X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente18 a 21 de setembro de 2011São João del-Rei - MG - Brasil

ISSN: 2175-8905 - Vol. X 81

MODELAGEM EVOLUTIVA GRANULAR FUZZY

Daniel F. Leite∗, Rosangela Ballini†, Pyramo Costa‡, Fernando Gomide∗

∗Faculdade de Engenharia Eletrica e Computacao - Universidade Estadual de Campinas(UNICAMP), Campinas, SP, Brasil

†Instituto de Economia - Universidade Estadual de Campinas(UNICAMP), Campinas, SP, Brasil

‡Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica - Pontifıcia Universidade Catolicade Minas Gerais (PUC-MG), Belo Horizonte, MG, Brasil

Emails: danfl7@dca.fee.unicamp.br, ballini@eco.unicamp.br, pyramo@pucminas.br,

gomide@dca.fee.unicamp.br

Abstract— Massive amounts of streaming data from complex systems motivate rethinking some aspects ofthe machine learning theory. Data stream mining is concerned with extracting structured knowledge from spatio-temporally correlated data. A profusion of systems and algorithms devoted to this end has been constructedunder the conceptual framework of granular computing. This paper outlines a fuzzy set based granular evolvingmodeling - FBeM - approach for learning from imprecise data. Granulation arises because modeling uncertaindata dispenses attention to details. The evolving aspect is fundamental to account for endless flows of nonsta-tionary data and structural adaptation of models. Experiments with Mackey-Glass benchmark data recommendthat the FBeM approach outperforms alternative approaches.

Keywords— Granular Computing, Evolving Systems, Time Series.

Resumo— Modelagem on-line de grandes volumes de dados de sistemas complexos motiva a revisao de di-versos aspectos da teoria de aprendizagem de maquina. A mineracao de fluxo de dados lida com a extracao deconhecimento estruturado a partir de dados correlacionados no espaco e no tempo. Uma profusao de sistemas ealgoritmos devotos a este fim tem sido proposta sob a plataforma conceitual da computacao granular. Este artigopropoe modelagem evolutiva granular baseada em conjuntos fuzzy - FBeM - para aprendizagem a partir de dadosimprecisos. O aspecto granular surge porque dados incertos dispensam atencao a detalhes. O aspecto evolutivoconsidera fluxos interminaveis de dados nao-estacionarios. Experimentos com dados Mackey-Glass sugerem quea abordagem FBeM e superior a abordagem alternativas.

Keywords— Computacao Granular, Sistemas Evolutivos, Serie Temporal.

1 Introducao

Processamento contınuo de fluxo de dados tem setornado uma questao de importancia primaria de-vido principalmente a emergencia de redes de sen-sores industriais e instrumentos de computacaoem pequena escala. Estes produzem quantidadesenormes de dados a partir de seus ambientes. Emmodo on-line, bases de dados ilimitadas fluem emalta frequencia e trazem incerteza em suas instan-cias. Fluxos de dados demandam algoritmos re-cursivos rapidos e de passo unico sobre os dados.

Pesquisa recente em sistemas granulares evo-lutivos (Angelov & Filev, 2004), (Bargiela &Pedrycz, 2003), (Leite et al., 2009), (Leite et al.,2010a), (Leite et al., 2010b), (Leite & Gomide,2011), (Pedrycz, 2010) enfatiza visoes granularesde dados detalhados e computacao com granulosmais gerais e mais abstratos que os dados. O obje-tivo e simplificar problemas complexos do mundoreal e prover solucoes de baixo custo. Como colo-cado por Zadeh (Zadeh, 1997) e Yao (Yao, 2005),a computacao granular explora a tolerancia porimprecisao, incerteza e verdade parcial para al-cancar tratabilidade, robustez e melhor conformi-dade com a realidade. A flexibilidade em lidar comdinamicas sob plataforma granular nos permitedescrever granulos em diferentes domınios sem co-

nhecimento profundo sobre o problema. Restri-coes temporais e espaciais relativas a ambienteon-line, tao bem como requerimentos de inteligi-bilidade, inspiram visoes granuladas de dados ecomputacao em granularidades menos criteriosas.

Modelagem evolutiva baseada em conjuntosfuzzy - FBeM - emprega granulos de informacaotipo fuzzy para construir mapas granulares que as-sociam dados granulares de entrada a dados gra-nulares de saıda. Granulos fuzzy garantem a gene-ralidade da estrutura dos dados e proveem algo-ritmos com matematica simples e regras descre-vendo seu comportamento. Construir conjuntosfuzzy para representar dados imprecisos e a es-trategia de modelagem FBeM. Basicamente, umsistema FBeM percebe os dados de um fluxo sobdiferentes resolucoes e decide entre adotar granu-laridades mais simples ou mais detalhadas. Emparticular, representacoes estruturadas de fluxosde dados via colecao de regras fuzzy que carregama essencia da informacao e uma contribuicao rica.

Sistemas FBeM se beneficiam de objetos gra-nulares fuzzy para sumarizar informacao em movi-mento e dar suporte a tomada de decisao. Mode-los em FBeM sao criados e evoluıdos quando re-quisitados pelo fluxo de dados. As possıveis fontesde dados incluem: sensores, trafego web, audio evıdeo, dados financeiros, dados climaticos, etc. O

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algoritmo de aprendizagem de FBeM cria e ex-pande granulos recursivamente. Eventualmente, aestrutura granular quociente pode ser melhoradade acordo com relacoes inter-granulares.

Estruturalmente, modelos FBeM combinamsistemas fuzzy linguısticos e funcionais paraprover aproximacoes singulares e granulares defuncoes nao-estacionarias. Sistemas fuzzy fun-cionais sao geralmente mais precisos enquanto quesistemas fuzzy linguısticos sao mais interpretaveis.Precisao e interpretabilidade requerem compro-missos: um usualmente prevalece sobre o outro.Atraves da combinacao de sistemas linguısticose funcionais em uma plataforma de modelagemunica, FBeM aproveita as vantagens de ambos ossistemas simultaneamente. Em nıvel pratico, es-pecialistas usualmente preferem que sistemas on-line deem resultados aproximados tao bem quantolimites de tolerancia nas aproximacoes.

Este artigo aborda series temporais. Umexemplo de aplicacao considera predicao da serieMackey-Glass e realca a complementaridade daspartes linguısticas e funcionais de FBeM. O predi-tor FBeM nao faz consideracoes especıficas sobreas propriedades da fonte de dados, mas deixa ofluxo de dados guiar a aprendizagem livremente.

O restante deste artigo e organizado daseguinte forma. A Secao 2 apresenta a plataformade modelagem fuzzy granular, a estrutura deFBeM e suas caracterısticas. O algoritmo deaprendizagem recursivo dirigido a fluxo de dadose detalhado na Secao 3. A Secao 4 apresenta re-sultados de predicao usando FBeM e algoritmosalternativos. A Secao 5 conclui o artigo e sugerequestoes para investigacao futura.

2 Modelagem Fuzzy Evolutiva

FBeM e uma abordagem de modelagem evolutivaque produz granulos de informacao em nıveis maisaltos a partir de dados detalhados e um algoritmode aprendizagem. Sua resposta global sucede dauniao de respostas locais mais especıficas. O al-goritmo incremental de FBeM molda sua estru-tura de regras para aceitar novos conceitos, lidarcom incerteza e prover aproximacoes singularese granulares de funcoes nao-lineares. FBeM en-dereca o problema de bases de dados ilimitadase a questao da escalabilidade. Ele lida com pro-blemas computacionalmente difıceis envolvendo asolucao (Leite & Gomide, 2011).

Modelos FBeM consistem de regras fuzzy ex-traıdas dos dados. Seu conjunto de regras e umarepresentacao de um sistema complexo. A apren-dizagem em FBeM nao requer pre-concepcao deregras, i.e., regras sao criadas e adaptadas di-namicamente, consoante com o comportamento dafuncao do processo ao longo do tempo. Sempreque instancias de dados sao disponibilizadas, ummecanismo de decisao opta por acrescentar novasregras a estrutura FBeM ou adaptar parametros

de regras existentes.Em geral, regras e granulos de informacao se

desenvolvem gradualmente. Especialistas podemdesejar prover uma descricao verbal sobre o pro-cesso a partir da intuicao e experiencia. A mo-delagem fuzzy evolutiva, Fig. 1, suporta ambos,aprendizagem a partir de fluxo de dados e apren-dizagem a partir da experiencia.

Figura 1: Modelagem fuzzy evolutiva

Em modelos FBeM, regras Ri governandogranulos de informacao γi sao do tipo

SE (x1 e Ai1) E ... E (xj e Aij) E ... E (xn e Ain)

ENTAO (y1 e Bi1) E y1 = pi1(xj∀j) E...(yk e Bik) E yk = pik(xj∀j) E...(ym e Bim)︸ ︷︷ ︸

linguıstico

E ym = pim(xj∀j)︸ ︷︷ ︸funcional

,

onde xj e yk sao variaveis do fluxo de dados(x, y)[h], h = 1, ...; Aij e Bik sao funcoes de per-tinencia construıdas a partir dos dados disponibi-lizados; e pik sao polinomios de aproximacao. Acolecao de regras Ri, i = 1, ..., c, forma a basede regras. Regras sao criadas sob demanda sem-pre que a estrutura dos dados demanda melhoriasnos modelos atuais. Note que uma regra FBeMcombina consequentes linguıstico e funcional. Oconsequente linguıstico envolve funcoes e proveinterpretabilidade aos resultados. O consequentefuncional oferece aproximacao singular e precisao.Com esta estrutura, FBeM toma vantagem de am-bos, sistemas linguısticos e funcionais, em umaplataforma de modelagem unica.

A granulacao das caracterısticas Aj , j =1, ..., n, e Bk, k = 1, ...,m, e baseada em particoesfuzzy espalhadas. Particionamento via espalha-mento usa conjuntos fuzzy Aij e Bik, refinamentosde Aj e Bk, que podem ser estendidos para hiper-retangulos fuzzy em um espaco produto via α-cortes. O mecanismo de particionamento agrupadados em granulos γi quando apropriado e consid-era a coexistencia de diferentes granularidades nosdados. Granulos sao posicionados arbitrariamenteno espaco produto. Um aspecto a ser levado emconta em granulacao tipo espalhamento refere-sea busca por uma quantidade factıvel de particoes,posicoes e tamanhos de granulos.

Acomodar dados em granulos conveniente-mente localizados proporciona flexibilidade para

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adaptacao recursiva e liberdade na escolha da re-presentacao interna dos granulos. Ambiente on-line clama pela criacao e rearranjo oportuno deobjetos fuzzy. Essencialmente, FBeM empregafuncoes de pertinencia Gaussianas como objetosgranulares formais para envolver a incerteza dosdados. Gaussianas sao facilmente convertidas ahiper-retangulos via conjuntos nıvel α.

Um conjunto fuzzy Gaussiano Aij = G(µij , σij)

e caracterizado pelo valor modal µij e espalha-

mento σij . Caracterısticas que fazem esta repre-sentacao apropriada incluem: (i) facilidade deaquisicao dos parametros. O valor modal e de es-palhamento sao capturados diretamente a partirdo fluxo de dados; (ii) suporte infinito nao ignoradados. Visto que o domınio dos dados e desconhe-cido anteriormente ao aprendizado, o suporte deGaussianas estende-se ao longo de todo o domınio;(iii) suavidade e superfıcie continuamente diferen-ciavel. Kreinovich (Kreinovich et al., 1992) sobcertas consideracoes prova que funcoes Gaussianassao mais adequadas para representar incerteza.

O consequente de regras FBeM admitefuncoes locais afins do tipo:

pik = ai0k +

n∑j=1

aijkxj . (1)

Em geral, funcoes pik podem ser de tipos diferentese nao requerem linearidade. O algoritmo MınimosQuadrados Recursivo (RLS) e usado para deter-minar os coeficientes locais aijk.

A representacao Gaussiana permite so-breposicao de granulos. Consequentemente, cadaregra FBeM contribui a saıda do sistema. A saıdasingular de FBeM e determinada como um valormedio ponderado sobre todas as regras,

pk =

c∑i=1

min(Ai1, ..., Ain)pik

c∑i=1

min(Ai1, ..., Ain)

. (2)

Isto assegura transicao suave entre funcoes de per-tinencia sobrepostas.

De forma similar a abordagem para agrupardados em conjuntos antecedentes Aij , conjuntos

consequentes Bik beneficiam-se de granulacao tipoespalhamento e hiper-retangulos fuzzy. Consid-eramos funcoes Gaussianas Bik = G(µik, σ

ik) para

construir objetos granulares no espaco de saıdapelas mesmas motivacoes descritas anteriormentepara Aij . A saıda granular Bik enriquece a tomadade decisao e as vezes prove informacao mais impor-tante que a saıda numerica pk. Arriscamos estarincorretos quando somos muito especıficos a par-tir de pk. Atraves de Bik, nos tornamos segurosa certo grau de estarmos corretos. O sacrifıcio daprecisao paga o preco da garantia de estar correto.Granulos refletem a essencia da estrutura dos da-dos e realcam a interpretabilidade do resultado.

3 Aprendizagem Recursiva On-line

FBeM aprende a partir de um fluxo (x, y)[h],h = 1, ..., onde y[h] e conhecido dado x[h] ou setornara conhecido alguns passos adiante. Cadapar (x, y) e uma observacao da funcao f . Quandof muda com o tempo, dizemos que a funcao enao-estacionaria. Fluxo de dados requer a escolhade uma plataforma de modelagem e projeto dealgoritmo recursivo para decidir quando e comoproceder adaptacao parametrica e estrutural.

O procedimento de aprendizagem para evoluirmodelos FBeM e sumarizado como segue:

InıcioFaca

1: Ler uma nova instancia (x, y)[h], h = 1, ...2: Acomodar possıveis novas informacoes

2.1: Criar um novo granulo e uma regra2.2: Adaptar granulos e regras existentes

3: Descartar a instancia (x, y)[h]

4: Otimizar a estrutura granular quocienteFim

Os passos 1 e 3 do procedimento enfatizam a es-sencia de algoritmos dirigidos a fluxos, i.e., instan-cias sao lidas e descartadas uma por vez. Dadoshistoricos sao dispensaveis e a evolucao e sempreativa. Modelos granulares evoluem sempre quenovas informacoes aparecem nos dados, passo 2.Quando uma nova instancia nao condiz com o co-nhecimento atual, o procedimento cria um granuloe uma regra para gerencia-lo, passo 2.1. Ao con-trario, se uma nova instancia ajusta-se ao conhe-cimento atual, o procedimento adapta granulos eregras existentes, passo 2.2. Eventualmente, a es-trutura quociente pode ser otimizada de acordocom relacoes inter-granulares, passo 4. As proxi-mas secoes detalham o procedimento.

3.1 Criacao de Regras

Em FBeM, regras nao existem de antemao, massao criadas e evoluem a medida que os dados saodisponibilizados. Um novo granulo γc+1 e a regraRc+1 que o governa sao criados quando as regrasexistentes nao sao suficientemente ativadas parauma instancia x[h]. FBeM assume que a instanciatraz uma nova informacao sobre o processo.

Formalmente, seja ρ ∈ [0, 1] um limiar quedetermina quando criar ou adaptar regras. Se

min(Ai1, ..., Ain) ≤ ρ ∀i, (3)

entao a estrutura FBeM e expandida. Note quese ρ e 0, entao o sistema e estruturalmente es-tavel e incapaz de capturar eventuais mudancasde conceito. Ao contrario, se ρ e 1, FBeM criauma regra para cada nova instancia - o que naoe pratico. Adaptabilidade contınua e alcancadamantendo uma condicao entre as condicoes ex-tremas (compromisso estabilidade-plasticidade).

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O papel de ρ e fundamental na determinacaoda granularidade de modelos FBeM. Escolhas de ρimpactam na precisao e transparencia de modelos,e.g., resultando em diferentes visoes granuladas domesmo processo em diferentes nıveis de detalhe.

Um novo granulo γc+1 e inicialmente repre-sentado por funcoes de pertinencia, Ac+1

j e Bc+1k ,

com parametros

µc+1j = x

[h]j ,

µc+1k = y

[h]k e

σc+1j = σc+1

k = 1/2π, (4)

i.e., a abordagem de Stigler para funcoes Gaus-sianas padroes (Stiegler, 1982). Os coeficientes depolinomios locais pc+1

k sao

ac+10k = y

[h]k

ac+1jk = 0, j 6= 0. (5)

Com esta parametrizacao inicial, preferencia edada ao projeto de granulos balanceados ao longode suas dimensoes ao inves de granulos comgeometria desbalanceada. Consequentemente,FBeM implementa o princıpio da granularidadebalanceada da informacao (Bargiela & Pedrycz,2003) e tende a desenvolver regras mais especıfi-cas no sentido de Yager (Yager, 2008).

3.2 Adaptacao de Regras

Adaptacao de regras consiste em (i) expandir oucontrair objetos Aij e Bik para acomodar novos da-

dos; (ii) mover granulos γi na direcao de regioes dedados mais densas; e simultaneamente (iii) ajus-tar os coeficientes de funcoes locais pik.

Uma regra Ri e adaptada sempre que e su-ficientemente ativada por uma instancia x[h] deacordo com

min(Ai1, ..., Ain) > ρ. (6)

Geometricamente, a instancia pertence a umaregiao altamente influenciada pelo granulo γi.Para incluir x[h], FBeM atualiza o valor modale o espalhamento das funcoes de pertinencia Aijcorrespondentes como segue:

µij(novo) =($ − 1)µij(velho) + xj

$i(7)

σij(novo) =($i − 1)

$iσij(velho) +

+1

($i − 1)(xj − µij(novo))2 (8)

onde $i refere-se ao numero de vezes que γi foiativado pelo fluxo de dados. Note que os valoressao calculados recursivamente e, portanto, nao de-mandam acumulacao de dados. Apenas a regramais ativa para x[h] e escolhida para adaptacao.

A adaptacao de conjuntos fuzzy consequentes

Bik usa dados de saıda y[h]k . Coeficientes polinomi-

ais aijk sao atualizados usando o algoritmo RLS e

a nova instancia que ativa o granulo γi.

3.3 Ajuste da Granularidade

O limiar de granularidade ρ assume valores no in-tervalo unitario de acordo com erros de predicao.Nıveis de ativacao de regras para uma dada en-trada x[h] sao comparados com o valor de ρ[h]

e definem mudanca parametrica ou estrutural demodelos FBeM. Valores de ρ influenciam a gra-nularidade e inteligibilidade de modelos. No casomais geral, FBeM comeca a aprender a partir deuma base de regras vazia, ignorante sobre a pro-priedades dos dados. Consequentemente, e justoiniciar ρ em uma condicao intermediaria para per-mitir estabilidade e plasticidade estrutural igual-mente. Usamos ρ[0] = 0.5 como valor padrao.

Seja E o erro quadrado maximo entre

predicoes pk(x[h]) e valores reais y[h]k , entao

ek = (y[h]k − pk(x[h]))2, k = 1, ...,m, (9)

e

E = max(e1, ..., ek, ..., em). (10)

Admita ED como o erro de predicao desejado. ρaprende valores para si mesmo a partir de

ρ(novo) = ρ(velho) + α(ED − E), (11)

onde α e a taxa de aprendizagem. Especialistastem autoridade sobre o valor de ED e podem de-sejar que ele seja zero. Valores muito pequenos deED conduzem ρ a 0 e levam a sobre-ajuste de mo-delos. A pratica sugere abrir mao de certa precisaopara alcancar um erro de aproximacao aceitavel,abstracoes granulares proveitosas e compactacaoda base de dados em regras interpretaveis. Aadaptacao recursiva da granularidade alivia esco-lhas arbitrarias do quao rapido e quao frequente aestrutura dos dados muda.

3.4 Compactacao da Estrutura Quociente

Relacionamentos entre pares de granulos podemser fortes o suficiente para justificar a formacaode um granulo maior e mais abstrato que herdaa essencia e natureza de granulos menores e maisdetalhados. Analise quantitativa de relacoes inter-granulares requer uma metrica para medir a dis-tancia entre objetos incertos.

A distancia esperada entre instancias incertaspertencendo a dois granulos quaisquer, γi1 e γi2 ,pode ser calculada da seguinte forma:

D(γi1 , γi2) =1

n

n∑j=1

||µi1j − µi2j ||

2 + σi1j +

+ σi2j − 2√σi1j σ

i2j . (12)

Esta medida tem demonstrado ser mais precisaque e.g. distancia entre medias em espacos Lp

(Xiao & Hung, 2007). Ela considera dados incer-tos e a especificidade da informacao que, por vez,

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e inversamente proporcional ao espalhamento.FBeM combina granulos usando a menor entradade D(.) para qualquer par de granulos da colecaoatual e um criterio de decisao. A decisao pode serbaseada em valor limiar ∆ ou julgamento especi-alista a respeito da conveniencia da combinacao.

Um novo granulo γi, combinacao de γi1 eγi2 , e construıdo por funcoes de pertinencia Gaus-sianas com valor modal

µij =

σi1j

σi2j

µi1j +σi2j

σi1j

µi2j

σi1j

σi2j

+σi2j

σi1j

, j = 1, ..., n, (13)

e espalhamento

σij = σi1j + σi2j , j = 1, ..., n. (14)

Estas sao relacoes heurısticas que basicamentelevam em conta a proporcao de incerteza em cadagranulo para determinar a localizacao e tamanhodo novo granulo. As mesmas relacoes de combi-nacao valem para variaveis de saıda k. Os coefi-cientes dos novos polinomios locais sao

aijk =1

2(ai1jk + ai2jk), j = 0, ..., n. (15)

Naturalmente, combinacao de granulos reduz onumero de regras em FBeM e redundancia.

3.5 Remocao de Granulos

Um granulo deve ser removido da estrutura deFBeM se ele parece ser inconsistente com o con-ceito atual. Estrategias comuns de remocao con-sideram (i) apagar granulos velhos por idade, (ii)excluir granulos mais fracos baseados em valoresde erro ou (iii) apagar os granulos mais inativos.Em FBeM, optamos pela estrategia de removeros granulos mais inativos. Granulos velhos aindapodem ser uteis no ambiente atual enquanto quegranulos fracos podem ser revigorados atraves doprocedimento de adaptacao de parametros.

Granulos FBeM sao excluıdos quando se tor-nam inativos durante um numero de passos, hr.Se a aplicacao requer memorizacao de eventosraros ou se sazonalidades sao esperadas, entaopode ser o caso de nao excluir granulos. Removeros granulos inativos periodicamente ajuda a man-ter a base de regras atualizada.

4 Exemplo de Aplicacao

A equacao Mackey-Glass:

dx

dt=

Ax[t−τ ]

1 + (x[t−τ ])C−Bx[t], A,B,C > 0, (16)

e uma equacao diferencial com atraso de tempoque se comporta caoticamente ou periodicamentedependendo dos valores de seus parametros e doatraso de tempo τ . A equacao pode representarum sistema de controle retroalimentado.

A tarefa de FBeM e construir uma funcao:

x[t+ξ] = p(x[t], x[t−∆], ..., x[t−D∆]). (17)

Similar a varios estudos nesta serie, admitimosξ = 85, ∆ = 6, D = 3; e A = 0.2, B = 0.1,C = 10, τ = 17 para os parametros da equacaoMackey-Glass, para gerar um vetor de estados.Dados sao apresentados sequencialmente ao sis-tema FBeM um por vez. O sistema comeca aaprender sem regras e/ou pre-treinamento.

A avaliacao do desempenho de modelos ebaseada na raiz do erro quadrado medio:

RMSE =

√√√√ 1

H

H∑h=1

(y[h] − p[h])2 (18)

e no ındice de erro nao-dimensional:

NDEI =RMSE

std(y[h]∀h). (19)

Para avaliar o efeito de diferentesparametrizacoes, conduzimos dois experimen-tos. Primeiro, FBeM-1 prioriza uma estruturacompacta e adota α = .05, ED = .06, ∆ = .2 ehr = 2000. Segundo, FBeM-2 foca precisao aopreco de uma estrutura maior e emprega α = .1,ED = .01, ∆ = .1 e hr = 8000. Recorremos aabordagem de teste antes do treino desde h = 105ate h = 11898. A Tabela 1 mostra o desempenhodos modelos FBeM e de outros modelos on-linepara o problema Mackey-Glass.

Tabela 1: Mackey-Glass: performance de predicaoModelo Referencia Regras RMSE NDEI

EFuNN (Kasabov, 1998) 193 0.0822 0.4010RAN (Platt, 1991) 113 0.0802 0.3730eTS (Angelov et al., 2006) 9 0.0799 0.3720IBeM (Leite et al., 2009) 5 0.0769 0.3577xTS (Angelov et al., 2006) 10 0.0711 0.3310

FBeM-1 – 5 0.0642 0.2987DENFIS (Kasabov et al., 2002) 58 0.0593 0.2760

Neural Gas (Fritzke, 2005) 1000 0.0133 0.0620IBeM (Leite et al., 2009) 98 0.0126 0.0586

FBeM-2 – 33 0.0122 0.0568

A Tabela 1 mostra que FBeM-1 apoia-se emuma estrutura relativamente compacta, 3.23±0.56regras, maximo de 5 regras, similar aos modeloseTS, IBeM e xTS, para dar resultados compe-titivos em termos dos ındices RMSE e NDEI.A Fig. 2 detalha os resultados do experimento.A figura ilustra a predicao singular p da serieMackey-Glass provida por FBeM-1 e a evolucaodo numero de regras e ındices de erro. FBeM-2faz uso de 27.87 ± 4.11 regras, maximo de 33 re-gras, para patrocinar o menor erro de predicao esuperar o desempenho das demais abordagens.

Caso a equacao (16) represente a producao decelulas brancas do sangue para defender o corpohumano contra patogenos, como em (Mackey &Glass, 1977), a predicao granular FBeM pode re-presentar a faixa de atividade normal de celulas-tronco hematopoieticas. A efetividade da abor-dagem FBeM em predicao de series temporaiscaoticas sem conhecimento anterior sobre os da-dos pode ser verificada neste experimento.

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Figura 2: Predicao singular FBeM, evolucao deregras e ındices de erro para a serie Mackey-Glass

5 Conclusao

Este trabalho propoe modelagem evolutivabaseada em conjuntos fuzzy como uma plataformapara aprendizagem a partir de fluxo de dados. Oalgoritmo FBeM granula dados recursivamentepara prover aproximacoes singulares e granularesde funcoes nao-estacionarias. O sistema combinaboa precisao de modelos fuzzy funcionais coma vantagem de melhor interpretacao semanticade modelos linguısticos. A utilidade da abor-dagem FBeM em predicao foi verificada usandodados reais da serie Mackey-Glass. Comparacoescom abordagens alternativas tem mostrado aefetividade da abordagem de modelagem FBeM.Trabalhos futuros discutirao formas de mani-festacao de granulos de informacao em fluxo dedados e o papel de FBeM para capturar a essenciada informacao contida nos dados.

Agradecimento

O primeiro autor agradece a CAPES pelo apoiofinanceiro. O terceiro autor agradece a CEMIGpelo suporte P&D178. O ultimo autor e grato aoCNPq, processo 304596/2009-4.

Referencias

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