MANCOVA DAN ASUMSIDisusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Desain
Eksperimen
Dosen Pengampu : Dr.Heri Retnowati
Disusun Oleh:
Melkianus Suluh 13708251091
Dima Riaulita 13708251090
Tursina Ratu 13708251001
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN SAINS
PROGRAM PASCA SARJANA
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2014
BAB IPENDAHULUAN
Analisis Kovariansi (ANCOVA) merupakan teknik
statistika yang mengkombinasikan analisis regresi dan
analisis varians. Analisis Kovariansi sangat membantu
dalam menghasilkan kesimpulan yang lebih akurat. Pada
variabl dependen, terdapat satu atau lebih kuantitatif
variabel yang dikenal kovariat atau konkomitan
variabel. Secara umum, kovariat merupakan variabel yang
secara teoritik berkorelasi dengan variabel terikat
(dependen variabel) atau beberapa variabel yang
menunjukkan korelasi pada beberapa jenis subjek yang
sama dapat dipandang sebagai kovariat. Tujuan utama
kovariat dilibatkan dalam penelitian adalah untuk
memperoleh presisi dengan menghilangkan variansi
kesalahan. Selain itu, pengikutsertaan kovariat juga
bertujuan untuk menurunkan efek dari beberapa faktor
yang tidak dapat dikontrol oleh peneliti.
Dalam kasus tertentu, jika peneliti
mengikutsertakan berbagai macam level variabel sebagai
faktor penuh maka akan berdampak pada rancangan yang
sulit. Jika faktor tersebut bersifat kuantitatif, maka
dapat diikutsertakan sebagai kovariat dimana hasil dari
kovariat tersebut bersesuaian dengan variabel terikat
sebelum melakukan perbandingan kelompok. ANCOVA
berfungsi untuk memurnikan pengaruh variabel dependen
dari pengaruh variabel konkomitan. Namun, analisis ini
tidak dapat digunakan untuk penelitian terhadap lebih
dari dua variabel secara bersamaan, sehingga diperlukan
teknik analisis untuk penelitian terhadap lebih dari
dua variabel secara bersamaan. Teknik analisis
multivariat yang digunakan untuk mengatasi masalah
tersebut adalah Multivariate Analysis of Covariance (MANCOVA).
Multivariate Analysis of Covariance (MANCOVA) adalah
analisis kovarians dimana setidaknya ada dua variabel
dependen yang diukur secara simultan untuk menguji
apakah terdapat perbedaan perlakuan terhadap sekelompok
variabel dependen setelah disesuaikan dengan pengaruh
variabel konkomitan. Dalam makalah ini penulis
menekankan pada asumsi dari MANCOVA sebelum pada tahapan
analisis lebih lanjut.
BAB II
PEMBAHASAN
A. MANCOVAMANCOVA (Multiple analysis of covariance (MANCOVA)
merupakan gabungan antara MANOVA dan regresi
multivariate. Analisis MANCOVA merupakan analisis
dimana setidaknya ada dua variabel dependen yang
dianggap simultan. MANCOVA memiliki kemiripan
dengan MANOVA, namun terdapat independen interval
yang ditambahkan sebagai kovariat. Dalam MANCOVA,
peneliti memperkirakan adanya perbedaan statistik
pada variabel terikat ganda dengan mengelompokkan
variabel bebas sementara mengontrol variabel
ketiga yakni kovariat. Kovariat diikutsertakan
sehingga dapat mereduksi eror serta adanya analisis
yang dilakukan dapat mengeliminasi efek kovariat
pada hubungan antara variabel bebas dan variabel
terikat. Dengan demikian, MANCOVA bertujuan untuk
mengetahui apakah terdapat perbedaan perlakuan
terhadap sekelompok variabel dependen setelah
disesuaikan dengan pengaruh variabel konkomitan.
B. ASUMSI MANCOVA
Dalam multivariate analysis of covariance
(MANCOVA), smua asumsi sama dengan MANOVA,
namun terdapat beberapa asumsi tambahan terkait
dengan kovariat. Untuk MANCOVA, terdapat
beberapa asumsi yang harus dipenuhi sebelum
pengujian MANCOVA dilakukan yakni sebagai
berikut :
1. Normalitas
Distribusi normal multivariate merupakan
perluasan dari distribusi normal univariat.
Dalam analisis multivariate asumsi
multivariat normal perlu diperiksa untuk
memastikan data pengamatannya mengikuti
distribusi normal agar statistik inferensi
dapat digunakan dalam menganalisis data
tersebut. Variabel y1, y2, …yp dikatakan
berdistribusi normal multivariate dengan
parameter μ dan Ʃ jika mempunya densitas
peluang :
f(y1, y2, …, yp ) = 1
(2π )p2|Ʃ|
12
e−12
(y−π )'Ʃ−1 (y−π)
dengan :y1 = variabel yang diamati (i= 1, 2,…p)μ = rata-rata sampelƩ = matriks varians kovarians
Jika y1, y2, …yp berdistribusi normal
multivariate maka (y−π)'Ʃ−1 (y−π ) berdistribusi
χp2 . Berdasarkan sifat ini maka pemeriksaan
distribusi normal dapat dilakukan dengan cara
membuat plot chi square. Dalam hal ini dihitung
jarak Mahalanobis dari setiap observasi
terhadap centroid group.
2. Homogenitas matriks varians kovarian
Asumsi yang harus dipenuhi dalam MANCOVA
adalah kesamaan matriks varians kovarians (Ʃ)
antar grup pada variabel dependen. Untuk
meneguji syarat ini dapat menggunakan uji
Box’s M dengan langkah sebagai berikut :
Hipotesis:
H0: Ʃ1 = Ʃ2 = …..= Ʃk (matriks varians
kovarians homogen)
H1: ∃Ʃi ≠ Ʃj untuk i ≠ j (matriks varians
kovarians tidak homogen)
Taraf signifikansi α= 0.05
Statistik uji
M = Ʃi=jk (ni−1)ln |S|−Ʃi=j
k (ni−1 ) ln |Si|
C-1= 1- { 2p2+3p−16 (p+1 )(k−1)}{Ʃi=j
k 1n1−1
−1
Ʃi=jk (n1−1) }
Dimana S= Ʃi=jk (n1−1)Si
Ʃi=jk (n1−1)
, S adalah matriks
kovariansi gabungan penduga bagi Ʃ,Si
adalah matriks kovarians Ʃi untuk i= 1,
2, …, k dan p adalah banyaknya respon
yang diamati, ni adalah ukuran contoh
ke-i, selanjutnya menghitung MC-1 .
Kriteria keputusan
H0 ditolak jika MC-1 > χv=12
(k−1) (p ) (p+1);(∝)
2
H0 diterima jika MC-1 < χv=12
(k−1) (p ) (p+1);(∝)
2
Jika nilai MC-1 ≤ χv=12
(k−1) (p ) (p+1);(∝)
2 maka H0
diterima sehingga asumsi homogenitas
matriks varians kovarians terpenuhi.
3. Ada hubungan linear antara variabel dependen
dengan variabel konkomitan
Hipotesis :
H0: B = 0 (variabel X tidak mempengaruhi
variabel Y)
H0: B ≠ 0 (variabel X mempengaruhi variabel
Y)
Taraf signifikansi Taraf signifikansi α= 0.05
Statistik uji menggunakan uji Wilks’ Lambda
sebagai berikut :
Λ=|Eyx|
|Eyx+Hz| =|Eyy−Eyz.Exx.−1 Exy|
|Eyy|
Statistik Wilks’ Lambda dapat
ditranformasikan ke statistik F, dengan
demikian dapat dilakukan perbandingan dengan
table distribusi F.
Kriteria keputusan :
Pada distribusi F, H0 ditolak jika F hitung >
F table atau pvalue<αsehingga dapat diartikan
bahwa variabel konkomitan mempengaruhi
terhadap variabel dependen.
4. Kesamann kemiringan antar perlakuan
(Homogeneity of Regression Slopes)
Pada model MANCOVA, harus memenuhi asumsi
bahwa terdapat hubungan variabel dependen
dengan variabel konkomitan homogen antar
perlakuan. Untuk menguji hipotesis ini, maka
dilakukan perhitungan matriks jumlah kuadrat
dan hasil kali silang galat tiap kelompok.
Misalkan Elkmerupakan matriks jumlah kuadrat,
maka hasil kali silang galat tiap kelompok
adalah sebagai berikut :
Elk=[Exxlk Exylk
Eyxlk Eyylk]Matriks untuk regresi dihitung secara
terpisah pada masing-masing kelompok dan
hasilnya dijumlahkan.
Hipotesis :
H0: koefisien regresi homogen antar perlakuan
H0 : B1 = B2 = B3
H1: koefisien regresi tidak homogen antar
perlakuan
H1 : B1 ≠ B2 ≠ B3
Taraf signifikansi α = 0.05
Statistik uji
Hlk=∑l=1
g
∑k=1
bEyxlk.Exxlk
−1 .Exylk−Eyx.Exx−1.Exy
Dan matriks jumlah kuadrat dalam model penuh
adalah
E=Eyy−∑l=1
g
∑k=1
bEyxlk.Exxlk
−1 .Exylk
Jika menggunakan statistic uji Wilks’ Lambda,
maka :
Λ=|E|
|E+Hlk| =|Eyy−∑
l=1
g
∑k=1
bEyxlk.Exxlk−1 .Exylk|
|Eyy−Eyx.Exx−1.Exy|
Kriteria keputusan
H0ditolak jika pvalue koefisien regresi < α
dan H0 diterima jika pvalue koefisien regresi
> α atau dengan kata lain terdapat kesamaan
kemiringan pada grup (treatmen)
Selanjutnya, setelah asumsi MANCOVA terpenuhi dilakukan
uji MANCOVA dengan menggunakan uji Wilks’ Lambda dengan
hipotesis tergantung pada tujuan dari masing-masing
penelitian.
Contoh:
Seorang peneliti ingin mengetahui apakah terdapat
pengaruh metode diskusi dengan diskoveri terhadap hasil
belajar IPA dan matematika siswa. Dalam hal ini
terdapat variabel lain yaitu IQ yang diperkirakan dapat
mempengaruhi pencapaian hasil belajar siswa.
VD
KOV
:
:
IPA (Y1)Matematika (Y2)IQ (X)
IV
: Metode1: Diskusi2: Diskoveri
Pengujian Asumsi
No X Y1 Y2 Metode1 106.00 35.00 36.00 1.002 97.00 54.00 56.00 1.003 102.00 31.00 31.00 1.004 95.00 58.00 59.00 1.005 103.00 35.00 34.00 1.006 94.00 62.00 62.00 1.007 104.00 39.00 36.00 1.008 104.00 41.00 38.00 1.009 92.00 68.00 66.00 1.0010 90.00 45.00 41.00 1.0011 105.00 47.00 42.00 1.0012 90.00 74.00 70.00 1.0013 105.00 51.00 45.00 2.0014 88.00 78.00 73.00 2.0015 90.00 75.00 81.00 2.0016 106.00 57.00 49.00 2.0017 87.00 79.00 85.00 2.0018 107.00 61.00 52.00 2.0019 85.00 88.00 80.00 2.0020 83.00 85.00 91.00 2.0021 82.00 87.00 93.00 2.0022 83.00 94.00 84.00 2.0023 108.00 71.00 59.00 2.0024 84.00 98.00 82.00 2.00
1. Normalitas
Kriteria pengujian
Ho : Sampel berasal dari populasi yang
berdistribusi normal
Ha : Sampel tidak berasal dari populasi yang
berdistribusi normal
Dalam hal ini peneliti mengacu pada uji Shapiro-
Wilk karena subjek penelitian <50. Untuk menguji
normalitasmultivariate data dengan SPSS terhadap
kelas dan model, dapat dilakukan langkah-langkah
berikut ini:
Selanjutnya:
• Pilih Y1, Y2 sebagai dependent list
• Pilih metode sebagai factor list
• Klik tombol Plots
• Pilih Normality test with plots
Menu SPSS akan tampak seperti gambar berikut:
Tests of Normality
Metode
Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk
Statistic df Sig. Statistic df Sig.Y1 Diskusi .142 12 .200* .942 12 .530
Diskoveri
.123 12 .200* .958 12 .751
Y2 Diskusi .239 12 .057 .880 12 .087Diskoveri
.247 12 .042 .877 12 .081
a. Lilliefors Significance Correction*. This is a lower bound of the true significance.
Pada uji normalitas di atas, diperoleh nilai
signifikansi pada tes Shapiro-Wilks lebih dari α(Peneliti menggunakan α0.05¿. Dengan demikian dapat
diketahui bahwa sampel yang digunakan pada penelitian
ini berasal dari populasi yang berdistribusi normal.
2. Uji Homogenitas
a. Uji persamaan varians
Kriteria pengujian
H0: varians populasi adalah identik
H1: varians populasi tidak identik(berbeda)
Dengan kriteria jika probabilitas >0.05 berarti
H0 diterima dan Jika probabilitas <0.05 maka H0
ditolak. Uji kesamaan varian dengan SPSS
diperoleh hasil sebagai berikut :
Levene's Test of Equality of ErrorVariancesa
F df1 df2 Sig.
Y1 .834 1 22 .371
Y2 1.647 1 22 .213
Tests the null hypothesis that the error variance of the dependent variable is equal across groups.
a. Design: Intercept + X + PEKERJAAN Dari uji persamaan varians dengan uji Levene,
dapat dilihat bahwa nilai probabilitas untuk Y1
dan Y2 > α, sehingga H0 diterima
b. Uji persamaan Kovarians
Ho: kovariansi variabel dependen pada setiap
grup adalah sama
H1: Kovariansi variabel dependen pada setiap
grup tida sama
1) Kriteria pengujian bahwa probabilitias>0.05
berarti H0 diterima dan probabilitas<0.05
berarti H0 ditolak. Langkah mencari
homogenitas matriks varians kovarians
Entry data atau buka file data yang akan
dianalisis
Pilih menu berikut ini:
Analyze
General Linear Model Multivariate
Selanjutnya:
• Pilih Y1, Y2 sebagai dependent list
• Pilih metode sebagai factor list
• Pilih IQ, sebagai covariat
• Klik tombol Options
•Kemudian pilih homogenity test pada display,
klik OK.
Menu SPSS akan tampak seperti pada hasil
perhitungan
Berdasarkan output SPSS pada tabel Box’s M
test diperoleh nilai Box’s M sebesar 13.976
dan nilai signifikansi ¿α=0,05 maka H0
diterima. Artinya ketiga variabel dependen
(Y1 dan Y2) mempunyai matriks varians
kovarians yang sama pada grup-grup yang ada
(pekerjaan).
3. Ada hubungan linear antara variabel dependen
dengan variabel konkomitan
Kriteria pengujian :
H0:B=0 (artinya nilai IQ tidak mempengaruhi nilai
tes dalam bidang IPA dan
matematika).
H1:B≠0(artinya nilai IQ mempengaruhi nilai tes
dalam bidang IPA dan matematika).
Box's Test of Equality of CovarianceMatricesa
Box's M 13.976
F 4.200
df1 3
df2 87120.000
Sig. .006
Tests the null hypothesis that the observed covariance matrices of the dependent variables are equal across groups.
a. Design: Intercept + X + PEKERJAAN
Hal ini berarti bahwa H0ditolak jika pvalue<α
Untuk mengetahui ada tidaknya hubungan linear
antara variabel dependen dengan konkomitan maka
dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut :
Maka akan tampil output sebagai berikut :
Berdasarkan output dari syntax, dapat dilihat
nilai Wilks’ Lambda sebesar 0.226, dengan F
(1,21) sebesar 0.226 dan nilai p = 0.000, atau
p < α. Dengan demikian dapat dilihat bahwavariabel dependen (Y1, dan Y2) berhubungan
secara linear dengan variabel konkomitan.
4. Perlakuan memiliki kesamaan kemiringan
(Homogeneity of Regression Slopes)
Kriteria pengujian
Hipotesis :
H0 : B1 = B2 = B3 ( koefisien regresi homogen antar
perlakuan)
H1 : B1 ≠ B2 ≠ B3 (koefisien regresi tidak homogen
antar perlakuan)
Dengan kriteria keputuasan yaitu H0ditolak jika
pvalue < α dan H0 diterima jika pvalue > α atau
dengan kata lain terdapat kesamaan kemiringan pada
grup (treatmen)
Langkah pengujian kesamaan kemiringan dilakukan
dengan cara sebagai berikut :
Tests of Between-Subjects Effects
Source
Dependent Variable
Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.
Corrected Model
Y1 7871.616a 3 2623.872 38.662 .000
Y2 7960.958b 3 2653.653 44.637 .000
Intercept Y1 5669.820 1 5669.820 83.543 .000
Y2 6169.993 1 6169.993 103.785 .000
METODE Y1 45.451 1 45.451 .670 .423
Y2 3.642 1 3.642 .061 .807
X Y1 2822.156 1 2822.156 41.584 .000
Y2 3325.430 1 3325.430 55.937 .000
METODE * X Y1 106.491 1 106.491 1.569 .225
Y2 22.577 1 22.577 .380 .545
Error Y1 1357.342 20 67.867
Y2 1189.000 20 59.450
Total Y1 104611.000 24
Y2 96151.000 24
Corrected Total
Y1 9228.958 23
Y2 9149.958 23
a. R Squared = .853 (Adjusted R Squared = .831)
b. R Squared = .870 (Adjusted R Squared = .851)
Atau dapat menggunakan syntax dengan format
sebagai berikut :
Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut :
Berdasarkan hasil tersebut dapat dilihat bahwa
interaksi antara pekerjaan*IQ memiliki
signifikansi pada Y1 dan Y2 sebesar 0.225 dan
0.545 serta hasil output syntax dapat dilihat
bahwa nilai Wils Lambda sebesar 0.917 dengan
signifikansi sebesar 0.443, dimana < dari α
sehingga H0 diterima dan berari bahwa perlakuan
memiliki kesamaan kemiringan regresi.
BAB III
PENUTUP
MANCOVA (Multiple analysis of covariance (MANCOVA)
merupakan gabungan antara MANOVA dan regresi
multivariate. Analisis MANCOVA merupakan analisis
dimana setidaknya ada dua variabel dependen yang
dianggap simultan. Untuk MANCOVA, terdapat
beberapa asumsi yang harus dipenuhi sebelum
pengujian MANCOVA dilakukan yakni normalitas,
homogenitas matriks varians kovarian, ada hubungan
linear antara variabel dependen dengan variabel
konkomitan serta erlakuan memiliki kesamaan
kemiringan (Homogeneity of Regression Slopes).
DAFTAR PUSTAKA
Rencher, A. (1998). Multivariat statistical inference dan
application. Newyork: John Willey & Sons Inc.
Huberty, Carl & Olejnik Stephen. (2006). Applied
MANOVA and Discriminant Analysis Second Edition. Newyork:
John Willey & Sons Inc.
