare. Deci, cîndZ(s ) are poli pe axa jco, partea dreaptă a lui (93) se reduce ca valoare. Atuncipentru toate cazurile indiferent dacă Z(s ) este analitică sau nu pe axa jco,rezultatul se poate scrie :

A X _\ R (co) du (94)

O noiră interpretare a acestui rezultat important se obţine considerînd, aşacum se arată în fig. 6.22, un diport terminat pe rezistorul R 2 . Presu- punîndexcitaţia sinusoidală, calculul puterii reale debitată la bornele de intrare decătre sursă şi al puterii debitată de circuit sarcinii, va da rezultatele

puterea de la sursă = \ |Ig (jco) |2 Re Z( ju>) , (95 a

puterea în sarcină = § |/2(j«) |2 R r (95 b)Evident,puterea în sarcină nu poate depăşi puterea debitată de sursăpentru undiport pasiv. Deci a doua expresie nu poate fi mai mare decîtprima, astfel căSeninul egal apare cînd diportul nn are pierderi. Astfel pătratulmodulului cîsti<nilui in curent, pentru un diport fără pierderi, este proporţionalcu partea reală a impedanţei la bornele de intrare ale diportulm cu ieşireaterminată pe R„. Introducînd (96) în (94) şi interpretmd R(co) ca ReZ (jco)vom avear 11'o !

T

(97)2 R 2 C

6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALA ŞI IMAGINARĂ

Presupunem că diportul din fig. 6.22 este un filtru cu cîştigconstant in nul ere într-o bandă de frecvenţe dată şi zero înafara acestei benzi. Atunci integrala din (97) va fi egală cuprodusul acestui cîştig m putere cu lăţimea de bandă respectivă,în cazul mai general, chiar daca funcţia de transfer nu este aunui filtru ideal, aria de sub curba, reprezentata de aceastăintegrală, este din punct de vedere dimensional cîştigul de putereînmulţit cu lăţimea de bandă. Pentru acest motiv integrala din(97) este în general numită integrala cîştig-bandă. Astfel găsim olimitare de bază asupra produsului cîştig-bandă datorată prezenţercondensatorului C din derivaţie.

O altă formă a relaţiilor integrale

în cele dezvoltate anterior, au fost găsite două seturi deexpresii integrale echivalente în (76) şi (82) legînd părţilereală şr imaginara ale funcţiilor de circuit pentru toatefrecvenţele. Alte forme smt de asemenea posibile una din ele înspecial, fiind convenabilă pentru calcule şr conducrnd la oevaluare simplă a stabilităţii, în sistemele de control cu buclainclusa. Veeastă formă este cea mai semnificativa cînd se referala lnl (ciştrg şr fază) şi nu la funcţia de circuit însăşi.Expresia utilrzeaza frecvenţa logarrt-mică definită în (86). .

Să începem cu (82 fo) şi să efectuăm citeva calcule preliminarevi tui-zind ca variabilă frecvenţa logaritmică. De asemenea vom folosi aşi <P in loc de R şi AT. Astfel

a ( y ) — < x ( t o ) d y V

i =_2_r» a (yl-oţul ău (98)

t \ U, “UTZ J-oo £ — £

= j_r ^Mhz^l-du.' -rr > _ sinh u

7Z — oo♦

£8 - c. 85

6 ., REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT

4Observăm schimbarea limitei inferioare, deoarece u= — co cînd y = 0. A fostmenţinută variabila y în <x(y ) , aşa cum am discutat anterior.

în următoarea etapă, integrăm prin părţi ultima expresie. Folosind foi mulagenerală

^ adb = ab — ^ bda

cudu

a = a(y ) — a(to), dbsinh u,

- _icth—-du 2

Deci (98) devine

*C> = -i-{wir) - *«>] 1" "'“'YHI + TLT1” rtllTa'"'(99)

Observăm că cth uj2 este o funcţie impară de u, fiind pozitivă cînd u estepozitiv şi negativă cînd u este negativ. Deci logaritmul său pentru u negativva fi complex, partea imaginară fiind i z . Pentru u negativ se poate scrie

In cth — = In cth — + jrc, u < 0. (100)2 2

Cînd u. = + oo, In cth uj2 = 0, iar cînd u = — co, In cth w/2 = jiz. Deci parteaintegrată a ultimei ecuaţii devine j[a(0) — a(co)].

Considerăm acum integrala rămasă. Dacă folosim (100) pentru valori negativeale lui u, rezultatul va fi

la cth i *. = f ^ In cth M *. + j* f ^ *,c du 2 J-oo du 2 J-oo du

M |U-°= f lncth ® du + jna (y)J-oo du 2

în final, utilizînd toate aceste rezultate în (99), obţinem:, lf” dtx. (y) 1 , \u\

Cp(w) = — \—— ln e\h. — du. (101)7T J-oo du

d a = d u , b = — In cth "

6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALA Şl IMAGINARA 2

Această ecuaţie este uşor de interpretat chiar dacă pare a fi complicată.Observăm că cîştigul a nu este o funcţie pară de frecvenţa logaritmică u şi decinu este posibilă integrarea numai pe o jumătate din intervalul total. Ecuaţiaexprimă faptul că faza la o frecvenţă oarecare depinde de panta cîştigului latoate frecvenţele (cînd cîştigul este reprezentat la scara logaritmică afrecvenţelor), importanţa relativă a diferitelor frecvenţe fiind determinată defactorul de pondere.

I n c t h -Ţ A I n c t h

J-/ 20 -

/ 10 ■-/ h— 0 11

Această funcţie este reprezentată grafic în fig. 6.23. Ea creşte rapid învecinătatea lui u = 0 (2/ — co), lumd apoi valori foarte mici în ambele părţi aleacestui punct. Aceasta înseamnă că cea mai mare contribuţie la valoarea fazei, lao frecvenţă co, o are panta cîştigului în imediata vecinătate a lui o. . .

„O altă formă utilă se poate obţine simplu prin adunarea şr scaderea pantei evaluate la u = 0 (y = co) sub integrala din (101). Lăsăm cititorului sarcina efectuării acestor calcule. Rezultatul va fi

©(<,) = r^-2 du r. J -cc L du

In cth — du. (103)

2înţegem panta cîştigului ca funcţie de u, evaluată pentru u = 0 (y = co). Panta da.(«>)ldu este măsurată în neperi pe unitatea de variaţie a lui u. O unitate devariaţie a lui u înseamnă o variaţie în frecvenţă cu irn factor s.Observăm că pri

do.(ti>)du

(7a(co)

du

y +y— coln cth —! = ln

2(102)

Fig. 6.23. Reprezentarea factorului pondere |u| 'ln cth — = ln ------2 {/—

6.7. RELAŢII INTEGfRALE INTRE PĂRŢILE REALA ŞI IMAGINARĂ 3n

Observăm că la o frecvenţă oarecare faza este de tc/2 ori panta cîştigului laaceeaşi frecvenţă, plus un termen dat de integrală. Dacă cîştigul este o funcţiecontinuă, atunci diferenţa în integrând va fi mică în vecinătatea lui y = w, chiaracolo unde factorul de pondere are valori mari. Deci, în acest caz, contribuţiaintegralei la valoarea fazei va fi mică. Atunci, într-o primă aproximaţie putemspune că faza va avea o valoare de - radiani cînd panta cîştigului este 1, ovaloare de 3 radiani cînd penta cîştigului este 2 etc.

Presupunem acum că funcţia cîştig este dată grafic. Putem aproxima curba cu oserie de segmente de dreaptă avînd pante egale cu n, unde n este un întreg. Oaproximare a funcţiei de fază (funcţie de fază minimă) corespunzătoare funcţieidate a cîştigului se poate trasa rapid conform discuţiei din ultimul paragraf.

Ca exemplu al acestei metode, presupunem un grafic al funcţiei cîştig1) dat înfig. 6.24. Aproximarea cu linii drepte este figurată suprapus.

poate obţine o diagramă aproximativă a fazei, arătată în figură pi in liniediscontinuă folosind numai aproximarea cu linii drepte a cîştigului >i neglijîndcomplet integrala din (103). Funcţia de fază trasata mai exact poate avea formaarătată prin curba punctată.

3 Pînă la o schimbare de scală pe ambele axe, aceasta este diagrama Bode a lui |F(jco)l, care se utilizează toarte mult în teoria reglării automate. Diagrama Bode, adica 20 log | F(jco) | în raport cu log co, estedescrisă în lucrările de bază despre analiza sistemelor de reglare automată.

Panta = 0


Relaţii obţinute pentru diferite funcţii pondere

Pentru obţinerea relaţiilor integrale din acest paragraf am pornit de laintegrandul din (72) şi conturul închis arătat în fig. 6.20. Funcţia \ ' (z — ho) cucare s-a multiplicat funcţia de circuit F(z ) m (/2) este o funcţie pondere. Aceleaşirelaţii ca cele obţinute aici se pot obţine folo- '-ind diferite funcţii pondereşi integrînd pe acelaşi contur de baza. Desigur, dacă funcţiile pondere introducpoli adiţionali pe axa jw va trebui >â evităm aceşti poli prin mici devieri aleconturului de integrare ; de exemplu teorema integralei de rezistenţă se poateobţine rapid prin ii™' srarea funcţiei [F{z ) R (cc ) ] pe conturai de bază Aici funcţiapondere este 1. Analog, teorema integralei de reactanţă rezulta imediat claca inte-grăm funcţia F(z ) lz pe conturul de bază, în care introducem un mic ocol aloriginii. Funcţia pondere este l/z. Cititorul poate verifica acesteafirmaţii. , .. .... ,.

Din această discuţie rezultă posibilitatea obţinem unor relaţii suplimentareîntre părţile reală şi imaginară, folosind diferite funcţii pondere. De fapt, sepoate găsi o mare varietate de relaţii. Aici au fost prezentate cele maiimportante şi folositoare dintre ele. Dacă consideram cele două cazuri mentionateîn paragraful precedent, criteriul pentru alegerea unei anumite funcţii ponderepare a fi alegerea ei astfel lucit, termenul in care apare componenta cunoscută afuncţiei de circuit sa fie o funcţie nară în raport cu frecvenţa, iar termenul încare apare componenta necunoscută să fie o funcţie impară de frecvenţă. Astfel,cînd se face integrarea pe axa jco componenta necunoscută va dispărea şi va apareanumai in termenii ce reprezintă contribuţia micilor contururi de ocolire a>in°ularitătilor şi în termenii ce reprezintă contribuţia arcului de razainfinită. Se pare că această consideraţie în alegerea unei funcţii pondere seaplică în mod cu totul general.

Pînă acum, am găsit în acest paragraf, că pentru o funcţie de cii- cuit avîndanumite restricţii, dacă partea reală este dată pentru toate frecvenţele, atuncipartea imaginară este complet determinată. In mod analog, cind partea imaginară estedată pentru toate frecvenţele, partea reală este complet determinată (pînă la oconstantă). întrebarea care se pune este : presupunînd că partea reală este datăîntr-un anumit interval de frecvenţe, iar partea imaginară pe întreg spectrul defrecvenţe rămas, este funcţia complet determinată?^ In loc să considerăm această problemă în forma cea mai generală, să presupunemcă partea reală este cunoscută pentru toate frecvenţele mai mici decît co0, iarpartea imaginară este cunoscută pentru toate frecvenţele mai mari decît co0. Vremsă găsim o expresie care să dea părţile necunoscute ale celor două componente.Discuţia privind alegerea funcţiilor pondere sugerează că, dacă putem alege ofuncţie pondere care schimbă caracterul la co0, astfel încît sub co0 termenul ce sereferă la partea reală să fie par, iar peste co0 termenul ce se referă la parteaimaginară să fie par, atunci problema va fi rezolvată. Deci este necesară ofuncţie pondere multiformă. ’

Presupunem că alegem următoarea funcţie pondere

(.?2 + CO2) A + 4


C05

Din nou luăm z = x -f jy ca variabilă auxiliară, Factorul iraţional de la numitoreste multiform avînd punctele de ramificaţie la z = ± jco0. Trebuie să alegemtăietura astfel încît integrarea dealungul axei j să se afle pe o singură foaie a

suprafeţei Eiemann. Putem obţine aceasta dacă, pentru 2- = jy, luăm

l- - -■L-real şi pozitiv pentru —co0<y<co0,«o

1—imaginar şi pozitiv pentru y>u 0 , «o

1_ imaginar şi negativ pentru y< — co0.«o

COQ

2o>

71 'oR ( y )% ( y )

COQ

(104)

co >co0.

,C00+f( y 2 —

co2)

d y

faee despărtind intervalul în două părţi, una de la zero la co0, cealaltade la «o la infinit. Detaliile de calcul sînt lăsate cititorului.Rezultatul \a ti

2cor°7Z Ja

co<co0

d y

—B ( co)

—1COo

y

Cu aceastăalegere, ^1—t?/2/co5 esteo funcţiepară înintervalul—-co0<2/<co0,şi impară înrestul axei.Conturul deintegrareconstă dinconturul debază dinfig. 6.20dar cuocolireapunctelor z=± jco. încazul nostruarcul derazăinfinită nuaduce nici ocontribuţiedeoareceintegrandultinde lazero celpuţin totatît derepede ca 1j z 3 lainfinit.Contribuţiile conturu-rilor deocolire sîntde jn orireziduulintegrandului în polulcorespunză-tor, care secalculeazăuşor. Eămîneintegrareape axa jco.Aceasta sey *(t/2-co2)

X(co)

CO*2

COQ

ală.ţtlerţ-<-. n -

ţ:£Z I*

nbâralăfielon-


Am răspuns deci la întrebarea pusă la începutul acestei discuţii, în măsura incare ea se referă la prezenta problema. Daca se da pai tea reala a unei funcţiipe un interval al axei imaginare şi partea imaginara pe iestul axe , amnciFuncţia este complet determinată Metoda de ob(mere a rezu a- ţului din ultimaecuaţie se poate extinde şi pentru cazul m care exis mai mult decît douăintervale pe care una din cele doua componente ale funcţiei de circuit estecunoscută. Se introduc factori iraţionali adiţiona i, care dau puncte deramificaţie adiţionale în punctele corespunzătoare de pe axă. Totuşi, expresiilecare rezultă devm complicate şi deci au utilitate limitată.

Să rezumăm rezultatele acestui paragraf. Scopul nostru este obţinerearelaţiilor între părţile reală şi imaginară ale unei fune^ ^ circmt F(s ) (sauîntre cîştig şi fază), astfel încît atunci cmd una din ele este data să se poatăcalcula cealaltă. Punctul de plecare este teorema integralei lui Caucliy,conturul de integrare cuprmzînd axa imaginara şi un aic semicircular de razăinfinită în semiplanul drept. Se alege un ^grand ce conţine F{s ) sau ln F(s ) ,multiplicat cu o funcţie pondere. Conturul este deformat pentru a ocoli poliiintegrandului introduşi de aceastafuncţie. , . . .

Dacă integrandul se referă la o funcţie de circuit F{s ) , atunci smerirărestricţie este ca F(s ) să fie analitică pe axa jco, mcluzmd puncte e, zero şiinfinit. Dacă integrandul se referă la lnF(s), atunci F{s ) nu trebuie să fieanalitică pe axa jco, daracum nu trebuie să aiba nici un zero m semiplanul drept;ea trebuie să fie de fază minima. ^ ^Conturul total se împarte în segmentele de dreaptă de pe axa imaginară, curbele semicirculare ce ocolesc singularităţile pe axa j introduse in integrând în mod deliberat şi arcul semicircular de raza infinita. Contn-

buţiile contururilor semicirculare se pot calcula, iar singura integrală care2'ămîne este cea de pe axa imaginară.

O caracteristică foarte folositoare a acestor expresii este faptul că funcţiaprescrisă, poate să nu fie dată într-o formă analitică realizabilă.O formă grafică aproximativă este suficientă. Mai mult decît atît, chiarintegralele se pot efectua grafic.

de;co0

.i seICă,

^0»azădela1U-ză-se


6.8. RELAŢIILE ÎNTRE RĂSPUNSUL ÎN DOMENIUL TIMP ŞI ÎN DOMENIUL FRECVENTĂ

Paragrafele precedente au cuprins proprietăţile funcţiilor de circuit şirelaţiile de legătură dintre componentele acestor funcţii în domeniul frecvenţă.Deoarece o funcţie de circuit este raportul transformatelor Laplace ale funcţieirăspuns şi funcţiei excitaţie, este de aşteptat ca între componentele unei funcţiide circuit şi răspunsul în domeniul timp sa existe relaţii de legătură. în acestparagraf se vor examina aceste relaţii.

Să ne referim la notaţiile din capitolul 5 şi fie w u ( l ) răspunsul (scalar) la oexcitaţie treaptă unitate şi w s ( t ) răspunsul la o excitaţie impui < unitate. Funcţiade circuit corespunzătoare F(s ) este legată de acestea astfel

(105 at (105 b)în cele ce urmează ne vom referi numai la funcţii de circuit fără poli pe axa jco.

Răspunsul la treapta unitate

Mai întîi din definiţia integralei Laplace rezultă F(s )= ( w«{t ) s" JoDacă se face înlocuirea s = jco, exponenţiala nu se stinge cînd t tindecătre infinit, dar integrala va converge dacă w„(t )~>0 cînd t -+ oo. Apoi din teoremavalorii finale se găseşte că

lim w u (t) = lim s = lim F(s ) .s-»0 $ s->

= F ( s )

du (106)

6 .8 . RELAŢII INTRE RĂSPUNSUL ÎN DOMENIUL TIMP ŞI IN DOMENIUL FRECVENŢA 1

II <âbilă.:hiir

mX] J B S

(108)' d s .( t )

>._>a \

>0 b )

fi

p e

\m presupus că F ( s ) nu are poli pe axa jco, dar n-am făcut nici orestnc- . ie relativ la un zero în origine. Atunci integrandul din ultimaexpiesie poate avea un pol în origine. Dacă nu ar fi fost acel pol,conturul Li om- ‘vicii ar fi putut să fie luat pe axa jco. în loculacesteia luăm conturul aratat m fig. 6.25 care constă din axa jco, cuexcepţia unui arc semicircular care ocoleşte originea. Cînd razasemicercului tinde la zero, conturul nnde să devină întreaga axă jco. Celetrei părţi ale conturului au os denumite C \ , C 2 şi C 3 . Ecuaţia (108) poatefi scrisă acum

ssl d s +F I

2 i îj is s t d s +

0[mpunînd ca «>„(/)-> 0 cînd t -> co înseamnă că F ( s ) trebuie să conţină un :€ro l as = 0 . Cu această remarcă, (106) se poate scrie

f 0C

F ( j a ) = 2?(co) + j X ( w ) = jco \ W n { t ) [cosco/—jsincof] d t .-'o

din aceasta rezultă că

iî(co) = î i<>wv(t) sin cot cit, (107a)Jo

X(co)= (°°coivu(t) cos cot dt. (1076)Jo

Astfel părţile reală şi imaginară ale unei funcţii de circuit se potobţine direct din răspunsul la treapta unitate. ^

Sînt de asemenea posibile şi relaţii inverse care dau răspunsul iatreapta unitate în funcţie de partea reală sau imaginară. Ele se potobţine cu ajutorul integralei de inversiune pentru răspunsul la treaptaunitate. Deoarece w „ ( t ) = ^_1 {-F(a)/*}, se obţine

rc-r::*Miiuitrkeirr-I'lăţii, t>C*i•;pU!<*> Lt- Â


Pe contururile C\ şi C 3 , s = jco şi ds = jd<*. Pe conturul CB care este arătat măritîn partea (b) din fig. 6.25 se poate scrie

s = R0sia = B0 cos a + jB0 sin a,

ds = jK0s3'°Y7a

106)

inde\poi

1 6 . REPREZENTĂRI ale FUNCŢIILOR DE CIRCUIT

.Prin urmare (109) devine

(t) = jp° e'* jdco+ f s'«*j tfco 12:rj l-'-oo JCO Jiî0 Jco J

(110j w

C 3 t C Z

1 Y x \y\o( \

cr J

Ct f

Ultima integrală din partea dreaptă conţine raza B 0 într-o formă complicată.Intenţionăm însă să facem ca B 0 să tindă către zero, în care caz acest termen sereduce la F(0 )/2 . Cititorul poate verifica aceasta. Observăm că impunînd restricţiasuplimentară ca F(s ) să aibă un zero la s = 0, atunci acest termen va dispărea.Cînd punem B 0 0 cele două integrale rămase în (110) se combină pentru a davaloarea principală a integralei mergînd de la — co la + co. în concluzie

n* ( t ) = ^ + ——7- (°° do>. (lll)2 2Tzj J-oo co

(Notăm că deşi nu este arătat în mod explicit, ultima integrală trebuie înţeleasăca reprezentînd valoarea principală). Această expresie poate fi simplificată încontinuare scriind F(jco) în funcţie de părţile reală şi imaginară, dezvoltîndexponenţiala şi utilizînd proprietăţile pare şi impare ale funcţiilor rezultate,pentru a schimba domeniul de integrare pe axa pozitivă co. Detaliile revincititorului. Rezultatul este

B( 0) , 1 f«.H(co) . _ , 1 f“Z(co) 4 ,+ —\ sm oit doi -[- —v —'—-coscofcZco. (112)7t . 0 CO71JQ W

w u ( t ) =

1 rn/2

----------V F ( s ) exp [ t ( B 0 cos a + j B 0 sin a)]j d a .2 7 1 jrr/2

a bFig. 6.25. Contururi de integrare.


Am înlocuit F( 0) prin 12(0), deoarece X(0) = 0. Observămexpresie este definită pentru valori pozitive cit şi negative ale lu> t . Insa,tv u ( t ) = 0 pentru valori negative ale lui t . Prin urmare pentru valonnegative ale lui t se obţine

«-IC® Sin „t io + - f ^ <=<« «io.2 71'o CO . 0 CO

sauw) + if"iw c o s =2 TZ 'o CO 7T.'o co

Cînd ultima ecuaţie se înlocuieşte în (112) se obţine următorulrezultat final

W { t ) = 12(0) + — \ êos co/ f/co. (113a)71 J0 CO

utdou (H3b)

Pînă acum am făcut o serie de artificii matematice pentru a punerelaţiile de legătură dintre F( j<o) şi u>u(t) în mai multe forme echivalent^Dar’acum avem ceva nou. Ultima ecuaţie arata ca răspunsul la treapta unitate alunui circuit poate fi calculat cunoscînd de-a lungul axei jco numai partea reală afuncţiei de circuit. Notăm ca aceasta relaţie nu cei e ca 12(0) = F(0) să fiezero. Cu răspunsul la treapta unitate determinat, (107 b) poate fi utilizatpentru calculul părţii imaginare a lui i ( jco). nsa, din deducerea lui (107 b)cunoaştem că valoarea asimptotica a răspunsului la treapta unitate, care seutilizează în (107 b) trebuie sa fie zero. Pun urmare înainte de utilizarea luiwu (t), aşa cum se calculeaza din (113 b) , se extrage valoarea sa asimptotică,12(0), m cazul in cai e aceasta nu este zero. Pe această cale Ft fa) este completdeterminat numai din cunoaşterea părţii sale reale.

în mod similar, pornind cu partaa imaginară X(co) se poate calcula răspunsulla treapta unitate din integrala din (113 a) . Partea de răspuns la treapta unitatecalculată din această integrală va tinde către zero cîndi tinde către infinit. La valoarea astfel calculata putem adauga once constantă,care este valoarea la frecvenţa zero a lui -R(jco), notata in (113 a) prin 12(0).însă omiţînd această etapă putem calcula partea îeala JK(co) din (107 a) . în acestfel F( j<a) va fi complet determinat, cu excepţia unei constante aditive, numai dincunoaşterea părţii sale imaginare.

0

- sin O i id co.

wjt)


ii^ Metodele discutate pentru determinarea unei funcţii de circuit di^ părţile salepară sau impară sînt oarecum diferite de cele’discutate în ultimul paragraf. Deasemenea ele sînt aparent mai complicate, deoarece cuprind evaluarea a douăintegrale. însă trebuie să observăm că parte; reală sau imaginaiă nu trebuie săfie date ca funcţii raţionale; un grafi - este suficient. ’ ’

Răspunsul la impulsul unitate

Să considerăm acum răspunsul la impulsul unitate. Prin efectuarea unorschimbări potrivite, putem adapta tot ce am discutat pornind d- la (106) şipentru răspunsul la impulsul unitate. Mai jos vom da rezultatele. lăsînddetaliile dezvoltării pe seama cititorului. Ca şi înainte se cerca F (s ) să fi e o funcţieanalitică pe axa jco, dar acum nu este nevoie nî conţină un zero la s = 0. în schimb,aplicarea integralei de inversiune lui F(s ) va cere ca F(s ) să aibă un zero lainfinit. Pornind de la (106) urmînd aceleaşi etape vom obţine următoarele ecuaţii

: '

COw s ( t ) cos <x>t dt, (114a 0

/.COAT(co) = — \ w s ( t ) sin co/ sin cot dt (114?;

^0

2 ,*00WS) = — ( - B c o ) c o s cdt do> (114r

7Z .0

2w s ( t ) = — —V X(co) sin co/ dio. (114rf

7Z J o

Primele două ecuaţii sînt corespondente lui (107), în timp ce ultimele două potfi comparate cu (113). Prin faptul că răspunsul la impulsul unitate este derivatarăspunsului la treapta unitate, ultimele două ecuaţii pot fi obţinute din (113).(Impulsurile nu vor fi cuprinse deoarece a in presupus JF(OC) = 0).

Ecuaţia (114 d) arată că răspunsul la impuls al unui circuit se poarecalcula chiar dacă se cunoaşte numai partea imaginară X(co). Notăm că X(co) va

tinde cătrezero cînd co tinde către infinit, chiar dacă F(oc ) estediferitdezero. Avînd calculat răspunsul la impulsul unitate, parteareală

S

6 .8 . RELAŢII INTRE RĂSPUNSUL IN DOMENIUL TIMP ŞI ÎN DOMENIUL FRECVENŢA_44_5

i?(w), sau i?(co)—j?(oo), dacă E( co) = F(oo) j= 0, poate fi găsităfolosind (114 a) . In acest fel F( jco) este determinat pînă la o constantăaditivă. F( co) = E( co), numai de partea sa imaginară.în mod similar,cunoscînd numai partea reala R(v>) , sau R(o>) R( co) dacă R( oo) =F(cc )=?= O,răspunsul la impuls se poate calcula cu (114 c . a vind răspunsul la impuls,partea imaginară X(«) se calculeaza cu ( lUb) . fn acest fel rezumă că o’funcţie detransfer este complet determinata numai din cunoaşterea părţii sale reale.

în fiecare din cazurile de mai sus, după ce răspunsul la treapta unitate saurăspunsul la impulsul unitate a fost calculat din funcţiile Ptv>) sau X(co)date, este necesar de a găsi numai transformata Laplace,, ‘ ‘ nv _ T^Ys'Ws si = F(s ) . Procedmd m acest mod,deoarece Se{wu (t)) = * (&)/» şi .+Q+-una din integrările din (107) şi (114) poate fi editata,

ExempleSă presupunem că partea reală a unei funcţii de circuit pe axa ,/<o este

co4 + 2co2-j-4 (115)i?(<o) =-------------— • ( '

(l + co2)(4 + <o-)

Se vede că la infinit valoarea sa diferă de zero şi ca urmare (114 c) nu se poate folosi direct. Extrăgîndvaloarea de la frecvenţa infinit se obţine

— 3 oi2

*■<“> - Bl“i 'Aplicind acum (114 c) rezultă

6 fx co2cos cot“'8>(<) = _ vio (1+»2KÎW)"<W

3j-j-a, u2£J“irfco , r°° co 2 £ jat <lu

- TTLJO (l+co2) (1-fco2)Jo (l + co2)(4 + co2) .3 roo co2 (ii.o

TT J_co (1 + to2) (4-J-to2)

Al doilea rind din (116) rezultă din utilizarea formei exponenţi^jUui cos <o, Dacă în cea de a douaintegrală din acest rind se mlocueşte co cu -co şi se scmmoa in rtor limitele, rezultă ultima integrală.

Să considerăm acum următorul contur de integrare in planul complex a ,

esi ds1 = «)

C (s2-D (s2 —4>unde conturul este format din întreaga axa ^“n

şlraţională din integrând se

(116)


Integrandul satisface condiţiile lemei lui J . infinit vafi zerosiintegralacom- integralei este egalăcu de 2ttj ori suma reiduurilor tn polii din semiplanul sting. In cazul di: sînt numai doi poli simpli însemiplanul sting, la s = l şi s = 2 şi reziduurile lor sînt uşor de calcL- lat. Prin urmare obţinem

,= _,C ,=27rj.|_Le-t_ JLe-,<(l + co3) (4 + co2) 1. 6 3

Prin substituirea acestei expresii în (116) obţinem

wS l(t) = s-‘ -2e-2*

Funcţia dc transfer se găseşte liLnl ti’ansformata Laplace. Rezultatul va fi

/.’i(s)= ------1- =------Zf- -.s + 1 s + 2 (s + 1) (s + 2)

Această funcţie are un zero la infinit. La aceasta trebuie să adăugăm valoarea lui R('cula frecvenţa infinită,care este F(oo) şi pe care am scăzut-o din funcţia originală la început. In acest fel funcţia dorită este

F(s) =FX (s) + F(co) = ----------S----------h 1 = s t2s + 2—^(s-f-l) (s-j-2) (s + 1) (s~-2)

Pentru al doilea exemplu fie partea reală a unei funcţii de circuit, curba ideală arătată In fig. 6.26. '

i, *(*) ______K

PROBLEME 2

Folosind (114 c) răspunsul la impuls rezultă2 f“o ^ 2 K . .

ii) S(()= —l JCcoscoiclco= - -smoy.7t JO Tlt

Introducînd rezultatul obţinut în (114 b) se găseşte * )■

X(o) = - (*Joeos(to — ca0)f—cos(o)+<o0, .

K | (o0+o)-----ln --------

PROBLEMEPI. Pentru reţelele arătate în fig. 6.P1 verificaţi că

valorile proprii diferite de zero ale matricei * din ecuaţia destare sînt aceleaşi cu zerouri le diferite de zero ale matriceiimpe- danţelor de contur şi ale matricei admitanţelor lanoduri.

10Hh

a

P2. Găsiţi partea pară, Par F(s) şi partea impară Imp F(s),a următoarelor funcţii din părţile pară şi impară alenumărătorului şi numitorului;

P3. Polinomul Pj(s) = s2-6s + 12 are o pereche de zerouriîn semiplanul drept. El trebuie multiplicat cu un alt polinom,P2(s), degradul nastfel ca

(b)F(s) =(a) F(s) =

h:e- to >

0.

Fig. 6. P.l.

(j)

'* 2 K . , . , ,,----sm co0f sin toidtKt

s + s2 + 2s-r2 SI + 5S3 +6S2 + 4S+1

s3 i-2s2 + 3s

+ 4 s2 + 3s +

3

PROBLEME

tZ.3

polinomul rezultant să nu aibă coeficienţi negativi. Care estevaloarea minimă a lui n7


REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT

Pî. Se dă funcţia de transfer

F(s) =

Funcţia de fază este definităastfel

1 fars + a2s2+

••■+aMs,‘+ /)rs 4- fc2s2 + • ■• + bms

m

a 1 F(s)0(s) = — ln-----

1 F( — s)

şi este identică cu (49) pentru s=ja>. Funcţia detntirziere este definită astfelF(s)(1 A 1- -0(S) - - -ds2

(a) în F(s) fie a,= 0 pentru toatevalorile i Introduceţi această modificare mexpre? - funcţiei de tntirziere. Găsiţivaloarea coeficienţilor b.; astfel caîntirzierea sa fie o funcţie det.. maxim plat,pentru cazurile m = 3, m = 4 şi m = 5.

(b) Repetaţi pentru a { 0 şi n = m — 1.P5. Verificaţi că, dacă toţi coeficienţii

unui polinom real P(s) de gradul n au aceL- s?mn, polinomul P(s) nu are zerouri în sectorul |arg si<7i/n.

P.6. în fig. 6. P6 găsiţi z21 şiverificaţi că nu există un zero de transmisiela s — — chiar dacă latura derivaţie din parteastingă are un pol al admitanţei la s = - .

1

P.7. Adinitantele laturilor derivaţie dindiagramele din fig. 6.P7 au un pol la infim:respectiv la zero. Arătaţi că diporţii totalitrebuie să conţină zerouri de transmisie laace,, frecvenţe (în afara cazului din problemaprecedentă), indiferent de ce conţine iestulci.ci ît i.

448

finI F(-s) ]

T (*) = -


......

o-------4------------------------------

Fig. 6. P. 7


.

P.8. Un circuit ln X simetric are impedanţele laturilor serie ^“işa siune

este„ , . 1 — âln

G,,(s) = ----------•21V 1+ZJR

P.9. Verificaţi că circuitul T podit din fig. 6.12 bşi circuitele in r din fig. ^^^12 dÎnchise pe o rezistenţă R sint circuite de rezistenţa constanta daca Za b ,de asemenea că în această condiţie funcţia cîştig de tensiune este

V„ 1Gai(s) — ~

' îl+Za/R

P.10. Figura 6.P.10 a arată un circuit ln X simetric.c-,

1 /h . \ < ] L2—2 [(X 7/ j p(1-«)

X

PROBLEME 7

nr T Ci-(1-«)C2 ijg-- -g ■' 1

Fig. 6. P. 10.(a) Găsiţi parametrii y (dacă e posibil utilizînd formule topologice) şiarătaţi că condiţia Fialkow (definită în problema P.47 din capitolul 3) va fi satisfăcută în una

din cele tre* condiţii de mai jos :(1)^*->1; (2)-^>l (3)i^- +A > 1.

ij C2 Li C2

(b) Figurile P6.10 b şi 6.10 c, arată două circuite în T podit. Arătaţi că în condiţia (1)de mai sus primul circuit are aceiaşi parametri y ca şi circuitul în X şi deci este echivalent cuel. Arătaţi de asemene a că al doilea circuit are aceiaşi parametri y ca circuitul X, în^con-diţia (2) de mai sus.

(e) Dacă parametrii y ai circuitului în X sînt dezvoltaţi în fracţii parţiale, rezultatulva avea forma :

[*.,+ _g*L-U(J»+V s2+to?J \ s s2-|-<^ /

A-„ AsI, ocAs \(k„ (1 —a)A-s \

Un = Sn = Ivs + —5----- = I AcoS---------------------- + -5- - ^----------------------------.

S S2 + fc)5‘ ţ s2 + <o|) 1. S S2 + C0§ I

în partea dreaptă, o fracţiune din polul finit fost combinată cu polul de la infinit, iar restul afost combinat cu polul din origine. Arătaţi că în circuitul dublu T din fig. 6.P 10 d, fiecarecircuit T are unul din seturile de parametri y cuprinşi în parantezele de mai sus. Determinaţidomeniul valorilor a şi arătaţi că acest domeniu există dacă este satisfăcută condiţia (3) de maisus. în această condiţie, circuitul dublu T este echivalent cu circuitul X.

(d) Determinaţi unghiul zerourilor de transmisie ale circuitelor T podit şial circuitului

dublu T determinate de cele trei condiţii de la punctul (a).Pil. Găsiţi un diport terminat pe un rezistor de 100 fi, a cărui funcţie cîştig de

tensiuneeste dată de fiecare din următoarele funcţii trece-tot. In fiecare caz relativ la

un circuit X.determinaţi dacă există un circuit echivalent cu bornă comună şi dacă există determinaţi-],

, . r _ s2 —2s + 2 s2-3s+5(a) G21 — - - ~ , (fr) G21 —

s2 + 2s-f-2 s2-f3s + 5

(s2-s + l)(s —5)(e) G2

(s2 + s + l)(s + 5)

P.12. Găsiţi un diport terminat pe un rezistor de 50 fi, a cărui funcţie cîştig de tensiuneeste dată de fiecare din următoarele funcţii de fază neminimă. Alegeţi oricare valoare convenabilăpentru K. Schimbaţi unde este posibil circutul X în circuite echivalente cu bornă comună.

(a) G21 =K S2 ~ S + 2 , (b) G21 = K S_2

29 —c. 854

'Ju — U22 — A'qcS — -f- ---- —— — j&ooSs s2+<oŞ

PROBLEME 8

(s -f- l)2 s2 + 4s+3

s2-3s + 5(c) G21= K

s2 + 7s+5

PROBLEME 9

posibilităţile.

—2^—, (b) tg 0 ——co3—:tu(co —2) —7ru(co-i-2),1—6co2 ' “

a _o A co3 —3iw«o tg 0 = — , (d) tg 0 =

» " co3 +2co(e) tg ® = - - -ZÎ?-- , (f) tg 0= -, -

g co4 —4co2 + 24 co4-3co--6

m16 - 8co2 + co4 . R( ■> _ 2 : lor îic..' o6

(a) fl(co) = ----—7— ’ (b> ( } “ 1 + o»1 -p CO

(O = (d) *«) = iZ2w^t^-8 ’

_________________(1 — (d3 + (04)2_______________________ #

(e) R(w) (.(j)4_4w2 + 3)2_|_CO2(CO4 — 6co2 + 8)2

.!„?■ srtsarsasr ‘p. 16. Deduceţi formula (103) din text, pornind de la (101).P 17. Deduceţi formula (104) din text.p, ia. Deduceţi teorema integralei de reactanţă din (85) prin integrarea funcţie.

F(*)|. pe conturul de bază, cu o mică ocolire în jurul originii. ^.c, -

P. 20. Deduceţi (79) prin integrarea fiinţei F (z)/(z~ + co ) pe conturul de baz ,ocolirea punctelor z = ± j“- , , ,

P 81. Deduceţi (80) prin integrarea funcţiei z[F(z) - *(=0)],(** + «*) Pe conturul debază, cu ocolirea punctelor z = ±jco. _

P 22 Prin integrarea funcţiei [F(Z)-R(0)l/z(z2+co2) pe conturul de baza, cu ocolireapunctelor z=0 şi z = ±j«, deduceţi următoarea relaţie

2co2 f00 x (y)ly - X (co)/co

Comparaţi-o cu relaţia (82 a) din text.

(a) tg 0

PROBLEME 10

P 23. Fiecare din curbele din fig.6.P.23 reprezintă modulul \F( jui) | al unei funcţii detransfer, pentru co> 0. Presupunînd că funcţia este de fază minimă, prin aproximări potrivitegăsiţi funcţia de fază corespunzătoare.

P 25. Partea reală a unei funcţii pe axa jco este dată de funcţiile de mai jos. Găsiţirăspunsul la treapta unitate folosind (113 b) si răspunsul Ia impulsul unitate folosind (114 c).

®(6>):

- ln dy.y- co

(a) B(o) = (b) i?(co) =

(c) i?(co (d) iî(co)

4td6 + 12 to4 + 11 <a2 + 3

1 + 2to2 + co4 1 — 2co2 +

<o4 + 4co6

Fig. 6. P. 23.P 24.Funcţia detip maximplat din(32) estemodulul uneifuncţii.Arătaţi căfaza estedată deurmătoareaexpresieILf” llu * )0 1

+ y-

(1 -o2)3 1 +co6 ’

11 + (O21* '

PROBLEME 11

P 2G. Se presupune că partea imaginară a unei funcţii de circuit este arătată ln fig.6.P.26. Folosiţi (113 a) pentru a calcula wu(t) şi apoi (107 a) pentru a determina partea realăa funcţiei de circuit.

7

P B. Se presupune c« rt.pu»,,,! 1. «.puin Ilg. 6.P.27. Folosiţi prin 'determinarea iul u,,(i> «rect «n »'.«>■

la impulsul unitate w $ ( t ) . Verificaţi ac „,.tpiisr cer întocmirea unui program pe calcu-

,,,o^rr,£Vif^s&&-j?A£n?r ^tsr&ar- - - «*«■-—pentru program.

Fig. 6. P. 27.

P 28 * Se presupune că f(o2) din (41) este o funcţie ,-ătorului siâl numito-rizat de o listă de numere. Primele doua numere şi numi-rului; ele vor fi urmate de un set de numere ce reprezi _ , funetiei «„2) si calcu-torului. Alcătuiţi un program care accepta aceste date ea o d preSupuneti că existălati funcţia de fază minimă stabilă F(s), unde F(j«) satisfacc (41). Presipu . .o subrutină pentru determinarea zerourilor unui polinom ). . . . . v,

xP 29*. Alcătuiţi un program pentru a determina f™^ ^ m i n ™ ^ S } a ^ (d

Se

minarea zerourilor unui polinom.P 30*. Alcătuiţi un program pentru a det.ermina ^date^drfntra^Thnilar

SA o'subluttaâ pentru determinarea zerourilorunui polinom.

and Sons, New York, 1964, Chap.

8.Principii de bazâ ale sintezei circuitelor

7Sinteza circuitelor se ocupă de proiectarea şi realizareacircuitelor, pentru care răspunsul la o anumită excitaţie esteprescris. Problemele de sinteză diferă de cele de analiză, în care secere să se găsească răspunsul unui circuit cunoscut, atunci cînd i seaplică o excitaţie prescrisă. în opoziţie cu analiza, în cazulsintezei, soluţia poate să nu fie unică. De fapt în sinteză se poateîntîmpla să nu existe soluţie, deoarece uneori nu există nici uncircuit care să aibă răspunsul prescris la excitaţia dată. în acestultim caz poate să apară necesitatea, de a aproxima răspunsul dorit cuunul care poate fi obţinut.^ Prescrierea răspunsului şi aproximarea acestuia poate să se facă îndomeniul timp, sau în domeniul frecvenţă. în domeniul frecvenţă, re-zultatul procesului de aproximare este determinarea uneia sau a maimultor funcţii de circuit, care caracterizează circuitul dorit.Cunoscînd aceste funcţii este necesar ca, în continuare, să se găsească(să se realizeze) circuitul. In realizarea concretă trebuie să se ţinăseama că există diferite clase de circuite. Aceste clase pot să fiecaracterizate prin numărul de borne accesibile din exterior, prin tipulcomponentelor (fără pierderi active, BC etc.), prin schemă (în scară,cu bornă de pămînt etc.) ş.a.m.d.

Prima sarcină a procesului de realizare constă in determinareaproprietăţilor funcţiilor de circuit, care aparţin fiecărei clase acircuitelor. Aceste proprietăţi includ localizarea admisibilă a polilorşi zerourilor. semnele reziduurilor şi ale părţilor reale, precum şimărimea relativă a coeficienţilor. Asupra acestei sarcini ne vomconcentra pe larg în acest capitol.

1în scopul stabilirii proprietăţilor analitice alefuncţiilor de circuit, va fi necesar să introducemcîteva probleme matematice suplimentare.7.1. TRANSFORMAREAMATRICELOR

Primele «.<* paraj.aie sînt5o.mX“ITe/uWelor,0JmaSl de unele discuţii asupraplauzibili»*..

7.1. TRANSFORMAREA MATRICELOR

Dindu-se o matrice patra» raţii, care să conducă la o alta 4e

legături Tor depinde deSiiiL'SuarS “pune ’că matricea A a fost *m#mM W«»modoarecare.

Transformări elementare

Unele operaţii specifice de trmstorm^nj gdeose-bită. Aceste operaţii foade saiip e si transformările elementaretransformări elementare. Dindu-se o matrice a, ti«*ale matricei A sînt urmatoare e : (?0ÎWÎ coioane oarecare

1. Schimbarea reciproca a doua unii s

^ \ Uunarea ele,nenUlor «»« Unii, « <*»« *» A «•

— * ** A’ “ °constantă. u . rnn.lif;f,gi ordinul matricei A-

Bineînţeles, aceste transformaiî în Capit0lul 1, primaConform proprietăţilor determinanţ flPteTminantului A; a doua nu mo-transformaxe schimba nu™ai j înmulteşte determinantul cu o cons-difică determinantul; cea de a treia mn * j lară atunci matriceatantă. Prin urmare, daca “^^^^dfasemeixea nesingulară.obţinută după o transformare elementar^ este^de^ ^ ^

^^’^rS^^-te mai mic decît ordinul matricei. (A ^ Operaţiile

efectuatetare pot fi realizate înmulţind pe A ]a rînduiior efectuînd ope-matrice, numite matrice elementare, s ţ Astfel, adunînd linia araţia corespunzătoare asupra rnatric deordinui trei, se obţine matri-

m 0 * * " c o l o a n a

26. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR

a treia la a dona coloană, a matricei de ordinul trei se obţinematricei elementară din dreapta :

1 0 0■

'1 0 0■0 1 1 0 1 0

.0 0 1. .0 1 1.

Dacă o matrice A, cu trei linii este ^«multiplicată cu matricea elemen-tară din stînga, efectul este că se adună linia a treia din A la linia adoua. Dacă o matrice A, cu trei coloane este ^jostoultiplicată cu matricea elementară din dreapta, efectul este că se adună a treia coloană din A. la coloana a doua. Astfel

Observăm că A poate să nu fie pătrată ; bineînţeles A trebuie să fieconformă matricei elementare (aşa cum s-a arătat mai înainte).

Deoarece o transformaree lementară nu modifică rangul unei matriceunitate, orice matrice elementară este nesingulară. Deoarece produsul a douămatrice nesingulare este nesingular, se ajunge la concluzia că, produsulintre un număr oarecare de matrice elementare este nesingular. O problemă deimportanţă mai mare este următoarea : concluzia este aplicabilă în sensinvers? Orice matrice nesingulară poate fi descompusă în matriceelementare ? Kăspunsul este afirmativ. Se poate arăta că orice matricenesingulară p< ate fi scrisă ca un produs al unui număr finit de matrice elementare.Pentru exemplificare să presupunem că se cere : (1) să se adune linia întîia a unei matrice A (4x3), la linia a treia, după multiplicarea primei linii cu 5 şi (2) să se schimbe între ele coloanele trei şi doi, dup

'1 0 0 '«11

«12 *

0 1 0 = «21 «2<> —f- «

.0 1 1. «31 *32 ~r *

*13

*23a

21*31

22*32 33

-.1

0 0 «11 «12 «13 r

0 1 1 «2i

*22 *23 «24

.0 0 1 .

.«31 «32 «33 «34.

«11 «12 «13 «14

H- «31 a 22 1 « 23 ~l-

^*33«24 ~i- *34

«31 «32 «33 «34 -

13

13

*23

*33

456

7.1. TRANSFORMAREA MATRICELOR 3

ăce coloana a doua a fost înmulţită cu 3. Cele două matrice carevor realiza aceste transformări sînt :

1 0 0 0 1 0 0'0 1 0 0 , E2 = 0 0 3

5 0 1 0 .0

1 0 ..

00 0 1

_Prima trebuie să premultiplice pe A, iar a doua să postmultiplicepe A. Cititorul poate să verifice acest rezultat.

Prezentarea unor detalii asupra matricelor elementare se vatace printr-un număr important de probleme. în dezvoltarea careuimează se presupune că rezultatele acestor probleme sîntcunoscute.

Matrice echivalente

Fie A şi B două matrice de acelaşi ordin. Spunem că B esteechivalentă cu A dacă aceasta se poate obţine din A printr-un numărfinit de transformări elementare. Dacă toate transformările sîntefectuate asupia liniilor, B este echivalentă cu A, în raport cu liniile;dacă toate transformările operează asupra coloanelor, B esteechivalentă cu A, m rapoH cu coloanele. Efectuarea unui număr detransf@rmări elementare revine la inmnltirea matricei A? cuprodusul unui număr de matrice elementar e. Un astfel de produspoate fi reprezentat printr-o singură matrice care este, cunecesitate, nesingulară, deoarece fiecare matrice elementară estenesin- sulară. Prin urmare, definiţia generală a echivalenţeipoate fi reformu- lată astfel:

Teorema 1. Fie A şi B două matrice de acelaşi ordin. Matricea B esteechivalentă cu A, dacă şi numai dacă;

B = PAQ (1)

unde P şi Q sînt nesingulare. ^ ^Deoarece P şi Q sînt nesingulare, rezulta ca A = 1 B<4 .

Aceastarelaţie are aceeaşi formă ca şi (1), deci, dacă B este echivalentcu A, atunci si A este echivalent cu B ; rezultă că echivalenţa adouă matrice este o proprietate reciprocă.

Deoarece o transformare elementară nu modifică rangul uneimatrice, "b succesiune de transformări elementare menţine rangulmatricei neschimbat. Prin uimare, două matrice echivalente auacelaşi rang. In particular dacă o matrice pătratică, A, estenesingulară şi o matrice echivalentă cu A este de asemenea


nesingulară.


De fapt, dacă A, este o matrice nesingulară, aceasta poate firedusă totdeauna la o matrice unitară, prin transformări elementaresuccesive; aceasta înseamnă căoricînd vorexista nişte matrice P şi Qnesingulare(fiecare dinele fiind un produs de matrice elementare), astfel

încît:

PAQ = U (2)Deci

A = P"1(PAQ)Q-1 = F-iUQ-1 = p-iQ-1.(3)

Astfel, dacă A este nesingulară, aceasta poate fi oricîndfaetorizată într- un produs de două matrice nesingulare P_1 şi Q-1.Aceasta este desigur o demonstraţie de „existenţă”; nu semenţionează vre-un algoritm care să efectueze factorizarea.

Faptul că, o matrice nesingulară este echivalentă cu o matrice

unitate, aşa cum se arată în (2) este un caz particular al unei

proprietăţi mai generale. Fie A o matrice de ordinul (mxn) şi de

rangr. Prin transformări elementare A se poate reduce totdeauna la o

matrice B de forma :Submatricea din stînga — sus este o matrice unitate de ordinul r.Dacă A este patrată şi nesingulară, n = m = r şi (4) se reduce la(2). Matricea din dreapta relaţiei (4) se numeşte formă normală amatricei A.Să presupunem că în (1) Q = U; rezultă că B = PA. Matricea ne-singulară P este produsul matricelor elementare. înmulţirea lui A cu P conduce la efectuarea unor transfoimări elementare asupra liniilor din A. în matricea produs B, rezultă linii care sînt simple combinaţii lineare ale liniilor din A. în consecinţă, dacă două matrice sînt echivalente în raport cu liniile, liniile uneia sînt combinaţii lineare ale liniilor celeilalte şi vice versa. în mod similar, dacă două matrice sînt echivalente în raport cu coloa-nele, coloanele uneia sînt combinaţii liniare ale coloanelor celeilalte; de exemplu, în Capitolul 2 s-a găsit că matricea Q, a

r n — rrUr 0 ■

0 o

B = PAQ =m — r

( i )


unui grup tăiat fundamental, relativ la un circuit, se obţine premultiplicînd matricea de incidenţă A cu matricea nesingulară A(. Astfel, este de aşteptat ca liniile lui Q, să fie combinaţii liniare ale liniilor lui A, sau în mod echivalent, ecuaţiile grupului tăiat, să fie combinaţii liniare, ale ecuaţiilor corespunzătoare legii lui Kirchhoff pentru curenţi la nod, ceea ce ştim că este adevărat


.

Transformări similare

în relaţia deechivalenţă (1) nu este necesarca între matriceleP şi0 să existevreolegătură. Totuşi, cînd există anumite legaturi,

echivalenţa1conduce la unele proprietăţi importante, astfel că este util catransformările corespunzătoare să fie numite şi clasificate. , ,

„. p_ n_iSă presupunem că matricea A din (1) este patrata, iar r — y .

AtunciB = Q"1 AQ (5a)

sauQB = AQ. (5l>)

Această transformare este o transformare similară; A şi B se numesc matricesimilare. Această transformare a fost deja discutata m capitolul2 unde am văzut că două matrice similare au aceleaşi valon proprii.Includerea transformării aici s-a făcut pentru o tratare completa.

Trasîormări congruente

TJn alt fel de echivalenţă particulară este următoarea. Săpresupunem că în (1) P = Q ' . Atunci, transformarea

B = Q'AQ (6)se numeşte transformare congruentă ; se zice că B este congruenta cu A.

Deoarece Q se poate scrie ca un produs de matrice elementare, Qva fi egală cu produsul transpuselor acestor matrice elementare,considerate în ordine inversă. Prin urmare Q'AQ se obţine din A,efectumd perechi de transformări elementare, o transformare asupraliniilor, urmata de o transformare corespunzătoare asupra coloanelor

O comparaţie între transformarea similara dm (5) şi transformaiea congruentă din (6) arată că acestea ar fi identice daca Q Q • ,c<?s

e* proprietăţi i se acordă o denumire specială. O matrice avmdproprietatea :

Q-i = Q' (7)se numeşte matiice ortogonală.

Dacă A este o matrice reală, simetrică, de rang r, se poatearata, cu ajutorul unor transformări elementare, că aceasta estecongruenta cu o matrice diagonală D, de forma

7.2. FORME PĂTRATICE Şl HERMITXCE 8

fDr °1 (8)

în care Dr este o matrice diagonală de ordin r şi rang r, iar Q estenesingulară. Aceasta seamănă cu forma normală din (4), dar existănişte diferenţe. în cazul general A poate să nu fie pătratică şi celedouă matrice P şi Q pot să fie independente.

’ Elementele diagonale ale lui D pot să fie pozitive, saunegative. Liniile şi coloanele pot fi totdeauna schimbate reciproc,astfel încît elementele’ pozitive să fie plasate la început. Produsulmatricelor elementare corespunzătoare poate fi concentrat în Q. Dacătermenii pozitivi şi negativi sînt explicităţi, rezultatulpoate fi scris astfel:

0 0 . Dr = rD„

0 "0 0 V — Dr-

J,-_0 0 0

unde atît Dp cît şi Dr_j, sînt matrice diagonale cu elemente diagonalepozitive, ordinul şi rangul lui fiind p, iar ordinul şi rangul lui Dr_pfiind r—p.

Să definim acum matricea :_i

D ^, 0 0

_ji_0 —D 2 0

r — p0 ou

unde :1 «o O i - 1 O

D”T =p

1• d2 2 LO ••

1j~2~ăp -' D” =

r — p. 1

Apoi,"după o transformare congruentă a lui D, cu ajutorullui D 2, (9) se poate scrie astfel

■u»

0 0‘11 1 1 (D 2 )' DD 2 = (DQ 2 )' A (QD

2 ) = 0 -U,-p 0 = c .

.0 0 0.

Deoarece D 2 este nesingulară şi QD 2 este nesingulară. Prin

(9)

(10)

(11)

(12)

D = QAQ =

7.2. FORME PATRATICE ŞI HERMIT1CE 9

urmare, Wpartea dreaptă avem de fapt o transformare congruentă alui A.Această matrice se numeşte matrice canonică; se spune că,transformarea congruentă a lui A din (12) pune pe A informă canonică.Numărul mtreg p din această expresie se numeşte indicele matricei.

7.2.FORME PĂTRATICE ŞI HERMITICESubiectul acestui paragraf este o formă matematică, ce apare

m circuite, în urma unor consideraţii de putere disipată sauenergie acumulată. Pentru a explica cum apare aceasta, înainte dea dezvolta propne- *ăţile sale matematice, să considerăm uncircuit pur rezistiv, cu matricea rezistentelor de laturi R ;vectorii tensiune şi curent de latura smt la un moment dat v( t ) şii(<). Puterea disipată în circuit la o valoare oarecare a Timpuluieste p{t ) = i( t ) ' v ( t ) . Dacă se introduce relaţia relativa lalaturi v = Ri, atunci puterea devine

p = i( t ) r v{ t ) = i'Ri.1 0 0"

i'Ri = \ i x i 2i3]

0 -B2

0

. 0 0 R 3_

Această expresie este pătratică în raport cu curenţii şiilustrează ceea ce dorim să prezentăm aici. Pentru a sublinia cărezultatele sînt generale vom utiliza o notaţie m formă generală.

Definiţii

Fie A = [ay], o matrice reală pătrată şix = [aj un vectorcoloană, real sau complex. Expresia :^11 ^12 ^1»^21 ^22 ^2nx'Ax=[a1 sc 2 • • ’

(13)

■

%2

d n

(14)

De exemplu, pentru uncircuit cu trei laturi,mărimea expresiei dindieap- ta este :

= J?! i \ -R2 *! “t" -®3 ^3 •

7.2. FORME PATRATICE ŞI HERMIT1CE 10cu x considerat vector real (adică avînd elemente x i reale) şiexpresia

a n * *& l n

x 1 '* Ax = [ x x x 2•

, t>1

a 21 ^22*

• G.%n

x2

.«»i

«„2*

* *^ iin

cu x considerat vector complex, se numesc forme pătratice. Justificarea,acestei denumiri apare clar dacă se efectuează multiplicareamatricelor menţionate, ceea ce dă :

n nx'Ax= £ £ O f j X f X j (16)

i * 1 3 = 1

atunci cînd «-urile sînt reale şi

x*Ax = £ i X j (17)i-l 3=1

atunci cînd «-urile sînt complexe. Constatăm că acestea sînt expresiiomogene de gradul 2 în variabilele x 1 , x 2 , . . . , x n .

Matricea A din relaţiile (14) —(17) se numeşte matrice a formei pă-tratice. Vom considera că «-urile sînt variabile astfel că matriceadefineşte în principal forma pătratică. Ne vom preocupa de formepătratice în care matricea A este reală şi simetrică. în realitate,orice formă pătratică reală, cu o matrice reală, poate fi transformatăîntr-o formă pătratică cu o matrice simetrică, deoarece avînd «-urileşi ay-urile reale se poate scrie

a a «» x} + aH x} x,= 2 j Xi x}. (18)

Se vede că, contribuţia celor doi termeni din stînga acestei ecuaţiila forma pătratică rămîne neschimbată, dacă înlocuim pe ai} şi aH dinmatrice cu jumătate din suma lor. Astfel dacă A nu este simetrică vomdefini matricea simetrică B ca fiind ;

B = — (A + A'). (19)2

Matricea B se numeşte partea simetrică a lui A. Acestă operaţiemenţine elementele diagonale din A nemodificate, în timp ceelementele din afara diagonalei sînt modificate în modul arătat. Dindiscuţiile precedente rezultă că

xAx = x'Bx. (2°)

Să ne concentrăm acum atenţia, asupra unei forme pâtmtice în


care vectorul x este complex. Atîtatimp cît matricea A a formeipatratice este reală şi simetrică, forma pătratică x*Ax va fi reala.Pentru a demo - stra aceasta să observăm că

y, y. Xi s ** + S S& # i=1

= Y ati I xt I2 + I £ £ ^ (21)

1=1 i=1

« n n _= £ «ii Kl2 + £ 11 ^ ^

fly X % X j

i=l *=13=1

Eîndul al doilea este o consecinţă a simetriei lui A’ sT^îridin ultimul rînd rezultă din faptul ca x} xt este con]ugatul lui x,. Inultimul rînd toţi termenii sînt acum reali ceea ce demonstreazăafirmaţianoastră.

Transformarea unei forme pătratice

Să observăm acum ce se întîmplă cu o formă pătratica dacarectorul x este supus unei transformări lineare, nesingulare şireale. ine . yy, Lde Q este nesingulari iar y este un vectorcoloană. Forma patrat.cadevine :

x* Ax = (Qy)*A(Qy) =y*(Q'AQ)y, (22)

unde s-a ţinut seama că Q este reală şi s-a scris Q * = Q ' .în interiorul parantezei găsim o transformare congruentă a lui A. S-a constatat mai înainte că o inatrice reală, simetrică A poate firedusă totdeauna la forma canonică din (12) utilizînd o transformarenesingulara, congruenta. Prin u - mare, forma pătratică se poate


reduce la :


Acest rezultat ne permite să formulăm următoarea teoremă :Teorema 2. Orice formă pătratică, reală x*Ax în care A este reală si simetrică

poate fi redusă, cu ajutorul unei transformări lineare, nesingulare şi reale x = Qy, la formacanonică din (23) în care r este rangul lui A. iar p este indicele.

Aceasta este evident, o teoremă de existenţă şi nu ne dă nici oindicaţie asupra modului în care s-ar putea găsi transformarealineară potrivită. Un procedeu care permite aceasta este cel numitreducere de tip La- grange, care constă din repetarea unui procedeu similarcompletării pătratului. Să ilustrăm aceasta, printr-un număr deexemple.

Exemple

1. Pentru simplificare, să presupun em că x este un v-'ctor real. Fie

'x, -

x'Ax = [ij x2]

= xj + 4xx

x2 -f 2x2 = xf + 4Xj x2 + (4x1 —4a.'!) + 2x|= (Xj, + 2X2)2 - 2xf .

In aceste operaţii 4x1 a fost adunat şi scăzut pentru a completa pătratul perfect. Acum să notămAtunci- 1 0- ' U i '

.0 -1. _î/a .

în acest caz, rangul lui A este egal cu ordinul său (2), iar incic=le este 1.Acum să considerăm că x este un vector complex şi că

‘ I - l 3 “ x rX * Ax = [ X j X 2* ; ]

- 1 2 0 x2

C O O . * 3.

X i x2 + ■ , l \x3 — X j

X j - f 2 X 2X 2 + î

X ,X i

Primul set de termeni poate fi scris ca un, modul la pătrat, adur.înl (x2 + 3x3) (x2 + 3x3), ceeace înseamnă că aceeaşi mărime trebuie scăzută din al doilea set de termeni. Rezultatul acesteioperaţii este :

x*Ax = (Xj — x2 + 3x3) (*.- *^ + 3+ (xjt}+3x. c *jX,) +

= (Xj —XJ + SXJ) (xj-Kj + rxJ -r (X2 + 3X.J) (x2 j-SxJ —4xL£3

1 2

2 2

f 14 x3 x3. 3X3)] + (2X2 i, +

14 x3x).

2x,xi -f

y2x.

i - Va.o i/y2~_ Ly2Vi ■

x'Ax = i/i — y2 = [î/i y2]

(x2 — 3 x3) — x± (x2

Xj Xj -

l*ixi


- Xj XJ- 1 1 -3 -Q

‘î/l '

= x2-)-3x3 sau x2 - 0 1 y-i

= 2X3 -*3- r o o tt

-î/s-

x*Ax = 1 î/i I2 + 1 Hal2— lî/312-

Forme definite şi semidefinite

Din (23) se poate observa că valorile formei pătratice vordepinde in mod normal de valorile variabilelor y. Totuşi se poatemtimp a ca valorile formei pătratice să nu depindă, ca semn,de.valorile> variabikloi \stfel de forme se numesc definite. Inparticular, o forma patratica îea x*lx se numeşte definită pozitiv, dacăpentru orice set de numere complexe, <au reale - x, ... ocn, care nusînt toate nule, valoarea formei patratice este strict pozitivă. înmod similar, spunem că forma pătratica este semi- definită pozitiv dacă

x*Ax > 0 (25)

pentru toti x =f= 0, presupunînd că există cel puţin un set de valoiiale variabilelor, pentru care relaţia este satisfăcută cu semnulegalitaţii. Deoarece proprietatea de pozitivitate a unei astfel deforme patratice, nu ae pinde de valorile variabilei, aceasta trebuieasociata cu matricea A a toi mei pătratice. Terminologia care urmeazăpare astfel cu totul naturala O matrice A. reală si simetrică se consideră a fidefinita, sau semidefimta, pozitiv, după cum forma pătratică x* Ax este definită, sausemidefimtapozitiv. . „ „ „

Trebuie să găsim nişte mijloace de a determina daca o forma pa-tratică este sau nu este pozitiv definită sau semidefmită, In acestscop <& examinăm forma canonică din (23). Matricea A a acestei formeeste caracterizată prin trei numere întregi: ordinul «, rangul fc şibicele î». Dacă indicele este mai mic decît rangul (dar mai mare cazero), matncea poate să nu fie nici definită pozitiv, nicisemidefimta pozitiv.

Să presupunem că indicele este egal cu rangul Atunci toate semnele din (23) vor fi pozitive. Exista doua posibilităţi : (1)rangul *ă fie egal cu ordinul, r = n, astfel că A este nesmgulara; sau(2) r < n astfel că A este singulară, Să presupunem ca r< n. Atunci vomalege pe

yl, pînă la yt — 0 şi pe yr+i, pînă la yn =f= 0. Aceasta va face ca formapătratică să se anuleze, dar pentru x = Qy, nu toate «-urile vor finule. Pentru oricare alte valori ale variabilelor y, forma pătratică vafi pozitivă, Deci forma pătratică satisface relaţia (25) şi este

în final, forma pătratică devine :

7 .2 , FORME PATRATICE Şl HERMITICE 15

semidefinită pozitiv. Afirmaţia reciprocă este şi ea desigur adevărată.Pe de altă parte, dacă r — n (cu p tot egal cu r), atunci A este

nesingulară, prin urmare orice alegere a unor y—ci (deci şi a «-urilor)nenul., va conduce la o valoare pozitivă a formei pătratice. înconcluzie, rezulţi următoarea teoremă :

Teorema 3. O formă pătratică avînd o matrice reală, simetrică A, di ordin n, rang rşi indice p este definită pozitiv, dacă şi numai dacă A esU nesingulară, iar indicele este egal curangul : p=r=n. Forma pătratică este semidefinită, pozitiv dacă A este nesingulară şi p — r.

Dacă o formă pătratică este definită pozitiv, atunci, aşa cum re-zultă din (23), matricea sa canonică va fi o matrice unitară; aceastaînseamnă că transformarea liniară nesingulară x = Qy conduce la

Q'AQ = U. (26

Este posibil să se găsească determinantul lui A luînd determinantul inambele părţi ale expresiei. Deoarece det U = 1, iar determinantul unuiprodus de matrice de acelaşi ordin este egal cu produsuldeterminanţilor, vom avea

(det Q') (det A) (det Q) = 1. (27Deoarece Q şi transpusa sa au acelaşi determinant, care este nenulfiindcă Q este nesingulară, obţinem :

det A =-------- (28)(det Q)2 v

Acest rezultat exprimă faptul că determinantul unei matrice defi-nită pozitiv este pozitiv. Mai departe, să presupunem că luăm ultimavaloare a variabilei «„, în formă pătratică, egală cu zero. Atunci niciunul din coeficienţii ani sau ain ai matricei A nu va apare în formapătratică. Aceasta se poate vedea cel mai uşor în (16) cu «„ = 0. Prinurmare am putea, la fel de bine, să îndepărtăm linia şi coloana n din Aşi să considerăm că A este de ordinul (n—1) . Şi pentru această nouămatrice se aplică relaţia (28). Dar determinantul matricei noi estecofactorul principal al matricei dinainte, obţinut prin suprimareaultimei linii şi coloane. Deoarece permutarea variabilelor nu are niciun efect asupra formei pătratice, nu are nici o importanţă care anumedin variabile este numită x n . Eezultă că oricare din primii cofactoriprincipali, de la o matrice definită pozitiv, va


îi pozitiv Această argumentare poate fi repetată luînd două dinvariabile egal^cu zero, apoi trei, şi aşa mai departe pînă laultima, ^ « menţinem nenulâ. Vom eăsi că toţi cofactoriiprincipali ai matricei A sînt pozitivi în ultimul caz,' menţmmdultima variabila nenula, vom gasi ca toate elementele M, pediagonala principală dm A tiebme, „a .e_po.it,>e. (Aceste elementereprezintă cofacton principali de oidmu ( ))•

Ceea ce am reuşit să demonstrăm este faptul că, atunci cmd seştie că o matrice este definită pozitiv, toţi deterimna^n sa, ôofactori sînt pozitivi. De fapt, ceea ce ne trebuie m totoea^gjjj10® date este afirmaţia reciprocă celei aratate mai înainte.Intimplat . reciproca este adevărată. Demonstraţia reciprocei f™drelativ lu^ n" va fi dată aici. Pentru consideraţiile care urmeazaeste ntil sa formulam acest rezultat sub forma unei teoreme.

^Teorema 4. 0 matrice A, simetrică şi reală este definita P™ t } v ’ c ™f si numai

dacă, determinantul său şi cofactorii principali'cea este semidefinită pozitiv dacă determinantul sau este zero, iar cofact - săi principalisînt nenegativi.

.-f.CSS-îWîS'Sî*1 -1 3

- 1 2 0

2 0 14

pot fi formaţi uşor:

AJJ = 28, A22 = 5, A33 = 1.

SMWMK tt&tS&SttSSSGXr

Forme hermitiee

Pînă acum ne-am ocupat de forme pătratice avînd matricesimetrice -i renle Dacă matricea unei forme pătratice estecomplexa, este posibil â Moeufm maweea prm partea lemutieă iM a—a™*area formei, la fel cum matricea îeala era înlocuita cu pai teasa simetrica.Fie H o matrice hermitică (hH = h u ) . Expresia:

x*Hx (29)

A =


se numeşte formă hermitică. Dacă H este real, forma hermitieă se reduce lao formă pătratică. Este deci de aşteptat ca proprietăţile formeihermitice să fie analoge celor de la formele pătratice. Yom enumeracîteva din acestea fără comentarii suplimentare.

Efectuînd o dezvoltare ca şi cea din (21) pentru o formăpătratică. se poate arăta că valoarea unei forme hermitice este reală.

O formă hermitică de rang r poate fi redusă la forma canonică datăde partea dreaptă a reţelei (23), printr-o transformare linearănesingulară x = Qy> unde Q este în general complexă.

Termenii „definită pozitiv” se definesc în acelaşi mod ca şipentru formele pătratice. Teorema relativăla determinant şi lacofactorii principali ai matricelor definite şi semidefinite pozitiv,se aplică de asemenea şi la matricele hermitice. ’

7.3. FUNCŢII DE ENERGIE

Acum, după ce bazele matematice au fost prezentate, sintempregătiţi pentru a reveni la examinarea funcţiilor de circuit. Maiexact, vom lega unele funcţii de circuit de energia înmagazinată şidisipată în circuit. Apoi cunoscînd natura acestei energii, putemtrage unele concluzii despre proprietăţile, funcţiilor de circuit.

Să considerăm un circuit multiport, excitat prin surse de tensiunela fiecare poartă. Fig. 1 arată utilizarea circuitului diport, dardiscuţia se va purta pentru un multiport general. ’

Se presupune că circuitul, care este linear şi invariabil în timpeste iniţial în repaus. Acum, să considerăm scrierea ecuaţiilor decontur la acest circuit. Eeferindu-ne la Cap. 2 dinainte, forma

(30a)

unde Zm este matricea impedanţelor de contur, iar Rm, Lm şi Dm sîntmatricele parametrilor de contur; E este vectorul tensiunilor surselor


h

(33)

7.3. FUNCŢII DE ENERGIE 19

Fig. 7.1. Diport alimentat la ambele porţi.epatate deporţi şi contururile simt:alese:astfelca, 1tiecMesra, egte

~*—>< ^

e^SJâ»

ÎSSji ? eu“". (Vesi Problema 50). f j^taexemplu I9 este un ?umai' ^mp fazasa. Presupunîndpătratică a curentam BmuMi^^cao^ presupunîndcă avem un «-port ajiM ca E aie » comp (levilie :

că există m ochiuri şi deci lmv are m compune , , \

. j ^ g S E n i g S S S S SSSSiasiS;=SS.i=S.=în bobine şi capacităţi.Astfel,Ee (£„ E„) - P,Im (C Ep) = (WL - Wa).Puterea complexă de intrare în circuit poate fi obţinutăpremultiplicmd îmbete ptoţi ale relaţiei (31) cu C». Rezultatul devme

Ivi ^J>1 + ÎJ>ÎYI>2

Constatăm Sf ĂcaS din acefti termeni este o forma patratica.

(32a)(326)

"f" Vn'

+

(31)(L-R» + iw

3~mP 1 nii

J-mP 2 ^ j>2

7r pn

0

T 0

. ■Lmvm L -•

■)-’m

jcoÎmp

— :T* E— xmp V


Pentru un circuit nereciproc matricele parametrilor de conturnu smt simetrice. Totuşi, aşa cum s-a arătat în paragrafulprecedent, valoarea formei pătratice nu se schimbă dacă matriceaformei se înlocuieşte prin partea sa simetrică. Vom presupune căs-a realizat acest lucru. Fiecare din formele pătratice din stîngarelaţiei (33) este reală. Prin urmare comparaţia între (32) şi(33) conduce la concluzia că ’

= puterea reală debitată în circuit, (31a)

— = energia medie înmagazinatăîn bobine, (34 b>

1 *

9w2= energia medie înmagazinată în condensatoare. (34 c}

^ Se pot obţine expresii echivalente pentru fiecare din acesteforme patratice. Matricea fiecărei forme este una din matriceleparametrilor de contur. Revenind la cap. 2, găsim că matriceleparametrilor de contur pot fi scrise în funcţie de matriceleparametrilor pe laturi astfel

R,„ = BRB', (35a)

L„ = BLB', (3g& j

= BDB', (35c).

unde R, L şi D sînt matricele parametrilor pe laturi iar B estematricea de contur.

Să considerăm forma pătratică relativă la Rm. Utilizînd (35a)se găseşte :

^mj>RmJ-mj> = I)»J> BRB Imp = (BImJ)) R(B'ImJ)). (36)

Să ne amintim că, conform relaţiei (56) din Capitolul 2, B'Imî, = Ieste transformarea de contur care exprimă curenţii de laturi Lprin curenţii de contur. Astfel ’ '

b bImpRmljnp = Ij> RIj» = £ Rjk îvi^vk 1 (37)'

unde b este numărul laturilor din circuit. Pentru un circuitgeneral, care nu este pasiv şi este nereciproc, nu se poate spunenimic deosebit despre această formă pătratică.

Circuite reciproce, pasive


Se restrîngem acum consideraţiile noastre la circuitelereciproce pasive. în acest caz, matricea rezistenţelor de laturieste diagonala. Acum (37) devine

C R» I», = K RI„ = II R* l1^ I2- <38)

Stim că puterea consumată în astfel de circuite nu poate finegativă. Prin urmare, forma pătratică trebuie să fie cel puţinsemidefimta pozitiv. Aceasta va fi definită pozitiv dacă nici orezistenţa de latura nu va ti zero deoarece în acest caz, matriceadiagonală R va fi nesmgulara. Aceeaşi concluzie se obţine şi dinmembrul drept din (38), daca se ţme seama caR. este nenegativ pentru orice k. ^

Cu aceleaşi argumente, pentru celelalte doua forme patratice,csue cuprind parametrii inductanţelor şi inversele capacităţilorde contur se deduce că

—s K, D. I„„ = i i; DI, W,(39*)

2co2 2co^

= >; ii. = is < 3 9 ‘ )

fc=ii=i

Să notăm diferenţele ce apar în membrul drept al acestor douaexpresii. Matricea inverselor capacităţilor de latură estediagonala întimp ce matricea inductanţelor de latură nu esteneapărat diagonala. Daca nu exista inductante mutuale şi L este deasemenea diagonala, Din nou, interpretând (34) ca energie medieînmagazinată, aceste forme pati aticetrebuie să fie pozitiv semidefinite.

în scopul unor referiri mai comode, introducem notaţiile :

j?(jW) = i:fRAt)

2i

V(jto) __ Imp Imp • (40«)— 2w2

Datorită interpretărilor lor fizice, aceste mărimi au fost numitecu un termen colectiv funcţii de energie, deşi prima nu prezintădimensiuni de energie. Simbolurile pentru aceste funcţii sîntnefericit alese, deoarece pot fi confundate cu alte mărimi notatesimilar; dar acestea au devenit


aproape simboluri standard în literatură, astfel că vom continuasă le utilizăm.

Condiţia ca T(ja>) să fie semidefinită pozitiv, impune condiţiiasupra mărimii inductanţelor mutuale. Dacă cuplajul mutual dintr-uncircuit apare totdeauna numai între perechi de laturi, condiţia desemidefinire este echivalentă cu restricţia obişnuită, ca valoareacoeficientului de cuplaj să nu fie supraunitară. Dacă sînt cuplatemutual mai multe laturi, decît două, restricţia coeficientului decuplaj la valori subunitare nu este suficient de severă, pentru aasigura semidefinirea pozitivă ; în acest caz, definirea pozitivăeste o condiţie mai severă decît cuplajul unitar. (Vezi Problema 17)

Funcţiile de energie sînt

Pentru exemplificare, să considerăm circuitul din fig. 7.2. Ambele surse sînt sinusoidale, de frecvenţă unghiulară co. Matricele parametrilor de contur sînt

Fig. 7.2. Exemplu ilustrativ pentru funcţiile de energie.



Deoarece I , + reprezintă curentul din ramura 3, termenul R3\lpl + Iv2\3 eşt.e puterea A- ■t” ţn f? iar if 4- 7 12D I 2co2 este energia acumulată in Z)3. Caracterul luiT(jco), dea'L!Temideffn3i’tă Uzîîiv, n*u 'ert’e e*dent din membrul drept. Să observam totuşi cămatricea iţ esîe singulară numai pentru L^-M* = 0, care este şi condiţia de

cuplaj unitar.

Rezumînd rezultatul obţinut mai înainte, matricele Rm, L şt D ,ale rezistenţelor, inductanţelor şi elastanţelor (inverselor capumtaţtlm) de contur, ale unuicircuit reciproc, pasiv sînt semidefimte pozitiv. Acest lezul tat s-a obţinut prininterpretarea fizică a unor forme patratice, bazata T>e o analizăîn regim permanent sinusoidal.

Să revenim la ecuaţia iniţială de contur (30) în carevariabilele smt

Transformate Laplace. Fără nici o legătură cu interpretareafizicasă-ipreimill iplicăm ambele părţi cu I,„(s). Rezultatul v a ii

I»(«) R» I«(*) + * !»(*) Lm !»(*) + - D» l‘n{s) = I]*(s) E(S)' (41)

s

Găsim din nou aceleaşi forme pătratice pe care le-am mai avut niaiînainte, numai că acum variabilele sînt transformate ale curenţiloide contul, in loc de fazori. Formele pătratice din aceasta ecuaţienu au o mteipretai e energetică cum exista în (33). Totuşi, matriceleacestor forme patratice sînt identice cu precedentele. Prin urmare aceste formepatratice sin semuk finite pozitiv. Vom nota, în consecinţă,termenii cu acelaşi simboluri ca în (40) şi vom continua să îinumim funcţii de energie, deşi prin dimensiunile lor nu

reprezintă o energie.

F 0 ( s ) = l? n ( s )R m l m ( s ) (42fl)

T0(s) =I*(*)LmIm(«).(42^

70(«) = I*(s)Dm IBl(s).

(42°)

Utilizînd aceeaşi notaţie, (41) devineF0{s) + sT0(s) +-jV0{s) =l*\T. (43)

(Xotatiapărţiidin dreapta a fost modificatăîndouă sensuri Tiidêle


•/n a fost suprimat deoarece singurii curenţi care ramin m produsulm sînt cei care reprezintă şi curenţi la o poartă. De asemenea,singurele componente ale lui E nenule sînt tensiunile la poartă.Prin urmare I„ E poate fi înlocuit cu I*V, unde I şi Vsînt vectori ai mărimilor la poarta).Să facem aici o digresiune. Toată această dezvoltare a avut ca punctde plecare ecuaţiile de contur. Se poate face o altă dezvoltare,prin dualitate, pe baza ecuaţiilor la nod. în locul matricelorparametrilor de contulRm, Lm şi D,n, vor apare matricele parametrilorla nod, G„ şi C„, pentru conductanţa, inversa inductanţei şicapacitatea corespunzătoare. Fancţile de energie pot fi definiteacum, în funcţie de matricele acestor parametri şi de vectorultensiunilor la nod, Va. Acestea vor avea aceeaşi formă ca. şi (42),cu V„ în loc de Im şi cu matricele parametrilor la nod în locul celorpentru parametrii de contur. Din aceasta se conclude că, matricele G„,CB şi rn ale conăuctanţei, capacităţilor şi inverselor inductanţelor la nod, pentru uncircuit reciproc şi pasiv, sînt semidefinite pozitiv. Se poate scrie o ecuaţiesimilară cu (43) pentru aceste noi funcţii de energie, schim- bîndreciproc pe V cu I. Acest mod diferit de tratare nu este necesar săfie dezvoltat, deoarece sistemul de ecuaţii la noduri este de faptde prisos, pentru cele ce urmează. Totuşi, la fel cum ecuaţiile lanod conduc adesea la interpretări utile şi la simplificareacalculelor, acest mod de abordare a problemei poate fi uneori util.Atunci cînd aceasta interesează se pot dezvolta detaliile aşa cum s-a arătat.

Să examinăm din nou relaţia (43). Mărimile din membrul stîngsînt definite pe baza variabilelor de contur (sau prin variabilelerelative la laturi, printr-o transformare de contur). în membruldrept găsim variabilele de la porţi. Desigur, variabilele detensiune şi curent la poartă sînt legate între ele. Dacă aceastălegătură este considerată în membrul drept din (43), se găseşte unrezultat foarte important. Pentru legătura dintre vectorii V şi Iputem utiliza relaţia :

V(s) = Zoc (s)I(s) (44a)sau

*(«) = Y3C(*)V(S)- (446)

Prima relaţiepoatefi introdusă direct în (43); cea de a douapoate fi

inserată după ce seia transpusa conjugată în (43), ceeace conducela

^0 + sT0+-y7o) = (I*V)*sau


^0+ STo-f ^70 = V*I. (45)s

Aceasta se obţine deoarece formele pătratice sînt mărimi scalare,reale. Introducînd (44a) în (43) şi (446) în (45) se găseşte

F0 + 0 T0 + — 70 = I*Z0C (s) I, (46a)s

F0 + sT0 + ±-V 0 = \*Y"(s )V. • s

7.3. FUNCŢII DE ENERGIE 27

Din aceste expresii se deduc cîteva din proprietăţilefundamentale ale funcţiilor de circuit. ÎTe vom concentra acumasupra studiului acestoi proprietăţi.

Funcţia de impedanţăSă considerăm mai întîi cel mai simplu multiport şi anume un

uniport. în acest caz, Z o c este scalarul Z(s ) , impedanţa uniportuluişi I se reduce la scalarul, care este curentul de intrare. Din(46a) se obţine expresia pentru Z(s ) :

Z («) = —-----{F 0 ( s ) + sT 0 ( s ) + — V 0 (*)}. (47)| I ( » ) 1 2 s

Să notăm că formele pătratice sînt funcţiuni de s , numai datorităfaptului că curenţii de contur sînt funcţiuni de s . Natura reala,semidefimta pozitiv, a formelor pătratice nu depinde devariabilele curenţi, ci numai de matricele parametrilor de contur,care sînt matrice formate din constante. ^

Expresia precedentă poate fi separată în părţile reala şiimaginaraînlocuind pe s cu a + jco. Astfe

Subliniem că aceste ecuaţii se aplică pentru orice valoare a lui scu excepţia zerourilor lui I{ s ) . Aceste două ecuaţii sînt extrem deimportante şi de aici vom deduce concluzii interesante. Pentrureferiri ulterioare sa formulăm aceste concluzii printr-o teoremă.Teorema 5. F ie Z is ) impedanţa de intrare a unui circuit N, reciproc, pasiv, invariabil în

timp şi linear. în acest caz s înt adevărate urmatoareleafirmaţii :(a) Pentru orice a > 0, Ee [Z (s ) ] > 0. _

(b) Dacă N nu conţine nici o rezistenţă (F 0 ( s ) = 0),atunci

G > 0 implică Be [Z(s)] > 0, a

= 0 implică Be [Z (s ) ] = 0,cr < 0 implică Be [Z (s ) \< 0

Ee [Z(s)] = 1 (48a)

(486)Im Z{s ) =

a- + co

l~ F 0 ( 8 ) + ô(*)+^—- an(«)G -j- CO


.

(c) Dacă N nu conţine nici o capacitate (F0(s) = 0), atunci

co > 0 implică Im [Z(s)j > 0,

(o = 0 implică Im [Z(s)~\ = 0, co <

0 implică Im [Z(s)~\ < 0.

(d) Dacă N nu conţine nici o bobină (T 0 {s ) = 0), atunci

w > 0 implică Im [Z (s )} < 0, co =

0 implică Im \Z(s)~] = 0, co < 0

implică Im [Z (s ) ] > 0.Aceste rezultate se obţin imediat din (48). Concluzia (a)

stabileşte că, valoarea lui Z(s ) , corespunzătoare unei valori a luis , situată în semiplanul drept, trebuie să fie şi ea situată însemiplanul drept. Aceasta conduce la conceptul de funcţii real-pozitive pe care îl vom introduce ulterior. Concluzia (b) conduce lateorema reactanţelor a lui Foster. care prezintă importanţăistorică. Concluziile (c) şi ((d) conduc la rezultatele lui Cauerreferitoare la circuitele RL şi RC.

Condiţia impusă argumentului

O altă proprietate a funcţiei de impedanţă poate fi dedusă din(43). Să reţinem că \ I \ 2, T 0 şi V 0 sînt toate constante pozitivepentru orice valoare a lui s . Eezultă că Z(s ) se poate scrie în forma:

Z(s ) = a 0 - \ - a x s — i ( 49)s

în care toţi coeficienţii sînt pozitivi. Fie s 0 = G 0 -f jco0 un punctîn semiplanul drept: adică a0 > 0 aşa cum se arată în fig. 7.3.Fiecare termen din membrul drept în (49), poate fi reprezentat prinsegmente de dreaptă în planul complex, aşa cum se arătat în fig. 7.3b, pentru o valoare corespunzătoare lui s . Orice lungime ar aveaaceste drepte, suma nu poate fi situată în afara sectorului haşuratarătat în fig. 7.3 a. Observînd în diagramă ce se î:ntîmplă pentru


un număr de valori ale unghiului lui s, inclusiv valorile 0 şi tt/2radiani se obţine următorul rezultat:


| arg Z(s ) | ^ | arg s \ pentru 0 ^ | arg s | < tc/2. (50)

Aceasta pare să fie o restricţie mai severă impusă impedanţeidecît condiţia Re \Z(s)~\ > 0 pentru Re s > 0. îfu numai ca Z(s )trebuie sa fie situat în semiplanul drept, atunci cînd şi s estesituat m semiplanu^ drep , dar localizarea este limitată acolo, deo condiţie impusa argumentau. . Totuşi aceasta nu este o restricţiemai severa, deoarece decurge din piece-denta.

Fig. 7.3. Demonstraţia că | arg Z | < |args| pentru | arg s | < t:;2.

în acest paragraf am făcut referiri la o clasa de circuite şiam dedus unele proprietăţi pe care impedanţele de intrare aleacestor circuite le satisfac în mod necesar. Aceasta s-a făcut înbaza unor consideraţii energetice in domeniul frecvenţă. Problemapoate fi abordata şi altfel, pornind de la definiţia datăcircuitelor pasive în capitolul 1 şi repetata aici pentru căzuunui uniport;

J — co

Să presupunem că tensiunea şi curentul la bornele unui circuitpasiv,'int

i ( i ) = 2 1101 cos (oi0t + a) = I0 s5°f + U eS"‘ > (52a)

v { t ) = Z (s 0 ) I 0 ^ + Z(s 0 ) î 0 , (52b)unde a0+j«0, cu <r0 > 0 şi I0 = |I0|s-. Presupunem că aceste

Im


-emnale au fost aplicate la t = -co, cînd circuitul nu aveanici un fel

de energie înmagazinată. Deoarece s°»f = 0 pentru t = — oo, ambelesemnai încep de la 0. în acest caz, nu apar probleme de regimtranzitoriu şi expresiile pentru curent şi tensiune reprezintăexcitaţia şi răspunsul total.

Acum să exprimăm factorul care înmulţeşte funcţia exponenţială,ultima paranteză, prin modul şi argument : ’ ’

1. ) şi2. Re <]>(jto) = 0 pentru orice co.Observăm că acest enunţ se referă numai la poli şi la lezidumi,

nu şi la zerouri. Am arătat că aceste condiţii sînt necesare, îămînesă aiătăm că acestea sînt şi suficiente; adică, presupunînd că ofuncţie i aţională satisface condiţiile formulate, trebuie sărezulte că funcţia este piactic o funcţie de reactanţă. Aceasta sepoate arăta, în modul cel maisimplu,considerînd dezvoltarea în fracţii parţiale a uneiastfel de funcţii.

Dacăcombinăm cîte doi termeni, datoraţi polilor conjugaţi, cea maigenerală formă a dezvoltării în fracţii parţiale va fi 4).

*(«) = ( 8 6 )s <=i s2+ co|

unde sumarea se face asupra tuturor polilor şi toate ft-urile sîntpozitive. Desigur, polul din origine, sau de la infinit, sau ambele,pot să lipsească. Această expresie coincide cu (71) avînd F r ( s ) = 0,deoarece în cazul de faţă nu există poli decît pe axa jco.Rezultatul căutat se obţine îndată. Fiecare termen din aceastăexpresie este imaginar la valori imaginare ale lui s , astfel că

4) în absenţa condiţiei 4 din teorema 13, în dezvoltarea (86) poate să apară un termen constant. Condiţia 4 este necesară pentru eliminarea acestei constante.

' [ Z ( s 0 ) I 02

Uol2(53

Ee [Z ( s 0 ) ] Înserîndacesteexpresiipentru vşi i în(51) şiefectuîndunelecalcul seobţines2<,°* + Ee


tjj(s) transformă axa imaginară în axă imaginară, ceea ce face ca’ b (s ) să fie prin definiţie o funcţie de reactanţă.

Proprietatea de alternanţă a polilor şi zerourilor formeazăbaza unui alt set de condiţii necesare şi suficiente formulateastfel:

Teorema 14. O funcţie raţională, reală de s este o funcţie ăe reactanţă dacă şinumai dacă toţi polii şi zerourile sale sînt simple, situate pe axa joi şi alternează.

Şi în acest caz am demonstrat că o funcţie de reactanţăîndeplineşte cu necesitate aceste condiţii. Rămîne să arătăm căaceste condiţii sînt suficiente, O funcţie raţională care satisfacecondiţiile date trebuie să aibă forma următoare :

= K S(S2 + tol2)(S2 + to32)- ' •(«2 + c°2»2~l) , (g7)

(s2+«02)(s2+O-

în care .0 w0 < < 0>2 < «3< • • • < M2i, -2 < “2M-1 < C02» < °°1 (88)

în (87) K este o constantă pozitivă iar k = 2n-2 sau 2n după cum^(s) are un zero sau un pol la infinit. Dacă <HS) are un P°1 în s = 0,luăm pe co0 egal cu zero. în acest caz se anulează un factor s.Rezultatul căutat se găseşte imediat. Fiecare factor pătratic, depol sau zero, din (87) este real tind s este imaginar. Aceastaînseamnă că datorită factorului s, ^ (s) este imaginar la simaginar. Prin urmare, <|/(s) este o funcţie de reactanţă prindefiniţie. 1)

Realizarea funcţiilor de reactanţă

La începutul acestei discuţii am arătat că impedanţa deintrare intr-un circuit nedisipativ este în mod necesar o funcţiede reactanţă. Să notăm că şi admitanţa de la intrare într-uncircuit nedisipativ este tot o funcţie de reactanţă, adică

Y(s) = 1/Z (5) (89)este de asemenea imaginară pentru valorile imaginare ale lui s carefac pe Z(s) imaginară. _

Se pune acum întrebarea dacă reciproca acestei condiţii este

5 S-ar părea că, acest argument cere numai ca, ^(s) să fie o funcţie raţională impară : un raport de două polinoame pare cu un factor s suplimentar la numărător sau numitor. Dar pe lingă faptul că funcţia de reactanţă transformă axa imaginară în axa imaginară această funcţietrebuie să fie şi rp. O funcţie raţională şi impară care nu are proprietatea de alternanţă nu va fi rp.


şi ea adevărată; cu alte cuvinte dacă o funcţie de reactanţă datăeste impedanţa (sau admitanţa) de intrare a vreunui circuitnedisipativ1? Pentru a răspunde la această întrebare afirmativ,trebuie să construim un circuit nedisipativ care să aibă caimpedanţă sau admitanţă funcţia de reactanţă dată. La aceastăîntrebare, Foster a răspuns în 1924 prin celebra sa teoremă areact-anţei (deşi nu în forma dată aici).

7.5. FUNCŢII DE REACTANŢĂ

Teorema 15. O funcţie raţională de s este o funcţie dereactanţă dacă şi numai dacă reprezintă impedanţa sau admitanţa deintrare a unui circuit fără pierderi.Suficienţa a fost dejastabilită. Rămîne să arătăm că dîndu-ne o funcţie de reactanţă,aceasta este în mod necesar impedanţa sau admi- tanţa unui circuitnedisipativ. Pentru a arăta aceasta să revenim la dezvoltarea înfracţii parţiale a funcţiei de reactanţă dată în (86). Putem sărecunoaştem în fiecare termen al sumei din dezvoltarea în fracţiiparţiale, impedanţa sau admitanţa unei reactanţe cu schema foartesimplă. Schemele sînt arătate în fig. 7.12. Astfel, dacă ^(s)trebuie să fie o impedanţă.Reprezentarea circuitului

Date post:	21-Jan-2023
Category:	Documents
Upload:	ubbcluj
View:	0 times
Download:	0 times

Chimie analitica 2

Documents