FUNCIONES ELEMENTALES. ESTUDIO DESCRIPTIVO

1.1) ANALISIS DE FUNCIONES ELEMENTALES- FUNCIONES POLINÓMICAS- GRADO DOS

FUNCIÓN: 3X2+2X+3

Dominio: R

Imagen: [2,6667; ∞]

Raíz real: No posee

Ordenada al origen: 3

Forma: X2

Monotonía Parcial:

- Crecimiento: [-0,33; ∞)- Decrecimiento (-∞; -0,33]

Acotación: no posee

Multiplicidad: No posee

FUNCIÓN: 5X2+4X+1

Dominio: R

Imagen: [0,2; ∞)

Raíz real: no posee

Ordenada al origen: 1

Forma: x2

Monotonía Parcial:

- Crecimiento [-0,4;∞)- Decrecimiento: (-∞; -0,4]

Acotación: No posee

Multiplicidad: No posee

Esta función presenta mínimo:

FUNCIÓN: 8x2+7x+2

Dominio: R

Imagen: [-0,46875; a ∞)

Raíz real: no posee

Ordenada al origen: 2

Forma: x2

Monotonía Parcial:

- Crecimiento: [-0,4375; ∞)- Decrecimiento: (- ∞; -0,4375]

Acotación: No posee

Multiplicidad: no posee

FUNCIONES POLINOMICAS- GRADO TRES

FUNCIÓN: 5X3+2X2+4X+1

Dominio: R

Imagen: R

Raíces: Las funciones de grado 3, presentan un máximo de 3 raícescompleja, al menos una debe ser real.

Ordenada al origen: 1

Forma: x3

Monotonía General:

La función dada es creciente en todo su dominio.

Acotación: No posee

Multiplicidad: Impar, la función atraviesa al eje X.

Función: 4x3+6x2+5x+1

Dominio: R

Imagen: R

Raíces: Las funciones de grado 3, presentan un máximo de 3 raícescompleja, al menos una debe ser real.

Ordenada al origen: 1

Forma: x3

Monotonía General:

La función dada es creciente en todo su dominio.

Acotación: No posee

Multiplicidad: Impar, la función atraviesa al eje X.

Función: 2x3+5x2+3x+5

Dominio: R

Imagen: R

Raíces: Las funciones de grado 3, presentan un máximo de 3 raícescompleja, al menos una debe ser real.

Ordenada al origen: 5

Forma: x3

Monotonía Parcial:

La función crece y decrece

Acotación: No posee

Multiplicidad: Impar, la función atraviesa al eje X.

FUNCIONES POLINOMICAS- GRADO CUATRO

FUNCIÓN: 2x4+3x3+2x2+7x+8

Dominio: R

Imagen:

Raíces: Las funciones de grado 4, presentan un máximo de 4 raícescomplejas, sin embargo no es necesario que haya raíces reales.

Ordenada al origen: 8

Forma: x2

Monotonía Parcial:

La función crece y decrece.

Acotación: no posee

Multiplicidad: No posee

FUNCIÓN: 5x4+2x3+5x2+3x+1

Dominio: R

Imagen:

Raíces: Las funciones de grado 4, presentan un máximo de 4 raícescomplejas, sin embargo no es necesario que haya raíces reales.

Ordenada al origen: 1

Forma: x2

Monotonía Parcial:

La función crece y decrece.

Acotación: no posee

Multiplicidad: No posee

FUNCIÓN: 7X4+2X3+7X2+6X+2

Dominio: R

Imagen:

Raíces: Las funciones de grado 4, presentan un máximo de 4 raícescomplejas, sin embargo no es necesario que haya raíces reales.

Ordenada al origen: 2

Forma: x2

Monotonía Parcial:

La función crece y decrece.

Acotación: no posee

Multiplicidad: No posee

FUNCIONES POLINOMICAS – GRADO CINCO

FUNCIÓN: 2x5+3x4+5x3+5x2+6x+3

Dominio: R

Imagen: R

Raíces: Las funciones de grado 5, presentan un máximo de 5 raícescomplejas, al menos una debe ser real.

Ordenada al origen: 3

Forma: x3

Monotonía General:

La función es creciente en todo su dominio.

Acotación: no posee

Multiplicidad: Impar, la función atraviesa al eje X.

FUNCION: 3x5+2x4+9x3+2x2+2x+1

Dominio: R

Imagen: R

Raíces: Las funciones de grado 5, presentan un máximo de 5 raícescomplejas, al menos una debe ser real.

Ordenada al origen: 1

Forma: x3

Monotonía General:

La función es creciente en todo su dominio.

Acotación: no posee

Multiplicidad: Impar, la función atraviesa al eje X.

FUNCIÓN: 2x5+5x4+3x3+2x2+3x+3

Dominio: R

Imagen: R

Raíces: Las funciones de grado 5, presentan un máximo de 5 raícescomplejas, al menos una debe ser real.

Ordenada al origen: 3

Forma: x3

Monotonía Parcial:

La función crece y decrece.

Acotación: no posee

Multiplicidad: Impar, la función atraviesa al eje X.

2) FUNCIONES CON RADICALES - n√x

Función: 3√xDominio: Todos los Reales

Imagen: Todos los Reales

Monotonía General: CRECIENTE (-∞;∞)

Función: √xDominio: Reales positivos incluido el cero (0)

Imagen: Reales positivos incluido el cero (0)

Monotonía General: CRECIENTE [o; ∞)

Función: 4√xDominio: Reales positivos incluido el cero (0)

Imagen: Reales positivos incluido el cero (0)

Monotonía General: CRECIENTE [o; ∞)

FUNCIONES CON RADICALES - n√¿¿^m)

Función: 3√(x2)

Dominio: Todos los Reales

Imagen: Todos los Reales positivos incluido el cero (0)

Monotonía PARCIAL:

- Crecimiento: [o; ∞)- Decrecimiento (-∞; 0]

Función Impar

Función: 7√x5

Dominio: Todos los Reales

Imagen: Todos los Reales

Monotonía PARCIAL:

- Crecimiento: [o; ∞)- Decrecimiento (-∞; 0]

Función Impar

Función: 3√x2

Dominio: Reales positivos incluido el 0 (cero)

Imagen: Todos los Reales positivos incluido el cero (0)

Monotonía General: CRECIENTE [0;∞)

Función par

VEEEEEEEEEEEEEERRRLas funciones con radicales que se caracterizan por tener uníndice par, y que poseen su valor de dominio x elevado a unnúmero par, poseen un dominio definido por los números REALESPOSITIVOS INCLUYENDO AL 0 (CERO), y una imagen definida por losREALES POSITIVOS INCLUYENDO al 0 CERO. Además posee una monotoníaGENERAL creciente.

Las funciones con radicales que se caracterizan por tener índiceimpar, y que poseen su valor de dominio x elevado a un númeroimpar, poseen un dominio definido por todos los números REALES, yuna imagen definida por todos los números REALES.

FUNCION TRIGONOMETRICA: SEN(x)

La función SEN(X), es impar, sen (-x): - sen x

La función se comporta de manera repetitiva, con un período de 2∏

Dominio: todos los R desde (-∞, + ∞)

Imagen: [-1; 1] ϵ R

Asíntota: Horizontal en y=1 e y=-1

Esta función está acotada entre [1 ; -1 ], siendo 1 el máximo. Y -1 el mínimo.

Cota superior: 1

Cota inferior: -1

La función Sen(x) forma una curva continua en R llamada“sinusoide”

FUNCION TRIGONOMETRICA COS (X)

La función COS (X) es par, cos(x)= cos x

La función se comporta de manera repetitiva, con un período de 2∏

Dominio: todos los R desde (-∞ , + ∞ )

Imagen: [-1; 1] ϵ R

Asíntota: Horizontal en y=1 e y=-1

Esta función está acotada entre [1 ; -1 ], siendo 1 el máximo. Y -1 el mínimo.

Cota superior: 1

Cota inferior: -1

La función Cos (x) es una curva continua en R, llamada“Cosinusoide”

FUNCION TRIGONOMETRICA TAN(X)

La función TAN(x) es impar, tan(-x)= -tan x

La función se comporta de manera repetitiva, con un período de ∏

Dominio: Todos los Reales menos = π2 + nπ

Imagen: Todos los Reales

Asíntota vertical: x= π2 + nπ

La función Tan(x) es una curva discontinua llamada “tangentoide”

FUNCION TRIGONOMETRICA COSEC (X)

La función CSC (x) es impar, csc (-x)= -csc x

Dominio: Todos los Reales

Imagen: r real / r ≤−1or≥+1

Asíntota: Horizontal en y=1 e y=-1

La función Cosec(x) forma una curva discontinua llamada“cosecantoide”

FUNCION TRIGONOMETRICA SEC (X)

La función SEC(x) es par, sec(-x)=sec t

Dominio: Todos los reales

Imagen: r real / r ≤−1or≥+1

Asíntota: Horizontal en y=1 e y=-1

La función Sec(x) forma una curva discontinua llamada “secantoide”

FUNCION TRIGONOMETRICA COTG (X)

La función COTG(x) es impar, cotg (-x)= -cotg x

Dominio: Todos los Reales menos nπ

Imagen: Todos los Reales

Asíntota vertical: x= nπ

La función Cotg(x) forma una curva discontinua llamada“cotangentoide”

FUNCIÓN GENERALIZADA SINUSOIDAL DE LA FORMA Asin (wx+∅¿

Función: 3 sen (2x+1)

La función dada presenta con respecto a su función originalSen(x), cambios tanto en su dominio como en su imagen tales como:

- En su Dominio: Contracción horizontal de 2 unidades, y undesplazamiento horizontal en una unidad hacia la izquierda.

- En su Imagen: Alargamientos vertical de 3 unidades

Dominio: Todos los Reales

Imagen: r reales / -3≤ r≤3

Función: 2 sen (3x+4)

La función dada presenta con respecto a su función originalSen(x), cambios tanto en su dominio como en su imagen tales como:

- En su Dominio: Contracción horizontal de 3 unidades, y undesplazamiento horizontal de 4 unidades hacia la izquierda.

- En su Imagen: Alargamientos vertical de 2 unidades.

Dominio: Todos los Reales

Imagen: r reales / -2≤ r≤2

Función: 5 sen (x+7)

La función dada presenta con respecto a su función originalSen(x), cambios tanto en su dominio como en su imagen tales como:

- En su Dominio: Presenta un desplazamiento horizontal en sieteunidades hacia la izquierda.

- En su Imagen: Alargamientos vertical de 5 unidades

Dominio: Todos los Reales

Imagen: r reales / -5≤ r≤5

RESUMEN GENERAL PARA LAS FUNCIONES POLINOMICAS DE GRADO n

Las funciones polinómicas de grado par:

- Presentan dominio en los Reales- Presentan imagen en los Reales- Poseen tantas raíces complejas como n es su grado, sin embargo el

mínimo de raíces REALES que deben poseer son 0- Todas las funciones poseen ordenada al origen y cortar al eje Y en

ese respectivo valor.

- Presentan monotonía parcial- No presentan asíntotas- No presentan acotación

Las funciones polinómicas de grado impar:

- Poseen tantas raíces complejas como n es su grado, sin embargo elmínimo de raíces reales que debe poseer es 1

- Todas las funciones poseen ordenada al origen y cortar al eje Y enese respectivo valor.

- La mayoría presenta monotonía general (creciente).- No presentan asíntotas- No presentan acotación- La mayoría poseen multiplicidad impar ya que atraviesan al eje X.

-

a) Las funciones trigonométricas acotadas son, SEN(x) y COS (x).Ambas funciones están acotadas entre [1; -1], poseyendo como cotasuperior al valor 1, y como cota inferior al valor -1.

Sus máximos tienen un valor de 1, y su mínimo tienen un valor de -1.

b) Las funciones trigonométricas que presentan asíntotas son:

- Sen(x) presenta asíntota horizontal. Esta función es acotada,alcanza valor máximo y mínimo.

- Cos (x) presenta asíntota horizontal. . Esta función es acotada,alcanza valor máximo y mínimo.

- Tang(x) presenta asíntota vertical. Esta función no es acotada,por ende no alcanza valores máximos ni mínimos.

- Cosec(x) presenta asíntota horizontal. Esta función no esacotada, por ende no alcanza valores máximos ni mínimos.

- Sec(x) presenta asíntota horizontal. Esta función no es acotada,por ende no alcanza valores máximos ni mínimos.

- Cotang(x) presenta asíntota vertical. Esta función no esacotada, por ende no alcanza valores máximos ni mínimos.