Esfuerzo y Deformación

– Carga Axial

Contenido

• Esfuerzo & Deformación: Carga Axial

• Deformación Normal

• Ensayos de Esfuerzo-Deformación

• Diagrama Esfuerzo-Deformación:

Material Dúctil

• Diagrama Esfuerzo-Deformación:

Material Frágil

• Ley de Hooke: Modulo de Elasticidad

• Comportamiento Elástico vs. Plástico

• Fatiga

• Deformación bajo Carga Axial

• Ejemplo 2.01

• Problema modelo 2.1

• Indeterminación estática

• Ejemplo 2.04

• Esfuerzo Térmicos

• Relación de Poisson

• Ley generalizada de Hooke

• Dilatación: Módulo de

compresibilidad

• Deformación Cortante

• Ejemplo 2.10

• Relación entre E, n, y G

• Problema modelo 2.5

2 - 2

Introducción. Esfuerzo y Deformación: Carga Axial

2 - 3

• Lo adecuado de una estructura o maquina puede depender tanto de las deformaciones en la estructura así como en los esfuerzos inducidos al someterla a carga. No siempre es posible determinar las fuerzas en los elementos de una estructura aplicando únicamente un análisis estático

• Considerar las estructuras como deformables permite la determinación de fuerzas y reacciones en los miembros las cuales son estáticamente indeterminadas.

• La determinación de la distribución de esfuerzos dentro de un elemento también requiere la consideración de deformaciones en el elemento.

• En el capitulo 2 se estudian las deformaciones en un elemento estructural sometido a carga axial. En capítulos subsiguientes se tratara con cargas de torsión (momentos de torsión) y de flexión pura.

• En el capitulo 1 se estudiaron los esfuerzos que las cargas aplicadas a una estructura o máquina crean en varios elementos y conexiones, y si estos esfuerzos producían o no fallas en ellos.

Deformación normal bajo carga axial

2 - 4

esfuerzo

deformaci n normal

P

A

óL

L

AP

AP

22

LL

AP

22

Ensayos de Esfuerzo-Deformación

2 - 5

Diagrama Esfuerzo-Deformación: Materiales Dúctiles

2 - 6

Diagrama Esfuerzo-Deformación: Materiales Frágiles

2 - 7

Ley de Hooke: Modulo de Elasticidad

2 - 8

• Por debajo del esfuerzo de fluencia

Modulo de Young o

Modulo de Elasticidad

E

E

• La resistencia es afectada por las aleaciones, tratamientos térmicos y procesos de manufactura mas no así la rigidez (Modulo of Elasticidad).

Comportamiento Elástico vs. Plástico

2 - 9

• Si la deformación desaparece al quitar la carga, se dice que el material se comporta elásticamente.

• Cuando la deformación no vuelve a cero al quitar la carga, el material se dice que se comportan plásticamente.

• El máximo valor de esfuerzo para el cual esto ocurre es llamado limite elástico.

Fatiga

2 - 10

• Propiedades de fatiga se muestran en los diagramas de σ-n.

• Cuando el esfuerzo se reduce por debajo del límite de fatiga, no ocurren fallas de fatiga para cualquier número de ciclos.

• Un miembro puede fallar debido a fatiga en niveles de esfuerzo significativamente por debajo del límite de resistencia si es sometido a muchos ciclos de carga.

• A medida que se reduce el esfuerzo máximo, el numero de ciclos aumenta hasta alcanzar el límite de fatiga.

Deformación bajo Carga Axial

2 - 11

AEP

EE

• De la Ley de Hooke:

• De la definición de deformación:

L

• Igualando y resolviendo para la deformación,

AEPL

• Si la barra consta de varias secciones con diferentes cargas y propiedades de material,

i ii

iiEA

LP

Ejemplo 2.01

2 - 12

Determinar la deformación de la barra de acero mostrada bajo las cargas dadas.

in. 618.0 in. 07.1

psi1029 6

dD

E

SOLUCIÓN:

• Dividir la barra en componentes en los puntos de aplicación de la carga.

• Aplicar un análisis de cuerpo libre de cada componente para determinar la fuerza interna

• Evaluar el total de los alargamientos del componente.

2 - 13

SOLUCIÓN:

• Dividir la barra en tres componentes:

221

21

in 9.0

in. 12

AA

LL

23

3

in 3.0

in. 16

A

L

• Aplicar análisis de cuerpo libre a cada componente y determinar las fuerzas internas,

lb1030

lb1015

lb1060

33

32

31

P

P

P

• Evaluar el alargamiento total,

in.109.75

3.0161030

9.0121015

9.0121060

1029

1

1

3

333

6

3

33

2

22

1

11

A

LP

ALP

ALP

EEA

LP

i ii

ii

in. 109.75 3

Problema modelo 2.1

2 - 14

La barra rígida BDE se apoya por dos eslabones AB y CD. El eslabón AB es de aluminio (E = 70 GPa) y tiene una sección transversal de 500 mm2. El eslabón CD es de acero (E = 200 GPa) y tiene una sección transversal de 600 mm2. Para la fuerza de 30 kN mostrada, halle la deflexión a) de B, b) de D y c) de E.

SOLUCIÓN :

• Aplicar un análisis de cuerpo libre a la barra BDE para encontrar las fuerzas ejercidas por los eslabones AB y DC.

• Evaluar la deformación de los eslabones AB y DC o los desplazamientos de B y D.

• Trabajar con la geometría para encontrar la deflexión de E dadas las desviaciones en B y D.

2 - 15

Desplazamiento de B:

m10514

Pa1070m10500

m3.0N1060

6

926-

3

AEPL

B

mm 514.0BDesplazamiento de D:

m10300

Pa10200m10600

m4.0N1090

6

926-

3

AEPL

D

mm 300.0D

Diagrama de cuerpo libre:

Barra BDE

ncompressioF

F

tensionF

F

M

AB

AB

CD

CD

B

kN60

m2.0m4.0kN300

0M

kN90

m2.0m6.0kN300

0

D

SOLUCIÓN:

Problema modelo 2.1

2 - 16

Desplazamiento de E:

mm 7.73

mm 200mm 0.300mm 514.0

x

xx

HDBH

DDBB

mm 928.1E

mm 928.1

mm 7.73mm7.73400

mm 300.0

E

E

HDHE

DDEE

Problema modelo 2.1

Indeterminación estática

2 - 17

• Las estructuras en las cuales las reacciones y fuerzas internas no pueden determinarse solo de la estática se dice que son estáticamente indeterminadas.

0 RL

• Las deformaciones debido a cargas reales y reacciones redundantes se determinan por separado y luego son añadidas o superpuestas.

• Las reacciones redundantes se reemplazan con cargas desconocidas que, junto con las otras cargas, deben producir deformaciones compatibles.

• Una estructura será estáticamente indeterminada siempre que tenga más apoyos de los que son necesarios para mantener su equilibrio.

Ejemplo 2.04

2 - 18

Determinar las reacciones en A y B para la barra de acero y la carga mostradas, asumiendo que ambos soportes estaban fijos antes de que se aplicarán las cargas.

• Resuelva para la reacción en A debido a las cargas aplicadas y a la reacción encontrada en B.

• Imponga que los desplazamientos debido a las cargas y a la reacción redundante deben ser compatibles, es decir, se requiere que su suma sea cero.

• Resuelva para el desplazamiento en B debido a la reacción redundante en B.

SOLUCIÓN:

• Considere la reacción en B como redundante, libere la barra de ese apoyo y resuelva para el desplazamiento en B debido a las cargas aplicadas.

2 - 19

SOLUCIÓN :

• Resuelva para el desplazamiento en B debido a las cargas aplicadas con la restricción redundante liberada,

EEALP

LLLL

AAAA

PPPP

i ii

ii9

L

4321

2643

2621

34

3321

10125.1

m 150.0

m10250m10400

N10900N106000

• Resuelva para el desplazamiento en B debido a la

restricción redundante,

i

B

ii

iiR

B

ER

EA

LPδ

LL

AA

RPP

3

21

262

261

21

1095.1

m 300.0

m10250m10400

Ejemplo 2.04

2 - 20

• Imponga que los desplazamientos debido a las cargas y a la reacción redundante sean compatibles,

kN 577N10577

01095.110125.1

0

3

39

B

B

RL

R

ER

E

• Encuentre la reacción en A debido a las cargas y a la reacción en B

kN323

kN577kN600kN 3000

A

Ay

R

RF

kN577

kN323

B

A

R

R

Ejemplo 2.04

Esfuerzos Térmicos

2 - 21

• Un cambio en temperatura resulta en un cambio en la longitud o en una deformación térmica. No hay ningún esfuerzo asociado con la deformación térmica a menos que la elongación sea restringida por los apoyos.

coeficiente de expansión térmica.

T P

PLT L

AE

• Trate el apoyo adicional como redundante y aplique el principio de superposición.

0

0

AEPL

LT

PT

• La deformación térmica y la deformación del apoyo redundante deben ser compatibles.

TE

AP

TAEPPT

0

Relación de Poisson

2 - 22

• Para una barra delgada sometidos a carga axial:

0 zyx

x E

• La elongación en la dirección x es acompañada por una contracción en las otras direcciones. Suponiendo que el material es isotrópico (propiedades independientes de la dirección),

0 zy • La relación de Poisson se define como

deformación lateral

deformación axialy z

x x

n • Combinando estas ecuaciones, las relaciones que

describen la deformación bajo carga axial en el eje x son:

x xx y zE E

n

Ley de Hooke generalizada

2 - 23

• Para un elemento sometido a carga multi-axial, las componentes de la deformación normal resultante de los componentes de esfuerzo pueden determinarse de el principio de superposición. Para esto se requiere cumplir las condiciones:

1) la deformación esta linealmente relacionado al esfuerzo aplicado

2) las deformaciones resultantes son pequeñas

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

nnnnnn

• Con estas restricciones se encuentra que:

Dilatación: Módulo de compresibilidad

• Respecto a un estado sin esfuerzo, el cambio de volumen es

1 1 1 1 1 1

1 2

dilatación (cambio en volumen por unidad de volumen)

x y z x y z

x y z

x y z

e

E

n

• Para un elemento sometido a presión hidrostática uniforme,

3 1 2

módulo de compresibilidad3 1 2

pe p

E kE

k

n

n

• En elementos sujetos a presión uniforme, la dilatación debe ser negativa, por lo tanto

210 n

Deformación Cortante

2 - 25

• Un elemento cúbico sometido a una tensión de corte se deforma en un romboide. La tensión cortante correspondiente se cuantifica en términos del cambio del ángulo entre los lados, xyxy f

• Un gráfico de tensión de corte vs deformación cortante es similar a los gráficos anteriores de tensión normal vs deformación normal salvo que los valores de resistencia son aproximadamente la mitad. Para pequeñas deformaciones,

zxzxyzyzxyxy GGG donde G es el módulo de rigidez o módulo de distorsión.

Ejemplo 2.10

2 - 26

Un bloque rectangular de un material con módulo de rigidez G = 90 ksi es pegado a dos placas horizontales rígidas. La placa inferior está fija, mientras que la placa superior está sometida a una fuerza horizontal P. Sabiendo que la placa superior se mueve 0.04 pulg bajo la acción de la fuerza, determinar a) la deformación cortante promedio en el material y b) la fuerza P ejercida sobre la placa.

SOLUCIÓN:

• Determine la deformación angular o deformación cortante promedio del bloque.

• Utilice la definición de esfuerzo cortante para encontrar la fuerza P.

• Aplique la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes para encontrar los esfuerzos cortantes correspondientes.

2 - 27

• Determine la deformación angular o deformación cortante promedio del bloque.

rad020.0in.2

in.04.0tan xyxyxy

• Aplique la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes para encontrar los esfuerzos cortantes correspondientes. psi1800rad020.0psi1090 3 xyxy G

• Utilice la definición de esfuerzo cortante para encontrar la fuerza P.

lb1036in.5.2in.8psi1800 3 AP xykips0.36P

Relación entre E, n, y G

2 - 28

• Una barra delgada cargada axialmente se alargará en la dirección axial y contraerá en las direcciones transversales.

n 12GE

• Las componentes de deformación normal y cortante (de cizalladura) están relacionados,

• Si el elemento cúbico está orientado como en la figura inferior, se deforma en un rombo. La carga axial también produce una deformación cortante.

• Un elemento cúbico inicialmente orientado como en la figura superior se deforma en un paralelepípedo rectangular. La carga axial produce deformaciones normales.

Problema modelo 2.5

2 - 29

Un círculo de diámetro d = 9 pulg esta inscrito en una placa de aluminio sin esfuerzo de espesor t = 3/4 pulg. Posteriormente, fuerzas que actúan en el plano de la placa causan tensiones normales x = 12 ksi y z = 20 ksi.

Para E = 10x106 psi y n = 1/3, determine el cambio en:

a) la longitud del diámetro AB,

b) la longitud del diámetro CD,

c) el espesor de la placa, y

d) el volumen de la placa.

2 - 30

SOLUCIÓN:

• Aplique la ley de Hooke generalizada para encontrar los tres componentes de deformación normal.

in./in.10600.1

in./in.10067.1

in./in.10533.0

ksi2031

0ksi12psi1010

1

3

3

3

6

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

nn

nn

nn

• Evalúe las componentes de la deformación. in.9in./in.10533.0 3 dxAB

in.9in./in.10600.1 3 dzDC

in.75.0in./in.10067.1 3 tyt

in.108.4 3AB

in.104.14 3DC

in.10800.0 3t• Encuentre el cambio en el volumen

33

333

in75.0151510067.1

/inin10067.1

eVV

e zyx

3in187.0V