Penyelesaian Persamaan Polinomial menggunakan Kaedah Perselanjaran Homotopi

PENYELESAIAN PERSAMAAN POLINOMIAL MENGGUNAKAN KAEDAH PERSELANJARAN

HOMOTOPI

HAFIZUDIN BIN MOHAMAD NOR

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA

2015

PENYELESAIAN PERSAMAAN POLINOMIAL MENGGUNAKAN KAEDAH PERSELANJARAN HOMOTOPI

oleh

HAFIZUDIN BIN MOHAMAD NOR

Tesis yang diserahkan untuk memenuhi keperluan

Doktor Falsafah Sains Matematik

Jun 2015

ii

PENGHARGAAN DENGAN NAMA ALLAH YANG MAHA PENGASIH LAGI MAHA PENYAYANG.

Saya bersyukur ke hadrat Ilahi kerana izin dan inayahnya, dapat saya menghabiskan tesis

ini dengan jayanya. Saya ingin berterima kasih kepada penyelia saya iaitu

Prof. Dr. Ahmad Izani Md. Ismail dan penyelia bersama iaitu Prof. Madya Ahmad Abd.

Majid dan Dr. Siti Amirah Abd. Rahman, yang telah memberi banyak kata nasihat dan

dorongan kepada saya. Tanpa bantuan mereka, saya tidak akan dapat habiskan kajian ini.

Segala komen-komen, cadangan dan maklumat telah membantu saya melengkapkan tesis

ini.

Terima kasih kepada Kementerian Pengajian Tinggi Malaysia yang menaja pengajian

saya di bawah Program MyBrain15 (MyPhD). Terima kasih juga kepada ibu-bapa saya

dan kawan-kawan saya yang telah menolong saya dalam penyediaan tesis ini dan

memberi saya kata semangat dalam menghadapi segala cabaran sepanjang kajian ini

dijalankan.

Akhir sekali, tidak lupa juga kepada mereka yang membantu saya dari projek ini

dimulakan sehingga projek ini dihabiskan. Tiada kata yang dapat saya ungkapkan selain

saya dahulukan dengan ucapan “Terima Kasih”.

iii

ISI KANDUNGAN PENGHARGAAN ..........................................................................................................ii

ISI KANDUNGAN ....................................................................................................... iii

SENARAI JADUAL………..……………………………………………………..……..vi

SENARAI RAJAH ........................................................................................................ xii

SENARAI SINGKATAN ............................................................................................... vi

ABSTRAK ................................................................................................................... xiv

ABSTRACT…………………….......................................................................................xv

1. PENGENALAN ................................................................................................... 1-12

1.1 Pengenalan ……………..…………………………………………………………1

1.2 Kaedah-Kaedah Tradisional …………………...……………………………….....4

1.3 Konsep Perselanjaran Homotopi..……………………… ………………………..8

1.4 Motivasi……………...…………………………………… ……………...............9

1.5 Objektif …………………………..……………………………………………...10

1.6 Metodologi ...……………………..……………………………………………...11

1.7 Rumusan Bab ….. ………………………...……………………………………..11

2. KONSEP, TEORI DAN KAEDAH ASAS ......................................................... 13-39

2.1 Pengenalan....................................................................................................... 13

2.2 Kaedah Grafik ................................................................................................. 14

2.3 Kaedah Kurungan.……………………...............................................................16

2.4 Kaedah Terbuka………………………………………………………...............21

2.5 Kaedah Global…………………………………………………….....................32

2.6 Masalah Pencapahan dan Jalan Penyelesaiannya…………………...………….36

2.7 Kesimpulan…………………...……………………………………………...…39

3. KAJIAN LITERATUR ....................................................................................... 40-56

3.1 Pengenalan....................................................................................................... 40

3.2 Kaedah Perselanjaran Homotopi ...................................................................... 40

3.3 Kajian Perbandingan…….…………………………….......................................47

3.4 Fungsi Homotopi……………………………………………………………….50

iv

3.5 Fungsi Homotopi Tambahan……...………………………………………..…...51

3.6 Motivasi kepada Penubuhan Kaedah Ostrowski-PH…………………...............53

3.7 Motivasi Menyelesaikan Masalah Nilai Mula………………………………….55

3.8 Kesimpulan…...……………………………………………………………..….55

4. ISU 1: KAJIAN PERBANDINGAN .................................................................. 57-89

4.1 Pengenalan....................................................................................................... 57

4.2 Algoritma ........................................................................................................ 59

4.3 Persamaan Polinomial Tunggal ........................................................................ 60

4.4 Sistem Persamaan Polinomial .......................................................................... 70

4.5 Keputusan dan Perbincangan ........................................................................... 82

4.6 Kesimpulan ...................................................................................................... 88

5. ISU 2: FUNGSI HOMOTOPI BEZIER KUADRATIK ................................... 90-117

5.1 Pengenalan....................................................................................................... 90

5.2 Algoritma ........................................................................................................ 91

5.3 Fungsi Homotopi Piawai .................................................................................. 93

5.4 Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik ................................................................ 102

5.5 Pelaksanaan ................................................................................................... 110

5.6 Keputusan dan Perbincangan ......................................................................... 113

5.6 Kesimpulan .................................................................................................... 117

6. ISU 3: FUNGSI TITIK TETAP LINEAR ...................................................... 118-145

6.1 Pengenalan..................................................................................................... 118

6.2 Algoritma ...................................................................................................... 119

6.3 Fungsi Homotopi Tambahan Semasa ............................................................. 121

6.4 Fungsi Titik Tetap Linear ............................................................................... 127

6.5 Pelaksanaan ................................................................................................... 131


6.7 Analisis Ralat Mutlak Punca Persamaan......................................................... 142

6.8 Kesimpulan .................................................................................................... 145

7. ISU 4: KAEDAH OSTROWSKI PERSELANJARAN HOMOTOPI ............. 146-172

7.1 Pengenalan..................................................................................................... 146

7.2 Algoritma ...................................................................................................... 147

v

7.3 Penubuhan Kaedah Ostrowski Perselanjaran Homotopi ................................. 149

7.4 Penumpuan Kaedah Ostrowski Perselanjaran Homotopi ................................ 154

7.5 Pelaksanaan ................................................................................................... 158


7.7 Analisis Ralat Mutlak Punca Persamaan......................................................... 168

7.7 Kesimpulan .................................................................................................... 171

8. ISU 5: MASALAH NILAI MULA DAN JALAN PENYELESAIAN ............ 173-185

8.1 Pengenalan..................................................................................................... 173

8.2 Algoritma ...................................................................................................... 174

8.3 Pelaksanaan ................................................................................................... 177


8.5 Kesimpulan .................................................................................................... 185

9. KESIMPULAN DAN CADANGAN .............................................................. 186-189

SENARAI PENERBITAN .......................................................................................... 190

RUJUKAN ........................................................................................................... 191-197

LAMPIRAN A ..................................................................................................... 198-201

LAMPIRAN B ..................................................................................................... 202-213

LAMPIRAN C ............................................................................................................ 214

vi

SENARAI JADUAL

Jadual 2.1: Pencarian Punca Persamaan – Kaedah Pembahagi Dua

Muka

Surat

............................... 19

Jadual 2.2: Pencarian Punca Persamaan – Kaedah Kedudukan Palsu ............................ 20

Jadual 2.3: Pencarian Punca Persamaan – Kaedah Titik Tetap ...................................... 23

Jadual 2.4: Pencarian Punca Persamaan – Kaedah Newton ........................................... 27

Jadual 2.5: Pencarian Punca Persamaan – Kaedah Sekan .............................................. 30

Jadual 2.6: Pencarian Punca Persamaan – Kaedah Ostrowski........................................

Jadual 2.7: Pencarian Punca Persamaan – Kaedah Newton Perselanjaran Homotopi

31

..... 3

Jadual 2.8: Kelemahan-Kelemahan Kaedah Tradisional

5

................................................ 37

Jadual 2.9: Penyelesaian bagi Kelemahan Kaedah Tradisional ...................................... 3

Jadual 4.1: Pencarian Punca Persamaan (4.4) menggunakan Kaedah Newton-PH

8

......... 63

Jadual 4.2: Pencarian Punca Persamaan (4.4) menggunakan Kaedah Adomian-PH ....... 6

Jadual 4.3: Pencarian Punca Persamaan (4.4) menggunakan Kaedah Varian Baru Newton-PH

6

................................................................................................ 6

Jadual 4.4: Pencarian Punca Persamaan (4.10) menggunakan Kaedah Newton-PH

9

.......

Jadual 4.5: Pencarian Punca Persamaan (4.10) menggunakan Kaedah Adomian-PH

74

..... 7

Jadual 4.6: Pencarian Punca Persamaan (4.10) menggunakan Kaedah Varian Baru Newton-PH

7

................................................................................................ 7

Jadual 4.7: Perbandingan Kaedah PH bagi Persamaan (4.4) dengan 100 kali

9

................

Jadual 4.8: Perbandingan Kaedah PH bagi Persamaan (4.4) dengan 1000 kali

83

.............. 83

Jadual 4.9: Perbandingan Kaedah PH bagi Persamaan (4.21) dengan 100 lelaran ......... 83

Jadual 4.10: Perbandingan Kaedah PH bagi Persamaan (4.21) dengan 1000 lelaran ....... 83

vii






Jadual 4.16: Perbandingan Kaedah PH bagi Persamaan (4.23) dengan 1000 lelaran

6

....... 8


6

........ 8


7

....... 8

Jadual 5.1: Pencarian Punca Persamaan (5.6) menggunakan Fungsi Homotopi Piawai

7

apabila 0 1x = ............................................................................................ 95 Jadual 5.2: Pencarian Punca Persamaan (5.6) menggunakan Fungsi Homotopi Piawai apabila 0 1x = − …………………………………………………………….96 Jadual 5.3: Penganggaran Punca Persamaan (5.13) dan (5.14) menggunakan fungsi homotopi piawai apabila k =10 .............................................................. 100 Jadual 5.4: Pencarian Punca bagi Contoh 5.2 menggunakan fungsi homotopi piawai apabila 0 0( , ) ( 2,0)x y = − ........................................................................ 101 Jadual 5.5: Lengkungan Linear dan Kuadratik Bezier ................................................ 103

Jadual 5.6: Linear dan Kuadratik bagi de Casteljau dan Homotopi ............................. 103

Jadual 5.7: Pencarian Punca Persamaan (5.6) menggunakan fungsi homotopi Bezier kuadratik apabila 0 1x = ........................................................................

105 Jadual 5.8:

0 1x = −Pencarian Punca Persamaan (5.6) menggunakan fungsi homotopi Bezier

kuadratik apabila ......................................................................

106 Jadual 5.9 : Perbandingan antara fungsi homotopi Bezier kuadratik dengan fungsi homotopi piawai apabila .......................................................... k = 10 106 Jadual 5.10:

........................................................Perbandingan antara fungsi homotopi Bezier kuadratik dengan fungsi

homotopi piawai apabila k = 1000 107

viii

Jadual 5.11: .............................................

Penganggaran Punca Persamaan (5.13) dan (5.14) menggunakan fungsi homotopi Bezier kuadratik apabila k = 10. 1

09 Jadual 5.12:

0 0( , ) ( 2,0)x y = −Pencarian Punca bagi Contoh 5.2 menggunakan fungsi homotopi Bezier

kuadratik apabila ....................................................... 109 Jadual 5.13:

...............................................Perbandingan antara fungsi homotopi Bezier kuadratik dengan fungsi

homotopi piawai bagi Persamaan (5.38) 113 Jadual 5.14: Perbandingan antara fungsi homotopi Bezier kuadratik dengan fungsi homotopi piawai bagi Persamaan (5.39) ...............................................

114 Jadual 5.15: Perbandingan antara fungsi homotopi Bezier kuadratik dengan fungsi homotopi piawai bagi Persamaan (5.40) ...............................................

114 Jadual 5.16 :


homotopi piawai bagi Persamaan (5.41) 115 Jadual 5.17:


homotopi piawai bagi Persamaan (5.42) 115 Jadual 5.18 :


homotopi piawai bagi Persamaan (5.43) 116 Jadual 6.1: Perbandingan Fungsi Homotopi Tambahan Semasa ............................... 124

Jadual 6.2 : .................................................................................

Perbandingan Fungsi Homotopi Tambahan Semasa bagi Persamaan (6.15) 1

26 Jadual 6.3: Perbandingan antara FTTS dan FTTL bagi Persamaan .................(6.22) 134

Jadual 6.4 : Perbandingan antara FTTS dan FTTL bagi Persamaan (6.23)................. 135

Jadual 6.5: .................Perbandingan antara FTTS dan FTTL bagi Persamaan (6.24) 135

Jadual 6.6 : .................Perbandingan antara FTTS dan FTTL bagi Persamaan (6.25) 136

Jadual 6.7: Perbandingan antara FTTS dan FTTL bagi Persamaan (6.26)................. 136

Jadual 6.8: Perbandingan antara FTTS dan FTTL bagi Persamaan (6.27)................. 137

Jadual 6.9 : ..........................................

Perbandingan antara FTTS dalam Fungsi Homotopi Piawai dan FTTL dalam FHBK bagi Persamaan (6.22) 138 Jadual 6.10: Perbandingan antara FTTS dalam Fungsi Homotopi Piawai dan FTTL dalam FHBK bagi Persamaan (6.23) .......................................... 138

ix

Jadual 6.11: Perbandingan antara FTTS dalam Fungsi Homotopi Piawai dan FTTL dalam FHBK bagi Persamaan (6.24) .......................................... 139 Jadual 6.12 : Perbandingan antara FTTS dalam Fungsi Homotopi Piawai dan FTTL dalam FHBK bagi Persamaan (6.25) .......................................... 140 Jadual 6.13: Perbandingan antara FTTS dalam Fungsi Homotopi Piawai dan FTTL dalam FHBK bagi Persamaan (6.26) .......................................... 140 Jadual 6.14 : Perbandingan antara FTTS dalam Fungsi Homotopi Piawai dan FTTL dalam FHBK bagi Persamaan (6.27) .......................................... 141 Jadual 6.15: ..................Ralat Mutlak antara FTTS dan FTTL bagi Persamaan (6.22) 142

Jadual 6.16 : Ralat Mutlak antara FTTS dan FTTL bagi Persamaan (6.23).................. 143

Jadual 6.17: Ralat Mutlak antara FTTS dan FTTL bagi Persamaan (6.24).................. 143


Jadual 6.19 : Ralat Mutlak antara FTTS dan FTTL bagi Persamaan (6.26).................. 144


Jadual 7.1: Pencapahan Kaedah ........................................................Ostrowski-PH 152

Jadual 7.2: ...............................................Ostrowski-PH sebagai Satu Penyelesaian 152

Jadual 7.3: ....................................................

Perbandingan antara Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.21) 161 Jadual 7.4: Perbandingan antara Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.22) .................................................... 162 Jadual 7.5 : Perbandingan antara Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.23) .................................................... 162 Jadual 7.6:

....................................................Perbandingan antara Kaedah Newton-PH dan Kaedah

Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.24) 163 Jadual 7.7 :

....................................................Perbandingan antara Kaedah Newton-PH dan Kaedah

Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.25) 163 Jadual 7.8: Perbandingan antara Kaedah Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.26) .................................................... 164

x

Jadual 7.9:

................................................................Perbandingan antara Kaedah Ostrowski-PH dengan/tanpa FHBK dan

FTTL bagi Persamaan (7.21) . 165 Jadual 7.10:










FTTL bagi Persamaan (7.26) . 168 Jadual 7.15: Ralat Mutlak Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Ostrowski-PH bagi Persamaan .................................................................................. (7.21) 169 Jadual 7.16: Ralat Mutlak Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.22).................................................................................. 169 Jadual 7.17: Ralat Mutlak Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.23).................................................................................. 170 Jadual 7.18: Ralat Mutlak Kaedah Newton-PH dan Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.24).................................................................................. 170 Jadual 7.19: Ralat Mutlak Kaedah Newton-PH dan Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.25).................................................................................. 170 Jadual 7.20: Ralat Mutlak Kaedah Newton-PH dan Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.26).................................................................................. 171 Jadual 8.1 :

...................................................................................

Perbandingan Bilangan Lelaran antara Kaedah Ostrowski-PH dengan Kaedah Super Ostrowski-PH dalam menyelesaikan Persamaan (8.7) 180 Jadual 8.2:

...................................................................................

Perbandingan Bilangan Lelaran antara Kaedah Ostrowski-PH dengan Kaedah Super Ostrowski-PH dalam menyelesaikan Persamaan (8.8) 180

xi

Jadual 8.3 :

...................................................................................

Perbandingan Bilangan Lelaran antara Kaedah Ostrowski-PH dengan Kaedah Super Ostrowski-PH dalam menyelesaikan Persamaan (8.9) 181 Jadual 8.4: Perbandingan Bilangan Lelaran antara Kaedah Ostrowski-PH dengan Kaedah Super Ostrowski-PH dalam menyelesaikan Persamaan (8.10)................................................................................. 181 Jadual 8.5 : Perbandingan Bilangan Lelaran antara Kaedah Ostrowski-PH dengan Kaedah Super Ostrowski-PH dalam menyelesaikan Persamaan (8.11)................................................................................. 182 Jadual 8.6:

.................................................................................

Perbandingan Bilangan Lelaran antara Kaedah Ostrowski-PH dengan Kaedah Super Ostrowski-PH dalam menyelesaikan Persamaan (8.12) 182

xii

SENARAI RAJAH

Muka

Surat

Rajah 2.1: Kaedah Grafik bagi Persamaan (2.1).......................................................... 15

Rajah 2.2 : Pembesaran Graf bagi Persamaan(2.1)....................................................... 15

Rajah 2.3: Kaedah Pembahagi Dua............................................................................. 18

Rajah 2.4 : Kaedah Titik Tetap ................................................................................... 21

Rajah 2.5: Kaedah Newton ......................................................................................... 26

Rajah 2.6 : Kaedah Sekan............................................................................................ 29

Rajah 2.7: Laluan Homotopi bagi Persamaan (2.1) ..................................................... 35

Rajah 5.1: Laluan Homotopi bagi Persamaan (5.7) ..................................................... 94

Rajah 5.2 : Lengkung Parametrik bagi Persamaan (5.21) dan (5.22) ............................ 99

Rajah 5.3: Lengkung Parametrik bagi Persamaan (5.19) and (5.20) ............................ 99

Rajah 5.4 : Binaan Rekursif bagi Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik ........................ 104

Rajah 6.1: Sifat-Sifat Perolehan................................................................................ 125

Rajah 6.2 : Laluan Homotopi bagi Persamaan (6.13) ................................................. 128

Rajah 6.3: Kedudukan Fungsi Titik Tetap apabila 1t → ........................................... 129

Rajah 6.4 : Kedudukan Titik Tetap Linear apabila 1t → ........................................... 130

Rajah 6.5: Binaan Rekursif bagi Fungsi Titik Tetap Linear....................................... 130

Rajah 7.1 : Prestasi Kaedah Ostrowski dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.12) 0 2.01x = − apabila .................................................................... 153 Rajah 7.2: Prestasi Kaedah Ostrowski dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.12) apabila 0 3.01x = ...................................................................... 153 Rajah 8.1: Laluan Homotopi bagi Persamaan (8.7) menggunakan Kaedah Ostrowski-PH...................................................................................... 183 Rajah 8.2 : Laluan Homotopi bagi Persamaan (8.7) menggunakan Kaedah Super Ostrowski-PH............................................................................ 183 xRajah 8.3: Interpolasi Nilai bagi Persamaan (8.7) when 0 10x = ........................... 184

xiii

SENARAI-SENARAI SINGKATAN PH Perselanjaran Homotopi

Newton-PH Newton Perselanjaran Homotopi

Adomian-PH Adomian Perselanjaran Homotopi

Varian Baru Newton-PH Varian Baru Newton Perselanjaran Homotopi

Sekan-PH Sekan Perselanjaran Homotopi

Ostrowski-PH Ostrowski Perselanjaran Homotopi

Super Ostrowski-PH Super Ostrowski Perselanjaran Homotopi

xiv

PENYELESAIAN PERSAMAAN POLINOMIAL MENGGUNAKAN KAEDAH

PERSELANJARAN HOMOTOPI

ABSTRAK

Secara umumnya, banyak penyelidikan telah dibuat dalam menyelesaikan persamaan

seperti persamaan linear dan tidak linear. Ianya bermula daripada usaha untuk

menyelesaikan persamaan linear aljabar dengan satu pembolehubah yang tidak diketahui.

Selepas itu, ahli-ahli matematik mencuba untuk menyelesaikan persamaan linear yang

meliputi banyak pembolehubah. Dunia matematik menjadi lebih mencabar apabila pakar

matematik ingin merungkaikan penyelesaian persamaan aljabar tidak linear. Persamaan

polinomial memainkan peranan penting dalam banyak bidang seperti kejuruteraan kimia.

Aplikasi dalam kejuruteraan kimia meliputi keseimbangan fasa, fenomena pengangkutan

dan kinetik kimia. Masalah yang dihadapi oleh kaedah-kaedah tradisional dalam

menyelesaikan persamaan polinomial adalah masalah pencapahan dan masalah nilai

mula. Dalam hal ini, kaedah perselanjaran homotopi digunakan untuk menyelesaikan

masalah pencapahan dan masalah nilai mula. Dalam tesis ini, fungsi homotopi baru,

fungsi homotopi tambahan baru dan kaedah perselanjaran homotopi baru diperkenalkan.

Kemudian, semua formula baru itu digabungkan menjadi Kaedah Super Ostrowski

Perselanjaran Homotopi. Daripada eksperimen-eksperimen berangka dan analisis yang

telah dijalankan, didapati bahawa Kaedah Super Ostrowski Perselanjaran Homotopi

mampu menyelesaikan masalah nilai mula bagi menyelesaikan persamaan polinomial.

xv

SOLUTION OF POLYNOMIAL EQUATIONS USING

THE HOMOTOPY CONTINUATION METHOD

ABSTRACT

Generally, a great deal of research has been done in solving linear and nonlinear

equations. It started from an effort to solve linear equation with one unknown variable.

After that, mathematicians attempted to solve linear equations with more than one

variable. The math world became more challenging when the mathematicians attempted

to solve nonlinear equations especially polynomial equations. Polynomial equations arise

in many areas of applications such as chemical engineering. Application in chemical

engineering includes phase equilibria, transport phenomena and chemical kinetics. The

problems of polynomial equations using traditional methods are the divergence problem

and initial value problem. Therefore, the homotopy continuation method is used to solve

the divergence and initial value problems. In this thesis, new homotopy function, new

auxiliary homotopy function and new homotopy continuation method are developed.

Then, we combine all new formula together to obtain Super Ostrowski Homotopy

Continuation Method. From numerical experiments and analysis conducted, it was found

that Super Ostrowski Homotopy Continuation Method finally can solve the starting value

problem for solving polynomial equations.

1

BAB 1

PENGENALAN

1.1 Pengenalan

Dalam tesis ini, fokus diberi untuk menyelesaikan persamaan polinomial tidak

linear dengan cekap dan tepat. Persamaan polinomial terbahagi kepada dua jenis –

persamaan tunggal atau skalar dan sistem persamaan.

Takrif 1.1 (Grosan et al., 2012): Satu fungsi ( ) : n nf x ℜ →ℜ

dalam n pembolehubah

1 2( , ,..., )nx x x x=

adalah polinomial jika ianya boleh diungkapkan hasil tambah sebutan,

dengan setiap sebutan adalah hasil darab pekali dan monomial, setiap pekali adalah satu

nombor nyata dan setiap monomial adalah hasil darab pembolehubah yang kuasa

integernya adalah tidak negatif.

Berdasarkan takrif di atas, persamaan polinomial yang tunggal boleh ditulis sebagai

10 1 1

0

( ) ... ,

,

d dd d

dd i

ii

f x a x a x a x a

a x

−−

−

=

= + + + +

=∑ (1.1)

dengan 0 1, ,..., da a a adalah pekali kepada pembolehubah x , manakala 21, , ,..., dx x x

disebut monomial. Satu sistem fungsi polinomial boleh diwakili sebagai

2

1 1 2

2 1 2

1 2

( , ,..., )( , ,..., )

( ) ,

( , ,..., )

n

n

n n

f x x xf x x x

F x

f x x x

=

(1.2)

dengan 1 2( , ,..., )nx x x x=

nxxx ,...,, 21 : Punca-punca persamaan.

Takrif 1.2 (Khalil & Khan, 2014): Pertimbangkan petaan : n nF R R→ bagi setiap

komponen , 1, 2,...,if i n= dan [ ]1 2( ) ( ), ( ),. . . ,( )nF x f x f x f x=

adalah fungsi polinomial

dalam pembolehubah 1 2( , ,..., )nx x x x=

. Kemudian, setiap punca-punca x

dalam

persamaan sistem polinomial

( ) 0,F x =

(1.3)

dipanggil punca-punca bagi fungsi F dan set bagi semua punca-punca dikenali sebagai

set sifar dalam petaan fungsi F .

Berdasarkan takrif di atas, ( ) ( )F x f x=

apabila 1n = dengan

( ) 0,f x = (1.4)

yang disebut sebagai persamaan polinomial tunggal.

Persamaan polinomial digunakan secara meluas dalam beberapa aplikasi seperti

visi komputer, pengiraan geometri, robotik, pemprosesan signal dan kimia

pengkomputeran (Palancz et al., 2010). Contoh 1.1.1 merupakan salah satu aplikasi

yang menggunakan persamaan polinomial tunggal.

3

Contoh 1.1.1. Satu kajian daripada Shacham (1989) tentang keseimbangan sistem

322 NHHN −− pada suhu C0500 dan tekanan atm250 , dengan pembolehubah x

adalah penukaran pecahan atom nitrogen bermula dengan campuran stoikiometri

nitrogen dan hidrogen (Rahimian et al., 2010). Persamaan yang terlibat adalah

( ) ( )

.0186.0236

)4(82

22

=−−−

−xx

xx (1.7)

Di samping itu juga, aplikasi-aplikasi persamaan juga melibatkan satu sistem persamaan

seperti yang ditunjukkan dalam Contoh 1.1.2.

Contoh 1.1.2. Grosan et al. (2012) mengetengahkan aplikasi keseimbangan kimia

dengan membincangkan persamaan berikut

1 1 2 1 53 0,f x x x x= + − =

2 22 1 2 1 2 3 8 2 5 1 02 7 2 3 9 2 42 2 0,f x x x x x R x Rx R x R x x R x x= + + + − + + + =

2 23 2 3 5 3 5 6 3 7 2 32 2 8 0,f x x R x x R x R x x= + − + + =

24 9 2 4 4 52 4 0,f R x x x Rx= + − =

2 2

5 1 2 10 2 2 3 8 22 2

5 3 4 6 3 6 3 7 2 3 9 2 4

( 1)

1 0,

f x x R x x x R xR x x R x R x R x x R x x

= + + + +

+ + − + + + + = (1.8)

dengan

5 6 7 8 90.002597 0.003448 0.00002799 0.000215510, 0.193, , , , ,

4040 40 40R R R R R R= = = = = =

dan 100.00003846 .

40R =

4

1.2 Kaedah-kaedah Tradisional

Pelbagai kaedah digunakan untuk mencari punca-punca persamaan. Menurut

Dahlquist & Bjork (2008), masalah tentang mencari punca-punca persamaan telah

mendapat perhatian ahli-ahli matematik sejak beberapa abad dan banyak kaedah

berangka telah dibangunkan. Sebagai contoh, beberapa kaedah matematik yang kini

menjadi asas kepada kaedah-kaedah kembangan yang lain seperti kaedah Newton-

Raphson, kaedah Ostrowski, kaedah pembahagi dua, kaedah kedudukan palsu dan

sebagainya.

1.2.1 Kaedah Newton

Kaedah Newton juga dikenali sebagai kaedah Newton-Raphson. Kaedah Newton

menjadi satu asas penting bagi pembangunan kaedah-kaedah lain. Burden dan Faires

(2011) menyatakan kaedah Newton adalah kaedah yang mantap dan telah diketahui

umum dapat menyelesaikan persamaan linear dan tidak linear. Formula bagi kaedah

seperti berikut

)(')(

1i

iii xf

xfxx −=+ , .0≥i (1.9)

Perbincangan bagaimana formula kaedah Newton diperolehi akan dibincangkan dalam

Bab 2. Penyelesaian sistem persamaan pula melalui formula berikut

[ ] 1

1 ( ) ( )i i F i ix x J x F x−+ = −

, ,0≥i (1.10)

dengan

5

( )FJ x

: matriks Jacoban bagi ( )F x

.

Walau bagaimanapun, kaedah Newton mempunyai kelemahan yang besar iaitu

keperluan untuk mencari terbitan bagi fungsi yang diberi. Ini akan menyebabkan

masalah jika )(' xf atau ( )FJ x

sukar untuk dikira (Burden & Faires, 2011). Menurut

Burden dan Faires (2011), kaedah Newton hanya menumpu secara kuadratik jika nilai

mula yang dipilih adalah sesuai dengan 0 [ , ]x x xδ δ∈ − + dan 0.δ > Jika 0x tidak

begitu hampir dengan nilai punca sebenar, terdapat sedikit masalah dengan penumpuan

kaedah Newton. Dalam erti kata lain, kaedah Newton mengalami penumpuan yang

lambat apabila nilai mula yang dipilih berada begitu jauh dengan mana-mana punca

persamaan.

1.2.2 Kaedah Ostrowski

Alexander Markowich Ostrowski merupakan orang yang memperkenalkan

kaedah Ostrowski untuk menganggar punca-punca persamaan polinomial. Kaedah

Ostrowski adalah seperti berikut

1

( ) ,'( )

( ) ( ) ,( ) 2 ( ) '( )

ii i

i

i ii i

i i i

f xy xf x

f x f yx yf x f y f x+

= −

= −−

0,1, 2,..., 1.i k= − (1.11)

Kaedah Ostrowski melibatkan dua langkah bagi setiap lelaran. Kaedah Ostrowski juga

merupakan lanjutan daripada kaedah Newton.

6

1.2.3 Kaedah Pembahagi Dua

Katakan f adalah satu fungsi yang selanjar pada selang [ ]ba, dengan

0)()( <bfaf , maka f mesti mempunyai nilai sifar dalam selang ( )ba, . Idea di

sebalik kaedah ini ialah untuk menentukan nilai c yang menyebabkan nilai fungsi )(cf

bersamaan dengan sifar atau hampir dengan sifar. Kedudukan c pula terletak di tengah-

tengah antara selang [ ]ba, . Secara matematiknya, fungsi bagi kedudukan c dapat

dirumuskan sebagai

( ) 0,f c ≅ (1.12)

dengan ( )bac +=21 .

Oleh kerana terdapat dua bahagian mesti dipertimbangkan, maka kaedah ini

dipanggil sebagai kaedah pembahagi dua. Kaedah ini juga dipanggil sebagai pembahagi

dua selang (Kincaid & Cheney, 2002).

1.2.4 Kaedah Kedudukan Palsu

Kaedah kedudukan palsu adalah lanjutan daripada kaedah pembahagi dua.

Kaedah pembahagi dua mempertimbangkan titik tengah antara setiap selang [ ]ii ba ,

dengan 0,i ≥ manakala kaedah kedudukan palsu mengambil kira purata pemberat titik

hujung dalam setiap selang [ ]ii ba , . Kiraan purata pemberat dapat dikira dengan rumus

berikut

7

( ) ( )( ) ( )

i i i ii

i i

a f b b f acf b f a

−=

−. (1.13)

Berdasarkan formula interpolasi kaedah Newton, kaedah kedudukan palsu dapat

diperolehi seperti yang berikut

1 ( )( ) ( )

i ii i i

i i

b ax a f af b f a+

−= −

−, 0 ,1 , 2 , ..., 1.i k= − (1.14)

Tidak seperti kaedah Newton, kaedah kedudukan palsu ini mempunyai

penumpuan linear. Oleh itu, Dahlquist & Bjork (2008) melaporkan bahawa kaedah ini

menumpu lebih perlahan apabila 0)( ≈kaf dan )( kbf adalah besar.

1.2.4 Kaedah Sekan

Kaedah sekan ialah satu kaedah yang diubahsuai daripada kaedah Newton. Oleh

kerana kaedah Newton tidak mempertimbangkan masalah pencapahan apabila

( ) 0' 0 =xf , jadi kaedah sekan boleh mengatasi masalah ini. Perbezaan antara kedua-dua

kaedah ini ialah kaedah Newton menggunakan garis tangen yang melalui satu titik pada

graf sementara kaedah sekan menggunakan garis sekan yang bersilang antara dua titik.

Berdasarkan formula Newton, fungsi ( )' if x digantikan dengan

( ) ( )1

1

,i i

i i

f x f xx x

−

−

−−

jadi formula bagi kaedah sekan seperti berikut

[ ]( ) ( )

11

1

( ),i i i

i ii i

f x x xx x

f x f x−

+−

−= −

− 0 ,1 , 2 , ..., 1.i k= − (1.15)

8

Epperson (2007) telah menyatakan bahawa kaedah sekan mempunyai banyak

kelebihan berbanding kaedah Newton. Sebagai contoh, kaedah sekan tidak memerlukan

terbitan fungsi, hanya sekadar menggunakan fungsi yang diberi. Namun demikian,

kaedah sekan memerlukan dua titik sebelum untuk menganggarkan 1+ix .

1.3 Konsep Perselanjaran Homotopi

Dalam beberapa tahun kebelakangan ini, kajian tentang penyelesaian terhadap

persamaan polinomial menggunakan konsep topologi menjadi tarikan dalam dunia

matematik. Kaedah Perselanjaran Homotopi (PH) telah diketahui seawal tahun 1930an

(Rafiq & Awais, 2008). Lahaye (1934) merupakan orang pertama yang memperkenalkan

kaedah perselanjaran homotopi untuk menyelesaikan persamaan tidak linear.

Morgan (1983) telah menyatakan bahawa PH juga dikenali sebagai kaedah

kenaikan muatan. Morgan (1983) juga telah menerangkan konsep-konsep asas kaedah

PH seperti fungsi homotopi dan fungsi homotopi tambahan.

Wu telah membuat banyak kajian tentang PH. Wu (2005a) telah

memperkenalkan Algoritma Pengubahsuai Kaedah Cina Kuno; Wu (2005b) telah

mengkaji penumpuan kaedah perselanjaran Newton homotopi (Newton-PH); Wu

(2006b) telah membandingkan kaedah tradisional Penguraian Adomian dengan kaedah

Adomian-PH. Dalam (2006b), Wu telah menyelidik ciri-ciri bagi fungsi homotopi

tambahan yang selaras dan Wu (2007) telah membangunkan kaedah sekan-PH dengan

menggunakan kaedah sekan.

9

Perkataan homotopi merujuk kepada fungsi homotopi ),( txH dan perselanjaran

merujuk kepada penerapan satu keluarga parameter t yang sentiasa bergerak dalam

selang [ ]1,0∈t (Kincaid & Cheney, 2002). Kajian tentang konsep-konsep perselanjaran

homotopi akan dihuraikan lagi dalam Bab 2 dan Bab 3.

1.4 Motivasi

Berdasarkan kajian-kajian yang telah dilakukan, terdapat beberapa kekurangan

dalam penyelesaian persamaan polinomial menggunakan konsep perselanjaran

homotopi. Masalah utama yang akan dikaji dalam tesis ini berhubung dengan ketepatan

anggaran punca-punca persamaan. Kebanyakan penyelidik hanya mencari anggaran

punca-punca persamaan dengan kaedah homotopi masing-masing tetapi mereka tidak

mengembalikan nilai punca ke dalam fungsi ( )f x seperti (Wu 2005b; Wu 2006a; Wu

2007; Rafiq dan Awais 2008; Palancz et al. 2010; Rahimian et al. 2011). Terdapat

beberapa faktor yang mempengaruhi ketepatan punca-punca seperti kaedah PH yang

digunakan, fungsi homotopi dan fungsi homotopi tambahan yang dipilih. Gabungan

yang sesuai antara faktor-faktor ini akan meningkatkan lagi ketepatan nilai anggaran

bagi punca-punca persamaan. Oleh itu, satu persatu faktor yang mempengaruhi kadar

ketepatan punca-punca persamaan difokuskan.

Kaedah PH boleh digabungkan dengan kaedah-kaedah tradisional menjadi

Newton-PH, sekan-PH dan variasi Newton-PH. Semua ini boleh dirujuk dalam (Wu

2005b; Wu 2007; Rafiq & Awais 2008) secara berturutan. Merujuk kepada Wu (2006b),

kaedah perselanjaran homotopi boleh ditakrifkan sebagai fungsi transformasi. Dalam kes

10

ini, selagi evolusi mencari nilai anggaran punca-punca persamaan masih wujud, kami

percaya masih terdapat kaedah-kaedah homotopi yang masih boleh diterokai.

Di samping itu, walaupun terdapat banyak kaedah tradisional dalam

menyelesaikan persamaan, masalah pencapahan masih boleh berlaku. Masalah

pencapahan wujud apabila skema lelaran tidak dapat beroperasi pada proses permulaan.

Masalah ini berlaku apabila tekaan awal yang salah digunakan. Kaedah perselanjaran

homotopi merupakan satu jalan penyelesaian bagi masalah pencapahan ini (Wu, 2005b).

Oleh itu, kaedah perselanjaran homotopi dikembangkan lagi dalam usaha meningkatkan

ketepatan.

1.5 Objektif Terdapat lima objektif dalam kajian ini:

i) Untuk membandingkan beberapa kaedah perselanjaran homotopi semasa.

ii) Untuk memperkenalkan fungsi homotopi yang baru. iii) Untuk memperkenalkan fungsi homotopi tambahan yang baru. iv) Untuk memperkenalkan kaedah perselanjaran homotopi yang baru dan

mengkaji kadar penumpuan kaedah itu.

v) Untuk menyelesaikan masalah nilai mula.

11

1.6 Metodologi

Persamaan-persamaan polinomial baik tunggal mahupun sistem yang

mempunyai sekurang-kurangnya satu punca nyata dipilih. Kemudiannya, beberapa

kaedah perselanjaran homotopi akan diaplikasikan dengan bantuan komputer.

Penambahbaikan kaedah sedia ada akan dilaksanakan untuk meningkatkan kadar

ketepatan punca persamaan. Kaedah perselanjaran homotopi sedia ada dan baru akan

diimplementasikan dengan menggunakan satu perisian matematik iaitu Mathematica

7.0. Keputusan akan dijadualkan, data akan dianalisa dan kesimpulan akan dibuat.

1.7 Rumusan Bab

Bab 2 membincangkan konsep, teori dan kaedah yang asas bagi kaedah berangka

dan kaedah yang berkesan iaitu kaedah perselanjaran homotopi. Konsep-konsep ini

akan diterangkan secara mendalam lagi dengan membawa contoh-contoh persamaan

yang mudah untuk tujuan pemahaman.

Bab 3 merupakan kajian literatur kaedah perselanjaran homotopi terhadap

persamaan polinomial. Kajian ini akan membincangkan beberapa penyelidikan

penyelesaian persamaan tunggal dan sistem polinomial. Lima isu dan kelemahan dalam

hasil kerja orang lain akan dikenalpasti. Segala isu yang dibangkitkan akan dihuraikan

secara meluas dalam Bab 4 hingga Bab 8.

Bab 4 membincangkan isu yang pertama yang telah dikenal pasti iaitu kajian

perbandingan kaedah perselanjaran homotopi semasa. Untuk tujuan perbandingan,

12

beberapa eksperimen persamaan tunggal dan sistem akan dilaksanakan dengan

menggunakan perisian matematik Mathematica 7.0.

Seterusnya, dalam Bab 5 fungsi homotopi baru diperkenalkan. Fungsi homotopi

piawai dengan fungsi homotopi baru dibandingkan dengan menggunakan beberapa

contoh persamaan polinomial. Kemudian keputusan yang diperolehi akan dianalisis dan

seterusnya kesimpulan dibuat.

Kemudiannya, isu yang ketiga akan dihuraikan dalam Bab 6 iaitu untuk

mewujudkan fungsi homotopi tambahan yang baru yang merupakan sebahagian daripada

faktor penting dalam meningkatkan kadar ketepatan punca-punca persamaan polinomial.

Bab 7 menghuraikan isu yang keempat iaitu untuk memperkenalkan kaedah

perselanjaran homotopi yang baru. Kaedah Ostrowski (1973) diubahsuai dan dijadikan

salah satu kaedah homotopi yang baru. Kaedah yang dicadangkan akan dibandingkan

dengan kaedah semasa yang terbaik yang diperolehi dalam Bab 4. Tambahan pula,

kadar penumpuan bagi kaedah terbaru yang dibangunkan akan dikaji dan dianalisis.

Kemudiannya, semua faktor terbaik yang menyumbangkan ketepatan unggul

akan digabungkan. Semua ini akan dibincangkan dalam Bab 8.

Akhirnya, Bab 9 memberi kesimpulan yang dapat dibuat berdasarkan

eksperimen-eksperimen yang telah dijalankan dalam Bab 4 hingga Bab 8.

13

BAB 2

KONSEP, TEORI DAN KAEDAH ASAS

2.1 Pengenalan

Beberapa kaedah piawai telah diterangkan dalam bab sebelumnya. Perbincangan

yang mendalam mengenai beberapa kaedah piawai akan diberi perhatian dalam bab ini.

Persamaan tunggal yang sama akan digunakan bagi setiap kaedah asas. Ini kerana teknik

penyelesaian bagi sistem persamaan ( ) 0F x =

sama dengan penyelesaian bagi

persamaan tunggal. Cuma yang membezakan adalah dimensi dan tahap kesukaran

pengiraan. Maka persamaan tunggal yang mudah akan digunakan bagi mengkaji

keberkesanan kaedah-kaedah asas. Terdapat empat kategori kaedah-kaedah yang dapat

menyelesaikan persamaan polinomial – kaedah graf, kaedah kurungan, kaedah terbuka

dan kaedah global.

Kaedah kurungan (kaedah selaan) merujuk kepada satu kaedah yang

menggunakan dua nilai mula dalam satu selaan yang di dalamnya mempunyai salah satu

punca-punca persamaan. Kaedah terbuka tidak perlu pada kurungan julat antara dua nilai

mula (Chapra,2012). Kaedah global pula menggunakan sebarang nilai mula untuk

mengesan punca-punca persamaan (Gritton et al., 2001). Kaedah pembahagi dua dan

kaedah kedudukan palsu diklasifikasikan sebagai kaedah kurungan. Kaedah sekan,

kaedah titik tetap, kaedah Newton dan kaedah Ostrowski dikategorikan sebagai kaedah

14

terbuka. Manakala salah satu contoh kaedah global adalah kaedah perselanjaran

homotopi. Untuk memahami secara asas kaedah-kaedah tersebut, Contoh (2.1) dikaji

dengan menggunakan keempat-empat kategori di atas.

Contoh 2.1. Kiusalaas (2010) mengetengahkan persamaan polinomial tunggal seperti

berikut

3 2( ) 10 5 0.f x x x= − + = (2.1)

Persamaan (2.1) diuji untuk membandingkan keupayaan kaedah graf, kaedah kurungan,

kaedah terbuka dan kaedah global dalam menyelesaikan persamaan polinomial.

Bilangan lelaran ditetapkan 10 kali bagi memudahkan pemahaman konsep-konsep asas

bagi kaedah-kaedah yang telah dinyatakan di atas.

2.2 Kaedah Grafik

Menurut Chapra (2012), kaedah grafik boleh digunakan untuk menggambarkan

nilai anggaran punca-punca persamaan secara kasar dan seterusnya menentukan nilai

mula yang sesuai. Fungsi 3 2( ) 10 5f x x x= − + boleh digambarkan seperti di dalam

Rajah 2.1:

15

x

Rajah 2.1 : Kaedah Grafik bagi Persamaan (2.1)

Didapati terdapat tiga punca nyata dan berbeza yang memintas paksi . Melalui

kaedah ini, kedudukan punca-punca persamaan boleh dilihat secara kasar. Namun

demikian, nilai sebenar punca-punca itu tidak diketahui. Punca-punca terletak antara

selang ( 2,0), (0, 2)− dan (9,11) . Salah satu punca yang berada dalam selang (0,2)

difokuskan dan grafnya dibesarkan. Graf yang terhasil ditunjukkan dalam Rajah 2.2:

Rajah 2.2 : Pembesaran Graf bagi Persamaan (2.1)

16

Sekarang didapati kedudukan punca yang lebih spesifik terletak dalam selang

yang kecil (0.6,0.8) . Di samping itu juga, kaedah graf membantu dalam menentukan

nilai mula bagi kaedah kurungan dan kaedah terbuka. Namun demikian, kaedah graf

memberi nilai praktikal yang terhad kerana tidak tepat (Chapra, 2012). Untuk

menganggarkan nilai punca-punca yang lebih tepat, kaedah kurungan, kaedah

kedudukan palsu, kaedah sekan, kaedah titik tetap, kaedah Newton, kaedah Ostrowski

dan kaedah perselanjaran homotopi digunakan.

2.3 Kaedah Kurungan

Kaedah kurungan iaitu satu kaedah yang mengurungkan satu punca persamaan

pada selang ( , )a b . Antara kaedah yang termasuk di dalam kategori ini adalah kaedah

pembahagi dua dan kaedah kedudukan palsu.

2.3.1 Kaedah Pembahagi Dua

Kaedah pembahagi dua ditakrifkan oleh Faires dan Burden (2002) seperti

ditunjukkan di dalam Takrif 2.1.

Takrif 2.1. (Faires & Burden, 2003): Satu selang 1 1[ , ]i ia b+ + mengandungi satu nilai

anggaran punca p yang memenuhi ( ) 0f p = yang diperolehi daripada selang [ , ]i ia b

dan p dirumuskan sebagai

.2

i ii i

b ap a −= + (2.2)

Kemudian tetapkan

17

1i ia a+ = dan 1i ib p+ = jika ( ) ( ) 0i if a f p < ,

dan

1i ia p+ = dan 1i ib b+ = sebaliknya.

Kaedah pembahagi dua juga dipanggil sebagai kaedah carian binari. Berdasarkan

takrif di atas, kaedah ini mempertimbangkan kedudukan punca-punca persamaan

0)( =xf dalam selang ],[ ba . Dalam erti kata yang lain, terdapat nilai ip yang

memuaskan persamaan bagi setiap selang yang baru ).,( 11 ++ ii ba Dahlquist dan Bjork

(2008) menyatakan bahawa nilai ip diambil setengah daripada selang:

( )1 ,2i i ip a b= + ...,3,2,1=i (2.3)

dengan selang yang baru

=++ ),,(),,(

),( 11ii

iiii pa

bpba jika

.0)()(

.0)()(<>

ii

ii

afpfafpf

Menurut pandangan Dechaumphai dan Wansophark (2011), kaedah pembahagi

dua mempunyai tanda yang berbeza apabila a p< dan b p> . Kaedah ini boleh

digambarkan melalui graf dalam Rajah 2.3:

18

Rajah 2.3 : Kaedah Pembahagi Dua

Berdasarkan Rajah 2.3, nilai mula bermula pada selang [ , ]a b . Nilai 1p

diperolehi daripada ( )112

p a b= + , nilai 2p diperolehi daripada ( )2 112

p a p= + , nilai 3p

diperolehi daripada ( )3 1 21 .2

p p p= + Oleh itu, nilai anggaran punca bagi kaedah

pembahagi dua bagi Rajah 2.3 adalah 3p . Kaedah pembahagi dua kemudiannya

digunakan untuk menyelesaikan Contoh 2.1.1.

Contoh 2.1.1. Persamaan (2.1) diselesaikan dengan menggunakan kaedah pembahagi

dua dalam selang ]8.0,6.0[ . Keputusan yang diperolehi boleh diringkaskan dalam

Jadual 2.1:

19

Jadual 2.1 : Pencarian Punca Persamaan menggunakan Kaedah Pembahagi Dua

Nilai anggaran punca bagi persamaan (2.1) adalah 0.7345703125p = dan nilai fungsi

adalah 4( ) 4.34 10f p −= × .

2.3.2 Kaedah Kedudukan Palsu

Kaedah kedudukan palsu boleh ditakrifkan seperti yang ditunjukkan di dalam

Takrif 2.2.

Takrif 2.2. (Faires & Burden, 2003): Satu selang 1 1[ , ]i ia b+ + bagi 1i > mengandungi

satu nilai anggaran punca persamaan ( ) 0f x = daripada selang [ , ]i ia b dan p

dirumuskan sebagai

( )( ) .( ) ( )

i i ii i

i i

f a b ap af b f a

−= −

− (2.4)

Kemudian tetapkan

1i ia a+ = dan 1 1i ib p+ += jika 1( ) ( ) 0,i if a f p + <

dan

Bilangan lelaran, i ia ib Penyelesaian, ip )( ipf

1 0.6 0.8 0.7 4.43×10-1 2 0.7 0.8 0.75 -2.03×103

-1 0.7 0.75 0.725 1.25×10

4 -1

0.725 0.75 0.7375 -3.79×105

-2 0.725 0.7375 0.73125 4.38×10

6 -2

0.7375 0.73125 0.734375 2.99×107

-3 0.7375 0.734375 0.7359375 -1.75×10

8 -2

0.7359375 0.734375 0.73515625 -7.23×109

-2 0.73515625 0.734375 0.734765625 -2.12×10

10 -3

0.734765625 0.734375 0.7345703125 4.34×10-4

20

1 1i ia p+ += dan 1i ib b+ = sebaliknya.

Kaedah kedudukan palsu seterusnya diaplikasikan dengan Contoh 2.1.2:

Contoh 2.1.2. Persamaan (2.1) diselesaikan menggunakan kaedah kedudukan palsu

pada selang ]8.0,6.0[ . Keputusan yang diperolehi ditunjukkan seperti Jadual 2.2:

Jadual 2.2 : Pencarian Punca Persamaan menggunakan Kaedah Kedudukan Palsu

Kaedah ini mempertimbangkan pemberat kedudukan punca-punca persamaan

sama ada terletak dekat titik mula selang atau titik hujung selang. Dalam contoh di atas,

punca persamaan terletak berhampiran dengan titik akhir selang 8.0=x . Itulah

sebabnya 8.0=x sentiasa tetap sebagai kb bagi setiap lelaran. Akhirnya, didapati punca

bagi persamaan (2.1) adalah 77893030.73460350=p dengan 10 kali lelaran. Didapati

juga kaedah kedudukan palsu menumpu lebih laju daripada kaedah pembahagi dua.

Bilangan lelaran, k

ka kb Penyelesaian, kp ( )kf p

1 0.6 0.8 0.729073482428115 7.21×10-2 2 0.8 0.729073482428115 0.734396813661267 2.70×103

-3 0.8 0.734396813661267 0.734595810977860 1.01×10

4 -5

0.8 0.734595810977860 0.734603221217690 3.75×105

-6 0.8 0.734603221217690 0.734603497119578 1.39×10

6 -7

0.8 0.734603497119578 0.734603507392045 5.19×107

-9 0.8 0.734603507392045 0.734603507774512 1.93×10

8 -10

0.8 0.734603507774512 0.734603507788753 7.20×109

-12 0.8 0.734603507788753 0.734603507789283 2.68×10

10 -13

0.8 0.734603507789283 0.734603507789303 9.88×10-15

21

2.4 Kaedah Terbuka

Menurut Chapra (2012), kaedah terbuka tidak memerlukan pada kurungan julat

antara dua nilai mula. Antara kaedah yang tergolong dalam kaedah terbuka adalah

seperti kaedah titik tetap, kaedah Newton, kaedah sekan dan kaedah Ostrowski.

2.4.1 Kaedah Titik Tetap

Kaedah titik tetap ditakrifkan oleh Asaithambi (1995) seperti ditunjukkan di

dalam Takrif 2.3.

Takrif 2.3. (Asaithambi, 1995): Satu nombor α dikatakan sebagai titik tetap bagi fungsi

)(xg jika ).(xgx =

Teorem 2.4. (Burden & Faires, 2011): Andaikan ( )f x adalah satu fungsi selanjar pada

selang [ , ]a b , maka ( )f x mempunyai penyelesaian yang unik pada selang [ , ]a b iaitu

( )x g x= .

Secara ringkasnya,kaedah titik tetap boleh digambarkan melalui graf di dalam Rajah 2.4:

Rajah 2.4 : Kaedah Titik Tetap

22

Berdasarkan Rajah 2.4, titik persilangan antara fungsi 1 ( )y g x= dengan fungsi 2y x=

merupakan nilai anggaran punca bagi kaedah titik tetap iaitu p . Penjelasan lanjut

tentang kaedah titik tetap ditunjukkan di dalam Contoh 2.1.3:

Contoh 2.1.3. Persamaan (2.1) diselesaikan dengan menggunakan kaedah titik tetap.

Dengan menggunakan takrif bagi kaedah ini, persamaan (2.1) boleh ditulis sebagai

21

3

1 105

+=+

ii

xx , ...,2,1,0=i (2.5a)

Andaikan dengan menggunakan nilai mula 8.00 =x , persamaan (2.5a) dilelarkan

sebanyak 10 kali:

77308235,0.74242844 10

5 21

30

1 =

+=

xx

28183232,0.73547444 10

5 21

31

2 =

+=

xx

78082566.0.73460350 10

5 21

39

10 =

+=

xx

23

Keputusan yang didapati ditunjukkan di dalam Jadual 2.3:

Jadual 2.3 : Pencarian Punca Persamaan dengan Kaedah Titik Tetap

Didapati nilai hampir bagi penyelesaian pada persamaan (2.1) adalah

780825660.73460350=x dengan 1010( ) 2.48 10f x −= − × . Menurut Burden dan Faires

(2011), terdapat banyak cara untuk menukarkan bentuk titik tetap dengan menggunakan

olahan algebra yang mudah. Dalam erti kata lain, persamaan (2.1) juga boleh ditulis

seperti berikut:

a) 3 21 10 5,i i i ix x x x+ = − + − (2.5b)

b)

12

1510 ,i i

i

x xx+

= −

(2.5c)

c)

12

15 ,

10ii

xx+

= −

(2.5d)

d) 3 2

110 5 ,20

i ii i

i

x xx xx+

− += − (2.5e)

Walaupun terdapat banyak fungsi titik tetap (2.5 a – 2.5 e) boleh diterbitkan,

tidak semua fungsi yang diterbitkan akan menumpu kepada penyelesaian yang sebenar.

Bilangan Lelaran, i

Penyelesaian, ix ( )if x

0 0.8 -8.88×10-1 1 0.7424284477308235 -1.03×102

-1 0.7354744428183232 -1.14×10

3 -2

0.7346995841197975 -1.26×104

-3 0.7346140957990686 -1.38×10

5 -4

0.7346046745035599 -1.53×106

-5 0.7346036363503540 -1.68×10

7 -6

0.7346035219555154 -1.85×108

-7 0.7346035093502857 -2.04×10

9 -8

0.7346035079613087 -2.25×1010

-9 0.7346035078082566 -2.48×10-10

24

Ascher dan Grief (2011) telah menyatakan bahawa ciri-ciri penumpuan bagi lelaran titik

tetap bergantung kepada pemilihan fungsi ( )g x . Chapra and Canale (2010) pula

menyatakan bahawa penumpuan berlaku apabila '( ) 1g x < .

2.4.2 Kaedah Newton

Kaedah Newton ditakrifkan oleh Faires dan Burden (2002) seperti ditunjukkan di dalam

Takrif 2.5.

Takrif 2.5. (Faires & Burden, 2002): Nilai penghampiran 1ip + kepada nilai punca

persamaan ( ) 0f x = adalah dikira daripada nilai penghampiran ip dengan

menggunakan rumus berikut

1( ) .'( )

ii i

i

f pp pf p+ = − (2.6)

Dalam permulaan bab, konsep asas bagi kaedah Newton dan ciri-cirinya telah

diterangkan. Dalam bab ini, bagaimana formula bagi kaedah Newton terhasil dikaji.

Seterusnya, contoh yang sama digunakan bagi meningkatkan lagi pemahaman.

Menurut Chapra dan Canale (2010), kaedah Newton boleh diterbitkan melalui

dua cara. Cara pertama berdasarkan definisi kecerunan lengkung:

1

1

( ) ( )'( ) .i ii

i i

f p f pdyf pdp p p

+

+

−= =

− (2.7)

Formula Newton diperolehi kerana 1( ) 0if p + = . Cara kedua melalui takrif kembangan

Taylor peringkat tertinggi

25

2'' ( )1 1

1( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) . . . ( ) .

2! !

nni i i i

i i i i i i nx x x xf x f x x x f x f x f x R

n+ +

+− −

= + − + + + + (2.8)

dengan ( 1) 1

1( )( )( 1)!

n ni i

nf x xR

nξ+ +

+ −=

+.

Apabila 2n ≥ , sebutan ( )1( ) ( )!

nni i

ix x f x

n+ − boleh diabaikan kerana 1( )n

i ix x+ − terlalu

kecil sehingga menghampiri sifar. Oleh itu, apabila 0)( =xf , persamaan (2.8) akan

menjadi

10 ( ) ( ) '( ).i i i if x x x f x+= + − (2.9)

Teorem 2.6 (Burden & Faires, 2011): Andaikan p adalah satu punca bagi persamaan

( ) 0f x = . Andaikan '( ) 0f p ≠ dan ''( )f p adalah selanjar. Maka terdapat nilai 0ε > ,

yang mana 0 [ , ]p p pε ε∈ − + , siri 1( )'( )

ii i

i

f pp pf p+ = − apabila 0i ≥ menumpu sekurang-

kurangnya secara kuadratik kepada p dengan

2, 1 ,

''( ) ,2 '( )

rt i t i

r

f pf p

ε ε+ = − (2.10)

dengan , 1 1t i r ip pε + += − dan rp adalah nilai penyelesaian yang sebenar. Kaedah

Newton juga boleh digambarkan melalui Rajah 2.5:

26

Rajah 2.5 : Kaedah Newton

Berdasarkan Rajah 2.5, nilai mula bermula pada kedudukan 0p . Apabila garis

tangen 0p disambungkan supaya memintas paksi x , didapati kedudukan baru bagi nilai

anggaran punca adalah 1p . Kemudiannya satu garis tegak dilukis supaya menyentuh

lengkungan, didapati kedudukan baru bagi nilai anggaran punca persamaan adalah 2p .

Oleh itu, nilai anggaran punca bagi kaedah sekan bagi Rajah 2.5 adalah 2p . Kaedah

sekan kemudiannya digunakan untuk menyelesaikan Contoh 2.1.4.

Contoh 2.1.4. Persamaan (2.1) diselesaikan dengan menggunakan kaedah Newton dan

8.00 =x (berdasarkan kaedah grafik). Dengan menggunakan rumus (2.6), didapati

3 20 0

1 0 20 0

10 53 20

0.736931818181818,

x xx xx x− +

= −−

=

3 21 1

2 1 21 1

10 53 20

0.734606729754335,

x xx xx x− +

= −−

=

27

3 29 9

10 9 29 9

10 53 20

0.734603507789303 .

x xx xx x− +

= −−

=

Keputusan pengiraan yang diperolehi ditunjukkan di dalam Jadual 2.4:

Jadual 2.4 : Pencarian Punca – Kaedah Newton

Nilai anggaran penyelesaian bagi persamaan (2.1) adalah

77893030.73460350=x . Bilangan lelaran ditetapkan 10 kali untuk memudahkan

penerangan bagaimana penumpuan kaedah Newton. Didapati kaedah Newton menumpu

secara kuadratik iaitu fungsi ( )if x berkadar kuasa dua dengan fungsi 1( )if x − . Ini

bermaksud nilai ( )if x menurun sebanyak kuasa dua apabila bilangan lelaran meningkat.

2.4.3 Kaedah Sekan

Kaedah Sekan ditakrifkan oleh Faires dan Burden (2002) seperti ditunjukkan di dalam

Takrif 2.7.

Bilangan lelaran, i


0 0.8 -8.88×10-1 1 0.736931818181818 -3.05 x 102

-2 0.734606729754335 -4.21 x 10

3 -5

0.734603507795494 -8.09 x 104

-11 0.734603507789303 -2.99 x 10

5 -22

0.734603507789303 -4.07 x 106

-45 0.734603507789303 -7.57 x 10

7 -91

0.734603507789303 -2.61 x 108

-182 0.734603507789303 -3.11 x 10

9 -365

0.734603507789303 -4.41 x 1010

-731 0.734603507789303 -8.87 x 10-1463

28

Takrif 2.7. (Faires & Burden, 2002): Penghampiran 1ip + bagi 1i > kepada nilai punca

persamaan ( ) 0f x = dikira daripada nilai penghampiran ip dan 1ip − dengan

menggunakan rumus

11

1

( )( ) .( ) ( )

i i ii i

i i

f p p pp pf p f p

−+

−

−= −

− (2.11)

Kincaid dan Cheney (2002) telah menyatakan bahawa kaedah sekan adalah satu

pengubahsuaian daripada kaedah Newton. Kaedah Newton mempunyai kelemahan yang

besar iaitu penyelidik perlu mengira terbitan fungsi ( )f p bagi setiap lelaran.

Adakalanya pengiraan '( )f p lebih sukar dan memerlukan operasi aritmetik yang

banyak daripada pengiraan ( )f x (Burden & Faires, 2011). Oleh itu, kaedah sekan

merupakan satu alternatif bagi menyelesaikan masalah yang dihadapi kaedah Newton.

Kaedah sekan menggantikan nilai terbitan fungsi ( )ipf ' kepada ( ) ( )1

1

−

−

−−

ii

ii

pppfpf

di dalam kaedah Newton dan persamaan (2.11) akan diperolehi.

Asaithambi (1995) menggambarkan kaedah sekan menumpu lebih laju

berbanding kaedah pembahagi dua dan kaedah kedudukan palsu. McNamee (2013)

telah menyatakan bahawa kaedah sekan menumpu lebih kurang 1 5 1.6182

α += = .

Kaedah sekan juga boleh diwakili dengan graf di dalam Rajah 2.6:

29

Rajah 2.6 : Kaedah Sekan

Berdasarkan Rajah 2.6, nilai mula bermula pada kedudukan 0p dan 1p . Apabila

0p dan 1p disambungkan, didapati garis itu bersilang dengan satah x pada kedudukan

2p . Kemudiannya titik 2p disambungkan dengan 1p , maka terhasilnya 3p . Begitulah

keadaan seterusnya untuk mendapatkan 4p . Oleh itu, nilai anggaran punca bagi kaedah

sekan bagi Rajah 2.6 adalah 4p . Kaedah sekan kemudiannya digunakan untuk

menyelesaikan Contoh 2.1.5.

Contoh 2.1.5. Persamaan (2.1) diselesaikan dengan mengaplikasikan rumus sekan

(2.11) dengan mengandaikan nilai mula adalah 6.00 =x dan 8.01 =x . Penyelesaian

diringkaskan seperti dalam Jadual 2.5:

30

Jadual 2.5 : Pencarian Punca Persamaan - Kaedah Sekan

Didapati nilai ( )if p berkadar terus dengan 1( )if p − atau boleh juga ditulis sebagai

1( ) ( )i if p f pα −= dengan 1 5 1.6182

α += = bagi setiap lelaran (McNamee, 2013).

2.4.4 Kaedah Ostrowski

Alexander Markowich Ostrowski merupakan penyelidik yang memperkenalkan

kaedah Ostrowski dalam menyelesaikan persamaan tunggal tidak linear pada tahun

1960. Kaedah ini menggunakan dua langkah seperti formula di bawah

( ) ,'( )

ii i

i

f xy xf x

= − 0,1, 2,..., 1,i k= − (2.12a)

1 ( ),( ) 2 ( )

i ii i i

i i

x yx y f yf x f y+

−= −

− 0,1, 2,..., 1.i k= − (2.12b)

Persamaan (2.12a) adalah kaedah Newton manakala persamaan (2.12b) adalah

fungsi yang ditambah oleh Ostrowski. Ostrowski (1973) telah mengembangkan kaedah

Bilangan lelaran, i ia ib Penyelesaian, ip ( )if p

1 0.6 0.8 0.729073482428115 7.21×10-2 2 0.8 0.729073482428115 0.734396813661267 2.70×103

-3 0.729073482428115 0.734396813661267 -8.950.734604192278271 ×10

4 -6

0.734396813661267 0.734604192278271 0.734603507704919 1.10×105

-9 0.734604192278271 0.734603507704919 0.734603507789303 4.50×10

6 -16

0.734603507704919 0.734603507789303 0.734603507789303 -2.27×107

-26 0.734603507789303 0.734603507789303 0.734603507789303 4.65×10

8 -43

0.734603507789303 0.734603507789303 4.810.734603507789303 ×109

-70 0.734603507789303 0.734603507789303 0.734603507789303 -1.02×10

10 -113

0.734603507789303 0.734603507789303 0.734603507789303 2.24×10-184

31

Newton dengan menambah lelaran fungsi ( ) ( )( ) 2 ( ) '( )

i ii

i i i

f x f yyf x f y f x

−−

dan merumuskan

formula seperti berikut

1

( ) ,'( )

( ) ( ) ,( ) 2 ( ) '( )

ii i

i

i ii i

i i i

f xy xf x


= −

= −−

0,1, 2,..., 1.i k= − (2.13)

Kaedah Ostrowski mempunyai penumpuan peringkat keempat berbanding

kaedah Newton yang hanya penumpuan peringkat kedua. Kaedah Ostrowski dipilih

sebagai permulaan bahan kajian walaupun terdapat beberapa kaedah lain bagi varian

Ostrowski yang mempunyai penumpuan lebih tinggi daripada kaedah asal Ostrowski.

Seterusnya, ditunjukkan Contoh 2.1.6 yang menggunakan kaedah Ostrowski dalam

menyelesaikan persamaan (2.1).

Contoh 2.1.6. Persamaan (2.1) diselesaikan menggunakan kaedah Ostrowski dan

andaikan 8.00 =x . Dengan menggunakan (2.13), keputusan yang diperolehi

ditunjukkan seperti dalam Jadual 2.6:

Jadual 2.6 : Pencarian Punca – Kaedah Ostrowski

Bilangan lelaran, i


0 0.8 -8.88×10-1 1 0.734607435006630 -5.13×102

-5 0.734603507789303 -8.01 x 10

3 -22

0.734603507789303 -4.76 x 104

-89 0.734603507789303 -5.90 x 10

5 -358

0.734603507789303 -1.40 x 106

-1433 0.734603507789303 -4.45 x 10

7 -5736

0.734603507789303 -4.52 x 108

-22946 0.734603507789303 -4.80 x 10

9 -91786

0.734603507789303 -6.12 x 1010

-367146 0.734603507789303 -1.62 x 10-1468585

32

Nilai anggaran punca persamaan (2.1) adalah 10 0.734603507789303x = . Didapati

kaedah Ostrowski mempunyai penumpuan peringkat keempat (nilai fungsi ( )if x

berkadar kuasa empat dengan nilai fungsi 1( )if x − ). Ini bermaksud nilai ( )if x akan

berkurang secara kuartik berbanding nilai 1( )if x − .

2.5 Kaedah Global

Kaedah global seperti kaedah perselanjaran homotopi membenarkan sebarang

nilai mula 0,x tidak seperti kaedah-kaedah tradisional yang nilai mulanya dipilih

haruslah berdekatan dengan nilai punca persamaan.

2.5.1 Kaedah Perselanjaran Homotopi

Sebelum perbincangan kaedah perselanjaran homotopi (PH) secara mendalam

dijalankan, konsep-konsep asas bagi kaedah ini diperkenalkan. Fungsi perselanjaran

homotopi boleh ditakrifkan sebagai

,]1,0[: ℜ→×ℜH (2.14)

dengan

,0)()()1(),( =+−= xtfxgttxH [0,1].t∈ (2.15)

Dua syarat sempadan diperolehi iaitu

,0)()0,( == xgxH (2.16)

,0)()1,( == xfxH (2.17)

33

Takrif 2.8. (Faires & Burden, 2003): Fungsi ( , )H x t dipanggil satu homotopi antara

fungsi )()0,( xgxH = dan )()1,( xfxH = .

Takrif 2.9. (Burden & Faires, 2011): Perselanjaran adalah satu jalan menentukan

penyelesaian 0( ,0) 0H x = dapat menuju ke penyelesaian yang tidak diketahui

( ,1) ( ) 0H x f x≡ = .

Kaedah PH seterusnya dikaji melalui Contoh 2.1.7:

Contoh 2.1.7. Persamaan (2.1) diselesaikan dengan menggunakan kaedah perselanjaran

homotopi. Untuk menyelesaikan satu set persamaan fungsi homotopi ( , ) 0H x t = bagi

setiap kenaikan parameter ,t kaedah Newton-PH dipilih kerana kaedah ini mempunyai

formula yang mudah.

Pada peringkat pertama, satu fungsi homotopi tambahan dipilih yang mempunyai

ciri-ciri boleh dikawal dan mudah untuk menyelesaikannya. Fungsi homotopi tambahan

tersebut seperti berikut

3 3( ) 0.8 0.g x x= − = (2.18)

Persamaan (2.18) dipilih untuk menjadikan nilai mula 0 0.8.x = Maka, fungsi homotopi

akan menjadi

).510()512.0)(1(),( 233 +−+−−= xxtxttxH (2.19)

34

Fungsi homotopi akan berubah dengan peningkatan parameter t . Andaikan satu set

fungsi homotopi meningkat secara seragam dengan selaan 0.1t = , maka fungsi

homotopi (2.19) menjadi

3

0( ,0) 0.512 0,H x x≡ − = (2.20a) ( ) ( )3 3 2

1 1 1( ,0.1) 0.9 0.512 0.1 10 5 0,H x x x x≡ − + − + = (2.20b) ( ) ( )3 3 2

2 2 2( ,0.2) 0.8 0.512 0.2 10 5 0,H x x x x≡ − + − + = (2.20c) ( ) ( )3 3 2

3 3 3( ,0.3) 0.7 0.512 0.3 10 5 0,H x x x x≡ − + − + = (2.20d) ( ) ( )3 3 2

4 4 4( ,0.4) 0.6 0.512 0.4 10 5 0,H x x x x≡ − + − + = (2.20e) ( ) ( )3 3 3

5 5 5( ,0.5) 0.5 0.512 0.5 10 5 0,H x x x x≡ − + − + = (2.20f) ( ) ( )3 3 2

6 6 6( ,0.6) 0.4 0.512 0.6 10 5 0,H x x x x≡ − + − + = (2.20g) ( ) ( )3 3 2

7 7 7( ,0.7) 0.3 0.512 0.7 10 5 0,H x x x x≡ − + − + = (2.20h) ( ) ( )3 3 2

8 8 8( ,0.8) 0.2 0.512 0.8 10 5 0,H x x x x≡ − + − + = (2.20i) ( ) ( )3 3 2

9 9 9( ,0.9) 0.1 0.512 0.9 10 5 0,H x x x x≡ − + − + = (2.20j) 3 2

10 10( ,1.0) 10 5 0.H x x x≡ − + = (2.20k) Dalam kes di atas, 10x adalah nilai anggaran punca persamaan. Dengan menggunakan

kaedah Newton-PH, keputusan yang diperolehi ditunjukkan dalam Jadual 2.7.

35

Jadual 2.7 : Pencarian Punca Persamaan menggunakan kaedah Newton-PH

i t Persamaan ix ),( txH i

0 0.0 Pers. (2.20a) 0.8 0 1 0.1 Pers. (2.20b) 1.0775 1.29×102

-1 0.2 Pers. (2.20c) 0.496316006257699 2.20×10

3 -1

0.3 Pers. (2.20d) 0.730746693684139 -7.02×104

-2 0.4 Pers. (2.20e) 0.718270033993979 -2.83×10

5 -4

0.5 Pers. (2.20f) 0.724482106044518 -1.10×106

-4 0.6 Pers. (2.20g) 0.728164578952787 -5.18×10

7 -5

0.7 Pers. (2.20h) 0.730596633546143 -2.85×108

-5 0.8 Pers. (2.20i) 0.732321424428205 -1.72×10

9 -5

0.9 Pers. (2.20j) 0.733607882920701 -1.13×1010

-5 1.0 Pers. (2.20k) 0.734604099788166 -7.74×10-6

Oleh itu, salah satu punca bagi persamaan (2.1) yang diperolehi adalah

1 0.734604099788166,x = (2.21)

dengan 6( ) 7.74 10f x −= − × .

Rajah 2.7: Laluan Homotopi bagi Persamaan (2.1)

36

Rajah 2.7 menunjukkan laluan homotopi bagi persamaan (2.1). Berdasarkan

definisi homotopi dan perselanjaran yang ditakrifkan oleh Faires dan Burden (2002) dan

Burden dan Faires (2011) secara berturutan, fungsi homotopi ( , )H x t dipanggil satu

homotopi antara fungsi mula ( )g x dan sasaran fungsi ( )f x . Wujudnya perselanjaran

apabila berlaku pergerakan nilai pembolehubah dari penyelesaian fungsi homotopi

tambahan 0( ) 0g x = ke punca persamaan 10( ) 0f x = . Dalam Rajah 2.7, perselanjaran

menitikberatkan bagaimana nilai mula 0 0.8x = boleh bergerak hingga sampai ke nilai

anggaran punca persamaan iaitu 10 0.734604099788166x = .

2.6 Masalah Pencapahan dan Jalan Penyelesaiannya

Chapra dan Canale (2010) menyatakan penumpuan bagi kaedah Newton

bergantung pada jenis fungsi yang digunakan dan nilai mula yang digunakan. Burden

dan Faires (2011) menyatakan kaedah Newton memerlukan nilai mula yang sesuai untuk

menjamin penumpuan. Dalam erti kata yang lain, pencapahan akan berlaku jika nilai

mula yang digunakan tidak sesuai. Menurut Chapra dan Canale (2010), pencapahan bagi

kaedah-kaedah tradisional berlaku apabila terdapat pembahagian dengan sifar pada

permulaan lelaran. Masalah pencapahan ini boleh diselesaikan dengan kaedah

perselanjaran homotopi seperti di dalam kajian (Wu, 2005; Wu, 2006; Wu, 2007).

Kekuatan kaedah PH dikaji dengan meneliti kekurangan kaedah-kaedah tradisi.

Contoh 2.2 digunakan untuk menunjukkan kekurangan yang ada pada kaedah-kaedah

tradisi dalam menyelesaikan Persamaan (2.1).

37

Contoh 2.2. Kelemahan kaedah-kaedah tradisi dikaji dengan menyelesaikan

persamaan (2.1). Jadual 2.8 menunjukkan kelemahan-kelemahan kaedah tradisional

Jadual 2.8 : Kelemahan-Kelemahan Kaedah Tradisional

Kaedah Kelemahan Sebab Kaedah Grafik Penganggaran secara kasar Penganggaran tidak jitu Kaedah Pembahagi Dua

Penyelesaian tidak betul jika selang salah i.e. [1,9]

Tiada punca dalam selang [1,9].

Kaedah Kedudukan Palsu

Mencapah dalam selang [0,10]

(0) (10)f f=

Kaedah Titik Tetap Nilai terlalu besar jika 3 2( ) 10 5g x x x x= − + −

Pemilihan fungsi ( )g x yang salah

Kaedah Newton Mencapah apabila 0 0x = atau

0203

x = 0'( ) 0f x =

Kaedah Sekan Mencapah jika 0 1( , ) (0,10)x x = (0) (10)f f= Kaedah Ostrowski Mencapah apabila 0 0x = atau

0203

x = 0'( ) 0f x =

Jadual 2.8 menunjukkan kelemahan-kelemahan yang ada bagi kaedah-kaedah

tradisional dalam menyelesaikan persamaan (2.1). Dengan melihat formula-formula

kaedah tradisional, diketahui bahawa kaedah Newton (2.6) dan kaedah Ostrowski (2.13)

mencapah apabila 0)(' 0 =xf ; kaedah pembahagi dua (2.3) mengalami pencapahan

apabila selang yang tidak mempunyai mana-mana punca persamaan dipilih; kaedah

kedudukan palsu (2.4) dan kaedah sekan (2.11) mencapah apabila ( ) ( )f a f b= dengan

a b≠ ; dan kaedah titik tetap akan mencapah jika fungsi titik tetap ( )g x yang salah

digunakan (Burden & Faires, 2011). Untuk menyelesaikan masalah-masalah di atas,

kaedah PH digunakan seperti ditunjukkan dalam Contoh 2.3.

38

Contoh 2.3. Kelemahan kaedah-kaedah tradisional dapat diatasi dengan menggunakan

kaedah Newton-PH dalam menyelesaikan persamaan (2.1). Andaikan nilai mula yang

tidak bagus 0203

x = dengan 0'( ) 0f x = , fungsi homotopi tambahan 20( )3

g x x= −

digunakan dan keputusan yang diperolehi ditunjukkan dalam Jadual 2.9.

Jadual 2.9 : Penyelesaian bagi Kelemahan Kaedah Tradisional

i t ix ),( txH i

0 0.0 20

3

0

1 0.1 22.5720164609054 2

655.354 0.2 16.5833685353094

3 371.029

0.3 12.8741599272024 4

148.758 0.4 10.8402181218355

5 43.9979

0.5 10.0509946634420 6

6.76797 0.6 9.93019520105150 1.75×10

7 -1

0.7 9.93515890608278 3.41×108

-4 0.8 9.94112980556449 5.65×10

9 -4

0.9 9.94577433416623 3.85×1010

-4 1.0 9.94949385927785 2.74×10-4

Didapati punca nyata kedua bagi persamaan (2.1) yang diperolehi dalam Jadual 2.9

adalah

2 9.94949385927785.x = (2.22)

Manakala punca nyata yang ketiga adalah

3 -0.684114609297725,x = (2.23)

apabila ( )g x x= dan 0 0x = digunakan. Dengan menggabungkan semua punca-punca

nyata persamaan (2.21) – (2.23), faktor persamaan (2.1) boleh difaktorkan seperti

berikut

39

( )( )( )1 2 3 ( ) 0.x x x x x x f x− − − ≈ = (2.28)

Kaedah perselanjaran homotopi adalah satu kaedah yang menggunakan sebarang

nilai mula dan seterusnya menyelesaikan masalah pencapahan yang selalu di hadapi oleh

kaedah-kaedah klasik dalam menyelesaikan persamaan polinomial.

2.7. Kesimpulan

Konsep-konsep dan teori-teori asas bagi beberapa kaedah berangka telah

dibentangkan dalam menyelesaikan persamaan polinomial. Kelemahan-kelemahan

kaedah tradisional telah diketengahkan dan penyelesaian bagi masalah berangka ini telah

diatasi dengan penggunaan kaedah perselanjaran homotopi. Kajian literatur tentang

persamaan polinomial dan kaedah perselanjaran homotopi akan dibincangkan dengan

lebih mendalam dalam bab seterusnya.

40

BAB 3

KAJIAN LITERATUR

3.1 Pengenalan

Penggunaan kaedah perselanjaran homotopi dalam menyelesaikan persamaan

tidak linear telah dimulakan dengan hasil kerja Lahaye (1934). Bagaimanapun, Lahaye

(1934) lebih memfokuskan persamaan transeden. Bab ini akan membincangkan kajian

literatur untuk menyelesaikan persamaan dengan penggunaan kaedah perselanjaran

homotopi (PH). Perbincangan dimulakan dengan takrif kaedah PH, diikuti dengan ciri-

cirinya dan kemudiannya penggunaan kaedah PH dalam menyelesaikan persamaan.

Beberapa contoh persamaan aplikasi akan diketengahkan dan beberapa isu berbangkit

berkenaan kaedah ini akan dibincangkan.

3.2 Kaedah Perselanjaran Homotopi

3.2.1 Takrif

Alexander dan Yorke (1978) menyatakan bahawa kaedah PH melibatkan

pencarian penyelesaian persamaan mudah 0( ) 0G x =

hingga ke penyelesaian persamaan

sebenar ( ) 0kF x =

. Gritton et al. (2001) mentakrifkan kaedah PH mengandungi punca-

punca persamaan tidak linear dengan mencari laluan dari satu titik mula yang juga punca

41

bagi fungsi yang mudah 0x

. Menurut Palancz et al. (2010), kaedah PH berubah bentuk

daripada punca-punca yang diketahui 0x

kepada punca-punca sistem persamaan sasaran

kx

secara berterusan.

3.2.2 Ciri-ciri

Watson (1986) menyatakan bahawa kaedah-kaedah homotopi mempunyai teori

yang kuat, dan jika dibina dan dilaksanakan dengan betul, ianya mantap, stabil, tepat dan

praktikal. Gritton et al. (2001) menyatakan bahawa kaedah-kaedah PH dipermudahkan

dengan ciri-ciri homotopi yang unik apabila diaplikasikan pada persamaan tunggal tidak

linear. Gritton et al. (2001) menyatakan laluan homotopi mesti dicari melalui domain

kompleks z x iy= + dalam sesetengah kes untuk memperolehi semua punca persamaan.

Sejak dua dekad yang lalu, kaedah PH dicipta sebagai kaedah yang boleh dipercayai dan

cekap yang mampu menyelesaikan sistem persamaan polinomial (Palancz et al., 2010).

3.2.3 Penyelesaian Persamaan-Persamaan Tidak Linear

Kajian tentang sistem persamaan bermula sejak tahun 1950-an apabila

Davidenko (1953) memperkenalkan idea baru yang memudahkan penyelesaian

persamaan. Idea asas di sebalik kaedah Davidenko adalah dengan menukarkan kaedah

Newton kepada persamaan pembezaan biasa peringkat pertama dalam pembolehubah t .

Kaedah Davidenko yang dimaksudkan seperti berikut

1 ( ),dx J F xdt

−= −

(3.1)

dengan J merujuk kepada matriks Jacoban

42

J =

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

( ).

n

n x

n n n

n

f f fx x xf f fx x x D F x

f f fx x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

(3.2)

Kajian-kajian persamaan serentak tidak linear diteruskan oleh (Broyden, 1965;

Broyden, 1967; Broyden, 1969; Brent, 1972 dan Brent, 1973). Dalam tahun 1976,

Kubicek (1976) menambah parameter baru α untuk menyelesaikan sistem persamaan

tidak linear. Hasil kerja Kubicek juga menggunakan kaedah Davidenko (3.1) tetapi

matriks Jacoban yang digunakan yang lebih kompleks iaitu

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2 1 1 1

1 2 1 1 1

.

k k n

k k n

n n n n n

k k n

f f f f fx x x x xf f f f fx x x x xJ

f f f f fx x x x x

− + +

− + +

− + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3.3)

Garcia dan Zangwill (1979) membincangkan pencarian semua punca sistem persamaan

polinomial secara teori dan Morgan (1983) mengembangkan lagi kajian ini.

Persamaan polinomial boleh diwakili oleh persamaan tunggal atau sistem persamaan.

Morgan (1983) mempertimbangkan persamaan-persamaan polinomial seperti berikut

i) 3

2

4 3 0,0.

x x yx y

− − =

− = (3.4)

43

ii) 2 2

4( ) 0,

4( ) ( ) ( 2) 1 0.

x y

x y x y x y

+ =

+ + − − + − = (3.5)

iii) ( )

( )( )

2

2

10 0,

5 0,

2 0,

10 0.

x y

z w

y z

x w

+ =

− =

− =

− =

(3.6)

Wu (2005) pula mengkaji contoh persamaan tunggal tidak linear berikut

i) 3 21 1( ) 6 1 0.3 2

f x x x x= − − + = (3.7)

ii) 1( ) sin 0.2

f x x x= − = (3.8)

Salah satu persamaan polinomial yang diketengahkan oleh Abdullahi et al. (2013)

adalah

2( ) 4 13 0.f x x x= − + = (3.9)

Persamaan (3.9) tiada punca yang nyata. Fungsi titik tetap Newton digunakan

sebagai fungsi homotopi tambahan untuk mencari punca-punca persamaan yang terletak

dalam domain nombor-nombor kompleks. Abdullahi et al. (2013) menggabungkan

fungsi titik tetap dengan fungsi Newton yang juga pernah dibincangkan oleh Rahimian

et al. (2010). Baru-baru ini, Oliveros-Munoz dan Jimenez-Islas (2013) telah

menggunakan enam persamaan dengan enam pembolehubah yang tidak diketahui

44

21 1 2 3 4 5

2 32 1 1 2 3 4 5 6

23 1 2 3 4 5 6

24 1 2 3 4 5 6

2 2 35 1 2 3 4 5

6 1 2 3 4 5 6

2 3 90 0,

2 1.5 2 10 0,

2 4 0,

4 18 0,

2 38 0,20 0.

f x x x x xf x x x x x x xf x x x x x xf x x x x x xf x x x x xf x x x x x x

= − + − − − =

= − + − − + + =

= − + − − =

= + − + + − − =

= − + − − − == + + − + − =

(3.10)

Sebanyak 8 punca nyata yang memuaskan persamaan (3.10) telah ditemui yang bermula

pada nilai mula yang sama 0 (2,3,3,4,4,4)x =

.

3.2.4 Aplikasi Sebenar Persamaan-Persamaan Polinomial

Gritton et al. (2001) menggunakan kaedah PH untuk mengkaji 16 masalah

kejuruteraan kimia yang melibatkan kinetik dalam tangki teraduk, pengiraan titik

azeotrop, aliran dalam paip licin, keseimbangan kimia dan lain-lain. Salah satu masalah

melibatkan persamaan

4 3 2( ) 7.79075 14.7445 2.511 1.674 0,f x x x x x= − + + − = (3.11)

dengan x ialah penukaran pecahan nitrogen.

Persamaan aplikasi lain yang turut dibincangkan oleh Gritton et al. (2001)

melibatkan masalah pengiraan mata azeotrop. Persamaan yang digunakan ialah

2( ) 6.5886408 4.0777367 0,f x x x= − + = (3.12)

dengan x adalah pecahan mol toluena dalam fasa cecair dan wap.

45

Masalah lain dalam Gritton et al. (2001) adalah untuk menentukan isipadu gas

metana pada suhu dan tekanan berbeza dengan menggunakan persamaan Beattie-

Bridgeman. Persamaan Beattie-Bridgeman yang dimaksudkan ialah

2 3 4 .RTPv v v v

β γ δ= + + + (3.13)

Persamaan (3.13) kemudiannya dibentuk menjadi persamaan tunggal tidak linear

2 3 4( ) 0,RTf v Pv v v v

β γ δ= + + + − = (3.14)

dengan

P adalah tekanan (atm)

T adalah suhu (K)

, ,β γ δ adalah pemalar.

Gritton et al. (2001) juga membincangkan satu contoh persamaan

Beattie-Bridgeman iaitu

4 3 2 4 6( ) 0.22411958 0.011658361 5.422539 10 1.251 10 0.f v v v v v− −= − + − × + × = (3.15)

dengan v adalah isipadu molar gas metana.

Grosan et al. (2012) pula telah menyelesaikan persamaan aplikasi pembakaran

bagi suhu 03000 C seperti berikut

51 2 6 9 102 2 10 0,f x x x x −= + + + − =

52 3 8 3 10 0,f x x −= + − × =

46

53 1 3 5 8 9 1 02 2 5 10 0,f x x x x x x −= + + + + + − × =

54 4 72 10 0,f x x −= + − =

7 25 5 10.5140437 10 0,f x x−= × − =

6 26 6 20.1006932 10 2 0,f x x−= × − =

15 27 7 40.7816278 10 0,f x x−= × − =

68 8 1 30.1496236 10 0,f x x x−= × − =

79 9 1 20.6194411 10 0,f x x x−= × − =

14 210 10 1 20.2089296 10 0.f x x x−= × − = (3.16)

dengan v adalah isipadu molar gas metana.

Tambahan lagi, Grosan et al. (2012) juga membincangkan aplikasi fisiologi

sistem saraf seperti berikut

2 2

1 1 3 1 0,f x x= + − =

2 22 2 4 1 0,f x x= + − =

3 33 5 3 6 4 1 0,f x x x x c= + − =

3 34 5 1 6 2 2 0,f x x x x c= + − =

2 25 5 1 3 6 4 2 3 0,f x x x x x x c= + − =

2 26 5 1 3 6 4 2 4 0,f x x x x x x c= + − = (3.17)

dengan ic adalah pemalar.

47

3.3 Kajian Perbandingan

Terdapat beberapa model bagi kaedah perselanjaran homotopi: kaedah Newton-

PH, Adomian-PH, sekan-PH, Algoritma Cina Kuno-PH dan Varian Baru Newton-PH.

Wu (2005a) menyelesaikan masalah Algoritma Cina Kuno dengan menambah konsep

perselanjaran homotopi. Algoritma Cina Kuno adalah seperti berikut

1 11

1

( ) ( ),

( ) ( )i ii i

iii

x f x x f xx

f x f x− −

+−

−=

− 0,1, 2,..., 1.i k= − (3.18)

Kaedah ini secara jelasnya mengalami masalah pencapahan apabila 0 1( ) ( )f x f x=

dengan 0 1x x≠ . Oleh itu, Wu (2005a) merangka formula baru seperti berikut

1 11

1

( , ) ( , ),

( , ) ( , )i ii i

iii

x H x t x H x tx

H x t H x t− −

+−

−=

− 0,1,2,..., 1,i k= − (3.19)

untuk mengatasi masalah pencapahan. Wu (2005b) menyelesaikan masalah pencapahan

yang selalu dihadapi oleh kaedah Newton. Kaedah Newton telah diketahui umum

mempunyai penumpuan secara kuadratik. Namun begitu, kaedah Newton gagal untuk

menumpu apabila 0'( ) 0f x = . Untuk menyelesaikan masalah tersebut, Wu (2005b)

mengubahsuai kaedah Newton kepada

1( , )

,( , )i

iix i

H x tx x

D H x t+ = − 0,1, 2,..., 1.i k= − (3.20)

Wu (2006a) mengubahsuai kaedah Penguraian Adomian yang diperkenalkan

oleh Abbasbandy (2003) iaitu

48

3 22

.1 53( ) ( )( ''( ))( ) ''( )'( ) 2( '( ))2( '( ))

i ii i iii

i ii

f x f x f xf x f xx xf x f xf x+ = − − − (3.21)

Kaedah yang diperkenalkan oleh Abbasbandy gagal untuk menumpu apabila 0'( ) 0f x = .

Dalam masalah ini, Wu (2006b) mengubahsuai persamaan (3.21) kepada

3 22

.1 53( , ) ( , )( ( , ))( , ) ( , )

( , ) 2( ( , ))2( ( , ))i i xxi i i

iix i xx ii

H x t H x t D H x tH x t D H x txxx xD H x t D H x tD H x t+ = − − − (3.22)

Wu (2007) mengguna teknik yang sama untuk memperkenalkan sekan-PH.

Formula sekan-PH telah dirumuskan seperti berikut

1 .11

( , )( )( , ) ( , )

i i iii

i i

H x t x xx x

H x t H x t−

+−

−= −

− (3.23)

Rafiq dan Awais (2008) mengaplikasikan teknik yang sama dengan menukarkan fungsi

( )f x kepada fungsi homotopi ( , )H x t . Rafiq dan Awais (2008) memperkenalkan

formula berikut

( , )( , )

ii i

x i

H x ty xD H x t

= − , (3.24a)

[ ]1( , ) ( , ) ( , ) ,

2 ( , ) ( , )i

i i x i x ix i x i

H x tx x D H x t D H y tD H x t D H y t+ = − + (3.24b)

yang dinamakan sebagai Varian Baru Newton-PH. Kaedah ini dikembangkan daripada

formula

,)(')(

i

iii xf

xfxy −= (3.25a)

49

[ ],)(')(')(')('2

)(1 ii

ii

iii yfxf

yfxfxf

xx +−=+ (3.25b)

yang diperkenalkan oleh Ozban (2004).

Oleh kerana banyak formula kaedah-PH telah diperkenalkan, maka satu kajian

perbandingan akan dilakukan untuk mencari kaedah homotopi terbaik dalam

menyelesaikan persamaan polinomial, baik persamaan tunggal mahupun sistem

persamaan.

Kajian perbandingan hanya melibatkan kaedah-kaedah homotopi yang

memerlukan satu nilai mula bagi setiap lelaran. Persamaan (3.20), (3.22) dan (3.24)

akan digunakan dalam kajian perbandingan kaedah-kaedah perselanjaran homotopi.

Setiap penyebut ( , )x iD H x t perlu ditukar kepada 1( , )x iD H x t − berdimensi n n×

terlebih dahulu untuk membuat perbandingan terhadap sistem persamaan ( ) 0F x =

.

Pertukaran ini perlu untuk membolehkan operasi bagi sistem persamaan dapat

dijalankan setelah penyamaan dimensi matriks dilakukan terlebih dahulu.

Baru-baru ini, Rahman et al. (2011, 2012, 2013a, 2013b) banyak mengkaji

tentang kaedah perselanjaran homotopi. Pada permulaan penyelidikan, Rahman et al.

(2011) menerangkan konsep-konsep asas bagi kaedah Newton-PH dengan menggunakan

perisian matematik Maple 14. Kemudiannya, Rahman et al. (2012, 2013a, 2013b)

mengemukakan formula yang dikenali sebagai kaedah Pengusikan Taylor Homotopi

Peringkat Tertinggi atau Higher Order Homotopy Taylor Pertubation (HHTP) untuk

menyelesaikan persamaan tunggal tidak linear ( ) 0f x = . Kaedah HHTP peringkat 1

50

hingga peringkat 5 diterbitkan berasaskan pengembangan formula Taylor. Namun

begitu, tiada sistem persamaan ( ) 0F x =

yang diuji bagi kaedah ini.

3.4 Fungsi Homotopi

Jalali dan Seader (2000) telah membahagikan fungsi homotopi kepada tiga

kategori: homotopi Newton, homotopi titik tetap dan homotopi afin. Fungsi-fungsi

homotopi tersebut seperti berikut

i) Homotopi Newton

[ ]0( , ) (1 ) ( ) ( ) ( ).H x t t f x f x tf x= − − + (3.26)

ii) Homotopi Titik Tetap

0( , ) (1 )( ) ( ).H x t t x x tf x= − − + (3.27)

iii) Homotopi Afin

0( , ) (1 ) '( )( ) ( ).H x t t f x x x tf x= − − + (3.28)

Rahimian et al. (2010) mencipta fungsi homotopi baru

[ ]0 0( , ) (1 ) ( ) ( ( ) ( ) ( ),H x t t x x F x F x tF x= − − + − + (3.29)

dengan 0( ) ( )( ),F x f x x x= − yang menggabungkan fungsi Newton dengan fungsi titik

tetap. Fungsi homotopi (3.29) juga dikenali sebagai fungsi homotopi titik tetap Newton.

Persamaan (3.29) boleh diringkaskan kepada

( )0( , ) ( ) 1 ( ) 0,H x t x x f x t= − + − = (3.30)

51

untuk mencari nilai anggaran punca-punca nyata. Rahimian et al. (2011) telah

mengembangkan kajian mereka dengan mengubahsuai persamaan (3.30) menjadi

( )2

0( , ) ( ) 1 ( ) 0.H x t x x f x t= − + − = (3.31)

Nilai mula yang digunakan oleh Rahimian et al. (2011) tidak bermula pada kedudukan

0t = tetapi bermula pada 01 ( )t f x= + atau 201 ( )t f x= + dan titik ini dinamakan

sebagai titik pencabangan dua.

3.5 Fungsi Homotopi Tambahan

Fungsi homotopi tambahan juga dikenali sebagai sistem permulaan bagi pengiraan nilai

mula. Daripada persamaan (3.26) – (3.29), ( )g x boleh diklasifikasikan kepada tiga

bahagian

i) Fungsi Newton

0( ) ( ) ( ).g x f x f x= − (3.32)

ii) Fungsi Titik Tetap

0( ) .g x x x= − (3.33)

iii) Fungsi Afin

( )0( ) '( ) .g x f x x x= − (3.34)

Morgan (1983) telah membandingkan tiga jenis fungsi tambahan: fungsi titik

tetap dan dua fungsi berikut

52

0 ,( )d dj jg x x x= − (3.35)

dan

0

1 1( )

d dj jg x x x+ +

= − . (3.36)

dengan d j adalah kuasa tertinggi persamaan polinomial. Hasil kajian menunjukkan

bahawa 0

1 1( )

d dj jg x x x+ +

= − lebih relevan menyelesaikan persamaan ( ) 0f x = .

Wu (2005, 2006, 2007) banyak menjalankan penyelidikan mengenai kaedah PH.

Bagaimanapun, semua hasil kerja Wu menggunakan fungsi homotopi tambahan yang

sama iaitu

( ) ,g x Cx K= + (3.37)

dengan C adalah pemalar dan 0K Cx= − adalah sebarang nombor seperti yang

dijelaskan dalam Wu (2005).

Rahimian et al. (2010) pula menekankan penggunaan fungsi homotopi

[ ]0 0( ) ( ) ( ( ) ( ) ,g x x x f x f x= − + − (3.38)

untuk mencari nilai anggaran punca-punca nyata. Baru-baru ini, Abdullahi et al. (2013)

mengulangi kerja yang dibuat oleh Rahimian et al. (2010) yang juga berkait rapat

dengan fungsi homotopi titik tetap.

53

3.6. Motivasi kepada Penubuhan Kaedah Ostrowski-PH

Kaedah Ostrowski menjadi asas utama dalam kaedah yang dibentangkan oleh

Grau dan Diaz-Barrero (2006), Sharma dan Guha (2007), Chun dan Ham (2007) dan

Kou et al. (2007). Grau dan Diaz-Barrero (2006) telah menambah satu lagi langkah

pada kaedah asal Ostrowski. Formula yang diperkenalkan oleh Grau dan Diaz-Barrero

ialah

( ) ,'( )

ii i

i

f xy xf x

= − (3.41a)

( , ) ( ) ,( ) 2 ( ) '( )

i ii i

i i i

f x t f yz yf x f y f x

= −−

(3.41b)

1( , ) ( ) .

( ) 2 ( ) '( )i i

i ii i i

f x t f zx zf x f y f x+ = −

− (3.41c)

Sharma dan Guha (2007) membentangkan formula berikut

( ) ,'( )

ii i

i

f xy xf x

= − (3.42a)

( , ) ( ) ,( ) 2 ( ) '( )

i ii i

i i i


= −−

(3.42b)

1( , ) ( 2) ( ) ( ) ,

( ) ( ) '( )i i i

i ii i i

f x t f y f zx zf x f y f x

ββ+

+ += −

+ (3.42c)

dengan .β ∈ℜ

Chun dan Ham (2007) mencadangkan formula berikut

54

( ) ,'( )

ii i

i

f xy xf x

= − (3.43a)

( , ) ( ) ,( ) 2 ( ) '( )

i ii i

i i i


= −−

(3.43b)

1( )( ) ,'( )

ii i i

i

f zx z R uf x+ = − (3.43c)

dengan ( )1 2( )

1R

β λλ

βλ+ +

=+

dan ( )( )

ii

i

f yuf x

= . Kou et al. (2007) pula memperkenalkan

formula berikut

( )2

1

( ) ,'( )

( ) ,( ) 2 ( )

( ) ( ) ( )1 ,( ) 2 ( ) ( ) '( )

ii i

i

ii i i i

i i

i i ii i

i i i i

f xy xf x

f yz y x yf x f y

f y f z f zx zf x f y f y f x+

= −

= − −−

= − + + −

(3.44)

untuk menyelesaikan masalah persamaan tidak linear. Didapati semua kaedah di atas

berhubung kait dengan kaedah asal Ostrowski. Hal ini menjadi motivasi bagi kami untuk

turut menyumbangkan satu kaedah perselanjaran homotopi dalam dunia matematik.

Penumpuan kaedah-kaedah tradisional telah diselidik dalam Bab 1 dan Bab 2.

Kaedah titik tetap menumpu dengan kadar linear; kaedah Newton menumpu secara

kuadratik dan kaedah Ostrowski menumpu peringkat keempat. Namun begitu, kadar

penumpuan bagi kaedah Ostrowski-PH masih belum diketahui dan hal ini menjadi

inspirasi bagi kami untuk mengkaji kadar penumpuan bagi kaedah Ostrowski-PH.

55

3.7 Motivasi Menyelesaikan Masalah Nilai Mula

Kaedah terbuka memerlukan satu nilai mula yang begitu hampir dengan nilai

sebenar punca-punca persamaan. Keadaan ini menimbulkan kesukaran bagi penyelidik

menentukan nilai mula yang sesuai supaya kaedah yang digunakan dapat menumpu

dengan kadar tertentu. Oleh itu, kaedah global seperti kaedah perselanjaran homotopi

yang membenarkan sebarang nilai mula sesuai digunakan. Situasi ini disokong oleh Lee

dan Chiang (2001) yang menyifatkan bahawa nilai mula yang bagus bagi sesetengah

sistem persamaan sukar dicari apabila kaedah-kaedah PH digunakan.

Namun begitu, kaedah-kaedah PH yang telah diperkenalkan masih menggunakan

julat nilai mula yang kecil iaitu 010 10x− ≤ ≤ seperti dalam kajian (Wu, 2005; Wu,

2006; Wu 2007; Rafiq dan Awais, 2008; Rahman et al., 2012; Rahman et al., 2013). Hal

ini turut menjadi inspirasi bagi kami untuk mengembangkan lagi julat nilai mula supaya

menjadi 01000 1000x− ≤ ≤ dengan penumpuan yang lebih cepat dan tepat. Objektif ini

direalisasikan dengan penubuhan Kaedah Super Ostrowski-PH yang akan diperkenalkan

dalam Bab 8.

3.8 Kesimpulan

Dalam bab ini, kajian literatur mengenai kaedah perselanjaran homotopi dalam

menyelesaikan persamaan polinomial baik persamaan tunggal mahupun sistem

persamaan telah dijalankan. Contoh-contoh semasa kaedah perselanjaran homotopi

ditunjukkan; jenis-jenis fungsi homotopi dan fungsi homotopi tambahan

56

terkini diketengahkan; varian bagi kaedah Ostrowski yang diperkenalkan oleh

penyelidik-penyelidik terdahulu dibincangkan dengan jayanya; fenomena masalah nilai

mula dibincangkan. Semua isu berbangkit akan dikaji, dianalisis dan diselesaikan

dengan jalan penyelesaian yang terbaik.

57

BAB 4

KAJIAN PERBANDINGAN

4.1 Pengenalan

Terdapat beberapa kaedah perselanjaran homotopi telah diperkenalkan.

Contohnya, Algoritma Cina Kuno-PH oleh Wu (2005a), kaedah Newton-PH oleh Wu

(2005b), kaedah Adomian-PH oleh Wu (2006a), kaedah Sekan-PH oleh Wu (2007) dan

kaedah Varian Baru Newton-PH oleh Rafiq dan Awais (2008). Kaedah-kaedah PH yang

memerlukan dua nilai mula seperti kaedah Sekan-PH dan kaedah Algoritma Cina Kuno-

PH tidak menjadi fokus dalam kajian perbandingan. Kaedah-kaedah lain seperti

i) Kaedah Newton-PH.

ii) Kaedah Adomian-PH.

iii) Kaedah Varian Baru Newton-PH.

yang hanya memerlukan satu nilai mula akan dibandingkan dari segi kecekapan dan

kadar ketepatan.

Kaedah-kaedah di atas akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan-

persamaan polinomial berikut

( ) 0,f x = (4.1)

( ) 0,F x =

(4.2)

58

dengan 1 2, ,..., nx x x x=

. Pemilihan bagi kaedah terbaik berdasarkan kriteria penumpuan

yang minimum yang mampu dicapai oleh kaedah itu dengan mengambil kira ralat

mutlak fungsi iaitu

1 2( , ,..., ) ,nF x x x ε

∞< (4.3)

dengan ( )1 2 1 2( , ,..., ) max , ,...,n nF x x x f f f

∞= dan 10dε = dengan d adalah integer

bukan positif.

Beberapa skop dan syarat telah ditetapkan dalam kajian ini:

i) Bilangan lelaran ditetapkan 100 dan 1000 lelaran(untuk melihat sejauh

mana kadar ketepatan dapat dicapai dengan peningkatan bilangan

lelaran).

ii) Hanya melibatkan analisis penumpuan dan kaedah cuba-cuba digunakan.

iii) Nilai saiz langkah bagi kaedah PH meningkat secara seragam.

iv) Nilai mula bagi kaedah PH adalah sama.

v) Fungsi )(xf atau ( )F x

mempunyai sekurang-kurangnya satu

penyelesaian yang nyata.

Bagi menjayakan kajian perbandingan ini, satu perisian matematik iaitu Mathematica

7.0 digunakan.

59

4.2 Algoritma

Algoritma bagi setiap kaedah PH yang akan dibandingkan ditunjukkan terlebih dahulu

sebelum kajian pembandingan dilaksanakan. Algoritma 4.1 hingga 4.3 mewakili kaedah

Newton-PH, Adomian-PH dan Varian Baru Newton-PH secara berturutan.

Algoritma 4.1 (Newton-PH) (Wu, 2005b)

0)( =xfKaedah Newton-PH digunakan untuk mencari penyelesaian bagi dengan satu nilai mula Data masuk: Fungsi ( )f x , fungsi tambahan )(xg , fungsi ),( txH . Nilai mula 0x , nilai maksimum bilangan lelaran k .

xData keluar: Nilai hampiran penyelesaian . 0t =Langkah 1: Tetapkan .

Langkah 2 Tetapkan k =100. 0i =Langkah 3 Jika , 1i k≤ − , i + + lakukan langkah 4 – 5

1( , ) .

( , )i

i ix i

H x tx xD H x t+ = −Langkah 4: Tetapkan

1.ix +Langkah 5: Paparkan keputusan : Jika lain: Keluar dari gelung.

kxLangkah 6: Data keluar ( ) Prosedur tamat. BERHENTI Algoritma 4.2 (Adomian-PH) (Wu, 2006a)

0)( =xfUntuk mencari penyelesaian bagi menggunakan kaedah Adomian-PH, bermula dengan satu nilai mula. Data masuk: Fungsi f , fungsi tambahan )(xg , fungsi homotopi ),( txH , Nilai mula 0201 , xx , bilangan maksimum lelaran k

xData keluar: Nilai hampiran penyelesaian . 0t =Langkah 1: Tetapkan . 100k =Langkah 2: Tetapkan .

0i =Langkah 3: Jika , 1i k≤ − , i + + lakukan langkah 4 – 5.

5

23

3

2

1 )),((2)),()(,(

)),((2),(),(

),(),(

txHDtxHDtxH

txHDtxHDtxH

txHDtxH

xxix

ixxi

ix

ixxi

ix

iii −−−=+

Langkah 4: Tetapkan

.

1ix +Langkah 5: Paparkan hasil: . Jika lain: Keluar dari gelung.

60

kxLangkah 6: Data keluar ( ). Prosedur tamat. BERHENTI Algoritma 4.3 (Varian Baru Newton-PH) (Rafiq & Awais, 2008)

0)( =xfUntuk mencari penyelesaian bagi menggunakan kaedah varian baru Newton-PH dimulakan dengan satu nilai mula Data masuk: Fungsi f , fungsi tambahan )(xg , fungsi ),( txH , nilai mula 0x , Nilai mula 0x , nilai maksimum bilangan lelaran k .

xData keluar: Nilai hampiran penyelesaian . 0t =Langkah 1: Tetapkan . 100k =Langkah 2: Tetapkan .

0i =Langkah 3: Jika , 1i k≤ − , i + + lakukan langkah 4 – 5.

Langkah 4: Tetapkan 1

( , )( , )

( , )2 ( , ) ( , )

( , ) ( , )

ii i

x i

ii i

x i x i

x i x i

H x ty xD H x t

H x tx x D H x t D H y tD H x t D H y t

+

= −

= −

+

.

1ix +Langkah 5: Paparkan hasil: . Jika lain: Keluar dari gelung.

kxLangkah 6: Data keluar ( )

0)( =xf

Prosedur tamat. BERHENTI 4.3 Persamaan Polinomial Tunggal

Persamaan-persamaan polinomial tunggal yang akan dipilih, berdasarkan hasil

kajian penyelidik-penyelidik terdahulu seperti (Wu, 2005a; Wu, 2005b; Chun &

Neta, 2012). Contoh 4.1 digunakan untuk membandingkan kaedah-kaedah homotopi

yang telah dibentangkan pada permulaan Bab 4 dalam menyelesaikan persamaan

polinomial tunggal .

Contoh 4.1. Kaedah-kaedah homotopi dibandingkan dengan menggunakan persamaan

polinomial tunggal yang diketengahkan oleh Wu (2005b)

61

3 21 1( ) 6 1 0.3 2

f x x x x= − − + = (4.4)

Nilai mula bagi Kaedah Newton-PH, Adomian-PH dan Varian baru Newton-PH

ditetapkan 0 3x = (Wu, 2005b). Semua kaedah yang dibandingkan mempunyai fungsi

tambahan ( ) 3g x x= − dan fungsi homotopi yang sama iaitu

[ ] 3 21 1( , ) (1 ) 3 6 1 .3 2

H x t t x t x x x = − − + − − + (4.5)

4.3.1 Pelaksanaan Kaedah Newton-PH

Kaedah Newton-PH diimplementasikan melalui dua cara iaitu secara analitik dan

pengkomputeran seperti ditunjukkan di dalam seksyen 4.3.1.1 dan 4.3.1.2 secara

berturutan.

4.3.1.1 Penyelesaian Analitik Persamaan (4.4) diselesaikan dengan menggunakan kaedah Newton-PH.

Pada 0=t ,

0

( , ) 3 0,3.

H x t xx

= − =∴ =

Andaikan 0 3x = dan saiz langkah = 0.01.

Pada 0.01t = ,

3 20 0 0 0

02

0 0 0

1 10.99( 3) 0.01 6 1( , ) 3 2 .

( , ) 0.99 0.01( 6)x

x x x xH x t

D H x t x x

− + − − + =+ − −

1-0.12530.99

3.1262626262626.

x = −

=

62

Pada 0.02t = ,

3 21 1 1 1

12

1 1 1

1 10.98( 3) 0.02 6 1( , ) 3 2

( , ) 0.98 0.02( 6)x

x x x xH x t

D H x t x x

− + − − + =+ − −

.

2 -0.125452094320073.1262626262626 0.99294510764208

3.2526060599072.

x = −

=

Pada 0.03t = ,

3 22 2 2 2

22

2 2 2

1 10.97( 3) 0.03 6 1( , ) 3 2

( , ) 0.97 0.03( 6)x

x x x xH x t

D H x t x x

− + − − + =+ − −

.

3 -0.0008243313244429215 -0.30087267531508627

-1.5961538879483896 -0.30138912384217814.

x = −

=

Pada 1.00t = ,

3 299 99 99

1002

100 99 99

1 1 6 1( , ) 3 2

( , ) ( 6)x

x x xH x t

D H x t x x

− − + =− −

.

100 -0.020056974085409

13.879624260050

4.986604

4.9880

98

50

1503

0475735.

3x = −

=

4.3.1.2 Penyelesaian Pengkomputeran

Pengiraan manual mengambil masa yang lama. Program kaedah Newton-PH dirangka

dan hasilnya seperti ditunjukkan dalam Jadual 4.1:

63

Jadual 4.1:Punca Penyelesaian Persamaan (4.4) menggunakan kaedah Newton-PH

i t Fungsi homotopi, ),( txH i Penyelesaian, ix 0 0.00 0 3 0x − = 3 1 0.01 1 10.99 ( ) 0.01 ( ) 0g x f x+ = 2

3.1262626262626 0.02 2 20.98 ( ) 0.02 ( ) 0g x f x+ =

3 3.2526060599072

0.03 3 30.97 ( ) 0.03 ( ) 0g x f x+ = 4

3.3764172636442 0.04 4 40.96 ( ) 0.04 ( ) 0g x f x+ =

5 3.4953078722585

0.05 5 50.95 ( ) 0.05 ( ) 0g x f x+ = 6

3.6074216627418 0.06 6 60.94 ( ) 0.06 ( ) 0g x f x+ =

7 3.7115818421405

0.07 7 70.93 ( ) 0.07 ( ) 0g x f x+ = 8

3.8072680073716 0.08 8 80.92 ( ) 0.08 ( ) 0g x f x+ =

9 3.8944839301053

0.09 9 90.91 ( ) 0.09 ( ) 0g x f x+ = 10

3.9735914198062 0.10 10 100.90 ( ) 0.10 ( ) 0g x f x+ =

11 4.0451608179949

0.11 11 110.89 ( ) 0.11 ( ) 0g x f x+ = 12

4.1098583568128 0.12 12 120.88 ( ) 0.12 ( ) 0g x f x+ =

13 4.1683710571092

0.13 13 130.87 ( ) 0.13 ( ) 0g x f x+ = 14

4.2213616587034 0.14 14 140.86 ( ) 0.14 ( ) 0g x f x+ =

15 4.2694446727008

0.15 15 150.85 ( ) 0.15 ( ) 0g x f x+ =

4.3131760560684

98 99

0.98 0.99

98 980.02 ( ) 0.98 ( ) 0g x f x+ =

99 990.01 ( ) 0.99 ( ) 0g x f x+ = 4.9851312011869

100

4.9866049815033

1 100( ) 0f x = 4.9880500475735

Oleh itu, nilai hampiran penyelesaian dengan menggunakan kaedah Newton-PH adalah

4.9880500475735x = dan 6( ) 9.37 10f x −= × . Bagaimanapun, nilai hampiran menjadi

lebih tepat 8( ) 9.21 10f x −= × dengan 4.98804938638213x = apabila bilangan lelaran

ditingkatkan kepada 1000 lelaran.

64

4.3.2 Pelaksanaan Kaedah Adomian-PH

Kaedah Adomian-PH diimplementasikan melalui dua cara iaitu secara analitik

dan pengkomputeran seperti ditunjukkan di dalam seksyen 4.3.2.1 dan 4.3.2.2 secara

berturutan.

4.3.2.1 Penyelesaian Analitik

Kaedah Adomian-PH digunakan untuk menyelesaikan persamaan (4.4). Oleh

kerana kajian perbandingan dilakukan, maka nilai mula yang akan digunakan bagi

kaedah ini adalah sama nilainya dengan kaedah Newton-PH. Fungsi homotopi (4.5)

digunakan dengan fungsi homotopi tambahan ( ) 3g x x= − kerana nilai mula yang sama

0x dengan nilai mula untuk kaedah Newton-PH digunakan.

Sebelum pengiraan analitik dijalankan, fungsi-fungsi berikut dibentangkan

terlebih dahulu

[ ] 3 2

2

1 1(1 ) 3 6 1( , ) 3 2 .

( , ) (1 ) [ 6]x

t x t x x xH x t

D H x t t t x x

− − + − − + =− + − −

(4.6)

[ ] 3 2 2

2

3 2 3

1 1[(1 ) 3 6 1 ]( , ) 3 2 .

( ( , )) [(1 ) [ 6]]x

t x t x x xH x t

D H x t t t x x

− − + − − + =− + − −

(4.7)

[ ] 3 2 3

3

5 2 5

1 1[(1 ) 3 6 1 ]( , ) 3 2 .

( ( , )) [(1 ) [ 6]]x

t x t x x xH x t

D H x t t t x x

− − + − − + =− + − −

(4.8)

( , ) [2 1].xxD H x t t x= − (4.9)

65

Formula bagi kaedah Adomian-PH seperti berikut

.)),((2

)),()(,()),((2

),(),(),(

),(5

23

3

2

1 txHDtxHDtxH

txHDtxHDtxH

txHDtxH

xxix

ixxi

ix

ixxi

ix

iii −−−=+

Pada 0=t ,

0

( , ) 3 0,3.

H x t xx

= − =∴ =

Andaikan 10 =x , saiz langkah = 0.01 dan persamaan (4.6), (4.7), (4.8) dan (4.9)

digunakan.

Pada 01.0=t , [ ] 3 2

00

20

1 1(1 ) 3 6 1( , ) 3 2 .

( , ) (1 ) [ 6]x

t x t x x xH x t

D H x t t t x x

− − + − − + =− + − −

3 3

1

4 6

-0.125 1 (0.015625)(0.05) 1 ( 1.953125 10 )(2.5 10 )30.99 2 0.970299 2 0.950990049

3 0.126262626 4.025820907 10 2.567225864 103.1258626113978.

x− −

− −

− × ×= − − −

= + − × + ×=

Pada ,02.0=t

2 3 2

2 3 5

4 5

-0.125849 1 (-0.125849) ( 0.105035) 1 (-0.125849) (0.105035)3.1258626113978 0.992903 2 (0.992903) 2 (0.992903)

3.1258626113978+0.126748534 8.4973423 10 1.13933982 10 3.2517730746909.

x

− −

= − − −

= − × + ×=

Pengiraan diteruskan sehingga 1=t dan fungsi sasaran dicapai dan memuaskan

persamaan ( ,1) ( ).H x f x= Dengan menggunakan formula bagi kaedah Adomian-PH,

didapati 99x

99 4.9866042801342.x =

Pada ,1=t

66

2 3 2

100 3 5

3 -7 -11

-0.0200667 1 ( -0.0200667) ( 8.97321) 1 ( -0.0200667) ( 8.97321)4.9866042801342 13.8796 2 ( 13.8796) 2 ( 13.8796)

4.9866042801342 + 1.445769331 10 6.756766349 10 7.045039241 104.988

x

−

= − − −

= × − × − ×= 0493731860.


Kod pengaturcaraan bagi kaedah Adomian-PH kemudiannya dirangka dan

hasilnya seperti ditunjukkan dalam Jadual 4.2.

Jadual 4.2 : Pencarian Punca (4.4) menggunakan Kaedah Adomian-PH

i t Fungsi Homotopi, ),( txH i Penyelesaian, ix 0 0.00 0 3 0x − = 3 1 0.01 1 10.99 ( ) 0.01 ( ) 0g x f x+ = 2

3.1258626113978 0.02 2 20.98 ( ) 0.02 ( ) 0g x f x+ =

3 3.2517730746909

0.03 3 30.97 ( ) 0.03 ( ) 0g x f x+ = 4

3.3751894647251 0.04 4 40.96 ( ) 0.04 ( ) 0g x f x+ =

5 3.4937872848848

0.05 5 50.95 ( ) 0.05 ( ) 0g x f x+ = 6

3.6057429512848 0.06 6 60.94 ( ) 0.06 ( ) 0g x f x+ =

7 3.7098752823167

0.07 7 70.93 ( ) 0.07 ( ) 0g x f x+ = 8

3.8056342909933 0.08 8 80.92 ( ) 0.08 ( ) 0g x f x+ =

9 3.8929861712013

0.09 9 90.91 ( ) 0.09 ( ) 0g x f x+ = 10

3.9722595075257 0.10 10 100.90 ( ) 0.10 ( ) 0g x f x+ =

11 4.0440007852504

0.11 11 110.89 ( ) 0.11 ( ) 0g x f x+ = 12

4.1088617073528 0.12 12 120.88 ( ) 0.12 ( ) 0g x f x+ =

13 4.1675219207881

0.13 13 130.87 ( ) 0.13 ( ) 0g x f x+ = 14

4.2206414959518 0.14 14 140.86 ( ) 0.14 ( ) 0g x f x+ =

15 4.2688350121673

0.15 15 150.85 ( ) 0.15 ( ) 0g x f x+ =

4.3126598899010

98 99

0.98 0.99

98 980.02 ( ) 0.98 ( ) 0g x f x+ =

99 990.01 ( ) 0.99 ( ) 0g x f x+ = 4.9851304714756

100

4.9866042801342

1 100( ) 0f x = 4.9880493731860

67

Nilai hampiran penyelesaian dengan menggunakan kaedah Adomian-PH adalah

4.988049373186x = dan 9( ) 1.02 10f x −= × . Bagaimanapun, nilai hampiran menjadi

lebih tepat 13( ) 9.85 10f x −= × dengan 4.98804937311288x = apabila bilangan lelaran

ditingkatkan kepada 1000 lelaran.

4.3.3 Pelaksanaan dengan Kaedah Varian Baru Newton-PH

Kaedah Varian Baru Newton-PH diimplementasikan melalui dua cara iaitu

secara analitik dan pengkomputeran seperti ditunjukkan di dalam seksyen 4.3.3.1 dan

4.3.3.2 secara berturutan.


Formula kaedah Varian Baru Newton-PH yang diperkenalkan oleh Rafiq dan

Awais (2008)

1

( , ) .( , )

( , ) .2 ( , ) ( , )( , ) ( , )

ii i

x i

ii i

x i x i

x i x i

H x ty xD H x t


+

= −

= −

+

Pada 0=t ,

0

( , ) 3 0,3.

H x t xx

= − =∴ =

Andaikan 0 3x = dan saiz langkah = 0.01.

Pada 0.01t = ,

3 20 0 0 0

02

0 0 0

1 10.99( 3) 0.01 6 1( , ) 3 2 .

( , ) 0.99 0.01( 6)x

x x x xH x t

D H x t x x

− + − − + =+ − −

68

0-0.12530.99

3.1262626262626.

y = −

=

10.1253 2(0.99)(0.996473)

0.99 0.9964733 0.12585255895023.1258525589502.

x −= −

+= +=

Pada 0.02t = ,

3 21 1 1 1

12

1 1 1

1 10.98( 3) 0.02 6 1( , ) 3 2 .

( , ) 0.98 0.02( 6)x

x x x xH x t

D H x t x x

− + − − + =+ − −

1 -0.1258593.1258525589502 0.992902

3.252611291.

y = −

=

2-0.1258563.1258525589502 2(0.992902)(1.00654)

0.992902 1.0065433.1258525589502 0.1258971693.2517529597257.

x = −

+= +=

Pada 1t = ,

3 299 99 99

992

99 99 99

1 1 6 1( , ) 3 2 .

( , ) ( 6)x

x x xH x t

D H x t x x

− − + =− −

99 -0.0200667 4.9866042800183

13.8796 4.988050049.

y = −

=

100

3

-0.02006672(13.8796)(13.8926)13.879

4.9866042800183

4.98660426 13.8926

1.445092891 104.988049373076

800.

1837

x

−

= −

+= + ×=

69

4.3.3.2. Penyelesaian Pengkomputeran

Kod pengaturcaraan bagi kaedah Varian Baru Newton-PH kemudiannya

dirangka dan hasilnya seperti ditunjukkan dalam Jadual 4.3.

Jadual 4.3 : Pencarian Punca-Punca Persamaan (4.4) menggunakan Kaedah

Varian Baru Newton-PH

i t Fungsi Homotopi, ),( txH i Penyelesaian, ix 0 0.00 0 3 0x − = 3 1 0.01 1 10.99 ( ) 0.01 ( ) 0g x f x+ = 2

3.1258525589502 0.02 2 20.98 ( ) 0.02 ( ) 0g x f x+ =

3 3.2517529597257

0.03 3 30.97 ( ) 0.03 ( ) 0g x f x+ = 4

3.3751613126930 0.04 4 40.96 ( ) 0.04 ( ) 0g x f x+ =

5 3.4937545659777

0.05 5 50.95 ( ) 0.05 ( ) 0g x f x+ = 6

3.6057094559472 0.06 6 60.94 ( ) 0.06 ( ) 0g x f x+ =

7 3.7098440815463

0.07 7 70.93 ( ) 0.07 ( ) 0g x f x+ = 8

3.8056072240622 0.08 8 80.92 ( ) 0.08 ( ) 0g x f x+ =

9 3.8929638917489

0.09 9 90.91 ( ) 0.09 ( ) 0g x f x+ = 10

3.9722418392270 0.10 10 100.90 ( ) 0.10 ( ) 0g x f x+ =

11 4.0439871195032

0.11 11 110.89 ( ) 0.11 ( ) 0g x f x+ = 12

4.1088512995800 0.12 12 120.88 ( ) 0.12 ( ) 0g x f x+ =

13 4.1675140597307

0.13 13 130.87 ( ) 0.13 ( ) 0g x f x+ = 14

4.2206355765542 0.14 14 140.86 ( ) 0.14 ( ) 0g x f x+ =

15 4.2688305518531

0.15 15 150.85 ( ) 0.15 ( ) 0g x f x+ =

4.3126565180741

98 99

0.98 0.99

98 980.02 ( ) 0.98 ( ) 0g x f x+ =

99 990.01 ( ) 0.99 ( ) 0g x f x+ = 4.9851304713525

100

4.9866042800183

1 100( ) 0f x = 4.9880493730767

Nilai anggaran penyelesaian bagi persamaan (4.4) dengan menggunakan kaedah Varian

Baru Newton-PH yang dilelarkan 100 kali adalah 4.9880493730767x = dan

70

10( ) 5.02 10f x −= − × . Namun begitu, nilai fungsi menjadi lebih tepat jika dilelarkan

sebanyak 1000 kali iaitu 13( ) 4.83 10f x −= − × dengan 4.98804937311277x = .

4.4 Sistem Persamaan Polinomial

Sistem persamaan polinomial yang dipilih, berdasarkan hasil kajian penyelidik-

penyelidik terdahulu seperti (Rafiq & Awais, 2008; Noor & Waseem, 2009; Morgan,

1983). Contoh 4.2 digunakan untuk membandingkan kaedah-kaedah homotopi yang

telah dibentangkan pada permulaan Bab 4 dalam menyelesaikan sistem persamaan

polinomial ( ) 0.F x =

Contoh 4.2. Pertimbangkan sistem persamaan yang diketengahkan oleh Rafiq dan

Awais (2008)

2

12 2

2

( , ) 2 0.5 0.

( , ) 4 4 0.

f x y x x yf x y x y

= − − + =

= + − = (4.10)

Nilai mula bagi Kaedah Newton-PH, Adomian-PH dan Varian baru Newton-PH

ditetapkan 0 0( , ) (0,0)x y = . Fungsi homotopi yang digunakan adalah 1( )g x x= ,

2 ( )g y y= dan seterusnya menjadikan fungsi homotopi seperti berikut

[ ][ ]

21

2 22

( , , ) (1 ) 2 0.5 ,

( , , ) (1 ) 4 4 .

H x y t t x t x x y

H x y t t y t x y

= − + − − + = − + + −

(4.11)

71

4.4.1 Pelaksanaan Kaedah Newton-PH

Kaedah Newton-PH bagi sistem persamaan polinomial diimplementasikan

melalui dua cara iaitu secara analitik dan pengkomputeran seperti ditunjukkan di dalam

seksyen 4.4.1.1 dan 4.4.1.2 secara berturutan.


Kaedah Newton-PH digunakan secara analitikal bagi menyelesaikan sistem persamaan

(4.10).

Pada 0=t ,

1

2

0 0

( , , ) 0,( , , ) 0,

0 , 0.

H x y t xH x y t y

x y

= == =

∴ = =

Pada 0.01t = , fungsi homotopi menjadi 2

1 0 0 0 0 0 0( , , ) 0.99( ) 0.01( 2 0.5),H x y t x x x y= + − − + (4.12) 2 2

2 0 0 0 0 0( , , ) 0.99( ) 0.01( 4 4).H x y t y x y= + + − (4.13) Formula bagi kaedah Newton-PH kemudiaannya dimanipulasikan menjadi

11 1

01 1

1 0 2 2 2

,

dH dHxx Hdx dy

y y dH dH Hdx dy

− = −

1

0

0 0

0.99 0.02 0.02 0.010 0.005,

0.02 0.99 0.080 0.04xx y

−+ − − = − + −

10 0.97 0.01 0.005

,0 0 0.99 0.04

−− = − −

72

0 0.99 0.01 0.0051 ,0 0 0.97 0.040.9603

= − −

0 0.00473810267625

,0 -0.040404040404040

= −

-0.00473810267625

.0.040404040404040

=

Apabila 0.02t = , fungsi homotopi menjadi 2

1 1 1 1 1 1 1( , , ) 0.98( ) 0.02( 2 0.5),H x y t x x x y= + − − + (4.14) 2 2

2 1 1 1 1 1( , , ) 0.98( ) 0.02( 4 4).H x y t y x y= + + − (4.15) Seterusnya, nilai anggaran bagi 2 2( , )x y adalah

11 1

2 1 1

2 1 2 2 2

,

dH dHx x Hdx dyy y dH dH H

dx dy

− = −

1

1

1 1

0.98 0.04 0.04 0.02-0.00473810267625,

0.0.00473855166858

0.040272904 0.98 0.160.04040404040 92493 24 2040xx y

−+ − − = − + −

1 0.004738551670.000189524

-0.00473810267625 0.939810475 0.02,

0.040404040404040 0.986 0.040272992464646 5

−− = − − −

-0.00473810267625 0.9864646465 0.004738552

0.000189520.021 ,

0.040404040404040 0.93981047590.92708602 41 0.043 0272993

= − −

3-0.00473810267625 4.17324 10

,0.040404040404040 0.040824779

− × = − −

-0.0089113441770

,0.08122881978938

=

73

∴ 2

2

-0.0089113441770,

0.08122881978938xy

=

Apabila 1.00t = , fungsi homotopi menjadi sama seperti persamaan (4.10) iaitu 2

1 99 99 99 99 99( , , ) 2 0.5,H x y t x x y= − − + (4.16) 2 2

2 99 99 99 99( , , ) 4 4.H x y t x y= + − (4.17) Akhir sekali, didapati

100

100

1.9007239601485.

0.31126539031304xy

=

(4.18)


Kod pengaturcaraan bagi kaedah Newton-PH dalam menyelesaikan sistem

persamaan kemudiannya dirangka dan hasilnya seperti ditunjukkan di dalam Jadual 4.4.

74

Jadual 4.4 : Pencarian Punca Persamaan (4.10) menggunakan Kaedah Newton-PH

i t Fungsi Homotopi, ),,( tyxH ii Penyelesaian, i

i

xy

0 0.00 1 0 0H x= =

2 0 0H y= = 0

0

00

xy

=

1 0.01 21 1 1 1 1

2 22 1 1 1

0.99( ) 0.01( 2 0.5) 0

0.99( ) 0.01( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 1

1

-0.0047381026762470 0.040404040404040

xy

=

2 0.02 21 2 2 2 2

2 22 2 2 2

0.98( ) 0.02( 2 0.5) 0

0.98( ) 0.02( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 2

2

-0.0089113441770434 0.081228819789378

xy

=

3 0.03 21 3 3 3 3

2 22 3 3 3

0.97( ) 0.03( 2 0.5) 0

0.97( ) 0.03( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 3

3

-0.012463941175066 0.12206984657384

xy

=

4 0.04 21 4 4 4 4

2 22 4 4 4

0.96( ) 0.04( 2 0.5) 0

0.96( ) 0.04( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 4

4

-0.015349991970775 0.16252746960725

xy

=

5 0.05 21 5 5 5 5

2 22 2 5 5

0.95( ) 0.05( 2 0.5) 0

0.95( ) 0.05( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 5

5

-0.017533556465709 0.20223219773138

xy

=

6 0.06 21 6 6 6 6

2 22 6 6 6

0.94( ) 0.06( 2 0.5) 0

0.94( ) 0.06( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 6

6

-0.018987338831332 0.24086477485785

xy

=

7 0.07 21 7 7 7 7

2 22 7 7 7

0.93( ) 0.07( 2 0.5) 0

0.93( ) 0.07( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 7

7

-0.019690259889137 0.27816856491623

xy

=

98 0.98 2

1 98 98 98 982 2

2 98 98 98

0.02( ) 0.98( 2 0.5) 0

0.02( ) 0.98( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 98

98

1.8881506850944 0.327301848870955

xy

=

99 0.99 21 99 99 99 99

2 22 99 99 99

0.01( ) 0.99( 2 0.5) 0

0.01( ) 0.99( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 99

99

1.8945383257723 0.31929476508742

xy

=

100 1.00 21 100 100 1002 0.5 0H x x y= − − + =

2 22 100 1004 4 0H x y= + − =

100

100

1.9007239601485 0.31126539031304

xy

=

Nilai 100

100

1.9007239601485 0.31126539031304

xy

=

adalah nilai anggaran punca persamaan (4.10)

apabila kaedah Newton-PH diaplikasikan secara kiraan analitik dan kiraan

pengkomputeran. Bagaimanapun, apabila saiz langkah dikurangkan kepada 0.001t =

75

secara seragam (bilangan lelaran ditingkatkan kepada 1000 kali lelaran), nilai anggaran

menjadi lebih tepat dengan 71 3.72 10f −×= dan 6

2 2.96 10f −×= .

4.4.2 Pelaksanaan Kaedah Adomian-PH

Kaedah Adomian-PH bagi sistem persamaan polinomial diimplementasikan

melalui dua cara iaitu secara analitik dan pengkomputeran seperti ditunjukkan di dalam

seksyen 4.4.2.1 dan 4.4.2.2 secara berturutan.

4.4.2.1 Penyelesaian Analitik Daripada formula Adomian-PH, didapati

[ ] [ ]( ) [ ]( ) .)(21

21 35122311

1 HHDHDHHDHDHHDxx xxxxxxxii−−−

+ −−−= (4.19)

Fungsi homotopi adalah

[ ][ ]

21

2 22

( , , ) (1 ) 2 0.5 ,

( , , ) (1 ) 4 4 .

H x y t t x t x x y

H x y t t y t x y

= − + − − + = − + + −

Formula (4.15) juga boleh ditulis sebagai

−

−

−

=

−

−−

+

+

32

31

51

22

11

2

22

22

2

12

21

2

22

21

31

22

11

22

22

2

12

21

2

2

1

1

22

11

1

1

21

21

H

H

dydH

dxdH

dydH

dxdH

dyHd

dydxHd

dxdyHd

dxHd

H

H

dydH

dxdH

dydH

dxdH

dyHd

dydxHd

dxdyHd

dxHd

HH

dydH

dxdH

dydH

dxdH

yx

yx

i

i

i

i

76

101 0 0

0 01 0

31 50 0

30 0

0.99 0.01(2 2) 0.01 0.0050.01(2 ) 0.99 0.01(8 ) -0.04

0.99 0.01(2 2) 0.010.02 0 2.5 1010.01(2 ) 0.99 0.01(8 )0 0.082 1.6 10

1

xx x yx yy y

x yx y

−

− −

−

+ − − = − +

+ − − × − + ×

−

512 70 0

50 0

0.99 0.01(2 2) 0.010.02 0 1.25 100.01(2 ) 0.99 0.01(8 )0 0.082 6.4 10

x yx y

− −

−

+ − − × + − ×

11

1

5

3

74

3 5

0 0.97 0 0.0050 0 0.99 -0.04

0.01 0 1.095682681 0 2.5 100 0.04 0 1.030610152 1.6 10

1.164504922 0 1.25 102 10 00 1.0515357120 3.2 10 6.4 10

xy

−

−

−

−−

− −

= −

× − ×

× × − × − ×

53

3

74

3 5

0 0.010956826 0 2.5 105.050505 100 0 0.0412244060.041237113 1.6 10

1.25 102.3290098 10 00 3.3649143 10 6.4 10

−−

−

−−

− −

× × = − − − ×

× ×− × − ×

7 93

5 6

0 2.7392065 10 5.8225 105.050505 100 0.041237113 6.59590496 10 5.38386 10

− −−

− −

× × × = − − − − × ×

-0.00473837664409760.040338296708818

=

1

1

-0.00473837664409760.040338296708818

xy

=

Apabila 1.00t = , penyelesaian sasaran adalah

100

100

1.9007144923933.

0.31140049260531xy

=

(4.20)

77


Kod pengaturcaraan bagi kaedah Adomian-PH bagi menyelesaikan sistem persamaan

kemudiannya dirangka dan hasilnya seperti ditunjukkan di dalam Jadual 4.5.

Jadual 4.5 : Pencarian Punca Persamaan (4.10) menggunakan

Kaedah Adomian-PH

i t Fungsi Homotopi, ),,( tyxH ii Penyelesaian, i

i

xy

0 0.00 1 0 0H x= =

2 0 0H y= = 0

0

00

xy

=

1 0.01 21 1 1 1 1

2 22 1 1 1

0.99( ) 0.01( 2 0.5) 0

0.99( ) 0.01( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 1

1

-0.00473837664409760.040338296708818

xy

=

2 0.02 21 2 2 2 2

2 22 2 2 2

0.98( ) 0.02( 2 0.5) 0

0.98( ) 0.02( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 2

2

-0.00891187664987560.081094545392616

xy

=

3 0.03 21 3 3 3 3

2 22 3 3 3

0.97( ) 0.03( 2 0.5) 0

0.97( ) 0.03( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 3

3

-0.0124646926784180.12186953736657

xy

=

4 0.04 21 4 4 4 4

2 22 4 4 4

0.96( ) 0.04( 2 0.5) 0

0.96( ) 0.04( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 4

4

-0.0153509010338370.16226865861509

xy

=

5 0.05 21 5 5 5 5

2 22 5 5 5

0.95( ) 0.05( 2 0.5) 0

0.95( ) 0.05( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 5

5

-0.0175345477426330.20192629784913

xy

=

6 0.06 21 6 6 6 6

2 22 6 6 6

0.94( ) 0.06( 2 0.5) 0

0.94( ) 0.06( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 6

6

-0.0189883344986180.24052536181812

xy

=

7 0.07 21 7 7 3 3

2 22 7 7 7

0.93( ) 0.07( 2 0.5) 0

0.93( ) 0.07( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 7

7

-0.0196911900095350.27780957762117

xy

=

98 0.98 2

1 98 98 98 982 2

2 98 98 98

0.02( ) 0.98( 2 0.5) 0

0.02( ) 0.98( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 98

98

1.88813938902230.32743251283041

xy

=

99 0.99 21 99 99 99 99

2 22 99 99 99

0.01( ) 0.99( 2 0.5) 0

0.01( ) 0.99( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 99

99

1.89452797029990.31942757774095

xy

=

100 1.00 21 100 100 1002 0.5 0H x x y= − − + =

2 22 100 1004 4 0H x y= + − =

100

100

1.90071449239330.31140049260531

xy

=

78

Nilai anggaran penyelesaian persamaan (4.10) secara analitikal dan

pengkomputeran adalah ( ) ( )100 100, 1.9007144923933,0.31140049260531x y = dengan

1 -0.000113896f = dan 2 0.000596648773f = . Nilai penghampiran ini boleh menjadi

lebih tepat apabila kaedah ini dilelarkan sebanyak 1000 kali, menghasilkan

61 1.19 10f −×= dan 6

2 6.04 10f −×= .

4.4.3 Pelaksanaan Kaedah Varian Baru Newton-PH

Kaedah Varian Baru Newton-PH bagi sistem persamaan polinomial

diimplementasikan melalui dua cara iaitu secara analitik dan pengkomputeran seperti

ditunjukkan di dalam seksyen 4.4.3.1 dan 4.4.3.2 secara berturutan.


Formula bagi kaedah Varian Baru Newton-PH adalah seperti berikut

[ ]

[ ]

1 1

2

11 1

1 2

( , , )( , , ) ;

( , , )

( , , )1 ( , , ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , )) .( , , )2

i i i ix i i

i i i i

i i i ix i i x i i x i i x i i

i i i i

p x H x y tD H x y t

q y H x y t

x x H x y tD H x y t D H p q t D H x y t D H p q t

y y H x y t

−

−+

+

= −

= − +

Pengiraan analitikal bagi kaedah Varian Baru Newton-PH tidak ditunjukkan kerana

konsep pengiraannya sama dengan kaedah Newton-PH dan Adomian-PH.

79

4.4.4.2 Pengiraan Pengkomputeran

Kod pengaturcaraan bagi kaedah Varian Baru Newton-PH kemudiannya dirangka dan

hasilnya seperti ditunjukkan di dalam Jadual 4.6.

Jadual 4.6 : Pencarian Punca Persamaan (4.10) menggunakan Kaedah Varian Baru Newton-PH

i t Fungsi Homotopi, ),,( tyxH ii

Penyelesaian, i

i

xy

0 0.0 1 0 0H x= =

2 0 0H y= = 0

0

00

xy

=

1 0.01 21 1 1 1 1

2 22 1 1 1

0.99( ) 0.01( 2 0.5) 0

0.99( ) 0.01( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 1

1

-0.004738297188370.040338084866389

xy

=

2 0.02 21 2 2 2 2

2 22 2 2 2

0.98( ) 0.02( 2 0.5) 0

0.98( ) 0.02( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 2

2

-0.008911463119340.081094251975283

xy

=

98 0.98 2

1 98 98 98 982 2

2 98 98 98

0.02( ) 0.98( 2 0.5) 0

0.02( ) 0.98( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 98

98

1.88806065812290.32718541005512

xy

=

99 0.99 21 99 99 99 99

2 22 99 99 99

0.01( ) 0.99( 2 0.5) 0

0.01( ) 0.99( 4 4) 0

H x x x yH y x y

= + − − + =

= + + − = 99

99

1.89444882202600.31917636471845

xy

=

100 1.00 21 100 100 1002 0.5 0H x x y= − − + =

2 22 100 1004 4 0H x y= + − =

100

100

1.90063481971110.31114490055178

xy

=

Nilai anggaran penyelesaian persamaan (4.10) secara analitikal dan

pengkomputeran adalah 100

100

1.90063481971110.31114490055178

xy

=

dengan 61 -1.82 10f −= × dan

42 -3.43 10f −= × . Nilai penghampiran ini boleh menjadi lebih tepat apabila kaedah ini

dilelarkan sebanyak 1000 kali, menghasilkan 91 5.53 10f −− ×= dan 6

2 3.45 10f −− ×= .

80

Beberapa contoh persamaan polinomial lain turut dikaji sebelum keputusan

kaedah terbaik dibuat seperti di dalam Contoh 4.3, Contoh 4.4, Contoh 4.5 dan Contoh

4.6. Contoh 4.3 dan Contoh 4.4 merupakah contoh lain persamaan polinomial tunggal,

manakala Contoh 4.5 dan Contoh 4.6 merupakan contoh lain bagi sistem persamaan

polinomial.

Contoh 4.3. Pertimbangkan persamaan tunggal seperti dibincangkan dalam Wu (2005a)

3 2( ) 3 2 3 0.f x x x x= − + + = (4.21)

Nilai mula yang dipilih bagi setiap kaedah bandingan adalah 0 1x = . Semua kaedah

yang dibandingkan mempunyai fungsi tambahan 0( ) .g x x x= − Hasil kajian

perbandingan seperti dalam Jadual 4.9 dan Jadual 4.10.

Contoh 4.4. Pertimbangkan persamaan polinomial tunggal berikut yang telah dikaji

oleh Chun dan Neta (2012)

5 4 2( ) 4 15 0.f x x x x= + + − = (4.22) Nilai mula yang digunakan adalah 0 1.6x = . Semua kaedah homotopi yang dibandingkan

mempunyai fungsi tambahan 0( ) .g x x x= − Keputusan yang diperolehi dibentangkan di

dalam Jadual 4.11 dan Jadual 4.12.

Contoh 4.5.Pertimbangkan contoh yang diketengahkan oleh Noor dan Waseem (2009)

2 2 21

2 22

2 2 23

( , , ) 1 0,

( , , ) 2 4 0,

( , , ) 3 4 0.

f x y z x y zf x y z x y zf x y z x y z

= + + − =

= + − =

= − + =

(4.23)

81

Fungsi homotopi tambahan 1( )g x x= , 2 ( )g y y= , 3( )g z z= dan nilai mula

0 0 0( , , ) (0,0,0)x y z = digunakan bagi Kaedah Newton-PH, Kaedah Adomian-PH dan

Kaedah Varian Baru Newton-PH. Fungsi-fungsi homotopi seperti berikut

2 2 2

1( , , , ) (1 )( ) ( 1),i i i i i i iH x y z t t x t x y z= − + + + − (4.24) 2 2

2 ( , , , ) (1 )( ) (2 4 ),i i i i i i iH x y z t t y t x y z= − + + − (4.25) 2 2 2

3 ( , , , ) (1 )( ) (3 4 ).i i i i i i iH x y z t t z t x y z= − + − + (4.26) Keputusan yang diperolehi dibentangkan di dalam Jadual 4.15 dan 4.16.

Contoh 4.6. Pertimbangkan contoh yang dibincangkan oleh Morgan (1983)

1

22

3

24

( , , , ) 10 0,

( , , , ) 5( ) 0,

( , , , ) ( 2 ) 0,

( , , , ) 10( ) 0.

f w x y z x y

f w x y z z wf w x y z y z

f w x y z x w

= + =

= − =

= − =

= − =

(4.27)

Fungsi homotopi tambahan 1( ) 1g w w= − , 2 ( ) 4g x x= − , 3 ( ) 1g y y= − , 4 ( ) 2g z z= −

dan nilai mula 0 0 0 0( , , , ) (1,4,1,2)w x y z = digunakan. Maka, fungsi homotopi menjadi

1( , , , , ) (1 )( 1) ( 10 ),i i i i i i iH w x y z t t w t x y= − − + + (4.28)

2 ( , , , , ) (1 )( 4) ( 5( )),i i i i iH w x y z t t x t z w= − − + − (4.29) 2

3 ( , , , , ) (1 )( 1) ( 2 ) ,i i i i iH w x y z t t y t y z= − − + − (4.30) 2

4 ( , , , , ) (1 )( 2) ( 10( ) ).i i i i iH w x y z t t z t x w= − − + − (4.31) Keputusan yang diperolehi dibentangkan di dalam Jadual 4.17 dan Jadual 4.18.

82

4.5 Keputusan dan Perbincangan

Dengan menggunakan penyelesaian Mathematica 7.0, salah satu nilai sebenar

punca persamaan (4.4), (4.21) dan (4.22) adalah

4.988049373112809,x = (4.32) 0.671699881657161,x −= (4.33) 1.34742809896830498150671538,x = (4.34) secara berturutan. Manakala, salah satu nilai sebenar punca persamaan (4.10), (4.23) dan

(4.27) adalah

1.900676726367067

,0.3112185654192956

xy

=

(4.35)

0.6982886099715059

0.6285242979602065 ,0.3425641896895694

xyz

=

−

(4.36)

00

,00

wxyz

=

(4.37)

secara berturutan dan nilai anggaran penyelesaian bergantung pada kaedah homotopi

yang digunakan. Kadar ketepatan kaedah perselanjaran homotopi diukur dengan

membandingkan nilai fungsi ( )f x dan ( )F x

. Nilai x dan x

yang diperolehi

dimasukkan ke dalam fungsi ( )f x dan ( )F x

. Nilai ( )F x

yang terhasil kemudiannya

dibandingkan dengan kriteria penumpuan (4.3) untuk mendapatkan kadar ketepatan ε

83

yang sesuai. Kaedah-kaedah homotopi dilelarkan sebanyak 100 dan 1000 kali seperti

dalam Jadual 4.7 – Jadual 4.18 bagi setiap persamaan polinomial yang dipilih.

Jadual 4.7: Perbandingan kaedah-kaedah homotopi bagi Persamaan (4.4) yang dilelarkan 100 kali

Kaedah 100 lelaran, ( )f x

ε

Newton-PH 69.37 10−× 510− Adomian-PH 91.02 10−× 810− Varian Baru Newton-PH 105.02 10−− × 910−


Kaedah 1000 Lelaran, ( )f x

ε

Newton-PH 89.21 10−× 710− Adomian-PH 139.85 10−× 1210− Varian Baru Newton-PH 134.83 10−− × 1210−



ε

Newton-PH 52.62 10−− × 410− Adomian-PH 81.23 10−− × 710− Varian Baru Newton-PH 95.95 10−× 810−



ε

Newton-PH 72.58 10−− × 610− Adomian-PH 111.17 10−− × 1010− Varian Baru Newton-PH 125.82 10−× 1110−

84



ε

Newton-PH 71.87 10−× 610− Adomian-PH 127.68 10−− × 1110− Varian Baru Newton-PH 123.84 10−× 1110−



ε

Newton-PH 91.83 10−× 810− Adomian-PH 159.22 10−− × 1410− Varian Baru Newton-PH 157.24 10−× 1410−

Didapati juga nilai kadar ketepatan menggunakan kaedah Varian Baru Newton-

PH boleh mencecah sehingga 1410ε −= apabila dilelarkan sebanyak 1000 kali. Kaedah

ini telah mengatasi kaedah-kaedah homotopi lain dari segi ketepatan dalam

menyelesaikan persamaan polinomial tunggal.

Nilai fungsi anggaran ( , )f x y bagi 100 dan 1000 lelaran bagi Persamaan (4.10)

menggunakan beberapa kaedah PH ditunjukkan dalam Jadual 4.13 hingga Jadual 4.18.

Jadual 4.13 : Perbandingan antara kaedah-kaedah homotopi untuk menyelesaikan Persamaan (4.10) dengan 100 lelaran

Kaedah 100

lelaran, ( , )f x y ε

Newton-PH 51 3.83 10f −= ×

42 2.96 10f −= ×

310−

Adomian-PH 41 1.14 10f −= − ×

42 5.97 10f −= ×

310−

Varian Baru Newton-PH 61 1.82 10f −= − ×

42 3.43 10f −= − ×

310−

85

Jadual 4.14 : Perbandingan antara kaedah-kaedah homotopi untuk menyelesaikan Persamaan (4.10) dengan 1000 lelaran

Salah satu penyelesaian bagi persamaan (4.10) adalah

1.900677195058510.31121903803794

xy

=

. Didapati nilai kadar ketepatan kaedah Newton-PH,

Adomian-PH dan Varian Baru Newton-PH mempunyai kadar ketepatan yang sama

310ε −= dan 510ε −= apabila dilelarkan 100 dan 1000 kali secara berturutan. Kajian

perbandingan diteruskan untuk sistem persamaan yang mempunyai tiga persamaan

polinomial kerana keputusan kaedah terbaik tidak dapat dibuat.

Nilai anggaran punca persamaan (4.23) berbeza bergantung pada kaedah

homotopi yang digunakan. Nilai fungsi anggaran ( , )f x y bagi 100 dan 1000 lelaran bagi

Persamaan (4.23) menggunakan beberapa kaedah PH ditunjukkan di dalam Jadual 4.15

dan Jadual 4.16.

Kaedah 1000 lelaran, ( , )f x y

ε

Newton-PH 71 3.72 10f −= ×

62 2.96 10f −= ×

510−

Adomian-PH 61 1.19 10f −= − ×

62 6.04 10f −= ×

510−


62 3.45 10f −= − ×

510−

86

Jadual 4.15 : Perbandingan antara kaedah-kaedah homotopi untuk menyelesaikan persamaan (4.23) dengan 100 lelaran


Kaedah 1000

lelaran, ( , , )f x y z ε

Newton-PH 71 1.79 10f −= ×

72 1.02 10f −= ×

73 1.54 10f −= ×

610−

Adomian-PH 71 1.37 10f −= ×

82 9.14 10f −= ×

73 1.50 10f −= ×

610−


72 1.96 10f −= − ×

73 1.15 10f −= − ×

610−

Didapati kaedah Newton-PH, Adomian-PH dan Varian Baru Newton-PH

menunjukkan ketepatan yang sama 410ε −= . Ketiga-tiga kaedah homotopi tersebut

masih menumpu dengan ketepatan sama 610ε −= apabila dilelarkan sebanyak 1000 kali.

Oleh itu, tiada keputusan dapat dibuat dan kajian diteruskan lagi dengan satu sistem

Kaedah 100 lelaran, ( , , )f x y z

ε

Newton-PH 51 1.82 10f −= ×

52 1.04 10f −= ×

53 1.56 10f −= ×

410−

Adomian-PH 51 1.40 10f −= ×

62 9.27 10f −= ×

53 1.52 10f −= ×

410−


52 2 10f −= − ×

53 1.17 10f −= − ×

410−

87

yang mempunyai empat persamaan polinomial dengan empat pembolehubah. Jadual

4.17 dan Jadual 4.18 menunjukkan nilai anggaran fungsi (4.27) apabila dilelarkan

sebanyak 100 dan 1000 kali.

Jadual 4.17: Perbandingan antara kaedah-kaedah homotopi untuk menyelesaikan persamaan (4.27) dengan 100 lelaran

Kaedah 100

lelaran, ( , , , )f w x y z ε

Newton-PH 161 6.36 10f −= − ×

152 2.72 10f −= − ×

33 2.88 10f −= ×

34 5.61 10f −= ×

210−

Adomian-PH iSemua f mencapah Varian Baru Newton-PH

Tiada 3

1 3.29 10f −= × 2

2 1.17 10f −= × 4

3 1.58 10f −= × 4

4 5.48 10f −= ×

110−


Kaedah 1000

lelaran, ( , , , )f w x y z ε

Newton-PH 161 6.67 10f −= − ×

15

2 2.67 10f −= − ×

43 2.86 10f −= ×

4

4 5.78 10f −= ×

310−

Adomian-PH iSemua f mencapah Varian Baru Newton-PH

Tiada 4

1 3.13 10f −= × 3

2 1.16 10f −= × 5

3 1.56 10f −= × 5

4 5.12 10f −= ×

210−

88

Didapati kaedah Newton-PH menunjukkan ketepatan yang tinggi berbanding

kaedah-kaedah PH yang lain. Manakala kaedah Adomian-PH mula menunjukkan

pencapahan dan kaedah Varian Baru Newton-PH mempunyai ketepatan yang rendah dan

mengambil masa yang lama untuk menumpu berbanding kaedah Newton-PH. Oleh itu,

kaedah Newton-PH dipilih sebagai kaedah yang terbaik bagi kategori sistem persamaan.

Keputusan dalam menyelesaikan persamaan tunggal (4.4), (4.21) dan (4.22)

menunjukkan Kaedah Varian Baru Newton-PH mempunyai nilai penghampiran yang

lebih baik berbanding kaedah-kaedah bandingan yang lain. Manakala bacaan dalam

jadual bagi sistem persamaan (4,10), (4,23) dan (4.27) menunjukkan Kaedah Newton-

PH mempunyai bacaan yang lebih baik berbanding kaedah-kaedah bandingan yang lain

dalam menyelesaikan sistem persamaan.

Titik penyelesaian nyata yang lain boleh diperolehi dengan nilai mula yang lain

dan fungsi homotopi tambahan yang sepadan. Bagi persamaan-persamaan yang

mengandungi punca-punca yang tidak nyata, tesis ini tidak menekankan perkara ini.

Bagaimanapun, punca-punca yang tidak nyata boleh diperolehi jika nilai mula yang

ditetapkan juga tidak nyata. Ini dapat dilihat daripada contoh yang diketengahkan oleh

Palancz et al. (2010).

4.6 Kesimpulan

Dalam bab ini, kajian perbandingan antara beberapa kaedah homotopi telah

dijalankan. Hasil kajian mendapati bahawa kaedah terbaik untuk menyelesaikan

persamaan polinomial tunggal adalah Kaedah Varian Baru Newton Perselanjaran

89

Homotopi. Manakala kaedah terbaik dalam menyelesaikan sistem persamaan adalah

Kaedah Newton Perselanjaran Homotopi. Pemilihannya dibuat berdasarkan nilai ε yang

minimum antara kaedah-kaedah homotopi itu. Sumbangan asli dalam bab ini adalah

keupayaan menyerlahkan keistimewaan atau kekurangan bagi setiap kaedah-kaedah

perselanjaran homotopi dalam menyelesaikan persamaan-persamaan polinomial. Kajian

akan diteruskan dalam bab seterusnya dengan memperkenalkan fungsi homotopi baru.

90

BAB 5

FUNGSI HOMOTOPI BEZIER KUADRATIK

5.1 Pengenalan

Kajian perbandingan terhadap kaedah-kaedah homotopi telah dijalankan dengan

menggunakan fungsi homotopi piawai. Dalam bab ini, satu fungsi homotopi baru akan

diperkenalkan yang juga berperanan menyelesaikan persamaan-persamaan polinomial

sama ada persamaan tunggal ataupun sistem persamaan. Fungsi homotopi baru yang

akan diperkenalkan diberi nama Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik (FHBK). Kajian

perbandingan melibatkan fungsi homotopi piawai (FHP) dengan FHBK dengan melihat

kadar ketepatan punca persamaan. Skop-skop kajian adalah seperti berikut:

vi) Bilangan lelaran adalah 10, 100 dan 1000 lelaran (untuk melihat sejauh


lelaran).

vii) Nilai saiz langkah bagi kaedah PH meningkat secara seragam.

viii) Nilai mula bagi kaedah PH adalah sama.

ix) Fungsi )(xf atau ( )F x



Oleh kerana kaedah terbaik untuk persamaan tunggal

( ) 0f x = (5.1)

91

adalah Kaedah Varian Baru Newton-PH, maka perbandingan antara fungsi homotopi

piawai dan baru akan menggunakan kaedah ini. Didapati kaedah Newton-PH adalah

kaedah terbaik dalam menyelesaikan sistem persamaan

( ) 0,F x =

(5.2)

maka kaedah Newton-PH akan digunakan.

5.2 Algoritma

Algoritma bagi kaedah terbaik dengan menggunakan fungsi homotopi piawai dan fungsi

homotopi Bezier kuadratik ditunjukkan terlebih dahulu sebelum kajian pembandingan

dilaksanakan. Algoritma 5.1 hingga 5.4 ditunjukkan seperti berikut.

( ) 0.f x =5.2.1. Persamaan Polinomial Tunggal

Algoritma 5.1: Kaedah Varian Baru Newton-PH menggunakan fungsi homotopi piawai Data masuk: Nilai mula 0x .k, bilangan lelaran maksimum

.kxData keluar: Nilai anggaran penyelesaian 0.t =Langkah 1: Tetapkan 10.k =Langkah 2: Tetapkan

0i =Langkah 3: Jika , 1i k≤ − , i + + lakukan langkah 4 – 5

1

( , ) ,( , )

( , ) .2 ( , ) ( , )( , ) ( , )

ii i

x i

ii i

x i x i

x i x i

H x ty xD H x t


+

= −

= −

+

Langkah 4: Tetapkan

1ix +Langkah 5: Paparkan hasil: . Jika lain: Keluar dari gelung

kxLangkah 6: Data keluar dan ( )kf x . 100k =Langkah 7: Ulang prosedur yang sama dengan menambah bilangan lelaran

dan kemudian 1000k = . Prosedur tamat. BERHENTI

92

Algoritma 5.2: Kaedah Varian Baru Newton-PH menggunakan fungsi homotopi baru Data masuk: Nilai mula 0x .k, bilangan lelaran maksimum

.kxData keluar: Nilai anggaran penyelesaian 0.t =Langkah 1: Tetapkan 10.k =Langkah 2: Tetapkan


2

2

21

2 2

2 2

( , )( , )

( , )2 ( , ) ( , )

( , ) ( , )

ii i

x i

ii i

x i x i

x i x i

H x ty xD H x t


+

= −

= −

+

Langkah 4: Tetapkan

1ix +Langkah 5: Paparkan hasil: . Jika lain: Keluar dari gelung

kxLangkah 6: Data keluar dan ( )kf x . 100k =Langkah 7: Ulang prosedur yang sama dengan menambah bilangan lelaran

dan kemudian 1000k = . Prosedur tamat. BERHENTI.

( ) 0F x =

5.2.2. Sistem Persamaan Polinomial Algoritma 5.3. Kaedah Newton-PH dengan fungsi homotopi piawai Data masuk: Nilai mula 0x

.k, bilangan lelaran maksimum .kx

Data keluar: Nilai anggaran penyelesaian 0.t =Langkah 1: Tetapkan 10.k =Langkah 2: Tetapkan

0i =Langkah 3: Jika , 1i k≤ − , i + + lakukan langkah 4 - 5 1

1 ( , ) ( , )i i x ix x D H x t H x t−

+ = −

Langkah 4: Tetapkan , 0,1, 2,..., 1.i k= −

1ix +

Langkah 5: Paparkan hasil: . Jika lain: Keluar dari gelung

kx

Langkah 6: Data keluar dan ( )kF x

. 100k =Langkah 7: Ulang prosedur yang sama dengan menambah bilangan lelaran

dan kemudian 1000k = . Prosedur tamat. BERHENTI. Algoritma 5.4. Newton-PH dengan fungsi homotopi Bezier kuadratik Data masuk: Nilai mula 0x

.k, bilangan lelaran maksimum .kx

Data keluar: Nilai anggaran penyelesaian 0.t =Langkah 1: Tetapkan 10.k =Langkah 2: Tetapkan

0i =Langkah 3: Jika , 1i k≤ − , i + + lakukan langkah 4 - 5

93

1

1 2 2( , ) ( , )i i x ix x D H x t H x t−

+ = −


1ix +

Langkah 5: Paparkan hasil: . Jika lain: Keluar dari gelung

kx


. 100k =Langkah 7: Ulang prosedur yang sama dengan menambah bilangan lelaran

dan kemudian 1000k = .

( , ) (1 ) ( ) ( ),H x t t g x tf x= − +

Prosedur tamat. BERHENTI.

5.3 Fungsi Homotopi Piawai

Fungsi homotopi piawai akan dibincangkan merangkumi dua kategori iaitu

penggunaan fungsi homotopi piawai dalam penyelesaian persamaan polinomial tunggal

dan sistem persamaan polinomial. Persamaan polinomial tunggal dan sistem polinomial

yang akan dipilih,berdasarkan hasil kajian oleh Kotsireas (2001).

5.3.1 Persamaan Polinomial Tunggal

Fungsi homotopi piawai adalah

(5.3)

dengan ( )g x dan ( )f x merupakan fungsi homotopi tambahan dan fungsi sasaran secara

berturutan. Manakala t merupakan parameter bebas yang berubah dari 0 hingga 1,

[0,1].t∈ Apabila 0t = dan 1,t = keadaan fungsi akan menjadi seperti berikut

( ,0) ( ),H x g x= (5.4)

( ,1) ( ).H x f x= (5.5)

Untuk memudahkan kefahaman tentang fungsi homotopi, Contoh 5.1 yang mewakili

persamaan tunggal dikaji.

94

Contoh 5.1. Pertimbangkan contoh mudah yang dibincangkan oleh Kotsireas (2001)

iaitu

2 21( ) ( )( 4 )0,4

f x x x= − − = (5.6)

dan fungsi homotopi tambahan yang digunakan adalah 2( ) 1.g x x= − Fungsi homotopi

(5.3) akan menjadi

2 2 21( , ) (1 )( 1) ( )( 4).4

H x t t x t x x= − − + − − (5.7)

Apabila ( , ) 0H x t = , terdapat satu set persamaan ( , ) 0i i i

k

H x t = perlu diselesaikan.

Dengan itu, terdapat satu set penyelesaian ix dengan 0,1, 2, ,i k= dan k = bilangan

lelaran. Jika terdapat k lelaran, maka bilangan persamaan terlibat adalah k+1. Jika

k=10, maka persamaan (5.7) meningkat secara seragam 0.1t = . Laluan homotopi

persamaan (5.7) boleh digambarkan secara grafik seperti dalam Rajah 5.1.

Rajah 5.1 : Laluan Homotopi Persamaan (5.7)

95

Rajah 5.1 menunjukkan pergerakan 2

0( ,0) 1 ( )H x x g x= − = ke

2 210( ,1) ( 0.25)( 4) ( )H x x x f x= − − = dengan peningkatan parameter t yang seragam

iaitu sebanyak 0.1. Melalui pengiraan komputer, punca-punca persamaan ( ) 0f x =

boleh dikesan dengan mempelbagaikan nilai mula. Jadual 5.1 dan 5.2 menunjukkan

penyelesaian persamaan (5.6) dari dua nilai mula berbeza iaitu 0 1x = dan 0 1x = − .

Jadual 5.1 : Pencarian Punca Persamaan (5.6) dengan menggunakan fungsi homotopi piawai apabila 0 1x =

i t Fungsi Homotopi, ),( txH i Penyelesaian, ix 0 0.0 2

0 1 0x − = 1 1 0.1 2 2 2

1 1 10.9( 1) 0.1( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 2

1.1478580279696 0.2 2 2 2

2 2 20.8( 1) 0.2( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 3

1.3645140430099 0.3 2 2 2

3 3 30.7( 1) 0.3( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 4

1.5708287445608 0.4 2 2 2

4 4 40.6( 1) 0.4( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 5

1.7093376828405 0.5 2 2 2

5 5 50.5( 1) 0.5( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 6

1.8027016490996 0.6 2 2 2

6 6 60.4( 1) 0.6( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 7

1.8675091398830 0.7 2 2 2

7 7 70.3( 1) 0.7( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 8

1.9145379215149 0.8 2 2 2

8 8 80.2( 1) 0.8( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 9

1.9500607888658 0.9 2 2 2

9 9 90.1( 1) 0.9( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 10

1.9777835965031 1.0 2 2

10 10( 0.25)( 4) 0x x− − = 1.9999974264118

96

Jadual 5.2 : Pencarian Punca Persamaan (5.6) dengan menggunakan fungsi homotopi piawai apabila 0 1x = −


0 1 0x − = 1− 1 0.1 2 2 2

1 1 10.9( 1) 0.1( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 2

-1.1478580279696 0.2 2 2 2

2 2 20.8( 1) 0.2( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 3

-1.3645140430099 0.3 2 2 2

3 3 30.7( 1) 0.3( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 4

-1.5708287445608 0.4 2 2 2

4 4 40.6( 1) 0.4( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 5

-1.7093376828405 0.5 2 2 2

5 5 50.5( 1) 0.5( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 6

-1.8027016490996 0.6 2 2 2

6 6 60.4( 1) 0.6( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 7

-1.8675091398830 0.7 2 2 2

7 7 70.3( 1) 0.7( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 8

-1.9145379215149 0.8 2 2 2

8 8 80.2( 1) 0.8( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 9

-1.9500607888658 0.9 2 2 2

9 9 90.1( 1) 0.9( 0.25)( 4) 0x x x− + − − = 10

-1.9777835965031 1.0 2 2

10 10( 0.25)( 4) 0x x− − = -1.9999974264118

Nilai mula 0 1x = akan bergerak sehingga 10 1.9999974264118x = , manakala

nilai mula 0 1x = − bergerak menuju 10 1.9999974264118.x = − Berdasarkan syarat (5.5),

10 1.9999974264118 , 1.9999974264118x = − merupakan nilai anggaran penyelesaian

bagi persamaan (5.6).

5.3.2 Sistem Persamaan Polinomial

Fungsi homotopi piawai bagi menyelesaikan sistem persamaan (5.2) adalah seperti

berikut

( , ) (1 ) ( ) ( )H x t t G x tF x= − +

(5.8)

dengan

97

1 1 2

2 1 2

1 2

( , , , )( , , , )

( ) ,

( , , , )

n

n

n n

g x x xg x x x

G x

g x x x

=

(5.9)

1 1 2

2 1 2

1 2

( , , , )( , , , )

( ) ,

( , , , )

n

n

n n

f x x xf x x x

F x

f x x x

=

(5.10)

dan t adalah parameter bebas yang bermula dari 0 hingga 1, [0,1].t∈ Maka, fungsi

homotopi (5.8) boleh dipecahkan kepada

( ,0) ( ),H x G x=

(5.11)

( ,1) ( ).H x F x=

(5.12)

Untuk memudahkan kefahaman tentang fungsi homotopi dalam sistem persamaan,

Contoh 5.2 dikaji.

Contoh 5.2. Pertimbangkan satu contoh mudah sistem persamaan polinomial yang

dibentangkan oleh Kotsireas (2001) iaitu

2 2

1( , ) 25 0,f x y x y= + − = (5.13)

22 ( , ) 5 0,f x y x y= − − = (5.14)

dan fungsi homotopi tambahan yang digunakan adalah

2 2

1( , ) 4 0,g x y x y= + − = (5.15)

22 ( , ) 4 0.g x y x y= − − = (5.16)

98

Maka, fungsi homotopi akan menjadi

2 2 2 2

1( , , ) (1 )( 4) ( 25) 0,H x y t t x y t x y= − + − + + − = (5.17)

2 22 ( , , ) (1 )( 4) ( 5) 0.H x y t t x y t x y= − − − + − − = (5.18)

Secara jelasnya, persamaan (5.17) dan (5.18) memuaskan dua syarat sempadan

iaitu sepadan dengan persamaan (5.11) dan (5.12) apabila 0t = dan 1t = secara

berturutan. Lengkungan parameter akan digunakan untuk mengurangkan tiga dimensi

kepada satah-xy. Persamaan-persamaan parameter bagi persamaan (5.13) dan (5.14)

adalah seperti berikut

( , ) (5cos( ),5sin( ))x y θ θ= (5.19)

2( , ) ( , 5).x y λ λ= − (5.20)

Sementara persamaan parameter bagi fungsi homotopi tambahan seperti berikut

( , ) (2cos( ), 2sin( ))x y θ θ= (5.21)

2( , ) ( , 4),x y λ λ= − (5.22)

dengan [0,2 ]θ π∈ dan λ−∞ < < ∞ . Rajah 5.2 mewakili lengkung parameter bagi

fungsi homotopi tambahan apabila 0t = . Manakala Rajah 5.3 mewakili lengkung

parameter bagi persamaan (5.19) dan (5.20).

99

6 4 2 0 2 4 66

4

2

0

2

4

6

x

y

Rajah 5.2: Lengkung Parameter Persamaan (5.21) dan (5.22)

( )G x

Rajah 5.3: Lengkung Parameter Persamaan (5.19) dan (5.20)

Rajah 5.2 dan 5.3 merujuk pada pergerakan lengkung parameter fungsi homotopi

tambahan kepada lengkung parameter ( )F x

. Titik-titik persilangan dalam Rajah

5.3 merujuk kepada nilai sebenar punca-punca persamaan (5.13) dan (5.14). Dengan

menggunakan kaedah Newton-PH, punca-punca persamaan yang dikesan adalah

100

1 1

2 2

3 3

( , ) (-3.00145600152124, 4.00572223659423),( , ) (0.18181373214512, -5.00572223689327),( , ) (3.00145600152124, 4.00572223659423).

x yx yx y

===

(5.23)

Nilai ( , )F x y merujuk kepada kadar ketepatan punca-punca persamaan yang memenuhi

kriteria penumpuan

( ) ,kF x ε

∞<

(5.24)

dengan 10dε = dan d adalah integer bukan positif. Dalam erti kata lain, semakin dekat

( , )F x y menghampiri sifar, semakin tepat anggaran punca persamaan itu. Jadual 5.3

menunjukkan nilaian ( , )F x y dengan 10 kali lelaran apabila tiga nilai mula yang

berbeza digunakan. Salah satu punca persamaan (5.23) boleh dikesan melalui nilai mula

0 0( , ) ( 2,0)x y = − sebagaimana ditunjukkan dalam Jadual 5.4.

Jadual 5.3: Anggaran nilai fungsi (5.13) dan (5.14) dengan menggunakan kaedah Newton-PH dan fungsi homotopi piawai apabila k = 10 Nilai mula ( 2,0)− (0.1, 2)− (2,0)

1( , )f x y 21 1 1( , ) 5.45 10f x y −= × 2

1 2 2( , ) 9.03 10f x y −= × 21 3 3( , ) 5.45 10f x y −= ×

2 ( , )f x y 32 1 1( , ) 3.02 10f x y −= × 2

2 2 2( , ) 3.87 10f x y −= × 32 3 3( , ) 3.02 10f x y −= ×

101

Jadual 5.4 : Pencarian Punca Persamaan bagi Contoh 5.2 menggunakan Kaedah Newton-PH dan fungsi homotopi piawai apabila 0 0( , ) ( 2,0)x y = −

i t Fungsi Homotopi, ),,( tyxH ii Penyelesaian,

n

n

yx

0 0.0 2 21

22

4 0

4 0

H x yH x y

= + − =

= − − =

−=

02

0

0

yx

1 0.1 2 2 2 21

2 22

0.9( 4) 0.1( 25) 0

0.9( 4) 0.1( 5) 0

H x y x yH x y x y

= + − + + − =

= − − + − − =

=

2

2.525-

1

1

yx

2 0.2 2 2 2 21

2 22

0.8( 4) 0.2( 25) 0

0.8( 4) 0.2( 5) 0

H x y x yH x y x y

= + − + + − =

= − − + − − =

=

1.6

1485152.41101485-

2

2

yx

3 0.3 2 2 2 21

2 22

0.7( 4) 0.3( 25) 0

0.7( 4) 0.3( 5) 0

H x y x yH x y x y

= + − + + − =

= − − + − − =

=

8095242.03809523 8221132.51991144-

3

3

yx

4 0.4 2 2 2 21

2 22

0.6( 4) 0.4( 25) 0

0.6( 4) 0.4( 5) 0

H x y x yH x y x y

= + − + + − =

= − − + − − =

=

0623602.39428214

9772222.60807494-

4

4

yx

5 0.5 2 2 2 21

2 22

0.5( 4) 0.5( 25) 0

0.5( 4) 0.5( 5) 0

H x y x yH x y x y

= + − + + − =

= − − + − − =

=

0144092.71787376

3945282.68779252-

5

5

yx

6 0.6 2 2 2 21

2 22

0.4( 4) 0.6( 25) 0

0.4( 4) 0.6( 5) 0

H x y x yH x y x y

= + − + + − =

= − − + − − =

=

2125783.01236767 5577202.75999657-

6

6

yx

7 0.7 2 2 2 21

2 22

0.3( 4) 0.7( 25) 0

0.3( 4) 0.7( 5) 0

H x y x yH x y x y

= + − + + − =

= − − + − − =

=

9216733.28473000 2162922.82650914-

7

7

yx

8 0.8 2 2 2 21

2 22

0.2( 4) 0.8( 25) 0

0.2( 4) 0.8( 5) 0

H x y x yH x y x y

= + − + + − =

= − − + − − =

=

8465333.53914957

9954582.88842219-

8

8

yx

9 0.9 2 2 2 21

2 22

0.1( 4) 0.9( 25) 0

0.1( 4) 0.9( 5) 0

H x y x yH x y x y

= + − + + − =

= − − + − − =

=

5169283.77871370

9628522.94653885-

9

9

yx

10 1.0 2 21

22

25 0

5 0

H x yH x y

= + − =

= − − =

=

6594234.00572223 1521243.00145600-

10

10

yx

Nilai anggaran punca-punca persamaan yang lain seperti yang telah dinyatakan

dalam (5.23) boleh dikesan dengan menggunakan nilai mula yang berbeza iaitu

0 0( , ) (0.1, 2)x y = − dan 0 0( , ) (2,0)x y = . Manakala, nilai sebenar titik-titik persilangan

dalam Rajah 5.3 adalah (-3,4), (0,-5) dan (3,4).

102

5.4 Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik

Fungsi homotopi Bezier kuadratik yang akan dibincangkan merangkumi dua

kategori iaitu penggunaan fungsi homotopi Bezier kuadratik dalam penyelesaian

persamaan polinomial tunggal dan sistem persamaan polinomial. Persamaan polinomial

tunggal dan sistem polinomial yang akan dipilih juga berdasarkan hasil kajian oleh

Kotsireas (2001).

5.4.1 Persamaan Polinomial Tunggal Fungsi homotopi baru yang akan diperkenalkan adalah

2 2

2 ( , ) (1 ) ( ) 2 (1 ) ( , ) ( ),H x t t g x t t H x t t f x= − + − + (5.25)

dengan ( , )H x t adalah fungsi homotopi piawai dan [0,1]t∈ .

Tercetusnya idea bagi formula ini bermula daripada lengkungan Bezier yang

menggunakan kaedah de Casteljau (Agoston, 2004). Lengkungan Bezier yang terhasil

bergantung pada kedudukan titik-titik kawalan. Berdasarkan hasil kajian yang telah

dibuat oleh Kotsireas (2001) dan Palancz et al. (2010), homotopi dilihat sebagai

pergerakan dari satu lengkung ke lengkung yang lain. Oleh itu, hubungan antara

lengkungan Bezier dengan konsep homotopi dipercayai wujud.

Takrif bagi lengkungan Bezier seperti ditunjukkan di dalam Takrif 5.1 digunakan untuk

pembentukan fungsi Bezier perselanjaran homotopi.

103

Takrif 5.1 (Salomon, 2006): Diberi 1n + titik-titik kawalan 0P hingga nP , lengkungan

Bezier dikawal dengan titik-titik ( ) ( )nnP t , dengan kuantiti ( ) ( )j

iP t ditakrifkan secara

rekursif sebagai

( 1) ( 1)

( ) 1(1 ) ( ) ( ), bagi 0,( )

, bagi 0.

j jj i i

ii

t P t tP t jP t

P j

− −− − + >=

= (5.26)

Secara ringkasnya, lengkungan linear dan kuadratik Bezier menggunakan konsep de

Casteljau adalah seperti di dalam Jadual 5.5.

Jadual 5.5. Lengkungan Linear dan Kuadratik Bezier Peringkat Lengkungan Bezier, ( )P t Linear 0 1(1 )t P tP− + Kuadratik 2 2

0 1 2(1 ) 2 (1 )t P t t P t P− + − +

Konsep lengkungan Bezier yang berpusatkan titik-titik kawalan ini diperluaskan

lagi kegunaannya untuk perkembangan peringkat fungsi homotopi. Jadual

perkembangan peringkat fungsi homotopi seperti yang tertera dalam Jadual 5.6.

Jadual 5.6. Linear dan Kuadratik Fungsi Homotopi menggunakan de Casteljau Peringkat Lengkungan Bezier, ( )P t Homotopi, ( , )H x t Linear 0 1(1 )t P tP− + (1 ) ( ) ( )t g x t f x− + Kuadratik 2 2

0 1 2(1 ) 2 (1 )t P t t P t P− + − + [ ]2 2(1 ) ( ) 2 (1 ) (1 ) ( ) ( ) ( ).t g x t t t g x tf x t f x− + − − + + Kiraan kaedah de Casteljau bagi fungsi (5.25) menjadi lebih mudah dan bersistematik

dengan bantuan binaan rekursif yang berbentuk piramid

104

Jadual 5.4: Binaan Rekursif bagi Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik Perhatikan bahawa

( , ) (1 ) ( ) ( , )A x t t g x tH x t= − + , ( , ) (1 ) ( , ) ( ).B x t t H x t tf x= − + Maka

( , ) (1 ) ( , ) ( , ).H x t t A x t tB x t= − + (5.27) Seterusnya, didapati

[ ] [ ](1 ) (1 ) ( ) ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ,t t g x tH x t t t H x t tf x= − − + + − + 2 2(1 ) ( ) 2 (1 ) ( , ) ( ),t g x t t H x t t f x= − + − +

2 2 20 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ),H B t H B t H B t= + +

22

0( ),i i

iH B t

=

=∑ (5.28)

dengan 0 ( )H g x= bagi 0,t = 1 ( , )H H x t= bagi (0,1),t∈ 2 ( )H f x= bagi 1.t =

2 ( , )H x t

1-t t

B(x,t) A(x,t)

t 1-t t 1-t

g(x) H(x,t) f(x)

105

2( )iB t adalah fungsi Bernstein seperti yang telah ditakrifkan oleh Agoston (2004),

2 22( ) (1 ) ,i i

iB t i ti

− = −

( )22! 1 ,

! (2 )!i ii t

i i−= −

− (5.29) dengan

: 0,1,2.i [0,1].t∈

Daripada persamaan (5.28), nilai anggaran penyelesaian bagi persamaan (5.6)

boleh diperolehi apabila nilai mula 0 1x = dan 0 1x = − digunakan. Keputusan

ditunjukkan di dalam Jadual 5.7 dan Jadual 5.8.

Jadual 5.7 : Pencarian Punca Persamaan (5.6) dengan menggunakan Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik apabila 0 1x =

i t Fingsi Homotopi, ),( txH i Penyelesaian, ix 0 0.00 2

0 1 0x − = 1 1 0.1 2 1( ,0.1) 0H x = 2

1.0340007171294 0.2 2 2( ,0.2) 0H x =

3 1.1555480693227

0.3 2 3( ,0.3) 0H x = 4

1.4028362810721 0.4 2 4( ,0.4) 0H x =

5 1.6603836064287

0.5 2 5( ,0.5) 0H x = 6

1.8030944694859 0.6 2 6( ,0.6) 0H x =

7 1.8917999973384

0.7 2 7( ,0.7) 0H x = 8

1.9449596905126 0.8 2 8( ,0.8) 0H x =

9 1.9767903441545

0.9 2 9( ,0.9) 0H x = 10

1.9942379868660 1.0 2 2

10 10( 0.25)( 4) 0x x− − = 1.9999999504536

106

Jadual 5.8 : Pencarian Punca Persamaan (5.6) dengan menggunakan Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik apabila 0 1x = −


0 1 0x − = 1− 1 0.1 2 1( ,0.1) 0H x = 2

-1.0340007171294 0.2 2 2( ,0.2) 0H x =

3 -1.1555480693227

0.3 2 3( ,0.3) 0H x = 4

-1.4028362810721 0.4 2 4( ,0.4) 0H x =

5 -1.6603836064287

0.5 2 5( ,0.5) 0H x = 6

-1.8030944694859 0.6 2 6( ,0.6) 0H x =

7 -1.8917999973384

0.7 2 7( ,0.7) 0H x = 8

-1.9449596905126 0.8 2 8( ,0.8) 0H x =

9 -1.9767903441545

0.9 2 9( ,0.9) 0H x = 10

-1.9942379868660 1.0 2 2

10 10( 0.25)( 4) 0x x− − = -1.9999999504536

Jadual 5.7 dan Jadual 5.8 menunjukkan nilai mula 0 1x = bergerak sehingga

10 1.9999999504536x = , manakala 0 1x = − bergerak menuju 10 1.9999999504536.x = −

Berdasarkan syarat (5.5), 10 1.9999999504536, 1.9999999504536x = − adalah nilai

anggaran punca-punca persamaan (5.6). Nilai fungsi menggunakan fungsi homotopi

piawai dan fungsi homotopi Bezier kuadratik kemudiannya dijadualkan seperti

ditunjukkan di dalam Jadual 5.9 dan Jadual 5.10.

Jadual 5.9. Perbandingan antara Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik dan Piawai apabila k = 10

Nilai mula 0x Fungsi Homotopi Piawai Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik 1 1.9999974264118x =

5 4( ) 3.86 10 ( 10 )f x ε− −= − × = 1.9999999504536x =

7 6( ) 7.43 10 ( 10 )f x ε− −= − × = -1 1.9999974264118x = −

5 4( ) 3.86 10 ( 10 )f x ε− −= − × = -1.9999999504536x =

7 6( ) 7.43 10 ( 10 )f x ε− −= − × =

107

Jadual 5.10. Perbandingan antara Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik dan Piawai apabila k = 1000 Nilai mula 0x Fungsi Homotopi Piawai Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik

1 1.9999999999979x = 11 10( ) 3.2 10 ( 10 )f x ε− −= − × =

2 x = ( ) 0( 0)f x ε= =

-1 1.9999999999979x = − 11 10( ) 3.2 10 ( 10 )f x ε− −= − × =

2 x = − ( ) 0( 0)f x ε= =

Berdasarkan Jadual 5.9 dan Jadual 5.10, penyelesaian menggunakan fungsi

homotopi baru ini didapati lebih baik daripada fungsi homotopi piawai. Keadaan ini

dapat dilihat dengan membandingkan nilai kadar ketepatan ε yang terhasil apabila

fungsi homotopi piawai dan fungsi homotopi Bezier kuadratik digunakan.

Setelah kajian dibuat, didapati suatu hubungan antara fungsi homotopi baru

dengan fungsi homotopi piawai. Kedua-duanya bergantung pada nilai parameter t .

Beberapa hukum telah ditemui

i) 2 ( , ) ( , ) ( )H x t H x t g x= = bagi 0.t =

ii) 2 ( , ) ( , ) ( )H x t H x t f x= = bagi 1.t =

iii) 21 1( , ) ( ) ( ) ( , )2 2

H x t g x f x H x t= + = bagi 1 .2

t = (5.30)

Maka, didapati

2 2 2 2 2 2 2 2

21 1( , ) (1 ) ( 1) 2 (1 ) (1 )( 1) ( )( 4) ( )( 4),4 4

H x t t x t t t x t x x t x x = − − + − − − + − − + − −

apabila persamaan (5.6) dan (5.7) ke dalam persamaan (5.25) dengan [0,1]t∈ .

108

5.4.2 Sistem Persamaan Polinomial Fungsi homotopi baru bagi sistem persamaan polinomial (5.13) dan (5.14) adalah seperti

berikut

2 2

1 1 1( , , ) (1 ) ( , ) 2 (1 ) ( , , ) ( , ),H x y t t g x y t t H x y t t f x y= − + − + (5.31) 2 2

2 2 2( , . ) (1 ) ( , ) 2 (1 ) ( , , ) ( , ),H x y t t g x y t t H x y t t f x y= − + − + (5.32) dengan ( , y, )H x t adalah fungsi homotopi piawai dan [0,1]t∈ .

Maka, didapati ( ) ( )2 2 2 2 2 2

1( , , ) (1 ) 4 2 (1 ) ( , , ) 25H x y t t x y t t H x y t t x y= − + − + − + + − (5.33)

( ) ( )2 2 2 22 ( , , ) (1 ) 4 2 (1 ) ( , , ) 5H x y t t x y t t H x y t t x y= − − − + − + − − (5.34)

apabila menggantikan persamaan (5.13) – (5.16) ke dalam persamaan (5.31) dan (5.32)

dengan [0,1]t∈ . Dengan menggunakan kaedah Newton-PH dan fungsi homotopi Bezier

kuadratik, penyelesaian yang dikesan adalah seperti berikut

1 1

2 2

3 3

( , ) (-3.00010091139985, 4.00039744974959).( , ) (0.117596177945515, -5.00039744990068).( , ) (3.00010091139985, 4.00039744974959).

x yx yx y

===

(5.35)

Kadar ketepatan bagi ketiga-tiga anggaran penyelesaian adalah seperti di dalam

Jadual 5.11. Salah satu punca persamaan (5.35) ditunjukkan dalam Jadual 5.12 apabila

nilai mula 0 0( , ) ( 2,0)x y = − digunakan.

109

Jadual 5.11 : Nilai Anggaran Fungsi Punca Persamaan (5.13) dan (5.14) menggunakan Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik apabila k = 10. Nilai mula ( 2,0)− (0.1, 2)− (2,0)

1( , )f x y 31 1 1( , ) 3.79 10f x y −= × 2

1 2 2( , ) 1.78 10f x y −= × 31 3 3( , ) 3.79 10f x y −= ×

2 ( , )f x y 42 1 1( , ) 2.08 10f x y −= × 2

2 2 2( , ) 1.42 10f x y −= × 42 3 3( , ) 2.08 10f x y −= ×

Jadual 5.12 : Pencarian Punca bagi Contoh 5.2 dengan menggunakan Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik apabila 0 0( , ) ( 2,0).x y = −

i t Fungsi Homotopi, ),,(2 tyxH ii Penyelesaian,

i

i

yx

0 0.0 2 21

22

4 0

4 0

H x yH x y

= + − =

= − − =

−=

02

0

0

yx

1 0.1 1

2

( , ,0.1) 0( , ,0.1) 0

H x yH x y

==

=

0.56 2.147-

1

1

yx

2 0.2 1

2

( , ,0.2) 0( , ,0.2) 0

H x yH x y

==

=

3773591.12905660 6095392.29219040-

2

2

yx

3 0.3 1

2

( , ,0.3) 0( , ,0.3) 0

H x yH x y

==

=

6728121.71718060 4130622.44031155-

3

3

yx

4 0.4 1

2

( , ,0.4) 0( , ,0.4) 0

H x yH x y

==

=

4544872.25257004 0240102.57337849-

4

4

yx

5 0.5 1

2

( , ,0.5) 0( , ,0.5) 0

H x yH x y

==

=

9019252.73818132

8907322.69304694-

5

5

yx

6 0.6 1

2

( , ,0.6) 0( , ,0.6) 0

H x yH x y

==

=

6298773.15881584 4543092.79596271-

6

6

yx

7 0.7 1

2

( , ,0.7) 0( , ,0.7) 0

H x yH x y

==

=

4912833.50634175 6781082.88053720-

7

7

yx

8 0.8 1

2

( , ,0.8) 0( , ,0.8) 0

H x yH x y

==

=

9758203.77082564 2681482.94464522-

8

8

yx

9 0.9 1

2

( , ,0.9) 0( , ,0.9) 0

H x yH x y

==

=

3782763.94058770 6741112.98567770-

9

9

yx

10 1.0 2 21

22

25 0

5 0

H x yH x y

= + − =

= − − =

=

9749594.00039744 1399853.00010091-

10

10

yx

110

Setelah kajian dibuat, didapati juga suatu hubungan antara fungsi homotopi baru

dengan fungsi homotopi piawai bagi sistem persamaan. Kedua-duanya bergantung pada

nilai parameter t . Hukum-hukum fungsi yang telah dikenalpasti adalah

i) 2 ( , ) ( , ) ( )H x t H x t G x= =

bagi 0.t =

ii) 2 ( , ) ( , ) ( )H x t H x t F x= =

bagi 1.t =

iii) 21 1( , ) ( ) ( ) ( , )2 2

H x t G x F x H x t= + =

bagi 1 .2

t = (5.36)

5.5 Pelaksanaan

Keputusan menyeluruh tidak dapat dibuat dengan hanya membentangkan satu

contoh bagi setiap kategori persamaan. Oleh hal yang demikian, beberapa contoh berikut

seperti Contoh 5.3 hingga Contoh 5.8 dikaji. Pemilihan bagi fungsi homotopi terbaik

berdasarkan kriteria penumpuan yang minimum yang mampu dicapai oleh kaedah

terbaik apabila bilangan lelaran ditetapkan iaitu

1 2( , ,..., ) ,nF x x x ε

∞< (5.37)

dengan 10dε = dengan d adalah integer bukan positif. Kajian perbandingan ini hanya

menggunakan ralat mutlak fungsi persamaan, tidak melibatkan analisis yang kompleks.


Kajian perbandingan antara fungsi homotopi piawai dengan fungsi homotopi

Bezier kuadratik diteruskan lagi dengan persamaan polinomial tunggal yang lain seperti

ditunjukkan di dalam Contoh 5.3, Contoh 5.4 dan Contoh 5.5.

111

Contoh 5.3. Pertimbangkan contoh persamaan polinomial tunggal berikut seperti yang

dibincangkan oleh Wu (2005b)

3 21 1( ) 6 1 0.

3 2f x x x x= − − + = (5.38)

Nilai mula 0 3x = (Wu, 2005b) dan keputusannya ditunjukkan di dalam Jadual 5.13.

Contoh 5.4. Pertimbangkan persamaan tunggal seperti dibincangkan dalam Wu (2005a)

3 2( ) 3 2 3 0.f x x x x= − + + = (5.39)

Fungsi homotopi tambahan ( ) 1g x x= − dan nilai mula 0 1x = digunakan. Hasil kajian

perbandingan seperti dalam Jadual 5.14.

Contoh 5.5. Pertimbangkan persamaan polinomial tunggal berikut yang telah dikaji

oleh Chun dan Neta (2012)

5 4 2( ) 4 15 0.f x x x x= + + − = (5.40) Nilai mula yang digunakan adalah 0 1.6x = dan fungsi homotopi tambahan adalah

( ) 1.6g x x= − . Keputusan yang diperolehi dibentangkan di dalam Jadual 5.15.


Kajian perbandingan antara fungsi homotopi piawai dengan fungsi homotopi

Bezier kuadratik diteruskan lagi dengan sistem persamaan yang lain seperti ditunjukkan

di dalam Contoh 5.6, Contoh 5.7 dan Contoh 5.8.

112

Contoh 5.6. Pertimbangkan sistem persamaan polinomial seperti yang dikaji di dalam

Rafiq dan Awais (2008)

2

12 2

2

( , ) 2 0.5 0,

( , ) 4 4 0.


= − − + =

= + − = (5.41)

Fungsi homotopi tambahan 1 0( , )g x y x x= − , 2 0( , )g x y y y= − dan nilai mula

0 0( , ) (0,0)x y = digunakan. Hasil kajian perbandingan diringkaskan di dalam Jadual

5.16.

Contoh 5.7. Pertimbangkan contoh berikutnya yang diuji oleh Noor dan Waseem

(2009), iaitu

2 2 21

2 22

2 2 23

( , , ) 1 0,

( , , ) 2 4 0,

( , , ) 3 4 0.


= + + − =

= + − =

= − + =

(5.42)

Fungsi homotopi tambahan 1 0( , , )g x y z x x= − , 2 0( , , )g x y z y y= − , 3 0( , , )g x y z z z= −

dan nilai mula 0 0 0( , , ) (0,0,0)x y z = digunakan. Keputusan seperti di dalam Jadual 5.17.

Contoh 5.8. Pertimbangkan contoh berikut yang pernah dibincangkan oleh Morgan

(1983)

1

22

3

24

( , , , ) 10 0,

( , , , ) 5( ) 0,

( , , , ) ( 2 ) 0,

( , , , ) 10( ) 0.

f w x y z x y


f w x y z x w

= + =

= − =

= − =

= − =

(5.43)

113

Fungsi homotopi tambahan 1 0( , , , )g w x y z w w= − , 2 0( , , , )g w x y z x x= − ,

3 0( , , , )g w x y z y y= − , 4 0( , , , )g w x y z z z= − dan nilai mula 0 0 0 0( , , , ) (1,4,1,2)w x y z =

digunakan. Hasil kajian perbandingan dijadualkan dalam Jadual 5.18.


Keputusan yang diperolehi dengan menggunakan fungsi homotopi piawai dan

fungsi homotopi Bezier kuadratik dibandingkan dan dibincangkan dalam menyelesaikan

persamaan polinomial tunggal dan sistem persamaan polinomial.


Keputusan kajian perbandingan antara fungsi homotopi piawai dengan fungsi

homotopi Bezier Kuadratik dalam menyelesaikan persamaan polinomial tunggal

ditunjukkan di dalam Jadual 5.13 – 5.15.

Jadual 5.13. Perbandingan antara Fungsi Homotopi Piawai dan Bezier Kuadratik dalam Persamaan (5.38)

Bilangan Lelaran

Fungsi Homotopi

Piawai

Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik

FHP FHBKε ε→

10

76.44 10f −= − ×

81.16 10f −= − ×

6 710 10− −→

100

105.02 10f −= − ×

141.42 10f −= − ×

9 1310 10− −→

1000 134.83 10f −= − × 157.11 10f −= − ×

12 1410 10− −→

114

Jadual 5.14. Perbandingan antara Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik dan Piawai dalam Persamaan (5.39)

Bilangan Lelaran

Fungsi Homotopi

Piawai


FHP FHBKε ε→

10

67.45 10f −= ×

71.37 10f −= ×

5 610 10− −→

100

95.95 10f −= ×

131.54 10f −= ×

8 1210 10− −→

1000 125.82 10f −= × 162.22 10f −= − ×

11 1510 10− −→ Jadual 5.15. Perbandingan antara Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik dan Piawai dalam Persamaan (5.40)

Bilangan Lelaran

Fungsi Homotopi

Piawai


FHP FHBKε ε→

10

95.06 10f −= ×

118.89 10f −= ×

8 1010 10− −→

100

123.84 10f −= ×

151.78 10f −= − ×

11 1410 10− −→

1000 157.11 10f −= × 151.78 10f −= − ×

1410−

Berdasarkan keputusan di dalam Jadual 5.13 hingga Jadual 5.15, didapati

penganggaran nilai punca-punca persamaan menggunakan fungsi homotopi Bezier

kuadratik lebih tepat berbanding fungsi homotopi piawai dalam menyelesaikan

persamaan polinomial tunggal. Didapati juga dengan penggunaan FHBK pada

persamaan polinomial tunggal, kadar ketepatan boleh mencecah sehingga 1510ε −=

apabila kaedah varian baru Newton-PH dilelarkan sebanyak 1000 kali.

115


Keputusan kajian perbandingan antara fungsi homotopi piawai dengan fungsi

homotopi Bezier Kuadratik dalam menyelesaikan sistem persamaan polinomial



Bilangan Lelaran

Fungsi Homotopi Piawai


FHP FHBKε ε→

10

31 4.90 10f −= ×

22 2.93 10f −= ×

41 2.38 10f −= ×

32 2.63 10f −= ×

1 210 10− −→

100

51 3.83 10f −= ×

42 2.96 10f −= ×

81 3.28 10f −= ×

72 2.63 10f −= ×

3 610 10− −→

1000

71 3.72 10f −= ×

62 2.96 10f −= ×

121 3.33 10f −= ×

112 2.66 10f −= ×

5 1010 10− −→


Bilangan Lelaran


Fungsi Homotopi Bezier

Kuadratik

FHP FHBKε ε→

10

31 2.12 10f −= ×

32 1.21 10f −= ×

33 1.75 10f −= ×

41 1.36 10f −= ×

52 7.23 10f −= ×

43 1.13 10f −= ×

2 310 10− −→

100

51 1.82 10f −= ×

52 1.04 10f −= ×

53 1.56 10f −= ×

81 1.59 10f −= ×

92 9.02 10f −= ×

83 1.36 10f −= ×

4 710 10− −→

1000

71 1.79 10f −= ×

72 1.02 10f −= ×

73 1.54 10f −= ×

121 1.61 10f −= ×

132 9.14 10f −= ×

123 1.38 10f −= ×

6 1110 10− −→

116


Bilangan Lelaran



FHP FHBKε ε→

10

171 2.78 10f −= ×

162 7.14 10f −= ×

23 2.93 10f −= ×

24 7.21 10f −= ×

161 3.88 10f −= − ×

162 4.97 10f −= ×

23 1.79 10f −= ×

24 2.27 10f −= ×

110−

100

161 6.36 10f −= − ×

152 2.72 10f −= − ×

33 2.88 10f −= ×

34 5.61 10f −= ×

161 6.14 10f −= ×

162 4.09 10f −= − ×

43 1.32 10f −= ×

44 2.60 10f −= ×

2 310 10− −→

1000

161 6.67 10f −= − ×

152 2.67 10f −= − ×

43 2.86 10f −= ×

44 5.78 10f −= ×

161 4.20 10f −= ×

162 4.00 10f −= − ×

63 1.33 10f −= ×

64 2.65 10f −= ×

3 510 10− −→

Nilai anggaran penyelesaian yang terhasil bagi persamaan (5.41) – (5.43)

masing-masing nilainya adalah

( , ) (1.90067672637127,0.31121856542355).x y =

( , , ) (0.69828860997219,-0.62852429796055,0.34256418968992).x y z =

( , , , ) (0.00050521152754,0.00142117446223,-0.00014211744622,0.00050521152754).w x y z =

Berdasarkan keputusan di dalam Jadual 5.16 hingga Jadual 5.18, didapati

penganggaran nilai punca-punca persamaan menggunakan fungsi homotopi Bezier

kuadratik lebih tepat berbanding fungsi homotopi piawai dalam menyelesaikan sistem

persamaan polinomial ( ) 0F x =

. Didapati juga dengan penggunaan FHBK pada sistem

persamaan polinomial, kadar ketepatan boleh mencecah sehingga 1110ε −= apabila

kaedah Newton-PH dilelarkan sebanyak 1000 kali.

117

5.7 Kesimpulan

Dalam bab ini, fungsi homotopi baru iaitu fungsi homotopi Bezier kuadratik

telah diperkenalkan. Fungsi homotopi Bezier kuadratik yang tercetus daripada

lengkungan Bezier menggunakaan konsep Algoritma De Casteljau. Lengkung yang

terbentuk bergantung pada kedudukan titik-titik kawalan. Konsep pembentukan

lengkungan Bezier dilihat boleh digunakan bersama-sama dengan konsep perselanjaran

homotopi. Kemudian, perbandingan dibuat antara fungsi homotopi baru dan fungsi

homotopi piawai dari segi kadar ketepatan anggaran punca-punca persamaan.

Berdasarkan beberapa contoh persamaan polinomial, fungsi homotopi baru ini dilihat

lebih baik daripada fungsi homotopi piawai dalam menyelesaikan persamaan baik

polinomial tunggal mahupun sistem polinomial. Sumbangan asli yang ditunjukkan

dalam bab ini adalah mewujudkan satu fungsi homotopi baru yang mampu

meningkatkan kadar ketepatan anggaran punca nyata persamaan polinomial. Kajian

diteruskan lagi dalam bab seterusnya dengan memperkenalkan fungsi homotopi

tambahan yang baru untuk meningkatkan lagi kadar ketepatan anggaran punca-punca

persamaan dan nilai fungsi persamaan.

118

BAB 6

FUNGSI TITIK TETAP LINEAR

6.1 Pengenalan

Fungsi homotopi piawai telah dikembangkan menjadi Fungsi Homotopi Bezier

Kuadratik (FHBK), ditandakan sebagai 2 ( , )H x t

di dalam Bab 5. Sekarang faktor lain

akan dibincangkan yang juga dipercayai dapat meningkatkan kadar ketepatan. Oleh

kerana dalam Bab 5, nilai ( )F x

masih belum bersamaan dengan sifar, maka kadar

ketepatan dipercayai boleh ditingkatkan lagi. Fungsi homotopi tambahan yang baru akan

diperkenalkan bagi menggantikan fungsi homotopi tambahan semasa. Fungsi tambahan

yang baru diberi nama Fungsi Titik Tetap Linear (FTTL). Fungsi homotopi tambahan

mempunyai skop kajian seperti berikut:

x) Bilangan lelaran adalah 10, 100 dan 1000 lelaran (untuk melihat sejauh


lelaran).

xi) Nilai saiz langkah bagi kaedah PH meningkat secara seragam.

xii) Nilai mula bagi kaedah PH adalah sama.

xiii) Fungsi )(xf atau ( )F x



Oleh kerana kaedah terbaik untuk persamaan tunggal

( ) 0,f x = (6.1)

119

adalah Kaedah Varian Baru Newton-PH, maka perbandingan antara fungsi homotopi

piawai dan baru akan menggunakan kaedah ini. Didapati kaedah Newton-PH adalah

kaedah terbaik dalam menyelesaikan sistem persamaan

( ) 0,F x =

(6.2)

maka kaedah Newton-PH akan digunakan.

Pemilihan bagi fungsi homotopi tambahan terbaik berdasarkan kriteria

penumpuan yang minimum yang mampu dicapai oleh kaedah terbaik apabila bilangan

lelaran ditetapkan iaitu

1 2( , ,..., ) ,nF x x x ε

∞< (6.3)


∞= dan

,x x ε

∞− <

(6.4)

dengan, ( )1 1 2 2max , ,..., n nx x x x x x x x

∞− = − − −

dan 10dε = dengan d adalah

integer bukan positif. Kajian perbandingan ini hanya menggunakan ralat mutlak punca

persamaan dan ralat mutlak fungsi persamaan, tidak melibatkan analisis yang kompleks.

6.2 Algoritma

Algoritma bagi kaedah terbaik dengan menggunakan fungsi Titik Tetap piawai dan

fungsi Titik Tetap linear ditunjukkan terlebih dahulu sebelum kajian pembandingan

dilaksanakan. Algoritma 6.1 hingga 6.4 ditunjukkan seperti berikut.

120

( ) 0f x =6.2.1. Persamaan Polinomial Tunggal

Algoritma 6.1: Kaedah Varian Baru Newton-PH menggunakan Fungsi Titik Tetap Piawai (FTTP) Data masuk: Nilai mula 0x .k, bilangan lelaran yang maksimum

.kxData keluar: Nilai anggaran punca penyelesaian Langkah 1: Tetapkan 0t = dan 10.k = Langkah 2: Tetapkan 0( )g x x x= − dan ( , ) (1 ) ( ) ( ).H x t t g x tf x= − +


1

( , )( , )

( , )2 ( , ) ( , )

( , ) ( , )

ii i

x i

ii i

x i x i

x i x i

H x ty xD H x t

H x tx x D H x t D y tD H x t D H y t

+

= −

= −

+

Langkah 4: Tetapkan

1ix +Langkah 5: Paparkan keputusan: . Jika lain: Keluar dari gelung

kxLangkah 6: Paparkan data keluar dan ( )kf x . 100k =Langkah 7: Ulang prosedur yang sama dengan dan kemudian 1000k = .

Prosedur tamat. BERHENTI Algoritma 6.2: Kaedah Varian Baru Newton-PH menggunakan Fungsi Titik Tetap Linear (FTTL) Data masuk: Nilai mula 0x .k, bilangan lelaran yang maksimum

.kxData keluar: Nilai anggaran punca penyelesaian Langkah 1: Tetapkan 0t = dan 10.k = Langkah 2: Tetapkan 0( , ) (1 )( ) ( )g x t t x x tf x= − − + dan ( , ) (1 ) ( , ) ( ).H x t t g x t tf x= − +

0i =

Langkah 3: Jika , 1i k≤ − , i + + lakukan langkah 4 – 5

1

( , )( , )

( , )2 ( , ) ( , )

( , ) ( , )

ii i

x i

ii i

x i x i

x i x i

H x ty xD H x t


+

= −

= −

+

Langkah 4: Tetapkan

1ix +Langkah 5: Paparkan keputusan . Jika lain: Keluar dari gelung

kxLangkah 6: Data keluar dan ( )kf x . 100k =Langkah 7: Ulang prosedur yang sama dengan dan kemudian 1000k = .

Prosedur tamat. BERHENTI

121

( ) 0F x =

6.2.2. Sistem Persamaan Polinomial Algoritma 6.3. Kaedah Newton-PH menggunakan Fungsi Titik Tetap Piawai

0x

Data masuk: Nilai mula , Bilangan lelaran yang maksimum .k .kx

Data keluar: Nilai anggaran punca persamaan Langkah 1: Tetapkan 0t = dan 10.k = Langkah 2: Tetapkan 0( ) ( )G x x x= −

dan ( , ) (1 ) ( ) ( ).H x t t G x tF x= − +


1

1 ( , ) ( , )i i x i ix x D H x t H x t−

+ = −


1.ix +

Langkah 5: Paparkan keputusan: Jika lain: Keluar dari gelung

kx


. 100k =Langkah 7: Ulang prosedur yang sama dengan dan kemudian 1000k = .

Prosedur tamat. BERHENTI Algoritma 6.4. Kaedah Newton-PH menggunakan Fungsi Titik Tetap Linear

0x

Data masuk: Nilai mula , Bilangan lelaran yang maksimum .k .kx

Data keluar: Nilai anggaran punca persamaan Langkah 1: Tetapkan 0t = dan 10.k = Langkah 2: Tetapkan 0( , ) (1 )( ) ( )G x t t x x tF x= − − +

dan ( , ) (1 ) ( , ) ( ).H x t t G x t tF x= − +


1

1 ( , ) ( , )i i x i ix x D H x t H x t−

+ = −


1ix +

Langkah 5: Paparkan keputusan: . Jika lain: Keluar dari gelung.

kx


. 100k =Langkah 7: Ulang prosedur yang sama dengan dan kemudian 1000k = .

( , ) (1 ) ( ) ( ).H x t t G x tF x= − +

Prosedur tamat. BERHENTI.

6.3 Fungsi-Fungsi Homotopi Tambahan Semasa

Fungsi homotopi secara asasnya seperti berikut

(6.5)

Di dalam formula fungsi homotopi terdapat fungsi homotopi tambahan ( )G x

dan fungsi

sebenar ( )F x

. Fungsi homotopi tambahan juga dikenali sebagai fungsi mula apabila

122

0t = pada kedudukan 0x x=

. Terdapat pelbagai cadangan untuk memilih fungsi mula

( )G x

seperti yang telah dipilih oleh ramai pengkaji (Garcia & Zangwill, 1979; Morgan,

1983; Jalali & Seader, 2000; Wu, 2005b; Rahimian et. al, 2011).

Fungsi mula yang telah dicadangkan oleh Garcia dan Zangwill (1979) adalah

0( ) ,i id dG x x x= −

(6.6)

dengan id adalah darjah tertinggi persamaan polinomial. Manakala, fungsi mula yang

telah dikaji oleh Morgan (1983) adalah

1 1

0( ) .i id dG x x x+ += −

(6.7) Manakala, Jalali dan Seader (2000) telah menyatakan tiga pilihan yang biasa digunakan

bagi fungsi mula iaitu

i) Fungsi Newton

[ ]0( ) ( ) ( ) .G x F x F x= −

(6.8)

ii) Fungsi Titik Tetap

0( ) ( ).G x x x= −

(6.9)

iii) Fungsi Afin

0 0( ) '( )( ),G x F x x x= −

(6.10)

dengan ( )F x

adalah sistem persamaan polinomial, 0'( )F x

adalah matriks Jacoban pada

kedudukan 0x

. Wu telah mengendalikan penyelidikan meluas bagi konsep perselanjaran

123

homotopi dalam menyelesaikan masalah persamaan tidak linear (Wu, 2005a; 2005b;

2006; 2007). Masalah persamaan yang selalu dihadapi adalah masalah pencapahan.

Masalah ini berlaku pada sesetengah titik mula kerana tidak semua nombor nyata boleh

dijadikan sebagai nilai mula. Didapati semua hasil kerja Wu telah menggunakan fungsi

mula yang sama iaitu

( ) ,G x Cx K= +

(6.11)

dengan C adalah pemalar dan 0K Cx= −

adalah satu nombor bebas (Wu, 2005b).

Rahimian et al. (2011) menitikberatkan penggunaan fungsi mula berikut

[ ]0 0( ) ( ) ( ( ) ( ) ,G x x x F x F x= − + −

(6.12)

yang menggabungkan dua fungsi asas iaitu fungsi titik tetap dan fungsi Newton.

Lantaran wujudnya pelbagai pilihan bagi fungsi homotopi tambahan, dua eksperimen

dijalankan untuk memilih fungsi mula semasa yang lebih sesuai. Dua eksperimen

tersebut melibatkan persamaan tunggal dan sistem persamaan seperti ditunjukkan di

dalam Contoh 6.1 dan Contoh 6.2.

Contoh 6.1. Pertimbangkan persamaan berikut seperti yang dikaji oleh Wu (2005b)

3 21 1( ) 6 1 0,3 2

f x x x x= − − + = (6.13)

124

dengan ( ) ( )F x f x=

dan ( ) ( )G x g x=

. Kaedah yang digunakan adalah Kaedah Varian

Baru Newton-PH yang dilelarkan sebanyak 10 kali dan dimulakan dari tiga nilai mula

yang berbeza. Keputusan yang diperolehi ditunjukkan di dalam Jadual 6.1.

Jadual 6.1 : Perbandingan Fungsi Homotopi Tambahan Semasa

( )g x 0 0x = 0 2x = − 0 3x = 0 ; 3d dx x d− =

14( ) 8.84 10f x −= × 3( ) 1.68 10f x −= − × 2( ) 3.54 10f x −= × 1 1

0 ; 3d dx x d+ +− = 16( ) 3.58 10f x −= × 3( ) 4.62 10f x −= − × Belum menumpu

0( ) ( )f x f x− 7( ) 7.25 10f x −= − × Mencapah Mencapah

( )0 0'( )f x x x− 7( ) 7.44 10f x −= − × Mencapah Mencapah

0; 5;Cx K C K Cx+ = = − 4( ) 4.48 10f x −= − × 4( ) 4.48 10f x −= − × 4( ) 4.48 10f x −= − ×

0 0( ) ( ( ) ( ))x x f x f x− + − 7( ) 4.43 10f x −= − × 4( ) 1.00 10f x −= × 4( ) 1.59 10f x −= − ×

0x x− 9( ) 4.66 10f x −= × 7( ) 7.36 10f x −= × 7( ) 6.44 10f x −= ×

Jadual 6.1 menunjukkan bahawa fungsi 0( ) ( )g x x x= − menumpu dengan

penumpuan yang lebih tinggi dan tidak mempunyai masalah pencapahan walaupun

bermula dari titik mula yang tidak bagus.

Nilai anggaran punca-punca persamaan yang dikesan melalui ketiga-tiga nilai

mula itu adalah

1 0.16465538609650,x = 2 -3.65280834758587,x = 3 4.98812994533692.x = (6.14) Ketiga-tiga nilai mula yang digunakan akhirnya akan menumpu pada penyelesaian

berbeza. Keadaan ini boleh ditunjukkan di dalam Rajah 6.1.

125

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.06

4

2

0

2

4

6

t

Rajah 6.1 : Sifat-Sifat Perolehan

Rajah 6.1 menunjukkan bahawa nilai mula 0 0x = menumpu kepada

1 0.16465538609650x = , nilai mula 0 2x = − menumpu kepada

2 -3.65280834758587x = dan 0 3x = menumpu kepada 3 4.98812994533692.x =

Kajian diteruskan bagi sistem persamaan melalui Contoh 6.2.

Contoh 6.2. Pertimbangkan persamaan berikut yang dikaji oleh Rafiq dan Awais (2008)

2 21

2 22

( , ) 1 0.1( , ) 0.2

f x y x y

f x y x y

= + − =

= − + = (6.15)

Hasil kajian perbandingan antara beberapa fungsi homotopi tambahan menggunakan

persamaan (6.15) ditunjukkan di dalam Jadual 6.2.

126

Jadual 6.2: Perbandingan Fungsi Homotopi Tambahan Semasa bagi Menyelesaikan Persamaan (6.15)

1

2

( , )( , )

g x yg x y

0 0( , ) (1,2)x y = 0 0( , ) (0.2,0.2)x y = 0 0( , ) (0,0)x y =

1 10 1; 2d dx x d− =

2 20 2; 2d dy y d− =

21 4.13 10f −= ×

22 2.34 10f −= ×

31 2.61 10f −= ×

32 1.90 10f −= ×

1f mencapah

2f mencapah

1 11 10 1; 2d dx x d+ +− =

2 21 10 2; 2d dy y d+ +− =

1f mencapah

2f mencapah

31 1.20 10f −= ×

52 5.69 10f −= ×

1f mencapah

2f mencapah

1 1 0 0( , ) ( , )f x y f x y−

2 2 0 0( , ) ( , )f x y f x y−

21 3.20 10f −= ×

22 2.25 10f −= − ×

31 2.21 10f −= ×

32 1.29 10f −= − ×

1f mencapah

2f mencapah

1 0 0 0'( , )( )f x y x x−

2 0 0 0'( , )( )f x y y y−

21 4.91 10f −= ×

32 4.19 10f −= ×

41 2.11 10f −= ×

52 9.47 10f −= − ×

1f mencapah

2f mencapah

1 1 1 0; 5;C x K C K C x+ = = −

1 1 1 0; 5;C y K C K C y+ = = −

21 9.92 10f −= ×

22 3.62 10f −= ×

21 5.60 10f −= ×

22 3.41 10f −= − ×

21 4.48 10f −= ×

22 4.17 10f −= − ×

0 1 1 0 0( ) ( ( , ))x x f f x y− + −

0 2 2 0 0( ) ( ( , ))y y f f x y− + −

21 3.70 10f −= ×

32 9.11 10f −= − ×

31 6.83 10f −= ×

32 6.52 10f −= − ×

31 7.08 10f −= ×

32 6.88 10f −= − ×

0x x−

0y y−

21 2.65 10f −= ×

22 1.47 10f −= ×

31 3.26 10f −= ×

42 6.11 10f −= − ×

31 2.16 10f −= − ×

32 1.61 10f −= − ×

Berdasarkan Jadual 6.2, fungsi homotopi tambahan yang telah diperkenalkan

oleh Wu (2005b), Jalali dan Seader (2000) dan Rahimian et al. (2011) mampu menumpu

kepada penyelesaian persamaan. Salah satu anggaran penyelesaian yang boleh

diperolehi adalah ( , ) (0.50027654762281,-0.86711387271334).x y =

Walaubagaimanapun, fungsi yang terakhir mempunyai prestasi yang lebih baik daripada

fungsi-fungsi lain. Ini dapat dilihat daripada nilai fungsi terkecil 1( , )f x y dan 2( , )f x y .

Fungsi yang terakhir juga dapat mencapai sehingga 71( , ) 1.89 10f x y −= × dan

72 ( , ) 1.22 10f x y −= − × apabila dilelarkan sebanyak 1000 kali. Maka, 0( )G x x x= −

dipilih sebagai fungsi tambahan terbaik.

127

6.4 Fungsi Titik Tetap Linear Satu sistem persamaan dengan n pembolehubah yang tidak diketahui diwakili oleh

( ) 0,F x =

(6.16)

dengan 1 2 3 1{ , , , , , }n nx x x x x x−=

.

Berdasarkan Contoh 6.1 dan Contoh 6.2, fungsi

0( ) ,G x x x= −

(6.17)

adalah fungsi homotopi tambahan terbaik dan dikenali sebagai fungsi titik tetap piawai

(FTTP). Dengan menggunakan beberapa panduan yang disediakan oleh Verschelde

(1996) dan Li (1997) berhubung hukum-hukum fungsi homotopi ( , )H x t

dari 0t =

hingga 1t = , fungsi homotopi tambahan dimajukan dan dikembangkan. Hukum-hukum

tersebut meliputi keremehan, kelancaran dan perolehan.

Hukum 0 (Keremehan)

Penyelesaian bagi ( ) 0G x =

diketahui.

Hukum 1 (Kelancaran)

Penyelesaian set bagi ( , ) 0H x t =

pada 0 1t≤ < mengandungi bilangan laluan

yang lancar bagi setiap parameter [0,1)t∈ .

128

Hukum 2 (Perolehan)

Setiap penyelesaian yang berlainan bagi persamaan ( ,1) ( ) 0H x F x= =

boleh

dicapai dengan beberapa laluan yang berpusat pada 0t = yang bermula pada

kedudukan bagi penyelesaian ( ,0) ( ) 0.H x G x= =

Untuk pemahaman yang lebih lanjut tentang ketiga-tiga hukum ini, Persamaan (6.13)

digambarkan secara grafik. Jika fungsi homotopi tambahan adalah

( ) 2g x x= + dan t meningkat sebanyak 0.1, maka laluan homotopi yang terhasil boleh

digambarkan seperti Rajah 6.2

Rajah 6.2: Laluan Homotopi bagi menyelesaikan Persamaan (6.13)

Daripada Rajah 6.2, syarat keremehan dipenuhi apabila 0 2x = − diketahui.

Syarat kelancaran pula dapat dilihat apabila terdapat 10 lengkung (terhingga) bagi

0 1t≤ < . Manakala syarat perolehan boleh dikesan apabila salah satu penyelesaian

persamaan (6.13) iaitu -3.65280834758587x = boleh ditumpukan dengan nilai mula

129

0 2x = − . Begitu juga dua punca persamaan yang lain yang boleh dikesan dengan nilai

mula 0 0x = dan 0 3x = . Dengan ini, semua syarat telah dipenuhi.

Dengan menggunakan hukum-hukum di atas, satu fungsi homotopi tambahan

baru diperkenalkan iaitu

0( , ) (1 )( ) ( ).G x t t x x tF x= − − +

(6.18) Didapati fungsi ( , )G x t

sentiasa berubah bentuk fungsinya manakala fungsi ( )G x

sentiasa malar dengan peningkatan parameter t . Formula (6.18) memenuhi dua syarat

sempadan iaitu

0( ,0) ( ),G x x x= −

(6.19)

( ,1) ( ),G x F x=

(6.20)

apabila digantikan 0t = dan 1t = secara berturutan. Fungsi ( )G x

dan ( , )G x t

juga

boleh diwakili oleh Rajah 6.3 dan Rajah 6.4 secara berturutan.

Rajah 6.3: Kedudukan Lengkung Fungsi Titik apabila 1t →

130

Rajah 6.4: Kedudukan Fungsi Titik Tetap Linear apabila 1t →

Fungsi ( , )G x t

akan mendekati ( , )H x t

untuk mencapai fungsi sasaran ( )F x

dengan lebih cepat apabila berlaku peningkatan dalam parameter [0,1]t∈ . Keadaan ini

akan menyebabkan penganggaran bagi punca-punca persamaan menjadi lebih tepat dan

jitu.

Fungsi (6.18) dihasilkan dengan dua fungsi rujukan iaitu 0x x−

dan ( )F x

dengan menggunakan kaedah binaan rekursif seperti ditunjukkan di dalam Rajah 6.5.

( , )G x t

( )F x

Rajah 6.5: Binaan Rekursif Fungsi Titik Tetap Linear Didapati

0( , ) (1 )( ) ( ),G x t t x x tF x= − − +

(6.21)

1-t t

0x x−

131

dengan [0,1]t∈ .

Untuk kajian perbandingan antara fungsi mula piawai dengan baru, kaedah

Varian Baru Newton-PH dan kaedah Newton-PH dipilih bagi menyelesaikan persamaan

tunggal dan sistem persamaan polinomial secara berturutan. Kedua-dua algoritma telah

dinyatakan pada permulaan Bab 6.

6.5 Pelaksanaan

Beberapa contoh berikut dikaji melalui Contoh 6.3, 6.4 dan 6.5 yang mewakili

persamaan polinomial tunggal, manakala Contoh 6.6, 6.7 dan 6.8 mewakili sistem

persamaan polinomial.

6.5.1 Persamaan Polinomial Tunggal Contoh 6.3. Pertimbangkan contoh berikut yang dibincangkan oleh Rafiq dan Awais

(2008)

3 2( ) 4 10 0.f x x x= − − = (6.22)

Nilai mula 083

x = (Rafiq dan Awais, 2008), fungsi mula semasa adalah 0( )g x x x= −

dan fungsi mula baru adalah ( )( )0( , ) 1 ( )g x t t x x tf x= − − + . Keputusan ditunjukkan di

dalam Jadual 6.3.

Contoh 6.4. Pertimbangkan contoh persamaan polinomial tunggal yang pernah dikaji

oleh Bi et al. (2008)

132

3 2( ) 4 15 0.f x x x= + − = (6.23)

Nilai mula yang digunakan adalah 0 2x = (Bi et al., 2008), fungsi mula semasa adalah

0( )g x x x= − dan fungsi mula baru adalah ( )( )0( , ) 1 ( )g x t t x x tf x= − − + . Keputusan

ditunjukkan di dalam Jadual 6.4.

Contoh 6.5. Pertimbangkan contoh persamaan yang pernah dikaji oleh Chun dan Neta

(2012)

5 4 2( ) 4 15 0.f x x x x= + + − = (6.24)

Nilai mula yang digunakan adalah 0 1.6x = , fungsi homotopi tambahan semasa adalah

0( )g x x x= − dan fungsi mula baru adalah ( )( )0( , ) 1 ( )g x t t x x tf x= − − + . Keputusan

ditunjukkan di dalam Jadual 6.5.

6.5.2 Sistem Persamaan Polinomial Contoh 6.6. Pertimbangkan sistem polinomial berikut seperti yang dibincangkan oleh

Rafiq dan Awais (2008)

2

12 2

2

( , ) 2 0.5 0.

( , ) 4 4 0.


= − − + =

= + − = (6.25)

133

Fungsi homotopi tambahan semasa adalah 0( , )G x y x x= −

dan fungsi mula baru adalah

( )( )0G( , ) 1 ( )x t t x x tF x= − − +

dan nilai mula 0 0( , ) (0,0)x y = digunakan. Keputusan

ditunjukkan di dalam Jadual 6.6 dengan mempelbagaikan bilangan lelaran.

Contoh 6.7. Pertimbangkan contoh sistem persamaan yang dikaji oleh Noor dan

Waseem (2009):

2 2 21

2 22

2 2 23

( , , ) 1 0.

( , , ) 2 4 0.

( , , ) 3 4 0.


= + + − =

= + − =

= − + =

(6.26)

Fungsi homotopi tambahan semasa adalah 0( , , )G x y z x x= −

dan fungsi mula baru

adalah ( )( )0G( , ) 1 ( )x t t x x tF x= − − +

dan nilai mula 0 0( , ) (0,0,0)x y = digunakan.

Keputusan seperti di dalam Jadual 6.7.

Contoh 6.8. Pertimbangkan contoh berikut yang diuji oleh Morgan (1983).

1

22

3

24

( , , , ) 10 0.

( , , , ) 5( ) 0.

( , , , ) ( 2 ) 0.

( , , , ) 10( ) 0.

f w x y z x y


f w x y z x w

= + =

= − =

= − =

= − =

(6.27)

Fungsi homotopi tambahan semasa adalah 0( , , , )G w x y z x x= −

dan fungsi mula baru

adalah ( )( )0G( , ) 1 ( )x t t x x tF x= − − +

dan nilai mula 0 0 0 0( , , , ) (1,4,1,2)w x y z =

digunakan. Keputusan ditunjukkan dalam Jadual 6.8.

134


Keputusan yang diperolehi dibincangkan dengan menggunakan fungsi homotopi

tambahan yang berlainan dalam persamaan polinomial tunggal dan sistem persamaan

polinomial.

6.6.1 Fungsi Homotopi Piawai

Kadar ketepatan akan dikaji sama ada ketepatan akan meningkat atau tidak

apabila FTTL digunakan. Kajian ini meliputi kadar ketepatan terhadap persamaan

polinomial tunggal dan sistem persamaan polinomial.

6.6.1.1 Persamaan Polinomial Tunggal Perbandingan antara FTTP dan FTTL bagi Persamaan (6.22) – (6.24) dihimpunkan di

dalam Jadual 6.3 – 6.5.

Jadual 6.3. Perbandingan antara FTTP dan FTTL bagi Persamaan (6.22)

Bilangan lelaran

( )g x dalam ( , )H x t

( , )g x t dalam ( , )H x t

FTTP FTTLε ε→

10

72.75 10f −= − ×

102.10 10f −= − ×

6 910 10− −→

100

102.10 10f −= − ×

162.00 10f −= − ×

9 1510 10− −→

1000 132.04 10f −= − × 222.04 10f −= − ×

12 2110 10− −→

135


Bilangan lelaran



FTTP FTTLε ε→

10

93.61 10f −= ×

122.75 10f −= ×

8 1110 10− −→

100

122.75 10f −= ×

182.67 10f −= ×

11 1710 10− −→

1000 152.681 10f −= × 242.67 10f −= − ×

14 2310 10− −→ Jadual 6.5. Perbandingan antara FTTP dan FTTL bagi Persamaan (6.24)

Bilangan lelaran



FTTP FTTLε ε→

10

95.06 10f −= ×

123.84 10f −= ×

8 1110 10− −→

100

123.84 10f −= ×

183.73 10f −= ×

11 1710 10− −→

1000 153.74 10f −= × 243.73 10f −= ×

14 2310 10− −→

Nilai anggaran penyelesaian yang terhasil bagi Persamaan (6.22), (6.23) dan (6.24)

adalah 4.49493967126358474920579326,x = 1.631980805566063517522106573x =

dan 1.347428098968304981506715481x = secara berturutan.

Jadual 6.3 hingga Jadual 6.5 menunjukkan penggunaan fungsi titik tetap linear

berkesan dalam meningkatkan kadar ketepatan anggaran punca persamaan polinomial

tunggal. Kadar ketepatan berubah secara mendadak daripada 1210ε −= kepada 2110ε −=

untuk persamaan (6.22) dan daripada 1410ε −= kepada 2310ε −= untuk persamaan (6.23)

dan (6.24) apabila bilangan lelaran ditingkatkan kepada 1000 lelaran.

136

6.6.1.2 Sistem Persamaan Polinomial

Kajian ketepatan akan keberkesanan fungsi homotopi tambahan baru FTTL ini

diteruskan lagi pada sistem persamaan. Perbandingan antara FTTP dan FTTL bagi

Persamaan (6.25) – (6.27) dihimpunkan di dalam Jadual 6.6 – 6.8.


Bilangan lelaran

( )G x

dalam ( , )H x t

( , )G x t

dalam ( , )H x t

FTTP FTTLε ε→

10

31 4.90 10f −= ×

22 2.93 10f −= ×

51 3.36 10f −= ×

42 3.16 10f −= ×

1 310 10− −→

100

51 3.83 10f −= ×

42 2.96 10f −= ×

91 3.70 10f −= ×

82 2.96 10f −= ×

3 710 10− −→

1000

71 3.72 10f −= ×

62 2.96 10f −= ×

131 3.70 10f −= ×

122 2.96 10f −= ×

5 1110 10− −→


Bilangan lelaran

( )G x

dalam ( , )H x t

( , )G x t

dalam ( , )H x t

FTTP FTTLε ε→

10

31 2.12 10f −= ×

32 1.21 10f −= ×

33 1.75 10f −= ×

51 1.77 10f −= ×

62 9.77 10f −= ×

53 1.49 10f −= ×

2 410 10− −→

100

51 1.82 10f −= ×

52 1.04 10f −= ×

53 1.56 10f −= ×

91 1.79 10f −= ×

92 1.02 10f −= ×

93 1.53 10f −= ×

4 810 10− −→

1000

71 1.79 10f −= ×

72 1.02 10f −= ×

73 1.54 10f −= ×

131 1.79 10f −= ×

132 1.02 10f −= ×

133 1.53 10f −= ×

6 1210 10− −→

137


Bilangan lelaran

( )G x

dalam ( , )H x t

( , )G x t

dalam ( , )H x t

FTTP FTTLε ε→

10

171 2.78 10f −= ×

162 7.14 10f −= ×

23 2.94 10f −= ×

24 7.21 10f −= ×

171 8.67 10f −= − ×

172 6.98 10f −= ×

33 4.76 10f −= ×

34 8.83 10f −= ×

1 210 10− −→

100

161 6.14 10f −= ×

162 4.09 10f −= − ×

43 1.32 10f −= ×

44 2.60 10f −= ×

161 6.14 10f −= ×

162 4.09 10f −= − ×

63 2.79 10f −= ×

64 5.56 10f −= ×

3 510 10− −→

1000

161 6.67 10f −= − ×

152 2.67 10f −= − ×

43 2.86 10f −= ×

44 5.78 10f −= ×

171 1.21 10f −= ×

172 1.07 10f −= − ×

73 4.43 10f −= ×

74 8.87 10f −= ×

3 610 10− −→

Jadual 6.6 hingga Jadual 6.8 menunjukkan fungsi titik tetap linear berperanan

meningkatkan kadar ketepatan anggaran punca-punca sistem persamaan polinomial. Ini

dapat dilihat dengan mengukur nilai ε yang semakin mengecil pada setiap bilangan

lelaran yang telah dimalarkan. Nilai anggaran punca Persamaan (6.25) – (6.27) adalah

( , ) (1.9006767263675,0.31121856541977).x y =

( , , ) (0.69828860997159,-0.62852429796025,0.34256418968961).x y z =

4 4 5 4( , , , ) (-2.917435598 10 ,-8.212964517 10 ,8.212964517 10 ,-2.917435598 10 ).w x y z − − − −= × × × ×

secara berturutan.

138

6.6.2 Fungsi Homotopi Bezier Kuadratik (FHBK)

Kemudian, kadar ketepatan yang unggul akan dikaji sama ada ketepatan akan

meningkat atau tidak apabila ditambah dengan fungsi homotopi baru yang telah

diperkenalkan dalam Bab 5. Kajian ini meliputi kadar ketepatan terhadap persamaan

polinomial tunggal dan sistem persamaan polinomial.

6.6.2.1 Persamaan Polinomial Tunggal Perbandingan antara kadar ketepatan FTTL dalam fungsi homotopi piawai dengan

fungsi homotopi baru dalam menyelesaikan persamaan polinomial tunggal ditunjukkan

di dalam Jadual 6.9, Jadual 6.10 dan Jadual 6.11.

Jadual 6.9. Perbandingan antara FTTP dalam Fungsi Homotopi Piawai dan FTTL dalam FHBK bagi Persamaan (6.22)

Bilangan lelaran


( , )g x t dalam

2 ( , )H x t FTTP FTTLε ε→

10

102.10 10f −= − ×

124.51 10f −= − ×

9 1110 10− −→

100

162.00 10f −= − ×

215.40 10f −= − ×

15 2010 10− −→

1000 222.04 10f −= − × 305.49 10f −= − ×

21 2910 10− −→ Jadual 6.10. Perbandingan antara FTTP dalam Fungsi Homotopi Piawai dan FTTL dalam FHBK bagi Persamaan (6.23)

Bilangan lelaran


( , )g x t dalam


10

122.75 10f −= ×

145.92 10f −= ×

11 1310 10− −→

100

182.67 10f −= ×

237.08 10f −= ×

17 2210 10− −→

1000 242.67 10f −= − × 327.20 10f −= ×

23 3110 10− −→

139

Jadual 6.11. Perbandingan antara FTTP dalam Fungsi Homotopi Piawai dan FTTL dalam FHBK bagi Persamaan (6.24)

Bilangan lelaran


( , )g x t dalam


10

123.84 10f −= ×

148.26 10f −= ×

11 1310 10− −→

100

183.73 10f −= ×

239.87 10f −= ×

17 2210 10− −→

1000 243.73 10f −= × 311.00 10f −= ×

23 3010 10− −→ Nilai anggaran penyelesaian yang terhasil bagi Persamaan (6.22), (6.23) dan (6.24)

adalah

4.494939671263584749205801534573530519813.x = 1.631980805566063517522106445541260025066.x = 1.347428098968304981506715380714823915919.x =

secara berturutan. Jadual 6.9 hingga Jadual 6.11 menunjukkan terdapat peningkatan

dalam kadar ketepatan apabila FTTL digunakan bersama dengan FHBK dalam

menyelesaikan persamaan polinomial tunggal.


Perbandingan antara kadar ketepatan dalam fungsi homotopi piawai dengan

fungsi homotopi baru dalam menyelesaikan sistem persamaan polinomial ditunjukkan di

dalam Jadual 6.12, Jadual 6.13 dan Jadual 6.14.

140

Jadual 6.12 : Perbandingan antara FTTP dalam Fungsi Homotopi Piawai dan FTTL dalam FHBK bagi Persamaan (6.25)

Bilangan lelaran

( , )G x t

dalam ( , )H x t

( , )G x t

dalam

2 ( , )H x t

FTTP FTTLε ε→

10

51 3.36 10f −= ×

42 3.16 10f −= ×

61 2.43 10f −= ×

52 2.58 10f −= ×

3 410 10− −→

100

91 3.70 10f −= ×

82 2.96 10f −= ×

121 3.29 10f −= ×

112 2.63 10f −= ×

7 1010 10− −→

1000

131 3.70 10f −= ×

122 2.96 10f −= ×

161 4.44 10f −= − ×

162 2.94 10f −= − ×

11 1510 10− −→


Bilangan lelaran

( , )G x t

dalam ( , )H x t

( , )G x t

dalam

2 ( , )H x t

FTTP FTTLε ε→

10

51 1.77 10f −= ×

62 9.77 10f −= ×

53 1.49 10f −= ×

61 1.35 10f −= ×

72 7.40 10f −= ×

63 1.14 10f −= ×

4 510 10− −→

100

91 1.79 10f −= ×

92 1.02 10f −= ×

93 1.53 10f −= ×

121 1.59 10f −= ×

132 9.03 10f −= ×

123 1.36 10f −= ×

8 1110 10− −→

1000

131 1.79 10f −= ×

132 1.02 10f −= ×

133 1.53 10f −= ×

171 1.08 10f −= ×

162 2.28 10f −= − ×

173 8.97 10f −= − ×

12 1510 10− −→

141


Bilangan lelaran

( , )G x t

dalam ( , )H x t

( , )G x t

dalam

2 ( , )H x t

FTTP FTTLε ε→

10

171 8.67 10f −= − ×

172 6.98 10f −= ×

33 4.76 10f −= ×

34 8.83 10f −= ×

151 5.43 10f −= − ×

162 7.60 10f −= − ×

33 3.30 10f −= ×

34 4.64 10f −= ×

210−

100

161 6.14 10f −= ×

162 4.09 10f −= − ×

63 2.79 10f −= ×

64 5.56 10f −= ×

161 6.05 10f −= − ×

162 2.85 10f −= ×

63 2.79 10f −= ×

64 5.56 10f −= ×

510−

1000

171 1.21 10f −= ×

172 1.07 10f −= − ×

73 4.43 10f −= ×

74 8.87 10f −= ×

171 9.16 10f −= − ×

162 3.59 10f −= ×

93 2.83 10f −= ×

94 5.67 10f −= ×

6 810 10− −→

Jadual 6.9 – 6.14 menunjukkan bahawa fungsi titik tetap linear yang baru

diperkenalkan mempunyai prestasi yang lebih baik apabila digabungkan dengan fungsi

homotopi Bezier kuadratik. Nilai anggaran penyelesaian Persamaan (6.25), (6.26) dan

(6.27) adalah

( , ) (1.9006767263670656387,0.31121856541929437956).x y =

( , , ) (0.69828860997159,-0.62852429796025,0.34256418968961).x y z =

4 4 5 4( , , , ) (-2.917435598 10 ,-8.212964517 10 ,8.212964517 10 ,-2.917435598 10 ).w x y z − − − −= × × × ×

apabila FTTL diaplikasikan. Didapati kadar ketepatan bagi persamaan polinomial

tunggal boleh menumpu dengan lebih tepat dengan nilai 3110ε −= apabila FTTL

142

digunakan bersama FHBK. Kadar ketepatan boleh mencapai 1510ε −= bagi sistem

persamaan yang mengandungi dua dan tiga pembolehubah.

6.7 Analisis Ralat Mutlak Punca Persamaan

Kriteria (6.3) masih tidak cukup untuk merumuskan bahawa FTTL memainkan

peranan penting dalam peningkatan kadar ketepatan. Kriteria lain perlu digunakan dalam

memastikan FTTL benar-benar berkesan. Kriteria lain yang dimaksudkan adalah

pengiraan ralat mutlak yang wujud antara nilai anggaran penyelesaian dengan nilai

sebenar. Nilai sebenar dapat diketahui melalui Mathematica 7.0 dan ralat mutlak x∆

boleh dikira menggunakan formula berikut

( ) ,x x x∆ = − (6.28)

dengan x adalah nilai sebenar manakala x adalah nilai anggaran. Nilai ralat mutlak

yang terkecil menunjukkan bahawa nilai anggaran yang terhasil adalah lebih tepat. Ralat

mutlak antara FTTP dan FTTL dalam menyelesaikan persamaan polinomial tunggal

( ) 0f x = ditunjukkan di dalam Jadual 6.15 – 6.17.

Jadual 6.15. Ralat Mutlak Punca antara FTTP dan FTTL bagi Persamaan (6.22)

Bilangan lelaran

( )g x ( , )g x t FTTP FTTLε ε→

10

81.11 10x −∆ = ×

131.83 10x −∆ = ×

7 1210 10− −→

100

128.51 10x −∆ = ×

188 10x −∆ = ×

11 1710 10− −→

1000 158.00 10x −∆ = × 248.27 10x −∆ = ×

14 2310 10− −→

143


Bilangan lelaran


10

101.72 10x −∆ = ×

131.31 10x −∆ = ×

9 1210 10− −→

100

131.31 10x −∆ = ×

191.27 10x −∆ = ×

12 1810 10− −→

1000 161.02 10x −∆ = × 251.30 10x −∆ = ×

15 2410 10− −→ Jadual 6.17. Ralat Mutlak Punca antara FTTP dan FTTL bagi Persamaan (6.24)

Bilangan lelaran


10

101.37 10x −∆ = ×

131.04 10x −∆ = ×

9 1210 10− −→

100

131.04 10x −∆ = ×

191.01 10x −∆ = ×

12 1810 10− −→

1000 161.01 10x −∆ = × 251.01 10x −∆ = ×

15 2410 10− −→ Salah satu nilai sebenar yang dikesan bagi punca-punca persamaan (6.22), (6.23) dan

(6.24) adalah 4.494939671263584749205802,x = 1.631980805566063517522106,x =

dan 1.34742809896830498150671538x = secara berturutan. Didapati kadar ketepatan

FTTL sentiasa meningkat jika dibandingkan dengan FTTP. Adakalanya kadar

ketepatan bagi FTTL boleh mencecah sehingga 2410ε −= .

Ralat mutlak antara FTTP dan FTTL dalam menyelesaikan sistem persamaan polinomial

( ) 0F x =


144


Bilangan lelaran

( )G x

( , )G x t

FTTP FTTLε ε→

10

35.00 10x −∆ = × 34.12 10y −∆ = ×

54.83 10x −∆ = × 55.34 10y −∆ = ×

2 410 10− −→

100

54.72 10x −∆ = × 54.68 10y −∆ = ×

94.68 10x −∆ = × 94.74 10y −∆ = ×

4 810 10− −→

1000

74.69 10x −∆ = × 74.73 10y −∆ = ×

134.68 10x −∆ = × 134.73 10y −∆ = ×

6 1210 10− −→


Bilangan lelaran

( )G x

( , )G x t

FTTP FTTLε ε→

10

48.86 10x −∆ = × 44.53 10y −∆ = × 44.59 10z −∆ = ×

67.39 10x −∆ = × 63.72 10y −∆ = × 63.89 10z −∆ = ×

3 510 10− −→

100

67.66 10x −∆ = × 63.83 10y −∆ = × 63.96 10z −∆ = ×

107.53 10x −∆ = × 103.76 10y −∆ = × 103.90 10z −∆ = ×

5 910 10− −→

1000

87.54 10x −∆ = × 83.76 10y −∆ = × 83.90 10z −∆ = ×

147.54 10x −∆ = × 143.76 10y −∆ = × 143.90 10z −∆ = ×

7 1310 10− −→


Bilangan lelaran

( )G x

( , )G x t

FTTP FTTLε ε→

10

27.44 10w −∆ = × 12.25 10x −∆ = × 22.25 10y −∆ = × 27.44 10z −∆ = ×

23.03 10w −∆ = × 28.32 10x −∆ = × 38.32 10y −∆ = × 23.03 10z −∆ = ×

0 110 10−→

100

22.76 10w −∆ = × 21.46 10x −∆ = × 31.46 10y −∆ = × 22.76 10z −∆ = ×

47.32 10w −∆ = × 32.06 10x −∆ = × 42.06 10y −∆ = × 47.32 10z −∆ = ×

1 210 10− −→

1000

38.70 10w −∆ = × 34.82 10x −∆ = × 44.82 10y −∆ = × 38.70 10z −∆ = ×

42.92 10w −∆ = × 48.21 10x −∆ = × 58.21 10y −∆ = × 42.92 10z −∆ = ×

2 310 10− −→

145

Salah satu nilai sebenar yang dikesan bagi punca-punca persamaan (6.25), (6.26)

dan (6.27) adalah 1.900676726367065771,0.311218565419294( , ) ( ),2697x y =

0.6982886099715139009, 0.6285242979602138064,0.34256418968( , , 9569437) 7)(x y z −= dan ( , , , ) (0,0,0,0)w x y z = secara berturutan. Didapati kadar ketepatan FTTL sentiasa

meningkat jika dibandingkan dengan FTTP. Adakalanya kadar ketepatan bagi FTTL

boleh mencecah sehingga 1310ε −= .

6.8 Kesimpulan

Sumbangan asli kami dalam bab ini adalah memperkenalkan satu fungsi

homotopi tambahan yang baru. Dalam kajian ini, keistimewaan Fungsi Titik Tetap

Linear yang diperkenalkan dilihat dapat mengatasi fungsi mula yang lain. Ini dapat

dilihat dengan mengukur dua kriteria (6.3) dan (6.4). Fungsi mula baru, yang dihasilkan

dengan menambah parameter t dalam fungsi mula piawai, menyebabkan penganggaran

( , )G x t

lebih cepat berbanding ( )G x

. Seterusnya, menyebabkan penganggaran nilai

fungsi ( ,1.0) ( )H x F x=

dan 2 ( ,1.0) ( )H x F x=

yang menggunakan Fungsi Titik Tetap

Linear ( , )G x t

lebih menghampiri 0 berbanding ( ,1.0) ( )H x F x=

dan

2 ( ,1.0) ( )H x F x=

yang menggunakan Fungsi Titik Tetap Piawai ( )G x

. Kajian kadar

ketepatan akan diteruskan lagi dalam bab seterusnya dengan memperkenalkan kaedah

homotopi yang baru.

146

BAB 7

KAEDAH OSTROWSKI PERSELANJARAN HOMOTOPI

7.1 Pengenalan

Fungsi homotopi tambahan yang baru telah diperkenalkan dan dibincangkan

dalam Bab 6. Dalam bab ini, faktor lain yang meningkatkan ketepatan anggaran akan

dikaji dan faktor itu adalah kaedah homotopi itu sendiri. Terdapat pelbagai jenis kaedah

homotopi yang telah disebut dan telah dibuat bandingan dalam Bab 4. Dalam bab ini,

satu kaedah homotopi perselanjaran baru akan diperkenalkan iaitu Kaedah Ostrowski

Perselanjaran Homotopi (Ostrowski-PH). Kaedah Ostrowski-PH yang terhasil akan

diterangkan, akan dibandingkan dengan kaedah terbaik daripada setiap kategori dan

keputusan akan dibuat di bahagian seterusnya. Dalam erti kata lain, Kaedah Ostrowski-

PH akan dibandingkan dengan Kaedah Varian Baru Newton-PH bagi menyelesaikan

persamaan polinomial tunggal

( ) 0 .f x = (7.1)

Kaedah Ostrowski-PH akan dibandingkan dengan Kaedah Newton-PH bagi masalah

sistem persamaan polinomial

( ) 0,F x =

(7.2)

dengan ( )1 2( ) ( ), ( ),. . . ,( ) T

nF x f x f x f x=

dan 1 2{ , ,..., }.nx x x x=

147

Pemilihan bagi kaedah perselanjaran homotopi terbaik berdasarkan kriteria

penumpuan yang minimum yang mampu dicapai apabila bilangan lelaran ditetapkan

iaitu

1 2( , ,..., ) ,nF x x x ε

∞< (7.3)


∞= dan

,x x ε

∞− <

(7.4)

dengan ( )1 1 2 2max , ,..., n nx x x x x x x x

∞− = − − −

dan 10dε = dengan d adalah

integer bukan positif. Kajian perbandingan ini hanya menggunakan ralat mutlak punca

persamaan dan ralat mutlak fungsi persamaan, tidak melibatkan analisis yang kompleks.

7.2 Algoritma

Algoritma bagi kaedah terbaik semasa dengan Kaedah Ostrowski Perselanjaran

Homotopi ditunjukkan terlebih dahulu sebelum kajian pembandingan dilaksanakan.

Algoritma 7.1 hingga 7.4 ditunjukkan seperti berikut.

( ) 0f x =7.2.1. Persamaan Polinomial Tunggal Algoritma 7.1: Kaedah Varian Baru-PH Data masuk: Nilai 0x .k, bilangan lelaran maksimum

.kxData keluar: Nilai anggaran punca persamaan Langkah 1: Tetapkan 0t = dan 10k = (saiz selang = 0.1). Langkah 2: Tetapkan 0( )g x x x= − dan ( , ) (1 ) ( ) ( ).H x t t g x tf x= − +

0i =Langkah 3: Jika , 1i k≤ − , i + + lakukan langkah 4 – 5 Langkah 4: Tetapkan

148

1

( , )( , )

( , )2 ( , ) ( , )

( , ) ( , )

ii i

x i

ii i

x i y i

x i y i

H x ty xD H x t

H x tx x D H x t D y tD H x t D H y t

+

= −

= −

+


kxLangkah 6: Data keluar dan ( )i kF x . 0.01t∆ =Langkah 7: Ulang prosedur sama dan kemudian 0.001t∆ = .

Prosedur tamat. BERHENTI Algoritma 7.2: Kaedah Ostrowski-PH Data masuk: Nilai mula 0x .k, Bilangan lelaran maksimum

.kxData keluar: Nilai anggaran punca persamaan Langkah 1: Tetapkan 0t = dan 10k = (saiz selang = 0.1). Langkah 2: Tetapkan 0( , ) (1 )( ) ( )g x t t x x tf x= − − + dan ( , ) (1 ) ( , ) ( )H x t t g x t tf x= − +


Langkah 4: Tetapkan

1

( , )'( , )

( , ) ( , ) .( , ) 2 ( , ) ( , )

ii i

i

i ii i

i i x i

H x ty xH x t

H x t H y tx yH x t H y t D H x t+

= −

= −−



Prosedur tamat BERHENTI

( ) 0F x =

7.2.2. Sistem Persamaan Polinomial Algoritma 7.3. Kaedah Newton-PH

0x

Data masuk: Nilai mula , Bilangan lelaran maksimum k

kx

Data keluar: Nilai anggaran punca persamaan Langkah 1: Tetapkan 0t = dan 10k = (saiz selang = 0.1). Langkah 2: Tetapkan 0( ) ( )G x x x= −

dan ( , ) (1 ) ( ) ( )H x t t G x tF x= − +


1

1 ( , ) ( , )i i x i ix x D H x t H x t−

+ = −



kx

Langkah 6: Data keluar dan ( )i kF x

.

149

0.01t∆ =Langkah 7: Ulang prosedur sama dan kemudian 0.001t∆ = . Prosedur tamat BERHENTI Algoritma 7.4. Kaedah Ostrowski-PH Data masuk: Nilai mula 0x .k , Bilangan lelaran maksimum

.kxData keluar: Nilai anggaran punca persamaan Langkah 1: Tetapkan 0t = dan 10k = (saiz selang = 0.1). Langkah 2: Tetapkan 0( , ) (1 )( ) ( )G x t t x x tF x= − − +

dan ( , ) (1 ) ( , ) ( ).H x t t G x t tF x= − +


Langkah 4: Tetapkan

1

1

1

( , ) ( , )

( , ) ( , ).

i i x i i

i i x i j i

y x D H x t H x t

x y D H x t O x t

−

−

+

= −

= −

0,1,2,..., 1,i k= −


kx

Langkah 6: Data keluar dan ( )i kF x

. 0.01t∆ =Langkah 7: Ulang prosedur sama dan kemudian 0.001t∆ = .

Prosedur tamat BERHENTI 7.3. Penubuhan Kaedah Ostrowski Perselanjaran Homotopi

Beberapa kaedah perselanjaran homotopi telah ditunjukkan dalam Bab 4. Kajian

perbandingan kaedah-kaedah homotopi telah dijalankan. Didapati kaedah Varian Baru

Newton-PH adalah kaedah terbaik bagi kategori persamaan tunggal dan kaedah Newton-

PH adalah kaedah yang terbaik bagi sistem persamaan.

Teknik yang digunakan untuk pembentukan Kaedah Newton-PH, Kaedah Sekan-

PH dan Adomian-PH, digunakan juga untuk pembentukan Kaedah Ostrowski-PH.

Kaedah Ostrowski-PH terbentuk daripada kaedah klasiknya sendiri iaitu kaedah

Ostrowski yang telah dicetuskan oleh Alexander Markowich Ostrowski (1960). Kaedah

Ostrowski untuk persamaan polinomial tunggal ditakrifkan sebagai

150

1

( ) ,'( )

( ) ( ) ,( ) 2 ( ) '( )

ii i

i

i ii i

i i i

f xy xf x


= −

= −−

0,1, 2,..., 1,i k= − (7.5)

dan bagi sistem persamaan boleh ditulis sebagai

1

1

1

( ) ( ),

( ) ( ),

i i x i i

i i x i

y x D F x F x

x y D F x O x

−

−

+

= −

= −

0,1, 2,..., 1.i k= − (7.6)

dengan ( )iO x

adalah fungsi Ostrowski yang diwakilkan sebagai

( ) ( )

( ) ,( ) 2 ( )

j i j ij i

j i j i

f x f yO x

f x f y=

−

0,1,2,..., 1,i k= − 1, 2,..., .j n= (7.7)

Dengan menggunakan konsep transformasi fungsi, formula yang dapat dibentuk seperti berikut

1

( , ) ,'( , )

( , ) ( , ) ,( , ) 2 ( , ) ( , )

ii i

i

i ii i

i i x i

H x ty xH x t


= −

= −−

0,1, 2,..., 1,i k= − (7.8)

bagi satu persamaan tidak linear dan

1

1

1

( , ) ( , ),

( , ) ( , ),

i i x i i

i i x i j i

y x D H x t H x t

x y D H x t O x t

−

−

+

= −

= −

0,1, 2,..., 1,i k= − (7.9)

bagi sistem persamaan polinomial dengan

151

( , ) ( , )

( , ) ,( , ) 2 ( , )

j i j ij i

j i j i

H x t H y tO x t

H x t H y t=

−

0,1,2,..., 1,i k= − 1, 2,..., .j n= (7.10)

Fungsi ( , )iH x t

adalah fungsi homotopi piawai dan ( , )x iD H x t

adalah matriks Jacoban

ditakrifkan sebagai

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

( , ) .

n

nx

n n n

n

H H Hx x xH H Hx x xD H x t

H H Hx x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

(7.11)

Berdasarkan rumus kaedah Ostrowski (7.5), kaedah ini mencapah apabila

0'( ) 0f x = . Kaedah Ostrowski kemudiannya diaplikasikan di dalam Contoh 7.1.

Contoh 7.1. Pertimbangkan persamaan polinomial tunggal yang dibincangkan oleh

Wu (2005b)

3 21 1( ) 6 1 0.

3 2f x x x x= − − + = (7.12)

Kelemahan Kaedah Ostrowski dapat diperhatikan apabila persamaan (7.12)

dimulakan dengan nilai mula seperti 0 4x = , 0 2x = − , 0 3x = , 0 2.01x = − dan 0 3.01.x =

Kriteria penamat adalah 5( ) 10kf x −< .

Masalah pencapahan yang berlaku bagi kaedah Ostrowski ditunjukkan seperti di

dalam Jadual 7.1.

152

Jadual 7.1. Masalah Pencapahan Kaedah Ostrowski Nilai Mula Kaedah

Ostrowski Anggaran Penyelesaian ( )f x

0 4x =

Menumpu selepas lelaran kedua

4.98805001729148x = 68.95 10−×

0 2x = − Mencapah Tidak dapat ditentukan Tidak dapat ditentukan

0 3x = Mencapah Tidak dapat ditentukan Tidak dapat ditentukan

0 2.01x = − Menumpu selepas 7 lelaran

3.65270475885147x = − 157.11 10−− ×

0 3.01x = Menumpu selepas 7 lelaran

4.98804937330306x = 92.64 10−×

Masalah pencapahan ini boleh diselesaikan melalui kaedah Ostrowski-PH dan

hasil kajian ditunjukkan seperti di dalam Jadual 7.2.

Jadual 7.2. Kaedah Ostrowski-PH sebagai Satu Penyelesaian Nilai mula Kaedah

Ostrowski-PH Anggaran Penyelesaian ( )f x

0 4x =

Menumpu selepas lelaran pertama

4.98804938980454x = 72.32 10−×

0 2x = − Menumpu selepas 4 lelaran

-3.65270502903986x = 62.97 10−− ×

0 3x = Menumpu selepas 3 lelaran

4.98804948657143x = 61.58 10−×

0 2.01x = − Menumpu selepas 4 lelaran

-3.65270502234880x = 62.90 10−− ×

0 3.01x = Menumpu selepas 3 lelaran

4.98804952286232x = 62.08 10−×

Berdasarkan Jadual 7.2, dapat diperhatikan bahawa Kaedah Ostrowski-PH

mampu untuk menyelesaikan masalah pencapahan dan mampu menumpu lebih cepat

berbanding Kaedah Ostrowski. Punca persamaan (7.12) tidak dapat ditentukan jika

dianggarkan dari nilai mula 0 2x = − dan 0 3x = . Masalah pencapahan ini berlaku apabila

nilai fungsi dibahagi dengan sifar. Manakala bagi nilai mula 0 2.01x = − dan

0 3.01x = (rapat dengan nilai mula yang tidak baik), Kaedah Ostrowski akan menumpu

153

dengan penumpuan yang lambat. Kaedah Ostrowski yang digunakan untuk

menyelesaikan persamaan (7.12) dengan nilai mula 0 2.01x = − dan 0 3.01x =

digambarkan di dalam Rajah 7.1 dan 7.2.

Rajah 7.1 : Prestasi Kaedah Ostrowski dengan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.12) apabila 0 2.01x = − (dekat dengan nilai mula yang tidak bagus)

154

Rajah 7.2: Prestasi Kaedah Ostrowski dengan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.12) apabila 0 3.01x = (dekat dengan nilai mula yang tidak bagus)

Graf dalam Rajah 7.1 dan Rajah 7.2 menunjukkan bahawa Kaedah Ostrowski-

PH berfungsi lebih baik daripada Kaedah Ostrowski. Kelemahan Kaedah Ostrowski

dapat dilihat dengan jelas: kaedah ini tidak konsisten dan mempunyai penumpuan yang

lambat.

7.4. Penumpuan Kaedah Ostrowski Perselanjaran Homotopi

Takrif 7.1, Takrif 7.3, dan Takrif 7.4 ditunjukkan terlebih dahulu untuk

menghasilkan Teorem 7.2 dan Teorem 7.5 secara berturutan.

Takrif 7.1 (Burden & Faires, 2011). Andaikan 0{ }k

i ix = adalah satu siri yang menumpu

kepada x , dengan keadaan ix x≠ bagi semua i . Jika pemalar positif ρ dan α wujud

dengan keadaan

155

1

1lim ,i

i ki

x xx x αρ +

→ −

−=

− 0,1,..., 1,i k= − 0,α > (7.13)

maka 0{ }ki ix = menumpu ke nilai sebenar x pada peringkat α .

Kadar penumpuan bagi Kaedah Ostrowski-PH ditunjukkan seperti di dalam Teorem 7.2:

Teorem 7.2. Andaikan 1

1lim 1,i

x ki

x xx x+

→ −

−<

−maka Kaedah Ostrowski-PH menumpu ke nilai

sebenar x secara linear.

Bukti.

Persamaan (7.8) dipecahkan kepada dua bahagian,

( , ) .

( , )i

i ix i

H x ty xD H x t

= − (7.14a)

1( , ) ( , ) .

( , ) 2 ( , ) ( , )i i

i ii i x i

H x t H y tx yH x t H y t D H x t+ = −

− (7.14b)

Gantikan Persamaan (7.14a) ke dalam Persamaan (7.14b) supaya menjadi

1 1 11

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , ) ,( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )

i i i i i ii i

x i i i i i i x i i

H x t H x t H y tx xD H x t H x t H y t D H x t

+ + ++

+ + + +

= − −−

(7.15)

dengan 11

iit

k+

+= . Kemudian, 1 0x x≈ apabila 0i = dan k →+∞ .

Bagi 0 1i k< < − ,

1 2 3 1... .kx x x x −≈ ≈ ≈ ≈ (7.16)

Akhir sekali, apabila 1i k= − dan 1t = ,

156

1 1 11

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) .'( ) ( ) 2 ( ) '( )

k k kk k

k k k k

f x f x f yx xf x f x f y f x

− − −−

− − − −

= − −−

(7.17)

Oleh kerana 1( ) 0kf x − ≈ apabila 1k − → +∞ , 1k kx x −≈ . Dengan menggabungkan

kesemua subsiri, siri bagi nilai anggaran punca persamaan menggunakan Kaedah

Ostrowski-PH menjadi 0{ }ki ix = .

Kadar penumpuan bagi suatu kaedah ditunjukkan seperti di dalam Takrif 7.3:

Takrif 7.3 Andaikan 0{ }k

i ix = dengan 0k ≥ merupakan satu jujukan dalam ℜ menumpu

kepada nilai sebenar punca persamaan x . Kemudian, penumpuan disebut

a) Linear , jika wujud kM dengan 0 1kM< < apabila 1k k kx x M x x−− ≤ −

b) Kuadratik, jika wujud kM dengan 0 1kM< < apabila 21k k kx x M x x−− ≤ −

c) Peringkat α , jika wujud kM dengan 0 1kM< < apabila 1k k kx x M x x α−− ≤ −

Melalui kaedah cuba-cuba, didapati jujukan { } 0

ki i

x=

menumpu kepada nilai punca x

secara linear. Menurut Faires dan Burden (2002), satu kaedah yang menghasilkan satu

jujukan { } 0

ki i

x=

akan menumpu secara linear jika wujud satu pemalar kM dengan

0 1kM< < dan memenuhi syarat berikut

( ) ( )1 .k k kx x M x x −− ≤ − (7.18)

Oleh itu, pembuktian ini membuktikan Kaedah Ostrowski-PH menumpu secara linear.

157

Takrif 7.4. Andaikan 1{ }ki ix =

adalah satu siri yang menumpu ke nilai sebenar x

, dengan

keadaan ix x≠

bagi semua i . Jika pemalar positif ρ dan α wujud dengan keadaan

1

1lim ,i

i ki

x xx x αρ +

→ −

−=

−

(7.19)

maka jujukan 1{ }k

i ix =

menumpu ke nilai x

pada peringkat α dengan 0α > .

Teorem 7.5. Andaikan 1

1lim 1,i

i ki

x xx x+

→ −

−<

−

maka Kaedah Ostrowski-PH menghasilkan

lelaran yang menumpu ke nilai sebenar x

pada kadar linear.

Bukti.

Dengan menggunakan teknik yang sama untuk penghasilan Teorem 7.2, didapati

1 .k k kx x M x x −− ≤ −

(7.20)

Takrif 7.6 (Cordero & Torregrosa, 2007): Andaikan 0{ }k

i ix =

dengan 0k ≥ merupakan

satu jujukan dalam nℜ menumpu kepada nilai sebenar punca persamaan x

. Kemudian,

penumpuan disebut

a) Linear , jika wujud kM dengan 0 1kM< < apabila 1k k kx x M x x−− ≤ −

b) Kuadratik, jika wujud kM dengan 0 1kM< < apabila 21k k kx x M x x−− ≤ −

c) Peringkat α , jika wujud kM dengan 0 1kM< < apabila 1k k kx x M x x α−− ≤ −

158

Melalui kaedah cuba-cuba juga, didapati jujukan 0{ }ki ix =

menumpu kepada nilai

penyelesaian secara linear. Oleh itu, pembuktian ini membuktikan Kaedah Ostrowski-

PH menumpu secara linear.

Oleh kerana Kaedah Ostrowski-PH memenuhi syarat (7.18) dan (7.20), maka

Kaedah Ostrowski-PH menumpu pada kadar linear dalam menyelesaikan persamaan

polynomial tunggal dan sistem persamaan polinomial.

7.5. Pelaksanaan

Kaedah baru yang diperkenalkan kemudiannya dibandingkan secara meluas bagi

persamaan polinomial tunggal dan sistem persamaan polinomial.

7.5.1. Persamaan Polinomial Tunggal ( ) 0.f x =

Kajian perbandingan antara kaedah Varian Baru Newton-PH dengan kaedah

Ostrowski-PH dikaji melalui tiga contoh persamaan polinomial tunggal yang

dipertimbangkan seperti di dalam Contoh 7.2, 7.3 dan 7.4.

Contoh 7.2. Pertimbangkan persamaan tunggal yang dibincangkan oleh Rafiq dan

Awais (2008)

3 2( ) 4 10 0.f x x x= − − = (7.21)

Nilai mula 083

x = (Rafiq & Awais, 2008) dan fungsi homotopi tambahan 0( )g x x x= −

digunakan. Hasil kajian dibentangkan di dalam Jadual 7.3.

159

Contoh 7.3. Pertimbangkan persamaan tunggal yang telah dikaji oleh Bi et al. (2008)

3 2( ) 4 15 0.f x x x= + − = (7.22)

Nilai mula 0 2x = (Bi et al., 2008) dan fungsi homotopi tambahan adalah 0( )g x x x= −

digunakan. Hasil yang diperolehi disimpulkan di dalam Jadual 7.4.

Contoh 7.4. Pertimbangkan persamaan polinomial berikut yang diuji oleh Chun dan

Neta (2012)

5 4 2( ) 4 15 0.f x x x x= + + − = (7.23)

Nilai mula 0 1.6x = dan fungsi homotopi tambahan 0( )g x x x= − digunakan. Hasil

kajian perbandingan ditunjukkan di dalam Jadual 7.5.

7.5.2. Sistem Persamaan Polinomial ( ) 0.F x =

Tiga contoh sistem persamaan polinomial turut dipertimbangkan seperti di dalam

Contoh 7.5, 7.6 dan 7.7.

Contoh 7.5. Pertimbangkan contoh sistem persamaan polinomial berikut seperti yang

dibincangkan dalam Rafiq dan Awais (2008)

2

12 2

2

( , ) 2 0.5 0.

( , ) 4 4 0.


= − − + =

= + − = (7.24)

160

Fungsi homotopi tambahan 1 0( , )g x y x x= − , 2 0( , )g x y y y= − dan nilai mula

0 0( , ) (0,0)x y = digunakan. Keputusan ditunjukkan di dalam Jadual 7.6.

Contoh 7.6. Pertimbangkan contoh berikutnya yang dikaji oleh Noor dan Waseem

(2009)

2 2 21

2 22

2 2 23

( , , ) 1 0.

( , , ) 2 4 0.

( , , ) 3 4 0.


= + + − =

= + − =

= − + =

(7.25)

Fungsi homotopi tambahan adalah 1 0( , , )g x y z x x= − , 2 0( , , )g x y z y y= − ,

3 0( , , )g x y z z z= − dan nilai mula adalah 0 0 0( , , ) (0,0,0)x y z = . Hasil kajian ditunjukkan

di dalam Jadual 7.7.

Contoh 7.7. Pertimbangkan contoh berikut seperti yang dibincangkan oleh Morgan

(1983)

1

22

3

24

( , , , ) 10 0.

( , , , ) 5( ) 0.

( , , , ) ( 2 ) 0.

( , , , ) 10( ) 0.

f w x y z x y


f w x y z x w

= + =

= − =

= − =

= − =

(7.26)

Fungsi homotopi tambahan 1 0( , , , )g w x y z w w= − , 2 0( , , , )g w x y z x x= − ,

3 0( , , , )g w x y z y y= − , 4 0( , , , )g w x y z z z= − dan nilai mula 0 0 0 0( , , , ) (1,4,1,2)w x y z =

digunakan dalam kajian perbandingan. Hasilnya seperti di dalam Jadual 7.8.

161

7.6. Keputusan dan Perbincangan

Keputusan yang diperolehi dibincangkan dengan menggunakan fungsi homotopi

piawai ( , )H x t

dan fungsi homotopi baru 2( , )H x t

bersama-sama fungsi tambahan baru

( , )G x t

dalam persamaan polinomial tunggal dan sistem persamaan polinomial.

7.6.1 Fungsi Homotopi Piawai


apabila fungsi homotopi piawai digunakan dengan kaedah Ostrowski-PH. Kajian ini

meliputi kadar ketepatan terhadap persamaan polinomial tunggal dan sistem persamaan

polinomial.

7.6.1.1 Persamaan Polinomial Tunggal ( ) 0.f x =

Kaedah Ostrowski-PH yang menggunakan fungsi homotopi piawai dibandingkan

dengan Kaedah Varian Baru Newton-PH dalam menyelesaikan persamaan tunggal

melalui Contoh 7.2 – 7.4 dan hasilnya ditunjukkan di dalam Jadual 7.3 – 7.5.

Jadual 7.3. Perbandingan antara Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.21)

Bilangan lelaran

1Varian Baru Newton-PH

21 2ε ε→Ostrowski-PH

10

72.75 10f −= − ×

94.71 10f −= ×

6 810 10− −→

100

102.10 10f −= − ×

133.21 10f −= ×

9 1210 10− −→

1000 132.04 10f −= − × 173 10f −= ×

12 1610 10− −→

162

Jadual 7.4. Perbandingan antara Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.22)

Bilangan lelaran



10

93.61 10f −= ×

111.62 10f −= ×

8 1010 10− −→

100

122.75 10f −= ×

151.13 10f −= ×

11 1410 10− −→

1000 152.681 10f −= × 151.09 10f −= ×

1410− Jadual 7.5. Perbandingan antara Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.23)

Bilangan lelaran



10

95.06 10f −= ×

126.29 10f −= ×

10 1110 10− −→

100

123.84 10f −= ×

164.36 10f −= ×

11 1510 10− −→

1000 153.74 10f −= × 204.21 10f −= ×

14 1910 10− −→

Didapati nilai anggaran salah satu punca-punca persamaan yang dikesan melalui Kaedah

Ostrowski-PH adalah 4.4949396712635847505, x = 1.631980805566063518x = dan

1.34742809896830498150785150751x = apabila persamaan (7.21), (7.22), (7.23)

diselesaikan. Jadual 7.3 – 7.5 menunjukkan peningkatan kadar ketepatan apabila Kaedah

Ostrowski-PH diaplikasikan.

7.5.1.2. Sistem Persamaan Polinomial ( ) 0.F x =

Kaedah Ostrowski-PH yang menggunakan fungsi homotopi piawai kemudiannya

dibandingkan dengan Kaedah Newton-PH dalam menyelesaikan sistem persamaan

melalui Contoh 7.5 – 7.7 dan hasilnya ditunjukkan di dalam Jadual 7.6 – 7.8.

163

Jadual 7.6. Perbandingan antara Kaedah Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.24)

Bilangan lelaran

1Newton-PH 21 2ε ε→Ostrowski-PH

10

31 4.90 10f −= ×

22 2.93 10f −= ×

41 1.25 10f −= ×

22 2.14 10f −= ×

110−

100

51 3.83 10f −= ×

42 2.96 10f −= ×

71 3.59 10f −= − ×

52 4.78 10f −= ×

3 410 10− −→

1000 71 3.72 10f −= ×

62 2.96 10f −= ×

101 4.18 10f −= − ×

82 5.73 10f −= ×

5 710 10− −→


Bilangan lelaran


10

31 2.12 10f −= ×

32 1.21 10f −= ×

33 1.75 10f −= ×

51 3.62 10f −= ×

42 1.58 10f −= − ×

53 9.31 10f −= ×

2 310 10− −→

100

51 1.82 10f −= ×

52 1.04 10f −= ×

53 1.56 10f −= ×

81 2.49 10f −= ×

72 1.08 10f −= − ×

83 6.61 10f −= ×

4 610 10− −→

1000 71 1.79 10f −= ×

72 1.02 10f −= ×

73 1.54 10f −= ×

111 2.41 10f −= ×

102 1.05 10f −= − ×

113 6.40 10f −= ×

6 910 10− −→

164


Bilangan lelaran


10

171 2.78 10f −= ×

162 7.14 10f −= ×

23 2.94 10f −= ×

24 7.21 10f −= ×

171 7.98 10f −= ×

162 4.65 10f −= ×

33 7.08 10f −= ×

24 1.28 10f −= ×

110−

100

161 6.14 10f −= ×

162 4.09 10f −= − ×

43 1.32 10f −= ×

44 2.60 10f −= ×

161 6.68 10f −= − ×

152 2.65 10f −= − ×

43 6.24 10f −= ×

34 1.29 10f −= ×

3 210 10− −→

1000 161 6.67 10f −= − ×

152 2.67 10f −= − ×

43 2.86 10f −= ×

44 5.78 10f −= ×

161 6.70 10f −= − ×

152 2.67 10f −= − ×

53 6.25 10f −= ×

44 1.26 10f −= ×

310−

Jadual 7.3 hingga Jadual 7.8 menunjukkan bahawa kaedah Ostrowski-PH yang

baru diperkenalkan mempunyai prestasi yang lebih baik daripada kaedah terbaik

homotopi iaitu Kaedah Varian Baru Newton-PH (kategori persamaan tunggal) dan

Kaedah Newton-PH (kategori sistem persamaan). Nilai anggaran salah satu punca-punca

persamaan (7.24), (7.25) dan (7.26) melalui Kaedah Ostrowski-PH adalah

( , ) (1.90067673315811,0.31121857806999),x y =

( , , ) (0.69828860997764,-0.62852429795659,0.34256418971888),x y z =

3 3 4 3( , , , ) (-3.46 10 ,-9.79 10 ,9.79 10 ,-3.46 10 ),w x y z − − − −= × × × ×

secara berturutan dengan kadar ketepatan yang lebih tinggi.

165

7.6.2 Kaedah Ostrowski-PH dengan/tanpa FHBK dan FTTL


apabila fungsi homotopi baru dan fungsi tambahan baru digunakan dengan kaedah

Ostrowski-PH. Kajian ini meliputi kadar ketepatan terhadap persamaan polinomial

tunggal dan sistem persamaan polinomial.

7.6.2.1 Persamaan Polinomial Tunggal

Kadar ketepatan unggul seterusnya dikaji dengan penambahan Fungsi Homotopi

Bezier Kuadratik dan Fungsi Titik Tetap Linear ke dalam Kaedah Ostrowski

Perselanjaran Homotopi. Hasilnya dihimpunkan di dalam Jadual 7.9 – 7.14.

Jadual 7.9. Perbandingan antara Kaedah Ostrowski-PH dengan/tanpa FHBK dan FTTL bagi Persamaan (7.21)

Bilangan Lelaran

1Ostrowski-PH tanpa FHBK dan

FTTL


dengan FHBK dan FTTL

10 94.71 10f −= × 151.92 10f −= ×

8 1410 10− −→

100

133.21 10f −= × 272.43 10f −= ×

12 2610 10− −→

1000 173 10f −= × 392.49 10f −= ×

16 3810 10− −→

166


Bilangan Lelaran


FTTL



10 111.62 10f −= × 186.78 10f −= ×

10 1710 10− −→

100 151.13 10f −= × 308.60 10f −= ×

14 2910 10− −→

1000 151.09 10f −= × 428.81 10f −= ×

14 4110 10− −→


Bilangan Lelaran

1Ostrowski-PH tanpa FHBK dan FTTL



10

126.29 10f −= × 182.61 10f −= ×

11 1710 10− −→

100

164.36 10f −= × 303.31 10f −= ×

15 2910 10− −→

1000 204.21 10f −= × 423.39 10f −= ×

19 4110 10− −→

Kadar ketepatan didapati terus meningkat apabila Kaedah Ostrowski-PH

digunakan bersama dengan fungsi homotopi Bezier kuadratik dan fungsi titik tetap linear

dalam menyelesaikan persamaan polinomial tunggal. Adakalanya kadar ketepatan

1910ε −= meningkat secara mendadak 4110ε −= apabila FHBK dan FTTL digunakan

bersama-sama kaedah Ostrowski-PH.


Keputusan bagi kategori sistem persamaan ditunjukkan di dalam Jadual 7.12,

7.13 dan 7.14.

167

Jadual 7.12 : Perbandingan antara Kaedah Ostrowski-PH dengan/tanpa FHBK dan FTTL bagi Persamaan (7.24)

Bilangan Lelaran


FTTL



10

41 1.25 10f −= ×

22 2.14 10f −= ×

91 6.74 10f −= − ×

62 8.67 10f −= ×

1 510 10− −→

100

71 3.59 10f −= − ×

52 4.78 10f −= ×

161 4.44 10f −= ×

152 1.87 10f −= ×

4 1410 10− −→

1000 101 4.18 10f −= − ×

82 5.73 10f −= ×

161 4.44 10f −= ×

172 6.19 10f −= ×

7 1510 10− −→


Bilangan Lelaran


FTTL



10

51 3.62 10f −= ×

42 1.58 10f −= − ×

53 9.31 10f −= ×

101 5.32 10f −= ×

92 2.31 10f −= − ×

93 1.41 10f −= ×

3 810 10− −→

100

81 2.49 10f −= ×

72 1.08 10f −= − ×

83 6.61 10f −= ×

161 1.44 10f −= ×

172 8.23 10f −= ×

163 3.76 10f −= ×

6 1510 10− −→

1000 111 2.41 10f −= ×

102 1.05 10f −= − ×

113 6.40 10f −= ×

161 1.44 10f −= ×

172 8.23 10f −= ×

163 3.76 10f −= ×

9 1510 10− −→

168


Bilangan Lelaran


FTTL



10

171 7.98 10f −= ×

162 4.65 10f −= ×

33 7.08 10f −= ×

24 1.28 10f −= ×

151 2.39 10f −= − ×

162 5.00 10f −= ×

43 2.16 10f −= ×

44 4.19 10f −= ×

1 310 10− −→

100

161 6.68 10f −= − ×

152 2.65 10f −= − ×

43 6.24 10f −= ×

34 1.29 10f −= ×

171 4.79 10f −= − ×

162 2.27 10f −= − ×

73 2.31 10f −= ×

74 4.63 10f −= ×

2 610 10− −→

1000 161 6.70 10f −= − ×

152 2.67 10f −= − ×

53 6.25 10f −= ×

44 1.26 10f −= ×

161 6.32 10f −= − ×

162 1.63 10f −= ×

103 2.33 10f −= ×

104 4.66 10f −= ×

3 910 10− −→

Keputusan dalam Jadual 7.9 hingga Jadual 7.14 menunjukkan bahawa Kaedah

Ostrowski-PH dengan FHBK dan FTTL mempunyai implementasi yang lebih baik

daripada Kaedah Ostrowski-PH dari segi kadar ketepatan ε yang bersandarkan pada

nilai ralat mutlak fungsi ( )F x

yang terkecil.

7.7 Analisis Ralat Mutlak Punca Persamaan

Kajian akan diteruskan dengan menganalisa ralat mutlak antara nilai anggaran

dengan nilai sebenar punca-punca persamaan. Nilai sebenar dikira menggunakan

Mathematica dan nilai anggaran menggunakan kaedah berangka yang ditetapkan. Ralat

mutlak disimbolkan sebagai x∆ , dan boleh dikira melalui formula

( ) ,x x x∆ = − (7.23)

169

dengan x adalah nilai sebenar sementara x adalah nilai anggaran. Salah satu nilai

sebenar yang dikesan bagi setiap persamaan (7.21) – (7.26) adalah

4.49493967126358474920580153,x = 1.63198080556606351752210644,x = 1.34742809896830498150671538,x =

1.900676726367065771,0.311218565419294( , ) ( ),2697x y = 0.6982886099715139009, 0.6285242979602138064,0.342564189689( , , 5694377) ),(x y z −=

( , , , ) (0,0,0,0).w x y z =

secara berturutan. Nilai ralat mutlak terkecil menunjukkan nilai anggaran dan kaedah

homotopi yang digunakan adalah yang terbaik. Ralat mutlak antara Kaedah Varian

Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.21) – (7.26) ditunjukkan

seperti di dalam Jadual 7.15 – 7.18.

Jadual 7.15. Ralat Mutlak bagi Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.21)

Bilangan Lelaran



10

81.11 10x −∆ = × 101.91 10x −∆ = ×

7 910 10− −→

100

128.51 10x −∆ = × 141.33 10x −∆ = × 11 1310 10− −→

1000 158.00 10x −∆ = × 171.41 10x −∆ = ×

14 1610 10− −→ Jadual 7.16. Ralat Mutlak bagi Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.22)

Bilangan Lelaran



10

101.72 10x −∆ = × 137.69 10x −∆ = ×

9 1210 10− −→

100

131.31 10x −∆ = × 161.02 10x −∆ = ×

12 1510 10− −→

1000 161.02 10x −∆ = × 161.20 10x −∆ = ×

1510−

170

Jadual 7.17. Ralat Mutlak bagi Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.23)

Bilangan Lelaran



10

101.37 10x −∆ = ×

131.70 10x −∆ = ×

9 1210 10− −→

100

131.04 10x −∆ = ×

172.68 10x −∆ = ×

12 1610 10− −→

1000 161.95 10x −∆ = × 172.68 10x −∆ = ×

15 1610 10− −→ Jadual 7.18 : Ralat Mutlak bagi Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.24)

Bilangan Lelaran


10

35.00 10x −∆ = × 34.12 10y −∆ = ×

32.54 10x −∆ = × 34.70 10y −∆ = ×

210−

100

54.72 10x −∆ = × 54.68 10y −∆ = ×

65.66 10x −∆ = × 51.05 10y −∆ = ×

410−

1000 74.69 10x −∆ = × 74.73 10y −∆ = ×

96.69 10x −∆ = × 81.27 10y −∆ = ×

6 710 10− −→

Jadual 7.19 : Ralat Mutlak bagi Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.25)

Bilangan Lelaran


10

48.86 10x −∆ = × 44.53 10y −∆ = × 44.59 10z −∆ = ×

68.91 10x −∆ = × 65.11 10y −∆ = × 54.40 10z −∆ = ×

3 410 10− −→

100

67.66 10x −∆ = × 63.83 10y −∆ = × 63.96 10z −∆ = ×

96.34 10x −∆ = × 93.79 10y −∆ = × 83.03 10z −∆ = ×

5 710 10− −→

1000 87.54 10x −∆ = × 83.76 10y −∆ = × 83.90 10z −∆ = ×

126.13 10x −∆ = × 123.63 10y −∆ = × 112.93 10z −∆ = ×

7 1010 10− −→

171

Jadual 7.20: Ralat Mutlak bagi Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Ostrowski-PH bagi Persamaan (7.26)

Bilangan Lelaran


10

27.44 10w −∆ = × 12.25 10x −∆ = × 22.25 10y −∆ = × 27.44 10z −∆ = ×

23.70 10w −∆ = × 11.01 10x −∆ = × 21.01 10y −∆ = × 23.70 10z −∆ = ×

010

100

35.04 10w −∆ = × 21.41 10x −∆ = × 31.41 10y −∆ = × 35.04 10z −∆ = ×

21.09 10w −∆ = × 23.12 10x −∆ = × 33.12 10y −∆ = ×

21.09 10z −∆ = ×

110−

1000 38.70 10w −∆ = × 34.82 10x −∆ = × 44.82 10y −∆ = × 38.70 10z −∆ = ×

33.46 10w −∆ = × 39.79 10x −∆ = × 49.79 10y −∆ = × 33.46 10z −∆ = ×

210−

Jadual 7.15 hingga Jadual 7.20 menunjukkan bahawa Kaedah Ostrowski

Perselanjaran Homotopi lebih baik daripada Kaedah Varian Baru Newton-PH dan

Kaedah Newton-PH dalam menyelesaikan persamaan-persamaan polinomial kerana

mempunyai ralat mutlak terkecil walaupun bilangan lelaran ditingkatkan.

7.8 Kesimpulan

Dalam kajian ini, keistimewaan kaedah homotopi yang baru diperkenalkan dapat

dilihat. Walaupun Kaedah Ostrowski Perselanjaran Homotopi hanya menumpu pada

kadar linear, kaedah ini dapat menyelesaikan masalah pencapahan yang biasanya

dialami oleh kaedah-kaedah yang tradisional. Didapati kadar ketepatan yang

bersandarkan pada nilai ralat mutlak fungsi bagi kaedah ini sentiasa meningkat

walaupun diuji tanpa/dengan Fungsi Homotopi Kuadratik Bezier dan Fungsi Titik Tetap

172

Linear. Keyakinan ini bertambah kuat apabila nilai ralat mutlak punca persamaan

diambil kira. Sumbangan asli dalam bab ini adalah kejayaan dalam memperkenalkan

satu kaedah homotopi baru yang lebih baik daripada kaedah-kaedah homotopi semasa

dalam menyelesaikan persamaan-persamaan polinomial. Kajian seterusnya adalah kajian

tentang penyelesaian kepada permasalahan nilai mula bagi permulaan lelaran.

173

BAB 8

MASALAH NILAI MULA DAN JALAN PENYELESAIAN

8.1 Pengenalan

Perbincangan mengenai Kaedah Ostrowski-PH dan kadar penumpuannya telah

dilaksanakan dalam Bab 7. Namun begitu, bukanlah satu jalan penyelesaian yang cekap

untuk meningkatkan ketepatan dengan melakukan 100 atau 1000 kali lelaran. Oleh itu,

satu teknik akan digunakan tanpa memerlukan banyak lelaran. Teknik yang

dimaksudkan adalah Kaedah Ostrowski-PH akan digabungkan dengan Fungsi Homotopi

Kuadratik Bezier dan Fungsi Titik Tetap Linear. Kemudian, kombinasi ini akan

digabungkan dengan satu teknik daripada Palancz et al. (2010). Palancz et al. (2010)

telah memperkenalkan

1 1NewtonRaphson( ( , ), ( , )).i i i ix H x t x x+ += (8.1)

Kombinasi ini akan digabungkan dengan

1 2 1KaedahOstrowski( ( , ), ( , )),i i i ix H x t x x+ += 0,1, 2,..., 1i k= − (8.2)

dalam usaha untuk mempercepatkan lagi kadar penumpuan nilai anggaran punca-punca

persamaan. Formula (8.2) hanya dilelarkan sebanyak dua kali bagi setiap 1it + untuk

menambahkan lagi kadar ketepatan anggaran punca persamaan dan mengurangkan

174

bilangan lelaran. Untuk memudahkan penerangan, kombinasi ini dinamakan sebagai

Kaedah Super Ostrowski Perselanjaran Homotopi (Super Ostrowski-PH).

Kaedah Super Ostrowski-PH akan dibandingkan dengan Kaedah Ostrowski-PH

untuk mengkaji keberkesanannya dari segi kadar ketepatan dan kemampuan untuk

menumpu dengan lebih cepat. Seperti biasa, perbandingan melibatkan dua kategori iaitu

penyelesaian kepada persamaan polinomial tunggal

( ) 0,f x = (8.3)

dan juga pada satu sistem persamaan polinomial

( ) 0,F x =

(8.4)

dengan ( )1 2( ) ( ), ( ),. . . ,( ) T

nF x f x f x f x=

dan 1 2{ , ,..., }.nx x x x=

8.2 Algoritma

Algoritma bagi kaedah Ostrowski-PH dengan Kaedah Super Ostrowski-PH ditunjukkan

terlebih dahulu sebelum kajian pembandingan dilaksanakan. Algoritma 8.1 hingga 8.4

ditunjukkan seperti berikut.

( ) 0.f x =8.2.1: Persamaan Polinomial Tunggal Algoritma 8.1: Kaedah Ostrowski-PH Data masuk: Nilai mula 0x .k, Bilangan lelaran maksimum

.kxData keluar: Nilai anggaran punca persamaan Langkah 1: Tetapkan 0t = dan 10k = (saiz selang = 0.1). Langkah 2: Tetapkan 0( , ) (1 )( ) ( )g x t t x x tf x= − − + dan ( , ) (1 ) ( , ) ( )H x t t g x t tf x= − +

0i =

Langkah 3: Jika , 1i k≤ − , i + + lakukan langkah 4 – 5 Langkah 4: Tetapkan

175

1

( , )'( , )

( , ) ( , ) .( , ) 2 ( , ) ( , )

ii i

i

i ii i

i i x i

H x ty xH x t


= −

= −−



Prosedur tamat. BERHENTI Algoritma 8.2: Super Ostrowski-PH Data masuk: Nilai mula .0x

.kxData keluar: Anggaran penyelesaian Langkah 1: Tetapkan 0t = . Langkah 2: Tetapkan 0( , ) (1 )( ) ( )g x t t x x tf x= − − + , ( , ) (1 ) ( , ) ( )H x t t g x t tf x= − + dan 2 2

2 ( , ) (1 ) ( , ) 2 (1 ) ( , ) ( )H x t t g x t t t H x t t f x= − + − + . Langkah 3: Tetapkan

2

2

2 21

2 2 2

( , )( , )

( , ) ( , )( , ) 2 ( , ) ( , )

ii i

x i

i ii i

i i x i

H x ty xD H x t


= −

= −−

1( , ) if x t x += .

1p =Langkah 4: Jika , ( )f x ε≥ , p + + lakukan langkah 5 – 7 1;k k= + 0;t = x a= ;

0i =Langkah 5: Jika , 1i k≤ − , i + +

1t tk

= +

1 ( , )ix f x t+ = Jika lain: Keluar dari gelung

1j =Langkah 6: Jika , 1j ≤ , j + +

1 ( , )ix f x t+ = 1ix +Langkah 7: Paparkan hasil

Jika lain: Keluar dari gelung Jika lain: Keluar dari gelung

kxLangkah 8: Data keluar dan ( ).kf x Langkah 9: Ulang prosedur yang sama dengan nilai mula yang lain Prosedur tamat. BERHENTI

176

( ) 0F x =

8.2.2. Sistem Persamaan Polinomial Algoritma 8.3: Ostrowski-HCM Data masuk: Nilai mula, 0x

.

kx

Data keluar: Anggaran penyelesaian . Langkah 1: Tetapkan 0.t = Langkah 2: Tetapkan 0( ) ( )G x x x= −

dan ( , ) (1 ) ( ) ( )H x t t G x tF x= − +

Langkah 3: Tetapkan

[ ][ ]

1

11

( , ) ( , )

( , ) ( , )

i i x i i

i i x i j i

y x D H x t H x t

x y D H x t O x t

−

−+

= −

= −

1( , ) iF x t x +=

1p =Langkah 4: Jika , ( )F x ε≥

, p + + lakukan langkah 5 – 7 1;k k= + 0;t = ;x a=


1t tk

= +

1 ( , )ix F x t+ =

Jika lain: Keluar dari gelung

1j = Langkah 6: Jika , 1j ≤ , j + +

1 ( , )ix F x t+ =

1ix +

Langkah 7: Paparkan keputusan: , Jika lain: Keluar dari gelung

Jika lain: Keluar dari gelung kx

Langkah 8: Data keluar dan ( )F x

Langkah 9: Ulang prosedur yang sama untuk nilai mula yang lain. Prosedur tamat. BERHENTI Algoritma 8.4. Super Ostrowski-PH Data masuk: Nilai mula, 0x

kx

Data keluar: Anggaran penyelesaian Langkah 1: Tetapkan 0t = Langkah 2: Tetapkan 0( , ) (1 )( ) ( )G x t t x x tF x= − − +

, ( , ) (1 ) ( , ) ( )H x t t G x t tF x= − +

, dan 2 2

2 ( , ) (1 ) ( , ) 2 (1 ) ( , ) ( )H x t t G x t t t H x t t F x= − + − +

Langkah 3: Tetapkan

[ ][ ]

12

11 2 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

i i x i i

i i x i i

y x D H x t H x t

x y D H x t O x t

−

−+

= −

= −

1( , ) iF x t x +=

177

1p =Langkah 4: Jika , ( )F x ε≥

, p + + lakukan langkah 5 – 7 1;k k= + 0;t = x a=


1t tk

= +

1 ( , )ix F x t+ =

Jika lain: Keluar dari gelung

1j =Langkah 6: Jika , 1j ≤ , j + +

1 ( , )ix F x t+ =

1ix +

Langkah 7: Paparkan keputusan: Jika lain: Keluar dari gelung

Jika lain: Keluar dari gelung kx

Langkah 8: Data keluar dan ( )F x

Langkah 9: Ulang prosedur yang sama untuk nilai mula yang lain.

( )f x ε<

Prosedur tamat. BERHENTI

8.3 Pelaksanaan

Prestasi kaedah Ostrowski-PH dengan Super Ostrowski-PH dibandingkan dari

segi bilangan lelaran untuk menumpu dan nilai mula yang boleh digunakan untuk

mencapai kriteria untuk berhenti yang ditetapkan. Kriteria penamat yang digunakan

untuk menghentikan proses lelaran bagi persamaan polinomial tunggal adalah

, dengan 1010 ,ε −= (8.5)

dan

( )kF x ε

∞<

, dimana 310ε −= (Atluri et al., 2009) (8.6)

bagi sistem persamaan polinomial.

178

8.3.1 Persamaan Polinomial Tunggal ( ) 0.f x =

Keberkesanan Kaedah Super Ostrowski-PH dalam penyelesaian persamaan

polinomial tunggal dikaji dengan menampilkan Contoh 8.1, 8.2 dan 8.3 seperti berikut.

Contoh 8.1. Pertimbangkan contoh berikut yang dibincangkan oleh Rafiq dan Awais

(2008)

3 2( ) 4 10 0.f x x x= − − = (8.7)

Pelbagai nilai mula diuji dan keputusan ditunjukkan di dalam Jadual 8.1.

Contoh 8.2. Pertimbangkan persamaan tunggal berikut yang pernah diuji Bi et al.

(2008)

3 2( ) 4 15 0.f x x x= + − = (8.8)


Contoh 8.3. Pertimbangkan persamaan tunggal polinomial yang telah dikaji oleh Chun

dan Neta (2012)

5 4 2( ) 4 15 0.f x x x x= + + − = (8.9)


179

8.3.2 Sistem Persamaan Polinomial ( ) 0.F x =

Keberkesanan Kaedah Super Ostrowski-PH dalam penyelesaian persamaan polinomial

tunggal dikaji dengan menampilkan Contoh 8.4, 8.5 dan 8.6 seperti berikut.

Contoh 8.4. Pertimbangkan sistem persamaan yang dikaji oleh Rafiq dan Awais (2008)

2

12 2

2

( , ) 2 0.5 0.

( , ) 4 4 0.


= − − + =

= + − = (8.10)


Contoh 8.5. Pertimbangkan persamaan serentak berikut yang dibincangkan oleh Noor

dan Waseem (2009):

2 2 21

2 22

2 2 23

( , , ) 1 0.

( , , ) 2 4 0.

( , , ) 3 4 0.


= + + − =

= + − =

= − + =

(8.11)


Contoh 8.6. Pertimbangkan satu sistem persamaan polinomial berikut yang

dibincangkan oleh Morgan (1983)

1

22

3

24

( , , , ) 10 0.

( , , , ) 5( ) 0.

( , , , ) ( 2 ) 0.

( , , , ) 10( ) 0.

f w x y z x y


f w x y z x w

= + =

= − =

= − =

= − =

(8.12)


180


Bilangan lelaran yang diperolehi menggunakan kaedah Ostrowski-PH dan Super

Ostrowski-PH dihimpunkan dalam Jadual 8.1 – 8.3 untuk persamaan polinomial tunggal

dan dalam Jadual 8.4 – 8.6 untuk sistem persamaan polinomial.

8.4.1. Persamaan Polinomial Tunggal ( ) 0.f x =

Kajian perbandingan bilangan lelaran antara Kaedah Ostrowski-PH dengan

Kaedah Super Ostrowski-PH dalam menyelesaikan Persamaan (8.7), (8.8) dan (8.9)

ditunjukkan di dalam Jadual 8.1, 8.2 dan 8.3 secara berturutan.

Jadual 8.1. Perbandingan Bilangan Lelaran antara Kaedah Ostrowski-PH dengan Kaedah Super Ostrowski-PH dalam menyelesaikan Persamaan (8.7)

Nilai mula Ostrowski-PH Super Ostrowski-PH

0 10x = − 189 7

0 10x = 72 2

0 100x = − 1349 6

0 100x = 1229 4

0 1000x = − 2200 13

0 1000x = 9446 6



0 10x = − 45 6

0 10x = 132 2

0 100x = − 244 9

0 100x = 1528 4

0 1000x = − 707 19

0 1000x = 11083 6

181



0 10x = − 205 7

0 10x = 156 3

0 100x = − 327 9

0 100x = 1757 6

0 1000x = − 608 24

0 1000x = 12480 8

8.4.2. Sistem Persamaan Polinomial ( ) 0.F x =

Kajian perbandingan bilangan lelaran antara Kaedah Ostrowski-PH dengan

Kaedah Super Ostrowski-PH diteruskan dalam menyelesaikan sistem persamaan (8.10),

(8.11) dan (8.12). Keputusan ditunjukkan di dalam Jadual 8.4, 8.5 dan 8.6 secara

berturutan.


Nilai mula 0 0( , )x y

Ostrowski-PH Super Ostrowski-PH

( 10. 10)− − 32 5 (10,10) 39 3 ( 100, 100)− − 159 11 (100,100) 239 9

1000, 1000)(− − 274 17

1000,1000)( 1831 9

182


Nilai mula

0 0 0( , , )x y z Ostrowski-PH Super

Ostrowski-PH

( 10, 10, 10)− − − 56 10 (10,10,10) 38 3 ( 100, 100, 100)− − − 318 17 (100,100,100) 319 5 ( 1000, 1000, 1000)− − − 1734 18 (1000,1000,1000) +∞ 9


Nilai mula

0 0 0 0( , , , )w x y z Ostrowski-

PH Super

Ostrowski-PH

(1, 4,1, 2) 126 4

(10, 10,10, 10)− − +∞ 6 ( 10,10, 10,10)− − +∞ 7 (100, 100,100, 100)− − +∞ 12 ( 100,100, 100,100)− − +∞ 12 (1000, 1000,1000, 1000)− − +∞ 28 ( 1000,1000, 1000,1000)− − +∞ 28

Keputusan-keputusan dalam Jadual 8.1 hingga Jadual 8.6 menunjukkan prestasi

Kaedah Super Ostrowski-PH adalah lebih baik berbanding Kaedah Ostrowski-PH dalam

menyelesaikan persamaan-persamaan polinomial. Pemerhatian yang lebih mendalam

dikaji bagi kedua-dua kaedah itu dalam menyelesaikan persamaan (8.7) dan nilai mula

yang dipilih adalah 0 10x = . Laluan homotopi digambarkan di dalam Rajah 8.1 dan

Rajah 8.2.

183

Rajah 8.1: Laluan Homotopi bagi Persamaan (8.7) menggunakan Kaedah Ostrowski-PH

Rajah 8.2: Laluan Homotopi bagi Persamaan (8.7) menggunakan Kaedah Super Ostrowski-PH

184

Rajah 8.1 menunjukkan kaedah Ostrowski-PH memerlukan 73 fungsi homotopi

untuk mencapai titik penyelesaian sementara Rajah 8.2 menunjukkan Kaedah Super-PH

hanya memerlukan 3 fungsi homotopi untuk mengesan titik penyelesaian Persamaan

(8.7). Bilangan laluan fungsi homotopi digambarkan dalam Rajah 8.3.

Rajah 8.3: Interpolasi Nilai x bagi Persamaan (8.7) apabila 0 10.x =

Rajah 8.3 menunjukkan prestasi Kaedah Ostrowski-PH dan Kaedah Super

Ostrowski-PH bagi menyelesaikan Persamaan (8.7). Semakin sedikit bilangan lelaran

yang diperlukan untuk mencapai persamaan sasaran ( ) 0f x = , semakin berkesan suatu

kaedah itu. Ini menunjukkan Kaedah Super Ostrowski-PH lebih berkesan daripada

Kaedah Ostrowski-PH dalam menyelesaikan persamaan polinomial tunggal.

185

Secara umumnya, Kaedah Super Ostrowski-PH memerlukan kurang daripada

100 lelaran, sementara Kaedah Ostrowski adakalanya bilangan lelaran lebih daripada

1000 walaupun kedua-dua kaedah ini bermula daripada nilai mula yang sama. Dalam

erti kata lain, Kaedah Super Ostrowski mampu mengatasi masalah nilai mula yang

biasanya dihadapi oleh kaedah Ostrowski-PH.

8.5 Kesimpulan

Dalam kajian ini, kelebihan kaedah Super Ostrowski-PH dapat dilihat dengan

jelas dengan peningkatan kadar ketepatan nilai fungsi ( )F x

dan pengurangan bilangan

lelaran. Keadaan ini berlaku kerana Super Ostrowski-PH adalah hasil gabungan fungsi

homotopi terbaik, fungsi mula terbaik dan kaedah perselanjaran homotopi terbaik yang

telah dibuat kajian akan kelebihannya dalam Bab 5, Bab 6 dan Bab 7. Berdasarkan

beberapa contoh persamaan tunggal dan sistem persamaan, didapati Kaedah Super

Ostrowski Perselanjaran Homotopi bukan sahaja mampu mengatasi masalah pencapahan

malah dapat menyelesaikan masalah nilai mula yang berada begitu jauh dari

penyelesaian sebenar. Ini membuatkan pengguna dapat memilih secara bebas nilai mula

tanpa perlu mengetahui secara mendalam anggaran kedudukan nilai sebenar.

186

BAB 9

KESIMPULAN DAN CADANGAN

9.1 Kesimpulan

Penyelesaian persamaan polinomial baik persamaan tunggal mahupun sistem

persamaan menggunakan kaedah-kaedah tradisional telah dibincangkan dalam

permulaan bab. Di samping itu, kaedah yang cekap dan hebat iaitu kaedah perselanjaran

homotopi turut diperkenalkan. Kaedah tradisional seperti kaedah Newton dan kaedah

global seperti kaedah perselanjaran diterangkan secara ringkas dalam Bab 1.

Perbincangan tentang kaedah-kaedah tradisional dan global telah dibincangkan

dengan lebih mendalam lagi dalam bab yang kedua. Konsep-konsep asas diterangkan,

teori-teori asas ditunjukkan dan kaedah-kaedah asas diperjelaskan secara terperinci. Satu

contoh persamaan mudah dipilih untuk menerangkan kelebihan dan kekurangan tiap-tiap

kaedah klasik dan moden. Persamaan mudah dipilih bertujuan untuk meningkatkan lagi

pemahaman.

Kajian literatur tentang persamaan polinomial dibincangkan dalam Bab 3. Kajian

itu melibatkan komen-komen dan kritikan daripada pengkaji-pengkaji matematik,

pengenalpastian kelemahan dan skop-skop kajian. Lima isu diketengahkan dan

penyelesaiannya turut dibincangkan dalam Bab 4 hingga Bab 8. Skop kajian melibatkan

187

penyelesaian persamaan-persamaan polinomial dan hanya tertumpu pada punca-punca

nyata.

Bab 4 membincangkan objektif pertama iaitu membandingkan kaedah-kaedah

homotopi semasa dalam menyelesaikan persamaan-persamaan polinomial. Kajian telah

dibuat dan didapati Kaedah Varian Baru Newton Perselanjaran Homotopi adalah kaedah

yang terbaik dalam menyelesaikan persamaan polinomial tunggal. Manakala bagi

penyelesaian sistem persamaan, didapati bahawa Kaedah Newton Perselanjaran

Homotopi adalah yang terbaik. Ini kerana kaedah-kaedah tersebut mempunyai ketepatan

yang lebih berbanding kaedah-kaedah homotopi lain. Keadaan ini dapat diketahui

dengan menganggarkan nilai ( )f x atau nilai ( )F x . Dalam erti kata lain, semakin dekat

( )f x atau ( )F x menghampiri nilai sifar, semakin berkesan kaedah homotopi itu.

Bab 5 membincangkan objektif kedua iaitu memperkenalkan suatu fungsi

homotopi terbaru yang mampu meningkatkan kadar ketepatan fungsi homotopi piawai.

Fungsi Homotopi Kuadratik Bezier yang menggunakan konsep de Casteljau

diperkenalkan dan dibantu oleh teknik Binaan Rekursif. Konsep de Casteljau adalah

salah satu cabang ilmu yang penting dalam ilmu Rekabentuk Geometri Berbantu

Komputer (RGBK). Hasil kajian menunjukkan fungsi homotopi terbaru adalah fungsi

yang lebih baik daripada fungsi homotopi semasa dari segi kadar ketepatan.

Bab 6 membincangkan objektif ketiga iaitu memperkenalkan satu fungsi

homotopi tambahan terbaru yang mampu meningkatkan kadar ketepatan nilai anggaran

punca persamaan. Fungsi Titik Tetap Linear telah diperkenalkan. Fungsi ini juga

menggunakan konsep de Casteljau. Hasil kajian mendapati kelebihan dari segi

188

ketepatan berpihak kepada fungsi homotopi tambahan baru ini berbanding fungsi-fungsi

homotopi tambahan semasa.

Bab 7 memajukan suatu kaedah homotopi terbaru yang diberi nama Kaedah

Ostrowski-PH. Keputusan kajian menunjukkan bahawa Kaedah Ostrowski-PH

mengatasi Kaedah Varian Baru Newton-PH dan Kaedah Newton-PH dari segi kadar

ketepatan dalam menyelesaikan persamaan polinomial tunggal dan sistem persamaan

polinomial. Kadar penumpuan bagi Kaedah Ostrowski-PH turut dikaji dan didapati

kaedah ini menumpu dengan penumpuan linear.

Bab 8 membincangkan objektif kelima iaitu menyelesaikan masalah nilai mula

yang dihadapi oleh Kaedah Ostrowski-PH. Suatu kaedah yang menggabung semua

faktor-faktor yang mempengaruhi nilai anggaran punca-punca persamaan. Kaedah yang

terbentuk hasil gabungan Kaedah Ostrowski-PH dengan Fungsi Homotopi Kuadratik

Bezier dan Fungsi Titik Tetap Linear. Untuk menambahkan lagi kadar kecepatan

penumpuan, kaedah gabungan itu dilelarkan sebanyak dua kali bagi setiap 1.it + Hasil

gabungan itu diberi nama Kaedah Super Ostrowski Perselanjaran Homotopi. Didapati

juga Kaedah Super Ostrowski Perselanjaran Homotopi mampu menyelesaikan masalah

nilai mula yang dihadapi oleh kaedah piawai Ostrowski-PH.

9.2 Cadangan

Selepas segala keputusan dalam jadual dan rajah dianalisis, harapan kami agar

penyelidik lain akan meneruskan kajian ini. Antara cadangan-cadangan yang boleh

diusahakan adalah seperti:

189

i) Memperkenalkan suatu kaedah perselanjaran homotopi

Sepertimana terhasilnya Kaedah Ostrowski Perselanjaran Homotopi, konsep

homotopi mungkin boleh digabungkan dengan kaedah lelaran yang lain. Sebagai

contoh, mungkin ahli matematik lain boleh menggabungkan Kaedah Jarratt dengan

Kaedah Perselanjaran Homotopi menghasilkan Kaedah Jarratt Perselanjaran

Homotopi.

ii) Mengembangkan peringkat fungsi homotopi

Sepertimana terhasilnya Fungsi Homotopi Kuadaratik Bezier, mungkin penyelidik

lain boleh menghasilkan fungsi homotopi peringkat ketiga. Peringkat ketiga ini

kemudiannya diberi nama Fungsi Homotopi Kubik Bezier.

iii) Memajukan fungsi homotopi Splin-B

Sepertimana terhasilnya Fungsi Homotopi Kuadaratik Bezier menggunakan

lengkungan Bezier, mungkin penyelidik lain boleh menghasilkan suatu fungsi

homotopi berteraskan lengkungan Splin-B.

Semua cadangan yang dibentangkan berkongsi objektif yang sama iaitu untuk

meningkatkan kadar ketepatan anggaran punca-punca nyata persamaan polinomial.

190

SENARAI PENERBITAN

Nor, H. M, Md Ismail, A. I. & Majid, A. A., 1

“Comparative Study of Homotopy Continuation Methods for Nonlinear Algebraic Equations” in Simposium Kebangsaan Sains Matematik ke 21, AIP Conference Proceedings 1605, American Institute of Physics, Melville, NY, 2013, pp. 10 – 15.

Nor, H. M, Md Ismail, A. I. & Majid, A. A., 2

“A New Homotopy Function for Solving Nonlinear Equations” in International Conference on Mathematical Sciences and Statistics 2013, AIP Conference Proceedings 1557, American Institute of Physics, Melville, NY, 2013, pp. 21-25.

Nor, H. M., Md. Ismail, A. I., & Majid, A. A. (2014), 2

Quadratic Bezier Homotopy Function for Solving System of Polynomial Equations, MATEMATIKA 29 (2), 159 – 171.

Nor, H. M, Md Ismail, A. I. & Majid, A. A., 3“Linear Fixed Point Function for Solving System of Polynomial Equations” in The 3rd

Nor, H. M., Rahman, A., Md. Ismail, A. I., & Majid, A. A. (2014),

International Conference on Mathematical Sciences, AIP Conference Proceedings 1602, American Institute of Physics, Melville, NY, 2014, pp. 105 – 112.

4

Numerical Solution of Polynomial Equations using Ostrowski Homotopy Continuation Method, MATEMATIKA 30 (1), 47 – 57.

Nor, H. M, Rahman, A., Md Ismail, A. I. & Majid, A. A., 5

“ Superior Accuracy of Ostrowski Homotopy Continuation Method with Quadratic Bezier Homotopy and Linear Fixed Point Functions for Nonlinear Equations” in International Conference on Quantitative Sciences and Its Applications 2014, AIP Conference Proceedings 1635, American Institute of Physics, Melville, NY, 2014, pp. 174-181.

1 Ada hubungkait dengan Bab 4 2 Ada hubungkait dengan Bab 5 3 Ada hubungkait dengan Bab 6 4 Ada hubungkait dengan Bab 7 5 Ada hubungkait dengan Bab 8

191

RUJUKAN

Abbasbandy, S. (2003). Improving Newton-Raphson method for nonlinear equations by Modified Adomian Decomposition method, Applied Mathematics and Computation 145, 887-893.

Abdullahi, M., Mandarar, A.V. & Bassi I.G. (2010). A new imbedding method for computing all real solution of nonlinear algebraic equations, International Journal of Engineering and Technology 3 (11), 1010 – 1013.

Agoston, M. K. (2004). Computer graphic and computer modeling, 3rd

Edition, Springer- Verlag, Cupertino CA 95014, 2004.

Alexander and Yorke (1978). The homotopy continuation method: Numerically implementable topological procedures, American Mathematical Society 242, 271. Asaithambi, N. S. (1995). Numerical Analysis: Theory and Practice, Florida: Saunders College. Ascher, U. M. & Grief, C. (2011). A first course in numerical methods, Computational Science and Engineering SIAM, Philadelphia. Atluri, S. N., Liu C. & Kuo, C. (2009). A modified Newton method for solving nonlinear algebraic equations, Journal of Marine Science 17 (3), 238 – 247. Bi, W., Ren, H. & Wu, Q. (2008). New family of seventh-order methods for nonlinear equations, Applied Mathematics and Computation 203, 408 – 412. Broyden, C. G. (1965). A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations, Mathematics of Computation 19 (92), 577 – 593.

192

Broyden, C. G. (1967). Quasi-Newton methods and their applications to function minimisation, Mathematics of Computation 21 (99), 368 – 381. Broyden, C. G. (1969). A new method for solving nonlinear simultaneous equations, Computing Journal 12, 94 – 99. Brent, R. P. (1972). On the Davidenko-Branin method for solving simultaneous nonlinear equations, IBM Journal of Research and Development 16, 434 – 436. Brent, R. P. (1973). Some efficient algorithms for solving systems of nonlinear equations, Journal of Numerical Analysis 10 (2), 327 – 344. Burden, R. L. & Faires, J. D. (2011). Numerical analysis ,9th

Edition, International Edition, Brooks/Cole Cencage Learning.

Chang, K. L. & Ahmad, R. (2014). Global optimization using homotopy with 2-step predictor-corrector method, AIP Conference Proceedings 1602, 601 – 607. Chapra, S. C. (2012). Applied numerical methods with MATLAB for engineers and scientist, 3rd Edition, McGraw-Hill, New York, USA. Chapra, S. C. & Canale, R. P. (2010). Numerical methods for engineers, 6th Edition, McGraw-Hill, New York, USA. Chun, C. & Ham, Y. (2007). Some sixth-order variants of Ostrowski root-finding methods, Applied Mathematics and Computation 193, 389 – 394. Chun, C. & Neta, B. (2012). A new sixth-order scheme for nonlinear equations, Applied Mathematics Letters 25, 185 – 189. Cordero, A. & Torregrosa, J. R. (2007). Variants of Newton’s method using fifth-order quadrature formulas, Applied Mathematics and Computation 190, 686 – 698.

193

Dahlquist, G. & Bjork, A. (2008). Numerical methods in scientific computing, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. Davidenko, D. F. (1953). On a new method of numerical solution of systems of nonlinear equations, Doklady Akademii Nauk 88, 601 – 602. Dechaumphai, P. & Wansophark, N. (2011). Numerical methods in engineering, theories with MATLAB, Fortran, C and Pascal programs, Alpha Science International LTD., Oxford, USA. Epperson, J. F. (2007). An introduction to numerical methods and analysis, Revised Edition, A John Wiley & Sons, Inc.,Publication. Faires, J. D. & Burden, R.L. (2003). Numerical method ,3rd

Garcia, C. B. & Zangwill, W. I. (1979). Finding all solutions to polynomial systems and other systems of equations, Mathematical Programming 16, 159 – 176. Grau, M. & Diaz-Barrero, J. L. (2006). An improvement to Ostrowski root-finding method, Applied Mathematics and Computation 173, 450 – 456.

Edition, International Edition, Brooks/Cole Cencage Learning.

Gritton, K. S., Seader, J. D. & Lin, W. (2001). Global homotopy continuation procedures for seeking all roots of a nonlinear equations, Computers and Chemical Engineering 25, 1003 – 1019. Grosan, C., Abraham, A. & Snasel, V. (2012). Solving polynomial systems using a modified line search approach, International Journal of Innovative Computing, Information and Control 8 (1b), 501 – 526. Hiebert, K. L. (1982). An evaluation of mathematical software that solves systems of nonlinear equations, ACM Transactions on Mathematical Software 8 (1), 5 – 20.

194

Jalali-Farahani, F. & Seader, J. D. (2000). Use of homotopy-continuation method in stability analysis of multiphase, reacting systems, Computers and Chemical Engineering 24, 1997 – 2008. Khalil, H. & Khan, R. A. (2014). A new method based on Legendre polynomials for solutions of the fractional two-dimensional heat conduction equation, Computers and Mathematics with Applications 67, 1938 – 1953. Kincaid, D. & Cheney, W. (2002). Numerical Analysis: Mathematic of Scientific Computing, 3rd

Kiusalaas, J. (2010). Numerical methods in engineering with Python, 2

edn. Pacific Grove: Thomson Learning Academic Resource Center.

nd

Edition, Cambridge University Press, New York, USA. Kotsireas, I. S. (2001). Homotopies and polynomial system solving 1, basic principles, ACM SIGSAM Bulletin 35 (1), 19 – 32.

Kou, J., Li, Y. & Wang, X. (2007). Some variants of Ostrowski’s method with seventh- order convergence, Journal of Computational and Applied Mathematics 209, 153 – 159. Kubicek, M. (1976). ALGORITHM 152: Dependence of solution of nonlinear systems on a parameter, ACM Transactions on Mathematical Software 2 (1), 98 – 107. Lahaye, E. (1934). Use methode de resolution d’une categorie d’equations transcendentes, Comptes Rendus de l’Academie des Sciences Paris 198, 1840. Lee, J. & Chiang, H (2001). Convergent regions of the Newton homotopy method for nonlinear systems: theory and computational applications, Fundamental Theory and Applications 48, 51 – 66. Li , T. Y. (1997). Numerical solution of multivariate polynomial systems by homotopy continuation methods, Acta Numerica 6, 399 – 436 .

195

McNamee J.M. (2013). Numerical methods for roots of polynomials, part II, Academic Press, Elsevier, Oxford, UK. Morgan, A. P. (1983). A method for computing all solutions to systems of polynomial equations, ACM Transactions on Mathematical Software 9 (1), 1 – 17. Noor, M. A. & Waseem. M. (2009), Some iterative methods for solving a system of nonlinear equations, Computers and Mathematics with Applications 57, 101 – 106. Oliveros-Munoz, J. M. & Jimenez-Islas, H. (2013). Hyperspherical path tracking methodology as correction step in homotopic continuation methods, Chemical Engineering Science 97, 413 – 429. Ostrowski, A. M. (1973). Solution of equations in Euclidean and Banach space, Academic Space, New York. Ozban, A. Y. (2004). Some new variants of Newton’s method, Applied Mathematics Letters 17, 677 – 682. Palancz, B., Awange, J. L., Zaletnyik, P. & Lewis, R. H. (2010). Linear homotopy solution of nonlinear systems of equations in geodesy, Journal of Geodesy 84, 79-95. Rafiq, A., & Awais, M. (2008). Convergence on the homotopy continuation method, International Journal of Applied Mathematic and Mech. 4 (6), 62-70. Rahimian, S. K., Jalali, F., Seader, J. D. & White, R. E. (2010). A new homotopy for seeking all real roots of a nonlinear equation, Computers and Chemical Engineering 35, 403 - 411.

196

Rahimian, S. K., Jalali, F., Seader, J. D. & White, R. E. (2011). A robust homotopy continuation method for seeking all real roots of unconstrained systems of nonlinear algebraic and transcendental equations, Industrial & Engineering Chemistry Research 50, 8892 – 8900. Rahman, N. H. A., Ibrahim, A. & Jayes, M. I. (2011). Newton homotopy solution for nonlinear equations using Maple14, Journal of Science and Technology 3 (2), 69 – 75. Rahman, N. H. A., Ibrahim, A. & Jayes, M. I. (2012). Higher order homotopy Taylor- Pertubation using start-system for multiroots functions, Discovering Mathematics 34 (1), 17 – 24. Rahman, N. H. A., Ibrahim, A. & Jayes, M. I. (2013a). Numerical solving for nonlinear using higher order homotopy Taylor-Pertubation, New Trends in Mathematical Sciences 1 (1), 24 – 28. Rahman, N. H. A., Ibrahim, A. & Jayes, M. I. (2013b). Higher order homotopy Taylor-Pertubation via start-system, Applied Mathematics and Computer Intelligent 2 (1), 85 – 94. Talisa, S. H. (1985). Application of Davidenko’s method to the solution of dispersion relations in lossy waveguiding systems, IEEE Transactions of Microwave Theory and Techniques MTT-33 (10), 967 – 971. Sharma, J. R. & Guha, R. K. (2007). A family of modified Ostrowski methods with accelerated sixth order convergence, Applied Mathematics and Computation 190, 111 – 115. Verschelde, J. (1996). Homotopy continuation methods for solving polynomial systems, PhD Thesis, Katholieke Universiteit Leuven (1996), Belgium. Watson, L. T. (1968). Numerical linear algebra aspects of globally convergent homotopy methods, Technical Report. 1986.

197

Wu (2005a). A modified formula of Ancient Chinese algorithm by the continuation technique, Applied Mathematics and Computation 165, 31 – 35. Wu, T. M. (2005b). A study of convergence on the Newton-homotopy continuation method, Applied Mathematics and Computation 168, 1169-1174. Wu, T. M. (2006a). Solving the nonlinear equations by the Newton-homotopy continuation method with adjustable auxiliary homotopy function, Applied Mathematics and Computation 173, 383-388. Wu (2006b). A new formula of solving nonlinear equations by Adomian and homotopy methods, Applied Mathematics and Computation 172, 903 – 907. Wu, T. M. (2007). The secant-homotopy continuation method, Chaos Solitons and Fractals 32, 888-892.

LAMPIRAN-LAMPIRAN

LAMPIRAN A

Daripada Bab 2

LAMPIRAN B

Daripada Bab 4

Daripada Bab 5

Daripada Bab 6

Daripada Bab 7

LAMPIRAN C

Daripada Bab 8

Rajah: Kelebihan Kaedah Super Ostrowski-PH mengatasi Kaedah Ostrowski-PH

Date post:	11-May-2023
Category:	Documents
Upload:	usm
View:	0 times
Download:	0 times

Penyelesaian Persamaan Polinomial menggunakan Kaedah Perselanjaran Homotopi

Documents