Untuk analisis struktur balok menerus statis tak tentu

P1 P2 P3

αA αBA B

Struktur statis tertentu yang ditumpu sendi A dan rol B memiliki putaransudut (sudut belahan) sebesar αA (ditumpuan A) dan αB (ditumpuan B)ketika balok tersebut menerima beban luar P1, P2 dan P3. Bisakah andamenentukan besarnya αAdan αB?Pengaruh masing-masing gaya P terhadap putaran sudut dapat dihitungsecara terpisah sehingga total putaran sudut yang terjadi akibat gayaP1, P2 dan P3 merupakan superposisi (gabungan) dari putaran sudutakibat masing-masing gaya P.

a. Putaran sudut (akibat beban)

Batang Batas2 Titik Awal M m

AC X=0→a A RA.X rA.X

CB X=0→b B RB.X rB.X

Rotasi A

dxEI

xrxRdx

EI

xrxRdx

EI

Mmb

BB

a

AAL

A +==00

0

)).(()).((

RB= P.a/L

P

L

a b

A B

c

LA B

RA= P.b/L rA= -1/L rB= 1/L

1

L.EI.6

)bL.(b.P 22

A

−=

Batang Batas2 Titik Awal M m

AC X=0→a A RA.X rA.X

CB X=0→b B RB.X rB.X

Rotasi B

dxEI

xrxRdx

EI

xrxRdx

EI

Mmb

BB

a

AAL

B +==00

0

)).(()).((

RB= P.a/L

P

L

a b

A B

c

LA B

RA= P.b/L rA= 1/L rB= -1/L

1

L.EI.6

)aL.(a.P 22

B

−=

b. Putaran sudut (akibat momen)

LA B

M1 M2

βA βB

Berapa putaran sudut βA dan βB akibat momen M1 dan M2? Putaransudut β yang terjadi dapat dihitung secara terpisah oleh masing-masing momen M; sehingga total putaran sudut yang terjadimerupakan superposisi (gabungan) dari M1 dan M2.

Batang Batas2 Titik Awal M m

AB X=0→L A RA.X rA.X

Rotasi A & B

==

L

AAL

A dxEI

xrxRdx

EI

Mm

00

)).((

rA= -1/L rB= 1/L

LA B

1

1RB= M1/LRA= -M1/L

LA B

M1

3EI

.LMβ 1

A= rA= 1/L rB= -1/L

LA B

==

L

AAL

B dxEI

xrxRdx

EI

Mm

00

)).((

6EI

.LMβ 1

B=

βA βB

Batang Batas2 Titik Awal M m

AB X=0→a A RA.X rA.X

Rotasi A & B

==

L

AAL

A dxEI

xrxRdx

EI

Mm

00

)).((

rA= -1/L rB= 1/L

LA B

1

1RB= M1/LRA= -M1/L

LA B

M2

6EI

.LMβ 2

A= rA= 1/L rB= -1/L

LA B

==

L

AAL

B dxEI

xrxRdx

EI

Mm

00

)).((

3EI

.LMβ 2

B=

βA βB

LA B

M1 M2

βA βB

Sehingga total putaran sudut yang terjadi menjadi:

6EI

.LM

3EI

.LMβ 21

A +=6EI

.LM

3EI

.LMβ 12

B +=

Bidang momen dari balok menerus tersebut dapat diilustraikan padaGambar (b). Ini berarti kita dapat memandang balok menerus tersebutmerupakan superposisi dari balok AB, BC dan CD yang merupakan balokstatis tertentu yang memikul beban masing-masing P1, q1 dan P2 denganbalok yang sama yang memikul momen M1&M2, M2&M3, serta M3.

P1

A B C D

M1 M2 M3 P2 q1

(a)

(b)

Superposisinya diperlihatkan pada gambar diatas. Masing-masing balok statistertentu tersebut mengalami putaran sudut pada tumpuannya baik akibat bebanluar P1, q1 atau P2 maupun akibat momen M1&M2, M2&M3 atau M3. Mengingat padatumpuan A, B dan C tersebut, balok harus tetap lurus (tidak ada belahan sudut),maka persamaan berikut harus berlaku:αA = βA (Pers.1); αB1 + αB2 =βB1 + βB2 (Pers. 2); dan αC1 + αC2 =βC1 + βC2 (Pers.3)

Besarnya belahan sudut-sudut tersebut akibat beban luar dapat dicari!(lihat tabel sebelumnya)

Besarnya belahan sudut-sudut tersebut akibat reaksi momen dapat dicari !

1

12

1

11A

6EI

.LM

3EI

.LMβ +=

2

23

2

22

1

12

1

11

2B1B6EI

.LM

3EI

.LM

3EI

.LM

6EI

.LMββ +++=+

3

33

2

22

2

22

2C1C3EI

.LM

3EI

.LM

6EI

.LMββ ++=+

e. Persamaan Tiga Momen

Pers. 1, Pers. 2 dan Pers. 3 merupakan persamaan tiga momen (Clayperon).Persamaan Clayperon ini dapat digunakan untuk mendapatkan nilai-nilaiM1, M2 dan M3 dengan cara mensubstitusikan nilai sudut-sudut belahan kedalam Pers.1, Pers.2 dan Pers. 3.

Dengan diketahuinya nilai-nilai M, maka reaksi-reaksi di tumpuan dapatdiketahui dengan terlebih dahulu mencari reaksi dari free body diagramdengan persamaan kesetimbangan.

Dari reaksi free body diagram, maka reaksi total pada tumpuan dapatdiketahui.

2m 2m 2m 3m

P= 4t q= 2t/m

A B C

2m 2m 2m 3m

P= 4t q= 2t/m

A B C

(a)

(b)

2m 2m 2m 3m

P= 4t q1= 2t/m

A B C

(d)

2m 2m 2m 3m

P1= 4t q= 2t/m

A B C

(c)

1m

P2= 1t

q2= 2t/m

1m

21

21L

Z

L

ZYY BB +=+

2

3L

ZY B−=

ABCD konstruksi statis tak tentu, terjadi zetting (penurunan) ke atas

sebesar Z pada tumpuan B. Akibatnya sudut di B bertambah besar

sebesar (γ1 + γ2) sehingga di B terjadi sudut belahan positif sebesar :

Sementara itu di tumpuan C sudutnya bertambah kecil sebesar

Persamaan Tiga Momen pada kasus balok menerus dengan penurunan perletakan

2

B

1

B

L

Z

L

Z+

2

2C

2

2B

1

1B

EI6

L.M

EI3

L.M

EI3

L.M++

αB1 + αB2 = βB1 + βB2 di titik B

αC1 + αC2 = βC1 + βC2 dititik C

=

Momen yang timbul akibat pergeseran tumpuan di B dapat dicari dengan persamaan tiga momen sbb:

−𝑍𝐵

𝐿2+0=

𝑀𝐵𝐿2

6𝐸𝐼2+

𝑀𝑐𝐿2

3𝐸𝐼2+

𝑀𝑐𝐿3

3𝐸𝐼3

2m 2m 2m 3m

P= 4t q= 2t/m

A B C

2m 2m 2m 3m

P= 4t q= 2t/m

A B C

(a)

(b)

Gambar BMD dan SFD pada struktus balok menerus diatas apabila terjadi pergeseran tumpuan B ke bawah sebesar 2 cm.

2m 2m 2m 3m

P1= 4t q= 2t/m

A B C

2m 2m 2m 3m

P= 4t q1= 2t/m

A B C

(c)

(d)

1m

P2= 1t

q2= 2t/m

1m

Gambar BMD dan SFD pada struktus balok menerus diatas apabila terjadi pergeseran tumpuan B ke bawah sebesar 2 cm.

Persamaan Tiga Momen (balok menerus dengan dukungan pilar)

P1 q

A B C

P2

D

MB1MB2

MB3

MC

P1 q

A B C

P2

D

αA αB1 αB2αC

βA βB1 βB2βC

βB3 βD

AB

C

D

MB1MB2

MB3

MC

Pada joint B berlaku persamaan berikut:

311 BBB +=EI

LM

EI

LM BBB

33

33111 +=

322 BBB −=EI

LM

EI

LM

EI

LM BcBB

363

332222 −+=

0= BM 3210 BBB MMM ++=

(a)

(b)

(c)

Pada persamaan simultan (a), (b) dan (c) diatas, nilai-nilai yang dicariadalah MB1, MB2 dan MB3 . Sedangkan nilai-nilai αB1 dan αB2 dapat diperolehdari persamaan sudut belahan akibat beban luar; L1, L2 dan L3 diketahuidari soal; demikian pula Mc diperoleh dari P2 x L4

Setelah nilai momen di B diperoleh, maka reaksi tumpuan dapat dicari dengan diagram freebody. Total reaksi pada setiap tumpuan merupakan superposisi dari reaksi yang diperoleh dari diagram freebody.

P1 q

A B C

P2

D

MB1MB2

MB3

MD

MC

P1 q

A B C

P2

D

αA αB1 αB2αC

βA βB1 βB2

βB3

βC

βD

AB

C

D

MB1MB2

MB3

MD

MC

Pada joint B berlaku persamaan berikut:

311 BBB +=EI

LM

EI

LM

EI

LM BDBB

363

333111 ++=

322 BBB −=EI

LM

EI

LM

EI

LM

EI

LM DBcBB

6363

3332222 −−+=

0= BM 3210 BBB MMM ++=

(a)

(b)

(c)

Pada persamaan simultan (a), (b), (c) dan (d) diatas, nilai-nilai yang dicariadalah MB1, MB2, MB3 dan MD. Sedangkan nilai-nilai αB1 dan αB2 dapatdiperoleh dari persamaan sudut belahan akibat beban luar; L1, L2 dan L3

diketahui dari soal; demikian pula Mc diperoleh dari P2 x L4

Setelah nilai momen di B dan D diperoleh, maka reaksi tumpuan dapatdicari dengan diagram freebody. Total reaksi pada setiap tumpuanmerupakan superposisi dari reaksi yang diperoleh dari diagram freebody.

Pada tumpuan D berlaku persamaan berikut:

DD =EI

LM

EI

LM DB

630 333 += (d)

Persamaan Tiga Momen (balok menerus dengan dukungan pilar dan pergeseran perletakan)

P1 q

AB

C

P2

D

MB1MB2

MB3

MC

P1 q

AB

C

P2

D

αA αB1 αB2αC

βA βB1 βB2βC

βB3 βD

HB

AB

C

D

MB1MB2

MB3

MC

Pada joint B berlaku persamaan berikut:

31

3

1 BBB

BL

H +=−

EI

LM

EI

LM

L

H BBBB

33

3311

3

1 +=−

32

3

2 BBB

BL

H −=+

EI

LM

EI

LM

EI

LM

L

H BcBBB

363

33222

3

2 −+=+

0= BM 3210 BBB MMM ++=

(a)

(b)

(c)

Pada persamaan simultan (a), (b) dan (c) diatas, nilai-nilai yang dicariadalah MB1, MB2 dan MB3 . Sedangkan nilai-nilai αB1 dan αB2 dapat diperolehdari persamaan sudut belahan akibat beban luar; HB/L3, L1, L2 dan L3

diketahui dari soal; demikian pula Mc diperoleh dari P2 x L4

Setelah nilai momen di B diperoleh, maka reaksi tumpuan dapat dicari dengan diagram freebody. Total reaksi pada setiap tumpuan merupakan superposisi dari reaksi yang diperoleh dari diagram freebody.