Pak Fahri memanen sawahnya

dan menghasilkan beras yang Ia

jual dalam tiga jenis kemasan

plastic yaitu plastic kemasan

kecil, kemasan sedang, dan

kemasan besar. Penjualan beras

pada hari pertama sebanyak 110

kg beras dengan rincian 5

kemasan kecil, 4 kemasan

sedang, dan 8 kemasan besar.

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 2 Pekalongan

Mata pelajaran : Matematika Wajib

Kelas/ Semester : X/Gasal

Materi pokok : SPLTV

Indikator Pencapaian Kompetensi :

3.3.1 Menyusun konsep dan menentukan bentuk

umum sistem persamaan linear tiga

variable

4.3.1 Membuat selesaian masalah kontekstual

sistem persamaan linear tiga variabel

dengan metode eliminasi dan subtitusi

Pertemuan 1 | Waktu: 20 menit

Lembar Kegiatan Peserta Didik

S P L T V Oleh Dian Septiani, S.Pd – SMA Negeri 2 Pekalongan

Nama Kelompok

:……………….

Anggota Kelompok:

1. ...................................................

2. ...................................................

3. ...................................................

4. ...................................................

...

Penjualan beras pada hari kedua sebanyak 132 kg dengan rincian 6 kemasan kecil, 4

kemasan sedang, dan 10 kemasan besar. Penjualan beras pada hari ketiga sebanyak

76 kg dengan rincian 8 kemasan kecil, 8 kemasan sedang, dan 2 kemasan besar. Pada

hari keempat terjual 10 kemasan kecil, 8 kemasan sedang, dan 3 kemasan besar.

Tentukan:

a. Sistem persamaan linear yang menyatakan penjualan beras pada hari pertama,

kedua, dan ketiga.

b. Jumlah berat beras yang terjual pada hari keempat.

Sebagai arahan untuk membuat model matematika, jawablah pertanyaan

berikut.

1. Tuliskan informasi yang didapat dari permasalahan Pak Fahri dalam

bentuk tabel berikut.

Hari

ke- Kemasan Kecil Kemasan Sedang Kemasan Besar

Berat beras

(kg)

1 5 … … 110

2 … … … …

3 … … … …

2. Tuliskan variabel untuk menyatakan banyaknya kemasan plastik yang

digunakan untuk setiap jenisnya.

𝑥 ∶ banyaknya plastik kemasan kecil (misal)

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…

…………………………………………………………………………………………

…

3. Nyatakan hubungan banyak kemasan dengan jumlah berat beras yang

terjual tiap harinya.

Beras yang terjual pada hari pertama.

5𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 110 (1)

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

Bentuk umum dari sistem persamaan linear tiga variabel adalah

{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2

𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3

dengan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑑1, 𝑑2, dan 𝑑3 bilangan real,

𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 tidak sekaligus ketiganya nol, 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2tidak sekaligus ketiganya

nol, dan 𝑎3, 𝑏3, 𝑐3 tidak sekaligus ketiganya nol.

𝑥, 𝑦, 𝑧 : variabel

𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 : koefisien variabel 𝑥

𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 : koefisien variabel 𝑦

𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 : koefisien variabel 𝑧

𝑑1, 𝑑2, 𝑑3 : konstanta

Dari poin (3), diperoleh suatu sistem persamaan

{5𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 110… … … … … … … … … …… … … … … … … … … …

Amati sistem persamaan dari masalah 1

Ada berapa variabel yang ada pada sitem persamaan tersebut?

Sistem persamaan linear tersebut merupakan sistem persamaan linear tiga

variabel. Jadi, sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem

Untuk melihat video mengenai soal dan cara

menyelesaikan SPLTV, kunjungilah video dengan

memindai QR code di samping menggunakan smartphone

Anda.

Berdasarkan permasalahan penjualan beras di atas, tuliskan kembali model

matematika yang telah kalian dapatkan :

Model Matematika :

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

Menentukan himpunan selesaian :

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

Kesimpulan :

Jadi banyaknya penjualan beras pada hari keempat

………………………………………………………………………….

Menyelesaikan SPLTV

Langkah-langkah untuk menyelesaiakan permasalahan kontekstual

SPLTV :

1.

2.

.

.

.

dst

Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel

adalah …

Ayo Menyimpulkan

Berdasarkan permasalahan Pak Fahri pada pertemuan sebelumnya tentang penjualan

beras hasil pertanian, tuliskan kembali model matematika dan himpunan selesaian dari

permasalahan tersebut.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh :

𝑎1 = ⋯ 𝑎2 = ⋯ 𝑎3 = ⋯

𝑏1 = ⋯ 𝑏2 = ⋯ 𝑏3 = ⋯

𝑐1 = ⋯ 𝑐2 = ⋯ 𝑏3 = ⋯

𝑑1 = ⋯ 𝑑2 = ⋯ 𝑑3 = ⋯

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 2 Pekalongan

Mata pelajaran : Matematika Wajib

Kelas/ Semester : X/Gasal

Materi pokok : SPLTV

Indikator Pencapaian Kompetensi :

3.3.2 Menjelaskan metode determinan dalam

menentukan himpunan selesaian SPLTV

4.3.2 Membuat selesaian masalah kontekstual

sistem persamaan linear tiga variabel

dengan metode determinan

Pertemuan 2 | Waktu: 20 menit

Lembar Kegiatan Peserta Didik

S P L T V Oleh Dian Septiani, S.Pd – SMA Negeri 2 Pekalongan

Nama Kelompok

:……………….

Anggota Kelompok:

1. ...................................................

2. ...................................................

3. ...................................................

4. ...................................................

...

Perhatikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan variabel 𝑥,𝑦, dan 𝑧

{

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1 … … … … … … … … … … … … … … … … … (1)

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2 … … … … … … … … … … … … … … … … … (2)𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3 … … … … … … … … … … … … … … … … … (3)

Langkah 1

Eliminasi variabel 𝑥 dari persamaan (1) dan (2)

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1 × 𝑎2 𝑎1𝑎2𝑥 + 𝑎2𝑏1𝑦 + 𝑎2𝑐1𝑧 = 𝑎2𝑑1

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2 × 𝑎1 𝑎1𝑎2𝑥 + 𝑎1𝑏2𝑦 + 𝑎1𝑐2𝑧 = 𝑎1𝑑2

(𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2)𝑦 + (𝑎2𝑐1 − 𝑎1𝑐2)𝑧 = 𝑎2𝑑1 − 𝑎1𝑑2

(𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2)𝑦 + (𝑎2𝑐1 − 𝑎1𝑐2)𝑧 = 𝑎2𝑑1 − 𝑎1𝑑2……………………………………….

(4)

Langkah 2

Eliminasi variabel 𝑥 dari persamaan (1) dan (3)

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

sehingga diperoleh

(𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3)𝑦 + (𝑎3𝑐1 − 𝑎1𝑐3)𝑧 = 𝑎3𝑑1 − 𝑎1𝑑3……………………………………….

(5)

Langkah 3

Eliminasi variabel 𝑦 dari persamaan (4) dan (5)

(𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2)𝑦 + (𝑎2𝑐1 − 𝑎1𝑐2)𝑧 = 𝑎2𝑑1 − 𝑎1𝑑2 × (𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3)

(𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3)𝑦 + (𝑎3𝑐1 − 𝑎1𝑐3)𝑧 = 𝑎3𝑑1 − 𝑎1𝑑3 × (𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2)

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

−

Dari hasil perkalian koefsien variabel y pada (2.20) terhadap (2.21) dan hasil

perkalian koefsien variabel z pada (2.21) terhadap (2.20), maka diperoleh

𝑧 =((𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2)(𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3) − (𝑎3𝑑1 − 𝑎1𝑑3)(𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2))

((𝑎2𝑐1 − 𝑎1𝑐2)(𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3) − (𝑎3𝑐1 − 𝑎1𝑐3)(𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2))

𝑧 =… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . .

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . .

𝑧 =… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . .

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . .

𝑧 =((𝑎1𝑏3𝑑2+𝑎3𝑏2𝑑1+𝑎2𝑏1𝑑3)−(𝑎2𝑏3𝑑1+𝑎3𝑏1𝑑2+𝑎1𝑏2𝑑3))

((𝑎3𝑏2𝑐1+𝑎2𝑏1𝑐3+𝑎1𝑏3𝑐2)−(𝑎2𝑏3𝑐1 +𝑎3𝑏1𝑐2+𝑎1𝑏2𝑐3)) (kalikan dengan (

−1

−1))

𝑧 =((𝑎2𝑏3𝑑1 + 𝑎3𝑏1𝑑2 + 𝑎1𝑏2𝑑3) − (𝑎1𝑏3𝑑2 + 𝑎3𝑏2𝑑1 + 𝑎2𝑏1𝑑3))

((𝑎2𝑏3𝑐1 + 𝑎3𝑏1𝑐2 + 𝑎1𝑏2𝑐3) − (𝑎3𝑏2𝑐1 + 𝑎2𝑏1𝑐3 + 𝑎1𝑏3𝑐2))

Hasil dari penjumlahan perkalian bilangan-bilangan pada garis putus-putus dan

hasilnya dikurangi dengan penjumlahan hasil perkalian bilangan-bilangan pada

garis penuh dapat dijabarkan sebagai berikut

𝑧 =((𝑎1𝑏2𝑑3+𝑏1𝑑2𝑎3+𝑑1𝑎2𝑏3 )−(𝑎3𝑏2𝑑1+𝑏3𝑏2𝑎1+𝑑3𝑎2𝑏1))

((𝑎1𝑏2𝑐3+𝑏1𝑐2𝑎3+𝑐1𝑎2𝑏3 )−(𝑎3𝑏2𝑐1+𝑏3𝑐2𝑎1+𝑐3𝑎2𝑏1))…….. (7)

Petunjuk

Jumlahkan hasil perkalian bilangan-bilangan

pada garis putus-putus dan hasilnya

dikurangi dengan penjumlahan hasil

perkalian bilangan-bilangan pada garis

penuh.

Informasi

Nilai pembilang pada pecahan kita sebut dengan 𝐷𝑍 (Determinan z) dan

penyebut pada pecahan kita sebut dengan 𝐷.

Untuk melihat video mengenai soal dan cara

menyelesaikan SPLTV dengan metode determinan,

kunjungilah video dengan memindai QR code di samping

menggunakan smartphone Anda.

Bandingkan nilai 𝑧 pada (7) dengan (6), apakah hasilnya sama?

Berdasarkan model matematika dari permasalahan penjualan beras diperoleh informasi mengenai koefisien diperoleh : 𝑎1 = 5 𝑎2 = 4 𝑎3 = ⋯ 𝑏1 = ⋯ 𝑏2 = ⋯ 𝑏3 = ⋯ 𝑐1 = ⋯ 𝑐2 = ⋯ 𝑏3 = ⋯ 𝑑1 = ⋯ 𝑑2 = ⋯ 𝑑3 = ⋯ Sehingga diperoleh

𝑧 =

|5 … …4 … …… … …

… …… …… …

|

|5 … …4 … …… … …

… …… …… …

|

=… . − . …

… . − … .

= … … … . …

Bandingkan hasilnya apabila dengan menggunakan metode substitusi dan

eliminasi.

Nilai variabel 𝒛 di atas dapat dinyatakanan sebagai hasil perkalian koefisien-

koefisien variabel 𝒙, 𝒚, dan konstanta pada sistem persamaan linear yang

diketahui.

Amati dan tentukan himpunan penyelesaian

SPLTV Berikut.

{2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 04𝑥 + 6𝑦 + 10𝑧 = 0

{

3𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 02𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 2 Pekalongan

Mata pelajaran : Matematika Wajib

Kelas/ Semester : X/Gasal

Materi pokok : SPLTV

Indikator Pencapaian Kompetensi :

3.3.3 Menjelaskan jenis sistem persamaan

linear tiga variabel berdasarkan solusi

selesaian

3.3.4 Menjelaskan sistem persamaan linear

homogen dan tidak homogen

Pertemuan 3 | Waktu: 20 menit

Lembar Kegiatan Peserta Didik

S P L T V Oleh Dian Septiani, S.Pd – SMA Negeri 2 Pekalongan

Nama Kelompok

:……………….

Anggota Kelompok:

1. ...................................................

2. ...................................................

3. ...................................................

4. ...................................................

...

AApakah ada hal yang menarik dari

SPLTV tersebut? Apakah itu?

Sistem persamaan linear tiga

variabel tersebut merupakan

SPLTV homogen.

Jadi, SPLTV homogen adalah

………………………………………

………………………………………

……………………………

Amati persamaan (1) dan (2), dengan mengamati perbandingan koefisien antara

(1) dan (2). Dapatkah kalian menemukan hal yang

menarik?...............................................................

Bagaimana perbandingan koefisien antara (1) dan (2) ?

Sistem persamaan linear ini memilki lebih dari satu penyelesaian misalnya (3,-2,0),

(-3,2,0), dan termasuk (0,0,0).

Carilah himpunan penyelesaian yang lain dari SPLTV tersebut.

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut

{

3𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 02𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0

Diketahui SPLTV 2x+y+z=6; 4x+2y+2z=12; dan 6x+3y+3z=18. Berdasarkan SPLTV

tersebut lengkapilah tabel berikut.

Pasangan Nilai Hasil Substitusi ke SPLTV kesimpulan

(0,0,6) 2.0+0+6=6 (memenuhi)

4.0+2.0+2.6=12 (memenuhi) 6.0+3.0+3.6=18 (memenuhi)

Pasangan nilai (0,0,6) memenuhi SPLTV sehingga (0,0,6) adalah penyelesaian

SPLTV.

(0,6,0)

….

….

(2,1,1)

….

….

Apakah SPLTV 2x+y+z=6; 4x+2y+2z=12; dan 6x+3y+3z=18 mempunyai lebih dari satu

penyelesaian?

Kesimpulan: SPLTV tersebut dinamakan …..

Dapatkah kalian mencari himpunan penyelesaian selain (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0)

Ayo Menanya

Ayo Menalar

Ada berapakah jenis SPLTV berdasarkan jenis penyelesaiannya? ……,

yaitu: 1.…………………………………………………………………..

2………………………………………………………………….. dst

SPLTV homogen adalah…

Ayo Menyimpulkan