| Date post: | 14-May-2023 |
| Category: |
Documents |
| Upload: | independent |
| View: | 0 times |
| Download: | 0 times |
Pági
na
1 0
Provincia del Chaco Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
INSTITUTO DE NIVEL SUPERIOR “SAN FERNANDO REY”
Profesorado en Matemáticas
Taller 1: COMPETENCIA MATEMATICA
Contenido PROGRAMA ................................................................................................................ 3
Pági
na
1 0
Eje1: CONJUNTOSNUMERICOS ....................................................................................... 4 El Lenguaje de laMatemática ....................................................................................... 4 Método de Resolución deProblemas .............................................................................. 4 ConjuntosNuméricos .................................................................................................. 6 Operaciones con Números Reales.Propiedades ............................................................... 9 OperacionesCombinadas ............................................................................................ 11 Jerarquía de lasOperaciones ....................................................................................... 12 Potenciación: ............................................................................................................ 13 Radicación: ............................................................................................................... 14 Racionalización delDenominador ................................................................................. 19 Logaritmos ............................................................................
................................... 20 Notacióncientífica ............................................................................
.......................... 22 Eje 2:FUNCIONES ........................................................................................................ 24 FuncionesReales: ...................................................................................................... 24 Clasificación deFunciones ........................................................................................... 26 Funciones Polinómicas de Primer y SegundoGrado ......................................................... 27
Pági
na
1 0
FunciónCuadrática. ................................................................................................... 31
Eje 3:ECUACIONES ...................................................................................................... 37 Concepto: ................................................................................................................. 37 Ecuaciones de Primer Grado con UnaIncógnita .............................................................. 38 Ecuaciones de Primer Grado con Dos
Incógnitas ............................................................. 39 Sistema deDos Ecuaciones con Dos
Incógnitas .............................................................. 41 Clasificación de losSistemas ....................................................................................... 42 Métodos de Solución a Sistemas de EcuacionesLineales .................................................. 43 Sustitución ...........................................................................
.................................... 43Igualación.............................................................................
.................................... 44 Reducción ................................................................................................................. 44 Regla de Determinantes oCramer ................................................................................45 Método deGauss ....................................................................................................... 45 Ecuación de SegundoGrado ........................................................................................ 51
EJE 4: EXPRESIONESALGEBRAICAS. ............................................................................... 56 Polinomios ................................................................................................................ 56
Pági
na
1 0
Operaciones conPolinomios ........................................................................................ 58 Factorización dePolinomios ......................................................................................... 63 Casos deFactoreo ...................................................................................................... 64 Expresiones AlgebraicasRacionales .............................................................................. 67 Operaciones con ExpresionesRacionales ....................................................................... 67 Proporcionalidad ......................................................................
.................................. 70
Taller 1: Competencia Matemática
PROGRAMA
Eje 1: Conjuntos Numéricos El lenguaje de la Matemática. Método de Resolución de Problemas.
Conjuntos numéricos. Operaciones con números reales. Suma Algebraica.Potenciación. Radicación. Racionalización. Logaritmo. Notacióncientífica.
Eje 2: Funciones Reales Funciones Reales: Función de primer grado. Clasificación. Función
de segundo grado. Estudio de la función cuadrática. Representacióngráfica e interpretación.
Eje 3: Ecuaciones Ecuaciones: concepto. Ecuación de primer grado: Resolución.
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: Clasificación, Métodos
Pági
na
1 0
de resolución: Eliminación o Gauss, Sustitución, Igualación,Reducción, Determinantes o Cramer y Método gráfico. Ecuación desegundo grado en una variable: Concepto, Resolución y Representacióngráfica.
Eje 4: Expresiones algebraicas. Polinomios. Operaciones entre polinomios: suma, resta, producto y
cociente. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Casos de Factoreo.Operaciones y Simplificación de expresiones algebraicasracionales .Proporcionalidad.
Referencias bibliográficas
• Tapia, Nelly, Alicia y Juan Carlos. (1991 6ª Edic.) Matemática 1, 2, 3 y 4. Editorial Estrada. Argentina.-
• Guzmán, M.; Cólera, J.; Salvador, A. (1994) Matemáticas, Bachillerato 1y2. Ed. Anaya .España
• Alle Ángel. Algebra Intermedia. (2008- 7ª Edic.) Ed. Prentice Hall
• Tarzia, Domingo (2000). “Curso de Nivelación de Matemática”, MC Graw- Hill Interamericana, Santiago de Chile.
• Allendoerfer, Carl-Oakley, Cletus. (1985) Fundamentos de Matemática Universitaria. Mc Graw-Hill.
El Lenguaje de la Matemática
La matemática tiene, como las otras ciencias, un lenguaje propio yespecífico que otorga una forma exacta y sin ambigüedades a sus contenidos.Cuando se habla de lenguaje matemático se hace referencia a dos cuestionesdiferentes, pero estrechamente vinculadas, por un lado la simbología, ypor el otro la estructura en que se presentan los contenidos.
La simbología matemática está repleta de caracteres gráficos, ( Σ, ≡,≠, ¹, $, ", #, ^, £ , %, …), los cuales se deben conocer para interpretarlo que se quiere decir con ellos. Cada uno de estos símbolos tiene unsignificado único, no admitiendo sinónimos, de manera que si se sustituyealguno de ellos por otro diferente, el significado de la expresiónmatemática se modifica totalmente.
Eje1: CONJUNTOS NUMERICOS
Pági
na
1 0
Por otra parte, la presentación de los contenidos matemáticos serealiza mediante enunciados, que se los denomina: Definición, Teorema,Proposición, Demostración, Corolario, etc, cada uno de los cuales respondea una estructura y características bien diferenciadas.
Es importante, familiarizarse con este lenguaje, ya que sudesconocimiento produce errores de construcción y de interpretación.
Algunos de los símbolos empleados con mayor frecuencia son:
∈ Pertenece ó pertenecen ∀ Para todo ∉ No pertenece(n) ⇒ Implica(n) ⊂ Contenido en ⇔ Si y sólo sí ⊃ Contiene ∀ Para todo ∪ Unión ≤ Menor o igual ∩ Intersección ≥ Mayor o igual
Tal(es) que ≠ Distinto ∧ y Ø ó {} Conjunto vacío ∨ o ∴ Por lo tanto Ξ Es equivanente a ∃ Existe(n) ≅ Es congruente con ~ Semejante a
Método de Resolución de Problemas Muchas veces te habrás preguntado: ¿cómo
resuelvo un problema? ¿Existe una fórmula o unprocedimiento que me lleve indefectiblemente a lasolución (si es que la tuviera)?
La respuesta es no; pero esto no significa que cuando nos encontramosante el desafío de resolver un problema matemático naveguemos por un mar sinrumbo a la espera de una idea salvadora. Existen técnicas y mecanismos quesuelen resultar de suma utilidad al momento de enfrentarlos; se trata deoperaciones mentales que se denominan “procesos heurísticos” y que es desuma importancia que los conozcas y practiques.
George Pòlya (1944) Propusoun método para la resolución de problemas que consiste en cuatro FASES.
Fase 1: Comprender el problema Es fundamental que comprendas el problema. Es aconsejable que dediques el tiempo suficiente a su
lectura para que logres comprender sus términos y puedas determinar el marco de conocimientos en los quese puede incluir el problema.
Puede ayudarte en esta instancia, responder las siguientes preguntas: ¿Entiendo todo lo que dice el enunciado? ¿Puedo replantear el problema con mis propias palabras?
Pági
na
1 0
¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las incógnitas? ¿Cuál es la relación entre datos e incógnitas? ¿La información suministrada es suficiente? ¿Este problema es similar a algún otro que haya resuelto antes? Otras recomendaciones: Puede ayudarte a comprender el problema hacer uso
de diagramas, imágenes y/o símbolos, emplear notación adecuada, explorar,reflexionar y pensar buscando ideas dentro del marco general de conocimientosmatemáticos ya adquiridos.
Fase 2: Concebir un plan Esta fase está orientada a la búsqueda de estrategias y a la elaboración de
un plan para el abordaje de la resolución. Para facilitar la búsqueda de este conjunto de ideas es aconsejable que tengas en
cuenta siguientes pautas: Realiza un dibujo o un diagrama que represente la situación Busca semejanzas (puede que encuentres alguna similitud con algún problema que
hayasresuelto)
Particulariza (piensa en un problema parecido pero más simple) Experimenta (ensaya soluciones) Busca regularidades Emplea las variables Busca una fórmula Indaga propiedades Analiza casos Las siguientes preguntas pueden ser de gran ayuda a la hora de concebir el plan: ¿Este problema se parece a otro que ya haya resuelto? ¿Este problema se parece a otro que ya haya resuelto? ¿Lo puedo plantear de otra manera? ¿Puedo encontrar un problema parecido más sencillo? ¿Conozco algún teorema que pueda serme útil? ¿Puedo emplear resultados que se hayan obtenido anteriormente? ¿He empleado todos los datos al confeccionar el plan?
Fase 3: Ejecutar el plan En esta fase debes poner en práctica las estrategias que ideaste al concebir el
plan; éstas pueden conducirte a la solución del problema o bien a tomar otro camino. No es sencillo ejecutar un plan e idear la solución, se requieren conocimientos ya adquiridos, buenos
hábitos de pensamiento, concentración. Es también importante revisar todos y cada uno de los pasos, paraasegurarse que están correctos y claros. Si no solucionas el problema, no te desanimes, tu labor hacontribuido a ejercitar tu capacidad de razonamiento que te será de gran utilidad en el futuro.
En esta fase es importante que: Analices cada paso del plan y te asegures que es correcto.
Pági
na
1 0
Expliques lo que realizas en cada uno de ellos y lo que obtienes en cada caso. Te tomes el tiempo suficiente y si tienes dudas solicites ayuda. Si es necesario, no temas volver a empezar; una nueva estrategia puede conducirte al éxito.
Fase 4: Examinar la solución obtenida Si has llevado a cabo un plan, verificado cada uno de los pasos y obtenido la
solución, es posible que te sientas tentado a cerrar tu cuaderno y dedicarte a otracosa. Al proceder de este modo, excluyes una fase importante y formativa del trabajo queno debes dejar de lado y que consiste en una mirada hacia atrás de lo que has realizado.
“Reconsiderando la solución, reexaminando el resultado y el camino que les condujoa ella, podrían consolidar sus conocimientos y desarrollar sus aptitudes para resolverproblemas”
En esta fase es importante que releas el enunciado y te preguntes: ¿La respuesta satisface lo establecido en el problema? ¿La solución obtenida es correcta? ¿Es lógicamente posible? ¿Puedo comprobar la solución? ¿Existe algún otro modo de resolver el problema? ¿Es posible hallar alguna otra solución más sencilla? ¿Puedo ampliar la solución a un caso general? ¿Puedo emplear el resultado o el método seguido en algún otro problema?
Cada una de estas fases es importante y el hecho de reflexionar sobre las ideas y
los procedimientos claves en el proceso de resolución, te ayudará a ampliar turepertorio de métodos de razonamiento y sobre todo a desarrollar tu propia forma depensamiento.
Conjuntos Numéricos
Ampliaciones sucesivas de los conjuntos numéricos Los primeros números que el hombre utilizó para contar fueron los números
naturales: 1, 2, 3, 4,.... Estos números ocupan un lugar importante en la Matemática yaque muchos conjuntos numéricos que se emplean en la práctica cotidiana se deducen apartir de sucesivas ampliaciones del conjunto de números naturales.
Se denota con N = {1, 2, 3, 4, ...} al conjunto de los números naturales.
Pági
na
1 0
Si se incorpora el cero, recibe el nombre de Conjunto de Números Naturalesampliado y se simboliza: N 0= {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Propiedades del conjunto N
Es un conjunto infinito Tiene primer elemento y no tiene último elemento. Todo número natural tiene un sucesor. Todo número natural, excepto el 1, tiene antecesor.
Entre dos números naturales existe un número finito de números naturales, es porello que se dice que es un conjunto discreto.
Es un conjunto ordenado (los elementos están ordenados según la relación ≤).
En N están definidas dos operaciones llamadas suma y producto: ∀ a, b ∈ N: a + b ∈ N ∀ a, b ∈ N: a . b ∈ N
A partir de ellas se definen la sustracción y la división de la siguientemanera: a – b = c ⇔ c + b = a
a : b = c ⇔ c . b = a La sustracción es posible en N siempre que a > b. Cuando a ≤ b es necesario
considerar el 0 (cero) y los números negativos –1, −2, −3,.... para que a – b tengasolución.
El conjunto formado por los números naturales o enteros positivos, el cero y los
enteros negativos se denominan conjunto de números enteros y se designa con Z, que esuna ampliación de los números naturales.
En símbolos: Z = N ∪ {0} ∪ {..., −3, −2,
−1} Se puede graficar mediante un diagrama de Venn de la
siguiente manera: Propiedades del conjuntoZ: Es un conjunto infinito
No tiene primer ni último elemento Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.
Pági
na
1 0
Es un conjunto discreto. Es un conjunto ordenado.
Tienen sentido en Z, la suma, la sustracción y el producto, no así la división, yaque:
Luego, es necesario considerar una ampliación del conjunto de los enteros para
resolver este problema. Para ello se introducen las fracciones, dando lugar al conjuntode los números racionales que se denota con Q y se define como:
Se puede representar en Diagrama de Venn de la siguiente manera: Propiedades del conjunto Q: Es un conjunto infinito No tiene primer ni último elemento. Entre dos números racionales existen infinitos
números racionales, por ello se dice que Q es un conjunto denso. Es un conjunto ordenado.
Los números racionales pueden expresarse en forma de expresiones decimalesperiódicos.
Por ejemplo:
Existen números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas y que por lotanto no pueden ser expresados como fracción, a estos números se los denominairracionales y a su conjunto se lo simboliza con I.
Son números irracionales, por ejemplo:
El número irracional más conocido es Q = π que se define como la relación entrela
longitud de la circunferencia y su diámetro: π = 3,141592653589... Otros números irracionales son: El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración
radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en lostendidos eléctricos. e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo
da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
Pági
na
1 0
La constante matemática e es uno de los más importantes númerosirracionales. El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que
no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica.Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un númerofinito de cifras decimales o con decimales periódicos.
El conjunto de los números irracionales junto con el conjunto de los números
racionales determinan el conjunto de los números reales que se denota con R; es decir:R = Q U I
El conjunto de los números reales goza de las mismas propiedades que el de los
NúmerosRacionales.
El gráfico
muestra a modo desíntesis la ampliaciónsucesiva de losconjuntos Numéricos:
Representación Geométrica de los Números Reales Dada una recta R, se elige en ella un punto origen al que se le hace corresponder
el número cero y una unidad de medida. Se establece una correspondencia biunívoca entreel conjunto de los números reales y el conjunto de puntos de la recta R, es decir:
“A todo número real corresponde un punto en la recta y a todo punto de la recta
corresponde un número real” De esta manera, por ejemplo, los números quedan representados
por los puntos P, Q y S respectivamente, como se muestra en el siguientegráfico:
Pági
na
1 0
Operaciones con Números Reales. Propiedades En R se definen básicamente dos operaciones, la suma y el producto.
Propiedades de la suma: 1) Ley de cierre: 2) Asociativa:
3) Conmutativa: 4) Existencia del elemento
neutro 5) Existencia del opuesto: El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. e − e = 0
Propiedades del producto: 1) Ley de cierre: 2) Asociativa: 3) Conmutativa:
6) Elemento opuesto: Un número es inverso del otro si al multiplicarlosobtenemos como resultado el elemento unidad.
7) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:
A · (b + c) = a · b + a · c ·
Pági
na
59
Sacarfactor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandostienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
A · b + a · c = a · (b + c) La regla de los signos del producto de los números
enteros y racionales se sigue manteniendo con los númerosreales.
Diferencia de números reales La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el
opuesto del sustraendo. a − b = a + (−b)
División de números reales La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por
el inverso del divisor. Orden en R
Valor absoluto
Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al
suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales. |−5| = 5 |5| = 5
Valor absoluto de un número real Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando
es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0 |x| = 2 x = −2 x = 2
Pági
na
59
|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2)
|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞, −2) U (2, +∞) |x −2 |< 5 − 5 + 2 < x < 5 + 2 − 5 < x − 2 < 5 − 3 < x < 7 Propiedades del valor absoluto
1.- Los números opuestos tienen igual valor absoluto. |a| = |−a| |5| = |−5| = 5
2.- El valor absoluto de un producto es igual al producto de los
valores absolutos de los factores. |a · b| = |a| ·|b| |5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |
2| 10 = 10 3.- El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los
valores absolutos de los sumandos. |a + b| ≤ |a| + |b| |5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2|
3 ≤ 7
Operaciones Combinadas Cuando una expresión involucra varias operaciones, con el fin de evitar
ambigüedad, las operaciones deben realizarse con los siguientes convenios: En una expresión que no involucra paréntesis deben realizarse primero todas las
multiplicaciones y divisiones, en orden, de izquierda a derecha. A continuación serealizan todas las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha. En una expresiónque involucra paréntesis deben realizarse primero las operaciones indicadas dentro delparéntesis.
Ejemplo.
Determinar la fracción correspondiente a: =
Por lo tanto
Leyes de los Signos
1. Para sumar dos números con signos iguales, sume sus valores absolutos ycoloque el signo común.
3 + 4 = 7 (-3) + (-4) = -7
= =
Pági
na
59
2.Para sumar dos números con signos diferentes, encuentre la diferencia entre sus
valores absolutos y coloque el signo del número que tenga el valor absoluto mayor. 17 + (-8) = 9 (-6) + 4 = -2 (-18) + 15
= -3 3. Para restar un número b de otro número a, cambie la operación a suma y
reemplace b por su opuesto, -b. 12 - (7) = 12 + (-7) = 5 (-9) - (4) = -9 + (-4) = -13 2 -(-8) = 2 + 8 = 10 4. Para multiplicar (o dividir) dos números que tengan signos iguales,
multiplique (o divida) sus valores absolutos y anteponga el signo más (o ningúnsigno).
(5).(3) = 15 (-5).(-3) = 15 -6 : -3= 2
5. Para multiplicar (o dividir) dos números que tengan signos diferentes,multiplique (o divida) sus valores absolutos y anteponga el signo menos.
(-3).(6) = -18 (3).(-6) = -18 -12 : 4 = -3
Jerarquía de las Operaciones 1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º.Calcular las potencias y raíces. 3º.Efectuar los productos y cocientes. 4º.Realizar las sumas y restas. Tipos de operaciones combinadas
1. Operaciones combinadas sin paréntesis 1.1 Combinación de sumas y diferencias. 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.= 9 -
7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7
1.2 Combinación de sumas, restas y productos. 3 · 2 - 5 + 4 · 3 - 8 + 5 · 2 = Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. = 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = Efectuamos las sumas yrestas. = 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15 1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones. 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 - 16 : 4 = Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos
porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. = 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10
Pági
na
59
1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias. 23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 22 - 16 : 4 = Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 ·2 - 8 + 4 · 4 - 16 : 4 = Seguimos con los productos y cocientes. = 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 = Efectuamos las sumas y restas. = 26
2. Operaciones combinadas con paréntesis (15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 23)= Realizamos en primer
lugar las operaciones contenidas en ellos. = (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )= Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18 3. Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes [15 - (23 - 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. = [15 - (8 - 5 )] · [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) = Realizamos las sumas y
restas de los paréntesis. = [15 -3 ] · [5 + 2 ] - 3 + 2= Operamos en los paréntesis. = 12 · 7 - 3 + 2 Multiplicamos.
= 84 - 3 + 2= 83 Restamos y sumamos.
4. Con fracciones
Primero operamos con los productos y números mixtos de los paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en
el tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis.
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
Potenciación:
Definición: Sea a ∈ R , entonces:
Pági
na
59
Signo de una potencia 1. Las potencias de exponente par son siempre
positivas. 6 6
2 = 64 (−2) = 64 2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la
base. 23 = 8 (−2)3 = −8
Raíz enésima de un número real Sea se define a la raíz enésima de a y se denota
como el número real positivo que cumple la igualdad:
Simbólicamente tenemos: Ejemplo pues ; en este caso decimos que es la
raíz cúbica de
Radicación: Definición: Se llama raíz enésima de “a” a otro Nº Real, tal que “b” elevado a la “n” es igual a “a”.
n n
Índice a = b ⇔ b = a
Potencia
Radical Raíz Base
Pági
na
59
Exponente
Radicando
Ejemplo: 16 = 4 ⇔ 4 2 = 16 Es posible determinar el signo de la raíz según si el índice es par o
impar y el radicando es positivo o negativo.
Potencia de exponente racional:
Propiedades:
1. La radicación no es cerrada: Una raíz de índice par yradicando negativo no tiene solución en Reales.
−4 = x ⇔ x 2 = −4 Si x = 2 ⇒ ( 2)2 = 4 ≠ -4 Si x = -2 ⇒ (-2)2 = 4 ≠ -4
2. La radicación no es uniforme: Todo radical de índice par yradicando positivo admite 2 (dos) raíces.
4 = x Si x = 2 ⇒ ( 2)2 = 4 4 = ± 2 Si x = -2 ⇒ (-2)2 = 4
1 4 Elemento neutro no existe en la radicación. 1 4 = 4 ⇒⇒ 4 =
n a a n3. La radicación no es Conmutativa: Si a ≠ n ⇒
4. Ley Distributiva:
a) La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a
la división, siempre que las operaciones sean posibles.
Pági
na
59
3
n a.b n a.n b n a:b n a:n b b) La radicación no es distributiva con respecto a la adición ni a
la sustracción
n ab n an b n ab n an b REGLA DE LOS SIGNOS:
1. Si el índice es par y el radicando positivo, existe dos raíces Reales opuestas.
4 2 2. Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo del radicando.
82 3. Si el índice es par y el radicando negativo, no se puede distribuir, no
existe solución en Nº reales.-
25(5)2 2525
Radicales Un radical es una √ indicada, siempre que esa operación sea posible en
el conjunto de los Nº Reales. No se consideran radicales las raíces de índicepar y radicando negativo.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Si el índice de un radical y el exponente de un radicando positivo, se
multiplican o dividen por un mismo Nº, la raíz aritmética no varía. Si existe un número natural que divida al índice del radical y al
exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radicalequivalente.
sar s.nar.n s:nar:n
4 64 2 6.343.3 1849 2 6:343:3 24 2
No siempre es posible la simplificación con radicando negativo.
36 6
Pági
na
59
3-8 23.2(-8)1.2 664 222
Reducción de radicales a índice común 1.- Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común
índice 2.- Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cadaresultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de Factores del Radical
Cuando el exponente del radicando es mayor o igual que el índice, sepuede simplificar el radical extrayendo factores.
2)
Se ha simplificado todos los exponentes del radicando menores, igualesque el índice.
5) 324.m5 = 22 . 34. m5 = 2 . 32. m2.m Si un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente sedeja en el radicando Si un exponente es igual al índice, el factor correspondiente salefuera del radicando. Si un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente porel índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera delradicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Pági
na
59
Factoreo: Veces que el factor queda =2 8 2 324 2
4 2 162 2 81 3
2 2 27 3
1 1 9 3
8 = 2 3 3 3 1 1
324 = 2 32.. 4
INTRODUCIR FACTORES EN UN RADICAL
Se introducen los factores elevados al índice correspondiente delradical.
RADICALES EQUIVALENTES Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las
fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismonúmero la fracción es
equivalente, obtenemos que: Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por
un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.
Ejemplo 2):
14 ÷ = 3 4 y resto
= 2
a a a 14 3 2 4 3 = .
Veces que el factor
sale = 4
Pági
na
59
OPERACIONES CON RADICALES
Radicales Semejantes Los radicales que tienen el mismo índice y el mismo radicando se llaman
radicales semejantes. Ej.:
3 2 y -4a 2
Coeficientes Radicales Semejantes Adición y sustracción de radicales Para poder sumar o restar las raíces, estas deben ser semejantes, es
decir que deben tener el mismo radicando e igual índice y si ocurre que sonsemejantes se suman o restan sus coeficientes.
Cuando los radicales no pueden reducirse a semejantes, la adición o
sustracción queda indicada. . n . x
Ej.: a) 3a + 4a no se puede sumar ≠ índice. . n n
b) 3 a + 4 b no se puede sumar ≠ radicando. . n . n . n
c) 3 a + 4 a = 7 a se suman los coeficientes.
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES 1) De igual índice: Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los
radicandos y se deja el mismo índice.
Ej.: Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del
radical, si es posible. 2) De distinto índice: Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Pági
na
59
POTENCIACIÓN DE RADICALES (na )k = nak
RADICACIÓN DE RADICALES kna =k n. a
DIVISIÓN DE RADICALES: 1) De igual índice: Regla: El Cociente de dos o más radicales del mismo índice es otro
radical cuyo índice es el mismo y cuyo radicando es el cociente de losradicando dados.
n a 7 ÷ n a 5 = n a 7 ÷ a 5 = n a 7 − 5 = n a 2
2) De distinto índice: Regla: Para dividir 2 o más radicales de distinto índice se busca el
mínimo común índice y luego se procede como en el caso anterior. 4 a 7 ÷ 6 a 5 = 12 a 21 ÷ a 10 = 12 a 11
3) Si tenemos un problema de división:
3 a ÷ 3 a 2 3 a ÷ a 2 = 3 a1 = 3 1a =
En este caso existe otro método de división que no es igual a losdados:
Racionalización del Denominador Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener
fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A esteproceso se le llama racionalización de radicales de los denominadores. Se puedendar varios casos:
Pági
na
59
1º CASO: Si el denominador contiene un solo término formado por una solaraíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por lamisma raíz cuadrada
Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n,
se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete unapotencia de exponente n.
Se multiplica numerador y denominador por
1
Por ejemplo: 1 25 Factorizamos el radicando del
denominador: 3 125 3
152 , y
como 3 5 53 , vamos a multiplicar numerador y denominador por 3 5 para completar la 3 5 para completar la potencia de 5
1 1 3 5 3 5 3 5 3 3. 3 ( −5 ) 2 3 . 3 25 − 3 . 3 25
= = = = = = =
3 25 3 5 2 3 52 3 5 3 5 3 5 3 −5 3 −5 . 3 ( −5 ) 2 −5 5
Consideramos caso que el divisor sea una expresión algebraica irracional: xEn este caso conviene multiplicar dividendo y divisor por otro
radical del mismo índice de tal modo que en el radical que seobtenga, todos los exponentes sean múltiplos del índice. Entonces
1 ab6 c8
Pági
na
59
multiplicamos dividendo y divisor 3 a2c El exponente “b” no se modifica pues es múltiplo de 3 Ej.:
x x . 3 a 2 c x . 3 a 2 c x . 3 a 2 c = = =
3 6 c 8 3 ab 6 c 8 . 3 a 2 c 3 a 3 b 6 c 9 ab 2 c 3 ab
2º CASO: Si el denominador de la fracción contiene dos términos
en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, semultiplica numerador y denominador por el conjugado deldenominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, yviceversa..
Ej.: a +x b = ( a +x b ) • (( aa −− bb
)) = (x a• ()2 a− −( bb ) ) 2 = x • ( aba− − b )
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
a + b a - b -a + b -a - b a – b a + b
-a - b - a + b 3º CASO: Cuando el divisor es la suma o diferencia de un Nº Realy un radical .
= •
a −x b ( a −x b ) (( aa ++ bb )) = ( ax )• 2 ( a − +( bb )) 2 = x • a
( a 2 −+ b b )
Ej.:
Pági
na
59
4º CASO: Cuando el divisor irracional no es un radical. No
todos los Nº Irracionales derivan de radicales. Ej.:
En este caso las operaciones se resuelven reemplazando el divisor
irracional por un Nº racional aproximado (≅)
Logaritmos Definición: Dado un número real que llamaremos argumento x, la
función logaritmo le asigna el exponente “y” (o potencia) a la que unnúmero fijo (base “a”) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es lafunción inversa de la exponencial “x = ay”. Esta función se escribe como: y= loga x, lo que permite obtener n.
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual
se debe elevar la base para obtener el número. logb x a x ab a > 0 y a 1
Ej.: x = a b log x = b . log a
De la definición de logaritmo podemos deducir: No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base “a” de “a” es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual alexponente.
“La logaritmación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta al producto ni el cociente”.
Propiedades de los logaritmos:
Pági
na
59
1.El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores:
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menosel logaritmo del divisor:
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente porel logaritmo de la base:
4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del
radicando y el índice de la raíz:
5. Cambio de base:
Ej.: x = a b log x = b. log a
Cambio de base En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como
, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc.
El concepto de cambio de base deriva de la definición de logaritmo. Pongamos un ejemplo para entender mejor el procedimiento, dado: x = log2 32 2x = 32 (por definición de logaritmo) x . log 2 = log 32 (aplicamos
propiedad de logaritmo) (despejamos x)
x= Hemos cambiado la base del logaritmo que aplicamos a la operación
trasformándola en una división del logaritmo de la base y el logaritmo del
Pági
na
59
número. En este caso, al principio estaba en base dos y la cambiamos abase diez.
Generalizando: Logaritmos decimales: Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que
tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente noescribir la base.
Logaritmos neperianos: Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a loslogaritmos que tienen por base el
número e. Se escribe ln. Se representan por ln (x) o Su valor aproximado (truncado) es e ≈
2,7182818284590452354...recuerden que es un número irracional. Antilogaritmo: Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el
problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.
Es decir, consiste en elevar la base al número resultado: Cologaritmo: Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.
Notación científica La notación científica (o notación índice estándar) es una manera
rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Estanotación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes omuy pequeños.
Los números se escriben como un producto: siendo: unnúmero entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe elnombre de mantisa.
Pági
na
59
es un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden demagnitud.
Escritura
• 100 = 1 • 101 = 10 • 102 = 100 • 105 = 100 000 • 10–1 = 1/10 = 0,1 • 10–3 = 1/1 000 = 0,001
Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234×1029, y un número pequeño como0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón)puede ser escrito como 9.10939×10–31kg.
Operaciones matemáticas con notación científica
Suma y resta Ejemplo: 2×105 + 3×105 = 5×105
3×105 - 0.2×105 = 2.8×105 2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia) =
0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105
Multiplicación Ejemplo: (4×1012)×(2×105) =8×1017
División
Ejemplo: (4×1012)/(2×105) =2×107 (4×1012)/(2×10-7) =2×1019
Potenciación Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012.
Radicación Se debe extraer la raíz de la mantisa y se divide el exponente por elíndice de la raíz. Ejemplos:
Pági
na
59
Eje 2: FUNCIONES
Funciones Reales:
Par ordenado Se denomina par ordenado (a , b) a una lista de dos objetos, dados en un
cierto orden, en donde a es un elemento de un conjunto A y b es un elemento de unconjunto B.
Por otra parte, dos pares ordenados son iguales si y solo si son
iguales sus componentes respectivas. En símbolos:
De igual modo a como se representan los
números reales en la recta numérica, los paresordenados pueden ser representados en el plano,mediante un sistema de ejes coordenados cartesianos.
A cada par ordenado ( a , b ) le corresponde unpunto P en el plano cartesiano tal que la primera componente del par esrepresentada en el eje x (eje de las abscisas) y la segunda componente se representa en el eje y (eje de las ordenadas). Y recíprocamentea cada punto P del plano le corresponde un par ordenado.
Coordenadas cartesianas Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas
perpendiculares, llamados ejes cartesianos oejes de coordenadas:
El eje horizontal se llama eje X o ejede abscisas. El eje vertical se llamaeje Y o eje de ordenadas. El punto O, donde se cortan los dos
ejes, es el origen de coordenadas. Las coordenadas de un punto cualquiera
P se representan por (x, y).
La primera coordenada se mide sobre el eje deabscisas, y se la denomina coordenada x del punto oabscisa del punto.
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llamacoordenada y del punto u ordenada del punto.
Coordenadas en el plano Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les
llama cuadrante.
Signos
+ +
− −
Tablas de valores
Una tabla es una representación de datos, mediante pares ordenados, expresan la relación existente
entre dos magnitudes o dos situaciones.
La siguiente tabla dos muestra la variación del precio de las patatas, según el número de kilogramosque compremos.
Kg de patatas 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10
La siguiente tabla nos indica el número de alumnos que consiguen una determinada nota en un examen.
Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 6 11 12 7 4 2 1
Representación Gráfica
Las gráficas describen relaciones entre dos variables. La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente ovariable x. La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y. La variable y está en función de la variable x.
Características de las gráficas
Ordenada Abscisa
1 e r cuadrante
− + 2º cuadrante
3 e r cuadrante
+ − 4º cuadrante
Precio en €
Nº de alumnos
Pági
na
59
Gráfica creciente Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente aumenta la otra
variable.
Gráfica decreciente Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente disminuye la otra variable.
Gráfica constante Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra permanece invariable.
Concepto de Función:
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valorde la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.
El precio de un viaje en taxi viene dado por: y = 3 +
0.5 x
Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje. Como podemos observar la función relaciona dos variables. x e y. x es la variable
independiente. y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje). Las
funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento
Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento.
x 10 20 30 8 13 18
y= 3 + 0.5x
Pági
na
59
Clasificación de Funciones
Funciones Algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable
independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y
radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser: FuncionesExplícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones Implícitas Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar
operaciones.
5x − y − 2 = 0
Funciones Polinómicas Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + a nxn
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones Constantes El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Rectas Verticales Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene
infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:
x = K
Pági
na
59
Funciones Polinómicas de Primer y Segundo Grado
f(x) = mx + n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Son funciones de este tipo las siguientes: Función afín. Función lineal. Función identidad.
Función Lineal
La función lineal es del tipo:
y = mx m es la pendiente, que es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Ejemplo
y = 2x
0 2 4 6 8
Pendiente La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje
de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la
recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la
recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
Función Afín
La función afín es del tipo:
0 1 2 3 4 x
y = 2x
Pági
na
59
y = mx+ n m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de
ordenadas.
Función Identidad f(x) = x Su gráfica es la bisectriz del primer ytercer cuadrante.
Funciones Cuadráticas
f(x) = ax² + bx + c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola FuncionesRacionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el
denominador.
Funciones Radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que
hacen que el radicando sea mayor o igual que cero
Pági
na
59
Funciones Algebraicas a Trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto. Función parte entera de x. Función mantisa. Función signo.
Función Valor Absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman
en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:1. Se iguala a cero la función, sin el valor
absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se
evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los
intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante.
D=
Función Constante y = n El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela al
eje de abscisas.
Funciones Trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada
del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Pági
na
59
Funciones Exponenciales
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder lapotencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones Logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
Función seno f(x) = sen x Función coseno f(x) = cos x Función tangente f(x) = tg x Función cosecante f(x) = cosec x Función secante f(x) = sec x Función cotangente f(x) = cotg x
Función Cuadrática. Representación gráfica.
A toda función de la forma y = f (x) = a x2 + b x + c , con a ,b , c ∈ R y a ≠ 0 se la llama función cuadrática.
La igualdad y = ax2 + bx + c es la ecuación de la parábola, en donde: a x2 es el término cuadrático, b x es el término lineal y c el término
independiente. La ecuación de la parábola y = a x2+ b x + c puede escribirse
(empleando técnicas algebraicas) de la forma y = a ( x – a )2 + b La parábola y sus elementos: La parábola definida por la ecuación es
una curva que presenta las siguientes características generales:
Pági
na
59
El dominio de la función es R y su gráfica es una curva llamadaparábola.
Analicemos los gráficos de algunas funciones cuadráticas cuando varía el
coeficiente de x2 :
En la gráfica de dichas funciones se observa que las ramas de laparábola se abren hacia arriba.
El mínimo de las funciones es el cero. Las ramas de la parábola se acercan al eje “y” cuanto mayor es el valorabsoluto de “a”. Cuando a < 0
Pági
na
59
Al graficar dichas funciones puede observarse que las ramas de laparábola se abren hacia abajo.
El máximo de las funciones es el cero. Las ramas de la parábola se acercan al eje “y” cuanto mayor es el valorabsoluto de “a”. Comparando los gráficos podemos observar que: • El signo de a indica hacia donde se dirigen las ramas: - si a es positivo, las ramas van haciaarriba, - si a es negativo, las ramas van haciaabajo; • El valor absoluto de a modifica la abertura
de las parábolas: - cuanto menor es a , la parábola es más abierta,
- cuanto mayor es a , la parábola es más cerrada. Tomemos la función y = x2 cuya gráfica es simétrica respecto del eje
y. Si desplazamos el gráfico de y = x2 en forma
vertical u horizontal, obtenemos las gráficas de otrasfunciones cuadráticas.
Ejemplo:
• Si trasladamos la gráfica y = x2 dos
unidades hacia arriba, obtenemos la gráfica de lafunción y = x2 + 2.
• Si trasladamos la gráfica y = x2 unaunidad hacia abajo, obtenemos la gráfica de la función y = x2 - 1.
Observemos que estos desplazamientos no modifican el eje de simetría,
pero sí la ordenada del vértice y el conjunto imagen de cada función.
Ejemplo:
Si trasladamos la gráfica y = x2 dos unidades hacia la derecha, obtenemos la gráfica de la función y = ( x - 2 )2 .
Si trasladamos la gráfica y = x2 una unidad hacia la izquierda,obtenemos la gráfica de la función y = ( x + 1 )2 .
Pági
na
59
Función cuadrática de la forma (b = 0 c ≠ 0) y = x2 + 1 y = x2 - 1 Estos desplazamientos modifican el eje de simetría y la abscisa del
vértice, pero no su ordenada ni el conjunto imagen de cada función. Podemos construir una parábola a partir deestos puntos:
1.- El vértice es un punto especial, que esel punto de intersección de la parábola con el ejede simetría.
Además, es el punto donde la parábola alcanzael valor máximo o mínimo.
Recordar que:
se llama mínimo de una función al menor número que tiene su imagen.
se llama máximo de una función al mayor número que tiene su imagen).
Otra forma de obtener la abscisa del vértice es aprovechar el hecho de que sien la fórmula: x1 +x2 xV = reemplazamos x1 y x2 por las expresiones de
la fórmula 2
Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola siendo paralelo ocoincidente con el eje “y”.
La ecuación del eje de simetría es: 2.- Puntos de corte con el eje (X,0). En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que
tendremos: a x² + b x + c = 0
Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática
calculamos f (x) = 0. Entonces: ax² + bx +c = 0
Pági
na
59
Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b²- 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² - 4ac =
0 Ningún punto de corte: si b² - 4ac < 0
Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores dex para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales quey = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde laparábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolasque cortan al eje x en:
Para determinar las posibles soluciones (o raíces
reales) se emplea la fórmula: Esto muestra que a lo sumo existen dos soluciones reales, lo cualdepende del valor
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo quetendremos: f(0) = a· 0² + b·0 + c = c (0,c)
que tome llamado discriminante de la ecuación.
3.- Punto de corte con el eje (0,Y).
Pági
na
59
Ejemplo:
Representar la función f(x) = x² - 4x + 3
1. Vértice xv = - (-4) / 2 = 2 y v = 2² - 4· 2 + 3 = -1 V (2, -1)
2. Raíces x² - 4x + 3 = 0 = (3, 0) (1, 0)
3. Ordenada al origen. (0, 3) Construcción de la función cuadrática Partimos de y = x² donde b y c = 0
x Y= x²
2
-2-10412
4 1
014
Traslación vertical
Función cuadrática de la forma y = a . x2 +c, con (b = 0
y c ≠ 0)
Si C > 0, y = x² se desplaza hacia arriba Cunidades. Si C < 0, y = x² se desplaza hacia abajo Cunidades. El vértice de la parábola es: (0, C). El eje de simetría x = 0. y = x² +2 y = x² -2 Observemos que estos desplazamientos no modifican el eje de
simetría, pero sí la ordenada del vértice y el conjunto imagen decada función. Ejemplo:
Pági
na
59
• Si trasladamos la gráfica y = x2 dos unidades haciala derecha, obtenemos la gráfica de la función y = ( x - 2 )2 .
• Si trasladamos la gráfica y = x2 una unidad hacia laizquierda, obtenemos la gráfica de la función y = ( x + 1 )2 .
Traslación horizontal y = (x + b)² Si b > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda b unidades. Si b < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha b unidades. El vértice de la parábola es: (-b, 0). El eje de simetría es x = -b. y = (x + 2)² y = (x - 2)² Traslación oblicua y = (x +h)² + c El vértice de la parábolaes: (-h, c). El eje de simetría esx = -h.
y = (x - 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2
Concepto: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas
miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas,relacionados mediante operaciones matemáticas. En cada uno de los miembros hay uno omás términos. Un término es una parte de la expresión relacionada.
Eje 3: ECUACIONES
Pági
na
59
Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y tambiénvariables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Lasincógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que sepretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números
1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la
satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variablesque cumpla la igualdad planteada.
Para el caso dado, la solución es: Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin
embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no existaningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. También puede ocurrirque haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.
Ejemplo de identidad (x+y)2 = x2 + 2xy + y2
(3+5)2 = 32 + 2.3.5 + 52 82 = 9 + 30 + 25
64 = 64 Se verifica para cualquier valor de x e y. Ejemplo de ecuación x– 2 = 3x – 12 5 – 2 = 3.5 – 12 3 = 15 – 12
3 = 3 Solo se satisface la igualdad cuando x = 5.
Clasificación de las ecuaciones Las ecuaciones se clasifican en enteras, fraccionarias e irracionales
a) Una ecuación es entera cuando las variables o incógnitasestán sometidas a las
operaciones de suma, resta y producto, por ej.: 3x + 2 = 5x – 8 b) Una ecuación es fraccionaria cuando sus incógnitas, o por lo
menos una de ellas se halla en el denominador, por ej.: 3/x + 2 = 5x – 3
c) Una ecuación es irracional cuando una incógnita figura bajoel signo radical, por ej.:
Pági
na
59
Ecuaciones de Primer Grado con Una Incógnita Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no
está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1. Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica: con a
diferente de cero. Su solución es la más sencilla:
Ejemplo: 2 x + 10 = 0
Incógnita término independiente Ejemplo de resolución de ecuaciones de primer grado Dada la ecuación: 1- Transposición: Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los
miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerloteniendo en cuenta que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros,
la igualdad no varía. En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando
(Ej: +9), pasa al otro lado con la operación opuesta: resta (-9); y si elnúmero está restando (Ej: -6), pasa al otro lado con la operación suma(+6).
La ecuación quedará así: Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han
quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que nola poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado en el segundomiembro (a la derecha).
2- Simplificación: El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente mássimple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro:
Y simplificamos el segundo miembro: La ecuación simplificada será:
3- Despejar:
Pági
na
59
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un
término de la igualdad. Si multiplicamos por un mismo número en los dos miembros, la igualdad no
varía. Si dividimos entre un mismo número en los dos miembros, la igualdad novaría.
Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos
una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemossimplificar, la solución es:
Otro ejemplo Despejando: 2x + 10 = 0 2x + 10 + (-10) = 0 + (-10) Ley de uniformidad 2x + [10 + (-10)] = 0 +(-10) Propiedad asociativa
2x + 0 = -10 Existencia de inverso 2x = -10 Existencia de elemento neutro 2x : 2 = -10 : 2 Al dividir ambos miembros por el mismo número
(≠ 0) no se altera la ecuación
x = 5 Propiedad cancelativa Si la ecuación tiene más de un término con incógnitas, para resolver se
agrupan los términos independientes en un miembro y los miembros que poseenincógnitas en el otro.
Por ejemplo: 6x + 4 = 4x - 2 Agrupando 6x – 4x = -2 –4 Resolviendo 2x = -6 Despejando x = - 6/2 = -3
Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incógnitas Las ecuaciones que tienen la forma ax + b - y = 0 son ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas. Como esta ecuación corresponde a una función lineal, su gráfico en el
plano es una recta. Una vez obtenida la representación gráfica, esta permiteconocer los pares de valores que satisfacen la ecuación.
Pági
na
59
Criterios de equivalencia
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma
expresión, el sistema resultante es equivalente.
x = 2, y = 3
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un númerodistinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
x = 2, y = 3
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema
resultante es equivalente al dado.
x = 2, y = 3
4º Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos
ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta
otro sistema equivalente al primero.
5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro
sistema equivalente.
Pági
na
59
Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjuntosolución. Esta definición es importante en la práctica ya que una ecuación
complicada de resolver se puede llevar a otra equivalente de resolución mássencilla, empleando las siguientes propiedades de las ecuacionesequivalentes:
• Si se suma en ambos miembros de una ecuación un mismo número, se
obtiene otra ecuación equivalente a la dada. • Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por un mismo
número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Sistema de Dos Ecuaciones con Dos Incógnitas Dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada una, que deben
admitir simultáneamente las mismas raíces, forman un sistema de dosecuaciones con dos incógnitas.
La solución de un sistema es un par de números x1, y1, tales que reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones. Ejemplo:
x = 2, y = 3
Para la resolución de este tipo de sistemas de ecuaciones existendistintos métodos: Sustitución Igualación Reducción por suma o resta Gráfico Determinantes o Cramer Gauss
Pági
na
59
Es importante recordar: No importa el método empleado para resolver el sistema de ecuaciones,
las raíces o soluciones deben ser siempre las mismas.
Clasificación de los Sistemas Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo con el
número de soluciones en: Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden
dividirse en: o Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto
finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas con a losumo un número finito de puntos de acumulación.
Un ejemplo de sistema compatible determinado es {2x + 3y = 9,3 ; x − 2y= 7} cuya solución única es y = 1 y x = 3.
o Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número
infinito de soluciones que forman una variedad continua. Un ejemplo desistema compatible indeterminado es {x + y = 1,2x + 2y = 2} ya que claramentela segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiendo sidomultiplicados todos los términos por 2.
Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución.
Un ejemplo de sistema incompatible es {54x − 36y = 9 ; − 54x + 36y =30}, ya que usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtienela contradicción 9 = 39.
Quedando así laclasificación:
Sistema compatible determinado
Tiene una sola solución.
x = 1, y = 2
Pági
na
59
Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas.
Sistema compatible indeterminado El sistema tiene infinitas soluciones.
Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución.
Sistema incompatible
No tiene solución
Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.
Métodos de Solución a Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sustitución El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, acontinuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución estesistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos,obteniendo la siguiente ecuación.
Pági
na
59
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la
otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado, “x = 5” y si ahorasustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originalesobtendremos “y = 7”, con lo que el sistema queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del
método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dosecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambasecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método desustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de lasiguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte
izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también soniguales entre sí.
Una vez obtenido el valor de la incógnita , se substituye su valor enuna de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la incógnita .
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un
cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.
Reducción El procedimiento consiste en transformar una de las ecuaciones
(generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuacionesen la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distintosigno.
A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así lareducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación conuna sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
Pági
na
59
no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder
cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos
una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en estecaso, nos da directamente el valor de la incógnita :
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la
incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas,y obtener así que el valor de es igual a:
Regla de Determinantes o Cramer La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles
determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:
Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la columna de A por el
vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
La regla de Cramer da la siguiente solución:
Nota: Cuando en el determinante original det(A) el resultado es 0, el
sistema indica múltiples o sin coincidencia.
Método de Gauss El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otroequivalente de forma que este sea escalonado.
Pági
na
59
Parafacilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la quepondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremoslos coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta). Ejemplo
Sistemas No Lineales Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer
grado.
y = 7 − x 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. x2 + (7 − x)2
= 25
Si:
Todos los coeficientes son ceros. Dos filas son iguales. Una fila es proporcional a otra.
Una fila es combinación lineal de otras.
Pági
na
59
3ºSe resuelve la ecuación resultante. x2 + 49 − 14x + x2 = 25 2x2− 14x + 24 = 0 x2− 7x + 12 = 0
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así
los valores correspondientes de la otra incógnita. x = 3 y = 7 − 3 y = 4 x = 4 y = 7 − 4 y= 3
Resolución de Ecuaciones Racionales Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas.
Para resolver ecuaciones racionales se multiplican ambos miembros de la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores.
Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones
extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el
mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.
Ejemplo
1)
Pági
na
59
2)
La solución es:
Comprobamos la solución:
La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se anulan los denominadores.
Ecuaciones Irracionales Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita
bajo el signo radical.
Resolución de Ecuaciones Irracionales 1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto
de los términos, aunque tengan también radicales.
2º Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3º Se resuelve la ecuación obtenida. 4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que
tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las
mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando
el signo de uno de los miembros de la ecuación.
5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del
proceso hasta eliminarlos todos.
Pági
na
59
Ejemplos
1º Aislamos el radical:
2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:
3ºResolvemos la ecuación:
4ºComprobamos:
La ecuación tiene por solución x = 2
La ecuación tiene por solución x = 4.
Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad entre dos miembros en los cuales hay
por lo menos un dato desconocido. Resolver una inecuación implica hallar el o los valores de la incógnita
que verifica dicha desigualdad. Al resolver una inecuación se encuentra un conjunto de valores que la
verifican; este conjunto se llama conjunto solución.
Pági
na
59
Las inecuaciones se resuelven de manera similar a las ecuaciones, laúnica diferencia es que no se utiliza el signo igual (=), sino los signosmayor o menor (> <).
EJEMPLO: 1 – X > 3 (X – 5)
Solución de Un Problema La resolución de un sistema de ecuaciones no es una tarea en sí misma,
sino que forma parte de la resolución de un problema, teórico o práctico.Veamos cómo, partiendo de un problema expresado de modo textual, podemostranscribirlo a ecuaciones y luego resolverlo.
El problema es: En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52
patas, ¿cuántos conejos y patos hay? Tenemos un problema expresado textualmente. Para resolverlo tenemos que pasarlo a forma de ecuaciones, por lo que
tenemos que determinar: 1. Cuáles son las incógnitas. 2. Qué relación hay entre ellas. En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el
número de conejos y el número de patos. Llamaremos x al número de conejos e yal número de patos:
Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza. Por tanto:
el número de conejos por una cabeza, más el número de patos por una cabezatambién, tienen que sumar 18:
Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólo tienen
dos. Por tanto: el número de conejos por cuatro patas cada uno, más el númerode patos por dos patas, tienen que sumar 52:
La cuestión es: qué valores de x e y cumplen las dos ecuaciones al mismo
tiempo; esto es, las dos ecuaciones forman un sistema y el valor de la x y dela y es la solución de un sistema de dos ecuaciones:
Ya tenemos el sistema de ecuaciones perfectamente representado, y
podemos solucionarlo por cualquiera de los métodos ya vistos. Por ejemplo, el
Pági
na
59
dereducción.
Todos los coeficientes de la segunda ecuación son pares y por tantodivisibles por dos:
Si ahora la primera ecuación la cambiamos de signo, (multiplicándola por-1), tendremos:
Sumamos las dos ecuaciones:
Con lo que tenemos que x= 8. Sustituyendo este valor en la primeraecuación, tenemos:
con lo que ya tenemos la solución del problema: Podemos comprobar estos resultados en el enunciado del problema para
comprobar que son correctos. En resumen: partiendo de un problema en forma de texto, hemos
identificado las incógnitas y hemos establecido las relaciones que hay entreellas, dando lugar a un sistema que tiene tantas ecuaciones independientescomo incógnitas. Resuelto el sistema, tenemos la solución, que podemoscomprobar que es correcta en el texto original.
Resolución de Problemas Pasos a seguir
1 Leer y comprender el enunciado. 2 Anotar los datos utilizando: esquemas, dibujos, diagramas de árbol... 3 Elegir una notación que nos permita relacionar las distintas variables. 4 Plantear y resolver el sistema. 5 Comprobar la solución.
Ecuación de Segundo Grado
Pági
na
59
Una ecuación de segundo grado es una igualdad donde el máximo exponentede la variable es 2, pudiendo aparecer términos con la variable elevada a 1 eincluso términos independientes (sin la variable, o sea la variable con exponente 1).
Se expresa en la forma canónica: donde a es elcoeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b elcoeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Son ejemplos de ecuaciones de segundo grado:
x2+16=0; 3y-y2=0; 3x2-48 = 0; 9t2- 6t +1 =0; 3y-y2 = 0; x2- 7x-18=0;
4 x2 - 4 = 0 x2 - 6 16 = 0 - 3
- 6 x + 12 = 0
3
x2 = 0
3 -
48 =0
4 x2 = 0
Ecuación General
La forma general de la ecuación de segundo grado es:
Siendo a, b y c constantes, con . Busquemos las soluciones de estaecuación.
Pági
na
59
Así hemos llegado a establecer una formula general que nos permiteencontrar las raíces de cualquier ecuación cuadrática, siendo éstas:
x1 = − b+ b2 −4 ac x2 = − b - b2 −4ac 2a 2a
En forma abreviada: x1,2 =− b ± b2 − 4ac 2a
Observemos que toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces.
Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) x2 - 5 x + 6 = 0
x1,2 = 5± 1 2 x1 = 3 ; x2 = 2 Lasraíces son números reales y distintos. b) 9 x2 + 6 x + 1 = 0 x1,2 =
x1,2 =
5 24 25 2
± −
Pági
na
59
0 2
x1 = -3 ; x2 = -3 Las raíces son números reales eiguales (raíz doble)
Si las raíces de una ecuación cuadrática son x1 y x2, la ecuación puedefactorizarse así: a . (x - x1) . (x - x2) = 0 Dentro de la fórmula de la ecuación cuadrática distinguiremos a la
cantidad subradical, llamada Discriminante, que la abreviaremos por elsímbolo .
Veremos que es un factor importante a la hora de conocer las raícesde la ecuación de segundo grado ya que:
Si > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas, ya quetodo número positivo tiene siempre dos raíces reales.
Si = 0, la ecuación tiene una solución real, ya que la única raíz de 0 es 0.
Si < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, ya que NO existeningún número real que elevado al cuadrado de por resultado un númeronegativo.
Propiedades de las Raíces de la Ecuación de Segundo Grado
Al analizar la forma que tienen las raíces de la ecuación cuadráticapodemos encontrar dos ecuaciones importantes que nacen de la suma y lamultiplicación de las raíces: Suma de Raíces
x ,21 =
-6 36 36 2
± −
-6 ±
Pági
na
59
Multiplicación de Raíces
Con estas dos propiedades, podemos formar una ecuación de segundo grado
conociendo solo sus raíces, ya que:
O bien, ocupando el hecho de que son raíces, es decir que al reemplazarlas
en la ecuación general de segundo grado esta se satisface, podemos reemplazarlasen la ecuación factorizada de la forma:
Y luego multiplicar ambos binomios, ya que de esta manera al reemplazar
cualquiera de las soluciones en esta última expresión, esta se satisface.
No siempre va a ser necesario utilizar la fórmula de la ecuación cuadráticapara poder resolver estas ecuaciones, ya que en algunos casos se puede ocupar losmétodos de factorización, (cuadrados de binomio, sumas por su diferencia,binomios con término común, etc.,…).
Veamos un ejemplo ocupando factorización:
Resolvamos la ecuación:
Si te fijas bien puedes darte cuenta que el primer miembro de esta ecuaciónes el producto de dos binomios, ya que 5 es la suma entre 3 y 2 y 6 es suproducto. Por lo tanto
Así nuestra ecuación queda de la forma:
Luego como tenemos que el producto entre dos números (x+2 y x+3), es 0,implica que al menos uno de ellos debe ser 0.
Resultando dos sencillas ecuaciones de 1°grado, cuyas soluciones son x1 = 2 y x2
= 3
Ecuación Incompleta Total Es una ecuación de la forma: siendo a y c constantes, con a =
0. Para este caso de ecuaciones la resolución es siempre de la forma:
Pági
na
59
lo que representamos por
Las ecuaciones incompletas también pueden resolverse directamente comomostramos a continuación: Ejemplos:
a) 3 x2 - 48 = 0 3x2 = 48 x2=16 x1=4
b) 3 x - x2 =0 x (3 - x)= 0
x1 = 0 ; 3 - x= 0 x2 = 3
x2 = -4
Ecuación Incompleta Binomial Se trata de una expresión que posee dos términos que poseen la variable,
es de la forma:
Siendo a y b constantes, con a = 0. Podemos observar que como la
variable se encuentra en los dos términos algebraicos podemos factorizar porella, obteniendo:
Ahora, tenemos dos números reales (x y ax+b), que multiplicados entresi, dan por resultado 0, lo que quiere decir que al menos uno es 0, por lotanto obtenemos dos soluciones:
Observación:
Si la ecuación es cuadrática, pero no tiene la forma a x2 + b x + c =0 , se resuelven todas las operaciones indicadas para reducirla a esaforma.
Ecuaciones Bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar: ax4 + bx2 + c = 0 Para resolverlas, efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:
at2 + bt + c = 0 Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x:
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Polinomios
Definición: En lenguaje coloquial podemos decir que un polinomio en una variable, esuna expresión con uno o más términos, que se suman o restan y donde losexponentes de la variable deben ser enteros positivos o cero.
Simbólicamente, un polinomio en una variable es una expresión de laforma:
donde n es un entero positivo o cero, x es una variable y
son números reales constantes (también puedenllegar a ser números complejos) llamados coeficientes. Al número se lo llama coeficiente principal. El número es el término constante o independiente. Se indica R[x] para representar al conjunto de todos los polinomios
con coeficientes reales.
Nombres Especiales
El prefijo poli significa “muchos”. Polinomio significa entonces“muchos términos”. Las expresiones polinomiales que contienen uno, dos, tres o cuatro
términos se conocen respectivamente como monomio, binomio, trinomio ycuatrinomio. Cabe aclarar que no se les dan nombres especiales a lospolinomios de cinco términos en adelante.
Así, considerando los ejemplos anteriores, a) es un trinomio, b) unbinomio, c) y d) son monomios y e) es un cuadrinomio.
Grado de un Polinomio
El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente del términode coeficiente no nulo (el valor al que se eleva la variable delcoeficiente principal). Se simboliza gr (P(x)).
Simbólicamente:
Normalmente los polinomios se escriben ordenados según los grados desus monomios de mayor a menor. En ocasiones parece que "falta" alguno de
64
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
los monomios intermedios. Eso es así porque el coeficiente de ese monomioes cero y, por tanto, no se escribe.
Nota: si un polinomio tiene todos sus coeficientes iguales a cero, selo denomina polinomio nulo y carece de grado.
Igualdad de Polinomios
Dos polinomios son iguales sí y solo sí tienen el mismo grado y loscoeficientes de los términos de igual grado son iguales.
Polinomios Opuestos
Son aquellos que tienen los términos del mismo grado con signoscontrarios, es decir que la suma de dos polinomios opuestos es igual alpolinomio nulo. Se simboliza:
65
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Operaciones con Polinomios
Suma y Resta de Polinomios
La suma o resta de dos polinomios da como resultado un nuevopolinomio obtenido de sumar o restar los términos semejantes (de igualgrado). Se verifica por lo tanto la ley de cierre de la suma en elconjunto.
Al sumar términos semejantes, en realidad sumamos los coeficientes
con su signo, por lo cual, la suma de polinomios es, en definitiva, suma denúmeros reales. Esta operación, así definida, verifica las propiedades:
Producto de Polinomios
Cuando se multiplican dos polinomios, el resultado es otro polinomiocuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores ycuyos términos se obtienen de aplicar la propiedad distributiva entre lostérminos de P(x) y Q(x).
66
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Recuerda que las igualdades que acabamos de demostrar tienen unaaplicación inmediata en el trabajo con números complejos en su formabinómica.
Para dividir polinomios debemos completar el dividendo y ordenar
dividendo y divisor según las potencias decrecientes de la variable. Para 67
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
completar un polinomio se deben agregar los términos que faltan concoeficientes “cero”
Una vez que completamos el polinomio y ordenamos las potencias
decrecientes de la variable podemos comenzar con la división. Parafacilitar la operación, es conveniente proceder de la siguiente manera:
Se divide el primer término del
dividendo por el primer término deldivisor, obteniéndose el primertérmino del cociente:
Se multiplica este término del cociente por el divisor y se resta este
producto del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo:
Se reitera el procedimiento indicado en a) y b) tantas veces como sea
necesario hasta que el resto se transforme en el polinomio nulo, o bien, sugrado sea menor que del divisor.
Observaciones:
El grado del cociente, es la diferencia entre el grado del dividendo y
el del divisor. Es decir gr (C(x)) = gr (P(x)) – gr(D(x))
68
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
i al dividir el polinomio P(x) por otro Q(x), el resto es elpolinomio nulo (R(x) = 0), se dice que el cociente es exacto y que P(x) esdivisible por Q(x) o bien que Q(x) es divisor de P(x).
Regla de Ruffini
Cuando el divisor es un polinomio de la forma x - ƒ¿, siendo ƒ¿ unnumero real, se simplifica el proceso utilizando la regla de Ruffini. Semuestra el proceso con el ejemplo anterior
Primero escribimos en una fila los coeficientes del dividendo completo
y ordenado, según las potencias decrecientes de la variable: 2 0 0-1 8
Luego se traza una cruz como indica la figura, y en el ángulo
izquierdo se escribe el opuesto del término independiente del divisor En la tercera fila se obtienen los
coeficientes del cociente, el primero de loscuáles es el primero del dividendo:
Los restantes coeficientes del cociente se obtienen multiplicando el
resultado anterior obtenido por el número que figura en el ángulo izquierdo(que actúa como “pivote”) y se lo coloca en la segunda fila en la columnacorrespondiente.
Luego se suma este producto al correspondiente coeficiente de laprimera fila (ubicado en la misma columna). El último número así obtenidoes el resto.
Como se puede observar, como en
estos casos el divisor es de grado uno, elgrado del cociente es una unidad menor queel grado del dividendo.
El grado del resto, es cero, por tratarse de una constante.
69
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Efectuar
la división delpolinomio
Teorema del Resto Si se realiza la división de un polinomio P(x) por ( x – α)
(polinomio mónico de grado 1), puede ocurrir que el resto sea de grado 0o que sea nulo , es decir el resto es un número al que llamaremos r .
Por lo tanto P(x) = (x – α) .C(x) + r Si x = α, reemplazando en la igualdad anterior resulta P(a) =(α−α).C(x) + r, entonces r =
P(α)
Entonces: Al dividir un polinomio P(x) por uno de la forma (x-a) se obtiene como resto un número que es igual a P(a)
Esto es lo que afirma el Teorema del resto. Así, podemos hallar el resto de esa división sin hacerla, basta con
hallar el valor de P(x) en x = α.
70
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Raíces de Un Polinomio
Ejemplo
Factorización de Polinomios
Esta descomposición factorial de un número entero tiene su análoga
para el uso con los polinomios. En este curso veremos solamente los casosmás simples pudiéndose presentar algunos casos en que ciertos factores noserán polinomios primos pero cuya descomposición está por afuera denuestro alcance.
Debido a esto diremos que un polinomio de grado positivo ha sido
“factoreado” o “factorizado” si ha sido descompuesto en producto depolinomios de grado positivo, primos o no. Y que ha sido “factoreadototal” o “factorizado total” si es primo o si ha sido descompuesto enproducto de polinomios primos.
Un polinomio es primo cuando no puede expresarse como un producto de
polinomios de menor grado.
Teorema de Descomposición Factorial de Polinomios
71
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Si al escribir un polinomio como producto hay más de un factor que
tiene la misma raíz, a ésta se la llama raíz múltiple, y a la cantidad deveces con que aparece se la llama “grado de multiplicidad”.
Casos de Factoreo
Para factorizar polinomios se aplican diversos recursos algebraicos,agrupados en “casos de factoreo” que se detallan a continuación:
1) FACTOR COMÚN Es una aplicación directa de la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto a la suma o la resta. En realidad es la propiedaddistributiva, sólo que presentada “al revés” de lo que habitualmente sehace; es decir:
a . c + b. c = c . (a + b) (se extrae el factor común) en lugar de c. (a + b) = a . c + b . c Ejemplo:
2) FACTOR COMÚN POR GRUPOS Consiste en agrupar los términos del polinomio P(x) dado, de modo que
en cada grupo se pueda aplicar el primer caso defactoreo, con un mismo factor
común para cada grupo, es decir, de modo que:
Luego de ello, volviendo a aplicar el primer caso se tendrá:
72
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Ejemplo:
Forma Factorizada de Un Polinomio de Segundo Grado
3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Se aplica cuando se tiene un trinomio de grado par, con dos términos
que son cuadrados perfectos y un término que es el doble del producto delas bases de los cuadrados perfectos.
Su factorización como cuadrado de un binomio es una consecuencia dela igualdad:
Cuadrado de un binomio (expresión factorizada del trinomio cuadradoperfecto). 4) CUATRINOMIO CUBO PERFECTO Análogamente al caso anterior, esta factorización es una consecuenciade la igualdad:
Ejemplo: Cubo de un binomio (expresión factorizada del cuatrinomio cuboperfecto).
73
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
5) DIFERENCIA DE CUADRADOS Se factorea como producto de la suma por la diferencia de dos
monomios, como consecuencia de la igualdad:
6) TEOREMA DE GAUSS Cuando una fracción irreducible a = p/q es raíz de un polinomio P(x)
con coeficientes enteros, p es divisor del término independiente y q esdivisor del coeficiente principal Si a es raíz de P(x), el resto dela división de P(x) por (x – a) es cero.
En consecuencia el polinomio dividendo queda expresado como productodel divisor por el cociente C(x) es decir: P(x) = (x – a ) C (x)
La aplicación de estos resultados nos permite factorear binomios queson sumas o diferencias de potencias de igual grado.
Ejemplo: Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por
la suma o diferencia de las bases
Ejemplos:
74
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Expresiones Algebraicas Racionales Así como llamamos números racionales a los números de la forma con
a y b enteros
(con b≠ 0), llamaremos expresiones racionales a las expresiones de la forma:
75
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
donde P(x) y Q(x) son polinomios de una sola variable x, siendo Q(x) nonulo y de grado distinto de cero.
Ejemplo: 3/x es una expresión racional, porque el numerador P(x) = 3es un polinomio y el denominador Q(x) = x también es un polinomio y ademásx ≠ 0 Simplificación de expresiones racionales
Podemos simplificar una expresión racional cuando después de haberfactoreado numerador y denominador, figura en ambos un mismo factor (nonulo).
Si factoreamos numerador y denominador,se tiene:
Luego, la expresión simplificada es:
Operaciones con Expresiones Racionales
Las definiciones de suma y producto en este nuevo conjunto sonsimilares a las dadas en Adición, Sustracción, Multiplicación y División.
Recordemos que se procede de la misma manera que se hizo con losnúmeros reales. A los fines de simplificar la notación consideremos P(x)como P. ADICIÓN
Es conveniente ahora tener presente que: Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios, se los
factorea, y se considera luego, el producto de los factores primos comunesy no comunes con su mayor exponente.
Hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de
SUSTRACCIÓN
Definimos opuesta de la expresiónracional Entonces, Para restar dos expresiones racionales, a la primera se le
suma la opuesta de la segunda. Se simboliza:
76
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
MULTIPLICACIÓN
Definición:
DIVISIÓN Definimos larecíproca de
Luego,
Ejemplo:
Conceptos Generales: ¿A qué se le llama "Expresiones Algebraicas Racionales"? A esas "fracciones que tienen polinomios en el numerador y denominador". En este tema nos enseñan a trabajar con fracciones entre polinomios: simplificarlas, operar con ellas y resolver ecuaciones con esa forma. Por ejemplo:
Y los ejercicios tendrán esta forma:
Simplificar
Suma de expresiones algebraicas racionales
77
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Sumas y restas combinadas
Multiplicación de expresiones algebraicas racionales
División de expresiones algebraicas racionales
Operacionescombinadas
Ecuaciones racionales
¿Cómo se resuelven los ejercicios combinados de expresiones algebraicas? Como los ejercicios combinados de conjuntos numéricos: Se separa en términos, los paréntesis, corchetes y llaves están para indicar que primero hay que resolver lo que está dentro de ellos, las operaciones tienen la misma prioridad: Primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas,etc. Es decir que se puede ver a cada fracción con polinomios como si fuera unafracción numérica en un ejercicio combinado con fracciones numéricas, y trabajar con ellas de la misma forma.
EJEMPLO 1:
Como en cualquier ejercicio de operaciones combinadas, el paréntesis me está indicando que primero resuelva la suma que está dentro, y luego multiplique el resultado por la fracción que está fuera del paréntesis. Antes de multiplicar factorizo y simplifico lo que se pueda. EJEMPLO 2:
78
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Son dos términos: una multiplicación en el primero, y el 1 en el segundo. Como en cualquier ejercicio de operaciones combinadas, se resuelve cada término y luego se sumano se restan.
Proporcionalidad Magnitud
Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.
Razón
Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como
fracción.
Proporción
Proporción es una igualdad entre dos razones.
En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.
En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida
entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.
Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.
79
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Cuarto Proporcional
Es uno cualquiera de los términos de una proporción.
Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.
Medio Proporcional
Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional
de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.
Tercero Proporcional
En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términosdesiguales.
Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término
desigual.
Magnitudes Directamente Proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas porun número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.
Regla de Tres Simple y Directa
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales,
calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra
magnitud.
80
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Repartos Directamente Proporcionales
Consiste en dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la partecorrespondiente a cada una de las magnitudes dadas.
Porcentajes
Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.
Magnitudes Inversamente Proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas
por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.
Regla de Tres Simple Inversa
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente
proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una
cantidad dada de la otra magnitud.
81
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
Repartos Inversamente Proporcionales
Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un repartodirectamente proporcional a las inversas de las magnitudes.
Proporcionalidad Compuesta
Una magnitud se relaciona proporcionalmente con otras, ya sea de modo directo o inverso.
Regla de Tres Compuesta
Se emplea para resolver problemas de proporcionalidad compuesta.
Interés
Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Ese beneficio es directamenteproporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo.
Concepto Nombre Símbolo
Cantidad prestada Capital C Tiempo del préstamo Tiempo t Un beneficio por 100 € en un año Rédito r Beneficio del préstamo Interés I
Si él es el tiempo viene expresado en meses:
Si el tiempo viene expresado en días:
82
Planificación (5to) MATEMÁTICA - 2015 | MICAELA MOLINA TEGALDIEES N°4 – LA LUISA- CAPITAN SARMIENTO.
83
