La logica nelle scienze economiche e sociali

La logica nelle scienze economichee sociali

Marcello D’Agostino

1 IntroduzioneUna parte importante delle moderne teorie economiche e sociali ha co-me obiettivo la costruzione di modelli matematici in cui un insieme diagenti razionali prende decisioni individualmente (teoria della decisio-ne), interattivamente (teoria dei giochi) o collettivamente (teoria dellascelta sociale).1 I criteri che definiscono la razionalita di una decisionesono profondamente radicati nel paradigma della razionalita come coe-renza [26] che unisce i fondamenti della teoria della decisione e della teo-ria della probabilita a quelli della logica. Nonostante la sfida lanciata, apartire dagli anni settanta del ventesimo secolo, dalla corrente della beha-vioural economics [31] — piu legata ai metodi della psicologia cognitiva— la logica contemporanea occupa un posto sempre piu ampio nell’ana-lisi del comportamento razionale ed e plausibile che possa svolgere unruolo propulsivo analogo a quello che ha svolto, a partire dalla secon-da meta del ventesimo secolo, nello sviluppo dell’informatica. In questarassegna esamineremo brevemente, senza alcuna pretesa di esaustivita,alcune delle aree di ricerca in cui il contributo degli studiosi italiani e piusignificativo.Come hanno insegnato Karl Popper e Imre Lakatos, gli sviluppi teorici

piu interessanti nascono dal tentativo di risolvere “problemi recalcitran-ti”. In questo spirito, prenderemo le mosse da tre problemi fondamen-tali — riguardanti il rapporto fra la Logica e la teoria della razionalitaeconomica e sociale — che sono in larga misura ancora aperti e conti-nuano ad alimentare una notevole mole di ricerca interdisciplinare. Sitratta del paradosso di Condorcet, una fondamentale difficolta relativaall’aggregazione delle preferenze di un gruppo di individui che sta all’o-rigine di risultati epocali nella teoria della scelta sociale, tra cui il Teo-rema di Arrow; del dilemma discorsivo, che da lungo tempo e discusso

1 Per una discussione di questa tripartizione da un punto di vista logico si veda [30].

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nella tradizione giuridica, ma e stato portato all’attenzione dei logici agliinizi del ventunesimo secolo per opera di Christian List e Philip Pettit,dando origine a una ricca letteratura sull’aggregazione dei giudizi; e delproblema dell’onniscienza logica, cioe l’assunzione presente nei modellidi economia astratta, secondo cui gli agenti razionali sono dotati di cre-denze o conoscenze deduttivamente chiuse rispetto a una data relazionedi conseguenza, per esempio la logica classica.Per ragioni di spazio (e di incompetenza dell’autore) non esaminere-

mo argomenti altrettanto importanti, come l’applicazione della logica al-la teoria dei giochi2 e alla formalizzazione del concetto di “conoscenzacondivisa”.3Nel resto di questa introduzione presenteremo in modo informale il

paradosso di Condorcet, il dilemma discorsivo e il problema dell’onni-scienza logica. Nei Paragrafi 2 e 3 discuteremo brevemente i contributidella logica alla teoria della scelta sociale,4 e infine nel Paragrafo 4 esa-mineremo in modo piu approfondito il problema dell’onniscienza logicae le attuali direzioni di ricerca sul tema.

1.1 Paradossi della scelta socialeLa teoria della scelta sociale e incentrata su un problema recalcitrante chepossiamo chiamare “il problema dell’aggregazione”.

Problema dell’Aggregazione: dato un insieme finito N={1,...,n}di individui che esprimono le loro preferenze su un insieme finitoU di alternative, o i loro giudizi su un insieme X di proposizioni,come si determina una funzione di aggregazione che rappresenti lepreferenze o i giudizi della “collettivita”?

Questo problema ha origine nel cosiddetto paradosso del voto messo inevidenza dal marchese Nicolas de Condorcet nel suo Saggio sull’appli-cazione dell’analisi alla probabilita delle decisioni prese a maggioran-za di voti (1785). Il paradosso consiste nel fatto che l’aggregazione dipreferenze individuali secondo la semplice “regola della maggioranza”,comunemente identificata come il tratto distintivo della democrazia, puocondurre a “preferenze della collettivita” incoerenti. Supponiamo vi sia-no tre individui ai quali viene chiesto di esprimere le proprie preferenzesu tre alternative a, b, c, e che le preferenze individuali espresse siano

2 Su questo tema si vedano [57,67]3 Si vedano [18] e [68].4 Per una discussione piu approfondita il lettore puo consultare [17, 26, 28, 43].

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quelle descritte dalla seguente tabella:

Individuo 1: a b cIndividuo 2: b c aIndividuo 3: c a b

dove “a b” si legge “a e preferito a b”. Allora e facile verificare che:

• Per la maggioranza a b;• Per la maggioranza b c;• Per la maggioranza c a;• Qualunque sia l’alternativa scelta dal gruppo ci sara sempre un’alter-nativa che e preferita da una maggioranza di individui (2 e 3 preferi-scono c ad a, 1 e 3 preferiscono a a b, 1 e 2 preferiscono b a c).

Assumendo, come di consueto, che le preferenze di un agente raziona-le siano transitive, il paradosso di Condorcet mostra che le preferenzecollettive determinate aggregando le preferenze individuali secondo laregola della maggioranza non sono, in generale, coerenti.Una versione piu recente di questo problema e il cosiddetto “parados-

so dottrinale” [33, 34] rivisitato da Philip Pettit nella forma nota come“dilemma discorsivo” [49]. Siano p, q, r le seguenti tre proposizionielementari:

p = “l’imputato ha violato il contratto”q = “il contratto e valido”r = “l’imputato e suscettibile di sanzione”

Supponiamo che vi siano tre giudici che si esprimono sulla verita o falsitadi queste tre proposizioni e che tutti e tre concordino con la proposizionecomplessa:

L’imputato e suscettibile di sanzione se e solo se l’imputato haviolato il contratto e il contratto e valido.

Il paradosso sorge nel caso in cui i giudici si pronuncino come nellaseguente tabella (dove “1” sta per “vero” e “0” per “falso”):2. LA LOGICA DELL’AGGREGAZIONE 21

p q r $ (p ^ q) r

Giudice 1 1 1 1 1Giudice 2 1 0 1 0Giudice 3 0 1 1 0

Maggioranza 1 1 1 0

Tabella 3. Rappresentazione tabulare del dilemma discor-sivo. p e interpretato come “l’imputato ha violato il contrat-to”, q come “il contratto e valido” e r come “l’imputato esuscettibile di sanzione”. Come di consueto r $ (p ^ q) eun’abbreviazione di (r ! (p ^ q) ^ (p ^ q) ! r).

soddisfacibili. I modelli sono, rispettivamente

v1 = v(p) = v(q) = v(r) = 1

v2 = v(p) = 1 e v(q) = v(r) = 0

v3 = v(p) = 0, v(q) = 1 e v(r) = 0.

Il giudizio espresso dalla “maggioranza” e invece incoerente: non esiste al-cuna valutazione v : L ! {0, 1} che lo soddisfi. Il problema e consideratoparadossale perche quella che sembra la regola di decisione collettiva ov-

via, cioe quella di maggioranza, aggrega giudizi individualmente coerenti erestituisce un giudizio collettivo incoerente.

L’analisi logica del problema ci suggerisce immediatamente di verificare se laconclusione indesiderabile del dilemma discorsivo sia un artefatto del modoin cui abbiamo posto il problema. La tabella 4 illustra situazioni analoghemolto piu semplici. In ognuno dei casi rappresentati nella tabella siamo an-cora una volta di fronte a tre giudizi coerenti, che aggregati a maggioranzasemplice, danno luogo a un giudizio collettivo incoerente (perche insoddi-sfacibile). Siamo di fronte al problema logico che sottende il paradosso diCondorcet, che abbiamo gia incontrato. Proviamo dunque ad analizzarlocon gli strumenti che abbiamo introdotto nella sezione 1.

Poniamo L = {p, q}. Secondo l’interpretazione informale che stiamo dandoalla Tabella 4 identifichiamo, nel caso della congiunzione, i giudizi individualirispettivamente con

�1 = {p, q, p ^ q}�2 = {p,¬q,¬(p ^ q)}�3 = {¬p, q,¬(p ^ q)}


Qui il problema e analogo a quello del paradosso di Condorcet, mal’incorenza del giudizio collettivo, basato sulla regola di maggioranza,non consiste nel fatto che viene violata la transitivita della relazione dipreferenza, ma nel fatto che vengono violate le regole della logica propo-sizionale che governano il significato standard di “+” e “�”. Di nuo-vo, ciascuno dei tre giudici esprime giudizi logicamente coerenti, mail giudizio collettivo determinato secondo la regola della maggioranzae logicamente incoerente.

1.2 Il problema dell’onniscienza logica

Le teorie della razionalita economica e politica contengono forti assun-zioni, per lo piu nascoste, sulle capacita inferenziali degli agenti raziona-li. Per esempio, la teoria classica della decisione assume implicitamenteche un agente razionale agisca in accordo con le conseguenze logichedelle sue conoscenze o credenze. Supponiamo che mi venga chiesto discegliere fra 100 euro e una scatola il cui contenuto C e cosı determinato,per un dato enunciato �:

C = 0 se �,

200 se ¬�.

Supponiamo anche che � sia una conseguenza logica di un dato insieme⌫ di enunciati che io ritengo veri. In questo caso una teoria normativadella razionalita che includa il requisito della coerenza logica (classica)mi imporrebbe di scegliere i 100 euro e lasciar perdere la scatola: ladecisione economicamente piu vantaggiosa e determinata e non vi e al-cuna incertezza al riguardo. Ma se la nozione di conseguenza logica inquestione e quella della logica classica — che e il modello normativoimplicitamente adottato in economia, sebbene il suo ruolo effettivo nonvenga mai discusso esplicitamente — questa assunzione e fortemente ir-realistica, dal momento che si scontra con i noti risultati negativi secondocui la logica classica del primo ordine e indecidibile e quella proposi-zionale e (molto probabilmente) intrattabile. Se non esiste un algoritmoper decidere se � segue da ⌫ o anche se l’algoritmo esiste, ma e per metroppo costoso eseguirlo (in termini di tempo e spazio), non e detto cheio sia in grado di riconoscere che � deve essere vero anche se riconoscocome veri tutti gli enunciati in ⌫. Si puo dunque dire che, per me, lasituazione puo presentare un certo grado di incertezza anche se “ogget-tivamente” � e una conseguenza logica di enunciati che io ritengo veri edunque dovrebbe anch’esso essere vero per me con probabilita 1.


Questo e, essenzialmente, lo stesso problema sollevato da LeonardSavage in un noto passo del suo Difficulties in the Theory of PersonalProbability:

Una persona a cui si chieda di rischiare una certa somma di de-naro su una cifra remota dell’espansione decimale di � dovrebbe,per attenersi completamente alla teoria [della probabilita persona-le] calcolare quella cifra, sebbene questa sarebbe veramente faticasprecata se il costo del calcolo superasse il valore del premio. In-fatti, i postulati della teoria implicano che dovremmo comportarciin accordo con le implicazioni logiche di quello che conosciamo.E possibile migliorare la teoria da questo punto di vista in modoche tenga conto del costo del pensare, o questo porterebbe a para-dossi, come io sono propenso a credere ma non sono in grado didimostrare?5

RINGRAZIAMENTI. Desidero ringraziare i curatori del volume, HykelHosni, Gabriele Lolli e Carlo Toffalori per numerosi suggerimenti chemi sono stati molti utili nella stesura della versione finale.

2 Aggregazione di preferenzeLa logica ha svolto un ruolo centrale nella teoria moderna della scelta so-ciale, attraverso l’uso del metodo assiomatico, fin dalle sue origini nel la-voro Scelte sociali e valori individuali (1951) di Kenneth Arrow. Abbia-mo visto nel paragrafo 1.1 che la regola della maggioranza non fornisceun metodo coerente, in generale, per aggregare le preferenze individuali.Esiste un metodo migliore? Per rispondere (negativamente) a questa do-manda Arrow, che aveva appreso i fondamenti del metodo assiomatico edella teoria delle relazioni seguendo un corso di logica tenuto da AlfredTarski,6 propose un insieme di assiomi che esprimevano alcune proprietadesiderabili di qualunque metodo di aggregazione “ragionevole” e dimo-stro che queste proprieta non possono essere soddisfatte simultanementeda nessun metodo di aggregazione.2.1 Il teorema di impossibilita di ArrowAssumiamo che:• N = {1, . . . , n} sia un insieme finito di agenti con n � 2.• U sia un insieme finito di alternative contenente almeno due elementi.

5 [54], p. 308.6 Su questo si veda [62].


• Le preferenze di ciascun agente i siano rappresentate da una relazionedi preferenza ✏i transitiva e completa (ordine debole)

Denotiamo conR(U) l’insieme di tutte le relazioni di preferenza sull’in-siemeU delle alternative e conR(U)n l’insieme dei profili di preferenze,cioe delle n-uple R = /✏1, . . . ,✏n0. Una funzione di benessere socialee una funzione F : R(U)n � R(U). La relazione di preferenza socialee denotata da ✏.Si assume che la funzione di benessere sociale debba soddisfare le

seguenti proprieta:

(P) Condizione di Pareto: Se tutti gli individui preferiscono x a y,allora anche la societa dovrebbe preferire x a y:

( i �N ) x i y (⇠ x y.

(IAI) Indipendenza delle Alternative Irrilevanti: La preferenza socialetra a x e y e determinata soltanto dalle preferenze individuali rela-tive a x e y, senza tenere conto delle preferenze relative alle altrealternative. Cioe, dati due profili /✏1, . . . ,✏n0 e /✏�

1, . . . ,✏�n0:

( i �N )(x✏i y se e solo se x✏�i y)(⇠ x ✏ y se e solo se x✏� y.

(ND) Non-Dittatorialita: Non esiste un agente che puo “dettare” le pre-ferenze sociali:

¬(!i � N )( x, y � U)(x i y (⇠ x y).

Arrow ha dimostrato che:

Teorema 2.1 (Arrow, 1951). Se |U | � 3, non esiste una funzione dibenessere sociale che soddisfi contemporaneamente P, IAI e ND.

Equivalentemente, se |U | � 3, l’unica funzione di benessere socialeche soddisfa P e IAI e la dittatura, cioe un meccanismo che determina lepreferenze sociali sulla base di quelle di un individuo privilegiato. D’altraparte, se |U | = 2, IAI e banalmente soddisfatta da qualunque funzionedi benessere sociale ed esistono funzioni di benessere sociale (come laregola della maggioranza semplice) che soddisfano anche le altre duecondizioni.

2.2 Metodi formali e computazionaliSebbene l’uso del metodo assiomatico da parte dei pionieri della modernateoria della scelta sociale costituisca un esempio importante dell’applica-zione di strumenti logici a problemi di natura sociale ed economica, la


teoria stessa non e espressa in termini di un linguaggio logico governatoda precise regole formali. Tuttavia, negli ultimi decenni si e assistito aripetuti tentativi di formalizzare porzioni rilevanti della teoria in terminidi linguaggi logici standard (e.g., la logica proposizionale o del primo or-dine) o costruiti ad hoc.7 Un primo obiettivo e quello abituale di fornire,attraverso la formalizzazione, un’esplicazione dei concetti fondamentalidella teoria che ne favorisca una piu profonda comprensione. Un secondoobiettivo, non meno importante, e quello di aprire la strada all’automa-zione. L’idea che la logica possa giocare un ruolo piu diretto nella spe-cificazione formale e nel controllo delle procedure di scelta sociale, cosıcome e stata a lungo usata nell’informatica per specificare e verificare au-tomaticamente le proprieta del software, e insita nel programma delineatoda Rohit Parikh e suggestivamente chiamato Social Software [46].Una prima questione interessante che puo essere sollevata consiste nel

chiedersi quale dev’essere il potere espressivo di un linguaggio logicoadeguato ad esprimere porzioni rilevanti della teoria. Per esempio, men-tre la condizione di Pareto e piuttosto semplice da esprimere, la condizio-ne dell’indipendenza delle alternative irrilevanti — che include una quan-tificazione universale implicita sui profili di preferenze, ciascuno dei qua-li e costituito da una pluralita di ordinamenti lineari — e indubbiamentepiu complessa e non e affatto ovvio se possa essere espressa in linguaggiosemplice come, per esempio, il linguaggio della logica del primo ordine.In realta Grandi e Endriss [27] hanno mostrato, basandosi su alcune ideedi Tang e Lin [63], come queste difficolta possano essere superate dandouna caratterizzazione al prim’ordine del tipo di impossibilita che emergenel contesto arroviano. Ovviamente, una difficolta che non puo esseresuperata consiste nell’assunzione che i domini degli individui e delle al-ternative siano finiti — il teorema di Arrow non vale per domini infiniti— assunzione non esprimibile nella logica del primo ordine. Dunquequesto approccio non puo ridurre il teorema di Arrow alla validita di unaformula del primo ordine, ma solo all’asserzione che un certo insieme diformule del primo ordine non ha modelli finiti.Se la cardinalita dell’insieme N degli individui e dell’insieme U delle

alternative e fissata a priori, la dimostrazione del teorema di Arrow puoessere ridotta a un problema di logica proposizionale e la sua verificapuo avvalersi dell’ampio repertorio di efficienti SAT-SOLVERS prodottiin oltre mezzo secolo di ricerche sulla deduzione automatica.8 Un altro

7 Per tentativi in questa direzione si vedano [52] e [64].8 Su questo punto si veda [63].


approccio consiste nel fare ricorso alle logiche di ordine superiore peresprimere condizioni complesse, come quella dell’indipendenza delle al-ternative irrilevanti. In questo quadro Nipkow [45] e Wiedijk [69] hannoverificato due dimostrazioni del teorema di Arrow usando i dimostratoriautomatici interattivi ISABELLE e MIZAR.Un discorso a parte meritano i recenti tentativi di usare metodi logi-

ci per affrontare un problema computazionalmente difficile come quellodella scelta in domini combinatori. Supponiamo che un gruppo di N diindividui debba decidere su un menu comune composto da:

antipasto piatto principale dessert bevanda

con una scelta fra 6 elementi per ciascuna categoria. In questo caso, imenu alternativi fra cui gli individui devono scegliere sono 64. Questonon sarebbe un problema se le scelte operate fossero indipendenti. Nelnostro esempio il problema si ridurrebbe a 4 problemi indipendenti in cia-scuno dei quali gli individui devono scegliere fra 6 alternative. Ma, in ge-nerale, le scelte non sono indipendenti. Per esempio e del tutto possibileche:

vino rosso i vino bianco pesce i carnema

vino rosso⌃ pesce �i vino bianco⌃ pesceQui l’operatore di “congiunzione” ⌃ di due elementi del menu (appar-tenenti a diverse categorie) non e monotono rispetto all’ordine delle pre-ferenze. Quindi sembra che non vi sia altra possibilita che consideraretutte le possibili combinazioni di alternative in gioco, il che renderebbeintrattabile persino il problema di specificare le preferenze di un indivi-duo, dal momento che il numero di alternative combinatorie e perlomenoesponenziale. In generale se ci sono n variabili X1, . . . , Xn ciascuna del-le quali puo prendere k valori, le alternative sono kn . Se ci sono m postida occupare e n possibili candidati, ciascuno dei quali puo occupare unodei posti disponibili, il numero complessivo di alternative da considera-re e

�nm⇥. Sebbene questi problemi siano stati lungamente discussi nelle

scienze politiche, il riconoscimento che essi contengono una intrinsecadifficolta computazionale e stato reso esplicito solo in [37], dove vieneproposto un linguaggio per la rappresentazione compatta delle preferen-ze in domini combinatori basato sulla specificazione di “mete” espressein termini di logica proposizionale (estesa con valori di priorita). La scel-ta sociale in domini combinatori9 e diventata oggi una delle aree di ricer-

9 Si veda [6] per un’ampia rassegna.


ca piu attive nel campo della teoria computazionale della scelta socialein cui la logica proposizionale, non necessariamente quella classica,10svolge un ruolo di primo piano.

3 Aggregazione di giudiziIl problema messo in evidenza dal dilemma discorsivo non e limitato adesempi costruiti ad hoc, ma rinvia a un fondamentale problema logico:l’aggregazione dei giudizi secondo la regola della maggioranza non pre-serva la coerenza. Che si tratti di un fenomeno del tutto generale si puocomprendere osservando le seguenti tabelle:

p q p + qGiudice 1 1 1 1Giudice 2 1 0 0Giudice 3 0 1 0Maggioranza 1 1 0

p q p , qGiudice 1 0 0 0Giudice 2 0 1 1Giudice 3 1 0 1Maggioranza 0 0 1

p q p � qGiudice 1 1 0 0Giudice 2 1 1 1Giudice 3 0 0 1Maggioranza 1 0 1

Qui ciascun giudice esprime, individualmente, giudizi logicamente coe-renti, mentre i giudizi collettivi ricavati dall’applicazione della regola del-la maggioranza semplice sono logicamente incoerenti. Si pone dunque unproblema analogo a quello che era stato posto dal paradosso di Condor-cet. Visto che la regola della maggioranza non risulta essere una buonaregola di aggregazione dei giudizi, possiamo chiederci che cosa intendia-mo precisamente per “buona regola di aggregazione” e se una tale regolaesista.

3.1 Agende, giudizi ammissibili e regole di aggregazione

Cominciamo col definire una serie di semplici nozioni preliminari:

• Siano N = {1, . . . , n} un insieme di agenti tale che n � 2 e Xun insieme finito di proposizioni (l’agenda) appartenenti a un certolinguaggio L su cui gli agenti devono formulare giudizi.

• Si assume che X non contenga proposizioni della forma ¬¬�.

10 Si veda [50] per una proposta basata sulla logica lineare.


• Se � � X , allora �� X dove

�� =

¬� se l’operatore principale di � non e ¬,

✓ se � = ¬✓ .

Un insieme di giudizi puo soddisfare o meno certi vincoli di raziona-lita. Un insieme ammissibile di giudizi, per un certo individuo i , e unsottoinsieme ⌫i di X che soddisfa le seguenti condizioni:

(C1) Coerenza: ⌫i non contiene sia � sia ¬� per proposizione �;(C2) Completezza: per ciascuna proposizione � � X , � � ⌫i oppure

¬� � ⌫i ;(C3) Chiusura deduttiva: Se ⌫i implica logicamente una proposizione

� � X , allora � � ⌫i .

Un profilo R e una n-upla /⌫1, . . . ,⌫n0 di insiemi ammissibili di giudizi(uno per ciascun individuo). Per ogni individuo i , ⌫i ↵ X e l’insiemedelle proposizioni che i accetta. Si assume che le proposizioni in X \ ⌫isiano respinte.Analogamente a quanto abbiamo fatto nel contesto arroviano, ci chie-

diamo: esiste una procedura di aggregazione dei giudizi individuali taleche, ogni volta che gli insiemi di giudizi individuali sono ammissibili(soddisfano C1, C2 e C3), l’insieme dei “giudizi collettivi” che risultanodalla procedura sia esso stesso ammissibile?Sia A(X) l’insieme degli insiemi di giudizi ammissibili su X . Una re-

gola di aggregazione e una funzione F : A(X)n � A(X). Per esempio:

F(⌫1, . . . ,⌫n) = {� � X : |{i � N : � � ⌫i }| > n/2}

e la nota regola della maggioranza semplice; mentre

F(⌫1, . . . ,⌫n) = ⌫i per qualche i � N fissato a priori

e la regola della dittatura.

3.2 Teoremi di impossibilitaConsideriamo una serie di possibili proprieta di una regola di aggrega-zione che sono state discusse nella letteratura:

Anonimia: per qualunque permutazione � : N � N ,

F(⌫1, . . . ,⌫n) = F(⌫� (1), . . . ,⌫� (n));


Sistematicita: Dati due profili /⌫1, . . . ,⌫n0 e /⇠1, . . . ,⇠n0 e due pro-posizioni �,✓ � X :

⇤� � ⌫i ⇢ ✓ � ⇠i per ogni i � N

⌅(⇠

⇤� � F(⌫1, . . . ,⌫n) ⇢ ✓ � F(⇠1, . . . ,⇠n)

⌅;

Non-Dittatorialita: Non esiste un i � N , tale che per ogni profilo/⌫1, . . . ,⌫n0 di insiemi ammissibili di giudizi individuali, F(⌫1, . . .. . . ,⌫n) = ⌫i ;

Unanimita: Per ogni � � X e ogni profilo /⌫1, . . . ,⌫n0,

( i � N ) � � ⌫i (⇠ � � F(⌫1, . . . ,⌫n).

Mentre le condizioni di anonimia, unanimita e non-dittatorialita dovreb-bero essere sufficientemente chiare,11 la regola di sistematicita richiedequalche commento. Informalmente questa condizione unisce due requisi-ti: (i) un requisito di indipendenza secondo il quale i giudizi collettivi suciascuna proposizione in X dipendono esclusivamente dai giudizi indivi-duali su quella proposizione, e non dai giudizi sulle altre proposizioni, e(ii) un requisito di neutralita secondo cui il criterio per derminare il giu-dizio collettivo su ciascuna proposizione deve essere lo stesso per tutte leproposizioni.12 Abbiamo allora i seguenti teoremi di impossibilita:

Teorema 3.1 (List e Pettit 2002). Se, per qualche ⇣,✓ , X � {�,✓,�+✓}, non esiste nessuna regola di aggregazione che soddisfa le condizionidi anonimia e sistematicita.

Teorema 3.2 (Pauly e Van Hees, 2006). Se, per qualche ⇣,✓ , X �{�,✓,� + ✓}, non esiste nessuna regola di aggregazione che soddisfale condizioni di non-dittatorialita, sistematicita e unanimita.

Si noti che il risultato di impossibilita di List e Pettit non dipende dal-l’uso della logica proposizionale classica, ma puo essere esteso a qualun-que sistema logico che soddisfi alcune proprieta miminali.13 Il risultato

11 Si osservi solo che l’anonimia implica la non-dittatorialita, ma non viceversa.12 Si veda [42].13 E sufficiente assumere un sistema logico che consista di un linguaggio L dotato almeno di unoperatore di negazione e di una nozione di coerenza che soddisfi alcune condizioni standard: ognicoppia {p,¬p} ↵ L e incoerente. Sottoinsiemi S ↵ L di insiemi coerenti sono essi stessi coerenti.L’insieme vuoto # e coerente, e ogni insieme coerente S ↵ L ha un superinsieme T ↵ L checontiene un elemento di ciascuna coppia {p,¬p} ↵ L . Si veda [16].


di Pauly e Van Hees e stato originariamente dimostrato per qualunquesistema polivalente alla Post [48].L’analogia fra questi risultati e il teorema di impossibilita di Arrow e

evidente, tuttavia la loro precisa relazione non e affatto ovvia. Per un con-fronto si veda [41]. Una interessante caratterizzazione logica del teoremadi Arrow e contenuta in [26].I risultati negativi che abbiamo incontrato in relazione sia al proble-

ma dell’aggregazione delle preferenze sia a quello dell’aggregazione deigiudizi sembrano suggerire che vi sia un limite essenziale nell’applicareil paradigma della razionalita come coerenza ai problemi di scelta collet-tiva. Oppure che la nozione di coerenza nelle scelte sociali non debbaessere necessariamente la stessa nozione di coerenza che si applica allepreferenze e ai giudizi individuali. Come osservano Hosni e Giaquinta:

La scelta del dominio e del codominio delle regole di aggrega-zione per i giudizi mette [...] in evidenza l’ipotesi di modellazionesecondo cui gli individui e la collettivita siano soggetti agli stessicriteri di razionalita. Questa identificazione della razionalita indi-viduale con quella collettiva non e, dal punto di vista concettualee filosofico, per niente ovvia. In primo luogo l’idea che la societapossa agire come un unico agente collettivo — lo Stato — e, perquanto radicata nella nostra cultura, tutt’altro che naturale. In se-condo luogo, se diamo per scontato che cio sia plausibile, e natura-le aspettarsi che la societa sia qualcosa di piu della “somma” dellesue parti e che quindi sia possibile imporle criteri piu stringenti.14

4 Il problema dell’onniscienza logicaUn macigno concettuale sulla strada di qualunque soluzione del proble-ma dell’onniscienza logica, che abbiamo introdotto nel paragrafo 1.2, ecostituito dalla received view secondo cui la logica e informativamentebanale: l’informazione che la conclusione di un’inferenza corretta e verasarebbe contenuta nell’informazione che le premesse sono vere. Infatti,la correttezza o meno di un’inferenza dipende esclusivamente dal signi-ficato delle parole logiche. In questo senso la logica e “analitica” e nonconvoglia alcuna informazione fattuale. La tensione fra questa receivedview e la nozione pratica di informazione con cui deve necessariamen-te confrontarsi la teoria della razionalita economica e politica puo essere

14 [26], Cap. 2, pag. 15.


riassunta nella seguente semplice domanda:

(1) l’informazione che la conclusione di un’inferenza e vera e effetti-vamente posseduta da un agente razionale che sia informato dellaverita della premesse?

Qui per “possedere effettivamente” l’informazione che un certo enuncia-to e vero intendiamo che si tratta di un’informazione che e accessibile inpratica e che ha dunque un valore operativo per l’agente in questione.Dato che, come abbiamo accennato nell’introduzione, la logica e com-

putazionalmente difficile — la maggior parte delle logiche interessantisono o indecidibili o (probabilmente) intrattabili — la risposta alla do-manda (1) non puo che essere negativa. Anche se restringiamo la nostraattenzione al dominio della logica proposizionale, la teoria della com-plessita computazionale15 ci dice che il problema della decisione per lalogica Booleana e co-NP completo, cioe e fra i problemi piu difficili inco-NP.16 Sebbene non sia stata dimostrata, e una congettura ampiamen-te accettata che non esista nessuna procedura di decisione fattibile (cioeche funzioni in tempo polinomiale) per tali problemi. Questo significache qualunque agente reale, anche se dotato di un computer di ultima ge-nerazione che esegue una procedura di decisione per la logica booleana,non sempre (o meglio, quasi mai) e in grado di riconoscere in pratica checerti enunciati seguono logicamente da enunciati che egli ritiene veri.La situazione non migliora affatto se, al posto della logica classica,

consideriamo le piu note logiche proposizionali subclassiche, come lalogica intuizionista, la logica rilevante o la logica lineare. Per quantoriguarda la logica intuizionista, che prima facie sembra piu appropriatadi quella classica per rappresentare la nozione di conseguenza logica in

15 Per un’introduzione si veda [61].16 Nella teoria della complessita computazionale NP e la classe dei problemi di decisione tali che,per ogni esempio positivo, esiste una dimostrazione “breve” (di lunghezza polinomiale) del fattoche la risposta e “sı”. Per esempio il problema della soddisfacibilita, cioe il problema di deciderese una formula di un linguaggio booleano ammette un’assegnazione di valori di verita alle variabiliproposizionali che la rendono vera, e in NP. Questo problema e anche NP completo: qualunque pro-blema in NP puo essere ridotto ad esso in tempo polinomiale, per cui se fosse risolvibile in tempopolinomiale lo sarebbero tutti i problemi in NP, cosa che viene ritenuta fortemente implausibile.D’altra parte co-NP e la classe dei problemi di decisione tali che per ogni esempio negativo esisteuna dimostrazione “breve” del fatto che la risposta e “no”. Per esempio, il problema della tautologiae in co-NP perche per ogni non-tautologia esiste una dimostrazione breve del fatto che non e unatautologia, cioe quello che si dice un “controesempio”. Questo problema e anche co-NP comple-to: qualunque problema in co-NP puo essere ridotto ad esso in tempo polinomiale, per cui se fosserisolubile in tempo polinomiale lo sarebbero tutti i problemi in co-NP, cosa che viene ritenuta forte-mente implausibile. Non e noto se NP = coNP e la congettura dominante e che le due classi sianodistinte.


termini delle nostre conoscenze o informazioni, Richard Statman [60] hadimostrato che e PSPACE completa (e lo e anche il suo frammento impli-cazionale puro)17 e dunque — dato che NP ↵ PSPACE e, anzi, si ritieneche l’inclusione sia stretta — la sua complessita computazionale e proba-bilmente maggiore di quella della logica classica. Per quanto riguarda lalogica rilevante, Alasdair Urquhart ha dimostrato che i sistemi principa-li — E (Entailment), R (Relevance Logic), T (Ticket Entailment) [1] —sono tutti indecidibili [65] e che i principali sottosistemi decidibili hannouna complessita non minore di quella della logica proposizionale classi-ca [66]. Per esempio, il frammento implicazionale puro di R e ESPACEcompleto e il semplice sistema della logica a quattro valori di Belnap(noto come first-degree entailment [3, 4]) e co-NP completo. Infine, perquanto riguarda la logica lineare, il sistema senza restrizioni espressi-ve e indecidibile [40], il frammento moltiplicativo-additivo e PSPACEcompleto [39] e il frammento moltiplicativo e NP completo [32].18Dunque, il ragionamento deduttivo e informativamente banale solo per

agenti ideali e non possiamo assumere realisticamente che un agente ra-zionale, ma limitato dal punto di vista computazionale e cognitivo, siainformato di tutte le conseguenze logiche delle sue scelte. C’e dunqueuna tensione fra il punto di vistra secondo cui la deduzione e informa-tivamente banale e il fatto, messo in evidenza dallo studio del problemapratico della decisione, che la conclusione di un’inferenza complessa puoconvogliare informazione che non e contenuta nelle premesse, nel sensooggettivo — non meramente psicologico — che non esiste (e probabil-mente non esistera mai) una procedura fattibile per estrarre questa infor-mazione da quella convogliata dalle premesse. Quale puo essere dunqueil ruolo della logica nella teoria della razionalita?

4.1 La logica nella teoria della razionalita

L’assenza di modelli piu realistici delle capacita deduttive degli agen-ti razionali rispetto a quelli forniti dalla logica classica o intuizionista eda alcuni decenni percepita come un problema urgente nell’ambito dellateoria della razionalita. Per esempio, in Minimal Rationality, CristopherCherniak ha sostenuto che una teoria delle inferenze logiche fattibili co-

17 Piu precisamente [60] mostra che la logica proposizionale intuizionista puo essere ridotta alsuo frammento implicazionale e che quest’ultimo e PSPACE difficile. Dal risultato in [36] secon-do cui la logica modale S4 e in PSPACE e dalla nota traduzione polinomiale della logica propo-sizionale intuizionista in S4, segue che il problema di decidere se una formula proposizionale eintuizionisticamente valida e PSPACE completo.18 Soprendentemente, persino il frammento che contiene le sole costanti e NP completo [38].


stituisce una componente importante di questa teoria, ma che modelli lo-gici idealizzati e senza vincoli sono del tutto irrilevanti per la psicologiae l’epistemologia degli agenti razionali. E necessario dare importanzafilosofica al fatto che la cognizione, il calcolo e l’informazione hannoun costo e non esistono in un effluvio immateriale [5, pagina 3]. Comehanno sottolineato Gabbay and Woods:

Una logica e un’idealizzazione di certi tipi di fenomeni rea-li. Per la loro stessa natura le idealizzazioni non descrivono cor-rettamente il comportamento effettivo degli agenti reali. Questasituazione puo essere tollerata quando sono soddisfatte due con-dizioni. La prima e che il comportamento reale degli agenti realipossa essere rappresentato in modo difendibile come un’approssi-mazione del comportamento degli agenti ideali nelle idealizzazionidei logici. L’altra e che le idealizzazioni facilitino la scoperta e ladimostrazione di risultati profondi.19

Questo non deve necessariamente essere inteso come un appello per unapproccio piu descrittivo al comportamento inferenziale degli agenti rea-li, che tenga conto per esempio delle frequenti “distorsioni cognitive” acui essi sono soggetti. Anche da un punto di vista puramente prescrittivoi requisiti imposti dalla logica classica agli agenti razionali sono troppoforti. Non e possibile assumere che un agente reale, anche quando ragio-na correttamente e ha imparato a difendersi dalle trappole cognitive, siasempre in grado di riconoscere tutte le conseguenze logiche delle proprieassunzioni o rendersi conto che le proprie assunzioni sono incoerenti.Dunque il primo compito di una logica che intenda svolgere un ruolo

prescrittivo e quello di fornire un modello del comportamento dedutti-vo di agenti razionali limitati, cioe di agenti che non sono in grado dieseguire tutte le inferenze logicamente corrette, ma solo un determina-to sottoinsieme di esse compatibile con le risorse cognitive e computa-zionali disponibili. Tuttavia, la logica non puo accontentarsi di forniremodelli prescrittivi della competenza logica di agenti limitati. E fuoridiscussione che la capacita di riconoscere correttamente un’incoerenza oun implicazione logica — potremmo chiamare questa capacita la “com-petenza logica” di un agente razionale — sia una questione di grado.Mentre chiunque conosca il significato del condizionale “�” puo rico-noscere che � � ✓ e � implicano logicamente ✓ , pochi sono in grado dieseguire un’inferenza che coinvolga una struttura complessa di ragiona-menti per casi e pochissimi sono in grado di dimostrare un teorema dagli

19 [25], p. 158.


assiomi di una teoria matematica. Possiamo definire, in modo naturale,dei gradi di “profondita logica” e associarli col “grado di difficolta” diun’inferenza?Come e possibile misurare e controllare sperimentalmente il grado di

difficolta o “profondita logica” di un’inferenza? Questa domanda ci spin-ge, nello spirito del passo di Gabbay e Woods citato sopra, a sollevarequello che puo essere chiamato il problema dell’approssimazione che, nelcontesto dei sistemi logici, puo essere concisamente descritto nel modoseguente:

Problema dell’approssimazione: E possibile definire in modo na-turale una gerarchia di sistemi logici che approssimino indefinita-mente una data relazione di conseguenza (presumibilmente intrat-tabile) in modo tale che queste approssimazioni forniscano modelliefficaci delle capacita deduttive di agenti razionali dotati di risorsecomputazionali diverse?

Soluzioni robuste di questo problema avrebbero un notevole impatto intutte le aree delle scienze economiche e sociali in cui vi e un bisognourgente di modelli piu realistici della competenza logica. Da questo puntodi vista si potrebbe persino sostenere che una formalizzazione di una certalogica L sia adeguata solo se consente di definire il modo in cui L puoessere approssimata in pratica da agenti reali, non importa se umani oartificiali.Sebbene questo problema sia di importanza cruciale per lo studio del-

la cognizione umana (e non), e stato sorprendentemente trascurato dallaletteratura logica e filosofica.20 Una prima ragione e che sembra diffici-le individuare soluzioni robuste, che siano cioe indipendenti dalla sceltadi un formalismo specifico. Una seconda ragione e che la maggior par-te dei formalismi piu usati per la logica classica — Deduzione Natura-le, Tableaux, Calcolo dei Sequenti — sono strutturalmente inadeguati arisolvere il problema dell’approssimazione.21Per riassumere, riguardo al ruolo della logica in una teoria della razio-

nalita, possiamo distinguere tre approcci:

Normativo La logica caratterizza il tipo di inferenze che un agente ra-

20 L’idea ha ricevuto una certa attenzione nel campo dell’Informatica e dell’Intelligenza Artificiale( [?,7,14,15,19–23,56]), ma relativamente poca attenzione e stata dedicata a elaborare un approcciosistematico al problema dell’approssimazione, sia dal punto di vista semantico sia da quello dellateoria della dimostrazione.21 Su questo punto si veda [9].


zionale ideale22 deve eseguire quando elabora l’informazione che pos-siede.

Descrittivo La logica descrive il tipo di inferenze che un agente raziona-le effettivamente esegue quando elabora l’informazione che possiede.

Prescrittivo La logica caratterizza, tenendo conto dei suoi limiti compu-tazionali e cognitivi, il tipo di inferenze che un agente razionale realepuo (e deve) eseguire quando elabora l’informazione che possiede.

Per giocare un ruolo nell’epistemologia della razionalita umana, e dunquenelle scienze economiche e sociali, la logica dovrebbe cercare caratteriz-zazioni prescrittive dell’inferenza. Queste caratterizzazioni dovrebberoessere naturali (o human-oriented come si dice negli ambienti informa-tici), cioe basate su principi di inferenza basilari che appartengono allanostra pratica deduttiva quotidiana e corrispondono a compiti cogniti-vamente elementari. Secondo una lunga tradizione — che comprendealmeno Wittgenstein, Gentzen e Quine — sono queste inferenze a de-finire il “significato primitivo” delle parole logiche, per cui si puo direche un agente che non riconosca come valida, per esempio, l’inferenzada {� � ✓,�} a ✓ non comprende il significato di “�”. Una teoriaprescrittiva dell’inferenza logica dovrebbe condurre in modo naturale adefinire, a partire da queste inferenze fondamentali, una successione diapprossimazioni fattibili che converge alla teoria normativa degli agentiideali logicamente onniscienti, e queste approssimazioni dovrebbero es-sere associate in modo naturale a gradi crescenti di profondita logica cheriflettano i limiti cognitivi e computazionali degli agenti reali.

4.2 Perche le logiche epistemiche standard non sono una soluzione

Il problema dell’onniscienza logica non e neppure minimamente attenua-to dal tentativo di estendere il linguaggio della logica proposizionale stan-dard con operatori che rappresentino atteggiamenti proposizionali come“a sa che ...”, o “a crede che”, o “a e informato che ...”.Secondo le logiche standard della conoscenza (logica epistemica) e

della credenza (logica doxastica), cosı come per i piu recenti tentativi diasiomatizzare la “logica dell’essere informati” (logica dell’informazio-

22 Il ricorso all’agente razionale ideale ha solitamente l’effetto di spazzare sotto il tappeto diver-se questioni interessanti. Per esempio, se “agente ideale” e inteso solo nel senso che tale agentepossiede risorse computazionali illimitate, non si puo comunque assumere che sia logicamente on-nisciente rispetto alla logica classica del primo ordine, ma solo rispetto a logiche decidibili come lalogica classica proposizionale.


ne),23 se un agente a sa, o crede, o e informato che un enunciato � e vero,e ✓ e una conseguenza logica di �, allora a dovrebbe anche sapere, ocredere, o essere informato che ✓ e vero. Sia�a l’operatore che esprimeuno degli atteggiamenti proposizionali in questione con riferimento all’a-gente a. Allora, per qualunque insieme finito ⌫ di enunciati e qualunqueenunciato �,

Se �a✓ per tutti i ✓ � ⌫ e ⌫ - �, allora �a✓, (4.1)

dove - rappresenta la relazione di conseguenza logica. Si osservi che, seponiamo ⌫ = #, segue immediatamente da (4.1) che un qualunque agen-te razionale a dovrebbe essere in grado di riconoscere la verita di tuttele tautologie della logica classica, ossia di tutti gli enunciati di un lin-guaggio logico standard che sono “conseguenze dell’insieme vuoto delleassunzioni”. Nelle assiomatizzazioni della logica epistemica, doxasticae dell’informazione (4.1) emerge dall’effetto combinato dell’“assioma didistribuzione”, ovvero:

�a(� � ✓) � (�a� � �a✓) (K)

e della “regola di necessitazione”:

se - �, allora - �a�, (N)

via il teorema di deduzione. D’altra parte, (4.1) e una conseguenza ine-ludibile della caratterizzazione semantica standard, nello stile di Kripke,delle logiche in questione. Tale caratterizzazione si ottiene in termini distrutture della forma (S, ✏, R1, . . . , Rn), dove S e un insieme di mondipossibili, ✏ e una funzione che associa ad ogni mondo possibile s un’as-segnazione ✏ (s) di uno dei due valori di verita (0 e 1) a ciascun enunciatoatomico del linguaggio, e Ra e la relazione di “accessibilita” per l’agen-te a. Intuitivamente, se s e il mondo attuale e sRat , allora a considerat come “possible”. Viene poi introdotta una relazione di forcing |( perdefinire il valore di verita degli enunciati complessi a partire dall’asse-gnazione iniziale agli enunciati atomici. Questa relazione di forcing in-corpora la semantica della logica proposizionale classica e definisce laverita di �a� come “� e vero in tutti i mondi che a considera possibili”.In questo quadro, dato che la nozione di verita in un mondo possibile e

23 Per una rassegna sulle logiche epistemiche e doxastiche si vedano [29, 44]. Per la logicadell’informazione, si vedano [24,51].


un’estensione al linguaggio modale della semantica vero-funzionale clas-sica per gli operatori logici standard, (4.1) sembra essere convincente e,nello stesso tempo, controintuitiva.24Di nuovo, se - e la relazione di conseguenza della logica classica, (4.1)

puo forse essere soddisfatta da un “agente razionale ideale”, in qualchesenso ancora da precisare, ma e fuori questione che non sia soddisfatta inpratica, ed e altamente probabile che non lo sia nemmeno per la logicaBooleana.Cosı, la tensione fra (4.1) e la nozione classica di conseguenza logi-

ca, che emerge in tutti i contesti applicativi, puo essere risolta o abban-donando l’assunzione (4.1), cioe ricorrendo ad assiomatizzazioni degliatteggiamenti proposizionali che non la soddisfano, oppure indebolendola relazione di conseguenza logica classica su cui tali assiomatizzazionisono basate, facendo in modo che anche in pratica la modalita �a pos-sa essere chiusa rispetto a questa relazione di conseguenza piu debole perqualunque agente razionale, in altri termini che quest’ultima ammetta unaprocedura di decisione fattibile.Entrambe queste opzioni sono state discusse nella letteratura.25 Si os-

servi che, se si adotta la seconda opzione, il problema dell’onniscienzalogica non consiste nell’assunzione (4.1) in se stessa, ma piuttosto nell’a-dozione da parte di Hintikka e altri della logica proposizionale classicacome base della semantica dei mondi possibili che viene usata come baseper l’indagine delle logiche epistemiche e doxastiche.26

4.3 Semantica informazionale e logiche a profondita limitata

Assumiamo ora che un agente razionale minimale sia almeno in grado diapprendere il significato delle parole logiche appartenenti al linguaggiodi una data logica L (mediante regole di inferenza o mediante altri me-todi, come per esempio le tavole di verita). Le inferenze corrette di Lsono caratterizzate, secondo una lunga tradizione in filosofia e teoria del-

24 Queste sono le caratteristiche che definiscono un “paradosso” secondo [53].25 Si veda [44] (Section 4), [29] (Section 4) and [35] per una rassegna e riferimenti bibliografici.Si veda anche [47] per una interessante “terza via” che si ispira alla tradizione della probabilitasoggettiva e [2] per un approccio basato sulla lunghezza delle dimostrazioni. Un framework se-mantico generale in chi diversi approcci possono essere proficuamente espressi e quello basato sulle“awareness structures”, che poggia sulla distinzione fra conoscenza “esplicita” e “implicita”, in baseal quale un agente puo sapere implicitamente che un enunciato e una conseguenza logica di altri,senza esserne pero consapevole. Si vedano [58, 59] per una discussione e appropriati riferimentibibliografici.26 Per una discussione analitica della seconda opzione e i relativi riferimenti bibliografici si veda[11], in particolare l’Introduzione.


la dimostrazione, come quelle che possono essere giustificate sulla basedel significato stesso delle parole logiche (e questo uno dei sensi in cuisi dice comunemente che la logica e “analitica”). Dunque la discussio-ne precedente mostra che conoscere il significato classico (intuizionista,rilevante, etc.) delle parole logiche non e sufficiente a riconoscere co-me corrette tutte le inferenze che possono essere giustificate sulla base diquesto significato. In altri termini, la logica classica (come la maggiorparte delle logiche note) intuitivamente non soddisfa:

⌫ - � ⌫⇠ Se conosciamo il significato delle parole logichee possediamo effettivamente l’informazione che glienunciati in ⌫ sono veri, percio stesso possediamoeffettivamente l’informazione che � e vero.

(4.2)

Un tentativo di superare il problema dell’onniscienza logica consiste dun-que nell’indebolire il significato standard delle parole logiche in mo-do che le inferenze che possono essere giustificate sulla base di questosignificato piu debole soddisfino (4.2).Recentemente, in una serie di articoli [8, 10–13], il presente autore

(in collaborazione con vari co-autori) ha avanzato una proposta in questadirezione basata su un nuova e piu primitiva concezione informazionaledel significato degli operatori logici che obbedisce al seguente principio:

Semantica informazionale: Il significato di un operatore logicon-ario � e determinato specificando le condizioni necessarie e lecondizioni sufficienti perche un agente x possegga effettivamen-te l’informazione che un enunciato della forma �(A1, . . . , An) erispettivamente vero o falso, in termini dell’informazione che xeffettivamente possiede sulla verita o falsita di A1, . . . , An .

Seguendo questo principio viene elaborata una definizione del significatoinformazionale degli operatori logici che puo essere ricondotta ad alcu-ne osservazioni di Willard V.O. Quine contenute nel suo Le Radici delRiferimento27 — secondo la quale un agente che comprenda questo si-gnificato informazionale puo effettivamente riconoscere in pratica comevalide tutte le inferenze che possono essere giustificate sulla base di esso(le inferenze “analitiche”); ma queste ultime costituiscono solo un sot-toinsieme minimale delle inferenze classicamente valide per il quale ilproblema della decisione e trattabile. Si tratta delle inferenze piu “facili”che un’agente razionale deve essere in grado di riconoscere e che soddi-sfano pienamente (4.2). Questa logica — come la logica intuizionista —

27 Su questo punto si veda [12], Paragrafo 3.


non puo essere caratterizzata da nessun sistema di matrici polivalenti conun numero finito di valori, ma puo essere caratterizzata da matrici non-deterministiche a tre valori.28 Le inferenze piu profonde possono esserericonosciute per mezzo della capacita logica addizionale di manipolare“informazione virtuale”, cioe informazione che l’agente non possiede ef-fettivamente, simulando stati di informazione piu ricchi di quello in cuisi trova. Questo e quello che avviene in qualunque tipo di ragionamentoper casi, come nel dilemma classico:

⌫,� - ✓ ⇠,¬� - ✓

⌫,⇠ - ✓

(dove � e non ¬� sono informazioni virtuali che non sono contenutenei dati ⌫,⇠), o nel dilemma costruttivo che e la regola di inferenza pereliminare la disgiunzione nella Deduzione Naturale di Gentzen:

⌫ - � , ✓ ⇠,� - � ⇢,✓ - �

⌫,⇠,⇢ - �

(qui le informazioni virtuali sono � e ✓ nella seconda e nella terza pre-messa).Ma l’uso di informazione virtuale non e ristretto al ragionamento per

casi: e presente, sempre nella Deduzione Naturale, anche nella regola perl’introduzione del condizionale (⌫,� - ✓/⌫ - � � ✓). L’informa-zione virtuale svolge un ruolo centrale anche nelle semantica della logicaintuizionista: in quella di Kripke nella clausola per il condizionale e inquella di Beth anche nella clausola per la disgiunzione.29 La profonditain cui questa informazione virtuale deve essere usata ricorsivamente pereseguire un ragionamento conduce a definire in modo naturale gradi di“difficolta” o “profondita” di diverse classi di ragionamenti che posso-no essere associati da una parte allo sforzo cognitivo messo in atto pereseguirli, dall’altra alla complessita computazionale della procedura didecisione corrispondente. In questo modo la logica classica diventa illimite di una successione di approssimazioni trattabili — di comples-sita crescente — che possono servire come modelli di agenti reali cheapprossimano asintoticamente l’Agente Ideale logicamente onnisciente.

28 Si vedano [10,12, 13].29 Per una discussione piu approfondita, si veda [11].


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La logica nelle scienze economiche e sociali

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